Teoría de grafos

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Teoría de grafos
La teoría de grafos, también llamada teoría de gráficas, es una rama de las matemáticas y las ciencias de la
computación que estudia las propiedades de los grafos. Los grafos no deben ser confundidos con las gráficas, que
es un término muy amplio. Formalmente, un grafo
conjunto no vacío de vértices y
tales como
es una pareja ordenada en la que
es un conjunto de aristas. Donde
entonces se dice que
e
es un
consta de pares no ordenados de vértices,
son adyacentes; y en el grafo se representa mediante una línea
no orientada que una dichos vértices. Si el grafo es dirigido se le llama dígrafo, se denota
es un par ordenado, esto se representa con una flecha que va de
a
y se dice que
, y entonces el par
.1
La teoría de grafos tiene sus fundamentos en las matemáticas discretas y de las matemáticas aplicadas. Esta
teoría requiere de diferentes conceptos de diversas áreas como combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de
polígonos, aritmética y topología. Actualmente ha tenido mayor influencia en el campo de la informática, las
ciencias de la computación y telecomunicaciones. Debido a la gran cantidad de aplicaciones en la optimización de
recorridos, procesos, flujos, algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó toda una nueva teoría que se conoce
como análisis de redes.2
Índice
Historia
Composición de un grafo
Tipos de grafos
Representación de grafos
Estructura de lista
Estructuras matriciales
Problemas de teoría de grafos
Subgrafos, subgrafos inducidos y menores
Ciclos y caminos hamiltonianos
Grafos planos
Coloración de grafos
Teorema de los cuatro colores
Los grafos son el objeto de
estudio de esta rama de las
matemáticas. Arriba el grafo pez,
en medio el grafo arco y abajo el
grafo dodecaedro.
Caracterización de grafos
Grafo simple
Grafos conexos
Grafos completos
Grafos bipartitos
Homeomorfismo de grafos
Árboles
Grafos ponderados o etiquetados
Diámetro
Aplicaciones
Algoritmos importantes
Investigadores relevantes en teoría de grafos
Véase también
Referencias
Enlaces externos
Historia
El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrar un camino que
recorriera los siete puentes del río Pregel (54°42′12″N 20°30′56″E) en la ciudad de Königsberg, actualmente Kaliningrado, de modo que se recorrieran
todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema titulado Solutio problematis ad
geometriam situs pertinentis3 (La solución de un problema relativo a la geometría de la posición) en 1736, es considerado el primer resultado de la
teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo
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ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología.
Luego, en 1847, Gustav Kirchhoff utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus
leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como leyes de
Kirchhoff, considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de ingeniería.
En 1852, Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores, el cual afirma que es posible, utilizando
solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan
el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang
Haken en 1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los
matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.
Los 7 puentes del río Pregel en
Königsberg.
En 1857, Arthur Cayley estudió y resolvió el problema de enumeración de los isómeros, compuestos químicos
con idéntica composición (fórmula) pero diferente estructura molecular. Para ello representó cada compuesto,
en este caso hidrocarburos saturados CnH2n+2, mediante un grafo árbol donde los vértices representan átomos y las aristas la existencia de enlaces
químicos.
El término «grafo», proviene de la expresión graphic notation («notación gráfica»), usada por primera vez por Edward Frankland4 y posteriormente
adoptada por Alexander Crum Brown en 1884 y que hacía referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una molécula.
El primer libro sobre teoría de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936.5
Composición de un grafo
Aristas: Son las líneas que unen los vértices de un grafo.
Aristas adyacentes: Dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.
Aristas paralelas: Dos aristas son paralelas si los vértices iniciales y finales son el mismo.
Arista cíclicas: Aristas que parten de un vértice para entrar en el mismo.
Cruce: Punto donde dos aristas se cruzan.
Vértices: Los vértices son los elementos que forman un grafo. Cada uno lleva asociada una valencia característica según la situación, que se
corresponde con la cantidad de aristas que confluyen en dicho vértice.
Camino: Se denomina camino a un conjunto de vértices interconectados por aristas. Dos vértices están conectados si hay un camino entre ellos.
Tipos de grafos
Grafo simple: O simplemente grafo es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una
arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.
Multigrafo: o pseudografo: Es el que acepta más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los
grafos simples son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama grafos general.
Grafo orientado: grafo dirigido o dígrafo. Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, representada gráficamente por
una flecha.
Grafo etiquetado: Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número entero generalmente) o un etiquetado a los vértices.
Grafo aleatorio: Grafo cuyas aristas están asociadas a una probabilidad.
Hipergrafo: Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices.
Grafo infinito: Grafos con conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito.
Grafo plano: Los grafos planos son aquellos cuyos vértices y aristas pueden ser representados sin ninguna intersección entre ellos. Podemos
establecer que un grafo es plano gracias al Teorema de Kuratowski.
Grafo regular: Un grafo es regular cuando todos sus vértices tienen el mismo grado de valencia.
Representación de grafos
Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), además de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La
estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se
encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen
un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.
Estructura de lista
Lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de
las aristas.6
Lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya
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que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.
Lista de grados - También llamada secuencia de grados o sucesión gráfica de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde
a los grados de los vértices del grafo.
Estructuras matriciales
Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño
entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento
es 1, de lo contrario, es 0.
, donde
es el número de vértices. Si hay una arista
Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [vértice, arista] contiene la información de la
arista (1 - conectado, 0 - no conectado)
Grafo G(V,A)
Conjuntos
Matriz de adyacencia
Secuencia
de grados
Lista de
Adyacencia
(4,3,2,3,3,1)
{ {1,2,5},
{1,3,5},
{2,4},
{3,5,6},
{1,2,4},{4} }
Matriz de incidencia
V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { {1,1}, {1,2}, {1,5},
{2,3}, {2,5}, {3,4},
{4,5}, {4,6} }
Problemas de teoría de grafos
Subgrafos, subgrafos inducidos y menores
Un problema común, denominado problema de isomorfismo de subgrafos, es encontrar un grafo fijo como subgrafo de un grafo dado. Una razón para
estar interesado en esta cuestión es que muchas propiedades de grafos son heredadas de subgrafos, lo que significa que un grafo tiene una propiedad si y
solo si todos sus subgrafos a su vez la poseen. Desafortunadamente, encontrar subgrafos máximos de un cierto tipo suele ser un problema NP-completo.
Por ejemplo:
Encontrar el subgrafo completo más grande se llama problema de la clique.
Un problema similar es encontrar un subgrafo inducido en un grafo dado. De nuevo, algunas propiedades importantes son heredadas con respecto a
subgrafos inducidos, lo que significa que un grafo tiene una propiedad si y solo si todos los subgrafos inducidos la tienen. Encontrar subgrafos inducidos
máximos de un determinado tipo es, de nuevo, un problema NP-completo. Como ejemplo:
Encontrar el subgrafo inducido más grande sin bordes o conjunto independiente se denomina problema del conjunto independiente.
Otro nuevo problema es el problema del menor contenido, que es encontrar un grafo fijo como menor de un grafo dado. Un menor o subcontración de un
grafo es cualquier grafo obtenido tomando un subgrafo y contrayendo algunos bordes. Muchas propiedades de grafos son heredadas de menores, lo que
significa que un grafo la tiene solo si todos sus menores la tienen también. Por ejemplo, el teorema de Wagner estipula que:
Un grafo es plano si contiene como menor ni el grafo bipartito completo ni el grafo completo.
Un problema de las mismas características es el problema de la subdivisión del contenido. Una subdivisión o homeomorfismo de un grafo es cualquier
grafo obtenido subdividiendo algunos bordes. La subdivisión del contenido está relacionada con las propiedades de los grafos tales como la "planeza". Por
ejemplo, el teorema de Kuratowski establece que:
Un grafo es plano si contiene una subdivisión ni el grafo bipartito ni el grafo completo.
Otro problema en la subdivisión de contenido es la conjetura de Kelmans-Seymour:
Cada grafo de cinco vértices conectados que no es plano contiene una subdivisión del grafo completo de cinco vértices.
Otro problemas de clases tienen que ver con el alcance para la cual varias especies y generalizaciones de grafos están determinadas por sus subgrafos de
puntos eliminados. Por ejemplo, la conjetura de la reconstrucción.
Ciclos y caminos hamiltonianos
Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo
hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).
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Por ejemplo, en un museo grande, lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo
hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas
entre ellas).
Se habla también de Camino hamiltoniano si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con
una única puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin
pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del
dodecaedro.
Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en tiempo polinómico, siendo la
búsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sin
embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños.
Ejemplo de un ciclo
Hamiltoniano.
El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los NP-completos.
Grafos planos
Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano.
Un problema muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas
tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es
posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?
Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce.
Sea Kn el grafo completo con n vértices, Kn, p es el grafo bipartito de n y p vértices.
El juego anterior equivale a descubrir si el grafo bipartito completo K3,3 es plano, es decir, si se puede dibujar en
un plano sin que haya cruces, siendo la respuesta que no. En general, puede determinarse que un grafo no es
Un grafo es plano si se puede
dibujar sin cruces de aristas. El
problema de las tres casas y los
tres pozos tiene solución sobre
el toro, pero no en el plano.
plano, si en su diseño puede encontrase una estructura análoga (conocida como menor) a K5 o a K3,3.
Establecer qué grafos son planos no es obvio, y es un problema que tiene que ver con topología.
Coloración de grafos
Si G=(V, E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G, ocurre cuando coloreamos los vértices de G de modo que si {a, b} es una arista en G
entonces a y b tienen diferentes colores (por lo tanto, los vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una
coloración propia de G es el número cromático de G y se escribe como C (G). Sea G un grafo no dirigido sea λ el número de colores disponibles para la
coloración propia de los vértices de G. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P (G,λ), en la variable λ, llamada polinomio cromático de G,
que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vértices de G, usando un máximo de λ colores.
Descomposición de polinomios cromáticos. Si G=(V, E) es un grafo conexo y e pertenece a Ε, entonces: P (G,λ)=P (G+e,λ)+P (G/e,λ), donde G/e es el
grafo se obtiene por contracción de aristas.
Para cualquier grafo G, el término constante en P (G,λ) es 0.
Sea G=(V, E) con |E|>0 entonces, la suma de los coeficientes de P (G,λ) es 0.
Sea G=(V, E), con a, b pertenecientes al conjunto de vértices V pero {a, b}=e, no perteneciente a al conjunto de aristas E. Escribimos G+e para el grafo
que se obtiene de G al añadir la arista e={a, b}. Al identificar los vértices a y b en G, obtenemos el subgrafo G++e de G.0000.
Teorema de los cuatro colores
Este problema famoso relativo a los grafos trata acerca de la cantidad de colores que son necesarios para dibujar un mapa político, con la condición obvia
que dos países adyacentes no puedan tener el mismo color. Se supone que los países son de un solo pedazo, y que el mundo es esférico o plano.El mapa
siguiente muestra que tres colores no bastan: Si se empieza por el país central a y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores, entonces en la
corona alrededor de a alternan dos colores. Llegando al país h se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en i si se emplea el mismo
método.Sin embargo,si el mapa tiene forma de toroide,el teorema afirma que con cuatro colores siempre es posible realizar la coloración con las
características requeridas7 .
La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los vértices
son los países y las aristas conectan los que justamente son adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color distinto del de sus
vecinos.
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Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco
siempre se llega, es bastante fácil. Pero el teorema de los cuatro colores no es
nada obvio. Prueba de ello es que se han tenido que emplear ordenadores para
acabar la demostración (se ha hecho un programa que permitió verificar una
multitud de casos, lo que ahorró muchísimo tiempo a los matemáticos). Fue la
primera vez que la comunidad matemática aceptó una demostración asistida
por ordenador, lo que creó en su día una cierta polémica dentro de dicha
comunidad.
Caracterización de grafos
Mapa coloreado con 4-colores.
Grafo dual asociado al mapa con
una 4-vértice coloración.
Grafo simple
Un grafo es simple si a lo sumo existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que
une dos vértices específicos.
Un grafo que no es simple se denomina multigrafo.
En la Teoría de grafos el concepto de grafo simple es muy recurrido en la definición de otros entes, como los de grafos completos, grafos bipartidos
completos, árboles y otros más.
Las definiciones aportan una formalización lógica a hechos abstractos o naturales, muchas veces ya definidos de forma intuitiva. En este caso la imagen
de grafo simple es fácil de reconocer ante otro que no lo es; bien por la presencia de lazos o de más de una arista entre los pares de vértices.
Grafos conexos
Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino
posible desde a hacia b.
Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal
que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.
Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS).
En términos matemáticos la propiedad de un grafo (fuertemente) conexo permite establecer una relación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a
una partición de estos en "componentes (fuertemente) conexos", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como
grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.
Grafo conexo y no conexo
Grafos completos
Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los
une.
El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente
Un
, es decir, grafo completo de
La representación gráfica de los
vértices tiene exactamente
, siendo
el grafo completo de n vértices.
aristas.
como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.
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Grafos bipartitos
Un grafo G es bipartito si puede expresar como
(es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes
condiciones:
y
son disjuntos y no vacíos.
Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2.
No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2.
Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos
diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y rompecabezas en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la
columna B.
Homeomorfismo de grafos
Dos grafos
y
son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión de subdivisiones elementales de aristas.
Árboles
Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un árbol. En un grafo con n vértices, los árboles
tienen exactamente n - 1 aristas, y hay nn-2 árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles son grafos que
conectan todos los vértices utilizando el menor número posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio
se encuentra en el análisis filogenético, el de la filiación de entidades que derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que
se aplica sobre todo a la averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio
del parentesco entre lenguas.
Ejemplo de árbol.
Grafos ponderados o etiquetados
En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado valuación, ponderación o coste según el contexto, y se obtiene así un
grafo valuado.
Formalmente, es un grafo con una función v: A → R+.
Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la distancia
recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación
será la distancia entre ellas.Si embargo, hasta ahora no ha sido posible encontrar métodos generales para hallar un ciclo de valuación mínima, pero sí
para los caminos desde a hasta b, sin más condición.
Diámetro
En un grafo, la distancia entre dos vértices es el menor número de aristas de un recorrido entre ellos.
El diámetro, en una figura como un grafo, es la mayor distancia entre todos los pares de puntos de la
misma.
El diámetro de los Kn es 1, y el de los Kn,p es 2. Un diámetro infinito puede significar que el grafo tiene
una infinidad de vértices o simplemente que no es conexo. También se puede considerar el
diámetro promedio, como el promedio de las distancias entre dos vértices.
Una aplicación de este concepto es la hipótesis conocida como los seis grados de separación, que
plantea que, si cada uno de los habitantes de la Tierra se representa por un vértice y dos personas
En la figura se nota que K4 es plano
(desviando la arista ab al exterior del
cuadrado), que K5 no lo es, y que K3,2 lo
es también (desvíos en gris).
están conectadas por una arista si se conocen personalmente, la distancia entre dos personas escogidas
al azar entre todos los habitantes de la Tierra es de seis aristas o menos.
Internet permite de ver desde otro enfoque la idea del diámetro: considérese por ejemplo que si se descartan los sitios que no tienen enlaces, y se escogen
dos páginas web al azar, cabría preguntarse en cuántos clics se puede pasar del primer sitio al segundo. Si se supone que de cualquier sitio que enlace con
otros sitios se puede llegar a cualquier otro, entonces las mayor cantidad de clics necesarios para llegar de cualquier web a otra sería el "diámetro" de la
Red, vista como un grafo cuyos vértices son los sitios, y cuyas aristas son los enlaces entre los sitios.
Este concepto refleja mejor la complejidad de una red que el número de sus elementos.
Véase también: Glosario en teoría de grafos
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Aplicaciones
Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de
apertura. Se utiliza para diferentes áreas como ser Dibujo computacional,o en áreas de Ingeniería.
Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que se pueden obtener
caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.
Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como técnica de revisión y evaluación de programas (PERT) en las que se modelan los mismos
utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.
Una importante aplicación de la teoría de grafos es en el campo de la informática, ya que ha servido para la resolución de importantes y complejos
algoritmos. Un claro ejemplo es el Algoritmo de Dijkstra, utilizado para la determinación del camino más corto en el recorrido de un grafo con
determinados pesos en sus vértices.
Dentro de este campo, un grafo es considerado un tipo de dato abstracto TAD.
El científico estadounidense Donald Knuth estableció los grafos planos como base de determinados estudios y descubrimientos realizados por él.
Por otra parte, destaca el Algoritmo de Kruskal, el cual nos permite buscar un subconjunto de aristas que incluye todos los vértices, estableciendo como
mínimo el valor de las aristas.
La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que
sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite
cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede
representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el
poder se transmite y a quiénes.
Se emplea en problemas de control de producción, para proyectar redes de ordenadores, para diseñar módulos electrónicos modernos y proyectar
sistemas físicos con parámetros localizados (mecánicos, acústicos y eléctricos).
Se usa para la solución de problemas de genética y problemas de automatización de la proyección (SAPR). Apoyo matemático de los sistemas modernos
para el procesamiento de la información. Acude en las investigaciones nucleares (técnica de diagramas de Feynman).8
Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos
de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.
Mapas conceptuales
Plano de estaciones del Plano de autopistas.
Circuito eléctrico
metro.
Topología
de
computadores
red de Organigramas
Sociograma de una red
social
Isomeros
Arquitectura de redes de Draws de eliminación
telefonía móvil
directa (ej: tenis)
Entre las aplicaciones de la Teoría de gráficas que se han vuelto importantes en la actualidad podemos encontrar el estudio de las redes sociales, cuya
importancia radica en el adecuado almacenamiento de datos, puesto que el costo del tiempo de búsqueda de la información de cada miembro que
pertenece a esta red puede tornarse demasiado alto debido al número de usuarios. Por ejemplo, el número de usuarios que hay actualmente en una
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importante red social tan solo en México es de 49 millones —cifra reportada por el periódico El economista en 2014[cita requerida]—; si este número lo
multiplicamos por 194, que es el número aproximado de países que hay en el mundo, se percibe la posibilidad de un grave problema de almacenamiento
para los servidores que hay destinados para ello y para la búsqueda de información. Este mismo fenómeno pasa en otras redes de fotografías, mensajes,
etc.
El modelado de este tipo de problemas ha sido abordado principalmente por estudiantes de doctorado de universidades como Stanford, Massachusetts
Institute of Technology (MIT), Berkeley, Oxford, Rice y también por la NASA; en México, tanto el Instituto Politécnico Nacional (IPN) como la
Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) son los principales promotores en estas áreas a través de los grupos académicos de combinatoria y
de computación científica. Podemos considerar que este tipo de problemas son tratados por expertos en matemáticas y ciencias de la computación,
debido a su alto grado de complejidad.
El cerebro humano es una red compleja que interactúa en regiones conectadas por tractos de sustancia blanca. La caracterización de características
estructurales y funcionales de una red tal en sujetos sanos y personas enfermas tiene la posibilidad de mejorar nuestra comprensión de la fisiopatología y
las manifestaciones neurológicas y condiciones psiquiátricas. Esto ha llevado al uso de nuevas herramientas para el análisis de sistemas complejos para
hacer frente enfermedades cerebrales. Entre estos, la teoría de grafos es un marco matemático que permite describir una red en forma de una gráfica, que
consiste en una colección de los nodos (es decir, regiones del cerebro) y los bordes (es decir, estructurales y conexiones funcionales).
El uso de la teoría de grafos, para distintas modificaciones de la topología de red cerebro han sido identificados durante el desarrollo y el envejecimiento
normal y se rompieron conectividades funcionales y estructurales han sido asociado con varios trastornos neurológicos y psiquiátricos, incluyendo
demencia, esclerosis lateral amiotrófica, y la esquizofrenia. En este último enfoque se ha contribuido a probar la teoría de esta condición como un
síndrome de desconexión. En la esclerosis múltiple (MS), la ocurrencia de la desconexión ha sido corroborada por estudios de resonancia magnética
estructural de topología de la red cerebral que mostró una disminución de la conectividad estructural de las regiones de los lóbulos fronto-temporal.
Otra aplicación de las gráficas consiste en tomar datos de resonancia magnética del cerebro adquiridos en condición ausente (estado de reposo)
requieren nuevos análisis de datos técnicas que no dependen de un modelo de activación, una alternativa son los métodos libre de parámetro sobre la
base de una forma particular de la centralidad del vector propio asociado a un nodo llamado de centralidad; la centralidad del vector propio asigna
atributos de un valor a cada voxel en el cerebro de manera que un voxel recibe un valor grande si está fuertemente correlacionada con muchos otros
nodos que son centrales dentro de la red; el algoritmo PageRank de Google es una variante del vector propio centralidad el cual es utilizado en las
búsquedas que se efectúan en internet. Hasta el momento, otras medidas de centralidad —en particular centralidad de intermediación— se han aplicado
a datos de la fMRI usando un conjunto preseleccionado de nodos que consisten en varios cientos de elementos. Centralidad del Vector Propio es
computacionalmente mucho más eficiente que centralidad de intermediación y no requiere de umbrales de valores de similitud de modo que se puede
aplicar a miles de voxels en una región de interés que cubren la totalidad del cerebro que habría sido inviable el uso de centralidad de intermediación.
Centralidad del Vector Propio se puede utilizar en una variedad de diferentes medidas de similitud. (Lohmann et al., 2010) «La teoría de redes complejas
juega un papel importante en una amplia variedad de disciplinas, que van desde la informática, sociología, ingeniería y física, para molecular y la biología
de la población. Dentro de los campos de la biología y la medicina, el potencial de aplicaciones de análisis de redes incluyen, por ejemplo, la identificación
objetivo de drogas, determinando una función del gen de la proteína, o diseñar estrategias eficaces para el tratamiento de diversas enfermedades o
proporcionar el diagnóstico precoz de trastornos». (Pavlopoulos et al., 2011) La teoría de gráficas, es adecuada para que los informáticos modelen
problemas, pero también es adecuado para los matemáticos que tienen interés en la complejidad computacional. La mayoría de los conceptos clásicos de
la teoría de grafos teórica y aplicada (árboles de expansión, conectividad, género, colorabilidad, fluye en las redes, los apareamientos y recorridos). Se usa
en la solución de problemas.(Czumaj, Jansen, Meyer auf der Heide, & Schiermeyer, 2006)
Algoritmos importantes
Algoritmo de búsqueda en anchura (BFS)
Algoritmo de búsqueda en profundidad
(DFS)
Algoritmo de búsqueda A*
Algoritmo del vecino más cercano
Ordenación topológica de un grafo
Algoritmo de cálculo de los componentes
fuertemente conexos de un grafo
Algoritmo de Dijkstra
Algoritmo de Bellman-Ford
Algoritmo de Prim
Algoritmo de Ford-Fulkerson
Algoritmo de Kruskal
Algoritmo de Floyd-Warshall
Investigadores relevantes en teoría de grafos
Alon, Noga
Berge, Claude
Bollobás, Béla
Brightwell, Graham
Chung, Fan
Dirac, Gabriel Andrew
Dijkstra, Edsger
Edmonds, Jack
Erdős, Paul
Euler, Leonhard
Faudree, Ralph
Golumbic, Martin
Graham, Ronald
Harary, Frank
Heawood, Percy John
Kaufmann, Walter Arnold
Kőnig, Dénes
Kuratowski, Kazimierz
Lovász, László
Nešetřil, Jaroslav
Rényi, Alfréd
Ringel, Gerhard
Robertson, Neil
Seymour, Paul
Szemerédi, Endre
Thomas, Robin
Thomassen, Carsten
Turán, Pál
Tutte, W. T.
Whitney, Hassler
24/11/2019 17:19
Teoría de grafos - Wikipedia, la enciclopedia libre
9 de 9
https://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_de_grafos
Véase también
Grafo
Anexo:Galería de grafos
Teorema de König (teoría de grafos)
Álgebra de grafos
Fundamentos de identificación y sistematización de los grafos (http://www.graphs.ee/Fundamentals.pdf) (pdf)
Referencias
1. Godsil, Chris and Royle, Gordon (2001). Algebraic Graph Theory. New York: Springer.
2. CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Analisis de Redes1: https://www.youtube.com/watch?v=oy8YxTshZhI&
list=UUQbp2yA-gyew7E_tzgOI36A & Analisis de Redes2: https://www.youtube.com/watch?v=1abtP36Wx24&list=UUQbp2yA-gyew7E_tzgOI36A;
Curso completo en línea: http://www.martinhilbert.net/CCSSCS.html
3. Euler, L. (1736). «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» (http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf). Commentarii
Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8. 128-140.
4. http://booklens.com/l-r-foulds/graph-theory-applications pag 7
5. Tutte, W.T. (2001), Graph Theory (http://books.google.com/books?id=uTGhooU37h4C&pg=PA30), Cambridge University Press, p. 30,
ISBN 978-0-521-79489-3.
6. Ejemplo de una lista de incidencia (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Incidence_list_2.svg/500px-Incidence_list_2.svg.pn
g)
7. Gonthier, Georges. Formal Proof—The FourColor Theorem (https://www.ams.org/notices/200811/tx081101382p.pdf).
8. Gorbátov:Fundamentos de la matemática discreta
Czumaj, A., Jansen, K., Meyer auf der Heide, F., & Schiermeyer, I. (2006). Algorithmic Graph Theory. Oberwolfach Reports, 379–460.
Hinz, A. M. (2012). Graph theory of tower tasks. In Behavioural Neurology (Vol. 25, pp. 13–22).
Lohmann, G., Margulies, D. S., Horstmann, A., Pleger, B., Lepsien, J., Goldhahn, D., … Turner, R. (2010). Eigenvector centrality mapping for analyzing
connectivity patterns in fMRI data of the human brain. PLoS ONE, 5(4). http://doi.org/10.1371/journal.pone.0010232.
Pavlopoulos, G. a, Secrier, M., Moschopoulos, C. N., Soldatos, T. G., Kossida, S., Aerts, J., … Bagos, P. G. (2011). Using graph theory to analyze biological
networks. BioData Mining, 4(1), 10. Retrieved from http://www.biodatamining.org/content/4/1/10.
Rocca, M. A., Valsasina, P., Meani, A., Falini, A., Comi, G., & Filippi, M. (2014). Impaired functional integration in multiple sclerosis: a graph theory
study. Brain Structure and Function, 115–131. http://doi.org/10.1007/s00429-014-0896-4.
Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Teoría de grafos.
Sobre los grafos VPT y los grafos EPT (http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/36487). Mazzoleni, María Pía. 30 de mayo de 2014.
El contenido de este artículo incorpora material de una entrada (http://enciclopedia.us.es/index.php/Teor%C3%ADa_de_grafos) de la
Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by
-sa/3.0/deed.es).
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