Hidraulica de canales - Arturo Rocha

HIDRAULICA DE
TUBERIAS Y CANALES
i
ii
Arturo Rocha Felices
HIDRAULICA DE
TUBERIAS Y CANALES
iii
CONTENIDO
Presentación
v
Prólogo
vii
Palabras Preliminares del Autor
ix
Indice de Figuras
xvi
Indice de Tablas
xxi
Lista de Símbolos Principales
CAPITULO
I
xxiii
INTRODUCCION
1.1
Objetivo del libro
1
1.2
Esquema del contenido general
1
1.3
Diferencias entre canales y tuberías
3
1.4
Tipos de flujo
4
1.5
Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía
7
1.6
Propiedades geométricas de la sección transversal
9
1.7
Efecto de la viscosidad
11
1.8
Efecto de la gravedad
15
1.9
Concepto de distribución de velocidades
15
1.10
Coeficiente de Coriolis
21
1.11
Coeficiente de Boussinesq
23
1.12
Discusión de los valores de
1.13
Relación entre los coeficientes
α
y
β
α
y
24
1.14
β
Otros estudios sobre los coeficientes α
1.15
Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal
Problemas propuestos
25
y
β
27
32
38
xi
CAPITULO
II
MOVIMIENTO UNIFORME
2.1
El movimiento uniforme en canales y tuberías
43
2.2
Relación entre el corte y la inclinación
46
2.3
Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad
media para un canal muy ancho con movimiento laminar
2.4
Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad
media para una tubería con movimiento laminar
2.5
69
Ecuación general de distribución de velocidades para el
movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso
2.8
Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en
75
2.9
Obtención de la ecuación de Chezy
76
2.10
Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e
hidráulicamente rugosos
79
Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl
82
Problemas propuestos
III
72
conductos rugosos
2.11
CAPITULO
62
Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en
conductos lisos
2.7
55
Ecuación general de distribución de velocidades para el
movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso
2.6
52
87
LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO
UNIFORME
3.1
Ecuación de Darcy
3.2
Significado del coeficiente
3.3
Tuberías hidráulicamente lisas
3.4
Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de
91
f
de Darcy ( en tuberías circulares)
95
Nikuradse
3.5
Introducción del coeficiente
98
f
de Darcy en las ecuaciones de
distribución de velocidades
3.6
3.8
xii
101
Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de
Colebrook - White
3.7
94
103
Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.
Errores
104
Tuberías de sección no circular
109
3.9
Ley exponencial de distribución de velocidades
111
3.10
Concepto de capa límite
121
3.11
Espesor de la capa límite
123
3.12
Desarrollo de la capa límite
125
3.13
La separación. Expansión de un conducto
126
Problemas propuestos
CAPITULO
IV
DISEÑO DE TUBERIAS
4.1
Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea
piezométrica
135
4.2
Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo
138
4.3
Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)
150
4.4
Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales
163
4.5
Pérdidas de carga locales (flujo laminar)
166
4.6
Sistemas hidráulicos equivalentes
168
4.7
Tuberías en serie
170
4.8
Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación
174
4.9
Tubería con boquilla convergente final
177
4.10
Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo
180
Problemas propuestos
CAPITULO
V
130
186
DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES
5.1
Tuberías en paralelo
193
5.2
El problema de los tres reservorios
199
5.3
Bombeo de un reservorio a otros dos
205
5.4
Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente
210
5.5
Conducto que da servicio (filtrante)
211
5.6
Cambio de la rugosidad con el tiempo
215
5.7
Fórmula de Hazen y Williams
218
5.8
Diseño de una conducción
223
5.9
Diámetro más económico
228
5.10
Redes de tuberías. Método de Hardy Cross
229
Problemas propuestos
237
Problemas complementarios
249
xiii
CAPITULO
VI
CALCULO DE CANALES
6.1
Condiciones normales
257
6.2
Fórmulas antiguas
260
6.3
Fórmula de Manning
265
6.4
Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad
n
a
emplearse en la fórmula de Manning
271
6.5
Determinación de la sección transversal
272
6.6
Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)
281
6.7
Concepto de borde libre
288
6.8
Cálculo de canales de sección compuesta
292
6.9
Escurrimiento en tubo parcialmente lleno
296
Problemas propuestos
CAPITULO
VII
ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA
7.1
Energía específica
323
7.2
Energía específica a gasto constante
325
7.3
Sección rectangular
335
7.4
Sección parabólica
347
7.5
Sección triangular
350
7.6
Sección trapecial
353
7.7
Sección circular y otras secciones
361
7.8
Flujo crítico normal. Pendiente crítica
365
7.9
Pendiente crítica mínima (pendiente límite,
7.10
Transiciones
7.11
Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la
xiv
VIII
SL )
369
371
energía específica
377
7.12
Fuerza Específica (Momenta)
378
7.13
Salto hidráulico
382
7.14
Descarga por una compuerta de fondo
387
Problemas propuestos
CAPITULO
317
389
MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO
8.1
Introducción
395
8.2
Definiciones fundamentales
399
8.3
Ecuación general del movimiento gradualmente variado
401
8.4
Discusión de la ecuación del eje hidráulico
407
8.5
Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado
409
8.6
Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)
418
8.7
Curva de remanso
423
Problemas propuestos
CAPITULO
IX
451
VERTEDEROS
9.1
Objeto de los vertederos. Tipos
455
9.2
Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga
466
9.3
Fórmula de Francis
469
9.4
Otras fórmulas para vertederos rectangulares
471
9.5
Vertederos triangulares
478
9.6
Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti
483
9.7
Condiciones para la instalación y operación de vertederos
485
9.8
Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)
487
9.9
Vertederos laterales
490
9.10
Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error
en la medición de la carga
492
9.11
Vaciamiento de un depósito por un vertedero
493
9.12
Vertedero sumergido
497
Problemas propuestos
502
Tablas Generales
507
Referencias Bibliográficas
513
xv
INDICE DE FIGURAS
Figura 1.1
Diferencia entre canales y tuberías
3
Figura 1.2
Esquema de un piezómetro
4
Figura 1.3
Tipos de flujo
5
Figura 1.4
Movimientos variados
6
Figura 1.5
Teorema de Bernoulli
8
Figura 1.6
Parámetros de la sección transversal de un canal
10
Figura 1.7
Radio hidráulico en un canal muy ancho
10
Figura 1.8a
Viscosidad cinemática en función de la temperatura para
varios fluidos
Figura 1.8b
Viscosidad dinámica en función de la temperatura para
diferentes gases y líquidos
Figura 1.8c
13
14
Viscosidad dinámica en función de la temperatura para
varios tipos de aceite
14
Figura 1.9
Distribución de velocidades en un canal
16
Figura 1.10
Distribución de velocidades en una tubería
17
Figura 1.11
Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento
17
Figura 1.12
Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar
18
Figura 1.13
Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)
18
Figura 1.14
Isotacas en un canal de sección trapecial
19
Figura 1.15
Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales
19
Figura 1.16
Distribución de velocidades en un codo
20
Figura 1.17
Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos
20
Figura 1.18
Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss
28
Figura 1.19
Ecuación de la energía
33
Figura 1.20
Distribución vertical de velocidades (mediciones)
35
xvi
Figura 2.1
Movimiento uniforme en un canal
44
Figura 2.2
Movimiento uniforme en una tubería
45
Figura 2.3
Esfuerzo de corte en un canal muy ancho
46
Figura 2.4
Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal
48
Figura 2.5
Esfuerzo de corte en una tubería
49
Figura 2.6
Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y
(b) en una tubería
51
Figura 2.7
Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar
53
Figura 2.8
Subcapa laminar
65
Figura 2.9
Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la
distribución de velocidades
67
Figura 2.10
Flujo a través de un anillo
71
Figura 2.11
Distribución de velocidades en un contorno rugoso
73
Figura 2.12
Coeficiente
Figura 2.13
Aspereza del contorno
80
Figura 2.14
Rugosidad artificial de Nikuradse
80
Figura 3.1
Equilibrio de fuerzas en una tubería
91
Figura 3.2
Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas
98
Figura 3.3
Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas
99
Figura 3.4
Gráfico de Nikuradse
100
Figura 3.5
Flujo paralelo
122
Figura 3.6
Generación de una capa límite
122
Figura 3.7
Definición del espesor de la capa límite
123
Figura 3.8
Espesor de la capa límite
124
Figura 3.9
Capa límite laminar y turbulenta
126
Figura 3.10
Variación del gradiente de presiones
127
Figura 3.11
Fenómeno de la separación
127
Figura 3.12
Desarrollo de la capa límite en una expansión
128
Figura 3.13
Aparición de contracorrientes
128
Figura 4.1
Ecuación de la energía en una tubería
135
Figura 4.2
Abaco de Moody
140
C de Chezy
78
xvii
Figura 4.3
Pérdida de carga local
150
Figura 4.4
Gráfico de Gibson (ensanchamiento gradual)
155
Figura 4.5
Contracción brusca
157
Figura 4.6
Tuberías en serie (dos tramos)
170
Figura 4.7
Tuberías en serie (tres tramos)
171
Figura 4.8
Esquema de un sifón
175
Figura 4.9
Tubería con boquilla convergente final
178
Figura 4.10
Presencia de una bomba
180
Figura 4.11
Esquema genérico de un suministro por bombeo
181
Figura 5.1
Sistema de tuberías en paralelo
193
Figura 5.2
Línea piezométrica en un sistema en paralelo
194
Figura 5.3
Varias tuberías en paralelo
194
Figura 5.4
Tubería ramificada
196
Figura 5.5
Tres reservorios
199
Figura 5.6
Tres reservorios (caso particular)
200
Figura 5.7
Cuatro reservorios
202
Figura 5.8
Bombeo de un reservorio a otros dos
206
Figura 5.9
Tuberías con ramales de descarga independiente
210
Figura 5.10
Conducto que da servicio
211
Figura 5.11
Cálculo de un conducto filtrante
214
Figura 5.12
Diseño de una conducción
223
Figura 5.13
Determinación del diámetro en una conducción
224
Figura 5.14
Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8
227
Figura 5.15
Esquema típico de una red de tuberías
230
Figura 6.1
Comparación de varias secciones transversales que se
caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m
274
Figura 6.2
Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow)
278
Figura 6.3
Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation
290
Figura 6.4
Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales
291
Figura 6.5
Cálculo de un tubo parcialmente lleno
297
Figura 6.6
Características geométricas en una sección circular
301
xviii
Figura 6.7
Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular
302
Figura 7.1
Interpretación gráfica de la Energía Específica
324
Figura 7.2
Gráfico de la Energía Específica a gasto constante
326
Figura 7.2a
Variación de la energía específica y el tirante
334
Figura 7.3
Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular
336
Figura 7.4
Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal
rectangular
339
Figura 7.5
Curva de descarga para Energía Específica constante
342
Figura 7.6
Gráfico para el ejemplo 7.3
344
Figura 7.7
Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico
348
Figura 7.8
Distribución de la Energía Específica en un canal triangular
351
Figura 7.9
Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)
358
Figura 7.10
Gráfico para el cálculo de secciones críticas
363
Figura 7.11
Grada positiva en un río
373
Figura 7.12
Grada negativa en un río
373
Figura 7.13
Grada positiva en un torrente
374
Figura 7.14
Grada negativa en un torrente
374
Figura 7.15
Valor máximo de la grada positiva
375
Figura 7.16
Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales
375
Figura 7.17
Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la
Energía Específica
Figura 7.18
378
Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza
Específica
378
Figura 7.19
Fuerza Específica
380
Figura 7.20
Salto hidráulico
382
Figura 8.1
Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo
396
Figura 8.2
Presión en un punto de la corriente
397
Figura 8.3
Corriente peraltada y corriente deprimida
399
Figura 8.4
Ríos y torrentes
400
Figura 8.5
Pendientes suaves y fuertes
400
Figura 8.6
Movimiento gradualmente variado
402
xix
y = yc
Figura 8.7
Intersección del eje hidráulico con
Figura 8.8
Esquema para el cálculo de la curva de remanso
Figura 8.9
Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
ymax determinado por la condición de entrega al lago.
Figura 8.10
408
426
427
Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
ymin determinado por la grada.
427
Figura 9.1
Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada
456
Figura 9.2
Red de corriente característica de una napa vertiente libre
( P >>> H )
457
Figura 9.3
Se aprecia tres casos de napa deprimida
459
Figura 9.4
Detalle de las características geométricas de la napa vertiente
en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada.
Esta figura es un detalle de la Figura 9.1
460
Figura 9.5
Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet
461
Figura 9.6
Diferentes formas de vertederos
463
Figura 9.7
Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)
464
Figura 9.8
Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente
464
Figura 9.9
Otros tipos de vertederos
465
Figura 9.10
Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un
vertedero rectangular
466
KL
473
Figura 9.11
Gráfico para la determinación de
Figura 9.12
Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial
474
Figura 9.13
Coeficientes de descarga en vertederos triangulares
481
Figura 9.14
Vertedero tipo Cipolletti
485
Figura 9.15
Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en
cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones.
486
Figura 9.16
Perfil característico de un vertedero en pared gruesa
488
Figura 9.17
Vertedero lateral
491
Figura 9.18
Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero
493
Figura 9.19
Esquema típico de un vertedero sumergido
497
Figura 9.20
Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de
xx
un vertedero sumergido
498
INDICE DE TABLAS
α
y
β (Kolupaila)
Tabla 1.1
Valores aproximados de
Tabla 1.2
Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss
Tabla 2.1
Valores de la rugosidad absoluta
Tabla 4.1
Valores de f para el agua
144
Tabla 4.2
Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas
158
Tabla 4.3
Pérdidas de carga locales
160
Tabla 5.1
Intensidad de aumento de la rugosidad
216
Tabla 5.2
Coeficientes de Hazen y Williams
219
Tabla 5.3
Cálculos del ejemplo 5.9
236
Tabla 6.1
Valores de la rugosidad absoluta
Tabla 6.2
Valores del coeficiente
k
k
Valores del coeficiente
Valores del coeficiente
259
m de rugosidad a usarse en la
263
G de rugosidad a utilizarse en la
fórmula de Bazin
Tabla 6.5
74
262
fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0,0005
Tabla 6.4
30
n de Kutter que generalmente se
usa en los diseños
Tabla 6.3
25
264
Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos
factores sobre el coeficiente
n
273
Tabla 6.6
Secciones circulares parcialmente llenas
304
Tabla 6.7
Propiedades hidrálicas de conductos circulares
309
Tabla 6.8
Propiedades hidráulicas de conductos en herradura
311
Tabla 6.9
Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica
313
Tabla 6.10
Secciones de máxima eficiencia hidráulica
315
Tabla 6.11
Elementos geométricos de diversas secciones
316
Tabla 7.1
Ejemplo 7.3 ( q = 1 m3/s/m)
345
xxi
Tabla 7.2
Secciones críticas ( E = yc + Vc2 2 g )
Tabla 8.1
Resumen de la discusión de los seis casos del movimiento
360
gradualmente variado
416
Tabla 8.2
Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas
436
Tabla 9.1
Coordenadas características de una napa vertiente libre
458
Tabla 9.2
Coeficientes en vertederos triangulares
481
Tabla 9.3
Coeficientes en vertederos de cresta ancha
490
Tabla 9.4
Ejemplo 9.2
496
Tabla 9.5
Valores de
xxii
N para usarse en la fórmula 9-41
499
LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES
A
Area de la sección transversal
AS
Area de la sección transversal de salida
a
Rugosidad absoluta
a
Altura de una grada
B
Ancho de fondo
b
Ancho
b
Longitud de la cresta de un vertedero
b.l.
Borde libre
C
Coeficiente de Chezy
CH
Coeficiente de Hazen y Williams
c
Coeficiente de descarga en vertederos
cc
Coeficiente de contracción
cv
Coeficiente de velocidad
D
Diámetro de la tubería
d
Tirante hidráulico
E
Energía
e
Constante de los logaritmos neperianos
F
Número de Froude
Ff
Fuerza debida a la fricción
f
Coeficiente de Darcy
G
Coeficiente de rugosidad de Bazin
H
Carga de agua
H
Energía total con respecto a un plano de referencia
H bomba
Energía suministrada por una bomba
HS
Altura de succión
Hi
Altura de impulsión
hf
Pérdida de carga o energía
xxiii
hi
Altura del salto hidráulico
hloc
Pérdida de carga local
hroz
Pérdida de carga por rozamiento
hvort
Pérdida de carga por la formación de vórtices
hV
Energía de velocidad o cinética
K
Coeficiente de pérdida de carga
K
Factor de capacidad
Kn
Factor de capacidad para condiciones normales
k
Rugosidad absoluta
k0
Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto)
kt
Rugosidad después de transcurrido el tiempo
L
Longitud de un vertedero
Le
Longitud equivalente
L. E.
Línea de energía
L. P.
Línea piezométrica o de gradiente hidráulica
M
Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas
m
Relación de máxima eficiencia hidráulica
m
Coeficiente de rugosidad para la fórmula de Kutter
N
Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme
N
Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergido
n
Coeficiente de Kutter
n
Parámetro característico de la curva de distribución de velocidades
P
Umbral de un vertedero
P
Perímetro
P
Fuerza hidrostática
p
Presión
pv
Presión absoluta de vaporización
Pot
Potencia
Q
Qn
Caudal o gasto
xxiv
Gasto para un flujo normal
t
Qc
Gasto crítico
q
Caudal o gasto específico
R
Radio hidráulico
Re
Número de Reynolds
r , ro
Radio de la tubería
S
Pendiente
S
Pendiente media
Sc
Pendiente crítica
SE
Pendiente de la línea de energía
SL
Pendiente límite
SW
Pendiente de la superficie libre
S0
Pendiente del fondo
T
Ancho superficial
T
Temperatura
V
Velocidad media
Vc
Velocidad crítica
Vh
Velocidad a la distancia
Vmax
Velocidad máxima
V*
W
Velocidad de corte
w
y
y
Velocidad de caida de una partícula
yc
yn
Tirante crítico
y
Profundidad del centro de gravedad
Z
Zc
Factor de sección
z
Elevación con respecto a un plano de referencia
h del contorno
Peso
Tirante
Eje de coordenadas
Tirante normal
Factor de sección para flujo crítico
xxv
α
Coeficiente de Coriolis
α1
Velocidad de aumento de la rugosidad
β
Coeficiente de Boussinesq
δ
Espesor de la subcapa laminar
δL
Espesor de la capa límite laminar
δT
Espesor de la capa límite turbulenta
κ
Constante de Karman
ρ
Densidad del fluido
γ
Peso específico
η
Eficiencia de la bomba
µ
Viscosidad dinámica o absoluta
ν
Viscosidad cinemática
τ
τ0
Esfuerzo de corte
Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno
τh
Esfuerzo de corte a la distancia
τ0
Esfuerzo medio de corte sobre el fondo
θ
Angulo
∆E
Variación de energía
∆p
Diferencia de presiones
xxvi
h del contorno
xxvii
Capítulo I
Introducción
CAPITULO
I
INTRODUCCION
1.1 Objetivo del libro
El objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulica
y Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otras
aplicaciones de Hidráulica General. En este libro se presenta el modo de predecir el
escurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas. De otro lado, se
ofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial,
Irrigación, Drenaje, Abastecimientos de Agua, Hidroelectricidad, etc.
El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridos
anteriormente en los siguientes temas: Hidrostática, Cinemática de los Fluidos, Ecuaciones
de Euler, Navier-Stokes y Bernoulli, Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional.
En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua, aceite o
petróleo. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangenciales
en el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica.
1.2 Esquema del contenido general
Este libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguiente
Capítulo I: Introducción.
Objetivos. Tipos de flujo. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. Concepto de distribución
de velocidades. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Comparación entre tuberías y canales.
1
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Capítulo II. Movimiento uniforme.
Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Conceptos de
rugosidad, contorno liso y subcapa laminar. Fórmulas de la velocidad media. Ecuación de
Chezy.
Capítulo III. La resistencia en el movimiento uniforme.
Ecuación de Darcy, Ecuación de Blasius. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl.
Gráfico de Nikuradse. Ley exponencial de distribución de velocidades. Errores. Concepto
de capa límite. El fenómeno de separación.
Capítulo IV. Diseño de tuberías.
Abaco de Moody. Cálculo de la pérdida de carga, diámetro y gasto. Cambio de la rugosidad
con el tiempo. Pérdidas de cargas locales. Tubería equivalente, Tubería en serie. Sifón.
Bombeo.
Capítulo V. Diseño de conducciones y redes.
Tuberías en paralelo. Fórmula de Hazen y Williams. Problema de los tres reservorios.
Conducto que da servicio. Otros sistemas indeterminados. Redes. Método de Hardy Cross.
Capítulo VI. Cálculo de canales.
Flujo normal. Fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin y Manning. Discusión del coeficiente
n . Cálculo de la sección de un canal. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Conceptos
de borde libre. Rugosidad compuesta. Sección circular parcialmente llena.
Capítulo VII. Energía específica y Momenta.
Significado de la energía específica. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de velocidad
crítica. Ecuación de la cantidad de movimiento. Concepto de momenta. Salto hidráulico.
Su uso como disipador de energía.
Capítulo VIII. Movimiento gradualmente variado.
Hipótesis general para su estudio. Ecuación del eje hidráulico. Pendiente suave y pendiente
fuerte. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos del
movimiento gradualmente variado. Cálculo de la curva de remanso.
Capítulo IX. Vertederos. Su objeto y uso. Tipos.
Su objeto y uso. Tipos. Fórmula General. Vertederos rectangulares, triangulares y trapeciales.
Vertedero de cresta ancha. Vertedero Sumergido.
2
Capítulo I
Introducción
1.3 Diferencias entre canales y tuberías
Son varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería.
El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. En la tubería el
líquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre el
contorno. (Figura 1.1).
La diferencia entre un canal y una tubería no está, pues, en la forma de la sección transversal,
sino en el comportamiento hidráulico.
Superficie libre
TUBERIA
CANAL
Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías
En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamente
por la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería,
tal como puede verse en la Figura 1.2 en la que p es la presión y γ es el peso específico
del fluido. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro, referida a un plano horizontal,
se denomina cota piezométrica.
Cota piezométri ca = z
h=z+
h=
p
γ
p
γ
(1-1)
(1-2)
En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse de
cualquier fluido (líquido o gaseoso).
El flujo en un conducto cerrado, que pueda tener la forma de una tubería, no es
necesariamente un escurrimiento a presión. Tal sería el caso de un túnel o un conducto de
desagüe en el que, por estar parcialmente lleno, haya una superficie libre (Figura 1.15c). Al
haber contacto con la atmósfera, a través de la superficie libre, el conducto es
hidráulicamente un canal.
3
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Piezómetro
h
Plano de
referencia
z
Figura 1.2 Esquema de un piezómetro
En lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular, pero no es la única. Hay
tuberías de diferentes formas: sección cuadrada, rectangular, etc. Otra de las diferencias
entre ambos conductos está en la calidad de paredes; es decir en el grado de rugosidad del
contorno. Las tuberías suelen ser de acero, hierro fundido, asbesto cemento, policloruro de
vinilo, polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio, materiales cuyos grados de
aspereza no son muy diferentes. En cambio los canales pueden tener superficies lisas como
las anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra.
En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que los
problemas en tuberías. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada.
Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad.
En cambio en un canal hay una superficie libre. Un aumento en el gasto representa una
variación en la sección.
La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. Un canal puede ser
de ordinario rectangular, trapecial, semicircular o de forma cualquiera.
A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posible
estudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico.
1.4 Tipos de flujo
Se denomina movimiento permanente a aquél que, en una sección determinada, no presenta
variaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. Es decir, que en una
4
Capítulo I
Introducción
sección dada el gasto, presión, velocidad, etc. permanecen constantes a lo largo del tiempo.
Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente.
El movimiento permanente es fácil de comprender, pero difícil de encontrar en la naturaleza.
Si observamos un río durante varias horas, quizá tengamos la impresión que su caudal no
cambia, pero en realidad hora a hora, minuto a minuto se están produciendo variaciones
-aumentos o disminuciones- en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas las
características hidráulicas. Hay impermanencia.
Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimenta
de un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1.3).
Nivel de la superficie libre
Q
Figura 1.3 Tipos de flujo
Se denomina movimiento impermanente a aquel que, en una sección determinada, presenta
variaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Así por ejemplo, si
observamos la descarga de una tubería, como la de la Figura 1.3, en la que ahora suponemos
que el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a un
caso real) se tendría que el gasto, presión, velocidad, etc. en una sección cualquiera de la
tubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no es
permanente. Es impermanente. Es variable.
Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. Por ejemplo, en
una tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se producirá
una onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. En una sección cualquiera
habrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Este
fenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete.
Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las características
hidráulicas son las mismas -es decir, son constantes- para cualquier sección de dicho
5
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
tramo. Así por ejemplo, una tubería de sección transversal constante que se alimenta de
un estanque en el que el nivel se mantiene invariable, se dice que tiene movimiento uniforme
porque en todas las secciones transversales son constantes la presión, velocidad, área, etc.
El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal, velocidad,
presión o cualquier otra característica hidráulica.
Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamente
variado. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. Sobre la grada hay
fuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es un
movimiento rápidamente variado, M. R. V. (Ver Figura 1.4).
Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de las
características hidráulicas se produce suavemente, lentamente a lo largo de una gran
longitud. De acá su nombre de gradual.
Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá una
cierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición o
empalme entre el movimiento uniforme, que hay en el canal fuera de la zona de influencia
de la grada, y el movimiento rápidamente variado que, como se señaló anteriormente, se
produce sobre la grada. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmente
variado M. G. V. (Figura 1.4)
M. uniforme
M. G. V.
M.
R.
V.
y
Figura 1.4 Movimientos variados
En el ejemplo de la Figura 1.4, el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambio
en el tirante y , por pequeño que sea este cambio. A partir de ese cambio el movimiento es
gradualmente variado.
No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de ser
gradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. R. V.).
6
Capítulo I
Introducción
Hay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados,
pero que desde el punto de vista del ingeniero, interesado en la solución de un problema
práctico y real, se pueden considerar como permanentes y uniformes. El movimiento
rápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos.
Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Es
éste el más frecuente en los problemas de ingeniería.
Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación del
régimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimen
de corriente con respecto al tiempo.
Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad,
éste puede ser tanto en magnitud como en dirección.
En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en la
unidad de tiempo por una sección determinada. Sus dimensiones son L3 T-1. Cuando se
calcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L2 T-1.
Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad de
fluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante
ρ AV = constante
siendo ρ la densidad del fluido, A el área de la sección transversal y V la velocidad
media de la corriente. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación de
continuidad es
A1V1 = A2V2 = Q = constante
(1-3)
A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media
V=
Q
A
(1-4)
1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía
La forma más conocida del teorema de Bernoulli es
V2 p
+ + z = constante
2g γ
(1-5)
7
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en un
movimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal).
Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de peso
del fluido.
V12
2g
V22
2g
p1
γ
p2
γ
Línea de corriente
E
z2
z1
Plano de referencia
1
2
Figura 1.5 Teorema de Bernoulli
Al primer término
V 2 2 g , se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía
cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte del
reposo, para adquirir la velocidad V .
Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa la
energía potencial y constituye la cota piezométrica.
El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energía
cinética y la potencial es constante.
En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de
Bernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguiente
En un fluido ideal, (es decir sin viscosidad), la energía E en 1 es igual a la energía en 2.
Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energía
perdida, sino transformada en calor debido a la fricción.
La ecuación de la energía para un fluido real es entonces
2
2
V1
p
V
p
+ 1 + z1 = 2 + 2 + z 2 + h f
1− 2
2g γ
2g γ
8
(1-6)
Capítulo I
Introducción
o bien,
E1 = E2 + h f
1− 2
(1-7)
V es la velocidad de la corriente, p la presión, z la elevación con respecto a un plano
horizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos secciones
consideradas), γ es el peso específico del fluido, g la aceleración de la gravedad.
E es la energía total, h f
1− 2
es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2.
En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constante
para toda la sección transversal. La diferencia de energía entre una línea de corriente y
otra se debe a la variación de la velocidad. En un flujo paralelo la distribución de presiones
es hidrostática.
1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal
Hemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que el
escurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera.
Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales.
Los canales naturales son los ríos, torrentes, arroyos, etc. Tienen sección transversal irregular
y variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. El fondo esta constituido por
partículas sólidas en movimiento (arenas, limos, piedras, etc), y se le denomina lecho
móvil. Ver Figura 1.15d.
Los canales artificiales son construidos por el hombre. Tienen sección transversal regular.
Si su alineamiento es recto se denomina canal prismático.
Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal.
Radio hidráulico ( R ). Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetro
mojado de un conducto hidráulico.
R=
A
P
(1-8)
D
4
(1-9)
Para una tubería de sección circular se tiene
R=
9
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
es decir, que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro, lo que puede obtenerse
fácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8.
En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado, tal como se
muestra en la Figura 1.6
T
y
A
P
(Perímetro mojado)
Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal
Tirante hidráulico ( d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección A
y el ancho superficial T .
d=
A
T
(1-10)
Tirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficie
libre.
Radio hidráulico en un canal muy ancho
Cuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante, se dice que es un
canal muy ancho. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico.
A = by
y
b
Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal
muy ancho
10
P = b + 2y
R=
by
y
=
b + 2 y 1+ 2 y
b
Capítulo I
En un canal muy ancho
Introducción
y
es muy pequeño y se puede considerar
b
R= y
(1-12)
Es decir, que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante.
1.7 Efecto de la viscosidad
El efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimiento
se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds.
El número de Reynolds ( Re ) tiene por expresión
Re =
VL
ν
(1-13)
siendo
V : velocidad media del escurrimiento
L : longitud característica
ν : viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad
dinámica o absoluta ( µ ) y la densidad del fluido ( ρ )
En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de la
tubería
Re =
VD
ν
Algunos autores, especialmente europeos, consideran como longitud característica el radio
hidráulico
Re =
VR
ν
y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería.
En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds.
La elección de la longitud característica es, pues, un asunto convencional. Cuando se
menciona el número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido, o sea
que se debe señalar cual es la longitud característica.
11
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas
viscosas. Se dice que el flujo es laminar cuando las fuerzas viscosas son más fuertes que
las de inercia. Caso contrario el flujo se denomina turbulento.
El número de Reynolds que separa los escurrimientos laminares de los turbulentos se
llama crítico y para una tubería cuyo número de Reynolds se define según el diámetro
tiene un valor aproximado de 2 300. Si tuviéramos una tubería con flujo turbulento en la
que paulatinamente se va disminuyendo la velocidad llegará un momento en el que el flujo
se hace laminar. Esto ocurre con un número de Reynolds de 2 300. Si tuviéramos el caso
inverso, una tubería con flujo laminar en la que progresivamente se va aumentando la
velocidad, llegará un momento en el que el flujo se haga turbulento. Para este caso no hay
un límite definido; puede ocurrir para un número de Reynolds de 5 000, 10 000, o más,
dependiendo de la naturaleza de las perturbaciones exteriores.
En un canal el número de Reynolds crítico está alrededor de 600, que corresponde
aproximadamente a la cuarta parte del señalado para las tuberías. La explicación está en
la ecuación 1-9.
El flujo laminar se presenta con más frecuencia en los fluidos muy viscosos (aceite, petróleo).
En el agua (que tiene pequeña viscosidad) es poco frecuente, salvo en el flujo a través de
medios porosos. El movimiento turbulento es el más frecuente en los problemas de
ingeniería.
La viscosidad absoluta
µ o coeficiente de viscosidad dinámica, mide la relación entre un
esfuerzo y una velocidad de deformación. Sus dimensiones son ML-1 T-1 en el sistema
absoluto y FL-2 T en el sistema gravitacional.
En el sistema M. F. S. se mide en kg.s/m 2. En el sistema C. G. S. (absoluto) se mide
en gr-masa, centímetros y segundos. La unidad es el poise
1 poise =
La viscosidad cinemática
1 gr − masa
cm − s
ν es la relación entre la viscosidad absoluta µ y la densidad
ρ . Sus dimensiones son L2 T-1. Su unidad es el stoke
1 stoke = 1 cm 2 s
En la Figura 1.8, se muestra para diferentes fluidos la variación de la viscosidad con la
temperatura.
Las Figuras 1.8a, 1.8b y 1.8c han sido tomados del libro de Rouse, Hidráulica, Editorial
Dossat.
12
Capítulo I
Introducción
-3
10
0
o
o
8
6
100
50
o
-3
10
8
Fuel Oil
(p.e. = 0,97)
Glicerina
6
Fuel Oil
(p.e. = 0,94)
4
4
Helio
SAE 30
2
2
Hidrógeno
-4
10
8
6
ν
6
Petróleo
crudo
(p.e. = 0,93)
4
4
Metano
2
Amoníaco
2
-5
10
8
Anhidrido carbónico
8
6
6
4
-6
4
Salmuera (20% NaCl)
Kerosene
2
10
Benceno
Petróleo crudo
(p.e. = 0,86)
2
Alcohol etílico
-6
10
8
8
Agua
6
4
2
Aire y oxígeno
-5
10
m
s
-4
10
8
SAE 10
6
4
Gasolina
(p.e. = 0,68)
Tetracloruro de carbono
2
2
Mercurio
-7
-7
10
0
o
o
50
100
o
10
T ºC
Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios
fluidos (p.e. es el peso específico relativo)
13
50
0
o
100
Salmuera
(20% NaCl)
o
5
4
SAE 10
Kerosene
2
Mercurio
Petróleo crudo
(p.e. = 0,86)
Tetracloruro
de carbono
m
µ
2
-5
-5
8
10
8
6
6
4
4
Helio
Aire
m2
4
4
2
2
2
o
0
Amoníaco
50
o
100
10
8
6
6
4
2
-6
Metano
(Gas natural)
o
2
10
-3
10
8
8
T ºC
6
5
o
0
50
o
100
o
Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de
la temperatura para varios tipos de
aceite
6
5
T ºC
Arturo Rocha
Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de
la temperatura para diferentes
gases y líquidos
Petróleo
crudo
(p.e. = 0,93)
Petróleo crudo
(p.e. = 0,93)
-3
10
8
6
5
-2
8
SAE 30
-6
Fuel - Oil
(p.e. = 0,94)
4
Anhidrido carbónico
10
SAE 30
-2
10
Oxígeno
2
6
5
6
4
10
Hidrógeno
10
8
Fuel - Oil
(p.e. = 0,97)
kg - s
8
5
4
-1
8
kg - s
2
o
Glicerina
-1
6
Gasolina
(p.e. = 0,68)
2
100
10
6
Benceno
4
o
2
-4
10
8
Alcohol etílico
6
50
0
2
Agua
8
µ
o
5
4
2
-4
10
Hidráulica de tuberías y canales
14
o
5
4
Capítulo I
Introducción
1.8 Efecto de la gravedad
El efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condiciones
del escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude.
El número de Froude ( F ) tiene por expresión
F=
V
gL
(1-14)
siendo
V : velocidad media
g : aceleración de la gravedad
L : longitud característica
El número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitud
característica el tirante hidráulico
d Por lo tanto
F=
V
gd
(1-15)
Siempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre, es decir que alguna zona de
la corriente no esta delimitada por el contorno, habrá influencia de la gravedad sobre todo
el escurrimiento.
El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas
gravitacionales. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influencia
de la gravedad. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número de
Reech-Froude.
1.9 Concepto de distribución de velocidades
En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada punto
de la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones.
Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de la
sección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definen
básicamente la curva de distribución de velocidades.
15
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia del
contorno es simétrica y perfectamente definida.
En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hay
influencia del fondo.
Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto de
la sección hay una velocidad particular ( Vh ). La velocidad es máxima en la superficie. En
el fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribución de velocidades
es el siguiente
Vh
y
h
Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal
Denominamos
Vh a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso
del fondo). La curva que expresa la relación entre
Vh y h se llama curva de distribución
de velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación.
En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canal
rectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparece
debajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de los
lados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales
para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre 0,95 y y 0,75 y . Ver Figura
1.15b.
En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como se
muestra en el esquema de la Figura 1.10. Para
h = D 2 se obtiene la velocidad máxima.
Se observa que los ejemplos de las Figuras 1.9 y 1.10 tienen algo en común: la velocidad
es cero en el contorno. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad).
16
Capítulo I
Introducción
D
h=
D
2
Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería
La distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia.
Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y el
alineamiento del canal.
Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrollada
y la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima al
contorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes.
Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millones
podría tenerse la siguiente distribución de velocidades
D
Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento
En cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande en
toda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipo
parabólico (ver Figura 1.12).
Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribución
de velocidades sería uniforme (Ver Figura 1.13).
Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura 1.11, la distribución de
velocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera un
fluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes.
17
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
D
Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar
D
Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)
Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtiene
turbulencia plenamente desarrollada. Un aumento en el número de Reynolds no conlleva
un aumento del grado de turbulencia.
En la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho.
Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de las
secciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influencia
de las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces una
distribución transversal de velocidades.
Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquema
de la Figura 1.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen los
puntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidad
media. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidad
que es el doble de la velocidad media.
En la Figura 1.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidad
típicas para diferentes secciones transversales.
El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantes
de la curva de distribución de velocidades.
18
Capítulo I
Introducción
2,0
1,5
1,0
0,5
Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial
0
2,
5
1,
2,5
0
1, ,5
0
2,0
1,5
(a)
Canal circular poco profundo
1,0
0,5
(b)
Canal rectangular angosto
2,5
2,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
(c)
Canal circular parcialmente lleno
1,5
1,0
0,5
(d)
Canal natural (río)
Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales
19
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman así
por no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largo
del conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamiento
se desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujo
principal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo".
Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. La
resistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí la
energía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión que
se produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior y
que debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior.
A
A
SECCION A - A
Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo
La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidades
será analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de la
Figura 1.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad,
según que el contorno sea liso o rugoso.
Liso
Rugoso
D
Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos
20
Capítulo I
Introducción
A partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto
Q = ∫ Vh dA
(1-16)
1.10 Coeficiente de Coriolis
El teorema de Bernoulli fue establecido para una línea de corriente. La ecuación 1-5 establece
que la suma de Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente. Esto significa
que cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli.
Para cada línea de corriente, en una sección determinada, el valor de la velocidad es
y la energía cinética correspondiente es
Vh
2
Vh 2 g . Pero, al ingeniero no le interesa trabajar
con líneas de corriente aisladas, sino con la totalidad del escurrimiento.
Consideremos un flujo paralelo. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de
presiones y por lo tanto la suma
p
+ z , o sea la cota piezométrica, es idéntica para todas
γ
las líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferentes
líneas de corriente se debe al gradiente de velocidades.
Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal, habría que tomar el
promedio de los valores de
2
Vh 2 g . Como esto es difícil de hacer en la práctica, pues se
tendría que considerar un número infinito, o muy grande, de filetes, se busca una
equivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a la
velocidad media.
Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de los
cuadrados, que el cuadrado del promedio. De acá que el valor de la energía para toda la
sección transversal, obtenido con la velocidad media, debe corregirse por medio de un
coeficiente que generalmente se designa con la letra α y que recibe el nombre de coeficiente
de Coriolis ó coeficiente de energía.
α
Vh , que
tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ .
Para calcular el valor de
pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es
La energía en general se expresa por
γ QH
Ahora bien, para dicho tubo de corriente se puede aplicar la ecuación de continuidad 1-3
dQ = Vh dA
21
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
y el valor de la energía cinética es
2
V
H= h
2g
para el tubo de corriente la energía resulta
2
V
γVh dA h
2g
dQ H
que equivale a
ρ 3
Vh dA
2
y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior
ρ
3
Vh dA
∫
2
Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando la
velocidad media se tendría
ρ 3
V A
2
para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor o
α
coeficiente de corrección al que se denomina
α
ρ 3
ρ
3
V A = ∫ Vh dA
2
2
de donde,
V
α=∫
h
3
dA
V 3A
(1-17)
que es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis.
Obsérvese que α representa la relación que existe, para una sección dada, entre la energía
real y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades.
22
Capítulo I
Introducción
Para canales prismáticos se tiene usualmente
1,03 < α < 1,36
(1-18)
1.11 Coeficiente de Boussinesq
El cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se ve
afectado por la distribución de velocidades.
El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir de
la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se
designa con la letra β y que recibe el nombre de coeficiente de Boussinesq o coeficiente
de la cantidad de movimiento.
β pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es Vh que
tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ .
Sabemos que en general la cantidad de movimiento se expresa por ρ QV
Para calcular el valor de
y para el tubo de corriente es
ρVh dA
2
La cantidad de movimiento de toda la sección transversal se obtendrá por integración de la
ecuación anterior
ρ ∫ Vh dA
2
Si hiciéramos un cálculo aproximado de la cantidad de movimiento total a partir de la
velocidad media se tendría
ρV 2 A
para que este valor aproximado sea igual al verdadero debe multiplicarse por un factor o
β
coeficiente de corrección al que se denomina
βρV 2 A = ρ ∫ Vh dA
luego,
V
β=∫
2
h
2
dA
V A
(1-19)
23
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
que es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq.
El producto βρ QV representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en una
sección dada.
Para canales prismáticos se tiene usualmente
1,01 < β < 1,12
(1-20)
1.12 Discusión de los valores de α y β
De acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente α se usará en los cálculos en los
que intervenga la energía y el coeficiente β en los cálculos en los que intervenga la
cantidad de movimiento.
Así por ejemplo, si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversal
considerando como velocidad la velocidad media se obtiene
α1
2
2
V1
p
V
p
+ 1 + z1 = α 2 2 + 2 + z2 + h f
1− 2
2g γ
2g γ
(1-21)
Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de α .
Es evidente que el uso de los coeficientes α y β depende de la exactitud con la que se
estén haciendo los cálculos. Ambos son siempre mayores que la unidad. En muchos casos
se justifica, considerar
α = β =1
(1-22)
Obsérvese que para la Figura 1.13 se cumple exactamente esta condición.
A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para números de Reynolds altos, la
distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición α =
β =1.
En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario se considerará la ecuación 1-22.
α > β puesto que en la expresión de α Vh V interviene al cubo
β
y en la expresión de
interviene al cuadrado.
Siempre se tendrá que
En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades, los valores de
α
y
grandes. Se demuestra fácilmente que en una tubería con escurrimiento laminar
24
β son
Capítulo I
Introducción
α =2
β=
4
3
(1-23)
Para un canal muy ancho con fondo rugoso, se han obtenido las siguientes expresiones
para los valores de α y β
α = 1 + 3ε 2 − 2ε 3
(1-24)
β = 1+ ε 2
(1-25)
siendo
ε=
expresión en la que
Vmax
−1
V
(1-26)
Vmax es el valor de la velocidad máxima.
Como hemos señalado anteriormente los valores de α y β dependen del tipo de curva
de distribución de velocidades, específicamente de la relación que existe entre la velocidad
máxima y la media tal como se expresa en las ecuaciones 1-24, 1-25 y 1-26.
Según estudios hechos por Kolupaila se pueden considerar los siguientes valores
aproximados de α y β
TABLA 1.1
VALORES APROXIMADOS DE α Y
β (KOLUPAILA)
α
Tipo de cauce
Min.
Prom.
β
Max.
Min.
Prom.
Max.
Canales y acueductos
1,10
1,15
1,20
1,03
1,05
1,07
Ríos y torrentes
1,15
1,30
1,50
1,05
1,10
1,17
Ríos con áreas de inundación
1,50
1,75
2,00
1,17
1,25
1,33
1.13 Relación entre los coeficientes α y β
Considerando que la velocidad puntual
Vh correspondiente a la distancia h del contorno,
se puede expresar en función de la velocidad media de la siguiente manera
25
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Vh = V + ∆V
siendo
(1-27)
∆V el exceso o defecto de la velocidad puntual sobre la media. Debe cumplirse
que
∫ ∆VdA = 0
(1-28)
Para que esta última expresión sea evidente, consideremos que
Q = ∫ Vh dA
Si reemplazamos el valor de la velocidad puntual se obtiene
Q = ∫ (V + ∆V ) dA
Q = VA + ∫ ∆VdA
de donde se concluye que la integral es nula.
Para calcular el valor de
α
evaluaremos la integral
3
1  Vh 
  dA
A∫ V 
que es la ecuación 1-17.
1  Vh 
1  V + ∆V 
1  ∆V 
  dA = ∫ 
 dA = ∫ 1 +
 dA
∫
A V 
A  V 
A 
V 
3
3
3
2
3
1 
 ∆V 
 ∆V   ∆V  
α = ∫ 1 + 3
 + 3
+
  dA
A 
 V 
 V   V  
3  ∆V 
3  ∆V

 dA + ∫ 
∫
A  V 
A  V
2
α =1+
1  ∆V 

dA + ∫ 
 dA
A  V 

3
Ahora vamos a analizar el segundo miembro. La primera integral no puede ser nula y es
siempre positiva. La segunda integral es siempre nula en virtud de la ecuación 1-28. La
tercera integral es generalmente muy pequeña y se desprecia, pues las diferencias con
26
Capítulo I
Introducción
respecto a la velocidad media están al cubo y tienden a compensarse entre los valores
positivos y negativos. Luego
3  ∆V 
α =1+ ∫ 
 dA
A  V 
2
Para calcular el valor
(1-29)
β hacemos un desarrollo similar y evaluamos la integral que se
obtiene de la ecuación 1-19
1  Vh 
2  ∆V 
1  ∆V 
 dA
  dA = 1 + ∫ 
 dA + ∫ 
∫
A V 
A  V 
A  V 
2
2
La primera integral del segundo miembro es evidentemente nula. Luego,
1  ∆V 
 dA

A∫ V 
2
β =1+
(1-30)
Eliminando la integral común a las ecuaciones 1-29 y 1-30 se obtiene la relación entre
y
α
β
α − 1 = 3(β − 1)
(1-31)
Expresión que evidentemente es aproximada.
1.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β
Strauss estudió el efecto de la forma de la sección transversal sobre los coeficientes
α
y
β . Consideró que la distribución vertical de velocidades se expresa por una ecuación del
tipo
Vh = kh
expresión en la que
1
n
(1-32)
k y n son parámetros característicos de la curva. h es la distancia
al contorno. Esta ecuación expresa todas las distribuciones posibles de velocidad para
valores de
n comprendidos entre 1 e infinito, de modo que para cualquier distribución
27
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
real de velocidades se puede encontrar un valor apropiado de
ninguna influencia sobre los valores de
n . El valor de k no tiene
α y β.
Combinando la ecuación 1-32 con un desarrollo basado en la consideración de tres factores
adimensionales descriptivos de la forma de la sección transversal Strauss obtuvo las
ecuaciones genéricas de α y β (ecuaciones 1-33 y 1-34)
Los factores adimensionales son
ξ=
H1
H
η=
B
B1
ω=
B2
B1
definidos de acuerdo al esquema de la Figura 1.18, que muestra la mitad de una sección
transversal cualquiera de un canal. Obsérvese que se incluye la posibilidad de que el talud
esta formado por dos pendientes diferentes.
H1
H
B
B1
B2
Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss
Según la sección transversal se determinan los valores de
Tabla 1.2.
ξ , η y ω con ayuda de la
Las conclusiones a las que llega Strauss son las siguientes
1.
2.
28
Para canales triangulares y rectangulares los valores de α y β son independientes
del tamaño de la sección. Su valor es una función exclusiva de la distribución de
velocidades.
α y β están influenciados además de la
distribución de velocidades, por la relación η entre el ancho en el fondo B y el ancho
superficial B1 .
Para canales trapeciales los valores de
Capítulo I
(2n
2
α=
2 n +3
2n+3
n +3
 n+3



3
3ξ
3
+ 3n + 1 1 − ξ n + ω  ξ n − ξ n  + η 1 − − 2ξ −
+ ξ n  1 + η − ξ − 2ηξ + ωξ + ηξ 2 − ωξ 2
n
n





)
(
n +1
2 n +1
2 n +1

 nn+1



ξ
1
n
n 
n 


+ ω ξ
−ξ
+
−
−
−
+
4n 2n + 9n + 9 1 − ξ
η
1
2
ξ
ξ



n
n





4
(
)
2
)
2
3
Ecuación (1-33)
(2n
β=
2
2n+ 2
2n+ 2
2n+ 2
 n+ 2



2
2ξ
2
+ 3n + 1 1 − ξ n + ω  ξ n − ξ n  + η 1 + − 2ξ −
+ ξ n  1 + η − ξ − 2ηξ + ωξ + ηξ 2 − ωξ 2
n
n





)
(
n +1
2 n +1
2 n +1

 nn+1



ξ
1
n
n 
n 


+ ω ξ
−ξ
η
ξ
ξ
2n 2n + 6n + 4 1 − ξ
+
1
+
−
2
−
+



n
n





2
(
2
)
2
29
Introducción
Ecuación (1-34)
)
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 1.2
FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS
Factores adimensionales
SECCION
Rectángulo
1
H 1 = 0 ; B1 = B2
2
Triángulo
3
4
5
6
FORMA
; B = B1
H 1 = 0 ; B = 0 ; B1 = B2
Trapecio
H 1 = 0 ; B1 = B2 ; B < B1
Trapecio + Rectángulo
H1 < H
; B < B1 ; B1 = B2
Trapecio + Trapecio
H1 < H
; B = B1 ; B2 > B1
Triángulo + Rectángulo
H1 < H
; B = 0 ; B1 = B2
Triángulo + Trapecio
7
H1 < H
; B = 0 ; B1 < B2
Trapecio + Trapecio
8
9
10
30
H1 < H
; B < B1 ; B1 < B2
Semicírculo (sustituye al semioctógano)
ξ = η = tg 22º 30' ; B1 = B2
Semicírculo + Rectángulo
ξ > tgθ ; η = tgθ ; B1 = B2
θ
ξ=
H1
H
η=
B
B1
ω=
B2
B1
0
1
1
0
0
1
0
0 <η <1
1
0 <ξ <1
0 <η <1
1
0 <ξ <1
1
0 <ξ <1
0
1
0 <ξ <1
0
ω >1
0 <ξ <1
0 <η <1
ω >1
0,4142
0,4142
1
0,414 < ξ < 1
0,4142
0,4142
ω >1
Capítulo I
3.
Para canales de sección combinada (doble trapecio, trapecio más rectángulo, etc), los
valores de α y β dependen de la forma de la sección expresada a través de los
parámetros
4.
Introducción
ξ , η y ω y de la distribución de velocidades en función de n .
De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de α se presentan
para secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular.
5.
Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puede
describirse con la ecuación 1-32, para valores de
que los valores de
6.
α
n comprendidos entre 2 y 4, se tiene
están comprendidos entre 1,12 y 1,50.
Valores experimentales para
α
obtenidos en el río Danubio llegan a 1,34 y en canales
con pequeña pendiente a 1,85.
Papasov y Botcheva estudiaron los valores de
α
y
β en ríos de Bulgaria de fondo móvil
y determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. Aunque el estudio de
los lechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial, damos una breve noticia sobre
estas investigaciones.
Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribución
de velocidades modifican los valores usuales de α y β . Después de estudiar tres ríos
búlgaros llegan a
V 
α = 1 + 0,056 max 
 V 
4 , 97
V 
β = 1 + 0,047 max 
 V 
4 ,82
Ferrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente
β de Boussinesq en un canal de
gasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad de
Chile. Llegaron a la conclusión que para este caso
β = 1+ 0,29
expresión en la que
yc
b
yc es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal.
31
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal
Como una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente, se
presenta comparativamente en la Figura 1.19 el escurrimiento en una tubería y un canal.
Se ha considerado que h f es la energía perdida en el tramo considerado, con lo que en
realidad estamos usando la ecuación de la energía. El teorema de Bernoulli sólo es aplicable
para un fluido ideal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.
En la Figura 1.19, L. E. significa línea de energía y L. P. línea piezométrica o de gradiente
hidráulica.
Ejemplo 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecial
cuyo ancho en la base es de 3 m. El tirante es de 0,80 m y el talud 0,5. (El talud es la inclinación de
los lados).
Solución.
T
y = 0,80 m
1
0,5
b=3m
Ancho superficial
T = 3,00 + 2 × 0,40 = 3,80 m
Perímetro mojado
P = 3,00 + 2 × 0,894 = 4,79 m
Area
A = 2,72 m2
Radio hidráulico
R = A P = 2,72 4,79 = 0,57 m
Tirante hidráulico
d = A T = 2,72 3,80 = 0,72 m
Ejemplo 1.2 Obtener los coeficientes α y β para un canal rectangular muy ancho, aceptando una
distribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación
1
Vh = kh n
k es una constante, h es la distancia al contorno (ecuación 1-32).
32
Capítulo I
Introducción
(a) Tubería
L. E.
V1 2
2g
hf
V22
2g
L. P.
p1
γ
p2
γ
z1
z2
Plano de
referencia
1
2
(b) Canal
L. E.
hf
2
1
V
2g
p
= y
γ
L. P.
V22
2g
p=0
y1
y2
Plano de
referencia
z1
z2
Ecuación de la energía:
2
2
p1
V
p
V
+ z1 + 1 = 2 + z2 + 2 + h f
γ
2g γ
2g
Figura 1.19 Ecuación de la energía
33
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Solución. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión
dq = Vh dh
reemplazando la velocidad,
1
dq = kh n dh
El gasto es
q = ∫ Vh dh
1
q = k ∫ h n dh
y
0
La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área,
1
n
q k ∫ h dh
V= = 0
y
y
y
Reemplazando en la ecuación 1-17
∫ Vh dh
α=
V 3A
α=






=
0
3
1


n
 k ∫0 h dh 

 y
y




y
1
3
+1
3
1 
+1−3  +1  + 2
n
yn n 
3

1 
1
+ 1 
n

De donde,
α=
(1 + n )
n (3 + n )
β=
(1 + n )
n(2 + n )
3
2
Haciendo un desarrollo similar se obtiene
2
34
3
k 3 ∫ h n dh
y
3
Capítulo I
Introducción
Ejemplo 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente
h (m)
Vh (m/s)
0,05
1,06
0,10
1,24
0,30
1,52
0,50
1,65
0,70
1,73
0,90
1,80
El tirante es y = 0,95 m.
Calcular
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
el gasto específico q
la velocidad media V
gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media.
el coeficiente α de Coriolis
el coeficiente β de Boussinesq
los valores de α y β aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados
anteriores.
el número de Reynolds ( T = 18 °C)
Solución. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución de
velocidades
h (m)
1,80
0,15
0,20
0,20
0,20
0,125
0,075
1,73
1,65
0,95 m
1,52
1,24
1,06
V (m/s)
Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (medición)
35
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión
h= y
q = ∑ Vh ∆h
h =0
En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dos
conceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima esta en la superficie y la
velocidad mínima siempre está en el fondo.
Dividimos luego la vertical en 6 partes, para cada una de las cuales suponemos un valor constante
de la velocidad. Mientras mayor sea el número de partes, mayor será la exactitud; pero a su vez para
que tenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos numerosos. Las
partes no tienen que ser necesariamente iguales.
a)
Según la figura
q = 1,06 × 0,075 + 1,24 × 0,125 + 1,52 × 0,20 + 1,65 × 0,20 + 1,73 × 0,20 + 1,80 × 0,15
q = 1,48 m3/s/m
q q 1,48
= =
= 1,56 m/s
A y 0,95
b)
V=
c)
De la Figura 1.20 se obtiene h = 0,35 m
d)
Para calcular α hacemos el siguiente cuadro
Vh
Vh3
A
Vh3 . A
1,06
1,19
0,075
0,089
1,24
1,91
0,125
0,238
1,52
3,51
0,200
0,702
1,65
4,49
0,200
0,898
1,73
5,18
0,200
1,036
1,80
5,83
0,150
0,875
∑V
3
h
α=
36
3,838
= 1,06
1,56 3 × 0,95
A = 3,838
α = 1,06
Capítulo I
e)
Introducción
Para el cálculo de
β hacemos un cuadro similar
Vh
Vh2
A
Vh2 . A
1,06
1,12
0,075
0,084
1,24
1,54
0,125
0,192
1,52
2,31
0,200
0,462
1,65
2,72
0,200
0,545
1,73
2,99
0,200
0,599
1,80
3,24
0,150
0,486
∑V
2
h
β=
f)
2,368
= 1,024
1,56 2 × 0,95
A = 2,368
β = 1,02
para la aplicación de las fórmulas aproximadas, empezaremos por calcular el valor de ε para
lo que obtenemos del gráfico que, aproximadamente, la velocidad máxima es 1,80 m/s.
ε=
Vmax
1,80
−1 =
− 1 = 0,15
V
1,56
ε = 0,15
ε 2 = 0,0225
ε 3 = 0,003375
α = 1 + 3ε 2 − 2ε 3 = 1,061
α = 1,06
β = 1 + ε 2 = 1,0225
α = 1,02
g) T = 18 ºC; ν = 10 −6 m2/s
Re =
VR 1,56 × 0,95
=
= 1,482 × 10 6
ν
10 −6
37
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo I)
1.
Demostrar a partir de la Figura 1.18 que el gasto teórico en un canal se puede expresar por
Q = A2
2 g (∆y − h f )
A 
1 −  2 
 A1 
2
A1 y A2 representan las áreas de las secciones transversales respectivas. La diferencia
de cotas piezométricas es ∆y . La pérdida de energía entre 1 y 2 es h f .
En donde
β si α = 1,2
2.
Calcular el valor de
3.
Demostrar que suponiendo una distribución lineal de velocidades en un canal se obtiene
α
4.
=2
β = 4/3
Demostrar que en una tubería de diámetro D con régimen laminar, cuya ecuación de
distribución de velocidades es
Vh =
siendo
gS  Dh h 2 

− 
ν  4
4
h la distancia al contorno, ν la viscosidad cinemática del fluido y S la pendiente de
la línea de energía; se cumple que
α
5.
=2
β = 4/3
Demostrar que en una tubería cuyo radio es r y cuya distribución de velocidades es
1
 h 7
Vh = 1,23V  
r
se cumple que
38
α
= 1,07. Hallar el valor de
β .
Capítulo I
6.
Introducción
Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por
1
 h n
Vh = Vmax  
r
A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de
los valores de α ?
7.
n . ¿Qué ocurrirá con
Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es
 h
Vh = Vmax 1 − 
 d
La separación entre las placas es 2 d . La velocidad
Calcular los valores de
α
y
n
V está medida a la distancia h del eje.
β
8.
Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades.
9.
En una tubería de radio
ro , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es

r2 
Vh = Vmax 1 − 2 
 ro 
r es la distancia del eje a la que la velocidad es Vh
Hallar los valores de
α
y
β
10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 m
en B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m de
diámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidad
media en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C.
11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad es 1
poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds.
12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds.
13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua ( T = 20°C). La
presión en el punto A es de 5 Kg/cm2 y en el punto B es de 3,5 Kg/cm2. La longitud de la
tubería es de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número
de Reynolds.
39
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite de
viscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 Kg/cm2
y en el punto final de 3 Kg/cm2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el
número de Reynolds.
15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m3/s de agua. La elevación del punto inicial A
es 25,8 m y su presión es de 5 Kg/cm2. La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de
2 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 1 Km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la línea
piezométrica y la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de la
distancia AB.
16. Una tubería tiene en su primer
tramo 6" de diámetro y una
velocidad de 3 m/s. El segundo
tramo tiene 8" de diámetro.
Calcular el gasto y la
velocidad en el segundo tramo.
6"
8"
17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquier
punto.
18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que se forme
en el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente?. Calcular el número de Froude e interpretar
los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es
gy ).
D1
19. Un tubo cónico vertical tiene entre sus
extremos 1 y 2 una pérdida de carga h f ,
1
igual a
h f = 0,25
(V1 − V2 )2
2g
8m
V1 es la velocidad en el punto 1, es igual a 6
m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s.
La longitud del tubo es de 8 m. La presión
en el punto 2 equivale a 10 m de agua.
Calcular la presión en Kg/cm2 en el punto 1.
2
D2
20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presión de
2 Kg/cm2. La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 Kg/cm2 y está 1,20 m por
encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía h f , entre ambas secciones. El
fluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C.
40
Capítulo I
Introducción
21. Una tubería vertical de sección variable
conduce agua. El diámetro en la parte
superior es de 12 cm y en la parte inferior
de 6 cm. La longitud es de 10 m. Cuando
el gasto es de 80 l/s la diferencia de presión
entre los manómetros instalados en las
secciones 1 y 2 es de 2,5 Kg/cm 2 .
Determinar cual es el gasto que debería
pasar en esta tubería para que la diferencia
de presiones entre 1 y 2 sea cero.
12 cm
2
10 m
1
Considerar que la perdida de carga h f
entre 1 y 2 es proporcional a la velocidad.
6 cm
22. Las Figuras 1.10, 1.11, 1.12 y 1.13 presentan diferentes distribuciones de velocidad.
Ordenarlas según valores crecientes del coeficiente de Boussinesq.
23. Hacer un esquema que muestre la distribución vertical de velocidades en el eje del canal
cuya sección se muestra en la Figura 1.14.
24. Demostrar que para un canal triangular cuya distribución de velocidades está dada por la
ecuación 1-32 se cumple que
α=
calcular el valor de
α
para
(2n2 + 3n + 1)3
4n 4 (2n 2 + 9n + 9)
n = 2. Comparar con las ecuaciones de Strauss.
25. Calcular el gasto en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4". Las
pérdidas de energía en el sistema equivalen a
4V 2 2 g .
H = 10 m
41
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presión
entre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de
0,15V12 2 g . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se desprecian las pérdidas de carga?
27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio de
círculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por la
velocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38;
1,23; 1,02; 0,77. Calcular los valores de α y β . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular el
caudal.
42
Capítulo II
Movimiento Uniforme
CAPITULO
II
MOVIMIENTO UNIFORME
2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías
El movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente tanto en los cálculos de
tuberías como en los de canales.
En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propia
velocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal.
En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrá
por integración las expresiones correspondientes a la velocidad media.
En un canal con movimiento uniforme la profundidad y , el área A , la velocidad media
V
y el gasto Q son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre
y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1)
S E = SW = S 0 = S
(2-1)
S E es la pendiente de la línea de energía
SW es la pendiente de la superficie libre
S 0 es la pendiente del fondo
Una de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es que
la pendiente no sea excesivamente grande.
43
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. En
muchos casos el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero,
como uniforme.
SE
V2
2g
Sw
y
So
Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal
Si la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y el
movimiento deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan lugar a que
el agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y que
alteran la uniformidad del escurrimiento.
En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes en
todas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérvese
que estas líneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.1). A la línea piezométrica
SW . θ es el
p
ángulo formado por el eje de la tubería y el plano horizontal de referencia,
es la presión,
γ el peso específico del fluido, z la elevación con respecto al plano horizontal de referencia.
E es la energía total. Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones.
se le denomina también línea de gradiente hidráulica y se designa como
En una tubería se denomina
S E , pendiente de la línea de energía, a la relación entre la
diferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lo
largo de la tubería.
SE =
44
E1 − E2 h f 1− 2
=
L
L
(2-2)
Capítulo II
Movimiento Uniforme
V12
2g
SE = S
Sw
hf
V22
2g
p1
γ
E1
p2
γ
1
L
1-2
2
z1
E2
θ
z2
Plano de
referencia
1
2
Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería
En el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferencia
de energía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea de
energía y la línea piezométrica son paralelas.
S E = SW = S
 p1
 p

 + z1  −  2 + z2 
γ
 γ

S=
L
(2-3)
El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuaciones
de distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre el
esfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre la
velocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una función
que relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo se
sigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda).
Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. En
este capítulo se considera que el coeficiente
α de Coriolis es igual a 1.
45
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
2.2 Relación entre el corte y la inclinación
a) Canal muy ancho
En la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento
uniforme.
SE
Sw
τh
h
V2
2g
F
So
y
θ
∆s
Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho
Recordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designan
con la letra
S (ecuación 2-1). F es la componente del peso, de la parte achurada, en la
dirección del escurrimiento,
h es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de
la porción achurada, cuya longitud es
∆s .
Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medido
perpendicularmente al plano del dibujo).
Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es
( y − h ) ∆s
y su peso es
ρ g ( y − h)∆s
El producto de la densidad
específico
46
γ.
ρ por la aceleración g de la gravedad es igual al peso
Capítulo II
Movimiento Uniforme
La componente del peso en la dirección del escurrimiento es
ρ g ( y − h)∆s senθ
Como el ángulo
θ , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño
se considera que
senθ = S luego,
ρ g ( y − h)∆s S
En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática.
Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la dirección
del escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo
unitario de corte
τ h por el área en que actúa
τ h ∆s = ρ g ( y − h)S∆s
De donde, la relación entre el corte y la inclinación es
τ h = γ ( y − h) S
El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para
(2-4)
h =0
τo = γ y S
(2-5)
Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico
τo = γ R S
(2-6)
Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del
peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).
b) Canal de cualquier sección transversal
El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la práctica
los canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas se
esquematizan en la Figura 2.4.
Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia
∆s . Para las
mismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, en
la dirección del escurrimiento es
ρ g A S ∆s
47
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
ρ es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, A la sección transversal,
S la pendiente.
∆s
A
τo
P
Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal
Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobre
el fondo no es constante), que tiene por expresión
 P τ dP ∆s
 ∫ 0 
P es el perímetro mojado, τ 0 es el esfuerzo de corte sobre el fondo.
o bien, aproximadamente
Pτ 0 ∆s
Igualando la componente del peso y el corte total se obtiene
τ0 = ρ g
A
S
P
o bien,
τ 0 = γ RS
(2-7)
Observamos que las ecuaciones 2-6 y 2-7 son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio
de corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, por
el radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía.
48
Capítulo II
Movimiento Uniforme
c) Tubería de sección circular
SE
Sw
V2
2g
p1
γ
p2
γ
θ
h
p1
p2
h
D
∆s
Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería
En la Figura 2.5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular de
diámetro D .
Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura.
la tubería con la horizontal.
θ es el ángulo que forma el eje de
La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones.
La fuerza debida al corte es
D

τ h 2π  − h ∆s
2

expresión en la que
τ h es el esfuerzo de corte a la distancia h del contorno (en este caso,
de la pared de la tubería).
La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es
2
2
D

D

( p1 − p2 )π  − h  + γ π  − h  ∆s senθ
2

2

49
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
operando,

p
 p
D
γπ  − h   1 − 2 + ∆s senθ 
γ
 γ
2

2
pero,
∆s senθ = z1 − z2
luego,

D
γπ  − h 

2
2
 p1
  p2

 + z1  −  + z 2 
 γ

 γ
teniendo en cuenta que,
 p1
 p

 + z1  −  2 + z 2  = ∆s S
γ
 γ

se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso
2
D

γπ  − h  ∆s S
2

que debe ser igual a la fuerza de corte,
2
D

D

τ h 2π  − h ∆s = γπ  − h  ∆s S
2

2

de donde, la relación entre el corte y la inclinación es
D h
τ h = γ  − S
 4 2
El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para
τo = γ
pero la expresión
h=0
D
S
4
D 4 representa el radio hidráulico de la tubería circular. Luego,
τ o = γ RS
50
(2-8)
(2-9)
Capítulo II
Movimiento Uniforme
Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideraciones
análogas
τ 0 = γ RS
En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es
τ 0 = γ RS
(2-10)
Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento.
Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte.
La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en la
superficie.
En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro y
corresponde a la ecuación 2-11 en la que r es el radio de la tubería.
τh
h
τo
(a)
τo
D
τh
h
τo
(b)
Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería
51
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La ecuación de distribución de corte es
 h
τ h = τ o 1 − 
 r
(2-11)
que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9.
Se observa que si
h = r = D 2 (eje de la tubería), entonces τ h = 0. Si h = 0 se tiene que
τ h = τ 0 (contorno).
2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media
para un canal muy ancho con movimiento laminar
En un canal como el presentado en la Figura 2.7 se tiene que a una distancia
h del
contorno existe un valor de la velocidad ( Vh ) y un valor del corte ( τ h ). La relación entre
Vh y τ h depende de que el flujo sea laminar o turbulento.
Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conocida
y corresponde a la definición de viscosidad.
τh = µ
dVh
dh
(2-12)
Combinando esta ecuación con la 2-4,
dividiendo por
γ ( y − h) S = µ
dVh
dh
g ( y − h) S = ν
dVh
dh
ρ,
separando variables,
dVh =
gS
(y − h )dh
ν
e integrando, se obtiene
Vh =
52
gS
ν

h2 
 yh −
+ K
2 

Capítulo II
Movimiento Uniforme
Expresión en la que
línea de energía,
ν
Vh es la velocidad a la distancia h del fondo, S es la pendiente de la
es la viscosidad cinemática, y es el tirante,
K
es una constante de
integración.
El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es
nula en el contorno ( h = 0 ;
Vh = 0 ; K = 0 ), luego,
Vh =
gS 
h2 
 yh − 
ν 
2 
(2-13)
que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar.
Es una curva parabólica.
Vmax
Parábola
y
Vh
dh
dq
h
Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar
La velocidad máxima corresponde a la superficie ( h = y )
Vmax =
gS 2
y
2ν
(2-14)
La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de la
ecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución es
parabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedades
geométricas de la parábola.
Según la Figura 2.7
2
q = Vmax y
3
53
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. q es el
gasto específico (por unidad de ancho).
Pero también se tiene que,
q = Vy
Luego,
2
V = Vmax
3
V=
2 gS 2
y
3 2ν
V=
gSy 2
3ν
(2-15)
Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y que
evidentemente equivale a
V=
gSR 2
3ν
(2-15)
Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potencia
de la pendiente.
En la Figura 2.7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición
dVh
=0
dh
Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración.
q=∫
h= y
h =0
Vh dh
calculado q se obtiene por división entre el área y , el valor de la velocidad media, que es
el de la ecuación 2-15.
54
Capítulo II
Movimiento Uniforme
2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media
para una tubería con movimiento laminar
Combinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene
µ
dVh
D h
= γ  − S
dh
 4 2
de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a
Vh =
gS  Dh h 2 

−  + K
ν  4
4
El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( h = 0 ;
Vh = 0 ; K = 0 ). Luego,
Vh =
gS  Dh h 2 

− 
ν  4
4
(2-16)
que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar.
La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a
Vmax =
gS D 2
ν 16
h=D 4
(2-17)
La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 2-16, pero en este
caso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es la
mitad del cilindro circunscrito.
Luego,
1
V = Vmax
2
En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidad
máxima; es decir,
V=
gS D 2
ν 32
(2-18)
55
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en función
del radio hidráulico, tenemos
V=
gS 2
R
2ν
(2-19)
expresión que es muy parecida a la ecuación 2-15, que fue establecida para un canal. En
un caso el denominador es 2 y en otro 3. Podríamos concluir que cualquier otra sección
transversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tubería
circular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.
V=
gSR 2
(2 á 3)ν
La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación 2-16
Q=∫
h=D / 2
h =0
D

Vh 2π  − h  dh
2

de donde,
Q=
gπ D 4 S
128ν
y,
V=
Q
Q
=
A π D2 / 4
obteniéndose el valor de la ecuación 2-18
Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 2-18 se obtiene que la diferencia de
cotas piezométricas separadas por la longitud L a lo largo de la tubería es
32 µ VL
γ D2
(2-19a)
Ejemplo 2.1 Se bombea petróleo crudo en una tubería horizontal de 6 cm de diámetro. El gasto es
de 25 litros por minuto. Se ha verificado que entre dos manómetros colocados en la tubería a una
distancia de 1 000 m hay una diferencia de presión de 0,103 Kg/cm2 . Calcular la viscosidad del
petróleo. Determinar aproximadamente y con ayuda de la Figura 1.8 cual sería la variación en el
gasto si la temperatura disminuye a 0 ºC. Considerar que la diferencia de presiones permanece
constante.
56
Capítulo II
Movimiento Uniforme
Solución. Por ser una tubería horizontal en la que supondremos un régimen laminar,
p1 − p2 =
32µ VL
D2
(2-19a)
p1 y p2 son las presiones en las dos secciones de la tubería.
p1 − p2 = 0,103 kg/cm2
=
1030 kg/m2
Q = 25 l/min
=
0,000417 m3/s
A=
π D2
4
=
0,00283 m2
V=
Q
A
=
0,147 m/s
Luego,
1 030 =
32 µ × 0 ,147 × 1 000
36 × 10 −4
De donde,
µ = 7,9 x 10-4 kg-s/m2
Ahora debemos verificar el número de Reynolds para comprobar que el flujo es laminar. La viscosidad
dinámica que hemos obtenido corresponde, según la Figura 1.8, a un petróleo crudo cuya densidad
relativa es 0,86. Luego,
ν = 9 x 10-6 m2/s
Re =
VD 0,147 × 0,06
=
= 980
ν
9 × 10 −6
El flujo es, pues, efectivamente laminar y corresponde a una temperatura de 20 ºC (aprox.)
Si la temperatura disminuye a 0 ºC, entonces
µ = 1,6 x 10-3 kg-s/m2
Aplicando nuevamente la ecuación 2-19a
1 030 =
32 × 1,6 × 10 −3 × V × 1 000
36 × 10 −4
Se obtiene,
V = 0,0724 m/s
que es la nueva velocidad media al disminuir la temperatura (y aumentar la viscosidad).
57
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El nuevo gasto es
Q = 12,3 l/min
La reducción es de 12,7 l/min, que representa el 50,8 %
Ejemplo 2.2 Demostrar que en un canal con flujo laminar se puede calcular la velocidad media
promediando las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante.
Solución. Partimos de la ecuación 2-13, que nos da la distribución de velocidades en un canal con
flujo laminar
Vh =
gS
ν

h2 
 yh − 
2 

Luego aplicamos esta ecuación a los dos tirantes mencionados
0,8 y
V0 , 8 =
gS 
0,64 y 2
 0,8 y 2 −
2
ν 
0,2 y
V0, 2 = 0,18

gS 2
y
 = 0,48
ν

gS 2
y
ν
gS 2
y , expresión que es prácticamente igual a la ecuación
ν
2-15 que nos da la velocidad media en un canal con flujo laminar
El promedio de estos dos valores es 0,33
V=
gS 2
y
3ν
Ejemplo 2.3 Se bombea aceite a razón de 14 l/s en una tubería de 10 cm de diámetro. La densidad
relativa del aceite es 0,92 y la viscosidad es 0,01 kg-s/m2. ¿Cuál será la diferencia entre las lecturas
de los manómetros de los puntos A y B mostrados en la figura?. ¿Cuál es la velocidad máxima que
se presenta en la tubería?
A
3m
30
0m
58
B
Capítulo II
Movimiento Uniforme
Solución. Supongamos que el flujo es laminar (ecuación 2-19)
V =
gSR 2
2ν
Para aplicar esta ecuación tenemos los siguientes datos
V=
Q
= 1,78 m/s
A
ν = 1,07 x 10-4 m2/s
Luego,
Re =
VD
= 1 664
ν
con lo que se confirma que el flujo es laminar. Despejamos ahora la pendiente S
S=
2µ V
= 0,0619
γ R2
o bien,
hf
L
= 0,0619
h f = 0,0619 x 300 = 18,57 m
La diferencia de cotas piezométricas es, pues, de 18,57 m. Como la diferencia de elevaciones es de
3 m se concluye que la diferencia de presiones debe equivaler a 15,57 m Luego,
∆p = 920 x 15,57 x 10-4 = 1,43 kg/cm2
La velocidad máxima, según la ecuación 2-17, es
Vmax =
gS D 2
ν 16
Vmax = 3,55 m/s
Valor que efectivamente corresponde al doble de la velocidad media (como debe ser en el régimen
laminar).
Ejemplo 2.4 Demostrar que en una tubería circular con flujo laminar se cumple que,
d  dVh  1 dp
= r
r
dr  dr  µ dx
expresión en la que Vh es la velocidad a la distancia r del eje x , µ es la viscosidad dinámica y
dp
es el gradiente de presiones.
dx
59
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Luego, integrando la expresión anterior, demostrar que si se desarrolla un flujo laminar en el espacio
comprendido entre dos tuberías concéntricas de radios r1 y r2 , entonces la velocidad máxima se
presenta al radio r
r = r1
a2 −1
2 ln a
a=
r2
r1
Solución. Consideremos un elemento anular de espesor dr , ubicado al radio r y cuya velocidad es
Vh . Consideremos también, longitudinalmente, una distancia ∆x , en cuyos extremos hay presiones
p1 y p2 cuya diferencia es ∆p . Se cumple así que,
dp
dx
∆p = ∆x
r1
r2
r2
r1
r1
r
r2
dr
∆x
La fuerza debida a la diferencia de presiones es igual al área del anillo por la diferencia de presiones
2π rdr ∆x
dp
dx
La fuerza de corte sobre el anillo es igual a su área por el esfuerzo de corte
2π r∆x τ h
o bien,
2π r∆xµ
dVh
dr
Como el flujo es laminar se ha introducido la ec. 2-12.
La variación de la fuerza de corte con el radio r es
2π ∆xµ
60
d  dVh 

r
dr  dr 
(1)
Capítulo II
Movimiento Uniforme
y la fuerza total sobre el anillo se obtiene multiplicando esta expresión por dr
2πµ ∆x
d  dVh 
dr
r
dr  dr 
(2)
Las ecuaciones 1 y 2 deben ser iguales
dp
d  dV 
= 2πµ ∆x  r h dr
dx
dr  dr 
2π rdr∆x
de donde,
d  dVh  1 dp
= r
r
dr  dr  µ dx
Integrando dos veces la ecuación obtenida se encuentra la velocidad Vh
r
dVh
r 2 dp
=
+A
dr
2µ dx
dVh
r dp A
=
+
dr
2 µ dx r
Vh =
r 2 dp
+ A ln r + B
4µ dx
Por condición de contorno se obtiene dos ecuaciones
Si r = r1 , entonces
Vh = 0
Si r = r2 , entonces
Vh = 0
A ln r1 + B = −
r12 dp
4 µ dx
A ln r2 + B = −
r22 dp
4µ dx
de donde,
A(ln r2 − ln r1 ) =
A=
La velocidad es máxima cuando
r12 − r22 dp
4µ dx
r12 − r22 dp 1
4 µ dx ln r2
r1
dVh
=0
dr
61
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
dVh
r dp A
=
+ =0
dr
2 µ dx r
r 2 dp r12 − r22 dp 1
+
=0
2 µ dx
4 µ dx ln r2
r1
r2 =
r12
2
 r22
 1
 2 − 1
 r1
 ln r2
r1
obteniéndose finalmente
r = r1
a2 −1
2 ln a
siendo a =
r2
r1
2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el
movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso
El desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse,
en Delft.
La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace, como lo
hemos visto, recurriendo únicamente a consideraciones teóricas.
Para hallar las ecuaciones correspondientes en el movimiento turbulento habrá que recurrir
además a información experimental.
Así pues, las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculan
en base a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos, entre
los que los más importantes son Prandtl, von Karman y Nikuradse.
Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamente
una relación entre el corte y la velocidad.
Partiendo de la expresión de Reynolds, que nos da la tensión tangencial adicional presente
en el flujo turbulento y que es
τ h = ρ u 'V '
u ' y V ' son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional), ρ es la
densidad del fluido.
Prandtl introduce una longitud característica L , a la que llama longitud de mezcla. Esta
longitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o
62
Capítulo II
Movimiento Uniforme
perder su exceso de cantidad de movimiento. Este concepto de longitud de mezcla es
análogo al de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases.
Prandtl consideró que
u ' es proporcional a
dVh
dh
o
o o
u' = L
dVh
dh
V ' es proporcional a
dVh
dh
o
o o
V '= L
dVh
dh
y por lo tanto,
 dV 
τ h = ρ L2  h 
 dh 
2
(2-20)
expresión para el flujo turbulento, que consideramos correspondiente a la ecuación 2-12,
que es para el flujo laminar.
De la ecuación 2-20 obtenemos
τh
dV
=L h
dh
ρ
(2-21)
Examinaremos a continuación lo que ocurre en un canal y en una tubería.
a) Canal muy ancho
Debemos establecer para este caso una relación entre L y la profundidad. La condición es
que la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. Esto
puede expresarse por medio de
1

h 2
L = κ h1 − 
y

(2-22)
κ es la constante de Karman, para la que aceptamos el valor de 0,4 (sin sólidos en
suspensión).
Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación 2-21, obtenemos
τh
=κ
ρ
1

h  2 dVh
h1 − 
y  dh

63
Hidráulica de tuberías y canales
sustituyendo ahora el valor de
Arturo Rocha
τ h según la ecuación 2-4
γ ( y − h) S
=κ
ρ
1
 h  2 dVh
h1 − 
y  dh

simplificando,
gyS = κ h
dVh
dh
separando variables,
gyS dh
κ
h
dVh =
(2-23)
Hemos llegado a esta ecuación a partir de una definición de la longitud de mezcla, dada
por la ecuación 2-22. Hay otras definiciones para la longitud de mezcla, que buscan también
una concordancia entre los resultados teóricos y las mediciones observadas. Sin embargo
acá nos limitamos a presentar la teoría de Karman – Prandtl.
La expresión
gyS que es igual a
τ0
recibe el nombre de velocidad de corte,
ρ
V* =
τ0
= gyS
ρ
(2-24)
Luego reemplazando en 2-23
dVh =
V* dh
κ h
integrando
Vh =
V∗
ln h + K
κ
Evidentemente que esta ecuación no es válida hasta el fondo porque allí para
(2-25)
h=0,
ln 0 = −∞ , lo que es inadmisible. Aceptaremos que la ecuación 2-25 sólo es válida hasta
una cierta distancia muy próxima al fondo.
Consideremos entonces que la constante de integración, cuyo valor estamos tratando de
hallar, tiene la forma
64
Capítulo II
Movimiento Uniforme
K =−
V*
ln h0
κ
h0 representa la distancia del fondo a la cual, según la ecuación 2-25, la velocidad es cero.
Reemplazando en la ecuación 2-25 el valor propuesto para la constante de integración se
obtiene
Vh =
V* h
ln
κ h0
(2-26)
La imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 2-25 nos hace pensar
que algo ocurre cerca de las paredes. Se supuso y esta es la esencia de la teoría de
Prandtl, que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa en
la que el flujo es laminar. Es decir, que la distribución de velocidades en esta subcapa es
diferente a la que estamos aceptando para el resto de la sección.
En el capitulo III presentamos con más detalle el concepto de capa límite y la aparición
dentro de ella de una subcapa laminar.
El espesor de esta subcapa laminar se designa con la letra
δ
Ecuación 2-26
Ecuación 2-27
δ
ho
Fondo liso
Figura 2.8 Subcapa laminar
Vamos a admitir que dentro de esta subcapa laminar el esfuerzo de corte es constante e
igual al esfuerzo de corte sobre el fondo ( τ h
= τ 0 , para h ≤ δ ).
65
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En el flujo laminar el corte es
τh = µ
reemplazando
dVh
dh
τ h = τ 0 y separando variables,
dVh τ 0 τ 0 ρ V*2
= =
=
dh
µ µ ρ ν
integrando,
Vh =
V*2
h+ K
ν
La condición de velocidad nula en el fondo determina que
K =0
Luego
Vh =
V*2
h para 0 ≤ h ≤ δ
ν
(2-27)
Tenemos ahora dos ecuaciones de distribución de velocidades: la 2-26, que es para el flujo
turbulento y la 2-27 que es para el flujo laminar que se desarrolla cerca al fondo en una
capa cuyo espesor, muy delgado, es
δ
, y se designa con el nombre se subcapa laminar.
En este caso particular y por ser muy delgada la capa, la consecuencia de haber considerado
que dentro de ella el corte es constante es que la distribución de velocidades es lineal y no
parabólica (como correspondería a un movimiento laminar). Ver Figura 2.8.
Evidentemente que para
h = δ ambas ecuaciones deben coincidir
Vδ =
V*2
δ
ν
(flujo laminar)
Vδ =
V* δ
ln
κ h0
(flujo turbulento)
igualando estos dos valores se obtiene
V*2
V
δ
δ = * ln
ν
κ h0
Para determinar el valor de
66
δ
(2-27a)
se realizó una combinación de consideraciones teóricas y
Capítulo II
Movimiento Uniforme
experimentales a partir de la aceptación que la distribución de velocidades en un conducto
liso es una relación entre dos parámetros adimensionales
Vh
V*
V∗ h
ν
;
tal como se ha visto en la ecuación 2-27 para el flujo dentro de la subcapa laminar. Si
llevamos estos valores a un gráfico semilogarítmico representado para el flujo laminar los
valores de la ecuación 2-27 y para el flujo turbulento valores experimentalmente medidos
se tiene
100 000
10 000
UL
EN
TO
Vh
V*
TU
RB
1 000
100
LA
M
IN
AR
10
0
0
5
10
11,6
15
20
25
30
35
V* h
v
Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el
cálculo de la distribución de velocidades
Obviamente la intersección de las dos curvas marca el límite de aplicación de cada una de
ellas y resulta ser 11,6; luego
V* h
= 11,6
ν
a ese valor de
h se le denomina δ . Luego
V*δ
= 11,6
ν
(2-28)
67
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Reemplazando este valor en el primer miembro de la ecuación 2-27a
V*2 11,6ν V* δ
= ln
ν V*
κ h0
ln
δ
= 11,6κ
h0
El valor de κ , constante de Karman es de 0,4
ln
δ
= 4 ,64
h0
h0 =
δ
104
(2-29)
si reemplazamos este valor en la ecuación 2-26 se obtiene
Vh =
V* 104h
ln
κ
δ
(2-30)
que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso.
Posteriormente señalaremos cuando se dice que un contorno es hidráulicamente liso.
Para la distribución de velocidades en una tubería se obtendrá una expresión idéntica,
como se demuestra a continuación.
b) Tubería
En este caso la longitud de mezcla tiene por expresión
 2h 
L = κ h1 − 
D

1
2
(2-31)
reemplazando este valor y el de la distribución del esfuerzo de corte en una tubería, ecuación
2-8, en la ecuación 2-21, se obtiene luego de algunas sustituciones una ecuación
correspondiente a la 2-23, con lo que el desarrollo continúa igual.
La ecuación 2-30 es, pues, de carácter general para un conducto, canal o tubería, cuyas
paredes sean hidráulicamente lisas, demostrándose así que la distribución de velocidades
en el flujo turbulento es logarítmica.
68
Capítulo II
Movimiento Uniforme
Se observa que la ecuación 2-30 corresponde a una relación entre dos parámetros
adimensionales.
Vh
V*
h
δ
;
que guarda correspondencia con lo expuesto anteriormente, por cuanto,
h
V h 
=ϕ  * 
δ
 ν 
2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos
lisos
En general los contornos pueden ser lisos o rugosos. El contorno hidráulicamente liso es
aquel que permite el desarrollo de una subcapa laminar.
a) Canal muy ancho
Por integración de la ecuación 2-30 obtenemos el gasto específico para un canal muy
ancho. Luego, dividiendo el gasto entre el área obtendremos la velocidad media.
q=∫
superficie
contorno
Vh dh
Los límites de la integral los fijamos de acuerdo a la extensión de la validez de la ecuación
de
Vh . Es decir, para el flujo turbulento despreciamos la pequeñísima porción que
corresponde al flujo laminar.
q=∫
[
h= y
h =δ
V* 104h
dh
ln
κ
δ
V
q = * ∫ ln104 dh + ∫ ln h dh − ∫ ln δ dh
κ
q=
]
y
δ
y
V*
[ln104 h + h ln h − h − ln δ h]δ
κ
Reemplazamos los límites
69
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
h= y
h =δ
Se obtiene
q=
V* 
y
ln104( y − δ ) − ( y − δ ) + y ln 

κ 
δ
Consideramos ahora que,
y −δ 
→ y
q=
q=
V*
κ
y

y ln 104 − 1 + ln 
δ

V*
104 y V*
38,3 y
= y ln
y ln
eδ
κ
κ
δ
V=
q V* 38,3 y
= ln
y κ
δ
V=
V* 38,3 y
ln
κ
δ
que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho con fondo
hidráulicamente liso y que evidentemente equivale a
V=
V* 38,3R
ln
κ
δ
(2-32)
En el desarrollo que nos ha permitido llegar a esta expresión se ha hecho, entre otras, la
simplificación de suponer y − δ = y , lo que, naturalmente, no es rigurosamente exacto.
De otro lado debemos recordar que al fijar los límites de integración hemos despreciado el
flujo a través de la subcapa laminar.
b) Tubería
El gasto es
Q=∫
70
D

Vh 2π  − h dh
contorno
2

centro
Capítulo II
Movimiento Uniforme
el gasto total se obtiene por integración a partir del flujo a través de un pequeño anillo de
espesor
D

dh , cuya distancia al contorno es h . El perímetro es 2π  − h  y el área
2

D

− h dh .
2

elemental correspondiente es 2π 
dh
r
D -h
2
D
h
Figura 2.10 Flujo a través de un anillo
Q=∫
h=D / 2
h =δ
Q = 2π
Como límites de la integral fijamos
laminar) y
D
 V 104h
dh
2π  − h  * ln
δ
2
κ
V* D / 2  D
 104h
dh
 − h  ln
∫
δ
κ
δ
2

h = δ (despreciando así el flujo a través de la subcapa
h = D / 2 (eje de la tubería). Obsérvese que se ha determinado los límites de
integración en función del campo de validez de la fórmula (flujo turbulento).
D
V D
104h
104h  2
Q = 2π *  ∫ ln
dh − ∫ h ln
dh 
κ 2
δ
δ
δ
la primera integral ya ha sido evaluada, luego,
D
V D
D
D
D
2
Q = 2π *  h ln104 + h ln h − h − lnδ h − ∫ h ln104 dh − ∫ h ln h dh + ∫ h lnδ dh
κ 2
2
2
2
δ
71
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
desarrollando y simplificando convenientemente obtenemos
V*  D 2 104 D 
Q = 2π  ln 3 / 2 
κ  8 2e δ 
V=
104 D
Q
Q
V
=
= * ln 3 / 2
2
A π D / 4 κ 2e δ
sustituyendo D = 4 R
V=
V* 46,4 R
ln
κ
δ
(2-33)
que es la ecuación que nos da la velocidad media de una tubería hidráulicamente lisa.
Obsérvese que las ecuaciones 2-32 y 2-33 son muy similares. Representan un concepto
fundamental, la relación entre dos parámetros adimensionales.
V
R
=ϕ  
V*
δ 
Lo mismo ocurre con la ecuación de distribución de velocidades (2-30)
Vh
h
=ϕ  
V*
δ 
En ambos casos la función es logarítmica por ser un flujo turbulento.
2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el
movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso
En un contorno hidráulicamente rugoso las asperezas del fondo, o sea las protuberancias
de su superficie, son tan grandes comparativamente con δ que no permiten el desarrollo
de una subcapa laminar.
Vamos a partir de la ecuación 2-26 cuya validez es genérica e independiente de la naturaleza
del fondo (liso o rugoso)
Vh =
V* h
ln
κ h0
Exagerando el tamaño de las asperezas del fondo tendríamos
72
Capítulo II
Movimiento Uniforme
Ecuación 2-26
δ
Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso
Se observa en la Figura 2.11 que no es posible que se desarrolle la subcapa laminar.
El estudio experimental del comportamiento de las tuberías rugosas fue hecho por Nikuradse,
quien utilizó en realidad rugosidad artificial y homogénea. Trabajó con tuberías en cuya
superficie interior colocó una capa de arena de diámetro uniforme k . Repitiendo las
experiencias para diversos diámetros y valores de
de la ecuación 2-26 puede extenderse hasta
h0 =
siendo
k llegó a la conclusión que la validez
k
30
(2-34)
k el tamaño absoluto promedio de las irregularidades (asperezas) del fondo y que
tiene un valor particular para cada material. A veces se usa la mitad de este valor como
representativo, entonces
k = 2a
Reemplazando el valor de
o
o o
h0 =
a
15
(2-35)
ho en la ecuación genérica de distribución de velocidades (2-26)
se obtiene
Vh =
V* 30h
ln
κ
k
(2-36)
que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno rugoso (tubería o canal).
Las ecuaciones 2-30 y 2-36 son las ecuaciones de la distribución de velocidad de KarmanPrandtl.
En la Tabla 2.1 se presentan los tamaños de la rugosidad absoluta para diversos materiales.
73
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 2.1
VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA
k
k (m)
MATERIAL
Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero
-6
nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)
1,5 x 10
Fierro forjado
4,5 x 10
-5
-5
5 x 10
Acero rolado nuevo
Acero laminado, nuevo
-5
-4
4 x 10
– 10
-4
Fierro fundido, nuevo
2,5 x 10
Fierro galvanizado
1,5 x 10
Fierro fundido, asfaltado
1,2 x 10
Fierro fundido oxidado
Acero remachado
-4
-4
-3
-3
1 x 10
– 1,5 x 10
-4
-3
0,9 x 10
– 0,9 x 10
-5
Asbesto cemento, nuevo
2,5 x 10
Concreto centrifugado nuevo
1,6 x 10
-4
-5
Concreto muy bien terminado, a mano
10
-5
Concreto liso
2,5 x 10
-4
Concreto bien acabado, usado
2 x 10
Concreto sin acabado especial
10
-3
-3
– 3 x 10
-2
Concreto rugoso
Duelas de madera
-4
– 3 x 10
10
-4
1,8x10
-4
– 9 x 10
Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por su
propia naturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodos
indirectos.
En las tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concreto el
acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menores
a los presentados en la Tabla 2.1.
La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande.
74
Capítulo II
Movimiento Uniforme
2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos
rugosos
a) Canal muy ancho
Obtenemos el gasto específico por integración.
q=∫
superficie
fondo
Vh dh
considerando como distribución de velocidad la ecuación 2-36 y reemplazando se obtiene
q=
q=
V* h = y 30h
ln
dh
κ ∫ h = h0
k
[
V*
ln 30∫ dh + ∫ ln hdh − ln k ∫ dh
κ
q=
]
y
h0
y
V*
[h ln 30 + h ln h − h − h ln k ]h0
κ



V
y
h 
q = ∗ ln 30( y − h0 ) − ln k ( y − h0 ) + y ln − h0 ln 0 
κ 
e 123
e

→ 0 
pero,
y − h0 → 0
q=
V=
V* 
y  V y 30 y
y ln 30 − y ln k + y ln  = * ln

κ 
e κ
ek
q V* 30 y
= ln
y κ
ek

→
V=
V* 11 y
ln
κ
k
que evidentemente equivale a
V=
V* 11R
ln
κ
k
(2-37)
que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondo
hidráulicamente rugoso.
75
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
b) Tubería
Se procede como en los casos anteriores. El gasto, de acuerdo a la Figura 2.10, es
Q=∫
Reemplazando el valor de
centro
contorno
D

Vh 2π  − h dh
2

Vh según la ecuación 2-36,
Q=∫
D
2
h0
V* 30h
ln
2π
κ
k
D

 − h dh
2

integrando y simplificando se obtiene
V=
V* 13,4 R
ln
κ
k
(2-38)
que es la ecuación de la velocidad media en una tubería de fondo hidráulicamente rugoso.
2.9 Obtención de la ecuación de Chezy
Hasta el momento hemos obtenido dos fórmulas para el cálculo de la velocidad media en
conductos lisos: una para canales (2-32) y otra para tuberías (2-33).
V=
V* 38,3R
ln
κ
δ
(canales)
V=
V* 46,4 R
ln
κ
δ
(tuberías)
Conductos
lisos
La ecuación 2-32, que fue establecida para un canal muy ancho, se ha expresado en
función del radio hidráulico, puesto que para ese caso el radio hidráulico es igual al tirante.
Se observa que ambas ecuaciones son muy parecidas. Difieren sólo en el valor numérico
del coeficiente de
Rδ.
Con el objeto de obtener una fórmula aproximada que comprenda tanto a tuberías como a
canales tomamos el promedio aproximado de los coeficientes y se obtiene
76
Capítulo II
Movimiento Uniforme
V=
V* 42 R
ln
κ
δ
(2-39)
Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso (canal
muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia). Para la solución de problemas
prácticos usaremos la ecuación 2-39; para demostraciones las ecuaciones 2-32 y 2-33.
Para los conductos rugosos también hemos obtenido dos fórmulas: una para canales (2-37) y
otra para tuberías (2-38)
Conductos
rugosos
V=
V* 11R
ln
κ
k
(canales)
V=
V* 13,4 R
ln
κ
k
(tuberías)
Ambas ecuaciones son también muy parecidas y pueden reemplazarse por otra que
considere el promedio aproximado de los coeficientes de
V=
V* 12 R
ln
κ
k
Rk
(2-40)
Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso
(canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia).
Un conducto puede tener paredes hidráulicamente lisas o hidráulicamente rugosas. En el
segundo caso se entiende que el tamaño de la rugosidad absoluta y de las características
del escurrimiento no permiten que se desarrolle una subcapa laminar. En cambio en el
primer caso, conductos lisos, si existe una subcapa laminar y la velocidad es función de su
espesor. Eventualmente pueden presentarse casos intermedios o de transición.
Con fines prácticos estableceremos una fórmula que involucre ambos casos, combinando
las ecuaciones 2-39 y 2-40. Obsérvese que no se trata de una operación algebraica, sino
de una adaptación
V=
6R
V*
ln
κ k +δ
2 7
(2-41)
77
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
R δ
2
5
10
20
100
50
200
500
1 000
2 000
5 000 10 000
C=
90
10 000
S
NO S
R
O
O IS
NT . L
O
C IDR
H
C = 85
5 000
C = 80
2 000
C = 75
1 000
C = 70
500
C = 65
C = 60
200
C = 55
R k
100
C = 50
50
C = 45
S S
NO S O
R
O O
NT RUG
O
C R.
D
HI
C = 40
C = 35
20
10
5
C = 30
C=
25
2
Re
5x
2x
Re
5x
2x
Re
5x
2x
Re
5x
6
0
=1
5
10
5
10
5
4
0
=1
4
10
4
10
3
3
0
=1
10
3
10
0
=1
2
10
R
=
Radio hidráulico
k
=
rugosidad (según Tabla 2.1)
δ
=
espesor de la subcapa laminar (ec. 2.28)
Re
=
VR
(referido al radio hidráulico)
ν
(Este diagrama ha sido tomado de las Lecciones de Clase del Profesor Thijsse, de Delft,
Holanda)
Figura 2.12 Coeficiente
78
C de Chezy
Capítulo II
Movimiento Uniforme
Si el valor k de la rugosidad no tiene significación, entonces la fórmula 2-41 se convierte
en la de los conductos lisos; caso contrario si δ no tiene significación entonces es la
ecuación de los conductos rugosos.
Haremos ahora algunos reemplazos en esta ecuación para darle otra forma
V=
gRS
g
6R
6R
=
ln
ln 10 log
k δ
k δ
κ
κ
+
+
2 7
2 7
V = g × 2,5 × 2,3 log
6R
k δ
+
2 7
RS
RS
Pero
g × 2,5 × 2,3 = 18
Luego,
V = 18 log
6R
k δ
+
2 7
RS
V = C RS
(2-41a)
(2-42)
que es la ecuación de Chezy, en la que
C = 18 log
6R
k δ
+
2 7
(2-43)
C es el coeficiente de Chezy. Sus dimensiones son L1/2 T-1.. Sus unidades son m1/2/s puesto
que corresponde a
g.
Para facilitar el cálculo y verificar los resultados se usa la Figura 2.12.
2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e
hidráulicamente rugosos
Cada contorno tiene su propia aspereza o rugosidad que depende del material de que esta
hecho y de su estado de conservación. Así por ejemplo, una tubería de concreto es más
rugosa que una de acero. Un canal de tierra es más rugoso que un canal de concreto.
79
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Si pudiéramos ver con una luna de aumento el contorno de una tubería o de un canal,
veríamos algo así como lo mostrado en la figura siguiente
Figura 2.13 Aspereza del contorno
Las asperezas tienen diferente forma y tamaño. Dan lugar a la aparición de pequeñas
corrientes secundarias (vorticosas). Estas asperezas producen una modificación en las
condiciones del escurrimiento.
Con el objeto de estudiar la influencia de la rugosidad, Nikuradse hizo experiencias en
tuberías con rugosidad artificial. Para ello cubrió las paredes con granos de arena de diámetro
uniforme.
k = 2a
Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse
Se designa por
k el diámetro y por a el radio de los granos.
Al valor de k (o al de a ) se le llama rugosidad absoluta. La influencia de la rugosidad en
el escurrimiento depende del tamaño del conducto, es decir del radio de la tubería, tirante
o cualquier otra medida característica.
Se denomina rugosidad relativa a cualquiera de las relaciones siguientes
a k
D D
80
;
a k
,
R R
;
a k
,
r r
;
a k
,
h h
(2-44)
Capítulo II
Movimiento Uniforme
o sus inversas,
Determinar cual es la rugosidad absoluta de un conducto dado es un problema difícil.
Existen tablas, gráficos y descripciones, pero en última instancia el factor principal es la
experiencia del ingeniero diseñador. De otro lado, debe tenerse en cuenta, como lo
estudiaremos luego en detalle, que la rugosidad cambia con el tiempo.
Las experiencias que realizó Nikuradse y que fueron publicadas en 1933 son para el siguiente
rango de rugosidades relativas
30 <
D
< 1 014
k
Un conducto en el que la rugosidad relativa es de 30 se caracteriza porque es muy grande
la influencia de la rugosidad en el escurrimiento.
Como resultado de la combinación de las características del escurrimiento (velocidad,
viscosidad, etc.) y del tamaño, forma y espaciamiento de la rugosidad puede ser que se
desarrolle o no, una subcapa laminar.
La posibilidad de existencia de la subcapa laminar es lo que define la naturaleza de las
paredes. Dicho en otras palabras, la naturaleza de las paredes depende del tamaño relativo
de
k yδ.
Cuando es posible que esta subcapa laminar exista se dice que las paredes son
hidráulicamente lisas; caso contrario son hidráulicamente rugosas.
El valor de la rugosidad absoluta se determina por medio de la Tabla 2.1 en la que aparece
para cada material el valor de la rugosidad absoluta. Debe entenderse que por la propia
naturaleza de la rugosidad y por la necesaria aproximación con la que se hacen los cálculos
estos valores no pueden ser rigurosamente exactos.
Se dice que un conducto es hidráulicamente liso (ecuación 2-39) cuando
k ≤ 0,4δ
Lo que equivale aproximadamente a
V* k
≤5
ν
Se dice que un conducto es hidráulicamente rugoso (ecuación 2-40) cuando
k ≥ 6δ
81
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
lo que equivale aproximadamente a
V* k
≥ 70
ν
Para valores intermedios
5<
V* k
< 70
ν
(2-45)
se dice que el contorno es una transición entre liso y rugoso y se aplica la ecuación 2-41.
2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl
La ecuación 2-30 que da la distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso
puede transformarse de la manera siguiente
Vh =
Combinando con 2-28,
V* 104h
ln
κ
δ
V* δ
= 11,6 se obtiene
ν
Vh =
V* 8,97V* h
ln
κ
ν
Luego
Vh 2,3
V h 2,3
=
log * +
log 8,97
V*
κ
ν
κ
de donde,
Vh
V h
= 5,75 log * + 5,5
V*
ν
(2-46)
expresión equivalente a la 2-30.
Reemplazo similar puede hacerse para la ecuación 2-32, que nos da la velocidad media en
un canal muy ancho de fondo hidráulicamente liso
V=
82
V* 38,3 y
ln
κ
δ
Capítulo II
Movimiento Uniforme
V=
V* 3,3V* y
ln
κ
ν
V
V y
= 5,75 log * + 3
V*
ν
(2-47)
expresión equivalente a la 2-32.
Si de la ecuación 2-46 restamos la 2-47 obtendremos para cada punto, es decir, para cada
valor de
h , la diferencia entre la velocidad a esa distancia del fondo y la velocidad media
Vh − V
h
= 5,75 log + 2,5
V*
y
(2-48)
Con la idea de obtener una expresión análoga para el caso de canales rugosos hacemos
un desarrollo similar.
La ecuación 2-36 que da la distribución de velocidades en un contorno rugoso se transforma
en
Vh
h
= 5,75 log + 8,5
V*
k
(2-49)
y la que corresponde a la velocidad media (2-37) se trasforma en
V
y
= 5,75 log + 6
V*
k
(2-50)
efectuando la resta de estas dos expresiones se obtiene
Vh − V
h
= 5,75 log + 2,5
V*
y
expresión que es igual a la 2-48.
Luego, aceptaremos que en un canal sea liso o rugoso se cumple que
Vh − V
h
= 5,75 log + 2,5
V*
y
(2-51)
o bien,
Vh − V
h
= 5,75 log + 2,5
V*
R
(2-52)
83
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Para las tuberías se puede hacer un desarrollo similar.
La ecuación 2-33 se reemplaza, mediante sencillas transformaciones, por su equivalente
V
V R
= 5,75 log * + 3,5
ν
V*
(2-53)
Si restamos esta ecuación de la 2-46 se obtiene,
Vh − V
h
= 5,75 log + 2
V*
R
(2-54)
Si la tubería fuera rugosa, se trasformaría la ecuación 2-38 en
V
R
= 5,75 log + 6,5
V*
k
(2-55)
Vh − V
h
= 5,75 log + 2
V*
R
(2-56)
que restada de la 2-49 nos da
obtenemos así las expresiones 2-54 y 2-56 que son iguales. Se puede entonces aceptar
que en una tubería el exceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad media
referida a la velocidad de corte, es
Vh − V
h
= 5,75 log + 2
V*
R
(2-57)
Ejemplo 2.5 En una tubería circular de acero ( k =10-4 m) de 0,60 m de diámetro fluye aceite (peso
específico relativo 0,8). La viscosidad del aceite es de 1 poise. La elevación del punto inicial es 20,2
m y la presión en dicho punto es de 5 kg/cm2. La elevación del punto final es de 22,10 m y la presión
es de 2 kg/cm2. La longitud de la tubería es 1 000 m Calcular
a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa
b) el espesor de la subcapa laminar
c) el coeficiente de Chezy
d) la velocidad media
e) el gasto
Solución. La altura de presión en el punto inicial es
50 000 kg/m 2
= 6,25 m
800 kg/m 3
84
Capítulo II
Movimiento Uniforme
La cota piezométrica en dicho punto es 62,5 + 20,2 = 82,7 m. Similarmente, la cota piezométrica en
el punto final es 47,1 m.
Luego calculamos la pendiente según la ecuación 2-3
S=
hf
L
=
82,7 − 47,1
= 3,56 × 10 −2
1 000
que es la pendiente de la línea piezométrica. Por ser movimiento uniforme es igual a la de la línea
de energía.
Calculamos ahora la velocidad de corte (2-24)
V* = gRS =
9,8 × 0,15 × 3,56 × 10 −2 = 0,229 m/s
Consideremos, V* = 0,23 m/s
a)
Para saber si las paredes se comportan como hidráulicamente lisas o rugosas aplicamos la
ecuación 2-45,
V* k 0,23 × 10 −4
=
= 0,184 < 5
ν
1,25 × 10 − 4
Luego las paredes se comportan como hidráulicamente lisas.
b)
Espesor de la subcapa laminar (2-28).
δ =
c)
11,6ν
= 0,0063 m
V*
Coeficiente de Chezy (2-43).
Como las paredes son hidráulicamente lisas no interviene la rugosidad,
C = 18 log
d)
42 R
= 54 m1/2 /s
δ
Velocidad media (2-42)
V = C RS = 54 0,15 × 3,56 × 10 −2 = 3,95 m/s
e)
Gasto
Q = AV =
π D2
× 3,95 = 1,12 m 3 /s
4
85
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Para resolver este ejercicio se partió de la suposición de que el flujo es turbulento. Luego de calcular
la velocidad media verificamos que Re > 2 300 ( Re = 18 960 ).
A modo de verificación usamos el diagrama de la Figura 2.12. Para usar este diagrama recuérdese
que el número de Reynolds debe referirse al radio hidráulico R .
0 ,15
R
=
= 24
δ 0 ,0063
R 0,15
=
= 1 500
k 10 −4
Re =
VR 18 960
=
= 4 740 = 4 ,7 × 103
ν
4
C = 54 m1/2 /s
Se observa que todos los valores coinciden en un punto.
Para el cálculo de C hemos empleado la ecuación 2-39, que es válida para conductos lisos, sean
tuberías o canales.
Podría haberse hecho el cálculo con la ecuación 2-33, que es exclusivamente para tuberías lisas. El
resultado habría sido prácticamente el mismo.
86
Capítulo II
Movimiento Uniforme
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo II)
1.
En un conducto circular de 0,75 m de diámetro, de acero ( k = 0,001 m), fluye aceite cuya
viscosidad es de 1 poise. Su peso específico relativo es de 0,8. Las características de la tubería
se muestran en el esquema adjunto. Calcular el gasto. ¿Cuál es la naturaleza de las paredes?.
3 kg / cm
2
2 kg / cm 2
A
1 000 m
B
8m
6m
2.
Demostrar que el coeficiente
C de Chezy se puede expresar para conductos hidráulicamente
lisos, mediante la siguiente ecuación implícita
C = 18 log m
Calcular el valor de
Re
C
m para canales y tuberías. Calcular también un valor promedio para
ambos conductos.
3.
A partir de la ecuación de distribución de velocidades en un canal de fondo rugoso deducir las
expresiones siguientes
α = 1 + 3ε 2 − 2ε 3
β =1+ ε 2
siendo
ε=
Vmax
−1
V
87
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
α es el coeficiente de Coriolis, β es el coeficiente de Boussinesq, Vmax es la velocidad
máxima y V es la velocidad media.
4.
Se tiene una tubería de 0,40 m de diámetro por la que circula agua. Su viscosidad es de 1
centipoise. La longitud de la tubería es de 600 m. Se inicia en el punto A, en el que la presión
es 5 kg/cm2 y termina en el punto B, cuya presión es de 3 kg/cm2 y cuya elevación es de 5 m
k = 0,0001 m. Calcular
superior a la del punto inicial. Considerar
a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa
b) el coeficiente de Chezy
c) el gasto
d) la pérdida de energía entre A y B
5.
Demostrar que el promedio de las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante en un canal muy ancho
con flujo turbulento es igual a la velocidad a 0,6 del tirante (midiendo el tirante a partir de la
superficie).
6.
Calcular cuál es el error que se comete al considerar que la velocidad a 0,6 del tirante (medido
a partir de la superficie) es igual a la velocidad media, para un canal con flujo turbulento y
paredes rugosas.
7.
Demostrar que si
ε=
Vmax
−1
V
entonces en un canal
ε = 2,5
V* 7,83
=
V
C
8.
Una tubería de concreto liso, de 0,80 m de diámetro conduce agua con una velocidad de 4 m/s. La
viscosidad es de 1,2x10-6 m2/s. Calcular el coeficiente C de Chezy. Definir la calidad de la
paredes. Calcular la pendiente de la línea piezométrica.
9.
Demostrar que en una tubería con turbulencia plenamente desarrollada se cumple que
Vmax − V
= 3,73
V*
10. Calcular el valor de
Vmax − V
V*
para un canal con turbulencia plenamente desarrollada.
88
Capítulo II
Movimiento Uniforme
11. Calcular para un flujo turbulento a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad
media: a) en un canal, b) en una tubería.
Demostrar que a esa distancia es independiente de que el contorno sea liso o rugoso (comparar
con el ejemplo 1.3 del capítulo I).
12. Un canal de concreto ( k = 4x10-4 m) se usa para transportar agua. El ancho en el fondo es de
4 m y el ancho superficial es de 12 m. El tirante es de 3 m. La pendiente del fondo es 0,2 m por
100.
Considerando que la viscosidad cinemática del agua es 1,4x10-6 m2/s, a) decir si las paredes
son lisas o rugosas, b) calcular el gasto, c) calcular el esfuerzo de corte medio sobre el fondo.
13. Una tubería de sección circular de 0,80 m de diámetro conduce agua que ocupa la mitad de su
sección transversal. La viscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s. ¿Qué inclinación debe dársele
para que se establezca un flujo uniforme con una velocidad media de 0,80 m/s?. La rugosidad es
de k = 10-4 m. Si después resultara que la rugosidad es en realidad 10 veces mayor, cuál sería
la reducción del gasto, conservando la pendiente? ¿Qué porcentaje representa esta disminución?.
14. Se sabe que en una tubería con flujo laminar la velocidad máxima es el doble de la velocidad
media. Verificar que esto se cumple para el ejemplo 2.1 de este capítulo.
15. La tubería AB de 300 m de largo y 0,80 m de diámetro lleva agua que tiene una viscosidad de
1,2x10-6 m2/s. La tubería tiene una rugosidad uniforme k = 4x10-4 m. La presión en el punto A
debe ser de 4 Kg/cm2 y en el punto B de 3,8 Kg/cm2. ¿Cuál es la máxima diferencia de
elevación que puede existir entre A y B para que la tubería se comporte como hidráulicamente
lisa? ¿Cuál sería la velocidad en este caso?.
16. En un río muy ancho, cuyo fondo se supone constituido por partículas de diámetro uniforme
k , el tirante es de 2 m. El gasto por unidad de ancho es de 4 m3/s/m. Se ha medido la velocidad
superficial encontrándose que su valor es de 2,50 m/s. Calcular la rugosidad absoluta k y la
velocidad de corte.
17. Se tiene una tubería de 1,60 m de diámetro que conduce aire. Por medio de un tubo de Pitot se
ha medido la velocidad en el eje y en un punto ubicado a la distancia D / 4 del contorno. Los
valores leídos son 5,0 y 4,2 m/s. Hallar la velocidad media y el gasto.
18. Demostrar que en una tubería de radio r se cumple que
Vh − V
h
= 5,75 log + 3,73
V*
r
19. Demostrar que la condición para que un contorno se comporte como hidráulicamente liso se
puede expresar por
k<
5Cν
gV
89
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
20. En una tubería la distribución de velocidades esta dada por
1
 h x
Vh = Vmax  
r
Demostrar que si por medio de un tubo de Pitot se mide la velocidad a la distancia 0,25 r del
contorno, se obtiene la velocidad media correcta con un error de 0,5% para valores de
x
comprendidos entre 4 y 10.
21. Calcular a que radio debe colocarse un tubo de Pitot en una tubería para obtener con una sola
lectura la velocidad media, a) si el flujo es laminar. b) si el flujo es turbulento.
22. Demostrar que
C = 18 log
12
k C
+
R Re
23. ¿Qué valor habría que usar en lugar de 18, en la expresión anterior, para usar la fórmula en el
sistema inglés?
24. Calcular en el ejemplo 2.3 a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad
media. Dibujar la distribución de velocidades.
90
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
III
CAPITULO
LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL
MOVIMIENTO UNIFORME
3.1 Ecuación de Darcy
Consideremos el flujo en un cilindro de longitud L . Las fuerzas que actúan son la diferencia
de presiones, la fricción y el peso del fluido. Entre estas fuerzas debe haber equilibrio.
L
p1
τo
p2
z1
Plano de
referencia
θ
z2
Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería
La suma de la fuerza debida a la diferencia de presiones y la componente del peso es igual a
la resistencia que ofrece el contorno
( p1 − p2 ) A + γ L sen θ A = τ 0 PL
(3-1)
91
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
A es la sección transversal, P el perímetro y τ 0 el corte medio sobre el contorno.
Consideremos que el flujo es turbulento. Tomando en cuenta las ecuaciones 2-10 y 2-42 se
tiene,
(ec. 2-10)
τ 0 = γ RS
τ0 =
o
o o
(ec. 2-42)
γ 2
V
C2
V = C RS
si dividimos ambos miembros de la ecuación 3-1 por
γ A y se reemplaza el valor obtenido
para τ 0 se obtiene
p1 − p2
V P
+ L sen θ = 2 L
γ
C A
de donde,
 p1
 p
 V2 P
 + z1  −  2 + z 2  = 2 L
γ
 γ
 C A
luego,
hf = L
V2 4
C2 D
Multiplicando y dividiendo por 2 g el segundo miembro se llega a la expresión de la pérdida
de carga
L V 2 8g
hf =
D 2g C 2
Denominaremos f , coeficiente de Darcy a la relación entre 8 g y el cuadrado de
f =
8g
C2
C
(3-2)
Sustituyendo,
hf = f
92
L V2
D 2g
(3-3)
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
que es la ecuación de Darcy. También se le conoce con el nombre de Darcy - Weisbach. En
algunos textos el coeficiente f de Darcy se designa con la letra
λ.
La ecuación de Darcy es en esencia igual a la ecuación de Chezy. Esto puede demostrarse
utilizando los conceptos hasta ahora expuestos y haciendo simples transformaciones
algebraicas.
La ecuación de Darcy permite calcular la pérdida de carga h f que se presenta en un tramo
de tubería de longitud L , diámetro D y velocidad media V .
El desarrollo anterior ha sido hecho para un movimiento turbulento. Para el flujo laminar se
puede hacer un desarrollo análogo utilizando la velocidad media que corresponde a la ecuación
de Poiseuille (flujo laminar, ec. 2-19), en lugar de la ecuación de Chezy.
(ec. 2-10)
τ 0 = γ RS
o
o o
(ec. 2-19)
V=
γ SR
γ SR 2
2µ
2Vµ
R
o
o o
τ0 =
2Vµ
R
Reemplazando en la ecuación 3-1 el valor obtenido para τ 0 ,
( p1 − p2 ) A + γ L sen θ A = 2Vµ PL
R
dividiendo ambos miembros por
γ A y luego multiplicando y dividiendo el segundo miembro
por V ,
hf = 2
hf = 2
P V µ
L
A γ R
L V2 µ
R ρ g RV
Sustituyendo el radio hidráulico y haciendo algunas operaciones,
hf =
64 L V 2
Re D 2 g
93
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
o bien,
hf = f
L V2
D 2g
que es la ecuación de Darcy, en la que consideramos que para el flujo laminar,
f =
64
Re
(3-4)
el número de Reynolds esta referido al diámetro.
3.2 Significado del coeficiente f de Darcy (en tuberías circulares)
En lo que respecta al flujo laminar, f es simplemente una función del número de Reynolds.
En el flujo turbulento, que estudiaremos a continuación, el significado de f es más complejo.
En general es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.
k

f = ϕ  Re, 
D

(3-5)
La rugosidad relativa es la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro de la tubería (ec.
2-44).
La rugosidad absoluta depende de la calidad de las paredes expresada por
a)
Altura media de las irregularidades de la superficie
b)
Variación de la altura con respecto a la media
c)
Forma de las irregularidades del contorno
d)
Separación entre irregularidades adyacentes
Dada la compleja naturaleza de la rugosidad absoluta y su difícil representación es que
Nikuradse usó rugosidad artificial de diámetro uniforme.
Es útil el concepto de rugosidad equivalente
k . Según este concepto, k es una longitud que
mide el grado de rugosidad y tal que para dos conductos diferentes tiene valores proporcionales
a los diámetros de los mismos cuando para valores iguales al número de Reynolds los valores
correspondientes de f son los mismos para ambos conductos.
94
Capítulo III
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Si bien es cierto que en el flujo turbulento, f es, en el caso más general, función tanto del
número de Reynolds como de la rugosidad relativa, también lo es que puede ser función de
sólo uno de ellos.
En una tubería hidráulicamente lisa se desarrolla una subcapa laminar, cuyo espesor es
bastante mayor que la rugosidad. De acá que las irregularidades del contorno quedan dentro
de la subcapa laminar y por lo tanto no tienen significado para el cálculo de f .
En una tubería lisa,
f = ϕ (Re)
En cambio en una tubería hidráulicamente rugosa los valores de
(3-6)
k son tan grandes con
respecto al espesor que tendría la subcapa laminar,que ésta no puede desarrollarse. Entonces,
k
f =ϕ 
D
(3-7)
Para la transición entre contornos lisos y rugosos es aplicable una ecuación como la 3-5.
3.3 Tuberías hidráulicamente lisas
Blasius estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas estableciendo
que,
f =
0,316
Re
1
4
(3-8)
Esta ecuación de Blasius es válida para números de Reynolds (referidos al diámetro) menores
que 105, (aproximadamente).
Para números de Reynolds mayores, que correspondan a turbulencia plenamente desarrollada,
el valor de f se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.
Partimos de la ecuación 2-33,
V=
V* 46,4 R
ln
κ
δ
95
Hidráulica de tuberías y canales
luego sustituimos el valor de
Arturo Rocha
δ (ec. 2-28)
δ=
11,6ν
V∗
y reemplazamos el radio hidráulico por el diámetro, obteniendo
V=
Necesitamos ahora una relación entre
V∗ V∗ D
ln
κ
ν
(3-9)
V∗ y f . Para ello combinamos las siguientes
ecuaciones, ya conocidas
V∗ = gRS
V = C RS
Dividiendo,
g
V∗
=
V
C
(3-10)
De otro lado, a partir de la ecuación 3-2 obtenemos,
C=
8g
f
(3-11)
V∗
=
V
f
8
(3-12)
De las dos últimas se llega a
Reemplazando este último valor en la ecuación 3-9,
V f D
1
1
=
ln
f
8κ
8ν
efectuando operaciones y haciendo algunas sustituciones,
1
= 2,03 log(Re f ) − 0,92
f
96
(3-13)
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
y ajustando los coeficientes con valores experimentales obtenidos por Nikuradse se llega
finalmente a
1
= 2 log(Re f ) − 0,8
f
(3-14)
ecuación que tiene gran importancia, pues, es una relación analítica entre f y el número de
Reynolds. Tiene el inconveniente de ser implícita. Nikuradse estableció también la siguiente
relación empírica,
f = 0 ,0032 +
0 ,221
Re 0 ,237
(3-15)
en la que el número de Reynolds está referido al diámetro y que da prácticamente los mismos
resultados que la ecuación 3-14 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107.
Se puede citar también la fórmula de Konakov que da el valor de f en el flujo turbulento,
f =
1
(1,81 log Re -1,5)2
(3-16)
que es aplicable para números de Reynolds mayores que 2 300 y hasta de varios millones
(con respecto al diámetro).
Comparando, por ejemplo, las expresiones 3-4 y 3-8 se observa que en el flujo laminar, f
depende linealmente de la viscosidad, en cambio en el flujo turbulento depende de la potencia
un cuarto de la viscosidad.
Es conveniente llevar a un solo gráfico las ecuaciones 3-4, 3-8 y 3-14, usando papel logarítmico.
Obviamente la primera ecuación corresponderá a una línea recta.
Este gráfico muestra la relación completa entre el coeficiente f de Darcy y el número de
Reynolds para tuberías lisas. Abarca el flujo laminar, el flujo turbulento (Blasius y Nikuradse)
y la transición entre ambos escurrimientos.
97
Hidráulica de tuberías y canales
f
Arturo Rocha
0,20
f=
64
Re
0,10
0,08
0,06
0,04
Laminar
Turbulento
1
f
0,02
0,316
f=
1
Re 4
2 300
0,01
10
2
10
3
= 2 log Re f − 0,8
10
4
10
5
10
6
10
7
Re =
VD
v
Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas
3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de
Nikuradse
Como hemos señalado antes, en las tuberías hidráulicamente rugosas no puede desarrollarse
una subcapa laminar.
El valor de la velocidad y el coeficiente de Darcy dependen exclusivamente de la rugosidad
relativa. El valor de f se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.
Partimos de la ecuación 2-38,
V=
V 13,4D
V∗ 13,4 D
V = ∗ ln
ln
κ
k
κ
k
e introducimos la ecuación 3-12,
V∗
=
V
f
8
de donde
1
3,35 D
= 2,03 log
k
f
98
(3-17)
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
Ajustando los coeficientes de acuerdo a los resultados experimentales de Nikuradse
1
3,71D
= 2 log
k
f
(3-18)
Se observa, pues, que ahora f es función exclusiva de la rugosidad relativa. Es independiente
del número de Reynolds.
Si quisiéramos hacer un gráfico similar o compatible con el de la Figura 3.2 tendríamos que
considerar una familia de rectas paralelas al eje horizontal. Para cada valor de
obtiene el de f (ó de
f
D k , según el gráfico)
30,
0,06
0,05
61,2
0,04
120,
0,03
252,
504,
1014,
0,02
0,01
10
k D se
4
10
5
10
6
Re =
D
k
VD
v
Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas
Como hemos visto, Nikuradse estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías
lisas y rugosas introduciendo algunos ligeros ajustes en los coeficientes de las expresiones
analíticas. Pero también estudió experimentalmente la fase que corresponde a la transición
entre paredes lisas y rugosas.
El gráfico de Nikuradse representa en conjunto el comportamiento de las tuberías lisas, rugosas
y a la transición entre ambos. Aparece en la Figura 3.4, que es una síntesis de las Figuras
3.2 y 3.3.
Debe tenerse presente que el gráfico de Nikuradse corresponde a tuberías de rugosidad
artificial (ver apartado 2.10 y Figuras 2.13 y 2.14).
99
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
f
D
k
0,063
30
0,050
61,2
0,040
120
0,032
252
0,025
504
0,020
1 014
0,016
10
3
10
4
10
5
10
6
Re =
VD
v
Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse
Analizando el gráfico de Nikuradse se encuentra lo siguiente
a)
En el régimen laminar ( Re
≤ 2 300), la rugosidad de las paredes no tiene ninguna
influencia sobre la resistencia.
b)
Una tubería con un valor determinado de la rugosidad relativa, se comporta como
hidráulicamente lisa hasta un valor correspondiente del número de Reynolds. Se observa
en el gráfico que a medida que la tubería es relativamente más lisa se requiere un número
de Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a las
tuberías lisas.
c)
Al aumentar el número de Reynolds y/o la rugosidad, aparece una zona en la que el
coeficiente f es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.
Es la transición.
d)
Para valores altos del número de Reynolds el coeficiente f es función exclusiva de la
rugosidad relativa.
Si se pretendiera aplicar el diagrama de Nikuradse a tuberías comerciales, cuya rugosidad no
es artificial sino natural y tiene las características de la Figura 2.13, entonces en la zona de
transición se encontrarían fuertes diferencias.
Para tuberías comerciales se utilizará el diagrama de Moody (capítulo IV).
100
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
3.5 Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones de
distribución de velocidades
En el capítulo II establecimos la ecuación 2-57
Vh − V
h
= 5,75 log + 2
V∗
R
Expresión en la que
Vh : velocidad a la distancia h del contorno
V : velocidad media
V∗ : velocidad de Corte
R : radio hidráulico
La ecuación 2-57 nos muestra que en una tubería la diferencia entre la velocidad puntual y la
media depende de la distancia al contorno. Es independiente de que el contorno sea
hidráulicamente liso o rugoso.
Vamos a introducir la ecuación 3-12 en la ecuación 2-57
V∗ = V
f
8
obteniendo así
Vh
=
V
h


f  2,03 log + 0,71 + 1
R


Si se reemplaza 2,03 por 2,15 y 0,71 por 0,783 para ajustar con los resultados experimentales,
se obtiene
Vh
=
V
h


f  2,15 log + 0,783  + 1
R


(3-19)
De acá se puede obtener la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media. La
velocidad máxima, que se desarrolla en el eje, corresponde a
Vmax
= 1,43
V
f +1
h = 2R . Luego,
(3-20)
La expresión 3-19 es muy útil para la obtención del coeficiente f de Darcy y de la velocidad
101
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
media a partir del conocimiento de la distribución de velocidades. Si en una tubería se miden
los valores puntuales de la velocidad a diferentes distancias del centro, se obtiene
experimentalmente, para un caso particular, la ley de distribución de velocidades. Esto puede
hacerse por medio de un tubo de Pitot. Tal es el caso del problema 27 del capítulo I.
A partir de los valores obtenidos para
Vh en función de h es posible calcular f y V por
medio de la ecuación 3-19.
Si los valores medidos hubieran sido obtenidos con gran precisión y alta confiabilidad, bastaría
con tomar dos de ellos y obtener dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver el sistema,
hallando así f y V . Sin embargo toda medición implica un error. Es preferible obtener f y
V a partir de todos los valores medidos, haciendo un gráfico en papel semilogarítmico.
Vh
h
log r
La expresión 3-19 puede escribirse de la siguiente manera
Vh = 2,15 V
y
m
f log
h
+ 1,43 V
r
x
f +V
b
que representa una línea recta cuya ecuación es de la forma
y = mx + b
Siendo,
m = 2,15 V
102
f
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
b = 1,43 V
Los valores de
f +V
m y b se obtienen del gráfico. Resolviendo las dos ecuaciones se consigue
los valores de f y
V.
La ecuación 3-19 ha sido trasformada de modo de referirla al radio de la tubería.
3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook
- White
Hemos señalado y discutido ampliamente el concepto relativo a la naturaleza del contorno.
Desde el punto de vista hidráulico no podemos decir que un determinado contorno es en sí
liso o rugoso. Depende también de las características del escurrimiento. Un contorno puede
comportarse como liso frente a un flujo, pero como rugoso frente a otro flujo. Todo depende de
la relación entre el tamaño de la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podría
desarrollarse. Esto fue expuesto en el capítulo II, apartado 2.10.
En el gráfico de Nikuradse, Figura 3.4, se ve claramente que las tuberías más lisas requieren
de un número de Reynolds mayor para apartarse de la ecuación general de las tuberías lisas.
Podríamos, pues, decir que las tuberías dejan de comportarse como lisas para el mismo valor
de la relación de
kδ.
En las tuberías de rugosidad natural (no homogénea, diferente de la que usó Nikuradse), el
fenómeno de la transición es diferente. Esto se debe a que en una superficie con rugosidad
natural las irregularidades del fondo son de diferente tamaño. Basta la presencia de algunas
protuberancias mayores que la media para alterar la subcapa laminar.
Los valores de f en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtienen por
medio de la fórmula de Colebrook y White. Sabemos que en
Tuberías rugosas
(ec. 3-18)
1
3,71D
= 2 log
k
f
Tuberías lisas
(ec. 3-14)
Re f
1
= 2 log
2,51
f
Combinando ambas expresiones se obtiene la ecuación de Colebrook y White.
103
Hidráulica de tuberías y canales
 k

1
2,51
= −2 log  D +
f
 3,71 Re f

Arturo Rocha





(3-21)
Esta ecuación es prácticamente igual a la 2-41a del capítulo II.
3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.
Errores
Hasta ahora hemos estudiado todas las variables involucradas en el escurrimiento en tuberías
y su estudio nos permitirá, en el capítulo siguiente, presentar las modalidades de
dimensionamiento.
Conviene ahora recapitular y ordenar algunos conceptos fundamentales.
Como consecuencia de la fricción, que a su vez se debe a la viscosidad, se desarrolla en un
contorno liso una subcapa laminar. Esto determina un consumo de energía, una disipación de
energía. Esto es lo que denominamos una pérdida de carga.
Si las paredes no son lisas, sino rugosas, no se forma la subcapa laminar, pero hay pérdida
de energía por rozamiento y formación de vórtices en el contorno.
Además hay pérdida de carga (de energía) por frotamiento interno entre los filetes fluidos, la
misma que depende del grado de turbulencia.
Con el objeto de dimensionar un conducto, debemos disponer de una ley de pérdida de carga.
Bruschin, de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, ha hecho reflexiones muy interesantes
sobre este problema, señalando que una ley de pérdida de carga debe ser una ley “de
comportamiento”, vale decir, una ley de tipo descriptivo.
Así, pues, la ley de Darcy lo que hace es relacionar un parámetro característico del escurrimiento
-la velocidad media- con la pérdida de energía tomando en cuenta la calidad de las paredes y
las constantes características del fluido: densidad y viscosidad.
Señala Bruschin que las condiciones que debe reunir una ley de pérdida de carga son las
siguientes
104
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
a)
Base racional, compatible con los principios generales de la Mecánica de Fluidos
b)
Explicación clara del fenómeno de disipación de energía
c)
Caracterización e intervención de los parámetros principales descriptivos del fenómeno
d)
Verificación experimental. Sus parámetros deben ser susceptibles de medida
e)
Facilidad de uso en los problemas de ingeniería
La fórmula general de Colebrook y White satisface todas estas condiciones. Haciendo ligeras
transformaciones en la ecuación 3-21 se obtiene
V = −2 8 g
 k

2,51ν
+
RS log 

14,8 R 4 8 g R RS 
expresión que es prácticamente igual a la que obtuvimos en el capítulo II,
V = 18 log
6R
k δ
+
2 7

→
RS
V = C RS
y que es mucho más simple. En ambas
V : velocidad media de escurrimiento
R : radio hidráulico
S : pendiente de la línea de energía
k
δ
ν
:
rugosidad absoluta
:
espesor de la subcapa laminar
:
viscosidad cinemática
C : coeficiente de Chezy
Si en la última ecuación sustituimos,
C=
8g
f
se obtiene
V=
8g
f
RS
que es prácticamente la ecuación de Chezy, o la de Darcy.
105
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Por lo general el cálculo de una tubería tiene un objetivo preciso: determinar cuál es el diámetro
requerido para transportar un cierto gasto bajo condiciones dadas (pérdida de carga admisible,
rugosidad, viscosidad, etc.)
Haremos algunos cálculos para apreciar cuantitativamente la influencia relativa de los diversos
factores.
Analizaremos la influencia que tiene sobre el gasto una variación en el diámetro y una variación
en la pendiente (de la línea de energía) para tuberías lisas y rugosas.
Tuberías lisas
La fórmula de Colebrook y White para paredes lisas es
π D2
2,51ν
Q = −2
2 g DS log
4
2 g D DS
de acá se obtiene que la relación entre una variación en el gasto y una variación en el diámetro
es

dQ 
0,65
= 2,5 −
2,51ν
Q 
log

2 g D DS


 dD

 D


Similarmente la relación entre una variación en el gasto y una variación en la pendiente es

dQ 
0,217
= 0,5 −
2,51ν
Q 
log

2 g D DS


 dS

 S


Tuberías rugosas
La fórmula de Colebrook y White para paredes rugosas es
Q = −2
106
π D2
k
2 g DS log
4
3,71D
Capítulo III
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Haciendo cálculos similares a los anteriores, se obtiene que,


dQ 
0,43  dD
= 2,5 +
3,71D  D
Q 

log
k 

y,
dQ
dS
= 0,5
Q
S
Con el objeto de apreciar el significado físico de las cuatro fórmulas obtenidas, conviene
aplicar valores numéricos, correspondientes a casos usuales. Por ejemplo diámetros
comprendidos entre 0,3 m y 1 m, pendientes entre 0,1 % y 10 % y agua a 10 °C de temperatura.
Como las cuatro fórmulas obtenidas corresponden a los casos extremos de calidad de paredes
(lisas y rugosas), es evidente que para la transición se tendrá valores intermedios.
Se obtiene finalmente que,
y
dQ
dD
≈ 2,5
Q
D
(1)
dQ
dS
≈ 0,5
Q
S
(2)
Estas ecuaciones nos dan la variación que se produce en el gasto, como consecuencia de
una variación en el diámetro ó de una variación en la pendiente (los coeficientes son valores
medios, para condiciones usuales y cualquier naturaleza de paredes).
Para el cálculo de la influencia de la rugosidad, partimos de
1
k
= −2 log
3,71D
f
de donde,
 −1 
d  f 2 
df
= −2  1 
−
f
f 2
107
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
y con respecto a la rugosidad relativa,
k
d 
df
0,43
D
= −2  
k
k
f
log
D
3,71D
A partir de la ecuación de Chezy (expresando
V=
C en función de f )
8g
RS
f
se obtiene
dV
1 df
=−
V
2 f
importante relación que nos muestra la variación de la velocidad en función de las variaciones
del coeficiente f de Darcy.
Combinado las dos últimas expresiones, se obtiene
k
d 
dV
0,43
D
=  
k
V
 k 
log

D
 3,71D 
Para valores usuales de la rugosidad relativa, comprendidos entre 10-2 y 10-5 m se encuentra
que,
k
d 
dV
D
= (−0,0775 a − 0,174)  
k
V
D
o bien,
k
d 
dV
1   D
1
≈ − a

V
12  k
6
D
108
(3)
Capítulo III
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Este desarrollo ha sido hecho para tuberías hidráulicamente rugosas. Para la transición, la
influencia de la rugosidad es mucho menor.
Teniendo a la vista las ecuaciones 1, 2 y 3, se podría concluir, a manera de ejemplo, que
-
Una variación del 10 % en el diámetro produce una variación del 25 % en el gasto.
-
Una variación del 10 % en la pendiente produce una variación del 5 % en el gasto.
-
Una variación del 10 % en la rugosidad absoluta produce una variación del 1 % en el
gasto.
Combinado (1) y (2), se obtiene
dS
dD
= −5
S
D
lo que significa, por ejemplo, que una disminución del 10 % en el diámetro representaría un
aumento del 50 % en la pérdida de carga.
3.8 Tuberías de sección no circular
En el capítulo II hemos estudiado las ecuaciones de distribución de velocidades y la velocidad
media, para dos tipos de conductos que corresponden a casos extremos: canal de ancho
infinito y sección circular.
En la primera parte de este capítulo hemos hecho la aplicación correspondiente al caso de
tuberías circulares. Obtuvimos ecuaciones del coeficiente f de Darcy en función del diámetro.
Sin embargo, en algunos casos, se presentan tuberías (conductos a presión) de sección
diferente a la circular, como por ejemplo cuadradas, rectangulares, ovales, etc.
Si tomamos como ejemplo una sección rectangular vemos que el esfuerzo de corte no es
constante en todo el contorno. Allí donde el gradiente de velocidades es muy grande el corte
será mayor al valor medio. También debe tenerse presente que en secciones diferentes de las
circulares es fácil que aparezcan corrientes secundarias transversales.
Evidentemente que nuestra ecuación fundamental para la determinación del coeficiente f de
Darcy (3-5)
109
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha


f = ϕ  Re,


k 

D 
tendría que ser ampliada de modo de incluir también el factor “forma de sección”
k


f = ϕ  Re, , forma 
D


Sin embargo, los errores que se pueden cometer en la determinación de la rugosidad tienen
una influencia mayor que la que resulta de ignorar el factor forma.
Aceptaremos que en tuberías no circulares la pérdida de carga puede calcularse con la fórmula
de Darcy. Para esto se debe introducir dentro de la formula el concepto de radio hidráulico, tal
como se hizo en la deducción de la fórmula (apartado 2.12).
El radio hidráulico de una sección circular es
D / 4 . De acá que la ecuación de Darcy se
transforma en
hf = f
L V2
4R 2g
Para el cálculo de f se seguirá el mismo procedimiento que en las tuberías circulares,
considerando
Re =
V 4R
ν
k
k
=
D 4R
Por extensión se aplican los ábacos y fórmulas de las tuberías circulares, siempre que las
secciones no se aparten demasiado de la forma circular.
En la primera parte de este capítulo se obtuvo la ecuación de f en tuberías lisas (ecuación
3-13), partiendo de la ecuación 2-33. Si quisiéramos obtener una expresión análoga a la 3-13,
pero para un canal muy ancho, habría que partir de la ecuación 2-32 y se llegaría a
1
V R
= 2,03 log ∗ + 1,05
ν
f
110
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades
A partir de la ecuación de Blasius (3-8), Prandtl estableció una expresión para la distribución
de velocidades, que por su forma exponencial es muy útil y conviene conocer.
La deducción de Prandtl se basa en las siguientes suposiciones
-
La distribución de velocidades en las proximidades del contorno no depende del diámetro
de la tubería.
-
La distribución de velocidades en las proximidades del contorno está determinada por la
viscosidad, la densidad y el corte sobre el contorno.
-
Las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la velocidad.
Esto significa, por ejemplo, que si la velocidad media se triplica, entonces la velocidad
máxima también se triplica y las velocidades en todos los puntos varían en una misma
proporción.
-
La velocidad a la distancia
h del contorno se describe según la siguiente expresión
h
Vh = Vmax  
r
Siendo
x
(3-22)
x la potencia cuyo valor debe determinarse; r es el radio de la tubería.
Partiremos de la conocida expresión (2-7) que nos da el corte
τ 0 = γ RS
que al combinarse con la ecuación de Chezy (2-42) nos da
τ0 =
γ 2
V
C2
f =
0,316
(3-23)
De otro lado, según Blasius (3-8)
Re
Reemplazando la ecuación 3-2, f =
1
4
8g
, y reemplazando el número de Reynolds de la
C2
ecuación de Blasius
111
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
1
C =
2
1
8 gV 4 D 4
1
0,316ν 4
Reemplazando este valor en la ecuación 3-23
1
4
ρ ν 0,316 74 − 14
V D
τ0 =
8
Luego sustituimos el radio r en lugar del diámetro D y se tiene,
1
4
ρ ν 0,316 74 − 14 − 14
V 2 r
τ0 =
8
Consideremos que la velocidad máxima es proporcional a la velocidad media
Vmax = KV
Sustituyendo en 3-22
h
Vh = KV  
r
x
De donde,
V=
Vh
h
K 
r
x
ahora reemplazamos este valor de la velocidad media en la ecuación última obtenida para τ 0 ,
τ0 =
0,316 ρ ν
8k
7
4
1
4
7
4
h
V h
−
7
x
4
r
7
1
− x−
4
4
2
−
1
4
Para que τ 0 sea independiente del radio de la tubería se requiere que el exponente del radio
sea nulo. Luego,
112
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
7
1
x− =0
4
4
x=

→
1
7
Por lo tanto la distribución exponencial de velocidades es, en una tubería
1
 h 7
V h = V max  
r
(3-24)
Esta ecuación tiene, además de las hipótesis que se expusieron al iniciarse su deducción,
las limitaciones que corresponden a la fórmula de Blasius (tuberías lisas y números de Reynolds
menores que 105).
Para números de Reynolds mayores que 105 el exponente
x tiende a disminuir. Prandtl
menciona que para un número de Reynolds de 200 000, la curva de distribución de velocidades
queda mejor representada por el exponente 1/8 y para un número de Reynolds 10 veces
mayor, el exponente es 1/10.
Experimentalmente se ha establecido que en una tubería
Vmax = 1,235 V
(3-25)
Luego,
1
Vh
 h 7
= 1,235 
V
r
(3-26)
Ejemplo 3.1 Calcular el valor de f en una tubería lisa de 0,60 m de diámetro en la que fluye aceite con
una viscosidad de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad es de 3,95 m/s. Hacer el cálculo por dos métodos
diferentes. Con el valor de cada uno hallar la pérdida de carga para una longitud de tubería de 1 200 m.
Solución. En primer lugar calculamos el número de Reynolds,
Re =
VD 3,95 × 0 ,60
=
= 18 960
ν
1,25 × 10 −4
Como Re < 105, y la tubería es lisa se aplica la fórmula de Blasius (3-8)
f =
0,316
Re
1
4
=
0,316
(18 960)
1
4
=
0,316
= 0,027
11,73
113
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Si aplicamos la fórmula de Konakov (3-16),
f =
f =
1
(1,81 log Re− 1,5) 2
1
1
1
=
=
2
2
(1,81 x 4,277 − 1,5)
(7,74 − 1,5)
38,95
f = 0,026
Valor aproximadamente igual al de Blasius. La pérdida de carga es
1 200 3,952
L V2
= 0,027
= 42,99 m
D 2g
0 ,60 2 g
hf = f
o bien,
h f = 0,026
1 200 3,952
= 41,39 m
0 ,60 2 g
Ejemplo 3.2 Calcular el valor de f y luego el valor de C en una tubería lisa cuyo diámetro es 0,75 m.
Fluye aceite con una viscosidad cinemática de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad media es 2,76 m/s. Verificar
la ecuación 3-14.
Solución. Calculamos el número de Reynolds,
Re =
VD 2,76 × 0,75
=
= 16 560
ν
1,25 × 10 − 4
Como Re < 105 y la tubería es lisa es aplicable la fórmula de Blasius (3-8)
f =
0,316
Re
1
4
=
0,316
(16 560)
1
4
=
0,316
= 0,0279 ≈ 0,028
11,34
A modo de verificación calculamos el valor de C (ecuación 3-11)
C=
8g
= 53 m1/2/s
f
Obsérvese que los valores obtenidos coinciden con los del problema propuesto 1 del capítulo II. Esto
se debe a que el problema es idéntico.
114
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
Se puede observar también que los resultados obtenidos satisfacen la ecuación 3-14.
1
= 2 log Re
f
f − 0 ,8
5,99 = 2 log (16 560 x 0,167) - 0,8
5,99 ≈ 6,08
Ejemplo 3.3 Demostrar que en un canal muy ancho de turbulencia plenamente desarrollada y fondo
hidráulicamente rugoso se cumple que
ε = 0,884
Siendo ε =
f
Vmax
− 1 . Considerar que la ecuación 3-12 es aplicable
V
Solución.
Vh =
V∗ 30h
ln
κ
k
Vmax =
V∗
30 y
ln
κ
k
La velocidad máxima corresponde a h = y
La velocidad media es
V=
V∗ 11y
ln
κ
k
Luego,
V∗ 30y V∗ 11y V∗ 30 V∗
ln
− ln
ln
ln e
k
k = κ 11 = κ
κ
ε= κ
V
V
V
V∗
2,5 V∗
ε= κ =
V
V
Pero,
V = V∗
8
f
Luego,
ε=
2,5 V∗ 2,5 f
=
= 0,884 f
8
8
V∗
f
115
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplo 3.4 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo, diámetro 0,20 m, rugosidad artificial k = 0,001 m,
velocidad 4 m/s, ν = 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de carga.
Solución. Calculamos en primer lugar el número de Reynolds
Re =
VD 4 × 0,20
=
= 8 × 105
ν
10 −6
Luego la rugosidad relativa
k 0,001
=
= 0,005
D 0,20
Entrando con estos dos valores al diagrama de Nikuradse (por ser la rugosidad artificial) se obtiene
f = 0,030.
Obsérvese que corresponde a tuberías hidráulicamente rugosas, luego podemos calcular f utilizando
la fórmula 3-18,
1
D

= 2 log 3,71 
k
f

1
0 ,20 

= 2 log 3,71

0
,001 
f

f = 0,0303
valor bastante próximo al calculado con el abaco.
La pérdida de carga es
hf = f
L V2
1 000 16
= 0,030
= 122,45 m
D 2g
0 ,20 2 g
Ejemplo 3.5 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores
que 105 se cumple que
δ
A
=
7
r
Re 8
El número de Reynolds está referido al radio r de la tubería. Hallar el valor de A . En la deducción debe
utilizarse la ecuación de δ anteriormente establecida (ec. 2-28).
116
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
Solución. Sabemos que
f =
0,316
Re
f
V
8
V∗ =
y
1
4
Combinando estas dos ecuaciones,
V∗ =
0,316 V
1
8 Re 8
Reemplazando este valor de la velocidad de corte en la ecuación 2-28 de δ
1
11,6 ν 8 Re 8
δ =
0,316 V
1
1
11,6 8 V 8 D 8 ν
δ =
1
0,316 ν 8 V
Multiplicando y dividiendo por r y reemplazando D = 2r .
1
1
1
V 8 28 r 8 r ν
δ = 58,37
1
rV
ν8
7
δ = 58,37 r 2
ν8
1
8
7
7
V 8 r8
7
δ = 63,65 r Re 8
Luego,
δ 63,65
=
7
r
Re 8
El valor de A es 63,65.
Ejemplo 3.6 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores
que 105 se cumple que
δ
A
=
7
r
Re 8
El número de Reynolds está referido al radio r de la tubería. Hallar el valor de A . La deducción debe
hacerse sin utilizar la ecuación de δ anteriormente establecida (ec. 2-28).
117
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Solución. Sabemos que el esfuerzo de corte en el contorno es
τ0 =
0,316
1
1
7
ρν 4 V 4 r
−
1
4
8 x 24
o bien,
0 ,033 ρV 2 Re
−
1
4
El número de Reynolds está referido al radio de la tubería.
Sabemos también que dentro de la subcapa laminar se puede aceptar que el corte es constante e igual
a τ0 ,
τ0 = µ
Vδ
δ
Igualando,
0 ,033 ρV 2 Re
0 ,033
−
1
4
=µ
Vδ
δ
Vr − 14 r Vδ
Re =
ν
δ V
3
0 ,033 Re 4 =
r Vδ
δ V
Pero, según la ecuación 3-26,
1
 δ 7
Vδ = 1,235 V  
r
Reemplazando,
1
 δ 7 r
0,033 Re V = 1,235 V  
r δ
3
4
δ 
0,033 Re = 1,235  
r
3
4
Elevando a la potencia 7/6,
7
7
 0,033  6
r

 Re 8 =
δ
 1,235 
118
−
6
7
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
De donde,
δ 68,45
=
7
r
Re 8
Luego, A = 68,45
Ejemplo 3.7 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa, cuyo número de Reynolds, referido al
diámetro, es menor que 105, se cumple que
1
V
V r 7
= 6,99  ∗ 
V∗
 ν 
Solución. Por las condiciones del problema es aplicable la ecuación de Blasius
f =
0,316
1
Re 4
Sabemos también que
f =8
V∗2
V2
Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene la expresión buscada.
Ejemplo 3.8 Demostrar que el esfuerzo de corte sobre el contorno se puede expresar por
τ0 =
1
ρ fV2
8
Solución. Partimos de la ecuación de Darcy
hf = f
L V2
D 2g
Reemplazando el diámetro en función del radio hidráulico y despejando la pendiente, se obtiene,
S=
1
1 2
f
V
8
Rg
Combinando con
τ0 = γ R S
Se obtiene finalmente
τ0 =
1
ρ fV2
8
119
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplo 3.9 Una fórmula racional para las pérdidas de presión en el caso de flujos en tuberías
geométricamente similares es
∆p =
ρ LV 2  ρ VD 
ϕ


D
µ 

Para el caso de una tubería de 4” de diámetro, que lleva agua a una velocidad media de 0,50 m/s la
pérdida de carga es de 0,25 m en un tramo de 40 m.
Calcular la pérdida de carga en metros de agua en otra tubería de 150 m de longitud y 10” de diámetro
en la que circula aire a la velocidad correspondiente para que ambas tuberías sean similares.
Asumir que ambas tuberías tienen rugosidades absolutas similares. Considerar
Peso específico del aire
:
1,25 kg/m3
Peso específico del agua
:
1 000 kg/m3
Viscosidad del aire
:
1,8x10-4 poises
Viscosidad del agua
:
1,2x10-2 poises
Solución. Si ambas tuberías son hidráulicamente similares debe cumplirse que el número de Reynolds
es el mismo para ambas
 ρ1V1 D1   ρ 2V2 D 2

 = 
 µ1   µ 2



Luego al aplicar la fórmula racional, dato del problema a ambas tuberías y al obtener la relación entre
las pérdidas de carga se llega a
∆p1 ρ1 L1 V12 D2
=
∆p 2 ρ 2 L2 V22 D1
De la igualdad de los números de Reynolds obtenemos
V2 = V1
ρ1 D1 µ2
1 000 4 1,8 × 10 - 4
= 0,50
ρ2 D 2 µ1
1,25 10 1,2 × 10 −2
V2 = 2 ,4 m/s
calculamos ahora la relación entre las pérdidas de carga
∆p1 1 000 40  0,50  10
=
= 23,148


∆p2
1,25 150  2,4  4
2
120
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
Luego,
∆p 2 =
0,25
= 0 ,0108 m
23,148
la pérdida de carga en la tubería de aire equivale a una altura de 0,0108 m de agua.
3.10 Concepto de capa límite
En el primer capítulo habíamos señalado que la distribución de velocidades en la sección
transversal depende del número de Reynolds. Para decirlo en otras palabras, el gradiente
transversal de velocidades depende del grado de turbulencia. Cuando el flujo es laminar (o sea
cuando no hay turbulencia) el gradiente de velocidades es muy grande. Al aumentar la velocidad,
y por consiguiente el número de Reynolds y el grado de turbulencia, el gradiente de velocidades
disminuye, tiende a uniformizarse. Llega un momento en el cual la turbulencia está plenamente
desarrollada. En estas condiciones un aumento en el número de Reynolds no conlleva un
aumento en el grado de turbulencia.
En un flujo con turbulencia plenamente desarrollada la distribución de velocidades es casi
uniforme en la sección. La influencia del contorno se limita a una capa, muy delgada, próxima
a las paredes. Allí los esfuerzos viscosos son grandes y el gradiente de velocidad es intenso.
A esta pequeña capa, se le denomina capa límite. Toda la teoría sobre la capa límite es muy
compleja, pero conviene presentar acá los conceptos fundamentales, incidiendo principalmente
en el aspecto físico del problema.
Imaginemos un flujo paralelo que se desarrolla en un espacio infinito, sin obstáculo o contorno
alguno.
Si en este flujo colocamos un obstáculo, es decir, un cuerpo, se producirá fricción entre el
fluido y la superficie del cuerpo. En el contorno mismo las velocidades del fluido y del contorno
deben ser iguales. Luego en el contorno la velocidad debe ser cero. En las inmediaciones del
cuerpo la distribución de velocidades estará determinada por los esfuerzos viscosos. Aparecerá
un gradiente de velocidades. Al alejarnos del cuerpo, normalmente a su superficie, la velocidad
aumenta desde cero en el contorno hasta alcanzar, a una distancia
δ
la velocidad que
tendría en ausencia del cuerpo.
121
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Figura 3.5 Flujo paralelo
Consideremos que el cuerpo esta constituido por una placa lisa y delgada con borde de
ataque agudo y que el flujo es bidimensional. Para facilitar la interpretación del dibujo la
escala vertical aparece considerablemente ampliada.
Esta zona de espesor variable δ que se inicia en el borde de ataque y que crece hacia aguas
abajo se denomina capa límite.
La teoría de la capa limite planteada por Prandtl en 1904 es uno de los aportes más
significativos a la Mecánica de Fluidos.
La esencia de la teoría de Prandtl consiste en separar el escurrimiento en dos regiones: una
interior y otra exterior a la capa límite.
δ
Figura 3.6 Generación de una capa límite
122
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
Dentro de la capa limite los esfuerzos viscosos son intensos y determinan un fuerte gradiente
de velocidades. Fuera de la capa límite el fluido se comporta como perfecto e irrotacional con
energía constante y por la tanto son aplicables las ecuaciones de Euler y la teoría del flujo
potencial.
La consecuencia práctica de esto es que el movimiento de un fluido puede describirse como
si correspondiera a un fluido ideal, salvo en una pequeña capa, próxima al contorno, que es la
capa límite.
El espesor de esta capa es más pequeño mientras mayor es el número de Reynolds. Para un
número de Reynolds infinito, que corresponde a un fluido ideal, sin viscosidad, es evidente
que el espesor de la capa límite es nulo (ver Figura 1.13).
3.11 Espesor de la capa límite
De lo anteriormente expuesto se desprende que la distancia del contorno a la cual la velocidad
sería la misma que habría de no existir el cuerpo o placa, sólo puede alcanzarse asintóticamente.
Por lo tanto las definiciones para el espesor de la capa límite son más o menos arbitrarias.
Utilizaremos el concepto de espesor nominal de la capa límite.
La definición más generalizada considera como espesor la distancia a la cual la velocidad es
el 99 % de la que existiría en ausencia del contorno.
δ
(a)
δ
(b)
Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite
123
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Otra manera de definir el espesor nominal de la capa límite se presenta en la Figura 3.7 (a).
Se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asintota de modo que
las áreas achuradas sean iguales.
En la Figura 3.7 (b) se presenta otra definición similar. Se intercepta la asintota con una
tangente a la curva de origen.
0,99 V
V- V h
δ
Vh
dh
δ*
Figura 3.8 Espesor de la capa límite
Otra forma de definición es la que considera el “espesor de desplazamiento”. El espesor de
desplazamiento es la distancia en la que se considera desplazado el flujo como consecuencia
de la disminución de velocidad en la capa límite.
Debido al gradiente de velocidades dentro de la capa límite hay una disminución en el flujo
cuyo valor sería
∫
h =∞
h =0
(V − Vh ) dh
El resultado de esta integral debe ser igual al producto de la velocidad que hay fuera de la
capa límite por el espesor de desplazamiento
V δ∗ = ∫
h =∞
h =0
δ* .
(V − Vh ) dh
o bien,
δ∗ = ∫
124
h =∞
h =0
 V 
1 − h  dh
 V 
(3-27)
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
3.12 Desarrollo de la capa límite
En la Figura 3.9 el flujo que se aproxima a la placa puede ser laminar o turbulento. En
cualquier caso, sin embargo, si es que la placa es suficientemente lisa, la capa límite es
laminar hasta una cierta distancia del borde de ataque. Luego de una transición, se vuelve
turbulenta. Aparece entonces dentro de la capa límite turbulenta una subcapa laminar. Esta
subcapa laminar es la que hemos estudiado en la capítulo II (ec. 2-28).
La transición entre el flujo laminar y turbulento dentro de la capa límite se produce para
valores del número de Reynolds comprendidos entre 2x105 y 106 siendo,
Re =
Se denomina
Vx
ν
x a la distancia medida desde el borde de ataque y a lo largo de la placa en la
dirección del escurrimiento.
Obsérvese que este número de Reynolds para la capa límite se define de un modo diferente al
número de Reynolds de una tubería o un canal.
El espesor de la capa límite laminar
δL
δL =
viene dado por,
5x
Re
El espesor de la capa límite turbulento
δT =
δT
1
2
Re
1
(3-28)
viene dado por,
0,38 x
1
5
1
 ν 2
= 5  x 2
V 
1
4
 ν 5
= 0,38  x 5
V 
(3-29)
Comparando ambas expresiones se observa que el espesor de la capa límite turbulenta crece
con el exponente 4/5 de
x , mientras que la capa límite laminar crece con el exponente 1/2.
Es decir que la capa límite turbulenta crece más rápidamente que la laminar.
Las expresiones que dan el espesor de la capa límite se derivan a partir de considerar el
cambio de la cantidad de movimiento, la fricción con el contorno y el gradiente de presiones.
125
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
3.13 La separación. Expansión de un conducto
Si la capa límite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque, se presentarán las
fases descritas en la Figura 3.9. Para un determinado valor de x la capa límite turbulenta se
habrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y δ es igual al radio. Si las paredes
de la tubería son suficientemente lisas se desarrollará una subcapa laminar de espesor
δ
.
V
ecuación 3-29
ecuación 3-28
subcapa
laminar
δL
δT
δ
x
laminar
transición
turbulento
Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta
Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa límite se caracteriza por tener
energía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del
escurrimiento, lo que implica
∂p
<0
∂x
Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en la
dirección del escurrimiento,
∂p
>0
∂x
Se trata entonces de una expansión y la capa límite aumenta de espesor rápidamente. En el
primer caso la capa límite aumenta de espesor lentamente.
El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite se
126
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
ilustra en el siguiente dibujo esquemático.
∂p
<0
∂x
∂p
>0
∂x
Capa límite
Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones
La condición
∂p
> 0 corresponde a líneas de corriente divergentes. Si esta condición se
∂x
presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa límite puesto que allí se
tiene el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muy
lentamente, y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Luego
por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa límite una
contracorriente. Aparece una separación que se inicia en el punto S.
S
Contracorriente
Figura 3.11 Fenómeno de la separación
127
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La separación es el fenómeno de alejamiento del flujo de la pared. Queda una porción en la
que hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede haber movimiento
en dirección contraria a la del escurrimiento principal (contracorriente).
Lo anteriormente expuesto se puede resumir señalando que siempre que por una razón u otra
haya un incremento de presión, las partículas de la capa límite perderán velocidad hasta
detenerse y si la diferencia de presión es muy fuerte las partículas avanzan en dirección
contraria a la del escurrimiento.
Capa límite
Capa límite
Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión
Este problema se presenta en una expansión, en un flujo de líneas de corriente divergentes.
Podría ser el caso de un difusor o un canal de sección creciente (una transición).
Si el gradiente de presiones es muy grande se produce la separación.
Contracorriente
Corriente principal
Contracorriente
Figura 3.13 Aparición de contracorrientes
128
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
Ejemplo 3.10 Fluye agua con una viscosidad de 10-6 m2/s a una velocidad uniforme de 2,5 m/s. El flujo
es paralelo. Se coloca una placa delgada y lisa paralela a la corriente. Calcular la longitud de la porción
laminar de la capa límite formada. Calcular el espesor de la capa límite a 5 cm y 1 m del borde de ataque.
Solución. La transición se produce para
Vx
= 5 × 105
ν
Luego,
x=
5 × 105 × 10 −6
= 0,2 m
2,5
La longitud de la porción laminar de la capa límite es de 20 cm.
Luego para x = 5 cm la capa límite es laminar.
δL =
5x
1
Re 2
Re =
Vx
= 12,5 × 10 4
ν
5 × 5 × 10 −2
= 7,07 × 10 −4 m
12,5 × 10 2
a)
δL =
b)
A la distancia de 1 m el flujo es turbulento
δT =
0,38
1
Re 5
El número de Reynolds es
Re =
Vx
= 2,5 × 10 6
ν
y,
δT =
0,38
= 2 cm
19
129
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo
1 . Discutir
como
varía
en
una
III)
tubería
la
relación
de
la
velocidad
máxima a la media
a ) Para
b)
2.
números
de
Reynolds
crecientes.
Para rugosidad relativa creciente (para tuberías de rugosidad artificial).
Explique teóricamente por que no hay exactamente el mismo valor para A en los ejemplos 3.5
y 3.6.
3.
Si admitimos que en la ecuación de Darcy el valor de f viene dado por la ecuación de Blasius
y hacemos los reemplazos correspondientes demostrar que el exponente de la velocidad sería
1,75.
4.
Demostrar que
α = 1 + 2,93 f − 1,55 f
3
2
β = 1 + 0,98 f
5.
Se han efectuado mediciones puntuales de la velocidad en una tubería con flujo turbulento
encontrándose que la velocidad a la distancia D / 4 del contorno es igual a 0,89 Vmax
Calcular el valor del coeficiente f de Darcy y la rugosidad relativa.
6.
Calcular para el ejemplo 2.1, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando
la ecuación de Darcy. Comparar resultados.
7.
Calcular para el ejemplo 2.3, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando
la ecuación de Darcy. Comparar resultados.
8.
Calcular para el ejemplo 2.5, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando
la ecuación de Darcy. Calcular el valor de f a partir del coeficiente C de Chezy y a partir de
la ecuación de Blasius. Comparar resultados.
9.
A partir del valor de
C obtenido en el problema propuesto 1 del segundo capítulo, calcular el
valor de f y comparar con el obtenido a partir de la ecuación de Blasius. Calcular la pérdida
de carga.
130
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
10. Se tiene dos tuberías de igual diámetro por las que circula el mismo gasto. En la primera el flujo es
laminar. En la segunda, que es de paredes lisas, el número de Reynolds es de 80 000 (referido al
diámetro). Demostrar que la relación entre las velocidades máximas respectivas es de 1,67.
11. Partiendo de que en una tubería rugosa con flujo turbulento la resistencia τ 0 por unidad de área
µ , de la densidad ρ , de la velocidad V del fluido y del
diámetro D y la rugosidad absoluta k de la tubería, demostrar que
del contorno depende de la viscosidad
 ρ VD k 
τ0
= ϕ 
, 
2
ρV
 µ D
12. Mediante consideraciones dimensionales puede demostrarse que,
 ρ VD 
F

= ϕ 
2
ρV
 µ 
expresión en la que F es la fuerza de fricción por unidad de área del contorno,
ρ es la densidad,
V es la velocidad media, D el diámetro y µ la viscosidad dinámica.
Se trata de simular el flujo del aire en una tubería en un modelo a la escala 1/4 en el que fluye agua.
La velocidad del aire es de 25 m/s. Calcular
a)
Cuál debe ser la velocidad correspondiente del agua en el modelo para que exista similitud.
b)
Cuál sería la pérdida de carga por unidad de longitud en la tubería para aire si en el modelo
para agua la pérdida de carga por unidad de longitud es de 0,20 kg/cm2.
1 000 kg/m3
Peso específico del agua
:
Peso específico del aire:
1,25 kg/m3
La viscosidad dinámica del agua es 60 veces la dinámica del aire.
13. Según Nikuradse la relación entre el coeficiente f de Darcy y el número de Reynolds
Re ,
referido al diámetro, es
f = 0,0032 +
0,221
Re 0 , 237
para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107 (ec. 3-15). Calcular cuál es el valor de f
y el correspondiente número de Reynolds, para los que ésta fórmula da los mismos resultados
que la ecuación de Blasius.
131
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
14. Demostrar que en un conducto hidráulicamente liso se cumple que
Vk 14
<
ν
f
15. Demostrar que la expresión para la velocidad media obtenida a partir de la fórmula de Colebrook
y White
 k

2,51ν
V = −2 8 g RS log 
+

14,8 R 4 8 g R RS 
tiene la forma de la ecuación de Chezy,
V = 18 log
6R
k δ
+
2 7
RS
Calcular el valor numérico de los coeficientes que resulten de la transformación. ¿Por qué no son
exactamente iguales a los de la ecuación de Chezy?
16. La distribución de velocidades en una tubería circular esta dada por
1
Vh
 h 7
= 1,235  
V
r
Calcular a qué distancia del contorno la velocidad
( Vh ) es igual a la velocidad media.
17. En una tubería AB de 20” de diámetro, cuyo gasto es de 1 200 l/s, se ha verificado una pérdida de
presión de 4 kg/cm2 entre los puntos A y B, cuya separación es de 1 km. El punto B está 2 m por
encima del punto A. La temperatura del agua es de 8 ºC. Suponer que la rugosidad de las paredes
es uniforme. Calcular
a)
El coeficiente f de Darcy
b)
La calidad de las paredes (lisa o rugosa)
c)
El valor de la rugosidad absoluta (supuesta uniforme), analítica y gráficamente
d)
La velocidad máxima
18. En una tubería de 6” de diámetro hay un escurrimiento cuyo número de Reynolds (referido al
diámetro), es de 22 000. Calcular el coeficiente f de Darcy.
132
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
Capítulo III
19. Comparar los ejemplos 8 y 9 y demostrar que se trata de una misma tubería, (con la única diferencia
en la longitud).
20. Demostrar que el ejemplo 2.5 satisface los resultados del ejemplo 3.5.
21. En una tubería el valor de α es 1,08. Calcular la relación entre la velocidad máxima y la media.
22. Calcular los valores de α y
β para la tubería del problema propuesto 5 de este capítulo.
23. En una tubería de 0,75 m de diámetro fluye aceite cuya viscosidad cinemática es de 1,25x10-4 m2/
s. La rugosidad absoluta es de un décimo de milímetro. Cada 100 m de recorrido se pierde una
energía equivalente a 1,45 m de columna fluida. Calcular cuál sería el porcentaje de disminución
en el gasto si resultara que el diámetro de 0,75 m es exterior y no interior, como se supuso en los
cálculos.
El espesor de la tubería es de 2 cm.
24. Demostrar que los valores del problema 23 satisfacen la ecuación 3-14.
25. Se tiene una tubería de 1 m de diámetro. La rugosidad de las paredes es de 1 mm. Se mantiene
un movimiento uniforme por medio de la energía equivalente a 2 m de columna de agua por
cada 100 m de tubería. La viscosidad del agua es de 10-6 m2/s.
Después de algunos años de uso, la rugosidad aumentó a 1,5 mm. Calcular los valores iniciales
y finales de la velocidad media y del coeficiente f de Darcy.
Calcular cuál sería la energía requerida para mantener la velocidad inicial cuando se tiene el
nuevo valor de la rugosidad.
133
Capítulo IV
Diseño de tuberías
CAPITULO
IV
DISEÑO DE TUBERIAS
4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea
piezométrica
Sea una tubería de sección variable como la mostrada en la Figura 4.1. Si aplicamos la
ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene
L. E.
2
α 1 V1
2g
Σ h f 1-2
2
α 2 V2
2g
L. P.
p1
γ
p2
γ
z1
z2
Plano de
referencia
1
2
Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería
135
Hidráulica de tuberías y canales
α1
Arturo Rocha
V2 p
V12 p1
+ + z1 = α2 2 + 2 + z2 + ∑ h f
1− 2
2g γ
2g γ
(4-1)
Es decir, que al pasar de 1 a 2 hay una parte de la energía que “se pierde”: que no se
transforma en presión, velocidad o elevación. Es la energía consumida en forma de fricción y
que denominamos h f , pérdida de energía o pérdida de carga.
Para el movimiento uniforme, la sección transversal es invariable, por lo tanto la velocidad
también lo es y la energía de velocidad es constante
α1
α
V12
V2
= α2 2
2g
2g
es el coeficiente de Coriolis estudiado en el capítulo I.
Entonces, la ecuación de la energía es simplemente
p1
p
+ z1 = 2 + z2 + ∑ h f
1− 2
γ
γ
A la línea que resulta de unir las elevaciones a las que sube el líquido en una serie de
piezómetros instalados a lo largo de la tubería se le denomina línea piezométrica o línea de
gradiente hidráulica (L. P.).
Si en cada sección se adiciona a la cota piezométrica el valor correspondiente a la energía de
velocidad se obtiene la línea de energía. En el movimiento uniforme la línea de energía y la
línea piezométrica son paralelas.
Con respecto a la línea de gradiente o piezométrica conviene ordenar los siguientes conceptos
a)
La línea de gradiente indica por medio de su altura sobre el eje de la tubería la presión en
cualquier punto de ella.
b)
En una tubería, o en tuberías de igual rugosidad y diámetro, cuanto mayor es la pendiente
o inclinación de la línea de gradiente tanto mayor será la velocidad del fluido.
c)
La línea de gradiente hidráulica indica por su descenso vertical la energía perdida entre
dos secciones (para el movimiento uniforme).
d)
La gradiente hidráulica es recta para tuberías rectas de sección transversal constante y
para tuberías cuya longitud sea aproximadamente igual a la línea que une sus extremos.
La línea de energía siempre desciende en la dirección del escurrimiento, salvo que se coloque
una bomba.
136
Capítulo IV
Diseño de tuberías
La línea de gradiente hidráulica no siempre desciende en la dirección del escurrimiento.
La línea de energía y la de gradiente coinciden con la superficie libre para un líquido en
reposo. Tal sería el caso de un estanque.
En la ecuación de la energía 4-1 se ha designado como
∑h
f1− 2
a la suma de todas las
pérdidas de carga (de energía) que ocurren entre 1 y 2.
Estas pérdidas de carga son fundamentalmente de dos tipos: continuas y locales.
Las pérdidas de carga continuas se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmula
de Darcy (ecuación 3-3).
h
f
= f
L V2
D 2g
Las pérdidas de carga locales dependen de las características de cada singularidad, válvula,
codo, etc.; y en el apartado 4.3 se presentarán sus valores.
Potencia
Se llama potencia de una corriente líquida a su energía por unidad de tiempo.
Pot = γ Q H
(4-2)
γ es el peso específico del fluido en kg/m3, Q es el gasto en m3/s, H es la energía total con
respecto al plano de referencia, en metros,
Pot es la potencia en kg-m/s (teórica). Para
obtener esta potencia en
HP (Horse Power)
Pot =
γ QH
76
CV (Caballos de vapor)
Pot =
γ QH
75
KW (kilowatts)
Pot =
γ QH
102
137
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplo 4.1 De un estanque sale una tubería de 10” de diámetro que termina en una boquilla de 4” de
diámetro. La velocidad de salida del agua es de 15 m/s. Calcular la potencia teórica del chorro.
Solución. El gasto es
Q = A × VS = 0,1216 m3/s
La energía en la boquilla es
VS2
= 11,48 m ( VS es la velocidad de salida)
2g
La potencia teórica del chorro, según la ecuación 4-2, es
Pot = 1 396 kg m/s
o bien,
18,4 HP = 13,7 KW
4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo
En el apartado 3.2 se señaló la naturaleza compleja e irregular que tiene la rugosidad de las
tuberías comerciales. De acá que Nikuradse usó en sus experiencias rugosidad artificial
constituida por esferas de diámetro uniforme (granos de arena).
Pero las tuberías comerciales tienen rugosidad natural. El Estudio experimental de la pérdida
de carga fue hecho, entre otros, por Moody, estableciendo un gráfico similar al de Nikuradse
y que relaciona el coeficiente f de Darcy, el número de Reynolds y los valores de la rugosidad
relativa (Figura 4.2). Las características de este gráfico son similares al de Nikuradse.
Las tuberías comerciales son de diferentes materiales: fierro fundido, acero, asbesto-cemento,
concreto, plomo, plásticos, etc. Cada material tiene una rugosidad característica propia, cuyo
valor forma parte de la descripción técnica de la tubería. De otro lado debe tenerse presente
que la rugosidad cambia con el tiempo. Después de varios años de uso una tubería es más
rugosa de lo que era inicialmente. Este fenómeno de envejecimiento de las tuberías será
descrito mas adelante.
La selección del material de una tubería depende de varios factores: costo inicial, costo de
reposición y mantenimiento, capacidad inicial, cambio con el tiempo, resistencia, duración,
calidad y características químicas del fluido, etc. Los valores de la rugosidad absoluta
obtienen de la Tabla 2.1 ó de la 4.4.
138
k se
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Los problemas que pueden presentarse en el cálculo de tuberías son los siguientes
a)
Cálculo de la pérdida de carga h f
Es el caso más simple, los datos son
Q :
gasto
L :
longitud
D :
ν :
k :
diámetro
viscosidad cinemática
rugosidad
Con estos datos se determina inmediatamente los dos parámetros necesarios para aplicar
el diagrama de Moody, que son el número de Reynolds y la rugosidad relativa
VD
ν
k
D
Con ellos se determina el valor de f y aplicando la ecuación de Darcy se calcula la
pérdida de carga h f .
b)
Cálculo del gasto Q
Los datos son
L :
D :
ν :
longitud
k
rugosidad
:
hf :
diámetro
viscosidad cinemática
pérdida de carga
Con estos datos no es posible calcular el número de Reynolds. Debe procederse por
aproximaciones sucesivas. Primero se calcula la rugosidad relativa y observando el
diagrama de Moody se supone un valor para f (podría ser, por ejemplo, el que corresponde
a turbulencia plenamente desarrollada). Con este valor de f incorporado a los datos se
calcula un valor tentativo para la velocidad, en base a la cual se halla un número de
Reynolds.
Con el número de Reynolds y la rugosidad relativa se calcula un valor para f , el cual se
compara con el supuesto inicialmente. Si la diferencia fuera grande debe hacerse un
nuevo cálculo hasta conseguir igualdad en las dos primeras cifras significativas. Obtenidos
los valores de f y de V se debe verificar que satisfacen la ecuación de Darcy. Con el
valor correcto de la velocidad se calcula el gasto.
139
Hidráulica de tuberías y canales
140
Flujo
Laminar
Zona
Crítica
0,10
0,09
Zona de
Transición
o La
0,08
F luj
f
0,05
=
ar, ƒ
min
0,07
Turbulencia plenamente desarrollada (Tuberías rugosas)
0,06
0,04
0,03
e
64/R
0,05
0,02
0,015
0,04
0,01
0,008
Re f
= 200
D k
0,006
0,03
0,004
0,025
0,002
0,02
k
D
0,001
0,0008
0,0006
0,0004
0,015
0,0002
0,0001
Tuberías lisas
0,00005
0,01
0,000001
0,0000005
0,009
0,00001
0,008
67 9
10
3
2
3
4 5 67 9 4
10
2
3
4 5 67 9 5
10
2
4 5 67 9 6
10
VD
v
Figura 4.2 Abaco de Moody
2
3
4 5 67 9 7
10
2
3
4 5 67 9 8
10
Arturo Rocha
Re =
3
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Ejemplo 4.2 Se tiene una tubería nueva de fierro fundido ( k = 0,00025 m) de 10” de diámetro. La
longitud es de 1 000 m. Conduce agua cuya viscosidad es de 10-6 m2/s. La pérdida de carga (de energía)
en el tramo considerado es de 10 m. Calcular el gasto.
Solución. La rugosidad relativa es
k D = 0,001
Si suponemos que la turbulencia está plenamente desarrollada
f = 0,0198
Calculamos ahora la velocidad a partir de la ecuación de Darcy,
10 = f
L V2
1 000 V 2
= 0,0198
D 2g
0,254 2 g
De acá se obtiene,
V = 1,59 m/s
Luego,
Re =
V D 1,59 × 0,254
=
= 4,04 × 105
10 −6
ν
Consideramos ahora como datos el número de Reynolds y la rugosidad relativa y hallamos f en el
diagrama de Moody,
f = 0,0205
Valor que difiere del supuesto. A partir del nuevo valor de f hacemos un nuevo cálculo para la
velocidad y se obtiene
V = 1,56 m/s
de donde,
Re = 3,96x105
y en el diagrama de Moody encontramos,
f = 0,0205
Valor igual al supuesto. Luego la velocidad es de 1,56 m/s y el gasto
Q = AV =
π D2
1,56 = 0,079 m3/s = 79 lps
4
Los valores de f y V satisfacen la ecuación de Darcy.
141
Hidráulica de tuberías y canales
c)
Arturo Rocha
Cálculo del diámetro D
Los datos son
L :
longitud
ν
k
:
viscosidad
:
rugosidad
hf :
pérdida de carga
Q :
gasto
Si expresamos la ecuación de Darcy reemplazando la velocidad en función del gasto y del
área se tiene
L
hf = f
D
Q2
 π D2 

2 g 
 4 
2
De donde,
D5 =
8 Q2 f L
π 2g hf
o bien,
D5 = 0 ,0827
f 2
Q
S
(4-3)
Para la solución se recomienda el siguiente procedimiento
1.
Escoger tentativamente un diámetro. Este valor debe corresponder a los valores
comerciales, que se expresan generalmente en pulgadas y pueden ser: 1/8, 1/4, 3/8, 1/
2, 3/4, 1, 1 1/4, 1 1/2, 2, 2 1/2, 3, 3 1/2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 24 y 30”. Para hacer
un diseño debe conocerse cuales son los diámetros comerciales disponibles.
Eventualmente su número puede ser muy restringido.
2.
Calcular la velocidad media y el número de Reynolds.
3.
Calcular la rugosidad relativa.
4.
Con el diagrama de Moody hallar el valor de f .
5.
Con la ecuación de Darcy calcular la pérdida de carga.
6.
Verificar que la pérdida de carga así calculada es igual o menor que la pérdida de carga
admisible (dato).
7.
Caso contrario repetir el procedimiento
8.
Si la pérdida de carga está entre los valores que corresponden a dos diámetros comerciales
sucesivos, tomar el diámetro mayor.
142
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Otro procedimiento para resolver el problema es el siguiente
1.
Suponer un valor para f .
2.
Calcular el diámetro a partir de la ecuación 4-3.
3.
Calcular el número de Reynolds considerando que
Re =
VD
ν
y que, por la ecuación de continuidad
V D2 =
4Q
π
se expresa como,
Re =
4Q 1
πν D
4.
Calcular la rugosidad relativa.
5.
Con el diagrama de Moody hallar el valor de f .
6.
Si este valor es diferente al supuesto repetir el procedimiento con el nuevo valor hallado.
7.
Si el valor de f es igual al supuesto el problema está resuelto, pero como seguramente
el diámetro obtenido no es comercial se toma el inmediato superior.
Para el agua se presentan, en la Tabla 4.1, valores usuales del coeficiente de Darcy. Esta
tabla es muy útil para aligerar los cálculos.
Los métodos acá presentados no son los únicos para resolver problemas de tuberías. Existen
diversos procedimientos de cálculo que última instancia lo que tratan de establecer es el valor
del coeficiente de Darcy que corresponde a una rugosidad relativa y a un número de Reynolds
dados.
Hasta acá el método desde el punto de vista de la Mecánica de los Fluidos. El ingeniero
hidráulico que se enfrenta a un problema real introduce una condición adicional: la velocidad
media en la tubería. Al ingeniero no le basta que los valores de la rugosidad relativa y el
número de Reynolds sean compatibles con el coeficiente de Darcy. Requieren además que la
velocidad esté comprendida entre ciertos valores, máximos y mínimos, que garantizarán un
comportamiento hidráulico mejor; sin considerar por ahora, el problema de costos y de diámetro
más económico, lo que será analizado posteriormente.
Las velocidades grandes pueden significar la aparición de fenómenos inconvenientes, como
el golpe de ariete, por ejemplo.
El ingeniero que busca el diámetro que debe tener una conducción, piensa generalmente en
términos de la velocidad media. Es usual empezar los cálculos fijando el rango de velocidades
admisibles. De allí se deduce el diámetro y se continúa con el método antes señalado.
143
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 4.1
VALORES DE f PARA EL AGUA
Temperatura 10 ºC a 24 ºC. Valores de f x 104
D
Velocidad
m/s
Calidad
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,40 3,00 4,50 6,00 9,00
435
355
300
240
415
320
265
205
410
310
250
190
405
300
240
180
400
290
230
170
395
285
225
165
395
280
220
155
390
270
210
150
385
260
200
140
375
250
190
130
370
250
185
120
6”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
425
335
275
220
410
310
250
190
405
300
240
175
400
285
225
165
395
280
220
160
395
275
210
150
390
265
205
145
385
260
200
140
380
250
190
130
375
240
180
120
365
235
175
115
8”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
420
320
265
205
405
300
240
180
400
285
225
165
395
280
220
155
390
270
210
150
385
265
205
140
380
260
200
135
375
250
190
130
370
240
185
120
365
235
175
115
360
225
170
110
10”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
415
315
260
200
405
295
230
170
400
280
220
160
395
270
210
150
390
265
205
145
385
260
200
135
380
255
190
130
375
245
185
125
370
240
180
115
365
230
170
110
360
225
165
105
12”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
415
310
250
190
400
285
225
165
395
275
210
150
395
265
205
140
390
260
200
140
385
255
195
135
380
250
190
125
375
240
180
120
365
235
175
115
360
225
165
110
355
220
160
105
16”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
405
300
240
180
395
280
220
155
390
265
205
140
385
260
200
135
380
255
195
130
375
250
190
125
370
240
180
120
365
235
175
115
360
225
170
110
350
215
160
105
350
210
155
100
20”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
400
290
230
170
395
275
210
150
390
265
200
135
385
255
195
130
380
250
190
125
375
245
180
120
370
235
175
115
365
230
170
110
360
220
165
105
350
215
160
100
350
205
150
95
24”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
400
285
225
165
395
265
200
140
385
255
195
135
380
250
190
125
375
245
185
120
370
240
180
120
365
230
175
115
360
225
170
110
355
220
165
105
350
210
155
100
345
200
150
95
30”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
400
280
220
160
385
255
195
135
380
250
190
130
375
245
185
120
370
240
180
115
365
230
175
115
360
225
170
110
355
220
165
110
350
210
160
105
350
205
155
100
345
200
150
95
36”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
395
275
215
150
385
255
195
135
375
245
185
125
370
240
180
120
365
235
175
115
360
230
170
110
355
225
165
110
355
220
160
105
350
210
155
100
345
200
150
95
340
195
145
90
48”
Rugosa
Media
Nueva
Muy lisa
395
265
205
140
385
250
190
125
370
240
180
120
365
230
175
115
360
225
170
110
355
220
165
110
350
215
160
105
350
210
155
100
345
200
150
95
340
195
145
90
335
190
140
90
4”
(Tomada del libro ’’Theory and Problems of Hydraulics and Fluid Mechanics’’ de Ronald V. Giles, de la Colección Shaum)
144
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Ejemplo 4.3 Calcular el diámetro que debe tener una tubería nueva, de cemento enlucido ( k = 0,0004 m)
para conducir 2 m3/s. La viscosidad del agua es de 1,2 x 10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 1 000 m.
La pérdida de carga admisible es de 25 m.
Solución.
1.
Supongamos f = 0,02
2.
Calculamos el diámetro.
D5 = 0,0827
f 2
Q = 0,265
S
D = 0 ,767 m
3.
Calculamos el Número de Reynolds
Re =
4.
4Q 1
= 2,77 × 106
πν D
La rugosidad relativa es
k 0,0004
=
= 0,00052
D 0,0767
5.
Con el ábaco de Moody hallamos el valor de f
f = 0,0168
6.
7.
Repetimos el procedimiento, con el nuevo valor de f .
D5
=
0,222
D
=
0,74 m
Re
=
2,87 x 106
k
D
=
0,00054
f
=
0,0168
Como el valor que hemos encontrado para f es igual al último valor supuesto éste es el valor
correcto. Los valores de f y de V satisfacen la ecuación de Darcy. Luego,
D = 0,74 m
D = 29,13’’
145
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En este caso escogemos
D = 30’’
Este problema se ha resuelto según el método segundo propuesto para el cálculo del diámetro.
No se ha calculado la velocidad media. Hemos obtenido el diámetro y no sabemos, si esta
velocidad es, por ejemplo, muy grande. Si lo fuera habría que verificar que esa alta velocidad no
nos traerá dificultades.
Hubiera sido más práctico, desde el punto de vista del ingeniero, empezar por fijar el valor máximo
para la velocidad.
Posteriormente se verá que el problema es también económico.
Ejemplo 4.4 Qué presión se requiere para impulsar 20 lps a lo largo de una tubería lisa, horizontal, de
2” de diámetro. La longitud del tramo es 300 m. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s.
Solución. Por ser una tubería horizontal
hf =
p1 − p2
γ
Para calcular la presión requerida ( p1 − p2 ) debemos establecer la pérdida de carga.
El número de Reynolds es 5x105 y para el coeficiente f de Darcy se obtiene 0,013 (Diagrama de
Moody). Aplicando la ecuación de Darcy se obtiene
h f = 381,6 m
y por lo tanto
p1 − p2 = ∆p = 38,2 kg/cm2
Este ejemplo se ha presentado con el objeto de mostrar que un diámetro pequeño puede dar lugar a
una alta velocidad y a una gran pérdida de carga.
0
Ejemplo 4.5 Calcular el gasto del
sistema mostrado en la figura. La
viscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s.
La tubería es lisa. Considerar
únicamente las pérdidas de carga
continuas. El diámetro de la tubería
de descarga es de 2 cm.
5m
2
1
4m
146
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Solución. Aplicamos la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2
V12 p1
V2 p
+
+ z1 = 2 + 2 + z 2 + h f1−2
γ
2g γ
2g
Pero,
z1 = z 2
;
V1 = V2 = V
Luego,
p1 − p2
L V2
= h f1−2 = f
γ
D 2g
Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli entre 0 y 1
V02 p0
V2 p
+
+ z0 = 1 + 1 + z1
2g γ
2g γ
p0 = p 2 = 0
Combinando las dos ecuaciones, Energía y Bernoulli, se obtiene
z 0 − z1 =
V12
L V2
+ f
2g
D 2g
Obsérvese que la energía disponible se usa una parte para imprimir energía cinética y otra para vencer
la fricción.
De acá,
V12 =
2 g (z 0 − z1 )
L
f
+1
D
Reemplazando valores,
V12 =
2g × 5
10 g
=
4
200
f +1
+1
f
0,02
(1)
De otro lado sabemos que el número de Reynolds es
Re =
V1 D
0 ,02 V1
=
= 16 ,667 V1
ν
1,2 x 10 −6
147
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Aplicamos ahora un método de tanteos, asumiendo valores para la velocidad.
V1
(supuesto)
Re
f
(según Blasius)
1,0
16 667
0,0278
3,87
2,0
33 334
0,0234
4,16
2,5
41 667,5
0,0221
4,25
4,0
66 668
0,0197
4,46
4,2
70 001,4
0,0194
4,48
4,3
71 668,1
0,0193
4,49
4,4
73 334,8
0,0192
4,50
4,5
75 001,5
0,0191
4,51
4,51
75 168,2
0,0191
4,51
V1
V1 = 4,51 m/s
Q = 0,00142 m3/s
Los valores de f se han obtenido aplicando la ecuación de Blasius. Podrían haberse obtenido del
diagrama de Moody.
Como se señaló antes la energía disponible es de 5 m. Esta energía se usa, una parte para imprimir
energía cinética y otra para vencer las fuerzas de fricción.
En este problema particular no se ha tomado en cuenta las pérdidas locales.
Energía de velocidad
V2
2g
= 1,04 m
Fricción
hf
= 3,96 m
Energía
E
= 5,00 m
E
148
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Ejemplo 4.6 Calcular el gasto que fluye en el
sistema mostrado en la figura. La tubería es lisa,
de 10 cm de diámetro. La viscosidad del agua es
1,25x10-6 m2/s.
1
2m
2
No considerar pérdidas de carga locales.
5m
Solución. Aplicando el teorema de Bernoulli
entre 1 y 2
4
p2 − p1
V2
= z1 − z 2 − 2
γ
2g
1m
3
Análogamente entre 3 y 4 se obtiene
p3 − p 4
V2
= z 4 − z3 − 3
γ
2g
Se ha considerado que V1 = V4 = 0
Aplicamos ahora la ecuación de la energía entre 2 y 3
p 2 − p3
L V2
= z3 − z 2 + f
γ
D 2g
puesto que V2 = V3 = V .
Observando que p1 − p 4 = 0 se llega a
p 2 − p3
= ( z1 − z 2 ) − ( z 4 − z3 )
γ
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
z1 − z 4 = f
L V2
D 2g
(Esta expresión podría haberse obtenido mediante un rápido análisis de la figura)
Reemplazando los datos del problema
V2 =
2,289
f
El número de Reynolds es 80 000 V .
Resolveremos las dos últimas ecuaciones por aproximaciones sucesivas. Para un valor supuesto de la
velocidad se calcula el correspondiente número de Reynolds. Luego, en el ábaco de Moody se
149
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
encuentra el valor de f . Con este valor se calcula la velocidad (utilizando la expresión deducida para
este problema). Si la velocidad es igual a la supuesta, el problema está resuelto. Caso contrario deben
proseguirse los tanteos. Se obtiene finalmente
V = 14,17 m/s
f = 0,0114
y el gasto es
Q = 111 lps
Se observa que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 3-14, 3-15 y 3-16 (estas ecuaciones
podrían haberse utilizado como método alternativo de solución). Los valores obtenidos de f y de V
satisfacen la ecuación de la energía.
4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)
En una tubería las pérdidas de carga son continuas y locales. Las pérdidas de carga continuas
son proporcionales a la longitud, se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmula
de Darcy.
Las pérdidas de carga locales o singulares ocurren en determinados puntos de la tubería y se
deben a la presencia de algo especial que se denomina genéricamente singularidad: un codo,
una válvula, un estrechamiento, etc.
En la figura 4.3 se observa una tubería mostrando la línea de energía y la súbita caída que
experimenta como consecuencia de una singularidad, que produce una pérdida de carga
local a la que designamos como
hloc .
Línea de energía L. E.
h loc
Singularidad
Figura 4.3 Pérdida de carga local
150
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Las pérdidas de carga locales se expresan genéricamente en función de la altura de velocidad
en la tubería
hloc = K
expresión en la que
V2
2g
(4-5)
hloc es la pérdida de carga local expresada en unidades de longitud, K
es un coeficiente adimensional que depende de las características de la singularidad que
genera la pérdida de carga (codo, válvula, etc) así como del número de Reynolds y de la
rugosidad, V es la velocidad media en la tubería.
A las pérdidas de carga locales también se les denomina pérdidas menores. Esto en razón
que en tuberías muy largas la mayor parte de la pérdida de carga es continua. Sin embargo en
tuberías muy cortas las pérdidas de carga locales pueden ser proporcionalmente muy
importantes.
Analizaremos las principales pérdidas locales en flujo turbulento.
A.
Entrada o embocadura
Corresponde genéricamente al caso de una tubería que sale de un estanque
Entrada (embocadura)
A la entrada se produce una pérdida de carga
hloc originada por la contracción de la vena
líquida. Su valor se expresa por, (ec. 4-5),
hloc = K
V2
2g
Expresión en la que V es la velocidad media en la tubería.
El valor de K esta determinado fundamentalmente por las características geométricas de la
embocadura. Las que se presentan más frecuentemente son
151
Hidráulica de tuberías y canales
a)
Arturo Rocha
Bordes agudos
Zona de separación
D
b)
K = 0,5
Bordes ligeramente redondeados ( r es el radio de curvatura)
K = 0,26
D
En este caso el valor de K depende de la relación
relación de 0,04. Para valores mayores de
r D . El valor 0,26 corresponde a una
r D , K disminuye hasta llegar a 0,03 cuando
r D es 0,2.
c) Bordes acampanados (perfectamente redondeados). El borde acampanado significa que
el contorno tiene una curvatura suave a la que se adaptan las líneas de corriente, sin producirse
separación.
K = 0,04
D
d)
Bordes entrantes (tipo Borda)
D
152
K =1
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Los valores aquí presentados para K son valores medios, que pueden diferir según las
condiciones de las experiencias realizadas. Se observa que los valores sólo se hacen depender
da las características geométricas y no del número de Reynolds o de la rugosidad.
En una conducción normalmente se desea economizar energía. Conviene entonces dar a
estas entradas la forma más hidrodinámica posible. A modo de ejemplo cabe indicar que para
una velocidad media de 2,5 m/s en una tubería la pérdida de carga es de 0,159 m si la entrada
es con bordes agudos y sólo 0,013 m, si la entrada es acampanada.
B.
Ensanchamiento del conducto
En ciertas conducciones es necesario cambiar la sección de la tubería y pasar a un diámetro
mayor. Este ensanchamiento puede ser brusco o gradual.
a)
Ensanchamiento brusco
L. E.
h loc
V12
2g
L. P.
V22
2g
A
D1
D
p1
p2
B
D2
C
1
2
La pérdida de carga en el ensanchamiento brusco se calcula analíticamente a partir de la
ecuación de la cantidad de movimiento. Entre las secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es
V12 p1 V22 p2
+
=
+
+ hloc
2g γ
2g γ
(4-6)
153
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.
Para el volumen ABCD comprendido entre las secciones 1 y 2, debe cumplirse que la resultante
de las fuerzas exteriores es igual al cambio de la cantidad de movimiento.
( p1 − p2 ) A2 = ρ Q (V2 − V1 )
Considerando que el coeficiente de Boussinesq es 1.
Dividiendo esta última expresión por
γ A2
se obtiene
p1 − p2 V22 V1 V 2
=
−
γ
g
g
Haciendo algunas transformaciones algebraicas se llega a
p1 − p2 V22 V22 2V1 V 2 V12 V12
=
+
−
+
−
γ
2g 2g
2g
2g 2g
agrupando se obtiene,
V12 p1 V22 p2 (V1 − V2 ) 2
+ =
+
+
2g γ
2g γ
2g
Comparando esta expresión con la ecuación de la energía (4-6) se concluye que la pérdida de
carga en el ensanchamiento brusco es
(V1 − V2 ) 2
hloc =
2g
(4-7)
expresión que se conoce también con el nombre de fórmula de Borda. Aplicándole la ecuación
de continuidad se obtiene
2
hloc
2

A1  V12  A2  V22

= 1 − 
=  − 1
A
2
g
2 

 A1  2 g
Este resultado teórico está confirmado por los experimentos.
154
(4-8)
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Si la superficie
A2 es mucho mayor que
A1 como podría ser el caso de entrega
de una tubería a un estanque, se tiene
que
A1
A2
V1 = V
hloc =
puesto que
V2
2g
(4-9)
A1 / A2 → 0
Esto significa que toda la energía cinética del flujo se disipa en forma de energía térmica.
b)
Ensanchamiento gradual
La pérdida de energía en un ensanchamiento gradual (cónico) ha sido estudiada
experimentalmente, entre otros, por Gibson. En una expansión gradual se producen torbellinos
y vórtices a lo largo de la superficie de separación, que determinan una pérdida de carga
adicional a la que corresponde por fricción con las paredes. Este fenómeno fue descrito en el
capítulo III al estudiar la teoría de la capa límite. La pérdida de carga en el ensanche gradual
es la suma de la pérdida por rozamiento con las paredes, más la pérdida por formación de
torbellinos. En un ensanche gradual hay mayor longitud de expansión que en un ensanche
brusco.
1,2
D2
D1
1,0
= 1,5
D2
D1
0,8
=3
K
0,6
V1
θ
V2
0,4
h loc = K
0,2
(V1 - V2 ) 2
2g
0
0º
20º
40º
60º
100º
80º
120º
140º
160º
180º
θ
Figura 4.4 Gráfico de Gibson (Ensanchamiento gradual)
155
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En la Figura 4.4 se muestran gráficamente los resultados experimentales de Gibson. El valor
obtenido del gráfico para K se reemplaza en la fórmula 4-10
hloc = K
(V1 − V2 ) 2
2g
(4-10)
Obteniéndose así la pérdida de carga en un ensanchamiento gradual.
Observando el gráfico de Gibson (Figura 4.4) se obtienen las siguientes conclusiones
a)
Hay un ángulo óptimo de aproximadamente 8° para el cual la pérdida de carga es mínima.
b)
Para un ángulo de aproximadamente 60° la pérdida de carga en la expansión gradual es
mayor que en la brusca.
Con el objeto de disminuir la pérdida de carga en un cambio de sección se puede recurrir a
una expansión curva.
D1
D2
En algunos casos se usa una expansión mixta o escalonada combinando una expansión
gradual y una brusca.
D1
C.
D2
Contracción del conducto
La contracción puede ser también brusca o gradual. En general la contracción brusca produce
una pérdida de carga menor que el ensanchamiento brusco.
La contracción brusca significa que la corriente sufre en primer lugar una aceleración (de 0 a 1)
en la Figura 4.5 hasta llegar a una zona de máxima contracción que ocurre en la tubería de
156
Capítulo IV
Diseño de tuberías
menor diámetro. Se produce consecuentemente una zona de separación. Luego se inicia la
desaceleración (de 1 a 2) hasta que se restablece el movimiento uniforme.
2
V1
2g
h loc
L. E.
L. P.
V22
2g
D2
D1
0
1
2
Figura 4.5 Contracción brusca
Una contracción significa la transformación de energía de presión en energía de velocidad. La
mayor parte de la pérdida de carga se produce entre 1 y 2 (desaceleración). La energía
perdida entre 0 y 1 es proporcionalmente muy pequeña. La pérdida de energía entre 1 y 2 se
calcula con la expresión 4-8
2
A
 V2
hloc =  2 − 1 2
 A1  2 g
A1 es el área de la sección transversal en la zona de máxima contracción y A2 es
el área de la tubería menor (aguas abajo). V 2 es la velocidad media en la tubería de menor
en la que
diámetro (aguas abajo). La ecuación 4-8 puede adoptar la forma siguiente
2
hloc
Siendo
2
 A
 V2  1
 V2
=  2 − 1 2 =  − 1 2
 cc A2  2 g  cc  2 g
(4-11)
cc el coeficiente de contracción cuyos valores han sido determinados
experimentalmente por Weisbach (Tabla 4.2)
157
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 4.2
COEFICIENTES DE WEISBACH PARA CONTRACCIONES BRUSCAS
[D2 / D1 ] 2
cc
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,586 0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892
1
1
2
1

− 1 = K , entonces
Si 
 cc 
2
hloc
Si
V
=K 2
2g
(4-12)
D2 / D1 es cero esto significa que A2 es mucho menor que A1 y se interpreta como una
embocadura con bordes agudos ( K = 0,5)
Para el estrechamiento gradual la pérdida de carga es mínima, pues se reduce o casi elimina
la formación de vórtices, dado que el contorno sirve de guía o soporte a las líneas de corrientes.
Consideraremos que su valor es cero.
Según Idelchik el coeficiente K para la pérdida de carga en una contracción brusca se puede
calcular con la fórmula semiempírica
1 D 
K = 1 −  2 
2   D1 

2




(4-13)
D1 es el diámetro de la tubería mayor (aguas arriba) y D2 es el diámetro de la tubería menor
(aguas abajo).
D.
Cambio de dirección
Un cambio de dirección significa una alteración en la distribución de velocidades. Se producen
zonas de separación del escurrimiento y de sobrepresión en el lado exterior. El caso más
importante es el codo de 90°. La pérdida de carga es
158
Capítulo IV
Diseño de tuberías
hloc = 0,9
V2
2g
(4-14)
Para el codo a 45° la pérdida de carga es
hloc = 0,42
V2
2g
(4-15)
Para el codo de curvatura fuerte la pérdida de carga es
hloc = 0,75
V2
2g
(4-16)
Para el codo de curvatura suave la pérdida de carga es
hloc = 0,6
E.
V2
2g
(4-17)
Válvulas y Boquillas
Una válvula produce una pérdida de carga que depende del tipo de válvula y del grado de
abertura. Los principales valores de K son
Válvula globo (completamente abierta)
Válvula de compuerta (completamente abierta)
Válvula check (completamente abierta)
10
0,19
2,5
Los valores aquí señalados son meramente referenciales pues varían mucho con el diámetro
de la tubería y el grado de abertura. En una boquilla la pérdida de carga es
1
V 2
hloc =  2 − 1 S
 cv
 2g
cv es el coeficiente de velocidad y VS es la velocidad de salida.
hloc es la pérdida de carga en la boquilla.
159
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 4.3
PERDIDAS DE CARGA LOCALES
ENTRADA
K
V22
2g
( V : velocidad media de la tubería)
Bordes Agudos
K = 0,5
Bordes ligeramente redondeados
K = 0,26
Bordes Acampanados
K = 0,04
Bordes Entrantes
K =1
(V − V2 )2
K 1
ENSANCHAMIENTO
2g
2
A
 V2
= K  2 − 1 2
 A1
 2g
( V1 : velocidad aguas arriba; V2 : velocidad aguas abajo)
CONTRACCION
Brusco
K =1
Gradual
Gráfico de Gibson






2

2
 V
1
V2
− 1 2 = K 2
 2g
2g
cc

( V2 : Velocidad aguas abajo)
Brusca
Tabla de Weisbach
Gradual
K =0
CAMBIO DE DIRECCION
V2
K
2g
( V : velocidad media)
Codo de 90º
K = 0,90
Codo de 45º
K = 0,42
Codo de curv. fuerte
K = 0,75
Codo de curv. suave
K = 0,60
VALVULAS ( V : velocidad media)
160
Válvulas de globo (totalmente abierta)
K = 10,0
Válvula de compuerta (totalmente abierta)
K = 0,19
Válvula check (totalmente abierta)
K = 2,5
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Ejemplo 4.7 Calcular el gasto que escurre
en el sistema mostrado en la figura. La
tubería es de fierro fundido bastante oxidado.
El diámetro es de 10 cm . La temperatura del
agua es de 25 °C. La embocadura es con
bordes agudos.
2m
5m
Solución. De la ecuación de la energía se
obtiene
1m
L V2
V2
V2
+ K1
+ K2
7= f
D 2g
2g
2g
Por ser la embocadura con bordes agudos, K 1 = 0,5 (ec. 4-5), K 2 es igual a 1 por corresponder a la
entrega de una tubería en un depósito. (ec. 4-9). Sustituyendo
7= f
6 V2
V2 V2
+ 0,5
+
0,1 2 g
2g 2g
Operando,
V2 =
14 g
60 f + 1,5
La rugosidad se obtiene de la Tabla 2.1. Luego,
k
= 0,015
D
Si suponemos turbulencia plenamente desarrollada, se obtiene en el ábaco de Moody (Figura 4.2) que
f = 0,044
Con este valor de f , que es todavía tentativo por cuanto no sabemos si efectivamente hay turbulencia
plenamente desarrollada, se calcula la velocidad.
V = 5,76 m/s
Verificamos ahora el número de Reynolds. La viscosidad se obtiene de la Figura 1.8a o de la Tabla de
propiedades mecánicas del agua.
Re = 6,4 × 105
confirmándose así que la turbulencia está plenamente desarrollada. Esto significa, como sabemos, que
el valor de f es función exclusiva de la rugosidad relativa (es independiente del número de Reynolds).
Con el valor obtenido para la velocidad calculamos el gasto.
161
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Q = 45 l/s
A modo de verificación calculamos cada una de las pérdidas de carga
V2
2g
0,85 m
L V2
D 2g
4,47 m
Embocadura
0 ,5
Continua
f
Entrega
V2
2g
1,69 m
Energía total
7,01 m
Ejemplo 4.8 En el sistema mostrado en la
figura, la bomba impulsa gasolina cuyo peso
específico relativo es 0,68. La gasolina debe
permanecer en el depósito con una carga
constante de 1,0 m. En el depósito la presión
manométrica es de 1,8 kg/cm2. A la salida de
la bomba el diámetro de la tubería es de 3” y
luego de una contracción gradual continúa
por medio de un codo de curvatura suave
de 2” hasta entregar al depósito. El
manómetro ubicado inmediatamente
después de la bomba indica 2 kg/cm 2 .
Calcular el gasto.
0
1m
B
1
Solución. Planteamos la ecuación de la energía entre el punto 1 (ubicado inmediatamente después de
la bomba) y el punto 0 (ubicado en la superficie del líquido). La pérdida de carga en la contracción
gradual se desprecia.
V2 p
V12 p1
V2 V2
+
+ z1 = 0 + 0 + z0 + K 2 + 2
γ
2g γ
2g
2g 2g
Por continuidad se tiene que,
V1 2 = 0,1975 V22
Reemplazando se obtiene
1,402
162
V2
= 1,94
2g
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Luego,
V2 = 5,2 m/s
Q = 10,5 l/s
4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales
En el ejemplo 4.7 se observa que las pérdidas de carga locales (por embocadura y por entrega)
representan el 36 % de la energía total. El 64 % restante corresponde a la pérdida de carga
continua. Este es un sistema en el que las pérdidas de carga locales son proporcionalmente
muy elevadas. Si la tubería tuviera una longitud bastante mayor, el valor de la pérdida de carga
continua crecería. Para una longitud muy grande podría darse el caso que las pérdidas de
carga locales sean despreciables.
Se dice que una tubería es larga cuando las pérdidas de carga locales pueden despreciarse
sin que resulte un error significativo en el resultado de los cálculos. Corresponde a valores
grandes de la relación entre la longitud L y el diámetro D ( L
D ).
Se dice que una tubería es corta cuando las pérdidas de carga locales son importantes con
respecto a la energía total y por lo tanto no pueden despreciarse en los cálculos. Corresponde
a valores pequeños de la relación ( L
D ).
A fin de examinar con algo de generalidad la importancia relativa de las pérdidas de carga
locales consideremos que en la figura del ejemplo 4.7 la longitud de la tubería es L , el
diámetro D y la energía H . Entonces,
H= f
2
V2
V2
LV
+ K1
+ K2
D 2g
2g
2g
Admitamos que K1 es 0,5, K 2 es 1 y f = 0,024 (son valores escogidos arbitrariamente,
pero que se presentan frecuentemente. En este cálculo se usan a fin de poder establecer
comparaciones).
Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene,
L V

H = 1,5 + 0,024 
D  2g

2
Examinemos varias posibilidades
163
Hidráulica de tuberías y canales
a)
Arturo Rocha
L
= 100, luego
D
H = 3,9
V12
2g
Pero si despreciamos las pérdidas de carga locales, entonces
V22
H = 2,4
2g
La relación entre las velocidades calculadas, según que se desprecie o no, las pérdidas
de carga locales, sería
3,9
= 1,27
2,4
Luego el error en el cálculo de la velocidad sería del 27 %. Evidentemente esto significa
que al despreciar las pérdidas de carga locales la velocidad obtenida en los cálculos es
27 % mayor que la que se obtendría de haberlas considerado.
b)
L
= 1 000
D
Siguiendo el mismo procedimiento se encuentra que el error en el cálculo de la velocidad
sería del 3 %
c)
L
= 10 000
D
El error en el cálculo de la velocidad sería del 0,3 %
Los cálculos anteriores se expresan en el siguiente cuadro.
164
L/D
(con hloc )
(sin h loc )
V2 /V1
Error
100
1,5 + 2,4
2,4
1,27
27 %
1 000
1,5 + 24
24
1,03
3%
10 000
1,5 + 240
240
1,003
0,3 %
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Estos valores son sólo indicativos, pues no corresponden a un caso absolutamente general
K1 podría no ser 0,5). Sin embargo, el cuadro precedente ilustra claramente
para que orden de valores de L D el error es muy pequeño.
(por ejemplo,
A continuación examinaremos otro procedimiento para apreciar la importancia relativa de las
pérdidas de carga locales.
En un sistema cualquiera las pérdidas de carga continuas se expresan en función de la
ecuación de Darcy, o su equivalente
0,0827 f
Q2
L
D5
(4-18)
Las pérdidas de carga locales usualmente corresponden a
∑K
V2
2g
que equivale a
0,0827 ∑ K
Q2
D4
La pérdida total de energía es entonces la suma de ambas
H = 0,0827 f
Q2
Q2
L
0
,
0827
K
+
∑
D5
D4
La importancia relativa de cada uno de los dos términos del segundo miembro significa que la
tubería sea larga o corta. Transformando,
L

+ 0,0827 ∑ K
H =  0,0827 f
D

Q
 4
D
2
Según lo expuesto en el capítulo III se tiene que se aceptamos un error del 20 % en la
estimación de la rugosidad
k (lo que es perfectamente posible), esto representará un error
del 4 % en el cálculo del valor del coeficiente f de Darcy (lo que equivale al 2 % de error en
el cálculo de la velocidad).
De acá se desprende que la condición límite corresponde a
165
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
4 % de 0 ,0827 f
L
= 0 ,0827 ∑ K
D
0,04 f
L
=∑ K
D
Examinemos el mismo sistema anterior (
∑ K = 1,5
y f = 0,024 ). Reemplazando se
obtiene,
L
= 1 562,5
D
L
≈ 1 500
D
En lo sucesivo se considerará, para fines prácticos, que si
L
> 1 500
D
(4-19)
la tubería es larga y por lo tanto las pérdidas de carga locales son despreciables.
4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar)
Por lo general en el flujo laminar las perdidas de carga locales son muy pequeñas comparadas
con las pérdidas de carga continuas.
Empecemos por examinar la pérdida de carga en un caso particular que es suceptible de
tratamiento analítico. Se trata de la pérdida de carga que ocurre en una expansión brusca
(ensanchamiento del conducto).
Tal como se mostró en la figura del ensanchamiento brusco, las dos ecuaciones fundamentales
para el cálculo son
α1
V12 p1
V2 p
+ = α 2 2 + 2 + z 2 + hloc
2g γ
2g γ
( p1 − p2 ) A2 = ρ Q (β 2 V2 − β1 V1 )
166
Capítulo IV
Diseño de tuberías
α es el coeficiente de Coriolis, β es el coeficiente de Boussinesq, V es la velocidad
media, p es la presión, γ el peso específico del fluido, ρ su densidad, Q el gasto, A el
área de la sección transversal. Los subíndices 1 corresponden al tramo ubicado aguas arriba
y los subíndices 2 al tramo ubicado aguas abajo.
Para el flujo laminar consideramos
α1 = α 2 = 2
β1 = β 2 = 4 / 3
Haciendo las sustituciones y operando se llega finalmente a la expresión que da la pérdida de
carga local
hloc
hloc =
(3V1 − V2 )(V1 − V2 )
3g
(4-20)
Esta expresión puede compararse con la obtenida para el flujo turbulento, ec. 4-7.
En el caso más general una pérdida de carga local está formada por dos componentes: a) la
pérdida de energía por rozamiento con el contorno, b) la pérdida de energía por disipación en
la formación de vórtices
hloc = hroz + hvort
Para el flujo laminar, (según ecuaciones de Darcy)
hroz =
64 L V 2
Re D 2 g
que para longitud y diámetro constante equivale a
hroz =
A V2
Re 2 g
La pérdida de carga por formación de vórtices se considera que es
hvort = B
V2
2g
167
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
se tiene que
K=
A
+B
Re
(4-21)
Naturalmente que si el flujo es turbulento
→ B
K 
A y B son dos constantes.
4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes
Se dice que dos sistemas hidráulicos son equivalentes cuando requieran la misma energía
para que circule en cada uno de ellos el mismo gasto. Lo que equivale a decir que dos
sistemas hidráulicos son equivalentes cuando el mismo gasto produce en ambos la misma
pérdida de carga.
Así por ejemplo, los dos sistemas mostrados en la figura son equivalentes
H
H
Q
Q
Siempre que los valores de la energía H y del gasto Q sean iguales en ambos sistemas.
Ejemplo 4.9 ¿Cuál es la longitud que debe tener una tubería de 0,10 m de diámetro 0,020 de coeficiente
f de Darcy para ser equivalente a otra tubería de 100 m de largo, del mismo diámetro y rugosidad, en
las que las pérdidas de cargas locales tienen un valor de
∑K = 2 ?
Solución. La pérdida de carga debe ser igual en ambos sistemas
f
168
Le V 2
L V2
V2
= f
+∑K
D 2g
D 2g
2g
Capítulo IV
Diseño de tuberías
f
Le V 2
L
= f
+2
D 2g
D
Reemplazando los valores conocidos se obtiene Le = 110 m.
Ejemplo 4.10 Determinar el gasto que circula en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la
tubería es de 4”. Está hecha de fierro fundido, nuevo. La viscosidad del agua es 1,4x10-6 m2/s. Los
bordes de la entrada son ligeramente redondeados. El chorro descarga libremente a la atmósfera.
Verificar por el método de la tubería equivalente.
0
H
2
40 m
5m
1
120 m
75 m
Solución. Aplicando el teorema de Bernoulli entre 0 y 1 y la ecuación de la energía entre 1 y 2 se
obtiene
z0 − z2 =
V2  L

 f + K1 + 2 K 2 + 1
2g  D

Reemplazando los valores conocidos y siguiendo el método general
V = 3,6 m/s
Q = 0,029 m3/s ≈ 29 l/s
La longitud de tubería equivalente del mismo diámetro y rugosidad es 212,24 m.
Luego,
212,24 (3,6 )
= 35,08 m
0,1016 2 g
2
h f = 0,0254
Con lo que queda verificado el problema.
169
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
4.7 Tuberías en serie
Se dice que dos o más tuberías, de diferente diámetro y/o rugosidad, están en serie cuando
se hallan dispuestas una a continuación de la otra de modo que por ellas escurre el mismo
gasto.
L. E.
H
L. P.
1
2
Q1 = Q2
Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos)
En esta figura se presenta un caso particular de tuberías en serie. Corresponde a un sistema
formado por dos tramos que conecta dos estanques. La carga o energía disponible H debe
ser igual a la suma de todas las pérdidas de carga que ocurren en el sistema (continuas y
locales). Esta condición se expresa por la ecuación de la energía
H = f1
L1 V12
L V2
+ f 2 2 2 + ∑ hloc
D1 2 g
D2 2 g
(4-22)
Los subíndices 1 corresponden al primer tramo, los subíndices 2 corresponden al segundo
tramo. Esta ecuación podría extenderse a cualquier número de tramos.
La ecuación de la energía junto con la de continuidad, constituyen las dos ecuaciones
fundamentales para resolver un sistema de tuberías en serie.
Q1 = Q2 = Q
Para la resolución del sistema mostrado en la figura se presentan dos casos. El primero, que
es el más simple, tiene por incógnita la energía H . Son datos básicos los diámetros,
longitudes, rugosidades y el gasto. La solución es inmediata.
170
Capítulo IV
Diseño de tuberías
El segundo caso es más laborioso. La incógnita es el gasto. Los datos son la energía disponible
H , los diámetros, longitudes y rugosidades.
Hay varios métodos para resolver este problema. Uno podría ser suponer sucesivamente
valores para el gasto y verificar en cada caso si la suma de todas las pérdidas de carga es
igual a la energía disponible H . Con los valores obtenidos se hace un gráfico gasto-energía
y se determina para el valor de H , dato del problema, cual es el valor correspondiente de Q .
Otro método es el siguiente. Por medio de la ecuación de continuidad se expresa la ecuación
de la energía en función de una de las dos velocidades ( V1 ó V2 ). Conviene luego iniciar los
cálculos haciendo la siguiente suposición
f1 = f 2 = f
Se debe entonces suponer un valor para f . Esto puede hacerse, aproximadamente, teniendo
en cuenta la Tabla 4.1 y/o las rugosidades relativas y luego obteniendo un valor para f por
observación del Diagrama de Moody, Figura 4.2 (se puede suponer inicialmente que la
turbulencia está plenamente desarrollada).
Con el valor supuesto para f se calcula las velocidades y luego los números de Reynolds
para cada tramo, y se determina con las rugosidades relativas los valores
f1 y f 2 .
Con estos valores obtenidos para el coeficiente de Darcy, se rehace el cálculo hallándose
nuevos valores para
V1 , V2 , Re , f1 y f 2 .
Si estos valores obtenidos para f son iguales a los dos últimos, esto significa que se ha
determinado los verdaderos valores de f y de las velocidades. Se puede entonces calcular el
gasto y cada una de las pérdidas de carga. Siempre se debe verificar la ecuación de la energía.
Puede darse también el caso de un sistema en serie que descarga a la atmósfera.
L. E.
1
H
L. P.
2
3
Vs
Q1 = Q2 = Q3
Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos)
171
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Se mantiene el concepto general. La energía disponible H es igual a la suma de todas las
pérdidas de carga continuas y locales, más la energía de velocidades correspondiente al
chorro final.
La otra ecuación fundamental es la invariabilidad del gasto.
Q1 = Q2 = Q3 = Q
Si tuviéramos una tubería compuesta por varios tramos de diferente diámetro, el último de los
cuales descarga a la atmósfera con una velocidad
VS (velocidad de salida), se demuestra
fácilmente que
VS =

1+ ∑ 
i =1 
n
2g H
AS2 
f i Li AS2

+
K
i
Ai2 
Di Ai2
(4-23)
el gasto es evidentemente
Q = VS AS
Ocurre a veces que en un sistema de tuberías en serie los tramos son tan largos que las
pérdidas de carga locales resultan insignificantes con respecto a las pérdidas de carga
continuas. En este caso se desprecian las pérdidas de carga locales.
Ejemplo 4.11 Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros
6 m y 9” en los 15 m restantes. La embocadura es con bordes agudos y el cambio de sección es brusco.
La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 6 m. La tubería es de fierro
fundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Calcular cada una de las
pérdidas de carga.
Solución. La ecuación de la energía es
V12
L V 2 (V − V2 )
L V2 V2
+ f1 1 1 + 1
+ f2 2 2 + 2
2g
D1 2 g
2g
D2 2 g 2 g
2
6 = 0,5
(1)
De la ecuación de continuidad se obtiene V1 = 2,25V2
Reemplazando los valores conocidos,
6 = (5,09 + 199,21 f1 + 65,62 f 2 )
172
V22
2g
(2)
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Por tratarse de una tubería de fierro fundido, que conduce agua podríamos suponer inicialmente
f1 = f 2 = 0,02 . Se puede tener una idea aproximada de este valor calculando las rugosidades relativas
y observando el valor de f para turbulencia plenamente desarrollada. El objetivo de esta suposición
es obtener el orden de magnitud del valor V2 . Reemplazando se obtiene,
V2 = 3,36 m/s
Lo que significa
V1 = 7,56 m/s
Considerando que para 20 °C, la viscosidad cinemática es 10-6 m2/s.
Los números de Reynolds son,
Re1 = 1,15x106
Re 2 = 7,7x105
k
= 0,0016
D1
k
= 0,0011
D2
y las rugosidades relativas,
Para la rugosidad absoluta se ha tomado el valor 0,00025 m, según la Tabla 2.1 o la 4.4.
Del diagrama de Moody (Figura 4.2) se obtiene el valor de f
f1 = 0,022
f 2 = 0,0205
Estos valores difieren ligeramente del que habíamos supuesto (0,02). Usando estos valores calculamos
un nuevo valor para las velocidades en (2)
V1 = 7,42 m/s
V2 = 3,3 m/s
Luego se calculan los números de Reynolds y los valores de f . Se obtienen valores iguales a los
supuestos. Por lo tanto,
Q = A1 V1 = 135 l/s
Verificación de la ecuación de la energía
hloc = 0,5
h f1 = f1
V12
= 1,40 m
2g
L1 V12
= 2,43 m
D1 2 g
173
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
hloc =
(V
1
h f2 = f 2
− V2 )
= 0,87 m
2g
2
L2 V22
= 0,75 m
D2 2 g
V22
= 0,56
2g
(Energía total: 6,01 m)
Con lo que queda verificada la ecuación (1). Obsérvese que en este caso las tuberías son relativamente
cortas. La importancia de las pérdidas de carga locales es grande. Constituyen el 47 % de la energía
total.
4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación
Siempre que la tubería queda por encima de la línea de gradiente (línea piezométrica) hay
presión negativa.
L. P.
En la figura se observa un estrechamiento
en la tubería. Se produce aumento de la
velocidad y por consiguiente debe haber
disminución de la presión. Si el
estrechamiento es muy grande, como el
mostrado en la figura, la línea de gradiente
queda por debajo de la tubería y se produce
presión negativa.
En la Figura 4.8 se observa una tubería que une dos estanques y que por alguna razón, que
podría ser de tipo topográfico, tiene un tramo alto que queda sobre la línea de gradiente. A
este sistema hidráulico se le denomina sifón. H es la carga.
La línea de gradiente está representada aproximadamente por la línea recta que une las
superficies libres de los estanques (en realidad la línea de gradiente no es recta, pues la
tubería no lo es).
Todo el tramo de la tubería que está sobre la línea de gradiente tiene presión negativa. En los
puntos de intersección entre la línea de gradiente y la tubería la presión es cero.
Debe tenerse presente que hablamos de presiones relativas. Por lo tanto “presión cero” significa
“presión atmosférica” y “presión negativa” significa “presión menor que la atmosférica”.
174
Capítulo IV
Diseño de tuberías
C
z
p= 0
H
p= 0
D
A
B
Figura 4.8 Esquema de un sifón
En el tramo de tubería en el que la presión es menor que la atmosférica se libera al aire
contenido en el agua y si la velocidad
no es suficientemente grande el aire
queda retenido en la parte superior de
la tubería impidiendo la normal
circulación del agua.
Si la presión disminuye mucho aparece vapor de agua y el problema se agrava. Por lo tanto un
sifón debe diseñarse de modo que la presión esté siempre por encima de la correspondiente
a la formación de vapor a la temperatura del agua.
Para el cálculo del sifón se aplica la ecuación de la energía entre A y C (Figura 4.8).
Considerando en este caso para mayor facilidad de cálculo presiones absolutas, se tiene
0 + 10,33 + 0 =
V2 p
+ + z + h f AC
2g γ
siendo,
V : velocidad media en la tubería
175
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
p
: altura correspondiente a la presión absoluta
γ
z
hf
:
AC
sobreelevación del eje de la tubería en su punto más alto, con respecto al nivel de la
superficie libre en el reservorio de alimentación
: pérdidas de carga entre A y C (continuas y locales según el caso)
El máximo valor de z depende del valor que se admite para la presión absoluta en C. A fin de
evitar la discontinuidad en el escurrimiento por desprendimiento de vapor, esta presión no
debe ser inferior a la de vaporización del fluido a la temperatura de operación del sistema. En
C se debe tener un valor de la velocidad que sea lo suficientemente alto como para arrastrar
las burbujas de aire.
Se debe procurar que en el tramo ascendente de la tubería las pérdidas de carga sean mínimas.
Si hubiera que instalar una válvula de control debe hacerse en el tramo descendente.
Se denomina cavitación al fenómeno de formación y desaparición rápida de burbujas
(cavidades) de vapor en el seno del líquido. Las burbujas se forman en las zonas de reducción
de presión. Al ser conducidas a zonas de mayor presión explotan provocando un ruido
característico.
En un sistema hidráulico debe evitarse la aparición de cavitación por las siguientes razones
a)
La cavitación significa una discontinuidad en el escurrimiento y por lo tanto una reducción
de la eficiencia de conducción.
b)
La cavitación significa inestabilidad en el escurrimiento y puede dar lugar a ruido o
vibraciones.
c)
La ruptura de las burbujas produce tensiones muy fuertes que pueden conducir a la falla
estructural de la tubería.
La posibilidad de cavitación se describe por medio de un parámetro adimensional denominado
Parámetro de Cavitación
p − pv
ρ V 2/ 2
(4-24)
p es la presión absoluta en el punto considerado, pv es la presión absoluta de vaporización
del líquido a la temperatura existente, ρ es la densidad del líquido y V es la velocidad
media.
Se observa que el Parámetro de Cavitación es una forma del Número de Euler.
176
Capítulo IV
Diseño de tuberías
La presión absoluta de vaporización varía, como es sabido, con la temperatura. Hay curvas y
gráficos que expresan la presión absoluta de vaporización en función de la temperatura. Sin
embargo debe tenerse en cuenta que el agua contiene impurezas, sales, que obligan a aceptar
valores prácticos diferentes. Para temperaturas normales se acepta que la presión absoluta
de vaporización del agua es el orden de 0,2 a 0,3 kg/cm2.
Ejemplo 4.12 Dos estanques A y B (Figura 4.8) están conectados por una tubería que pasa por un
punto C, ubicado por encima de la superficie libre del estanque A. Calcular la máxima elevación que
puede tener el punto C de modo que la presión absoluta en el punto C sea el equivalente a 2,4 m de
columna de agua (esta condición es impuesta a fin de evitar la cavitación). La longitud total de la
tubería es de 1 000 m. La longitud entre A y C es 400 m. La diferencia de nivel entre ambos estanques
es 15 m. El diámetro de la tubería es 0,4 m. Considerar que el coeficiente f de Darcy es 0,04. Calcular
además el gasto.
Solución. Se aplica la ecuación de la energía entre A y B (despreciando las pérdidas de carga locales
por se tubería larga). Se obtiene V = 1,71 m/s.
Luego aplicamos la ecuación de la energía entre A y C
0=
L V2
V2 p
+ + z + f AC
2g γ
D 2g
Reemplazando,
z = 1,78 m
La máxima elevación que puede tener la tubería en el punto C es 1,78 m, con respecto a la superficie
libre del estanque A.
El gasto es Q = 215 l/s
4.9 Tubería con boquilla convergente final
Si al final de una tubería se coloca una boquilla tronco-cónica convergente disminuye el
gasto, pero aumenta la potencia del chorro.
La pérdida de carga en la boquilla viene dada por
1
 VS2

hloc =  2 − 1
 cv
2g
(4-25)
177
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
cv : es el coeficiente de velocidad propia de la boquilla
VS : es la velocidad de salida del chorro
L. E.
H
L. P.
Vs
2g
2
Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final
Para el sistema mostrado en la figura la ecuación de la energía es
H =K
V 2 V 2
L V2  1
V2
+f
+  2 − 1 S + S
2g
D 2 g  cv
 2g 2g
(4-26)
Esta ecuación se resuelve combinándola
con la de continuidad
D
AV = AS VS
DS
Los subíndices corresponden a la salida.
La potencia del chorro es
Pot = γ Q
VS2
2g
(4-27)
Ejemplo 4.13 De un estanque sale una tubería de 1,20 m de diámetro y de 840 m de longitud. La tubería
es de fierro forjado y termina en una boquilla que reduce el diámetro a la mitad. La energía disponible
es de 40 m. Calcular y comparar la potencia generada por el chorro con boquilla y sin ella. El coeficiente
de velocidad en la boquilla es 0,9. La temperatura del agua es 10 °C. La embocadura es ligeramente
redondeada ( K = 0,2).
178
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Solución. Examinemos en primer lugar las condiciones cuando la descarga se produce sin boquilla.
2
V2
L V2 V
+ f
+
2g
D 2g 2g
H=K
Reemplazando los valores conocidos
V=
40 × 2 g
1,2 + 700 f
La rugosidad relativa es 0,00004. Se obtiene finalmente
f = 0,010
V = 9,78 m/s
Q = 11,06 m3/s
La potencia del chorro es
Pot = γ Q
V2
= 1 000
2g
× 11,06 ×
9 ,782
= 53 973,02 kg - m/s
2g
Pot = 710 HP
Si la descarga se produce con boquilla, entonces
H=K
V 2 V 2
L V2  1
V2
+ f
+  2 − 1 S + S
2g
D 2 g  cv
 2g 2g
Por la ecuación de continuidad
VS = 4V
Reemplazando los valores conocidos se obtiene
V=
40 × 2 g
19,88 + 700 f
encontrándose finalmente
f = 0,011
V = 5,33 m/s
179
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
VS = 21,32 m/s
Q = 6,03 m3/s
Pot = 1 840 HP
Concluimos así que al colocar la boquilla la potencia del chorro es 2,59 veces mayor, pero el gasto se
reduce al 54,5 %
4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo
Las máquinas hidráulicas son de dos tipos: bombas y turbinas. Las bombas aportan energía.
Las turbinas absorben, toman, energía. Las bombas están accionadas por un motor. Las
turbinas están accionadas por la fuerza de la corriente líquida.
La presencia de una bomba significa una elevación de la línea de energía.
El aumento ∆E en la energía de
L. E.
∆E
la corriente depende del gasto, del
peso específico del fluido y de la
potencia
E2
E1
∆E =
Tubería
Pot
γQ
(4-28)
( E1 es la energía inmediatamente
B
antes de la bomba y
energía
después).
Figura 4.10 Presencia de una bomba
E2 es la
inmediatamente
Para el caso de una turbina cambia el signo de la expresión anterior. Vale decir que en una
turbina se usa la energía de la corriente para producir potencia. Se aprovecha la energía de
elevación para obtener energía mecánica.
Si de un estanque sale una tubería que descarga por medio de un chorro libre, este chorro
tiene una potencia que es aprovechable. La potencia es un trabajo por unidad de tiempo. La
altura de velocidad del chorro, obtenida a partir de su velocidad de salida VS , es un trabajo por
unidad de peso del fluido. Luego la potencia del chorro, tal como lo vimos en el apartado
anterior, es igual al producto del gasto por el peso específico del fluido y por la altura de
velocidad.
Pot = γ Q
180
VS2
2g
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Se llama rendimiento de una bomba a la relación entre la energía útil aportada a la corriente y
la energía que acciona la bomba.
La eficiencia de una turbina es la relación entre la energía útil que se obtiene y la energía
tomada de la corriente.
Esquema genérico de un suministro por bombeo
En la Figura 4.11 se presenta esquemáticamente el caso más general de un suministro por
bombeo de M a N. B representa una bomba. En M el líquido está confinado y sometido a una
presión p0 . El tramo 0-1 (M-B) se denomina de aspiración (succión). El tramo 2-3 (B-N) se
denomina de impulsión. Las alturas correspondientes se llaman de succión y de impulsión.
En la Figura 4.11 el líquido descarga por medio de un pitón (boquilla) en un recipiente N, que
está a presión.
p3
3
Hi
1
N
2
B
p0
HS
0
M
Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo
Si aplicamos la ecuación de la energía a la tubería de succión entre 0 y 1 se obtiene
p0
V12 p1
= α1
+ + H S + ∑ hf
0 −1
γ
2g γ
181
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El último término representa la suma de las pérdidas de carga (continuas y locales, según el
caso) entre 0 y 1. La presión
p1 debe ser lo suficientemente grande como para que no se
produzca cavitación en la bomba.
De modo similar se aplica la ecuación de la energía a la tubería de impulsión entre 2 y 3.
Obsérvese que el diámetro de ambas tuberías, succión e impulsión, no es necesariamente
igual (ver ejemplo 4.14).
p2
V2
V2 p
+ α 2 2 = α3 3 + 3 + H i + ∑ hf
2−3
γ
2g
2g γ
La energía suministrada por la bomba debe ser
(E2 − E1 )
p
V2   p
V2 
∆E = H bomba =  2 + α 2 2  −  1 + α1 1 
2g   γ
2g 
γ
o bien,
∆E = H i +
p

p3
V2
+ α 3 3 + ∑ h f −  0 − H S − ∑ h f 
2−3
0 −1
γ
2g
γ

∆E = H S + H i +
p3 − p0
V2
+ α3 3 + ∑ hf
0−3
γ
2g
Si los recipientes M y N estuvieran en contacto con la atmósfera
(4-29)
( p0 = p3 = 0)
La ecuación anterior se reduce a
∆E = H S + H i + α 3
V32
+ ∑ hf
0−3
2g
(4-30)
Esta expresión representa la energía que debe suministrar la bomba. Evidentemente que ∆E
es la energía necesaria para establecer el flujo.
La potencia teórica de la bomba en HP debe ser
Pot =
182
γ Q ∆E
(HP)
76
(4-31)
Capítulo IV
Diseño de tuberías
Si introducimos el coeficiente η de eficiencia de la bomba entonces la potencia real es
Pot =
γ Q ∆E
η 76
(4-32)
Ejemplo 4.14 De acuerdo a la figura ¿qué potencia debe tener la bomba para elevar 70 l/s?. Las tuberías
son de fierro fundido, nuevas. El fluido es agua con una viscosidad de 1,4x10-6 m2/s. No considerar
pérdidas de carga locales. La eficiencia de la bomba es 0,8. Hallar la presión a la entrada y salida de la
bomba.
33,0 m
3,0 m
D = 6"
L = 600 m
0m
B
D = 8"
L = 300 m
Solución. En primer lugar calculamos las velocidades en cada una de las tuberías, designándolas por
el subíndice que corresponde al diámetro.
V8 = 2,16 m/s
V6 = 3,84 m/s
y luego los números de Reynolds respectivos
Re 8 = 3,14x105
Re 6 = 4,18x105
Las rugosidades relativas son
0,0012
0,0016
En el diagrama de Moody se encuentran los valores del coeficiente f de Darcy.
f 8 = 0,021
f 6 = 0,023
Se puede entonces calcular la pérdida de carga en cada tramo
183
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
h f8 = 7,38 m
h f6 = 68,12 m
La energía que debe suministrar la bomba es (ec. 4-30)
E = 30 + h f8 + h f6 +
V62
= 106,25 m
2g
(no se ha considerado pérdidas de carga locales).
La potencia teórica es (H = ∆E )
Pot =
γ QH
= 97,86 HP
76
La potencia efectiva es 122,3 HP
La presión a la entrada de la bomba ( p E ) se obtiene aplicando la ecuación de la energía
V02 p0
V2 p
+
+ z 0 = 8 + E + z E + h f8
2g γ
2g γ
Reemplazando,
0 + 0 + 3 = 0,24 +
pE
+ 0 + 7,38
γ
Se llega finalmente a
pE
= - 4,62 m
γ
(- 0,46 kg/cm2)
La presión a la salida de la bomba ( p S ) es
V82 pE V62 pS
+
=
+
− ∆E
2g γ
2g γ
0,24 - 4,62 = 0,75 +
pS
- 106,25
γ
pS
= 101,12 m (10,11 kg/cm2)
γ
Obsérvese que en el tramo de succión (8”) el diámetro es mayor que en el de impulsión (6”). De esta
manera se evita presiones negativas excesivas a la entrada de la bomba.
184
Capítulo IV
Diseño de tuberías
TABLA 4.4
VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA
k
k (m)
MATERIAL
Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero
-6
nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)
1,5 x 10
Fierro forjado
4,5 x 10
-5
-5
Acero rolado nuevo
Acero laminado, nuevo
5 x 10
-5
-4
4 x 10
– 10
-4
Fierro fundido, nuevo
2,5 x 10
Fierro galvanizado
1,5 x 10
Fierro fundido, asfaltado
1,2 x 10
Fierro fundido oxidado
Acero remachado
-4
-4
-3
-3
1 x 10
– 1,5 x 10
-4
-3
0,9 x 10
– 0,9 x 10
-5
Asbesto cemento, nuevo
2,5 x 10
Concreto centrifugado nuevo
1,6 x 10
-4
-5
Concreto muy bien terminado, a mano
10
-5
Concreto liso
2,5 x 10
-4
Concreto bien acabado, usado
2 x 10
Concreto sin acabado especial
10
-3
-3
– 3 x 10
-2
Concreto rugoso
Duelas de madera
-4
– 3 x 10
10
-4
1,8x10
-4
– 9 x 10
Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por su propia
naturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodos indirectos.
En el caso de tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concreto
el acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menores
a los presentados en esta tabla.
La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande. (Esta tabla es igual a la
Tabla 2.1).
185
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo IV)
1.
Calcular el diámetro que debe tener una tubería de acero rolado para conducir 1 500 l/s, de
aceite cuya viscosidad es 1 poise (peso específico 910 kg/m3). El acero es nuevo.
La pérdida de carga por fricción es de 1 m por cada 100 m de tubería
2.
En el tanque mostrado en la figura hay un líquido cuyo peso específico es de 900 kg/m3. Está
sometido a una presión de 0,12 kg/cm2.
p
Descarga por medio de la tubería
mostrada, que tiene 4 cm de diámetro y
es muy lisa, de cobre. Determinar la
viscosidad del líquido sabiendo que el
H
gasto es de 4 l/s. La embocadura es
perfectamente redondeada, por lo que
puede despreciarse la pérdida de carga
local. La carga H es 0,90 m y la
L
longitud L es 8 m.
3.
El sistema mostrado en la figura
0
descarga agua a la atmósfera.
1
Calcular el gasto. La embocadura es
100 m
80 m
con bordes agudos. La tubería de 6
cm de diámetro es de fierro fundido
2
nuevo. La temperatura del agua es
de 20 °C.
4.
Calcular el gasto en el problema 3 si se coloca en la tubería una válvula de globo completamente
abierta.
5.
Calcular cual debe ser el valor de la carga H en el sistema mostrado en la figura para que el
gasto sea de 10 l/s. La tubería es de fierro forjado, de 3” de diámetro. La longitud total es de 75 m.
La viscosidad del aceite es 0,1 poise y su peso específico relativo es 0,9. La entrada es con bordes
agudos. El codo es a 90°. Calcular cada una de las pérdidas de carga.
186
Capítulo IV
Diseño de tuberías
H
6.
( k = 4,5 x 10-5 m)
Se tiene una tubería de fierro fundido, asfaltado, de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería
arranca de un estanque cuya superficie libre está 5 m por encima del punto de descarga de la
tubería. A lo largo de la tubería hay dos codos standard de 90° y una válvula de globo
completamente abierta. La embocadura es con bordes agudos. Calcular el gasto. Considérese
que la viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s.
7.
La pérdida de presión ∆p debida a una válvula, codo o cualquier otra obstrucción en una
tubería depende de la forma de la obstrucción, del diámetro D de la tubería, de la velocidad
media
V del escurrimiento, de la densidad ρ del fluido y de su viscosidad dinámica µ .
Determinar la forma más general de una ecuación, dimensionalmente homogénea para obtener
∆p . ¿Qué forma particular tomaría esta ecuación cuando la viscosidad es despreciable?.
8.
En el tanque mostrado en la figura del problema 2, hay un líquido cuyo peso específico es de
750 kg/m3. Está sometido a una presión de 0,04 kg/cm2. Descarga por medio de la tubería
mostrada que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa, de cobre. Determinar la viscosidad del
líquido sabiendo que el gasto es de 1 l/s. La embocadura es perfectamente redondeada, por lo
que puede despreciarse la pérdida de carga local. La carga H es 0,30 m y la longitud L es 20 m.
9.
Se tiene una tubería de fierro fundido de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca de
un estanque que tiene 5 m de carga con respecto al punto de desague. A lo largo de la tubería
hay 2 codos standard de 90° y una válvula ( K = 10). La embocadura es con bordes agudos.
Calcular el gasto ( T = 20 °C).
10. Dos estanques cuya diferencia de nivel es de 25 m están unidos por una tubería de 6” de diámetro
y 1 550 m de longitud (asbesto - cemento, nuevo). La viscosidad del agua es 10-6 m2/s. Calcular el
gasto.
11. ¿Cuál es la diferencia de nivel que debería existir entre los dos estanques del problema anterior
para que el gasto sea de 50 l/s?.
187
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
12. Dos estanques están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 915 m de largo. La
diferencia de nivel entre ambos estanques es de 24,5 m. A una distancia de 300 m del primer
estanque se ha colocado en la tubería una válvula de 3” que descarga libremente a la atmósfera.
Esta válvula está 15 m debajo del nivel del estanque. Para los efectos de este problema se puede
considerar a la válvula como un orificio circular de coeficiente de descarga igual a 0,95.
Considerando que el coeficiente f de fricción es constante e igual a 0,032. Calcular el gasto:
a) cuando la válvula está cerrada, b) cuando la válvula está abierta.
13. Dos reservorios están conectados por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” en los
primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 25,1 m. La embocadura es con bordes ligeramente
redondeados y el cambio de sección es brusco. Calcular cual debe ser la diferencia de nivel
entre las superficies libres de ambos reservorios para que el gasto sea de 123,5 l/s. Dibujar la
línea de energía y la línea de gradiente hidráulica, calculando previamente cada una de las
pérdidas de carga. La viscosidad cinemática del agua es 1,3x10-6 m2/s.
14. Dos estanques tienen una diferencia de nivel de 34,7 m. El primer tramo de la tubería que los
une tiene 3” de diámetro y 100 m de longitud. Calcular que longitud debe tener el segundo
tramo, cuyo diámetro es de 2”, para que el gasto sea 8 l/s. La embocadura es acampanada ( K =
0,04). La transición es gradual. La temperatura es de 20 °C. La tubería es de fierro forjado.
15. Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” de diámetro en
los primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 20 m. La embocadura es con bordes
ligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las
superficies libres de ambos estanques es de 8 m. La viscosidad del agua es de 1,3x10-6 m2/s.
Calcular el gasto y cada una de las pérdidas de carga. Dibujar la línea de gradiente hidráulica.
16. Dos estanques están conectados por una tubería cuyo diámetro es de 6” en los primeros 20 pies
y de 9” en los otros 50 pies. La embocadura es con bordes agudos. El cambio de sección es
brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 20 pies.
Calcular cada una de las pérdidas de carga y el gasto. Considerar f = 0,04 en ambas tuberías.
17. Dos reservorios cuya diferencia de nivel es de 6 m están unidos por una tubería de acero
remachado nuevo, que tiene un primer tramo de 80 m de largo y 6” de diámetro. El segundo
tramo, unido al primero por una expansión gradual (10°) tiene 120 m de largo y 8” de diámetro.
La embocadura es con bordes ligeramente redondeados. En el segundo tramo se ha colocado
una válvula. Calcular para que valor de K , de la válvula, el gasto queda reducido al 90 % (del
que existiría en ausencia de la válvula). La temperatura del agua es de 15 °C.
188
Capítulo IV
Diseño de tuberías
18. Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros 25 m
y 8” en los 40 m restantes. La embocadura es perfectamente redondeada. El cambio de sección
es brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 20 m. Las tuberías son de fierro
fundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto, y cada una de las
pérdidas de carga. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica.
19. Dos estanques estan conectados por una tubería que tiene 8” de diámetro en los primeros 20 m
y 6” en los 30 m restantes. La embocadura es ligeramente redondeada. El cambio de sección es
brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 15 m. La tubería es de fierro fundido.
La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Dibujar la línea de energía y la línea
piezométrica.
20. De un estanque sale una tubería de 2 400 m de largo y 18” de diámetro. Descarga libremente a
la atmósfera 350 l/s. La carga es de 40 m. Calcular el coeficiente f de Darcy.
Si a la tubería se le adiciona una boquilla tronco cónica convergente, en la que suponemos que
la pérdida de carga es despreciable, determinar cual debe ser el diámetro de la boquilla para que
la potencia del chorro sea máxima. Calcular la potencia.
21. Calcular el gasto para el sifón mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es 0,20 m, su
rugosidad es de 1,5x10-4 m, la viscosidad es de 10-6 m2/s.
8,0 m
D
4,0 m
3,0 m
7,0 m
3,0 m
10°
1,5 D
189
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
22. En el sistema mostrado en la figura circulan 60 l/s. La bomba tiene una potencia de 10 HP. La
eficiencia de la bomba es 0,85. La presión manométrica inmediatamente antes de la bomba es
de 0,06 kg/cm2. Determinar cual es la energía disponible inmediatamente después de la bomba.
El agua está a 20 °C. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. Calcular la longitud de
cada uno de los tramos.
22,0 m
10,0 m
B
D = 4"
D = 4"
Fierro fundido, nuevo
23. Calcular la potencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es del 80 % para bombear 15 l/s.
La succión se efectúa por medio de la válvula de pie mostrada en la figura ( K = 0,8). Hay una
válvula check ( K = 2) y una válvula de compuerta ( K = 17). El codo es de curvatura suave. La
tubería es de 4” de diámetro. Es de fierro galvanizado. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s.
250 m
90,0 m
50 m
11,5 m
B
10,0 m
1,5 m
190
Capítulo IV
Diseño de tuberías
24. Si no existiera la bomba circularían 150 l/s en el sistema mostrado en la figura. Calcular la
potencia teórica requerida en HP de la bomba para mantener el mismo gasto, pero en dirección
contraria.
12 m
D = 12"
L = 600 m
B
D = 12"
L = 300 m
25. Una tubería conduce 200 litros por minuto de aceite. La longitud es de 2 km y el diámetro de
0,18 m. El peso específico relativo del aceite es 0,9 y su viscosidad 4x10-3 kg-s/m2. Si la
potencia se mantiene constante se pregunta cual es la variación en el caudal.
191
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
CAPITULO
V
DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES
5.1 Tuberías en paralelo
Sea una tubería AD como la mostrada en la Figura 5.1. En el punto B esta tubería se ramifica.
Se produce una bifurcación, dando lugar a los ramales BMC y BNC, los que concurren en el
punto C. La tubería continúa a lo largo de CD.
M
A
B
C
D
N
Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo
Se dice que las tuberías BMC y BNC están en paralelo. Ambas tienen en su origen (B) la
misma energía. Lo mismo ocurre con su extremo (C) en el que ambas tienen la misma
energía. Se cumple entonces el siguiente principio
Energía disponible para BMC = Energía disponible para BNC
La diferencia de energía entre B y C es la energía disponible. La energía disponible determina,
de acuerdo a la naturaleza del contorno y del fluido, las características del escurrimiento. La
193
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
energía disponible se transforma en energía de velocidad, de presión y elevación. En un
conducto horizontal muy largo con velocidad relativamente pequeña se puede considerar que
la energía disponible da lugar íntegramente a la pérdida de carga continua. Nótese que la
ramificación puede ser en la forma de dos o más tuberías, cada una de las cuales tiene su
propio diámetro, longitud y rugosidad.
A modo de ilustración se ha efectuado el trazo de la línea de gradiente hidráulica (L. P.) para
el sistema mostrado en la Figura 5.2
hf
L. P.
B -C
A
B
C
D
Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo
Como las tuberías en paralelo se caracterizan por tener la misma energía disponible se producirá
en cada una de ellas la misma pérdida de carga.
Sea una representación esquemática de varias tuberías en paralelo
1
2
3
A
B
C
D
4
5
Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo
Se cumplirá que
hf = hf = hf = hf = hf = hf
1
194
2
3
4
5
BC
(5-1)
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
h f representa la pérdida de carga en cada uno de los tramos.
La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberías es igual al gasto total Q de la
tubería AB (y de la tubería CD).
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5
(5-2)
La ecuación de continuidad debe verificarse para el nudo B y para el nudo C.
Para el cálculo de tuberías en paralelo se presentan básicamente dos casos. En ambos
suponemos conocidas las características de las tuberías, diámetro, longitud y rugosidad, así
como las propiedades del fluido.
1.
Se conoce la energía disponible h f entre B y C y se trata de calcular el gasto en cada
ramal.
2.
Se conoce el gasto total Q y se trata de determinar su distribución y la pérdida de
carga.
El primero corresponde al caso general de cálculo de tuberías. Se puede proceder, por ejemplo,
con la ecuación de Darcy o con cualquier otra, al cálculo del gasto en cada ramal. Se
recomienda el siguiente procedimiento
Combinando las ecuaciones de Darcy y continuidad ( Q = VA ) se obtiene
fL 2
Q
D5
(5-3)
D 5 12
hf
Q = 3,477
fL
(5-4)
h f = 0,0827
expresión en la que,
h f : pérdida de carga en el tramo considerado
f : coeficiente de Darcy
L : longitud del tramo considerado
D : diámetro de la tubería
Q : gasto
de la que obtenemos inmediatamente
Para una tubería dada los valores del diámetro y la longitud son constantes. En muchos
casos se puede considerar que f también es constante, por lo menos para un determinado
195
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
rango de velocidades. Luego,
1
Q = K h f2
(5-5)
A esta ecuación la denominaremos “ecuación de descarga de la tubería”. En ella
D5
fL
K = 3,477
(5-6)
si usamos la ecuación de Darcy.
Aplicando la ecuación de descarga 5-5 a cada ramal se obtiene el gasto respectivo.
La ecuación 5-5 es un caso particular de una ecuación general que toma la forma
Q = Kh xf
(5-7)
x dependen de la ecuación utilizada. Podrían fácilmente
obtenerse los valores de K y de x para la ecuación de Chezy, ya estudiada. Posteriormente
en donde los valores de K y de
se obtendrán, por ejemplo, para la ecuación de Hazen y Williams.
Para el segundo caso se empieza por aplicar la ecuación de descarga a ambos ramales y se
obtiene así la relación entre
Q1 y Q2 . Combinando con la ecuación de continuidad se obtiene
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se halla así los gastos parciales.
Otro método consiste en plantear las ecuaciones de descarga para cada ramal y luego sumarlas
∑K h
i
x
f
=Q
(5-8)
Esta ecuación permite la resolución inmediata del sistema, pues h f o Q es un dato.
Hay un sistema de conducción que se
caracteriza porque se produce una
ramificación, pero los ramales no
concurren en un punto. Este sistema
puede tener un caso particular: que en
las bocas de descarga de los ramales la
energía sea la misma. Este sistema se
considera como un sistema de tubería en
paralelo.
E1
E2
A
B
E 1 = E2 = E3
Figura 5.4 Tubería ramificada
196
E3
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Ejemplo 5.1 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos
L1 = 1 000 m
L2 = 750 m
D1 = 16’’
D2 = 12’’
f1 = 0,018
f 2 = 0,018
El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberías.
Solución. Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en ambas. Aplicamos la
ecuación 5-3
0,0827
f1 L1 2
f L
Q1 = 0,0827 2 5 2 Q22
5
D1
D2
de donde,
5
Q12 L2  D1
= 
Q22 L1  D2

750  16 
 =
  = 3,16
 1000  12 
5
Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Q1 = 1,78Q2
Q1 + Q2 = 0,1
Obteniéndose finalmente
Q2 = 36 l/s
Q1 = 64 l/s
El método alternativo de solución consiste en aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 5-4
Q = 3,477
D 5 12
hf
fL
obteniéndose
1
2
Q1 = 0,0863 h f
1
2
Q2 = 0,0485 h f
sumando
1
2
Q = 0,1348 h f
que es la ecuación de descarga del sistema. Para Q = 0,1 m3/s se obtiene h f = 0,55 m. Al reemplazar este
valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal.
El método es extensible a cualquier número de ramales.
197
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplo 5.2 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos
L1 = 100 m
L2 = 156 m
D1 = 14’’
D2 = 12’’
f1 = 0,018
C2 = 80 m1/2/s
Si con la energía disponible el gasto total es de 1 m3/s, calcular el gasto en cada ramal, teniendo en
cuenta que en el ramal 1 hay una válvula ( K = 2,5).
Solución. En primer lugar aplicamos la ecuación 3-2
f2 =
8g
= 0,0122
C2
Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en cada ramal
f1
L1 V12
V2
L V2
+ 2,5 1 = f 2 2 2
D1 2 g
2g
D2 2 g
Reemplazando valores y operando se obtiene
V2 = 1,1V1
Por continuidad,
π D12
π D22
V1 +
V2 = 1
4
4
Se obtiene así
V1 = 5,57 m/s
Q1 = 553 l/s
V2 = 6,13 m/s
Q2 = 447 l/s
A modo de verificación se calcula la pérdida de carga en cada tramo obteniéndose h f = 11,97 m, que es
la energía disponible.
En este problema también se pueden aplicar los métodos alternativos de solución descritos
anteriormente.
198
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
5.2 El problema de los tres reservorios
En la Figura 5.5 se muestran tres estanques ubicados a diferentes niveles y que están
comunicados entre sí por un sistema de tuberías que concurren en un punto P.
z1
z2
1
zP
1
P
2
2
z3
3
3
Figura 5.5 Tres reservorios
Los valores de z corresponden a las cotas piezométricas. En los estanques corresponden a
la elevación de la superficie libre. Para el nudo P,
z P representa la suma de la elevación
topográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión.
Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal y cotas
piezométricas (elevaciones de la superficie libre) de cada estanque. Se busca el gasto en
cada ramal y la cota piezométrica del punto P. Para determinados problemas pueden
presentarse combinaciones entre los datos e incógnitas mencionados.
El sentido del escurrimiento en cada tubería dependerá de la diferencia entre la cota
piezométrica del nudo P y la del estanque respectivo.
Evidentemente que la cota piezométrica del punto P no puede ser superior a la de los tres
reservorios, pues en este caso el punto P debería comportarse como un punto alimentador
del sistema. Tampoco puede ser que el punto P tenga una cota inferior a la de los tres
estanques, pues entonces todo el caudal concurriría allí lo que implicaría que P fuese un
punto de desagüe. La cota del punto P determinará el sentido del escurrimiento en cada
ramal. La discusión anterior excluye el caso de un sifón.
Así por ejemplo si la cota de P está por encima de los estanques 1 y 2, pero debajo del
estanque 3, los sentidos del escurrimiento serán los mostrados en la Figura 5.6.
199
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
zP
z3
Q3
Q1
P
z1
Q2
z2
zP
zP
zP
z1
z2
z3
Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular)
En este caso particular la ecuación de continuidad es
Q1 + Q2 = Q3
Esto significa que el estanque 3 es alimentador. Podrían hacerse dibujos análogos para otras
combinaciones de cotas piezométricas. Debe verificarse siempre la ecuación de continuidad
en el nudo: la suma de los gastos en el nudo, con su propio signo, es cero.
Para resolver el problema de los tres reservorios, conociendo los diámetros, longitudes y
rugosidades de cada tubería, así como las cotas piezométricas de cada estanque, se sugiere
el método siguiente
1.
Suponer un valor para la cota piezométrica del punto P.
2.
Calcular, por simple diferencia, las energías disponibles en cada tramo. Corresponden a
las pérdidas de cada h f 1 , h f 2 y h f 3 .
Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal y plantear tentativamente la ecuación
de continuidad.
3.
Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación 5-4
D5 12
Q = 3,477
hf
fL
200
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Esta ecuación toma para cada tubería la forma
1
Q = K h f2
Si en lugar de la ecuación de Darcy se quiere usar otra ecuación, como, por ejemplo, la
de Hazen y Williams que estudiaremos más adelante, entonces la ecuación genérica es
de la forma
Q = Kh xf
determinándose los valores de K y de
x para la ecuación particular que se está
empleando.
Calculado el valor de K es fácil hacer sucesivos reemplazos y tanteos.
4.
Verificar la ecuación de continuidad en el nudo.
5.
Si la ecuación no quedara verificada, lo que es lo más probable, hay que hacer nuevos
tanteos, reiniciando el cálculo a partir del punto 1.
6.
A fin de no aumentar el número de tanteos conviene auxiliarse con un gráfico. Así por
ejemplo, para la última figura se tiene que la ecuación de continuidad debe ser
Q1 + Q2 = Q3
Como en un tanteo cualquiera lo más probable es que esta ecuación no se verifique, se
tiene que hay un error, que es
Q3 − (Q1 + Q2 )
El gráfico sería
zP
-
0
+
Q 3 - ( Q1 + Q 2 )
201
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Cada punto corresponde a un tanteo. Los puntos se unen con una curva suave. La
intersección con el eje vertical significa que
Q3 − (Q1 + Q2 ) = 0
con lo que queda verificada la ecuación de continuidad y se obtiene los gastos en cada
ramal.
Para hacer este gráfico es necesario definir previamente el sentido del escurrimiento en
cada ramal y escribir la ecuación de continuidad en su forma correspondiente.
Se puede obtener una rápida información sobre el sentido del flujo en el ramal 2 asumiendo en
P una cota piezométrica igual a la del estanque 2. Esto implica
Q2 = 0. Comparando Q1 y
Q3 se deduce el sentido del escurrimiento en cada tubería.
Una variante de este problema es el de los cuatro reservorios.
1
2
3
4
2
1
3
P1
4
P2
Figura 5.7 Cuatro reservorios
El método general se basa en aproximaciones sucesivas. Debe tenerse cuidado de hacer una
sola suposición cada vez. Se puede, por ejemplo, iniciar el cálculo suponiendo una cota
piezométrica en el nudo P1. Esto determina el flujo en los ramales 1 y 2. Habrá luego que
calcular la cota piezométrica en P2. Evidentemente que el flujo entre P1 y P2 es igual a
Q1 + Q2 . La pérdida de carga se calcula por ejemplo con la ecuación 5-3
h f = 0,0827
fL 2
Q
D5
u otra similar si no se estuviera empleando la ecuación de Darcy.
202
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
La forma genérica de esta ecuación es
h f = KQ x
x dependen de la ecuación particular empleada (Chezy, Darcy,
Hazen y Williams, etc.). Para el cálculo de K se ha supuesto que el coeficiente de resistencia
( C , f , CH , etc.) es constante. Conviene limitar esta constancia del coeficiente a un rango
en donde los valores de K y
de valores de la velocidad.
Habiendo calculado la cota piezométrica de P2 se calcula los gastos
Q3 y Q4 y se verifica
luego la ecuación de continuidad. Caso que ésta no quede satisfecha deberá repetirse el
procedimiento y recurrir a un gráfico.
Ejemplo 5.3 Sea un sistema de tres reservorios. Los datos son
z1 = 120 m
z 2 = 100 m
z 3 = 80 m
L1 =1 000 m
L2 = 2 000 m
L3 = 1 200 m
D1 = 8’’
D2 = 10’’
D3 = 6’’
f1 = 0,02
f 2 = 0,018
f 3 = 0,015
Calcular el gasto en cada uno de los ramales.
Solución. A partir de la ecuación
Q = 3,477
D 5 12
hf
fL
determinamos la ecuación de descarga de cada tubería
1
Q1 = 0,0145 h f21
1
Q2 = 0,0188 h f22
1
Q3 = 0,0074 h f23
Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo P la cota 110 m
z p = 110 m
h f1 = 10 m;
Q1 = 45,9 l/s
h f2 = 10 m;
Q2 = 59,5 l/s
h f3 = 30 m;
Q3 = 40,5 l/s
Q1 − (Q2 + Q3 ) = - 54,1 l/s
203
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada se hace un nuevo tanteo
z p = 105 m
h f1 = 15 m;
Q1 = 56,2 l/s
h f2 = 5 m;
Q2 = 42 l/s
h f3 = 25 m;
Q3 = 37 l/s
Q1 − (Q2 + Q3 ) = - 22,8 l/s
Haremos algunos cálculos adicionales
z p = 101 m
h f1 = 19 m;
Q1 = 63,2 l/s
h f2 = 1 m;
Q2 = 18,8 l/s
h f3 = 21 m;
Q3 = 33,9 l/s
h f1 = 19,5 m;
Q1 = 64 l/s
h f2 = 0,5 m;
Q2 = 13,3 l/s
h f3 = 21,5 m;
Q3 = 34,3 l/s
h f1 = 20 m;
Q1 = 64,8 l/s
h f2 = 0 ;
Q2 = 0
h f3 = 20 m;
Q3 = 33,1 l/s
Q1 − (Q2 + Q3 ) = 10,5 l/s
z p = 100,5 m
Q1 − (Q2 + Q3 ) = 16,4 l/s
z p = 100 m
Q1 − (Q2 + Q3 ) = 31,7 l/s
Llevando estos valores a un gráfico se obtiene el resultado
Q1 = 62 l/s
Q2 = 27 l/s
y la cota piezométrica del punto P es 102 m.
204
Q3 = 35 l/s
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
zP
110
-54,1
109
108
107
106
105
-22,8
104
103
102
101
+10,5
+16,4
100
-60 -50 -40 -30 -20 -10
+31,7
0 +10 +20 +30 +40 +50 +60
Q 1 - ( Q 2 + Q 3)
5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos
En la Figura 5.8 se muestra un reservorio alimentador 1, una tubería de succión 1, una bomba
B, una tubería de impulsión 2, que se bifurca en las tuberías 3 y 4 para alimentar dos estanques.
Considerando que se conoce los diámetros, longitudes y coeficientes de rugosidad de cada
tubería, así como las elevaciones de los estanques y la potencia de la bomba, se trata de
calcular el gasto en cada ramal. Se sugiere el siguiente método
= Q2 = Q ).
1.
Suponer un valor para el gasto Q impulsado por la bomba ( Q1
2.
Calcular la pérdida de carga
3.
Calcular la cota piezométrica
4.
Calcular la energía H teórica suministrada por la bomba, a partir de la ecuación 4-2,
h f en la tubería 1.
1
z E a la entrada de la bomba.
H=
76 Pot
γQ
H es la energía en metros, Pot es la potencia en HP, γ es el peso específico del
fluido en kg/m3 y Q es el gasto en m3/s.
205
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
z3
3
z4
3
4
4
zp
z1
B
1
P
2
1
Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos
5.
Calcular la cota piezométrica
z S a la salida de la bomba.
zS = zE + H
6.
Calcular la pérdida de carga h f en el tramo 2.
7.
Calcular la cota piezométrica del nudo P
2
zP = zS − h f
8.
2
Calcular la energía disponible h f 3 para el tramo 3
h f = z P − z3
3
9.
Calcular el gasto en la tubería 3 aplicando una ecuación de la forma
Q = Kh xf
10. Aplicar los pasos 8 y 9 a la tubería 4.
11. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo
206
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Q2 = Q3 + Q4
Caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para el gasto impulsado por la
bomba.
Para no aumentar el número de tanteos se recurre a un método gráfico similar al descrito en
el apartado anterior.
Ejemplo 5.4 En el sistema mostrado en la figura hay una bomba que suministra a la corriente una
potencia de 40 HP. Calcular el gasto en cada tubería. Considerar f = 0,02 en todas las tuberías. (Para
los efectos del problema considerar para la bomba una eficiencia del 100 %).
125 m
120 m
10"
1 800 m
3
18"
2
100 m
1
20"
P
4
12"
1 500 m
1 300 m
B
300 m
Solución. La pérdida de carga en las tuberías 1 y 2 viene dada por la ecuación 5-3
h f = 0,0827
fL 2
Q
D5
La ecuación de descarga en las tuberías 3 y 4 viene dada por la ecuación 5-4
Q = 3,477
D 5 12
hf
fL
Reemplazando datos de cada tramo se obtiene
1
h f1 = 14,67Q12
Q3 = 0,0188h f23
h f2 = 107,63Q22
Q4 = 0,0326h f24
1
207
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Iniciemos el cálculo suponiendo un gasto Q = 100 l/s (en la bomba).
La pérdida de carga en el tramo 1 es
h f1 = 14,67Q12 = 0,15 m
La cota piezométrica a la entrada de la bomba es 99,85 m.
La energía teórica suministrada por la bomba es
H=
76 Pot
76 × 40
=
= 30,4 m
γQ
1 000 × 0 ,1
La cota piezométrica a la salida de la bomba es 130,25 m.
La pérdida de carga en el tramo 2 es
h f2 = 107,63Q22 = 1,08 m
La cota piezométrica en el nudo resulta ser 129,17 m.
La energía disponible (que suponemos se consume íntegramente en fricción) en el tramo 3 es
h f3 = 129,17 - 125 = 4,17 m
y el gasto resultante es
1
Q3 = 0,0188h f23 = 38,4 l/s
La energía disponible para el tramo 4 es 9,17 m y el gasto resultante es
1
Q4 = 0,0326h f24 = 98,7 l/s
Para que se verifique la ecuación de continuidad se requeriría que
Q2 = Q3 + Q4
o bien,
Q2 − (Q3 + Q4 ) = 0
sin embargo encontramos que para el gasto supuesto
Q2 − (Q3 + Q4 ) = -37,1 l/s
Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos.
208
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Hacemos un nuevo cálculo con Q = 110 l/s y obtenemos
Q2 − (Q3 + Q4 ) = 8,9 l/s
Hacemos un nuevo tanteo con Q = 108 l/s y obtenemos
Q2 − (Q3 + Q4 ) = -1,2 l/s
con Q = 108,7 l/s se obtiene,
Q2 − (Q3 + Q4 ) = 2,1 l/s
Llevando estos valores a un gráfico se obtiene finalmente Q = 108,3 l/s. Redondeando los valores (l/s) se
obtiene
Q = 108 l/s
Q3 = 24 l/s
Q4 = 84 l/s
Q
110
109
108
107
106
105
104
103
102
101
100
-40
-30
-20
-10
0
+10
+20
Q 2 - ( Q3 + Q 4 )
209
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente
Sea un estanque alimentador del que sale una tubería de longitud
de resistencia
L1 , diámetro D1 y coeficiente
f1 . Esta tubería se bifurca en los ramales 2 y 3. Se conoce la elevación del
estanque y las cotas de descarga. Se trata de calcular el gasto en cada ramal.
z1
z2
1
zP
1
2
P
3
z3
Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente
El método de cálculo sugerido es el siguiente
1.
Suponer una cota piezométrica en el punto P.
2.
Calcular las energías disponibles para cada tramo
3.
Calcular el gasto en cada tubería. Se puede usar la ecuación de Darcy (5-4).
D5 12
hf
Q = 3,477
fL
o bien otra ecuación de la forma
Q = Kh xf
4.
Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo
Q1 = Q2 + Q3
5.
210
Caso contrario repetir el procedimiento y/o recurrir a un gráfico auxiliar hasta encontrar el
valor de la cota piezométrica del punto P necesaria para satisfacer la ecuación de
continuidad.
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
5.5 Conducto que da servicio (filtrante)
Se dice que un conducto es filtrante cuando a lo largo de su recorrido pierde parte del gasto
que transporta. Es el caso de una tubería que da servicio y que cada cierta distancia tiene una
toma (salida de agua). Podría ser una tubería de agua potable que a lo largo de una calle da
servicio a cada casa.
Q0
Figura 5.10 Conducto que da servicio
Resulta evidente que en estas condiciones el gasto de la tubería va disminuyendo, lo mismo
que la velocidad, puesto que el diámetro permanece constante.
Si admitimos la validez de la fórmula de Darcy y la constancia del coeficiente f se tendría
que, en general, dicha fórmula nos indica que la pérdida de carga es proporcional al cuadrado
del gasto y a la longitud.
hf = f
L V2
D 2g
de donde,
h f = KQ 2 L
expresiones en las que
h f : es la pérdida de carga
f : es el coeficiente de Darcy
L : es la longitud de la tubería
D : es el diámetro
V : es la velocidad media
Q : es el gasto
f
K : es igual a 0,0827 5 (ec. 5-3)
D
211
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Q0 . Consideremos que el gasto que sale
a lo largo del conducto es q m3/s por metro lineal de tubería. Supondremos que este gasto q
En el conducto de la Figura 5.10 el gasto inicial es
es constante. El gasto en cualquier sección es
Q = Q0 − qL
(5-9)
siendo L la distancia desde el punto inicial.
La pérdida de carga en un tramo muy pequeño es
dh f = KQ 2 dL
y por lo tanto
L
h f = ∫ KQ 2 dL
0
Introduciendo la ecuación (5-9)
2
h f = K ∫ (Q0 − qL ) dL
L
0


q 2 L2
h f = KLQ02 +
− Q0 q L
3



(Q − Q )2 − Q (Q − Q )
h f = KL Q02 + 0

0
0
3


hf =
(
KL 2
Q0 + Q0Q + Q 2
3
)
(5-10)
que es la ecuación que nos da la pérdida de carga para un tramo de longitud L en cuyo
extremo el gasto es Q . Para el caso particular que el gasto final Q sea cero
hf =
KL 2
Q0
3
(5-11)
Significa esta ecuación que en este caso la pérdida de carga sería la tercera parte de la que
ocurriría si el gasto fuera constante.
212
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Ejemplo 5.5 De un estanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 300 m de longitud. Esta tubería se
bifurca en ramales de 6’’ de diámetro y 150 m de largo cada uno. Los extremos descargan libremente a
la atmósfera. Uno de los ramales es un conducto filtrante que tiene bocas de descarga distribuidas
uniformemente a lo largo de la tubería de modo que la suma de la descarga de todas ellas es igual a la
mitad del gasto inicial en ese ramal (la otra mitad descarga por la boca final).
Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (15 m debajo de la superficie libre del estanque).
Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de carga locales. Considerar f = 0,024,
constante e igual para todas las tuberías.
Solución.
15 m
0
1
8"
300
m
P
0m
6"; 15
6";
150
m
0
En un conducto filtrante la pérdida de carga es según la ec. 5-9
hf =
En este caso particular Q =
KL 2
(Q0 + Q0Q + Q 2 )
3
Q0
. Luego,
2
hf =
KL 7 2 7
fL
Q0 = 0,0827 5 Q02
3 4
12
D
Sustituyendo los datos f , L y D para el conducto filtrante se obtiene
h f0 = 2 112,52 Q02
La pérdida de carga entre el estanque y el nudo es
h f = 0,0827
fL 2
Q = 1 718,78 Q 2
D5
Debe cumplirse que
1 718,78 Q 2 + 2 112,52 Q02 = 15 m
(1)
213
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La pérdida de carga en el otro ramal es
h f 1 = 0,0827
fL 2
Q1 = 3 621,46Q12
D5
Debe cumplirse que
1 718,78 Q 2 + 3 621,46 Q12 = 15 m
(2)
Luego
2 112,52 Q02 = 3 621,46 Q12
Q0 = 1,31 Q1
Este problema particular se hubiera podido resolver más rápidamente, puesto que de antemano se
hubiera podido establecer la ecuación
Q0 =
12
Q1
7
Continuando,
Q = Q0 + Q1 = 1,31Q1 + Q1 = 2,31Q1
Reemplazando en (2)
1 718,78(2,31)2 Q12 + 3 621,46 Q12 = 15
De donde,
Q = 79 l/s
Q1 = 34,2 l/s
Q0 = 44,8 l/s
La pérdida de carga h f en el ramal principal es 10,73 m. En cada uno de los dos ramales la pérdida de
carga es 4,24 m, lo que hace un total de 14,97 m, que es prácticamente igual a la energía disponible.
Hay otra forma de calcular un conducto filtrante y es a partir de la variación de velocidades.
Examinemos el caso particular en el que la velocidad final sea cero.
V0
Vx
x
L
Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante
214
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
En la Figura 5.11 se ha hecho una representación gráfica de la disminución de velocidad para
un tramo de longitud L y velocidad inicial V0 . Se denomina Vx a la velocidad a la distancia
x del punto inicial. Se cumple que
Vx = V0
L−x
L
La expresión para la pérdida de carga se obtiene aplicando la ecuación de Darcy a la longitud
dx y luego integrando
2
dx Vx
dh f = f
D 2g
f V02 L (L − x )
dx
hf =
D 2 g ∫0
L2
2
hf =
para
x2 x3 
f V02 
−
+
x
L 3L2 
D 2 g 
x = L se obtiene
hf =
1 L V02
f
3 D 2g
(5-12)
Significa esta ecuación que en un conducto que da servicio y cuyo gasto final es cero se
cumple que la pérdida de carga es la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante.
Para el caso en que la velocidad final sea la mitad de la inicial se obtendría.
hf =
7 L V02
f
12 D 2 g
(5-13)
5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo
Con el uso y el paso de los años aumenta la rugosidad de los conductos y disminuye el gasto
que pueden conducir. Este problema está íntimamente vinculado al de la calidad del agua y
para su conocimiento se requieren observaciones de muchos años.
215
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Básicamente el fenómeno de envejecimiento de las tuberías tiene dos aspectos: aumento de
la rugosidad y disminución de la sección útil. La consecuencia es la disminución de la
capacidad. La variación de la rugosidad con el tiempo se expresa así
k t = k 0 + α1 t
(5-14)
siendo
kt : rugosidad después de transcurrido el tiempo t
k0 : rugosidad inicial (al ponerse en servicio de la tubería)
α1 : velocidad de aumento de la rugosidad
Esta expresión debida a Colebrook y White supone que la rugosidad se incrementa linealmente
con el tiempo.
Lamont ha propuesto la Tabla 5.1 para describir la intensidad de aumento de rugosidad
TABLA 5.1
INTENSIDAD DE AUMENTO DE LA RUGOSIDAD
INTENSIDAD
α1 , mm/año
Pequeña
0,012
Moderada
0,038
Apreciable
0,12
Severa
0,38
Cuando se diseña una conducción no debe tenerse en cuenta exclusivamente la rugosidad
inicial, sino la que se espera se presente, según la calidad de agua y otros factores, dentro de
un cierto número de años. De no hacerse esta previsión nos encontraríamos en el futuro frente
a una disminución de la capacidad de la tubería.
La corrosión es una acción química. Por lo tanto depende de la calidad del agua y de la
calidad o naturaleza de la tubería.
Las tuberías de fierro fundido, que son sensibles a la corrosión, suelen recubrirse interiormente
con una sustancia bituminosa protectora a fin de disminuir la corrosión y mantener la capacidad
de diseño de la conducción.
216
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Ejemplo 5.6. Una ciudad se abastece de agua por medio de una tubería de 20’’ de diámetro. Después
de 1 año de la puesta en servicio se requiere de 40 HP por kilómetro de conducción, para bombear 400 l/s.
Después de 4 años de servicio la potencia requerida para transportar el mismo caudal aumentó en 10 %
¿Cuál será la potencia necesaria después de 8 años, sabiendo que entonces el caudal requerido será de
600 l/s? ( ν = 1,1x10-6 m2/s, eficiencia 100 %).
Solución. Después de 1 año de servicio la pérdida de carga es
hf =
h f = 0,0827
Pot
40 × 76
=
= 7 ,6 m
γ Q 1 000 × 0,4
fL 2
Q
D5
Re =
En el ábaco de Moody se obtiene
f = 0,00071 m
o
o o
VD
= 9 × 105
ν
k1
= 0,0009. Luego,
D
k1 = 0,00046 m
Un aumento del 10 % en la potencia supone un aumento del 10 % en el valor de f . Luego f = 0,0213
y para el mismo número de Reynolds la rugosidad relativa es
k4
= 0,0014
D
o
o o
k 4 = 0,00071 m
Sabemos que según la ecuación 5-14
k 4 = k 0 + 4α 1
0,00071 = k 0 + 4α 1
k 0 = 0,00038 m
o
o o
Por consiguiente
0,00046 = k 0 + α 1
α1 = 0,000083 m/año
Después de 8 años de servicio
k8 = k 0 + 8α 1
k8
= 0,002055
D
o
o o
o
o o
k8 = 0,001044 m
f = 0,0236
Re = 1,37 x 106
217
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
h f = 0,0827
Pot =
fL 2
Q = 20,77 m
D5
γ QH 1000 × 0,6 × 20,77
=
= 164 HP
76
76
que es la potencia teórica requerida.
5.7 Fórmula de Hazen y Williams
La fórmula de Hazen y Williams tiene origen empírico. Se usa ampliamente en los cálculos de
tuberías para abastecimiento de agua. Su uso está limitado al agua en flujo turbulento, para
tuberías de diámetro mayor de 2’’ y velocidades que no excedan de 3 m/s.
La ecuación de Hazen y Williams usualmente se expresa así
Q = 0,000426 C H D 2, 63 S 0,54
(5-15)
expresión en la que
Q : gasto en litros por segundo
CH : coeficiente de Hazen y Williams
D : diámetro en pulgadas
S : pendiente de la línea de energía en metros por km
Para una tubería dada, la longitud, el diámetro y el coeficiente de resistencia son constantes,
luego
Q = K h 0f ,54
(5-16)
K = 0,000426 CH D 2, 63 L− 0,54
(5-17)
siendo
La expresión 5-16 es similar a la ecuación 5-5.
Los valores de la constante
CH de Hazen y Williams han sido determinados
experimentalmente. Son función de la naturaleza de las paredes. (Obsérvese que este
coeficiente
218
CH es diferente del de Chezy). Los valores usuales son los de la Tabla 5.2
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
TABLA 5.2
COEFICIENTES DE HAZEN Y WILLIAMS
NATURALEZA DE LAS PAREDES
CH
Extremadamente lisas y rectas
140
Lisas
130
Madera lisa, cemento pulido
120
Acero ribeteado
110
Fierro fundido viejo
95
Fierro viejo en mal estado
60-80
Fuertemente corroído
40-50
Hagamos una breve discusión de la fórmula.
-
Si el Diámetro D y la pendiente de la línea de energía
tiene que
S se mantienen constantes se
Q1 C H 1
=
Q2 C H
(5-18)
2
Significa esto que si el coeficiente
CH varía, el gasto variará en la misma proporción.
Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías, que tengan el mismo diámetro y
el mismo valor de S . Sus gastos estarán en la misma proporción que sus respectivos
coeficientes de Hazen y Williams.
-
Si el diámetro y el gasto permanecen constantes, entonces
CH S1
1
0 , 54
= CH S 2
S 2  C H1
=
S1  C H

2
0 , 54
2




1, 85
(5-19)
Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto, pero la primera
tiene
CH igual a 100 y la segunda igual a 120, entonces
219
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
1,85
S 2  100 
=

S1  120 
= 0,714
Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la ecuación de Hazen y
Williams.
S 0,54 =
Q
0,000426 C H D 2, 63
S=
Q1,85
1,85
5,813 × 10 − 7 C H D 4,866
hf =
LQ1,85
1,85
5,813 × 10 −7 C H D 4,866
Para una tubería particular se cumple que
h f = KQ1,85
Así por ejemplo, si D = 10’’,
hf =
CH = 120 y L = 1,25 km se obtiene
1,25
Q1,85 = 0,00417Q1,85
5,813 × 10 × 7 022,4 × 7,345 × 10 4
−7
h f = 0,00417Q1,85
Que es la ecuación de descarga para la tubería.
220
(5-20)
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Ejemplo 5.7 Determinar el gasto que fluye en cada uno de los ramales del sistema de abastecimiento
de agua mostrado en la figura y hallar la presión en el punto P.
50 m
válvula
20 m
1
1
2
10 m
P
3
10 m
La elevación del punto P es 10 m.
Inicialmente la válvula está completamente abierta.
L1 = 5,2 km
D1 = 16’’
C H1 = 100 (acero usado)
L2 = 1,25 km
D2 = 10’’
CH 2 = 120 (cemento pulido)
L3 = 1,5 km
D3 = 10’’
C H3 = 120 (cemento pulido)
Si se aumenta la presión en el punto P hasta 20 m de columna de agua (cerrando la válvula ubicada en
el ramal 2), determinar el nuevo valor de gasto en cada tubería y la pérdida de carga en la válvula.
Solución. La ecuación de Hazen y Williams es
Q = 0,000426C H D 2 , 63 S 0 , 54
de donde,
Q=
0,000426C H D 2 , 63 h 0f , 54
L0 , 54
Q = Kh 0f ,54
siendo K característico de cada tubería e igual a
K=
0,000426C H D 2 , 63
L0, 54
Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los correspondientes valores de K
Q1 = 25,68 h 0f1, 54
Q2 = 19,33 h 0f2, 54
Q3 = 17,52 h 0f3,54
221
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Empecemos por la segunda parte del problema. Si la presión en el nudo P es 20 m, entonces
h f1 = 20 m
h f2 = 10 m
h f3 = 20 m
que son las energías disponibles en cada tramo.
Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3. La ecuación de descarga no es aplicable al
tramo 2 por tener una válvula.
Q1 = 129,5 l/s
Q3 = 88,3 l/s
Q2 será simplemente la diferencia, Q2 = 41,2 l/s
Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es
h f 2 = 0,004173Q2
1, 85
h f2 = 4,06 m
Como la energía disponible es de 10 m resulta que la pérdida de la carga en la válvula es 5,94 m.
Para la primera parte del problema el método más simple consiste en tantear valores para la presión en
P, calculando luego las energías disponibles en cada tramo y los gastos. Cuando la ecuación de
continuidad quede satisfecha se ha encontrado la respuesta.
pP = 15 m
pP = 17,5 m
h f1 = 25 m
Q1 = 146,04
hf2 =
5m
Q2 = 46,1
h f 3 = 15 m
Q3 = 75,6
h f1 = 22,5 m
Q1 = 138
hf2 =
7,5 m
Q2 = 57,4
h f 3 = 17,5 m
Q3 = 82,2
Q1 − (Q2 + Q3 ) = 24,3
Q1 − (Q2 + Q3 ) = −1,6
Con una presión de 17,5 m en P prácticamente queda satisfecha la ecuación de continuidad. Si se
continúan los cálculos se obtiene
p P = 17,3 m
Q1 = 139 l/s
222
Q2 = 57 l/s
Q3 = 82 l/s
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
5.8 Diseño de una conducción
Esencialmente el problema de un diseño de tuberías consiste en encontrar el diámetro más
adecuado para transportar un gasto dado. La selección del diámetro implica un estudio de
a)
b)
c)
Velocidades
Presiones
Costo
Las velocidades excesivas deben evitarse. No sólo pueden destruir la tubería por erosión, sino
también hay la posibilidad del golpe de ariete.
Las presiones pueden ser negativas o positivas. Las presiones negativas ya fueron estudiadas
anteriormente al examinar el comportamiento de un sifón (apartado 4.8). Deben evitarse, pues
dan lugar a discontinuidad en el escurrimiento y a cavitación.
Tampoco se puede aceptar cualquier presión positiva. Las tuberías, según el material de que
están hechas, soportan determinadas presiones. La máxima presión admisible forma parte
de la descripción técnica de una tubería.
El costo es muy importante. Las condiciones a y b pueden satisfacerse con más de un
diámetro. Debe escogerse el más económico. Este concepto será analizado más adelante.
Por cierto que en el diseño de una conducción debe tenerse en cuenta los diámetros
comerciales disponibles. Hay otros factores que intervienen como la calidad de agua y otros,
que escapan a los alcances de este curso.
Examinemos el caso genérico de la
Figura 5.12. La tubería AB une los
dos estanques. Se trata de
determinar el diámetro que debe tener,
conociendo la carga disponible H y
el gasto Q .
El dibujo muestra el perfil de la
tubería de acuerdo al terreno sobre
el que debe apoyarse.
Se ha trazado aproximadamente la
línea de gradiente hidráulica (sobre
la hipótesis de diámetro uniforme
entre A y B) y, como se observa en
el dibujo, se anticipa la presencia de
presión negativa en N y quizá una
presión muy fuerte en M (positiva).
A
L. P.
M
H
N
B
Figura 5.12 Diseño de una conducción
223
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La inclinación de la línea de gradiente sería
S=
H
L
Siendo H la diferencia de nivel entre los estanques y L la longitud total de la conducción,
supuesta de diámetro uniforme.
Se puede fácilmente verificar la intensidad de las presiones en M y N. Si fueran muy grandes
habría que utilizar un diámetro diferente para cada tramo y constituir un sistema de tuberías
en serie, como se muestra en la Figura 5.13
A
L. P.
H
M
N
B
Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción
Se observa que la línea de gradiente (L. P.) aparece quebrada. La conducción está formada
por varios tramos de diferentes diámetros. Como una ilustración de lo anteriormente expuesto
podemos examinar el ejemplo 4.14. Se evita así las presiones positivas muy grandes y las
presiones negativas excesivas.
Al desarrollar dicho ejemplo no se mencionó porqué hay dos diámetros diferentes (8’’ y 6’’).
La razón es simple. Si el primer tramo tuviera un diámetro de 6’’, la pérdida de carga sería
muy grande y se produciría una fuerte presión negativa al ingreso de la bomba. Para evitar
esto se introdujo un tramo con un diámetro mayor (8’’) con lo que disminuyó la velocidad y por
consiguiente la pérdida de carga.
En todo caso debe tenerse presente que en el diseño de una conducción uno de los primeros
problemas que debe analizarse es el número de tuberías a usarse (en paralelo). Acá intervienen
razones de seguridad, costo y disponibilidad en el mercado.
224
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Ejemplo 5.8 Proyectar la línea de conducción entre los estanques A y B siguiendo el perfil del terreno
mostrado en la figura. El caudal debe ser de 500 l/s. Se dispone de tuberías de 14’’, 16’’, 18’’ y 20 ‘’de
diámetro, para presiones de un máximo de 75 lb/pulg2, C H = 100,
1 225 m
A
13
00
m
1 050 m
1 100 m
2 200 m
N
M
B'
12
00
m
960 m
B
Solución. Si usáramos un diámetro constante entre A y B se tendría que
S=
265
= 56,4 m/km
4 ,7
La pérdida de carga entre A y N sería
h f AN = 56,4 × 3,5 = 197,4 m
La cota piezométrica en N es
z N = 1 027,6 m
La presión en N es
p N = - 22,4 m
Es una presión negativa inadmisible. Pensemos entonces en descomponer la tubería en dos tramos:
AN y NB. Supongamos que entre A y N el diámetro es constante.
S=
175
= 50 m/km
3,5
La pérdida de carga entre A y M es
h f AM = 50 × 1,3 = 65 m
225
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La cota piezométrica en M es
z M = 1 160 m
La presión en M resulta ser
pM = 60 m
Esta presión es excesiva. Sólo disponemos de tuberías para 75 lb/pulg2, lo que equivale a una altura de
52,7 m de columna de agua. Aceptaremos para M una presión máxima de 52,7 m con lo que su cota
piezométrica resulta ser 1 152,7 m. La pérdida de carga entre A y M es entonces 72,3 m y la pendiente
S es 55,6 m/km. Veamos cuál debe ser teóricamente el diámetro. De la fórmula de Hazen y Williams
obtenemos
D 2 ,63 =
Q
0,000426CH S 0 ,54
o
o o
D = 15,5’’
Si usáramos un diámetro de 16’’ la pérdida de carga sería menor y la presión en M resultaría mayor que
la admisible. Con un diámetro de 14’’ la pérdida de carga sería notablemente mayor y resultaría en M
una presión pequeña, mucho menor que la admisible (lo que en principio es aceptable), pero nos
interesa tener en el punto M la presión más alta posible (52,7 m) a fin de disminuir el problema de la
presión negativa en N.
Utilizaremos para el tramo AM dos diámetros diferentes 14’’ y 16’’ (constituyendo así un sistema de
tuberías en serie). Para 14’’ de diámetro la pendiente S es 89,98 m/km y para 16’’ la pendiente es
46,96 m/km. Sea L la longitud de tubería de 14’’. Debe cumplirse que
89,98 L + 46,96 (1,3 - L ) = 72,3
De donde la longitud L es 0,262 km. La tubería AM queda así descompuesta en dos tramos: 262 m de
14’’ y 1 038 m de 16’’.
Ensayemos diámetros para el tramo MN. Si usáramos 14’’ de diámetro la presión resultante en N sería
muy baja (negativa). Con 16’’ de diámetro se tendría para el tramo MN una pérdida de carga de 103,3 m,
lo que representa para el tramo AN una pérdida de carga de 175,6 m y la presión para el punto N es - 0,6 m
valor que es admisible. La cota piezométrica del punto N es 1 049,4 m y la pendiente para el tercer tramo
es
S=
89,4
= 74,5 m
1,2
De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos que el diámetro debería ser 14,6’’. Tal como se hizo con
el tramo AM descompondremos en un tramo L de 14’’ y otro de 16’’ de modo que
89,98 L + 46,96 (1,2 - L ) = 89,4
226
Capítulo V
1 225 m
1 201,4 m
A
"
14
72,3 m
M'
1 152,7 m
"
16
52,7 m
1 100 m
265
M
16"
1 049,4 m
N
1 050 m
1 029,1 m
"
16
"
14
960 m
B
227
Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8
Diseño de conducciones y redes
B'
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
De acá se obtiene que L es 0,768 km.
Los 4 700 m de conducción se descomponen finalmente así
262 m de 14’’
1 038 m de 16’’
2 200 m de 16’’
432 m de 16’’
768 m de 14’’
(A - M’)
(M’ - M)
(M - N)
(N - B’)
(B’ - B)
Lo que significa 1 030 m de tubería de 14’’ y 3 670 m de tubería de 16’’. En la Figura 5.14 se presenta el
trazo de la línea piezométrica.
5.9
Diámetro más económico
Cuando se diseña una conducción por tubería no hay solución única. Tanto un diámetro como
otros pueden satisfacer las condiciones hidráulicas. De todos los diámetros posibles, que
desde el punto de vista puramente hidráulico constituyen soluciones, hay uno que es el
diámetro más económico.
Se entiende por “diámetro más económico” aquel para el cual resulta mínima la suma de los
costos de instalación, operación y servicios del sistema.
Si se trata, por ejemplo, de una conducción por bombeo el problema puede ser más complejo,
pues hay que empezar por examinar el número de tuberías, en paralelo o en serie, que
conformarán la conducción. Por razones de seguridad en el servicio puede convenir tener más
de una tubería conformando así un sistema en paralelo. Un análisis nos dirá cuál es la solución
más económica.
En una instalación por bombeo los costos principales son
a)
Adquisición e instalación de la tubería. Este costo aumenta con el diámetro. A mayor
diámetro, mayor costo.
b)
Instalación y operación del equipo de bombeo. Este costo es inversamente proporcional
al diámetro. Los diámetros pequeños representan una gran pérdida de carga y por
consiguiente requieren de gran potencia. Con los diámetros grandes ocurre lo inverso.
Para la obtención del diámetro más económico de una conducción por bombeo normalmente
los datos están constituidos por
-
Diámetros disponibles en el mercado
-
Costo de las tuberías
-
Gasto requerido
228
Capítulo V
-
Coeficientes de rugosidad de las tuberías
-
Costo del KW hora
-
Tiempo de amortización
-
Interés
-
Costo de la bomba y el motor, etc
Diseño de conducciones y redes
El procedimiento de cálculo es el siguiente
a)
Escoger tentativamente un diámetro
b)
Calcular la pérdida de carga h f
c)
Calcular la energía necesaria
d)
Calcular la potencia necesaria
e)
Calcular el costo anual de la potencia necesaria
f)
Calcular el costo del motor y de la bomba
g)
Calcular el costo de la tubería (teniendo en cuenta el diámetro y espesor requeridos)
h)
Calcular el costo de la inversión inicial: tubería, motor y bomba y luego determinar la
amortización (en base al número de años útiles del sistema)
i)
Determinar el costo total por año sumando la amortización anual de la inversión inicial
( h ) y el costo anual de la potencia ( e )
Si el procedimiento anterior se repite para varios diámetros diferentes se encontrará finalmente
el diámetro más económico.
5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross
Una red es un sistema cerrado de tuberías. Hay varios nudos en los que concurren las tuberías.
La solución de una red es laboriosa y requiere un método de tanteos y aproximaciones
sucesivas.
Representemos esquemáticamente la red muy simple de la Figura 5.15. Esta red consta de
dos circuitos. Hay cuatro nudos.
En la tubería MN tenemos un caso típico de indeterminación: no se puede saber de antemano
la dirección del escurrimiento. En cada circuito escogemos un sentido como positivo. Se
escoge una distribución de gastos respetando la ecuación de continuidad en cada nudo, y se
asigna a cada caudal un signo en función de los circuitos establecidos. Se determina entonces
las pérdidas de carga en cada tramo, que resultan ser “positivas” o “negativas”.
229
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
M
I
II
B
C
N
Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías
Las condiciones que se deben satisfacer en una red son
1.
La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero. Ejemplo
hf
BM
+hf
MN
+ hf
NB
=0
2.
En cada nudo debe verificarse la ecuación de continuidad.
3.
En cada ramal debe verificarse una ecuación de la forma
h f = KQ x
en donde los valores de K y de
x dependen de la ecuación particular que se utilice.
Como los cálculos son laboriosos se recurre al método de Hardy Cross. En este método se
supone un caudal en cada ramal, verificando por supuesto que se cumpla la ecuación de
continuidad en cada nudo.
Si para un ramal particular se supone un gasto
Q0 este valor será, en principio, diferente al
gasto real que llamaremos simplemente Q , luego
Q = Q0 + ∆Q
En donde ∆Q es el error, cuyo valor no conocemos.
Si tomamos, por ejemplo, la fórmula de Hazen y Williams se tiene que la pérdida de carga en
cada tubería es
h f = KQ1,85
Si esta ecuación se aplica a los valores supuestos se obtiene
230
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
h f 0 = KQ0
1,85
La pérdida de carga real será
h f = K (Q0 + ∆Q )
1,85
Luego, desarrollando y despreciando los términos pequeños se llega a
h f = KQ0
+ 1,85
1, 85
h f = h f + 1,85
0
hf
hf
0
Q0
0
Q0
∆Q
∆Q
De donde, para cada circuito
∑ h f = ∑ h f + ∆Q 1,85∑
0
hf
0
Q0
=0
De acá obtenemos finalmente el valor de ∆Q
∆Q =
− ∑ hf
1,85 ∑
(5-21)
0
hf
0
Q0
Esta es la corrección que debe hacerse en el caudal supuesto. Con los nuevos caudales
hallados se verifica la condición 1. Si no resulta satisfecha debe hacerse un nuevo tanteo.
Ejemplo 5.9 Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar
CH = 100 en
todas las tuberías.
M
m
500
B
6"
C
6’’
6"
200 l/s
70
0m
500 m
500 m
8"
8"
600
m
N
8"
600
m
231
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de
descarga en cada tubería es
h f = KQ1,85
siendo
K=
1,72 × 10 6 L
C H1,85 D 4, 866
Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado que
el coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso se
utilizaría las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada
uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las
agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario.
Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. En
consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por
consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente
signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se trata
solamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. Se obtiene
así
M
0
-13
200 l/s
B
-11
0
I
II
+
+
C
-20 +20
+70
+90
N
La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sólo
que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente).
Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga
con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.
232
CIRCUITO I
CIRCUITO II
BN
NM
MB
CM
MN
NC
0,03367
0,02806
0,00692
0,00969
0,02806
0,00830
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga h f0 en cada circuito aplicando la ecuación de
descarga.
BN
NM
MB
∑h
f0
+ 87,23
- 7,16
- 56,35
CM
MN
NC
∑h
= + 23,72
f0
- 57,93
+ 7,16
+ 34,23
= - 16,54
Aplicamos ahora la ecuación
∆Q =
− ∑ h f0
hf
1,85 ∑ 0
Q0
para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cada
circuito
∆Q =
−23,72
= −6,3
1,85 × 2,04
∆Q =
∆Q = −6
16,54
= 7,1
1,85 × 1,26
∆Q = 7
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga h f son los siguientes
CIRCUITO I
Tramo
CIRCUITO II
Caudal
hf
Tramo
hf
Caudal
BN
+70 - 6
= +64
+73,91
CM
-110 + 7 = -103
-51,29
NM
-20 - 6 - 7 = -33
-18,09
MN
+20 + 7 + 6 = +33
+18,09
MB
-130 - 6 = -136
-61,26
NC
+90 + 7
+39,32
∑h
= −5,44
f
= +97
∑h
f
= +6,12
Calculamos nuevamente la corrección ∆Q
∆Q =
5,44
= +1,37
1,85 × 2,15
∆Q = +1
∆Q =
−6,12
= −2,28
1,85 × 1,45
∆Q = −2
233
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de h f son
CIRCUITO I
Tramo
CIRCUITO II
Caudal
= + 65
hf
Tramo
+76,06
CM
-103 - 2 = -105
BN
+ 64 + 1
NM
- 33 + 1 + 2 = -30
-15,16
MN
+33 - 2 - 1
MB
- 136 + 1 = - 135
-60,43
NC
+97 - 2
∑h
f
hf
Caudal
= +30 +15,16
= +95
∑h
= +0,47
-53,15
+37,83
f
= −0,16
Calculamos ahora nuevamente la corrección ∆Q
∆Q =
−0,47
= −0,12
1,85 × 2,12
∆Q =
∆Q = 0
0,16
= 0,06
1,85 × 1,41
∆Q = 0
En consecuencia los caudales son
M
135
200
10
5
200
30
65
N
95
Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.
Obsérvese que la condición 1,
∑h
f
= 0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del
flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el
comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación.
234
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
M
I
B
N
Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental
h f BM + h fMN = h f BN
como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.
Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones
h f MC + h f MN + h f NC = 0
h f BNC = h f BMC
La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).
D
=
8’’
CH
=
100
Q = 0 ,00426 × 100 × 8 2 ,63 × 63,050 ,54
L
=
0,6 km
Q = 94,7 l/s
hf
=
37,83 m
Valor que está dentro del error aceptado.
235
CALCULOS DEL EJEMPLO 5.9
K
Qo
hf
0
∑h
f0
∆Q
Q
hf
∑h
f
∆Q
Q
hf
∑h
f
∆Q
Circuito 1
BN
0,03367
+70
+87,23
-6
+64
+73,91
+1
+65
+76,06
0
NM
0,02806
-20
-7,16
-13
-33
-18,09
+3
-30
-15,16
0
MB
0,00692
-130
-56,35
-6
-136
-61,26
+1
-135
-60,43
+23,72
-5,44
+0,47
Hidráulica de tuberías y canales
236
TABLA 5.3
0
Circuito 2
CM
0,00969
-110
-57,93
+7
-103
-51,29
-2
-105
-53,15
0
MN
0,02806
+20
+7,16
+13
+33
+18,09
-3
+30
+15,16
0
NC
0,00830
+90
+34,23
+7
+97
+39,32
-2
+95
+37,83
-16,54
+6,12
-0,16
Arturo Rocha
Al aplicar el método de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulación como la aquí presentada, que corresponde al ejemplo 5.9.
0
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo V)
1.
Se tiene dos tuberías en paralelo de 3 000 m de longitud cada una. El diámetro de la primera es de
10’’ y el de la segunda de 20’’. La diferencia de nivel entre los estanques comunicados por el
sistema en paralelo es de 18 m. Considerar f = 0,02 para ambas tuberías. Calcular el gasto en
cada una.
2.
Se tiene dos tuberías en paralelo. Ambas tienen 2 500 m de longitud. El diámetro de la primera es
de 8’’ y el de la segunda de 14’’. Calcular cuál es la energía necesaria para que el gasto total sea
de 200 l/s. Considerar f = 0,025 en ambas tuberías.
3.
¿Cual sería el gasto en cada una de las tuberías del ejemplo 5.2, si no estuviera la válvula y se
mantuviera la misma energía disponible?.
4.
¿Cuál sería la energía necesaria para transportar el gasto total del ejemplo 5.2, considerando que
no existiera la válvula? ¿Cuales serían los gastos en cada tubería?.
5.
Dos estanques están conectados por tres tuberías en paralelo cuyos diámetros son D , 2 D y
3 D . Las tres tuberías tienen la misma longitud y el mismo valor de f de Darcy. ¿Cuál es el gasto
en la tubería mayor si el gasto en la tubería menor es de 30 l/s?.
6.
Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura
1
2
B
C
3
L1 = 80 m
L2 = 120 m
L3 = 300 m
D1 = 4’’
D2 = 6’’
D3 = 10’’
f1 = 0,018
f 2 = 0,018
f 3 = 0,025
La elevación del punto B es 112,80 m
La elevación del punto C es 115,10 m
La presión del punto B es 4 kg/cm2
La presión del punto C es 2,5 kg/cm2
237
Hidráulica de tuberías y canales
7.
Arturo Rocha
Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura
1
2
B
C
3
Q = 0,400 m3/s
8.
L1 = 220 m
D1 = 8’’
f1 = 0,025
L2 = 280 m
L3 = 390 m
D2 = 10’’
D3 = 6’’
f 2 = 0,020
f 3 = 0,028
Determinar el gasto en cada ramal del sistema para Q = 2 m3/s
1
2
3
4
9.
L1 = 100 m
L2 = 120 m
L3 = 120 m
D1 = 10’’
D2 = 8’’
D3 = 8’’
f1 = 0,030
f 2 = 0,025
f 3 = 0,025
L4 = 100 m
D4 = 10’’
f 4 = 0,030
La tubería de alimentación mostrada en la figura tiene una longitud de 500 m, un diámetro de
8’’ y un coeficiente f de 0,025. Calcular cuál debe ser la presión p para que el gasto en el
ramal 2 sea de 50 l/s.
p
100 m
80 m
1
2
3
238
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
L1 = 250 m
L2 = 300 m
L3 = 100 m
D1 = 4’’
D2 = 6’’
D3 = 4’’
f1 = 0,02
f 2 = 0,022
f 3 = 0,015
10. En la figura se muestran dos sistemas de tuberías ¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad (para una
misma energía disponible)?. Considerar f = 0,02 en todas las tuberías.
(a)
Q1
(b)
20"
800 m
16"
500 m
18"
14"
12"
300 m
12"
200 m
600 m
1 000 m
Q2
10"
800 m
11. Para el sistema mostrado en la figura se tiene que cuando el gasto es de 700 l/s la presión en el
punto 3, de empalme con una tubería, es de 1 kg/cm2. Se trata de aumentar el caudal a 900 l/s.
La presión en el punto 3 debe ser 1,5 kg/cm2. Determinar cuál es el diámetro que debe tener una
tubería de 400 m de largo, colocada paralelamente a la anterior para cumplir con lo señalado
( f es 0,025 en todas las tuberías).
z1
1
2
3
Tramo 1-2 :
Tramo 2-3 :
800 m, 24’’
400 m, 18’’
12. Dos estanques están conectados por dos tuberías en paralelo. Los datos son
L1 = 1 200 m
L2 = 800 m
D1 = 12’’
D2 = 10’’
f1 = 0,022
f 2 = 0,03
Si el gasto en la primera tubería es de 50 l/s. ¿Cuál es el gasto en la segunda?
239
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
13. Entre dos estanques hay una diferencia de nivel de 6 m. Están conectados por un sistema que
consta de un primer tramo formado por una tubería de 20’’ de diámetro y 2 500 m de longitud. Esta
tubería se bifurca dando lugar a ramales de 10’’ y de 2 500 m de longitud cada uno. Estos ramales
concurren en paralelo en el segundo estanque. Considerar f = 0,03 para todas las tuberías.
Hallar el gasto.
14. Para un sistema de tuberías en paralelo se tiene
L1 = 100 m
L2 = 156 m
D1 = 14’’
D2 = 12’’
f1 = 0,018
f 2 = 0,0122
Al colocar una válvula en el primer ramal hay unan disminución del 11 % en el gasto total.
Calcular el valor K de la válvula.
15. Calcular el gasto en cada ramal.
H = 30 m
2
válvula
4
1
3
L1 = 120 m
L2 = 130 m
L3 = 130 m
D1 = 6’’
D2 = 4’’
D3 = 4’’
L4 = 120 m
D4 = 6’’
Considerar f = 0,02 para todas las tuberías. En el ramal 2 hay una válvula check totalmente
abierta.
16.
1
H
2
L1 = 200 m
L2 = 250 m
L3 = 400 m
240
3
D1 = 4’’
D2 = 6’’
D3 = 8’’
f1 = 0,02
f 2 = 0,025
f 3 = 0,030
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Si la diferencia de nivel H entre ambos estanques es de 10 m, calcular el gasto en cada ramal.
¿Cuál debe ser el valor de H para que el gasto sea de 300 l/s?
Determinar la longitud de una tubería equivalente que reemplace al sistema (para H = 10 m).
17. La tubería 1 tiene 300 m de longitud y 4’’ de diámetro. Suponiendo que ésta sea la única tubería
de desagüe, determinar la longitud que debe tener una tubería en paralelo (2) del mismo diámetro
para que el gasto en la tubería 1 aumente en 50 %.
Calcular cuál sería el porcentaje de aumento en el gasto, si además del tubo anterior se coloca una
tubería (3) en paralelo de 50 m de largo y 3’’ de diámetro. ( f = 0,02 en todas las tuberías)
H
2
1
3
18. Calcular la elevación que debe tener el estanque para que el gasto que ingrese a él sea de 10 l/s.
?
p = 4 kg/cm 2
10 l/s
válvula
0
2
1
L1 = 150 m
L2 = 80 m
L3 = 40 m
D1 = 6’’
D2 = 4’’
D3 = 4’’
3
f = 0,025
19. Dos reservorios tienen una diferencia de nivel constante de 220 ft. Están unidos por medio de
una tubería de 9’’ de diámetro y 2,5 millas de largo. A una milla del reservorio más alto la tubería
tiene una salida que descarga 1,5 ft3/s.
Asumiendo para f un valor constante de 0,036 calcular la velocidad con la que el agua entra
al segundo reservorio. No se consideren pérdidas de cargas locales .
241
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
20. En la tubería 1 la velocidad es 1,5 m/s. Calcular el gasto en cada ramal y el valor que debe tener
H.
H
1
4
3
2
L1 = 300 m
D1 = 8’’
5
L2 = 300 m L3 = 300 m L4 = 600 m L5 = 800 m
D3 = 18’’
D5 = 12’’
D2 = 12’’
D4 = 12’’
Considerar f = 0,018 en todas las tuberías.
21. En el sistema de tres reservorios mostrados en la figura las tuberías tienen un coeficiente de
H1 + H 2 = 10 m; L1 = 150 m; L2 = 70 m; L3 = 90 m;
D1 = D2 = D3 = 6’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de H1 y H 2 para que Q2
sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de Q1 y Q2 si H1 fuera cero?.
Darcy igual a 0,025. Se sabe que
z1
1
z2
H1
1
H2
2
z3
P
3
22. En el sistema de 3 reservorios mostrado en la figura del problema anterior las tuberías tienen un
CH = 100. Se sabe que H 2 − H1 = 5 m; L1 = 800 m; L2 = 600 m; L3 = 1 200 m;
D1 = D2 = D3 = 12’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de H1 y H 2 para que Q2
sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de Q1 y Q2 si H1 fuera cero?.
coeficiente
242
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
23. En la figura se muestra una sistema de 3 reservorios. La válvula check ubicada en la tubería 1 está
completamente abierta de modo que para un gasto de 250 |/s produce una pérdida de carga de
0,80 m. Calcular la longitud que debe tener la tubería 2.
180 m
1
1
150 m
14"; 1
000 m
14";
3 000 m
10"
120 m
2
24. Calcular el gasto en cada uno de los ramales del sistema mostrado en la figura.
z1
z2
z3
2
1
3
P
z1 = 100 m
L1 = 4 km
D1 = 10’’
Considerar
z2 = 90 m
L2 = 6 km
D2 = 8’’
z3 = 80 m
L3 = 5 km
D3 = 6’’
CH = 120 para todas las tuberías.
25. Hallar el caudal en cada uno de los ramales del sistema
0,30 m
103 m
m
0
30 "
18
100 m
24"
0m
60
"
18
600 m
350 l/
s
0m
1 00
18"
P2
300 m
18"
P1
Considerar f = 0,028 en todas las tuberías.
243
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
26. Calcular la potencia de salida de la turbina mostrada en la figura (eficiencia 0,9)
218 m
150 m
";
18
6"; 800 m
; 0,019
15
2
0,0
;
m
00
T
125 m
P
12";
Q=
550
300
l/s
m;
0,01
9
100 m
27. El estanque 1 alimenta al sistema mostrado por medio de dos tuberías que totalizan 600 |/s. Las
tuberías se juntan en el punto P en el que reciben a otra tubería que viene del estanque 2. Del
nudo P sale una tubería en cuyo extremo hay una turbina. En el punto B la presión es de –2,5 m
( CH = 100 para todas las tuberías). Determinar la potencia teórica generada por la turbina.
150 m
140 m
20"
1
4 00
0m
24
18"
25
00
"
12
2
m
00
100 m
P
36"
4 000 m
A
m
B
28. Calcular la potencia que debe tener la bomba para que el caudal en la tubería 3 sea de 40 |/s
(ν = 10-6 m2/s). Eficiencia 0,75
126 m
124 m
3
4
100 m
0
1
B
244
P
2
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
L = 300 m;
L = 1 500 m;
Tubería 1 :
Tubería 2 :
L = 600 m;
L = 600 m;
Tubería 3 :
Tubería 4 :
k = 0,00015
k = 0,00015
D = 18’’;
D = 18’’;
D = 10’’;
k = 0,000045
k = 0,000045
D = 12’’;
29. En el sistema mostrado en la figura la bomba B suministra a la corriente una potencia de 76 HP.
El gasto es de 250 |/s. Calcular cuál es la elevación de la superficie libre en el estanque C.
Eficiencia 0,8.
válvula
K = 2,5
C
2
18 m
5m
1
B
A
L1 = 20 m;
L2 = 180 m;
D1 = 16’’;
D2 = 14’’;
f1 = 0,025
f 2 = 0,018
30. Se tiene una red de distribución de agua
+ 0,40 m
C
+ 0,20 m
2
4
0m
B
1
B
P1
3
P2
5
- 0,30 m
A
Los puntos P1 y P2 se encuentran al nivel 0,0 m.
En los puntos A, B y C la presión debe ser de 15 m de columna de agua y el gasto de 8 |/s.
L1 = 200 m
L2 = 50 m
L3 = 30 m
L4 = 80 m
L5 = 100 m
Considere f = 0,018 para todos los tubos. Calcular la potencia
que debe tener la bomba (eficiencia del 85 %).
245
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
31. Una tubería de abastecimiento de agua tiene una longitud de 1 200 m y un diámetro de 24’’. El
coeficiente de Darcy es 0,022. La energía disponible es de 12 m.
Por razones del servicio que da la tubería se requiere aumentar su caudal en 30 %. Hay dos
posibilidades. Una es instalar una bomba. La otra es instalar una tubería en paralelo de iguales
características a la existente. Cuál de las alternativas es más económica.
La eficiencia de la bomba es 0,8
El costo de la tubería es S/. 5 000 por m instalado
El costo del HP instalado es S/. 15 000
(comparar sólo los costos iniciales)
32. Se tiene una tubería de 20’’ de diámetro. Su longitud es de 2 000 m. La energía disponible es de
10 m. Calcular el gasto usando: a) La fórmula de Darcy, b) La fórmula de Hazen y Williams. La
tubería es muy lisa.
33. El gasto entregado por el sistema mostrado en la figura debe ser 800 |/s. Determinar la potencia
que debe tener la bomba, cuya eficiencia es de 0,8. Para todas las tuberías
CH =120.
90 m
85 m
18
"
50
00
m
18"
00
60
14 "
m
6 000
m
P
30"
0m
70 m
5 000 m
B
34. De acuerdo a la figura, ¿Qué diámetro debe tener la conducción para elevar 70 |/s?. Las tuberías
son de fierro fundido, nuevas. La potencia de la bomba es 122,3 HP (eficiencia 0,8). El fluido es
agua con una viscosidad de 1,4 x 10-6 m2/s. Se dispone de tuberías de 6’’, 8’’ y 10’’ de diámetro.
La máxima presión negativa admisible es –6 m.
33 m
3m
300 m
246
B
m
600
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
35. Una tubería de 18’’ de diámetro, fuertemente corroída, tiene una rugosidad de 1 mm. Con la
potencia instalada (una bomba) se bombea en la actualidad un caudal de 300 |/s. Se trata ahora
de bombear un caudal mayor con la misma potencia instalada, cambiando la tubería por una
más lisa ( k = 0,00025 m). ¿En cuanto aumentará el caudal?
36. Una tubería de abastecimiento de agua debe entregar uniformemente a lo largo de su recorrido
0,5 |/s por metro de recorrido. La longitud total es de 2 000 m y debe llegar al extremo final
140 |/s. La cota piezométrica inicial es de 42 m y la presión final es de 34 m. La tubería tiene
una rugosidad k = 2,5 x 10-4 m. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el diámetro, y la
presión que existirá en el punto medio.
37. De un tanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 1 000 ft de longitud. Esta tubería se bifurca
en ramales de 6’’ de diámetro y 500 ft de largo. Los extremos descargan libremente en la
atmósfera. Uno de los ramales tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largo de
la tubería de modo que la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto en la tubería (la
otra mitad descarga por la boca final). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (50 ft
debajo de la superficie libre del tanque). Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas
de carga locales. Considerar f = 0,024 (constante).
38. Al cabo de 6 años de uso una tubería de fierro fundido ha duplicado el valor de su rugosidad
absoluta.
Calcular la pérdida de carga que tendrá esta tubería, de 12’’ de diámetro, para un gasto de 250 |/s,
después de 20 años de servicio. La longitud de la tubería es 1 800 m.
39. Una tubería nueva de 30’’ de diámetro tiene un valor de f igual a 0,0168 para una velocidad
de 4,6 m/s. Después de 10 años de servicio tiene un valor de f igual a 0,022, para una
velocidad de 3,5 m/s. Calcular cuál será el valor de f al cabo de 15 años de servicio, para una
velocidad de 4 m/s.
40.
B
D
A
C
400 l/s
Calcular el caudal en cada una de las tuberías de la red. Se sabe que
247
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Tramo
L
D
CH
AB
320 m
8”
90
AC
810 m
6”
120
BC
1 200 m
6”
120
BD
1 000 m
6”
120
CD
300 m
6”
110
En los puntos B, C y D las descargas son de 80, 120 y 200 |/s, respectivamente.
248
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
(Capítulos I al V)
Problema 1
En una tubería de radio r la distribución de velocidades se expresa por
1x
h
Vh = Vmax  
r
Encontrar las expresiones para el cálculo de los coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Hallar los
valores particulares para
x igual 7.
Problema 2
La longitud de un tubo cónico vertical es de 10 m. La velocidad en el punto 1 (extremo superior) es de
9 m/s y en el extremo inferior es de 3 m/s (punto 2). La presión en el punto 2 equivale a 15 m de columna
de agua. Encontrar la presión en el punto 1, en kg/cm2.
El fluido es petróleo de peso específico relativo 0,93. Entre los extremos 1 y 2 del tubo existe una
pérdida de carga h f cuyo valor es
0,98
(V1 − V2 )2
2g
Problema 3
Una tubería horizontal de 10’’ de diámetro y 500 m de largo conduce 0,20 m3/s de aceite de viscosidad
1,5 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 kg/cm2 y en el punto final
es de 3 kg/cm2.
Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds.
Problema 4
De un estanque sale una tubería de 4’’ de diámetro cuyo punto de descarga está 10 m por debajo de
la superficie libre del estanque.
Las pérdidas de carga en el sistema equivalen a cuatro veces la carga de velocidad. Calcular el gasto
y dibujar las líneas de energía y de gradiente hidráulica.
249
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Problema 5
En una tubería hidráulicamente lisa de 0,75 m de diámetro se ha determinado que la distribución de
velocidades es
Vh = 0,937 log h + 3,81
Calcular el gasto.
Problema 6
En una tubería horizontal el gasto es de 0,5 l/s. El diámetro es de 6 cm. La viscosidad del fluido es
8 x 10-4 kg-s/m2 y su densidad relativa es 0,86. Calcular el valor de la velocidad máxima.
Problema 7
En un canal muy ancho, cuyo fondo está constituido por partículas de diámetro uniforme y cuyo
tirante es de 2 m, se ha determinado que la distribución vertical de velocidades es
Vh = 0,499 ln 75,38 h
La temperatura del agua es de 15 °C, Calcular
a)
La rugosidad absoluta
b)
La velocidad media
c)
La velocidad máxima
d)
El gasto específico
e)
El coeficiente C de Chezy
f)
La pendiente de la superficie libre
g)
A que distancia del fondo la velocidad es igual a la velocidad media
h)
La velocidad a una profundidad 0,6 y (a partir de la superficie)
i)
El promedio de las velocidades a las profundidades 0,2 y 0,8 del tirante (a partir de la superficie).
j)
El esfuerzo de corte sobre el fondo.
Problema 8
En un canal muy ancho cuyo tirante es de 1,5 m se ha medido la velocidad a dos profundidades
diferentes.
A 0,50 m del fondo se encontró 1,41 m/s y a 1,00 m del fondo la velocidad fue 1,49 m/s. Calcular
a)
La velocidad media
b)
La velocidad máxima
c)
La pendiente de la superficie libre
250
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Problema 9
Se tiene una tubería de 1 000 m de largo y 8’’ de diámetro que lleva agua a 20 °C. La tubería es de
fierro fundido bastante oxidado. El punto inicial está en la cota 218,50 m y tiene una presión de 2,5
kg/cm2. El punto final está en la cota 219,20 y tiene una presión de 1 kg/cm2.
a)
Decir si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa
b)
Calcular el coeficiente C de Chezy
c)
Calcular la velocidad máxima
d)
Calcular el coeficiente f de Darcy
e)
Calcular la velocidad media y el gasto
Problema 10
En un canal muy ancho la velocidad superficial es 2,5 m/s y la velocidad media es 2,2 m/s. El gasto
es de 4 m3/s/m. Calcular la pendiente de la superficie libre y la rugosidad del fondo. La temperatura del
agua es 20 °C.
Problema 11
Demostrar que en una tubería lisa de 30’’ de diámetro en la que circula petróleo de viscosidad 10-4 m2/
s, la pérdida de carga por kilómetro está dada por la expresión siguiente
h f = KV 1, 75
siendo h f la pérdida de carga,
V la velocidad media y K una constante. La validez de la fórmula
propuesta está limitada a un rango de velocidades comprendido entre 0,5 y 4 m/s. Hallar el valor
numérico de K .
Problema 12
Se requiere conducir a través de una tubería de fierro galvanizado de 1 200 m de longitud, un caudal de
3,5 m3/s de aire, a 15 °C. La viscosidad es 1,451 x 10-5 m2/s. ¿Qué diámetro de tubería comercial se
necesita si la pérdida de carga es de 200 mm de columna de agua?. El peso específico del aire es 1,226
kg/m3 .
Problema 13
Se tiene una tubería de 1 000 m de longitud y 0,20 m de diámetro. La rugosidad absoluta es de 1 mm.
Circula agua a una velocidad de 4 m/s. La viscosidad es 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de carga
considerando que las paredes son hidráulicamente rugosas. No se debe utilizar ábacos.
251
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Problema 14
Por una tubería lisa de 0,40 m de diámetro fluye agua de viscosidad 10-6 m2/s. El caudal es de 400 |/s.
a)
Hallar la pendiente de la línea piezométrica.
b)
Hallar el espesor de la subcapa laminar.
c)
¿Cuál sería la rugosidad máxima aceptable en la tubería para que siga comportándose como
hidráulicamente lisa?.
Problema 15
Sabemos que el flujo turbulento en una tubería da lugar a una distribución de velocidades que puede
ser descrita por
17
 h
Vh = Vmax 1 − 
 r
expresión en la que Vh es la velocidad a la distancia
h del contorno, Vmax es la velocidad en el eje,
r es el radio de la tubería.
Si el gasto en la tubería es Q calcular la energía cinética total en función de Q , r y la densidad del
fluido. Comparar esta energía con la que se obtendría para el mismo gasto Q en el caso de un
movimiento laminar en la tubería. ¿Cómo se explica la diferencia en energía cinética?.
Problema 16
En una tubería fluye agua (20 °C) con una velocidad media de 2,4 m/s. El coeficiente f de Darcy es
0,019. Hallar el esfuerzo medio de corte sobre el contorno.
Problema 17
En una tubería de 4’’ de diámetro fluye agua con una velocidad de 0,8 m/s (20 °C). El coeficiente f
de Darcy es 0,025. Hallar la velocidad de corte.
Problema 18
Calcular el diámetro que debe tener una tubería de fierro fundido nuevo para llevar 0,240 m3/s. La
viscosidad del agua es de 1,2x10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 800 m. La pérdida de carga
no debe ser superior a 15 m. La velocidad media no debe ser superior a 3 m/s ni inferior a 1 m/s. Se
dispone de tubos de 12’’, 14’’ y 16’’.
252
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Problema 19
De un estanque sale una tubería de 0,80 m de diámetro en sus primeros 200 metros y luego 0,60 m de
diámetro en los últimos 50 m. La embocadura es redondeada ( K = 0,2). La contracción es brusca. La
energía disponible es de 10 m. La temperatura es de 20 °C. La tubería es de fierro fundido nuevo.
a)
Hallar el caudal
b)
Hallar la potencia del chorro
c)
¿Qué potencia tendría el chorro si se colocara una boquilla convergente que reduce el diámetro
a la mitad? ¿Cuál es el nuevo caudal?. Considerar
cV = 0,9
Problema 20
Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6’’ de diámetro en sus
primeros 10 m, 8’’ en sus segundos 10 m y 6’’ en los terceros 10 m. La diferencia de nivel entre los
reservorios es de 10 m. La embocadura es de bordes agudos. Los cambios de sección son bruscos.
Calcular al caudal, y cada una de las pérdidas de carga. Fluye agua a 20 °C.
Problema 21
Hallar la longitud que debe tener una tubería de 10’’ de diámetro, cuyo punto de descarga está 10 m
por debajo de su estanque alimentador, para que la pérdida de carga continua sea el 50 % de la
energía disponible. La embocadura es con bordes agudos. La tubería es de fierro fundido nuevo. La
temperatura del agua es 15 °C.
Problema 22
0
18
1
600 l/s
14
0m
"
16
00
8"
16
16"
00
15
12"
"
m
17
00
m
m
2 200 m
Calcular el gasto y la pérdida de carga en cada tubería. Considere
CH = 100.
253
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Problema 23
De un estanque sale una tubería de abastecimiento de agua de 3 200 m de longitud. El primer tramo es
de 10’’ y mide 1 200 m. El segundo tramo es de 12’’ y mide 1 300 m. El tercer tramo es de 10’’.
Toda la tubería es de fierro fundido viejo. Dibujar una curva gasto-energía disponible para valores de
la energía comprendida entre 15 y 40 m. (Se sugiere usar la fórmula de Hazen y Williams y el método
de la tubería equivalente)
Problema 24
Un depósito de almacenamiento de agua desagua a través de una tubería de 24’’ de diámetro (acero
ribeteado) la que recorre 1 800 m y se bifurca en ramales de 12’’ y 14’’. El primero tiene 800 m de
longitud y descarga libremente a la atmósfera en un punto ubicado 25 m debajo de la superficie libre
del estanque alimentador.
El ramal de 14’’ tiene una longitud de 1 600 m; de su punto medio sale un ramal de 6’’ y 500 m de largo.
Ambas bocas de descarga se encuentran 10 m por debajo del punto de descarga de la tubería de 12’’.
Los ramales son de fierro fundido viejo. Calcular el gasto en cada boca de descarga.
Problema 25
Se tiene una tubería de 1 m de diámetro que da servicio a lo largo de su recorrido de modo que cada 0,5
m tiene una salida que descarga 25 litros por segundo.
El gasto inicial es de 1 m3/s. Calcular la pérdida de carga que se producirá en el tramo de longitud L ,
que es necesario para que el gasto inicial haya disminuido a la mitad. Considere que f es constante
e igual a 0,025.
Problema 26
De un estanque sale una tubería compuesta de dos tramos en serie. El primero tiene un diámetro de
k de 10-4 m. El segundo tiene una longitud de 800 m, un diámetro de
0,40 m y una rugosidad absoluta k de 5x10-5 m. La carga disponible es de 50 m. La viscosidad del agua
0,20 m y una rugosidad absoluta
es de 10-6 m2/s.
Calcular la longitud mínima que debe tener el primer tramo para que el segundo tramo se comporte
como una tubería hidráulicamente lisa. No considerar pérdidas de carga locales.
254
Capítulo V
Diseño de conducciones y redes
Problema 27
Para el sistema mostrado en la figura, calcular el gasto
p
p = 2 atmósferas
K E = 0,5 (entrada)
KV = 2 (válvulas)
3m
K C = 0,2 (codo)
L (total) = 100 m
k = 3x10-5 m
D = 25 mm
ν = 10-6 m2/s
3m
1m
255
Capítulo VI
Cálculo de canales
CAPITULO
VI
CALCULO DE CANALES
6.1 Condiciones normales
Los aspectos teóricos más importantes del flujo uniforme en canales han sido ya presentados
en los capítulos I y II. Ahora, en este capítulo VI, se expone esencialmente el cálculo de
canales. Es decir, el dimensionamiento de la sección transversal para conducir un gasto dado
en determinadas condiciones.
Supongamos que en un canal escurre libremente un caudal Q . El movimiento es permanente
y uniforme. La profundidad del agua (tirante) está determinada por la pendiente, la rugosidad,
la forma de la sección transversal y por el caudal Q , que según hemos dicho antes se
supone que es constante. El tirante con el que escurre el agua (o cualquier otro líquido) en
estas condiciones se llama tirante normal. El tirante normal es, pues, el que caracteriza al
movimiento permanente y uniforme. Si el movimiento fuera, por ejemplo, gradualmente variado
habría para cada sección un tirante diferente del normal (mayor o menor según el caso). Al
respecto se puede observar la Figura 1.4.
En el capítulo II hemos establecido la ecuación general para el cálculo de la velocidad media
en un conducto
V = C RS
en el cual V es la velocidad media,
(6-1)
C el coeficiente de Chezy, R el radio hidráulico y S la
pendiente.
257
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Esta ecuación corresponde a una sección determinada cuyo radio hidráulico R implica un
tirante " y " que es el tirante normal. Esta ecuación (6-1) llamada de Chezy fue establecida en
el capítulo II (ec. 2-42) mediante consideraciones teóricas basadas en las ecuaciones de
Karman-Prandtl. Lo esencial en esta ecuación es que el coeficiente C de Chezy tiene una
estructura que es función de las características del escurrimiento y de la naturaleza de las
paredes. La expresión general del coeficiente C es
C = 18 log
6R
k δ
+
2 7
(6-2)
R es el radio hidráulico, k la rugosidad absoluta y δ el espesor de la subcapa laminar.
Según los valores relativos de k y de δ el contorno puede considerarse hidráulicamente liso
o hidráulicamente rugoso. Esta ecuación aparece en la forma presentada por Thijsse. La
ecuación de Chezy resulta ser entonces,
V = 18 log
6R
k δ
+
2 7
RS
(6-3)
El gasto se obtiene inmediatamente a partir de la ecuación de continuidad.
Los valores de la rugosidad absoluta
k pueden obtenerse de la Tabla 6.1 que es una ampliación
de la Tabla 2.1 (o de la Tabla 4.4).
La velocidad media puede expresarse también por medio de la ecuación de Colebrook White,
estudiada el capítulo III
 k

2,51ν
V = −2 8 g RS log 
+

14,8 R 4 8 g R RS 
(6-4)
Esta ecuación es equivalente a la de Chezy.
Como en muchos casos el canal es hidráulicamente rugoso las ecuaciones 6-3 ó 6-4, que
son generales, pueden fácilmente reducirse a este caso particular.
258
Capítulo VI
Cálculo de canales
TABLA 6.1
VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA
k
k (m)
MATERIAL
Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero
-6
nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)
1,5 x 10
Fierro forjado
4,5 x 10
-5
-5
5 x 10
Acero rolado, nuevo
Acero laminado, nuevo
-5
-4
4 x 10
– 10
-4
Fierro fundido, nuevo
2,5 x 10
Fierro galvanizado
1,5 x 10
Fierro fundido, asfaltado
1,2 x 10
Fierro fundido, oxidado
Acero remachado
-4
-4
-3
-3
1 x 10
– 1,5 x 10
-4
-3
– 0,9 x 10
0,9 x 10
-4
4 x 10
Cemento enlucido
-5
Asbesto cemento, nuevo
2,5 x 10
Concreto centrifugado, nuevo
1,6 x 10
-4
-5
10
Concreto muy bien terminado, a mano
-5
Concreto liso
2,5 x 10
-4
Concreto bien acabado, usado
2 x 10
Concreto sin acabado especial
10
-3
-3
– 3 x 10
-2
Concreto rugoso
Duelas de madera
-4
– 3 x 10
10
-4
1,8 x 10
-4
– 9 x 10
-4
Piedra asentada y bien lisa
5 x 10
Revestimiento de piedra
2 x 10
-3
-2
Grava
10
-2
Piedra pequeña
2 x 10
Piedra grande
5 x 10
-2
Roca
0,1
-3
Tierra (lisa)
Fondo con transporte de arena
Acequia con vegetación
NOTA: Téngase presente que el valor de
3 x 10
-2
10
-2
– 5 x 10
0,1
k señalado para los contornos muy rugosos (roca,
fondo de arena, etc.) es absolutamente referencial y sujeto a grandes variaciones
según las circunstancias de cada caso particular.
259
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
6.2 Fórmulas antiguas
Desde el Siglo XVIII se conocía la ecuación de Chezy (6-1), pero se ignoraba la naturaleza y
estructura del coeficiente
C . La fórmula se originó en 1 768 cuando Chezy recibió el encargo
de diseñar un canal para el suministro de agua a París.
Hubo una larga época en la que se consideró que el coeficiente
C era constante e igual a 50,
para cualquier río.
Examinaremos brevemente algunas de las numerosas fórmulas de origen experimental que
en el pasado se estableciera para el coeficiente
C.
Las fórmulas que presentaremos a continuación son las de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.
Las tres fórmulas se caracterizan por corresponder a la siguiente expresión genérica
C=
X
Y
1+
R
(6-5)
Los valores de X e Y corresponden a cada fórmula particular. R es el radio hidráulico.
C
es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy.
a) Fórmula de Ganguillet-Kutter
La fórmula, establecida en 1 869 por los ingenieros suizos E. Ganguillet y W. R. Kutter, se
basó en numerosas mediciones, incluyendo el río Mississippi. Durante muchos años estuvo
bastante extendido el uso de esta fórmula. Su expresión es
1 0,00155
+
n
S
C=
0,00155  n

1 +  23 +

S

 R
23 +
(6-6)
C es el coeficiente de Ganguillet-Kutter a usarse en la fórmula de Chezy (6-1), S es la
pendiente, R el radio hidráulico y n un coeficiente de rugosidad (de Kutter), cuyos valores
aparecen en la Tabla 6.2.
260
Capítulo VI
Cálculo de canales
Conviene comentar algunas particularidades de esta fórmula. Si el radio hidráulico es igual a
1 entonces
C resulta ser independiente de la pendiente y la fórmula se reduce a
C=
Según señala King, la pendiente
1
n
(6-7)
S fue introducida en la fórmula de Ganguillet-Kutter para
lograr concordancia con las mediciones efectuadas por Humphreys y Abbott en el río
Mississippi. Sin embargo, parecería que los errores (10 a 15 %) que tuvieron esas mediciones
orientaron erróneamente a Ganguilllet y Kutter. Algunos piensan que si no se hubiera introducido
la influencia de la pendiente, los resultados de la fórmula serían más precisos.
Se observa que la fórmula de Ganguillet-Kutter corresponde a la forma genérica de la ecuación
6-5.
La fórmula de Ganguillet-Kutter en el sistema de unidades inglesas es
0,00281 1,811
+
S
n
C=
0
,
00281

 n
1 +  41,65 +

S

 R
41,65 +
(6-8)
b) Fórmula de Kutter
Para pendientes mayores que 0,0005 (1/2 000) la fórmula de Ganguillet-Kutter tiene una
forma particular establecida por Kutter y que es independiente de la fórmula (6-6). La fórmula
es
C=
100 R
m+ R
(6-9)
m son diferentes de los valores de n (Kutter). R es
el radio hidráulico. C es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy. Los valores de m
Los valores del coeficiente de rugosidad
aparecen en la Tabla 6.3.
261
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 6.2
VALORES DEL COEFICIENTE
n DE KUTTER QUE GENERALMENTE
SE USA EN LOS DISEÑOS.
SUPERFICIE
n
Superficie metálica, lisa, sin pintar
0,012
Superficie metálica, lisa, pintada
0,013
Superficie metálica, corrugada
0,025
Cemento liso
0,011
Mortero de cemento
0,013
Madera cepillada
0,012
Madera sin cepillar
0,013
Tablones sin cepillar
0,014
Concreto liso
0,013
Concreto bien acabado, usado
0,014
Concreto frotachado
0,015
Concreto sin terminar
0,017
Gunita (sección bien terminada)
0,019
Gunita (sección ondulada)
0,022
Superficie asfáltica lisa
0,013
Superficie asfáltica rugosa
0,016
Tierra, limpia, sección nueva
0,018
Tierra, limpia, sección antigua
0,022
Tierra gravosa
0,025
Tierra, con poca vegetación
0,027
Tierra, con vegetación
0,035
Tierra, con piedras
0,035
Tierra, con pedrones
0,040
Para secciones circulares (trabajando como canal)
Metal, liso
0,010
Acero soldado
0,012
Acero riveteado
0,016
Fierro fundido
0,013 – 0,014
Cemento
0,011 – 0,013
Vidrio
262
0,010
Capítulo VI
Cálculo de canales
TABLA 6.3
VALORES DEL COEFICIENTE
m DE RUGOSIDAD A USARSE EN LA FORMULA DE
KUTTER PARA PENDIENTES MAYORES QUE 0,0005
CATEGORIA
FORMA
I
m
DESCRIPCION
Superficie muy lisa. Cemento muy pulido
0,12
II
Superficie bastante lisa. Madera cepillada
0,15
III
Superficie bien terminada
IV
Superficie usada. Tuberías de abastecimiento
Semicircular
0,20
de agua con mucho tiempo de servicio, pero
Rectangular
V
VI
y
0,25
sin grandes incrustaciones
0,30 - 0,35
Piedra labrada bien acabada
Piedra no bien terminada, usada
0,45
VII
Piedra rústica, fondo con poco lodo
0,55
VIII
Piedra mal terminada, fondo fangoso
0,75
IX
Piedra antigua, sin vegetación, fangoso
1,00
Otras
Fondo rocoso. Ancho inferior a 1,50 m. Poca
Xa
vegetación
1,25
Xb
Sección definida, en tierra sin vegetación
1,50
XIa
En tierra con fondo pedregoso o fangoso.
Poca vegetación. Ancho superior a 2 m
Trapecial
XIb
(corresponde a algunos arroyos y ríos)
1,75
En tierra o piedra, lecho fangoso, con
vegetación
abundante
(corresponde
a
algunos arroyos y ríos)
XII
2,00
En tierra con vegetación muy abundante. Con
mal mantenimiento, lecho fangoso. Arrastre
de fondo
2,50
263
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
c) Fórmula de Bazin
Esta fórmula fue establecida por Bazin en 1897
C=
87
G
1+
R
(6-10)
C es el coeficiente a usarse en la fórmula de Chezy, R el radio hidráulico, G el coeficiente
de rugosidad de Bazin.
Los valores del coeficiente
G aparecen en la Tabla 6.4 determinada por el autor de la fórmula
TABLA 6.4
VALORES DEL COEFICIENTE
G DE RUGOSIDAD A UTILIZARSE
EN LA FORMULA DE BAZIN
CATEGORIA
1
DESCRIPCION
Contorno muy liso, perfectamente ejecutado. Plancha
G
0,06
metálica. Cemento liso, madera muy cepillada.
2
Contornos lisos. Concreto bien acabado.
0,16
3
Concreto sin pulir. Albañilería de piedra bien terminada.
0,46
4
Canales en tierra, sin vegetación.
0,85
5
Canales en tierra con hierbas. Ríos de cauce irregular,
1,30
sin vegetación.
Canales en tierra con vegetación. Fondo de cantos
6
rodados.
Canales en tierra muy erosionados e
1,75
irregulares.
Además de las tres fórmulas presentadas ha habido desde fines del siglo XIX una cantidad
enorme de ellas. Sólo a título ilustrativo podríamos mencionar las siguientes.
Knauff, quién en realidad presentó un conjunto de fórmulas, cada una de las cuales se aplica
según la forma de la sección y la naturaleza de las paredes. Utilizó el concepto de rugosidad
de Kutter.
264
Capítulo VI
Cálculo de canales
Siedek publicó en Viena en 1901 "una nueva fórmula para el cálculo de canales" que es en
realidad bastante complicada. Al igual que muchas fórmulas de esta época está basada en
modificaciones de las ideas de Kutter y Bazin.
Lindboe publico en 1910 una "nueva fórmula" para el cálculo de la velocidad media en corrientes
naturales.
Matakiewiez publicó en 1910 otra nueva fórmula para cursos naturales (ríos).
Hay muchas otras más como la de Christen (1903), Forchheimer (1915), Groeger (1914),
Scobey, etc.
Respecto a las fórmulas empíricas para el cálculo de la velocidad media es conveniente citar
lo escrito por el profesor Francisco Javier Domingez.
"Una crítica razonada y científica de las fórmulas anteriores no puede hacerse, pues, en
primer lugar, no descansan en base científica, sino que son fórmulas empíricas de resultados
experimentales y hay, además, dificultades de otro orden, que impiden una comparación
justa. En efecto, ¿Cómo pretender comparar las categorías fijadas por un experimentador
con las de otro?. Es evidente que en la primera categoría, que es la mejor definida, cabe una
comparación y en ella parece adaptarse mejor a las experiencias la de Bazin que la de
Ganguillet y Kutter y Manning; pero pasando a otras categorías, mientras más áspera es la
pared, más difícil es comparar. Hay otra dificultad y es determinar por simple inspección que
categoría de una fórmula que se quiere usar, corresponde a un canal existente, y es aún más
difícil proyectar un canal dándose a priori la categoría que debe asignársele. Por otra parte, la
rugosidad de pared de un lecho cambia si está sujeto a posibles embancamientos,
deformaciones y vegetaciones, variables de una estación a otra: estamos lejos de haber
expresado en fórmulas la asperidad de la pared de los canales, variable desde un cemento
liso hasta una roca’’.
6.3 Fórmula de Manning
Es la fórmula cuyo uso se halla más extendido en la actualidad. Proviene de considerar que
en la fórmula de Chezy el coeficiente
C es
C=
1
6
R
n
(6-11)
de donde al sustituir en 6-1 se obtiene la fórmula de Manning
265
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
2
1
R3S 2
V=
n
(6-12)
y el gasto es
Q=
2
3
AR S
n
1
2
(6-13)
Los valores del coeficiente de rugosidad son los de Kutter (Tabla 6.2), los mismos que se
utilizan en la fórmula de Ganguillet-Kutter (6-6).
Se observa que las dimensiones de
−
n son TL
1
3.
En consecuencia, al tener
n unidades
debería de cambiar de un sistema de unidades a otro. Sin embargo, desde el principio se
n determinados por Kutter (sistema métrico decimal) y se halló
una solución práctica que consiste en considerar a n como adimensional e incorporar en la
impusieron los valores de
ecuación de Manning, en unidades inglesas, un factor de corrección que es parte de la fórmula.
Así se tiene, que en el sistema de unidades inglesas, la ecuación de Manning es
2
V=
1
1,486 3 2
R S
n
(6-14)
Las unidades de 1,486 son ft1/3 /sec. (1,486 = 3,28081/3). En el sistema métrico decimal la
constante vale 1 y sus unidades son m1/3/s.
Dado el carácter empírico de la fórmula de Manning debe esperarse que su validez esté
limitada a determinadas condiciones.
Rouse, en su "Hidráulica" señala que: "La fórmula de Manning es aceptable para valores
intermedios de la rugosidad relativa. Tampoco hay que olvidar que una expresión de este tipo
no puede englobar la acción de la viscosidad. Es, pues, de suponer que su poca exactitud
disminuya con números de Reynolds bajos".
En la literatura europea es frecuente que la fórmula aparezca con el nombre de Strickler o de
Manning-Strickler y con la siguiente forma
2
1
V = kR 3 S 2
siendo,
266
(6-15)
Capítulo VI
Cálculo de canales
k=
1
n
(6-16)
La ecuación de Strickler se conoce frecuentemente en los libros técnicos franceses con el
nombre de fórmula de Gauckler, quien fue un ingeniero que en 1868 publicó en "Annales des
Ponts et Chaussées" la fórmula en cuestión, la misma que en 1891 fue atribuida en su forma
actual al irlandés Manning.
Algunos autores soviéticos consideran que en lugar de la fórmula 6-11 debería usarse otra
similar, pero con exponente variable. En 1925 Pavlovski presentó la expresión siguiente
C=
Rx
n
(6-17)
Siendo,
x = 2,5 n − 0,13 − 0,75 R
(
n − 0,10
)
(6-18)
C es el coeficiente de Chezy en unidades métricas. Esta fórmula es válida para radios
hidráulicos comprendidos entre 0,1 m y 3 m y para valores de n comprendidos entre 0,011 y
0,040.
La ecuación 6-18 se puede simplificar para fines prácticos, con las siguientes ecuaciones
Para
R <1m
x = 1,5 n
(6-19)
Para
R >1m
x = 1, 3 n
(6-20)
Para el cálculo de un canal, o sea para el dimensionamiento de la sección transversal, deberá
tomarse en cuenta todos los factores que afecten al coeficiente
n de Kutter, los mismos que
serán analizados más adelante.
Ejemplo 6.1 Se tiene un canal rectangular de 10 m de ancho y 3 m de tirante que conduce agua. La
superficie es de concreto, bien acabado, pero con varios años de uso. La pendiente es 0,0008. Calcular
el gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Kutter, Bazin, Manning, Chezy y Pavlovski.
Comparar los resultados. (T = 20 °C)
Solución. En primer lugar se calcula de inmediato el radio hidráulico que resulta ser
R = 1,875 m
267
Hidráulica de tuberías y canales
a)
Arturo Rocha
Fórmula de Ganguillet-Kutter. La descripción del contorno corresponde a n = 0,014. Entonces,
23 +
C=
1
0,014
+
0,00155
0,0008
0,00155  0,014

1 +  23 +

0,0008  1,875

= 77 m1/2/s
de donde,
V = C RS = 2,98 m/s
Q = AV = 89,4 m3/s
b)
Fórmula de Kutter (S > 0,0005). La descripción del contorno corresponde a m = 0,25
C =
100 1,875
0 , 25 + 1,875
= 85 m1/2/s
V = 3,29 m/s
Q = 98,7 m3/s
c)
Fórmula de Bazin. La descripción del contorno corresponde a G = 0,16
87
C =
1+
0 ,16
= 78 m1/2/s
1,875
V = 3,02 m/s
Q = 90,6 m3/s
d)
Fórmula de Chezy. La descripción del contorno corresponde a k = 3x10-4 m
V* = 0,121 m/s
δ = 0,000096 m
V* k
= 36 (transición)
ν
C = 87 m1/2/s
por lo tanto,
V = 3,37 m/s
Q = 101,1 m3/s
268
Capítulo VI
e)
Cálculo de canales
Fórmula de Manning. (n = 0,014)
2
1
R3S 2
= 3,07 m/s
V=
n
Q = 92,1 m3/s
(Corresponde a un valor de C igual a 79 m1/2/s, que se obtiene aplicando la ecuación 6-11)
f)
Fórmula de Pavlovski. (n = 0,014)
x = 2,5 0,014 − 0,13 − 0,75 1,875
C=
( 0,014 − 0,10) = 0,147
Rx
= 78 m1/2/s
n
V = C RS = 3,02 m/s
Q = 90,6 m3/s
COMPARACION DE LOS RESULTADOS
C
V
Q
Ganguillet – Kutter
77
2,98
89,4
Kutter
85
3,29
98,7
Bazin
78
3,02
90,6
Chezy
87
3,37
101,1
Manning
79
3,07
92,1
Pavlovski
78
3,02
90,6
Promedio
81
3,13
93,8
FORMULA
Ejemplo 6.2 ¿Cuáles serían los valores del gasto en el canal del ejemplo anterior según las mismas
fórmulas y considerando que el canal fuera de tierra con fondo pedregoso, en buen estado. Comparar
los resultados de ambos ejemplos.
Solución.
a)
Ganguillet-Kutter
n
C
V
Q
=
=
=
=
0,025
45 m1/2/s
1,74 m/s
52,2 m3/s
269
Hidráulica de tuberías y canales
b)
c)
d)
e)
f)
Arturo Rocha
Kutter
m
C
V
Q
=
=
=
=
1,75
44 m1/2/s
1,70 m/s
51 m3/s
G
C
V
Q
=
=
=
=
1,3
45 m1/2/s
1,74 m/s
52,2 m3/s
k
C
V
Q
=
=
=
=
5x10-2 m
48 m1/2/s
1,86 m/s
55,8 m3/s
n
V
Q
=
=
=
0,025
1,72 m/s
51,6 m3/s
n
x
=
=
0,025
0,206
C
V
Q
=
=
=
46 m1/2/s
1,78 m/s
53,4 m3/s
Bazin
Chezy
Manning
Pavlovski
COMPARACION DE LOS GASTOS CALCULADOS (m3/s)
SUPERFICIE
CONCRETO BIEN ACABADO
EN
CON VARIOS AÑOS DE USO
PEDREGOSO, BUEN ESTADO
Ganguillet - Kutter
89,4
52,2
Kutter
98,7
51
Bazin
90,6
52,2
Chezy
101,1
55,8
Manning
92,1
51,6
Pavlovski
90,6
53,4
FORMULA
270
TIERRA
CON
FONDO
Capítulo VI
Cálculo de canales
De este ejemplo obtenemos algunas conclusiones importantes.
En primer lugar, las diversas fórmulas no dan una gran dispersión en los resultados, para una misma
naturaleza del contorno. En segundo lugar, y esto es muy importante, la velocidad está fuertemente
influenciada por la naturaleza del contorno. En el diseño de un canal será de primerísima importancia
la correcta estimación de la rugosidad de las paredes.
De acá vemos la importancia que tiene el revestimiento. Al obtenerse una superficie más lisa se logra
disminuir el tamaño de la sección transversal ó aumentar la capacidad de descarga del canal.
6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a
emplearse en la fórmula de Manning
Básicamente se presentan dos problemas de naturaleza diferente
a)
Dado un curso de agua existente calcular el gasto Q que puede escurrir, aplicando la
fórmula de Manning. Para ello se requiere estimar el valor de
n que corresponde al
cauce.
b)
Dado un problema de diseño hay que considerar para la superficie (revestimiento) que va
a tener el canal, cual es el valor de
n que se le asigna.
Las tablas consideran los valores usuales del coeficiente
n para condiciones que podríamos
llamar normales. Sin embargo, lo normal es que un canal tenga uno o varios de los problemas
que a continuación se señalan y que modifican el valor original que podía haberse asignado a
El coeficiente
n.
n depende, pues, esencial, pero no exclusivamente de la aspereza de la
superficie. También interviene lo siguiente
a)
Curvas. No es correcto considerar el coeficiente de rugosidad, que estrictamente es un
coeficiente de resistencia, como independiente del alineamiento del canal. La presencia
de curvas aumenta la resistencia. Especialmente si estas son numerosas y de pequeño
radio de curvatura.
b)
Vegetación. Es particularmente importante en canales pequeños. Su crecimiento puede
alterar esencialmente los valores supuestos en base únicamente a la rugosidad. Es
frecuente en canales en tierra. Su crecimiento desmedido puede dar lugar fácilmente a
aumentos del orden del 50 % en el valor de
c)
n.
Irregularidades. Los canales en tierra se caracterizan por no tener una sección
transversal invariable. Las pequeñas irregularidades que pueden ocurrir como consecuencia
de bancos, depósitos de sedimentos, etc. alteran el valor de la rugosidad supuesta.
271
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Esto se agrava cuando el canal tiene transporte sólido, que motiva una configuración
variable del lecho.
d) Tirante. En general al aumentar el tirante se tendrá, de acuerdo a la teoría, que la
rugosidad relativa disminuye y por lo tanto también debe disminuir el coeficiente
Cowan determinó que el valor de
n.
n a considerarse en los cálculos debería tomar en cuenta
los factores anteriormente señalados, según la ecuación siguiente
n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4 )m5
siendo
n0 : el valor básico que depende de la rugosidad (aspereza)
n1 : es un valor adicional para tomar en cuenta las irregularidades
n2 : es un valor adicional para tomar en cuenta las variaciones en la forma y tamaño de la
sección transversal
n3 : es para tomar en cuenta las obstrucciones
n4 : es para tomar en cuenta la vegetación
m5 : es un factor para tomar en cuenta los meandros
Al respecto se incluye la Tabla 6.5 tomada del libro de Ven Te Chow.
6.5 Determinación de la sección transversal
En el cálculo de la sección de un canal debe partirse del hecho siguiente: desde el punto de
vista hidráulico hay, en principio, un número infinito de soluciones. En el caso de un canal que
va a ser construido, el gasto o caudal esta dado por las condiciones de diseño; no proviene de
un cálculo hidráulico, sino de la función del canal, de la naturaleza del servicio que presta y
por cierto del análisis que se ha hecho de las disponibilidades de agua. El caudal de diseño
Q es un dato impuesto al que debe adecuarse al cálculo de la sección del canal.
Un canal puede servir para abastecer de agua a una ciudad, servir a una irrigación, a una
central hidroeléctrica o tener un uso múltiple.
Para transportar un gasto Q podemos, dentro de las limitaciones topográficas, adoptar una
determinada pendiente compatible con la naturaleza del revestimiento, que escogeremos en
función de varios factores: costo, seguridad, disponibilidad de materiales, etc.
272
Capítulo VI
Cálculo de canales
TABLA 6.5
TABLA DE COWAN PARA DETERMINAR LA INFLUENCIA DE DIVERSOS FACTORES
SOBRE EL COEFICIENTE
n
Tierra
Roca
Superficie del Canal
n0
0,024
Grava gruesa
0,028
Suave
0,000
Menor
n1
0,005
Moderada
0,010
Severa
0,020
Gradual
0,000
Ocasional
n2
Despreciable
Menor
Efecto de la Obstrucción
0,005
0,010 – 0,015
Frecuente
0,000
n3
0,010 – 0,015
Apreciable
0,020 – 0,030
Severo
0,040 – 0,060
Bajo
0,005 – 0,010
Medio
Vegetación
n4
Alto
0,050 – 0,1
Menor
Apreciable
Severo
0,010 – 0,025
0,025 – 0,050
Muy alto
Intensidad de Meandros
0,025
Grava fina
Irregularidad
Variación de la Sección
0,020
1,000
m5
1,150
1,300
n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4 )m5
273
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En esas condiciones podemos diseñar diversas secciones transversales: rectangular, trapecial,
semicircular, etc. En la Figura 6.1 se observa varias secciones transversales que se caracterizan
por tener todas un radio hidráulico de 1 m.
4m
1,5 m
6m
6m
3m
3m
2m
4m
2,4 m
45°
1,095 m
20 m
Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que se
caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m
Veamos, con un poco más de detenimiento, cuales son los factores limitantes para el diseño.
No siempre un canal conduce agua totalmente libre de partículas sólidas (sedimentos).
Debemos admitir, pues, que en muchos casos el agua contendrá partículas en suspensión
(arenas, limos, arcillas) de diferente diámetro.
Si la velocidad del canal es pequeña hay la posibilidad de que estas partículas sedimenten
formando bancos o depósitos. Dado que la sección transversal se caracteriza por tener una
distribución de velocidades, hay zonas en las que la velocidad es notablemente menor que la
velocidad media.
274
Capítulo VI
Cálculo de canales
Sin embargo, se considera que, por lo menos en primera aproximación, la velocidad media es
un parámetro útil para examinar la posibilidad de sedimentación. Cada partícula sólida se
mantiene en suspensión en función de la relación que existe entre su velocidad de caída
w
y la velocidad V de la corriente.
V
w
V
w
Valores altos de esta relación indican tendencia a la sedimentación y al depósito. Las partículas
actúan como proyectiles y si la velocidad es alta pueden destruir el revestimiento.
El problema de erosión y sedimentación es más serio en tramos en curva, pues en una
margen la velocidad es muy grande y en la otra muy pequeña.
Según la naturaleza de las paredes hay tablas que dan las velocidades límites.
La velocidad ideal es aquella que para las características del agua y del revestimiento no
produce erosión ni sedimentación y da lugar a un costo mínimo de construcción.
El talud de la sección depende de la naturaleza del terreno. Desde el punto de vista puramente
hidráulico se puede lograr los mismos resultados con un canal de cualquier forma.
1
z
Los taludes que generalmente se recomienda son los siguientes (en seco)
MATERIAL
TALUD z
Roca dura y sana
0
Roca fisurada
0,5
Suelos cementados, firmes
1
Tierra arcillosa
1,25
Tierra arenosa
1,5
Arena
2 ó más
Los valores consignados en esta tabla deben considerarse meramente referenciales. Siempre
consideramos que el talud se define como 1 vertical y z horizontal.
275
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La sección hidráulica de un canal debe satisfacer la fórmula de Manning (o alguna de las
otras).
Q=
2
3
AR S
n
1
2
de donde,
2
3
AR =
Qn
S
(6-21)
1
2
El miembro de la izquierda describe la geometría de la sección transversal. El valor
AR 2 / 3
generalmente crece al aumentar el tirante. Para un valor del gasto y una rugosidad y pendiente
dadas hay un valor de
AR 2 / 3 que corresponde al tirante normal.
Para realizar un buen diseño, debemos tener una idea clara de como varía el gasto con el
tirante, lo que se logra efectuando el cálculo respectivo y graficando como se ve en la figura
adjunta.
y
y = f (Q )
(6-22)
Q
Empezaremos por analizar como se realiza el cálculo cuando hay una condición impuesta.
Esta puede ser el ancho en la base o el tirante. Si ninguna de estas dos condiciones es
impuesta, entonces tenemos mayor libertad para escoger la sección transversal.
CASO A: Se conoce el ancho
Los datos son
b
Q
S
z
n
276
:
ancho en la base
:
gasto
:
pendiente
:
talud
:
rugosidad
b en la base
Capítulo VI
Cálculo de canales
La incógnita es el tirante y
Este caso se presenta con alguna frecuencia dado que por razones constructivas se puede
requerir para el canal un ancho determinado.
Para la solución de este caso Ven Te Chow ha preparado un gráfico al que se entra con los
valores de
AR 2 / 3
y
y se obtiene el valor de , para cada talud (Figura 6.2), tal como se ve en
8/3
b
b
el esquema adjunto.
z
y
b
AR
b
Para el cálculo de
2/3
8/3
AR 2 / 3
basta con recordar que (6-21)
b8 / 3
2
AR 3 =
Qn
1
S2
Ejemplo 6.3 Se tiene un canal trapecial revestido en tierra en regulares condiciones de conservación.
El ancho en la base es de 4 m. El talud de 45°. La longitud de canal entre los puntos A y B es de 1 000
m. La cota del punto A es 836,5 m y la cota del punto B es 835,8 (ambas cotas están medidas en la
superficie libre). El gasto es de 8 m3/s.Calcular el tirante normal. Dibujar la función gasto-tirante.
277
0,001
0,01
0,1
0,2
1
0,5
2
3
10
4 5 67 9
10
8
6
6
4
MEH
3
y
2
D
(re
y
b
ó
y
D
z=
1,0
0,8
ct
g
an
)
ar
ul
z
0
,5
=0
z=
z
z
z
z
z
0,4
0,3
cir
0,2
la
cu
2
1,0
0,6
4
3
=
=
=
=
=
1,5
2,0
2,5
3,0
4,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,3
r
0,2
0,1
0,08
0,1
0,08
0,06
0,06
0,04
1
0,03
y
D
0,03
b
0,02
0,02
0,01
0,01
0,0001
ó
0,04
y
z
y
b
Hidráulica de tuberías y canales
278
0,0001
10
8
0,001
0,01
0,1
b
2/3
8/3
ó
AR
0,5
1
2/3
8/3
D
Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow)
2
3
4 5 67 9
10
Arturo Rocha
AR
0,2
Capítulo VI
Cálculo de canales
Solución.
Q = 8 m3/s
b=4m
z=1
S = 0,0007
n = 0,02 (Tabla 6.2)
2
2
3
AR =
Qn
S
De la Figura 6.2 se obtiene
1
2
o
o o
= 6,04
AR 3
8
= 0,15
b3
y
= 0,315
b
de donde
y = 1,26 m
Luego el tirante normal es 1,26 m y se puede calcular toda la sección transversal (para 8 m3/s).
Examinemos ahora el método de tanteos, tanto para resolver este ejemplo sin la ayuda del gráfico de
Ven Te Chow, como para obtener la función gasto - tirante (ec 6-22). Consideremos una sección
trapecial como la mostrada en la figura
y
1
z
b
Aplicando ecuaciones conocidas se obtienen las expresiones siguientes
A = (b + zy )y
(6-23)
P = b + 2y 1+ z2
(6-24)
R=
(b + zy )y
(6-25)
b + 2y 1+ z2
De donde,
 (b + zy )y

2
b + 2y 1+ z
Q = (b + zy )y 
n
2
3 1
 S2

(6-26)
279
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Reemplazando los datos del ejemplo se tiene
A = (4 + y )y
P = 4+ 2 2y
R=
(4 + y )y
4+ 2 2y
2
1
 (4 + y )y  3

 (0,0007)2
 4 + 2 2 y 
Q = (4 + y )y 
0,02
Tenemos así una ecuación con una incógnita, que puede ser resuelta por el método de tanteos.
2
 (4 + y )y  3
Q = 1,323(4 + y )y 

 4 + 2 2 y 
Dando valores al tirante y se obtiene lo siguiente
y (m)
3
y (m)
Q (m /s)
0,9
4,48
1,0
5,37
1,1
6,34
1,2
7,37
0,8
1,3
8,48
0,6
1,4
9,66
0,4
1,5
10,92
0,2
1,6
1,4
1,26
1,2
1,0
0
280
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Q
3
(m /s)
Capítulo VI
Cálculo de canales
CASO B: Se conoce el tirante y
Los datos son
y : tirante
Q : gasto
S : pendiente
z : talud
n : rugosidad
La incógnita es el ancho en la base.
Esta condición se presenta cuando por razones de servicio se requiere un tirante determinado.
Para la solución de este caso se puede recurrir al método de tanteos descrito anteriormente.
CASO C: Se desconoce los valores de
be y
En este caso se pueden escoger libremente los valores del ancho en la base y el tirante. Se
suele usar entonces el concepto de máxima eficiencia hidráulica que se estudia a continuación.
6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)
Como se ha visto anteriormente hay muchas secciones transversales que satisfacen las
ecuaciones de la velocidad media en movimiento uniforme.
Como normalmente los datos son Q ,
n , z y S , hay muchas combinaciones de las incógnitas
b e y , que satisfacen la fórmula de Manning.
Anteriormente hemos visto los casos en los que hay una condición impuesta: Por ejemplo el
ancho en la base. Entonces se calcula el tirante que satisface la condición hidráulica. O bien
al revés.
También puede darse el caso que haya libertad para escoger los valores del ancho en la base
y el tirante.
En estos casos puede buscarse la sección de máxima eficiencia hidráulica.
Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la misma área,
pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. O bien, es aquella que para el
mismo gasto, pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima.
281
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La sección de M. E. H. se puede interpretar a la luz de la fórmula de Manning
2
1
AR 3 S 2
Q=
n
Luego,
5
A3 =
2
Qn
P3
1
S2
3
 5 2
Qn
A =  1  P5
 2
S 
Como en un canal dado, Q ,
n y S son constantes
A = KP
2
5
La sección de M. E. H. es aquella que para la misma área tiene el perímetro mínimo. En
consecuencia la sección de máxima eficiencia hidráulica es la semicircular.
Esto, basándose en la propiedad geométrica de ser el círculo la figura que para la misma área
tiene el perímetro mínimo.
En condiciones normales la sección de M. E. H., involucra la mínima sección de excavación,
de revestimiento y de superficie de infiltración. También debe tenerse presente que el perímetro
mínimo involucra menor rozamiento. Sin embargo, los canales circulares son poco usados.
Naturalmente que en un canal en media ladera la sección de M. E. H. no da la mínima
excavación.
Hay una patente española, Barragan, para la construcción de canales circulares. Más adelante
nos ocuparemos de este tipo de canales.
282
Capítulo VI
Cálculo de canales
Para obtener la sección de máxima eficiencia hidráulica en la práctica se reemplaza la sección
semicircular por una trapecial.
T
zy
y
1
z
b
Lo que nos interesa es la relación que debe haber entre
máxima eficiencia hidráulica. Llamemos
b e y para que la sección sea de
m a esta relación
m=
b
y
(6-27)
Mediante simples consideraciones geométricas se obtiene
A = (m + z )y 2
de donde,
y=
A
m+ z
El perímetro es
P = my + 2 y 1 + z 2
Mediante transformaciones sucesivas se obtiene
(
P 2 m + P 2 z = A m 2 + 4m 1 + z 2 + 4 + 4 z 2
Derivando el perímetro P con respecto a
)
m
283
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
dP 2 A(m + 2 1 + z 2 ) − P 2
=0
=
2 P(m + z )
dm
De donde,
(
m = 2 1+ z2 − z
Se concluye que para cada talud hay una relación
)
(6-28)
m , que es la que da la máxima eficiencia
hidráulica.
Así por ejemplo, en un canal rectangular z = 0, de donde
m = 2. Significa esto que en un
canal rectangular la máxima eficiencia hidráulica se obtiene cuando el ancho es igual al doble
del tirante.
y
b=2y
Para las diferentes secciones trapeciales la relación
m se obtiene para cada talud, aplicando
la ecuación 6-28.
Los valores más comunes son
z
0
0,25
0,5
1
1,5
2
2,5
3
4
m
2
1,56
1,24
0,83
0,61
0,47
0,39
0,32
0,25
En una sección de M. E. H. el radio hidráulico es
R=
reemplazando el valor de
284
(m + z )y 2
my + 2 y 1 + z 2
m de la ecuación 6-28 se obtiene, luego de simplificar
(6-29)
Capítulo VI
Cálculo de canales
R=
y
2
(6-30)
Lo que demuestra que en una sección de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es
igual a la mitad del tirante (sección trapecial).
También puede obtenerse las condiciones de máxima eficiencia hidráulica para talud variable.
Se busca así el llamado "talud más eficiente". Para este caso
el perímetro es
(
P = y m + 2 1+ z2
por condición de M. E. H.
(
m = 2 1+ z2 − z
)
)
sustituyendo se obtiene que el perímetro mínimo es
Pmin = 4 y 1 + z 2 − 2 yz
dPmin
=0
dz
de donde
z=
3
3
(6-31)
En las Tablas 6.9 y 6.10 se presentan cuadros auxiliares para el cálculo de canales en
máxima eficiencia hidráulica.
Ejemplo 6.4 Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) impuesta por la
naturaleza del terreno es 60° con la horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversal
con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente
de rugosidad de Kutter se ha considerado de 0,025.
Solución.
tg 60° =
1
= 1,732.
z
Luego, z = 0,577
285
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Para máxima eficiencia hidráulica se tiene que,
(
)
m = 2 1 + z 2 − z = 1,155
b
= 1,155
y
o
o o
Para utilizar el gráfico de la Figura 6.2 debemos entrar con la inversa del valor anterior
y
= 0,866
b
y obtenemos que,
2
AR 3
8
= 0,74
b3
pero,
2
AR 3 =
Qn
S
1
2
b = 1,63 m
o
o o
= 2,74
luego los otros valores son
y
A
=
=
1,41 m
3,45 m2
V
R
=
=
1,74 m/s
0,705 m
El cálculo podría haberse hecho de otra manera. A partir de la ecuación
A = (m + z )y 2
se obtiene
aplicando la fórmula de Manning
2
1
 y 3
  (0,003)2
2
Q = 1,73 y 2  
0,025
se obtiene
8
Q = 2,39 y 3
para Q = 6 m3/s se encuentra y = 1,41 m
(Este problema se podría haber resuelto usando la Tabla 6.9)
286
A = 1,73 y 2
Capítulo VI
Cálculo de canales
Con lo que la sección transversal queda así,
3,26 m
m
m
60º
1,6
3
3
1,6
1,41 m
1,63 m
V = 1,74 m/s
P = 4,89 m
Q = 6 m3/s
A = 3,45 m
R = 0,705 m
y = 1,41 m
Se observa que por ser una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es igual
a la mitad del tirante y, la longitud de cada talud es igual a la mitad del ancho superficial.
El talud, por la naturaleza del terreno es de 60°. Casualmente resulta ser el talud que da el perímetro
mínimo (talud más eficiente). Al respecto se puede ver la ecuación 6-31. En este caso particular la
sección hidráulica obtenida es la mitad de un hexágono.
Si resolviéramos este mismo problema para un talud diferente de 60° obtendríamos siempre una sección
de máxima eficiencia hidráulica (para el talud respectivo), pero el perímetro sería mayor que 4,89 m.
8
Con la ecuación Q = 2,39 y 3 obtenida, se puede hacer un gráfico
y (m)
2,0
1,5
1,0
0,5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Q (m3/s)
287
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La ecuación que se ha obtenido gasto-tirante es muy importante. Así por ejemplo, si el gasto fuera 10 %
mayor (6,6 m3/s). Entonces
y = 1,46 m
6.7 Concepto de borde libre
Se denomina borde libre (free board) a la altura (tirante) adicional que se da a fin de absorber
los niveles extraordinarios que puedan presentarse por encima del caudal de diseño de un
canal.
borde
libre
y
¿Por qué puede presentarse en un canal un tirante mayor que el correspondiente al del gasto
de diseño?. Por ejemplo, si se diseña un canal para 30 m3/s y se encuentra que el tirante
(normal) es 3,20 m ¿Por qué hemos de esperar un tirante mayor?
Las razones son entre otras las siguientes
a)
Cuando se calcula la sección transversal de un canal hay que suponer un valor para la
rugosidad, pero, en el momento de la construcción y por causas que escapan al ingeniero
diseñador puede ser que la superficie tenga una mayor rugosidad. En consecuencia, se
requerirá de un tirante mayor para que escurra el mismo caudal.
También puede ocurrir que con el paso de los años el revestimiento del canal se deteriore
y tienda ha hacerse más rugoso. Si este fenómeno fuera más intenso que el previsto, la
diferencia es tomada por el borde libre.
b)
Una mala operación en las compuertas de entrada al canal puede dar lugar a que ingrese
a éste un caudal mayor que el de diseño.
c)
A lo largo de la conducción pueden presentarse ingresos de agua no previstos.
d)
Puede ocurrir una obstrucción parcial a lo largo de la conducción. Por ejemplo, caída de
un tronco. El borde libre sirve para absorber los incrementos en el tirante que se produzcan
como consecuencia de lo anterior.
e)
Por una razón u otra puede presentarse una onda en el canal. El borde libre debe absorber
la altura de ola correspondiente.
288
Capítulo VI
Cálculo de canales
El borde libre es, pues, una seguridad que toma el ingeniero diseñador contra fenómenos que
tienen una cierta probabilidad de ocurrencia.
Entonces la magnitud del borde libre depende esencialmente del grado de seguridad que se
debe dar al canal como consecuencia de su importancia y de una estimación de la posibilidad
que ocurra algún fenómeno extraordinario.
En consecuencia, en la determinación de la magnitud del borde libre juega un gran papel la
naturaleza del terreno en que está construido el canal. Si el canal rebalsa y está en zona
arenosa las consecuencias pueden ser mucho más graves que en otro tipo de suelo.
Para dimensionar el borde libre (entendido como una altura vertical adicional al tirante) debemos
tener en cuenta la forma de la sección transversal y esencialmente la curva gasto-tirante.
Supongamos que se tiene dos secciones transversales como las mostradas a continuación
3m
8m
Si ambas tienen similares velocidades, es evidente, y puede demostrarse mediante el calculo,
que un borde libre igual en ambas, representará en la primera un pequeño aumento de caudal
y en la segunda un aumento de caudal bastante mayor.
El análisis de la curva gasto-tirante nos permite visualizar el problema del borde libre bajo una
perspectiva diferente. No pensemos únicamente en centímetros adicionales para el tirante,
sino en su equivalente en metros cúbicos por segundo.
Por último, podríamos señalar que en zonas en las que los estudios hidrológicos no ofrecen
una gran confiabilidad, tanto en la estimación de la oferta como de la demanda, y en las que
sea cara el agua, es conveniente dimensionar con generosidad el borde libre. Naturalmente
que hay que tener presente como varía el costo de una canal con el tirante. Esta función no es
lineal, de modo que es frecuente que un aumento en el tirante produzca un aumento pequeño
en el costo del canal.
Ven Te Chow señala que el borde libre varía entre menos del 5 % y más del 30 % del tirante.
Indudablemente se trata de valores extremos.
289
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Para canales en tierra, donde dicho sea de paso es mayor la incertidumbre con respecto al
coeficiente de rugosidad, el Bureau of Reclamation señala que el borde libre varía entre 1 ft
(0,30 m) para canales pequeños y poco profundos, hasta 4 ft (1,20 m) para canales grandes,
profundos y con caudales de 85 m3/s ó más. Para cálculos preliminares el Bureau recomienda
la fórmula siguiente
b. l. = cy
(6-32)
b. l. : es el borde libre en metros
y : es el tirante en metros
c
:
es un coeficiente que varía así
0,46 para Q = 0,60 m3/s
0,76 para Q = 85 m3/s
El Bureau of Reclamation recomienda el gráfico de la Figura 6.3
Altura del Terraplén sobre la Superficie Libre
Altura del Revestimiento sobre la Superficie Libre
ALTURA EN METROS
1,2
0,9
0,6
0,3
0
,1
,2
,3
,4 ,5
1,0
2
3
4 5
10
20
30 40 50
100 m 3/s
GASTO
Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation
Hay también unas curvas que dan el borde libre en función del tirante y la velocidad, tal como
aparece en la Figura 6.4.
290
Capítulo VI
Cálculo de canales
6
2,6
m/s
2,8
m/
s
3,0
m/
s
3,2
m/
s
3,
4m
/s
3,
6
m
/s
3
1,6 m
/s
1,8 m
/s
2,0 m
/s
2,2
m/s
2,4
m/s
TIRANTE y EN METROS
4
1,2 m/s
1,4 m
/s
velocid
ad 0,80
m/s
1,0 m/s
5
2
1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
BORDE LIBRE EN METROS
Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales
(Tomada de Engineering News Record)
291
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
6.8 Cálculo de canales de sección compuesta
Puede haber canales que tengan una sección transversal como esta
Se dice entonces que es una sección compuesta. Está formada por la suma de dos figuras
geométricas.
También puede ocurrir algo similar en un cauce natural. Un río tiene en época de estiaje un
caudal pequeño, pero en época de abundancia tiene un caudal grande que ocupa las áreas
adyacentes.
Areas de
inundación
Q1
Q2
Una sección compuesta se puede dividir en
Q3
N secciones parciales de modo que el gasto
total Q es igual a la suma de los gastos parciales
Q = Q1 + Q2 + Q3 + ........ QN
Cada parte de la sección tiene su propia rugosidad:
Para cada parte de la sección se tendrá que
2
1
R3 S 2
Vi = i
ni
292
n1 , n2 ,......, nN
(6-33)
Capítulo VI
Cálculo de canales
2
1
1
A R3S 2
= Ki S 2
Qi = i i
ni
siendo,
Ki =
2
3
i
Ai R
ni
El gasto total es
1
Q = ∑ (K i )S 2
(6-34)
i =1
de donde,
V=
∑ (K )S
i
1
2
(6-35)
A
que es la expresión de la velocidad media en una sección compuesta.
Rugosidad compuesta
Un canal puede ser construido de modo que el fondo y las paredes tengan rugosidades
diferentes. En este caso habrá dos valores para el coeficiente de rugosidad. Uno para el fondo
y otra para las paredes. Se dice entonces que el canal es de rugosidad compuesta.
vidrio
piedra
concreto
madera
Estas figuras muestran dos ejemplos característicos de rugosidad compuesta.
Si cada parte de la sección tiene un coeficiente
en hallar un valor de
ni de Kutter, entones el problema consiste
n que sea representativo de todo el perímetro.
293
Hidráulica de tuberías y canales
Consideremos que hubiera
Arturo Rocha
N rugosidades diferentes. A cada una le corresponde una parte
del perímetro mojado.
Rugosidades
:
n1
n2
n3
.....
nN
Perímetros
:
P1
P2
P3
.....
PN
Supongamos, por facilidad operativa, que sólo hubiera dos rugosidades diferentes. Para cada
una de ellas habrá un radio hidráulico correspondiente y se puede calcular cada velocidad
parcial
2
1
2
R3S 2
V1 = 1
n1
1
R3S 2
V2 = 2
n2
o bien,
3
3

2
V1n1 

R1 =
1
 2 
S 

2
V2 n2 

R2 =
1
 2 
 S 
en consecuencia, y aplicando la ecuación A = RP se tiene que
3
3

2
V
n
1
1
A1 =  1  P1
 2 
S 

2
V
n
2
2
A2 =  1  P2
 2 
 S 
El área total es igual a la suma de las áreas parciales
A = A1 + A2
3
3
3
V 2

2

2
V
n
V
n
n
1
1
2
2
 1  P =  1  P1 +  1  P2
 2
 2 
 2 
S 
S 
 S 
La pendiente es la misma. Horton y Einstein hicieron la suposición de que la velocidad es una
sola.
V1 = V2 = ........ VN
294
Capítulo VI
Cálculo de canales
Luego,
2
3 3
 32

P1n1 + P2 n22 

n=


P


(6-36)
que es coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección transversal.
Ejemplo 6.5 Se tiene un canal trapecial de 4 m de ancho en la base. El talud es de 45°. La pendiente es
0,07 %. Originalmente las paredes eran lisas y para un gasto de 6 m3/s el tirante normal era 0,88 m.
Luego el mismo canal se reviste con mortero preparado a base de arena gruesa, con lo que la rugosidad
aumenta, determinándose que para un caudal de 10 m3/s el tirante normal es 1,44 m.
a)
Determinar el gasto para un tirante normal de 1,10 m, si el fondo tuviera un acabado rugoso y las
paredes el acabado liso original.
b)
Determinar el gasto para el mismo tirante normal, para el caso que el fondo fuera liso y las paredes
rugosas.
Solución. Si el canal es liso entonces
2
1
AR 3 S 2 4,29(0,66 ) (0,0007 )
=
n1 =
= 0,014
6
Q
23
12
Si el canal es rugoso entonces,
7,83(0,97 ) (0,0007 )
= 0,20
10
23
n2 =
12
a) Si el fondo es rugoso y las paredes lisas
3
3

P1 n12 + P2 n 22

n=

P

[3,11(0,014)
n=
+ 4(0,02)
(7,11)2 3
32
2
3



32
]
23
= 0,0175
295
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
el gasto es
2
1
AR 3 S 2 5,61(0,79) (0,0007)
=
Q=
= 7,25 m3/s
0,0175
n
23
12
b) Si el fondo es liso y las paredes rugosas
[4(0,014)
+ 3,11(0,02)
(7,11)2 3
32
n=
32
]
23
= 0,017
Luego,
5,61(0,79 ) (0,0007 )
= 7,46 m3/s
0,017
23
Q=
12
6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno
Es frecuente tener un conducto cerrado llevando un fluido que no ocupa totalmente la sección
transversal. Podría ser, por ejemplo, un túnel, una tubería de desagüe o una alcantarilla.
D
y
y
En cualquiera de estos casos el conducto no trabaja a presión e hidráulicamente es un canal.
Examinemos el caso de un tubo circular parcialmente lleno
D
296
y
Capítulo VI
Cálculo de canales
Mediante simples consideraciones geométricas se puede determinar el área, perímetro y
demás elementos de la sección transversal ocupada por el fluido. Sin embargo, los cálculos
se pueden simplificar con el gráfico de Figura 6.6 "Características geométricas de la sección
circular" que nos da para cada valor de la relación
y D el correspondiente valor del área,
perímetro, tirante hidráulico y radio hidráulico.
La tubería que trabaja parcialmente llena se caracteriza por la posibilidad de tener una velocidad
media y un gasto mayores a los que corresponderían a tubo lleno.
Examinemos en primer lugar las condiciones para tener velocidad máxima en un tubo
parcialmente lleno.
Consideremos una tubería cuyo diámetro es D y cuyo radio es r . El flujo corresponde a un
tirante y .
A
B
D
θ
y
Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno
Se trata de hallar la relación
y D que da la máxima velocidad para el flujo. AB es la superficie
libre, θ es el ángulo en el centro.
Las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado y radio hidráulico son
r2
A = (θ − sen θ )
2
(6-37)
P = rθ
(6-38)
297
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
R=
r
(θ − sen θ )
2θ
(6-39)
Si consideramos las fórmulas de Manning o de Chezy, o cualquier otra, para el cálculo de la
velocidad media encontramos que siempre se cumple que
V = kR x
Para pendiente y rugosidad constantes,
(6-40)
k y x dependen de la fórmula particular empleada.
Por lo tanto, para que la velocidad sea máxima se requiere que el radio hidráulico sea máximo
dR
=0
dθ
(6-41)
r sen θ − θ cos θ
=0
2
θ2
de donde,
θ = tg θ
(6-42)
θ = 4,4934 rad
θ = 257º 27‘ 10’’ ≈ 257º 30’
θ es el ángulo que corresponde a la velocidad máxima.
Se determina inmediatamente que
2π − θ = 102º 30’
El tirante es
De donde
θ

y = r 1 − cos 
2

(6-43)
y
= 0,8128 ≈ 0,81
D
(6-44)
Por lo tanto, cuando el tirante es 0,81D la velocidad es máxima.
298
Capítulo VI
Cálculo de canales
Se observa que el resultado obtenido es independiente de la fórmula con la que se calcule la
velocidad media.
Calculemos ahora cual es el valor de
y D que hace que el gasto sea máximo.
En la Figura 6.5 se observa que
A=
r2
(θ − sen θ )
2
P = rθ
R=
r
(θ − sen θ )
2θ
El gasto, si usamos la fórmula de Manning, tiene por expresión
2
1
AR 3 S 2
Q=
n
Se observa que para
S y n constantes el máximo valor del gasto corresponde al máximo
2
valor de
AR 3
2


d  AR 3 

 =0
dθ
1
(6-45)
2
− dR
2
dA
AR 3
+ R3
=0
3
dθ
dθ
−
−
dA
2 dR
A
=R
dθ
3 dθ
2
2 r2
(θ − sen θ ) r (sen θ − θ2 cosθ ) = r (1 − cosθ ) r (θ − sen θ )
3 2
2
2
2θ
θ
De donde,
299
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
5θ cosθ − 2 senθ − 3θ = 0
(6-46)
θ = 5,278 rad
θ = 302º 24’ 26’’ ≈ 302º 30’
que es el ángulo que corresponde al gasto máximo. Se determina inmediatamente que
2π − θ = 57º 30’
El tirante es
θ

y = r 1 − cos 
2

de donde,
y
= 0,938 ≈ 0,94
D
(6-47)
Por lo tanto, cuando se usa la fórmula de Manning para los cálculos, el gasto es máximo
cuando y = 0,94 D .
Si se hubiera empleado la fórmula de Chezy, entonces la condición hubiera sido
2



d  AR 3 

=0
dθ
y se habría obtenido
θ = 5,3784 rad
θ = 308º 09’ 35’’ ≈ 308º
y
= 0,95
D
(6-48)
Por lo que cuando se usa la fórmula de Chezy para los cálculos, el gasto es máximo cuando
y = 0,95 D .
En la Figura 6.7 se muestra el gráfico de elementos hidráulicos proporcionales que sirve para
aligerar los cálculos de tubos circulares trabajando parcialmente llenos (como canales).
300
Z=A
T D0
d = A
A
T
π .D 0
4
0,8
P0 = π . D0
R0 =
0
0,9
2
A0 =
1
1,0
A
T
D0
4
y
D0
Z
D
d
0
D0
A
A
0
0,6
R
0
R0
0,5
0
0,4
0
P
P0
T
0
2,5
0
0,7
Capítulo VI
d=
0,3
D0
y
0,2
0
0,1
0
0
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
301
Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular
0,8
0,9
1,0
A P d
,
,
, etc.
A0 P0 D0
1,1
1,2
1,3
Cálculo de canales
El subindice " 0" corresponde
a tubo lleno
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,0
0,9
0,9
0,8
0,8
Q
Q
y
A
0,6
Q
0,5
va
A0
Q0
(n
c
s
on
0,7
te)
tan
0,6
0,5
ta
nt
e)
D0
(n
0
N n
0,7
)
ble
ria
ns
R
D0
R0
0,4
0,3
0,2
* El subindice " 0"
corresponde a
tubo lleno
* N es el coeficiente
de Kutter
0
V
V
(n
co
0,4
y
Hidráulica de tuberías y canales
302
1,0
V
V0
(n
co n
sta
0,3
)
nte
0,2
0,1
0,1
0
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,7
V V0 ;
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
R R 0 ; etc.
Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular
Q V R
,
,
, etc.
Q0 V0 R0
1,3
Arturo Rocha
Q Q0 ;
0,6
Capítulo VI
Cálculo de canales
Gráfico de elementos hidráulicos proporcionales
La Figura 6.7 muestra para cada relación tirante-diámetro de una sección circular parcialmente
llena, la relación existente entre el gasto Q correspondiente a dicha sección y el gasto
Q0
correspondiente al tubo lleno. Hay también una curva que da la relación entre las velocidades
(V
V0 ).
Para cada variable (gasto, velocidad) hay en realidad dos curvas, una para coeficiente de
N
es el coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección (podría expresarse como n0 ).
rugosidad constante y otra para coeficiente de rugosidad variable en función de la altura.
En cambio,
n es el coeficiente de rugosidad (variable) para la sección parcialmente llena. Así
por ejemplo si un tubo tiene un coeficiente de rugosidad (a tubo lleno) de 0,013, cuando esté
trabajando a 0,7 D tendrá un coeficiente
n=
N
0,013
=
= 0,015
0,85 0,85
puesto que del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene que para
la relación
y D = 0,7
N n es 0,85.
Examinemos las curvas de gasto y velocidad que corresponden a un coeficiente de rugosidad
constante.
La curva de gastos tiene un máximo que corresponde a
y D igual a 0,94 si se usa la
fórmula de Manning y a 0,95 si se usa la fórmula de Chezy. En el primer caso la relación
Q Q0 es 1,07 y en el segundo es 1,05.
La curva de velocidades tiene un máximo que se presenta para
y D = 0,81 . Corresponde a
V V0 igual a 1,14 (según Manning).
Todos estos valores se pueden obtener fácilmente a partir de las ecuaciones anteriormente
establecidas. Un cuadro comparativo de todos los valores aparece en la Tabla 6.6.
y D > 0,82 (aprox.) hay para cada valor del gasto dos
tirantes posibles. También se cumple que para y D > 0,5 se tiene dos tirantes posibles
En la Figura 6.7 se observa que para
para cada valor de la velocidad (uno por encima y otro por debajo de 0,81D ).
303
CONDICION
TUBO LLENO
GASTO MAXIMO
GASTO MAXIMO
(Manning)
(Chezy)
0,785 D 2
0,765 D 2
0,771 D 2
0,684 D 2
3,142D
2,639D
2,689D
2,247D
0,25D
0,29D
0,287D
0,304D
1
0,94
0,95
0,813
2π rad
5,278 rad
5,3784 rad
4,4934 rad
360º
308º 24’ 26’’
308º 09’ 36’’
257º 27’ 10’’
_
VARIABLES
A
A=
P = rθ
P
R
r2
(θ − sen θ )
2
R=
r
(θ − sen θ )
2θ
y D
_
θ
_
VELOCIDAD
MAXIMA
Qmax Q0
_
1
1,07
1,05
Vmax V0
_
1
_
_
A A0
_
1
0,97
0,98
0,87
P P0
_
1
0,84
0,86
0,72
R R0
_
1
1,15
1,14
1,22
Hidráulica de tuberías y canales
304
TABLA 6.6
SECCIONES CIRCULARES PARCIALMENTE LLENAS
1,14 (Manning)
1,10 (Chezy)
Arturo Rocha
Capítulo VI
Cálculo de canales
Obsérvese que para coeficiente de rugosidad constante, que es el caso que estamos analizando,
se cumple que la velocidad media es la misma para medio tubo y para tubo lleno. En cambio,
si consideraramos que la rugosidad es variable entonces la velocidad media en medio tubo es
sólo el 80 % de la correspondiente a tubo lleno.
En la práctica no conviene diseñar para la condición de gasto máximo porque entonces la
superficie libre está tan cerca del extremo superior que cualquier eventualidad tendería a que
el escurrimiento sea a tubo lleno, disminuyendo así la capacidad de conducción. Es usual
diseñar para un ángulo de 240°.
Las Tablas 6.7 y 6.8 sirven como ayuda para el cálculo de secciones circulares.
Expresión del caudal máximo para cualquier conducto abovedado
Anteriormente hemos examinado las condiciones de máximo caudal para un conducto circular
parcialmente lleno. Ahora examinaremos la misma condición, pero para cualquier conducto
abovedado. Siempre se tendrá por continuidad que
Q = AV
de donde
dQ = AdV + VdA = 0
que es la condición de máximo caudal. De acá
dV = −V
dA
A
(6-49)
También debe cumplirse la ecuación de Chezy
V = C RS
o bien,
V =C
A
S
P
Si reemplazamos este valor de la velocidad en la ecuación 6-49 y además se reemplaza el
valor de
dV obtenido de la ecuación de Chezy se llega a
3PdA = AdP
(6-50)
305
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Que es la ecuación diferencial que fija la condición de gasto máximo en cualquier conducto
abovedado en el que se calcule el gasto con la fórmula de Chezy. Obsérvese que la ecuación
6-50 al combinarse con las ecuaciones 6-37 y 6-38 nos daría la condición de gasto máximo
en un conducto circular
θ − 3θ cosθ + senθ = 0
(6-51)
cuya solución es precisamente θ = 5,3784 rad que corresponde al resultado de la ecuación 648. Si hubiéramos usado la fórmula de Manning se habría obtenido que el gasto máximo para
cualquier conducto abovedado está dado por
5PdA = 2 AdP
(6-52)
Si reemplazamos en esta ecuación las ecuaciones 6-37 y 6-38 se obtendría la ecuación 6-46.
Expresión de la velocidad máxima para cualquier conducto abovedado
En cualquier conducto abovedado debe cumplirse que
1
A 2
S
V = C RS = C
P
de donde,
1 A
dV = CS  
2 P
1
2
−
1
2
PdA − AdP
=0
P2
PdA − AdP = 0
(6-53)
que es la condición de máxima velocidad en cualquier conducto abovedado. Esta ecuación no
depende de la fórmula empleada para el cálculo de la velocidad.
Canales cubiertos de hielo
A veces ocurre que en un canal construido en zonas frías se presenta un fenómeno
inconveniente: se hiela la parte superior y el canal trabaja como tubería, con la consiguiente
disminución en el gasto. Este fenómeno es frecuente en zonas andinas elevadas, especialmente
si el canal tiene pequeña velocidad. Esta circunstancia debe tomarse en cuenta en los cálculos
y verificar la capacidad del conducto como si fuese una tubería.
306
Capítulo VI
Cálculo de canales
Canales circulares
Un canal semicircular es el más conveniente desde el punto de vista exclusivo de la eficiencia
hidráulica. Sin embargo, este tipo de canales es poco usado por las dificultades constructivas
que conlleva. El método español de Barragán considera la construcción mecánica de secciones
circulares. Según dicho ingeniero las secciones circulares representan una economía
importante frente a las secciones trapeciales (del orden del 22 %). En todo caso nuestra
opinión es que es difícil una generalización y en cada caso debe hacerse un análisis técnicoeconómico.
Secciones en herradura
Es frecuente que los túneles se construyan con una sección diferente de la circular. Una de
las secciones más empleadas es la sección en herradura. La Tabla 6.8 sirve como ayuda
para el cálculo de las secciones en herradura (horse shoe).
Ejemplo 6.6 Por una alcantarilla de 60 cm de diámetro fluye un caudal de 80 l/s. La pendiente es de
0,0008. El coeficiente n de Kutter es 0,015. Calcular la velocidad.
Solución. Si el flujo fuera a tubo lleno se tendría que
(0,60)
π
2
Q0 =
4
2
1
 0,60  3

 (0,0008)2
 4 
= 0,1505 m3/s ≈ 151 l/s
0,015
Luego,
80
Q
=
= 0,53
Q0 151
del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene
y
= 0,52
D
o
o o
y = 0,31 m
para y D = 0,52 se obtiene
V
= 1,02
V0
la velocidad a tubo lleno es
V0 =
Q 0,150 × 4
=
2 = 0,53 m/s
A π (0,60 )
307
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
o bien, (para verificar)
(0,15) (0,0008)
23
V0 =
12
0,015
= 0,53 m/s
Luego
V = 1,02 x 0,53 = 0,54 m/s
La velocidad es
V = 0,54 m/s
Ejemplo 6.7 Hallar el tirante y que corresponde a la condición de caudal máximo en una sección
cuadrada, de lado a, en la que una de las diagonales es vertical. Usar la fórmula de Chezy.
Solución.
M
A
Mediante consideraciones geométricas se
obtiene
B
P
R
A = a2 −
S
y
A = a2 −
1
AB MP
2
(
1
AB a 2 − y
2
)
a
Considerando la semejanza de los triángulos
MAB y MRS se obtiene
N
(
AB = 2 a 2 − y
)
luego,
A = 2a 2 y − a 2 − y 2
similarmente se obtiene para el perímetro
P = 2 2y
tomando en cuenta la ecuación 6-50,
3PdA = AdP
se obtiene
5 y 2 − 4a 2 y − a 2 = 0
de donde
y = 1,287 a
que es la respuesta buscada
308
Capítulo VI
Cálculo de canales
TABLA 6.7
PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS CIRCULARES
D
y
y
Tirante
D
Diámetro
A
Area
P
Perímetro mojado
R
Radio hidráulico
y
D
A
D2
P
D
R
D
y
D
A
D2
P
D
R
D
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,0013
0,0037
0,0069
0,0105
0,0147
0,2003
0,2838
0,3482
0,4027
0,4510
0,0066
0,0132
0,0197
0,0262
0,0326
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,1199
0,1281
0,1365
0,1449
0,1535
0,9521
0,9764
1,0003
1,0239
1,0472
0,1259
0,1312
0,1364
0,1416
0,1466
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,0192
0,0242
0,0294
0,0350
0,0409
0,4949
0,5355
0,5735
0,6094
0,6435
0,0389
0,0451
0,0513
0,0574
0,0635
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,1623
0,1711
0,1800
0,1890
0,1982
1,0701
1,0928
1,1152
1,1373
1,1593
0,1516
0,1566
0,1614
0,1662
0,1709
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,0470
0,0534
0,0600
0,0668
0,0739
0,6761
0,7075
0,7377
0,7670
0,7954
0,0695
0,0754
0,0813
0,0871
0,0929
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,2074
0,2167
0,2260
0,2355
0,2450
1,1810
1,2025
1,2239
1,2451
1,2661
0,1755
0,1801
0,1848
0,1891
0,1935
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,0811
0,0885
0,0961
0,1039
0,1118
0,8230
0,8500
0,8763
0,9020
0,9273
0,0986
0,1042
0,1097
0,1152
0,1206
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,2546
0,2642
0,2739
0,2836
0,2934
1,2870
1,3078
1,3284
1,3490
1,3694
0,1978
0,2020
0,2061
0,2102
0,2142
309
Hidráulica de tuberías y canales
310
Arturo Rocha
y
D
A
D2
P
D
R
D
y
D
A
D2
P
D
R
D
0,41
0,42
0,3032
0,3130
1,3898
1,4101
0,2181
0,2220
0,71
0,72
0,5964
0,6054
2,0042
2,0264
0,2973
0,2984
0,43
0,44
0,45
0,3229
0,3328
0,3428
1,4303
1,4505
1,4706
0,2257
0,2294
0,2331
0,73
0,74
0,75
0,6143
0,6231
0,6318
2,0488
2,0714
2,0944
0,2995
0,3006
0,3017
0,46
0,3527
1,4907
0,2366
0,76
0,6404
2,1176
0,3025
0,47
0,48
0,3627
0,3727
1,5108
1,5308
0,2400
0,2434
0,77
0,78
0,6489
0,6573
2,1412
2,1652
0,3032
0,3037
0,49
0,50
0,3827
0,3927
1,5508
1,5708
0,2467
0,2500
0,79
0,80
0,6655
0,6736
2,1895
2,2143
0,3040
0,3042
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,4027
0,4127
0,4227
0,4327
0,4426
1,5908
1,6108
1,6308
1,6509
1,6710
0,2531
0,2561
0,2591
0,2620
0,2649
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,6815
0,6893
0,6969
0,7043
0,7115
2,2395
2,2653
2,2916
2,3186
2,3462
0,3044
0,3043
0,3041
0,3038
0,3033
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,4526
0,4625
0,4723
0,4822
0,4920
1,6911
1,7113
1,7315
1,7518
1,7722
0,2676
0,2703
0,2728
0,2753
0,2776
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,7186
0,7254
0,7320
0,7384
0,7445
2,3746
2,4038
2,4341
2,4655
2,4981
0,3026
0,3017
0,3008
0,2996
0,2980
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,5018
0,5115
0,5212
0,5308
0,5404
1,7926
1,8132
1,8338
1,8546
1,8755
0,2797
0,2818
0,2839
0,2860
0,2881
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,7504
0,7560
0,7642
0,7662
0,7707
2,5322
2,5681
2,6061
2,6467
2,6906
0,2963
0,2944
0,2922
0,2896
0,2864
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,5499
0,5594
0,5687
0,5780
0,5872
1,8965
1,9177
1,9391
1,9606
1,9823
0,2899
0,2917
0,2935
0,2950
0,2962
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
0,7749
0,7785
0,7816
0,7841
0,7854
2,7389
2,7934
2,8578
2,9412
3,1416
0,2830
0,2787
0,2735
0,2665
0,2500
Capítulo VI
Cálculo de canales
TABLA 6.8
PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS EN HERRADURA
D/2
D
D
y
D
y
Tirante
D
Diámetro
A
Area
P
Perímetro mojado
R
Radio hidráulico
y
D
A
D2
P
D
R
D
y
D
A
D2
P
D
R
D
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,0019
0,2830
0,0066
0,21
0,1549
1,1078
0,1398
0,0053
0,0097
0,4006
0,4911
0,0132
0,0198
0,22
0,23
0,1640
0,1733
1,1286
1,1494
0,1454
0,1508
0,0150
0,0209
0,5676
0,6351
0,0264
0,0329
0,24
0,25
0,1825
0,1919
1,1702
1,1909
0,1560
0,1611
0,06
0,07
0,08
0,0886
0,09
0,10
0,0275
0,0346
0,0421
0,0491
0,0502
0,0585
0,6963
0,7528
0,8054
0,8482
0,8513
0,8732
0,0394
0,0459
0,0524
0,0578
0,0590
0,0670
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,2013
0,2107
0,2202
0,2297
0,2393
1,2115
1,2321
1,2526
1,2731
1,2935
0,1662
0,1710
0,1758
0,1804
0,1850
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,0670
0,0753
0,0839
0,0925
0,1012
0,8950
0,9166
0,9382
0,9597
0,9811
0,0748
0,0823
0,0895
0,0964
0,1031
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,2489
0,2586
0,2683
0,2780
0,2878
1,3139
1,3342
1,3546
1,3748
1,3951
0,1895
0,1938
0,1981
0,2023
0,2063
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,1100
0,1188
0,1277
0,1367
0,1457
1,0024
1,0236
1,0448
1,0658
1,0868
0,1097
0,1161
0,1222
0,1282
0,1341
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,2975
0,3074
0,3172
0,3271
0,3370
1,4153
1,4355
1,4556
1,4758
1,4959
0,2103
0,2142
0,2181
0,2217
0,2252
311
Hidráulica de tuberías y canales
312
Arturo Rocha
y
D
A
D2
P
D
R
D
y
D
A
D2
P
D
R
D
0,41
0,3469
1,5160
0,2287
0,71
0,6403
2,1297
0,3006
0,42
0,43
0,3568
0,3667
1,5360
1,5561
0,2322
0,2356
0,72
0,73
0,6493
0,6582
2,1518
2,1742
0,3018
0,3028
0,44
0,45
0,3767
0,3867
1,5761
1,5962
0,2390
0,2422
0,74
0,75
0,6671
0,6758
2,1969
2,2198
0,3036
0,3044
0,46
0,47
0,48
0,3966
0,4066
0,4166
1,6162
1,6362
1,6562
0,2454
0,2484
0,2514
0,76
0,77
0,78
0,6844
0,6929
0,7012
2,2431
2,2666
2,2906
0,3050
0,3055
0,3060
0,49
0,50
0,4266
0,4366
1,6762
1,6962
0,2544
0,2574
0,79
0,80
0,7094
0,7175
2,3149
2,3397
0,3064
0,3067
0,51
0,4466
1,7162
0,2602
0,81
0,7254
2,3650
0,3067
0,52
0,53
0,4566
0,4666
1,7362
1,7562
0,2630
0,2657
0,82
0,83
0,7332
0,7408
2,3907
2,4170
0,3066
0,3064
0,54
0,55
0,4766
0,4865
1,7763
1,7964
0,2683
0,2707
0,84
0,85
0,7482
0,7554
2,4440
2,4716
0,3061
0,3056
0,56
0,57
0,58
0,4965
0,5064
0,5163
1,8165
1,8367
1,8569
0,2733
0,2757
0,2781
0,86
0,87
0,88
0,7625
0,7693
0,7759
2,5000
2,5292
2,5595
0,3050
0,3042
0,3032
0,59
0,60
0,5261
0,5359
1,8772
1,8976
0,2804
0,2824
0,89
0,90
0,7823
0,7884
2,5909
2,6235
0,3020
0,3005
0,61
0,62
0,63
0,5457
0,5555
0,5651
1,9180
1,9386
1,9592
0,2844
0,2864
0,2884
0,91
0,92
0,93
0,7943
0,7999
0,8052
2,6576
2,6935
2,7315
0,2988
0,2969
0,2947
0,64
0,65
0,5748
0,5843
1,9800
2,0009
0,2902
0,2920
0,94
0,95
0,8101
0,8146
2,7721
2,8160
0,2922
0,2893
0,66
0,67
0,5938
0,6033
2,0219
2,0431
0,2937
0,2953
0,96
0,97
0,8188
0,8224
2,8643
2,9188
0,2858
0,2816
0,68
0,69
0,70
0,6126
0,6219
0,6312
2,0645
2,0860
2,1077
0,2967
0,2981
0,2994
0,98
0,99
1,00
0,8256
0,8280
0,8293
2,9832
3,0667
3,2670
0,2766
0,2696
0,2538
Capítulo VI
TABLA 6.9
SECCION TRAPECIAL DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA
θ
90º
z
0
0,250
0,333
0,500
0,577
0,667
0,750
1,000
m
2
1,562
1,442
1,236
1,155
1,070
1,000
0,828
m = 2 1 + z2 − z
1m
0,5
0,640
0,694
0,809
0,866
0,934
1,000
1,207
1m= y b
A
2 y2
1,812 y 2
1,775 y 2
1,736 y 2
1,732 y 2
1,737 y 2
1,750 y 2
1,828 y 2
A = (m + z )y 2
P
4y
3,623 y
3,550 y
3,472 y
3,464 y
3,474 y
3,500 y
3,657 y
P = m + 2 1 + z2 y
75º 58’
71º 34’
63º 26’
60º
56º 19’
53º 08’
45º
θ=
z=
(
2
8
8
8
8
8
8
8
8
1,260 y 3
1,141 y 3
1,118 y 3
1,094 y 3
1,091 y 3
1,094 y 3
1,102 y 3
1,152 y 3
313
b
)
y
m=
b
y
Q=
AR 2 3 S 1 2
n
AR 2 3 =
Qn
S1 2
Cálculo de canales
1
z
)
R=A P
AR 3
θ
1
(
y 2
R
z
38º 40’
33º 41’
30º
29º 45’
26º 34’
21º 48’
18º 26’
14º 02’
z
1,250
1,500
1,732
1,750
2,000
2,500
3,000
4,000
m
0,702
0,606
0,536
0,531
0,472
0,385
0,325
0,246
m = 2 1+ z2 − z
1m
1,425
1,651
1,866
1,883
2,118
2,596
3,081
4,026
1m= y b
A
1,952 y 2
2,106 y 2
2,268 y 2
2,281 y 2
2,472 y 2
2,885 y 2
3,325 y 2
4,246 y 2
A = (m + z )y 2
P
3,903 y
4,211 y
4,536 y
4,562 y
4,944 y
5,770 y
6,649 y
8,492 y
P = m + 2 1+ z2 y
z =
2
8
8
8
8
8
8
8
8
1,230 y 3
1,327 y 3
1,429 y 3
1,437 y 3
1,557 y 3
1,817 y 3
2,095 y 3
2,675 y 3
b
(
)
)
y
m=
b
y
Q=
AR 2 3 S 1 2
n
AR 2 3 =
Qn
S1 2
Arturo Rocha
1
z
1
R=A P
AR 3
θ
z
(
y 2
R
θ=
Hidráulica de tuberías y canales
314
θ
Capítulo VI
TABLA 6.10
SECCIONES DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA
SECCION
TRAPECIO
(Mitad de un hexágono)
RECTANGULO
(mitad de un cuadrado)
TRIANGULO
(Mitad de un cuadrado)
SEMICIRCULO
PARABOLA
T = 2 2y
PERIMETRO MOJADO
RADIO HIDRAULICO
ANCHO SUPERFICIAL
TIRANTE HIDRAULICO
A
P
R
T
d
Z
3y 2
2 3y
y
2
4
3y
3
3
y
4
3 2
y
2
2 y2
4y
y
2
2y
y
y2
2 2y
1
2y
4
2y
y
2
π 2
y
2
πy
1
y
2
2y
π
y
4
π 2
y
4
4
2 y2
3
8
2y
3
1
y
2
2 2y
2
y
3
8
3y 2
9
1,39586 y 2
2,9836 y
0,46784 y
1,917532 y
0,72795 y
1,19093 y 2
FACTOR HIDRAULIC
5
5
2y2
5
2 2
y
2
5
5
5
315
(Este cuadro ha sido tomado del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
Cálculo de canales
CATENARIA
AREA
SECCION
AREA
PERIMETRO MOJADO
RADIO HIDRAULICO
ANCHO SUPERFICIAL
A
P
R
T
by
b + 2y
by
b + 2y
(b + zy )y
b + 2 y 1 + z2
zy 2
2 y 1 + z2
1
(θ − senθ )D2
8
1
θD
2
TIRANTE HIDRAULICO
Hidráulica de tuberías y canales
316
TABLA 6.11
ELEMENTOS GEOMETRICOS DE DIVERSAS SECCIONES
FACTOR HIDRAULICO
d
Z
T
y
b
5
y
b
by 2
RECTÁNGULO
(b + zy )y
T
1
y
z
b
(b + zy )y
b + 2 zy
b + 2 y 1 + z2
b + 2 zy
[(b + zy )y] 2
5
b + 2 zy
TRAPECIO
T
1
y
z
zy
y
2
2 2
zy
2
2 y (D − y )


1  θ − senθ 
D
8  sen θ 



2 
2 (θ − senθ )2 2
D
32  θ 0,5
sen


2

3A
2y
2
3y
2
6Ty1,5
9
π
 2
 − 2 r + (b + 2r )y
2

(π − 2)r + b + 2 y
b + 2r
π
 2
 − 2 r
2
 +y
b + 2r
A
P
2 z( y − r ) + r 1 + z 2
2 1+ z
2 zy
2
5
TRIANGULO
T
D
y
θ
θ

 sen  D , ó
2

1  senθ 
1 −
D
4
θ 
5
5
CIRCULO
T
y
2
Ty
3
T+
2T 2 y
3T 2 + 8 y 2
8 y2 *
3T
PARÁBOLA
T
r
r
y
b
(π − 2)r + b + 2 y
T 2 r2
− (1 − z cot −1 z )
4z z
2r
T
1+ z2 −
1 − z cot −1 z
z
z
RECTÁNGULO CON ESQUINAS
REDONDEADAS
T
1
z
r
y
(
)
[
]
A
T
TRIANGULO CON FONDO
REDONDEADO
* Aproximación satisfactoria para el intervalo
0 ≤ x ≤ 1 , siendo x =
4y
T
, para
( Esta tabla ha sido tomada del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
T
2

2
x > 1 , la expresión exacta es D = 2  1 + x + 1 x ln x + 1 + x




 π

 2
 2 − 2  r + (b + 2 r )y 



1, 5
b + 2r
A
A
T
Arturo Rocha
π
 2
 − 2 r + (b + 2r )y
2

Capítulo VI
Cálculo de canales
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VI)
1.
Hallar una expresión para la pérdida de carga h f en un canal de longitud L , en función de la
carga de velocidad y del radio hidráulico.
2.
Un canal tiene un ancho en el fondo de 2,5 m. El tirante es 0,8 m y el talud es de 60°. La
velocidad media es 1,80 m/s. ¿Cuál es el gasto? ¿Cuál es el radio hidráulico?. Dibujar la sección
transversal.
3.
Un canal rectangular tiene un ancho en el fondo de 2 m y un coeficiente de rugosidad de Kutter
de 0,014. El tirante es 1,20 m y la pendiente 0,0012. Calcular el gasto.
Calcular el tirante con el que fluirá el mismo gasto en un canal triangular, de 90º, que tiene la
misma rugosidad y la misma pendiente.
4.
Hallar el radio que debe tener la sección semicircular de un canal para transportar 3 m3/s. La
pendiente del canal es 1 en 2 500. Considerar que el coeficiente
C de Chezy es 49 m1/2/s.
Si el canal tuviera forma rectangular, pero el mismo ancho y profundidad total que la sección
anterior, ¿Cuál sería el gasto con el mismo valor de C y la misma pendiente?.
5.
El canal mostrado en la figura tiene
una pendiente de 0,0009. El
coeficiente
1,5 m
n de Kutter es 0,013.
Calcular el gasto.
90º
1,0 m
¿En cuánto aumentará el gasto si la
pendiente fuera el doble?
6.
¿Qué sucede con el gasto en un canal si se cuadruplica la pendiente y el contorno se hace de una
rugosidad doble?. Explicar detalladamente la respuesta.
7.
En el problema número 2 la pendiente del canal es 0,003. Calcular
n de Kutter
b) el coeficiente C de Ganguillet-Kutter
a) el coeficiente
c) la velocidad media a partir del coeficiente de Ganguillet-Kutter. Comparar con la velocidad
media dato del problema
k de Strickler
e) el coeficiente C de Chezy con la fórmula de Pavlovski
d) el coeficiente
317
Hidráulica de tuberías y canales
8.
Un canal tiene según la tabla de Kutter una rugosidad
Arturo Rocha
n = 0,035. Calcular el coeficiente C de
Chezy usando las fórmulas de Ganguillet-Kutter y Manning. El canal es muy ancho y el tirante
es 1 m.
9.
Hallar los valores de X e Y , a que se refiere la ecuación 6-5, de las ecuaciones de GanguilletKutter, Kutter y Bazin.
10. Calcular el gasto en un canal que tiene 1,80 m de tirante. La pendiente es 0,0018. La rugosidad
de Kutter a considerarse es 0,018,
a)
b)
c)
d)
para una sección rectangular de 6 m de ancho
para una sección triangular con un ángulo de 60°
para una sección circular de 4 m de diámetro
para una sección parabólica que tiene 4 metros de ancho a la profundidad de 1 m
11. Un canal de sección trapecial, en tierra sin vegetación, debe transportar un gasto de 10 m3/s,
con una velocidad no mayor de 1 m/s. El talud es de 30° (con la horizontal). La pendiente es de
8 en 10 000. Calcular las dimensiones de la sección transversal. Usar la fórmula de Bazin.
12. Un canal trapecial tiene 24 ft de ancho superficial, un talud de 45° y un ancho en la base de 8 ft.
El canal es de concreto frotachado. La pendiente es 0,0006. Calcular el gasto. Usar la fórmula de
Ganguillet-Kutter y la de Manning (en unidades inglesas).
13. Se tiene un canal trapecial de 8 m de ancho en la base y de 2 m de tirante. El talud es de 1,5. El
canal es de tierra, sin vegetación, y varios años de uso. La pendiente es 0,0004. Calcular el gasto
utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin, Manning y Chezy. Comparar resultados (la
temperatura del agua es 15 °C)
14. En un canal de 0,80 m de ancho y 0,30 m de tirante fluye petróleo. La pendiente del canal es
0,0008. El canal es de fierro galvanizado. La viscosidad del petróleo es 10-5 m2/s y su peso
específico relativo es 0,86. Calcular el gasto.
15. Un canal trapecial de concreto frotachado tiene una capacidad de 4 m3/s. La pendiente es 0,006.
El talud es 0,5. Si el ancho en el fondo es de 1 m ¿Cuáles son las dimensiones de la sección
transversal y la velocidad media?. Si el borde libre fuera de 30 cm ¿Qué caudal adicional podría
ser absorbido? (en porcentaje).
16. Se quiere construir un canal con una pendiente de 0,0035 para conducir 4 m3/s ¿Qué dimensiones
debe tener el canal para que la velocidad no sea superior a 1,5 m/s. El talud es 1,5. Considerar
que el coeficiente
n de Kutter es 0,025.
17. Se tiene un canal trapecial de 5 m de ancho superficial y 3 m de ancho en el fondo, talud
de 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,030. La capacidad del canal es de 10 m3/s.
Calcular
318
Capítulo VI
Cálculo de canales
a) ¿Cuánto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y taludes,
para aumentar su capacidad en 50 %?.
b) ¿Cuánto habría que ensanchar el canal, conservando la misma profundidad y taludes, para
aumentar su capacidad en 50 %?.
18. Demostrar que en un canal de máxima eficiencia hidráulica se cumple que la suma de los
taludes es igual al ancho superficial.
19. Demostrar que en una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica se cumple que
1
(b + 2 zy ) = y 1 + z 2
2
20. Demostrar que en un canal trapecial de máxima eficiencia hidráulica, cuyo talud es de 45°, se
cumple que
2
AR 3
b
8
3
= 1,90
21. Demostrar que para un canal que está en máxima eficiencia hidráulica se cumple para la sección
más eficiente que

Q
y = 0,968 1n
 2
S
3
8




22. Demostrar que en un canal con una velocidad

Q
b = 1,118 1n
 2
S
3
8




V , dada, la condición de máxima eficiencia
hidráulica (M. E. H.) corresponde a pendiente mínima.
23. En un canal de M. E. H. el ancho en el fondo es de 3 m y el ancho superficial es 8 m. La pendiente
es 0,006 y el coeficiente
n de rugosidad de Kutter es 0,025. Hallar el gasto.
24. El gasto de canal de alimentación de una central hidroeléctrica es de 60 m3/s. El talud es 1,25.
a) Calcular las dimensiones de la sección transversal para un tirante de 2 m y una pendiente de
0,0008 (el coeficiente de rugosidad G de Bazin es 0,30).
b) Conservando la velocidad del caso anterior ¿Cuáles serían las dimensiones del canal en
condiciones de máxima eficiencia hidráulica? ¿Cuál deberá ser la pendiente del canal?.
c) ¿Cuál sería la sección de máxima eficiencia hidráulica manteniendo una pendiente 0,001
¿Cuál será la velocidad en este caso?.
319
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
25. Un canal debe transportar 8 m3/s. El talud es de 45°. Determinar las dimensiones de la sección
transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,002 y
el coeficiente de Kutter es 0,022. En caso de revestir el contorno con concreto ( n = 0,016)
determinar cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección transversal.
26. Un canal debe transportar 10 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es 60°. Determinar las
dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener la máxima eficiencia hidráulica.
La pendiente del canal es 0,005. El canal es de concreto frotachado.
27. Un canal debe conducir 750 l/s. El talud es 2. Determinar las dimensiones de la sección transversal
con la condición que la pendiente sea mínima. La velocidad no debe ser mayor de 1 m/s. (a fin
de prevenir erosiones). Considerar que n es 0,03.
En el caso de revestir el canal ( n = 0,022) ¿Con qué tirante fluirá el mismo gasto, manteniendo
la pendiente y la forma de la sección calculada en el caso anterior?.
28. Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es de 60° con la horizontal.
Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máxima
eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente de Kutter es 0,025. En
caso de revestir el canal con concreto frotachado ¿Cuáles serían las nuevas dimensiones de la
sección?.
29. Un canal trapecial debe transportar 12,5 m3/s. El talud es 0,5. Determinar las dimensiones de la
sección transversal de modo de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,0015.
El coeficiente C de Chezy es 55 m1/2/s.
30. Se trata de diseñar un canal para 8 m3/s que debe ser construido en media ladera (inclinación
media 30°). El ancho en el fondo es de 4 m. La pendiente del canal debe ser 0,00025 y el
coeficiente de rugosidad de Kutter 0,025. El talud será de 45°. El borde libre se obtendrá de la
Figura 6.4. Se pregunta si, desde el punto de vista del costo de excavación, habría resultado más
económico un canal de máxima eficiencia hidráulica.
31. Determinar el talud que debe tener un canal triangular para que sea de máxima eficiencia
hidráulica.
32. A igualdad de pendiente y calidad de paredes ¿En cuál de los siguientes casos se obtendrá una
mayor velocidad de flujo para el escurrimiento de un mismo gasto?
a) Usando un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica
b) Usando un canal triangular da máxima eficiencia hidráulica
33. Un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 3,80 m tiene un talud igual a 0,75. La pendiente
es 1 por 1 000. Si el canal estuviera completamente revestido de albañilería de piedra, entonces
para un gasto de 45 m3/s el tirante es 3,06 m. Si el mismo canal estuviera revestido con concreto
frotachado se tendría para un gasto de 40 m3/s un tirante de 2,60 m.
320
Capítulo VI
Cálculo de canales
a) ¿Cuál será el gasto, si el fondo es de concreto y las paredes de albañilería de piedra, siendo
el tirante de 3,0 m?.
b) ¿Cuál será el gasto si el fondo es de albañilería y las paredes de concreto para un tirante de 3 m?.
34. Hallar las dimensiones que debe tener un canal trapecial en máxima eficiencia hidráulica para
llevar un gasto de 70 m3/s. La pendiente es de 0,0008 y el talud es de 1,5. El fondo es de
concreto frotachado y los taludes están formados de albañilería de piedra bien terminados.
35. Un canal trapecial transporta 12 m3/s y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es de 3 m y
el tirante de 1,5 m. Si se necesita transportar 20 m3/s, se desea saber ¿Cuántos metros habría que
profundizar la base del canal manteniendo el talud?. Considerar para concreto antiguo 0,018 y
para el nuevo revestimiento 0,014. ¿Qué dimensión tendría la nueva base del canal?
36. Calcular el radio hidráulico de una sección triangular, a partir de la ecuación 6-29.
37. Hallar las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado, radio hidráulico, ancho
superficial, tirante hidráulico y factor hidráulico para un canal circular parcialmente lleno en el
que el tirante es el 60 % del diámetro. Hallar también el ángulo en el centro. Hallar luego las
expresiones correspondientes al gasto y velocidad máximos, para
n igual constante y para n
igual variable.
Como aplicación calcular todos los valores para D = 16’’, S = 0,001 y n = 0,014. ¿Cuál es
el máximo gasto que podría haber en esta tubería y cuál es la máxima velocidad que puede
presentarse?.
38. Hallar cual es el grado de sumergencia ( y
D ) que corresponde a un ángulo de 240° en una
tubería circular parcialmente llena.
39. Determinar el diámetro mínimo de un colector de desagüe para conducir cada uno de los gastos
siguientes: 160, 200 y 250 l/s. La velocidad no debe ser menor de 0,60 m/s ¿Cuál es el tirante
en cada caso?. La cota del colector en el punto inicial es 100 m y en el punto final es 99,85. La
longitud es de 200 m. El coeficiente
n de Kutter es 0,014. Dibujar la curva de variación entre
Q y D.
40. Determinar el diámetro que debe tener un túnel de sección circular ( n = 0,030) para conducir un
gasto de 20 m3/s de modo que sea la mínima sección posible. La pendiente es 0,0008. Calcular
también el tirante y velocidad respectivos.
41. Calcular la pendiente mínima con la cual se podrá tender un conducto circular para que conduzca
un gasto de 500 l/s. El diámetro debe ser de 36’’ y a fin de evitar sedimentaciones la velocidad
debe ser superior a 0,60 m/s ( n = 0,014). Determinar también con que tirante se producirá el
escurrimiento.
321
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
42. Un conducto tiene forma oval, formado por arcos circulares. La parte superior es un semicírculo
de radio r . El área y el perímetro mojado de la sección debajo del diámetro horizontal del
semicírculo son 3 r y 4,82 r , respectivamente. Demostrar que la máxima descarga se presenta
2
cuando la superficie libre subtiende un ángulo de 305° en el centro de curvatura del semicírculo
(usar la ecuación de Chezy).
43. La porción superior de la sección transversal de un canal es un semicírculo de radio r . La
porción inferior es una semieclipse de ancho 2 r , profundidad 2 r y perímetro 4,847 r , cuyo
eje menor coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. El canal debe llevar 15 m3/s
trabajando a 3/4 ( y
D = 0,75). La pendiente es 1 en 1 000, n = 0,014. Hallar las dimensiones
de la sección y el tirante que daría un gasto máximo.
44. Un acueducto tiene la forma que se muestra
en la figura
S = 0,0005
1,5 m
Q = 800 l/s
n = 0,012
0,3 m
Calcular el tirante, la velocidad media
0,3 m
correspondiente y determinar cual sería el
tirante para las condiciones de gasto máximo
y de velocidad máxima.
1,5 m
45. Se tiene un conducto de la forma siguiente
Qmax = 100 l/s
b/2
S = 0,2 %o
n = 0,013
Calcular el valor del ancho
velocidad media.
322
b/2
b , el tirante y la
b
Capítulo VII
Energía específica y momenta
CAPITULO
VII
ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA
7.1 Energía específica
La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma del
tirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal de
referencia arbitrariamente escogido y se expresa así
Energía = y + α
V2
+z
2g
(7-1)
y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la
sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia.
Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina
energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0.
E = y +α
V2
2g
(7-2)
La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como está
referida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda.
Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales.
Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un
323
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paralelo
y aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentales
de la ecuación 7-1.
La energía específica se interpreta gráficamente así
Línea de energía
α
V2
2g
E
y
Fondo (plano de referencia)
Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica
Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. En
consecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo.
Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente de
Coriolis es igual a la unidad. Entonces,
E = y+
V2
2g
(7-3)
es la ecuación de la energía para este caso particular.
Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto Q y el área A de la sección
transversal, que es una función del tirante y ( V
E = y+
= Q A ).
Q2
2gA2
(7-4)
En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica,
gasto y tirante
324
Capítulo VII
Energía específica y momenta
y = φ (E , Q )
(7-5)
Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia de
cada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5.
Así, si aceptamos que el gasto es constante
y = φ (E )
(7-6)
y = φ (Q )
(7-7)
Pero si la energía es constante,
7.2 Energía específica a gasto constante
Discusión de la curva E − y
La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el
eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y ,
tal como se ve en el Figura 7.2.
Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,
E = y+
Q2
2gA2
que evidentemente son
E−y=0 ;
y=0
Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( E = y ) y por el eje de
abscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no está
a 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerse
que tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente al
fondo.
Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a
dE
=0
dy
325
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
E=y
y
Tirante
V2
E = y+
2g
V22
2g
y2
R
IO
V < Vc
dE
=0
dy
y2
F<1
0<
Q2 T
3 < 1
gA
dE
<1
dy
Q = CONSTANTE
2
Vc
2g
yc
y1
y1
V = Vc
CRISIS
V12
2g
45º
F=1
Q2 T
3 = 1
gA
TORRENTE
V > Vc
F>1
dE
<0
dy
V2
E = y+
2g
E min
Energía Específica
E = y1 +
V12
2g
TORRENTE
=
y2 +
V22
2g
RIO
y1 e y2 son tirantes alternos
2
( E1 = E2 )
2
V1
Vc
>
2g 2g
(flujo supercrítico)
F > 1 ( y1 < yc )
V12 Vc 2
<
2g 2g
(flujo subcrítico)
F < 1 ( y2 > yc )
Si E < Emin no hay flujo posible del gasto Q
Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva E − y )
326
Q2 T
3 > 1
gA
Capítulo VII
Energía específica y momenta
y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene
dE
Q 2 dA
= 1− 3
dy
gA dy
(7-8)
Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en la
figura
Para cada valor del tirante y , que es
T
variable, hay un valor del área A y un
valor del ancho superficial T . El área
dy
y
es
A
A( y ) = ∫ T ( y )dy
y
0
Al diferenciar esta expresión se llega a
dA = Tdy
Luego,
T=
dA
dy
(7-9)
Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial.
Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérvese
en el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas las
secciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene
dE
Q 2T
= 1− 3
dy
gA
(7-10)
Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir
un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas
dE
Q 2T
= 1− 3 = 0
dy
gA
327
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
o bien,
Q 2 A3
=
g
T
ó
Q 2T
=1
gA3
(7-11)
que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal.
Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse
adimensional al dividir ambos miembros por
L5 .
Q2
A3
=
gL5 TL5
(7-11a)
siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).
Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dos
asíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2.
La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que
Q 2T
<1
gA3
La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumple
que
Q 2T
>1
gA3
El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)
Q 2T
=1
gA3
La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos.
De esta última ecuación se obtiene
Q= A gAT
328
Capítulo VII
Energía específica y momenta
El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,
d=
A
T
es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,
Q = A gd
o bien,
V = g A T = gd
que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina
velocidad crítica Vc (en cualquier sección transversal).
Vc = g A T = gd c
(7-12)
Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en
las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de A ,
Ac y en lugar de T , Tc , etc. Por
comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de
A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos.
Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidad
crítica sería
Vc =
De la ecuación 7-12, para α
g
d
α c
(7-13)
= 1 , se obtiene que
Vc2 d c
=
2g 2
(7-14)
Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitad
del tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14
son absolutamente equivalentes.
329
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a la
mínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes.
El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza por que la velocidad
siempre es menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de ellos
corresponde a un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor
que la crítica. Por eso se llama régimen supercrítico.
De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que
Emin = yc +
Vc2
2g
(7-15)
Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entre
tirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal.
Los tirantes
y1 e y2 , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía
específica se denominan alternos.
Introducción del Número de Froude
Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormente
presentados.
El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de las
fuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es
F=
Si la velocidad
V
=
gd
V
gAT
(7-16)
V de la corriente es igual a la crítica, entonces
F=
gd c
=1
gd c
(7-17)
Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude es
igual a 1.
330
Capítulo VII
Energía específica y momenta
En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y por lo tanto el número de Froude
es menor que 1.
Por similares razones en un torrente el número de Froude es mayor que 1.
Examinemos nuevamente la ecuación 7-10
dE
Q 2T
= 1− 3
dy
gA
Al introducir V
= Q A se obtiene
dE
V2
= 1−
A
dy
g
T
(7-18)
Pero, (ec. 7-16)
F=
V
g
A
T
De donde,
dE
= 1− F 2
dy
(7-19)
Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,
dE
=0
dy
(7-20)
Condición que es precisamente de la energía mínima.
Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,
0<
dE
<1
dy
(7-21)
331
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Propagación de una onda superficial
Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos
Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridad
c , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a
c = gy
(7-22)
Siendo y la profundidad de la corriente.
c-V
Resulta evidente que la condición para
que un onda pueda remontar la corriente
es que su celeridad sea mayor que la
velocidad de la corriente.
c+V
y
V
En un torrente siempre se cumple que
la velocidad media de la corriente es
mayor que
gy (sección rectangular).
De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar la
corriente.
En cambio en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente.
En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta
permanece estacionaria, ( c = V ).
Ríos y torrentes
Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico).
En cambio en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico):
la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.
V 2 2g
La conclusión que obtenemos es que la relación
describe el régimen de la corriente.
E
La relación
V 2 2g
es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección.
E
En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumenta
el tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en la
Figura 7.2a.
332
Capítulo VII
Energía específica y momenta
En cambio en los ríos la variación es del mismo signo.
Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión de
los perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondo
que implican un cambio en la energía específica.
Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2)
Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, han
sido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en forma
de resumen, sus principales características.
i)
La curva E − y (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: una
superior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.
dE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1).
dy
ii)
En un torrente,
iii)
La curva E − y tiene dos asíntotas que son E = y ; y = 0 .
iv)
La curva E − y tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,
dE
= 0 . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14.
dy
El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominan
críticos.
v)
Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre la
curva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que se
caracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.
vi)
Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.
vii) En la zona superior de la curva E − y la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo
subcrítico).
En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujo
supercrítico).
viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisis
es 1.
ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.
333
Hidráulica de tuberías y canales
x)
Arturo Rocha
En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica
dE
>0.
dy
En un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía específica
dE
< 0.
dy
y
En un río las variaciones de
∆y
E e y son del mismo signo y
∆E
RI
O
del mismo orden de magnitud.
En un torrente las variaciones de
∆y
45º
TORR
∆E
E e y son de diferente signo y
ENTE
de diferente orden de magnitud.
E
Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante
Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en la
forma siguiente
x2 y3 =
Q2
32 g
Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea de
energía.
Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces,
x=
T
2
y=
V2
2g
Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11
Q 2 A3
=
g
T
334
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Siendo en este caso,
T = 2x
A=
Q
=
V
Q
2 gy
Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica la
expresión propuesta.
Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.
7.3 Sección rectangular
Condiciones críticas
En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11
ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación
Vc = g
expresión en la que
A
T
Vc es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el
ancho superficial.
Tal como lo señalamos antes, para estos casos de flujo crítico se sobreentiende que A es
Ac y T es Tc .
En una sección rectangular la relación
A T (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego,
Vc = gyc
(7-23)
que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación se
obtiene de inmediato
Vc2 yc
=
2g 2
(7-24)
Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía de
velocidad es igual a la mitad del tirante crítico.
335
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La energía que corresponde a las condiciones críticas es
Vc2
E = yc +
2g
Este valor de la energía es el mínimo en la curva E − y , tal como se ve en la Figura 7.2.
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
2
E
3
(7-25)
Vc2 1
= E
2g 3
(7-26)
yc =
Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en un
canal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después de
presentar la ecuación 7-15.
Vc 2
2g
1
E
3
yc
2
E
3
E
Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular
Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordando
que
336
Capítulo VII
Vc =
Q q
=
A yc
Energía específica y momenta
2
o
o o
q2
= 0,467q 3
yc =
g
3
(7-27)
Vc = gyc
q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión
corresponde al sistema métrico.
En general la energía específica de un canal rectangular es
E = y+
V2
2g
Si dividimos ambos miembros por el tirante y , se llega a
E
V2
= 1+
y
2 gy
Introduciendo el número de Froude
F=
V
se obtiene
gy
E
F2
= 1+
y
2
(7-28)
Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,
dE
2E
= 3−
dy
y
(7-29)
Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos F = 1 esto significa condiciones críticas, y se
obtiene E =
3
yc , tal como se demostró anteriormente.
2
Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por
337
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
3
dE
= 0 , obteniéndose también E = yc .
2
dy
Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4)
La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico
es q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4
E = y+
q2
2gy 2
Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico
(7-30)
yc se obtiene
E
y
q2
= +
yc yc 2 gy 2 yc
Pero, en una sección rectangular
yc = 3
q2
g
ó lo que es lo mismo,
q 2 = gyc3
(7-31)
E
y
y2
= + c2
yc y c 2 y
(7-32)
Reemplazando se obtiene
que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación
7-32 puede también tomar la forma siguiente
E
2 y 1 yc2
=
+
Emin 3 yc 3 y 2
338
(7-32a)
Capítulo VII
Energía específica y momenta
y
yc
E=y
3
yc2
y
E
yc = yc + 2 y 2
R
IO
2
1
CRISIS
TO RRE NTE
yc = 2 E
3
45º
0
1
1,5
2
3
E
yc
Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular
339
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Variación del gasto con el tirante a energía específica constante
El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específica
variable en función del tirante.
Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7
y = φ (Q ) , para energía constante
La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es
E = y+
q2
2gy 2
De acá podemos despejar el gasto específico q
q = 2 g (E − y )y
(7-33)
Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un
valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gasto
máximo
dq
=0
dy
1
1
dq
1


−
= 2 g (E − y )2 − (E − y ) 2 y  = 0
dy
2


De donde,
y=
2
E
3
Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica.
Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en un
canal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.
El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas
3
Q = AVc = byc gyc = g byc2
340
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Pero, en un canal rectangular yc =
2
E
3
Luego,
q=
Q
b
3
 2 2
q = g  E2
3
3
(7-34)
En el sistema métrico
3
q = 1,704E 2
(7-35)
Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específica
dado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.
Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficiales
remontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y en otro caso son arrastradas por la corriente con
una velocidad de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal.
Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales.
Entonces,
c - V = 2,2
c+V=3
De donde,
c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s
A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que
y=
c2
= 0,69 m
g
El gasto es Q =AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s
Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1
y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica como puede fácilmente comprobarse.
(F= 0,15).
Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad es de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si la
onda se produce contra la corriente su velocidad es 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.
341
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
y
q = 2g(E - y) y
VR2
2g
dq
RI
O
q
FR
Vc 2
2g
<
dy
=0
1
3
q = 1,704 E 2
CRISIS
F=1
qmax
2
T
V
2g
E
T
2
y
3
TO
RR
EN
TE
yc =
F<
1
yR
(sección rectangular)
q
yT
q
q < qmax
3
qmax = 1,704 E 2
(sección rectangular)
yT
yR
yR
yT
=
FR2
8
(1 + 1 + 2 )
4
FR
FT2
8
=
(1 + 1 + 2 )
4
FT
Los subíndices R y T se
refieren a río y torrente
Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante
342
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. Presentar una tabla que
muestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en
función del tirante (1,50 > y > 0,10 m).
Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular el
área, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica.
Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación
7-27
yc = 3
q2
= 0,4673 m (0,47 aprox.)
g
En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6
y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23
Vc = gy c = 2,14 m/s
La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de
1 m3/s/m en un canal rectangular.
(2,14)
2
0,4673 +
yc
2g
Vc2 2 g
= 0,7009
E (mínima)
Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento
(ríos y torrentes).
Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).
Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica. (régimen
supercrítico).
Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.
Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos
a)
Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor que
la crítica el régimen es subcrítico).
El número de Froude es menor que 1 y los valores de
dE
son positivos, pero menores que 1.
dy
343
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
y
(m)
E=y
Tirantes alternos
2,00
1,50
(1,46)
0,17 (Número de Froude)
0,18
R
IO
yc
2
1,00
Vc
2g
yc
0,32
3
q = 1 m /s/m
1m
0,69
0,50
(0,20)
0
0,4673
0,2336
CRISIS
1,00
1,26
1,94
3,57
TORRE NTE
45º
1,00
0,50
1,50
2,00
2,50
E (m)
0,7009
1,48
Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3
b)
Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor que
la crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores
de
dE
son negativos.
dy
Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que son
tirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4.
En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica.
En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.
Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m.
En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a
1,05 m.
344
Capítulo VII
TABLA 7.1
EJEMPLO 7.3 ( q = 1 m3/s/m)
y
V
V2
2g
E
F
dE
dy
V2
2g
× 100
E
c
c +V
c −V
1,50
0,67
0,023
1,523
0,17
0,971
1,5
3,83
4,50
3,16
1,46
0,68
0,024
1,484
0,18
0,968
1,6
3,78
4,46
3,10
1,00
1,00
0,051
1,051
0,32
0,898
4,9
3,13
4,13
2,13
0,60
1,67
0,142
0,742
0,69
0,524
19,1
2,42
4,09
0,75
0,4673
2,14
0,2336
0,7009
1,00
0
33,3
2,14
4,28
0
0,40
2,50
0,319
0,719
1,26
-0,588
44,4
1,98
4,48
-
0,30
3,33
0,567
0,867
1,94
-2,764
65,4
1,71
5,04
-
0,20
5,00
1,276
1,476
3,57
-11,745
86,4
1,40
6,40
-
0,10
10,00
5,102
5,202
10,10
-101,01
98,1
0,99
10,99
-
V =
q
y
E = y+
V2
2g
F=
R
I
O
disminuye la energía
REGIMEN
específica
SUBCRITICO
0<
CRISIS
T
O
R
R
E
N
T
E
V
gy
dE
<1
dy
dE
=0
dy
F <1
V2 E
<
2g 3
F =1
Vc2 E
=
2g 3
F >1
V2 E
>
2g 3
V < VC
V = VC
Al disminuir el tirante
aumenta la energía
REGIMEN
específica
SUPERCRÍTICO
dE
<0
dy
V > VC
dE
2E
= 3−
dy
y
y
345
1m
Al disminuir el tirante
c=
gy
Energía específica y momenta
A= y
REGIMEN
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de una
pequeña onda superficial.
En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y de
otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante.
Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y el
tirante crítico yc la siguiente relación
2 y12 y 22
= yc3
y1 + y 2
Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica
y1 +
V2
V12
= y2 + 2
2g
2g
Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene
y1 +
q2
q2
= y2 +
2
2 gy1
2 gy 22
Pero en un canal rectangular
yc = 3
q2
g
Luego,
y1 +
yc3
y c3
=
+
y
2
2 y12
2 y 22
Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a
2 y12 y 22
= yc3
y1 + y 2
En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energía
específica). A modo de comprobación
2(0,20 ) (1,46 )
= 0,1027
1,66
2
2
que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.
346
Capítulo VII
Energía específica y momenta
7.4 Sección parabólica
T
A
yc
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o
la 7-12 que es su equivalente)
Vc = g
A
T
Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 del
área del rectángulo circunscrito
A=
2
y cT
3
reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se
obtiene
Vc =
2
gyc
3
Vc =
2
gyc
3
(7-36)
o bien,
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene
Vc2 yc
=
2g 3
(7-37)
347
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con la
definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene
3
E
4
(7-38)
Vc2 1
= E
2g 4
(7-39)
yc =
Vc 2
2g
1
E
4
3
E
4
yc
E
Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico
En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, en
condiciones críticas.
El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a las
condiciones críticas.
Su expresión para un canal parabólico es
Q=
2
2
y cT
gyc
3
3
Vc
A
3
 2 2
Q =   g 2 T yc2
 3
1
3
Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene
q=
348
Q
T
(7-40)
Capítulo VII
Energía específica y momenta
3
 2 2
q =   g 2 yc2
 3
1
3
(7-41)
De donde, en el sistema métrico
2
yc = 0,701 q 3
(7-42)
El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condiciones
críticas
3
 3 2
q = 1,7039 E 
4 
q = 1,1067 E
3
2
(7-43)
Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es
1
1
1
 27  4  1  4 Q 2
y c =    
1
 64   p  g 4
(7-44)
Considerar que la ecuación de la parábola es x 2 = 2 py
Solución.
La expresión general para las condiciones
críticas viene dada por la ecuación 7-11
y
Q 2 A3
=
g
T
T
( T , yc )
2
Por ser una parábola el área es
A=
x 2 = 2 py
yc
2
ycT
3
Por condición de parábola
x 2 (T 2 )
T2
=
=
2y
2 yc
8 yc
2
p=
x
349
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
De donde,
T = 8 py c
A=
2
y c 8 py c
3
Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44)
1
1
1
 27  4  1  4 Q 2
y c =    
1
 64   p  g 4
que es la expresión propuesta.
7.5 Sección triangular.
T
A
yc
1
z
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o
la 7-12 que es su equivalente).
Vc = g
A
T
En el triángulo el área es
A=
1
y cT
2
Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se
obtiene
350
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Vc =
1
gyc
2
(7-45)
o bien,
Vc =
1
gyc
2
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene
Vc2 yc
=
2g 4
(7-46)
ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.
Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticas
se obtiene
yc =
4
E
5
(7-47)
Vc2 1
= E
2g 5
(7-48)
ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica en
condiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.
Vc 2
2g
1
E
5
yc
4
E
5
E
Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular
351
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.
Q = AV =
1
1
y cT
gyc
2
2
3
 1 2
Q =   g 2 T yc2
 2
1
3
Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial
3
(7-49)
q =Q T
 1 2
q =   g 2 yc2
 2
1
3
de donde, en el sistema métrico
q = 0,7920 E
3
2
(7-50)
o bien,
2
yc = 0,9346 q 3
(7-51)
Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es
0, 2
 2  Q
yc =    
g  z 
0, 4
(7-52)
siendo z el talud.
Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante crítico
en el sistema métrico es
yc = 0,7277 Q 0 , 4
Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en un
canal triangular.
La energía específica es
E = y+
De donde,
352
V2
2g
Capítulo VII
Energía específica y momenta
V = 2 g (E − y )
Designemos por z el talud de la sección triangular. Su área es
A = zy 2
Luego,
Q = AV = zy 2 2 g (E − y )
Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego
dQ
=0
dy
De acá se obtiene inmediatamente
yc =
4
E
5
verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que las
condiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo para
energía constante.
Nota.
En muchos casos en los que aparece la aceleración de la gravedad se ha reemplazado ésta
por su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico.
Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquier
sistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazado
previamente el citado valor de la gravedad.
7.6 Sección trapecial
T
yc
1
z
A
b
353
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)
Vc = g
A
T
En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones
A = (b + zy )y
T = b + 2 zy
que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan
Vc = g
(b + zyc )yc
b + 2 zyc
(7-53)
o bien,
Vc =
b + zyc
b + 2 zyc
gyc
Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidad
crítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante.
Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si
b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad
crítica en una sección rectangular.
Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11
Q 2 A3
=
g
T
se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por
(b + zyc )3 yc3
b + 2 zyc
=
Q2
g
(7-54)
Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe
354
Capítulo VII
Energía específica y momenta
recurrir a tanteos. Si el ancho en la base
b y el talud z son datos, entonces se debe suponer
valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54).
Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el área
del trapecio de la siguiente manera
A=
b +T
yc
2
valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da
Vc = g
b+T
yc
2T
(7-55)
De donde,
Vc2 b + T
E
=
2 g 5T + b
(7-56)
4T
E
5T + b
(7-57)
yc =
Obsérvese que siempre se cumple
2
4T
4
E< E
E<
3
5T + b
5
yc : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo)
2
Vc
2g
b+T
E
5T + b
yc
4T
E
5T + b
E
Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial en
condiciones críticas. (Se observa que es función del talud).
355
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenida
a partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo.
La energía específica es
E = y+
V2
2g
La velocidad es
V = 2 g (E − y )
El gasto es
Q = (b + zy )y 2 g (E − y )
(7-58)
La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)
dQ
=0
dy
Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene
5 zyc2 + (3b − 4 zE )yc − 2bE = 0
(7-59)
que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta
expresión hacemos
b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si
hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular.
Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a
yc =
4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2
10 z
(7-60)
Abaco de Ven Te Chow
Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) que
permite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un método
gráfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximado
y luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54.
Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es
356
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Z=
Se entra al gráfico con el valor de
Q
g
(7-61)
Z
y
y se obtiene el valor de c para cada valor del talud
b 2,5
b
z , (Figura 7.9).
Z
b
2,5
z
yc
yc
b
b
Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un canal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la base
es de 0,50 m. El talud es 3.
Solución. Si partimos de la expresión general
A3 Q 2
=
se tiene, luego de reemplazar el gasto, que
T
g
A3 = 10,2T
Luego,
A = (b + zy c )y c = (0,5 + 3 y c )y c
T = 0,5 + 6 yc
(0,5 y
+ 3 y c2 ) = 10,2(0,5 + 6 y c )
3
c
Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndo
el valor del tirante crítico yc = 1,098 ≈ 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación y
análisis, otros valores
357
b
0,001
0,01
(Secciones trapeciales)
2,5
0,1
1
100
10
10
8
6
r)
ula
ng
a
t
c
,5
,0
(re
0,5 = 1 z = 1
0
z
z=
=
z
y
1
z
4
3
z = 2,0
z = 2,5
z = 3,0
z = 4,0
b
2
1,0
0,8
0,6
cir
c
r
ula
0,4
0,3
0,2
yc
Hidráulica de tuberías y canales
358
Z
b
ó
yc
D
0,1
0,08
0,06
D
y
0,04
0,03
0,02
2
0,0001
3
4 5 67 9
0,001
2
3
4 5 67 9
0,01
2
D
2,5
4 5 67 9
0,1
2
3
0,01
4 5 67 9
1
(Secciones circulares)
Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)
2
3
4 5 67 9
10
Arturo Rocha
Z
3
Capítulo VII
Energía específica y momenta
A = 4,18 m2
Vc = 2,39 m/s
E = yc +
Vc2
= 1,39 m
2g
Vc2
= 0,29 m
2g
Obsérvese que también se cumple que Vc = gd c
dc =
A
= 0,59 m
T
Vc = 9,8 × 0,59 = 2,40 m/s
Se aprecia que y c = 0,79 E valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a
este último, pues la figura es casi triangular.
También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.
Entonces,
Z=
Q
= 3,19
Z
= 18
b 2,5
yc
= 2,2
b
yc = 1,10 m
g
De donde, (Figura 7.9),
A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47,
7-48 y 7-60.
Línea de energía
1
0,29 m
21 % E
1,10 m
79 % E
E = 1,39 m
3
0,50 m
359
Hidráulica de tuberías y canales
360
TABLA 7.2
SECCIONES CRITICAS ( E
= yc +
Vc2
)
2g
(Sistema métrico)
yc
TIRANTE CRITICO
RECTANGULO
PARABOLA
TRIANGULO
TRAPECIO
2
E
3
3
E
4
4
E
5
4T
E
5T + b
0,467q
2
3
0,701q
2
3
0,935q
1
Vc2
2g
VELOCIDAD CRITICA
Vc
qmax
GASTO MAXIMO
2
2T 3
q
b +T
 Q 5
0,728 
z
4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2
10 z
1
E
3
1
E
4
1
E
5
T +b
E
5T + b
gyc
0,816 gyc
0,707 gyc
T +b
gyc
2T
1,704 E
3
2
1,107 E
3
2
0,792 E
T
3
 b + T  2 32
8,854
 E
 5T + b 
3
2
T
T
Q
T
yc
yc
x 2 = 2 py
yc
1
z
yc
1
z
b
Arturo Rocha
T
q=
0,467
 1 4
0,456  Q 2
 p
1
ENERGIA DE VELOCIDAD
2
2
3
Capítulo VII
Energía específica y momenta
7.7 Sección circular y otras secciones
Como en cualquier sección transversal
las condiciones críticas vienen dadas por
la ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos la
primera de ellas
D
Q 2 A3
=
g
T
yc
θ
En una sección circular el área es (ec.
6-37)
A=
r2
(θ − sen θ )
2
Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene
dA r (1 − cosθ )
=
θ
dy
sen
2
T=
(7-62)
Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11.
Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene
θ r 5 (θ − sen θ )
θ
Q 2 r 6 (θ − sen θ )
sen =
sen
=
8 r (1 − cosθ )
2 8 (1 − cosθ )
2
g
3
Haciendo r =
3
D
2
2
5
Q
D
= 8
g
2
(θ − sen θ )3  sen θ 
2

(1 − cosθ )
(7-63)
Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a
Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir
361
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
1 − cos θ
θ
= 2 sen
θ
2
sen
2
(7-64)
Luego,
g (θ − sen θ )2
3
Q=
24
θ

2  sen 
2

5
(7-65)
D2
1
2
En el sistema métrico
(θ − sen θ )2
Q = 0,1383
3
θ

 sen 
2

1
2
D
5
2
(7-66)
Esta última expresión es la que da las condiciones críticas en una tubería circular parcialmente
llena, la que hidráulicamente es un canal.
Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente
ángulo θ que da condiciones críticas.
El tirante crítico es
yc =
D
θ
1 − cos 
2
2
(7-67)
La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función
Q
D
5
2
= φ (θ )
(7-68)
El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico da
también las condiciones críticas para otros conductos abovedados.
El gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) puede también emplearse.
362
3
Capítulo VII
2
1
4
D/2
D
D
D
D/2
y
y
D
y
yc
y
D/2
D
4
1,50
5
6
4
1,25
3
1
1,00
0,75
4
1 3
2
0,10
0,20
0,30
4
5
6
0,30
2
0,50
0,20
0
0
1
2
3
363
Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas
Q
D
5/2
Energía específica y momenta
0,10
0,25
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diámetro es de 1 m. Calcular
a)
b)
c)
d)
tirante crítico
velocidad crítica
energía mínima
ángulo en el centro
Solución. Vamos a usar la Figura 7.10
Q
D
=2
5
2
o
o o
yc = 0,81 m
A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente
yc =
θ
D
1 − cos 
2
2
0,81
θ
= 1 − cos
0,5
2
θ = 256º 38’
θ = 4,4791 rad
El área es
A=
r2
(θ − senθ ) = 0,25 (4,4791 + 0,9729)
2
2
A = 0,6815 m2
Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7
y
= 0,81,
D
A
= 0,6815
D2
o
o o
A = 0,6815 m2
o
o o
Vc2
= 0,44 m
2g
La velocidad crítica es
Vc =
Q
2
=
= 2,93 m/s
A 0,6815
La energía mínima es E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m
Hay también la posibilidad de usar el ábaco de Ven Te Chow
Z=
Q
g
= 0,64 ;
Z
D
5
2
= 0,64
o
o o
yc = 0,80 m
Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre es
aplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no exista
gráficos especialmente preparados.
364
Capítulo VII
Energía específica y momenta
7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica
Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de las
condiciones críticas.
Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puede
conseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.
En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener un
régimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimiento
y, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal.
Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igual
al tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica.
Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variaciones
de la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Se
produce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”.
Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libre
mayor.
Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que una
condición de diseño sea


A 
V2 
 y +
 ≥ 1,05 yc + c 
2g 
2Tc 


(7-69)
Cambiando la notación se podría escribir
d 

E ≥ 1,05 yc + c 
2

(7-70)
La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de la
velocidad normal. (Manning, Chezy, etc).
Vc = g A T
2
1
R3S 2
V=
n
Igualando ambas expresiones se obtiene
365
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
2
1
R 3 Sc2
= gAT
n
de donde,
Sc = g
A n2
T 43
R
(7-71)
que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning.
Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente crítica
sería
Sc =
g P
C2 T
(7-72)
En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al
ancho superficial, P = T .
entonces la ec. 7-72 queda reducida a
Sc =
pero, f =
g
C2
8g
8g
2
, de donde, C =
, siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego,
2
f
C
Sc =
f
8
(7-73)
Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. La rugosidad es de
0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal?
Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es
Vc = gy c (ec. 7-19)
Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debe
ser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea crítico
y sea normal.
366
Capítulo VII
Energía específica y momenta
2
1
R3S 2
= gy c
n
De donde,
El tirante crítico es según la ec. 7-27
yc = 3
q2
= 0,92 m
g
El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene
Sc =
gy c n 2
R
4
3
9,8 × 0,92(0,018)
2
=
(0,46)
4
3
= 0,0082
S c = 0,0082
Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes.
Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme,
cuyo tirante es igual al tirante crítico.
Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico).
Ejemplo 7.9 En un canal de concreto
frotachado el gasto es de 3,86 m3/s. La
sección transversal es la mostrada en la
figura. Calcular: a) el tirante crítico y la
energía específica correspondiente, b) la
pendiente para que se establezca un flujo
crítico normal.
T
A
yc
45º
Solución.
a)
La condición general de crisis es
A=
A3 Q 2
=
= 1,5204
T
g
1
1
y cT = y c2
2
2
T = yc
De donde,
y6
y5
A3
= c = c
8 yc
8
T
367
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
yc5
= 1,5204
8
yc = 1,648 ≈ 1,65 m
o
o o
Vc =
Q 3,86
=
= 2,84 m/s
A 1,358
V2
= 0,412 ≈ 0,41 m
2g
E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m
4
E
5
E
5
(por ser sección triangular)
Podría emplearse la ecuación 7-52,
0,2
 2  Q
y c =    
g  z
0,4
2
=  
g
0,2
0,4
 3,86 

 = 1,648 ≈ 1,65 m
 0,5 
siendo,
z=
b)
z1 + z 2 0 + 1
=
= 0,5
2
2
S es Sc cuando la velocidad correspondiente es la crítica
2
1
R 3 S c2
Vc = V =
n
P = y c + y c 2 = 3,9835 m
R=
A 1,3613
=
= 0,3417 m
P 3,9835
 12 
 Sc 
 
0,015
(0,3417)
Vc = 2,84 =
Obteniéndose finalmente,
Sc = 0,0076
368
2
3
Capítulo VII
Energía específica y momenta
7.9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, S L )
En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente crítica
correspondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección,
una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( S L ).
Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interés
práctico se presenta acá como una contribución al esclarecimiento teórico.
Examinemos en primer lugar un canal rectangular.
En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)
A n2
Sc = g
T 43
R
Para un canal rectangular es
Sc =
gn 2
4
(b + 2 yc )3
=
4
1
b3
yc3
La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de
(7-74)
dS c
=0
dyc
Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y , igualar a cero y resolver se obtiene
b = 6 yc
(7-75)
P = 8 yc
(7-76)
de donde,
R=
b 3
= yc
8 4
(7-77)
que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente
límite
SL .
Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a
SL =
8 gn 2
3 13
b
(7-78)
369
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces
SL =
4g
3C 2
(7-79)
si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2), f =
SL =
8 g se llega a
C2
f
6
(7-80)
El gasto que corresponde a la pendiente límite es
Q=6 gy
5
2
c
(7-81)
Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es
(ec. 7-71)
4
S c = gn
2
P3
1
A 3T
La pendiente límite se obtiene a partir de
dS c
= 0 , teniendo en cuenta que
dyc
P = b + 2 1 + z 2 yc
A = (b + zyc )yc
T = b + 2 zyc
Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones
A=
T2
4T dP
dT
−3
P dy
dy
(7-82)
que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en
esta última expresión se hace z = 0 se obtiene A = 6 yc2 que es lo correcto para un canal
rectangular.
370
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es
0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.
Solución. La pendiente límite SL, es decir la menor pendiente crítica posible es
S L = 2,67
(ec. 7-78)
gn 2
1
= 0,0038
b3
Luego,
yc =
yc =
(ec. 7-81)
q2
g
b
= 0,40 m
6
q = gy c3 = 0,792 m3/s/m
o
o o
Q = 1,9 m3/s
Vc = gy c = 1,98 m/s
Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales)
2
1
R3S 2
= 1,98 m/s
V=
n
1
R6
= 58,4 m1/2/s
C=
n
f =
SL =
8g
= 0,0229
C2
0,0229
= 0,0038
6
7.10 Transiciones
Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de la
superficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambio
puede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondo
ascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho del
canal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para el
estudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es
371
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
despreciable. En consecuencia cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dos
secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es
y1 +
siendo
V2
V12
= y2 + 2 + a
2g
2g
(7-83)
a la altura de una grada (positiva o negativa). La grada positiva significa una disminución
de la energía específica y la grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse
la ecuación de continuidad.
V1 A1 = V2 A2 = Q
Si no existiera una grada de fondo, entonces
a = 0 . Si el ancho es constante y el cambio de
la superficie libre se origina en una grada se observa en las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 los
perfiles, esquemáticos, de la superficie libre en varios casos.
La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específica
significa una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Por
el contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos y
una disminución en los torrentes.
El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el que
corresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)
Curva E − y para diferentes caudales
Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una
familia de curvas E − y . Es evidente que para el caso particular de un canal rectangular la
recta que une el origen con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada
vértice corresponde a la condición crítica del respectivo caudal).
372
Capítulo VII
Energía específica y momenta
V12
2g
Línea de energía
y
2
V2
2g
E1
E2
y1
q
y1
y2
yc
y2
a
45º
E2
E
a
E1
Río (subcrítico, V <Vc )
y1 > y c
E 1 (Energía específica antes de la grada)
y1 +
2
Ecuación de la energía (1-2)
Luego,
Del gráfico de la energía específica
V1
2g
En un río una disminución de la
E1 = E 2+ a
energía específica, a gasto constante,
E 2< E
implica una disminución del tirante.
1
y2 < y 1
Figura 7.11 Grada positiva en un río
2
Línea de energía
V2
2g
q
y2
y
2
V1
2g
E1
y1
yc
E2
a
y2
y1
45º
E1
E2
Río (subcrítico, V <Vc )
y1 > y c
E 1 (Energía específica antes de la grada)
y1 +
a
E
2
Ecuación de la energía (1-2)
V1
2g
E 1= E 2- a
Luego,
E 2> E
En un río un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica un aumento del tirante.
1
2
E2
y2 +
Del gráfico de la energía específica
V2
2g
y 2> y 1
Figura 7.12 Grada negativa en un río
373
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
y
Línea de energía
V22
2g
V12
2g
E2
E1
yc
y2
q
y1
y1
y2
a
45º
E2
a
E
E1
Torrente (supercrítico, V >Vc )
y1 < yc
E 1 (Energía específica antes de la grada)
Ecuación de la energía (1-2)
V12
y1 + 2 g
En un torrente una disminución de la
energía específica, a gasto constante,
E1 = E2 + a
Luego,
implica un aumento del tirante.
E2< E 1
Del gráfico de la energía específica
y2 > y 1
Figura 7.13 Grada positiva en un torrente
y
Línea de energía
2
V1
2g
E1
y1
V22
2g
E2
yc
q
y1
y2
y2
a
45º
E1
a
E2
Torrente (supercrítico, V >Vc )
y1 < y c
E 1 (Energía específica antes de la grada)
y1 +
2
Ecuación de la energía (1-2)
Luego,
V1
2g
E 1= E 2 - a
E 2> E 1
Del gráfico de la energía específica
En un torrente un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica una disminución del tirante.
y2 < y 1
Figura 7.14 Grada negativa en un torrente
374
E
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Línea de energía
y
V2
2g
E
V1
2g
Vc 2
2g
RI
O
2
y2
ENTE
TORR
RI
O
2
E min
yc
q
y1
a max
TORRENTE
45º
E min
a max
E
E
Si a es máximo, la energía
específica
C
E = E min+ a max
2
sobre la grada debe ser mínima
E min= y c +
Vc
2g
El máximo valor de la grada, sin alterar
las condiciones aguas arriba, corresponde
a condiciones críticas (energía mínima).
Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva
y
E=y
q1 < q2 < q3
Emin (3)
pendiente = 2/3
(canal rectangular)
Emin (2)
Emin (1)
q3
q2
q1
45º
3
2
1
E=y+
V2
2g
Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales
375
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (grada
positiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libre
desciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energía
específica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo
gasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?.
Solución.
4,0 m
q1 = 3,41 m3/s/m
3,0 m
q2 = 4,55 m3/s/m
y
Línea de energía
0,08 m
0,10 m
1,06 m 0,53 m
2,63 m
2,88 m
2,80 m
2,45 m
Q
yc
2,80 m
3
= 13 ,64 m /s
yc
2
= 1,28 m
= 1,06 m
1,06 m
1
45º
1,59 m
0,25 m
E
2,88 m
Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m,
respectivamente
2,80 +
V12
V2
= 2,45 + 2 + 0,25
2g
2g
Por continuidad,
V1 =
Q
Q
Q
=
=
A1 4 y1 11,2
V2 =
Q
Q
=
3 y 2 7,35
Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene
Q = 13,64 m3/s
Efectuando las operaciones indicadas se tiene que
V1 = 1,22 m/s;
376
V2 = 1,86 m/s;
V12
= 0,08 m;
2g
V22
= 0,18 m
2g
Capítulo VII
Energía específica y momenta
De donde,
E1 = y1 +
V12
= 2,88 m
2g
E2 = y2 +
V22
= 2,63 m
2g
Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos
F1 = 0,23 ;
y c = 1,06 m ;
1
F2 = 0,38 ;
y c = 1,28 m
2
Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.
El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es
3
1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es y c , o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía
2
es
E1 = E min + a max
2,88 = 1,92 + a max
a max = 0,96 m
La depresión de la superficie libre es 0,56 m
7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energía
específica
Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay un
cambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado,
y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.
En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la
caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a
Emin , (lo que ocurre teóricamente
sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas).
Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento de
energía.
Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante crítico
que se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobre
el plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable la
suposición de una distribución hidrostática de presiones.
377
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 veces
el tirante sobre la grada.
El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de
3 yc a 4 y c ,
aproximadamente, aguas arriba de la grada.
y
ENERGIA
MINIMA
yc
E
E min
≈ 3,5y
c
Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía
Específica
7.12 Fuerza Específica (Momenta)
La segunda Ley del movimiento
de Newton dice que el cambio
de la cantidad de movimiento por
unidad de tiempo es igual a la
resultante de las fuerzas
exteriores.
Consideremos un canal con un
flujo permanente cualquiera y un
volumen de control limitado por
dos secciones transversales 1 y
2, la superficie libre y el fondo
del canal, tal como se ve en la
Figura 7.18.
2
1
Q
P1
y1
Wsenθ
y2
P2
Ff
L
Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación
de la Fuerza Específica.
Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton)
entre las secciones 1 y 2 se obtiene
ρ Q (β 2V2 − β1V1 ) = P1 − P2 + Wsenθ − F f
378
(7-84)
Capítulo VII
Energía específica y momenta
ρ densidad del fluido; Q gasto; β coeficiente de Boussinesq; V
velocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; F f fuerza debida a la fricción; θ ángulo
que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W sen θ componente del peso en la
dirección del escurrimiento; ‘’ y ’’ tirante.
expresión en la que:
En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que es
válido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmente
variado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cada
una de ellas sea aplicable la ley hidrostática.
Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía.
En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, en
tanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna.
Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el
volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que
β1 = β 2 = 1 . Entonces la
ecuación 7-84 se reduce a
ρ Q(V2 − V1 ) = P1 − P2
La fuerza hidrostática P es
γ yA ,
siendo
(7-85)
y la profundidad del centro de gravedad.
Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos
reemplazos se llega a
Q2
Q2
+ y1 A1 =
+ y 2 A2
gA1
gA2
(7-86)
Como los dos miembros son análogos se puede escribir
Q2
+ y A = constante = Fuerza Específica = Momenta
gA
(7-87)
que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta.
Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmente
una fuerza por unidad de peso de agua.
379
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Q2
es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y
gA
por unidad de peso.
y A es la fuerza hidrostática por unidad de peso.
A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta (F. E. ó M.)
El gráfico de la Fuerza Específica es
ec. 7-87
y
Tirante
F. E. mínima
O
RI
y2
yc
TORRENTE
y1
M
F. E.
Fuerza específica
(Momenta)
Figura 7.19 Fuerza Específica
Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles
y1 e y2 . Los
tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados.
En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo
d (F .E.)
Q 2 dA d (y A)
=− 2
+
=0
dy
gA dy
dy
De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que
380
Capítulo VII
Energía específica y momenta
V2 d
=
2g 2
que se puede comparar con la ecuación 7-14.
Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde a
condiciones críticas.
Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puede
examinar un canal rectangular en el que
Q = bq ; A1 = by1 ; A2 = by2
y1 =
siendo
y2
y1
; y2 =
2
2
b el ancho del canal.
Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunas
simplificaciones a
q2 1
= y1 y2 ( y1 + y2 )
g 2
(7-88)
Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es
yc = 3
q2
g
valor que sustituido en 7-88 nos da
yc3 =
Siendo
1
y1 y 2 ( y1 + y 2 )
2
(7-89)
y1 e y2 tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).
381
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
7.13 Salto hidráulico
El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con gran
disipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.
Línea de energía
h f = (∆E)1-2
2
V2
2g
2
E1
V1
2g
RIO
TORRENTE
y2
TO
SAL
y1
E2
(F .E.)1 = (F .E.)2
E1 = E2 + h f
Figura 7.20 Salto hidráulico
La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto
son tirantes conjugados. La energía específica disminuye de
E1 a E2 .
Salto hidráulico en un canal rectangular
Partimos de la ecuación 7-88
q2 1
= y1 y2 ( y1 + y2 )
g 2
Se divide ambos miembros por
y13 , y luego de algunas sustituciones se llega a
V12 1 y2  y2 
1 + 
=
gy1 2 y1 
y1 
De donde,
F12 =
382
1 y2  y2 
1 + 
2 y1 
y1 
y1 e y2
Capítulo VII
Energía específica y momenta
De acá se obtiene una ecuación en
y2
y1
2
 y2 
y
  + 2 − 2 F12 = 0
y1
 y1 
Resolviendo esta ecuación se obtiene
y2 1
=
y1 2
( 1 + 8F − 1)
2
1
(7-90)
Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los
tirantes conjugados
y 2 es función exclusiva del número de Froude incidente,
y1
y2
= ϕ (F1 )
y1
Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico.
Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es que
hay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud.
El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas de
corriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el paso
violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico.
El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de la
velocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo que
se traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también la
incorporación de aire a la masa líquida.
El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo.
Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchas
simplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representación
esquemática, del modo como ocurren los fenómenos.
Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectos
de las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promedio
temporal son en este caso de poca utilidad.
383
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valores
tan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de la
estructura.
Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo,
Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar la
atención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación las
solicitaciones variables”.
Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuencia
y amplitud.
Tipos de salto
En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue los
siguientes tipos de salto
F =1
Flujo crítico, no hay salto
1 < F < 1,7
“salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)
1,7 < F < 2,5
“salto débil”. La disipación de energía es pequeña
2,5 < F < 4,5
“salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales
4,5 < F < 9
“salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)
F >9
“salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)
Pérdida de energía en el salto
La perdida de energía en el salto hidráulico se define así

V2 
V2  
h f =  y2 + 2  −  y1 + 1 
2g  
2g 

(7-91)
expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñas
transformaciones a
∆E = h f = E1 − E2
384
3
y2 − y1 )
(
=
4 y1 y2
(7-92)
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Eficiencia
Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica después
del salto y la que hay antes de él.
(
)
(
3
E2 8 F12 + 1 2 − 4 F12 + 1
=
E1
8 F12 2 + F12
)
(7-93)
La pérdida de energía relativa es
1−
E 2 ∆E
=
E1
E1
(7-93a)
Altura del salto ( hi )
La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto
( hi
= y2 − y1 )
Se demuestra fácilmente que
1 + 8 F12 − 3
hi
=
E1
F12 + 2
(7-94)
Longitud del salto ( L )
La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude,
etc.). Aproximadamente se tiene que
L = 6,9( y2 − y1 )
(7-95)
En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques.
Oleaje
En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y
periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como
H S a la altura
significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que
HS 1
= (F1 − 1)
y1 6
Para
(7-96)
F1 ≤ 7
385
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplos de salto hidráulico
Línea de energía
a)
h f = E1 - E2
2
V22
2g
V1
2g
y2
y1
Rápida
Para vencer un desnivel se construye una
rápida. Al final de ella debe disiparse
yn
Canal
la energía. El salto hidráulico actúa como
un disipador de energía
Colchón
Dispipador
L
b)
En un río se costruye una presa derivadora
Oleaje
Vertedero
(barraje) para elevar el nivel del agua
yn
y2
y1
en época de estiaje. La energía se disipa
por medio de un salto hidráulico.
c)
Si en un canal se coloca una compuerta
Compuerta
Línea de energía
que deja una abertura en la parte inferior
se produce aguas abajo un salto hidráulico.
E
y1
a
y2
yn
En la figura se observa el llamado
salto hidráulico libre.
d)
Si el tirante normal aguas abajo es mayor
que y2 se produce el llamado salto
yS
y1
(yn es el tirante normal aguas abajo)
386
yn
hidráulico ahogado.
Capítulo VII
Energía específica y momenta
7.14 Descarga por una compuerta de fondo
Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo a
través de una compuerta plana de fondo.
Línea de energía
V12
2g
V22
2g
y1
a
E
y2
Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo
Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga.
La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuerta
debe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.
Sea
a la abertura de la compuerta, cc el coeficiente de contracción. Entonces y2 = cc a . La
ecuación de la energía específica es
y1 +
V2
V12
= y2 + 2
2g
2g
Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad
V1 A1 = V2 A2 = Q
Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta.
Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta
y1 +
V12
V2
= y2 + 2 + h f
2g
2g
En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.
La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las
387
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
condiciones de aguas abajo. Ellas son
a) No se forma salto
b) Se forma un salto libre
c) Se forma un salto sumergido (ahogado)
Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para el
análisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta en
un canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión
 y 
ys
= 1 + 2 F22 1 − 2 
y2
 y1 
Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y1 la abertura de la compuerta, y2 el
tirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F2 el número de Froude aguas abajo del
salto. Despréciese la fricción en el canal.
Solución. Por continuidad, V1 y1 = V2 y 2 . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 785) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).
P1 − P2 = ρ Q(V2 − V1 )
Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene
γ
1
γ (y s2 − y 22 ) = V2 y 2 (V2 − V1 )
2
g
Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a
1  y s2  γ V2
(V2 − V1 )
γ  − 1 =
2  y 22  g y 2
 V
y s2
− 1 = 2 F22 1 − 1
y 22
 V2
Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.
388



Capítulo VII
Energía específica y momenta
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VII)
1.
En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirante
crítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones 7-25
y 7-26.
2.
Demostrar que en un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas debe
tener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.
3.
En un canal rectangular se tiene los siguientes datos
Q = 12 m3/s ;
b =6m;
S = 0,315 %o ;
n = 0,0125
Calcular
a) El tirante normal
b) La energía específica correspondiente al flujo uniforme
c) El gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b
Verificar que se cumple la ecuación 7-14.
4.
En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentes
valores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente para
q = 4 m3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido?
5.
Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será la
pendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando el
gasto sea de 6 m3/s?
Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en él?
(¿río o torrente?) ¿Por qué?
6.
En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer una piedra
en el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguas abajo, de las
ondas superficiales producidas.
7.
Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos
y1 e y 2 la siguiente
relación
y1 F22 + 2
=
y2 F12 + 2
389
Hidráulica de tuberías y canales
8.
Arturo Rocha
Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente crítica es
24,69
n2
y
9.
1
3
c
=
f
4
( g = 9,8 m/s2)
Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistema
métrico, las siguientes ecuaciones
3
2
c
a)
qmax = 3,13 y
b)
2
Vc = 3,13 yc2 = 2,56 Emin
1
1
c) E min = 0,7 3 q max
2
2
d) yc = 0,467 3 qmax
e) Vc = 2,14 3 qmax
2
10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es la
ecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.
x 2 = 16 y , la energía
11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es
específica mínima es 0,3611 Q1 2
12. Hallar el tirante crítico para el canal
mostrado en la figura. El gasto es
de 8 m3/s. ¿Cuál es la energía que
corresponde a las condiciones
críticas?. Demostrar que se
cumplen las ecuaciones 7-14, 7-56
y 7-57.
yc
45º
13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente
60º
2,20 m
C de Chezy igual a 55 m1/2/s y
conduce un gasto de 10 m3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para que pendiente
se establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estas
condiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s. ¿Qué tipo de flujo se
establecerá?.
14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m, z = 2,
n = 0,017). Calcular la
pendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a la
energía cinética?. Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.
390
Capítulo VII
Energía específica y momenta
15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal
mostrado en la figura para que se
produzca un movimiento uniforme
yc
con el mínimo contenido de energía
45º
para un gasto de 3,5 m3/s, y sabiendo
que la rugosidad del contorno
corresponde a
G = 0,46 en la fórmula
3,00 m
de Bazin?.
Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujo se
presentaría con la pendiente crítica calculada.
16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud del
canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del punto
B es 863,70 m. El gasto es de 10 m3/s. Considerar que el coeficiente
n de Kutter es 0,020.
Calcular
a) el tirante normal
b) el tirante crítico
c) la pendiente crítica
d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente
(Las cotas están medidas sobre la superficie libre).
17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto
( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima
eficiencia hidráulica, hallar
a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía
b) la energía especifica cuando el gasto sea de 15 m3/s
18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s
a) establecer si este flujo es un río o un torrente
b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico?
(Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m)
19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.
20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m3/s.
Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.
391
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
21. Calcular la altura de río y de torrente que
podrían producirse en el canal cuya sección
aparece en la figura, para un gasto de 6,5 m3/
s y una energía específica de 3,14 m. Calcular
1
también para cada uno de los dos regímenes,
el número de Froude y el correspondiente
0,25
dE dy en la curva E − y . Dibujar
la curva E − y y verificar todos los valores
valor de
1,00 m
calculados, así como las condiciones críticas.
22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de 30
m3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?.
23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es
0, 2
 2  Q
yc =    
g  z 
(ec. 7-52)
0, 4
24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s. ¿Cuál es la energía
específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma energía el gasto es
máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto máximo sea de 321,8 l/s?.
25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es
Vc = 1,8883 Q 0, 2
n de Kutter
yc
1:
1
coeficiente
1:2
1
1:
26. Para el canal mostrado
en la figura ¿Cuál es el
tirante crítico para un
gasto de 12 364 l/s?
¿Cuál debe ser el
90º
1,50 m
para que con una
pendiente de 0,0022 se
establezca un flujo
crítico normal?.
27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s, con un tirante de
1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de los regímenes,
el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto mencionado.
Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación hacer el cálculo con
el ábaco de la Figura 7.10.
392
Capítulo VII
Energía específica y momenta
28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de 6 m3/s
con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado para que el
tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?.
29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río y
torrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que
yT FR2 
8 
=
+
+
1
1
yR
FR2 
4 
o bien,
F=
V
gy
8 
y R FT2 
1 + 1 + 2 
=

4 
yT
FT 
FR y FT son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando FR = FT =1?
30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho, por
medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna alteración.
El gasto es de 2,1 m3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar el tirante en la
primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. Dibujar el perfil de
la superficie libre.
31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es 2,75 m/
s se desea saber cual debe ser la sobre elevación de una grada de fondo para que se produzca un
régimen crítico.
32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es la máxima
sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones de aguas
arriba. El tirante normal es 2,50 m.
33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal se produce
un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor que el que hay
después del resalto, hallar
a) tirante crítico
b) tirante antes del resalto
c) tirante después del resalto
d) la fuerza específica (momenta)
e) la energía disipada en el resalto
f) la potencia del resalto en HP
393
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipación
de energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirante
después del salto y el gasto.
35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % de
la energía. Si el gasto es de 20 m3/s, hallar los tirantes antes y después del salto.
36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el que se
produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son
y1 e y2 se cumple que
1 + 8F12 − 3
y2 − y1
=
E1
F12 + 2
siendo
E1 y F1 la energía específica y el número de Froude antes del salto.
37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que deja en
el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta es
de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. No considerar
la fricción.
38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical que
descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma un resalto.
Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular
a)
b)
c)
d)
el caudal
la fuerza sobre la compuerta
la altura conjugada del resalto
la energía disipada
e) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015)
f) la altura y la eficiencia del salto
No considerar la fricción.
39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas
a) E − y
para q = 5 m3/s/m
b) F .E. − y
para q = 5 m3/s/m
c) q − y
para E = 4 m
Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 0 ≤ y ≤ 2,80 m
valores de ∆y = 0,50 m.
40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es
q2 1 2
+ y
gy 2
394
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
CAPITULO
VIII
MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO
8.1 Introducción
El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (calado
o tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varía
de una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que las
pendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimiento
gradualmente variado estas tres pendientes son diferentes.
El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canales
hechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real es
que a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidad
y alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no es
uniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimiento
gradualmente variado.
La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con los
estudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta a
continuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.).
La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente
La pérdida de carga en una sección es la misma que
correspondería a un flujo uniforme que tuviese la misma
velocidad y radio hidráulico que la sección mencionada.
La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning, Chezy,
395
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de un
movimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras.
Las principales son las siguientes
i)
La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica un
flujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variación
del tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe ser
pequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que el
tirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado.
Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferencia
de la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1.
M
M
P'
P
N
P'
P
N
Flujo cóncavo
Flujo convexo
M
P
N
Flujo uniforme
Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo
En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, tal
como se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas de
corriente no tienen curvatura y por lo tanto no hay componentes de la aceleración normales
a la dirección de la corriente.
Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la dirección
de la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a la
línea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario a
la gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. En
el flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1.
396
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
ii)
El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométrica
definida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río no
es un ‘‘canal prismático’’.
iii)
El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente del
tirante.
iv)
La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolis
es constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que la
velocidad media varía.
v)
La pendiente del canal es pequeña, de modo que
a)
La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondo
del canal.
b)
No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande la alta velocidad
da lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose,
eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmente
para velocidades mayores de 6 m/s.
En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en un
punto de la corriente.
y y cos2 θ
y cosθ
θ
Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente.
Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporado
y, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical o
normalmente al fondo.
vi)
El factor de sección Z y el factor de capacidad K son funciones exponenciales del
tirante.
397
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El factor de sección Z se define de la siguiente manera
Z=A d
siendo
(8-1)
d = A T , de acá que el factor de sección pueda también expresarse así
Z=
A3
T
(8-2)
A es el área de la sección transversal y T es el ancho superficial.
Para la definición del factor de capacidad K hay que recordar que en el cálculo del
movimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes
V = CR X S Y
(8-3)
Q = CAR X S Y
(8-4)
Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente
S
es 1/2. Luego,
1
Q = CAR X S 2
(8-5)
K
Se denomina K , factor de capacidad, a la expresión CAR X . En consecuencia,
K = CAR X
(8-6)
Como K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de la
capacidad de conducción de la sección transversal. De la última expresión se deduce
inmediatamente que
1
Q = KS 2
(8-7)
Luego,
K=
398
Q
1
S2
(8-8)
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
Si se utiliza la ecuación de Chezy, entonces,
K = CAR 2
1
(8-9)
Si se utiliza la ecuación de Manning,
2
AR 3
K=
n
(8-10)
8.2 Definiciones fundamentales
Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto, pendiente,
rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante se
denomina normal ( y n ).
En un canal, o río, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (y
por lo tanto la velocidad media de la corriente).
Así por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa en un río, la
corriente se eleva y por lo tanto se aparta de las condiciones normales. Su tirante se hace
mayor que el normal. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimiento
gradualmente variado. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque su
tirante es mayor que el normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva de
remanso, (Figura 8.3).
Podría se también que en un canal o río haya una caída brusca. En el plano de la caída la
energía es mínima, y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. El río que viene de aguas
arriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico. Aparece así una
corriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal, tal como se ve en la
Figura 8.3.
Eje Hidráulico
y
Vertedero
yn
Corriente peraltada y > yn
yn
y
yc
Corriente deprimida y < yn
Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida
399
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado.
Cuando un canal o río desemboca en el mar, las mareas producen alternadamente corrientes
peraltadas y deprimidas. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’,
entre los respectivos tirantes normales, produciéndose así un movimiento gradualmente variado.
Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otras
definiciones.
Ríos y torrentes. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente.
En un río, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico. En cambio,
en un torrente es menor.
y
yc
yc
y
Río ( y > yc )
Torrente ( y < yc )
Figura 8.4 Ríos y torrentes
En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media de
la corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo tanto, los ríos dependen de las condiciones
de aguas abajo. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo.
Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificación que se refiere al lecho. Son pendientes
suaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico. Son pendientes fuertes
los lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico.
A las pendientes suaves se les denomina también tipo M, del ingles mild, y a las pendientes
fuertes, tipo S, del ingles steep.
yn
yc
Pendiente suave (tipo M) yn > yc
yc
yn
Pendiente fuerte (tipo S) yn < yc
Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes
400
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y pendientes fuertes
los que dan torrentes.
Si varía la rugosidad del contorno, conservándose constantes las otras características, un
lecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o viceversa.
Nótese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave),
puede escurrir un río o un torrente.
La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimiento
crítico en movimiento uniforme.
Zonas
En función de la posición relativa (magnitud) que tiene el tirante crítico
yc , el normal y n , así
como el del movimiento gradualmente variado y , se distingue tres zonas
y > yc
Zona 1
Zona 2
Zona 3
y > yn
yc < y < y n
El tirante del movimiento gradualmente variado y es mayor
que el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal.
yn < y < yc
El tirante del movimiento gradualmente variado y está
comprendido entre el crítico y el normal.
y < yc
El tirante del movimiento gradualmente variado y es menor
y < yn
que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal.
8.3 Ecuación general del movimiento permanente gradualmente
variado
Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado,
que se presenta en un canal prismático con gasto constante Q , tal como se aprecia en la
Figura 8.6. La energía total H es
H=
V2
+ y+z
2g
(8-11)
Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondo
es pequeña.
401
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
(1)
V2
2g
(2)
SE
Línea de energía
H
SW
y
Superficie libre
S0
z
Fondo
dx
θ
x
Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado
dH
, siendo x la ordenada en la dirección
dx
de la corriente. Derivando la energía total H con respecto a x se tiene
La variación de esta energía a lo largo del canal es
V 2

d  + y + z
2g
dH

= 
dx
dx
(8-12)
La pendiente
S 0 del fondo se define como el seno del ángulo θ .
La pendiente
S E de la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la de
Manning.
La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa si
asciende en la dirección del flujo. La variación de energía ∆H es siempre negativa en la
dirección del flujo, pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema. La variación
de la elevación del fondo ∆z puede ser positiva o negativa. En la Figura 8.6 ∆z es negativa.
Como ambas pendientes deben ser positivas, pues descienden en la dirección de
escurrimiento, se tendrá que
S 0 = senθ = −
402
dz
dx
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
dH
V2
V 2n2
=− 2 =− 4
SE = −
dx
C R
R3
Luego,
V 2

d 
+ y 
 2g
 − S = −S
0
E
dx
Pero
(8-12a)
V 2


+ y  es la energía específica E (ver la ecuación 7-2). Por lo tanto,
 2g

dE
= S0 − S E
dx
(8-13)
Pero, anteriormente hemos establecido (capítulo VII, ec. 7-19) que
dE
= 1− F 2
dy
Luego, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
dy S 0 − S E
=
dx 1 − F 2
(8-14)
que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado.
Como el cuadrado del número de Froude es
Q 2T
F =
gA3
2
(8-15)
se tiene que,
dy S 0 − S E
=
Q 2T
dx
1−
gA3
(8-16)
403
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de
capacidad ( K ) y el factor de sección ( Z ).
Según la definición de factor de capacidad
K=
Q
1
SE 2
Kn =
Q
1
S0 2
para cualquier sección del M. G. V.
para el movimiento uniforme
Luego,
SE  Kn 
=
S 0  K 
2
Según la definición de factor de sección
Z=
A3
T
para cualquier sección
Zc =
Q
g
para condiciones críticas
Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticas
el número de Froude es igual a 1, por lo tanto
Vc = gd c = g
A
T
Q2
A
=g
2
A
T
A
Q
= g
T
A
;
Vc =
;
Q 2 A3
2
=
= Zc
g
T
Luego,
2
Q 2T
 Zc 
=
 Z 
gA3
Introduciendo en la ecuación 8-16 los valores obtenidos para K y Z se llega a
404
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
2
K 
1−  n 
dy
K
= S0
2
dx
 Zc 
1−  
Z 
(8-17)
que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmente
variado.
Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 8-14, 8-16 y 8-17 representan la variación
de la superficie libre con respecto al fondo del canal.
Aplicación a una sección rectangular muy ancha
Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene
2
5
AR 3 yn3 (para condiciones normales)
=
Kn =
n
n
2
5
AR 3 y 3
=
K=
n
n
(para cualquier sección del M. G. V.)
2
Z c = A d c = yc3 (para flujo crítico)
3
Z = A d = y2
(para cualquier sección del M. G. V.)
Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene
10
y 3
1−  n 
dy
 y
= S0
3
dx
 yc 
1−  
y
(8-18)
que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning)
en movimiento gradualmente variado.
Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9), entonces la ecuación general del movimiento
gradualmente variado sería
405
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
3
y 
1−  n 
dy
y
= S0
3
dx
 yc 
1−  
y
(8-19)
Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor
(constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo.
La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así
2
Q
1−  
dy
 Qn 
= S0
2
dx
Q
1−  
 Qc 
(8-20)
Qn es el gasto para un flujo normal
cuyo tirante y fuese igual al del movimiento gradualmente variado, Qc es el gasto crítico
para una profundidad y.
siendo Q el gasto del movimiento gradualmente variado,
Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. G. V. la siguiente
ecuación
Q2
dy
C 2 A2 R
=
Q2
dx
1− 2
gA d
S0 −
siendo
d el tirante hidráulico
(8-21)
A
T
Ejemplo 8.1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente la
ecuación del movimiento gradualmente variado es
dy
=
dx
406
α Q 2 y db
gA 3 dx
α Q 2b
1−
gA 3
S0 − SE +
(8-22)
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
Solución. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos
V 2 

d 
2 g 
dy

− S E = −S 0 +
+α
dx
dx
(1)
Pero,
V 2 

d 
 2g  =
dx
 Q2
d 
2
 2 gA
dx
=−


2
2
−2
 = Q dA = Q (− 2 )A −3 dA
2 g dx
2g
dx
Q 2  dy
db 
b + y 
gA3  dx
dx 
Reemplazando en (1)
− S E = −S0 +
db 
dy
Q 2  dy
−α
b + y 
3
dx
gA  dx
dx 
De donde,
dy
=
dx
αQ 2 y db
gA 3 dx
αQ 2 b
1−
gA 3
S0 − S E +
que es la expresión buscada.
8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico
El signo de
dy
en la ecuación del M. G. V. nos da una indicación sobre algunas características
dx
del eje hidráulico. Así,
SW
dy
> 0,
Si
dx
entonces el tirante y aumenta
en la dirección de la corriente.
La superficie libre se levanta.
Esta condición se da en los
ríos peraltados y en los
torrentes deprimidos.
y
S0
La superficie libre se levanta (
dy
>0)
dx
407
Hidráulica de tuberías y canales
Si
Arturo Rocha
dy
< 0,
dx
SW
y
entonces el tirante
disminuye en la dirección de
la corriente. La superficie libre
desciende. Se da en los ríos
deprimidos y en los torrentes
peraltados.
S0
y
La superficie libre desciende (
dy
dx
0)
Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunos
casos especiales.
¿Qué ocurre cuando el tirante y del movimiento gradualmente variado se hace
igual al tirante crítico?
Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que
Z = Z c , por lo tanto en la ecuación
diferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero, entonces
dy
→ infinito
dx
lo que implicaría que para
y = yc el eje hidráulico debería ser vertical tal como se aprecia en
la Figura 8.7.
yc
y = yc
y
Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con
Esto significa que en las proximidades del tirante crítico ( y
y = yc
= yc ) el eje hidráulico tiene una
gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variado
de considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar por lo tanto una distribución
hidrostática de presiones. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecida
para el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en las
inmediaciones de
408
y = yc .
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
¿Qué ocurre cuando el tirante se hace igual a cero?
En el caso más general el valor de
dy
se hace indeterminado.
dx
Examinemos algunos casos particulares. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que
se aplica la fórmula de Manning, (8-18), entonces para y = 0 se obtiene que
dy
→ infinito,
dx
lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. En cambio si hubiéramos usado la
fórmula de Chezy (8-19) se tendría que
dy
y3
= S 0 n3
dx
yc
lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo.
¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal?
Entonces
dy
= 0 lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata, por lo tanto,
dx
de un movimiento uniforme (S 0 = SW ) .
¿Qué ocurre si el tirante y crece indefinidamente?
Entonces,
dy
→ S0
dx
o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal.
8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado
Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo del
primer miembro. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que,
algebraicamente, se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro.
La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado, según la ecuación 8-17
es
409
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
2
K 
1−  n 
dy
K 
= S0
2
dx
 Zc 
1−  
Z 
En esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades
dy
>0
dx
Numerador y denominador positivos
Numerador y denominador negativos
dy
<0
dx
Numerador positivo y denominador negativo
Numerador negativo y denominador positivo
Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión de
cada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variad, que son las siguientes
-
Río peraltado en pendiente suave (M1)
-
Río peraltado en pendiente fuerte (S1)
-
Torrente deprimido en pendiente suave (M3)
-
Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)
-
Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)
-
Río deprimido en pendiente suave (M2)
PRIMERA POSIBILIDAD
dy
> 0 Numerador y denominador positivos
dx
Como el numerador es positivo esto significa que
1−
lo que necesariamente implica
normal ( y
K n2
>0
K2
K > K n . Es decir, que el tirante es mayor que el tirante
> yn ).
Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. Esta es una conclusión de carácter general:
siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada.
410
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
Como el denominador también es positivo, esto significa que
1−
Lo que necesariamente implica
Z c2
>0
Z2
Z > Z c ( y > yc ). Se trata por lo tanto de un río. Esta es
también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo se
tiene un río.
Por lo tanto, numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado.
Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. Tenemos así los dos
primeros casos del movimiento gradualmente variado.
Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1)
Por tratarse de un río el tirante del
movimiento gradualmente variado
es mayor que el tirante crítico y
por tratarse de una corriente
peraltada el tirante es mayor que
el normal y por ser pendiente
suave el tirante normal es mayor
que el crítico. Por lo tanto,
M1
yn
y
yc
Río peraltado en pendiente suave
y > y n > yc
Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico, se dice que el eje hidráulico está en
la ZONA 1.
Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Es una curva cóncava.
Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las que
corresponderían al movimiento uniforme. Por lo tanto, las pérdidas de carga también serán
menores.
Esta curva es la más conocida y estudiada pues se presenta frecuentemente. Usualmente se
le llama curva de remanso. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta
y = yn ,
de la que se separa gradualmente. Crece hacia aguas abajo.
Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. También cuando hay
una presa vertedora en el lecho del río, cuando hay una diminución de pendiente, un aumento
en la rugosidad, un cambio de sección, en la entrega de un canal al mar o a un reservorio, etc.
411
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Caso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1)
Por tratarse de un río el tirante del
movimiento gradualmente variado
es mayor que el tirante crítico y
por tratarse de una corriente
peraltada el tirante es mayor que
el normal y por ser pendiente
fuerte el tirante normal es menor
que el crítico. Luego,
S1
SALTO
y
yc
yn
Río peraltado en pendiente fuerte
y > yc > y n
Es una curva tipo S1, pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encima
del tirante crítico y del normal (ZONA 1).
Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de
y = yc , que la
realiza normalmente. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguas
abajo. Es una curva convexa.
Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior, es decir, en un vertedero, presa o
compuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre, variando en que la pendiente
es fuerte. Esta curva es de longitud limitada.
Prosiguiendo con la discusión tenemos que
SEGUNDA POSIBILIDAD
dy
> 0 Numerador y denominador negativos
dx
Como el numerador es negativo esto implica que
1−
lo que nos conduce a
K n2
<0
K2
K n > K ( yn > y ). Es decir que el tirante es menor que el tirante normal.
Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general:
siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida.
Como el denominador también es negativo se tiene que
1−
412
Z c2
<0
Z2
Capítulo VIII
Lo que implica
Movimiento gradualmente variado
Z c > Z . Es decir, que el tirante es menor que el crítico ( y < yc ). Se trata por
lo tanto de un torrente.
Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea negativo
se trata de un torrente.
Por lo tanto, numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido, que por
cierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte, dando así lugar a otros dos
casos de movimiento gradualmente variado.
Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3)
Por tratarse de un torrente el tirante
del movimiento gradualmente
variado es menor que el tirante
crítico y por tratarse de una
corriente deprimida el tirante es
menor que el normal y por se
pendiente suave el tirante normal
es mayor que el crítico. Luego,
M3
SALTO
y
yc
yn
Torrente deprimido en pendiente suave
y n > yc > y
Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en la
ZONA 3. La curva es tipo M3. Es una curva cóncava.
Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo, lo que es físicamente imposible.
Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura, también en una grada, en un
estrechamiento o, en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Esta curva no llega en
realidad a alcanzar el tirante crítico, sino que salta al nivel
yn que está determinado por las
condiciones de aguas abajo.
Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)
Por tratarse de un torrente el
tirante
del
movimiento
gradualmente variado es menor
que el crítico y por tratarse de una
corriente deprimida el tirante es
menor que el normal y por ser
pendiente fuerte el tirante normal
es menor que el crítico, Por lo
tanto,
S3
y
yn
yc
Torrente deprimido en pendiente fuerte
413
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
yc > yn > y
Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa, asintótica hacia aguas abajo. Es muy
poco frecuente.
Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura,
que entrega a un canal de pendiente fuerte, o bien, por ejemplo, en un cambio de pendiente de
muy fuerte a fuerte.
Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en
la dirección del escurrimiento lo que implica la condición
dy
<0
dx
TERCERA POSIBILIDAD
dy
< 0 Numerador positivo y denominador negativo
dx
Según lo que hemos examinado anteriormente, numerador positivo significa corriente peraltada
y denominador negativo significa torrente. Esta combinación de signos da un torrente peraltado.
Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendiente
fuerte.
Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente
Corriente peraltada
y > yn
Torrente
y < yc
Pendiente suave
y > yc
No hay solución posible
Por lo tanto no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Para la combinación de
signos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente.
Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)
Por tratarse de un torrente el tirante
del movimiento gradualmente
variado es menor que el tirante
crítico y por tratarse de una
corriente peraltada el tirante es
mayor que el normal y por ser
pendiente fuerte el tirante normal
es menor que el crítico. Luego,
414
S2
y
yn
Torrente peraltado en pendiente fuerte
yc
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
yc > y > y n
Como el tirante y es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en
la ZONA 2.
La curva es del tipo S2. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. Es una
curva cóncava, asintótica hacia aguas abajo.
Nótese que al corresponder este caso a
dy
< 0 la superficie libre desciende en la dirección
dx
del escurrimiento.
El eje hidráulico debe ser normal a
y = yc . Este perfil puede originarse, por ejemplo, en un
cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección.
CUARTA POSIBILIDAD
dy
< 0 Numerador negativo y denominador positivo
dx
El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río.
Luego, esta combinación de signos significa río deprimido. En principio puede darse en pendiente
suave o en pendiente fuerte. De esta consideración se origina el caso siguiente.
Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2)
Por tratarse de un río el tirante del
movimiento gradualmente variado
es mayor que el tirante crítico y
por tratarse de una corriente
deprimida el tirante es menor que
el normal y por ser pendiente
suave el tirante normal es mayor
que el crítico. Luego,
M2
yn
yc
y
Río deprimido en pendiente suave
y n > y > yc
Como el tirante y es intermedio entre el normal y el crítico, el eje hidráulico está en la ZONA 2.
Es una curva convexa del tipo M2.
415
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a
y = yc . El eje hidráulico es asintótico a y = yn .
Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada, una expansión en la sección, un
cambio de pendiente, etc.
Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible.
Resumen de la discusión de los seis casos del M. G. V.
Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos del
movimiento gradualmente variado.
En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuación
general del M. G. V. y que, con algunas ampliaciones, se presenta en la Tabla 8.1.
TABLA 8.1
RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS SEIS CASOS DEL MOVIMIENTO
GRADUALMENTE VARIADO
+
0
CORRIENTE
PERALTADA
NUMERADOR
DENOMINADOR
MOVIMIENTO
UNIFORME
RIO
CRISIS
CORRIENTE
DEPRIMIDA
TORRENTE
dy
>0
dx
dy
>0
dx
416
M1
S1
M3
S3
PENDIENTE
SUAVE
PENDIENTE
FUERTE
PENDIENTE
SUAVE
PENDIENTE
FUERTE
Capítulo VIII
Pueden sintetizarse los seis casos en el siguiente esquema
y > yn
RIO PERALTADO
M1 (CONCAVA)
dy
>0
dx
CASO 1
Pendiente Suave
y n > yc
yc > y n
RIO DEPRIMIDO
M2 (CONVEXA)
dy
<0
dx
CASO 6
CASO 3
y < yc
TORRENTE DEPRIMIDO
M3 (CÓNCAVA)
dy
>0
dx
y > yc
RIO PERALTADO
S1
(CONVEXA)
dy
>0
dx
yc > y > y n
TORRENTE PERALTADO
S2
(CONCAVA)
dy
<0
dx
yn
yc
CASO 2
CASO 5
CASO 4
y < yn
TORRENTE DEPRIMIDO
S3
(CONVEXA)
dy
>0
dx
417

 dy
< 0  son los ubicados en la ZONA 2.

 dx
Obsérvese que los únicos perfiles que descienden en la dirección del escurrimiento 
yc
yn
Movimiento gradualmente variado
Pendiente fuerte
y n > y > yc
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)
Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusión
de diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generados
exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas las
otras características permanecen constantes.
Los seis casos generales son
-
De pendiente suave a pendiente más suave
-
De pendiente suave a pendiente menos suave
-
De pendiente suave a pendiente fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente más fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente suave
Los cuatro casos especiales son
-
De pendiente suave a pendiente crítica
-
De pendiente crítica a pendiente suave
-
De pendiente crítica a pendiente fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente crítica
1. De pendiente suave a pendiente más suave
Sean
y n e yn los tirantes
1
2
normales en cada uno de los dos
tramos.
M1
P
En el primer tramo, por ser
pendiente suave,
y n > yc .
yc
1
En el segundo tramo, por ser
pendiente más suave también se
cumple que
yn > yc
S0
y
primero. Por lo tanto,
yn
1
1
S0
2
El tirante normal del segundo
tramo es mayor porque su
pendiente es menor que la del
418
yn
y n > yn
2
1
S c > S 0 > S0
1
2
2
Río uniforme
que empieza en el
punto P
2
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
El quiebre del fondo, de pendiente suave a más suave, da lugar a una curva de empalme tipo
M1, río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo.
2. De pendiente suave a pendiente menos suave
Por consideraciones similares a
las anteriores se tiene que
yn < yn
2
1
M2
yn
1
y
yc
En ambos tramos se cumple que
S0
yn > yc (pendiente suave)
1
yn
yc
2
1
S0
2
S 0 < S0 < Sc
yn > yc (pendiente menos
2
2
1
Río uniforme
suave)
Como
P
yn está más cerca de yc que y n , se dice que la pendiente es menos suave.
2
1
El perfil de empalme es del tipo M2, río deprimido en pendiente suave. A partir del punto P
empieza un río uniforme.
3. De pendiente suave a pendiente fuerte
En el tramo de aguas arriba hay
un río que al aproximarse al
cambio de pendiente se deprime
(M2) y tiende a acercarse
normalmente a
y = yc . Como un
M2 (río deprimido en
pendiente suave)
yn
1
yc
río deprimido en pendiente suave.
Inmediatamente aguas abajo del
cambio de pendiente el torrente
se peralta (S2), arrancando
S2
S0
(torrente peraltado
en pendiente fuerte)
1
S 0 < Sc < S0
1
2
S0
2
y = yc como un
SUAVE
FUERTE
torrente peraltado en pendiente
fuerte.
yn > yc
yn < yc
normalmente a
1
yn
2
yc
2
419
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
4. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte
yc
yn
1
P
S0
S3
yn
1
S0
S0 > S0 > Sc
1
2
2
2
FUERTE
MENOS FUERTE
yn < yc
yn < yc
2
1
yn < yn
1
2
Este torrente no
puede ser modificado
por las condiciones de
aguas abajo.
Un torrente si puede
ser modificado por las
condiciones de aguas
arriba
Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3.
5. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte
El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo.
El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente, continuando en pendiente
más fuerte que la de aguas arriba.
yc
yn
S2
P
1
S0
1
S0
FUERTE
2
MAS FUERTE
S 0 > S 0 > Sc
1
2
yn < yc
yn < yc
2
1
yn > yn
1
420
(torrente peraltado
en pendiente fuerte)
2
yn
2
yc
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
6. De pendiente fuerte a pendiente suave
Este es el caso más importante y corresponde al salto hidráulico. Normalmente en un salto
y1 < y2 (al respecto se puede ver la ecuación 7-90).
En el presente caso de cambio de pendiente, y n1 es el tirante y1 del salto.
hidráulico hay dos tirantes conjugados:
yc
1
yn
1
S0
yc
1
S 0 > S0
1
S0
2
2
2
FUERTE
SUAVE
yn < yc
yn > yc
1
2
yn > yn
2
Para el tirante
yn
1
y1 ( yn1 ) existe un tirante conjugado y2 que puede ser igual, mayor o menor
que y n2 .
Si y 2 < y n2 el salto se produce en el tramo 1, es decir, que el salto se desplaza hacia aguas
arriba.
Si y 2 > y n2 entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2.
Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta.
7. De pendiente suave a pendiente crítica
M2
yn
1
yc
S0
1
S 0 < Sc
Sc
yc = yn
2
1
SUAVE
CRITICA
yn > yc
yn = yc
1
2
El eje hidráulico se aparta suavemente del movimiento uniforme, se desarrolla íntegramente entre
el tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con
y = yc .
En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico.
421
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
8. De pendiente crítica a pendiente suave
yn = yc
yn
1
yc
Sc
S0
2
1
CRITICA
SUAVE
yn = yc
yn > yc
2
1
yn > yn
2
1
Antes del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en
pendiente suave y fuerte.
9. De pendiente crítica a pendiente fuerte
yn = yc
1
S2
yn
CRITICA
yc
2
FUERTE
Equivale al cambio de pendiente fuerte a más fuerte
10. De pendiente fuerte a pendiente crítica
yc
yn
1
yn = yc
2
FUERTE
CRITICA
Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido
en pendiente suave y fuerte.
422
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
8.7 Curva de remanso
Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento
gradualmente variado. El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la solución de
la ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud de la
curva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de la curva
de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, que actúa como
sección de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo del
escurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente igual al tirante normal. La definición
de longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podríamos, por ejemplo, decir
que la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmente
variado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm).
En muchos casos no es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimiento
gradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados,
indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil.
Para la obtención de la curva de remanso presentaremos tres métodos
-
Integración gráfica
-
Aproximaciones sucesivas
-
Integración directa
Método de la integración gráfica
Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencial
del movimiento gradualmente variado.
Examinemos la siguiente figura
Eje hidráulico (M. G. V.)
y
y
1
y2
0
x1
x
x2
423
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Consideremos dos secciones transversales próximas 1 y 2. Evidentemente que
x = x2 − x1 = ∫ dx = ∫
Nótese que
x2
y2
x1
y1
dx
dy
dy
dx
es igual a la inversa del segundo miembro de la ecuación general del M. G. V.
dy
Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimiento
gradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre es
posible.
Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que se
conoce el valor de y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que se
presentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala a
continuación.
i)
Suponer un valor para el tirante
ii)
Calcular el valor correspondiente de
iii)
Calcular
iv)
Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de y (tirantes
dy
a partir de la ecuación general del M. G. V.
dx
dx
, que es la inversa del valor anterior.
dy
supuestos) y los valores obtenidos para
dx
.
dy
Eje hidráulico (M. G. V.)
dx
dy
 dx 
 dy 
 1
x
y
y1
y2
424
 dx 
 dy 
 2
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
El valor de
x es el área achurada comprendida entre la curva, el eje y , y las ordenadas
dx
correspondientes a los valores de y . Luego,
dy
Area
=x=∫
Al medir esta área se tiene el valor de
dx
dy
dy
x.
Finalmente se obtendrá una curva de este tipo
dx
dy
∆ A3
∆ A2
∆ A1
v)
y2
y1
y
De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de ∆ A .
Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla
y
A
P
R
K
Z
dy
dx
dx
dy
∆A
x
Es decir, que para cada sección se calcula a partir de un valor de y , el área, perímetro,
radio hidráulico, factor de capacidad, factor de sección, inclinación del eje hidráulico, su
inversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de
Por último se dibuja
x.
x e y y se obtiene la curva de remanso.
425
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Método de subdivisión en tramos
Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos,
considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme.
En la Figura 8.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud
∆x en el que
aparecen las secciones 1 y 2.
SE
2
α 1 V1
2g
2
α 2 V2
2g
SW
y1
S0
h f = SE ∆ x
y2
S0 ∆ x
∆x
z1
z2
Plano de
referencia
Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso
Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene
S0 ∆x + y1 + α1
V2
V12
= y2 + α 2 2 + S E ∆x
2g
2g
de donde,
∆x(S 0 − S E ) = E2 − E1 = ∆E
y por lo tanto,
∆x =
El valor de
Manning
426
∆E
S0 − S E
S E se puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
SE =
n 2V 2
R
Para un tramo (de longitud
4
3
∆x ) el valor de S E es el promedio de los respectivos valores de
S E al principio y al final del tramo.
M. G. V.
yn
y
ymax
Lago
Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
ymax
determinado por la condición de entrega al lago.
El cálculo se puede empezar por la sección extrema de aguas abajo, en la cual el tirante
alcanza su máximo valor, o mínimo según el caso. (Ver las figuras 8.9 y 8.10 como casos
típicos).
M. G. V.
yn
ymin
y
y = ymin
x=0
Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
ymin determinado por la grada.
Para hacer el cálculo asignaremos valores al tirante y de modo de acercarnos lentamente
del valor extremo al normal.
Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular
427
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
A : Area (en función de la geometría de la sección)
R : Radio hidráulico
R=A P
V : Velocidad media
V =Q A
hV : Energía de velocidad
hV =
E : Energía específica
V2
y+
2g
∆E : Diferencia de energía específica
entre dos secciones
S E : Pendiente de la línea de energía
en esa sección
∆E = E2 − E1 ó ( E1 − E2 )
 Vn 
SE =  2 3 
R 
S E : Pendiente media de la línea de energía
SE =
para un tramo dado
∆x =
∆x : Distancia
Acumulando los valores de
V2
2g
2
SE + SE
1
2
2
∆E
S0 − S E
∆x se obtiene la distancia desde el origen escogido.
Metodo de la integración directa
En el apartado 8.3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanente
gradualmente variado (8-17) es
2
K 
1−  n 
dy
K
= S0
2
dx
 Zc 
1−  
Z 
Para la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimiento
de Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.
428
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadrado
del factor de capacidad K (ec. 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir
K 2 = c1 y N
(8-23)
c1 es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidráulico para el cálculo del
movimiento uniforme. Sus características se establecen a continuación.
Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 8-23 se obtiene
(
2(ln K ) = ln c1 y N
)
Derivando con respecto a y se llega a
2
d (ln K ) c1 Ny N −1dy dy
=
dy
c1 y N
De donde,
d (ln K ) N
=
dy
2y
(8-24)
Pero, al aplicar la fórmula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad K es
K=
AR
n
2
3
tal como aparece en la ecuación 8-10.
Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene
2

 AR 3
ln K = ln
 n






Derivando con respecto a y se llega a
d (ln K ) 2 1 dR 1 dA
=
+
dy
3 R dy A dy
Introducimos ahora, las conocidas expresiones,
(ec. 7-9)
dA
=T
dy
429
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
R=
(ec. 1-8)
A
P
y se obtiene,
d (ln K ) 2 1 dR T
=
+
dy
3 R dy A
Pero,
dP
 A
d  T − R
dR
dy
P
=  =
P
dy
dy
Reemplazando se llega a

dP 
 T − R

dy  T
d (ln K ) 2 1 
=
+
dy
3R
P
A
d (ln K ) 1 
dP 
=
5T − 2 R 

dy
dy 
3A 
Introduciendo la ecuación 8-24 se obtiene
dP 
N
1 
=
5T − 2 R 

dy 
2 y 3A 
De donde,
N=
2y 
dP 
5T − 2 R 

dy 
3A 
que es la expresión general del exponente hidráulico
(8-25)
N para cualquier sección transversal.
Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que


 y 
 y 
1 + 2 z  
1 + z 2  


10 
 b  8 
 b 
N=
−
3 
 y  3 
2  y 
1 + z  b 
1 + 2 1 + z  b 
 
 


siendo
430
b el ancho en el fondo y z el talud del canal.
(8-26)
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
Para el caso particular de una sección rectangular ( z
N=
= 0 ) se obtiene
y
b
10 8
−
y
3 3
1 + 2 
b

Si se tratase de una sección muy ancha, entonces la relación
(8-27)
y b es muy pequeña y tiende
a cero, con lo que
N=
10
3
(8-28)
Se puede hacer un desarrollo similar a partir de la suposición de que el cuadrado del factor de
sección Z (ec. 8-1) es proporcional a una potencia M del tirante
Z 2 = c2 y M
(8-29)
M es el exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas. Sus características
se establecen a continuación
Tomando logaritmos
(
2 ln (Z ) = ln c2 y M
)
Derivando con respecto a y ,
2
d (ln Z ) M dy
=
dy
y dy
se llega a
d (ln Z ) M
=
dy
2y
Pero,
(1)
Z = A3 T (ec. 8-2). Luego, tomando logaritmos en la ecuación 8-2 y derivando con
respecto a y se obtiene
d (ln Z ) 3 T 1 dT
=
−
dy
2 A 2T dy
(2)
Igualando (1) y (2) se obtiene
M=
y
A dT 
 3T −

A
T dy 
(8-30)
431
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
que es la expresión del exponente hidráulico M para cualquier sección transversal.
Para un canal trapecial,
2
y
y
y

31 + 2 z  − 2 z 1 + z 
b
b
b
M= 
y
y



1 + 2 z b  1 + z b 
siendo
(8-31)
b el ancho en el fondo y z el talud del canal.
Para el caso particular de una sección rectangular ( z
= 0 ), se obtiene
M =3
(8-32)
Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado
se considerará, a partir de la ecuaciones 8-23 y 8-29, lo siguiente
K 2 = c1 y N
K n2 = c1 y N
Z 2 = c2 y M
Z c2 = c2 y M
Reemplazando estos valores en la ecuación 8-17 se obtiene
N
y 
1 −  n 
dy
 y 
= S0
M
dx
y 
1 −  c 
 y
(8-33)
que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquier
sección transversal, en función de los exponentes hidráulicos.
Obsérvese que si en la ecuación 8-33 se reemplaza
N = 10 3 (ec. 8-28) y M = 3 (ec. 8-32)
se obtiene la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado, para un
canal muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, y que es la ecuación 8-18,
previamente establecida.
Si se considera que entre el tirante y del movimiento gradualmente variado y el tirante
normal
432
y n existe la relación u , se tiene
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
u=
Como se recuerda, si
y
yn
(8-34)
u es mayor que 1 se trata de corrientes peraltadas y si es menor que
1 se trata de corrientes deprimidas.
Introduciendo la ecuación 8-34 en la 8-33 se llega a
N
1
1−  
dy
u
= S0
M
dx
y 
1 −  c 
 y
De acá se obtiene
M
 yc  u N − M 
1
yn 
 du
+
dx = 1 −
S 0  1 − u N  yn  1 − u N 


Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes
N y M son constantes para el
tramo considerado. Luego,
M

u
 yc  u u N − M
du
yn 
du
+
x = u − ∫
 y  ∫0 1 − u N  + c
0 1− u N
S0 

 n

(8-35)
Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. A la primera de ellas, Ven Te
Chow la denomina función del flujo variado y la representa como
F (u , N ) = ∫
u
0
du
1− u N
(8-36)
Para la segunda integral Ven Te Chow introduce una variable auxiliar
N
v=uJ
(8-37)
N
N − M +1
(8-38)
siendo
J=
Con lo que la segunda integral del segundo miembro de la ecuación 8-35 queda así
u N −M
J
∫0 1 − u N du = N
u
v
dv
∫ 1− v
0
J
=
J
F (v, J )
N
(8-39)
433
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
De donde,
F (v, J ) = ∫
dv
1− vJ
v
0
(8-40)
Introduciendo en la ecuación 8-35 la nueva notación de ambas integrales se llega a
M

 yc  J
yn 
F (v, J ) + c
x = u − F (u, N ) +  
S0 

 yn  N

(8-41)
Ven Te Chow usa la siguiente notación,
x = A[u − F (u, N ) + B F (v, J )]+ c
(8-42)
siendo,
A=
yn
S0
y 
B =  c 
 yn 
u=
M
J
N
y
yn
N
v=uJ
J=
N
N − M +1
A partir de la ecuación 8-42 se obtiene la longitud L de la curva de remanso entre dos
secciones 1 y 2, de modo que
L = x2 − x1 = x = A{(u2 − u1 ) − [F (u2 , N ) − F (u1 , N )]+ B [F (v2 , J ) − F (v1 , J )]} (8-43)
Los exponentes hidráulicos
N y M dependen de la ecuación particular que se use (Chezy
o Manning, por ejemplo), de la forma de la sección transversal (rectangular, parabólica, etc.)
y del tirante.
A partir del conocimiento del factor de capacidad K y del respectivo tirante se puede calcular
434
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
el valor correspondiente del exponente hidráulico
N.
Si bien es cierto que el exponente hidráulico N es variable, también lo es que su rango de
variación no es muy amplio. Bakhmettef señala que N varía entre 2 y 5,5 para diferentes
secciones transversales.
Bakhmettef, quien fue profesor de Hidráulica en San Petersburgo, preparó hacia 1914 unas
tablas con diversos valores de N . En la revolución rusa estas tablas se perdieron durante
muchos años. Más tarde se recalcularon para 2,8 < N < 5,4 y fueron publicadas por
Bakhmettef en 1932.
La Tabla 8.2 que se adjunta fue preparada por Ven Te Chow entre 1952 y 1954, para valores de
N comprendidos entre 2 y 5,5 y aparece en su conocido libro sobre canales, del que se ha
tomado.
u y de N los correspondientes a la
función F (u, N ). La Tabla 8.2 sirve también para la función F (v, J ) reemplazando u por v
y N por J .
En la Tabla 8.2 se presenta para diversos valores de
Para el cálculo se suponen conocidos el caudal, la pendiente, la rugosidad y las caracterísicas
de la sección transversal.
El procedimiento de cálculo para aplicar el método de integración directa es el siguiente
1.
Seleccionar una fórmula para el cálculo del flujo (Chezy o Manning, por ejemplo) y
determinar el tirante normal
yn
yc
2.
Calcular el tirante crítico
3.
Se supone que para un tramo determinado ( ∆ x ) los exponentes hidráulicos
N y M son
N (ec. 8-26, o alguna de sus simplificaciones) y M (ec.8-30, o
constantes. Se calcula
alguna de sus simplificaciones)
J , con la ecuación 8-38
4.
Se calcula
5.
Se calcula, para las secciones extremas (inicial y final) del tramo considerado, los valores
de
6.
u (ec. 8-34) y v (ec. 8-37)
Se entra a la Tabla 8.2 y se obtiene
calculados de
7.
F (u, N ), ingresando con los valores previamente
u y N . Suele ser necesario hacer interpolaciones.
Se ingresa a la Tabla 8.2 y se obtiene
F (v, J ) , ingresando con los valores de v y de J
previamente calculados
8.
Se calcula la longitud
∆ x correspondiente mediante la ecuación 8-43
435
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 8.2
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS
F (u , N ) = ∫
du
0 1− u N
N
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,100
0,120
0,140
0,161
0,181
0,100
0,120
0,140
0,161
0,181
0,100
0,120
0,140
0,160
0,181
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,202
0,223
0,244
0,265
0,286
0,201
0,222
0,243
0,263
0,284
0,201
0,221
0,242
0,262
0,283
0,201
0,221
0,241
0,262
0,282
0,200
0,221
0,241
0,261
0,282
0,200
0,220
0,241
0,261
0,281
0,200
0,220
0,240
0,261
0,281
0,200
0,220
0,240
0,260
0,281
0,200
0,220
0,240
0,260
0,280
0,200
0,220
0,240
0,260
0,280
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,307
0,329
0,351
0,372
0,395
0,305
0,326
0,348
0,369
0,392
0,304
0,325
0,346
0,367
0,389
0,303
0,324
0,344
0,366
0,387
0,302
0,323
0,343
0,364
0,385
0,302
0,322
0,343
0,363
0,384
0,301
0,322
0,342
0,363
0,383
0,301
0,321
0,342
0,362
0,383
0,301
0,321
0,341
0,362
0,382
0,300
0,321
0,341
0,361
0,382
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,418
0,442
0,465
0,489
0,514
0,414
0,437
0,460
0,483
0,507
0,411
0,433
0,456
0,479
0,502
0,408
0,430
0,452
0,475
0,497
0,407
0,428
0,450
0,472
0,494
0,405
0,426
0,448
0,470
0,492
0,404
0,425
0,446
0,468
0,489
0,403
0,424
0,445
0,466
0,488
0,403
0,423
0,444
0,465
0,486
0,402
0,423
0,443
0,464
0,485
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,539
0,565
0,592
0,619
0,648
0,531
0,557
0,582
0,608
0,635
0,525
0,550
0,574
0,599
0,626
0,521
0,544
0,568
0,593
0,618
0,517
0,540
0,563
0,587
0,612
0,514
0,536
0,559
0,583
0,607
0,511
0,534
0,556
0,579
0,603
0,509
0,531
0,554
0,576
0,599
0,508
0,529
0,551
0,574
0,596
0,506
0,528
0,550
0,572
0,594
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,676
0,691
0,706
0,722
0,738
0,663
0,678
0,692
0,707
0,722
0,653
0,667
0,680
0,694
0,709
0,644
0,657
0,671
0,684
0,698
0,637
0,650
0,663
0,676
0,690
0,631
0,644
0,657
0,669
0,683
0,627
0,639
0,651
0,664
0,677
0,623
0,635
0,647
0,659
0,672
0,620
0,631
0,643
0,655
0,667
0,617
0,628
0,640
0,652
0,664
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,754
0,771
0,787
0,804
0,822
0,737
0,753
0,769
0,785
0,804
0,724
0,738
0,754
0,769
0,785
0,712
0,727
0,742
0,757
0,772
0,703
0,717
0,731
0,746
0,761
0,696
0,709
0,723
0,737
0,751
0,689
0,703
0,716
0,729
0,743
0,684
0,697
0,710
0,723
0,737
0,680
0,692
0,705
0,718
0,731
0,676
0,688
0,701
0,713
0,726
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,840
0,858
0,878
0,898
0,918
0,819
0,836
0,855
0,874
0,892
0,802
0,819
0,836
0,854
0,868
0,787
0,804
0,820
0,837
0,854
0,776
0,791
0,807
0,823
0,840
0,766
0,781
0,796
0,811
0,827
0,757
0,772
0,786
0,802
0,817
0,750
0,764
0,779
0,793
0,808
0,744
0,758
0,772
0,786
0,800
0,739
0,752
0,766
0,780
0,794
u
436
u
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N ) = ∫
u
0
N
du
1− u N
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,940
0,961
0,985
1,007
1,031
0,913
0,933
0,954
0,976
0,998
0,890
0,909
0,930
0,950
0,971
0,872
0,890
0,909
0,929
0,949
0,857
0,874
0,892
0,911
0,930
0,844
0,861
0,878
0,896
0,914
0,833
0,849
0,866
0,883
0,901
0,823
0,839
0,855
0,872
0,889
0,815
0,830
0,846
0,862
0,879
0,808
0,823
0,838
0,854
0,870
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
1,056
1,083
1,110
1,139
1,171
1,022
1,046
1,072
1,099
1,129
0,994
1,017
1,041
1,067
1,094
0,970
0,992
1,015
1,039
1,064
0,950
0,971
0,993
1,016
1,040
0,934
0,954
0,974
0,996
1,019
0,919
0,938
0,958
0,979
1,001
0,907
0,925
0,945
0,965
0,985
0,896
0,914
0,932
0,952
0,972
0,887
0,904
0,922
0,940
0,960
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
1,201
1,238
1,272
1,314
1,357
1,157
1,192
1,223
1,262
1,302
1,121
1,153
1,182
1,228
1,255
1,091
1,119
1,149
1,181
1,216
1,065
1,092
1,120
1,151
1,183
1,043
1,068
1,095
1,124
1,155
1,024
1,048
1,074
1,101
1,131
1,007
1,031
1,055
1,081
1,110
0,993
1,015
1,039
1,064
1,091
0,980
1,002
1,025
1,049
1,075
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
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∞
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∞
∞
∞
∞
∞
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u
437
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N ) = ∫
u
0
N
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2,4
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u
438
du
1− u N
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N ) = ∫
du
0 1− u N
N
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4,6
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u
439
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N ) = ∫
du
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1,14
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1,22
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u
440
u
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N ) = ∫
du
0 1− u N
N
u
4,2
4,6
5,0
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u
441
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N ) = ∫
du
0 1− u N
N
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8,6
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u
442
u
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N ) = ∫
du
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N
u
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8,6
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0,021
0,018
u
∞
∞
∞
∞
∞
443
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N ) = ∫
du
0 1− u N
N
8,2
8,6
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9,4
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0,000
0,000
0,000
0,000
u
444
u
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N )− S 0 = ∫
u
0
N
du
1+ u N
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2,2
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u
445
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N )− S0 = ∫
u
0
N
2,0
2,2
2,4
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1,09
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0,970
u
446
du
1+ u N
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N )− S 0 = ∫
u
0
N
du
1+ u N
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2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
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1,074
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1,065
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1,064
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1,077
1,081
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1,066
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2,10
2,20
2,30
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1,130
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1,430
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1,471
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1,394
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1,324
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1,269
1,272
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1,225
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1,137
1,137
1,122
1,122
1,122
1,122
1,122
u
447
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N )− S0 = ∫
u
0
N
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4,2
4,5
5,0
5,5
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0,42
0,44
0,46
0,48
0,397
0,417
0,436
0,455
0,474
0,398
0,418
0,437
0,456
0,475
0,398
0,418
0,437
0,457
0,476
0,400
0,419
0,439
0,458
0,478
0,400
0,420
0,440
0,459
0,479
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,493
0,512
0,531
0,549
0,567
0,494
0,513
0,532
0,550
0,569
0,495
0,515
0,533
0,552
0,570
0,497
0,517
0,536
0,555
0,574
0,498
0,518
0,537
0,558
0,576
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,585
0,594
0,603
0,612
0,620
0,587
0,596
0,605
0,615
0,623
0,589
0,598
0,607
0,616
0,625
0,593
0,602
0,611
0,620
0,629
0,595
0,604
0,613
0,622
0,631
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,629
0,637
0,646
0,654
0,662
0,632
0,640
0,649
0,657
0,665
0,634
0,643
0,652
0,660
0,668
0,638
0,647
0,656
0,665
0,674
0,640
0,650
0,659
0,668
0,677
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,670
0,678
0,686
0,694
0,702
0,673
0,681
0,689
0,698
0,705
0,677
0,685
0,694
0,702
0,710
0,682
0,690
0,699
0,707
0,716
0,686
0,694
0,703
0,712
0,720
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,709
0,717
0,724
0,731
0,738
0,712
0,720
0,727
0,735
0,742
0,717
0,725
0,733
0,740
0,748
0,724
0,731
0,739
0,747
0,754
0,728
0,736
0,744
0,752
0,760
u
448
du
1+ u N
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N )− S 0 = ∫
u
0
N
du
1+ u N
4,0
4,2
4,5
5,0
5,5
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,746
0,753
0,760
0,766
0,773
0,750
0,757
0,764
0,771
0,778
0,755
0,762
0,769
0,776
0,783
0,762
0,770
0,777
0,784
0,791
0,768
0,776
0,783
0,790
0,798
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,780
0,786
0,793
0,799
0,805
0,784
0,791
0,797
0,803
0,810
0,790
0,797
0,803
0,810
0,816
0,798
0,804
0,811
0,818
0,825
0,805
0,812
0,819
0,826
0,832
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,811
0,817
0,823
0,829
0,835
0,816
0,821
0,828
0,833
0,840
0,822
0,828
0,834
0,840
0,846
0,831
0,837
0,844
0,850
0,856
0,839
0,845
0,851
0,857
0,864
0,950
0,960
0,970
0,975
0,980
0,840
0,846
0,851
0,854
0,857
0,845
0,861
0,866
0,859
0,861
0,852
0,857
0,863
0,866
0,868
0,861
0,867
0,972
0,875
0,878
0,869
0,875
0,881
0,883
0,886
0,985
0,990
0,995
1,000
1,005
0,859
0,861
0,864
0,867
0,870
0,863
0,867
0,869
0,873
0,874
0,870
0,873
0,876
0,879
0,881
0,880
0,883
0,885
0,887
0,890
0,889
0,891
0,894
0,897
0,899
1,010
1,015
1,020
1,030
1,040
0,873
0,875
0,877
0,882
0,888
0,878
0,880
0,883
0,887
0,893
0,884
0,886
0,889
0,893
0,898
0,893
0,896
0,898
0,902
0,907
0,902
0,904
0,907
0,911
0,916
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
0,892
0,896
0,901
0,905
0,909
0,897
0,901
0,906
0,910
0,914
0,903
0,907
0,911
0,916
0,920
0,911
0,915
0,919
0,923
0,927
0,920
0,924
0,928
0,932
0,936
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
0,913
0,917
0,921
0,925
0,928
0,918
0,921
0,926
0,929
0,933
0,923
0,927
0,931
0,935
0,938
0,931
0,935
0,939
0,943
0,947
0,940
0,944
0,948
0,951
0,954
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
0,932
0,936
0,939
0,943
0,947
0,936
0,941
0,944
0,947
0,950
0,942
0,945
0,948
0,951
0,954
0,950
0,953
0,957
0,960
0,963
0,957
0,960
0,963
0,965
0,968
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
0,950
0,956
0,962
0,968
0,974
0,953
0,957
0,962
0,971
0,977
0,958
0,964
0,970
0,975
0,981
0,966
0,972
0,977
0,982
0,987
0,970
0,976
0,981
0,986
0,990
u
449
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u , N )− S0 = ∫
u
0
N
4,0
4,2
4,5
5,0
5,5
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
0,979
0,985
0,990
0,994
0,998
0,978
0,986
0,992
0,996
1,000
0,985
0,990
0,995
0,999
1,003
0,991
0,995
0,999
1,002
1,006
0,994
0,997
1,001
1,005
1,008
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,001
1,005
1,009
1,014
1,016
1,004
1,008
1,013
1,016
1,019
1,006
1,010
1,014
1,017
1,020
1,009
1,012
1,016
1,018
1,020
1,011
1,014
1,016
1,018
1,020
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,020
1,029
1,035
1,041
1,047
1,021
1,029
1,035
1,040
1,046
1,022
1,029
1,034
1,039
1,043
1,022
1,028
1,032
1,036
1,039
1,022
1,028
1,030
1,034
1,037
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
1,052
1,057
1,061
1,065
1,068
1,051
1,055
1,059
1,060
1,064
1,047
1,051
1,054
1,057
1,059
1,042
1,045
1,047
1,049
1,051
1,039
1,041
1,043
1,045
1,046
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
1,071
1,076
1,080
1,084
1,087
1,068
1,071
1,073
1,079
1,081
1,062
1,065
1,068
1,071
1,073
1,053
1,056
1,058
1,060
1,061
1,047
1,049
1,050
1,051
1,052
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
1,090
1,092
1,094
1,096
1,098
1,083
1,085
1,087
1,088
1,089
1,075
1,076
1,077
1,078
1,079
1,062
1,063
1,063
1,064
1,065
1,053
1,054
1,054
1,054
1,055
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
1,099
1,103
1,106
1,108
1,110
1,090
1,093
1,097
1,098
1,099
1,080
1,082
1,084
1,085
1,085
1,065
1,066
1,067
1,067
1,068
1,055
1,055
1,056
1,056
1,056
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
1,111
1,111
1,111
1,111
1,111
1,100
1,100
1,100
1,100
1,100
1,085
1,086
1,086
1,086
1,086
1,068
1,068
1,068
1,068
1,068
1,056
1,056
1,056
1,056
1,056
u
450
du
1+ u N
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VIII)
1.
En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en una caída libre.
En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como se
aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre considerando
dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítico, b) flujo supercrítico.
yn
2.
Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0,00038. El tirante normal es de 3,20 m. Se coloca
un vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6,80 m. Si el coeficiente C de
Chezy es 40 m1/2/s calcular las características de la curva de remanso originada por el vertedero.
¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0,12?.
3.
Se tiene un canal trapecial de concreto ( n =0,014). La pendiente es 0,001. El ancho en el
fondo es de 1,5 m. El talud es de 45º. El caudal es de 10 m3/s. En cierta sección el tirante
correspondiente al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en una
sección ubicada 40 m aguas abajo de la sección mencionada.
4.
Se tiene un canal trapecial de 20 m de ancho en la base y un talud 1:2. El gasto es de 12,7 m3/s. La
pendiente es 0,0003 y la rugosidad de Kutter es
n =0,028.
Este canal desemboca en el mar. Cuando hay marea alta el pelo de agua alcanza en la
desembocadura un nivel que está 1,75 m por encima del tirante normal. Cuando hay marea
baja el nivel de la superficie libre está 0,75 m por debajo del que correspondería al tirante
normal. Calcular la curva de remanso en cada caso.
5.
Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 1 m. El coeficiente de rugosidad
n de Kutter
es 0,025. La pendiente del fondo es 0,0001 y el gasto es de 1 m3/s.
a) Calcular el tirante normal
b) Determinar cuál de los seis casos del movimiento gradualmente variado se presentará al
colocar un vertedero cuyo umbral es de 1,60 m.
451
Hidráulica de tuberías y canales
6.
Arturo Rocha
Un canal rectangular de 3,7 m de ancho toma agua de un embalse. La toma es suave y
redondeada. El nivel de agua sobre la cresta de entrada es de H =1,85 m. El canal de concreto
con
n =0,013 es recto y largo. La pendiente es S 0 =0,001. Calcular el caudal y el tipo de perfil
superficial en la entrada del canal si se supone que las pérdidas son despreciables.
H
S0
7.
El canal rectangular de descarga de una turbina desemboca en un río. Los datos son los
siguientes
Cota del fondo del canal en la desembocadura
575,80 m
Cota del fondo del canal en su iniciación
575,85 m
Longitud del canal
275,00 m
Ancho del canal
8,00 m
Coeficiente de Kutter (supóngase constante)
0,014
Gasto en el canal
5,0 m3/s
Nivel del agua en el río
576,80 m
Calcular
a) El nivel de la superficie libre en la iniciación del canal
b) Cota de la línea de energía en la iniciación del canal
c) Tipo de perfil correspondiente al movimiento gradualmente variado que se presenta en el
canal.
575,85 m
576,80 m
575,80 m
452
Capítulo VIII
8.
Movimiento gradualmente variado
Determinar el exponente hidráulico
N de un canal trapecial cuyas características son las
siguientes
T
1
2
T = 12 m
b=5m
b
9.
Determinar el exponente hidráulico M de un conducto circular de 0,90 m de diámetro que
tiene un tirante de 0,60 m.
10. Un canal rectangular de 2,40 m de ancho tiene una pendiente de 1/500. En su extremo hay un
vertedero que eleva la corriente a 1,20 m de profundidad. Existe una compuerta de fondo a 300
m aguas arriba del vertedero, que permite la salida de un chorro de agua de 0,15 m de profundidad.
El coeficiente de Chezy es 49,7 m1/2/s y el tirante normal es 0,90 m.
Calcular el perfil de la superficie (con un mínimo de 6 puntos) entre la compuerta de fondo y
el vertedero.
Si existiera un salto hidráulico, ¿dónde ocurriría y cuál sería su altura?. Indicar igualmente los
tipos de curva y sus características.
453
Vertederos
Capítulo IX
CAPITULO
IX
VERTEDEROS
9.1 Objeto de los vertederos. Tipos
El vertedero ha sido definido por Balloffet como ‘‘una abertura (o mejor, escotadura) de contorno
abierto, practicada en la pared de un depósito, o bien en una barrera colocada en un canal o
río, y por la cual escurre o rebasa el líquido contenido en el depósito, o que circula por el río
o canal’’. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando está cercenada, o
cuando parece que lo está, como si le faltara allí algo para completar una forma más regular.
En la Figura 9.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud L .
En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudales
y b) permitir el rebose del líquido contenido en un reservorio o del que circula en un río o canal.
Estas funciones no son excluyentes.
Los vertederos resultan muy útiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivo
de medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeños.
También puede construirse un vertedero para permitir el rebose del líquido al llegar a un cierto
nivel. A esta estructura se le denomina aliviadero.
En realidad en un vertedero siempre están presentes ambas funciones. En las obras de
ingeniería hidráulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan la
función de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que miden
caudales.
Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por los
niveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinación con
respecto a la corriente y por otras circunstancias.
455
V02
2g
M. R. V.
M. G. V.
hV = α
A
Napa vertiente
H
V02
2g
Escotadura
H
V0
> 3H
P
L
Hidráulica de tuberías y canales
456
α
> 3H
P
Paramento
B
Aguas muertas
B
4H
P : es el umbral
α : es el coeficiente de Coriolis
H : es la carga
L : es la longitud del vertedero
B : es el ancho del canal de aproximación
V0 : es la velocidad de aproximación
Arturo Rocha
Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada
Vertederos
Capítulo IX
Para una mejor comprensión de los aspectos teóricos vinculados a la descarga por vertederos
es necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga por
orificios, estudiados en un curso anterior de Hidráulica o de Mecánica de Fluidos.
Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en la
Figura 9.1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rápidamente variado
(M. R. V.). Es un ‘‘remanso de depresión’’ originado en la transformación de energía potencial
en energía cinética. Hacia aguas arriba, en una sección AB, hay un movimiento gradualmente
variado (M. G. V.). Se acepta que en la sección AB rige la ley hidrostática. Esta sección se
encuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que esta
distancia es igual a 4 H , siendo H la carga sobre el vertedero. Obsérvese que inmediatamente
aguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas.
Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal que
pasa por la cresta, medida en la sección AB.
En la Figura 9.1 se muestra también la altura del umbral P del vertedero (paramento), que es
la distancia entre el fondo y la cresta del vertedero.
Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión que la rodea.
En la napa libre la presión que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero
(umbral), las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de él y la parte inferior de la napa
vertiente es igual a la atmosférica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presión
es igual a la atmosférica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa,
representado en la Figura 9.1. En la Figura 9.2 se observa la red de corriente correspondiente a
esas condiciones (chorro libre).
hV
H
P
hV
p
γ
p
γ
Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( P >>> H )
457
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En la Tabla 9.1 se aprecia las coordenadas típicas correspondiente a un chorro libre, según
Franke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero
( P >>> H ).
Para conseguir la condición de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacio
antes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas de
aire que garantizan la comunicación con la atmósfera.
Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastante
constantes y el vertedero es así confiable para medir caudales. Este es el caso deseable en
un vertedero.
TABLA 9.1
COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( P >>> H )
z
H
1,00
x
P>H
z
x
458
z
PARTE
PARTE
INFERIOR
SUPERIOR
- 3,00
-
1,000
- 2,00
-
0,985
- 1,00
-
0
x
PARTE
PARTE
INFERIOR
SUPERIOR
0,75
- 0,125
0,540
0,80
- 0,155
0,510
0,950
0,90
- 0,210
0,450
- 0,125
0,830
1,00
- 0,270
0,380
0,10
- 0,035
0,805
1,20
- 0,41
0,22
0,20
- 0,005
0,775
1,40
- 0,59
0,03
0,30
0
0,745
1,54
- 0,74
- 0,125
0,40
- 0,010
0,705
1,60
- 0,80
- 0,19
0,50
- 0,030
0,665
1,80
- 1,05
- 0,43
0,60
- 0,060
0,620
2,00
- 1,31
- 0,70
0,70
- 0,105
0,570
2,50
- 2,10
- 1,50
0,75
- 0,125
0,540
3,00
- 3,11
- 2,50
Capítulo IX
La presión en el espacio comprendido entre el
El espacio comprendido debajo de la napa está
Desaparece el aire en el espacio ubicado debajo
paramento del vertedero y la napa vertiente es
lleno de agua y aire. El aire se ha ido arrastrando.
de la napa y éste queda lleno de agua. La lámi
menor que la atmosférica y dicho espacio se
El chorro es inestable.
queda adherida al paramento del vertedero.
encuentra lleno de aire.
La napa vertiente (el chorro) no es estable: es
oscilante.
Vertederos
459
Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presión
menor que la atmosférica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento del
vertedero. Se dice entonces que la napa está deprimida. En estas condiciones el chorro se
vuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales.
Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presión menor que
la atmosférica, esté libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, tal
como se aprecia en la Figura 9.3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente y
adquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se produce con caudales
pequeños.
Las condiciones de lámina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen a
error en la medición del caudal.
Clasificación de los vertederos por el tipo de cresta
Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederos
en pared gruesa. La diferencia está en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento.
En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es sólo una línea, es
decir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensable
que la cresta sea delgadísima como la de la Figura 9.1. La pared puede tener un cierto
espesor. Si éste es menor que
2H / 3 se considera que el vertedero es en pared delgada,
como se deduce de la observación de la Figura 9.4 que corresponde a una napa vertiente en
cresta delgada.
0,27 H
0,15 H
0,23 H
H
p
0,85 H
0,66 H
0,11 H
2 H
3
p
P
P >> H
Ventilación
Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en
pared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1
460
Vertederos
Capítulo IX
(a)
(b)
(c)
Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet
En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a la
cresta. En la Figura 9.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c se
considera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de pared
intermedia.
En la Figura 9.1 se observa las características generales de la descarga sobre un vertedero
en pared delgada. Se aprecia como se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativas
aproximadas se dan en la Figura 9.4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado)
y el contacto es sólo una línea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracteriza
porque en todo su contorno la presión es igual a la atmosférica, lo que es indispensable para
la correcta medición de caudales.
Velocidad de aproximación
Se denomina velocidad de aproximación (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad media
que corresponde a la sección AB en la que el escurrimiento se produce en toda la sección.
Obsérvese que hacia aguas abajo de la sección AB la sección transversal que participa del
escurrimiento es menor. La velocidad de aproximación V 0 es
V0 =
Q
Q
=
A B (P + H )
(9-1)
siendo B el ancho del canal de aproximación. Si el umbral P fuese mucho mayor que H
entonces V 0 tendería a cero.
Esta velocidad inicial da lugar a una energía cinética
hV = α
V02
2g
hV cuya expresión es
(9-2)
461
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Siendo α el coeficiente de Coriolis.
Clasificación de los vertederos por los niveles de aguas abajo
Este es un criterio de clasificación muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguas
abajo es inferior al de la cresta.
En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajo
es superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 9.19. Esto no significa necesariamente,
como ha sido claramente señalado por Domínguez, que ‘‘dicho nivel tenga influencia en el
escurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro,
aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues,
definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no es
sinónimo de vertedero influenciado por dicho nivel’’.
Clasificación por las condiciones laterales de descarga
Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas.
Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertedero
es menor que el ancho B del canal de aproximación. Para que se produzca contracciones
laterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pared
del canal sea por lo menos de 3H . Es recomendable también que la altura P del umbral
sea por lo menos igual a 3H , tal como se ve en la Figura 9.1.
Naturalmente que si B = L es un vertedero sin contracciones laterales.
Clasificación de los vertederos según su forma
Según la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales,
circulares, parabólicos, poligonales y muchas otras posibilidades geométricas, tal como se
observa en la Figura 9.6.
Clasificación de los vertederos por la inclinación del paramento
El paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguas
arriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 9.7. El vertedero inclinado hacia aguas
abajo disminuye la contracción. En consecuencia, para una misma carga H el gasto aumenta
con la inclinación hacia aguas abajo. Si la inclinación fuese hacia aguas arriba ocurriría lo
contrario. Existe también el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.
462
Vertederos
Capítulo IX
(a) Rectangular
(d) Circular
(b) Triangular
(c) Trapecial
(e) Parabólico
(f) Parábola semicúbica
(g) Mixto
(h) Hiperbólico
(i) Proporcional
Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos
463
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
H
(a)
(c)
(b)
Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)
Vertederos inclinados con respecto a la dirección de la corriente
Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin embargo, eventualmente,
forman un cierto ángulo con ella, tal como se ve en la Figura 9.8.
B
L
θ
Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente
Otros tipos de vertederos
Existen otros tipos de vertederos como
-
Desarrollados
Abatibles
Inflables
Laterales
Morning Glory, etc.
Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.9.
464
Vertederos
Capítulo IX
Vertedero de planta circular
Combinación de orificio y
vertedero
Vertedero proporcional
El caudal es proporcional a la
carga H
cámara
inflable
Vertedero desarrollado
Vertedero Inflable
Figura 9.9 Otros tipos de vertederos
465
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga
A continuación se presenta la deducción de la fórmula general de descarga de un vertedero
rectangular. En la Figura 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredes
hay un orificio rectangular de ancho L . Los otros elementos característicos se muestran en la
figura.
α
V02
2g
y
h2
L
h1
dy
Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular
Para efectos de cálculo consideramos que en el orificio hay una pequeña franja de área
elemental de ancho L y espesor dy a través de la cual pasa el siguiente caudal
dQ = VdA = VLdy
siendo V la velocidad correspondiente. Para el cálculo de esta velocidad se aplica el teorema
de Bernoulli y se obtiene

V2 
V = 2 g  y + α 0 
2g 

Por lo tanto,

V2 
dQ = 2 g  y + α 0  Ldy
2g 

466
Vertederos
Capítulo IX
Integrando se obtiene el caudal a través del orificio
Q = 2g
∫
h1 +α
V02
2g
1

V 2 2
 y + α 0  Ldy
2g 

h2 + α
V02
2g
3

2 2


2
V
Q=
2 g  h1 + α 0 

3
2g 

3


V02  2 
 L
−  h2 + α
2 g  


Esta fórmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que
llamamos H a h1 , que es la carga, se tiene
3

2 2


2
V
2 g  H + α 0 
Q=

3
2g 

h2 = 0. Si, además,
3

 V02  2 


− α
 L
 2 g  

(9-3)
que es la fórmula teórica de descarga de un vertedero. Esta fórmula no toma en cuenta la
fricción, ni los efectos debidos a la contracción vertical de la napa. En consecuencia, para
obtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente
c de descarga. Entonces el gasto real es
3
3

2 2
2 2




2
V
V
Q=
2 g c  H + α 0  − α 0   L

3
2g   2g  


El coeficiente de descarga
(9-4)
c se obtiene experimentalmente.
Si tuviésemos un vertedero en el que la velocidad de aproximación fuese tan pequeña que
pudiese despreciarse, entonces, para V 0 = 0 se obtiene la descarga teórica
Q=
3
2
2 g LH 2
3
(9-5)
La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga
Q=
c y se llega a
3
2
2 g cLH 2
3
(9-6)
467
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
que es la ecuación de descarga característica de los vertederos rectangulares. La posibilidad
de despreciar la velocidad de aproximación depende de su valor y de la precisión con la que
estemos trabajando. Referencialmente se señala que si la sección transversal del canal de
aproximación es mayor que 8 LH entonces se puede despreciar la velocidad de aproximación.
Obsérvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longitud
del vertedero y a la potencia 3/2 de la carga.
c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerosos
estudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c de un vertedero depende
de varios factores: carga H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades del
La determinación del coeficiente de descarga
fluido, etc.
Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga se
han desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigación tiene, en consecuencia, un
campo de aplicación. Si nos salimos de él no hay seguridad en los resultados.
La aproximación que da cada fórmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro de
los límites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 9.1 y 9.4 se aprecia las
características generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular.
Los estudios experimentales han partido de la fórmula teórica 9-3 y han seguido diversos
caminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras se
introduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados en
fenómenos no considerados en la deducción de la fórmula teórica.
En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sin
contracciones y con contracciones laterales.
De las numerosas fórmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock
(1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924), KindsvaterCarter (1959).
Obsérvese que si en la fórmula 9-3 consideramos V02 2 g = hV y tomamos factor común
H , entonces se obtiene
3
3

3
2
2
2
h
h




V
V
2
2 g LH 1 + α  − α  
Q=

3
H  H 


(9-7)
si comparamos esta fórmula con la 9-6 se obtiene una interpretación de un coeficiente de
descarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es
468
Vertederos
Capítulo IX
3
3
h 2  h 2

1 + α V  −  α V 
H  H

(9-8)
9.3 Fórmula de Francis
James B. Francis realizó más de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederos
rectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresión para el coeficiente
de descarga.
Francis realizó sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadas
condiciones, las que constituyen los limites de aplicación del coeficiente de descarga que
obtuvo.
La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sin
embargo, experimentó también con otras longitudes.
En lo que respecta a la carga, ésta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyen
los límites de aplicación de la fórmula. Se recomienda también que la altura del umbral P
esté comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda también que la relación L / H sea
mayor que 3.
La fórmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximación V0 y la posibilidad de
contracciones laterales.
La fórmula de Francis es
3
3

2 2
2 2




2
nH
V
V


Q=
2 g 0,622  L −
  H + 0  −  0  
3
10  
2g   2g 



(9-9)
En el sistema métrico se considera
2
2 g 0,622 = 1,836 ≈ 1,84
3
(9-10)
Obsérvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 es
dimensional.
En el sistema de unidades inglesas se tendría
469
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
2
2 g 0,622 = 3,33
3
(9-11)
En el sistema métrico la fórmula general de Francis queda así
nH

Q = 1,84 L −
10

3
3


V02  2  V02  2 
 
 −

  H +
2 g   2 g  
 


(9-12)
en la que el caudal Q está en m3/s, la longitud del vertedero L en metros, la carga H en
metros, la velocidad de aproximación
V0 en m/s. Se designa como n el número de
contracciones (0, 1, 2).
Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones es
el de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reducción de la longitud del


vertedero. Aparece así una longitud efectiva  L −
nH 
 en función del número n de
10 
contracciones. Obsérvese que si L ≤ 0,2 H aparecería cero o un valor negativo para el caudal.
Si se considera que la velocidad de aproximación es muy pequeña y que puede despreciarse,
entonces
V0 = 0 y la fórmula de Francis queda así
nH  2

Q = 1,84 L −
H
10 

3
Si, además, no hubiese contracciones laterales, entonces
(9-13)
n = 0 y la fórmula de Francis
quedaría reducida a
3
Q = 1,84 LH 2
(9-14)
Para aplicar la fórmula general de Francis (Fórmula 9-9) es necesario recurrir a un método de
tanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular
V0 se requiere conocer la
carga H .
Lo que se recomienda es hacer un cálculo preliminar a partir de la fórmula (9-14), asumiendo
que la velocidad
V0 de aproximación fuese cero y que no hubiese contracciones. Con ese
valor preliminar obtenido se aplica la ecuación general, se compara los resultados obtenidos
y se prosigue hasta lograr la aproximación deseada.
470
Vertederos
Capítulo IX
Si la fórmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograr
aproximaciones de ± 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar a
cargas muy pequeñas, fuera de los límites de aplicación de la fórmula de Francis, se obtendría
resultados menores que los reales.
9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares
a) Fórmula de Bazin, ampliada por Hégly
En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos estableció una fórmula
para calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones.
En 1921 Hégly publicó, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva fórmula para el
cálculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sin
ellas. La llamó ‘’fórmula completa de Bazin’’. También se le conoce con el nombre de fórmula
de Bazin-Hégly.
La fórmula de Bazin-Hégly se aplica a vertederos cuyas cargas están comprendidas entre
0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes están entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura del
umbral se encuentra entre 0,20 m y 2,00 m.
La fórmula de Bazin-Hégly parte de la ecuación 9-6, de descarga de un vertedero
Q=
3
2
2 g cLH 2
3
en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de
c es
B − L 0,00405  

L  H 
c = 0,6075 − 0,045
+

1 + 0,55  

B
H  

B H +P
2
2



(9-15)
en la que B es el ancho del canal.
Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces B = L y el coeficiente de descarga sería
2
0,00405  

 H  
c =  0,6075 +
1
+
0
,
55



H  
 H + P  

(9-16)
471
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
b) Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos
Esta fórmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en
1924. La fórmula parte de la ecuación 9-6 de descarga de un vertedero
3
2
Q=
2 g cLH 2
3
En esta fórmula también hay dos coeficientes, según que haya contracciones o no.
El coeficiente
c para un vertedero con contracciones es
2

L 
3,615 − 3   
2
2

1 L H  
B 
L


c = 0,578 + 0,037  +

 
1 +

1000 H + 1,6   2 B  H + P  
B




(9-17)
B es el ancho del canal.
Los límites de aplicación de esta fórmula para el coeficiente de descarga en vertederos
rectangulares con contracciones son
0,025
≤ H ≤ 0,80 m
L B
L ≥ 0,30 B m
P ≥ 0,30 B
H
≤1
P
El coeficiente de descarga
c para un vertedero sin contracciones es
2
1

 1  H  
c = 0,615 1 +
 
 1 + 
 1000 H + 1,6   2  H + P  
La carga H está en metros. Los límites de aplicación de este coeficiente son
0,025 m < H ≤ 0,80 m
472
(9-18)
Vertederos
Capítulo IX
P ≥ 0,30 m
H
≤ 1
P
c) Fórmula de Kindsvater - Carter
Es una de las fórmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares,
con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de
1959.
La fórmula es
Q = ce
3
2
2 g (L + K L )(H + K H )2
3
(9-19)
Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la ‘‘longitud efectiva’’, que
es la suma de la longitud L del vertedero más un valor K L que se encuentra a partir de una
expresión obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 9.11. K H es un valor igual
a 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la ‘’carga efectiva’’. ce es el coeficiente
de descarga propio de la fórmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 9.12.
55
(mm)
KKLL (mm)
44
33
22
11
00
-1
-1
00
0,2
0,2
0,4
0,4
0,6
0,6
0,8
0,8
11
LL
BB
Figura 9.11 Gráfico para la determinación de
KL
Entre los requerimientos para una correcta aplicación de la fórmula están los siguientes.
La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 ó 5 veces la máxima carga.
El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 ó 2 mm de
espesor.
473
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la cresta
del vertedero.
La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm.
La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm.
La relación entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2,5.
Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( L = B ), entonces no hay contracciones,
pero debe cumplirse que B − L ≥ 0,2 m
L
B
0,75
0,9
Coeficiente de descarga
ce
0,8
=1
0,8
0,7
0,7
0,65
0,6
0,4
0
0,6
0,55
0
0,5
1
1,5
2
2,5
H
P
ISO (1980)
LMNO
Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial
Ejemplo 9.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada,
de 2 m de longitud. La altura del umbral es 1,50 m. Calcular el caudal para una carga de 0,50 m.
Solución. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cada
extremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones de
contracción. Así mismo, la altura del umbral también garantiza una buena contracción.
Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las fórmulas que podrían
usarse.
Fórmula de Francis
Para iniciar el cálculo se puede usar la ecuación 9-14 considerando como que no hubiese contracciones
no velocidad de acercamiento importante
474
Vertederos
Capítulo IX
Q = 1,84 LH 2 = 1,84 × 2 × (0,50 )2 = 1,301 m3/s
3
3
Esta sería la descarga del vertedero para las condiciones señaladas ( n = 0 ; V0 = 0 ). A partir del
caudal encontrado se puede calcular la velocidad de aproximación (ec. 9-1)
V0 =
1,301
Q
Q
=
=
= 0,108 m/s
A B(P + H ) 6 × 2
Aplicando la ecuación 9-2, para α = 1 , se obtiene
hV =
V02
= 0,0006 m
2g
Se trata de un valor bastante pequeño, sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuación 9-12
nH

Q = 1,84 L −
10

3
3

 (H + hV )2 − hV 2 


3
3
2 × 0,50  

Q = 1,84 2 −
 (0,50 + 0,0006 )2 − (0,0006 )2 

10  

Q = 1,238 m3/s
Obsérvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiendo que no había
contracciones y que la velocidad de aproximación era despreciable. Podría hacerse un nuevo cálculo
de la velocidad de aproximación y repetir todo el procedimiento, pero como en este caso es tan
pequeña no vale la pena hacerlo.
Se hubiera podido partir de la ecuación 9-13, entonces
3
nH  32

Q = 1,84 L −
 H = 1,84 ×1,9 × (0,50 )2 = 1,236 m3/s
10 

V0 =
1,236
= 0,103 m/s
12
hV =
V02
= 0,0005
2g
3
3
Q = 1,84 × 1,9 (0,50 + 0,0005 )2 − (0,0005 )2  = 1,238 m3/s


475
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Por lo tanto según la fórmula de Francis el caudal es 1,238 m3/s. Si quisiéramos calcular el coeficiente
de descarga con la ecuación 9-8 se obtendría
3
3
3
3
h  2  h  2  0,0005  2  0,0005  2

c = 1 + α V  − α V  = 1 +
 −
 = 1,0015
H  H
0,50   0,50 


que es prácticamente igual a la relación entre 1,238 y 1,236 m3/s
Fórmula de Bazin
El coeficiente c de descarga para la fórmula de Bazin está dado por la ecuación 9-15
2
2
B − L 0,00405  

L  H  
+
+
c = 0,6075 − 0,045
1
0
,
55






B
H  

 B   H + P  
reemplazando los valores conocidos se obtiene
2
2
6 − 2 0,00405  

 2   0,50  
c = 0,6075 − 0,045
+
1 + 0,55  
 
6
0,50  
 6   0,50 + 1,50  

c = 0,588
y el gasto es
Q=
3
2
c 2 g LH 2 = 1,227 m3/s
3
Fórmula de la Sociedad Suiza
Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuación 9-17
2

L 
3,615 − 3  
2
2

L
 B   1 + 1 L  H  
c = 0,578 + 0,037  +
 



1000 H + 1,6   2 B  H + P  
B




Reemplazando los valores conocidos se obtiene
2

2 
3,615 − 3   
2
2

2
 6   1 + 1 2  0,50  
c = 0,578 + 0,037  +



1000 H + 1,6   2 6  2,00  
6




476
Vertederos
Capítulo IX
De donde,
c = 0,595
El caudal es
Q=
3
3
2
2
2 g cLH 2 =
2 g × 0,595 × 2 × (0,50 )2 = 1,242 m3/s
3
3
1,756
Fórmula de Kindsvater
Se aplica la ecuación 9-19
Q = ce
3
2
2 g (L + K L )(H + K H )2
3
K H es 0,001 m. Para el cálculo de K L se usa la Figura 9.11 y a partir de
L
= 0,33 se obtiene
B
K L = 0,025 m.
Para el cálculo de ce se usa la Figura 9.12 y para
H
= 0,33 se obtiene c e = 0,59
P
Por lo tanto,
Q = 0,59
3
2
2 g (2 + 0,0025)(0,50 + 0,001)2 = 1,237 m3/s
3
CUADRO COMPARATIVO
INVESTIGADOR
Q (m3/s)
ε (m3/s)
%
Francis
1,238
+ 0,002
0,16 %
Bazin
1,227
- 0,009
0,73 %
Sociedad Suiza
1,242
+ 0,006
0,48 %
Kindsvater
1,237
- 0,001
0,08 %
Promedio
1,236
0
0
Al haber aplicado estas cuatro fórmulas se observa que, independientemente del error que cada una
de ellas tiene, los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio son
inferiores al 1 %.
477
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
d) Fórmula de Rehbock
Rehbock realizó desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidráulica de
Karlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechas
y trató de disminuir la influencia de las condiciones de aproximación.
La fórmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pared
delgada sin contracciones es
3
H 0,00009   0,0011 2

1+
c = 0,6035 + 0,0813 +
P
P  
H 

(9-20)
H y P están en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuación 9-6.
Se recomienda usar la fórmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m.
9.5
Vertederos triangulares
Para deducir la fórmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura
Consideremos el gasto a través de
b
la pequeña franja elemental
dx .
La longitud de la franja es
x
dx
2α
H
b(H − x )
H
El área de la franja es
b(H − x )
dx
H
Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximación se
obtiene el caudal
dQ =
Integrando entre
478
1
 1

b
(H − x ) 2 gxdx = b 2 g  Hx 2 − x 2 dx
H
H


x = 0 y x = H se obtiene
Vertederos
Capítulo IX
3
4
Q = b 2g H 2
15
Pero, b = 2H tanα , de donde
QTEORICO =
QREAL = c
5
8
tan α 2 g H 2
15
(9-21)
5
8
tan α 2 g H 2
15
(9-22)
La fórmula de descarga para un vertedero triangular de un ángulo dado y para coeficiente
c
constante puede expresarse así
Q = KH
5
2
siendo,
K =c
8
tan α 2 g
15
La necesidad de este coeficiente de descarga
c
se justifica porque en la deducción de la
fórmula no se ha tomado en cuenta la contracción de la napa y otros efectos que si están
presentes en el flujo real.
Otra forma de calcular la descarga a través de un vertedero triangular verticalmente simétrico
es considerar que la ecuación de uno de los dos lados del triángulo es
x = y tan α
y
dy
α
H
de donde, el caudal es
Q = 2 2 g c tan α
∫
H
0
(H − y )2 ydy
1
integrando se obtiene
479
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
5
8
2 g c tan αH 2
Q=
15
que es la ecuación de descarga de un vertedero triangular.
De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geométricas.
La dificultad se da en conocer los correspondientes coeficientes de descarga.
Si el vertedero estuviese formado por un triángulo asimétrico en el que los ángulos con respecto
a la vertical fuesen α1 y α 2 se puede considerar el promedio respectivo.
Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descarga
depende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisión en la medición de
caudales pequeños. Así mismo, en los vertederos triangulares es muy pequeña la influencia
de la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho del
canal de aproximación sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero.
B ≥ 5H
(9-23)
A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch, que
liberalmente significa escotadura en V .
Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a la
exactitud en la medición de la carga. Para cargas pequeñas influye la viscosidad y la
capilaridad.
El coeficiente
c depende de varios factores; entre ellos están el ángulo del vertedero y la
carga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales.
En el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C.
Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigación experimental del flujo en
vertederos de 15º, 30º, 45º, 60º, 90º y 120º. En la Figura 9.13, tomada de la Hidráulica de
Dominguez, se aprecia los resultados. Para cada ángulo del vertedero y para cada valor de
la carga se obtiene el coeficiente
m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto,
c=
15
m
8
El gasto se calcula con la fórmula 9-22. Se determinó, como parte del estudio, que los errores
no son superiores al 5 %.
480
Vertederos
Capítulo IX
m
0,40
2α
15º
0,35
30º
45º
90º
120º
0,30
60º
CRUZ COKE Y MOYA
120º
otros ángulos
MIGUEL Y FIGARI
0,25
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
H
Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares
Es interesante analizar la Figura 9.13. Se observa claramente que para cada ángulo el
coeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras éstas sean pequeñas. A partir de un
cierto valor de la carga, alrededor de 3 ó 4 cm, el aumento de la carga implica una disminución
del coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras más pequeño
sea el ángulo) se llega a un valor prácticamente constante. Estos valores prácticamente
constantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas son
para cada ángulo los que aparecen en la Tabla 9.2
TABLA 9.2
COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES
ANGULO ( 2α )
15º
30º
45º
60º
90º
120º
H>
0,25
0,205
0,185
0,17
0,14
0,12
m
0,343
0,33
0,325
0,32
0,313
0,322
c
0,643
0,619
0,609
0,6
0,587
0,604
K
0,2
0,392
0,596
0,818
1,386
2,471
481
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Aplicando la Tabla 9.2 se podría tener una fórmula simple para cada vertedero de un cierto
ángulo, la que se podría aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor. Así,
se tendría
Para 15º
Para 30º
Para 45º
Para 60º
Para 90º
Para 120º
Q = 0,2 H
5
2
(para H ≥ 0,25 m)
Q = 0,392H
Q = 0,596H
Q = 0,818H
Q = 1,386H
Q = 2,471H
5
2
(para H ≥ 0,205 m)
5
2
(para H ≥ 0,185 m)
5
2
(para H ≥ 0,17 m)
5
2
(para H ≥ 0,14 m)
5
2
(para H ≥ 0,12 m)
Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90º se tiene que
2α = 90º (α = 45º )
y el gasto teórico es
QT =
5
5
8
2 g H 2 = 2,3612 H 2
15
(9-24)
James Thomson (1861) realizó experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida su
fórmula para vertederos triangulares de 2α = 90º . Sus experimentos abarcaron cargas entre
5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostró experimentalmente que la fórmula de
Thomson podía extenderse hasta H = 30 cm. La fórmula es
Q = 0,593
5
8
2g H 2
15
o bien,
5
Q = 1,4 H 2
que es la conocida fórmula de Thomson para vertederos de 90º. H está en metros y el
caudal Q en m3/s.
A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes presentó la siguiente fórmula
Q = 1,37 H 2, 48
que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor señala que el error es inferior a 1/5 de
1 %.
Obsérvese que fórmulas como la de Thomson y de Barnes sólo son aplicables a partir de un
cierto valor de la carga H obtenido experimentalmente.
482
Vertederos
Capítulo IX
9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti
Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia,
casi no hay información sobre sus coeficientes de descarga.
Para el cálculo de la descarga teórica se suele considerar que la sección está conformada
por tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales, que son triangulares. Se
obtiene así que la descarga en un vertedero trapecial isósceles es
3
Q = c1
5
8
2
2 g tan α H 2
2 g LH 2 + c2
15
3
α
α
H
L
Se tiene muy poca información experimental sobre los valores de los coeficientes de descarga
para este caso. Balloffet señala que es frecuente considerar
c1 = c2 = 0,6 , a pesar de la falta
de justificación teórica o experimental.
En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudió y propuso un tipo especial de vertedero trapecial,
cuyas características se señalan a continuación.
Vertedero de Cipolletti
Es un vertedero trapecial de
determinadas características
geométricas.
2d
α
L
H
d
El gasto se considera formado de dos
partes
-
Una parte a través de la abertura
rectangular.
-
Otra parte a través de los
triángulos.
483
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Por consideraciones geométricas se cumple que
tan α =
d
H
Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos sea
precisamente igual a la disminución del gasto causado por las contracciones en un vertedero
rectangular de longitud L . Consideremos que el gasto teórico a través de los triángulos es
3
8
Q = d 2g H 2
15
La disminución del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene a
partir de una fórmula tipo Francis
3
2
Q=
2 g (0,2 H )H 2
3
Igualando
3
3
8
2
d 2g H 2 =
2 g (0,2 H )H 2
15
3
se obtiene
H 4
=
d 1
Es decir,
tan α = 1 4 que es la condición de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica α = 14º 2' .
Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletti
es 0,63.
El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitud
L , sin contracciones
Q = 0,63
3
2
2 g LH 2
3
L es la base del trapecio. O bien, en el sistema métrico
3
Q = 1,86 LH 2
Para una correcta operación del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones.
La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a
L 3 . La altura P del umbral debe
b , señalada en la
ser mayor que el doble de la máxima carga sobre el vertedero. La distancia
484
Vertederos
Capítulo IX
Figura 9.14, debe ser mayor que el doble de la máxima carga. El ancho del canal de
aproximación debe estar comprendido entre 30 H y 60 H . La carga debe medirse a una
distancia de 4 H del vertedero.
b
H
1
0,25
L
P
B
Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti
La corrección por velocidad de aproximación puede hacerse de un modo similar al que se hizo
con la fórmula Francis.
El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribución de aguas y otros
sistemas compatibles con la aproximación de este vertedero. No se recomienda su uso en
laboratorios o en mediciones de precisión. Si se cumplen las condiciones de instalación el
error puede ser
± 5 %.
9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos
Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condiciones
indispensables para garantizar su confiabilidad. Entre ellas están las siguientes
1. El primer y más importante punto para una buena y confiable medición de caudales
con un vertedero es la apropiada selección del tipo de vertedero. Así por ejemplo, un
vertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeños (puesto que en
ellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). En cambio, para medir
caudales relativamente altos, un vertedero rectangular sin contracciones podría ser
el más indicado. Más adelante se señala los errores que se pueden producir en el
cálculo del caudal como consecuencia de un error en la medición de la carga.
485
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
2. Luego viene la correcta selección de la fórmula. Para cada tipo de vertederos existen
numerosas fórmulas de origen experimental. Cada una de ellas tiene un rango de
aplicación. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una alta
aproximación en la medición de caudales. Si estamos fuera de los rangos de
experimentación, la confiabilidad del resultado es dudosa.
3. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendaciones
de carácter general, además de las que pueden originarse en cada fórmula, las que
aparecen en la Figura 9.15, debida a G. E. Russell, y que es producto de la
recomendación de varios investigadores.
H
>3H
L >3H
>3 H
P >3H
Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuenta
para instalar un vertedero rectangular con contracciones.
Se observa que la longitud L del vertedero, el umbral P y la distancia a las paredes
del canal debe ser por lo menos igual al triple de la máxima carga sobre el vertedero.
En estas condiciones la velocidad de aproximación será despreciable.
4. En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda, recta y horizontal. El
vertedero debe colocarse normalmente a la dirección de las líneas de corriente.
Para efectos de una buena conservación se recomienda que la cresta sea de bronce.
El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debe
mantenerse lisa.
El vertedero debe instalarse en un tramo recto, que lo sea en una longitud no inferior
a 10 veces la longitud L de la cresta del vertedero.
486
Vertederos
Capítulo IX
5. La altura del umbral P no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la máxima carga
sobre el vertedero.
6. La velocidad de aproximación debe mantenerse pequeña. La sección transversal
del canal de aproximación
[B × (H + P )] debe ser por lo menos igual a 6, o mejor
8 veces, la sección de la napa vertiente LH .
7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamente
aireada. En todo su contorno la presión debe ser igual a la atmosférica. Si fuese
necesario, debe instalarse dispositivos de aireación.
8. Si las condiciones de aproximación del flujo no son tranquilas debe colocarse
elementos disipadores de energía, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrillos
huecos, mallas, etc.
9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, mediante
una toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia de
aproximadamente cuatro veces la carga ( 4 H ) de modo que no haya influencia del
movimiento rápidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampoco
se debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces aparecería
la influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal.
10.Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan en
la napa.
11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antes
señaladas, deben ser cuidadosamente calibrados.
9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)
En la Figura 9.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta,
plana y horizontal, es
b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por las
condiciones de aguas abajo.
Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor
b de
la cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga
b≥
2
H
3
(9-25)
puesto que si no se cumple esta condición el vertedero podría ser de pared delgada (ver
Figura 9.4) o de pared intermedia.
487
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
V02
2g
V2
∆H =
2g
H
y = yc
P
b
Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa
Se considera que la longitud máxima de
b debe estar alrededor de 15H
En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil característico
de la superficie libre. La energía específica aguas arriba es H + V0 2 g , la que debe ser
2
igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni pérdidas de carga y que
el coeficiente
α
de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,
V02
V2
H+
= y+
2g
2g
siendo
V la velocidad media del flujo sobre la cresta y ∆H la diferencia de energía
correspondiente. De la última ecuación se obtiene que la velocidad media sobre la cresta es


V2
V = 2 g  H + 0 − y 
2g


Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrítico ( F < 1 ). En la sección
correspondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico F > 1 . En
algún lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crítico.
488
Vertederos
Capítulo IX
El flujo sobre el vertedero es crítico
(y = yc ) . Es decir, que el flujo resuelve el cruce del
vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía.
Si se tratase de una sección rectangular de ancho L entonces
V2 
2
y = yc =  H + 0 
3
2g 
(9-26)
Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es


V2
V 2 
2
Q = BycV = L  H + 0   2 g  H + 0 − yc  
3
2 g  
2g

 
yc
V
De donde,
3
3
Q = g L yc2 = 3,13L yc2
(9-27)
Esta fórmula se suele expresar en función de la energía de aguas arriba
3
3

V 2 2
 2 2
Q =   2 g L H + 0 
2g 
3

Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente,
entonces el gasto teórico es
3
 2 2
Q =   g LH 2
 3
3
(9-28)
En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es
3
Q = 1,7 LH 2
(9-29)
En el sistema ingles sería
489
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
3
Q = 3,09LH 2
(9-30)
Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación 9-29 un coeficiente de descarga
c . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores
3
Q = c1,7 LH 2
(9-31)
George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores,
para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones del
borde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 9.3.
Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de éste, las
condiciones de cálculo serían diferentes.
TABLA 9.3
COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA
EXPERIMENTADOR
L
P
CARGA
1,7c
Bazin
2
0,75
0,09 a 0,50
1,42 a 1,61
U.S. Deep Waterways Board
2
1,40
0,25 a 1,50
1,55
Woodburn
3
0,53
0,15 a 0,45
1,53 a 1,57
Bazin
2
0,75
0,06 a 0,45
1,33 a 1,45
U.S. Deep Waterways Board
2
1,40
0,27 a 1,50
1,31 a 1,38
Woodburn
3
0,53
0,15 a 0,45
1,44 a 1,45
BORDE DE AGUAS ARRIBA REDONDEADO
BORDE DE AGUAS ARRIBA AGUDO
(Todas las dimensiones en metros)
9.9 Vertederos laterales
Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes
(taludes) de un canal. Su función es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, son
aliviaderos. A continuación se presenta algunas nociones sobre estos vertederos.
En la Figura 9.17 se aprecia el esquema característico de un vertedero lateral de longitud L
practicado en un canal con flujo subcrítico ( F < 1 )
490
Vertederos
Capítulo IX
Q0
Q1
Q
L
h
h0
H0
Q0
H
h1
Q
P
Q1
H1
i
x
Figura 9.17 Vertedero lateral
Se observa las líneas de corriente y su desvío como consecuencia del vertedero lateral, cuyo
caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 9.17 se observa la longitud L del vertedero
Q0 . El caudal que pasa por el vertedero es Q
y el caudal remanente es Q1 . Evidentemente que Q es el exceso de caudal que se quiere
y el umbral P . El caudal inicial en el canal es
eliminar del canal.
Q = Q0 − Q1
V0 es la velocidad correspondiente al caudal Q0 y V1 lo es del caudal Q1 , H 0 es la carga
en el punto inicial del vertedero y H1 , es la carga en el punto final. H es la carga (variable)
en cualquier punto del vertedero a la distancia x del punto inicial. Como se trata de un
régimen subcrítico el valor de la carga h aumenta desde H 0 hasta H1 en el punto final del
vertedero, lo que puede comprobarse experimental y teóricamente suponiendo que la energía
es constante a lo largo de la cresta, tal como lo señala Balloffet. Se supone en la siguiente
deducción que la variación de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga
491
Hidráulica de tuberías y canales
a la distancia
Arturo Rocha
x del punto inicial es
H = H0 +
H1 − H 0
x
L
(9-32)
El gasto es
Q=
∫
L
0
2
H − H0

c 2g  H0 + 1
3
L

3
2

x  dx

(9-33)
De donde,
Q=
5
2
1
5
2
0
H
H −H
c 2g L
15
H1 − H 0
(9-34)
Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio
de Francis es L −
nH
. Si el vertedero es muy largo, más de 10H , puede despreciarse el
10
efecto de las contracciones.
9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error en
la medición de la carga
a) Vertedero rectangular
La ecuación de descarga de un vertedero rectangular es
3
Q = KH 2
La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior
1
dQ
= 1,5KH 2
dH
de donde,
1
dQ = 1,5KH 2 dH
comparando con el gasto se obtiene,
dQ
dH
= 1,5
Q
H
492
(9-35)
Vertederos
Capítulo IX
Luego, un error, por ejemplo del 1 % en la medición de H , produciría un error de 1,5 % en el
cálculo de Q .
b) Vertedero triangular
La ecuación de descarga de un vertedero triangular es
Q = KH
5
2
La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior
3
dQ = 2,5KH 2 dH
de donde,
dQ
dH
= 2,5
Q
H
(9-36)
En consecuencia, un error del 1 % en la medición de H representará un error del 2,5 % en
el cálculo de Q .
9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero
El vaciamiento de un depósito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier forma
y características. La condición de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre sea
descendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudal
va disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviadero
de presas.
H1
H1
H
H
dH
H2
Depósito
H2
L
Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero
493
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En la Figura 9.18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud L que realiza el vaciamiento
de un estanque, entre los niveles
comprendida entre
H1 (nivel inicial) y H 2 (nivel final). H es una carga variable
H1 y H 2 .
Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño
dt , la carga H se
puede asumir, para efectos de aplicación de una de las fórmulas de vertederos, como si fuese
constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo
dV =
dt debe ser
3
2
c 2 g LH 2 dt
3
Este volumen descargado debe ser igual al producto del área de la sección transversal A del
depósito por
dH , que es la variación de niveles. Luego,
3
2
c 2 g LH 2 dt = AdH
3
(9-37)
Se está suponiendo que el área transversal A del estanque es constante. Sin embargo, en
muchos casos no lo es. El área A puede ser una función de la carga. Una posibilidad es que
esta función pueda expresarse matemáticamente de un modo simple. Tal sería el caso, por
ejemplo, de paredes inclinadas 45º un otro ángulo. En los embalses naturales no existe esa
función matemática. Se recurre entonces a una sumatoria. También se está suponiendo que
el coeficiente de descarga es constante. De la expresión 9-37 se obtiene por integración
∫
t
dt =
0
∫
H2
H1
AdH
2
c 2 g LH
3
3
2
=
A
2
c 2g L
3
∫
H2
H1
dH
3
H2
Por lo tanto, el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de
t=
494
 1
1 
−


2
H1 
c 2 g L  H 2
3
H 2 a H1 es
2A
(9-38)
Vertederos
Capítulo IX
H 2 tiende a cero, el tiempo requerido tenderá a infinito, lo que no concuerda
con la realidad. Esto se debe a que tanto la carga H como el área de descarga estarían
Obsérvese que si
aproximándose a cero simultáneamente. En todo caso hay que recordar que las fórmulas
para el cálculo de la descarga de un vertedero sólo son aplicables a partir de una cierta carga
mínima.
Cuando por una razón u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicando
las fórmulas conocidas en intervalos muy pequeños. Este método se emplea también cuando
el depósito tiene además el aporte de un caudal Q que a su vez puede ser función del
tiempo. La magnitud de los intervalos dependerá de la precisión buscada y de las características
de la información disponible.
Ejemplo 9.2 Un depósito profundo tiene paredes verticales. La sección transversal es de 30 por 50
metros. En una de las paredes se ha instalado un vertedero rectangular de 0,50 m de longitud. La cresta
del vertedero es aguda y se encuentra en la cota 122,30 m. Considerar que el coeficiente de descarga
es constante e igual a 0,6. Calcular: a) el tiempo necesario para que el nivel de la superficie libre
descienda de la cota 122,50 m a la cota 122,35 m, b) el gasto instantáneo al principio y al final del
intervalo, c) el caudal medio durante el intervalo.
Solución.
a) Aplicando la ecuación 9-38 se obtiene
t=
 1
 1
1 
2 × 1 500
1 
−
−

=


2
0,20 
H 1  2 × 0,6 × 2 g × 0,5  0,05
c 2 g L  H 2
3
3
2A
t = 7 576,7 segundos
b) La ecuación de descarga por el vertedero es (considerando V0 = 0 y sin contracción).
Q=
3
3
2
c 2 g LH 2 = 0,885H 2
3
Para la condición inicial H = 0,20 m y Q = 0,0792 l/s
Para la condición final H = 0,05 m y Q = 0,0099 l/s
c) El volumen total descargado es
A(H 1 − H 2 ) = 30 × 50 × 0,15 = 225 m3
495
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El caudal medio es
Volumen
225
=
= 0,0297 m3
Tiempo
7 576,7
Para realizar el cálculo del tiempo de vaciamiento de un estanque mediante una sumatoria se
procede a elaborar una tabla como la 9.4 en la que sólo se ha presentado, como ejemplo, las
primeras filas del cálculo correspondiente al ejemplo 9.2.
Se procede así
1. Se empieza por considerar
n valores de la carga comprendidos entre H1 y H 2
(columna 1). Para el ejemplo 9.2 estos valores podrían ser 0,20 m, 0,19 m, 0,18 m,
etc.
2. Luego se calcula los correspondientes valores de ∆H , es decir,
(H 2 − H1 ) para
cada dos valores sucesivos de la carga (columna 2).
3. A continuación se calcula la carga media del intervalo, que es
1
(H1 + H 2 )
2
(columna 3).
4. A partir de la carga media obtenida se calcula el correspondiente caudal de descarga,
y se considera los coeficientes que resulten más apropiados (columna 4).
5. Ahora se calcula el volumen descargado que es igual al producto del área transversal
correspondiente del estanque, la que puede ser variable, por la diferencia de carga
(columna 5).
6. Para obtener el intervalo de tiempo correspondiente se encuentra la relación entre
el volumen descargado y el correspondiente caudal (columna 6).
7. Finalmente, se acumula los tiempos parciales y se obtiene el tiempo total.
TABLA 9.4
EJEMPLO 9.2
1
2
3
4
5
6
7
H
∆H
H
Q
Volumen
∆t
t
0,19
0,01
0,195
0,0762
15
196,9
196,9
0,18
0,01
0,185
0,0704
15
213,0
409,9
0,17
0,01
0,175
0,0648
15
231,5
641,4
etc.
496
Vertederos
Capítulo IX
9.12 Vertedero sumergido
Se dice que un vertedero está sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de la
cresta del vertedero. La condición de sumergencia no depende del vertedero en sí, sino de las
condiciones de flujo. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no, según el caudal que se
presente. Las condiciones de aguas abajo, por ejemplo un remanso, pueden determinar que
un vertedero quede sumergido. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma.
En la Figura 9.19 se observa un vertedero sumergido en el cual H es la diferencia de nivel
entre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero; h es la diferencia de nivel
entre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. Se denomina sumergencia a
la relación que existe entre h y H .
H
h
Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido
Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidráulicas. En ellas el
vertedero actúa como un aliviadero más que como un elemento de aforo. Las fórmulas para el
cálculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientes
a un vertedero libre, razón por la cual no se les usa como estructuras para determinar caudales.
Si la relación
h H , es decir la sumergencia, está próxima a la unidad o cuando es muy
pequeña, suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado, como se aprecia en la Figura
9.20. Es por eso que se recomienda hacer el cálculo sólo para
0,2 ≤
h
≤ 0,8
H
(9-39)
497
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo
de un vertedero sumergido
Uno de los criterios más antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es el
Du Buat, de 1816. Este método considera que el gasto total está formado por dos gastos
parciales.
Q1 que es el que escurre a través de un vertedero libre virtual cuya cresta se
supone que coincide con el nivel de aguas abajo y
Q2 que es el que escurre por un orificio
virtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. En
consecuencia, para un vertedero sumergido rectangular, de cresta aguda el gasto es
1
3
3

2
2 2
2
2
2






2
V
V
V
2 g L  H + 0 − h  −  0   + c2 2 g Lh  H + 0 − h 
Q = c1

3
2g
2g


  2 g  


Q1 = vertedero libre
(9-40)
Q2 = orificio
La precisión de esta fórmula dependerá de la precisión con la que se pueda determinar los
coeficientes
c1 y c2 para este caso particular. Numerosos investigadores trataron de encontrar
dichos coeficientes, pero los resultados no fueron satisfactorios ni coincidentes. Se suele
considerar que
c1 = c2 = 0,62 , lo que si bien no tiene mayor justificación teórica resulta útil
para los cálculos prácticos.
Algunos autores, como Herschel, resuelven el problema de hallar la descarga en un vertedero
sumergido a partir de una modificación de la fórmula de Francis
Q = 1,84L(NH )2
3
498
(9-41)
Vertederos
Capítulo IX
en donde H es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y
N es un coeficiente
de reducción de la carga del vertedero supuesto libre, que depende de la sumergencia. Los
valores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 9.5.
TABLA 9.5
VALORES DE
h
H
0,00
0,01
N PARA USARSE EN LA FORMULA 9-41
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0 1,000 1,004 1,006 1,006 1,007 1,007 1,007 1,006 1,006 1,005
0,1 1,005 1,003 1,002 1,000 0,998 0,996 0,994 0,992 0,989 0,987
0,2 0,985 0,982 0,980 0,977 0,975 0,972 0,970 0,967 0,964 0,961
0,3 0,959 0,956 0,953 0,950 0,947 0,944 0,941 0,938 0,935 0,932
0,4 0,929 0,926 0,922 0,919 0,915 0,912 0,908 0,904 0,900 0,896
0,5 0,892 0,888 0,884 0,880 0,875 0,871 0,866 0,861 0,856 0,851
0,6 0,846 0,841 0,836 0,830 0,824 0,818 0,813 0,806 0,800 0,794
0,7 0,787 0,780 0,773 3,766 0,758 0,750 0,742 0,732 0,723 0,714
0,8 0,703 0,692 0,681 0,669 0,656 0,644 0,631 0,618 0,604 0,590
0,9 0,574 0,557 0,539 0,520 0,498 0,471 0,441 0,402 0,352 0,275
Villemonte en 1947, en la Universidad de Wisconsin, estableció una fórmula genérica para
vertederos sumergidos de diferente forma
  h n 
Q = Q1 1 −   
  H  
0, 385
(9-42)
n depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular, 5/2 para vertedero triangular,
etc.),
Q1 es el caudal que se produciría si el vertedero fuese libre.
499
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplo 9.3 En un canal de 6,20 m de ancho en el que el tirante normal es de 1,10 m se instala un
vertedero rectangular sin contracciones y con borde agudo de 0,80 m de umbral. La superficie libre se
sobreeleva en 1 m. Determinar el caudal
Solución.
V02
2g
1,00 m
H = 1,30 m
2,10 m
h = 0,30 m
0,30 m
1,10 m
0,80 m
Como no se conoce el caudal no se puede calcular V0 . Supongamos inicialmente que su valor es cero.
El gasto se obtiene a partir de la ecuación 9-38
Q = 0,62
3
1
2
2 g L ( H − h) 2 + 0,62 2 g Lh ( H − h) 2
3
Reemplazando los valores conocidos se obtiene
Q = 11,35 (1,30 - 0,30) 3/2 + 5,11 (1,30 - 0,30)1/2
Q = 11,35 + 5,11
Q = 16,46 m3/s
Ahora se puede introducir el efecto de la velocidad de aproximación
V0 =
16,46
= 1,26 m/s
6,20 × 2,10
o
o o
V02
= 0,08
2g
Q = 11,35 (1 + 0,08)3/2 + 5,11 (1 + 0,08)1/2
Q = 12,74 + 5,31 = 18,05 m3/s
Si usamos la fórmula de Francis con los coeficientes de Herschel se tiene
h 0,30
=
= 0,23
H 1,30
500
o
o o
N = 0,977 (Tabla 9.4)
m
Vertederos
Capítulo IX
3
3
Q = 1,84 L ( NH ) 2 = 11,35 (0,977 × 1,38) 2 = 17,77 m3/s
Si usamos la fórmula de Villemonte
  h n 
Q = Q1 1 −   
  H  
0 , 385
3
= Q1 [1 − (0,23) 3 / 2 ]
0 , 385
= Q1 × 0,956
3
Q1 = 1,84 LH 2 = 1,83 × 6,20 × 1,38 2 = 18,4 m3/s
Q = 18,4 × 0,956 = 17,59 m3/s
CUADRO COMPARATIVO
FORMULA
RESULTADO
Fórmula completa
18,05 m3/s
Francis – Herschel
17,77 m3/s
Villemonte
17,59 m3/s
Promedio
17,8 m3/s
501
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo IX)
1.
Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Deducir una expresión para la velocidad
media, en función de la carga, para una sección transversal correspondiente a la zona de máxima
contracción.
2.
Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Calcular la carga que debe tener el
vertedero para que la velocidad en el eje de la napa vertiente en la zona de máxima contracción
sea de 0,80 m/s.
3.
En un canal de 7,20 m de ancho se ha colocado un vertedero rectangular en pared delgada de
3,20 m de largo. El umbral es de 2,0 m.
Si la carga es 0,61 m calcular el caudal usando varias fórmulas; discutir su aplicabilidad,
preparar un cuadro comparativo de los resultados considerando el efecto de la contracción.
Calcular la longitud adicional que debería tener el vertedero para compensar el efecto de las
contracciones.
4.
En un canal de 3,20 m de ancho se ha instalado a todo lo ancho un vertedero rectangular en
pared delgada de 2 m de alto. Se ha medido la carga y se obtuvo 0,61 m. Calcular el caudal. Usar
varias fórmulas, discutir su aplicabilidad y preparar un cuadro comparativo de los resultados.
5.
Calcular el ancho que debe tener un canal rectangular que tiene un caudal de 12 m3/s, para que
al colocar un vertedero cuyo umbral tiene una altura de 1 m la superficie libre se sobreeleve
0,20 m por encima de la cresta. Considerar que el vertedero es de cresta aguda en pared delgada
y que el flujo de aguas abajo no influye en la descarga sobre el vertedero.
¿Si la sobreelevación fuese de 0,70 m cuál debería ser el ancho?. Comentar las diferencias en el
cálculo de ambos casos a propósito de la consideración de la velocidad de aproximación.
6.
Un canal rectangular de 2 m de ancho tiene una pendiente de 0,0007 y un coeficiente
C de
1/2
Chezy de 53 m /s.
Si se coloca un vertedero, sin contracciones, de 1,20 m de umbral y cresta aguda la carga sería
de 0,60 m.
¿Cuál debería ser el ancho del canal para que conservando el mismo tirante normal se comporte
como de máxima eficiencia hidráulica?.
502
Vertederos
Capítulo IX
7.
En un canal de 1,20 m de ancho que tiene
un caudal de 500 l/s se va a instalar una
placa como la mostrada en la figura, la que
da lugar a un orificio y a un vertedero. Si la
placa tiene 0,75 m de alto, calcular la
abertura
H
0,75
a del fondo para que el orificio y
a
el vertedero descarguen el mismo caudal.
8.
En la figura se muestra dos tanques comunicados por un orificio. El sistema es alimentado de
modo que ingresan 500 l/s. El tanque A tiene un vertedero rectangular en pared delgada de 0,80
m de longitud, que descarga libremente. El tanque B tiene un vertedero triangular de 60º. Las
cotas respectivas se muestran en el dibujo. Se pide: a) ¿cuál es la descarga de cada vertedero, si
el diámetro del orificio es de 8’’?; b) ¿cuál debe ser el diámetro del orificio para que ambos
vertederos descarguen el mismo caudal?.
109,00
108,00
A
B
100,80
100,00
9.
El agua que pasa a través de un vertedero triangular de 90º es recogida en un tanque cilíndrico
de 0,80 m de diámetro. Se encontró que para una carga de 0,25 m sobre el vertedero el nivel del
agua en el tanque cilíndrico aumenta 0,352 m en 4 segundos. Hallar el coeficiente de descarga
del vertedero.
10. La expresión general del flujo por un vertedero triangular es del tipo
 H gH 
,θ 
Q = H 2 gH φ 
 ν

expresión en la que
H : es la carga
ν
θ
:
viscosidad cinemática
:
es el ángulo del vertedero
503
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Experimentos llevados a cabo para el agua en un vertedero de 90º dieron la fórmula
Q = 1,386 H 2,5
Aplicando la similitud dinámica demostrar que el porcentaje de error que representa el uso de
la fórmula práctica para medir el gasto cuando el fluido es un líquido cuya viscosidad cinemática
es 12 veces la del agua será del 5 % por defecto.
11. Un fluido de viscosidad cinemática
ν
pasa a través de un vertedero triangular, de un cierto
ángulo, con el objeto de calcular la descarga Q conociendo la altura H .
Demostrar por medio del análisis dimensional que
 32 12

Q
H g
=ϕ
5 1
 ν
H 2g2






Para el caso particular de un vertedero con un ángulo de 30º la descarga viene dada por la
expresión
Q = 0,392 H 2,5
Hallar el gasto en un vertedero similar por el que pasa un fluido que tiene una viscosidad
cinemática seis veces mayor que la del agua, cuando la carga H es de 25 cm.
12. Se tiene un vertedero triangular en el que el caudal viene dado por la expresión
Q = 0,6 H 5 / 2 .
Determinar la precisión con la que debe medirse la carga para que el error resultante no repercuta
en un error superior al 1 % al calcular el gasto.
13. Determinar la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura
0,50 m
60º
45º
0,90 m
504
Vertederos
Capítulo IX
14. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, para una carga de 0,12 m.
0,12 m
30º
0,25 m
15. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura
y
H=1m
y = x2
60º
1,23 m
x
16. Deducir la ecuación del gasto en función de la carga para un vertedero de sección parabólica.
17. La fórmula de descarga teórica de un vertedero es
Q = cH 7 2 . Establecer la forma del vertedero
y la ecuación respectiva.
18. Un vertedero rectangular y un vertedero triangular de 90º están colocados en serie en un canal.
El vertedero rectangular tiene 2,0 m de longitud. Calcular la carga sobre el vertedero triangular, si
para un caudal de 50 l/s la carga sobre el vertedero rectangular es de 0,1 m.
19. En un canal de 9 m de ancho hay un caudal de 18 m3/s. Se va a colocar un vertedero a todo lo
ancho del canal, de modo de producir una sobreelevación de 0,40 m en el nivel del agua. La
velocidad de aproximación al vertedero debe ser de 0,50 m/s. Calcular la altura que debe tener el
umbral del vertedero.
505
Capítulo I
Introducción
TABLAS GENERALES
TABLA 1
TABLA DE DIMENSIONES
SISTEMA
SISTEMA
ABSOLUTO
GRAVITACIONAL
MLT
FLT
L
L
AREA
L
2
L2
VOLUMEN
L3
L3
TIEMPO
T
T
CANTIDADES
LONGITUD
VELOCIDAD
LT
LT-1
VELOCIDAD ANGULAR
T-1
T-1
ACELERACIÓN LINEAL
LT-2
LT-2
VISCOSIDAD CINEMATICA
L2 T-1
L2 T-1
GASTO
L3 T-1
L3 T-1
M
FT2 L-1
MLT-2
F
MASA
FUERZA
-1
FT2 L-4
DENSIDAD
PESO ESPECIFICO
ML-2 T-2
FL-3
VISCOSIDAD DINAMICA
ML-1 T-1
FTL-2
TENSION SUPERFICIAL
MT-2
FL-1
MODULO DE ELASTICIDAD
ML-1 T-2
FL-2
PRESION
ML-1 T-2
FL-2
MLT-1
FT
2
-2
LF
2
-3
LFT-1
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
ENERGIA (Y TRABAJO)
POTENCIA
ML T
ML T
507
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 2
PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA
Peso
Viscosidad
Viscosidad
Temperatura
Densidad
específico
dinámica
cinemática
T
ρ
γ
µ
ν
2
4
3
2
(ºC)
(Kg - s /m )
(Kg/m )
(Kg - s/m )
(m2/s)
0,0
101,94
1 000
1,81 x 10-4
1,78 x 10-6
5
101,94
1 000
1,55 x 10-4
1,52 x 10-6
10
101,94
1 000
1,33 x 10-4
1,30 x 10-6
15
101,94
1 000
1,17 x 10-4
1,15 x 10-6
20
101,74
998
1,04 x 10-4
1,02 x 10-6
25
101,63
997
0,909 x 10-4
0,894 x 10-6
30
101,53
996
0,815 x 10-4
0,803 x 10-6
35
101,33
994
0,732 x 10-4
0,722 x 10-6
40
101,12
992
0,663 x 10-4
0,656 x 10-6
45
100,92
990
0,606 x 10-4
0,600 x 10-6
50
100,71
988
0,552 x 10-4
0,548 x 10-6
55
100,51
986
0,508 x 10-4
0,505 x 10-6
60
100,31
984
0,468 x 10-4
0,467 x 10-6
65
100,00
981
0,439 x 10-4
0,439 x 10-6
70
99,69
978
0,410 x 10-4
0,411 x 10-6
75
99,39
975
0,381 x 10-4
0,383 x 10-6
80
98,98
971
0,356 x 10-4
0,360 x 10-6
85
98,67
968
0,336 x 10-4
0,341 x 10-6
90
98,37
965
0,317 x 10-4
0,322 x 10-6
95
98,06
962
0,298 x 10-4
0,304 x 10-6
100
97,66
958
0,287 x 10-4
0,294 x 10-6
Tabla tomada del libro de Mecánica de Fluidos Aplicada de Robert L. Mott, 1996
508
Capítulo I
Introducción
TABLA 3
CONVERSION DE UNIDADES
LONGITUD
10
-6
m
10
-9
m
1 Angstrom (A)
10
-10
m
1 pulgada
0,0254
m
1 pie
0,3048
m
1 milla
1,609
m
1 yarda
0,9144
m
1 centímetro
0,3937
pulgadas
1 metro
39,37
pulgadas
1 metro
3,281
pies
1 metro
1,093
yardas
1 kilómetro
0,6214
millas
1 yarda
36
pulgadas
1 milla
1,760
yardas
1 micrón
1 milimicrón
SUPERFICIE
1 metro cuadrado
10,76
pies cuadrados
1 metro cuadrado
1,550
pulgadas cuadradas
1 metro cuadrado
1,196
yardas cuadradas
-4
1 metro cuadrado
2,471x10
acres
1 pie cuadrado
0,0929
metros cuadrados
1 acre
3
4,047x10
metros cuadrados
509
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
VOLUMEN
1 metro cúbico
35,31
pies cúbicos
1 metro cúbico
220
galones imperiales
1 metro cúbico
264,2
galones americanos
1 galón imperial
4,546
litros
1 galón americano
3,785
1 pie cúbico
litros
2,832x10
-2
metros cúbicos
MASA
1 kilogramo - masa
2,205
libras - masa
-2
1 kilogramo - masa
6,852x10
slugs
1 slug
14,59
kilogramos - masa
-2
1 libra - masa
3,108x10
slugs
DENSIDAD
1 gr - masa/cm
3
62,43
lb - masa/pie
1 gr - masa/cm
3
1,940
slug/pìe
3
0,01602
gr - masa/cm
1 lb - masa/pie
510
3
3
3
Capítulo I
Introducción
FUERZA
5
1 Newton
10
dinas
1 Newton
0,1020
kilogramos
1 Newton
0,2248
libras
1 kilogramo
2,205
libras
POTENCIA
1 HP
76,04
kg - m/s
1 HP
745,7
watts
1 watt
0,1020
kg - m/s
-3
1 watt
1,341x10
HP
1 watt
1
joule/s
1 HP
550
lb - pie/s
1 HP
33 000
lb - pie/minuto
PRESION
1 atmósfera
5
Newton/m
1,013x10
6
dinas/cm
76
cm de Hg
406,8
pulgadas de agua
29,92
pulgadas de Hg
2,116
lb/pie
14,7
lb/pulg
1,033
kilogramos/cm
1,013x10
2
2
2
2
2
511
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 4
PROPIEDADES FISICAS DEL AIRE
(a la presión atmosférica)
512
Temperatura
Densidad
T
ρ
Viscosidad
Viscosidad
absoluta
cinemática
µ
3
ν
2
(ºC)
(gr - masa/cm )
(dina - s/cm )
(cm2/s)
0
1,293 x 10-3
1,709 x 10-4
0,1322
50
1,093
1,951
0,1785
100
0,946
2,175
0,2299
150
0,834
2,385
0,2860
200
0,746
2,582
0,3461
250
0,675
2,770
0,4104
300
0,616
2,946
0,4782
350
0,567
3,113
0,5490
400
0,525
3,277
0,6246
450
0,488
3,433
0,7035
500
0,457
3,583
0,7840
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