Intrusión de Agua__________________________________________________202
8
INTRUSION DE AGUA
8.1.- Introducción
Muchos reservorios están limitados parcial o totalmente por el acuífero adyacente,
los mismos que pueden ser muy grandes o pequeños en comparación al reservorio de
gas o petróleo. Cuando existe una caída de presión en el reservorio debido a la
producción, se provoca una expansión del agua del acuífero, con la consiguiente intrusión
de agua la cual es definida por We. El propio acuífero puede estar totalmente limitado, de
manera que el reservorio y el acuífero forman una unidad volumétrica cerrada. Por otra
parte el reservorio puede aflorar en algún lugar donde se puede reabastecerse de aguas
superficiales. Por último el acuífero puede ser lo bastante grande para mantener la
presión del reservorio y ser acuíferos horizontales adyacentes.
Una caída de presión en el reservorio hace que el acuífero reaccione para
contrarrestar o retardar la declinación de la presión suministrando una intrusión de agua
la cual puede ocurrir debido a:
•
•
•
Expansión del agua.
Compresibilidad de las rocas del acuífero.
Flujo artesiano donde el acuífero se eleva por encima del nivel del reservorio.
Desde un punto de vista analítico, el acuífero puede considerarse como una unidad
independiente que suministra agua al reservorio debido a la variación de la presión con el
tiempo de producción. Un modelo simple para estimar la entrada de agua esta basada en
la ecuación de compresibilidad.
We = ctWi ( Pi − Pwf )
Ec.(.8.1)
Donde Ct es la compresibilidad total del acuífero, Wi volumen inicial de agua del
acuífero, Pi presión inicial en el contacto Agua/gas. Esta ecuación presentada puede ser
aplicada a acuíferos pequeños, donde existe un inmediato equilibrio de la presión entre el
reservorio y el acuífero. Para acuíferos grandes es necesario un modelo matemático en
función del tiempo y declinación de la presión, para íntegramente la variación de presión
en el reservorio. Entre los modelos existentes en la literatura podemos ver el modelo de
Van Everdingen & Hurst, Fetkovich, Hurst modificado, Carter-Tracy, Leung.
8.2.-Clasificación de los Acuíferos
41
Los acuíferos básicamente se clasifican según
su:
Régimen de flujo
Geometría de flujo
Extensión
8.2.1.-Clasificación de los acuíferos según su régimen de flujo
Esta clasificación esta basada en la declinación de presión y el caudal de entrada
de agua hacia el yacimiento que puede ser: estable, semiestable o inestable. Una
representación de estos tipos de régimen de flujo se ilustra en la Fig. 8.1 donde se
muestra el comportamiento de la presión con respecto al tiempo.
8.2.1.1.-Acuíferos de régimen estable
El acuífero presenta régimen estable si la presión en el yacimiento permanece constante,
no cambia con el tiempo. El cambio de presión y caudal con respecto al
(41) GULF Publishing Company : Obr. Cit., p. 637-641
Intrusión de Agua__________________________________________________203
Tiempo es cero. Generalmente este tipo de régimen no ocurre en la realidad, solo
cuando se realiza un programa de inyección de agua.
Regimen Estable
PRESION
Re
gim
Se
en
mie
sta
ble
Re
gim
Ine
sta en
ble
0.0
Tiempo
Fig. 8.1 Comportamiento de la presión según el régimen de flujo
8.2.1.2.-Acuíferos de régimen semiestable
También llamado régimen de seudo-estado, este tipo de régimen es caracterizado
por la declinación lineal de la presión en función al tiempo y consecuentemente una
constante declinación del caudal.
8.2.1.3.-Acuíferos de régimen inestable
El régimen inestable frecuentemente llamado transiente, tiene la característica de
presentar un cambio de la presión y el caudal en función del tiempo. En ninguna parte
del yacimiento presenta una presión constante
8.2.2.-Clasificación de los acuíferos según su geometría de flujo
Existen 3 formas de geometría en los acuíferos que pueden ser: lineal, radial o de fondo.
8.2.2.1.- Acuíferos lineales
Estos acuíferos presentan una geometría de flujo paralela a su buzamiento, como
se los muestra en la Fig.8.2. El sentido de flujo es unidireccional.
Agua
Petróleo
Fig. 8.2 Esquema de un acuífero lineal
8.2.2.2.- Acuíferos radiales
Son aquellos acuíferos que presentan geometría de flujo concéntrica, es decir, que
el flujo empieza circunferencialmente hacia un punto central, como se ilustra en la Fig.
Intrusión de Agua__________________________________________________204
8.3. Al existir declinación de la presión, el agua proveniente del acuífero desplaza al
petróleo en un sentido radial. Generalmente este tipo de acuíferos se presenta en la
mayoría de los yacimientos de petróleo.
8.2.2.3.- Acuíferos de fondo
Existen formaciones saturadas con agua situadas en la parte inferior de la capa de
petróleo. Como se observa en la Fig. 8.4. La geometría de flujo en este tipo de acuíferos
es pendiente arriba, hacia la cresta de la estructura. Este movimiento se debe a que el
agua del acuífero posee presión y al crearse una diferencial a su favor, por efecto de la
extracción de petróleo, ingrese agua a la zona de petróleo
PETROLEO
Fig. 8.3 Esquema de un acuífero radial
Petróleo
Agua
Fig. 8.4 Esquema de un acuífero de fondo
8.2.3.-
Clasificación de los acuíferos según su extensión
Los acuíferos presentan limitaciones algunos son pequeños o algunos presentan
áreas bastante grandes, en función a su límite exterior se los puede clasificar en:
acuíferos finitos, infinitos o realimentados
8.2.3.1.- Acuíferos infinitos
Son aquellos acuíferos que no presentan límites, son inmensamente grandes, en
algunos casos forman grandes cuencas de agua.
8.2.3.2.- Acuíferos finitos
Intrusión de Agua__________________________________________________205
Estos acuíferos también denominados sellados, tienen una extensión limitada de
tal manera que se puede conocer su dimensión en su totalidad.
8.2.3.3.- Acuíferos realimentados
También se los conoce como sobrealimentados, esto debido a que son acuíferos
que están conectados ya sea a otros acuíferos o a fuentes externas como grandes lagos o
lagunas que suministran agua al acuífero.
8.3.-Determinación de la entrada de agua
Se han elaborado modelos matemáticos para determinar la entrada del agua hacia
el yacimiento. A excepción del modelo de Pote, en todos los modelos propuestos el
tiempo es una variable dependiente de la entrada de agua.
La aplicación del modelo se basa en función a la clasificación anteriormente mencionada.
8.3.1.-Modelo de Pote
42
Este modelo es utilizado en acuíferos que tienen las siguientes características:
Geometría de flujo Radial
Extensión finita o sellada
Acuíferos pequeño o muy pequeño
El tiempo es independiente
Permeabilidades altas
Este modelo es basado en la definición de la compresibilidad. Ocurre una caída de
presión en el yacimiento, debido a la producción de los fluidos, esto causa una
expansión del agua del acuífero y flujo al yacimiento. La compresibilidad es definida
matemáticamente
C=
1 ∂V 1 ∆V
∗
= ∗
V ∂P V ∆P
Ec.(.8.2)
La variación de volumen debido al cambio de presión viene dada por :
∆V = C ∗ V ∗ ∆P
Ec.(.8.3)
Aplicando la definición de la compresibilidad en el acuífero se tiene:
Entrada de Agua= (Compresibilidad del acuífero)*(Volumen del agua inicial)* (Caída de
presión)
We = (C w + Cf ) ∗ Wi ∗ (Pi − P)
Ec.(.8.4)
Donde:
We
= Entrada de agua al yacimiento (bbl)
Cw
= Compresibilidad del acuífero (psi-1)
Cf
= Compresibilidad de la formación (psi-1)
Wi
= Volumen inicial de agua en el acuífero (bbl)
El volumen de agua inicial en el acuífero se calcula con la expresión
(
)
⎡ π ∗ rw2 − ro2 ∗ hw ∗ φ ⎤
Wi = ⎢
⎥
5.615
⎣
⎦
Donde
rw
= Radio del acuífero [pies]
(42) GULF Publishing Company : Obr. Cit., p. 642-644
Ec.(.8.5)
Intrusión de Agua__________________________________________________206
= Radio del yacimiento [pies]
ro
hw
= Espesor del acuífero [pies]
φ
= Porosidad [frac]
Determinación simultanea del volumen In-Situ y la entrada de agua aplicando el
modelo de Pote para acuíferos pequeños de alta permeabilidad donde se presenta un
flujo continuo de intrusión de agua débil hacia el yacimiento. Primeramente tenemos que
definir las formulas de la entrada de agua en base a la ecuación general de balance de
materia para reservorio de gas presentada en el capitulo anterior Ec. 7.14
⎛ B g − B gi ⎞ B gi ⎡ C w S wi + C f ⎤
We − W p B w
⎟+
=⎜
∆P +
⎢
⎥
G ⎜⎝ B g ⎟⎠ B g ⎣ 1 − S wi ⎦
GB g
⎛ B g − B gi ⎞ GB gi ⎡ C w S wi + C f ⎤
We − W p Bw
⎟+
G p = G⎜
∆P +
⎢
⎥
⎜ B
⎟ B
1 − S wi ⎦
Bg
g
g ⎣
⎝
⎠
⎡ C w S wi + C f ⎤
G p B g = G (B g − B gi ) + GB gi ⎢
⎥ ∆P + We − W p Bw
⎣ 1 − S wi ⎦
F = G p B g + W p Bw = GE g + GE fw + We = G (E g + E wf ) + We
Gp
Ec.(.7.14)
Ec.(.8.6)
Ec.(.8.7)
Ec.(.8.8)
Remplazando la ecuación 8.4 en la 8.8 tenemos:
⎡ S wi C w + C f ⎤
F = GE g + GB gi ⎢
⎥ (Pi − P ) + W (C w + C f )(Pi − P )
S
1
−
wi
⎣
⎦
Ec.(.8.9)
Dividiendo por la energía total del sistema Et
F = G ( E g + E wf ) + W (C w + C f )(Pi − P ) = GEt + W (C w + C f )( Pi − P )
Ec.(.8.10)
( P − P)
F
W (C w + C f
=G+ i
Et
Et
Ec.(.8.11)
)
Aplicando el método de la línea recta calculamos simultáneamente el volumen del
acuífero y el gas In-Situ como así también su entrada de agua para cada etapa de
presión.
Ejemplo 8.1 mediante la ecuación de balance de materiales determinar los siguientes
parámetros:
• Actividad del Acuífero
• Determinación del G, W y We para diferentes presiones con el modelo del
acuífero de Pote
Los datos obtenidos del reservorio son los siguientes:
Pr= 6411 Psi
Kr= 100 md Por= 15 %
Cf=0.000006 1/Psi Goes= 100 BCF
Tr= 239 o F
h= 200 Pies Sw= 15 %
Cw=0.000003 1/Psi Area = 320 Acre
Procedemos a realizar los cálculos de acuerdo
⎡ S wi C w + C f ⎤
E fw = GB gi ⎢
⎥ (Pi − P )
⎣ 1 − S wi ⎦
Intrusión de Agua__________________________________________________207
Tabla 8.1 Datos del historial de producción, presión del reservorio
Tabla 8.2 Calculo para determinar el volumen In-Situ y Entrada de Agua
Analizamos el Grafico de Cole para determinar la actividad del acuífero asociado Fig.
8.5
Fig. 8.5 Grafico de Cole análisis de energía
Analisis de Cole
110000
109000
F/Et (MMpc)
108000
107000
106000
105000
104000
103000
102000
101000
Analisis de Cole
100000
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Gp (MMpc)
La pendiente negativa en la figura 8.5 nos muestra una presencia de un acuífero débil
asociado.
El volumen In-Situ Determinado mediante el balance de Materiales aplicando el modelo
de Pote es 101003 MMPC y su pendiente determinada es 0.604 Bbl/MMPC. Por lo tanto el
volumen de agua es:
W =
M
0.604
=
= 67111MBbl = 67.11MMBbl
(Cw + Cf ) (0.000003 + 0.000006)
Intrusión de Agua__________________________________________________208
Fig. 8.6 Determinación Simultánea del Modelo de Pote
Remplazando W, Cw, Cf, Swi, Pi en la ecuación 8.4 tenemos la instrucción de agua a
diferentes presiones
We = (C w + C f ) ∗ Wi ∗ ( Pi − P) = (0.000003 + 0.000006) * 67.11 * (6411 − p )
8.3.2.-
MODELO DE VAN EVERDINGEN & HURST
Las ecuaciones de flujo para petróleo en el fondo de pozo son idénticas a las
ecuaciones de flujo descrito para un acuífero en el reservorio. Solamente existe
diferencia en la escala radial y en los parámetros de la roca y fluidos. Los modelos de
flujo consideran una condición de contorno interna de un pozo a caudal constante.
Cuando un pozo de gas es abierto a un caudal constante la respuesta de la presión en el
fondo de pozo puede ser descrita bajo condiciones transiente de flujo antes de los efectos
de límites del reservorio. Una descripción del comportamiento del acuífero es interesante,
ya que para el cálculo de la entrada de agua con la declinación de la presión. Van
Everdingen, presento modelos clásicos de entrada de agua para dos tipos de acuíferos
lineal y radial. Aplicando el concepto de transformadas de Laplace, Everdingen resolvió el
problema mediante la ecuación de difusividad en el sistema reservorio-acuífero
considerando una presión constante en el contacto.
8.3.2.1.-
ACUIFERO RADIAL
El sistema reservorio Acuífero esta representado en la Figura 8.7.
f = θ/360
o
Intrusión de Agua__________________________________________________209
Acuífero
Ro.
Reserv.
Rw.
Figura No 8.7
La ecuación general de flujo para calcular la presión en el fondo de pozo esta dada:
p D (t D ) = 2πt DA + 1 / 2 ln
Donde:
PD (t D ) =
4t D
γ
− 1 / 2 PD (t DA )
2πkh
( Pi − Pwf )
qu
Ec. (8.12)
Ec. (8.13)
Resolviendo la ecuación de difusividad para el sistema reservorio acuífero y aplicando
la ecuación transformada de Laplace a la ecuación expresada en términos de variables
dimensionales tenemos:
∂p
∂P
1 ∂
(rD D ) = D
∂t D
rD ∂rD
∂t D
rD =
Donde radio adimensional:
Tiempo adimensional:
Presión Adimensional:
Ec. (8.14)
tD =
PD =
r
rD
kt
Φ uc t R o
Ec. (8.15)
Ec. (8.16)
2
( Pi − P )
( Pi − Po )
Ec. (8.17)
Con estos conceptos anteriores, la ley de Darcy puede ser escrita de la siguiente manera:
q=
Donde
f =
2πfkh ∂p
(r ) ro
∂r
u
Ec. (8.18)
θ Usando las definiciones de las variables adimensionales de las
2π
ecuaciones 8.13
, 8.15, y 8.16, 8.17 la ecuación 8.18 puede ser descripta en términos de variables
adimensionales:
− (rD
∂p D
qu
) rD =1 =
= q D (t D )
∂rD
2πfkh∆P0
Ec. (8.19)
Intrusión de Agua__________________________________________________210
Donde q D (t D ) es el caudal adimensional calculado en el contacto reservorioacuífero. Es más facil expresar la solución en entrada de agua acumulada:
t
We ≡ ∫ qdt =
0
2πfkh∆p 0
u
∫
tD
0
qD
dt
dt D
dt D
Ec. (8.20)
De la definición de tiempo adimensional:
θuc t r 2 o
dt
=
dt D
k
Ec. (8.21)
Sustituyendo la ecuación 8.20 en 8.21 tenemos:
tD
We ≡ 2πfθc t hro ∆Po ∫ q D dt D
2
Ec. (8.22)
0
Finalmente integrando y denominando q en relación al
simplifica como:
t D porW D (t D ) ) la ecuación se
We ≡ U∆POW D (t D )
Ec. (8.23)
U ≡ 2πfθc t hro
Ec. (8.24)
Donde:
2
U ≡ 1.119 fθct hro
2
La constante U es denominada como constante de entrada de agua del acuífero y
We o es la entrada adimensional acumulada para cada presión en el contacto. W D (t D ) .
Puede ser obtenido del flujo del acuífero, considerándose tres modelos de acuíferos los
cuales son: radial, infinito o acuífero con mantención de la presión en los límites. La
diferencia que existe entre estos tres modelos esta en las condiciones de contorno
externos. En cualquiera de los casos la entrada de agua puede ser calculada mediante la
siguiente ecuación:
tD
tD
0
0
W D ≡ ∫ q D (t D )dt D = − ∫ (rD
∂PD
) r =1 dt D
∂rD D
Ec. (8.25)
Existen tablas y gráficos donde nos muestra el comportamiento de la entrada de
agua, para un reservorio infinito, sellado y realimentado en superficie. Ver las Figuras
8.8, y las tablas 8.14 para el influjo acumulado adimensional.
Bird y Cols realizaron ajustes matemáticos a las tablas presentadas por Van
Everdingen y Hurts que puede ser programado fácilmente para valores de Rd < 100
⎛ 1
WD (t D ) ≡ Y1 ⎜⎜
⎝ 1 + Y2
⎞
⎟⎟
⎠
1.6179
⎛ Y
+ σ 3 ⎜⎜ 2
⎝ 1 + Y2
⎞
⎟⎟
⎠
1.21257
Ec. (8.26)
σ2
⎛t ⎞
Y2 ≡ ⎜⎜ d ⎟⎟
⎝ σ1 ⎠
σ 1 ≡ 0.53226(rD − 1)2.33849
σ 2 ≡ 2.72055 + 0.00401826rD
σ 3 ≡ rD2 − 1 * 0.5
(
)
Ec. (8.27)
Ec. (8.28)
Ec. (8.29)
Ec. (8.30)
Las ecuaciones de Van Everdinger y Hurst es aplicable solamente a reservorios
circulares rodeados de un acuífero horizontal circular finito o infinito de espesor
constante, porosidad permeabilidad y compresibilidad constante.
Intrusión de Agua__________________________________________________211
8.3.2.2.-
ACUIFERO LINEAL
La Figura 8.8 nos muestra un sistema de flujo lineal reservorio acuífero, si
comprimimos el nivel acuífero hacia el reservorio tenemos un flujo lineal cuyas variables
adimensionales depende de la longitud, las cuales son:
Longitud adimensional :
xD =
x
L
Tiempo adimensional:
tD =
kt
Φ uc t L 2
Ec. (8.32)
Presión adimensional:
PD =
( Pi − P )
( Pi − Po )
Ec. (8.33)
Ec. (8.31)
La ecuación de Darcy para flujo lineal esta definida por:
kA ∂p
( ) X =0
u ∂r
q=
Ec. (8.34)
Donde el Área es el espesor por la altura A=w*h usando las definiciones de las
ecuaciones 8.31, 8.32 , 8.33 y 8.34
la ecuación se puede escribir en variables
adimensionales como:
−(
∂p D
quL
) xD = 0 =
= q D (t D )
∂x D
kA∆P0
Ec. (8.35)
La solución en términos de la entrada acumulada nos da la siguiente ecuación:
t
We ≡ ∫ qdt =
0
kA∆P0
uL
∫
tD
0
qD
2
dt θuc t L o
=
dt D
k
∂t
dt D
∂t D
Ec. (8.36)
Ec. (8.37)
Finalmente sustituyendo la ecuación 8.32 en la ecuación 8.36 se tiene que:
tD
We ≡ wLhθc t ∆P0 ∫ q D dt D
Ec. (8.38)
We ≡ U∆POW D (t D )
Ec. (8.39)
U ≡ wLhθc t .
Ec. (8.40)
0
Fig. 8.9 Entrada de Agua Adimensional
Intrusión de Agua__________________________________________________212
8.3.2.3.-EFECTOS DE SUPERPOSICION
En la presente sección estamos presentado los modelos clásicos de entrada de
agua, los cuales considera que la caída de presión en el contacto es constante. Así
mismo, la expresión:
We = U∆pW D (t D )
Ec. (8.41)
Solo es aplicable cuando la caída de presión en el contacto, ∆p, es constante. En la
práctica, no se espera que la presión en el contacto sea constante debido al agotamiento
del reservorio. El principio de la superposición, puede ser utilizado para expandir la
utilización de las soluciones clásicas para los casos en que la presión en el contacto varíe
con el tiempo:
τ
We = ∫
0
O, equivalentemente,
q(τ )
∆p (t − τ )dτ
∆p O
Ec. (8.42)
Intrusión de Agua__________________________________________________213
We = ∫
τ
0
q (t − τ )
∆p (τ )dτ
∆p O
Ec. (8.43)
Donde q(t) es la solución clásica de caudal para una caída de presión constante, ∆p0
en el contacto, We es la entrada de agua acumulado para una variación de presión
cualquiera en el contacto, ∆p(t) = pi – p(t), y τ es apenas una variable de integración.
Utilizando las definiciones de las variables adimensionales tD y qD del modelo radial,
dadas por las ecuaciones 8.19 y 8.18, o del modelo lineal, ecuaciones 8.35 y 8.36, la
ecuación 8.39, puede ser escrita como:
We = U ∫ q D (tD − τ D )∆p (τ D )dτ D
tD
Ec. (8.44)
0
O también:
We = U ∫ W D' (tD − τ D )∆p (τ D )dτ D
tD
Ec. (8.45)
0
Donde W’D es la derivada del influjo adimensional en relación a tD , o sea , es el
propio caudal adimensional. La constante de influjo, U, para los modelos radiales y
lineales está definida por las ecuaciones 8.24 y 8.43, respectivamente.
Como la mayoría de las soluciones clásicas solo tienen solución analítica con las
transformadas de Laplace, una opción para realizar el efecto de superposición es con las
transformadas de Laplace. Tomando la relación al tD de la ecuación 8.44 o de la ecuación
8.26, teniéndose:
We(u ) = U q D (u )∆p(u ) = U uW D (u )∆p (u )
Donde u es la variable de Laplace.
Ec. (8.46)
∆p = (u ) es la transformada de Laplace de ∆p(t) y
W D (u ) es la solución en la transformada de Laplace.
8.3.2.4.-TEORIA DEL AJUSTE DE LA ENTRADA DE AGUA
En las secciones previas, la entrada de agua acumulativa dentro del reservorio, es
debida a la caída de presión instantánea aplicada en el contacto o el límite del reservorio
expresada de la siguiente manera:
We ≡ U∆POW D (t D )
Ec. (8.47)
En el caso más práctico de la entrada de agua acumulativa es la observación de la
presión del reservorio, ya que es necesaria para los cálculos del volumen de agua
introducidos dentro del reservorio, correspondiente a la declinación continua de presión
en el contacto o la frontera del reservorio. El cálculo es dividido en una serie de etapa de
presión para cada caída de presión promedio, se determina un ∆p(t) = pi – p(t
)correspondiente a la entrada de agua, la cual puede ser calculada con la ecuación 8.47.
Una forma aproximada de tratar el problema es discretizar la condición de contorno
interno, esto es, la presión en el contacto p(t). La curva continua de la presión es
dividida en una serie de intervalos de presión constante, como mostramos en la figura
8.10
Para la curva de presión discretizada de la figura 8.10a ecuación puede ser escrita como:
n −1
W (t Dn ) = U ∑ ( p i − p j +1 )∫
t
t Dj −1
j =0
n −1
[
W D' (t Dn − τ D )dτ D
Dj
]
= U ∑ ( p i − p j +1 ) W D (t Dn − τ Dj ) − W D (t Dn − τ Dj +1 )
j =0
Ec. (8.48
Intrusión de Agua__________________________________________________214
Donde la presión media en cada intervalo es:
p j +1 =
p j + p j +1
2
, j = 0, n − 1
Ec. (8.49)
Substituyendo la ecuación 8.49 en la ecuación 8.48, expandiendo la sumatoria y
colectando los términos comunes, se obtiene:
Figura 8.10 Discretización de la presión en el contacto
n −1 ⎛ p
j −1 − p j +1 ⎞
⎟W D (t Dn − t Dj )
We(t Dn ) = U ∑ ⎜⎜
⎟
2
j =0 ⎝
⎠
Ec. (8.50)
n −1
We(t Dn ) = U ∑ ∆p j W D (t Dn − t Dj ) ,
Ec. (8.51)
j =0
Donde:
∆p j = p1 − p j +1 =
8.4.1. MODELO DE FETKOVICH
p j −1 − p j +1
2
Ec. (8.52)
El modelo aproximado presentado por Fetkovich se aplica a acuíferos finitos y
admite que el flujo del acuífero para el reservorio se da sobre el régimen pseudo
permanente. A pesar de ser aproximado, el modelo presentado por Fetkovich tiene la
ventaja de permitir el cálculo continuo sin la necesidad de recalcular todos los pasos
anteriores como ocurre en el modelo de van Everdingen & Hurst.
Fetkovich admite el régimen pseudo permanente para el flujo de acuífero para el
reservorio:
q=
dWe
= J ( pa − p)
dt
Ec. (8.53)
Donde J es el índice de productividad, p a la presión media del acuífero y p la presión
en el contacto reservorio – acuífero. Partiendo de la ecuación de balance de materia
(EBM), se puede escribir que:
We = c t Wi ( p i − p a )
Ec.(8.54)
Donde ct = cw + cf es la compresibilidad total del acuífero y Wi es el volumen de
agua, inicial, replanteando la ecuación 8.54, se tiene:
Intrusión de Agua__________________________________________________215
⎛
We
p a = p i ⎜⎜1 −
⎝ c t Wi p i
⎞
⎟⎟
⎠
Ec.(8.55)
Wei es la entrada máxima que un acuífero sellado puede aportar, correspondiente a
la expansión de agua el acuífero al ser despresurizado de pi para la presión cero. De la
ecuación 8.54.
Wei = c t Wi p i
Ec. (8.56)
Substituyendo la ecuación 8.56 en la ecuación 8.55, se obtiene:
⎛ We ⎞
p a = p i ⎜1 −
⎟
⎝ Wei ⎠
Ec (8.57)
Cuya derivada en relación al tiempo es dada por:
dp a
p dWe
=− i
dt
Wei dt
Ec. (8.58)
Substituyendo la ecuación 8.53 en la ecuación 8.58, se obtiene:
dp a
p
= − i J ( pa − p)
dt
Wei
Jp
dp a
− i dt =
Wei
pa − p
Ec. (8.59)
Ec. (8.60)
Después de separar las variables. Esta ecuación puede ser integrada de t = 0 (cuando
We = 0 y p a = pi) a t, esto es, se puede escribir:
−
p i dp
Jp i t
a
t ∫ dt = ∫
p
0
i
Wi
pa − p
Ec (8.61)
Resolviendo las integrales, la ecuación 8.42 se simplifica:
−
⎛ p − p⎞
J pi
⎟⎟
t = ln⎜⎜ a
Wei
p
−
p
⎝ i
⎠
Ec. (8.62)
O también:
⎛ J pi ⎞
p a − p = ( p i − p) exp⎜ −
t⎟
⎝ Wei ⎠
Ec. (8.63)
Substituyendo la ecuación 8.63 en la ecuación 8.53:
⎛ J pi ⎞
q = J ( p i − p) exp⎜ −
t⎟
⎝ Wei ⎠
Ec. (8.64)
La ecuación 8.64 es la ecuación del caudal de agua con que fluye el acuífero al
reservorio en función del tiempo y también nos muestra de la caída de presión en el
contacto, (pi – p). Esta ecuación es generalmente independiente de la geometría del
acuífero. La cual puede ser integrada para obtener la entrada de agua:
t
t
⎛ J pi ⎞
We ≡ ∫ qdt = J ( p i − p) ∫ exp⎜ −
t⎟
0
0
⎝ Wei ⎠
Ec. (8.65)
Finalmente, resolviendo la integral de la ecuación 8.65 se llega a:
We =
⎡
Wei
⎛ J pi
( p i − p ) ⎢1 − exp⎜
pi
⎝ Wei
⎣
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
Ec. (8.66)
La ecuación 8.66 favorece el influjo del acuífero en función del tiempo para una caída
de presión constante, (pi – p), en el contacto. Algunas observaciones pueden ser echas al
respecto de las ecuaciones del modelo de Fetkovich:
(a) Observación 1
Intrusión de Agua__________________________________________________216
Note que con el pasar del tiempo, el caudal aportado por el acuífero, ecuación 8.64,
decrece exponencialmente tendiendo a cero. O sea, el influjo dado por la ecuación 8.66
tiende a un valor máximo. Tomando el límite de la ecuación para
ecuación 8.56, el influjo máximo puede ser escrito como:
We max =
Wei
( p i − p)
pi
t⎯
⎯→ ∞ y usando la
Ec. (8.67)
= c t Wi ( p i − p)
(b) Observación 2
En la práctica la caída de presión en el contacto no es constante y la ecuación 8.66 no
es directamente aplicable. Fetkovich mostró la ecuación 8.66 cuando la presión varía en
el contacto, sin hacer la superposición. El influjo durante el primer intervalo de tiempo
(∆t1) puede ser expresado por:
∆W e1 =
⎡
⎤
J p
Wei
( p i − p1 )⎢1 − exp⎛⎜ − i ∆t1 ⎞⎟⎥
pi
⎝ Wei
⎠⎦
⎣
Ec. (8.68)
Donde p1 es la media de las presiones en el intervalo ∆t1 .Para el segundo intervalo de
tiempo (∆t2):
∆W e 2 =
⎡
⎤
J p
Wei
( p a1 − p 2 )⎢1 − exp⎛⎜ − i ∆t 2 ⎞⎟⎥
pi
⎝ Wei
⎠⎦
⎣
Ec. (8.69)
Donde p a1 es la presión media del acuífero en el final del primer intervalo de tiempo y es
calculado a partir de la ecuación de balance de materia en el acuífero, ecuación 8.55,
⎛ ∆We1 ⎞
p a1 = p i ⎜1 −
⎟
Wei ⎠
⎝
Ec. (8.70)
Y p 2 es la media de las presiones en el contacto en el intervalo de tiempo ∆t2 .Para un
intervalo de tiempo ∆tn
. ∆Wen =
⎡
⎤
J p
Wei
( p an −1 − p n )⎢1 − exp⎛⎜ − i ∆t n ⎞⎟⎥
pi
⎝ Wei
⎠⎦
⎣
Ec. (8.71)
Donde:
⎞
⎛
1 n −1
⎛ W
⎞
p an −1 = p i ⎜⎜1 −
∆Wej ⎟⎟ = pi⎜1 − en −1 ⎟
∑
Wei ⎠
⎝
⎠
⎝ Wei j =1
Y
pn =
(c) observación.3
p n −1 + p n
2
Ec. (8.72)
Ec. (8.73)
Al utilizar el índice de productividad del acuífero, J, para flujo permanente, se admite
que el acuífero sea realimentado de modo que la presión en su límite externo se
mantenga constante e igual a pi. La condición de flujo permanente implica que no hay
límite para el influjo máximo, esto es, Wci es infinito. En este caso, el caudal del acuífero,
ecuación 8.64 se reduce a:
q≡
dWe
= J ( pi − p)
dt
Ec. (8.74)
Cuya integral es el influjo acumulado:
We = J
∫ (p
t
0
i
− p )dt
Ec. (8.75)
Intrusión de Agua__________________________________________________217
La ecuación 8.75 es un caso particular del modelo Fetkovich y fue presentado por
Schilthius en 1936.
(d) Observación 4.
La Tabla 8.3 presenta el índice de productividad del acuífero, J, para los modelos de
acuíferos radiales y linear, regímenes de flujo permanente y pseudo permanente. Para
otras geometrías, el índice de productividad para el régimen pseudo permanente puede
ser definido como:
J=
2π kh
Ec. (8.76)
⎛ 4A ⎞
⎟
ln⎜⎜
2 ⎝ γ C A rO2 ⎟⎠
µ
Donde CA es el factor de forma de Dietz (Tabla 8.13), A es el área del acuífero, γ es la
exponencial de la constante de Euler (γ=1,781...) y rO es el radio del reservorio circula
rizado. En la Tabla 8.4, el tiempo adimensional tDA es definido como:
rDA =
kt
φ µC t A
Ec. (8.77)
Tabla 8.3 – Índice de productividad del acuífero para los flujos radial y linear
Condición de Flujo
Pseudo permanente
Permanente
8.5.1.-
Acuífero Radial
J=
Acuífero Linear
2π f kh
⎡ ⎛r ⎞
⎤
µ ⎢ln⎜⎜ e ⎟⎟ − 3 4 ⎥
⎢⎣ ⎝ rO ⎠
⎥⎦
2π f fk
J=
⎛r ⎞
µ ln⎜⎜ e ⎟⎟
⎝ rO ⎠
J=
3 kh w
µL
J=
kh w
µL
MODELO DE CARTER – TRACY
El modelo de Carter-Tracy es aplicable a cualquier geometría de flujo, conociendo la
presión adimensional en función del tiempo para cualquier geometría de acuífero
considerada. Esta cobertura de los distintos tipos de acuífero posibles contemplados es
una gran ventaja de este modelo en relación al de van Everdingen & Hurst. El modelo de
Carter-Tracy, así mismo como Fetkovich, no requiere la aplicación del principio de
superposición de efectos en el cálculo del influjo. El influjo acumulado puede ser
expresado a través de la integral de convolucion:
We(t Dj ) = U ∫
t DJ
0
∆p(τ )
dW D (t D − τ )
dτ
dτ
Ec (8.78)
Donde tD es el tiempo adimensional definido para cada geometría de acuífero, U,
es la constante de entrada de agua y que también depende de la geometría del sistema,
∆p(tD ) = pi – p(tD ) es la caída de presión en el contacto. WD( tD ) es el influjo de agua
acumulado adimensional, τ es una variable de integración y
j se refiere a la
discretización del tiempo. En el modelo de Carter-Tracy para la entrada de agua
acumulado We es aproximado por la ecuación:
Ec. (8.79)
We t Dj = We t Dj −1 + a j −1 t Dj − t Dj −1
( )
(
)
(
)
Donde aj-1 es una constante. Esta ecuación admite que un intervalo entre tD j-1 y
tD j la entrada varia linealmente con el tiempo. Combinando las ecuaciones 8.78 y 8.79,
se obtiene:
Intrusión de Agua__________________________________________________218
U ∫ ∆p(τ )
tD
0
dWD(tD − τ )
dτ = We(t Dj −1 ) + a j −1 (t Dj − t Dj −1 )
dτ
Ec. (8.80)
Aplicándose la transformada de Laplace con relación al tiempo adimensional a la
ecuación 8.80, se obtiene:
U u ∆p(u ) W D (u ) =
We (t Dj −1 ) − a j −1t Dj −1
u
+
a j −1
Ec. (8.81)
u2
Donde u es la variable de Laplace. Para el problema en cuestión es posible probar
que (van Everdingen & Hurst, 1949):
1
= u p D (u )W D (u )
u2
Ec. (8.82)
Donde pD( tD )es la solución para la presión adimensional en la fase interna de un
acuífero produciendo un caudal constante y WD( tD ) es la entrada adimensional para el
caso de presión constante en el contacto. Substituyéndose la ecuación 8.82 en la
ecuación 8.81 y explicitándose la transformada de la caída de presión en el contacto gasagua, se obtiene la ecuación:
∆p (u ) =
{[
}
]
1
We(t Dj −1 ) − a j −1t Dj −1 u p D (u ) + a j −1 p D (u )
U
Cuya intervención resulta en:
∆p (t Dj ) =
[
]
1
{We(t Dj −1 ) − a j −1t Dj −1 }p D' (t Dj ) + a j −1 p D (t Dj )
U
Ec. (8.83)
Ec (8.84)
Donde p’D( tD ) es la derivada de presión adimensional en relación al tiempo
adimensional. Explicitándose la constante aj-1 en la ecuación 8.84:
a j −1 =
U ∆p(t Dj ) − We(t Dj −1 ) p D' (t Dj )
Ec. (8.85)
p D (t Dj ) − t Dj −1 p D' (t Dj )
Substituyendo la expresión resultante en la ecuación 8.79, se obtiene:
We(t Dj ) = We(t Dj − 1) +
U ∆p(t Dj ) − We(t Dj −1 ) p D' (t Dj )
p D (t Dj ) − t Dj −1 p D' (t Dj )
(t
Dj
− t Dj −1 )
Ec. (8.86)
Que es la ecuación para el cálculo de la entrada de agua acumulada. Conforme
mencionado anteriormente, la función pD( tD ) representa la presión adimensional en la
fase interna de un acuífero produciendo con un caudal constante. En caso de un acuífero
lineal infinito, esto es, de un acuífero que se comporta en un régimen transciente de
flujo, la presión adimensional es determinada por la expresión:
p D (t D ) = 2
tD
π
Ec. (8.87)
En el caso de un acuífero radial infinito esa expresión es:
p D (t D ) =
1
[ln(t D ) + 0.80907]
2
Ec (8.88)
8.6.1 MODELO DE LEUNG
En esta sección serán discutidos dos modelos aproximados, presentados por Leung
, denominados modelo pseudo permanente (PSS model) y modelo pseudo permanente
modificado (MPSS model). Así mismo como el modelo presentado por Fetkovich,
discutido en el punto 8.4, los modelos PSS y MPSS son aplicables a acuífero finitos y
consideran que el flujo del acuífero para el reservorio se da sobre régimen pseudo
permanente. Los modelos de Leung también tienen una ventaja, en relación al modelo de
van Everdingen & Hurst, de prescindir del esfuerzo computacional asociado a la
superposición del efecto tradicional cuando la presión en el contacto acuífero-reservorio
es variable con el tiempo.
Intrusión de Agua__________________________________________________219
8.6.1.1.-MODELO PSEUDO PERMANENTE (PSS )
Cuando un acuífero finito de geometría cualquiera de régimen pseudo permanente
(PSS), el caudal del influjo de agua es dado por:
q = J p a (t ) − p (t )
Ec. (8.89)
[
]
Donde J es el índice de productividad del acuífero, p a la presión media del acuífero y p la
presión en el contacto reservorio-acuífero. El índice de productividad es definido por la
expresión:
J = kA µ δ ∞
Ec. (8.90)
Donde δ∞ es el radio de drene constante sobre el régimen PSS y A es el área abierta
a la entrada de agua. Vale resaltar que si p a y p fuese constante el caudal en la ecuación
8.89, sería permanente; mas como la presión varía con el tiempo, el régimen de flujo es
clasificado apenas como pseudo permanente.
El radio de drenaje pseudo permanente δ∞, depende de cómo varía la presión en el
contacto con el tiempo: La variación gradual (SIBP) o variación lineal (LIBP). Para
acuífero lineal o radio de drenaje adimensional (δ∞ / L) vale 0.4053 y 0.333 para
variación gradual y variación lineal, respectivamente.
Para acuífero radial, es la misma condición de presión en la frontera interna o
contacto, el radio de drenaje depende también del tamaño del acuífero dado por el
parámetro reD, en la tabla 8.3 están presentados los radios de drenaje para valores reD
entre 1.1 y 50 tanto para el caso de variación de presión gradual (SIBP) y para la
variación lineal de presión (LIBP).
Para acuíferos pequeños (reD < 1.5 ), el flujo es aproximadamente lineal y los radios
de drenaje son equivalentes para acuífero lineal con δ∞/ro = 0.333 (reD – 1) para LIBP y δ∞
/ ro = 0.4053 (reD –1) para SIBP. Cuando el acuífero es grande (reD >50) el radio de
drenaje, independientemente del comportamiento de la presión en el contacto (SIBP o
LIBP), tiende asintóticamente para la expresión:
δ ∞ rO = ln(reD ) − 3 4
Ec. (8.91)
Como mostramos en la tabla 8.3 la ecuación 8.91 es la expresión del radio de drene
usado por Fetkovich. Partiendo de la ecuación del balance de materia (EBM), se puede
mostrar que:
We = c t Wi p i − p a (t )
Ec. (8.92)
[
Y
]
∆We = c t Wi ( p an − p an +1 )
Ec. (8.93)
Donde ct = cw + cf es la compresibilidad total del acuífero y Wi es el volumen inicial
de agua del acuífero. El subíndice n se refiere al instante de tiempo tn y el subíndice n+1
al instante tn+1. El caudal de la entrada de agua es dado por la derivada de la entrada de
agua acumulada, ecuación 8.92, en relación al tiempo:
dp a (t )
dt
Ec. (8.94)
dp a (t )
= α [ p(t ) − p a (t )]
dt
Ec. (8.95)
q = −c t W i
Combinándose las ecuaciones 8.89 y 8.94, se obtiene la ecuación que gobierna el
flujo pseudo permanente, esto es:
Donde la constante ∞ es definida por:
α≡
J
A
k
=
c t Wi c t Wi µ δ ∞
Ec. (8.96)
Intrusión de Agua__________________________________________________220
Note que la ecuación 8.95 solo es válida después de tomar el régimen pseudo
permanente (esto es, para t > tpss). Una hipótesis básica del modelo PSS es que la
ecuación 8.95 sea una buena aproximación también para el periodo 0< t < tpss.
Tabla 8.3 – Radio de drene adimensional para acuífero radial (Ref. Leung)
reD
δ∞ / ro
LIBP
SIBP
Feitkovich
1.1
0.0333
0.0405
-
1.5
0.1637
0.19165
-
2
0.3156
0.3601
-
3
0.5779
0.6388
0.3486
4
0.7940
0.8611
0.6363
5
0.9755
1.0457
0.8594
6
1.1313
1.2002
1.0418
7
1.2674
1.3345
1.1959
8
1.3880
1.4572
1.3294
9
1.4963
1.5648
1.4472
10
1.5943
1.6575
1.5526
20
2.2595
2.2610
2.2457
50
3.1650
3.1260
3.1620
La condición inicial es dada por la expresión:
p a (t = 0) = p(t = 0) = p i
Ec. (8.97)
Utilizando la ecuación 8.95 puede ser resuelto para la presión media del acuífero:
t
p a (t ) = pa (0)e α t + α ∫ p (τ )e −α ( t −τ ) dτ
0
Ec. (8.98)
Si la ecuación 8.98 fuera integrada por partes, se obtiene una forma alternativa de
presión media de acuífero como una función de derivada de presión en el contacto.
dp (τ ) −α (t −τ )
e
dτ
0 dτ
p a (t ) = p(t ) − ∫
t
Ec. (8.99)
Una vez obtenida la presión media del acuífero. p a a partir de la ecuación 8.98 o
8.99, el caudal del influjo de agua, q, y el influjo acumulado, We, son calculados con las
ecuaciones 8.89 y 8.92, respectivamente.
Las ecuaciones 8.98 y 8.99 son conocidas como integrales de convoluçion (o
superposición). Por el hecho de la integración puede ser expresado como un producto en
dos funciones, una evaluada en tiempo τ y otra en t - τ variando de 0 a t, la integral en
tn+1 que es igual a la integral en tn mas un incremento de la integral en el intervalo ∆t =
tn+1 – tn .Consecuentemente, para cada tiempo de interés la integral tiene que ser
evaluada desde t = 0 hasta el tiempo t considerado, que vuelve el proceso cada vez mas
eficiente a medida que el tiempo crece. En vista de esa dificultad. Leung presentó un
esquema más eficiente denominado FCM (fast convolution method).método de la
convolucion rápida Definiéndose la integral en la ecuación 8.79 como I (t), siendo que
In+1 es la integral evaluada en tiempo tn+1. Así mismo.
Intrusión de Agua__________________________________________________221
I n +1 = ∫
t n +1
0
p(τ )e −α ( t n +1 −τ ) dτ
tn
t n +1
0
tn
= ∫ p(τ )e −α ( t n +1 − t n + t n −τ ) dτ + ∫
= ⎡∫
⎢⎣ 0
t n +1
p (τ )e −α ( t n +1 −τ ) dτ
p(τ )e −α (t n +1 −τ ) dτ ⎤ e −α∆t + ∫
⎥⎦
tn
t n +1
Ec. (8.100)
p (τ )e −α ( t n +1 −τ ) dτ
O simplemente:
I n +1 = I n e −α∆t + ∆I
Ec. (8.101)
Como muestra la ecuación 8.82 la integral de convolución en tiempo tn+1 es igual a
la suma de la integral anterior tn multiplicada por el factor de decaimiento exponencial
exp(-α∆t), con la integral entre los limites tn y tn-1. Las presiones históricas tn no es
necesario para evaluar In+1: luego el esfuerzo computacional y la cantidad de memoria
requerida son reducidos.
Usando la ecuación 8.101, las ecuaciones 8.98 y 8.99 pueden ser escritas
respectivamente, como:
p an +1 = p an e −α∆t + α ∫
t n +1
tn
p(τ )e −α ( t n +1 −τ ) dτ
Y
p an +1 = p n +1 + ( p an − p n )e −α∆t − ∫
t n +1
tn
dp (τ ) −α (t n +1 −τ )
e
dτ
dτ
Ec. (8.102)
Ec. (8.103)
La forma expresada por la ecuación 8.102 es preferible a la ecuación 8.103 porque
es más conveniente, si evaluamos la integral. Los datos de la presión en el contacto en
función del tiempo, es necesario para calcular la integral de convolucion, ecuación 8.102,
son normalmente expresados como valores discretos con el tiempo.
Luego, para calcular la integral, alguna forma de interpolación entre los datos es
necesaria. Dos esquemas simples de interpolación fueron sugeridos por Leung:
1. Interpolación Linear de Presión en el Contacto, denominada LIBP (Linear
Interpolation of Boundary Pressure). En este caso los datos discretos de presión
son interpolados linealmente:
⎛ p − pn ⎞
p LI (τ ) = ⎜ n +1
⎟(t − t n ) + p n , t n ≤ t ≤ t n +1
∆t
⎝
⎠
Ec.(8.104)
2. Interpolación Gradual de Presión en el Contacto, denominado SIBP (Step
Interpolation of Boundary Pressure). En este caso las presiones interpoladas entre
tn y tn+1 son dadas por:
⎛ p + p n +1 ⎞
p SI (τ ) = ⎜ n
⎟t n , t n ≤ t ≤ t n +1
2
⎝
⎠
Ec. (8.105)
Combinándose las ecuaciones 8.102 y 8.103, se obtiene la expresión para el cálculo
de presión media del acuífero en tiempo tn+1 para el esquema LIBP:
p an +1 = p n +1 ( p an − p n )e −α∆t +
p n +1 − p n −α∆t
(e
− 1)
α∆t
Ec. (8.106)
Por otro lado, combinándose las ecuaciones 8.103 y 8.105, se obtiene la presión
media del acuífero en tiempo tn+1 para el esquema SIBP:
p an +1 = p an e −α∆t +
p n + p n +1
(1 − e −α∆t )
2
Ec (8.107)
Los parámetros del modelo PSS de Leung para acuíferos lineales y radiales,
requeridos en las ecuaciones 8.89, 8.92 y 8.21, están resumidos en la tabla 8.3.
El procedimiento de cálculo del modelo PSS de Leung consiste en lo siguientes pasos:
Paso 1 – parámetros Básicos. A partir del valor de (tPSS)D y de la definición de tD (ver
tabla 8.3) calcule tPSS y verifique si ∆t > tPSS , para confirmar la validez del modelo PSS
Intrusión de Agua__________________________________________________222
de Leung. De ahí calcule δ∞ y ∆ de tabla 8.3, así también el exp(-α∆t) para cada nuevo
valor de ∆t.
Paso 2 – Presión media del acuífero. A partir de la condición inicial o de la presión media
del acuífero en el intervalo de tiempo anterior. p an , calcule p an −1 con la ecuación 8.99
(LIBP) o la ecuación 8.100 (SIBP).
Paso 3 – Influjo de Agua. Con las ecuaciones 8.92 y 8.93 calcule los valores de Wen+1 y
∆We usando la presión media actual en el acuífero, p an −1 , obtenida en el paso 2.
8.6.1.2.- MODELO PSEUDO PERMANENTE MODIFICADO (MPSS )
Leung mostró que, para un acuífero (reD > 10), el modelo PSS presenta una cierta
imprecisión por el hecho de que el modelo no lleva en cuenta los efectos trancientes que
ocurren en el corto del tiempo. Como una alternativa para sanar este inconveniente.
Leung desarrollo un nuevo modelo simplificado, denominado modelo pseudo permanente
modificado (MPSS). En el modelo MPSS, la presión media del acuífero es definida como
p a.mpss (t ) = (1 − β 1 ) p1 (t ) + β 1 p a. pss (t )
Ec. (8.108)
Donde p1(t) es la presión interpolada dada por la ecuación 8.103 y 8.105, y p a. PSS es
la presión media del acuífero obtenido del modelo PSS. El coeficiente de peso rβ1 es dado
por la ecuación:
β1 =
4
Ec. (8.109)
⎡ J 0(a l )
⎤
a ⎢
− 1⎥ (reD2 − 1)
2 2
⎣ J 1(a1 reD )
⎦
2
2
1
Siendo a1 la primera raíz de la ecuación de Bessel: Jl (am reD) y (am)-JO(am)Yl(am reD)=0,
donde JO y Jl son las funciones de Bessel de primer grado y Yo y Yl las funciones de Bessel
de segundo grado. En la tabla 8.4 están presentados los valores de a1 y β1 en función de
los valores de reD normalmente encontrados en los estudios de reservorio. La tabla 8.4
presenta también el intervalo de validez de los modelos MPSS y PSS. Como se puede
observar, para reD entre 1 y 50, el tiempo inicial de validez del modelo MPSS fue reducido
en relación al del modelo PSS de aproximadamente un ciclo logarítmico.
Ejemplo 8.2 Se desea determinar la entrada de agua en el reservorio en función de la
presión y tiempo por los cinco métodos mencionado en este capitulo y hacer la
comparación entre ellos. Las propiedades del nivel acuífero son los siguientes:
Pr =
3952 psi
Tr=
190
oF
Prof. =
8868 pies
h acuif.=
262
pies
Kw =
15
md
Poros.=
0.18 %
A acuif.=
264818263 pie^2
ReD =
2.81
Angulo. Inters. = 280 o
Radio nivel Gasif.
Radio nivel Acuif.
Viscosidad Agua
Saturación Agua
Saturación Irresid.
Compresib. Agua
Compresib. Form.
Compresib.Total w
=
=
=
=
=
=
=
=
3959 pies
11120 pies
0.55 cp
0.45 %
0.22 %
3*10^-6 psi^-1
3.5*10^-6 psi^-1
5.3*10^-6 psi^-1
Intrusión de Agua__________________________________________________223
Tabla 8.4 – Parámetros del modelo PSS de Leung
Parámetro
Acuífero Linear
Acuífero Circular
J
kA L
µ (δ ∞ L )
2π f kh
, donde f = θ 2π
µ (δ ∞ rO )
ct Wi
(c w + c f )φ A L
(c w + c f )φπ (re2 − rO2 )hf , donde f = θ 2π
α
n L2
k
=
φµ c t δ ∞ L (δ ∞ L)
n rO2
2
2
=
φµ c t δ ∞ rO reD2 − 1 (δ ∞ rO ) reD2 − 1
LIBP, δ∞
L
3
2
⎡⎛ r 2 ⎞ 2
1 ⎛ 3r − 1 ⎞⎤
⎟⎥
rO ⎢⎜⎜ 2 eD ⎟⎟ ln(reD ) − ⎜⎜ 2eD
4 ⎝ reD − 1 ⎟⎠⎥
⎢⎝ reD − 1 ⎠
⎦
⎣
k
tD
kt
nt
= 2
2
φµ c t L
L
⎡ 2
1 ⎤ 1
rO ⎢
⎥( )
2
2
−1
a
r
r
⎣ l eD eD ⎦
kt
nt
= 2
2
φµ c t rO ro
LIBP, (tPSS )D
0.57
0.25reD2
SIBP,(tPSS )D
0.15
0.25reD2
4L
SIBP,δ∞
π2
Tabla 8.5 – Parámetros del modelo PSS modificado
Modelo valido para tD>
reD
a1
β1
MPSS
PSS
1.1
15.3348
0.8105
1.5
2.8899
0.8417
0.04
0.675
2
1.3606
0.8705
0.08
1.2
3
0.6256
0.9000
0.35
2.7
4
0.3935
0.9171
0.8
4.8
5
0.2823
0.9307
1.3
7.5
6
0.2182
0.9389
2
10.8
7
0.1767
0.9441
3
14.7
8
0.1476
0.9508
3.7
19.2
9
0.1264
0.9539
5
24.3
10
0.1104
0.9580
6
30
20
0.0471
0.9723
40
120
50
0.0160
0.9855
200
750
Obs.: (i) δ∞/rO obtenido de la tabla 3.2 (SIBP): (ii) Para el modelo MPSS, el tD limite
para validez del modelo fue obtenido a partir de la comparación con la solución
2
exacta, con error menor que el 5%: (iii) Para el modelo PSS, tD > 0.25 reD (ver
tabla 3.3): y (iv) Cuando reD → ∞, a1 → 0 y β 1 → 1.0.
Método de Van Everdingen
We = U × ∆P × W D t D
1.- Calculamos la constante de intrusión de agua en Bbls/psi
Fracción del ángulo de contacto = 280/360 = 0.78
Intrusión de Agua__________________________________________________224
U = 1.119 * f % * hacf. Ctf. Ro^2
U = 1.119 *0.78* 0.18 * 262*5.33e-6* 3959^2 = 3438 Bls/psi
2.- El tiempo adimensional depende del tiempo de declinación de la presión que la
mostraremos en la tabla 8.5 del balance de materiales del reservorio gasifero.
tD =
2.309kt
θ * u w c t ro
2
=
tD =
2.309 *15 *1.830
= 7.69
0.18 * 5.33 *10^ −5 * 3959^ 2
3.- Con el dato del tiempo adimensional y con la relación de radio del nivel
gasifero/acuífero reD se determina WD con tablas (8.11) o graficas. Para td =7.69 con
una relacion reD=2.8 determinamos el WD de 3.5
4.- Finalmente en este último punto determinamos la entrada de agua acumulada con la
siguiente ecuación:
We = U × ∆P × W D t D
We = 3438 * 49 * 3.5 = 586349 Son los barriles de agua que han entrado en la primera
etapa
Tabla 8.6
Se tiene un volumen de agua introducido de 7.281 MMBls
Método de Fetkovich
q=
dWe
= J ( pa − p)
dt
We = c t Wi ( p i − p a )
1.- Primeramente calculamos la Wei la entrada de agua inicial
Wei = c t Wi ( p i − p a )
Wei = π (rw − rg )θhc t Pw
2
2
Wei = 3.14 * (11120 2 − 3952 2 ) * 0.18 * 262 * 3952 * 5.33 *10^ −6 = 60064184 Bbls
Intrusión de Agua__________________________________________________225
2.- Calculamos el Índice de productividad para condiciones de flujo Pseudo permanente y
Permanente
Pseudo permanente
J=
2π f kh
⎡ ⎛ re
⎢⎣ ⎝ rO
⎞ 3 ⎤
⎟⎟ − ⎥
4⎥
⎠
⎦
µ ⎢ln⎜⎜
J=
0.023244 * 0.78 *15 * 262
= 458 Bpd/psi
⎡ ⎛ 11120 ⎞ 3 ⎤
0.55⎢ln⎜
⎟ − 4⎥
⎣ ⎝ 3959 ⎠
⎦
J=
0.023244 * 0.78 *15 * 262
= 125 Bpd/psi
⎛ 11120 ⎞
0.55 ln⎜
⎟
⎝ 3959 ⎠
Permanente
J=
2π f fk
⎛ re
⎝ rO
µ ln⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
tD A =
3.- Calculamos tDA final
tD =
2.309kt f
θuc t A
15 *11.26 * 2.309
= 2.79
0.18 * 0.55 * 5.33 *10^ −6 * 264818263
Tabla 8.7
Fecha de
Tiempo
Prueba
Años
Sep-89
Jul-91
Ago-94
Nov-95
Dic-97
Nov-98
Ago-99
Dic-00
0,00
1,83
4,92
6,17
8,25
9,17
9,92
11,26
Delta
Wen
Donde
Presion
Prom.
Reservorio Acuifero
Pn
psi
psi
Presion
3952
3854
3839
3713
3592
3554
3408
3280
3952
3903
3847
3776
3653
3573
3481
3344
Went
Presion
Acumulado
Bbls
Bbls
Promedio
Pan
psi
744723
1231072
1687025
2720518
2568534
2682522
3423446
744723
1975795
3662820
6383339
8951873
11634395
15057841
3952
3928
3887
3832
3742
3658
3569
3457
∆Wen =
tDA.
0,45
1,22
1,53
2,04
2,27
2,46
2,79
⎡
⎤
J p
Wei
( p an −1 − p n )⎢1 − exp⎛⎜ − i ∆t n ⎞⎟⎥
pi
⎠⎦
⎝ Wei
⎣
Intrusión de Agua__________________________________________________226
Esta ecuación se puede ser aplicada, según el incide de productividad si es
permanente o pseudo permanente. Este método en la mayoría de las aplicaciones es
muy optimista en cuanto a la instrucción de agua siendo su Volumen de 15057 MBbls
Método de Tracy
We(t Dj ) = U ∫
t DJ
0
dW D (t D − τ )
dτ
dτ
U ∆p(t Dj ) − We(t Dj −1 ) p D' (t Dj )
(t Dj − t Dj −1 )
− 1) +
p D (t Dj ) − t Dj −1 p D' (t Dj )
∆p(τ )
We(t Dj ) = We(t Dj
Tabla 8.8
Fecha de
Sep-89
Jul-91
Ago-94
Nov-95
Dic-97
Nov-98
Ago-99
Dic-00
Tiempo
Reservorio
Años
psi
Delta
Presión
psi
0,000
1,830
4,918
6,170
8,255
9,173
9,921
11,258
3952
3854
3839
3713
3592
3554
3408
3280
98
15
126
121
38
146
128
Periodo Pseudo
Permanente o
Transiente
Pd(td)
P´d(tD)
0,00
2,23
5,50
6,83
9,04
10,02
10,81
12,23
0,000
0,253
0,253
0,253
0,253
0,253
0,253
0,253
Td
Tda
0
8
21
26
35
39
42
47
0,00
0,35
0,95
1,19
1,60
1,77
1,92
2,18
Del
We(TDj)
We
0
1156851
279239
1453762
1616700
763579
1656030
1719639
0
1156851
1436090
2889852
4506552
5270130
6926161
8645800
Con el método de Tracy tenemos una entrada de agua de 8.645 MMBbls
1.- El cálculo de tD lo realizamos con la siguiente Ecuación:
tD =
2.309kt
θ * u w c t ro 2
=
2.- El tiempo adimensional tDA la calculamos con la siguiente ecuación
tD A =
tD
π (.reD 2 − 1)
3.- Calculamos la constante de intrusión de agua en Bbls/psi
U = 1.119 * f % * hacf. Ctf. Ro^2
U = 1.119 *0.78* 0.18 * 262*5.33e-6* 3959^2 = 3438 Bls/psi
4.- Determinamos las presiones adimensionales para la transiente y seudo permanente
Intrusión de Agua__________________________________________________227
Periodo Pseudo
Permanente
Periodo Transiente
Pd(td)=(2/reD^2)*tD+
ln reD-3/4
Pd(tD)=1/2tD
Pd(tD)=2/reD^2
tDa<0,1
tDa>=0,1
5.- Determinar el influjo de agua con la siguiente ec:
Pd(td)=1/2(lnreD+0,80907)
We(t Dj ) = We(t Dj − 1) +
U ∆p(t Dj ) − We(t Dj −1 ) p D' (t Dj )
p D (t Dj ) − t Dj −1 p D' (t Dj )
(t
Dj
− t Dj −1 )
Modelo Pseudo Permanente de Lang. (PSS) ∆We = c t Wi ( p an − p an +1 )
dp a (t )
dt
J
A
k
α≡
=
c t W i c t Wi µ δ ∞
q = −c t W i
Calculo de la presión medio esquema LIBP.
p an +1 = p n +1 ( p an − p n )e −α∆t +
p n +1 − p n −α∆t
(e
− 1)
α∆t
Calculo de la presión medio esquema SIBP.
p an +1 = p an e −α∆t +
p n + p n +1
(1 − e −α∆t )
2
1.- Primeramente determinamos la clase de variación si es lineal o diferencial
Si reD< 0.5 Utilizamos la variación Lineal método LIBP
>0.5 Utilizamos la variación Gradual método SIBP
En nuestro caso Utilizamos el radio de drenaje adimensional determinado en la tabla 8.2
para acuíferos radiales Leung para un radio de drene reD = 2.8 tenemos un valor de 0.54
de SIBP que es mayor al 0,5
2.- Calculamos ά
(η / ro 2 ) * 2
0.43816
α=
=
= 0.1175
2
(δ / ro) × reD − 1 0,54 * 2.8 2 − 1
3.- Calculamos Volumen Inicial de agua
Wi = π × (re2 − rg2 ) × h × φ = 2.851e + 9
Tabla 8.9
Fecha de
inicio
Sep-89
Jul-91
Ago-94
Nov-95
Dic-97
Nov-98
Ago-99
Dic-00
tiempo
Presión
Prom.
tD
∆t
(tpss)D
años
0,00
1,83
4,92
6,17
8,25
9,17
9,92
11,26
Psia
3952
3854
3839
3713
3592
3554
3408
3280
0,00
0,97
2,61
3,27
4,38
4,87
5,26
5,97
0,00
1,78
12,83
20,19
36,15
44,63
52,21
67,23
1,979
1,979
1,979
1,979
1,979
1,979
1,979
1,979
Intrusión de Agua__________________________________________________228
e-ά∆t
e-ά∆t1/ά∆t
e-ά∆t-1
1,00E+00 0,00E+00
8,27E-35 1,00E+00
2,60E-92 1,00E+00
1,26E-115 1,00E+00
1,87E-154 1,00E+00
1,51E-171 1,00E+00
1,78E-185 1,00E+00
2,24E-210 1,00E+00
1-e-ά∆t
(Pn+Pn+1)/2
Pmed a Pss
#¡DIV/0!
3952
0,00E+00
3952
-1,27E-02
3903
1,00E+00
3903
-4,74E-03
3847
1,00E+00
3847
-3,78E-03
3776
1,00E+00
3776
-2,83E-03
3653
1,00E+00
3653
-2,54E-03
3573
1,00E+00
3573
-2,35E-03
3481
1,00E+00
3481
-2,07E-03
3344
1,00E+00
3344
ti*Wi
We n+1
∆We(Mbls)
15203
15203
15203
15203
15203
15203
15203
15203
0
745
1604
2676
4553
5762
7161
9244
0
745
859
1817
2737
3025
4135
5108
4.- Calculamos el tiempo adimensional tD Con la siguiente formula para cada etapa de
presión
tD =
2.309kt
θ * uwct rwacuf 2
∆t = tD * tp
tpss = 0.25*ReD2
Con este método tenemos un volumen de entrada de agua de 9.244 MMBbls
Modelo Pseudo Permanente Modificado de Lang. (MPSS)
∆We = c t Wi ( p an − p an +1 )
dp a (t )
J
A
k
α≡
=
q = −c t W i
dt
c t W i c t Wi µ δ ∞
p a.mpss (t ) = (1 − β 1 ) p1 (t ) + β 1 p a. pss (t )
β1 =
4
⎡ J 0(a l )
⎤
− 1⎥ (reD2 − 1)
a12 ⎢
2 2
⎣ J 1(a1 reD )
⎦
δ ∞ / rg =
2
Intrusión de Agua__________________________________________________229
1.- Primeramente calculamos
MPSS modificado por LANG
de la tabla 8.5 de los parámetros del modelo
δ ∞ / rg = ln re D − 0.75 = LN (2.8) − 0.75 = 0.284
Si reD >20 se toma un valor constante de 0.9855 si es menor se utiliza la ec:
β l = ln re D * 0.0465 + 0.845 = ln(2.8) * 0.0465 + 0.845 = 0.893
El at podemos leer de la tabla 8.4 de los parámetros del modelo modificado o podemos
calcular con la siguiente relación
a t = 5.4156 * re D
−1.6506
= 5.4156 * 2.8 −1.6506 = 0.98
Wi = π × (re2 − rg2 ) × h × φ = 2.851e + 9
α=
(η / ro 2 ) * 2
0.43816
=
= 0.2255
2
(δ / ro) × reD − 1 0,284 * 2.8 2 − 1
Tabla 8.10
Fecha de
inicio
tiempo
Presión
Prom.
tD
∆t
(tpss)D
Sep-89
Jul-91
Ago-94
Nov-95
Dic-97
Nov-98
Ago-99
Dic-00
Años
0,00
1,83
4,92
6,17
8,25
9,17
9,92
11,26
Psia
3952
3854
3839
3713
3592
3554
3408
3280
0,00
0,97
2,61
3,27
4,38
4,87
5,26
5,97
0,00
1,78
12,83
20,19
36,15
44,63
52,21
67,23
1,979
1,979
1,979
1,979
1,979
1,979
1,979
1,979
e-ά∆t
e-ά∆t-1
e-ά∆t1/ά∆t
Pmpss a
pn+1
1-e-ά∆t
0
3952
00E+00
15203
-1.00
3898
1,00E+00
15203
-1.00
3846
1,00E+00
15203
-1.00
3769
1,00E+00
15203
-1.00
3646
1,00E+00
15203
-1.00
3571
1,00E+00
15203
-1.00
3473
1,00E+00
15203
-1.00
3337
1,00E+00
15203
0
0
2.59e-65 1,00E+00
2.81e-174 1,00E+00
1.83e-218 1,00E+00
4.8e-292 1,00E+00
0
1,00E+00
0
1,00E+00
0
1,00E+00
ti*Wi
Intrusión de Agua__________________________________________________230
We n+1
∆We(Mbls)
0
824
1616
2778
4651
5792
7279
9347
0
824
791
1986
2665
3127
4151
5196
Con este método se tiene una entrada de agua de 9.347 MMBbls
8.7.- COMPARACION ENTRE LOS MODELOS
En las secciones anteriores fueron presentados varios modelos para el cálculo de la
entrada de agua acumulada proveniente de los acuíferos. Cada uno de los modelos fue
utilizado para estimar el influjo acumulado del acuífero circular limitado. Para cada uno
de los modelos, se calculo en base al tiempo, el influjo acumulado del acuífero sujeto a
un historial de presión variable en el contacto. Los resultados están presentados en la
tabla 8.11.
Tabla 8.11 – Comparación entre los varios modelos de influjo de agua
Como se pude observar el método de Fetkovich es el mas optimista para nuestros
cálculos y los métodos mas recomendable son : Van Everdinger, PSS y MPSS de Leung
Intrusión de Agua__________________________________________________231
Tabla 8.12
Factor de Forma Dietz Para Diferentes Geometrías
Intrusión de Agua__________________________________________________232
Tabla 8.13
Factor de Forma Dietz Para Diferentes Geometrías
Intrusión de Agua__________________________________________________233
Tabla 8.14 Influjo Adimensional para Acuífero Radial Infinito
Intrusión de Agua__________________________________________________234
Intrusión de Agua__________________________________________________235
Intrusión de Agua__________________________________________________236
Intrusión de Agua__________________________________________________237
Intrusión de Agua__________________________________________________238
Intrusión de Agua__________________________________________________239
Intrusión de Agua__________________________________________________240
Intrusión de Agua__________________________________________________241
Referencias Bibliográficas
¾
Previsión y comportamiento de reservorio de petróleo, Métodos Analíticos
por Adalberto Jose Rosa y Renato de Souza Carvalho Ene.2002.
¾
1968.
Ingeniería Aplicada de Yacimientos Petroliferos BC Craft y Hawkins Jr, edicion
¾
Fundamentals of reservoir engineering by LP. DAKE 1978
¾
Ingeniería de Yacimientos de Gas Condensado por Gonzalo Rojas
¾
Petroleum Engineering Handbook – Society Of Petroleum Engineers, third
printing, feb. 1992
¾
Ingeniería Aplicada de Yacimientos Petrolíferos – B. C. Craff y M. F. Hawkins,
Jr, 1997
