ecuación de laplace - teoriaelectromagneticated502

Mariangelis Payares TED502
ECUACIÓN DE LAPLACE
La ecuación de Laplace se define como:
Δu = 0
Donde Δ es el operador laplaciano, y u; son funciones reales o complejas.
La ecuación de Laplace se trata de un caso particular de la ecuación de Poisson:
Δu = f cuando la función f es cero.
A las funciones soluciones de la ecuación de Laplace se les llama funciones armónicas.
Ecuación
de
Laplace
Tridimensional
En coordenadas cartesianas, en un espacio euclídeo de tres dimensiones, el problema
consiste en encontrar todas las funciones de tres variables reales
que verifican
la ecuación en derivadas parciales de segundo orden:
Para simplificar la escritura, se introduce el operador diferencial
(operador laplaciano)
tal que la ecuación nos queda:
Ecuación de Laplace Bidimensional
En coordenadas cartesianas, en un espacio euclídeo de dos dimensiones, el problema
consiste en encontrar todas las funciones de dos variables reales u(x, y) que verifican:
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LEY DE COULOMB
La ley de Coulomb puede expresarse como:
La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas
puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de
ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las
separa.
Enunciado de la Ley de Coulomb
La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no
hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a
velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza
electrostática.
En términos matemáticos, la magnitud
puntuales
y
de la fuerza que cada una de las dos cargas
ejerce sobre la otra separadas por una distancia
Dadas dos cargas puntuales
y
separadas una distancia
o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud está dada por:
La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:
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se expresa como:
en el vacío, se atraen
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Donde
es un vector unitario que va en la dirección de la recta que une las cargas,
siendo su sentido desde la carga que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.
Al aplicar esta fórmula en un ejercicio ,se debe colocar el signo de las cargas q1 o
q2
,según
sean
éstas
positivas
o
negativas.
El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy
en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma
, entonces
.
Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.
Obsérvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica
que fuerzas de igual magnitud actúan sobre
y
. La ley de Coulomb es una ecuación
vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las
cargas.
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