PROBABILIDAD

PROBABILIDAD
Para analizar la tenencia de aparatos de televisión y teléfono en una población,
Datum, una empresa de estudio de mercados realizó una encuesta en un grupo
de 800 personas tomadas al azar. La distribución conjunta de los resultados fue
como aparece en la Tabla siguiente:
TVTeléfono
Sí tiene
No tiene
Total
Sí tiene
No tiene
Total
280
150
430
120
250
370
400
400
800
Asignar una probabilidad al evento descrito por “una persona compra un determinado
producto”.
SOLUCIÓN:
A: Tener TV
B: Tener teléfono
Ḃ : No tener teléfono
A ꓵ B: Tener TV y teléfono
A ꓴ B: Tener TV o teléfono
P(A) = 400/800 = 0.5000 P(B) = 430/800 = 0.5375
P( Ḃ ) = 1 − P(B) = 370/800 = 0.4625 P(A ꓵ B) = 280/800 = 0.3500
P(A ꓴ B) = P(A) + P(B) − P(A ꓵ B) = 400/800 + 430/800 – 280/800 = 550/800 = 0.6875
Datum desea estudiar el efecto de la propaganda en el deseo de compra de un
nuevo producto, entre las preguntas que se realizaron a 500 personas de Trujillo
para estudiar estaban las siguientes: ¿desearía usted comprar el producto? ¿Cuál
fue el medio de propaganda por el cual usted se enteró de la existencia del
producto? La distribución de frecuencias de las respuestas fue registrada en la
Tabla siguiente
Deseo de
compra
Sí
No
Total
TV
150
40
190
Medio de propaganda
Radio
Periódico
80
50
100
80
180
130
Total
280
220
500
Utilizando la información que aparece en la Tabla se plantea:
A: persona vio la propaganda en la TV,
B: persona manifiesta que comparará el producto,
se puede asignar las siguientes probabilidades en toda la población:
P(A) = 190/500 = 0.38
P(AꓵB) = 150/500 = 0.30
P(B|A) = = (150/500) / (190 / 500 ) = 0.7894
La probabilidad condicional P(B|A) equivale a calcular la probabilidad del evento “tener
deseo de compra”, restringido al espacio muestral descrito por “vio la propaganda por
TV”.
Variables aleatorias
Un sociólogo, al observar 100 familias seleccionadas al azar, ha determinado
que en el distrito del Porvenir ocurre lo siguiente:
80 familias no tienen hijos,
11 familias tienen un hijo,
4 familias tienen dos hijos,
3 familias tienen tres hijos,
2 familias tienen cuatro hijos.
Número
de hijos
0
1
2
3
4
Probabilidad
80/100
11/100
4/100
3/100
2/100
Basado en esta experiencia, el sociólogo podría indicar que para familias del Porvenir
se puede establecer que la variable aleatoria X, correspondiente al número de hijos,
tiene la siguiente distribución o ley de probabilidad de la variable:
P[X = 0] = 80/100,…, P[X = 4] = 2/100
Usando el modelo se puede obtener la probabilidad de determinados eventos como,
por ejemplo, que una familia tenga 1 o 2 hijos:
P [uno o dos hijos] = P[X = 1] + P[X = 2] = 11/100 + 4/100 = 15/100 = 0.15
Una alumna de la UNT Cada vez que invierte en un negocio se gana 2,000 soles,
con probabilidad 0.2, se gana 1,500 soles con probabilidad 0.7 y se pierde 3,000
soles con probabilidad 0.1. Si se denota con X a la variable ganancia, se tiene que
su distribución es como indica la Tabla
X
P[X = x]
S/
2,000
0.2
S/
1,500
0.7
-S/
3,000
0.1
Entonces, el valor esperado de la utilidad X es igual a:
E(X) = 2,000 × 0.2 + 1,500 X 0.7 + (−3,000) × 0.1 = 1,150
Cada vez, la alumna puede ganar 2,000 soles o 1,500 soles, pero también puede perder
3,000 soles. Si realiza muchas veces el negocio, ganará, en promedio, 1,150 soles por
vez, aproximadamente.
Distribución de probabilidad
1. Distribución binomial
Si el 30% de los clientes deL BCP tienen tarjeta de crédito, entonces podemos
decir que p = 0.3 es la probabilidad de que un cliente del BCP tenga tarjeta de
crédito. La probabilidad de observar k personas que tienen tarjeta de crédito de
una lista de 10 clientes del BCP, seleccionados al azar, se puede calcular usando
la distribución binomial, de la siguiente manera:
donde X es el número de personas que tienen tarjeta de crédito de una lista de 10.
La probabilidad de que 5 clientes tengan tarjeta de crédito (de los 10) es igual a:
La probabilidad de que el número de clientes que tienen tarjeta de crédito sea menor
que 2 es igual a:
Un docente de la UNT elabora una prueba de aptitud que consta de 10 preguntas
con 5 alternativas cada una, de las cuales solo una es la correcta. La calificación
se realiza de la siguiente manera: por cada pregunta correctamente respondida,
el que responde recibe 2 puntos y por cada pregunta mal contestada recibe k
puntos. Se desea determinar el valor de k de tal manera que la nota esperada de
un alumno que responde al azar las 10 preguntas sea 0.
Solución
Sea X el número de preguntas acertadas de las 10 respondidas al azar. La variable X
tiene distribución binomial con parámetros 10 y 0.2.
La calificación es:
C = 2X + k(10 − X) = (2 − k)X + 10k.
El valor esperado de C es E(C) = (2 − k)(10)(0.2) + 10k.
El valor de k para el cual el valor esperado es 0 es −0.5. Deberá descontarse 0.5
puntos por cada pregunta mal respondida.
EVENTOS
En el distrito de Trujillo, existen 95,000 habitantes, según los datos del censo del
INEI, la distribución de la renta anual, en soles, es como sigue:
Renta anual
[0- 20,000]
]20,000 - 40,000]
]40,000 - 50,000]
Frecuencia
80,000
10,000
5,000
entonces, al evento que indica que una persona tiene una renta de entre 20,000 y
40,000 soles se le puede asignar la probabilidad 10,000/95,000 = 0.1052.
En la escuela de Economía de la Universidad Nacional de Trujillo, existen 500 alumnos,
según los datos de una encuesta reciente, la distribución de la propina diaria que
ocupan en soles, es como sigue:
Propina diaria
Frecuencia
0 - 10
11 - 20
21 - 50
300
185
15
entonces, al evento que indica que un alumno ocupa una propina diaria de 11 – 20 soles,
se le puede asignar la probabilidad 185 / 500= 0.37
PROBABILIDAD TOTAL
el uso de celulares inteligentes para chatear se incrementa cada día en las personas,
sin embargo, también se presentan diversos problemas por el mal uso de estos
adelantos, como la utilización del chat en horas de oficina, causando en muchos casos
pérdidas a la empresa.
supongamos que, al usar este mecanismo, de 500 entrevistados, 200 respondieron “sí”.
entonces, usando las probabilidades totales, se tendrá que P (responder sí) = P
(responder sí|D)P(D) + P(responder sí|I)P(I)
en donde D es el evento “respondió la pregunta difícil” e I es el evento “respondió la
pregunta inocua”. despejando la probabilidad de responder la pregunta difícil, P
(responder sí|D), se tiene:
P (responder sí|D) = P (responder sí) – P (responder sí|I)P(I) / P(D)
reemplazando los valores conocidos se tiene que:
P (responder sí|D) = (200/500) − (0.5)(0.5) / 0.5 = 0.30
Usando este resultado, la encuestadora pudo indicar que un estimador del porcentaje
de los que chatean en horas de trabajo es 30%.
TEOREMA DE BAYES
Basado en su experiencia, el encargado del almacén de una Eurotubo ha indicado que
en un lote de piezas de ensamble, el 30% pueden venir de la planta A, el 50% pueden
venir de la planta B y el resto, de la planta C.
Por otro lado se conoce que:
El 1% de las piezas que provienen de la planta A son defectuosos.
El 2% de las piezas que provienen de la planta B son defectuosos.
El 3% de las piezas que provienen de la planta C son defectuosos.
Al seleccionar una pieza del lote para ser utilizado en un ensamblaje, este resultó
defectuoso. A la luz de este hecho, se desea revisar la información dada por el
encargado del almacén.
Para facilitar el cálculo se usarán las siguientes notaciones:
D = la pieza utilizado es defectuoso.
A = la pieza proviene de A.
B = la pieza proviene de B.
C = la pieza proviene de C.
Utilizando el teorema de Bayes y a la luz del hecho de que una pieza seleccionada resultó
defectuosa, se tiene que las probabilidades revisadas son:
P(A|D) = P(D|A)P(A) / P(D) = (0.01)(0.30) / 0.019 = 0.1579
P(B|D) = P(D|B)P(B) / P(D) = (0.02)(0.50) / 0.019 = 0.5263
P(C|D) = P(D|C)P(C) / P(D) = (0.03)(0.20) / 0.019 = 0.3158
(La probabilidad de que una pieza seleccionada del lote sea defectuoso (D) se calculó
con:
P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) = (0.01)(0.30) + (0.02)(0.50) + (0.03)(0.20) =
0.019)
ESPACIO MUESTRAL
Un laboratorio en Trujillo somete a los choferes que sufren accidentes de tránsito a la
prueba del alcoholímetro. ¿Cuál es la probabilidad de que un chofer de esta población
esté ebrio, dado que el resultado del alcoholímetro fue positivo?, si se ha determinado
que:
− Cuando un chofer está ebrio, la prueba proporciona resultado positivo en el
95% de los casos.
− Cuando un chofer no está ebrio, la prueba proporciona resultado negativo en
el 94% de los casos.
− El 2% de los conductores que sufren accidentes manejan ebrios.
Solución
El espacio muestral está formado por todos los choferes que sufren accidentes.
Sean los eventos E, descritos por “el chofer está ebrio”, y T, descritos por “el test es
positivo”.
Por el teorema de Bayes se tiene que a partir de la información adicional T, la
probabilidad corregida de E es:
P(E|T) = P(T|E)P(E) / P(T|E)P(E) + P(T|Ê ) P(Ê) = (0.95)(0.02) / (0.95)(0.02) + (1 −
0.94)(0.98) = 0.2442
distribución normal
Con la finalidad de obtener mejoras en el proceso de atención a los clientes y después de
observar el histograma de un conjunto de datos que representan los tiempos, en minutos,
que demoran los clientes en realizar trámites en una sección del Hospital Regional de
Trujillo, se ha convenido ajustar una curva normal de media 12 y varianza 4. Usando este
ajuste es posible, por ejemplo, conocer cuál es el porcentaje de clientes que se espera
que demoren entre 10 y 14 minutos en realizar los trámites en el Hospital Regional de
Trujillo.
En efecto, si X denota a la variable aleatoria que representa los tiempos de atención, se
tendrá, según lo indicado, que X ~ N(12, 4).
Aplicando la propiedad de estandarización y luego la tabla del apéndice A, se tiene:
Se espera entonces que el 68.26% de los tiempos de servicios duren entre 10 y 14
minutos.
Usando la tipificación, se comprueba ahora que, si X es una variable aleatoria con
distribución normal de media y varianza, se cumple:
Seguros Falabella Trujillo ha determinado que los montos X pagados por siniestros en un
mes determinado y para cierto tipo de seguros se pueden modelar con distribución normal
de media de 500 soles y desviación estándar de 50 soles. De acuerdo a ello, la probabilidad
de que el valor de un siniestro sea mayor que 550 soles es igual a:
Se espera que el 84.13% de los pagos por siniestro sean mayores que 550 soles.
POISSON
La tasa de llegada de los clientes al Scotiabank Agencia Trujillo es igual a 20 por hora. Si
se considera que el número de llegadas al banco se puede modelar con la distribución de
Poisson:
a) Hallar la probabilidad de que entre las 10 a.m. y las 11 a.m. lleguen al banco
10 clientes.
b) Hallar la probabilidad de que el primer cliente llegue 10 minutos después de
abierto el banco.
Solución
a) Si X es la variable aleatoria que indica el número de clientes que llegan entre las 10 a.
m. y las 11 a. m., se tendrá que la probabilidad de que en ese intervalo lleguen 10
clientes es igual a:
b) Si la tasa de llegada es 20 clientes por hora, se puede considerar que la tasa de llegada
es 20/6 clientes por cada 10 minutos. Luego, si X es la variable que indica el número de
clientes que llegan en intervalos de 10 minutos, se tendrá que la probabilidad de que el
primer cliente llegue después de 10 minutos de abierto el banco equivale a la probabilidad
de que en el intervalo [0, 10] es:
En una caja hay 100 resistencias, las cuales proceden de una fábrica en Trujillo que
produce el 1% de defectuosas. Hallar la probabilidad de que ninguna resistencia sea
defectuosa.
Si X denota al número de resistencias de la caja que son defectuosas, se tendrá que esta
variable puede modelarse con una distribución binomial de parámetros n = 100 y p =
0.01. De este modo puede escribirse: