CÁLCULO INTEGRAL Semana 3 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Dr. Ing. Dennis Alberto Espejo Peña INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para el cálculo de las integrales de la forma: 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝒅𝒙 , 𝑪𝒐𝒔𝒏 𝒙 𝒅𝒙, Caso 1 Si 𝑛 es un número par positivo, se usan las identidades siguientes: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 1 − cos 2𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 + cos 2𝑥 = 2 Caso 2 Si 𝑛 es un número impar positivo, se usa la identidad siguiente: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 EJERCICIOS RESUELTOS 1 Calcular 𝑠𝑒𝑛4 2𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 2 𝑑𝑥 = 1 − cos 4𝑥 2 2 1 𝑑𝑥 = 4 1 − 2 cos 4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 𝑑𝑥 1 = 4 1 + cos 8𝑥 1 − 2 cos 4𝑥 + 𝑑𝑥 2 1 = 4 3 cos 8𝑥 − 2 cos 4𝑥 + 𝑑𝑥 2 2 1 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 𝑠𝑒𝑛 8𝑥 = − + +𝑐 4 2 2 16 EJERCICIOS RESUELTOS 2 Calcular 𝑐𝑜𝑠 3 5𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑐𝑜𝑠 3 5𝑥 𝑑𝑥 = = 𝑐𝑜𝑠 2 5𝑥 ∙ cos 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 5𝑥 ∙ cos 5𝑥 𝑑𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥 − 1 5 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 = 5 1 − 𝑠𝑒𝑛2 5𝑥 ∙ cos 5𝑥 𝑑𝑥 3 𝑢 𝑢2 𝑑𝑢 = 15 𝑠𝑒𝑛3 5𝑥 − +𝑐 15 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑢 = 5 cos 5𝑥 𝑑𝑥 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para el cálculo de las integrales de la forma: 𝒕𝒈𝒏 𝒙 𝒅𝒙 , 𝑪𝒕𝒈𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Caso 1 Si 𝑛 es un número par positivo: Propiedades 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑛−2 𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 1 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 1 + 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 Caso 2 Si 𝑛 es un número impar positivo: 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑛−1 𝑥 ∙ tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑛−1 2 ∙ tan 𝑥 𝑑𝑥 EJERCICIOS RESUELTOS 3 Calcular 𝑡𝑔4 3𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑡𝑎𝑛4 3𝑥 𝑑𝑥 = = 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 3𝑥 𝑑𝑢 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑑𝑥 1 3 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 𝑑𝑥 − 𝑢2 3 𝑢 𝑑𝑢 = 9 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 − 1 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 − 1 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑑𝑥 + 𝑡𝑎𝑛3 3𝑥 tan 3𝑥 − +𝑥+𝑐 = 3 9 𝑑𝑥 EJERCICIOS RESUELTOS 4 Calcular 𝑐𝑡𝑔3 5𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑐𝑡𝑔2 5𝑥 ∙ c𝑡𝑔 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑐𝑡𝑔 5𝑥 𝑑𝑢 = −5 𝑐𝑠𝑐 2 5𝑥 𝑑𝑥 = 1 − 5 𝑐𝑠𝑐 2 5𝑥 − 1 ∙ c𝑡𝑔 5𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 5𝑥 ∙ c𝑡𝑔 5𝑥 𝑑𝑥 − c𝑡𝑔 5𝑥 𝑑𝑥 𝑢2 𝑢 𝑑𝑢 = − 10 𝑐𝑡𝑔2 5𝑥 1 =− − ln 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 + 𝑐 10 5 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para el cálculo de las integrales de la forma: 𝑺𝒆𝒏𝒎 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Caso 1 Si 𝑚 𝑜 𝑛 es un número entero impar positivo: 𝑠𝑒𝑛𝑚 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑚−1 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 Caso 2 Si 𝑚 y 𝑛 son números enteros pares positivos: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 1 − cos 2𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 + cos 2𝑥 = 2 EJERCICIOS RESUELTOS 5 Calcular 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 ∙ (1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑛6 𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑢4 𝑑𝑢 𝑢6 𝑑𝑢 𝑢5 5 𝑢7 7 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 𝑠𝑒𝑛7 𝑥 − +𝑐 5 7 EJERCICIOS RESUELTOS 6 Calcular Solución 1 − cos 2𝑥 2 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑢 = 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 1 2 3 𝑢 𝑢2 𝑑𝑢 = 6 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 2 1 + cos 2𝑥 1 ∙ 𝑑𝑥 = 1 − cos 2𝑥 2 ∙ 1 + cos 2𝑥 𝑑𝑥 2 8 1 = 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 ∙ 1 − cos 2𝑥 𝑑𝑥 8 1 1 2 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 ∙ cos 2𝑥 𝑑𝑥 8 8 1 − cos 4𝑥 𝑑𝑥 2 1 𝑥 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 𝑠𝑒𝑛3 2𝑥 = − − +𝑐 8 2 8 6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para el cálculo de las integrales de la forma: 𝒕𝒂𝒏𝒏 𝒙 ∙ 𝒔𝒆𝒄𝒎 𝒙 𝒅𝒙 Caso 1 Si 𝑛 es un número entero impar positivo: 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑛−1 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑚 𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 1 + 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 Caso 2 Si 𝑚 es un número entero positivo par: 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑚−2 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 EJERCICIOS RESUELTOS 7 Calcular 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 4 3𝑥𝑑𝑥 Solución 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑑𝑥 = = 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 3𝑥 𝑑𝑢 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 ∙ 1 + 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑑𝑥 + 1 3 𝑢2 𝑑𝑢 1 𝑡𝑎𝑛3 3𝑥 𝑡𝑎𝑛5 3𝑥 = + +𝑐 3 3 5 𝑡𝑎𝑛4 3𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑑𝑥 1 3 𝑢4 𝑑𝑢 EJERCICIOS RESUELTOS 8 Calcular 𝑡𝑎𝑛3 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 3 2𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑡𝑎𝑛2 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 ∙ sec 2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 − 1 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 ∙ sec 2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐 4 2𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 ∙ sec 2𝑥 𝑑𝑥 − 1 𝑢4 𝑑𝑢 2 𝑑𝑢 = 2 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 ∙ sec 2𝑥 𝑑𝑥 1 𝑢2 𝑑𝑢 2 1 𝑠𝑒𝑐 5 2𝑥 𝑠𝑒𝑐 3 2𝑥 − +𝑐 2 5 3 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para el cálculo de las integrales de la forma: 𝑺𝒆𝒏 𝒎𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒏𝒙 𝒅𝒙 Para este tipo de integrales se usa las siguientes identidades trigonométricas: 𝑠𝑒𝑛 𝑚 + 𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑚 − 𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 ∙ cos 𝑛𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑚 − 𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑚 + 𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 ∙ sen 𝑛𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑚 − 𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑚 + 𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥 ∙ cos 𝑛𝑥 = 2 EJERCICIOS RESUELTOS 9 Calcular 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 7𝑥 𝑑𝑥 Solución Usando la identidad trigonométrica: 𝑠𝑒𝑛 𝑚 + 𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑚 − 𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 ∙ cos 𝑛𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 7𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2 + 7 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2 − 7 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 9𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 1 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 7𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 9𝑥 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 9𝑥 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 =− + +𝑐 18 10 EJERCICIOS RESUELTOS 10 Calcular Solución 𝑠𝑒𝑛2 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 7𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 7𝑥 𝑑𝑥 1 − cos 8𝑥 1 + cos 14𝑥 ∙ ∙ 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 2 2 1 = 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 cos 14𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 cos 8𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 cos 8𝑥 cos 14𝑥 4 = 1 𝑠𝑒𝑛 18𝑥 − sen 10𝑥 𝑠𝑒𝑛 12𝑥 − sen 4𝑥 𝑠𝑒𝑛 12𝑥 − sen 4𝑥 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + − − cos 14𝑥 4 2 2 2 𝑠𝑒𝑛3 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 7𝑥 𝑑𝑥 1 = 16 5𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − 3 𝑠𝑒𝑛 10𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 12𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛 18𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 26𝑥 𝑑𝑥 1 5𝑐𝑜𝑠 4𝑥 3 𝑐𝑜𝑠10𝑥 𝑐𝑜𝑠 12𝑥 𝑐𝑜𝑠 8𝑥 𝑐𝑜𝑠 26𝑥 = − + + − + +𝑐 16 4 10 12 9 26
