CÁLCULO INTEGRAL Dr. Ing. Dennis Alberto Espejo Peña ANTIDERIVADA Definición: Una función 𝐹 recibe el nombre de antiderivada de 𝑓 en un intervalo I si: 𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 para toda 𝑥 en I. Interpretación Geométrica Miembros de la familia de antiderivadas de 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 3 2 1 x 𝑥3 𝐹 𝑥 = +3 3 𝑥3 𝐹 𝑥 = −1 3 𝑥3 𝐹 𝑥 = +2 3 𝑥3 𝐹 𝑥 = −2 3 𝑥3 𝐹 𝑥 = +1 3 𝑥3 𝐹 𝑥 = 3 ANTIDERIVADA Teorema: Si 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en un intervalo I entonces, la antiderivada general de 𝑓 en I es: 𝑭 𝒙 +𝑪 en donde 𝐶 es una constante arbitraria. Definición: Sea 𝐹 una antiderivada de 𝑓 en I. Definimos la integral indefinida de 𝑓 como su antiderivada general: 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 2 𝑑(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) + 𝑐 3 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 4 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 5 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑛+1 𝑥 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = + 𝑐, 𝑛+1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± (𝑛 ≠ −1) 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Sea 𝑢 = 𝑓(𝑥) una función diferenciable en 𝑥 1 𝑛+1 𝑢 𝑢𝑛 𝑑𝑢 = +𝑐 𝑛+1 2 𝑑𝑢 = ln 𝑢 + 𝑐 𝑢 3 4 5 𝑑𝑢 1 𝑢 = ∙ arctan +𝑐 2 2 𝑢 +𝑎 𝑎 𝑎 6 𝑑𝑢 1 𝑢+𝑎 = ∙ ln +𝑐 2 2 𝑎 −𝑢 2𝑎 𝑢−𝑎 7 𝑑𝑢 1 𝑢−𝑎 = ∙ ln +𝑐 2 2 𝑢 −𝑎 2𝑎 𝑢+𝑎 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎 +𝑐 EJERCICIOS RESUELTOS 1 Calcular 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑔 (𝑥) Solución Sabemos que 𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑔′ 𝑥 𝑑 = 𝑑𝑥 2 𝑔(𝑥) 𝑔 (𝑥) Integrando ambos miembros 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑔 (𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑑 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = +𝑐 𝑔(𝑥) EJERCICIOS RESUELTOS 2 Calcular cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 6 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 5 Solución Completando cuadrados tenemos cos 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3 − 4 𝑑𝑢 𝑢2 − 4 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑢−2 = ln +𝑐 4 𝑢+2 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 5 = ln +𝑐 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 EJERCICIOS RESUELTOS 3 Calcular Solución 𝑑𝑥 𝑥(𝑥 7 + 1) Usando la sustitución 1 = (𝑥 7 + 1) − 𝑥 7 𝑑𝑥 = 7 𝑥(𝑥 + 1) (𝑥 7 + 1) − 𝑥 7 𝑑𝑥 = 7 𝑥(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 − 𝑥 1 − 7 𝑥6 𝑑𝑥 7 𝑥 +1 𝑑𝑢 𝑢 𝑢 = 𝑥7 + 1 𝑑𝑢 = 7𝑥 6 𝑑𝑥 1 − ln 𝑢 7 1 = ln 𝑥 − ln 𝑥 7 + 1 +𝑐 7 EJERCICIOS RESUELTOS 4 Calcular 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 2 + 1 + 1 𝑑𝑥 2 1+𝑥 Solución 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2 1+𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑢 = 1 + 𝑥2 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 𝑒𝑢 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 2 + 1 + + 𝑑𝑥 2 1 + 𝑥2 1+𝑥 2𝑥𝑑𝑥 2 𝑣 = ln 𝑥 + 1 𝑑𝑣 = 1 + 𝑥2 1 + 𝑣 𝑑𝑣 +𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 2 1 𝑣2 + 2 2 𝑙𝑛2 (𝑥 2 + 1) + 4 +𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 +𝑐 FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Sea 𝑢 = 𝑓(𝑥) una función diferenciable en 𝑥 1 3 5 6 7 𝑑𝑢 𝑢 = arcsen +𝑐 2 2 𝑎 𝑎 −𝑢 𝑑𝑢 𝑢2 − 𝑎2 2 = ln 𝑢 + 𝑢2 − 𝑎2 + 𝑐 4 𝑑𝑢 𝑢2 + 𝑎2 2 𝑢 𝑎 𝑢 2 2 2 2 𝑎 − 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 − 𝑢 + arcsen +𝑐 2 2 𝑎 2 𝑢 𝑎 𝑢2 − 𝑎2 𝑑𝑢 = 𝑢2 − 𝑎2 − ln 𝑢 + 𝑢2 − 𝑎2 + 𝑐 2 2 2 𝑢 𝑎 𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢 = 𝑢2 + 𝑎2 + ln 𝑢 + 𝑢2 + 𝑎2 + 𝑐 2 2 𝑑𝑢 1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2 2 𝑎 𝑢 𝑢 −𝑎 𝑢 𝑎 + 𝑐, 𝑎 > 0 = ln 𝑢 + 𝑢2 + 𝑎2 + 𝑐 EJERCICIOS RESUELTOS 5 Calcular 2 + 𝑥2 − 2 − 𝑥2 4 Solución 2 + 𝑥2 − 2 − 𝑥2 4− 𝑥4 𝑑𝑥 = = − 𝑥4 1 2 − 𝑥2 𝑑𝑥 − − 2 − 𝑥2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑥 𝑥 2 1 2+ 𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 + 𝑥2 − ln 𝑥 + 2 + 𝑥 2 + 𝑐 EJERCICIOS RESUELTOS 6 Calcular 8𝑥 − 3 12𝑥 − 4𝑥 2 −5 𝑑𝑥 Solución Buscaremos la forma 12 − 8𝑥 = 𝑑 12𝑥 − 4𝑥 2 − 5 − 12 − 8𝑥 − 9 12𝑥 − 4𝑥 2 −5 𝑑𝑥 = − 12 − 8𝑥 12𝑥 − 4𝑥 2 −5 𝑑𝑥 +9 9 + 2 = −2 12𝑥 − 4𝑥 2 − 5 𝑑𝑥 12𝑥 − 4𝑥 2 − 5 𝑑𝑥 3 1 − (𝑥 − )2 2 9 3 + 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − +𝑐 2 2 FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Sea 𝑢 = 𝑓(𝑥) una función diferenciable en 𝑥 1 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝑐 2 cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑐 3 tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln sec 𝑢 + 𝑐 4 ctg 𝑢 𝑑𝑢 = ln 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑐 5 sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln sec 𝑢 + tan 𝑢 + 𝑐 6 csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln csc 𝑢 − ct𝑔 𝑢 + 𝑐 7 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝑐 8 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = − ct𝑔 𝑢 + 𝑐 9 sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝑐 10 csc 𝑢 𝑐t𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = −csc 𝑢 + 𝑐 EJERCICIOS RESUELTOS 7 Calcular 4 Solución tan 𝑢= 𝑑𝑢 = 4+ 4 + 𝑥2 𝑥𝑑𝑥 4 + 𝑥2 4 + 𝑥2 𝑥 tan 𝑥2 𝑥𝑑𝑥 4+ 𝑥2 = + 𝑥2 𝑑𝑥 tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln sec 𝑢 + 𝑐 = ln sec 4 + 𝑥2 +𝑐 EJERCICIOS RESUELTOS 8 Calcular 1 + cos 8𝑥 𝑑𝑥 Solución 1 + cos 2𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 2 1 + cos 8𝑥 𝑑𝑥 = = 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 𝑑𝑥 cos 4𝑥 𝑑𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 = +𝑐 4 FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Sea 𝑢 = 𝑓(𝑥) una función diferenciable en 𝑥 1 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = cosℎ 𝑢 + 𝑐 2 cosh 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 + 𝑐 3 tanh 𝑢 𝑑𝑢 = ln cosh 𝑢 + 𝑐 4 ctgℎ 𝑢 𝑑𝑢 = ln 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 + 𝑐 5 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = tanh 𝑢 + 𝑐 6 𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = − ct𝑔ℎ 𝑢 + 𝑐 7 sech 𝑢 tanh 𝑢 𝑑𝑢 = − sech 𝑢 + 𝑐 8 cscℎ 𝑢 𝑐t𝑔ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = −csch 𝑢 + 𝑐 EJERCICIOS RESUELTOS 9 Calcular sech 𝑥 𝑑𝑥 Solución Usando la sustitución sech 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 2𝑒 𝑥 1 2 = 2𝑥 sech 𝑥 = = 𝑥 −𝑥 𝑒 +1 cosh 𝑥 𝑒 + 𝑒 2𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 2𝑥 + 1 =2 𝑑𝑢 𝑢2 + 1 = 2 arctan 𝑢 + 𝑐 = 2 arctan 𝑒 𝑥 + 𝑐 EJERCICIOS RESUELTOS 10 Calcular 𝑒 𝑥 cosh 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑥 𝑒 cosh 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑢 = cosh 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑑𝑢 𝑢2 = +𝑐 2 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑒 𝑥 = +𝑐 2