Capítulo 6 Altimetría CAPITULO 6 Altimetría GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 1 Capítulo 6 Altimetría 6-1 INTRODUCCIÓN: Imagen 6-1 Alineamiento Vertical El alineamiento vertical de una carretera depende de la configuración topográfica del terreno donde se localice la obra. Se compone de líneas rectas y curvas en plano vertical, identificándose las subidas o pendientes ascendentes con el signo de (+), y las bajadas con el signo (-), expresadas usualmente en porcentajes. Aparte de las consideraciones estéticas, costos de construcción, comodidad y economía en los costos de operación de los vehículos. El alineamiento vertical es la proyección sobre un plano vertical del desarrollo del eje de la sub-rasante. El alineamiento vertical se compone de tangentes y curvas verticales. La posición de la sub-rasante depende principalmente de la topografía de la zona atravesada. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 2 Capítulo 6 Altimetría Cotas 6-2 ELEMENTOS DEL ALINEAMIENTO VERTICAL Estaciones Imagen 6-2 Perfil longitudinal y Rasante El alineamiento vertical de una vía está compuesto por dos elementos principales: Rasante y Perfil. La rasante a su vez está constituida por una serie de tramos rectos, llamados tangentes, unidos entre sí por curvas. La longitud de todos los elementos del alineamiento vertical se toma en cuenta sobre la proyección horizontal, es decir, no se consideran distancias inclinadas. Perfil Longitudinal 0+00 2+00 4+00 6+00 8+00 10+00 12+00 14+00 16+00 18+00 20+00 22+00 24+00 26+00 28+00 30+00 32+00 34+00 36+00 38+00 40+00 42+00 44+00 Imagen 6-3 Perfil del Terreno GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 3 Capítulo 6 Altimetría Según, (MOPC, 1982) El perfil de un proyecto corresponderá al eje de simetría de la sección transversal de la carretera. Las cotas del perfil longitudinal del proyecto corresponderán a la superficie de rodadura terminada. Cuando tenemos el caso de que el eje de un proyecto se localiza en el terreno este debe ser nivelado con el fin de obtener el perfil de dicho terreno y sobre este proyectar la rasante más adecuada. Rasante Imagen 6-4 Trazado de Rasante La Rasante está compuesta por pendientes y curvas. Las pendientes tienen su respectiva longitud, la cual es tomada sobre la proyección horizontal. Dicha pendiente se encuentra entre un valor máximo y mínimo que depende de los siguientes parámetros como: El tipo de terreno. El tipo de vía. La velocidad de diseño. La composición vehicular que podría tener la vía. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 4 Capítulo 6 Altimetría Por su parte la curva vertical que permite enlazar dos tangentes verticales consecutivas, corresponde a una parábola que ofrece las siguientes ventajas, según (Agudelo Ospina, 2002): Permite un cambio gradual de pendiente que va desde la tangente de entrada hasta la tangente de salida. Permite la operación vehicular de una manera cómoda y segura. Brinda una apariencia agradable a la vista de los usuarios. Proporciona un adecuado drenaje. A su vez esta curva parabólica presenta las siguientes propiedades: La variación de pendiente es una constante a lo largo de toda la curva. Los elementos verticales de la curva llamados (cotas) varían proporcionalmente con el cuadrado de los elementos horizontales (abscisas). 6-3 PENDIENTES LONGITUDINALES DE LA CARRETERA La selección de las pendientes en los diferentes tramos de una carretera, deberá ser producto de un detallado estudio a cargo del proyectista, efectuándose comparaciones entre las diferentes alternativas. Además, deberá demostrarse que la solución elegida es la correcta, teniendo en cuenta los valores límites expresados en el reglamento, R012: Para dicha elección se deberá tener en cuenta, los siguientes aspectos: a) La capacidad de la vía. b) El costo de operación vehicular c) Su influencia en el costo de la construcción de la carretera. Pendiente Mínima: Según (MOPC, 1982): La pendiente mínima longitudinal de la rasante debe garantizar el escurrimiento fácil de las aguas lluvias en la superficie de rodadura y en las cunetas. La pendiente mínima que garantiza un funcionamiento adecuado para las cunetas debe ser de (0.5%) como pendiente mínima deseable. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 5 Capítulo 6 Altimetría Se pueden presentar los siguientes casos particulares establecidos en (Ministerio de Transportes y Comunicaciones, 2013): Si la calzada posee un bombeo de 2% y no existen bermas y/o cunetas, se podrá adoptar excepcionalmente sectores con pendientes de hasta 0.2%. Si el bombeo es de 2.5% excepcionalmente podrá adoptarse pendientes iguales a cero. Si existen bermas, la pendiente mínima excepcional de 0.35% y la mínima deseable será de 0.5% En zonas de transición de peralte, en que la pendiente transversal se anula, la pendiente mínima deberá ser de 0.5%. Pendiente Máxima Normal: Según (MOPC, 1982): El valor máximo de la pendiente longitudinal de la carretera será 7%. Sin embargo, los límites máximos normales para la pendiente se establecerán teniendo en cuenta la seguridad de la circulación de los vehículos más pesados en las condiciones más desfavorables del pavimento. Según (Vias, 2008): Para vías Primarias las pendientes máximas se establecen considerando velocidades altas, entre (60-130 km/h) En las vías Terciarias las pendientes máximas se ajustan a velocidades entre (20 -60 km/h), en donde la necesidad de minimizar los movimientos de tierra y pobre superficie de rodadura, son las condiciones dominantes. Pendientes Máximas Excepcionales: Podrá aumentarse la pendiente máxima normal en casos excepcionales y justificados, específicamente cuando valores menores conduzcan a obras costosas y alargamientos artificiales del recorrido. Estas pendientes deberán ser aprobadas por la Dirección General de programación del Ministerio de Estado de Obras Publicas y Comunicaciones, MOPC. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 6 Capítulo 6 Altimetría A continuación se mostrará un análisis comparativo con las tablas 6.1 y 6.2 de Pendientes Máximas datos obtenidos de las normas: (Ministerio de Transportes y Comunicaciones. (2013). Diseño Geométrico. Lima, Perú ) Y (A Policy on Geometric Design of Highway and Streets, American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO) 2011). Es preciso resaltar que la tabla 6.2 fue modificada en cuanto a la organización de los datos, ya que (AASHTO, 2011) nos muestra la información de manera individual de acuerdo a la clasificación de la carretera y hemos agrupado la información en una sola tabla. Longitud Mínima Según, Ministerio de Transportes y Comunicaciones. (2013). Diseño Geométrico. Lima, Perú. La longitud mínima de las tangentes verticales con Velocidad Específica (VTV) menor o igual a (VTV ≤ 40 km/h) será equivalente a la distancia recorrida en 7 segundos a dicha velocidad, medida como proyección horizontal, de PIV a PIV. Las tangentes verticales con Velocidad Específica (VTV) mayor a (VTV > 40 km/h) no podrán tener una longitud menor a la distancia recorrida en 10 segundos a dicha velocidad, longitud que debe ser medida como proyección horizontal entre PIV y PIV. En la siguiente Tabla6.3 se presentan los valores para diferentes Velocidades Específicas de la tangente vertical (VTV). Tabla 6-1 Pendiente Máxima, Según Norma de Perú 2013. Longitud Mínima De La Tangente Vertical Velocidad Especifica De La Tangente 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Vertical Vtv (Km/H) Longitud Mínima De La Tangente Vertical 40 60 80 140 170 195 225 250 280 305 335 (M) Fuente: Ministerio de Transportes y Comunicaciones, Diseño Geométrico. Lima, Perú. 2013. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 7 130 360 Capítulo 6 Altimetría Tabla 6-2 pendiente máxima según Perú. DEMANDA AUTOPISTAS CARRETERA VEHÍCULOS/DÍA > 6,000 6,000-4001 4,000-2.001 2,000-400 < 400 CARACTERÍSTICAS Primera Clase Segunda Clase Primera Clase Segunda Clase Tercera Clase TIPO DE OROGRAFÍA VELOCIDAD DE DISEÑO:(KM/H) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 20 - - - - - - - - - - - - - - - - 8.00 9.00 10.00 12.00 30 - - - - - - - - - - - - - - - - 8.00 9.00 10.00 12.00 40 - - - - - - - - - - - - - - - 50 - - - - - - - - - - - - 60 - - - - 70 - - 7.00 7.00 1 2 3 4 9.00 8.00 9.00 10.00 10.00 8.00 9.00 8.00 8.00 8.00 8.00 6.00 6.00 7.00 7.00 6.00 6.00 7.00 7.00 6.00 7.00 8.00 9.00 8.00 8.00 8.00 8.00 5.00 5.00 6.00 6.00 6.00 7.00 6.00 6.00 6.00 7.00 6.00 7.00 7.00 - 7.00 7.00 7.00 7.00 80 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 6.00 6.00 6.00 6.00 - - 6.00 6.00 - - 7.00 7.00 7.00 7.00 90 4.50 5.00 5.00 - 5.00 5.00 6.00 - 5.00 5.00 - - 6.00 - - - 6.00 6.00 6.00 6.00 100 4.50 4.50 4.50 110 4.00 4.00 - 5.00 5.00 6.00 - 5.00 - - - 6.00 - - - - - - - - 4.00 - - - - - - - - - - - - - - - 120 4.00 4.00 130 3.50 - - 4.00 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Fuente: Ministerio de Transportes y Comunicaciones, Diseño Geométrico. Lima, Perú. 2013. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 8 Capítulo 6 Altimetría Tabla 6-3 Pendientes Máximas según AASHTO. PENDIENTE MÁXIMAS EN % PARA LA VELOCIDAD DE DISEÑO ESPECIFICA (KM/H) Topografía 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Plano - - - 5 5 4 4 3 3 3 3 Ondulado - - - 6 6 5 5 4 4 4 4 Montañoso - - - 8 7 7 6 6 5 5 5 Plano 7 7 7 7 7 6 6 5 - - - Ondulado 10 10 9 8 8 7 7 6 - - - Montañoso 12 11 10 10 10 9 9 8 - - - Plano - - - 5 5 4 4 3 3 3 3 Ondulado - - - 6 6 5 5 4 4 4 4 Montañoso - - - 8 7 7 6 6 5 5 5 CLASIFICACIÓN FUNCIONAL PRINCIPAL SECUNDARIA TERCIARIA Fuente: A Policy on Geometric Design of Highway and Streets, American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO) 2011. Este análisis tiene como objetivo resaltar que el manual de Perú toma en cuenta la demanda, los vehículos al día, características y tipo de orografía. En cambio la AATHO considera la clasificación y la topografía, de una manera más resumida. Concluimos que la tabla 6.1 de la Norma de Perú, ofrece mayor detalle. Longitud máxima LONGITUD CRÍTICA DE LA TANGENTE VERTICAL El diseño del eje en perfil de la carretera debe considerar la longitud máxima de la tangente vertical. Este criterio debe ser aplicado cuando se realiza el trazado de la línea pendiente, ya que es fundamental dejar habilitado el corredor para que sea congruente con la pendiente máxima y la longitud crítica de las tangentes verticales. La longitud crítica de la tangente vertical se define como la máxima longitud en ascenso sobre la cual un camión puede operar sin ver reducida su velocidad por debajo de un valor prefijado. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 9 Capítulo 6 Altimetría Para establecer éstos parámetros es necesario considerar los siguientes aspectos recomendados por el Manual, (Vias, 2008). Relación peso/potencia del vehículo pesado de diseño. Velocidad media de operación de los vehículos pesados en tramos a nivel de la carretera que se diseña. La velocidad media de operación de los vehículos pesados se estima con base en los resultados del estudio de tránsito y de la geometría de la vía. Pérdida aceptable de velocidad de los vehículos pesados en la tangente vertical. Se considera que la Longitud crítica de la tangente vertical es aquella en la que el vehículo pesado seleccionado para el diseño sufre una reducción en su velocidad de 25 km/h, con respecto a su velocidad media de operación en tramos a nivel de la carretera que se diseña. En la imagen 6.4 y 6.5 se presentan las curvas de pérdida de velocidad en función de la pendiente de la tangente vertical para los vehículos con las relaciones Peso/potencia arriba mencionadas. Con dichas curvas es posible obtener la distancia en la que un vehículo que inicia el recorrido de una tangente vertical pierde 25 km/h, respecto a su velocidad media de operación en tramos a nivel de la carretera que se diseña. Tal distancia mencionada anteriormente, corresponde a la Longitud crítica. 6-4 RECOMENDACIONES PARA EL TRAZADO DE RASANTE: Según, MOPC. (1982). R-012 Criterios Basicos para el Diseño Geometrico de Carreteras: En terrenos llanos, por razones de drenaje, la rasante estará por encima del nivel del terreno. En terreno ondulado, la rasante seguirá en lo posible, las ondulaciones del terreno. Deberán tenerse en cuenta las limitaciones impuestas por la estética, la visibilidad y la seguridad en la operación de los vehículos en la carretera. En los terrenos montañosos, serán también necesario adaptar la rasante al terreno, evitando los tramos en contrapendiente que producen alargamientos innecesarios. Según (AASHTO, 2011): Una pendiente suave con cambios graduales, consistente con la clasificación funcional de la carretera y las características del terreno, debe preferirse a expensas de numerosos cambios de rasante de cortas longitudes. Los perfiles tipos ´´ montañas rusas´´ Deben ser evitados. Estos generalmente ocurren en alineaciones horizontales relativamente rectas donde la rasante sigue de cerca el terreno natural. Estos alineamientos crean dificultades para los conductores que desean pasar otros vehículos, porque el vehículo que adelanta debe estar seguro si el tramo de carretera más allá GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 10 Capítulo 6 Altimetría de la curva vertical está libre de vehículos en el sentido opuesto. Este tipo de perfil es evitado usando curvas horizontales o pendientes más graduales. Curvas verticales consecutivas, en el mismo sentido, separadas por una corta sección en tangente deben ser evitadas, particularmente en curvas convexas donde la visibilidad total de las dos curvas no es satisfactoria. Este efecto es particularmente notorio en carreteras divididas por una mediana. En pendientes largas se deben intercalar pendientes fuertes con pendientes suaves colocando las fuertes al fondo y las suaves cerca de la cima o combinarlas en cortos intervalos de pendientes suaves con pendientes fuertes. Curvas verticales cóncavas deben ser evitadas en zonas de corte esto produce problemas de drenaje. Imagen 6-5 Longitud máxima según AASHTO Fuente: A Policy on Geometric Design of Highway and Streets, American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO) 2011. Se recomienda que una reducción de 15 km/h sea usado como criterio general para determinar la longitud critica de una pendiente. En esta grafica se asumió un vehículo pesado de 120 kg/kw (200 lb/HP) con una velocidad de entrada de 110 km/h. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 11 Capítulo 6 Altimetría Recomendaciones para la Combinación del Alineamiento Horizontal y Vertical: Según MOPC. (1982). R-012 Criterios Basicos para el Diseño Geometrico de Carreteras: Las alineaciones horizontales y verticales deberán ser proyectadas en conjunto, ya que ambas se complementan. Las consideraciones siguientes proporcionan una buena combinación de alineamiento horizontal y vertical. La planimetría y la rasante deben mantener entre si un equilibrio apropiado representando deficiencias en las combinaciones siguientes: Alineamiento de tangentes de pequeñas curvaturas a costa de rampas largas o fuertes rasantes. Curvaturas excesivas con rasantes de pendiente baja. La solución apropiada sería una condición intermedia entre las dos condiciones anteriores, dentro de las limitaciones de la topografía. En curvas verticales convexas pronunciadas, no se utilizara curvas horizontales. Esta condición resulta peligrosa porque el conductor no puede ver el cambio de alineación horizontal. Sobre todo en las noches. Esto puede evitarse si la curvatura horizontal abarca una longitud mayor que la curvatura vertical. No se utilizara curvas horizontales cerradas o cerca de la curva vertical cóncava pronunciada. Esta disposición produce un aspecto estético desagradable, además, las velocidades de los vehículos, especialmente de los pesados, son a menudo elevadas en las partes bajas de las curvas verticales. Esto puede producir situaciones peligrosas, sobre todo de noche. En intersecciones, los vehículos pueden tener que frenar o parar, por lo cual, la curvatura horizontal y las pendientes se harán lo menos pronunciadas posibles. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 12 Capítulo 6 Altimetría Ejemplo 6-1 Cálculo de Rasante Datos: Una sección de rasante de un tramo carretero tiene los siguientes puntos; A de cota 420.00 m.s.n.m, B = Cotas 404.40 m.s.n.m y C = 410.00 m.s.n.m, siendo AB=700m y BC=1200m, como se muestra en a figura: 424.00 422.00 420.00 418.00 416.00 414.00 412.00 410.00 408.00 406.00 404.00 402.00 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Distancia Se desea: Determinar las cotas de la rasante para cada diez estaciones de cada tramo. Solución: 1) Determinar la pendiente de cada tramo: 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 %𝑃 = ∗ 100 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 %𝑃𝐴−𝐵 = 404.40𝑚 − 422.00𝑚 ∗ 100 = −2.51% 700𝑚 410.00𝑚 − 404.40𝑚 ∗ 100 = 0.467% 1200𝑚 2) Determinar las cotas de la rasante usando la siguiente expresión: %𝑃 𝐶𝐸 = 𝐶𝐴 ± ∗𝑥 100 Donde: %𝑃𝐵−𝐶 = CE – cota de la estación deseada CA – cota de la estación de referencia Esta estación puede ser cualquiera de las dos estaciones extremas GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 13 Capítulo 6 Altimetría %P – pendiente del tramo X – distancia medida desde la estación de referencia a la estación que se le calcula la cota de rasante El signo ± a usar dependerá de cual estación se elija como referencia, es decir, si se toma la estación de cota mayor el signo es (-), en cambio, sí se escoge la estación de cota menor el signo será (+). La cota de la rasante de la estación E02+00m será la siguiente: 2.51% 𝐶02 = 422 − ∗ 20𝑚 = 421.497𝑚 100 Podemos resumir el cálculo de las cotas de a rasante en una tabla como la siguiente: Estación AB E02+00 E10+00 E35+00 E540+00 E47+00 E52+00 E59+00 E63+00 E66+00 E68+00 BC E75+00 E80+00 E84+00 E97+00 E101+00 E109+00 E111+00 E120+00 E142+00 E156+00 GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 20 100 350 400 470 520 590 630 660 680 Cota De La Rasante (m) 421.50 419.49 413.20 411.94 410.18 408.93 407.17 406.16 405.41 404.90 50 100 140 270 310 390 410 500 720 860 404.63 404.87 405.05 405.66 405.85 406.22 406.31 406.73 407.76 408.41 Distancia (m) 14 Capítulo 6 Altimetría 6.5 CURVAS VERTICALES Imagen 6-6 Curvas verticales. Según el Reglamento, MOPC. (1982). R-012 Criterios Basicos para el Diseño Geometrico de Carreteras: Las curvas verticales son las que enlazan dos tangentes consecutivas del alineamiento vertical, para que en su longitud se efectúe el paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la de la tangente de salida. Deben dar por resultado una vía de operación segura y confortable, apariencia agradable y con características de drenaje adecuadas. Se utilizaran curvas verticales parabólicas cuando la diferencia algebraica de las pendientes sea: 1% o más en carreteras con pavimento tipo superior (hormigón hidráulico, con concreto asfaltico). 2% o más para las demás. Las curvas verticales se proyectan de modo que proveen, por lo menos, la distancia de visibilidad mínima de parada y de manera opcional distancia de visibilidad de sobrepaso. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 15 Capítulo 6 Altimetría Elementos de la curva vertical Imagen 6-7 Elementos curva vertical. Fuente: Diseño Geometrico de Vias, Jhon Jairo Agudelo Ospina, 2002 El punto común de una tangente y una curva vertical en su origen es llamado PCV, y PTV al punto común de la tangente y la curva al final de ésta. Al punto de intersección de dos tangentes consecutivas se le denomina como PIV, y a la diferencia algebraica de pendientes en ese punto se le representa por la letra “A”. De la imagen 6-7 se identifican los diferentes elementos que conforman una curva vertical: PCV = Principio de curva vertical. PIV= Punto de intersección vertical. PTV = Principio de tangente vertical. Final de la curva vertical. E = Externa, Distancia vertical entre el PIV y la curva. Lv= Longitud de curva vertical. p (%) = Pendiente inicial o de llegada expresada en porcentaje. q (%) = Pendiente final o de salida expresada en porcentaje. y = Corrección vertical. A = Diferencia algebraica de pendientes = q – p GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 16 Capítulo 6 Altimetría Tipos de Curvas verticales Las curvas verticales se pueden clasificar por su forma como curvas verticales convexas y curvas verticales cóncavas, como se mostrará a continuación. CURVAS VERTICALES CONVEXAS: Las curvas verticales Convexas presentan 3 casos: Caso A. p > 0, q < 0 Caso B. p < 0, q < 0, p > q Caso C. p > 0, q > 0, p > q Imagen 6-8 Curvas verticales convexas La curva del Caso A, cuando las pendientes tienen diferente signo, presenta a lo largo de su trayectoria un punto de cota máxima, mientras que para los otros dos casos, B y C, el punto de cota máxima de la curva estaría ubicado al principio y al final de esta, respectivamente. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 17 Capítulo 6 Altimetría Determinación de la Longitud Mínima de las Curvas Verticales Convexas. Nos sugiere en su reglamento R-012 las siguientes graficas Para determinar la longitud mínima de las Curvas Verticales Convexas para que cumplan con el requisito de la distancia de visibilidad mínima de parada se utilizara la imagen 1 del anexo y para que cumplan con el requisito de visibilidad de sobrepaso, se utilizara la imagen 2 del anexo. En ambas figuras las longitudes se dan en función de la velocidad directriz y de la diferencia algebraica de las pendientes. La longitud mínima de curva vertical convexa con distancia de visibilidad de parada es: Para 𝑫𝒑 < L L= AD2 P 444 L= Longitud mínima de curva convexa. P= % de pendiente. A=Diferencia algebraica de pendiente. 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑫𝒑 > L 𝐿 = 2 ∗ 𝐷𝑝 − 444 𝐴 Dp= Distancia mínima de parada para. A=Diferencia algebraica de pendiente. La longitud mínima de curva vertical parabólica es: Para Ds›L 110 𝐿 = 2𝐷𝑠₋ 𝐴 Ds= Distancia de visibilidad mínima de sobrepaso. L=Longitud mínima de curva convexa. A=Diferencia algebraica de pendiente. Para Ds‹L L= Ds= Distancia de visibilidad mínima de sobrepaso. L=Longitud mínima de curva convexa. A=Diferencia algebraica de pendiente. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS ADs 2 110 18 Capítulo 6 Altimetría CURVA VERTICAL CÓNCAVA. Al igual que la curva convexa también presenta tres casos diferentes: Caso D: p < 0, q > 0 Caso E: p > 0, q > 0, p < q Caso F: p < 0, q < 0, p < q Imagen 6-9 Curva Vertical Cóncava. Para este tipo de curva, existe en el Caso D, un punto en la curva donde se presenta la cota mínima. Los otros dos casos, E y F, presentan su cota mínima sobre la curva al principio y al final de esta, respectivamente. Longitud mínima de las curvas verticales cóncavas La longitud mínima de las curvas verticales cóncavas se determinara utilizando la imagen 3 del anexo. Según lo establecido por MOPC. (1982). R-012 Criterios Basicos para el Diseño Geometrico de Carreteras. En función de la velocidad directriz y la diferencia algebraica de las pendientes. CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE LA LONGITUD DE LA CURVA VERTICAL A continuación se indican los siguientes criterios aplicables a curvas simétricas y asimétricas tomando en cuenta los criterios de El Manual De Diseño Geométrico De Carreteras De Colombia (2008) de manera que sean comparados con los criterios establecidos en nuestro reglamento R-012 del MOPC. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 19 Capítulo 6 Altimetría Criterio de seguridad: Establece una longitud mínima que debe tener la curva vertical para que en toda su trayectoria la distancia de visibilidad sea mayor o igual a la de parada (DP). Es pertinente manifestar que en algunos casos el nivel de servicio deseado puede obligar a diseñar curvas verticales que satisfagan la distancia de visibilidad de adelantamiento (Da). Criterio de operación: Establece una longitud mínima que debe tener la curva vertical para evitar al usuario la impresión de un cambio súbito de pendiente. Criterio de drenaje: Establece una longitud máxima que puede tener la curva vertical para evitar que, por ser muy extensa, en su parte central resulte muy plana dificultándose el drenaje de la calzada. CURVA VERTICAL SIMÉTRICA. Se denomina curva vertical simétrica aquella donde la proyección horizontal de la distancia PCV – PIV es igual a la proyección horizontal de la distancia PIV – PTV. En la Figura 6.18 se tiene una parábola cuyo eje vertical y eje horizontal se cruzan en el punto A, definiéndolo como el origen de coordenadas cartesianas (0,0). La ecuación general de la parábola según (Agudelo Ospina, 2002): 𝑌 = 𝑎 ∗ 𝑋² (1) La ecuación de la recta de entrada cuya pendiente es “p” y uno de sus puntos el PCV, es: 𝐿 𝑌 − 𝑦1 = 𝑝(𝑋 − 2𝑣 ) (2) Ahora, la derivada de la ecuación de la parábola en el PCV equivale a la pendiente en este punto: p= dX(aX2 ) dY = 2aX = 2a Lv 2 = a ∗ Lv (3) La parábola en el PCV presenta la siguiente ecuación: L 2 y1 = a ∗ ( 2v ) = a∗Lv ² 4 (4) Reemplazando (3) y (4) en la ecuación de la tangente de entrada (2) y GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 20 Capítulo 6 Altimetría Imagen 6-10 Fuente: Diseño Geometrico de Vias, Jhon Jairo Agudelo Ospina, 2002 Evaluando para el PIV, cuyas coordenadas son (0, h2), se tiene que y2 − a∗Lv 4 = a ∗ Lv (0 − Lv 2 (5) Por lo tanto, y2 = − a∗Lv ² 4 (6) Quiere decir entonces que, en valores absolutos: y1 = y2 (7) La distancia y1 se denomina flecha mientras y2 se conoce como externa, por lo tanto en una parábola la externa es igual a la flecha. Se determina ahora la ecuación de la tangente por el punto p1: Y -y4 =p(X -x1) Y -y4 =a*Lv(X -x1) (8) Evaluando esta ecuación en el PCV se tiene: GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 21 Capítulo 6 Altimetría y1 − y4 = a ∗ Lv ( Lv 2 − x1) (9) Ahora, si se reemplaza (4) y se despeja y4, se tiene: y4 = a ∗ Lv ∗ x1 − a∗Lv ² 4 (10) La ecuación de la parábola en el punto p2 es: y3 = a.x12 (11) Realizando la diferencia entre y3 y y4, denominada y, se obtiene: a∗Lv y = a ∗ x1² − a ∗ Lv*x1+ L y = a ∗ ( 2v −x1)² 4 L2 = a ∗ ( 4v − Lv x1 + x1) (12) Despejando a de (6) y reemplazando y2 por la externa E, se tiene que: a= 4 ∗ y2 4E = Lv Lv ² (13) En la Figura 98 se observa que: x= Lv − x1 (14) 2 Reemplazando (13) y (14) en (12) se tiene: y= 4E L2v (x)2 (15) Finalmente, x y = E( )² Lv (10-1) Ecuación con la cual se calcula la corrección vertical para la curva en función de la externa E y donde x corresponde a la distancia tomada desde el PCV. Se considera ahora la Figura 6-11, Donde se tiene otra curva vertical, donde: GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 22 Capítulo 6 Altimetría Imagen 6-11 Fuente: Diseño Geometrico de Vias, Jhon Jairo Agudelo Ospina, 2002 H=p∗ Lv 2 +q∗ Lv (16) 2 Por lo tanto: GB = H 2 1 = 2 (p ∗ Lv 2 +q∗ Lv 2 ) (17) Se tiene también que: L GD = p ∗ ( 2v ) (18) DB= GB-GD (19) Reemplazando (17) y (18) en (19) se obtiene: 1 𝐿 𝐿 𝐷𝐵 = 2 (𝑝 ∗ 2𝑣 +q* 2𝑣 )- 𝑃 ∗ 𝐿𝑣 2 Resolviendo: 𝐷𝐵 = 𝐿𝑣 (𝑞 − 𝑝) 4 (20) Pero como la externa DC es igual a la flecha CB: 𝐷𝐵 𝐸 = 𝐷𝐶 = 2 (21) Entonces: 𝐸= 𝐿𝑣 (𝑞 − 𝑝) (22) 8 GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 23 Capítulo 6 Altimetría Si se consideran p y q en porcentaje, se tiene que: 𝐸= (𝑞 − 𝑝) ∗ 𝐿𝑣 (10 − 2) 800 Donde: E = Externa (m) q = pendiente final o de salida (%) p = pendiente inicial o de entrada (%) Lv= Longitud curva vertical (m) Si se denomina A = q – p y se reemplaza la ecuación (22) en la ecuación (10 – 1) 𝑦=( 𝐴 ) 𝑥² (10 − 3) 200𝐿𝑣 Donde: A = Diferencia Algebraica de pendientes (%) x = Distancia del punto al PCV (m) Lv= Longitud curva vertical (m) Ecuación con la cual también se calculan las correcciones verticales pero en función de la diferencia algebraica de pendientes A. Si se hiciera un mismo análisis para el punto p3 ubicado a una distancia x’ del PTV, La ecuación (10 – 1) se convierte en: 𝑥´ 𝑌 = 𝐸 ( 𝐿𝑣 )² 2 Y la (10 – 3) quedaría: A Y=( ) x´² 2Lv Quiere decir lo anterior que las ecuaciones son similares para ambos lados de la curva, solo que para puntos ubicados entre el PCV y el PIV las distancias (X) se consideran desde el PCV, mientras que para los puntos ubicados entre el PIV y el PTV las distancias (X’) se miden a partir del PTV. Para el trabajo de cálculo de las cotas de la curva en distintas progresivas se simplifica si se tabula el proceso a través de la tabulación de los datos como se muestra a continuación: GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 24 Capítulo 6 Altimetría Tabla 6-4 Tabla de cálculo de cotas corregidas de curva vertical Estación Distancia X Distancia 𝑥² 𝐴 Y Cota Rasante Cota Rasante Corregida CURVA VERTICAL ASIMÉTRICA. La curva vertical asimétrica es aquella donde las proyecciones de las dos tangentes de la curva son de diferente longitud. En otras palabras, es la curva vertical donde la proyección horizontal de la distancia PCV a PIV es diferente a la proyección horizontal de la distancia PIV a PTV ver Figura 6-13 Imagen 6-12 Fuente: Diseño Geometrico de Vias, Jhon Jairo Agudelo Ospina, 2002 Este tipo de curva es utilizado cuando alguna de las tangentes de la curva está restringida por algún motivo o requiere que la curva se ajuste a una superficie existente, que solo la curva asimétrica podría satisfacer esta necesidad. A partir de la figura según lo expresado en (OSPINA, 2002), se tiene que: GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 25 Capítulo 6 Altimetría A partir de la figura 6-13 se tiene que: 𝐸= (𝐵𝐺 − 𝐷𝐺) 2 Pero: 𝐸 = tan α = BG Lv1 De donde: BG=Lv1 ∗ tan α (2) Además: H p ∗ Lv1 + q ∗ Lv2 = (3) Lv1 + Lv2 Lv Reemplazando (3) en (2): tan α = 𝐵𝐺 = Lv1 ∗ p ∗ Lv1 + q ∗ Lv2 (4) Lv Ahora, DG= p*Lv1 (5) Por último, se reemplaza (4) y (5) en (1): 1 p∗Lv1 +q∗Lv2 2 Lv E= (Lv1 * - P*Lv1 ) Resolviendo se tiene que: 𝐸= Lv1 ∗ Lv2(q−p) 2𝐿𝑣 Con p y q expresada en porcentaje quedaría finalmente: 𝐸= Lv1 ∗ Lv2 (q − p) 200𝐿𝑣 (10 − 4) El cálculo de las correcciones verticales se realiza con las mismas expresiones que se emplean en la curva simétrica, pero teniendo en cuenta que Lv/2 se reemplaza por Lv1 o Lv2 según el caso donde se encuentre el punto al que se le calcula dicha corrección. Se tiene entonces que: Ecuación con la cual se calcula las correcciones verticales de las abscisas ubicadas entre el PCV y el PIV. GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 26 Capítulo 6 Altimetría x1 2 y1 = E ( ) Lv1 (10 − 5) Sustituyendo (10-4) en (10-5) Sabiendo que A= (q-p) obtenemos: 𝑌1 = 𝐴𝑋² 𝐿1 ( ) 200 𝐿𝑣 𝐿2 Donde: y1 = Corrección vertical (m) E = Externa de la curva vertical (m) x1 = Distancia de la abscisa en cuestión desde el PCV Lv1 = Longitud de la curva inicial = Distancia PCV – PIV Ecuación con la cual se calcula las correcciones verticales de las abscisas ubicadas entre el PIV y el PTV, x2 2 y2 = E ( ) Lv2 (10 − 6) Sustituyendo la ecuación (10-4) en (10-6), obtenemos: 𝑌2 = 𝐴𝑋2 𝐿2 ( ) 200𝐿 𝐿1 Donde: y2 = Corrección vertical (m) E = Externa de la curva vertical (m) x2 = Distancia de la abscisa en cuestión desde el PTV Lv2 = Longitud de la curva final = Distancia PIV – PTV Ejemplo 6-2 Curvas Verticales Datos: Para la sección de rasante del ejemplo 6-1 considerar una velocidad de diseño V=80Km/h. Se desea: Determinar las ordenadas de corrección de la curva vertical considerando: a) simétrica, b) asimétrica. Solución: a) Curva simétrica 1) Determinar la diferencia de pendientes (A) 𝐴 = %𝑞 − %𝑝 GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 27 Capítulo 6 Altimetría Donde: %p=-2.514% %q=0.467% 𝐴 = 0.467% − (−2.514%) = 2.981% 2) Determinar la longitud de curva Usando la imagen 3 del anexo se obtiene que: 𝐿𝑚𝑖𝑛 = 50𝑚 → 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝐿𝑣 = 80𝑚 Como la curva es simétrica, ubicamos el Pcv en la estación E66+00, mientras que el Ptv está en la estación E74+00 3) Determinar las ordenadas de corrección usando la siguiente expresión: 𝐴𝑥 2 200𝐿𝑣 Calculando la ordenada de corrección para el PIv tenemos que: 𝑌= (2.981%)(40𝑚)2 = 0.298𝑚 200(80) Utilizando la tabla 6-4 simplificamos el cálculo, obteniendo lo siguiente: 𝑌40 = Estación E66+00 E68+00 E70+00 E72+00 E74+00 Distancia (x) 0 20 40 20 0 A 2.981 2.981 2.981 2.981 2.981 Y (m) 0 0.074525 0.2981 0.074525 0 b) Curva asimétrica El procedimiento para determinar las ordenadas de corrección de una curva asimetría es el mismo que el realizado para curvas simétricas con la diferencia en que hay una distancia L1 desde el PIv al Pcv y una L2 desde el PIv al Ptv, por lo que se usa la expresión obtenida para este tipo de curvas: 𝑌1 = 𝐴𝑋² 𝐿2 ( ) 200 𝐿𝑣 𝐿1 𝑌2 = 𝐴𝑋² 𝐿1 ( ) 200 𝐿𝑣 𝐿2 Para L1 =50m y L2=30m tenemos que: El Pcv = E65+00 y el Ptv=E73+00 Calculando para E66+00 GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 28 Capítulo 6 Altimetría Utilizamos la expresión para las estaciones de L1 𝐴𝑋 2 𝐿2 2.981% ∗ (10𝑚)2 50𝑚 ( )= ( ) = 0.031𝑚 200 𝐿𝑣 𝐿1 200(80𝑚) 30𝑚 𝑌10−1 = Para la estación E72+00 usamos la expresión para las estaciones de L2 𝐴𝑋 2 𝐿1 2.981% ∗ (10𝑚)2 30𝑚 ( )= ( ) = 0.011𝑚 200 𝐿𝑣 𝐿2 200(80𝑚) 50𝑚 𝑌10−2 = Debe cumplirse que: 𝑌50 = 𝑌30 𝑌50 = 𝐴𝑋 2 𝐿2 2.981% ∗ (50𝑚)2 30𝑚 ( )= ( ) = 0.279𝑚 200 𝐿𝑣 𝐿1 200(80𝑚) 50𝑚 𝑌30 = 𝐴𝑋 2 𝐿1 2.981% ∗ (30𝑚)2 50𝑚 ( )= ( ) = 0.279𝑚 200 𝐿𝑣 𝐿2 200(80𝑚) 30𝑚 GUIA DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS 29 Capítulo 6 Altimetría REFERENCIAS AASHTO. (2011). A Policy on Geometric Desing of Highways and Streets. Agudelo Ospina, J. J. (2002). Diseño Geométrico de Vias. Medellín: Universidad Nacional de Colombia. Bañón Blázquez, L., & Beviá García, J. F. Manual de Carreteras Volumen 1. Carciente, J. (1985). Carreteras, Estudio y Proyecto. Madrid: Ediciones Vega s.r.l. Cardenas Grisales, J. (2002). Diseño Geometrico de Carreteras. ECOE Ediciones. Crespo Villalaz, C. (2008). Vias de Cominicacion: Caminos, Ferrocarriles, Aeropuertos, Puentes y Puertos . Mexico DF: Limusa. Direccion de Vialidad. (2012). Manual de Carreteras Volumen N°3 Instrucciones y Criterios de Diseño. Santiago, Chile. Ministerio de Fomento. (2000). Instruccion de Carreteras 3.1-IC Trazado. España Madrid: Ministerio de Fomento. Ministerio de Transporte y Comunicaciones, V. d. (2013). Manual de Carreteras Diseño Geometrico . Peru. MOPC. (1982). R-012 Criterios Basicos para el Diseño Geometrico de Carreteras. Morales Sosa, H. A. (2006). Ingenieria Vial I. 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