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apuntes movimiento oscilatorio - ingenieria maritima

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Fundamentos del movimiento
oscilatorio
Asunción Baquerizo Azofra
Miguel A. Losada Rodríguez
María López Rodríguez
Grupo de Puertos y Costas
Universidad de Granada
10 de septiembre de 2004
2
Índice General
1 Introducción al movimiento oscilatorio
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ondas en el medio marino . . . . . . . . .
1.3 Oleaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Carácter lineal o no lineal del movimiento
1.5 Conceptos y de…niciones básicas . . . . . .
1.5.1 Onda progresiva . . . . . . . . . . .
1.5.2 Onda estacionaria . . . . . . . . . .
1.6 Parámetros adimensionales . . . . . . . . .
1.6.1 Peralte de la ola . . . . . . . . . . .
1.6.2 Profundidad relativa . . . . . . . .
1.6.3 Índice de rotura . . . . . . . . . . .
1.6.4 Número de Ursell . . . . . . . . . .
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2 Fundamentos Hidrodinámicos
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Notación en el campo complejo . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Desarrollo en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Derivada total de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Concepto de Volumen de Control . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Ventajas del Método del Volumen de Control . . . . . .
2.6 Leyes de Conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Ley de Conservación de la Masa . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento . .
2.6.3 Ley de Conservación de la Energía . . . . . . . . . . .
2.7 Concepto de ‡ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Ecuaciones de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Ecuación de conservación de la masa . . . . . . . . . .
2.8.2 Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento
2.9 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Condición de Contorno Cinemática . . . . . . . . . . .
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4
ÍNDICE GENERAL
2.9.2
Condición de Contorno Dinámica . . . . . . . . . . . . 44
3 Teoría lineal de ondas. Ondas de Airy
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ecuación de gobierno para el movimiento oscilatorio . . . . . .
3.3 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Condición de contorno cinemática en la super…cie libre
3.3.2 Condición de contorno cinemática en el fondo . . . . .
3.3.3 Condiciones de contorno laterales . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Condición de contorno dinámica en la super…cie libre .
3.4 Problema de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Resolución del Problema de Contorno . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Aplicación de las Condiciones de Contorno . . . . . . .
3.5.2 Ecuación de la dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Orden de aproximación de la teoría lineal de ondas . .
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4 Movimiento oscilatorio
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ondas progresivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Campo de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Campo de aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Campo de presiones bajo una onda progresiva . . . .
4.2.4 Trayectoria de las partículas . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Características instantáneas de la onda progresiva por
encima del nivel del mar en reposo (z > 0) . . . . . .
4.3 Energía instantánea de una onda progresiva . . . . . . . . .
4.4 Flujos instantáneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Flujo instantáneo de masa . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Flujo instantáneo de cantidad de movimiento . . . .
4.4.3 Flujo instantáneo de energía . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Campo de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Campo de aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Campo de presiones bajo una onda estacionaria . . .
4.5.4 Trayectorias de las partículas . . . . . . . . . . . . .
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5 Flujos y cantidades medias
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Energía espacial media en la columna
5.2.1 Flujo medio de masa . . . . .
5.3 Nivel medio de la super…cie libre . .
. . . . .
de agua
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ÍNDICE GENERAL
5
5.3.1 Ubicación del nivel medio del mar . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Flujo medio de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . 98
5.5 Flujo medio de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 Procesos de transformación de ondas
103
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Estudio bidimensional de la re‡exión . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.1 Re‡exión producida por una pared . . . . . . . . . . . 105
6.2.2 Re‡exión debida a un cambio brusco de profundidad . 106
6.2.3 Propagación de un tren de ondas por una zanja . . . . 111
6.3 Asomeramiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3.1 Planteamiento del problema sin ‡ujo re‡ejado . . . . . 115
6.3.2 Planteamiento del problema con ‡ujo re‡ejado . . . . . 118
6.4 Estudio tridimensional de la re‡exión . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4.1 Re‡exión con incidencia oblicua . . . . . . . . . . . . . 120
6.5 Refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.5.1 Refracción con cambio de pendiente gradual . . . . . . 124
6.5.2 Limitaciones de la teoría del rayo . . . . . . . . . . . . 129
6.6 Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.6.1 Difracción por un cilindro vertical impermeable . . . . 132
6.6.2 Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.6.3 Difracción debida a un obstáculo emergido . . . . . . . 135
6.6.4 Difracción debida a un obstáculo cilíndrico . . . . . . . 142
6.6.5 Difracción debida a un dique semi-in…nito y profundidad constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.6.6 Difracción producida durante la refracción . . . . . . . 149
6.6.7 Aproximaciones parabólicas al problema de la difracción150
6.7 Modelos numericos de propagacion de ondas . . . . . . . . . . 154
6.7.1 Ecuación para pendientes suaves . . . . . . . . . . . . . 155
6.8 Rotura del oleaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.8.1 Criterios de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.8.2 Fondo de pendiente variable . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.8.3 Criterios para la evaluación de la disipación producida
por la rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Introducción al movimiento
oscilatorio
1.1
Introducción
Las ondas que se observan en cualquier cuerpo de agua en contacto con la atmósfera se deben a fuerzas que actúan sobre el ‡uido tratando de deformarlo
y que se compensan con la fuerza de la gravedad y las tensiones super…ciales
que tratan de restaurar el equilibrio. La forma de estas ondas y su contenido
energético depende de la magnitud de la fuerza que las originó.
El estudio de este tipo de oscilaciones es de gran importancia ya que
cualquier elemento dentro de una masa de agua o cerca de ella puede verse
sometido a su acción. En el caso de la ingeniería marítima, se estudian entre
otros aspectos, el efecto que los distintos tipos de ondas que existen en el mar
tienen sobre playas, obras de protección del litoral, puertos o estructuras o¤shore, ya que determinarán su diseño y su mantenimiento.
1.2
Ondas en el medio marino
Las ondas que se observan en el mar pueden clasi…carse según su periodo y
su magnitud en:
² Ondas capilares: son ondas de pequeña amplitud debidas a la tensión
super…cial. Sus periodos están comprendidos entre 1 < T · 3 (s).
² Oleaje: se conocen con este nombre las ondas generadas por el viento,
cuyos periodos oscilan entre 3 < T · 30 (s). Sus alturas dependen
de la intensidad, tiempo de actuación y longitud de la super…cie sobre
la que sopla el viento. En general son las ondas con mayor contenido
7
8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO OSCILATORIO
energético, por lo que el oleaje es uno de los agentes fundamentales a
tener en cuenta en el diseño y cálculo de cualquier obra marítima.
² Tsunamis (maremotos): son ondas largas que se generan cuando se
produce un terremoto con epicentro en el fondo del mar. Su periodo
oscila entre 5 < T · 20 min.
² Marea meteorológica: es una sobreelevación del nivel medio del mar
asociada al paso de una borrasca. Su periodo coincide con la duración
del paso de la borrasca, que en el Mediterráneo está entre las 4 y las 5
horas. Pueden distinguirse dos fuerzas de generación: la variación de la
presión atmosférica y la fuerza tangencial del viento sobre la super…cie
del agua.
² Marea astronómica: se debe a la atracción gravitatoria de los astros
sobre la masa oceánica, que origina subidas y bajadas periódicas del
nivel del mar. Para una marea llamada semidiurna, su periodo está en
torno a las 12 horas y su magnitud depende de la zona que se considere.
En el Cantábrico la carrera de marea es de aproximadamente 4 metros,
y en el Mediterráneo no supera medio metro. Según sea la posición de
la tierra con respecto al sol y la luna, las mareas pueden ser mareas
vivas o muertas.
1.3
Oleaje
El oleaje es el agente fundamental a tener en cuenta en el diseño de cualquier
obra marítima. A continuación, como introducción al contenido de estos
apuntes, se presenta una pequeña síntesis de la evolución del oleaje desde el
área de generación hasta que se produce la rotura.
El mecanismo generador del oleaje es, como se ha dicho anteriormente, el
viento. Las olas nacen en mar abierto cuando la velocidad del viento supera
un cierto valor crítico. A partir de este momento empiezan a formarse ondas
de pequeña longitud y periodo y distintas direcciones que se caracterizan
fundamentalmente por su asimetría, dando un aspecto caótico a la super…cie
libre del mar. Al oleaje en el área de generación, se le denomina oleaje sea o
mar de viento.
Bajo la acción continuada del viento, las olas crecen en altura, longitud
y periodo hasta valores máximos que dependen de la velocidad del viento, la
longitud de la super…cie sobre la que sopla o ”Fetch”, el tiempo que ha estado
soplando y la profundidad de agua. En esta situación se denomina oleaje
1.3. OLEAJE
9
totalmente desarrollado, en otro caso se dice que el oleaje es parcialmente
desarrollado.
Cuando el oleaje ha abandonado el área de generación, las componentes
de diferentes periodos se segregan por su carácter dispersivo. Las olas de
mayor periodo viajan más deprisa y se caracterizan por su mayor simetría y
por presentar un aspecto más ordenado. Su forma se acerca bastante a la de
una onda sinusoidal (…gura 1.1). Este oleaje se conoce con el nombre de mar
de fondo o swell.
Figura~1.1: Onda sinusoidal
En su propagacion hacia profundidades más reducidas, llega un momento
en el que el oleaje empieza a ”sentir” el fondo: las olas se peraltan aumentando la altura de las crestas y disminuyendo la de los senos y comienzan
a perder simetría de eje horizontal. Este fenómeno, denominado asomeramiento, se hace más acusado a medida que la onda se propaga hacia aguas
de menor profundidad (…gura 1.2).
Figura~1.2: Asomeramiento
El oleaje al propagarse no sólo sufre cambios en su per…l, sino también
en planta. Cuando su dirección de avance forma un cierto ángulo con las
batimétricas del fondo, los frentes tienden a girarse para situarse paralelos a
las mismas (…gura 1.3). A este fenómeno se le denomina refracción y se debe
a que la olas cuando entran en aguas de profundidad menor, se propagan con
una velocidad más lenta. El oleaje también puede refractarse por la presencia
de una corriente.
10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO OSCILATORIO
Figura~1.3: Refracción
La difracción es la cesión lateral de energía que se produce para compensar
un gradiente de altura de ola acusado como sucede, por ejemplo, cuando el
oleaje encuentra un dique u otro tipo de obra marítima en su propagación y
la zona abrigada por el obstáculo capta energía de la región adyacente (…gura
1.4).
Figura~1.4: Difracción
Por otra parte, cuando el oleaje encuentra un obstáculo en su propagación
es posible que parte de su energía sea devuelta al mar. En este caso se dice
que se ha producido la re‡exión del oleaje (…gura 1.5).
Si la estructura es permeable, parte de la energía asociada al movimiento
oscilatorio puede pasar a través de ella. Se dice entonces que ha habido
trasmisión de energía hacia la región abrigada (…gura 1.6).
A medida que las olas se propagan a profundidades más reducidas, el
efecto del fondo es mayor, lo que origina una deformación cada vez más
acusada del per…l de la onda, se inicia una pérdida de simetría de eje vertical,
la ola deja de ser estable y se produce la rotura (…gura 1.7).
Aunque en la naturaleza, los fenómenos descritos anteriormente suceden
de forma conjunta, en estos apuntes se presentan de forma aislada para su
1.3. OLEAJE
11
Figura~1.5: Re‡exión
Figura~1.6: Transmisión
Figura~1.7: Rotura
12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO OSCILATORIO
mejor compresión.
1.4
Carácter lineal o no lineal del movimiento
Para poder llevar a cabo el estudio del oleaje, y del movimiento oscilatorio
en general, es necesario dotarse de una herramienta matemática que permita
su representación.
En un primer análisis muy simple, se puede decir que el oleaje es un
conjunto de ondas que se propagan en el medio marino. Una onda es una
perturbación de la super…cie libre de un ‡uido y como tal, puede representarse
como una serie de Fourier:
´=
X
An cos n(kx ¡ ¾t)
(1.1)
donde (kx ¡ ¾t) es la fase de la onda.
Si se mantiene únicamente el primer término de la serie, ´ = A1 cos(kx ¡
¾t), se obtiene una onda simétrica en el espacio y en el tiempo (…gura 1.8).
Figura~1.8: Onda lineal
Dicha onda tiene carácter lineal, puesto que su forma es independiente del
valor de la amplitud, A, que es únicamente un factor de escala (…gura 1.9).
La teoría que describe este tipo de ondas, supone que A es tal que el valor
de Ak es muy pequeño, Ak << 1, lo que permite despreciar los términos de
orden O ((Ak)2 ). Se dice que la teoría es de orden O(Ak).
A pesar de su simplicidad, esta onda representa con bastante exactitud el
oleaje que se ha denomidado anteriormente swell una vez que ha salido del
área de generación, cuando aún no se ha producido la deformación del per…l.
Si se añade el siguiente término de la serie, ´ = A1 cos(kx ¡ ¾t) +
A2 cos 2(kx ¡ ¾t) = ´ 1 + ´2 la onda deja de tener simetría de eje horizontal,
1.4. CARÁCTER LINEAL O NO LINEAL DEL MOVIMIENTO
13
Figura~1.9: Ondas lineales de diferentes amplitudes
puesto que el segundo término provoca un incremento de las crestas y un
decremento de los senos (…gura 1.10).
Figura~1.10: Superposición lineal de ondas
La teoría que describe este tipo de ondas conserva los términos hasta el
orden O(Ak)2 cuya contribución es cuadrática y se cali…ca como no lineal.
Si se añaden más términos, aumenta la asimetría y se consigue una mejor
representación matemática del oleaje.
Para estudiar las ondas en el medio marino en estos apuntes se va a
emplear la teoría lineal que conserva únicamente el primer término de la
14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO OSCILATORIO
serie. Dicha teoría es válida para ondas de pequeña amplitud para las que el
término (Ak) es muy pequeño y por tanto el valor de (Ak)2 es prácticamente
despreciable. Aunque en la naturaleza es muy raro encontrar ondas con
estas características, esta aproximación es válida para muchas aplicaciones,
además, es un primer paso necesario para iniciarse en el estudio de teorías
de orden superior.
1.5
Conceptos y de…niciones básicas
Las características fundamentales de una onda son la longitud de onda, L,
la altura, H, y la profundidad, h, sobre la que se propaga.
Figura~1.11: Magnitudes de una onda
En el per…l de una onda pueden distinguirse las siguientes magnitudes
(…gura 1.11):
´ = desplazamiento vertical de la super…cie libre
Ac = amplitud de cresta, máximo desplazamiento vertical positivo con
respecto al nivel medio del mar (N.M.M.)
As = amplitud de seno, máximo desplazamiento vertical negativo con
respecto al N.M.M.
H = altura de ola, máximo desplazamiento vertical entre dos pasos ascendentes de la onda por el N.M.M. Si la onda es simétrica Ac = As y
H = Ac + As = 2A
L = longitud de onda, distancia horizontal que existe entre dos crestas o
dos senos contiguos.
T = periodo, tiempo que transcurre entre el paso de dos crestas o dos
senos contiguos por un punto …jo.
1.5. CONCEPTOS Y DEFINICIONES BÁSICAS
15
Figura~1.12: Onda progresiva
A partir de estas magnitudes, se de…nen las siguientes:
k = número de onda, k = 2¼
.
L
¾ = frecuencia angular, ¾ = 2¼
T
c = celeridad de propagación de la onda, c = ¾=k.
1.5.1
Onda progresiva
El desplazamiento vertical de la super…cie libre para una onda progresiva,
viene dado por ´ = A cos(kx ¡ ¾t) = A cos k(x ¡ ct) =, con c = ¾=k, que
representa una onda que se propaga conservando la forma en la dirección
positiva del eje x con celeridad c.
Si la onda viajara hacia la izquierda, el desplazamiento de la super…cie
libre podría representarse por ´ = A cos(kx + ¾t)
1.5.2
Onda estacionaria
Una onda estacionaria se puede formar cuando se encuentran dos ondas progresivas de características idénticas que viajan en sentido contrario. El desplazamiento de la super…cie libre en este caso se obtiene de la siguiente manera:
´e = ´1 + ´ 2 = A cos(kx ¡ ¾t) + A cos(kx + ¾t) = 2A cos kx cos ¾t
(1.2)
La onda estacionaria no avanza con el tiempo, sino que, en cada posición
x, la super…cie libre varía entre ¡A cos kx y A cos kx . En los puntos x en los
que cos kx = 0; llamados nodos, la super…cie libre no se mueve, sin embargo,
16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO OSCILATORIO
Figura~1.13: Onda estacionaria
en las posiciones x para las cuales j cos kxj = 1, llamadas antinodos, j´ e j toma
los máximos valores. Los nodos son puntos inmóviles y en los antinodos sólo
hay movimiento vertical de la super…cie libre.
1.6
Parámetros adimensionales
Las características de una onda quedan perfectamente determinadas cuando
se conoce su altura, H, su longitud, L, y la profundidad sobre la que se
propaga, h, o bien, si se conoce la altura, H, el periodo, T , y la profundidad,
h. Por tanto, cualquier teoría de ondas utiliza en su desarrollo parámetros
adimensionales obtenidos a partir de estas cantidades: H
; h ; H o¶ H ; h
L L h gT 2 gT 2
1.6.1
Peralte de la ola
El peralte de la ola es la relación que existe entre la altura de la ola y su
longitud, y mide la pendiente del oleaje.
En profundiades inde…nidas, H
se encuentra limitado al valor 0:14 ' 1=7.
L
Por encima de este valor máximo del peralte, se admite que la onda rompe,
es decir, el per…l de la super…cie no es estable.
1.6.2
Profundidad relativa
Es la relación que existe entre la profundidad a la que se propaga la onda y
su longitud, Lh . Indica el grado in‡uencia que tiene el fondo en el oleaje.
² Se dice que la onda se propaga en profundidades inde…nidas cuando
h
> 21 . En este caso la onda se propaga sin verse afectada por la
L
presencia del fondo.
1.6. PARÁMETROS ADIMENSIONALES
Figura~1.14: Peralte de la ola
Figura~1.15: Profundidad relativa
17
18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO OSCILATORIO
1
² Si 20
< Lh < 12 , las olas están en profundidades intermedias. El fondo afecta a la trasmisión del oleaje (cambio de altura, dirección de
propagación, etc.)
1
² Cuando Lh < 20
se dice que la olas están en profundidades reducidas.
La in‡uencia del fondo es máxima. A las ondas que se propagan en
profundidades reducidas, se les denomina también ondas largas, puesto
que su longitud es varias veces mayor que la profundidad y, en general,
se puede admitir que el ‡ujo es plano.
1.6.3
Índice de rotura
El índice de rotura es la relación existente entre la altura de ola y la profundidad, Hh . Este parámetro se utiliza para de…nir de forma aproximada
cuándo se produce la rotura del oleaje por efecto del fondo.
Figura~1.16: Índice de rotura
1.6.4
Número de Ursell
El número de Ursell relaciona las tres magnitudes básicas en la descripción
del oleaje: H, L, h y se de…ne como:
Ur =
HL2
h3
(1.3)
Suele emplearse para determinar el rango de validez de las distintas teorías
de ondas existentes. Para valores pequeños del número de Ursell, la teoría
1.6. PARÁMETROS ADIMENSIONALES
19
que mejor describe el movimiento oscilatorio es la teoría de Stokes, cuyo
primer desarrollo es la teoría lineal (Stokes I) que se va a estudiar este curso.
Valores altos del número de Ursell corresponden a ondas largas que se
propagan en profundidades reducidas. En estas condiciones, la teoría de
Stokes deja de ser válida, y hay que aplicar otras, p.e. la teoría de Boussinesq,
para describir el movimiento de las ondas.
Se de…ne el régimen de Stokes cuando Ur < 21:6 y el régimen de Bousinesq
cuando Ur > 21:6:
20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO OSCILATORIO
Capítulo 2
Fundamentos Hidrodinámicos
2.1
Introducción
El objetivo …nal de la asignatura Puertos y Costas es establecer las relaciones entre las variables hidrodinámicas, velocidad, presión y profundidad que
permiten conocer las oscilaciones del mar, entre ellas el oleaje, y su propagación desde el área de generación hasta la costa, de forma que se proporcionen
los conocimientos básicos para diseñar, calcular y construir cualquier obra
marítima (obras de abrigo, regeneración de playas,...).
En primer lugar se presentan las herramientas matemáticas que se van a
aplicar a lo largo del curso. A continuación se repasan las leyes físicas que
expresan la conservación de ciertas cantidades (masa, cantidad de movimiento y energía), establecidas a partir de las leyes fundamentales de la mecánica
clásica.
2.2
Notación en el campo complejo
En teoría de ondas es muy frecuente utilizar la notación compleja, por lo que
aquí se va a hacer un breve repaso de los conceptos fundamentales.
En coordenadas cartesianas, un número complejo, w, se expresa de la
forma:
(2.1)
w = a + ib
donde a es la parte real, b es la parte imaginaria de w e i es la unidad
imaginaria:
a = Refwg;
b = Imfwg;
21
i=
p
¡1
(2.2)
22
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
Los números complejos pueden de…nirse también por su módulo, r, y por
su argumento o fase, µ, (…gura 2.1) que se obtienen a partir de a y b con las
expresiones:
p
r = jwj = a2 + b2
µ ¶
b
µ = atan
a
(2.3)
Figura~2.1: Módulo y argumento de un número complejo
Reíprocamente, a y b se obtienen a partir del módulo y la fase como sigue:
a = jwj cos µ
b = jwj sin µ
(2.4)
lo que permite escribir w de la siguiente forma
w = jwj (cos µ + i sin µ) = jwjeiµ
(2.5)
y el complejo conjugado de w como:
w¤ = a ¡ ib = jwj (cos µ ¡ i sin µ) = jwje¡iµ
(2.6)
2.3. DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR
23
A partir de un complejo y su conjugado, se pueden obtener las relaciones
que existen entre la función exponencial compleja y las funciones trigonométricas. Si w tiene módulo unidad:
w = cos µ + i sin µ = eiµ y w ¤ = cos µ ¡ i sin µ = e¡iµ
(2.7)
sumando w y w¤ , se obtiene
w + w¤ = 2 cos µ = eiµ + e¡iµ , cos µ =
eiµ + e¡iµ
2
(2.8)
análogamente, si se restan:
eiµ ¡ e¡iµ
(2.9)
2i
Así, por ejemplo, la ecuación de la super…cie libre de una onda puede
escribirse en términos de las funciones trigonométricas o mediante la notación
compleja:
w ¡ w¤ = 2i sin µ = eiµ ¡ e¡iµ , sin µ =
©
ª
´ = A cos(kx ¡ ¾t) = Re Aei(kx¡¾t)
(2.10)
A partir de ahora, aunque no aparezca el indicativo Re, se sobreentiende
que siempre se trabaja con la parte real del número complejo, y que c:c:
denota el complejo conjugado del sumando al que afecta.
©
ª A
A¤ ¡i(kx¡¾t) A i(kx¡¾t)
´ = Re Aei(kx¡¾t) = ei(kx¡¾t) +
e
= e
+ c:c: (2.11)
2
2
2
2.3
Desarrollo en serie de Taylor
Una herramienta matemática muy útil en hidrodinámica es el desarrollo en
serie de Taylor que, para funciones reales de variable real, se puede enunciar
de la siguiente forma:
Si una función f(x) es continua con derivadas continuas hasta el orden n
en un punto x0 , en un entorno de dicho punto se puede aproximar la función
por el polinomio:
f (x) = f (x0 ) + (x ¡ x0 )f 0 (x0 ) + 21 (x ¡ x0 )2 f 00 (x0 ) + :::
+ n!1 (x ¡ x0 )n f (n) (x0 )
(2.12)
24
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
que se conoce con el nombre de desarrollo en serie de Tayor de f en torno
a x0 . El error, e(x), que se comete con dicha aproximación es del orden de
(x ¡ x0 )n+1 , lo que se denota como e(x) = O ((x ¡ x0 )n+1 ).
Ejemplo
Se conoce la velocidad, u, de una partícula en un punto P de coordenadas
(x0 ; y; z) y se quiere calcular el valor de u en otro punto P 0 de coordenadas
(x0 + ¢x; y; z) (…gura 2.2). Por la hipótesis del ‡uido continuo, la velocidad
es una función continua con derivada continua, lo que permite aproximar el
valor de u en P 0 mediante el desarrollo en serie de Taylor de u en torno a P :
2
u(x0 + ¢x) = u(x0 ) + ¢x @u
+ 12 (¢x)2 @@xu2 jx=x0 + :::
@x jx=x0
n
+ n!1 (¢x)n @@xnu jx=x0
(2.13)
El error que se comete en la apromación es del orden de (¢x)n+1 .
Figura~2.2: Desarrollo en serie de Taylor de la velocidad u entorno a x0
2.4
Derivada total de una función
La derivada total o material de una función cualquiera f (x; y; z; t) viene dada
por la siguiente expresión:
Df
@f
@f dx @f dy @f dz
@f
@f
@f
@f
=
+
+
+
=
+u
+v
+w
Dt
@t
@x dt
@y dt
@z dt
@t
@x
@y
@z
(2.14)
!
Si, en vez de f , se tiene la función velocidad ¡
u (x; y; z; t), expresada en coordenadas eulerianas (sistema de referencia …jo), el resultado es la aceleración
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
total, @@tu + u @@xu + v @@yu + w @@zu , que es la suma de dos aceleraciones, la
2.5. CONCEPTO DE VOLUMEN DE CONTROL
25
¡
!
aceleración local, @@tu , que se debe a la variación de velocidad que experimenta un ‡uido en un punto a lo largo del tiempo, y la aceleración convectiva,
¡
!
¡
!
¡
!
u @@xu + v @@yu + w @@zu , debida a la variación de velocidad que experimenta el
‡uido por el cambio de posición.
2.5
Concepto de Volumen de Control
Cada una de las leyes físicas que rigen el comportamiento de un ‡uido en
movimiento, pueden establecerse en sentido Lagrangiano siguiendo el movimiento de una partícula del ‡uido, o bien en sentido Euleriano estableciendo
un punto …jo de referencia con respecto al cual se estudia cómo es el movimiento. Existen dos métodos básicos para obtener las ecuaciones eulerianas
de un ‡uido:
1) Método Material
2) Método del Volumen de Control
² Método Material:
Las características del ‡ujo en un punto P (x; y; z) se describen observando el movimiento de una partícula de masa in…tesimal, dm, situada en las
proximidades del punto. La tasa de variación de cualquier función f(x; y; z; t)
de esta partícula móvil, viene dada por la derivada total o material. Así, por
ejemplo, las ecuaciones del movimiento de la partícula material se obtienen de
aplicar la segunda ley de Newton, considerando la suma de todas las fuerzas
!
actuando sobre la partícula y su aceleración, ¡
a:
¡
!
!
d F = dm¡
a
(2.15)
² Método del Volumen de Control:
Se trabaja con un volumen de control …jo que podrá ser diferencial o
no. Con este método las leyes físicas pueden ser formuladas en términos de
‡ujo de masa, energía o cantidad de movimiento a través de las paredes del
volumen de control y de la tasa temporal de variación de masa, energía o
cantidad de movimiento dentro del volumen de control.
Así, las ecuaciones del movimiento pueden obtenerse a partir de la segunda ley de Newton que establece que la suma de las fuerzas externas que
actúan sobre el volumen de control igualan la tasa temporal de variación de
la cantidad de movimiento.
26
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
2.5.1
Ventajas del Método del Volumen de Control
En ingeniería litoral, en algunas ocasiones, es más conveniente abordar el
estudio mediante descripciones del ‡ujo a gran escala, estableciendo las relaciones entre las variables de…nidas en dos secciones. Se puede entonces
establecer la formulación por medio de un volumen de control …nito, …jo en
el espacio, de acuerdo con la descripción euleriana, que engloba una porción
de ‡uido.
Este método se usa generalmente en análisis unidimensionales, en los que
el interés primario se centra en conocer las variaciones de las características
del ‡ujo en la dirección del ‡ujo.
2.6
Leyes de Conservación
El estudio de las características del ‡ujo en la zona litoral se realiza a partir
de las siguientes leyes fundamentales:
² Leyes del movimiento de Newton:
1.- Un cuerpo bien permanece en reposo o bien continúa en un estado
de movimiento uniforme rectilíneo a menos que actúe sobre él otro cuerpo o
fuerza.
2.- La fuerza instantánea aplicada a un cuerpo es igual al producto de la
masa instantánea por la aceleración instantánea del cuerpo.
3.- Acción y reacción son iguales y opuestas.
² Leyes de la Termodinámica :
1.- En un sistema aislado el trabajo realizado para pasar de un estado
A del sistema a otro estado B está totalmente determinado por los estados
terminales A y B. La diferencia de energía interna entre el estado A y el
estado B, está de…nida por el trabajo mecánico realizado en pasar el estado
A al estado B o del estado B al estado A, siempre que ésto sea posible.
2.-Existe una tendencia en una parte de la naturaleza a tender hacia un
estado de mayor desorden.
La aplicación de estas leyes a un volumen de control …nito y …jo presenta
algunas peculiaridades que permiten un manejo más sencillo de las mismas y
un establecimiento más fácil de relaciones entre las variables hidrodinámicas.
2.7. CONCEPTO DE FLUJO
2.6.1
27
Ley de Conservación de la Masa
La ley de Conservación de la Masa puede establecerse de manera simple y
amplia como sigue, Abbott (1979):
Consideremos un sistema de super…cies de control envolviendo un volumen de control …jo (V.C.) de tal manera que exista una de…nición única del
interior y exterior del V.C. Entonces, la masa neta de ‡uido que pasa del exterior al interior a través de las super…cies de control es igual al incremento
neto de masa del V.C.
2.6.2
Ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento
Esta ley establece que el ‡ujo neto de cantidad de movimiento a través de
las super…cies de control es igual al incremento neto de la cantidad de movimiento en el volumen.
2.6.3
Ley de Conservación de la Energía
De…nido un volumen de control, la ley de conservación de la energía asegura
que el ‡ujo neto de energía a través de la super…cie del volumen de control,
más el trabajo realizado por las fuerzas exteriores en el mismo, es igual al
incremento neto de energía en el volumen de control.
2.7
Concepto de ‡ujo
A partir de este momento va a parecer de forma continua a lo largo de estos
apuntes el concepto de ‡ujo que se de…ne a continuación.
Flujo de una magnitud hidrodinámica (masa, cantidad de movimiento,
energía) a través de una super…cie, es la cantidad de esa magnitud que pasa
por dicha super…cie en la unidad de tiempo.
Ejemplo Se considera un canal de anchura unitaria (…gura 2.3), por el
w
que circula un ‡uido incompresible, D½
= 0, y perfecto (no se consideran los
Dt
2¡
!
términos viscosos, ¹r u ). Se supone que el movimiento es unidireccional
= 0, y estacionario, @u
= 0, y
en la dirección positiva del eje x, uniforme, @u
@x
@t
que el per…l de velocidades es constante a lo largo de toda la sección.
Más adelante, una vez que se hayan derivado las ecuaciones del movimiento, se podrá comprobar que, bajo estas hipótesis, no hay capa límite (el ‡uido
28
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
desliza sobre el fondo), sólo hay presiones (no hay tensiones tangenciales porque los términos viscosos se desprecian) y la presión es hidroestática (no hay
aceleraciones verticales y, por tanto, la super…cie es plana y constante). Se
dice que el ‡ujo es plano.
A continuación se evalúan los ‡ujos de masa, cantidad de movimiento y
energía a través de la sección AA0 .
² Flujo de masa :
Figura~2.3: Flujo de masa por la franja de anchura 4z durante 4t
La masa que pasa por la franja de anchura ¢z durante el intervalo de
tiempo ¢t será (…gura 2.3):
¢m = ½w (u¢t)¢z
(2.16)
La masa que pasa en la unidad de tiempo o ‡ujo de masa será:
¢fm =
¢m
= ½w u¢z
¢t
(2.17)
La masa total que pasa por la sección AA0 viene dada por:
=m =
Z
0
¡h
½w udz = ½w uh
(2.18)
La densidad de ‡ujo de masa o ‡ujo de masa por unidad de columna de
agua, será ½w u, es decir igual a la cantidad de movimiento.
2.7. CONCEPTO DE FLUJO
29
² Flujo de la cantidad de movimiento:
Para calcular el ‡ujo de la cantidad de movimiento, hay que tener en
cuenta la cantidad cinemática de la cantidad de movimiento, ½w u,y el impulso
mecánico ejercido por la presión como agente suministrador de cantidad de
movimiento.
a) Cantidad cinemática de la cantidad de movimiento:
Figura~2.4: Cantidad cinemática de movimiento que pasa por la franja de
anchura 4z durante 4t
La cantidad cinemática de la cantidad de movimiento que pasa por la
franja de anchura ¢z durante el intervalo de tiempo ¢t es (…gura 2.4):
¢ (c:m:c ) = ¢m u = [½w (u¢t)¢z] u = ½w u2 ¢z¢t
(2.19)
La cantidad cinemática de cantidad de movimiento que pasa por dicha
franja en la unidad de tiempo es:
¢f(c:m:c ) = ½w u2 ¢z
(2.20)
b) Impulso mecánico de la fuerza ejercida por la presión
El impulso mecánico de la fuerza ejercida por la presión, que en este caso
es hidrostática, en la franja de anchura ¢z durante el intervalo de tiempo
¢t es (…gura 2.5):
¢(c:m:p ) = p(z)¢z¢t = (¡½w gz)¢z¢t
(2.21)
30
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
Figura~2.5: Impulso mecánico de la fuerza ejercida por la presión
El impulso mecánico de la fuerza ejercida por la presión en la franja de
anchura ¢z en la unidad de tiempo es:
¢f(c:m:p ) = p(z)¢z = (¡½w gz)¢z
(2.22)
Luego el ‡ujo de cantidad de movimiento por la franja de anchura ¢z en
la unidad de tiempo es:
¢fc:m: = ½w u2 ¢z ¡ ½w gz¢z
(2.23)
y el ‡ujo total de cantidad de movimiento por la sección AA0 es:
=c:m: =
Z
0
¡h
2
½w u dz ¡
Z
0
1
½w gzdz = ½w u2 h + ½w gh2
2
¡h
(2.24)
² Flujo de Energía:
Para el cálculo del ‡ujo de energía, habrá que tener en cuenta la energía cinética de la masa en movimiento, la energía potencial gravitatoria del
elemento por su posición y el trabajo desarrollado por las fuerzas de presión
aplicadas en hacer pasar esa masa a través de la sección AA0 :
a) La energía cinética que pasa por la franja de anchura ¢z en el intervalo
de tiempo ¢t es:
1
¢ec = (½w u¢t¢z)u2
2
(2.25)
2.7. CONCEPTO DE FLUJO
31
Figura~2.6: Flujo de energía a través de la franja 4z
La energía cinética que pasa por la franja de anchura ¢z en la unidad de
tiempo es:
1
¢fec = ½w u3 ¢z
2
(2.26)
b) La energía potencial que pasa por la franja de anchura ¢z en el intervalo de tiempo ¢t es:
¢ep = ½w u¢t¢zg(¡z)
(2.27)
luego la energía potecial que pasa por dicha franja en la unidad de tiempo
es:
¢fep = ¡½w ugz¢z
(2.28)
c) El trabajo desarrollado por la presión existente (de nuevo, sólo se considera la presión hidrostática) para mover dicha masa a través de la sección
de anchura ¢z en el intervalo de tiempo ¢t es:
¢W = p(z)¢z(u¢t) = ¡½w gzu¢z¢t
luego en la unidad de tiempo,
(2.29)
32
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
¢fW = ¡½w gzu¢z
(2.30)
El ‡ujo total de energía es, por tanto,:
1
=E = =Ec + =Ep + =W = ½w u3 h + ½w guh2
2
(2.31)
puesto que
R0
=Ec = ¡h 21 ½w u2 dz = 21 ½w u3 h
R0
=Ep = ¡h ½w guzdz = 21 ½w guh2
R0
=W = ¡h ½w guzdz = 21 ½w guh2
(2.32)
² Aplicación al caso de un resalto hidráulico (volumen de control …nito)
Los resultados anteriores pueden aplicarse al caso de un resalto hidráulico
(…gura 2.7), admitiendo que a un lado y a otro del resalto, los ‡ujos son planos
y en consecuencia, uniformes y horizontales y la ley de presiones hidrostática.
Figura~2.7: Resalto hidraúlico
Siempre que no haya aportes ni pérdidas de agura dentro del volumen de
control, ni pérdidas de energía, se tiene:
Conservación de la masa:
2.8. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN
½w u1 h1 = ½w u2 h2
Conservación de la cantidad de movimiento:
1
1
½w u21 h1 + ½w gh21 = ½w u22 h2 + ½w gh22
2
2
Conservación de la energía:
33
(2.33)
(2.34)
1
1
½w u31 h1 + ½w u1 gh21 = ½w u32 h2 + ½w u2 gh22
(2.35)
2
2
Con estas ecuaciones se pueden formar dos sistemas de ecuaciones con
variables u1 , u2 , h1 , h2 (c. masa+c. cant. mov) o (c. masa +c. energía) pues
es fácil comprobar que el conjunto de las tres forma un sistema redundante.
Elegidas dos de ellas y de…nidas dos variables de entre las siguientes, u1 h1 ó
u1 h2 ó u2 h1 ó u2 h2 se puede encontrar el valor de las otras dos.
En el resalto se produce un movimiento turbulento que produce una reducción de la energía total en el volumen de control. Llamando a esta pérdida
¢E :
1
1
½w u31 h1 + ½w u1 gh21 = ½w u32 h2 + ½w u2 gh22 + ¢E
(2.36)
2
2
aparece una variable adicional, por lo que para resolver el sistema de ecuaciones es necesario introducir una ecuación de cierre que relacione esta disipación
de energía con las demás variables del problema:
¢E = f (u1 ; h1 ; u2 ; h2 )
(2.37)
Al aplicar las leyes de conservación al volumen de control …nito que se
ha de…nido en el resalto hidráulico, se obtienen una serie de relaciones paramétricas entre las distintas variables que de…nen el movimiento del ‡uido:
u1 , u2 , h1 y h2 . A continuación se verá cómo al aplicar estas leyes a un volumen de control in…nitesimal, lo que se obtiene es un sistema de ecuaciones
en derivadas parciales.
2.8
Ecuaciones de conservación
En un sistema de coordenas cartesianas se considera el volumen de control
in…nitesimal de lados ¢x, ¢y, ¢z, …jo y centrado en el punto x, y, z, de la
…gura 2.8. A continuación se aplican las ecuaciones de conservación a dicho
volumen de control.
34
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
Figura~2.8: Volumen de control in…nitesimal
2.8.1
Ecuación de conservación de la masa
El ‡ujo de masa que entra en el volumen de control debe ser igual al ‡ujo
de masa que sale más las variaciones que tienen lugar dentro del volumen de
control.
Se analiza en primer lugar el ‡ujo de masa que atraviesa el volumen de
control según la dirección x.
El ‡ujo de masa que entra a través de la cara AA0 CC 0 es:
=AA0 CC 0 = ½w
µ
¶ µ
¶
¢x
¢x
x¡
; y; z; t u x ¡
; y; z; t ¢y¢z¢t
2
2
(2.38)
desarrollando la función ½u en serie de Taylor en torno al punto (x; y; z), se
obtiene:
=AA0 CC 0 = [½w (u¢t)¢z¢y](x¡ ¢x ;y;z;t)
2
h
¡ ¢
@(½w u)
1 ¢x 2
= ¢t¢y¢z (½w u) ¡ ¢x
+
2
@x
2
2
+¢t¢y¢z ° ((¢x)3 )
@ 2 (½w u)
@x2
i
j(x;y;z;t)
(2.39)
2.8. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN
35
De la misma forma, el ‡ujo de masa que sale a través de BB 0 DD0 es:
=BB 0 DD0 = [½(u¢t)¢z¢y](x+ ¢x ;y;z;t)
2
h
¡ ¢
@(½w u)
1 ¢x 2
= ¢t¢y¢z (½w u) + ¢x
+
2
@x
2
2
@ 2 (½w u)
@x2
+¢t¢y¢z ° ((¢x)3 )
i
j(x;y;z;t)
(2.40)
luego el ‡ujo neto de masa según la dirección x será:
=AA0 CC 0 ¡ =BB0 DD0
¸
¡
¢
@(½w u)
2
¢x + ° (¢x)
= ¡¢t¢y¢z
@x
(2.41)
·
¸
(2.42)
·
¸
(2.43)
·
análogamente, para las otras dos direcciones se tiene que:
=AA0 BB 0 ¡ =CC 0 DD0
=ABCD ¡ =A0 B0 C 0 D0
¡
¢
@(½w v)
¢y + ° (¢y)2
= ¡¢t¢x¢z
@y
¡
¢
@(½w w)
¢z + ° (¢z)2
= ¡¢t¢x¢y
@z
de donde resulta que el ‡ujo neto de masa que queda dentro del volumen de
control es:
·
¸
¡
¢
@(½w u) @(½w v) @(½w w)
¡
+
+
¢x¢y¢z¢t + ° (¢x)4 ¢t
@x
@y
@z
(2.44)
La tasa de variación temporal de la masa dentro del volumen de control
será:
¸
¡
¢
@½w
2
½w (t + ¢t)¢x¢y¢z ¡ ½w (t)¢x¢y¢z =
¢t + ° (¢t)
¢x¢y¢z
@t
(2.45)
·
La ley de conservación de la masa asegura que ambas cantidades son
iguales:
h
i
@½w
2
¢t
+
°
((¢t)
)
¢x¢y¢z =
@t
h
i
(2.46)
@(½w u)
@(½w v)
@(½w w)
= ¡ @x + @y + @z
¢x¢y¢z¢t + ° ((¢x)4 ) ¢t
36
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
despreciando los términos de orden superior y dividiendo por el volumen:
@½w @(½w u) @(½w v) @(½w w)
+
+
+
=0
@t
@x
@y
@z
(2.47)
Desarrollando esta expresión:
@½w
@t
+
@(½w u)
@x
+
@(½w v)
@y
+
@(½w w)
@z
=
@½w
@th
+½w
w
w
w
+ u @½
+ v @½
+ w @½
@x
@y
@z
i
@u
+ @v
+ @w
@x
@y
@z
(2.48)
con lo que la ecuación de conservación de la masa queda:
D½w
!
+ ½w 5 ¢¡
u =0
Dt
D½w
Dt
Si el ‡uido es incompresible,
la masa se reduce a:
(2.49)
= 0, y la ecuación de conservación de
!
5¢¡
u =0
(2.50)
!
Si además el movimiento es irrotacional (5 £ ¡
u = 0 ), existe una función potencial, ©, que permite obtener el campo de velocidades mediante las
relaciones:
¡
!
u = 5© =
µ
@© @© @©
;
;
@x @y @z
¶
(2.51)
y la ecuación de conservación de la masa se reduce a la ecuación de Laplace:
M © = 52 © =
2.8.2
@ 2© @ 2© @ 2©
+ 2 + 2 =0
@x2
@y
@z
(2.52)
Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento
Las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento en forma diferencial se obtienen directamente aplicando la segunda ley de Newton a un
volumen de control in…nitesimal.
2.8. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN
X
F =
D(½w u)
Dt
37
(2.53)
donde F representa las fuerzas que actúan sobre el ‡uido y que pueden ser
de dos tipos:
² Fuerzas de masa
² Fuerzas de super…cie
Se representan en el volumen de control las fuerzas de super…cie (fuerzas
normales, ¾ ii , y fuerzas tangenciales, ¿ ij ) que actúan sobre la partícula ‡uida. Sobre cada cara se tienen dos fuerzas tangenciales y una fuerza normal.
Por convenio, el primer subíndice indica la dirección del vector normal a la
cara y el segundo subíndice indica la dirección de la fuerza, así, por ejemplo,
¿ xy es una tensión tangencial sobre la cara normal al vector unitario en la
dirección x, que actúa en la dirección del eje y.
Figura~2.9: Fuerzas de super…cie que actúan sobre un volumen de control
in…nitesimal
38
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
La fuerza total que actúa en la dirección x es:
h
i
Fx = ¾ xx j(x+ ¢x ;y;z) ¡ ¾ xx j(x¡ ¢x ;y;z) ¢y¢z
2
2
h
i
+ ¿ yx j(x;y+ ¢y ;z) ¡ ¿ yx j(x;y¡ ¢y ;z) ¢x¢z
2
2
h
i
+ ¿ zx j(x;y;z+ ¢z ) ¡ ¿ zx j(x;y;z¡ ¢z ) ¢x¢y + ½w ¢x¢y¢zX
2
(2.54)
2
donde el término ½w ¢x¢y¢zX engloba todas las fuerzas de masa que actúan
sobre el volumen de control en la dirección del eje x.
Teniendo en cuenta que:
£
¾ xx j(x+ ¢x ;y;z) = ¾ xx +
2
£
¾ xx j(x¡ ¢x ;y;z) = ¾ xx ¡
2
se tiene:
@¾ xx
@x
@¾ xx
@x
¤
¢x
2 (x;y;z)
¤
¢x
2 (x;y;z)
+ O ((¢x)2 )
+ O ((¢x)2 )
(2.55)
h
i
¡
¢
@¾ xx
¾ xx j(x+ ¢x ;y;z) ¡ ¾ xxj(x¡ ¢x ;y;z) ¢y¢z =
¢x¢y¢z + O (¢x)4
2
2
@x j(x;y;z)
(2.56)
análogamente,
i
h
¿ yx j(x;y+ ¢y ;z) ¡ ¿ yx j(x;y¡ ¢y ;z) ¢x¢z = @¿@yyx
¢x¢y¢z + O ((¢x)4 )
j(x;y;z)
2
2
h
i
¿ zxj(x;y;z+ ¢z ) ¡ ¿ zx j(x;y;z¡ ¢z ) ¢y¢z = @¿@zzx j(x;y;z) ¢x¢y¢z + O ((¢x)4 )
2
2
(2.57)
luego
·
@¾ xx @¿ yx @¿ zx
Fx =
+
+
@x
@y
@z
¸
¢x¢y¢z + ½w ¢x¢y¢zX
(2.58)
j(x;y;z)
Por la segunda ley de Newton,
Fx = max = ½w ¢x¢y¢z
Du
Dt
(2.59)
dividiendo por ¢x¢y¢z y tomando límites cuando ¢x ! 1 , el equilibrio
de fuerzas según la dirección x viene dado por:
2.8. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN
½w
Du
@¾ xx @¿ yx @¿ zx
=
+
+
+ ½w X
Dt
@x
@y
@z
39
(2.60)
De la misma forma, para las otras dos direcciones se tiene:
½w
Dv
@¿ xy @¾ yy @¿ zy
=
+
+
+ ½w Y
Dt
@x
@y
@z
(2.61)
½w
@¿ xz @¿ yz @¾ zz
Dw
=
+
+
+ ½w Z
Dt
@x
@y
@z
(2.62)
w
= 0; se de…ne la presión como la tensión
Si el ‡uido es incompresible, D½
Dt
normal media en el ‡uido, es decir,
p=¡
¾ xx +¾ yy +¾ zz
3
(2.63)
y las tensiones normales ¾ xx , ¾ yy y ¾ zz pueden escribirse como:
¾ xx = ¡p + ¿ xx
¾ yy = ¡p + ¿ yy
¾ zz = ¡p + ¿ zz
(2.64)
donde los ¿ ii miden la desviación del campo de tensiones del estado medio
de compresión del ‡uido.
Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones de equilibrio se obtiene
el siguiente sistema de ecuaciones:
@p
= ¡ @x
+ @¿@xxx + @¿@yyx + @¿@zzx + ½w X
½w Du
Dt
@p
½w Dv
= ¡ @y
+ @¿@xxy + @¿@yyy + @¿@zzy + ½w Y
Dt
½w Dw
= ¡ @p
+ @¿@xxz + @¿@yyz + @¿@zzz + ½w Z
Dt
@z
(2.65)
Las ecuaciones anteriores junto con la de conservación de la masa forman
un sistema de 4 ecuaciones con 12 incógnitas. Para que el sistema tenga
solución, es necesario buscar algún tipo de relación entre las variables desconocidas.
40
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
Puede demostrarse que las tensiones tangenciales ¿ ij = ¿ ji . Tomando,
por ejemplo, la suma de momentos con respecto al eje z, de una rebanada de
espesor ¢z perpendicular a dicho eje, Mz (…gura 2.10).
h
h
i
i
@¿ yx ¢y
@¿ yx ¢y
¢y
Mz = ¿ yx ¡ @y 2 ¢x¢z 2 + ¿ yx + @y 2 ¢x¢z ¢y
2
h
h
i
i
(2.66)
@¿ xy ¢x
@¿ xy ¢x
¢x
¢x
¡ ¿ xy ¡ @y 2 ¢x¢z 2 ¡ ¿ xy + @y 2 ¢x¢z 2
puesto que Mz = Iz ®z , donde Iz es el momento de inercia y ®z es la aceleración angular en la dirección z del volumen de control, se tiene:
¿ yx ¡ ¿ xy =
£
¤
1
½w ¢x2 + ¢y 2 ®z
12
(2.67)
Si el término de la izquierda no fuera nulo, puesto que ¢x2 + ¢y 2 ¡! 0,
la velocidad angular tendería a in…nito. Deberá ser, por tanto,
¿ yx = ¿ xy
(2.68)
Figura~2.10: Tensiones tangenciales que contribuyen al momento con respecto al eje z
Análogamente, para las otras dos direcciones se obtiene que:
¿ zx = ¿ xz
¿ yz = ¿ zy
(2.69)
de esta forma el número de tensiones desconocidas se reduce a 6: ¿ xy , ¿ xz ,
¿ yz , ¿ xx , ¿ yy , ¿ zz .
2.8. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN
41
Para resolver el problema, las tensiones tangenciales, ¿ ij se expresan en
términos del campo de velocidades en lo que se conocen como ecuaciones
constitutivas del material, que para un ‡uído newtoniano son:
h
2 @u
i
¿ ii = 2¹ @u
+
¡
[email protected] 3 @xi
@u
@ui
¿ ij = ¹ @x
+ @xji
j
@v
@y
+
@w
@z
i
(2.70)
i 6= j
donde ¹ es la viscosidad dinámica del ‡uido, que es una propiedad del ‡uido
y no del ‡ujo. Si el ‡uido es incompresible, las ecuaciones constitutivas del
material se reducen a:
@u
¿ xx = 2¹ @x
h
¿ xy = ¹ @u
+
@y
@v
@x
¿ yy = 2¹ @v
£@y
¿ xz = ¹ @u
+
@z
i
¿ zz = 2¹ @w
[email protected]
¤
@w
¿ zy = ¹ @w
+
@x
@y
@v
@z
i
(2.71)
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación del movimiento para el eje
x:
½w Du
Dt
=
@p
¡ @x
+
2
2¹ @@xu2
@p
= ¡ @x
+¹
h
+¹
@2u
@x2
+
h
@2u
@y2
@2u
@y2
@2u
@[email protected]
+
@2u
+
@z 2
i
i
h
@ 2u
@z 2
@2u
@[email protected]
+¹
+
³
@
@u
+ ¹ @x
+ @v
+
@x
@y
i
+ ½X
´
@w
+ ½X
@z
(2.72)
Para un ‡uido incompresible se ha visto que la ecuación de conservación
!
de la masa es, 5 ¢ ¡
u = 0lo que las ecuaciones del movimiento se reducen a:
½w Du
Dt
=
@p
¡ @x
+¹
@p
= ¡ @y
+¹
½w Dv
Dt
h
h
@ 2u
@x2
@2v
2
h @x2
+
@2u
@y2
+
@2v
@y 2
+
@2u
@z 2
+
@ 2v
2
½w Du
= ¡ @p
+ ¹ @@xw2 + @@yw2
Dt
@z
@v
!
5¢¡
u = @u
+ @y
+ @w
=0
@x
@z
i
i
+ ½w X
+ ½w Y
i
2
+ @@zw2 + ½w Z
@z 2
(2.73)
Si entre las fuerzas de masa se considera sólo la gravedad, X = 0, Y = 0
y Z = ¡g:
@p
½w Du
= ¡ @x
+¹
Dt
@p
½w Dv
= ¡ @y
+¹
Dt
@p
= ¡ @z
+¹
@u
@v
¡
!
u = @x + @y
½w Du
Dt
5¢
h
h
h
@ 2u
@x2
+
@2u
@y2
+
@2u
@z 2
@ 2v
@x2
+
@2v
@y2
+
@ 2v
@z 2
2
@2w
+ @@yw2
@x2
+ @w
=0
@z
+
i
i
@2w
@z 2
i
(2.74)
¡ ½w g
42
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
Las ecuaciones anteriores se conocen con el nombre de Ecuaciones de
Navier-Stokes.
Estas ecuaciones se pueden simpli…car aún más si se considera un ‡uido
perfecto (¹ = 0), en el que las tensiones tangenciales son nulas y sólo existen
presiones. En este caso las ecuaciones de Navier-Stokes, se convierten en lo
que se conoce como Ecuaciones de Euler.
Teniendo en cuenta la ecuación de conservación de la masa y las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento, para ‡ujos bidimensionales
irrotacionales, @u
= @w
, las ecuaciones de Euler pueden escribirse en el plano
@z
@x
x; z de la siguiente forma:
@ (u2 =2)
@ (w2 =2)
+
@x
@x
@ (u2 =2)
@ (w2 =2)
@w
+ @z + @z
@t
@u
@t
+
= ¡ ½1
w
=
@p
@x
¡ ½1 @p
w @z
(2.75)
Para ‡ujo bidimensinal e irrotacional (@[email protected] = @[email protected]), existe una función potencial, ©, que se relaciona con el campo de velocidades a través de
las expresiones
u = @©
@x
w = @©
@z
(2.76)
con lo que las ecuaciones se transforman en:
·
¸
¢
¢
@ @© 1 ¡ 2
p
p
@© 1 ¡ 2
2
+
u +w +
+
u + w2 +
= D(z; t)
=0,
@x @t
2
½w
@t
2
½w
(2.77)
·
¸
¢
p
p
@ @© 1 ¡
@© 1 ¡ 2
2
!
+ juj +
= ¡g ,
+
u + w2 +
= ¡gz + C(x; t)
@z @t
2
½w
@t
2
½w
(2.78)
Igualando ambas ecuaciones se tiene que, D(z; t) = ¡gz + C(x; t), de
donde se deduce que D(x; t) sólo puede ser una función del tiempo, por lo
que D(z; t) = C(t) ¡ gz y la expresión que resulta es la ecuación de Bernoulli
para ‡ujos no estacionarios:
@©
@t
@©
@t
+ 12 (u2 + w2 ) + ½p + gz = C(t)
h¡ ¢
¡ @© ¢w2 i
1
@© 2
+ ½p + gz = C(t)
+ 2 @x + @z
w
(2.79)
2.9. CONDICIONES DE CONTORNO
43
La ecuación de Bernoulli relaciona la presión del ‡uido con su posición
y su velocidad. Así, para dos puntos de los que se conoce su posición y
velocidad, la ecuación de Bernoulli, permite conocer la diferencia de presión
entre dichos puntos:
pA
½g
=
h¡
i
¢
¡ @© ¢2
@© 2
¡
+
A
h¡ ¢ @x ¡ ¢ @zi
2
1
@© 2
+ 2g @©
+
@x
@z
£¡ @©
¢
¡ @©
¢ ¤B
1
¡ g @t A ¡ @t B + zA
pB
½g
1
2g
(2.80)
¡ zB
La tabla siguiente resume las ecuaciones de conservación obtenidas, junto
con las hipótesis admitidas para cada una de ellas
Conservación de
la masa
Navier Stokes
Euler
!
r¢¡
u =0
!
r¢¡
u =0
Conservación de la
cantidad de movimiento
!
D¡
u
Dt
= ¡rp
¡
!
!
u ¡ ½g k
+¹r2 ¡
!
D¡
u
Dt
¡
!
= ¡rp ¡ ½g k
Hipótesis
H ip . d e co ntinu o
F l. in co m p resib le
F l. N ew to n ia n o
H ip . d e co ntinu o
F l. in co m p resib le
F l. N ew to n ia n o
F l. n o v isco so
Laplace
+
Bernouilli
H ip . d e co ntinu o
r2 © = 0
+ 12 r© ¢ r©
p
+ ½ + gz = C(t)
@©
@t
w
F l. in co m p resib le
F l. N ew to n ia n o
F l. n o v isco so
F l. irro ta cio n a l
2.9
Condiciones de contorno
Estos sistemas de ecuaciones se aplican al estudio del movimiento del ‡uido
en un dominio concreto. Para poder resolver los problemas que se plantean
es necesario especi…car ciertas condiciones en el contorno del dominio.
Con carácter general se exige que el ‡uido siga el movimiento del contorno,
ya sea éste …jo o libre. Este tipo de condiciones que se re…eren a la cinemática
del movimiento, se denominan Condiciones de Contorno Cinemáticas.
44
2.9.1
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS HIDRODINÁMICOS
Condición de Contorno Cinemática
La condición de contorno cinemática expresa la relación de compatibilidad
que debe existir entre el movimiento del contorno y las características cinemáticas del ‡uido en contacto con el mismo.
La expresión matemática para esta condición de contorno puede obtenerse
a partir de la ecuación que describe la super…cie que constituye el contorno.
Cualquier super…cie libre o …ja puede ser representada a partir de una expresión matemática de la forma F (x; y; z; t) = 0. La condición de contorno
establece que las partículas en contacto con esta super…cie deben seguir su
movimiento, lo que matemáticamente se expresa como:
DF
@F
=0,¡
= u ¢ rF en F (x; y; z; t) = 0
Dt
@t
(2.81)
Esta condición se puede escribir también en función del vector normal a
rF
!
la super…cie, ¡
n = jrF
:
j
¡
@F
!
!
=¡
u ¢¡
n jrF j en F (x; y; z; t) = 0
@t
(2.82)
Si el contorno es estacionario (no varía con el tiempo), la condición de
contorno se reduce a:
¡
!
!
u ¢¡
n = 0 en F (x; y; z; t) = 0
(2.83)
lo que signi…ca que la componente de la velocidad perpendicular al contorno tiene que ser nula.
2.9.2
Condición de Contorno Dinámica
La Condición de Contorno Dinámica, permite conocer la distribución de presiones en un contorno dado. En general, establecerá una relación entre las
fuerzas actuantes, las características cinemáticas del ‡uido y la distribución
de presiones. No existe una expresión general para esta condición ya que
dependerá de las características del problema que se esté analizando.
Referencias
[1] Abbot, M. B. (1979). Computational Hydraulics. Pitman Publishing
Lim., Boston, pp. 326.
45
46
REFERENCIAS
Capítulo 3
Teoría lineal de ondas. Ondas
de Airy
3.1
Introducción
Las oscilaciones que se pueden observar en el mar se propagan en un ‡uido
viscoso sobre un fondo irregular de permeabilidad variable. Sin embargo,
en la mayoría de los casos los efectos viscosos sólo son signi…cativos en las
proximidades de los contornos, y para el movimiento oscilatorio el espesor de
la capa límite, ± ' (2À=¾)1=2 , es del orden de milímetros, por lo que se puede
aceptar que el ‡uido desliza sobre la super…cie sin que se cumpla la condición
de velocidad igual a la del contorno para las partículas en contacto con ella.
En consecuencia, fuera de la capa límite, la viscosidad puede suponerse nula
y no hay tensiones tangenciales, por lo que, en ausencia de un mecanismo
especí…co, no hay forma de inducir la rotación de las partículas de agua. El
resultado de éste análisis es que fuera de la capa límite, el movimiento oscilatorio puede suponerse irrotacional. Por otra parte, el agua puede tratarse
como un ‡uido casi incompresible. Así, con estas y otras hipótesis que se introducirán más adelante, se puede abordar de manera sencilla el análisis del
movimiento oscilatorio y conocer sus características cinemáticas y dinámicas.
En primer lugar se planteará el problema de gobierno que se resolverá a
continuación para el caso particular de una onda lineal de pequeña amplitud,
obteniendose lo que se conoce como onda lineal o de Airy.
47
48
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
3.2
Ecuación de gobierno para el movimiento
oscilatorio
Para estudiar el movimiento oscilatorio bidimensional se admiten las siguientes hipótesis:
² Fluido incompresible,
D½
Dt
=0
!
² Flujo irrotacional, r£¡
u = 0. Existe, por tanto, una función potencial,
©, a partir de la cual se obtiene el campo de velocidades como sigue:
u=
@©
@©
; w=
@x
@z
(3.1)
² Fluido no viscoso, es decir, se desprecian las tensiones tangenciales y,
en consecuencia, no se considera la capa límite, por lo que el ‡ujo se
estudia como si el ‡uido deslizara sobre los contornos.
Con estas hipótesis, a partir de la ecuación de conservación de cantidad de
movimiento se obtiene la ecuación de Bernoulli, y la ecuación de conservación
de la masa se transforma en la ecuación de Laplace, que gobierna el problema:
r2 © = 0
(3.2)
Puesto que la ecuación anterior es de tipo elíptico, para su resolución
deben especi…carse las condiciones de contorno en la frontera de todo el
dominio.
Una vez conocido el potencial se podrán estudiar las características cinemáticas y dinámicas del movimiento oscilatorio.
3.3
Condiciones de contorno
En los contornos, ya sean …jos o libres, el ‡uido debe seguir el movimiento
de las super…cies que los de…nen. Las condiciones que se re…eren a la cinemática, se denominan condiciones de contorno cinemáticas. Por otra parte,
la super…cie libre es susceptible de deformarse bajo la aplicación de fuerzas,
en cuyo caso, la condición de contorno dinámica especi…ca la distribución
de presiones en la super…cie (puesto que el ‡uido es no viscoso, no admite
tensiones tangenciales).
3.3. CONDICIONES DE CONTORNO
3.3.1
49
Condición de contorno cinemática en la super…cie libre
La ecuación de la super…cie libre en este caso es:
F (x; z; t) = z ¡ ´ (x; t)
(3.3)
donde ´ es el desplazamiento de la super…cie libre del mar. La condición
de contorno cinemática en este caso exige que no haya ‡ujo a través de la
super…cie aire-agua, es decir, que las partículas que constituyen la super…cie
libre, permanezcan en ella y no la abandonen, lo que matemáticamente se
expresa como:
DF
@F
@F
@F
=
+u
+w
= 0 en F (x; z; t) = 0
Dt
@t
@x
@z
(3.4)
Por tanto, la condición cinemática en la super…cie libre es:
@´
@´
+u
¡ w = 0 en z = ´
@t
@x
3.3.2
(3.5)
Condición de contorno cinemática en el fondo
Para un fondo impermeable (…gura 3.1) cuya super…cie viene dada por la
ecuación :
F (x; z; t) = z + h (x; t) = 0
la condición de ‡ujo nulo a través del fondo,
DF
Dt
(3.6)
= 0, es:
@h
@h
+u
+ w = 0 en z = ¡h
@t
@x
(3.7)
Si se considera que el fondo no varía con en el tiempo, la ecuación se
reduce a:
u
dh
dh
w
+w =0,
= ¡ siempre que u 6= 0
dx
dx
u
(3.8)
es decir, la relación de velocidades en el punto considerado es igual a la
pendiente del fondo en dicho punto.
50
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
Figura~3.1: Condición de contorno cinemática en el fondo
Para fondo horizontal, la condición de contorno se expresa:
w = 0 en z = ¡h
(3.9)
por lo que en el fondo sólo existen velocidades horizontales.
3.3.3
Condiciones de contorno laterales
Las condiciones a especi…car en los contornos laterales dependen del problema
que se esté considerando:
² Si el dominio es in…nito, ¡1 < x < 1, se exige que el movimiento sea
periódico en el tiempo y en el espacio, lo que se expresa de la forma:
© (x; z; t) = © (x + L; z; t)
© (x; z; t) = © (x; z; t + T )
(3.10)
² Si el dominio es semin…nito, x ¸ 0, se pueden presentar varios casos,
de los que aquí se recogen algunos ejemplos:
3.3. CONDICIONES DE CONTORNO
51
Pared vertical impermeable
Si existe una pared impemeable en x = 0 (…gura 3.2), se exige, además, que
el ‡ujo a través de la pared sea nulo: u = 0 en x = 0
Figura~3.2: Pared vertical impermeable
Canal con pala generadora de oleaje
Supóngase que en x = 0 se tiene una pala generadora de oleaje cuyo desplazamiento con respecto a la vertical se representa por la función S(z; t) (…gura
3.3). La ecuación de la super…cie de la pala será entonces, F = x¡S (z; t) = 0.
La condición de contorno cinemática, DF
= 0, en F = 0; especi…ca que las
Dt
partículas de agua en contacto con la pala siguen el movimiento de la misma,
lo que se expresa como:
¡
@S
@S
+u¡w
= 0 en x = S(z; t)
@t
@z
(3.11)
Si se trata de una pala tipo pistón que únicamente se desplaza en la dirección horizontal, x = S(t), (…gura 3.4), la condición de contorno se transforma
en:
¡
@S
+ u = 0 en x = S(t)
@t
(3.12)
52
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
Figura~3.3: Canal con pala generadora de oleaje
Figura~3.4: Pala generadora de oleaje tipo pistón
3.4. PROBLEMA DE CONTORNO
3.3.4
53
Condición de contorno dinámica en la super…cie
libre
El ‡uido que se ha considerado es no viscoso, por tanto, en cualquier contorno,
únicamente actúan fuerzas de presión. La super…cie libre del ‡uido responde
a las variaciones en el campo de presiones en orden a mantener la presión
uniforme en toda la super…cie. La condición de contorno dinámica especi…ca
la distribución de presiones en el contorno.
Para un ‡uido Newtoniano, incompresible, no viscoso y ‡ujo irrotacional,
esta condición viene dada por la ecuación de Bernouilli aplicada en z =
´(x; y):
¢ p´
@© 1 ¡ 2
+
u + w2 +
+ g´ = C(t) en z = ´
@t
2
½
(3.13)
donde la presión de la super…cie libre, p´ , es la presión atmosférica, que puede
tomarse igual a cero por ser la presión de referencia en la medida p ¡ patm ,
con lo que la condición de contorno dinámica en la super…cie libre es:
@© 1
+
@t
2
3.4
"µ
@©
@x
¶2
+
µ
@©
@z
¶2 #
+ g´ = C(t) en z = ´
(3.14)
Problema de contorno
Establecidas la ecuación de gobierno, las condiciones de contorno y el dominio
de integración (…gura 3.5), el problema a resolver es el siguiente:
² Ecuación de gobierno:
r2 © =
@ 2© @ 2©
+ 2 =0
@x2
@z
0·x·L
¡h·z ·´
(3.15)
² Condición de contorno cinemática en la super…cie libre:
@´
@´
+u
¡ w = 0 en z = ´
@t
@x
(3.16)
54
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
² Condición de contorno cinemática en el fondo:
w = 0 en z = ¡h
(3.17)
² Condición de contorno dinámica en la super…cie libre:
¢
@© 1 ¡ 2
+
u + w 2 + gz = C(t) en z = ´
@t
2
(3.18)
² Condiciones de contorno laterales:
© (x; z; t) = © (x + L; z; t)
© (x; z; t) = © (x; z; t + T )
(3.19)
Figura~3.5: Dominio de integración
El problema así planteado tiene el inconveniente de que las condiciones
de contorno en la super…cie libre. ecs. (3.16) y (3.18) están dadas en z = ´ ,
variable que no se conoce a priori. Por tanto, para su resolución es necesario
3.4. PROBLEMA DE CONTORNO
55
introducir nuevas simpli…caciones. Si se considera que ´ es una cantidad
pequeña, es decir, si se trata de una onda de pequeña amplitud, haciendo un
desarrollo en serie de Taylor en torno a z = 0, las condiciones impuestas en
z = ´ se pueden aproximar por condiciones sobre z = 0.
² Para la condición de contorno cinemática en la super…cie libre,
£ @´
@´
+ u @x
¡w
@t
¤
z=´
=
£ @´
¤
@´
+
u
¡
w
@t £
z=0
¢¤
¡@x
@´
@´
@
+´ @z
+
u
¡ w z=0 + ::::
@t
@x
(3.20)
Por tratarse de una teoría lineal, los términos cuadráticos, cúbicos,..
(de segundo orden y orden superior) son muy pequeños frente a los de
primer orden, y la ecuación anterior se reduce a:
@´
¡ w = 0 en z = 0
@t
(3.21)
² Para la condición de contorno dinámica en la super…cie libre, en teoría
lineal, la constante C(t) suele tomarse igual a cero,
h
h
@©
@t
+
@©
@t
+´
1
2
³¡ ¢
@© 2
+
h 2³
@
@z
@x
³¡ ¢
1
@© 2
@x
@©
@t
+
+
¡ @© ¢2 ´
@z
¡ @© ¢2 ´
+
³¡ @z¢
1
@© 2
2
@x
i
+ gz ¡ C(t)
iz=´
=
+ gz ¡ C(t)
z=0
´i
¡ @© ¢2 ´
+ @z
+ gz ¡ C(t)
z=´
(3.22)
+ :::
de igual modo, despreciando los términos cuadráticos y tomando igual a cero
la constante de Bernoulli, la condición de contorno dinámica en la super…cie
libre se expresa:
@©
+ g´ = 0 en z = 0
(3.23)
@t
Por tanto, el problema de contorno a resolver en el nuevo dominio de
integración (…gura 3.6), se transforma en el siguiente:
² Ecuación de gobierno:
@ 2© @ 2©
r ©=
+ 2 =0
@x2
@z
2
en 0 · x · L; ¡ h · z · 0
(3.24)
56
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
² Condición de contorno cinemática en la super…cie libre (CCCSL):
@´
¡ w = 0 en z = 0
@t
(3.25)
² Condición de contorno cinemática en el fondo (CCCF):
w = 0 en z = ¡h
(3.26)
² Condición de contorno dinámica en la super…cie libre (CCDSL):
@©
+ g´ = 0 en z = 0
@t
(3.27)
² Condiciones de contorno laterales (CCL):
© (x; z; t) = © (x + L; z; t)
© (x; z; t) = © (x; z; t + T )
(3.28)
Despejando ´ de la CCDSL y sustituyendo su valor en la CCCSL, se
obtiene la condición de contorno mixta en la super…cie libre:
@©
@2©
+
g
= 0 en z = 0
@t2
@z
(3.29)
de esta forma, el problema queda planteado en función de una única incógnita, ©.
3.5
Resolución del Problema de Contorno
En este apartado se resuelve, por el método de separación de variables, el
problema de contorno para ondas periódicas en el espacio y en el tiempo que
se propagan sobre fondo horizontal.
Se considera que la función potencial ©(x; z; t), se puede expresar como
el producto de tres funciones:
©(x; z; t) = X(x)Z(z)¨(t)
(3.30)
3.5. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONTORNO
57
Figura~3.6: Nuevo dominio de integración
Como ¨(t) debe ser una función periódica en el tiempo de periodo T ,
puede suponerse que es una combinación lineal de las funciones cos ¾t y
sin ¾t :
¨(t) = E cos ¾t + F sin ¾t
(3.31)
aplicando ahora la condición lateral de periodicidad en el tiempo se tiene:
E cos ¾t + F sin ¾t = E cos ¾ (t + T ) + F sin ¾ (t + T )
, cos ¾t = 1 y sin ¾t = 0
(3.32)
Para que esta igualdad sea cierta, y el periodo de la función sea T , debe
ser
¾=
2¼
T
(3.33)
¾ se denomina frecuencia angular.
Sustituyendo (3.30) en la ecuación de gobierno, ec. (3.24), se obtiene:
d2 X(x)
d2 Z(z)
Z(z)¨(t) +
X(x)¨(t) = 0
dx2
dz 2
(3.34)
58
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
y dividiendo (3.34) por el potencial, ©, se llega a la expresión:
1 d2 X(x)
1 d2 Z(z)
+
=0
X(x) dx2
Z(z) dz 2
(3.35)
en la que se observa que el primer término de la ecuación sólo depende de
la variable x, mientras que el segundo es exclusivamente función de z, por
tanto, para que su suma valga cero, ambos deben ser constantes y opuestos:
1 d2 X(x)
= ¡k 2
X(x) dx2
2
1 d Z(z)
= k2
Z(z) dz 2
(3.36)
De esta forma, el problema se reduce a la resolución de dos ecuaciones
diferenciales ordinarias, cuya solución dependerá del valor de la constante k:
² Si k es real, k 2 >0, las soluciones son:
X(x) = A cos kx + B sin kx
Z(z) = Cekz + De¡kz
(3.37)
² Si k = 0, las soluciones son:
X(x) = Ax + B
Z(z) = Cz + D
(3.38)
² Si k 2 < 0, es decir, si k es imaginario puro, k = ik 0 , siendo k 0 un número
real,
X(x) = Aejkjx + Be¡jkjx
Z(z) = C cos jkj x + D sin jkj x
(3.39)
² Donde jkj representa el módulo del número complejo k.
Puesto que se busca una solución periódica en x, debe ser k real y distinto
de cero. Por tanto, la estructura del potencial será:
¡
¢
© (x; z; t) = (A cos kx + B sin kx) Cekz + De¡kz (E cos ¾t + F sin ¾t)
(3.40)
Las constantes que aparecen en (3.40) se determinan a continuación a
partir de las condiciones de contorno.
3.5. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONTORNO
3.5.1
59
Aplicación de las Condiciones de Contorno
Condición de Contorno Lateral
El potencial tiene que ser, como se ha dicho anteriormente, periódico en x,
lo que ocurrirá si y sólo si:
A cos kx + B sin kx = A cos k (x + L) + B sin k (x + L)
= A (cos kx cos kL ¡ sin kx sin kL)
+B (sin kx cos kL + cos kx sin kL)
(3.41)
para que esta igualdad sea cierta debe ser,
k=
2¼
L
(3.42)
k se conoce como número de onda y L como longitud de onda.
La función X(x)¨(t) es una combinación lineal de las funciones
fsin kx sin ¾t; cos kx sin ¾t; sin kx cos ¾t; cos kx cos ¾tg
puede, por tanto, escribirse como combinación lineal de las funciones sin(kx¡
¾t + '1 ) y sin(kx + ¾t ¡ '2 ) siendo '1 y '2 constantes. La función potencial
que resulta es:
¡
¢
© (x; z; t) = Cekz + Dekz [B1 sin(kx ¡ ¾t + '1 ) + B2 sin(kx + ¾t ¡ '2 )]
(3.43)
Condición de contorno cinemática en el fondo
Expresando la CCCF en términos de la función potencial se tiene,
w=
@©
@z
¡
¢¯
= X(x)¨(t) k¡ Cekz ¡ De¡kz¢ ¯z=¡h
= X(x)¨(t)k Ce¡kh ¡ Dekh = 0
(3.44)
para que esta expresión sea cero, independientemente del punto x y el tiempo
t, el término entre paréntesis tiene que anularse:
¡ ¡kh
¢
Ce
¡ Dekh = 0 , C = De2kh
Sustituyendo este resultado en la función potencial, se tiene
(3.45)
60
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
¡
¢
kz
¡kz
©(x; z; t) = X(x)¨(t) De2kh
e
+
De
¡
¢
= X(x)¨(t)Dekh ek(h+z) + e¡k(h+z)
= cosh (k (h + z)) [B10 sin(kx ¡ ¾t + '1 ) + B20 sin(kx + ¾t ¡ '2 )]
(3.46)
donde B10 y B20 son constantes nuevas, Bi0 = 2Bi Dekh , que engloban las
anteriores.
Condición de contorno dinámica en la super…cie libre
De la condición dinámica en la super…cie libre, que liga las expresiones de ´
y © se obtiene:
¯
1 @© ¯¯
´=¡
g @t ¯z=0
(3.47)
Sustituyendo © en la ecuación (3.47),
´ = 1g ¾ cosh (k (h + z)) [B10 cos(kx ¡ ¾t + '1 ) ¡ B20 cos(kx + ¾t ¡ '2 )]z=0
= ¾ cosh(kh)
[B10 cos(kx ¡ ¾t + '1 ) ¡ B20 cos(kx + ¾t ¡ '2 )]
g
(3.48)
que es la superposición de dos oscilaciones de amplitudes
A1 =
¾B10 cosh(kh)
¾B 0 cosh(kh)
; A2 = ¡ 2
g
g
(3.49)
Despejando en (3.49) los valores de B10 y B20
gA1
B10 = ¾ cosh(kh)
gA2
B20 = ¡ ¾ cosh(kh)
(3.50)
y sustituyendolos en la función potencial (3.46):
© (x; z; t) =
=
g cosh k(h+z)
[A1 sin(kx ¡ ¾t + '1 ) ¡ A2 sin(kx
¾ ncosh(kh)
£ 0 ikx
¤ ¡i¾t o
ig cosh k(h+z)
0 ¡ikx)
< ¡ ¾ cosh(kh) A1 e + A2 e
e
+ ¾t ¡ '2 )]
(3.51)
3.5. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONTORNO
61
siendo '1 y '2 los argumentos de las amplitudes complejas A01 = A1 ei'1 y
A02 = A2 ei'2 : El potencial que se ha obtenido representa la superposición de
una onda progresiva de amplitud A1 = jA01 j que se propaga en la dirección
positiva del eje x con celeridad c = ¾=k = L=T cuya super…cie libre es,
©
ª
´ = < A01 eik(x¡ct) = A1 cos k (x ¡ ct + '1 )
(3.52)
y una onda progresiva de amplitud A2 = jA02 jque se propaga en la dirección
negativa del eje x con la misma celeridad y cuya super…cie libre es
©
ª
´ = < A02 e¡ik(x+ct) = A2 cos k (x + ct ¡ '2 )
(3.53)
k(h+z)
En (3.51) cosh
, es el factor de profundidad y kx ¡ ¾t = k(x ¡ ct);
cosh(kh)
kx + ¾t = k(x + ct), son las fases del movimiento.
Se ha obtenido la ecuación (3.51) como solución general del problema
lineal de ondas. Para A2 = 0, ó A1 = 0 , se tienen las expresiones generales de
las ondas progresivas que viajan, respectivamente en las direcciones positiva
y negativa del eje x, mientras que para A1 A2 6= 0, la oscilación que se obtiene
es, como se verá en el Capítulo 4, una oscilación estacionaria (A1 = A2 ) ó
parcialmente estacionaria (A1 6= A2 ).
Obsérvese que la amplitud de la oscilación, en teoría lineal de ondas, es
únicamente un factor de escala del movimiento.
3.5.2
Ecuación de la dispersión
Las ecuaciones (3.51) y siguientes proporcionan la expresión de la super…cie
libre en función de las amplitudes A1 y A2 y de relaciones funcionales de h, ¾
y k. Esta super…cie libre debe satisfacer la condición de contorno cinemática
que aún no ha sido utilizada:
@´
¡ w = 0 en z = 0
@t
(3.54)
Se obtiene así, a continuación, una relación entre las variables h; T; k,
de forma que, …jadas dos de ellas, la tercera quede determinada de manera
única.
Sustituyendo los valores de ´ y w en (3.54):
62
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
@´
@t
i(kx¡¾t)
= ¡iA¾e
¯
@Á ¯
w = @z z=0
¯
sinh k(h+z) i(kx¡¾t) ¯
= ¡ igAk
e
¯
¾
cosh(kh)
(3.55)
z=0
= ¡ igAk
tanh (kh) ei(kx¡¾t)
¾
@´
@t
¡w =0
, ¡iA¾ei(kx¡¾t) = ¡ igAk
tanh(kh)ei(kx¡¾t)
¾
(3.56)
despejando el valor de ¾ 2 , se obtiene que :
¾ 2 = gk tanh (kh)
(3.57)
Esta ecuación es la ecuación de dispersión que relaciona h; T; y el autovalor, k, del problema en z que se planteó inicialmente. Por tanto, para
que el problema tenga solución, es decir, que exista una onda progresiva o
estacionaria de periodo T en la profundidad h, el número de onda, k, debe
sastisfacer la ecuación (3.57). En dicha ecuación el número de onda, k, está
de…nido de forma implícita en función de h y T , por lo que conocidos éstos,
aquél deberá obtenerse resolviendo (3.57) de forma grá…ca o numérica.
En la …gura 3.7 se presenta la resolución grá…ca de la ecuación de la
dispersión. El número de onda k, se obtiene del valor de kh para el cual se
¾2
cruzan las curvas gkh
y tanh kh:
La ecuación de la dispersión de la solución lineal de ondas no depende
de la amplitud de la onda, por tanto la velocidad de propagación a una
profundidad dada depende exclusivamente del periodo. Se dice, entonces,
que las ondas lineales son dispersivas en frecuencia porque las de mayor
periodo se separan (dispersan) de las de menor periodo.
Expresiones asintóticas de la ecuación de la dispersión
A lo largo de estos apuntes, van a emplearse con frecuencia las funciones hiperbólicas, por lo que es conveniente recordar su de…nición y comportamiento
asintótico. Dichas funciones se de…nen a partir de la función exponencial como sigue:
kh
¡kh
cosh(kh) = e +e
2
kh
¡kh
sinh(kh) = e ¡e
2
kh
¡kh
tanh (kh) = eekh ¡e
+e¡kh
(3.58)
3.5. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONTORNO
63
Figura~3.7: Resolución geométrica de la ecuación de la dispersión
Se veri…ca:
cosh2 (kh) ¡ sinh2 (kh) = 1
(3.59)
Para determinados valores de su argumento, se comportan de forma asintótica como se resume a continuación, donde se indica asimismo, el error
máximo que se comete con la aproximación :
cosh(kh) ! 1
error = 4:7%
² Para kh < ¼=10: sinh(kh) ! kh error = 1:6%
tanh (kh) ! kh error = 3:2%
kh
cosh(kh) ! e2
kh
² Para kh > ¼: sinh(kh) ! e2
tanh (kh) ! 1
error = 0:18%
error = 0:18%
error = 0:37%
² Cuando kh > ¼ o, equivalentemente, cuando, h=L > 1=2, se hablará de
profundidades inde…nidas o de ondas propagándose en aguas profundas
y, al igual que antes, la ecuación de la dispersión se puede simpli…car
haciendo uso del valor asintótico de tanh kh cuando kh ! 1:
¾ 2 = gk
(3.60)
64
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
Figura~3.8: Comportamiento asintótico de las funciones hiperbólicas
(3.60) puede expresarse asimismo como:
L=
gT 2
L
gT
,c= =
2¼
T
2¼
(3.61)
Luego en profundidades inde…nidas, la celeridad con la que se propaga
la onda sólo depende del periodo. Las ondas de periodo mayor que son las
ondas más largas, viajan, por tanto, más deprisa.
² Cuando kh < ¼=10 o equivalentemente, cuando h=L < 1=20, se hablará
de profundidades reducidas o de ondas propagándose en aguas someras
y se podrán utilizar estas simpli…caciones.
La ecuación de la dispersión se reduce en este caso a:
¾ 2 = gk 2 h
(3.62)
en términos de L, T y h, (3.62) se expresa:
L=T
p
L p
gh , c = = gh
T
(3.63)
Es decir, en profundidades reducidas la celeridad con la que se propaga
la onda sólo depende de la profundidad.
3.5. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONTORNO
65
Comentario El proceso de linealización implica suponer kA ¿ 1, lo que
en profundidades reducidas exige, además, admitir que A=h ¿ 1. Es decir, la
teoría lineal es menos restrictiva en profundidades intermedias o inde…nidas que
en aguas someras donde la in‡uencia de los términos no lineales es muy importante.
Por ello, para representar el comportamiento de las ondas largas en profundidades
reducidas es conveniente recurrir a teorías no lineales para ondas largas en las
que la
pceleridad de la onda, depende, además de la profundidad, de la amplitud,
c = g(h + ´). Se dice en este caso que las ondas son dispersivas en amplitud.
La soluciones que se obtienen son ondas que no conservan su forma durante la
propagación. La parte superior de la onda viaja a mayor velocidad que la inferior,
peraltando la parte frontal de la onda que llega a ponerse vertical, instante en el
que se produce la rotura (…gura 3.9.
Figura~3.9: Evolución del per…l de la onda en el tiempo (t1 < t2 < t3 < t4 )
3.5.3
Orden de aproximación de la teoría lineal de ondas
El proceso de linealización de las condiciones de contorno cinemáticas y dinámicas impuestas en la super…cie libre, consiste en aproximar las condiciones
de contorno en z = ´ por su desarrollo en serie de Taylor en torno a z = 0,
depreciando los términos cuadráticos.
Para la condición de contorno cinématica,
£ @´
@t
@´
+ u @x
¡w
¤
z=´
£
¤
@´
= @´
+ u @x
¡ w z=0
@t
¢¤
£ @ ¡ @´
@´
+´£ @z
+
u
¡
w
+ ::::
@t ¤
@x
z=0
@´
¼ @t ¡ w z=0
Se supone, por tanto, que los términos
(3.64)
66
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
·
¸
·
¸
@´
@w
@´
u
¡´
+ :::
¿
¡w
@x
@z
@t
z=0
z=0
(3.65)
Para la condición de contorno dinámica,
h
h
@©
@t
+
1
2
³¡
³¡
+1
h 2³
@©
@t
¢
@© 2
@x
+
¢
@© 2
@x
¡ @© ¢2 ´
@z
¡ @© ¢2 ´
+
³¡ @z¢
1
@© 2
@
@©
+´ @z
+2
@t
¤
£ @©
¼ @t + g´ z=0
@x
+ gz = 0
i
iz=´
=
+ gz = 0
¡ @© ¢2 ´ z=0 ´i
+ @z
+ gz = 0
z=´
(3.66)
+ :::
lo que supone admitir que
" õ ¶
#
µ ¶2 !
2
2
1
@ ©
@©
@©
+´
+
2
@x
@z
@[email protected]
z=0
·
@©
¿
+ g´
@t
¸
(3.67)
z=0
Utilizando las expresiones (3.51-3.53) y las derivadas correspondientes, y
teniendo en cuenta que g=¾ es una cantidad de orden °(1); puede verse que
el orden de magnitud de los términos que aparecen en (3.66) son
por tanto,
y
´ » °(A) ¡
¢
ujz=0 » ° ¡gk
A
= ° (¾A)
¾
¢
gk
wjz=0 » ° ¾ tanh khA = ° (¾A)
@´
» ° (¾A)
@t jz=0
@´
» ° (kA)
@x jz=0
³ 2 ´
gk
@w
»
°
A = ° (¾kA)
@z jz=0
¾
·
¸
³g
´
@´
@w
2 2
u
+´
»°
k A
@x
@z z=0
¾
·
@´
¡w
@t
¸
z=0
» ° (¾A)
(3.68)
(3.69)
(3.70)
3.5. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONTORNO
67
£ @´
¤
£
¤
Ahora, despreciar u @x
+ ´ @w
+ ::: z=0 frente a @´
¡ w z=0 implica [email protected]
@t
ner que ¾g k 2 A2 ¿ ¾A
g 2 2
¾2
k A ¿ ¾A , (Ak)2 ¿ A = k tanh khA < Ak
¾
g
(3.71)
o, equivalentemente, que Ak ¿ 1:
De la misma forma,
¡ ¢
©jz=0 » ° ¾g A
@©
» ° (gA)
³¡
[email protected]¡ jz=0
¢2 ´
¢i
gk
@© 2
»° ¾A
@x
h¡ ¢ ijz=0
³¡
¢2 ´
gk
@© 2
» ° ¾ A tanh kh
@z
@2©
@[email protected] jz=0
(3.72)
jz=0
» ° (gkA tanh kh)
por tanto,
h ³¡ ¢
1
@© 2
2
£ @©
@t
@x
+ g´
¤
+
¡ @© ¢2 ´
z=0
@z
2
@ ©
+ ´ @[email protected]
» ° (gA)
i
z=0
» ° (gkA2 )
(3.73)
en este caso, se está admitiendo que gkA2 ¿ gA ó bien que kA ¿ 1:
En consecuencia, todos los téminos de orden superior, ° ((kA)n ) ¿
° (kA) ¿ 1
68
CAPÍTULO 3. TEORÍA LINEAL DE ONDAS. ONDAS DE AIRY
Capítulo 4
Características cinemáticas y
dinámicas del movimiento
oscilatorio
4.1
Introducción
La solución lineal obtenida en el capítulo anterior correspondiente a ondas
progresivas y estacionarias permite estudiar las variables hidrodinámicas fundamentales del movimiento oscilatorio para ondas de pequeña amplitud, que
son la base de numerosas aplicaciones en el campo de la ingeniería. Por
ejemplo, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo sometido a la acción del
oleaje dependen de las características cinemáticas, velocidad y aceleración
del ‡uído, y del campo de presiones debido al movimiento oscilatorio.
Las variables cinemáticas fundamentales son la velocidad y la aceleración.
La aceleración se ha descompuesto en aceleración local y aceleraciones convectivas. Estas últimas provienen de la variación espacial del cuadrado de la
velocidad, por ello, en el marco de la teoría lineal son despreciables frente a
la aceleración local.
Las variables dinámicas son las fuerzas, que, en general, se descomponen
en fuerzas normales y tangenciales. Los ‡uídos perfectos, ideales o no viscosos
no tienen mecanismos para producir esfuerzos tangenciales, por ello, en teoría
de ondas, en general, las variables dinámicas son las fuerzas normales por
unidad de super…cie o presiones.
Estas magnitudes hidrodinámicas fundamentales se calculan a partir de la
función potencial ©(x; z; t), de…nida para cada uno de los puntos del dominio
¡h · z · 0. Se obtienen así las características cinemáticas y dinámicas del
movimiento para un punto concreto de coordenadas (x; z) en un instante
69
70
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
determinado de tiempo, t.
Una vez conocido el valor de estas variables o de una combinación de
ellas, se puede proceder a su integración en toda la columna de agua. De
este modo se puede calcular la energía instantánea o los ‡ujos instantáneos
de masa, cantidad de movimiento y energía.
La descripción de estas variables hidrodinámicas se puede hacer bien desde el punto de vista Euleriano, estableciendo un punto …jo de referencia con
respecto al cual se estudia cómo es el movimiento, bien mediante una descripción Lagrangiana, analizando el comportamiento del ‡uido siguiendo el
movimiento de una partícula.
Aunque los dos tipos de análisis dan el mismo resultado, en estos apuntes
se emplea la descripción Euleriana, salvo para la derivación de las trayectorias
de las partículas en la que se emplea la descripción Lagrangiana.
Limitación de la teoría lineal y posible solución. En la derivación
del problema de teoría lineal de ondas, las condiciones de contorno impuestas
inicialmente en la super…cie libre, se re…eren al nivel del mar en reposo,
z = 0, mediante un desarrollo en serie de Taylor del cual se desprecian los
términos cuadráticos. El precio que se paga por esta simpli…cación es la
pérdida de información en la región 0 < z < ´, por lo que para estimar los
valores de las variables fundamentales sobre el nivel del mar en reposo, puede
recurrirse de nuevo al desarrollo en serie de Taylor.
4.2
Cinemática y dinámica de una onda progresiva
En este apartado se obtienen y analizan primero las características cinemáticas y dinámicas del movimiento oscilatorio, esto es, el campo de velocidades
y acelaraciones y el campo de presiones. A continuación se calculan las trayectorias de las partículas.
4.2.1
Campo de velocidades
El campo de velocidades que, por tratarse de un movimiento plano, consta
únicamente de las componentes horizontal, u, y vertical, w, puede obtenerse como el gradiente de la función potencial, cuya expresión para una
onda
© progresiva
ª de amplitud A cuya super…cie libre está dada por ´ =
i(kx¡¾t)
< Ae
= A cos(kx ¡ ¾t), es:
4.2. ONDAS PROGRESIVAS
71
½
igA cosh k(h + z) i(kx¡¾t)
©=< ¡
e
¾
cosh(kh)
¾
=
gA cosh k(h + z)
sin(kx ¡ ¾t)
¾ cosh(kh)
(4.1)
En un punto de coordenadas (x; z), las velocidades instantáneas, horizontal y vertical serán, por tanto:
u=
@Á
@x
w=
@Á
@z
=
n
o
cosh k(h+z)
gAk cosh k(h+z) i(kx¡¾t)
e
= gAk
cos(kx ¡
n ¾ cosh(kh)
o ¾ cosh(kh)
sinh k(h+z) i(kx¡¾t)
cosh k(h+z)
< ¡ igAk
e
= gAk
sin(kx
¾
cosh(kh)
¾
cosh(kh)
=<
¾t)
¡ ¾t)
(4.2)
A cualquier cota ¡h · z · 0, puede observarse (…gura 4.1) que la super…cie libre, ´, y la velocidad horizontal, u, están en fase mientras que ´ y
w (y en consecuencia u y w) están desfasadas ¼=2. Los valores máximos y
mínimos de ´ y u, se alcanzan para kx ¡ ¾t = 0; §¼; §2¼; ::: coincidiendo
con las posiciones de cresta y seno, en las cuales, la velocidad vertical, w, es
nula.
Las velocidades verticales extremas se alcanzan para kx ¡ ¾t = §¼=2;
§3¼=2; ::: donde el desplazamiento de la super…cie libre y la velocidad horizontal es cero.
Figura~4.1: Variación de ´, u y w con la fase de la onda, a una cota z …ja
En la …gura 4.2 se han dibujado las velocidades horizontales y verticales
para las posiciones de la fase: kx ¡ ¾t = 0; §¼=2; §¼. Se observa que, para
72
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
cualquier valor de la fase, kx ¡ ¾t, la velocidad vertical, w, se anula en el
fondo, z = ¡h, y aumenta hacia el nivel de referencia, z = 0; según la función
sinh k(h + z). La velocidad horizontal toma sus valores mínimos en z = ¡h,
y crece con z según la función cosh k(h + z).
Figura~4.2: Variación de ´, u y w en ¡h · z · 0 para diferentes valores de
la fase
4.2.2
Campo de aceleraciones
Las aceleraciones horizontal y vertical de una partícula del ‡uido vienen
dadas por:
ah =
av =
Du
Dt
Dw
Dt
@u
= @u
+ u @x
+ w @u
@t
@z
@w
@w
= @t + u @x + w @w
@z
(4.3)
Sin embargo, en teoría lineal sólo se considera la aceleración local, puesto
que los términos convectivos, proporcionales a @(ui uj )[email protected] son de segundo
orden. Derivando las expresiones obtenidas para las velocidades se obtienen
las aceleraciones instantáneas en un punto de coordenadas (x; z):
4.2. ONDAS PROGRESIVAS
ah =
@u
@t
av =
@w
@t
73
n
o
k(h+z) i(kx¡¾t)
k(h+z)
= < ¡iAgk cosh
e
= Agk cosh
sin(kx ¡ ¾t)
cosh kh
cosh kh
n
o
k(h+z) i(kx¡¾t)
k(h+z)
= < ¡Agk sinh
e
= ¡Agk sinh
cos(kx ¡ ¾t)
cosh kh
cosh kh
(4.4)
De estas expresiones puede hacerse un análisis similar al realizado para
las velocidades. Entre otras características, se puede observar que (1) la aceleración vertical se anula en el fondo y está en fase con la velocidad horizontal
y (2) la aceleración horizontal y la velocidad vertical están también en fase.
4.2.3
Campo de presiones bajo una onda progresiva
El campo de presiones bajo una onda progresiva en un punto de coordenadas
(x; z) se puede obtener a partir de la ecuación de Bernoulli :
"µ ¶
µ ¶2 #
@© 1
p
@© 2
@©
+
+ + gz = 0
(4.5)
+
@t
2
@x
@z
½
Despreciando en (4.5) los términos no lineales, se tiene:
p = ¡½gz ¡ ½ @©
@t
k(h+z)
= ¡½gz + ½gA cosh
cos(kx ¡ ¾t)
cosh kh
cosh k(h+z)
= ¡½gz + ½g cosh kh ´
(4.6)
La presión, por tanto, es suma de dos términos, la presión hidrostática,
ph = ¡½gz, debida a la columna de agua en reposo, que existe aún en ausencia
k(h+z)
de la oscilación, y la presión dinámica, pd = ½g cosh
´, que modi…ca la
cosh kh
presión hidrostática y se debe al movimiento oscilatorio.
La presión hidrostática es una cantidad positiva mientras que el signo de
la presión dinámica viene dado por el signo de ´, por eso, bajo la cresta,
ambas presiones se suman y, en consecuencia, la presion total es mayor que
la hidrostática, p > ph , y bajo el seno se restan, por lo que p < ph .
4.2.4
Trayectoria de las partículas
Hasta ahora, para obtener las características cinemáticas y dinámicas de la
onda progresiva, se ha empleado un sistema de referencia euleriano. Sin embargo, para conocer las trayectorias que describen las partículas de agua que
se desplazan debido a las presiones inducidas por el movimiento oscilatorio,
resulta más conveniente utilizar coordenadas Lagrangianas.
74
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Considérese una partícula cuya posición en reposo está dada por las coordenadas (x; z). Debido al movimiento oscilatorio, dicha partícula describirá
una trayectoria dada por la curva (x + ³(t); z + »(t)) (…gura 4.3). El desplazamiento de la partícula de agua, (³(t); »(t)) con respecto a la posición
(x; z) puede calcularse integrando la velocidad de la partícula con respecto
al tiempo:
R
³(t) = Rt u(x + ³; z + »)dt
»(t) = t w(x + ³; z + »)dt
(4.7)
Figura~4.3: Trayectoria genérica de una partícula cuya posición en reposo
es (x; z)
En la hipótesis de que el movimiento es de pequeña amplitud, tanto ³
como » son cantidades pequeñas, lo que permite aproximar el valor de la
velocidad en un punto próximo a (x; z) por su desarrollo en serie de Taylor
en torno a dicho punto:
u(x + ³(t); z + »(t)) = u(x; z) + ³(t) @u
+ »(t) @u
+ :::
@x j(x;z)
@z j(x;z)
@w
@w
w(x + ³(t); z + »(t)) = w(x; z) + ³(t) @x j(x;z) + »(t) @z j(x;z) + :::
(4.8)
Despreciando los términos cuadráticos frente al primer término del desarrollo, las integrales (4.8) pueden resolverse de forma inmediata:
R
cosh k(h+z)
³ = t u(x + ³; z + »)dt = ¡ Agk
sin(kx ¡ ¾t)
¾2
cosh kh
R
Agk sinh k(h+z)
» = t w(x + ³; z + »)dt = ¾2 cosh kh cos(kx ¡ ¾t)
(4.9)
Utilizando la ecuación de la dispersión, las expresiones (4.9) se transforman en:
k(h+z)
sin(kx ¡ ¾t) = ¡a(z) sin(kx ¡ ¾t)
³(t) = ¡A cosh
sinh kh
sinh k(h+z)
»(t) = A sinh kh cos(kx ¡ ¾t) = b(z) cos(kx ¡ ¾t)
(4.10)
4.2. ONDAS PROGRESIVAS
75
(4.10) son las ecuaciones paramétricas de una elipse de semiejes a(z) y
b(z) dados por
a(z) = A
cosh k(h + z)
sinh k(h + z)
; b(z) = A
sinh kh
sinh kh
(4.11)
Figura~4.4: Trayectoria elíptica de una partícula cuya posición en reposo es
(x; z), al paso de una onda progresiva obtenida con teoría lineal
En efecto, elevando ³ y » al cuadrado y sumando los resultados se veri…ca
µ ¶2 µ ¶2
³
»
+
=1
(4.12)
a
b
Es decir, las partículas de agua describen trayectorias elípticas cuyos semiejes horizontal, a; y vertical, b, varían, respectivamente, como cosh k(h+z)
y sinh k(h + z). Ambas funciones disminuyen con la profundidad y la función
sinh k(h + z), además, se anula en el fondo. La semielipses, por tanto, disminuyen de tamaño según z se aproxima al valor de z = ¡h en el cual la órbita
elíptica degenera en un segmento de línea horizontal sobre el que se desplaza
la partícula (…gura 4.5). Este resultado es consistente con la condición de
contorno impuesta en el fondo, puesto que las partículas en contacto con la
super…cie z = ¡h sólo tienen velocidad horizontal, (u 6= 0; w = 0).
² En profundidades reducidas, kh < ¼=10, teniendo en cuenta el comportamiento asintótico de las funciones trigonométricas hiperbólicas para
valores pequeños del argumento, los semiejes de la elipse se reducen a:
a=
³
A
kh + kz
z´
; b(z) = A
=A 1+
kh
kh
h
(4.13)
El semieje a es ahora una cantidad constante que no depende de la
cota a la que se encuentra la partícula, y el semieje b disminuye con
76
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Figura~4.5: Variación con la profundidad de las órbitas elípticas
la profundidad, siendo cero en el fondo y alcanzando su valor máximo
en la super…cie libre. Las órbitas, por tanto, son elipses con idénticos
semiejes horizontales, que se achatan al acercarse la cota z al fondo
(…gura 4.6).
Figura~4.6: Variación con la profundidad de las órbitas elípticas para una
onda progresiva en profundidades reducidas
² En profundidades inde…nidas, kh > ¼, los semiejes de la elipse se trans-
4.2. ONDAS PROGRESIVAS
77
forman en :
a=A
ek(h+z) + e¡k(h+z)
ek(h+z) ¡ e¡k(h+z)
kz
'
Ae
;
b(z)
=
A
' Aekz
ekh ¡ e¡kh
ekh ¡ e¡kh
(4.14)
es decir, son circunferencias cuyos radios decaen exponencialmente con
la profundidad (…gura 4.7).
Figura~4.7: Variación con la profundidad de las órbitas elípticas para una
onda progresiva en profundidades inde…nidas
Aproximadamente a una cota z = ¡L=2, el radio de las órbitas es un
4% del valor que tiene en z = 0, por lo que puede considerarse que, a
partir de dicha profundidad, el movimiento de las partículas debido al
paso de la onda es prácticamente inapreciable.
Comentario En la búsqueda de una solución analítica para la descripción
de las trayectorias de las partículas bajo una onda progresiva, se ha ignorado
la variación del campo de velocidades asociada a la variación de la profundidad
en la trayectoria. Recuérdese que la solución se ha obtenido con la velocidad
correspondiente a la cota de la posición media de la partícula en reposo. En
consecuencia, se han obtenido órbitas cerradas que en un ciclo de onda predicen
un tranporte nulo de masa de agua al paso de la onda. En la realidad, el aumento
de la velocidad de la partícula cuando ésta se encuentra en una cota superior a
la de la posición en reposo y la disminución de la velocidad en una cota inferior,
hace que la partícula recorra una trayectoria más larga al paso de la cresta que
a la del seno (…gura 4.8), lo que supone un avance neto de la partícula en un
78
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
periodo de onda y, en consecuencia, un transporte neto de masa en la dirección de
propagación, que es especialmente signi…cativo en la región entre cresta y seno.
Figura~4.8: Trayectoria de una partículas bajo una onda progresiva
4.2.5
Características instantáneas de la onda progresiva por encima del nivel del mar en reposo (z > 0)
En la resolución del problema de contorno del movimiento oscilatorio se ha
tomado como dominio de integración, ¡h · z · 0, para evitar la aplicación
de las condiciones de contorno en z = ´, variable que se desconoce antes de
resolver el problema. Esto lleva a que la solución sólo sea válida en el dominio
¡h · z · 0 y no se pueda usar directamente para obtener las características
cinemáticas y dinámicas del tren de ondas por encima del nivel medio, z > 0.
En muchas ocasiones es preciso conocer estas variables en toda la columna
de agua, ¡h · z · ´, por lo que es necesario de…nir su valor en el intervalo
0 · z · ´. Por ser ´ una magnitud muy pequeña (teoría lineal o de primer
orden), para este propósito se puede recurrir al desarrollo en serie de Taylor
entorno a z = 0.
A modo de ejemplo, se obtienen a continuación la presión y la velocidad
horizontal instantáneas en un punto z tal que 0 < z · ´
@p
p(x; z) = p(x; z = 0) + z @z
+ :::
(x;z=0)i
h
h
i
k(h+z)
sinh k(h+z)
= ¡½gz + ½g´ cosh
+
z
¡½g
+
½gk´
cosh kh
cosh kh
(x;0)
= ½g(´ ¡ z)
(x;0)
+ :::
(4.15)
Al primer orden de aproximación, la presión en la región 0 < z < ´ es
hidrostática y en la super…cie libre z = ´, se anula, P = Pat = 0, que es la
condición de contorno dinámica.
A continuación se calcula la velocidad horizontal por encima del nivel
4.3. ENERGÍA INSTANTÁNEA DE UNA ONDA PROGRESIVA
79
medio:
u(x; z) = u(x; 0) + z @u
@z (x;0)
i
h
Agk cosh k(h+z)
= ¾ cosh kh cos(kx ¡ ¾t)
h
i
(4.16)
Agk
(Ak)2 g
u(x; ´) =
cos(kx ¡ ¾t) +
tanh kh cos2 (kx ¡ ¾t)
¾
¾
(4.17)
=
Agk
¾
cos(kx ¡ ¾t) + z
Agk2
¾
(x;0)
+z
Agk2 sinh k(h+z)
¾
cosh kh
tanh kh cos(kx ¡ ¾t)
(x;0)
En la super…cie libre, z = ´, se obtiene:
La velocidad dada por esta ecuación es suma de dos términos, el primero
de orden ° (Ak) y el segundo de orden ° ((Ak)2 ). El término de segundo
orden es siempre positivo, mientras que el primero depende el signo de ´,
dando lugar a un aumento de la velocidad bajo la cresta y una disminución
bajo el seno, con respecto al valor para z = 0. Físicamente, como se ha
comentado en el apartado 4.2, esta asimetría de la velocidad horizontal conlleva que (1) haya una variación con z del transporte instantáneo de masa de
agua y (2) que en un ciclo de la onda haya un transporte neto de masa entre
cresta y seno en la dirección de propagación.
4.3
Energía instantánea de una onda progresiva
La energía asociada al movimiento oscilatorio y su trasmisión por unidad de
tiempo o ‡ujo de energía, son de gran importancia a la hora de determinar
las variaciones que sufren los trenes de ondas durante su propagación hacia
la costa.
En este apartado se calcula la energía instantánea (potencial y cinética)
asociada al movimiento oscilatorio de una onda progresiva, de un elemento
diferencial de masa dm (…gura 4.9). A partir de ella se obtiene la energía instantánea de toda la columna de agua. El cálculo de la energía total asociada
al movimiento oscilatorio, o en un ciclo de onda se hará en el Capítulo 5.
Energía potencial instantánea
La energía potencial instantánea del elemento diferencial representado en la
…gura 4.9 con respecto al nivel de referencia z = 0 es:
dE ¤ p;inst = dmgz = ½gzdxdz
(4.18)
80
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Figura~4.9: Energía potencial y cinética de un elemento diferencial de masa
dm
La energía potencial instantánea de toda la columna de agua se obtiene
integrando este valor en el intervalo ¡h · z · ´.
E
¤
p;inst
=
Z
´
dE
¡h
¤
p;inst
=
Z
´
1
1
½gzdxdz = ¡ ½gh2 dx + ½g´ 2 dx
2
2
¡h
(4.19)
El término 12 ½gh2 dx representa la energía potencial instantánea del agua
en reposo mientras que el término 21 ½g´ 2 dx está asociado al paso de la onda. La energía potencial instantánea debida exclusivamente al movimiento
oscilatorio es, por tanto:
1
Ep;inst = ½g´ 2 dx
2
(4.20)
puesto que ´ = A cos(kx¡¾t), se trata de una magnitud de orden ° ((Ak)2 ).
Energía cinética instantánea
La energía cinética asociada al elemento diferencial de masa dm representado
en la …gura es:
dE c;inst = dm
u2 + w 2
u2 + w 2
= ½dxdz
2
2
(4.21)
Integrando en ¡h · z · ´ se obtiene la energía cinética instantánea de
toda la columna de agua:
4.4. FLUJOS INSTANTÁNEOS
Ec;inst =
Z
81
´
dE c;inst =
¡h
Z
´
¡h
½
u2 + w2
dxdz
2
(4.22)
La integral (4.22) se puede descomponer en suma de integrales en los dominios ¡h · z · 0 y 0 < z · ´. La primera proporciona un resultado de
° ((Ak)2 ), mientras que la segunda es de ° ((Ak)3 ) por lo que será despreciada frente a la primera. Ahora, sustituyendo las expresiones de u y w se
tiene:
¡
R0
¢2
1
2
cosh2 k(h + z)dz
Ec;inst = 21 ½ Agk
dx
cos
ª
¡h
¾
cosh
kh
¡
R0
¢2
1
+ 21 ½ Agk
dx sin2 ª ¡h sinh2 k(h + z)dz
¾£¡cosh kh
(4.23)
¢ 2
¡
¢ 2 ¤
2
2kh
2kh
= ½gA
1
+
cos
ª
+
1
¡
sin
ª
dx
4£¡
sinh 2kh
sinh 2kh
¢ 2
¡
¢ 2 ¤
2kh
2kh
= E2 1 + sinh
cos
ª
+
1
¡
sin ª dx
2kh
sinh 2kh
donde ª = kx ¡ ¾t, es la fase de la onda.
Por tanto, la energía total instantánea debida al movimiento oscilatorio
(…gura 4.10) será :
Et;inst = Ep;inst + Ec;inst £¡
= E cos2 ªdx + E2 1 +
2kh
sin 2kh
¢
¡
cos2 ª + 1 ¡
2kh
sinh 2kh
¢
¤
sin2 ª dx
(4.24)
siendo E = 12 ½gA2 , la energía espacial media por unidad de super…cie horizontal que se de…nirá en el Capítulo 5.
4.4
Flujo instantáneo de masa, cantidad de
movimiento y energía en una onda progresiva
Conocidas las características cinemáticas, dinámicas y de energía instantáneas de una onda progresiva, se analiza en esta sección el ‡ujo instantáneo
de masa, cantidad de movimiento y energía a través de una sección AA0 (…gura 4.11), esto es, en toda la columna de agua. Recuérdese que el ‡ujo
expresa la cantidad de una magnitud que pasa por una sección en la unidad
de tiempo. Para ello se considera en primer lugar el ‡ujo de cada una de
las magnitudes por una franja de anchura dz y se integra dicha cantidad en
¡h · z · ´.
82
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Figura~4.10: Energía total instantánea debida al movimiento oscilatorio
Figura~4.11: Masa que atraviesa la franja de anchura dz durante el intervalo
de tiempo dt
4.4. FLUJOS INSTANTÁNEOS
4.4.1
83
Flujo instantáneo de masa
El ‡ujo de masa es la cantidad de masa que atraviesa una sección dada en la
unidad de tiempo.
Puesto que la masa que atraviesa la franja de anchura dz en el intervalo
de tiempo dt es:
(4.25)
dm = ½dxdz = ½udtdz
el ‡ujo de masa será:
dfm =
dm
= ½udz
dt
(4.26)
Ahora, integrando en toda la columna de agua, ec. (4.26) se obtiene el
‡ujo de masa por la sección AA0 :
fm;AA0 =
Z
´
dfm =
¡h
Z
0
½udz +
¡h
Z
´
½udz
(4.27)
0
Para calcular la segunda integral es preciso estimar la velocidad u en
0 < z < ´ haciendo un desarrollo en Serie de Taylor de u en torno a z = 0,
ec. (4.16), luego:
fm;AA0
1
gk
´
=½
¾ cosh kh
Z
0
¡h
cosh(k(h + z)dz + ½
Agk
gk 2
´2
´+½
´ tanh kh
¾
¾
2
(4.28)
Los dos primeros sumandos son del orden ° ((Ak)2 ) y el tercero es del
orden ° ((Ak)3 ), por tanto, el ‡ujo instantáneo de masa que atraviesa la
sección AA0 es, al orden ° ((Ak)2 )(…gura 4.12):
fm;AA0 = ½
4.4.2
gA
gkA2
tanh khcos(kx ¡ ¾t) + ½
cos2 (kx ¡ ¾t)
¾
¾
(4.29)
Flujo instantáneo de cantidad de movimiento
A la hora de calcular la cantidad de movimiento transmitida por una sección
debido al movimiento oscilatorio, deben tenerse en cuenta, la cantidad de
84
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Figura~4.12: Flujo instantáneo de masa
movimiento cinemática y el impulso debido a la presión dinámica como agente
suministrador de cantidad de movimiento.
Durante el intervalo de tiempo dt, la cantidad de movimiento cinemática
de la masa que atraviesa la franja de anchura dz es:
dCm;c = dmu = (½udtdz) u = ½u2 dtdz
(4.30)
y el impulso de la presión debida al movimiento oscilatorio:
dI = pd dzdt
(4.31)
luego el ‡ujo instantáneo de cantidad de movimiento debido exclusivamente
al movimiento oscilatorio a través de la franja de anchura dz en la unidad de
tiempo es:
¡
¡
¢
¢
dfcm = ½u2 + pd dz = ½u2 + p ¡ po dz
(4.32)
donde po = ¡½gz es la presión hidrostática.
La transmisión de la cantidad de movimiento o ‡ujo instantáneo de cantidad de movimiento a través de la sección AA0 debido al movimiento oscilatorio será:
R´
fcm; AA0 = ¡h (½u2 + pd ) dz
R´
R0
= ¡h (½u2 + p) dz ¡ ¡h po dz
R0
R0
R´
R´
= ¡h ½u2 dz + ¡h (p ¡ po )dz + 0 ½u2 dz + 0 pdz
(4.33)
4.4. FLUJOS INSTANTÁNEOS
al orden °((Ak)2 ) (…gura 4.13);
R´
R0
R0
fcm;AA0 = ¡h ½u2 dz + ¡h (p ¡ po )dz + 0 pdz
R´
R0
= ¡h ³½u2 dz + 0 ½g(´ ¡ z)dz
´
R0
cosh k(h+z)
1
2
2
+ ¡h ½g cosh kh ´ ¡ ½ 2 (u + w ) dz
£
¡
¢ 1¡
¢¤
2kh
2kh
= E cos2 ª 1 + sinh
¡ 2 1 ¡ sinh
2kh
2kh
tanh kh cos ª
+ ½gA
k
85
(4.34)
Figura~4.13: Flujo instantáneo de cantidad de movimiento
4.4.3
Flujo instantáneo de energía
Se de…ne el ‡ujo de energía como la cantidad de energía que se transmite a
través de una sección dada en la unidad de tiempo.
En el cálculo del ‡ujo de energía, hay que tener en cuenta la energía
cinética, la energía potencial y el trabajo desarrollado por las fuerzas de
presión para mover esa masa.
La energía cinética del elemento que atraviesa la franja de anchura dz en
el intervalo de tiempo dt es:
1
1
dEc = dm(u2 + v 2 ) = (½udtdz)(u2 + w2 )
2
2
(4.35)
su energía potencial,
dEp = dmgh = (½udtdz)gz
(4.36)
86
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
y el trabajo desarrollado por las fuerzas de presión debidas al movimiento
oscilatorio para mover dicha masa:
dT = pd (z)dzudt
(4.37)
Por tanto, en la unidad de tiempo, el ‡ujo de energía a través de la franja
de anchura dz es:
1
dfe = ½u(u2 + v2 )dz + ½guzdz + pd (z)udz
2
(4.38)
El ‡ujo instantáneo de energía a través de la sección AA0 se obtiene integrando en toda la columna de agua y restando la contribución de la energía
potencial que no se debe al movimiento oscilatorio,
fe;AA =
Z
´
dfe =
¡h
Z
´
¡h
·
¸
1
2
2
½u(u + v ) + ½guz + pd (z)u dz
2
(4.39)
Los términos de orden superior a °((Ak)2 ); no se consideran, por tanto,
la expresión del ‡ujo instantáneo de energía (…gura 4.14) se reduce a:
fe;AA
4.5
µ
¶
1
2kh
2
=
dfe =
pd (z)udz = ½gA c 1 +
cos2 (kx ¡ ¾t)
2
sinh
2kh
¡h
¡h
(4.40)
Z
´
Z
´
Características Cinemáticas y Dinámicas
para Ondas Estacionarias
La solución de onda estacionaria puede obtenerse como solución del problema
de ondas para una onda progresiva de amplitud conocida que incide normal
sobre una pared vertical impermeable. Escribiendo el potencial en su forma
más general como la superposición de una onda progresiva de amplitud A0I
viajando en el sentido positivo del eje x (onda incidente) y otra de amplitud
A0R viajando en sentido contrario (onda re‡ejada por el obstáculo):
½
¾
¡ 0 ikx
¢ ¡i¾t
ig
0 ¡ikx
©(x; z; t) = < ¡ Kp (z) AI e + AR e
e
(4.41)
¾
4.5. ONDAS ESTACIONARIAS
87
Figura~4.14: Flujo instantáneo de energía
e imponiendo la condición de impermeabilidad de la pared
@©
=0
@x jx=0
(4.42)
Se llega a que necesariamente A0R = A0I , es decir, toda la energía incidente
se re‡eja en la pared. La función potencial de la onda resultante de la
superposición de ambas es
©
ª
©(x; z; t) = < ¡ ig¾ Kp (z)2A0I cos kx e¡i¾t
= ¡ ¾g Kp (z)2AI cos kx sin(¾t ¡ 'I )
(4.43)
Cuya super…cie libre es,
©
ª
´(x; t) = < 2A0I cos kx e¡i¾t = 2AI cos kx cos(¾t ¡ 'I )
(4.44)
donde AI y 'I son, respectivamente, la amplitud y el argumento de la amplitud compleja incidente.
La ec.(4.44) representa un movimiento en el que la super…cie libre oscila
sin propagarse, con una amplitud que varía con la distancia a la pared, A(x)
=2AI cos kx: Los valores máximos de ´, llamados antinodos, son de amplitud
Ae = 2AI , y se alcanzan en los puntos en los que jcos kxj = 1, esto es,
en x = 0; ¡L=2; ¡L; :::; ¡nL=2; :::mientras que en las posiciones para las
que cos kx = 0, esto es, en x = ¡L=4 ¡ nL=2; n = 0; 1; 2; ::: no se observa
movimiento alguno de la super…e libre. Dichos puntos se denominan nodos.
88
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
En la pared, x = 0, no hay movimiento horizontal, u = 0, y por tanto
el movimiento de las partículas de agua es sólo vertical, paralelo a la pared,
cumpliendo así la condición de deslizamiento sobre el paramento vertical
impermeable.
A continuación se obtienen las magnitudes hidrodinámicas fundamentales
de las ondas estacionarias. Procediendo de forma análoga a como se ha hecho
para las ondas progresivas, puden obtenerse asimismo la energía instantánea
y los ‡ujos medios de masa, cantidad de movimiento y energía, lo que se deja
como ejercicio para el alumno.
4.5.1
Campo de velocidades
El campo de velocidades de una onda estacionaria se obtiene derivando la
función potencial,
cosh k(h+z)
u = 2AI gk
sin kx sin(¾t ¡ 'I )
¾
cosh kh
gk sinh k(h+z)
w = ¡2AI ¾ cosh kh cos kx sin(¾t ¡ 'I )
(4.45)
En los antinodos, u = 0 y w alcanza, en valor absoluto, sus valores máximos, por lo que la velocidad únicamente tiene componente vertical, mientras
que en los nodos, w = 0 y juj es máxima (…gura 4.15).
Las velocidades horizontal y vertical están en fase con respecto al tiempo,
lo que supone que, en determinados momentos, la velocidad es nula en todo
el sistema. En esta situación toda la energía es energía potencial.
Al igual que ocurría para una onda progresiva, las velocidades aumentan
a medida que la distancia al fondo es mayor; u lo hace como la función
cosh k(h + z) mientras que la dependencia con la profundidad de w está dada
por sinh k(h + z):
4.5.2
Campo de aceleraciones
Las aceleraciones locales bajo una onda estacionaria son:
cosh k(h + z)
sin kx cos(¾t ¡ 'I )
cosh kh
sinh k(h + z)
= ¡2AI gk
cos kx cos(¾t ¡ 'I )
cosh kh
ah = 2AI gk
(4.46)
av
(4.47)
Bajo los antinodos, las aceleraciones verticales son máximas, mientras
que las horizontales son nulas, lo contrario ocurre bajo los nodos.
4.5. ONDAS ESTACIONARIAS
89
Figura~4.15: Envolvente de la super…cie libre y campo de velocidades en los
nodos y antinodos de una onda estacionaria
4.5.3
Campo de presiones bajo una onda estacionaria
Siguiendo el mismo procedimiento que se empleó en el caso de onda progresiva, la presión instantánea se obtiene a partir de la ecuación de Bernouilli,
despreciando los términos de segundo orden:
k(h+z)
p = ¡½gz + ½g cosh
´
cosh kh
cosh k(h+z)
= ¡½gz + ½g cosh kh 2AI cos kx cos(¾t ¡ 'I )
(4.48)
Como puede observarse, bajo los nodos la única presión que existe es
la hidrostática, mientras que en los antinodos la presión dinámica en valor
absoluto es máxima, sumándose a la contribución hidrostática cuando la
super…cie libre está por encima del nivel del mar en reposo y restándose en
otro caso.
Una vez obtenida la ley de presiones, puede calcularse la fuerza por unidad de anchura que la oscilación ejerce sobre la pared, integrando la ley de
presiones en x = 0:
F =
Z
´
1
1
½g
pdz = ½gh2 + ½g´ 2 + ´ tanh kh
2
2
k
¡h
(4.49)
Despreciando los términos de segundo orden:
F =
Z
´
1
½g
pdz = ½gh2 + ´ tanh kh
2
k
¡h
(4.50)
90
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
En la ec. (4.50) el primer sumando representa la contribución hidrostática
y el segundo es un término oscilatorio debido a la presión dinámica.
4.5.4
Trayectorias de las partículas
El procedimiento para calcular el movimiento de las partículas bajo una
onda estacionaria es el mismo que se vio para el caso de onda progresiva.
Integrando respecto del tiempo las expresiones de u y w en se obtiene:
k(h+z)
³(t) = ¡Ae cosh
sin kx cos ¾t = ¡®(z; x) cos ¾t
sinh kh
sinh k(h+z)
»(t) = Ae sinh kh cos kx cos ¾t = ¯(z; x) cos ¾t
(4.51)
Luego
»=¡
tanh k(h + z)
³
tan kx
(4.52)
Es decir, el movimiento de las partículas bajo una onda estacionaria es
un movimiento armónico simple a lo largo de un segmento rectilíneo cuya
longitud y pendiente dependen de la posición (x; z) de la partícula en reposo
(…gura 4.16). La inclinación del movimiento vendrá dada por:
tan µ =
»
tanh k(h + z)
=
³
tan kx
(4.53)
Se observa que, debido a la condición de contorno que se ha impuesto, en
el fondo, las trayectorias son horizontales (µ = 0).
4.5. ONDAS ESTACIONARIAS
Figura~4.16: Trayectorias de las partículas bajo una onda estacionaria
91
92
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Capítulo 5
Flujos y cantidades medias
asociados al movimiento
oscilatorio
5.1
Introducción
En el Capítulo 4 se han analizado las características cinemáticas y dinámicas
del movimiento oscilatorio. Entre otros, se han obtenido los valores instantáneos de la energía total en la columna de agua, y los ‡ujos de masa, cantidad
de movimiento y energía a través de una sección x = cte. Puesto que se trata
de cantidades periódicas en el espacio y en el tiempo, tiene interés el análisis
de los valores medios que se obtienen promediando las cantidades instantáneas en un periodo, T , o en una longitud de onda, L. En este capítulo
se obtienen la energía espacial media y los ‡ujos medios de masa, cantidad
de movimiento y energía que tienen una gran importancia en Ingeniería de
Costas para el estudio de las tranformaciones que sufren las ondas durante
su propagación. Para ello, se utilizarán las siguientes de…niciones.
El promedio temporal de la función f (x; t) se de…ne como:
1
f=
T
Z
t+T
f (x; t)dt
(5.1)
t
análogamente el promedio espacial es:
1
hf i =
L
Z
x+L
f (x; t)dx
x
93
(5.2)
94
CAPÍTULO 5. FLUJOS Y CANTIDADES MEDIAS
5.2
Energía espacial media en la columna de
agua
La energía instantánea de una onda progresiva en una columna de agua de
anchura dx asociada al movimiento oscilatorio, se ha calculado integrando
en ¡h < z < ´ las contribuciones a la energía potencial y cinética, de cada
elemento diferencial de espesor dz, ecs. (4.20) y (4.23). A continuación,
promediando dicha cantidad en una longitud de onda, se calcula la energía
media por unidad de super…cie horizontal.
La energía potencial total en un ciclo de onda se obtiene integrando (4.20)
en (x; x + L),
Ep =
Z
x+L
Ep;inst dx =
x
Z
x+L
x
1
L
½gA2 cos2 (kx ¡ ¾t)dx = ½gA2
2
4
(5.3)
de la misma forma, la energía cinética total en una longitud de onda es:
R x+L
Ec = x Ec;inst dx
R x+L E £¡
¢ 2
¡
2kh
= x
1 + sinh
cos ª + 1 ¡
2
2kh
= L4 ½gA2
2kh
sinh 2kh
¢
¤
sin2 ª dx
(5.4)
Sumando ambas cantidades se tiene la energía total en un ciclo de onda,
ET = Ep + Ec =
L
½gA2
2
(5.5)
Por tanto, la energía total media espacial asociada al movimiento oscilatorio, que, como se ha visto, se distribuye en partes iguales entre la energía
cinética y la potencial, es:
1
E=
L
Z
x
x+L
(Ep;inst + Ec;inst )dx =
ET
1
= ½gA2
L
2
(5.6)
De forma grá…ca, la obtención de la ec. (5.4) equivale a calcular la cantidad de energía que se obtendría por unidad de super…cie, al distribuir, de
forma uniforme, la energia total de la onda asociada al moviento oscilatorio
en la super…ce de longitud L y anchura unidad (…gura 5.1)
5.2. ENERGÍA ESPACIAL MEDIA EN LA COLUMNA DE AGUA
95
Figura~5.1: Esquema explicativo del cálculo de la energía espacial media
debida al movimiento oscilatorio.
5.2.1
Flujo medio de masa
En el apartado 4.4.1 se ha calculado el ‡ujo instantáneo de masa a través
de una sección perpendicular a la dirección de propagación de una onda
progresiva, fm , (ec. 4.29). fm es la suma de dos términos, uno de orden
°(Ak) y otro de orden ° ((Ak)2 ) .
El ‡ujo total de masa a través de dicha sección en un periodo T se obtiene
integrando la cantidad anterior en (t; t + T ):
FT;masa =
Z
t+T
fm dt
(5.7)
t
Considerando únicamente el término de orden °(Ak):
FT;masa =
Z
t+T
t
Ag½
tanh kh cos(kx ¡ ¾t)dt = 0
¾
(5.8)
Se obtiene que el ‡ujo total de masa es nulo, lo que signi…ca que no hay
transporte de masa asociado al movimiento oscilatorio. Este resultado es
compatible con el hecho de que, en teoría de primer orden, las partículas
de agua describen trayectorias elípticas cerradas. Si se tiene en cuenta el
término de segundo orden, el ‡ujo total de masa en un periodo de onda es:
96
CAPÍTULO 5. FLUJOS Y CANTIDADES MEDIAS
FT;masa =
Z
t
t+T
½
gkA2
gkA2 T
1
k
E
cos2 (kx ¡ ¾t)dt = ½
= T ½gA2 = T
¾
¾ 2
2
¾
c
(5.9)
El ‡ujo medio de masa se calcula promediando el ‡ujo instantáneo de
masa, ec. (5.9) en un periodo de onda:
Fmedio;masa =
Z
t+T
t
fm dt =
1
E
FT;masa =
6= 0
T
c
(5.10)
La razón de obtener un transporte neto de masa en la dirección de avance
de la onda es que al considerar términos de segundo orden, como se ha
comentado en el apartado 4.2.4., las trayectorias de las partículas no son
cerradas.
Cuando la onda se propaga hacia la costa, esta inyección de masa hacia
profundidades menores, debe compensarse con un retorno de agua para que
el sistema esté en equilibrio. El sistema circulatorio de playas, descrito por
Shepard e Inman (1950) contrarresta la entrada de agua mediante corrientes
longitudinales, corrientes de retorno, undertow,...
5.3
Nivel medio de la super…cie libre
El nivel medio de la super…cie libre se obtiene a partir de la condición de
contorno dinámica en la super…cie libre:
¢
@© 1 ¡ 2
+
u + w 2 + gz = C(t) en z = ´(x; t)
@t
2
(5.11)
Como se ha supuesto que los desplazamientos de la super…cie libre son
pequeños, se puede realizar un desarrollo en serie de Taylor alrededor de
z = 0,
£ @©
@t
+ 12 (u2 + w2 ) + gz
¤
z=´(x;t)
£
¤
= @©
+ 12 (u2 + w2 ) + gz+ z=0
@t £
¤
@ @©
+´ @z
+ 12 (u2 + w 2 ) + gz z=´(x;t) + :::
@t
= C(t)
(5.12)
tomando únicamente los términos de segundo orden, se tiene:
5.3. NIVEL MEDIO DE LA SUPERFICIE LIBRE
97
¢
@© 1 ¡ 2
@2©
+
u + w2 + ´
+ g´ ¡ C(t) = 0 en z = 0
@t
2
@[email protected]
(5.13)
Para obtener el nivel medio de la super…cie libre, se realiza el promedio
de esta ecuación en un periodo:
1
T
Z
t+T
t
·
¸
¢
@© 1 ¡ 2
@ 2©
+
u + w2 + ´
+ g´ ¡ C(t)
@t
2
@[email protected]
dt = 0
(5.14)
z=0
que, por comodidad, se va a escribir como:
´
@ 2©
@© 1 ³ 2
2
u +w +´
+
+ g´ ¡ C(t) en z = 0
@t
2
@[email protected]
(5.15)
@´
@©
=
en z = 0
@t
@z
(5.16)
Aplicando la condición de contorno cinemática linealizada en la super…cie
libre:
2
@ ©
el término ´ @[email protected]
se transforma como sigue:
@
@t
µ
@©
´
@z
¶
µ
¶
@´ @©
@ 2©
@ 2©
@
@©
=
+´
,´
=
´
¡ w 2 en z = 0
@t @z
@[email protected]
@[email protected]
@t
@z
(5.17)
y la expresión que queda …nalmente para ´ es:
"
´ 1 @ µ @© ¶
1 @©
1 ³ 2
2
´= ¡
¡
u ¡w ¡
´
g @t
2g
g @t
@z
#
z=0
+
C(t)
g
(5.18)
sustituyendo en la ec. (5.18) los valores de las variables se obtiene, …nalmente,
´=¡
A2 k
C(t)
+
2 sinh 2kh
g
(5.19)
El resultado obtenido indica que el valor de ´ depende de lo que valga el
término C(t).
98
5.3.1
CAPÍTULO 5. FLUJOS Y CANTIDADES MEDIAS
Ubicación del nivel medio del mar
En la derivación de la teoría de ondas la constante de Bernouilli C(t) se ha
tomado C(t) = 0, lo que equivale a situar el sistema de coordenadas (x; z)
en el nivel del mar en reposo. Con respecto a este sistema de referencia, el
nivel medio del mar es:
´=¡
A2 k
2 sinh 2kh
(5.20)
Es decir, se produce un cambio en el nivel medio del mar que va aumentando al disminuir la profundidad hasta que se produce la rotura. A este
fenómeno de descenso del nivel medio del mar se le conoce con el nombre de
set-down.
Podrían haberse situado los ejes en el nivel medio de mar, para lo cual
debiera haberse tomado en la derivación de la función potencial:
C(t) =
gA2 k
2 sinh 2kh
(5.21)
En este sistema de referencia, por de…nición, el nivel medio del mar es
´=0.
5.4
Flujo medio de cantidad de movimiento
El valor del ‡ujo medio temporal de cantidad de movimiento, se obtiene
promediando en un periodo de onda, T , el valor del ‡ujo instantáneo de
cantidad de movimiento, ec. (4.34):
Fmedio;cm
1
=
T
Z
t+T
fcm dt = 0
(5.22)
t
Longuet-Higgins y Stewart (1964) de…nieron el tensor de radiación como el ‡ujo medio de la cantidad de movimiento debido exclusivamente al
movimiento oscilatorio, es decir el exceso de ‡ujo medio de la cantidad de
movimiento debido a la presencia de las ondas. Esta tensión tiene, en el
caso de movimiento plano, cuatro componentes: Sxx ; Sxy = Syx y Syy . Sxx es
la componente del tensor en la dirección de propagación de la onda por un
plano perpendicular a esa dirección:
5.4. FLUJO MEDIO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Sxx =
1
T
R t+T ³R ´
R t+T
99
´
2
(½u + pd ) dz dt
fcm;x dt = t
¡h
t
£ 2 ¡
R
¢
¡
¢¤
1 t+T
2kh
2kh
= T t E cos ª 1 + sinh 2kh ¡ 12 1 ¡ sinh
dt
2kh
R
1 t+T ½gA
tanh kh cos ªdt
+T t
k
(5.23)
Al igual que antes, si sólo se consideran los términos de °(Ak) y se toma
C(t) = 0, Sxx es nulo. El tensor de radiación es, por tanto, una magnitud
de, al menos, segundo orden:
Sxx = E
µ
1
2kh
+
2 sinh 2kh
¶
¡
½gA2 k
+ ½C(t)h
2 sinh 2kh
(5.24)
Si se admite que el nivel medio del mar coincide con el del agua en reposo,
´ = 0, y que el valor de la constante es el dado por la ec. ( 5.18), la expresión
de la componente Sxx del tensor de radiación es la siguiente:
Sxx = E
µ
1
2kh
+
2 sinh 2kh
¶
(5.25)
La componente Syy del tensor de radiación es el exceso del ‡ujo medio
de la cantidad de movimiento, por un plano perpendicular a la cresta de la
onda y = cte. Cuando las ondas se propagan sobre una costa de batimétricas
rectas y paralelas en dirección normal a las mismas, la velocidad horizontal
en la dirección y, v, es igual a 0, por lo que el valor de Syy , vendrá dado por
el término de presión:
Syy =
1
T
=
1
T
R t+T
1
T
R t+T ³R ´
fcm;y dt =
t
´ t
R t+T ³R ´
p dz dt =
t
¡h d
E
2
´
2
(½v + pd ) dz dt
¡
¢
2kh
¡ E 12 ¡ sinh
= E sinhkh2kh
2kh
¡h
(5.26)
Finalmente, el valor de Sxy se de…ne como
Sxy
1
=
T
Z
t+T
fcm;xy dt =
t
Z
t+T
t
µZ
´
¶
(5.27)
½uvdz dt
¡h
Para ondas propagándose en la dirección del eje x, el valor de Sxy es nulo
por ser v = 0. Por tanto, el tensor de radiación Sxy , expresado en forma
matricial es:
S=
µ
Sxx Sxy
Sxy Syy
¶
=
µ
E
0
¡1
2
+
2kh
sinh 2kh
¢
0
E sinhkh2kh
¶
(5.28)
100
CAPÍTULO 5. FLUJOS Y CANTIDADES MEDIAS
5.5
Flujo medio de energía
El ‡ujo medio temporal de energía, puede calcularse promediando en un ciclo
de onda el ‡ujo instantáneo de energía espacial media dado por la ec. (5.4):
FAA0
1
=
T
Z
t+T
t
1
fe;AA0 dt
T
Z
t
t+T
¶
2kh
cos2 (kx ¡ ¾t)dt = ECg
Ec 1 +
sinh 2kh
(5.29)
µ
donde
µ
¶
c
2kh
Cg =
1+
2
sinh 2kh
(5.30)
es la velocidad de transmisión de la energía asociada al movimiento oscilatorio, que se denomina celeridad de grupo.
² En profundidades inde…nidas, kh > ¼, Cg = 2c . Es decir, la energía se
trasmite a la mitad de la velocidad con la que se propaga la onda.
¼
² En profundidades reducidas, kh < 10
, Cg = c. La energía se trasmite
a la misma velocidad con la que se propaga la onda.
² En profundiades intermedias la velocidad de transmisón de la energía
varía en el rango, 2c < Cg < c.
El concepto de ‡ujo medio de energía, como se verá más adelante, permitirá conocer algunas de las transformaciones que sufre el tren de ondas
durante su propagación.
Referencias
[1] Shepard, F. P. and Inman, D. L. (1950). Nearshore water circulation related to bottom topography and wave refraction. Transactions, American
Geophysical Union, 31, 196-212.
[2] Longuet-Higgins, M. S. and R. W. Stewart (1964). Radiation stresses in
water waves; a physical discussion, with applications, Deep-Sea Research,
11, 529-562.
101
102
REFERENCIAS
Capítulo 6
Procesos de transformación de
las ondas
6.1
Introducción
En los capítulos 2 a 5 se han estudiado las propiedades fundamentales de
los trenes de onda monocromáticos propagándose por fondo horizontal en
un canal in…nitamente ancho y largo. Esta situación ideal sirve de base
para el estudio de los procesos de transformación que sufren las ondas al
propagarse desde aguas profundas hacia profundidades menores por efecto
de los contornos y del fondo.
El conocimiento de dichas tranformaciones es fundamental para el estudio
de la morfodinámica de la zona litoral, ya que la mayor parte de las obras
de ingeniería marítima (regeneraciones de playas, obras de abrigo frente al
oleaje, obras de gestion del litoral, etc) se realizan en la línea de costa. Estas transformaciones son el asomeramiento, la refracción, la difracción, la
re‡exión y la rotura.
A partir de la Teoría Lineal se puede deducir que una onda comienza a ’sentir’ la presencia del fondo cuando la profundidad a la que se encuentra es
h < L=2, donde L es la longitud de onda. Los procesos de transformación
producidos por cambios suaves de profundidad se traducen fundamentalmente en variaciones de la altura de ola, la longitud de onda y la dirección de
propagación.
A medida que las ondas viajan a zonas de menor profundidad, su celeridad
disminuye y su longitud de onda se acorta. Para ondas propagándose con
crestas paralelas a las líneas batimétricas, en aguas someras, estos cambios
producen una variación del peralte de la ola, H=L, fenómeno que se conoce
como asomeramiento.
103
104
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Cuando los frentes de onda no son paralelos a los contornos batimétricos,
éstos avanzan más rápidamente en las zonas de mayor profundidad que en
las de menor calado, adaptándose progresivamente a la forma de las líneas
batimétricas. Este proceso llamado refracción, que produce un cambio de la
dirección de propagación, induce asimismo variaciones de la altura de ola a lo
largo del frente. La refracción puede producirse también por las variaciones
en la celeridad inducidas por la presencia de una corriente.
Cuando el gradiente de altura de ola a lo largo de la cresta producido por
la refracción es muy acusado, se produce cesión de energía en la dirección
perpendicular a la de propagación con el …n de equilibrar dicho gradiente.
Este fenómeno, que se conoce como difracción, se produce también cuando
una onda encuentra un obstáculo en su propagación, con el …n de compensar
la diferencia de altura de ola entre la zona al abrigo del obstáculo y la región
adyacente.
La presencia de un obstáculo o un cambio de profundidad puede provocar
que parte de la energía de las ondas sea devuelta mar adentro, produciéndose
la re‡exión de la onda.
La disipación de energía en el proceso de transformación de las ondas se
produce por diferentes mecanismos. En aguas poco profundas, el mecanismo
disipador de energía por excelencia es la rotura del movimiento oscilatorio y
su transformación en un movimiento de traslación. Este fenómeno se produce
cuando la altura de la onda coincide aproximadamente con la profundidad,
momento en el cual el per…l de la onda deja de ser estable y rompe disipando
una gran cantidad de energía fundamentalmente en forma de turbulencia.
Todos estos fenómenos nunca se producen de forma aislada sino que, en
general, afectan a la onda simultáneamente. Sin embargo, para conocer los
efectos que producen sobre la oscilación, su estudio debe hacerse de forma
separada.
Debe señalarse que, puesto que en teoría lineal el periodo no varía, el análisis
que se realiza en este capítulo no contempla las posibles modi…caciones en el
periodo de la onda.
Por otra parte, las soluciones de teoría lineal obtenidas en el capítulo 3
no consideran la existencia de una corriente superpuesta al movimiento oscilatorio, por lo que la celeridad y la longitud de onda que se obtienen, son
magnitudes que dependen de la profundidad y del periodo. Sin embargo, la
presencia de una corriente modi…ca la ecuación de la dispersión y en consecuencia la celeridad y la longitud de onda, por lo que puede tener efectos
signi…cativos en las transformaciones de las ondas, que en estos apuntes no
se van a tener en cuenta.
6.2. ESTUDIO BIDIMENSIONAL DE LA REFLEXIÓN
6.2
105
Estudio bidimensional de la re‡exión
Cuando la onda se aproxima a la costa, el cambio de profundidad o la presencia un obstáculo puede provocar la re‡exión de parte de la energía. El
conocimiento de la oscilación resultante de la superposicion de los trenes incidente y re‡ejado es fundamental para el análisis de la estabilidad de las
estructuras arti…ciales y para el estudio de la hidrodinámica de la zona de
rompientes.
6.2.1
Re‡exión producida por una pared
El caso más simple para explicar el fenómeno de la re‡exión es el de un tren
de ondas propagándose por un fondo horizontal e impermeable, que incide
sobre una pared vertical impermeable in…nitamente ancha cuya cota de coronación sobre el nivel del mar, llamada francobordo, es lo su…cientemente
alta como para garantizar que no se produce rebase. En estas condiciones
toda la energía incidente se re‡eja en el paramento vertical y se genera un
tren estacionario debido a la interferencia entre el tren incidente y el tren
re‡ejado. La obtención de la función potencial y el análisis de las características cinemáticas y dinámicas de la oscilación resultante se ha realizado en
el apdo. 4.5.
Si la cota de coronación del francobordo no es lo su…cientemente alta
como para evitar la ocurrrencia del rebase de las olas sobre la estructura, la
re‡exión no es total sino parcial.
Por otra parte, si la pared no es totalmente impermeable, hay transmisión
del movimiento oscilatorio y por tanto la velocidad en la pared es distinta de
cero,
@©
@©I
@©R
=
+
6= 0
@x jx=0
@x jx=0
@x jx=0
(6.1)
en este caso el coe…ciente de re‡exión es:
R = jRjei' =
A0R
AR i('R ¡'I )
=
e
0
AI
AI
(6.2)
donde jRj representa su módulo ( jRj < 1) y ' = 'R ¡ 'I el desfase existente
entre la onda incidente y la re‡ejada.
En la ingeniería práctica se pueden construir otras morfologías de obras
que también producen re‡exión (pared vertical porosa, talud impermeable,
talud poroso, dique o arrecife sumergido, ...). La idealización matemática
106
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
de estas tipologías se expresa en términos de la condición de contorno y se
materializa en una reducción del módulo del coe…ciente de re‡exión y una
variación de su fase.
Para ondas de periodos relativamente largos cuyo peralte es lo su…cientemente pequeño como para que no se produzca la rotura, una pared impermeable e inclinada re‡eja prácticamente toda la energía incidente. Carrier y
Greenspan (1957) resolvieron las ecuaciones no lineales de ondas largas sobre
un talud con estas características obteniendo la correspondiente oscilación
estacionaria.
La situación que se considera a continuación, la re‡exión debida a un
cambio brusco de profundiad, es un primer paso a dar para la resolución del
problema de una onda propagándose sobre un dique sumergido.
6.2.2
Re‡exión debida a un cambio brusco de profundidad
Cuando una onda encuentra en su propagación un cambio brusco de profundidad, parte de la energía se re‡eja y parte se trasmite. Esta situación se da
en los canales de acceso a los puertos donde hay un cambio de profundidad
entre la zona exterior y el canal de navegación, también por la existencia de
un dique sumergido, o simplemente cuando la pendiente del fondo es muy
acusada.
El estudio de la re‡exión producida por un escalón como el que se indica en la …gura 6.1 puede realizarse dividiendo el dominio en dos regiones,
expresando las funciones potenciales a ambos lados de la discontinuidad e
imponiendo las condiciones de acuerdo entre ellas.
En la Región 1, el potencial ©1 (x; z; t) corresponde a la superposición de
los trenes incidente y el re‡ejado, de amplitudes AI y AR respectivamente:
©1 =
g cosh k1 (h1 +z)
[AI sin(k1 x ¡ ¾t + 'I ) ¡ AR sin(k
1x
¾ ncosh k1 h1
£ 0 ik x
¤ ¡i¾t o
ig cosh k1 (h1 +z)
0
¡ik
x)
< ¡ ¾ cosh(k1 h1 ) AI e 1 + AR e 1 e
=
¡1 < x < 0; ¡h1 < z < 0
+ ¾t ¡ 'R )]
(6.3)
En la Región 2, el potencial ©2 de la onda de amplitud AT , transmitida
a través de la discontinuidad, es:
©2 (x; z; t) =
g cosh k2 (h2 +z)
AT sin(k2 x ¡ ¾t +o'T )
¾ ncosh k2 h2
k2 (h2 +z) 0 i(k2 x¡¾t)
< ¡ ig¾ cosh
AT e
cosh k2 h2
=
0 < x < 1; ¡h2 < z < 0
(6.4)
6.2. ESTUDIO BIDIMENSIONAL DE LA REFLEXIÓN
107
Figura~6.1: Con…guración del problema en 2D de una onda progresiva propagándose por un escalón
Para un elemento diferencial de la columna de agua centrada en x = 0,
límite entre las dos regiones, la presión y la velocidad horizontal son únicas,
por lo que sus expresiones calculadas a partir de los potenciales ©1 y ©2
deben coincidir:
¾
p1 = p2
en x = 0; ¡h2 < z < 0
(6.5)
@©1
2
= @©
@x
@x
Además, a través de la pared vertical del escalón no puede haber ‡ujo:
@©1
= 0 en x = 0; ¡h1 < z < ¡h2
(6.6)
@x
Utilizando la ecuación de Bernoulli sin tener en cuenta los términos cuadráticos, la condición de igualdad de presiones dada por:
@©1
@©2
+ ½gz = ½
+ ½gz en x = 0; ¡h2 < z < 0
(6.7)
@t
@t
equivale a igualar funciones potenciales.
Introduciendo las expresiones de ©1 y ©2 en las condiciones de acuerdo
entre regiones, se tiene:
½
² Condición de igualdad de presiones:
¡
ig cosh k1 (h1 + z) 0
ig cosh k2 (h2 + z) 0
[AI + A0R ] = ¡
AT
¾
cosh k1 h1
¾
cosh k2 h2
(6.8)
108
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
² Condición de igualdad de ‡ujo:
gk1 cosh k1 (h1 + z) 0
gk2 cosh k2 (h2 + z) 0
[AI ¡ A0R ] =
AT en ¡ h1 < z < 0
¾
cosh k1 h1
¾
cosh k2 h2
(6.9)
² Condición ‡ujo nulo a través de la pared del escalón:
gk1 cosh k1 (h1 + z) 0
[AI ¡ A0R ] = 0 en ¡ h1 < z < 0
¾
cosh k1 h1
(6.10)
Para resolver el problema es necesario eliminar la dependencia en z, para
lo cual, cada una de las condiciones (6.8) y (6.9) se multiplica por una de las
ki (hi +z)
funciones fi (z) = cosh
, i = 1; 2 y se integra en todo el dominio en el
cosh ki hi
1
que está de…nidas .
La ecuación de igualdad de ‡ujo se multiplica por f1 (z) y se integra en
(¡h1 ; 0). Puesto que se exige además que el ‡ujo sea nulo en ¡h1 < z < ¡h2 ,
la integral queda:
¶
Z 0 µ
@©1 @©2
¡
f1 (z)dz = 0
(6.12)
@x
@x jx=0
¡h2
La ecuación correspondiente a la igualdad de presión se multiplica por
f2 (z) y se integra en (¡h2 ; 0):
Z 0
(©1 ¡ ©2 )jx=0 f2 (z)dz = 0
(6.13)
¡h2
Obsérverse que se ha multiplicado la ecuación de ‡ujo por la función de
la región 1 porque en ella es donde existen los dos dominios de la velocidad
1
En realidad, en las proximidades de la discontinuidad creada por el escalón deben
considerarse los modos evanescentes, fi;n (z), autofunciones del problema de Sturm-Liuville
planteado en z que, junto con el modo progresivo, forman un sistema ortogonal en el
conjunto L2 (¡hi ; 0) de las funciones de…nidas en (¡hi ; 0) cuyo cuadrado es integrable en
dicho dominio, con respecto al producto escalar:
< f; g >=
Z
0
f (z)g(z)dz
(6.11)
¡hi
Ésta es la razón por la que se procede de esta forma para eliminar la dependencia en z.
Esta técnica es la misma que se utiliza para obtener los coe…cientes de un desarrollo en
serie de funciones trigonométricas de una función de…nida en un intervalo acotado.
6.2. ESTUDIO BIDIMENSIONAL DE LA REFLEXIÓN
109
horizontal, mientras que la condición de igualdad de presiones se multiplica
por la función de profundiad de la región 2.
Llamando
¡ij =
Z
0
fi (z)fj (z)dz
(6.14)
¡h2
el sistema formado por las ecuaciones (6.11) y (6.12) se transforma en:
¡11 k1 (A0I ¡ A0R ) ¡ ¡12 k2 A0T = 0
¡12 (A0I + A0R ) ¡ ¡22 A0T = 0
(6.15)
Conocida la amplitud de la onda incidente A0I , el problema se reduce a
resolver el sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas A0R y A0T dado por
(6.15).
Los coe…cientes de re‡exión y transmisión se de…nen, respectivamente,
como las amplitudes relativas de las ondas re‡ejada y transmitida en relación
con la amplitud incidente,
CR =
A0R
A0T
;
C
=
T
A0I
A0I
(6.16)
En términos de CR y CT el sistema (6.14) se escribe
1 ¡ CR =
1 + CR =
¡12 k2
C
¡11 k1 T
¡22
C
¡12 T
(6.17)
CR y CT que representan las escalas de las oscilaciones respectivas, sólo
dependen de los valores de h1 ; h2 y T:
De forma análoga se puede obtener el cambio de dirección de un tren de
ondas al propagarse por un incremento brusco de la profundidad.
Ejercicio Resuelve el problema teniendo en cuenta que en este caso la
condición de ‡ujo debe resolverse multiplicando por la función de profundidad
de la segunda región
Hipótesis de Rayleigh
Cuando la pendiente es suave y el coe…ciente de re‡exión toma valores por
debajo de 0.1, la re‡exión producida por un cambio de profundidad puede
110
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
despreciarse. A continuación, haciendo uso del problema que se ha resuelto en
este apartado, se estudia para qué pendientes puede admitirse esta hipótesis,
conocida como Hipótesis de pendiente suave o de Rayleigh.
El coe…ciente de re‡exión obtenido a partir de (6.14) varía con el cociente
h2 =h1 aproximadamente de la forma que muestra la …gura 6.2 para los casos
de profundidades intermedias y profundidades reducidas
Figura~6.2: Variación de los coe…cientes de re‡exión y transmisión para un
cambio brusco de profundidad en función de h2 =h1
En profundidades intermedias, el módulo del coe…ciente de re‡exión toma
valores inferiores a 0.1 cuando la relación entre profundidades es aproximadamente h2 =h1 = 0:65, lo que se corresponde con pendientes inferiores a 0.1.
Por tanto, en este caso, la hipótesis de pendiente suave es válida siempre que
6.2. ESTUDIO BIDIMENSIONAL DE LA REFLEXIÓN
111
tan ¯ < 0:1.
En el caso de profundidades reducidas, la relación entre profundidades a
partir de la cual se puede despreciar el efecto de la re‡exión es h2 =h1 > 0:7.
Puesto que en estas condiciones la longitud de onda es menor, el criterio
referido a la pendiente del fondo es mucho más restrictivo. Así, el ‡ujo
de energía re‡ejado se puede despreciar frente al ‡ujo de energía incidente
siempre que la pendiente del fondo sea tal que, tan ¯ < 0:01.
Con el …n de uni…car estos criterios en uno solo que acote el rango de
validez de la Hipótesis de Rayleigh, se de…ne el parámetro de pendiente, SR ,
que indica cómo cambia la profundidad en una longitud de onda (…gura 6.3),
SR =
tan ¯
kh
(6.18)
En términos de SR suele considerarse que la re‡exión es despreciable si
se cumple la relación SR < 0:1
Figura~6.3: Esquema representativo de la de…nición del parámetro de pendiente, Sr
6.2.3
Propagación de un tren de ondas por una zanja
En este caso se consideran tres regiones contiguas de profundidades h1 , h2 y
h3 como se indica en la …gura 6.4.
112
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Figura~6.4: Con…guración del problema en 2D de una onda progresiva propagándose por una zanja
En la primera región, el potencial ©1 (x; z; t) resulta de la superposición
de los trenes incidente, de amplitud AI1 0 , y re‡ejado por el cambio de profundidad que se produce en x = 0, de amplitud AR1 0 :
©1 =
g cosh k1 (h1 +z)
[AI1 sin(k1 x ¡ ¾t + 'I ) ¡ AR1 sin(k
¾ ncosh k1 h1
o1 x
£ 0 ik x
¤
ig cosh k1 (h1 +z)
< ¡ ¾ cosh k1 h1 AI1 e 1 + A0R1 e¡ik1 x) e¡i¾t
=
¡1 < x < 0; ¡h1 < z < 0
+ ¾t ¡ 'R )]
(6.19)
La onda transmitida a la segunda región, de amplitud AT 2 0 es a su vez
re‡ejada al encontrar en su propagación el cambio de profundidad producido
en x = B, por lo que la función potencial ©2 (x; z; t) puede escribirse como:
©2 =
g cosh k2 (h+z)
[AT 2 sin(k2 x ¡ ¾t + 'I ) ¡ AR2 sin(k2 x
¾ ncosh(k2 h)
¤ ¡i¾t o
k2 (h+z) £ 0
ik2 x
0
¡ik2 x)
< ¡ ig¾ cosh
A
e
+
A
e
e
T2
R2
cosh(k2 h)
=
0 < x < B; ¡h2 < z < 0
+ ¾t ¡ 'R )]
(6.20)
6.2. ESTUDIO BIDIMENSIONAL DE LA REFLEXIÓN
113
Finalmente, en la región de profundidad h3 se tiene la onda transmitida
de amplitud AT 3 0 cuya función potencial ©3 (x; z; t) es:
©3 =
=
g cosh k3 (h+z)
AT 3 sin(k3 x ¡ ¾t + 'T )
¾ ncosh(k3 h)
o
ig cosh k3 (h+z) 0
i(k3 x¡¾t)
< ¡ ¾ cosh(k3 h) AT 3 e
B < x < 1; ¡h3 < z < 0
(6.21)
Las condiciones de acuerdo a imponer entre las regiones adyacentes son:
En x = 0;
en ¡ h1 < z < 0
en ¡ h1 < z < 0
en ¡ h2 < z < ¡h1
(6.22)
©2 = ©3
en ¡ h3 < z < 0
@©2
@©3
= @x en ¡ h3 < z < 0
@x
@©2
=0
en ¡ h2 < z < ¡h3
@x
(6.23)
©1 = ©2
@©1
2
= @©
@x
@x
@©2
=0
@x
En x = B;
Al igual que antes, se multiplican las condiciones por las funciones de
peso, fi (z); y se integra en el dominio en el que están de…nidas:
Ecuaciones en x = 0:
Z
0
¡h1
Z
µ
¶
f2 (z)dz = 0
(6.24)
jx=0
0
¡h1
Ecuaciones en x = B:
Z 0 µ
¡h3
Z
@©1 @©2
¡
@x
@x
(©1 ¡ ©2 )jx=0 f1 (z)dz = 0
@©2 @©3
¡
@x
@x
¶
f2 (z)dz = 0
(6.25)
(6.26)
jx=B
0
¡h3
(©1 ¡ ©2 )jx=B f3 (z)dz = 0
(6.27)
El sistema que resulta se puede expresar como sigue:
¡21 k1 (A0I1 ¡ A0R1 ) = ¡22 k2 (A0T 2 ¡ A0R2 )
¡11 (A0I1 + A0R1 ) = ¡21 (A0T 2 + A0R2 )
¡22 k2 (A0T 2 ¡ A0R2 ) = ¡23 k3 A0T 3
¡23 (A0T 2 + A0R2 ) = ¡33 k3 A0T 3
(6.28)
114
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Conocida la amplitud compleja del tren de ondas incidente en la región
1, el problema se reduce a la resolución de un sistema lineal de ecuaciones
en A0R1 , A0T 2 , A0R2 y A0T 3 .
Los coe…cientes
CR1 =
A0R1
A0R2
;
C
=
R2
A0I1
A0T 1
(6.29)
cuanti…can la re‡exión en producida en los cambios de profundidad localizados en x = 0 y x = B. De la misma forma,
CT 2 =
A0T 2
A0T 3
;
C
=
T3
A0I1
A0T 1
(6.30)
escalan las oscilaciones transmitidas a través de las discontinuidades. De
nuevo se tiene que los coe…cientes R1 , R2 , T2 ; T3 dependen deh1, h2, h3 y T
.
Resumen de la re‡exión en 2D
Se ha analizado el problema bidimensional de la re‡exión para cambios abruptos de profundidad. El análisis presentado puede utilizarse para estimar la
re‡exión producida por un cambio progresivo de profundidad lo que permite
por otra parte acotar las condiciones bajo las cuales la hipótesis de Rayleigh
es válida.
6.3
Asomeramiento
Cuando un tren de ondas se propaga hacia profundidades menores, además
de disminuir su celeridad de onda y, en consecuencia, su longitud de onda,
varía su amplitud a raíz de la disminución de la velocidad de propagación de
la energía. Estas dos modi…caciones se traducen en un cambio del valor del
peralte H=L, fenómeno que se conoce como asomeramiento.
De la misma manera, cuando un tren de ondas se propaga hacia profundidades mayores, se produce una variación del peralte en sentido inverso al
que se acaba de considerar, lo que se conoce como asomeramiento inverso.
Para cuanti…car la modi…cación de la amplitud y de la longitud del tren
de ondas debida al asomeramiento, es necesario resolver un problema de
contorno con fondo variable, relativamente complejo. El problema puede
abordarse de forma sencilla cuando se admite Hipótesis de Rayleigh y se
supone que la onda se adapta de forma inmediata a la profundidad, de tal
6.3. ASOMERAMIENTO
115
forma que en cada punto sus propiedades cinemáticas y dinámicas, tales como
la celeridad y la longitud de onda, son las que tendría una onda propagándose
por fondo horizontal a esa profundidad.
En general, el problema del asomeramiento se plantea admitiendo que el
proceso es bidimensional, el período de la onda es constante y el ‡ujo de
energía en la dirección de propagación del tren de ondas se conserva por no
producirse disipación por rotura o fricción con el fondo, ni aportación de
energía por viento y se aplica en aquellas situaciones en las que la hipótesis
de Rayleigh es aceptable.
6.3.1
Planteamiento del problema sin ‡ujo re‡ejado
Partiendo de estas hipótesis, las características de la onda en un punto de
profundidad h2 pueden determinarse a partir de los datos conocidos en una
profundidad h1 : Para ello se realiza un balance de energía un el volumen de
control de anchura unidad determinado por las secciones 1 y 2 que muestra
la …gura 6.5, análogo al planteamiento del resalto hidúlico.
Figura~6.5: Balance de energía en un volumen de control para el estudio del
asomeramiento en 2D
En ausencia de disipación y de aporte de energía producido, por ejemplo
116
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
por la acción del viento en la super…cie libre, el ‡ujo medio de energía2 por
unidad de anchura que atraviesa la sección 1 debe ser igual al ‡ujo medio de
energía a través de la sección 2:
F1 = F2
(6.31)
Conocida la profundidad h2 , la única variable que se desconoce es la
amplitud de la onda, puesto que el número de onda, k2 está determinado por
la ecuación de la dispersión.
Recordando que el ‡ujo medio de energía es,
1
Fi = Ei Cg;i = ½gA2i Cg;i
2
(6.32)
donde Ei es la energía espacial media y Cg;i es la celeridad de grupo a la
profundidad hi , se obtiene:
1
1
½gA21 Cg;1 = ½gA22 Cg;2
2
2
(6.33)
de donde,
A2 = A1
s
Cg;1
Cg;2
q
(6.34)
Cg;1
, se denomina coe…ciente de
La relación entre amplitudes, Ks =
Cg;2
asomeramiento. Para
p valores de ambas profundidades en aguas someras,
ki hi < ¼=10, Cg;i = ghi , luego
Ks =
µ
h2
h1
¶¡ 14
(6.35)
de la que se deduce que en estas profundidades la amplitud crece rápidamente
con el cambio de profundidad. La relación dada por la ec. (6.35) se conoce
como Ley de Green.
2
Recuérdese que el ‡ujo medio de energía, F , de…nido en el Capítulo 5 se re…ere a
la cantidad media (promediada en un ciclo de onda) de ‡ujo de energía espacial media,
E, obtenida como la energía asociada al movimiento oscilatorio en la columna de agua
promediada en una super…cie de longitud en la dirección de propagación, la longitud de
onda y anchura unitaria.
6.3. ASOMERAMIENTO
117
Variación de las variables cinemáticas con la profundidad
En la …gura 6.6 se representa la variación con la profundidad relativa, kh, de
la celeridad de la onda, c, la celeridad de grupo, Cg y la velocidad horizontal
máxima en z = 0, adimensionalizadas con el valor de la celeridad de la
onda en profundiades inde…nidas, c0 = gT
, y el coe…ciente de asomeramiento
2¼ q
relativo a profundidades inde…nidas, Ks = CCg;0
:
g
Figura~6.6: Variación de las variables cinemáticas con la profundidad
La celeridad de grupo aumenta al aumentar kh hasta kh = 1:2 y a partir
de ese punto disminuye ligeramente hasta alcanzar un valor aproximadamente
constante a partir de kh = ¼: Esta variación se re‡eja de forma inversa en el
coe…ciente de asomeramiento, Ks , por lo que el tren de ondas al propagarse
desde profundidades inde…nidas hacia profundidades menores, en principio
118
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
disminuye ligeramente su amplitud y a partir de la profundidad relativa kh =
1:2 el aumento es más rápido.
En consecuencia, la velocidad de la cresta, que al primer orden coincide con la velocidad horizontal máxima a la cota z = 0, aumenta según la
onda se propaga hacia profundidades menores, alcanzando en algún punto
de profundidad relativa kh, cuyo valor depende de la altura de la onda, el
valor de la celeridad de la onda. En dicha posición, según la conjetura de
Stokes (1880), las partículas de la cresta abandonarían el per…l super…cial
produciéndose la rotura de la onda.
Ecuación de conservación del ‡ujo de energía
Siguiendo un procedimiento análogo al seguido para la obtención de la energía
espacial media (apdo. 5.2) se puede de…nir la cantidad D¤0 de energía disipada
en una super…cie de longitud en la dirección de propagación, la longitud de
onda y anchura unitaria. D¤0 = D¤ L;siendo D¤ la cantidad de energía espacial
media dispada por unidad de super…cie.
La cantidad de energía disipada en el volumen de control de anchura
unidad de la …gura 6.5 será D¤ (x2 ¡ x1 ), por lo que el balance de energía en
dicho volumen de control es
F2 ¡ F1 = ¡D¤ (x2 ¡ x1 )
(6.36)
Para x2 ! x1 se obtiene la siguiente ecuación diferencial en x
dF (x)
= ¡D¤
dx
(6.37)
donde F (x) es la función que proporciona el ‡ujo de energía incidente a lo
largo del talud. Conocida la altura de ola en un punto dado del per…l y
adoptando un modelo para el cálculo de la disipación de energía, como p.e.
los de Battjes y Jansen (1978) o Dally et al. (1985), puede estimarse el valor
de F (x) y, en consecuencia, la evolución de la altura de ola a lo largo del
talud a partir de la ec. (6.31).
6.3.2
Planteamiento del problema con ‡ujo re‡ejado
Si en el balance de energía en el volumen de control considerado se tiene
en cuenta la re‡exión producida por el cambio de profundidad, se llega a la
siguiente ecuación
6.4. ESTUDIO TRIDIMENSIONAL DE LA REFLEXIÓN
d
[FI (x) ¡ FR (x)] = ¡D¤
dx
119
(6.38)
donde FI (x) y FR (x) son, respectivamente los ‡ujos de energía incidente
y re‡ejado. Baquerizo (1995) propone un método para la predicción de la
evolución de las alturas de ola incidente y re‡ejada que resuelve la ec. (6.32)
junto con una ecuación adicional que gobierna la variación del coe…ciente de
re‡exión a lo largo de la playa.
6.4
Estudio tridimensional de la re‡exión
En el apartado 6.2.2 se ha analizado la re‡exión producida por un obstáculo
o un cambio de profundidad uniforme a lo largo del eje y, considerando
que el tren incide normal al mismo, lo que permite realizar el estudio en dos
dimensiones. A continuación se consideran algunos casos simples de re‡exión
con incidencia oblicua para cuyo estudio es preciso obtener previamente la
expresión de un tren de ondas progresivo de amplitud compleja A0 que viaja
formando un ángulo µ con el sentido positivo del eje x (…gura 6.7).
Figura~6.7: Tren de ondas progresivo viajando con oblicuidad con respecto
al sistema de referencia
En un sistema de coordenadas (x0 ; y 0 ) con x0 en la dirección de propagación, la función potencial está dada por la ec. (4.1). Expresando x0 en
términos de las coordendas (x; y),
120
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
x0 = cos µx + sin µy
(6.39)
¡
!
y de…niendo el vector número de onda, k , como aquél cuyo módulo es el
número de onda, k, raíz de la ecuación de la dispersión, y cuya dirección y
sentido de propagación son los de la onda, de componentes
¡
!
k = (k cos µ; k sin µ)
(6.40)
el potencial puede expresarse como
n
o
!¡
igA0 cosh k(h+z) i(¡
k ¢!
x ¡¾t)
© = < ¡ ¾ cosh(kh) e
¡
! !
cosh k(h+z)
= gA
sin( k ¢ ¡
x ¡ ¾t + ')
¾ cosh(kh)
(6.41)
donde el operador ¢ denota el producto escalar entre vectores.
6.4.1
Re‡exión con incidencia oblicua
Cuando un tren de ondas incide con oblicuidad sobre un obstáculo o un
cambio de profundidad uniforme a lo largo del eje y, parte de la energía es
re‡ejada con la dirección y sentido de un vector cuyo ángulo con el sentido negativo del eje x es idéntico al ángulo de incidencia (…gura 6.8). Los
¡
! ¡
!
vectores números de onda de los trenes incidente y re‡ejado, kI , kR son
respectivamente,
¡
!
¡
!
kI = (k cos µ; k sin µ); kR = (¡k cos µ; k sin µ);
(6.42)
En estas condiciones el potencial en la región aguas arriba del obstáculo se
puede expresar como la superposición de los potenciales incidente y re‡ejado,
de amplitudes A0I y A0R , respectivamente, como sigue,
n
h
i
o
¡
! !
¡
! !
ig cosh k(h+z)
0 i kI ¢¡
x
0 ikR ¢¡
x
¡i¾t
© = < ¡ ¾ cosh(kh) AI e
+ AR e
e
h
i
¡
!
¡
! !
cosh
k(h+z)
!
= g
AI sin( kI ¢ ¡
x ¡ ¾t + ' ) + AR sin(kR ¢ ¡
x ¡ ¾t + ' )
I
¾ cosh(kh)
g cosh k(h+z)
= ¾ cosh(kh) AI sin(k cos µx + k sin µy ¡ ¾t + 'I )
k(h+z)
¡ ¾g cosh
AR sin(k cos µx ¡ k sin µy + ¾t ¡ 'R )
cosh(kh)
R
(6.43)
6.4. ESTUDIO TRIDIMENSIONAL DE LA REFLEXIÓN
121
Figura~6.8: Frentes de onda incidente y re‡ejado por un obstáculo uniforme
a lo largo del eje y, cuando la incidencia es oblicua.
Tren de ondas que incide de forma oblicua sobre una pared vertical
impermeable
Si se trata de una pared impermeable, la condición de ‡ujo nulo a través de
la pared, se cumple siempre y cuando se veri…que
A0I = A0R
(6.44)
En estas condiciones se forma una oscilación estacionaria cuya super…cie
libre es:
©
ª
´ = < 2A0I cos(kxx)ei(ky y¡¾t) = 2A0I cos(kx x) cos(ky y ¡ ¾t)
(6.45)
En las líneas cuya coordenada x vale xm
a = ¡mL=(2 cos µ), con m =
0; 1; 2; ::: la super…cie libre alcanza, en valor absoluto, los máximos valores
(antinodos) mientras que para aquéllas de…nidas por xm
n = ¡L=(4 cos µ) ¡
mL=(2 cos µ); m = 0; 1; 2; ::: no se aprecia movimiento alguno de la super…cie
libre (nodos). La distancia entre lineas antinodales es
m+1
xm
=
a ¡ xa
L
2 cos µ
(6.46)
122
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
situándose la primera de ellas en la pared, x = 0. La primera línea nodal se
encuentra a L=(4 cos µ) de la pared, y las sucesivas a distancias
m+1
xm
=
n ¡ xn
L
2 cos µ
(6.47)
de la anterior.
Si la pared no es totalmente impermeable, parte de la energía se transmite
a través de la pared y la oscilación resultante aguas arriba del obstáculo es
parcialmente estacionaria.
Propagación de un tren de ondas por un cambio brusco de profundidad con oblicuidad
En este caso, la diferencia de profundidad produce, además de la re‡exión
parcial o total de la energía, un cambio en la dirección de propagación. Para
la resolución de este problema pueden considerarse dos regiones situadas a
ambos lados de la discontinuidad. Mientras en la primera, el potencial de
la onda parcialmente estacionaria, está dado por la expresión (6.36) donde
µ = µ1 es el ángulo de incidencia, el potencial transmitido a la segunda región
corresponde a una onda de amplitud A0T , propagándose en una dirección cuyo
ángulo con el sentido positivo del eje x es µ = µ2 (…gura 6.9).
Para un elemento diferencial de la columna de agua centrada en el límite
entre las dos regiones, x = 0, la presión y la velocidad horizontal son únicas,
por lo que sus expresiones calculadas a partir de los potenciales ©1 y ©2
deben coincidir. Se tiene por tanto,
¾
©1 = ©2
x=0
en
(6.48)
@©1
@©2
¡h2 < z < 0
=
@x
@x
Además, a través de la pared vertical del escalón no puede haber ‡ujo,
por lo que debe ser:
@©1
= 0 en x = 0; ¡h1 < z < ¡h2
(6.49)
@x
Conocida la amplitud compleja y la dirección de propagación del tren
incidente, AI y µI , las incógnitas son, además de las amplitudes complejas
de los trenes re‡ejado y transmitido en x = 0, el ángulo de propagación en
la región 2, µ2 .
Para que el movimiento de las partículas en el límite entre las dos regiones
sea posible, es necesario que los números de onda según la dirección y en
x = 0, ky;1 y ky;2 sean iguales:
k1 sin µ 1 = k2 sin µ 2
(6.50)
6.4. ESTUDIO TRIDIMENSIONAL DE LA REFLEXIÓN
123
Figura~6.9: Con…guración del problema de una onda progresiva propagándose por un cambio brusco de profundidad con oblicuidad
La ecuación (6.43) da la relación entre los ángulos dependiendo del periodo y
de las diferentes profundidades. Para la obtención de las incógnitas restantes
se procede de manera análoga a como se hizo en el caso de incidencia normal,
multiplicando las condiciones de acuerdo por las funciones fi (z) e integrando
el resultado en el dominio en el que están de…nidas.
Cuando el cambio de profundidad es h2 > h1 , cabe la posibilidad de que
los valores de k1 , k2 y µ1 sean tales que
¯
¯
¯ k1
¯
¯ sin µ1 ¯ > 1
¯ k2
¯
(6.51)
en cuyo caso, la ec.(6.43) no tiene solución real en µ2 . En estas condiciones
la onda no se propaga a la región de mayor profundidad y toda la oscilación
queda con…nada en la región 1. Se dice entonces que la onda está atrapada
en esa región.
Aplicación al caso de un canal de navegación
De forma similar puede estudiarse la propagación de una onda incidiendo
con oblicuidad por un canal de navegación (…gura 6.10). Para ello es preciso
124
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
dividir el dominio en tres regiones y expresar en cada una de ellas el potencial
resultante de la superposición de los trenes incidente/transmitido y re‡ejado
en su caso, por los cambios de profundidad. En este caso se produce un doble
cambio de la dirección de propagación, dado por:
k1 sin µ 1 = k2 sin µ 2 = k3 sin µ 3
(6.52)
Como se ha comentado para un único cambio de profundidad, puede darse
la situación en la que la onda queda atrapada en la región 1 sin propagarse
a través del canal a la tercera región.
En el caso de un dique sumergido, existe la posibilidad de que el atrapamiento ocurra sobre el dique que actuaría como una barrera integral para
dicha oscilación.
Ejercicio Resuelve el problema de la propagación de una onda lineal sobre
un dique sumergido y estudia las condiciones bajo las cuales puede ocurrir el
atrapamiento
6.5
6.5.1
Refracción
Refracción con cambio de pendiente gradual
Como se ha visto anteriormente, un cambio de profundidad brusco produce
una variación en la dirección de propagación cuando el tren de ondas incide
con oblicuidad con respecto a la línea perpendicular a la que de…ne la discontinuidad. De igual manera, admitiendo la validez de la hipótesis de Rayleigh,
cuando un tren de ondas se propaga por una batimetría que cambia gradualmente, los puntos de la línea que de…ne el frente de ondas se encuentran a
diferentes profundidades. Puesto que la velocidad de propagación es mayor
a mayor profundidad, aquéllos segmentos del frente donde es mayor el calado, viajan más deprisa que los situados en profundidades menores. Como
resultado, los frentes tienden a situarse paralelos a las líneas batimétricas.
Suponiendo que cada punto del frente viaja en cada instante en la dirección perpendicular al frente y lo hace a la celeridad que le corresponde por
la profundidad a la que está, pueden trazarse las líneas tangentes a la dirección de propagación de la onda en cada punto, llamadas ortogonales, que, en
ausencia de un campo de corrientes, coinciden con las líneas paralelas a la
dirección de propagación de la energía, denominadas rayos. Esta hipótesis
signi…ca que cada rayo se comporta de forma independiente y además la onda
se adecúa instantáneamente a la profundidad a la que está.
6.5. REFRACCIÓN
125
Figura~6.10: Con…guración del problema de una onda progresiva propagándose por una zanja con oblicuidad
126
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Como muestra la …gura 6.11. para un frente de ondas rectilíneo en profundidades inde…nidas, por efecto de la batimetría, las líneas ortogonales pueden
converger o diverger.
Figura~6.11: Convergencia y divergencia de las líneas ortogonales
Si se admite que no se produce transmisión de energía a través de las
super…cies de…nidas por las ortogonales, y que la variación transversal a la
dirección de propagación de la altura de ola entre ortogonales es despreciable,
un balance de energía realizado entre dos frentes de onda y dos líneas ortogonales revela que la convergencia de ortogonales concentra energía (altura de
ola), mientras que la divergencia lleva asociada una disminución de la altura
de ola. Esta teoría que explica el fenómeno de la refracción, se conoce como
Teoría del Rayo y su estudio se basa en la irrotacionalidad del vector número
de onda. En el apartado 6.5.2 se comentan las limitaciones de la teoría del
rayo.
El análisis que se realiza a continuación no contempla la posibilidad de
un campo de corrientes subyacente, cuya in‡uencia en el número de onda y,
por ende, en los patrones de refracción, puede ser signi…cativa y comparable
al efecto de la profundidad.
Variación de la dirección de propagación para una batimetría irregular
Se considera una batimetría que varía suavemente de forma que la re‡exión
producida por el cambio de profundidad es despreciable. Admitiendo la
validez de la Hipótesis de Rayleigh, la función potencial y la elevación de la
super…cie libre de un tren de ondas propagándose por dicha batimetría, puede
expresarse localmente en la posición (x; y) en un sistema de coordenadas
cartesiano, como:
6.5. REFRACCIÓN
127
n
o
cosh k(h+z)
igA cosh k(h+z) iª(x;y;t)
© = < ¡ ¾ cosh(kh) e
= gA
sin ª(x; y; t)
¾ cosh(kh)
© iª(x;y;t) ª
´ = < Ae
= A cos ª(x; y; t)
(6.53)
donde la fase del movimiento, ª(x; y; t); está dada por:
¡
! !
ª(x; y; t) = k ¢ ¡
x ¡ ¾t = k cos µx + k sin µy ¡ ¾t
(6.54)
¡
! ¡¡¡¡!
Es fácil comprobar que el vector número de onda, k = k(x; y) , puede
expresarse como el gradiente de la fase:
¡
!
k = (kx ; ky ) = (k cos µ; k sin µ) = rª =
µ
@ª @ª
;
@x @y
¶
(6.55)
¡
!
Aplicando a k el operador rotacional, puesto que el rotacional de un
gradiente es siempre nulo, se obtiene la siguiente relación que permite conocer
cómo varía la dirección del tren de ondas durante su propagación:
@
@
(k sin µ) ¡
(k cos µ) = 0
@x
@y
(6.56)
Refracción sobre batimetría recta y paralela
Para batimetría recta y paralela, la derivada parcial con respecto a y se anula
en la ec.(6.49) y queda únicamente:
@
(k sin µ) = 0 , k sin µ = constante
@x
(6.57)
lo que permite relacionar entre si los valores de ky a diferentes profundidades
h1 y h2 :
k1 sin µ1 = k2 sin µ2
(6.58)
Obsérvese que la expresión (6.58) coincide con la que se ha obtenido en
el apartado 6.4.1 para un cambio de profundidad brusco.
Diviendo por ¾ ambos miembros de la igualdad, se tiene:
sin µ1
sin µ2
=
c1
c2
(6.59)
128
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
expresión que se conoce como Ley de Snell. En particular, para c2 = co y
µ2 = µ0 se tiene,
sin µ 1
sin µ0
=
c1
c0
(6.60)
que permite conocer la variación del ángulo de propagación a cualquier profundidad conocidos los valores en aguas profundas, co y µ0 .
Para estudiar el cambio de altura de ola producido por la refracción, se
realiza un balance de energía en un volumen de control determinado por dos
frentes de onda y dos rayos (…gura 6.12).
Figura~6.12: Balance de energía para el estudio de la refracción en batimetría
recta y paralela
Admitiendo que no hay ‡ujo de energía a través de las super…cies de…nidas
por las líneas ortogonales, si se supone asimismo que no hay pérdidas ni
aportes de energía, el ‡ujo de energía a través de la sección 1, de anchura b1
es igual al ‡ujo de energía a través de la sección 2, de anchura b2 :
1
1
½gA21 Cg;1 b1 = ½gA22 Cg;2 b2
2
2
(6.61)
6.5. REFRACCIÓN
129
de donde se obtiene que
A2 = A1
µ
Cg;1
Cg;2
¶ 12 µ
b1
b2
¶ 12
= A1 Ks KR
(6.62)
³ ´ 12
donde KR = bb12 y, recordando la de…ción del coe…ciente de asomeramiento,
³
´1
Cg;1 2
Ks = C
.
g;2
Por ser la batimetría recta y paralela, el rayo B resulta de trasladar en
la dirección y el rayo A una distancia, d
d=
b1
b2
=
cos µ1
cos µ2
(6.63)
por lo que
KR =
µ
cos µ1
cos µ2
¶ 12
(6.64)
La ec. (6.57) re‡eja que cuando la onda se propaga a una profundidad
diferente con oblicuidad además del cambio de altura de ola dado por el
coe…ciente de asomeramiento, Ks , se produce un cambio de altura de ola
debido al cambio de dirección de propagación, dado por KR .
6.5.2
Limitaciones de la teoría del rayo
Si bien la teoría del rayo permite explicar de forma intuitiva el fenómeno de
la refracción, su validez presenta dos limitaciones importantes.
En primer lugar, cada punto del frente no viaja de forma aislada con la
celeridad que le corresponde por la profundidad a la que está, sino que está
afectado por la batimetría local en un entorno del punto. En general, para
que un cambio en la profundidad afecte a la propagación de la onda, debe
tener una dimensión característica D > 0:2L, siendo L la longitud de onda.
Basándose en esta propiedad, Iribarren (1938) propone elaborar los llamados
planos de oleaje calculando para cada punto, una celeridad correspondiente
a la profundidad promediada con las de las esquinas de un cuadrilátero de
lado L=4 orientado en el sentido de propagación local de la onda.
Además, dependiendo de la con…guración de la batimetría, la teoría del
rayo puede predecir alturas de ola muy grandes llegando incluso a dar valores
130
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
in…nitos en aquéllos puntos en los que dos rayos convergen. Puesto que en
estas condiciones no se veri…ca, en general, que la onda sea de pequeña amplitud, la teoría lineal deja de ser válida y la oscilaación debe describirse con
una teoría para ondas de amplitud …nita que tenga en cuenta la no linealidad
de la onda. Por otra parte, pueden darse gradientes de altura de ola acusados
en la dirección perpendicular a la de propagación. Existen dos mecanismos
naturales para compensar estos gradientes longitudinales de altura de ola.
Por una parte la rotura de la onda, y por otra, la cesión lateral de energía en
la dirección perpendicular a la de propagación, fenómeno llamado difracción
que se se estudiará en el apartado 6.6, que pone de mani…esto la invalidez de
la hipótesis de la conservación de energía entre ortogonales.
6.6
Difracción
En el estudio de las transformaciones del tren de ondas realizado en los
apartados anteriores se ha supuesto implícitamente que las variaciones de la
altura de ola en la dirección de la cresta son pequeñas y mucho menores que
las variaciones en la dirección de propagación. En un sistema de coordenadas
locales (s; n) con s orientado el la dirección tangente a la cresta y n en la
dirección de propagación, la hipótesis se concreta en,
@H
@H
¿
@s
@n
(6.65)
En ingeniería marítima hay situaciones en las que interesa analizar el
caso en el que la variación de la altura a lo largo de la cresta es, al menos,
tan importante como la que tiene lugar en el el sentido de propagación. El
fenómeno relacionado con la variación de la altura de ola a lo largo de la
cresta se denomina difracción.
Difracción producida por un obstáculo. Cuando un tren de ondas encuentra en su propagación una pared o un cambio brusco de profundidad,
parte de la energía incidente es re‡ejada o irradiada en una dirección determinada. De forma más general puede estudiarse la irradiación o dispersión de
energía por un obstáculo de dimensión …nita o semi-in…nita cuando un tren
de ondas incide sobre él, debido a la difracción producida por un obstáculo.
En el caso de la pared vertical in…nitamente larga, la re‡exión proviene de
la imposición de una condición de contorno cinemática en la pared ilimitada,
p.e. la de ‡ujo nulo si la pared es impermeable. Cuando el obstáculo es …nito
o semi-in…nito, las mismas condiciones de contorno impuestas en las paredes
6.6. DIFRACCIÓN
131
del obstáculo, dan lugar a soluciones que incluyen ondas radiales3 y que, por
tanto, irradian energía en varias direcciones. Por esta razón, la re‡exión, tal
y como se ha estudiado en el apdo. 6.4, puede considerarse un caso particular
de difracción. En la literatura anglosajona, ambos fenómenos se engloban en
el fenómeno denominado scattering cuya traducción al español es dispersión.
En general puede considerarse que la condición impuesta sobre un segmento rectilíneo del contorno produce re‡exión, mientras que la condición en
puntos como cambios de alineación, o extremos del dique, producen soluciones radiales.
Algunos ejemplos de obstáculos de dimension …nita o semi-in…nita son un
cilindro vertical impermeable (p.e. un pilote), que irradia o difracta energía
en todas las direcciones o un dique vertical semiin…nito y delgado, en el que
además de la re‡exión, se produce difracción en el extremo de la estructura.
La causa de este tipo de soluciones puede encontrarse, como se verá más
adelante haciendo uso del principio de Huygens, en el hecho de que una parte
del frente de ondas que incide sobre el obstáculo queda ’descubierta’ mientras
que en las regiones adyacentes debe veri…car la condición de contorno, lo que
crea a sotamar del obstáculo un gradiente de altura de ola a lo largo de
la cresta que se compensa con la cesión lateral de energía en la dirección
perpendicular a la de propagación.
Difracción producida durante la refracción. En el apdo. 6.5 se ha
visto que durante el proceso de refracción puede producirse concentración y
divergencia de energía en zonas especí…cas. Cuando el gradiente de altura de
ola a lo largo de la cresta entre regiones contiguas es muy acusado, parte de
la energía contenida entre las super…cies de…nidas por las líneas ortogonales
se trans…ere lateralmente a través de las mismas. Este fenómeno, cuyo origen
es asimismo un gradiente de altura de ola en la dirección de la cresta, se considera también un proceso de difracción. Este es el caso de un cambio brusco
en el fondo, por la presencia de un bajo, una zona de menor profundidad o
un obstáculo sumergido.
Otra de las situaciones en la que se produce difracción se tiene cuando la
disipación de energía, debida p.e. a la rotura no uniforme a lo largo del
frente de ondas, provoca diferencias de altura de ola que tratan de equilibrarse
mediante la cesión lateral de energía.
En primer lugar, a modo de ejemplo, se plantea el problema de la difracción
producida por un cilindro vertical impermeable. A continuación se enuncia
el Principio de Huygens que permite explicar de forma intuitiva el fenómeno
3
Este tipo de ondas son las que se obtienen p.e. cuando una piedra impacta sobre la
super…cie del agua o por el efecto de un terremoto con epicentro en el mar.
132
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
de la difracción, y se comentan de forma cualitativa algunos casos de difracción de importancia en ingeniería marítima, como son la difracción por un
obstáculo emergido, en la bocana de un puerto o por un dique exento. Se
plantean, después, de forma teórica los casos particulares de una onda incidiendo sobre un obstáculo cilíndrico, sobre un dique semi-in…nito vertical
impermeable, y, …nalmente, se aborda el problema de la difracción producida
durante la refracción.
6.6.1
Difracción por un cilindro vertical impermeable
El problema de la difracción producida por un cilindro vertical impermeable
de radio a (…gura 6.13) fué obtenido por McCamy y Fuchs (1954), quienes
aplicaron la teoría conocida para ondas acústicas y electromagnéticas al caso
de ondas en el agua.
Figura~6.13: Difracción por un cilindro vertical impermeable
Su solución, obtenida para profundidad constante, está dada en terminos de la funcion potencial y superpone linealmente el potencial de la onda
incidente, ©I , y el de la onda irradiada por la estructura, ©D .
6.6. DIFRACCIÓN
133
En coordenadas cilíndricas (r; µ; z), ©D es una función cuya dependencia
en z es idéntica a la de la onda incidente y que se expresa como una serie
trigonométrica en µ cuyos coe…cientes, dados en términos de las funciones de
Bessel, Jn e Yn , dependen de la coordenada r, esto es, de la distancia al eje
de la estructura:
1
ig cosh(k(h + z)) ¡i¾t X
©D = ¡
e
An [Jn (kr) + iYn (kr)] cos(nµ)
¾
cosh(kh)
n=0
(6.66)
Los coe…cientes An se obtienen al imponer al potencial total, ©; la condición de ‡ujo nulo a través de las paredes del cilindro, r = a:
An = ¡2in
Jn0 (ka)
Jn0 (ka) + iYn0 (ka)
(6.67)
Condición de radiación en el in…nito
(1)
El comportamiento de la funcion de Hankel de primera especie, Hn = Jn +
iYn para valores grandes del argumento es
Hn(1) (»)
»
r
2 i» ¡i( ¼4 + n¼
2 )
e e
¼»
(6.68)
por lo que, lejos del cilindro, la onda difractada se comporta en las variables
r y t como:
©D »
r
2 i(kr¡¾t)
e
¼kr
(6.69)
La ec. (6.69) representa una onda que se propaga radialmente desde las
paredes del cilindro y cuya amplitud se amortigua en el in…nito como se
observa en la …gura 6.14. Este comportamiento está garantizado por el hecho
de que el potencial ©D cumple la condición de radiación en el in…nito 4 ,
p
lim r
r!1
µ
@©D
¡ ik©D
@r
¶
=0
(6.70)
El pilote se comporta por tanto, como un foco emisor de ondas radiales.
4
El origen de la expresión (6.70) se comenta en el Anejo I.
134
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Dimensión relativa del obstáculo
En la …gura 6.14 se representa la super…cie libre de las ondas incidente,
difractada y total para cilindros de radios a) 2L y b) L=2. Comparando
los resultados para los dos radios considerados, se observa que la presencia
del cilindro de mayor tamaño produce una modi…cación signi…cativa de la
propagación a sotamar del cilindro con respecto al caso D = L=2: En terminos
generales, tanto en el caso de obstáculos emergidos como sumergidos, las
dimensiones del obstáculo o estructura in‡uyen en el grado de difracción que
sufre la onda. Se puede considerar que para la relación D=L < 0:15 siendo
D la mayor dimensión del obstáculo en planta y L la longitud de onda del
tren incidente, la presencia del obstáculo no modi…ca de forma signi…cativa
el patrón de propagación del tren de ondas incidente, es decir, la onda no
’percibe’ la presencia del pilote.
Figura~6.14: Estructura de la onda incidente, difractada y total por un
cilindro de radio 2L (parte superior) y L=2 (parte inferior)
6.6.2
Principio de Huygens
Tal y como se ha visto en el apdo 6.6.1, el efecto de la interacción de la
onda incidente con la estructura es la transformación de parte de la energía
6.6. DIFRACCIÓN
135
incidente en energía que se ’dispersa’ (scatters) en forma de onda radial. De
forma intuitiva, este fenómeno puede comprenderse más fácilmente con la
ayuda del principio de Huygengs que supone que cada punto del frente de
onda puede considerarse un manantial de pequeñas ondas secundarias que
se propagan en todas direcciones con la misma velocidad de propagación que
aquél. El nuevo frente de onda se puede obtener trazando la envolvente de
las ondas secundarias (…gura 6.15 ).
El principio de Huygens, enunciado inicialmente para ondas electromagnéticas, proporciona, por tanto, un método geométrico para hallar, a partir
de la forma conocida del frente de onda en cierto instante, la forma que
adoptará en otro instante posterior.
Figura~6.15: Principio de Huygens
Debe resaltarse que el Principio de Huygens siempre tiene lugar en la
propagación de una onda, pero sólo cuando se intercepta una parte del frente
mediante un obstáculo, se observa el fenómeno de la difracción.
El hecho de que cualquier punto de un frente pueda considerarse un manantial de ondas secundarias, se demuestra experimentalmente generando en
un tanque de oleaje, un tren de ondas lineal rectilíneo que incide sobre un
obstáculo con una pequeña abertura. Cuando los frentes alcanzan el obstáculo, se propagan a través del ella como una onda radial, como se aprecia
en la …gura 6.16, a un lado y otro del ori…cio.
6.6.3
Difracción debida a un obstáculo emergido
A continuación se presenta de forma general el proceso de difracción por
un obstáculo emergido. Se considera primero la difracción producida en el
extremo de un obstáculo semiin…nito, que puede representar p.e. el efecto de
un cabo o un dique. Después se analiza el caso de la difracción producida por
una bocana y por un dique exento donde intervienen los efectos producidos
en los dos extremos.
Para evitar que la propagación de la onda esté afectada por los procesos
de asomeramiento y refracción en la región adyacente al obstáculo, se supone
136
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Figura~6.16: Esquema del ensayo con ondas en el agua que ilustra el Principio de Huygens
6.6. DIFRACCIÓN
137
que éste se situa en una zona de profundidad constante.
Difracción debida a un obstáculo emergido semiin…nito
Un obstáculo semiin…nito sobre el que incide un tren de ondas lineal (…gura
6.17) crea una zona al abrigo de la oscilación llamada zona de sombra. Los
frentes de onda se mantienen rectos y paralelos hasta que alcanzan el obstáculo, momento en el que se inicia el proceso de difracción que provoca la
curvatura de los frentes y la entrada de energía a la zona de sombra.
La línea de sombra o línea de difracción es aquélla que parte del extremo
del obstáculo y se mantiene perpendicular a los frentes de onda en la dirección
y sentido de avance de los mismos (es decir, es un rayo tal y como se ha
estudiado en el apartado 6.5). Limita, por tanto, la zona de sombra de la
región expuesta y a partir de ella comienzan a curvarse los frentes en la región
abrigada. Se caracteriza porque a lo largo de ella la altura de ola es del orden
de la mitad de la altura de ola incidente.
La línea de alimentación es aquélla a partir de la cual comienza a apreciarse en los frentes de onda la cesión lateral de energía, ya que el gradiente
de amplitudes en la dirección de la cresta empieza a ser distinto de cero.
La zona limitada por la línea de alimentación y la de difracción se conoce
como zona de alimentación puesto que la energía de la zona de sombra se
’alimenta’ a costa de la energía en esta región.
La …gura 6.17 muestra también la distribución de alturas de ola a lo largo
del frente ABCD. En la línea AB, la altura de ola es constante, igual a la
del tren incidente, puesto que está en una zona no afectada por la difracción.
En la línea BC, el gradiente de amplitudes es distinto de cero, ya que ha
cedido parte de su energía a la zona de sombra y se tienen amplitudes de
onda en el rango 0:85AI < A < 1:15AI , siendo AI la altura de ola incidente.
Se observa asimismo una oscilación de la altura de ola debido a que el punto
en el que se inicia la difracción se comporta como un foco emisor de ondas.
Finalmente, la línea CD situada en la zona abrigada por el obstáculo, tiene
alturas de ola que disminuyen desde el valor que toma en el punto C, común
a la zona de alimentación, hasta el que toma en el punto D, situado en la
zona de sombra, y, por tanto, el gradiente de amplitudes es distinto de cero.
El coe…ciente de difracción, Kd; se de…ne como el cociente entre las amplitudes de las ondas difractada, Ad e incidente AI ,
Kd =
Ad
jÁ(r; µ)j
=
AI
AI
(6.71)
Si el obstáculo re‡eja parte de la energía, se apreciará, además de la onda
re‡ejada, la difracción que ésta experimenta como se observa en la …gura 6.17
138
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
(línea gris).
Figura~6.17: Difracción debida a un obstáculo emergido
Difracción debida a una bocana formada por dos diques semiin…nitos con la misma alineación
Una bocana es el acceso que usan las embarcaciones para entrar o salir de
un puerto. Su diseño debe garantizar, por una parte, que exista anchura
su…ciente como para que los barcos entren y salgan del puerto con seguridad,
y por otra, que la agitación en el interior de la dársena sea admisible, lo que
se consigue con bocanas estrechas. Es, por tanto, labor del ingeniero llegar al
dimensionamiento óptimo que permita el correcto funcionamiento del puerto
y la operatividad dentro del mismo.
Para analizar de forma simpli…cada este problema, se va a suponer que
los diques que conforman la bocana son semiin…nitos y están enfrentados
con la misma alineación y que, como se ha comentado, el fondo es horizontal.
Esta suposición no se aleja demasiado de la realidad puesto que las dársenas
suelen estar dragadas a una profundidad constante.
6.6. DIFRACCIÓN
139
Difracción por bocanas relativamente grandes Para bocanas de anchura relativa con valores en el rango B > 0:5L, la difracción se produce
en los extremos de ambos diques y los dos trenes difractados no inter…rieren
entre sí (…gura 6.18). En este caso, las líneas que delimitan las zonas de alimentación de los dos extremos del dique se cruzan a una distancia del orden
de B=2 del centro de la bocana. Se pueden distinguir, por tanto, cuatro zonas
a sotamar del dique. La zona limitada aproximadamente por la bocana y las
líneas de alimentación, en la cual la cesión de energía no es signi…cativa. Las
regiones situadas a ambos lados de las lineas de alimentación, a una distancia
menor que B=2 de la alineación del dique, en las que únicamente se aprecia la
difracción producida por uno de los diques. Finalmente, los puntos situados
a una distancia mayor que B=2 de la alineación del dique, están afectados
por la difracción producida en ambos extremos.
Es importante señalar que la bocana es la zona de mayor agitación, con
alturas de ola superiores a la altura de ola incidente, puesto que en ella
con‡uyen el tren incidente, los frentes del tren incidente difractado y, en el
caso de diques re‡ejantes, el tren re‡ejado y su difractado.
Por otra parte, según las ondas se propagan hacia el interior del puerto,
los frentes difractados tienden a ser cada vez más curvos hasta formar semicircunferencias casi perfectas y centradas en el punto medio de la bocana,
con alturas de ola cada vez menores.
Figura~6.18: Difracción por una bocana relativamente grande
Difracción por bocanas relativamente pequeñas Para bocanas pequeñas en relación con la longitud de onda, B=L < 1=2el centro de la bocana
se comporta como un foco emisor de ondas radiales (…gura 6.19). Para estimar la amplitud del frente difractado (casi semicircular), situado a una
140
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
distancia R del centro de la bocana, se puede realizar un balance de energía
en el volumen de control determinado por el frente difractado y el frente
incidente en la bocana como muestra la …gura 6.19.
Figura~6.19: Difracción por una bocana relativamente pequeña
Suponiendo que no hay aportes ni disipación de energía, el ‡ujo de energía
a través de la bocana, FI , deberá ser igual al ‡ujo de energía a través del
semicírculo de radio R con centro en la bocana, Fd , luego, a una distancia
de la misma, supuesto que a lo largo de la cresta del tren difractado se tiene
una amplitud media Ad , será
1
1
2
½gA2I Cg B = ½gAd Cg ¼R
2
2
(6.72)
donde AI es la amplitud del tren incidente. De la ec. (6.72) se obtiene:
Ad » AI
r
B
R
(6.73)
Es decir, el coe…ciente de difracción, Kd = AR =AI , es directamente proporcional a la raíz cuadrada del cociente B=R.
Con carácter general, la agitación en un punto interior del puerto dada por
el coe…ciente de difraccion, Kd , depende de los valores de B=L y de R=L:
Esto es,
6.6. DIFRACCIÓN
141
Kd = Kd
µ
B R
;
L L
¶
(6.74)
Cuanto mayor sea B=L, mayor será la agitación dentro del puerto. Por
esta razón el control de la agitación puede hacerse mediante la reducción de
la anchura de la bocana. Esta solución, sin embargo, puede provocar que el
acceso al puerto resulte di…cultoso e inseguro
En relación con R=L, se tiene que la agitación es menor cuanto más
alejado se encuentra el punto del centro de la bocana. Por eso, en general,
las dársenas construidas en el Mar Cantábrico, son de mayores dimensiones
que las construidas en el Mediterráneo, donde el periodo del oleaje varía en
un rango cuya cota superior (alrededor de 10 segundos) es menor que la del
Cantábrico (entorno a 20 segundos).
La paradoja del Puerto La masa de agua de una dársena puede oscilar
de forma signi…cativa al ser forzada por un agente exterior cuya frecuencia
de oscilación coincida con alguna de las frecuencias de los modos propios de
oscilación de la dársena. El agente exterior puede ser, entre otros, un cambio
de presión atmosférica, un cambio repentino del viento, un seísmo o una onda
larga vinculada a la agrupación del oleaje.
La ocurrencia de este tipo de oscilaciones de largo periodo en la dársena
es un factor que limita la operatividad del puerto y puede llegar a ser incluso
más importante que la agitación en el interior debida al oleaje.
Miles y Munk (1961) estudiaron los fenómenos de ampli…cación de ondas
de largo periodo en dársenas rectangulares de profundidad constante teniendo
en cuenta los factores que pueden producir la atenuación de la oscilación,
como son la disipación (1) por fricción en el fondo, (2) por ‡ujo turbulento a
través del estrechamiento de la entrada a la dársena y (3) por la irradiación
de energía hacia el exterior, a través de la bocana que se comporta como una
pala generadora que extrae energía. Encontraron que este último mecanismo
resulta de enorme importancia en la reducción de la amplitud de la oscilación
resonante, lo que les hace plantear la llamada Paradoja del Puerto:
”Admitiendo que el factor que limita la operatividad de un puerto es la
ocurrencia de oscilaciones de largo periodo forzadas a través de la bocana,
en determindas circunstancias, una reducción de la anchura de la bocana
no signi…ca como cabría esperar, una reducción de la oscilación sino una
ampli…cación de la misma, ya que la dársena irradia menos energía”.
Estos tres aspectos relativos a seguridad, agitación y oscilaciones de largo
periodo se consideran dentro de lo que se entiende como el problema portuario.
142
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Difracción debida a un dique exento
Para un dique exento sobre el que incide un tren de ondas monocromático
(…gura 6.20), la difracción se produce en los dos extremos del dique, por lo
que los frentes resultantes se cruzan en la zona de sotamar.
Las lineas de difracción parten de los extremos perpendiculares a la alineación del dique, delimitando la zona de sombra creada por el obstáculo.
A 45o aproximadamente, se encuentran las líneas de alimentación que, junto
con las de difracción, limitan dos regiones situadas a ambos lados del obstáculo en las que la cesión lateral de energía produce gradientes de altura
de ola en la dirección de la cresta. Cualquier estructura marítima aislada o
islote produciría patrones de difracción similares.
Figura~6.20: Difracción debida a un dique exento
6.6.4
Difracción debida a un obstáculo cilíndrico
La solución dada por McCamy y Fuchs (1954), presentada en el apdo. 6.6.1.
es un caso particular de la solución del problema que se presenta a continuación, de la difracción por un obstáculo cilíndrico cuando un tren de ondas
lineal incide sobre él (…gura 6.21).
Para evitar que en el planteamiento teórico aparezcan otros fenómenos de
transformación del oleaje debidos a variaciones del fondo, como la rotura, la
refracción o el asomeramiento, se admite que la profundidad, h, es constante.
El potencial total, ©; resulta de superponer linealmente el potencial de
la onda incidente, ©I y el de la onda irradiada, ©D ,
© = ©I + ©D
(6.75)
6.6. DIFRACCIÓN
143
Figura~6.21: Difracción por un objeto cilíndrico
© deberá veri…car la ecuación de Laplace,
r2 © = 0
(6.76)
@©
= 0 en z = ¡h
@z
(6.77)
y las condiciones de contorno:
- cinemática en el fondo:
- combinada en la super…cie libre:
g
@© @ 2 ©
+ 2 = 0 en z = 0
@z
@z
(6.78)
Además, en la frontera del obstáculo deberán imponerse las condiciones de
contorno correspondientes.
144
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Método de resolución
En un sistema de coordenadas cilíndricas, (r; z; µ), separando la variable z,
la solución puede expresarse como:
©(z; r; µ; t) = ¡
ig
f (z)Á(r; µ)e¡i¾t
¾
(6.79)
donde Á es solución de la ecuación de Helmholtz en coordenadas polares:
r2
@ 2Á
@Á @ 2 Á
+
r
+ 2 + k2r2 Á = 0
2
@r
@r
@µ
(6.80)
La dependencia en z, se obtiene de la misma forma que en la sección 3.5.1
f (z) =
cosh k(h + z)
cosh kh
(6.81)
donde k es el número de onda que satisface la ecuación de la dispersión.
La ecuación (6.80) se resuelve por separación de variables, buscando soluciones de la forma
Á(r; µ) = ¡(r)-(µ)
(6.82)
Sustituyendo (6.82) en (6.80) y dividiendo por Á(r; µ), se llega a una
ecuación en la que los términos a ambos lados de la igualdad dependen, uno
exclusivamente de r, mientras que el otro lo hace de la variable µ, por lo que
la única posibilidad es que se trate de funciones idénticamente constantes e
iguales a un valor n2 .
r 2 d2 ¡
r d¡
1 d2 2 2
= n2
+
+
k
r
=
¡
¡(r) dr2
¡(r) dr
-(µ) dµ2
(6.83)
De esta forma, se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias en r y
en µ:
r2 ¡00 + r¡0 + (k 2 r2 ¡ n2 )¡ = 0
(6.84)
-00 + n2 - = 0
(6.85)
6.6. DIFRACCIÓN
145
Solución general del problema en µ
Las raíces del polinomio característico de la ecuación (6.85) son:
p
x = § n2
(6.86)
Buscando soluciones periódicas en µ, se llega a la conclusión de que n debe
ser un número entero y la solución general que se obtiene es combinación
lineal de las funciones cos nµ y sin nµ.
Solución general del problema en r
Haciendo un cambio de variable » = kr; la ecuación (6.84) se transforma
en la ecuación de Bessel, cuya solución general es combinación lineal de las
funciones de Bessel de primera y segunda especie, de orden n, Jn (») e Yn(»),
¡n (r) = an Jn (kr) + bn Yn (kr)
(6.87)
donde an y bn son constantes arbitrarias.
(1)
(2)
En términos de las funciones de Hankel, Hn y Hn , dadas por
Hn(1) = Jn(kr) + iYn (kr)
(2)
Hn = Jn(kr) ¡ iYn (kr)
(6.88)
el potencial total puede escribirse como
©=¡
1
X
¡
¢
ig
f (z)e¡i¾t
An Hn(1) (kr) + Bn Hn(2) (Cn cos nµ + Dn sin nµ)
¾
n=0
(6.89)
siendo Cn y Dn constantes arbitrarias y An = 12 (an ¡ ibn ) y Bn = 12 (an + ibn ).
Por otra parte, el potencial incidente puede desarrollase en serie trigonométrica como sigue:
©I = ¡ ig¾ cosh(k(h+z))
e¡i¾t
cosh(kh)
¡ ig¾ cosh(k(h+z))
e¡i¾t
cosh(kh)
1
P
"n Jn (kr) cos nµ
³
´
1
P
(1)
(2)
"n
Hmn (kr) + Hm (kr) cos nµ
2
n=0
n=0
(6.90)
146
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
con
"n =
½
1
n=0
n
2i n > 0
(6.91)
Según (6.89) y (6.90), la estructura del potencial irradiado está dada por
la expresión
donde
1
X
ig
¡i¾t
©D = ¡ f (z)e
± n (kr) (Cn cos nµ + Dn sin nµ)
¾
n=0
(6.92)
³
³
"n ´ (1)
"n ´ (2)
± n (kr) = An ¡
Hn (kr) + Bn ¡
Hn (kr)
(6.93)
2
2
Por otra parte, el potencial irradiado, ©D , deberá veri…car la condición
de radiación en el in…nito:
µ
¶
p @©D
¡ ik©D = 0
(6.94)
lim r
y!0¡
@r
Mediante la ec. (6.94) se expresa el hecho físico de que las ondas radiales
producidas durante la difracción se propagan hacia el in…nito y se amortiguan
durante su propagación (veáse Anejo I).
(1)
(2)
Teniendo en cuenta que Hn y Hn pueden escribirse de la siguiente
manera
(1)
Hn (») =
Hn(2) (») =
q
q
2 i» ¡i( ¼4 + n¼
2 )
e e
¼»
+
2 ¡i» i( ¼4 + n¼
2 )
e e
¼»
+
r1 (»)
» 3=2
r2 (»)
» 3=2
(6.95)
donde r1 (») y r2 (») son funciones acotadas para » ! 1, se comprueba que
(1)
Hn (kr)e¡i¾t se comporta como una onda que se irradia desde el origen
(2)
hacia el in…nito y que cumple la condición (6.94), mientras que Hn e¡i¾t
representa una onda viajando desde el in…nito hacia el origen, por lo que
debe ser Bn = "2n :
Ahora, el potencial difractado puede expresarse de la foma
©D = ¡
1
ig cosh(k(h + z)) ¡i¾t X
e
(cn cos nµ + dn sin nµ) Hn(1) (kr)
¾
cosh(kh)
n=0
(6.96)
siendo cn y dn constantes que se obtienen de la imposición de las condiciones
de contorno en la frontera del obstáculo.
6.6. DIFRACCIÓN
6.6.5
147
Difracción debida a un dique semi-in…nito y profundidad constante
Si se considera un dique semiin…nito situado en la dirección positiva del eje
x, sobre el que incide un tren de ondas de periodo T que forma un ángulo µI
con la dirección positiva del eje x (…gura 6.22), el problema puede plantearse
de forma similar.
Figura~6.22: Difracción por un dique semiin…nito vertical impermeable
Se admite que el dique es vertical, impermeable e in…nitamente delgado,
esto es, su anchura b ¿ L, y puede, por tanto, despreciarse. La función
potencial, ©, que representa el tren de ondas total es la superposición de
las funciones potenciales de los tres trenes incidente, re‡ejado por la pared
impermeable y e irradiado por el extremo del dique,
© = ©I + ©R + ©D
(6.97)
© es la solución de la ecuación de Laplace con las condiciones de contorno cinemática en el fondo (6.73) y combinada en la super…cie libre (6.74).
Deberá veri…car, además, la condición de impermeabilidad del dique:
148
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
lim¡
y!0
@©
@©
= lim+
= 0 en ¡ h < z < 0
@x y!0 @x
(6.98)
Expresando el potencial de la forma
©(x; y; z; t) = ¡
ig cosh k(h + z)
Á(x; y)e¡i¾t
¾
cosh kh
(6.99)
donde k es el número de onda, y sustituyendo © en la ecuación de Laplace,
se obtiene la ecuación de Helmholtz
@ 2Á @ 2Á
+
+ k2 Á = 0
@x2 @y 2
(6.100)
Solución para incidencia arbitraria, µI
Para el caso general en el que los frentes de la onda incidente no son forzosamente paralelos a la alineación del dique, la solución, en coordenadas polares
(r; µ) fué dada por Penny y Price (1952)
h
i
Á(r; µ) = AI I(u1 )e¡ikr cos(µ¡µI ) + I(u2 )e¡ikr cos(µ+µI )
(6.101)
donde ( ) denota el complejo conjugado y
q
siendo
¡1
¢
u1 = ¡sg (µ) 4kr
cos
(µ
¡
µ
)
I
2
q ¼
¡1
¢
4kr
u2 = ¡sg (µ) ¼ cos 2 (µ + µI )
sg (µ) =
½
¡1
1
(6.102)
si ¡ ¼ < µ < 0
si 0 · µ < ¼
(6.103)
Z
(6.104)
La funcion I(u) se de…ne como
1+i
I(u) =
2
u
¡1
¼
2
e¡i 2 u du
6.6. DIFRACCIÓN
149
y puede calcularse mediante las integrales de fresnel,
C(u) =
S(u) =
de la siguiente forma,
¡ ¼ 2¢
R
1+i u
cos
2 R0
¡ ¼2 u2 ¢ du
1+i u
sin
u du
2
0
2
u¸0
I(u) = 1¡i
+ C(u) ¡ iS(u)
2
I(¡u) = 1¡i
¡ [C(u) ¡ iS(u)] u ¸ 0
2
Solución para incidencia normal al dique, µI =
(6.105)
(6.106)
¼
2
Cuando la dirección de propagación es perpendicular al dique, esto es, para
el caso µI = ¼2 , la solución del problema había sido dada por Sommerfeld
(1896). La …gura (6.21) representa los frentes de onda y las isolíneas del
coe…ciente de difracción, Kd .
Se observa que los frentes de onda se mantienen rectos y paralelos hasta
que alcanzan el obstáculo, instante en el que se inicia el proceso de difracción
en el extremo o morro del dique, que provoca la curvatura de los frentes y la
entrada de energía a la zona situada tras el dique. La línea de difracción que
distingue la zona al abrigo del dique o zona de sombra de la que no lo está,
parte del morro y es perpendicular a los frentes. La línea de alimentación
forma aproximadamente 45 grados con ésta y con la alineación del dique.
6.6.6
Difracción producida durante la refracción
Debido a la refracción, los frentes de onda tienden a orientarse paralelos a
los contornos batimétricos durante su propagación. De esta forma, cuando la
batimetría es cóncava en relación con el frente incidente, como suele ocurrir en
los salientes de la costa (cabos, promontorios) se concentra energía, mientras
que en zonas de batimetría convexa como suelen ser los entrantes (ensenadas,
golfos) llega una cantidad de energía menor. Cuando las diferencias de altura
de ola a lo largo de la cresta son muy acusadas, parte de la energía se cede
lateralmente desde las zonas de mayor energía hacia las zonas adyacentes.
En la …gura 6.11 se advierte que los rayos convergen en el cabo y divergen
en la ensenada, concentrando energía en el primero que, en consecuencia, presenta alturas de ola a lo largo del frente, mayores que en las zonas adyacentes.
Para equilibrar este gradiente de amplitudes en la dirección perpendicular a
la de propagación, la zona de mayor altura de ola cede parte de su energía a
las zonas de menor altura. Si la difracción no es su…ciente, puede producirse también la rotura de la onda en la zona de mayor concentración, lo que
uniformiza la altura de ola a lo largo de la cresta.
150
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Figura~6.23: Difracción debida a un dique semi-in…nito, incidencia normal
Difracción debida a un cambio brusco en el fondo
El tren de ondas, al encontrarse de forma brusca un bajo, es decir, una zona
mucho menos profunda que el resto del fondo, reduce su celeridad sobre el
cambio de calado, lo que produce un retraso del frente sobre el bajo que
conlleva un aumento de la altura de ola sobre el mismo. Para compensar
este desequilibrio, puede producirse cesión lateral de energía desde el bajo a
las zonas laterales.
Si el cambio brusco del fondo se diera por la existencia de una zona con
mayor profundidad, el efecto sobre el oleaje sería el contrario al visto sobre el
bajo, es decir, los frentes se adelantarían al situarse sobre dicha región, con
la consiguiente disminución de la altura de ola y la difracción tendría lugar
al ceder las zonas laterales parte de su energía a la zona central.
6.6.7
Aproximaciones parabólicas al problema de la difracción
Tal y como se ha explicado en el apdo. 6.6.5, la ecuación que gobierna la difracción en fondo horizontal se obtiene sustituyendo la expresión de la función
potencial que lleva explícita la dependencia en z, ec. (6.99), en la ecuación
de Laplace. La ecuación que resulta, llamada ecuación de Helmholtz, es una
ecuación en derivadas parciales de carácter elíptico, cuya solución para una
6.6. DIFRACCIÓN
151
Figura~6.24: Concentración de energía producida por un bajo (parte superior) y una zona de mayor profundidad (parte inferior)
onda plana de amplitud A, propagándose por fondo horizontal formando un
ángulo µ, con la direcci´on positiva del eje x, es,
Á(x; y) = ¡
ig i(kx x+ky y)
Ae
¾
(6.107)
¡
!
donde, (kx ; ky ) son las componentes del vector número de onda, k , ec. (6.39).
La solución de esta ecuación para el caso de un dique semiin…nito impermeable y delgado fue obtenida por Penny y Price (1952) y se ha presentado
en la sección 6.6.5. Existe una gran variedad de ábacos realizados a partir
de dichas soluciones y las de otros problemas de difracción por bocanas, que
permiten obtener la agitación en cualquier punto del dominio. Dado el carácter elíptico del problema en muchos casos es necesario recurrir a métodos
numéricos para obtener soluciones.
Aproximación parabólica de la ecuación de Helmhotz
Algunas de las di…cultades derivadas del carácter elíptico de la ecuación de
Helmholtz se pueden solventar transformándola en una ecuación parabólica.
Para ello, el potencial Á(x; y) se puede escribir de la siguiente forma,
152
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Á(x; y) = '(x; y)eikx
(6.108)
Para el tren de ondas incidente, la función '(x; y) es,
'(x; y) = aei(kx ¡k)x eiky y
(6.109)
igA
i¾A
=¡
¾
k tanh kh
(6.110)
siendo
a=¡
Si el ángulo de propagación µ, es pequeño, entonces tanto kx ¡ k como ky
son números de onda de magnitud pequeña, y sus correspondientes longitudes
de onda, lx = 2¼=(kx ¡ k) y ly = 2¼=ky son grandes. En otras palabras, la
función ' varía lentamente tanto a lo largo del eje x, eje de propagación,
como a lo lo largo del eje y; dirección de la cresta.
Sustituyendo la expresión (6.109) en la ecuación de Helmholtz se obtiene
una ecuación de gobierno para la variable ',
@ 2' @ 2'
@'
+
+
2ik
=0
@x2
@y 2
@x
(6.111)
Considerando las siguientes variables adimensionales,
x0 =
x
y
'
; y 0 = ; '0 =
lx
ly
®
(6.112)
y sustituyendo en la ec.(6.111), se obtiene,
µ
kx ¡ k
ky
¶2
@ 2 '0 @ 2 '0
kx ¡ k @'0
+
+
2ik
=0
@x02
@y 02
ky2 @x0
El primer término está afectado por la cantidad
lim
µ!0
µ
kx ¡ k
ky
¶2
= lim
µ!0
µ
cos µ ¡ 1
sin µ
³
¶2
kx ¡k
ky
´2
=0
(6.113)
. Cuando µ ¼ 0;
(6.114)
6.6. DIFRACCIÓN
153
por lo que se puede despreciar frente a
que afecta a
@'0
,
@x0
se tiene
lim k
µ!0
@ 2 '0
;
@y 02
mientras que para el término
cos µ ¡ 1
1
kx ¡ k
=
lim
=
¡
2
µ!0 sin µ
ky2
2
(6.115)
es decir, el tercer término de (6.113) es de orden O(1)
³ y no
´ puede despreciarse,
kx ¡k
por tanto, (6.111) puede aproximarse, al orden O ky , por ,
@2'
@'
+
2ik
=0
@y 2
@x
(6.116)
La ecuación (6.116) es de carácter parabólico y puede resolverse de forma
numérica avanzando en el sentido de propagación de la onda siempre que
el ángulo de incidencia con respecto a la batimetría local sea relativamente
pequeño.
Esta solución es válida para ángulos de incidencia pequeños (aprox. µ <
40o ). Una manera de evaluar el error cometido en función del ángulo de
incidencia es comparar el número de onda en la dirección del eje x, obtenido
de la ecuación de Helmholtz, kx , y el número de onda obtenido del problema
parabólico, kx ¡ k. En el primer caso,
"
µ ¶2 # 12
q
ky
kx = k 2 ¡ ky2 = k 1 ¡
k
que para valores pequeños de
"
ky
k
kx = k 1 ¡
1
2
(6.117)
= sin µ, se puede aproximar por,
µ
ky
k
¶2
à µ ¶ !#
4
ky
+ O
k
(6.118)
En el caso del problema parabólico, el número de onda es,
"
1
kx ¡ k = k 1 ¡
2
µ
ky
k
¶2
+O
µ
por tanto, kx ¡ k ¼ 0, siempre que
ky
k
¶4 #
ky
k
= sin µ sea pequeño.
1
¡k =¡
2
µ
ky
k
¶2
+O
µ
¶4
ky
k
(6.119)
154
6.7
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Modelos numéricos para el estudio de las
transformaciones de la onda
Sólo en algunos casos particulares, para geometrías simples y batimetría regular, puede resolverse de forma analítica el problema de la propagación de
una onda. En la práctica, deberán resolverse de forma numérica las ecuaciones que permitan modelar de forma conjunta ls fenómenos de la difracción
y la refracción, así como otras de las transformaciones que sufre la onda
durante su propagación.
En general, cuando los cambios de profundidad relativos a la longitud de
onda son graduales y los efectos no lineales despreciables, se puede utilizar la
Ecuación de Pendiente Suave (Eckart, 1952; Berkho¤, 1972, 1976) capaz de
representar la propagación de ondas por batimetría arbitraria y en presencia
de obstáculos, válida, en pricipio, para cualquier valor de la profundidad
relativa, kh; y onda de pequeña amplitud (H=L ¿ 1). En esta línea se
encuentra el modelo MSPWIN (Sánchez, 2001) que introduce en la solución
de Berkho¤, mejoras en el tratamiento de las condiciones de contorno exterior
y absorbentes, e incorpora técnicas numéricas de optimización de problemas
de difracción y refracción de ondas cortas.
Por su caracter elíptico, para la resolución de la ecuación de pendiente
suave es preciso especi…car las condiciones en todo el contorno, incluyendo
la línea de costa, cuya posición no se conoce a priori. Una forma evitar este
inconveniente es la utilización de aproximaciones parabólicas de la ecuación
como la realizada por Radder (1979). El precio que se paga con dicha simpli…cación es la imposibilidad de incluir la irradiación de ondas en un amplio
sector que contiene la dirección opuesta a la de avance, siendo dichos modelos incapaces, por tanto, de reproducir de forma adecuada el efecto de la
re‡exión.
Tal y como se ha comentado en el capítulo 3, los modelos lineales exigen
que el parámetro kA << 1, y en profundidades reducidas requieren además
admitir que A=h << 1, por lo que el rango de validez de la teoría lineal es
limitado.
Cuando los términos no lineales son importantes debe recurrirse a teorías
no lineales como las ondas de Stokes de order superior, para profundidades inde…nidas e intermedias, válidas siempre que, además, el parámetro de
Ursell, Ur = (HL2 )=h3 < 8¼ 2 =3.
El programa REFDIF (Kirby y Dalrymple, 1986) es un modelo parabólico
en diferencias …nitas basado en una perturbación de Stokes de orden 2, que
calcula la celeridad de la onda con una ecuación de dispersión correcta al
tercer orden. El caracter parabólico de la aproximación limita el rango de
6.7. MODELOS NUMERICOS DE PROPAGACION DE ONDAS
155
propagación de ondas a un sector de §40 grados con respecto a la dirección
de propagación considerada e incluye de forma especí…ca los efectos de la
disipación por rotura , fricción con el fondo y turbulencia en la capa límite,
entre otros.
En aguas someras puede utilizarse la teoría no lineal de ondas largas cuando
Ur >> 1, es decir cuando los términos dispersivos en amplitudes son mucho
mayores que los términos dispersivos en frecuencias y la celeridad de la onda
depende, por tanto, exclusivamente de la profundidad y la amplitud. Mientras que para valores de Ur = O(1), las ondas son dispersivas en amplitudes
y en frecuencias, y las ecuaciones a resolver son las de Boussinesq. El modelo
comercial MIKE21, desarrollado por el Danish Hydraulic Institute incluye
un módulo para la resolución de dichas ecuaciones.
En el caso particular del programa REF DIF , para poder ampliar el rango de aplicación del modelo a aguas someras, se puede utilizar la ecuación de
la dispersión derivada de forma heurística por Hedges (1976) que incluye tanto el efecto de la amplitud como el del periodo y que asíntóticamente, tiende
a la de la onda solitaria para aguas someras, mientras que para profundiades
inde…nidas se aproxima a la ecuación de la dispersión de teoría lineal.
6.7.1
Ecuación para pendientes suaves
Cuando el fondo es variable, siempre que los cambios de profundidad relativos
a la longitud de onda sean graduales y los efectos no lineales despreciables,
se puede utilizar la Ecuación de Pendiente Suave. Se considera que la pendiente es suave cuando la re‡exión producida por el cambio de profundidad
es despreciable. En la Sección 6.2 se vió que esta hipótesis se cumple cuando
el parámetro de pendiente, Sr ¿ 1. Por lo tanto, la Ecuación de Pendiente
Suave es válida siempre que
Sr =
rh h
¿1
kh
(6.120)
Dicha ecuación se puede obtener mediante un promedio ponderado en
la columna de agua de la ecuación de gobierno, es decir de la ecuación de
Laplace,
¸
@ 2© @ 2© @2©
kp (z)
+ 2 + 2 =0
@x2
@y
@z
¡h
Z
0
·
tomando como función de ponderación,
(6.121)
156
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
kp (z) =
cosh k(h + z)
cosh kh
(6.122)
Sustituyendo el valor del potencial, resolviendo las integrales y considerando las condiciones de contorno en el fondo y en la super…cie libre, …nalmente se obtiene la siguiente ecuación de gobierno,
@
@x
·Z
¸
·Z 0
¸
Z 0
@
@Á
@Á
2
2
+
+k Á
[kp (z)]2 dz = 0
[kp (z)] dz
[kp (z)] dz
@x
@y
@y
¡h
¡h
¡h
(6.123)
0
2
Las integrales se obtienen directamente,
· µ
¶¸
tanh kh 1
2kh
[kp (z)] dz =
(1 +
k
2
sinh 2kh
¡h
Z
0
2
(6.124)
Teniendo en cuenta la ecuación de la dispersión, el resultado se puede
escribir,
Z
0
[kp (z)]2 dz =
¡h
cCg
g
(6.125)
con lo que la ecuación de pendiente suave, queda
·
¸
·
¸
@
@Á
@
@Á
cCg
+
ccg
+ k 2 cCg Á = 0
@x
@x
@y
@y
(6.126)
De…niendo el operador,
rh =
@ ¡
@ ¡
!
!
i +
j
@x
@y
(6.127)
la ec. (6.126) se puede escribir,
rh ¢ [cCg rh Á] + k 2 cCg Á = 0
(6.128)
Para resolver esta ecuación se necesita especi…car las condiciones de contorno en la frontera del dominio de integración, lo que, en general, se hace
numéricamente.
6.7. MODELOS NUMERICOS DE PROPAGACION DE ONDAS
157
La ecuación de gobierno de la amplitud de la onda se puede obtener
sustituyendo en (6.128) la expresión utilizada anteriormente,
ig
ig
A(x; y)ei(kx x+ky y) = ¡ A(x; y)eiS(x;y)
(6.129)
¾
¾
donde se ha hecho explícita la dependencia con x e y de la amplitud A y de
la fase S(x; y) = kx x + ky y. Al proceder de esta manera, puesto que se está
tabajando en el campo complejo se obtienen dos expresiones igualadas a 0,
una correspondiente a la parte real y otra a la parte imaginaria,
Parte real:
Á(x; y) = ¡
rh ¢ (cCg rh A) ¡ cCg A jrSj + k 2 cCg A = 0
(6.130)
rh ¢ (cCg A2 rh S) = 0
(6.131)
Parte Imaginaria:
(6.130) es la ecuación Eikonal, en la que el primer término evalúa la difracción. Cuando este término es despreciable, p.ej. rh A = 0, se recupera la
relación entre el gradiente de la fase y el número de onda,
jrhSj = k;
@S
@S
= kx ;
= ky
@x
@y
(6.132)
La ec. (6.131) es una ecuación de conservación de la energía. En efecto,
sustituyendo la celeridad c por la expresión,
¾
¾
=
(6.133)
k
jrh Sj
y de…niendo el vector de la velocidad de propagación de la energía como
c=
rh S
¡
!
Cg = Cg
jrh Sj
la ecuación de conservación queda,
³
(6.134)
´
¡
!
rh ¢ ¾ Cg E = 0
(6.135)
1
E = ½gA2
2
(6.136)
donde E es la energía espacial media,
158
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Aproximación parabólica de la ecuación de pediente suave
La ecuación de pendiente suave es elíptica y admite aproximaciones parabólicas, de forma análoga a como se obtuvo para la ecuación de Helmholtz.
Para ello se supone que el tren de ondas se propaga formando un pequeño
ángulo con el eje x, con lo que la función potencial se puede escribir,
Á(x; y) = '(x; y)eikx
(6.137)
y la función '(x; y) es, para una onda propagándose por fondo horizontal,
'(x; y) = Aei(kx ¡k)x eiky y
(6.138)
Sustituyendo en la ec. (6.126) y suponiendo que,
·
¸
@
@'
cCg
¿1
@x
@x
(6.139)
se obtiene la aproximación parabólica de la ecuación
2ikcCg
@(kcCg )
@
@'
@'
+ i'
+ (cCg ) = 0
@x
@x
@y
@y
(6.140)
Para resolver esta ecuación sólo se necesita imponer las condiciones de
contorno en la frontera inicial del dominio de integración.
6.8
Rotura del oleaje
Los fenómenos de asomeramiento y refracción producen en conjunto un aumento progresivo de la altura de ola cuando el tren de ondas se propaga hacia
profundidades menores. Sin embargo, este aumento no es ilimitado, sino que
a una profundidad determinada, una onda de características dadas se vuelve
inestable hasta que rompe disipando una enorme cantidad de energía fundamentalmente en forma de turbulencia. En de…nitiva, las olas rompen cuando
alcanzan un estado crítico en su movimiento que está afectado, entre otros
factores, por la con…guración del fondo.
La forma y límite superior del per…l del movimiento oscilatorio y la consiguiente producción de energía turbulenta y disipación …nal en calor, depende
del tipo de movimiento oscilatorio y de su proceso de transformación hasta
6.8. ROTURA DEL OLEAJE
159
alcanzar las condiciones en las que irremisible e irreversiblemente la onda
rompe. Todas las ondas pueden llegar a romper, pero desde el punto de vista
de las obras marítimas y en particular de los diques de abrigo el conocimiento
de las condiciones en las cuales el oleaje rompe es fundamental.
La determinación del inicio de rotura se ha intentado explicar con diferentes modelos matemáticos. Por ejemplo para ondas progresivas se ha
considerado que la rotura se inicia cuando se produce uno de estos tres fenómenos:
- La velocidad de las partículas en la cresta es superior a la celeridad de
la onda (veáse apdo. 6.3).
- Las ondas se peraltan siendo las crestas cada vez más picudas hasta
formar un ángulo máximo de 120o .
- La aceleración vertical excede la de la gravedad
En primer lugar se presentan los criterios de rotura para fondo horizontal y a continuación se discute el caso de fondo inclinado con re‡exión no
despreciable.
6.8.1
Criterios de rotura
La mayoría de los criterios de rotura se han establecido para ondas progresivas
incidiendo normalmente a la costa cuya inestabilidad se alcanza mediante un
proceso de peraltamiento gradual provocado por un fondo con pendiente
suave y rompiendo la onda por la cresta. En estas condiciones, la re‡exión
del tren de ondas en el talud es despreciable y el comportamiento de la onda
es similar al de un tren propagándose por un fondo horizontal.
Altura máxima de una onda progresiva
² Profundidades inde…nidas
Un tren de ondas propagándose en profundidades inde…nidas, tiene un
peralte límite, que no puede superar; alcanzado éste, el per…l comienza a
romper, en general en la cresta. Este valor límite es aproximadamente:
µ
H
L
¶
lim;0
= 0:14 '
1
7
(6.141)
² Profundidades intermedias
Si el tren de ondas se propaga por profundidades intermedias, la presencia
del fondo altera el peralte límite máximo, reduciéndolo en función de la
160
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
profundidad relativa, , siguiendo aproximadamente la siguiente ley obtenida
de forma heurística por Miche (1944):
µ
H
L
¶
=
lim
µ
H
L
¶
tanh kh = 0:14 tanh kh
(6.142)
lim;0
² Profundidades reducidas
En profundidades reducidas la ecuación anterior puede simpli…carse sustituyendo el valor de la función de la tangente hiperbólica por el valor de
su argumento, obteniéndose una relación entre la altura de ola máxima y la
profundidad. Este cociente se conoce con el nombre de índice de rotura y se
representa por:
°=
µ
H
h
¶
= 0:88
(6.143)
lim
Un valor próximo a éste, ° = 0:78, había sido obtenido por McCowan
(1894) para onda solitaria.
Altura máxima de una onda estacionaria En un tren oscilatorio estacionario, el movimiento está formado por la interferencia de dos trenes de
onda del mismo periodo y la misma altura viajando en sentidos opuestos. La
altura del tren estacionario, He , es el doble de la altura del tren incidente,
HI , es decir He = 2HI .
En estas condicones, los valores límite correspondientes a un tren progresivo no se pueden aplicar. A partir de resultados experimentales se ha
obtenido la siguiente expresión del peralte máximo de un tren estacionario:
µ
He
L
¶
= 0:22 tanh kh
(6.144)
lim
Criterio que puede también expresarse en términos de Hi :
µ
HI
L
¶
= 0:11 tanh kh
(6.145)
lim
La presencia de un tren progresivo viajando en sentido contrario al incidente produce una reducción del peralte límite del tren incidente. El tren
viajando en sentido opuesto, puede estar producido por la re‡exion perfecta
6.8. ROTURA DEL OLEAJE
161
(coe…ciente de re‡exión jRj = 1) del tren incidente en una seccion de un
dique de abrigo, p.ej un dique de paramento vertical liso. El peralte límite
se produce en la posición de los antinodos, los cuales se forman en la pared
del dique vertical y a distancias, x = nL
; n = 1; 2; 3:::;de la pared. Para que
2
esto ocurra es necesario que los trenes incidente y re‡ejado están en fase o
desfasados en ¼:
En profundidades reducidas y sustituyendo el valor de la función por el
valor del argumento, se obtiene un índice de rotura para un tren estacionario,
° lim;e = Hhe = 1:38; expresado en términos de la altura de onda estacionaria,
He ; y ° lim;i = Hhi = 0:69: Este valor es aproximadamente un 25% menor que
el índice de rotura correspondiente a un tren progresivo aislado.
Altura máxima de una onda parcialmente estacionaria Cuando la
re‡exion no es perfecta, el coe…ciente de re‡exion, jRj < 1; y el desfase, Á; es,
en general, Á 6= 0 ó ¼. El movimiento resultante se denomina parcialmente
estacionario. La interferencia de los trenes incidente y re‡ejado produce una
modulación del tren resultante, variando la altura de onda con la distancia.
Los valores mínimos y máximos de la envolvente de alturas de ola se denominan cuasi-nodos y cuasi-antinodos respectivamente. En estas condiciones,
no se conoce con detalle el peralte límite. Una aproximación a este peralte
límite ha sido propuesta por Iwata y Kiyono (1985) que incluyen en el criterio
para ondas estacionarias un término función del coe…ciente de re‡exión para
tener en cuenta la amplitud del tren re‡ejado,
µ
HI
L
¶
= 0:11 + 0:03
lim
1 ¡ jRj
tanh kh
1 + jRj
(6.146)
expresada en términos de la altura de ola incidente. En profundidades reducidas, el índice de rotura de un tren parcialmente estacionario se encuentra
en el intervalo [0:69 < ° lim = ( Hhi )lim < 0:88] dependiendo del coe…ciente de
re‡exión, jRj:
Obsérvese que la formulación propuesta para evaluar la altura de ola
máxima de un tren parcialmente estacionario, incluye el módulo del coe…ciente de re‡exión pero no la fase y que no se conoce el origen de la re‡exión.
Consecuentemente, no es posible predecir en qué posición del per…l ocurre
la rotura de la onda, aunque presumiblemente sea en las posiciones donde
se encuentren los cuasi-antinodos. El valor del índice de rotura es menor
que el valor correspondiente de un tren progresivo. En otras palabras, la
presencia de un tren re‡ejado provoca que la altura de ola máxima del tren
162
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
incidente sea menor que la altura de ola máxima de un tren propagándose
aisladamente.
6.8.2
Fondo de pendiente variable
Los criterios de rotura sobre fondo horizontal se pueden aplicar a fondos
de pendiente su…cientemente suave como para poder despreciar la re‡exión,
es decir para aquéllos taludes en los que el cambio relativo de profundidad
producido en una longitud de onda, ¢h=h ¿ 1 (…gura 6.3). Esta condición
se cumple para valores del parámetro de pendiente Sr < 0:1.
Para valores Sr > 0:1; la re‡exión producida por el cambio de profundidad
no es despreciable. Battjes (1974) establece la dependencia del módulo del
coe…ciente de re‡exión en un talud impermeable con el número de Iribarren,
Ir , lo que justi…ca la clasi…cación, amplicamente aceptada, de los diferentes
tipos de rotura en términos de este parámetro.
Si tan ¯ es la pendiente del fondo y L0 la longitud en profundidades
inde…nidas, el número de Iribarren se de…ne como:
tan ¯
Ir = q
H
L0
(6.147)
Tipos de rotura
² Rotura en decrestamiento (spilling): Se produce disipación gradual de
la energía del oleaje. Es habitual en playas de taludes muy suaves.
Ir < 0:5
² Rotura en voluta (plunging): Está caracterizada por la asimetría que
adquiere la cresta de la ola y las rizaduras que se producen en ella. El
frente de la cresta primero se pone casi vertical, a continuación la cresta
se adelanta al frente y …nalmente cae con gran turbulencia formando
una cavidad de aire. Gran parte de la energía se disipa en este proceso
y otra parte se emplea en formar una nueva onda. 0:5 < Ir < 2:5
² Rotura en colapso (collapsing): Se produce cuando el frente de la onda
que avanza sobre el talud tiende a ponerse vertical, pero no lo consigue
porque pierde la estabilidad y se desmorona por la parte inferior. 2:5 <
Ir < 3:5
² Oscilación (surging): Comienza como una rotura en voluta, pero la
base de la ola asciende por la super…cie el talud adelantándose a la
6.8. ROTURA DEL OLEAJE
163
cresta. El ‡ujo es similar al que se produce en una onda estacionaria.
Ir > 3:5:
Altura máxima sobre fondo inclinado
Existen tres criterios para establecer la altura de onda máxima; la aplicación
de uno u otro depende el valor del número de Iribarren.
El primero de ellos considera que el fenómeno de rotura, la forma y el
índice de rotura se pueden establecer en función de un único parámetro, el
número de Iribarren, que se de…ne como el cociente de dos pendientes: la
pendiente del talud y el peralte de la ola. Dependiendo del valor del número
de Iribarren, Ir ; el tipo o forma de rotura de la ola puede ser en decrestamiento, voluta, colapso o en oscilación. Cuando el número de Iribarren es,
Ir < 1:0; y talud impermeable (aunque también es aplicable a taludes permeables, sin gran error), el índice de rotura se puede expresar en función del
número de Iribarren,
° lim = aIrb
(6.148)
y donde a y b son constantes que dependen de la permeabilidad del talud. En
general, estas condiciones se presentan en playas disipativas o intermedias.
En este caso, jRj < 0:1:
Cuando 1:0 < Ir < 2:0; el coe…ciente de re‡exión 0:1 < jRj < 0:5, las
formas de rotura son en voluta, colapso y oscilación, el índice de rotura
puede alcanzar valores superiores a 1.1. En estas circunstancias, el número
de Iribarren no parece su…ciente para describir adecuadamente el proceso
de rotura, aunque existe abundante información que representa el índice de
rotura en función de Ir : En este rango de valores de Ir es recomendable utilizar
el segundo criterio de rotura dado por Goda (1975) en el que, se expresa el
peralte máximo (o del índice de rotura) en función de la profundidad relativa
y de la pendiente del talud, es decir,
µ
H
L0
¶
max
´io
n
h
³
4
= a1 1 ¡ exp ¡a2 k0 h 1 + a3 (tan¯) 3
(6.149)
donde los coe…cientes a1 ; a2 y a3 se determinan a partir de medidas experimentales y k0 y L0 son el número y la longitud de onda en profundidades
164
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Figura~6.25: Tipos de rotura
6.8. ROTURA DEL OLEAJE
165
inde…nidas respectivamente. Esta ecuación puede ser utilizada cuando el coe…ciente de re‡exión en el talud se encuentra en el rango 0:1 < jRj < 0:5:
Cuando el coe…ciente de re‡exión es jRj > 0:5; la fórmula anterior no es
representativa de lo que acontece en el talud, ya que en esas condiciones el
proceso de rotura comienza a perder importancia frente al proceso de re‡exión; en otras palabras, la altura de ola re‡ejada en el talud es igual o
superior a la altura de ola disipada en el proceso de rotura. En la …gura 6.27
se representan los valores experimentales del índice de rotura para diferentes
taludes impermeables. Se puede observar, la variabilidad del índice de rotura
en función del número de Iribarren. A falta de otra información, los valores de ° lim para taludes permeables, se pueden aplicar, asimismo a taludes
porosos.
Figura~6.26: Dependencia del índice de rotura con el Número de Iribarren
para diferentes valores de la pendiente
166
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
Cuando Ir > 2:0; y jRj > 0:3; una expresión válida para taludes permeables e impermeables del índice de rotura es la siguiente,
1
° lim;t = ° lim;i [1+ j R j2 +2 j R j cos(2kx + Á)] 2
(6.150)
donde ° lim;i es el índice de rotura de un tren progresivo e igual a 0.83. Obsérvese que el índice de rotura depende del módulo y de la fase del coe…ciente
de re‡exión, corrrespondiente al periodo del tren. Ésta expresa el punto en el
cual se produce ”…cticiamente” la re‡exión. En el caso de un talud poroso, la
re‡exión se produce, en general en el interior del mismo, mientras que en un
talud impermeable ésta se produce en un punto del talud. Dado que la re‡exión depende, entre otros factores, de la geometría del dique, taludes frontal
y dorsal y anchura, la determinación de ° lim;t debe hacerse, especí…camente
para cada sección tipo de dique.
6.8.3
Criterios para la evaluación de la disipación producida por la rotura
Durante el proceso de rotura la energía ordenada de la ola se transforma en
turbulencia y calor. La disipación de la energía por rotura, y la consecuente
reducción de la altura de ola, resultan di…ciles de evaluar debido a la complejidad de los fenómenos de turbulencia y a la importancia de los términos
no lineales.
La analogía existente entre una ola rota y el resalto hidráulico, han sugerido expresar la pérdida de energía de forma similar a la disispación en un
bore (Le Méhauté, 1962). En esta línea se encuentran entre otros, los trabajos de Divoky et al. (1970) y Svendsen y Madsen (1981) realizados para olas
individuales y el modelo de Battjes y Janssen (1978) para oleaje irregular.
Dally et al. (1985) proponen un modelo para describir la atenuación de
energía dentro de la zona de rompientes, admitiendo que a una profundidad
determinada, para una ola individual, la disipación de energía producida por
la rotura por unidad de área, D¤ , es proporcional al exceso de ‡ujo de energía
con respecto al ‡ujo de energía que se supone estable, FS . Dicha cantidad
corresponde a la máxima altura de ola HS para la cual no se produce rotura
y cuyo valor depende de la profundidad local, HS = ¡d, siendo ¡ un valor
constante. Esto es,
D¤ =
¡
¢ ·1
¡
¢
·
·1
(F ¡ FS ) =
½gCg H 2 ¡ Hs2 =
½gCg H 2 ¡ (¡d)2 (6.151)
d
d8
d8
6.8. ROTURA DEL OLEAJE
167
donde · es un parámetro empírico. La ecuación de conservación del ‡ujo de
energía que se resuelve es, por tanto,
dF
=
dx
½
¡
¢
¡ ·d 81 ½gCg H 2 ¡ (¡d)2 si H > ¡d
0
si H · ¡d
(6.152)
Los valores de · y ¡ dependen del tipo de rotura, y por tanto del número
de Iribarren. Para roturas en decrestamiento y voluta, suelen tomarse como
aceptables los valores ¡ = 0:4 y · = 0:15:
168
CAPÍTULO 6. PROCESOS DE TRANSFORMACIÓN DE ONDAS
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