Resistencia

DIAGRAMAS DE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
• Arango Mochco, Samuel
– 17160
• Haro Jara, Luis-Fernando – 17160229
• Janampa Raurau, Olivert – 17160
• Patri Carbajal, Angelo
Docente: Jaime Cjahua
– 17160
Escuela Académica Profesional de Ingeniería de Minas
¿Qué es una viga?
Estructura horizontal que puede sostener carga entre dos apoyos sin crear empuje
lateral en éstos. Los materiales más comunes para la elaboración de vigas son la
madera, hierro, acero, concreto.
Tipos de viga:
1. Vigas de acero L
2. Vigas HIP
3. Vigas Flitch
4. Vigas de caja
5. Vigas de soporte
Vigas de acero L
Más común en el sector
de la construcción
Vigas HIP
Proporcionan apoyo a
otras vigas de carga.
Vigas Flitch
Híbridas de madera y metal,
generalmente acero, echa con capas
una encima de otra.
Vigas de caja
Las vigas de caja se hacen
tomando una pieza de madera
enchapada, y mediante el clavado
o el pegado de trozos se crea una
estructura larga.
Flexión
Ocurre flexión cuando un elemento se somete
a momentos flectores.
Esfuerzo cortante
Es la resultante de las tensiones
paralelas a la sección
transversal de un prisma
mecánico.
𝐹
𝜏=
𝐴
𝑉∗𝑄
𝜏=
𝐼∗𝑏
𝑄 = 𝑌′ ∗ 𝐴′
Momento Flector
Momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal
(viga) que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión.
EJERCICIO
Trace los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector para el
siguiente caso.
4 kN
2 kN/m
B
A
0.8 m
0.2 m
1.6 kN
4 kN
2 kN/m
Ax
B
A
Ay
By
0.8 m
0.2 m
• Σ𝐹𝑥 = 0 ⟶ 𝐴𝑥 = 0
• Σ𝐹𝑦 = 0 ⟶ 𝐴𝑦 − 1.6𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 + 𝐵𝑦 = 0
• Σ𝑀𝐴 = 0 ⟶ −1.6𝑘𝑁 ∗ 0.4𝑚 − 4𝑘𝑁 ∗ 0.8𝑚 + 𝐵𝑦 ∗ 1𝑚 = 0
𝐵𝑦 = 3.84𝑘𝑁
𝐴𝑦 = 1.76𝑘𝑁
1.6 kN
2 kN/m
4 kN
B
Ax=0 A
C
Ay=1.76 kN
By=3.84 kN
0.8 m
0.2 m
SECCIÓN AC
2 kN/m
V
A
C
Ay=1.76 kN
x
0 ≤ 𝑥 ≤ 0.8
• Σ𝐹𝑦 = 0 ⟶ 1.76 − 2𝑥 − 𝑉 = 0
𝑉 = 1.76 − 2𝑥
𝑥
• Σ𝑀𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⟶ −1.76 ∗ 𝑥 + 2𝑥 ∗ + 𝑀 = 0
2
2
𝑀 = 1.76𝑥 − 𝑥
1.6 kN
2 kN/m
4 kN
B
Ax=0 A
C
Ay=1.76 kN
By=3.84 kN
0.8 m
0.2 m
SECCIÓN CB
1.6 kN
2 kN/m
4 kN
V
A
C
C
Ay=1.76 kN
x
0.8 ≤ 𝑥 ≤ 1
• Σ𝐹𝑦 = 0 ⟶ 1.76𝑘𝑁 − 1.6𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 − 𝑉 = 0
𝑉 = −3.84𝑘𝑁
• Σ𝑀𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0
−1.76 ∗ 𝑥 + 1.6 𝑥 − 0.4 + 4 𝑥 − 0.8 + 𝑀 = 0
𝑀 = −3.84𝑥 + 3.84
FUERZA CORTANTE
3
2
1
𝑉 = 1.76 − 2𝑥
𝑉 = −3.84𝑘𝑁
V
0
0
1.76
0.8
0.16
0.8
-3.84
1
-3.84
0
V (kN)
x
0,2
0,4
0,6
-1
-2
-3
-4
-5
L(m)
0,8
1
1,2
MOMENTO FLECTOR
0,9
0,8
0,7
x
𝑀 = −3.84𝑥 + 3.84
0,6
0
0
0.2
0.312
0.4
0.544
0.6
0.696
0.8
0.768
0.8
0.768
1
0.000
0,5
M
𝑀 = 1.76𝑥 − 𝑥 2
M
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
L(M)
0,8
1
1,2
EJERCICIO APLICATIVO


Una viga de madera que se usa como sombrero para realizar en
una mina sostenimiento
Tipo cuadro cojo. Soporta una fuerza distribuida de 80 KN/m. Tal
como se muestra en la figura
30
A
B
°
h=300 mm
b=400 mm
Donde: 𝐸𝑀𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 10 KN/𝑚𝑚2
Longitud de la viga= 4m
Se pide:
a) Determinar el momento en el empotramiento y las reacciones en A y B
b) Dibujar el diagrama de esfuerzo Cortante y Momento flector
c) Calcular el valor de la deflexión Máxima
d) Si se requiriese que el valor de la deflexión mínima sea y= -1mm, cuanto
debe ser el nuevo valor de ¨h¨ si se considera ¨b¨ como constante.
SOLUCIÓN:
80 KN/m
𝐴𝑥
𝐵𝑥 = 𝐵𝑠𝑒𝑛30
𝐴𝑦
4m
𝐵𝑦 = 𝐵𝑐𝑜𝑠30
B
A
•
•
•
∑𝐹𝑦 =0
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − 80 = 0
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 =80……….(U)
∑𝐹𝑥 =0
𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 = 0
𝐴𝑦 = 𝐵𝑦
∑𝑀𝐵 =0
80(2) + 𝑀𝐴 - 4𝐴𝑦 = 0
𝑀𝐴 = 4𝐴𝑦 − 160 ……….(i)
x/2
20x
𝑀𝐴
M
𝐴𝑥
V
𝐴𝑦
•
•
x
∑𝐹𝑦 =0
𝐴𝑦 +V − 20x = 0
V= 20x - 𝐴𝑦
∑𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =0
𝑥
M + 𝑀𝐴 + 20x( )= 𝐴𝑦 X
2
M= 𝐴𝑦 X - 𝑀𝐴 - 10𝑥 2
•
EC𝑦 ′ =
•
Ecy =
𝐴𝑦
2
𝐴𝑦
6
𝑥25
6
10 3
𝑥 -𝑀𝐴 x+𝐶1
3
𝑥3- 𝑥4-
𝑀𝐴
x+𝐶1 𝑋+𝐶2
2
En A: x=0 𝑦 ′ = 0 → 𝐶1 = 0
x=0 y=0
-> 𝐶2 = 0
En B: x=4 y=0
4𝑦
5
𝑀
(4)3 − 4 4 − 𝐴 4 2 = 0
6
6
2
64𝐴𝑦 − 48𝑀𝐴 = 1280 … … . 𝑖𝑖
• De (i) y (ii)
64𝐴𝑦 − 48(4𝐴𝑦 −160) = 1280
𝐴𝑦 = 50𝐾𝑁
• En (U)
50+𝐵𝑦 =80
𝐵𝑦 =30KN -> BCos30°=30
B=34,64KN
• En (i)
𝑀𝐴 = 4 50 − 160
𝑀𝐴 =40KN.m
v=20x-50
40
30
20
10
DIAGRAMA DE
ESFUERZO CORTANTE
0
-10 0
1
2
3
4
5
v=20x-50
-20
-30
-40
-50
-60
M=50x-10x^2 -40
30
20
10
DIAGRAMA DE
MOMENTO FLECTOR
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
1
2
3
4
5
M=50x-10x^2 -40
C) Calcular la deflexión máxima
•
Ecy =
6
10 3
𝑥
3
2
25𝑥 2 10
X( 𝑥
3
𝐴𝑦
5
6
𝑀𝐴
x+𝐶1 𝑋+𝐶2 =F(x)
2
𝑥3- 𝑥4-
𝑌𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹 ′ 𝑥 = 0
− 40𝑥 = 0
-25x-40)=0
𝑥1 = 0
𝑥2 = 5,186
𝑥3 = 2.3138
• EC= 10 KN/mm^2 x (400mm)(300mm)^3=90𝑥108 KNm
50
5
(90𝑋108 𝑋110−3 )^2𝑌𝑀𝐴𝑋 = (2.3138)3 - (2.3138)4 -20(2.3138)
6
6
𝑌𝑀𝐴𝑋 =-3.0811 MM
d) Calcular el h variable
b=400mm y=4mm h=?
50
5
Ecy = 6 𝑥 3 - 6 𝑥 4 -40𝑋 2
ℎ3
10X40012
−1 =
h= 0.43653 m
h= 436.53 mm
50
3 - 5 (2.3138)4 -40(2.3138)2
(2.3138)
6
6