UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS FÍSICAS Y
FORMALES
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA
ELECTRÓNICA
PRACTICA-06
CONTROL NO LINEAL
LINEALIZACION DE SISTEMAS
DESARROLLADO POR:
ALIAGA HITO OSCAR
ARHUIRI PARISACA JOSE
DOCENTE:
Ing. JUAN CARLOS COPA PINEDA
Martes 10 de Octubre Del 2019
1. INTRODUCCION
Generalmente los modelos de sistemas eléctrico, mecánico, químico, estadísticos, etc no son
funciones lineales (no está representada por una recta); un sistema lineal es mucho más fácil
analizar que un sistema no lineal, es por esto que se linealiza esos sistemas.
En este caso usaremos la aproximación por series de Taylor y esta aproximación será
considerada en un espacio determinado que es determinado por el punto en el que linealizada.
2. OBJETIVOS
•
•
Hacer aproximaciones de sistemas no lineales a lineales usando las series de Taylor
Identificar en que área es válida la ecuación linealizada
3. ELEMENTOS UTILIZADOS
Software Matlab y Matcad
4.
MARCO TEORICO
Debido a que la mayoría de herramientas para el análisis de sistemas y diseño de sistemas de
control requieren que el modelo sea lineal, es necesario entonces disponer de métodos para
linealizar modelos.
La linealizacón generalmente consiste en una expansión en series de Taylor de la ecuación de
estado (no lineal) alrededor de un punto de operación definido naturalmente por el sistema o
seleccionado arbitrariamente para satisfacer alguna necesidad de control.
Figura 4.1. Aproximación de un sistema no lineal a uno lineal
EXPANSION EN SERIES DE TAYLOR LINEALIZACIÓN APROXIMADA.
LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES CON DOS O MÁS VARIABLES.
VARIABLE DE DESVIACION
Se define la variable de desviación, X (t), como la diferencia entre el valor de la variable o señal
x(t) y su valor en el punto de operación. Matemáticamente se define:
Donde
X(t): variable de desviación.
x(t): variable absoluta correspondiente
: el valor de x en el punto de operación (valor base)
Figura1.2., Gráfico de las variables de desviación, variable absoluta y el punto de operación.
El valor base, es el valor de la variable en estado estable y generalmente describe el valor inicial
del sistema dinámico y por lo tanto es constante, implicando que:
En la figura 1.3., se muestra la funciones de desviación de
operación igual a 5
Figura 1.3., se muestra la funcione de desviación de
, siendo el punto de
, el punto de operación es 5.
5. DESARROLLO
5.1. Considere el proceso de tanque que se muestra en la Fig. 5.1.1, Una entrada flujo entra al
tanque libremente, mientras que el flujo de salida depende de la velocidad de la bomba. La
velocidad de la bomba es:
Figura 5.1.1. Proceso de tanque con flujo de salida impulsado por una bomba de velocidad
variable.
Es decir, el flujo de la bomba no responde instantáneamente a un cambio en la señal, sino más
bien como una respuesta de primer orden con constante de tiempo ,min y ganancia
.
Es importante darse cuenta de que el flujo de la bomba no epende del nivel en el tanque sino solo
de la señal de entrada
.
Desarrolle el modelo matemático, obtenga las funciones de transferencia linealizadas y dibuje el
diagrama de bloques que relacionan el nivel del tanque,
, con el flujo de entrada,
y la
entrada,
.
Un balance de masa en estado dinámico alrededor del tanque proporciona la primera
ecuación necesaria:
Donde:
= Densidad del liquido, asumir constante,
= Área de la sección del tanque,
𝜏𝑝
𝑑𝑓0 (𝑡)
+ 𝑓(𝑡) = 𝐾𝑝 𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
Transformada de Laplace a la ecuación diferencial, se obtiene:
ℒ {𝜏𝑝
𝑑𝑓0 (𝑡)
} + ℒ{𝑓(𝑡)} = ℒ{𝐾𝑝 𝑚(𝑡)}
𝑑𝑡
𝜏𝑝 [𝑠𝐹0 (𝑠) − 𝑓0 (𝑠)] + 𝐹0 (𝑠) = 𝐾𝑝 𝑀(𝑠)
𝜏𝑝 𝑠𝐹0 (𝑠) + 𝐹0 (𝑠) = 𝐾𝑝 𝑀(𝑠)
(𝜏𝑝 𝑠 + 1) 𝐹0 (𝑠) = 𝐾𝑝 𝑀(𝑠)
𝐹0 (𝑠) =
𝐾𝑝
∗ 𝑀(𝑠) (1)
(𝜏𝑝 𝑠 + 1)
A partir de la ecuación:
𝜌𝑓𝑖(𝑡) − 𝜌𝑓𝑜(𝑡) = 𝜌𝐴
𝑓𝑖(𝑡) − 𝑓𝑜(𝑡) = 𝐴
Aplicando Laplace:
𝑑ℎ(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑ℎ(𝑡)
𝑑𝑡
ℒ{𝑓𝑖(𝑡) − 𝑓𝑜(𝑡)} = ℒ {𝐴
𝑑ℎ(𝑡)
}
𝑑𝑡
𝐹𝑖 (𝑠) − 𝐹0 (𝑠) = 𝐴𝑠𝐻(𝑠)
Despejando se tiene:
𝐻(𝑠) =
1
[𝐹 (𝑠) − 𝐹0 (𝑠)] (2)
𝐴𝑠 𝑖
Sustituyendo la ecuación (1) en (2) se obtiene:
𝐻(𝑠) =
𝐾𝑝
1
[𝐹𝑖 (𝑠) −
∗ 𝑀(𝑠)]
𝐴𝑠
(𝜏𝑝 𝑠 + 1)
Obteniendo el siguiente diagrama de bloques:
5.2. Péndulo, desarrolle el modelo matemático linealizado
Función a linealizar:
𝑓(𝜃̈ (𝑡), 𝜃(𝑡), 𝑇(𝑡)) = 𝐽𝜃̈ (𝑡) +
𝑚𝑔𝐿
𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑡) − 𝑇(𝑡) = 0
2
𝑓(𝜃̈ (𝑡), 𝜃(𝑡), 𝑇(𝑡)) = 0
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝜃 − 𝜃𝑜) +
(𝑇 − 𝑇𝑜)
(𝜃̈ − 𝜃𝑜̈) +
̈
𝜕𝜃
𝜕𝑇
𝜕𝜃
𝑚𝑔𝐿
= 0 + 𝐽(𝜃̈ − 𝜃𝑜̈) +
cos(𝜃𝑜) (𝜃 − 𝜃𝑜) − 1(𝑇 − 𝑇𝑜)
2
≈ 𝑓 (𝜃̈ (𝑡), 𝜃(𝑡), 𝑇(𝑡)) +
Variables de desviación:
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 = 0
∆𝜃 = 𝜃(𝑡) − 𝜃𝑜 = 𝜃(𝑡)
∆𝑇 = 𝑇(𝑡) − 𝑇𝑜 = 𝑇(𝑡)
El siguiente modelo nos queda:
𝐽
𝑑2 ∆𝜃(𝑡) 𝑚𝑔𝐿
+
cos(𝜃𝑜) ∆𝜃(𝑡) − ∆𝑇(𝑡) = 0
𝑑𝑡 2
2
5.3. PARA EL PROCESO DE TEMPERATURA DE LA FIGURA 5.5.2., DESARROLLE EL
MODELO MATEMÁTICO LINEALIZADO.
Figura 5.3.1. Proceso de temperatura [ISA, UVA] T: temperatura,
V: voltaje
m: masa en el depósito
H: entalpia, ce calor específico A: sección del depósito
ρ: densidad R: resistencia
Conservación de la energía:
Considerar la Hipótesis: T: uniforme en el depósito Aislamiento perfecto Densidad constante
si T y h cte.
Reordenando y reemplazando los valores de m, T:
Se desarrolla la función a linealizar
5.4. LINEALIZAR:
Sea nuestra función a linealzar:
La aproximación lineal consiste en eliminar los términos de segundo orden o superior
Se obtiene las siguientes derivadas respecto a cada variable:
Utilizando Mathcad
Evaluando la función y sus derivadas parciales en un punto base se obtiene lo siguiente:
Primer parcial = f1. Segundo parcial = f2. Tercer parcial = f3.
Al sustituir estos valores, la función linealizada queda dada por:
6. CONCLUCIONES.
La finalidad de la práctica es entender el proceso de linealización, el cual quiere decir la
representación matemática de una función apropiadamente lineal, que por medio de un
cambio de variables se convierta en una función lineal.
En el análisis del comportamiento de sistemas dinámicos no lineales, el método de la
linealización será útil en la vecindad de su punto de equilibrio, siempre y cuando las
perturbaciones que afectan la evolución del sistema sean suficientemente pequeñas.
Se pudo observar que linealizar un sistema no lineal, como el péndulo simplifica de forma
significa el modelo de la planta, lo cual se convierte en un ahorro a la hora de simulación
en software.
7. REFERENCIAS.
Bibliografía
[1]. Solsona, J. A. (1995). Tecnicas De Control No Lineal.
[2].
Isidori, Alberto. “Non linear Control Systems”, Tercera Ed. Springer,
Inglaterra, 1995. P.33-89.
[3].
D'atellis, Carlos E.; “Introducción A Los Sistemas No Lineales De
Control Y Sus Aplicaciones” Aadeca, 1992. P.6-15.
[4]. Hassan K. Khalil; “Nonlinear Systems”, Prentice Hall, 1996. P. 603-716.
[5]. Https://Es.Scribd.Com/Document/357963765/Control-Por-Linealizacion
[6]. Delgado, A. Inputloutput Linearization Of Control Affine Systems Using Neural Networks.
Phd Thesis, Cybemetics Department, Reading University - Uk, 1996.
8. ANEXO
ANEXO RESOLUCION EN MATHCAD.xmcd
