_______________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS CAPÍTULO IV Pruebas de hipótesis El objeto de la prueba de significación es evaluar proposiciones o afirmaciones acerca de los valores de los parámetros de la población . IV.1 Tipos de hipótesis Se definirán los dos tipos de hipótesis que se requiere formular. La que señala que la proposición es verdadera recibe el nombre de hipótesis nula y se representa por y la segunda, que afirma que la proposición es falsa, se denomina hipótesis alterna y se designa mediante el signo Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. es un enunciado que expresa que el parámetro de la La hipótesis nula, que la proporción es verdadera). La población es como se especificó i es un enunciado que ofrece una alternativa a la hipótesis alterna proposición (por ejemplo el parámetro es mayor que el valor propuesto). El nivel de significación de una prueba es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula que sea verdadera. Existen dos tipos de errores que son inherentes al proceso de la prueba de significación si se rechaza cuando es verdadera. La Se comete un error tipo es igual al nivel de significación de una probabilidad de un error tipo prueba de hipótesis. 65 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ____________________________________________________________________ Se comete un error tipo cuando no es verdadera. si se acepta IV.2 Tabla de errores tipo I y II Si Verdadera es aceptada Decisió n es rechazada Error tipo / Y se toma esta acción: es: Falsa Error tipo // Decisión correcta Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. IV.3 Hipótesis de una cola y de dos colas Una prueba de hipótesis de una sola cola indica que la región de rechazo se localiza únicamente en un extremo de la distribución muesíral del estadístico de prueba. Para detectar que la región de rechazo debe situarse en la cola inferior derecha de la distribución. Para detectar que la región de rechazo debe situarse en la cola inferior izquierda de la distribución. 66 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS Una prueba de hipótesis de dos cotas indica que la región de rechazo se localiza en los dos extremos de la distribución muestral del estadístico de prueba. Para detectar que la región de rechazo debe situarse equitativamente en los extremos de las colas derecha e izquierda. IV.4 Procedimiento para resolver una prueba de hipótesis 1. Planteamiento de hipótesis 2. Graficar según sea el caso 3. Buscar en tablas 4. Plantear regla de decisión 5. Encontrar: según corresponda 6. Interpretaciones y conclusiones. IV.5 Pruebas relativas a "medias" Analizaremos las pruebas más comúnmente usadas concernientes a la media de una Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. población. Todas las pruebas de esta sección están basadas en la teoría de la distribución normal, suponiendo que las muestras provienen de poblaciones normales o bien que son lo suficientemente grandes para justificar el uso de aproximaciones normales. Supóngase que se desea probar la hipótesis nula alternativa contra la sobre fa base de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población normal con la varianza conocida Y las regiones críticas de fas alternativas respectivas son: 67 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV____________________________________________________________________ donde Los valores más frecuentemente utilizados de la probabilidad de cometer un error de tipo son 0.05 y 0.01 ; los valores correspondientes de Cuando y se desconoce son: la prueba que hemos estado analizando en esta Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. sección no puede utilizarse. La prueba correspondiente está basada en; Es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución libertad. Por lo tanto las regiones criticas de tamaño contra las alternativas son respectivamente: 68 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. con grados de para probar la hipótesis nula ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS IV.6 Pruebas relativas a diferencias entre medias Existen problemas concernientes a diferencias entre medias, como los siguientes: Quizás se desea decidir, sobre la base de muestras adecuadas, si los hombres pueden realizar cierta tarea a mayor velocidad que las mujeres, o bien quizás se desea decidir, sobre la base de un estudio de muestra apropiado, si los gastos semanales promedio en alimentación de las familias de una ciudad exceden los gastos de familias de otra ciudad en menos de $5. Supóngase que tenemos muestras aleatorias independientes de tamaño de dos poblaciones normales con las medias que deseamos probar la hipótesis nula contra tomadas y las varianzas conocidas donde es una constante dada, Tenemos que las regiones críticas pueden expresarse como Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. donde: Cuando manejamos variables aleatorias independientes de poblaciones con varianzas desconocidas que quizás no sean normales, aún podemos utilizar la prueba que hemos descrito con sustituida por sustituida por en tanto que ambas muestras sean lo suficientemente grandes para que se invoque el teorema del límite central. 69 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ___________________________________________________________________ IV.6.1 Teorema del límite central Si constituyen una muestra aleatoria de una población infinita que tiene la media la varianza entonces y la función generatriz de momentos la distribución limitante es de: cuando Cuando es la distribución normal estándar son chicos y son desconocidas, la prueba que se ha venido analizando no puede aplicarse. Sin embargo, en relación con muestras aleatorias independientes tomadas de dos poblaciones normales con la misma varianza desconocida Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. la técnica de la razón de verosimilitud produce una prueba basada en: La expresión anterior de í es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución / con grados de libertad. Por lo tanto, la región crítica de tamaño hipótesis nula 70 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. para probar la contra las alternativas ______________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS bajo las suposiciones dadas son, respectivamente, 1V.7 Pruebas para proporciones en la población Existen situaciones en las cuales resulta necesario decidir si la proporción en la población, generalmente denotada mediante el simbolo p , es igual a cierta fracción. En la mayor parte de los casos, la proporción en la muestra o el número de éxitos en n ensayos , se utiliza con fines de inferencia. Si un evento ha ocurrido X veces en n intentos, la proporción en la muestra (por lo regular denotada mediante el símbolo Esta fracción puede utilizarse para estimar la proporción de la población p, o la probabilidad de un éxito. Por ejemplo, si 70 de 100 pacientes con cáncer muestran inmediata mejoría al recibir una nueva vacuna, o 0.70, podría utilizarse como estimación de la verdadera proporción de pacientes que mejoran con la nueva vacuna. Para valores de n suficientemente grandes, la variable aleatoria binomial X se distribuye Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. casi en forma normal, con media y varianza Tal que la variable aleatoria estandarizada queda 71 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV____________________________________________________________________ IV.8 Pruebas relativas a varianzas Veamos algunas aplicaciones: un fabricante, obligado a cumplir rígidas especificaciones, tendrá que realizar pruebas de la variabilidad de su producto; un profesor quizá desea saber si son verdaderas ciertas afirmaciones acerca de la variabilidad que puede esperar observar en el desempeño de un estudiante, y un químico farmacéutico probablemente tenga que cerciorarse de si la variación en la efectividad de un medicamento está dentro de límites permisibles. Dada una muestra aleatoria de tamaño n , tomada de una población normal, desearemos probar la hipótesis nula bien en contra una de las alternativas la técnica de la razón de verosimilitud nos lleva a obtener una prueba basada el valor de la varianza de la muestra. Con base en el siguiente: son la media y la varianza de una muestra aleatoria de Teorema. Si tamaño Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. tomada de una población normal, con la media 1. y la varianza entonces: son independientes 2. La variable aleatoria tiene una distribución cuadrada con grados de libertad. Podemos expresar las regiones críticas para probar la hipótesis nula, contra las dos alternativas unilaterales como 72 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS Donde Hasta donde concierne a la alternativa bilateral, rechazamos la hipótesis nula si y el tamaño de todas estas regiones críticas es, desde luego igual a IV.9 Hipótesis relativas a dos varianzas Si muestras aleatorias independientes de tamaño se extraen de poblaciones normales que tienen la misma vananza, se sigue del teorema. Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaño respectivamente tomadas de dos poblaciones normales que tienen la misma vanancia, entonces: Es un valor de una variable aleatoria que tiene distribución Que es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución grados de libertad, Por ello, si la hipótesis nula variancias muéstrales con parámetros con es válida, la razón de las da un estadístico sobre el cual pueden fundamentarse las pruebas de la hipótesis nula. 73 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV____________________________________________________________________ contra la hipótesis alternativa La región crítica para probar la hipótesis nula donde se define como Asimismo, la región crítica y esto para probar la hipótesis nula contra la hipótesis alterna causa algunas dificultades, ya que la tabla de sólo contiene valores correspondientes a Por eso usamos el recíproco del las colas derechas de estadístico de la prueba original y haremos uso de la relación. De ahí que fundamentemos la prueba en el estadístico probar la hipótesis nula donde contra la hipótesis alterna es el valor crítico apropiado de F con y la región crítica para entonces grados Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. de libertad. Para la alternativa bilateral la región crítica es y los grados de libertad son 74 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. donde ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS IV.10 Ejemplos resueltos Ejemplo núm. 1 Sea un fabricante de neumáticos, que aseguraba que éstos tenían una vida útil de por lo menos 40 000 km. Supóngase que los resultados de la prueba fueron los siguientes: una muestra de n = 49 , con un valor medio muestral de 38 000 km. Si se sabe que el recorrido de los neumáticos de la población tiene una desviación estándar de 3 500 km, comprobar hipótesis del fabricante. Considerar = 0.05 Solución Datos Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. Justificación teórica Prueba de hipótesis para medias, muestras grandes. 1er. paso 75 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ____________________________________________________________________ 2do. paso 3er. paso 4to. paso Reglas de decisión Se acepta Se rechaza Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. 5to. paso 6to. paso Como se rechaza vida útil es menor que 40 000 km. 76 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. lo que quiere decir que el promedio de ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS Ejemplo núm. 2 En un estudio se afirma que 9 de 10 médicos recomiendan la aspirina a pacientes que tienen hijos. Pruebe esta aseveración a un nivel de significación de 0.05 respecto a la alternativa de que la proporción real de los médicos que hacen esto, es menor del 90% si una muestra aleatoria de 100 médicos revela que 80 de ellos recomienda la aspirina. Solución Datos Justificación teórica Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. Prueba de hipótesis para proporciones 1er. paso 77 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ____________________________________________________________________ 2do. paso 3er. paso 4to. paso Reglas de decisión Se acepta Se rechaza Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. 5to. paso 6to. paso Como 78 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. se rechaza ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS Ejemplo núm. 3 En la comparación de dos tipos de pintura, una agencia de servicio ai consumidor decide que cuatro latas de un galón de una marca cubre en promedio 512 pies cuadrados con una desviación estándar de 31 pies cuadrados, mientras que cuatro latas de un galón de otra marca, cubren en promedio 492 pies cuadrados con una desviación estándar de 26 pies cuadrados. Pruebe la hipótesis nula contra la hipótesis alternativa en el nivel de significancia Supóngase que las dos poblaciones son normales y tienen varianzas iguales: Solución Datos Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. Probar Justificación teórica Prueba de hipótesis para diferencia de medias para pequeñas muestras 79 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV 1er. paso 2do. paso 3er paso Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. 4to. paso Regla de decisión Se acepta está en eí intervalo Se rechaza está en el intervalo 5to. paso 80 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS 6to. paso Como = 0.99está contenida en el intervalo [-2.447 , 2.447] se acepta Quiere decir que la diferencia entre las dos medias de la muestra bien puede deberse al azar. Ejemplo núm. 4 Supóngase que el espesor de una parte utilizada en un semiconductor es su dimensión crítica y que las mediciones realizadas del espesor de una muestra tomada al azar de 18 de estas partes tienen la varianza donde las mediciones se expresan en milésimos de pulgada. El proceso se considera bajo control si la variación del espesor está dada por una Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. variable no mayor que 0.36. Suponiendo que las mediciones constituyen una muestra tomada al azar de una población normal, pruebe la hipótesis nula alternativa contra la hipótesis con Solución Datos quiere decir que está bajo control 81 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ____________________________________________________________________ Justificación teórica Prueba de hipótesis para varianzas 1er. paso 2do. paso 3er. paso Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. 4to. paso Regla de decisión 5to. paso 82 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS 6to, paso Como se rechaza Ejemplo núm. 5 Se requiere determinar si existe menos variabilidad en el plateado realizado por ía compañía 1 que en el efectuado por la compañía 2. Si muestras aleatorias independientes de tamaño 12 del trabajo desempeñado por las compañías producen pruébese la hipótesis nula de que contra la hipótesis alterna de que con un nivel de significancia de 0.05. Solución Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. Datos Justificación teórica Prueba de hipótesis para dos variaciones 1er. paso 83 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ____________________________________________________________________ 2do. paso 3er. paso Regla de decisión 4to. paso Se acepta Se rechaza Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. 5to. paso 6to. paso Como 84 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. se acepta _______________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS IV.11 Problemas propuestos Pruebas de hipótesis para medias 1. Supóngase que la desviación estándar del peso de paquetes de galletas de 8 onzas hecha por cierta pastelería es de 0.16 onzas. Para cerciorase de que la producción está bajo control en un día dado, es decir, para verificar si el peso promedio real de los paquetes es de 8 onzas, se selecciona una muestra al azar de 25 paquetes y se encuentra que su peso medio es dinero cuando onzas. Como la pastelería espera y que el cliente pierda cuando contra la alternativa probar la hipótesis nula mediante el uso de Resp. se rechaza Ho 2. Sea X el salario mensual inicial para alguien que acaba de graduarse de una universidad. Se sospecha que el salario medio mensual es de $1 200 y no $1 200 o menos, como alguien predijo. Considérese que se sabe que la varianza de X es $2 500, Se toma una muestra aleatoria de 100 graduados y se determina la media Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. muestra! como $1 210, ¿deberá rechazarse la hipótesis nula en Resp. Se acepta Ho 3. La Prueba de aptitudes escolares se ha aplicado a todos los estudiantes que desean ingresar a cierta universidad. Se sabe que las puntuaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 500 y desviación típica de 100. En este caso se sospecha que el promedio de las puntuaciones de la prueba de tos estudiantes universitarios de primer año que ingresaron en 2002 es diferente de 500. Una muestra seleccionada aleatoriamente de 64 universitarios de primer año en 2002 muestra una media de 520. ¿Hay suficiente evidencia para apoyar la información de que el 85 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ___________________________________________________________________ promedio de las puntuaciones de la prueba de los estudiantes de primer año del 2002, es diferente de 500? Resp. Se acepta Ho 4. Una empresa de transportes desconfia de la afirmación de que la vida útil promedio de ciertos neumáticos es al menos de 28 000 km. Para verificar la afirmación, se colocan 40 de estos neumáticos en sus camiones y obtienen una vida útil promedio de 27 463 km. Con una desviación estándar de 1 348 km ¿qué se puede concluir de ese dato, si ía probabilidad de un error tipo I es a (o sumo 0.01? Resp. Se rechaza Ho Pruebas de hipótesis para medias, pequeñas muestras 5. Supóngase que las especificaciones de cierto tipo de cinta afirman que el producto tiene una resistencia media a la ruptura de 185 Ib y que cinco piezas seleccionadas al azar de diferentes rollos tienen una resistencia media a la ruptura de 183.1 Ib con una desviación estándar de 8.2 Ib, Suponiendo que podemos considerar los datos como una muestra tomada al azar de una población norma!, pruebe la hipótesis nula contra la hipótesis alternativa Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. Resp. Se acepta Ho 6. Debido a las múltiples ventajas que cierto vendedor de automóviles ofrece a sus clientes, se sospecha que su margen promedio de beneficio por automóvil vendido, está por abajo del promedio nacional de $500. Se realiza un estudio para determinar si realmente este es el caso. Una muestra aleatoria de 25 ventas muestra una media muestral de $485 y una desviación típica (s) de $45. Considerando que el margen de beneficio por cada automóvil vendido por este comisionista se distribuye normalmente, ¿puede llegarse a ía conclusión de que su margen promedio de beneficio es en realidad significativamente menor de $500 para 86 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS Resp. se acepta Ho 7. Se supone que una máquina vendedora proporciona 8 onzas de café, si se insertan las monedas adecuadas. Para probar s¡ la máquina está operando adecuadamente, se toman 16 tazas de café de la máquina y se mide. Se determina que la media y la desviación típica (s) de las 16 mediciones son 7.5 y 0.8 oz, respectivamente. Pruebe la hipótesis nula de que ia máquina está operando adecuadamente contra la hipótesis alternativa de que no lo esta haciendo, a dos niveles de significación: 0.01 y 0.05 Resp. a) se acepta Hoat nivel de 0.01 b) se rechaza Ho al nive! de 0.05 8. Las especificaciones para cierta cíase de banda exigen una resistencia media a la ruptura de 180 kg. Si cinco de las bandas (aleatoriamente seleccionadas en diferentes cajas) tienen una resistencia media de 169.5 kg, con una desviación estándar de 5.7 kg, pruebe la hipótesis nula de que kg contra la hipótesis alterna de que 180 kg, con un nivel de significancia de 0.01 Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. Resp. Se rechaza Ho 9. Los siguientes datos son las horas-hombre que semanalmente se pierden en promedio por accidentes en 10 plantas industriales antes y después de que se implantara cierto programa de seguridad 45y36, 73y60, 46y44, 124y 119, 33y35 57y51, 83y77, 34y29, 26y24, 17y 11 Utilícese un nivel de significación de 0.05 para probar si el programa de seguridad es eficaz. Resp. Se rechaza Ho 87 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ___________________________________________________________________ Pruebas de hipótesis para proporciones 10. Un importante fabricante de dulces asegura que menos del 3% de las bolsas de lunetas de chocolate están por debajo del nivel de llenado. Una comprobación aleatoria revela que 4 de 50 bolsas se encuentra en esta situación. La muestra fue tomada de una remesa de 400 bolsas de lunetas. ¿Refuta la evidencia muestral la afirmación del fabricante (es decir, hay más del 3% de bolsas que no están completamente llenas)? Considerar a = 0.05 Resp. Se rechaza Ho 11. Supóngase que cierto programa de noticias generalmente atrae el 50% de todos aquellos que ven la televisión durante el periodo en que el programa sale al aire. El conductor habitual ha renunciado y se ha contratado a una mujer para reemplazarlo. La gerencia de la red televisiva desea determinar si con la nueva conductora ha aumentado el porcentaje de personas que ven el programa. Si se realiza una encuesta telefónica, se descubre que 55 de 100 personas que ven la televisión mientras el programa de noticias está en el aire, ven este programa en particular. Pruébese la hipótesis de que el porcentaje de aquellos que ven el programa permaneció sin cambio, contra la alternativa de que ha aumentado, para 0.05. Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. Resp. Se acepta Ho 12. Un banco seleccionó aleatoriamente a 225 clientes con cuenta de cheques y determinó que 90 de ellos también tenían una cuenta de ahorro en el banco. El objetivo del banco es que al menos el 50% de sus clientes con cuenta de cheques tengan una cuenta de ahorro simultáneamente. ¿Ha proporcionado la muestra suficiente evidencia de que el banco ha logrado este objetivo para 0.01 ? Resp. Se rechaza Ho 88 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. PRUEBAS DE HIPÓTESIS 13. En un estudio diseñado para investigar sí ciertos detonadores empleados con explosivos en una mina de carbón cumplen con los requerimientos de que al menos el 90% encenderá el explosivo al ser detonado, se encontró que 174 de 200 detonadores funcionaron adecuadamente. Pruébese la hipótesis nula de que p > 0.9 contra la hipótesis alterna de que p < 0.9 con un nivel de significación de 0.05. Resp. Se acepta Ho Prueba de hipótesis para diferencia de medias (grandes muestras) 14. Supóngase que se desea determinar si el contenido promedio de nicotina de los cigarrillos marca I, es igual a los cigarrillos marca II. Con la finalidad de probar esta hipótesis, se seleccionan aleatoriamente dos muestras de 25 cigarrillos cada una de las dos marcas y se obtienen dos medias muéstrales: mg. Se sabe que las varianzas de las dos marcas son Determínese si las dos marcas de cigarrillos tienen la misma media en Resp. Se acepta Ho Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. 15. Se comparan dos modelos de automóvil para determinar la capacidad de frenado. Se seleccionan dos muestras aleatorias de 16 automóviles cada una y se mide y registra la distancia necesaria para que se detengan cuando el freno se aplica a 60 km/h. Supóngase que se sabe que la varianza para el modelo modelo y para el Las dos medias muéstrales son ¿Puede llegarse a la conclusión de que Xx es significativamente menor que en X2 ? Resp. Se rechaza Ho 89 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ___________________________________________________________________ 16. Para probar la afirmación de que la resistencia de un alambre eléctrico puede reducirse en más de 0.05 ohms mediante aleaciones, 32 valores obtenidos de alambre ordinario produjeron ohms y ohms y 32 valores obtenidos con el alambre fabricado a base de aleaciones produjeron ohms y ohms. ¿Se apoya la afirmación con un nivel de significancia de 0.05? Resp. Se rechaza Ho 17. Una compañía asegura que sus lámparas incandescentes son superiores a las de su principal competidor. Si un estudio demostró que una muestra de 40 de esas lámparas tienen una vida útil media de 647 horas, con una desviación estándar de 27 horas, mientras que una muestra de de su principal competidor tuvieron una vida útil media de 638 horas de uso continuo, con una desviación estándar de 31 horas, ¿se debe aceptar la afirmación con un nivel de significación de 0.05? Resp. Se acepta Ho Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones 18. A los votantes de dos ciudades se les pregunta si se pronuncian a favor o en contra de una ley, actualmente en estudio en la legislatura del estado. Para determinar si los votantes de las dos ciudades difieren en términos del porcentaje que votan a favor, se toma una muestra de 100 votantes de cada ciudad. Treinta de los muestreados de una ciudad están a favor, en tanto que, en la otra, lo están veinte. Resp. Se acepta Ho 90 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. _______________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS Prueba de hipótesis para la diferencia de medias. Pequeñas muestras 19. Un educador desea determinar si dos distintos métodos de enseñanza tienen efectos idénticos en el aprendizaje. Se seleccionan aleatoriamente dos clases de estudiantes y se exponen a los dos métodos diferentes. Después se aplica a las clases un examen estándar, que abarca los contenidos enseñados, para determinar la efectividad de los dos métodos, Los datos son los siguientes: Clase I Clase II Tamaño de la muestra Puntuación y promedio de la prueba Varianza muestral Considerando que las puntuaciones de prueba para todos los posibles estudiantes a los que se haya enseñado con cada método se distribuyen normalmente y tienen Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. varianza idéntica pruébese la hipótesis nula de que los dos métodos de enseñanza son igualmente efectivos para (a) Resp. a) se acepta Ho al nivel de 0,01 b) se rechaza Ho al nivel de 0,05 20, Sean los siguientes datos: 91 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ___________________________________________________________________ Utilizar ei nivel de significación para probar si la diferencia entre las medias de las muestras, es significativa Resp. Se rechaza Ho 21. Se sabe que la varianza de la resistencia a la ruptura, en kg. de cierto tipo de cable fabricado por una compañía es de cuando más 40 000. Sin embargo se sospecha que después de empezar a utilizar un nuevo proceso de fabricación, la varianza de la resistencia a la ruptura ha aumentado. Una muestra de diez cables seleccionados aleatoriamente muestra que la varianza de la resistencia a la ruptura es 50 000. Considerando que la resistencia a la ruptura se distribuye normalmente, ¿debería llegarse a la conclusión de que existe un incremento significativo en la variabilidad, si el nivel es Resp, Se acepta Ho 22. El proceso que se usa para esmerilar ciertos discos de silicio al grueso apropiado es aceptable sólo si que es la desviación estándar de la población del grosor de los retículos cortados de dichos discos, es a lo sumo 0.50 mi. Empléese el nivel de significancia 0.05 para probar la hipótesis nula de que alterna de que contra la hipótesis si el grueso de 15 retículos cortados de tales discos tienen Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. una desviación estándar de 0.64 mi. Resp. Se acepta Ho 92 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS Problemas varios 23. La siguiente información sobre el máximo peso de levantamiento (MAWL en kg) para una frecuencia de cinco levantamientos por minuto, se reportó en el artículo "The effects of speed frequency and load on measured hand forces for a floor to knuckie lifting task" (Ergonomics 1922 pp. 833-843); se seleccionaron personas al azar de una población de hombres sanos entre 18 y 30 años de edad. Si se supone que el MAWL está normalmente distribuido, ¿sugiere esta información que la media poblacional de MAWL excede de 25? Realizar una prueba usando un nivel de significación de 0.05. sean los datos 25.8, 36.6,26.3, 21.8 y 27.2 Resp. Ho no se puede rechazar 24. Se está considerando cierto tipo de ladrillo para usar en un proyecto de construcción en particular. Se utilizará el ladrillo a menos que una evidencia muestral sugiera fuertemente que el verdadero promedio de resistencia a la compresión se encuentra por debajo de 3 200 Ib/pulg2. Se selecciona una muestra aleatoria de 36 ladrillos y cada una se somete a una prueba de resistencia a la compresión. El promedio muestral resultante de resistencia a la compresión y la desviación estándar muestral de resistencia a la compresión son 3 109 y 156 Ib/pulg2 respectivamente. Establezca Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. las hipótesis pertinentes y realice una prueba para llegar a una decisión con un nivel de significación de 0.05. Resp. se rechaza Ho a nivel 0.05 25. Muchos consumidores están recurriendo a productos genéricos, como una forma de reducir el costo de medicamentos por prescripción. El articulo "Commercial Information on Drugs: Confusing to the Physician" (J. of Drug Issues, 1988, pp. 245257) da el resultado de un estudio de 102 médicos. Sólo 47 de estos médicos entrevistados conocía el nombre genérico de la metadona. ¿Proporciona esto fuerte evidencia para concluir que menos de la mitad de todos lo médicos conocen el 93 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10. CAPITULO IV ___________________________________________________________________ nombre genérico de la metadona? Realizar una prueba de hipótesis usando un nivel de significación de 0.01. Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved. Resp. No se puede rechazar Ho al nivel 0.01 94 Matus, R., Hernández, M., & García, E. (2010). Estadística. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from bibliouniaccsp on 2019-10-30 21:29:10.
