Guía didáctica Secundaria Pensamiento matemático * Ejemplar de obsequio * Portada_secun1_conecta.indd 1 1/25/13 10:51 AM Dirección de contenidos y servicios educativos: Elisa Bonilla Rius Gerencia de publicaciones escolares: Felipe Ricardo Valdez González Autores: Melisa Vivanco, Erika Barquera Pedraza, Emilio Domínguez Bravo, Mauricio Héctor Cano Pineda, José Cruz García Zagal Coordinación editorial: Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición: Cristóbal Bravo Marván, Macbeth Baruch Rangel Orduña, Uriel Jiménez Herrera Coordinación de corrección: Abdel López Cruz Corrección: Eduardo Jiménez Zurita Dirección de arte y diseño: Quetzatl León Calixto Diseño de portada y de la serie: Brenda López Romero Diseño gráfico y diagramación: Oscar Chávez, Maricarmen Martínez Coordinación de diagramación: Jesús Arana Trejo Producción: Carlos Olvera, Víctor Canto Guía didáctica. Matemáticas 1. Secundaria. Conect@ Estrategias Primera edición, 2012 Primera reimpresión, 2012 D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2012 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx ISBN 978-607-24-0334-5 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. Las marcas Ediciones SM® y Conect@ Estrategias® son propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico Guía didáctica. Matemáticas 1. Secundara. Conect@ Estrategias se terminó de imprimir en enero de 2013, en Editorial Impresora Apolo, S. A. de C. V., Centeno núm. 150, local 6, col. Granjas Esmeralda, C. P. 09810, México, D. F. GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 2 1/18/13 11:04 AM Poner en práctica estas acciones en clase requiere que el docente tenga claro el aprendizaje que se espera del estudiante; que reconozca el contexto (la historia de la localidad, las prácticas y costumbres, las tradiciones, el carácter urbano de dicho sitio, el clima, la flora y la fauna) para integrarlos a la situación específica de aprendizaje; y gestionar la interacción con los estudiantes, entre otros aspectos. Presentación En SM reconocemos que el aprendizaje por competencias requiere transformar las prácticas de enseñanza y contar con recursos didácticos para aprovechar una temática de interés para los estudiantes. Asimismo, implica tener a la mano información que favorezca nuevas formas de aprender los contenidos; establecer vínculos con los contenidos de otras asignaturas; y favorecer la interacción respetuosa. En SM asumimos este reto junto con los colegios, profesores, alumnos y padres de familia. Ponemos a su servicio nuestro saber hacer, acompañándolo y brindándole una amplia oferta orientada al desarrollo de competencias, la cual incorpora la tecnología como estrategia de fomento de las habilidades digitales. Conect@ es la respuesta para hacer frente a los retos de la sociedad del conocimiento y a la Nueva Articulación de la Educación Básica. En el contexto de la reciente Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB), esta guía didáctica tiene el propósito de brindarle recomendaciones prácticas para el tratamiento de los contenidos curriculares de los planes de estudio vigentes, mismos que conforman la Nueva Articulación de la Educación Básica; tiene el propósito fundamental de favorecer la adecuada interpretación y educativo aprovechamiento del libro del alumno y de las secuencias didácticas que se plantean en este. En esta guía se presentan las respuestas de todas las actividades del libro del alumno, así como sugerencias didácticas que apoyarán su labor docente. Se incluye también la definición relativa a la enseñanza, con base en el modelo de competencias. Además, se explican las sugerencias de evaluación que incluye el libro del alumno, las cuales se han diseñado para evaluar competencias. Las dosificación y los conceptos fundamentales del enfoque de la asignatura Matemáticas puede consultarlos en la reproducción del libro del alumno que se incluye en esta guía. Estas son las características de la guía didáctica. • Facilita la organización de la enseñanza y el seguimiento del aprendizaje. • Explica los elementos del enfoque de enseñanza de Matemáticas en la educación secundaria. • Propone una dosificación del curso con base en la carga horaria de la asignatura. • Contiene sugerencias didácticas que consideran los aprendizajes esperados y los estándares curriculares. • Incluye las respuestas de las actividades del alumno y de las evaluaciones ENLACE. ¡Gracias por permitirnos ser su compañero en la aventura de educar la infancia de la Sociedad del Conocimiento! 3 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 3 1/18/13 11:04 AM • Conocimiento y habilidad que se trabajan en la lección • Bloque, eje y tema al que pertenece el contenido desarrollado en la lección Bloque 1 Avance programático ¿Cómo usar esta guía? El avance programático contiene lo siguiente. • Secuencia de contenidos del mismo grado y de otros que permiten obtener el aprendizaje esperado Eje: Sentido numérico y pensamie nto algebraico Tema: Números y sistemas de numeración 7.1.1 Conversión de fraccione s decimales y no decimales a su escritura Contenidos Aprendizaje esperado • 6.4.1 Conversión de fraccione s decimales a escritura decimal y viceversa. Aproxim ación de algunas fracciones no decimales usando la notación decimal • 7.1.1 Conversión de fraccione s decimales y no decimale s a su escritura decimal y viceversa • Sugerencias didácticas e indicadores de desempeño decimal y viceversa Lección 1 Diferentes maneras de expresar Estrategias de enseñanza • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. Estándar • Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. • Nombre y número de lección medidas y aprendizaje Indicadores de desempeño • Utilice ejemplos que sean familiares para los alumnos , relacionando los contextos y significados en los que aparezcan fraccione s, por ejemplo, en el mercado o en una receta de pastel. • Un ejemplo concreto de esto es considerar el número __3 o 75%) en sus distintas formas, 4 (que equivale a 0.75 las cuales tienen una aplicació vida cotidiana, aunque no n directa en la todas ilustren de igual manera aspectos como los siguientes: • Como una subregión de un territorio la entidad en que radican. • Una relación parte-tod o. El pastel y la cantidad que se comerán • El resultado de una división entre dos números enteros • Un punto en regla graduad a entre dos valores enteros • Aprendizaje esperado y estándar curricular relacionados con el contenido • Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. • Ubica fracciones decimales y no decimales en la recta numérica. 24 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1. indd 24 1/18/13 10:59 AM El libro del alumno con las respuestas 3 contenido BLOQU E Secuencia 8 / lección ¿Es mucho o es poco? Lee y comunica información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. 75 resolver mcuántosmtirosmsemhagan. ibresmesmmucho?mDependemde ¿Metermcincomgolesmenmtirosml presentaron las escuelas de una ciudad de secundaria de todas 1. Los alumnos de tercero s fueron los siguientes. un examen. Algunos resultado Alumnos aprobados Escuela 70 A 28 B 28 C 12 D ¿Qué escuela tuvo los mejores 2. Los alumnos de tercero saberse. resultados? R. T. No puede de secundaria en cada escuela son… Alumnos de tercero 300 Escuela A 30 B Una pista En la escuela A, 300 alumnos representan el total de alumnos. Observa que 10 alumnos es 30 veces menor__ 1 que 300 y representa 30 del total. 120 C 120 D a) Considerando esto, ¿qué ¿Y los peores? • Respuesta de las actividades resaltadas en color magenta. En algunas respuestas se emplea la abreviatura R. P. cuando el alumno debe colocar una respuesta personal; aparece R. T. cuando es una respuesta tipo, debido a que el ejercicio se puede responder de varias formas. escuela tuvo los mejores resultados? B D se ubica alumnos aprobó. Esa escuela de la cuarta parte de los b) En la escuela C menos otras escuelas. la recta de abajo. Ubica las en el primer intervalo de C 0 1 A_ D 4 alumnos c) Calcula la fracción de Escuela A B C D mm Compara tus respuestas ayuda de su profesor. 1 _ 2 de tercero aprobados en B 3 _ 4 cada escuela. 1 s Fracción de alumnos aprobado 7 ___ = 0.233... 30 14 __ = 0.933... 15 7 ___ = 0.233... 30 12 ___ = 0.1 120 n con la os. Lean la siguiente informació con las de tus compañer 182 1/18/13 11:02 AM S-CNCT_M1_B3_182-185.indd 182 4 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 4 1/18/13 11:04 AM Índice El proyecto Conect@ ........................................................................... 6 Claves pedagógicas del proyecto Conect@ ................................. 8 Aprender con tecnología.................................................................. 16 El programa de estudio de matemáticas ....................................21 Matriz de competencias ...................................................................22 Avance programático .......................................................................24 Bloque 1 .................................................................................................................... 24 Bloque 2 ....................................................................................................................43 Bloque 3 .................................................................................................................... 57 Bloque 4 .....................................................................................................................74 Bloque 5 ....................................................................................................................86 Libro del alumno con respuestas .................................................. 97 5 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 5 1/18/13 11:04 AM El proyecto Conect@ La educación es un camino apasionante en el que la calidad del viaje importa más que el destino; en el que el proceso de aprendizaje cuenta más que los resultados. La clave no está en la acumulación de datos y saberes enciclopédicos, sino en el desarrollo de habilidades y capacidades para afrontar los retos de un futuro incierto. Hoy enfrentamos un nuevo escenario, un nuevo paradigma impulsado por la irrupción de los medios digitales, en el que han cambiado tanto las necesidades de la educación como los aprendizajes básicos. El rápido desarrollo de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) promueve nuevas formas de enseñanza y aprendizaje complementarias al libro en papel, que resultan de gran interés para potenciar las competencias de los alumnos del siglo xxi. El mundo educativo se está transformando. En el siglo xx, la educación estaba centrada en las instituciones y su principal objetivo era la certificación formal. En el siglo xxi, en cambio, el modelo educativo se centra en el alumno autónomo y el objetivo es que siga aprendiendo a lo largo de su vida. Anteriormente, en el currículo, se enfatizaba en los datos y en la formación disciplinaria; en la actualidad, uno de los mayores desafíos educativos consiste en desarrollar competencias para la vida, con el propósito de que los alumnos puedan desenvolverse de manera autónoma. Esto implica enseñarles a integrar y relacionar los distintos aprendizajes, y a saber utilizarlos de manera práctica en contextos reales. La incorporación efectiva de estas competencias en el currículo no es sencilla, exige esfuerzo de la comunidad educativa y, sobre todo, del profesorado, quien debe reenfocar su labor para poner énfasis en el desarrollo de competencias. Es por ello que en México, al igual que en muchos otros países, se ha definido un perfil de egreso de la educación básica y se ha decidido organizarla en un solo tramo educativo. Dicho perfil es preponderante en el proceso de articulación de los tres niveles de la educación básica; es el resultado de desarrollar competencias para la vida que darán a los jóvenes la garantía de desenvolverse satisfactoriamente en cualquier ámbito en que elijan continuar su aprendizaje. Para alcanzarlo, los alumnos deben desarrollar este perfil desde su ingreso a la escuela. En SM asumimos este reto junto con las escuelas, profesores, alumnos y padres de familia. Ponemos a su servicio nuestro saber hacer, acompañándolo y brindándole una amplia y diversa oferta modular orientada al desarrollo de competencias, la cual incorpora la tecnología como estrategia de fomento de las habilidades digitales. Conect@ es la respuesta para hacer frente a los retos de la Sociedad del Conocimiento y a la Nueva Articulación de la Educación Básica. 6 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 6 1/18/13 11:04 AM Si bien, Conect@ se apega totalmente a las disposiciones oficiales, no se circunscribe a ellas. La mirada educativa de SM sobre la sociedad que queremos construir enriquece la propuesta y la hace pertinente a las necesidades de las escuelas de hoy. Conect@ es un proyecto multiplataforma integrado por un conjunto de productos y servicios que abarca todos los grados de la educación básica. La oferta de Conect@ está constituida por 62 libros impresos y digitales: cincuenta curriculares y doce complementarios. Estos 62 libros abarcan los tres niveles educativos: 18 para preescolar, 30 para primaria y catorce para secundaria; y están organizados en cuatro campos de formación: 1. lenguaje y comunicación (Conect@ Palabras), 2. pensamiento matemático (Conect@ Estrategias), 3. exploración y comprensión del mundo natural y social (Conect@ Entornos), y 4. desarrollo personal y para la convivencia (Conect@ Personas). Además, la propuesta se complementa con el portal Conect@ Digital, el cual ofrece un espacio de interacción con recursos específicos para alumnos y profesores. Incluye un “Entorno Virtual de Aprendizaje” con más de 1 500 actividades en soporte digital, así como recursos didácticos y acceso a comunidades virtuales para compartir experiencias. Conect@ es mucho más que una colección de libros, por ello, ofrece 270 actividades de formación, además de sesiones de asesoría y evaluación. Al adquirir los libros de Conect@, usted recibirá una conferencia magistral sobre el programa de la Nueva Articulación de la Educación Básica y podrá elegir dos talleres sobre cada campo de formación que haya adquirido. Las asesorías consisten en sesiones de trabajo con nuestro calificado equipo de especialistas educativos para analizar los componentes de Conect@. Respecto a la evaluación, se aplicará un diagnóstico de áreas de oportunidad a los profesores usuarios. 7 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 7 1/18/13 11:04 AM Claves pedagógicas del proyecto Conect@ Las claves pedagógicas son los principios que guían la aplicación del enfoque de enseñanza por competencias, y han sido desarrolladas con un doble propósito. 1. Ser la estructura sobre la cual se desarrollen los contenidos con el fin de alcanzar los aprendizajes esperados, contribuir efectivamente al logro de estos y de las competencias para la vida. 2. Ser criterios orientadores para el trabajo en el aula con los contenidos del libro para simplificar la tarea docente de crear un ambiente de aprendizaje que promueva competencias genéricas y específicas. 3. En este sentido, la estructura de los libros de Conect@ favorece el cambio de los estilos de enseñanza y apoya la transformación de la práctica docente que exige la Nueva Articulación de la Educación Básica propuesta por las autoridades educativas del país. Clave 1. Los estudiantes y sus procesos de aprendizaje: estructura de Conect@ El centro y el referente fundamental del proyecto Conect@ es el estudiante. En esta colección se asume como punto de partida que, desde etapas tempranas, es posible generar en el estudiante las siguientes disposiciones y capacidades: continuar aprendiendo a lo largo de la vida; desarrollar habilidades superiores del pensamiento para solucionar problemas; pensar críticamente; comprender y explicar situaciones desde diversas áreas del saber; manejar información; e innovar y crear en distintos ámbitos de la vida. La investigación educativa ha documentado durante los últimos 25 años que los alumnos tienen conocimientos y creencias respecto a lo que se espera que aprendan, acerca del mundo que les rodea, de las relaciones y de las expectativas sobre su comportamiento. En este sentido, es necesario reconocer la diversidad social, cultural, de capacidades, estilos y ritmos de aprendizaje de los estudiantes, y aprovecharla para generar ambientes que los acerquen al aprendizaje significativo. Por ello, la colección Conect@ está diseñada con base en una variedad de colores atractivos, en portadas que corresponden al mundo iconográfico de los niños y jóvenes, y en ilustraciones claras —cuya incorporación tiene propósitos didácticos y no meramente decorativos—. Además, en Conect@ se utiliza un lenguaje directo que cuestiona a los estudiantes, y se proponen actividades lúdicas, retadoras, orientadas a desarrollar las habilidades correspondientes a los distintos tipos de pensamiento y al logro de los aprendizajes esperados. 8 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 8 1/18/13 11:04 AM Clave 2. Organizar el proceso de aprendizaje en función del estudiante y del contenido La visión del aprendizaje como un proceso requiere de diversos momentos de interacción del alumno con los contenidos de estudio, también exige una manera específica de organizar la enseñanza e implica gestionar la clase considerando la dificultad del contenido, las experiencias y conocimientos de los estudiantes, y la meta que se quiere alcanzar. Para ello, es necesario organizar actividades de aprendizaje a partir de las diversas formas de interacción de alumnos y contenido (cualitativo, cuantitativo, integrativo, personal, colaborativo, concreto o abstracto). Las actividades deben representar desafíos intelectuales para los estudiantes, con el fin de que planteen alternativas de solución. Para diseñar una planificación se requiere superar las clases magistrales, unidireccionales y discursivas, y proponer secuencias y proyectos didácticos. Conect@ está organizado en secuencias didácticas que permiten a los alumnos aproximarse, con base en sus conocimientos previos, a los nuevos contenidos de estudio. Este planteamiento reconoce que los estudiantes aprenden a lo largo de la vida y que se involucran en su proceso de aprendizaje. Las actividades incluidas en las secuencias de Conect@ se han diseñado cuidando que las diferentes situaciones de aprendizaje sean interesantes y constituyan un desafío, con el fin de que los estudiantes indaguen, cuestionen, analicen, comprendan y reflexionen. La organización didáctica de las secuencias permite que el profesor identifique los niveles de complejidad de cada actividad, así como la función que debe asumir para favorecer el aprendizaje: ¿cuándo debe cuestionar? ¿Cuándo debe promover el trabajo colaborativo? ¿Cuándo es conveniente que favorezca la obtención de conclusiones?, etcétera. Adicionalmente, Conect@ incorpora en varias de sus secciones (entrada y final de bloque y evaluaciones) temas de relevancia social para que los alumnos relacionen lo que aprenden en la escuela con lo que aprenden en casa y en otros ámbitos. Por ello, en cada una de las asignaturas, niveles y grados se tratan importantes temas que contribuyen a la formación crítica, responsable y participativa de los estudiantes en la sociedad. Estos favorecen aprendizajes relacionados con valores y actitudes, sin dejar de lado la adquisición de conocimientos y habilidades. 9 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 9 1/18/13 11:04 AM Clave 3. Favorecer la aplicación de un modelo de enseñanza basado en competencias Hacer realidad el aprendizaje basado en el modelo por competencias requiere transformar las prácticas de enseñanza en formas diferentes de interacción de los estudiantes y los contenidos, y contar con diversos recursos didácticos para aprovechar una temática de interés para los estudiantes. Asimismo, implica tener a la mano información que favorezca nuevas formas de aprender los contenidos del programa; establecer vínculos con contenidos estudiados en otras asignaturas; y favorecer la interacción armónica y respetuosa. Pero poner en práctica estas acciones en clase es problemático y requiere que usted tenga muy claro el aprendizaje que espera del estudiante; que sepa reconocer los elementos del contexto (la historia de la localidad, las prácticas y costumbres, las tradiciones, el carácter urbano de dicho sitio, el clima, la flora y la fauna) para integrarlos a la situación específica de aprendizaje; y gestionar la interacción con los estudiantes, entre otros aspectos. Conect@ proporciona, mediante una rica variedad de cápsulas, este tipo de herramientas para que usted las utilice de manera flexible, de acuerdo con las necesidades e intereses de sus alumnos. Cápsulas Propósito En contexto • Establecer una relación entre los contenidos y algún aspecto de otra asignatura o la vida cotidiana Conectamos • Sugerir páginas electrónicas y actividades con TIC Ya sabemos… • Apoyar a los alumnos para recordar definiciones, técnicas, descripciones y características de lo aprendido Reflexionamos • Plantear preguntas para consolidar la comprensión de los contenidos Convivimos • Sugerir actitudes positivas o actividades para aplicar en la comunidad Una pista • Sugerir una pista para la resolución de algún problema o actividad con cierto grado de dificultad Icono 10 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 10 1/18/13 11:04 AM Clave 4. Fomentar el aprendizaje colaborativo La única manera de hacer posible la existencia de aulas inclusivas, en las cuales alumnos muy diferentes puedan aprender juntos, es estructurar en ellas el aprendizaje de forma colaborativa. Difícilmente se pueden practicar y, por lo tanto, aprender, algunas competencias básicas, por no decir todas, si los alumnos no tienen la oportunidad de trabajar juntos en clase, reunidos en equipo, de manera constante. Conect@ propone a las escuelas y a los profesores concretar este tipo de aprendizaje mediante tres formas básicas de interacción de alumnos, y de alumno y profesor. 1. Momentos para la enseñanza personalizada, es decir, que se ajuste a las características de cada estudiante. 2. Momentos de aprendizaje mediante el fomento de la autonomía de los estudiantes, o sea, que sepan aprender de forma independiente. 3. Momentos de aprendizaje cooperativo, es decir, que los estudiantes se ayuden mutuamente. Conect@ incluye diversas actividades de trabajo: proyectos estudiantiles o didácticos, estudios de caso, investigaciones cortas, pero productivas, etc. Este tipo de estrategias didácticas le ofrece a usted la oportunidad de identificar, de manera global, el avance de los alumnos en las competencias para la vida. Además, les permite a estos últimos superar la visión de aprendizajes fragmentados y acercarse al espíritu del aprendizaje competencial. Clave 5. Favorece la búsqueda, selección y discriminación de información proveniente de soportes distintos (impresos, digitales, orales, etcétera) Los cambios radicales provocados por la tercera revolución industrial —la de las tecnologías de la información y la comunicación— han creado una nueva dinámica social, en la que la noción de conocimiento, cualquiera que sea su tipo, se ha vuelto esencial en los procesos de desarrollo e innovación. En nuestros días, se asume que el conocimiento se ha convertido en objeto de desafíos económicos, políticos y culturales hasta tal punto, que las sociedades cuyos contornos empezamos a vislumbrar pueden calificarse de sociedades del conocimiento. Si bien, la escuela tiene como función promover la formación básica, eso no significa que deba limitarse a impulsar la adquisición de información relativa a las áreas socialmente validadas, sino que tendrá que transformarse en una escuela en la que se comparta el conocimiento, con el fin de propiciar el desarrollo del ser humano y la vida. Lo anterior exige incorporar en las clases portadores de información variados y con propósitos distintos a los usados comúnmente. 11 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 11 1/18/13 11:04 AM Como los formatos y medios de acceso a dichos portadores requieren habilidades específicas para su uso, se vuelve necesario incorporarlos, si bien con criterio pedagógico, con urgencia. Será necesario ir más allá del libro de texto e incorporar los acervos de la biblioteca familiar y escolar, recursos multimedia, Internet, periódicos, etcétera. El proyecto Conect@ pone a disposición de usted, profesor, alumnos y padres de familia, adicionalmente a los libros impresos, un entorno virtual de enseñanza y aprendizaje que enfatiza el desarrollo y la aplicación de las habilidades digitales y de las competencias de la sociedad del conocimiento: Conect@ Digital. Conecta@ Digital está diseñado para apoyar a los profesores de educación básica en la tarea de impulsar los siguientes aspectos de la formación de los estudiantes. 1. Creatividad e innovación 2. Comunicación y colaboración 3. Investigación y manejo de información 4. Pensamiento crítico, solución de problemas y toma de decisiones 5. Ciudadanía digital Conect@ Digital contiene lo siguiente. A) Para los profesores • Libros de texto y guías didácticas en soporte digital • Acceso al contenido digital del libro del alumno • Extenso acervo de actividades de refuerzo y ampliación para usarlo de manera flexible, en función de las necesidades de aprendizaje de los alumnos • Herramientas que potencian las presentaciones del libro, para usarlas en pizarrones tradicionales o interactivos • Capa (layer) del profesor, la cual le permite añadir contenidos al libro de texto y, por lo tanto, personalizarlo. • Entorno virtual de aprendizaje que facilita la participación y el seguimiento de los alumnos. • Blogs sobre temas de vanguardia mediante los cuales usted podrá participar en una comunidad virtual de aprendizaje formada por diversas escuelas del país. • Acceso a una comunidad virtual de profesores, en el portal Aprender a Pensar, para compartir consideraciones sobre el reto de enseñar a niños y jóvenes del siglo xx. • Contacto con el editor y los autores del libro para que atiendan necesidades específicas de orientación didáctica. • Folletos digitales que lo ayudarán a interactuar con los padres de familia. 12 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 12 1/18/13 11:04 AM B) Para los alumnos • Libros de texto en soporte digital, para cada grado, enriquecidos con numerosos y variados recursos interactivos • Acervo de actividades de refuerzo y ampliación para fortalecer el logro de los aprendizajes esperados • Registro del cumplimiento de actividades en el entorno virtual de aprendizaje • Foro para el trabajo personalizado, en el que podrán compartir información con sus compañeros y profesores. • Audiolibros sobre temas educativos para propiciar el acercamiento entre padres e hijos C) Para los padres de familia • Folletos digitales orientativos que tratan temas de interés sobre la educación • Audiolibros sobre temas educativos para propiciar el acercamiento entre padres e hijos Clave 6. La evaluación del aprendizaje como estrategia para retroalimentar el proceso de enseñanza En la actualidad, la evaluación del aprendizaje ha permitido consolidar un cambio de paradigma: hace dos décadas este tema aludía únicamente al examen mediante el cual el alumno obtenía una calificación; hoy se reconoce la importancia de la evaluación como un proceso formativo que se convierte en elemento para la retroalimentación del aprendizaje de alumnos y padres de familia, así como para identificar necesidades específicas de la tarea docente. A diferencia de otros tipos de evaluación, donde se enfatiza la calificación de comportamientos modificados por los alumnos, la perspectiva de Conect@ pone el énfasis en atender los diversos momentos que experimenta el alumno durante el proceso de desarrollo de un aprendizaje. El enfoque de evaluación de Conect@ se centra en la evaluación del aprendizaje pero no se limita a esta, pues también incluye su perspectiva de manera que retroalimente la actividad docente. 13 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 13 1/18/13 11:04 AM Conect@ ofrece a los profesores esquemas de evaluación que les permiten llevar a cabo una amplia gama de tareas, por ejemplo: el desarrollo de proyectos, la estructuración de portafolios, el trabajo por rúbricas o matrices de desempeño, guías de observación, resolución de problemas en forma individual o grupal, periódico mural e incluso, en algunas ocasiones, exámenes. Estos instrumentos y técnicas posibilitan la interacción de diversos elementos y actores educativos: contenidos cognitivos de un campo con algún referente concreto de la realidad que permita dar sentido a la tarea de evaluar; alumnos, padres de familia, docentes y directivos escolares. La evaluación formativa que propone Conect@ está diseñada para obtener evidencias, elaborar juicios informados y brindar retroalimentación sobre los aprendizajes logrados por los alumnos durante su formación. Además, dicha evaluación constituye el eje para identificar y considerar el logro de los aprendizajes tanto de manera individual como grupal. Los materiales de los alumnos permiten aplicar e integrar los contenidos estudiados, para valorar si han alcanzado los aprendizajes esperados y en qué medida lo han hecho. Lo anterior se concreta mediante secciones fijas de evaluación incorporadas en el libro. En la colección Conect@ se incluyen, a lo largo de la educación básica, rúbricas de verificación, listas de cotejo y control, anecdotario, observaciones directas, textos escritos y dibujos, proyectos colectivos de búsqueda de información, identificación de problemáticas y propuestas de alternativas de solución, redes mentales, esquemas y mapas conceptuales, registros y cuadros para anotar las actitudes observadas en los estudiantes, portafolios de evidencias, reactivos competenciales y reactivos tipo PISA y tipo ENLACE. Secciones fijas de evaluación Evaluación Descripción • Reactivos tipo PISA para evaluar competencias • Reactivos tipo ENLACE, evaluación con reactivos de opción múltiple De igual modo, en Conecta@ Digital encontrará recursos de evaluación que pueden ser utilizados de manera flexible. 14 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 14 1/18/13 11:04 AM Clave 7. El proyecto educativo de SM como marco de Conect@ En SM entendemos que hablar de educación es hablar más de semillas que de frutos, más de siembra que de cosecha; es trazar un rumbo y ponerse en camino. SM, en conjunto con los profesores, acompañamos a los alumnos en su crecimiento, en todas sus facetas como persona; los conducimos y los nutrimos. Educar implica conducir desde fuera para dejar nacer todo lo que la persona lleva dentro. Educar significa intervenir positivamente, desde la autoridad moral de usted, para hacer crecer. Es así que la escuela de nuestros días se enfrenta a desafíos sin precedentes: se espera que prepare a los futuros ciudadanos que actuarán en ambientes socioculturales y laborales caracterizados por constantes cambios. La parte crítica de dichos desafíos consiste en que los alumnos aprendan de una manera diferente, es decir, que se les oriente al descubrimiento; al manejo de fuentes de información múltiples y en formatos distintos; que tengan la capacidad para trabajar en equipo y que aprendan de la diversidad con la que conviven cotidianamente. Asimismo, se requiere que los estudiantes actúen con referentes éticos y desarrollen identidades sólidas y definidas. En pocas palabras: que se formen en un ambiente orientado al desarrollo de las competencias para el aprendizaje permanente, el manejo de la información y de situaciones, la convivencia y la vida en sociedad. Sin embargo, desarrollar competencias desde la escuela no es una tarea fácil ni inmediata. Se requiere una transformación de las formas de dar clases de los profesores, así como sustituir la función del profesor por el de educador que aprovecha un campo de conocimientos (asignaturas) para fomentar el desarrollo integral de los estudiantes. Se requiere renovar la relación entre la escuela, los alumnos y los padres de familia, de modo que se socialicen las metas de enseñanza, los logros de aprendizaje, las estrategias para atender las diversas necesidades de esta, etcétera. Ese espíritu es el que anima a Conect@. Mediante el portal permite poner en contacto a padres de familia con profesores; a utilizar los recursos digitales en función de las características y necesidades de los estudiantes; y vincula a la escuela con un espacio dedicado a los temas educativos, a los cuales coloca en el centro de la discusión, de los debates y de las alternativas que se están aplicando en múltiples escuelas de México que utilizan estos materiales. En SM estamos conscientes de que el desafío se puede afrontar trabajando juntos, como debe ocurrir en todo proyecto educativo. ¡Gracias por permitirnos ser su compañero de viaje! 15 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 15 1/18/13 11:04 AM Aprender con tecnología Vivimos en un mundo caracterizado por los avances tecnológicos que permean cada aspecto de la vida cotidiana. Es un mundo marcado por la competencia y los cambios, en el cual la educación es fundamental para tener acceso a mejores oportunidades en la vida. El uso de las tecnologías de la información y comunicación (TIC) permite que los estudiantes desarrollen tanto competencias educativas como competencias para la vida. El Plan Nacional de Desarrollo establece que “el analfabetismo digital es un barrera decisiva para el acceso de los mexicanos en un mundo globalizado. No basta con saber leer y escribir; para competir exitosamente hace falta también saber utilizar las computadoras”.1 Con la tecnología podemos divertirnos y comunicarnos, aprender y enseñar. Los estudiantes deben adquirir las herramientas básicas que les permitan aprender con ella y, de esta forma, estar preparados para interactuar adecuadamente con los recursos tecnológicos disponibles en la actualidad y los que se desarrollarán en el futuro. El uso didáctico de las tecnologías de la información y la comunicación fomenta los siguientes elementos. Uso de las TIC en la educación básica Desarrollar competencias para aprender a lo largo de la vida Impulsar la comunicación en los ambientes colaborativos Fomentar la autonomía del estudiante El plan de estudios 2011 para la educación básica contempla el desarrollo de habilidades digitales como eje transversal de los campos formativos del currículo, con el objetivo de que los estudiantes aprovechen los recursos tecnológicos a su alcance como medios para comunicarse, obtener información y construir conocimiento. Para ello, la reforma educativa definió Estándares de Habilidades Digitales, fundamentales en el desarrollo de competencias para la vida y la construcción de una ciudadanía digital. 1 Plan Nacional de Desarrollo 2007-2012, Estrategia 11.1, p. 188. 16 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 16 1/18/13 11:04 AM 1. Creatividad e innovación 6. Funcionamiento y conceptos de las TIC 2. Comunicación y colaboración Estándares de Habilidades Digitales 3. Investigación y manejo de la información 5. Ciudadanía digital 4. Pensamiento crítico, solución de problemas y toma de decisiones Para desarrollar estos estándares en la educación básica, el Gobierno Federal creó la estrategia educativa de Habilidades Digitales para Todos (HDT), programa enfocado en brindar las herramientas necesarias para que los estudiantes puedan insertarse en la sociedad del conocimiento a través del desarrollo de sus habilidades digitales. 1. Conocer las TIC y utilizarlas de manera creativa, experimentando formas innovadoras de emplearlas 2. Comunicarse y compartir información con otros, así como trabajar en ambientes colaborativos 3. Buscar, analizar y evaluar la información requerida a través de diferentes fuentes 17 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 17 1/18/13 11:04 AM 4. Reflexionar y encontrar la solución a diversos problemas, aprendiendo a tomar decisiones y hacerse responsable de sus consecuencias 5. Utilizar las TIC de forma responsable y respetuosa, convirtiéndose en un ciudadano digital que contribuya con el desarrollo de su comunidad 6. Emplear las TIC de manera eficaz para transmitir propios contenidos El plan de estudios 2011 señala que las habilidades digitales se encuentran presentes en todos los campos formativos, por lo que no debe ser objeto de una sola materia aislada, sino que debe apoyar decididamente las experiencias de aprendizaje de todas las asignaturas. La apropiación de estas habilidades digitales en los procesos de enseñanza requiere de la formación continua de los profesores con el objeto de que puedan desarrollar las competencias digitales para sus prácticas docentes. Por un lado, es necesario integrar a la escuela las experiencias con tecnología que los estudiantes tienen en su vida cotidiana; por otro, es indispensable que la escuela permita que los estudiantes tengan acceso a la tecnología para reducir la brecha digital. A continuación se mencionan algunas sugerencias para la incorporación de las TIC en los procesos de aprendizaje. Habilidades digitales Herramientas de colaboración y comunicación Recursos Sugerencias Correo electrónico, Estos recursos permiten la blogs, foros, chats comunicación instantánea con personas de cualquier parte del mundo. Proveen un espacio en el que se intercambian puntos de vista, experiencias y resultados con otros estudiantes. Teléfonos celulares, tablets Pueden ser usados para distribuir diversos contenidos educativos. Podcasts Son archivos de sonido en formato mp3 que le permitirán transmitir mensajes o contenidos educativos de fácil acceso para sus estudiantes. 18 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 18 1/18/13 11:04 AM Herramientas Procesadores de productividad de texto, hojas de cálculo, presentaciones Investigación y manejo de la información Estas herramientas sirven para crear documentos, bases de datos, identificación de tendencias, presentaciones, entre otras muchas funciones que potencian el trabajo escolar. Internet La Internet ha cambiado la forma de tener acceso a la información. Es muy importante que trabaje con sus alumnos sobre la identificación de fuentes confiables mediante consultas de páginas oficiales; fomente este uso por medio de ligas seguras a portales educativos. Trabaje con ellos el desarrollo del pensamiento crítico para discernir sobre las fuentes de información y que tomen propias decisiones sobre lo publicado en línea. Materiales didácticos digitales HDT, portales educativos Impulse el uso de los materiales educativos gratuitos que ofrecen una gran variedad de portales, los cuales pueden ayudarle a trabajar una gran cantidad de contenidos de diversas asignaturas. Ciudadanía digital Internet, redes sociales Fomente la incorporación a las redes sociales con base en principios éticos, para así alcanzar un uso seguro y responsable de la Internet. La construcción de la ciudadanía digital contempla el uso ético de los recursos informáticos. La Internet ofrece una gran cantidad de información, pero también de peligros; así pues, los alumnos deben reconocerlos para que puedan protegerse de ellos. 19 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 19 1/18/13 11:04 AM A continuación, se numeran algunas recomendaciones que ayudarán a los estudiantes a tener una experiencia digital segura. Para navegar seguro 1. Es necesario que protejan la información personal. Comente que los datos personales los identifican como personas, por ello no deben proporcionar esta información a nadie. 2. Si entran a sitios con imágenes o palabras ofensivas, pídales que salgan de ella y lo comenten con sus padres o tutores. 3. No deben abrir correos electrónicos de desconocidos. Para usar redes sociales y foros 1. Sugiera que entren a foros que traten temas de acuerdo con la edad e intereses de los alumnos. 2. Coménteles que no todo es verdad en la Internet. Deben tener cuidado, pues muchos usuarios mienten sobre su verdadera identidad. 3. Si alguien a quien contactaron en línea desea conocerlos personalmente, deben hacerlo del conocimiento de sus padres o sus tutores. 4. Cuando usen redes sociales, deben crear perfiles privados y agregar a sus contactos conocidos. No deben proporcionar sus datos personales. Uso del teléfono celular 1. Pida que no proporcionen el número telefónico a extraños. 2. Solicite que no usen el teléfono celular para molestar o insultar a otras personas. Videojuegos 1. Sugiera que jueguen solo los que son adecuados para su edad. Además, deben determinar tiempos para las sesiones de juego. Para más información, consulte junto con sus estudiantes la página http://www.clicseguro.sep.gob.mx/index.php 20 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 20 1/18/13 11:04 AM La Nueva Articulación de la Educación Básica está orientada, de manera prioritaria, al desarrollo de las competencias para la vida, a la par del desarrollo de las habilidades, conocimientos y actitudes propias del pensamiento matemático. El programa de articulación tiene el objetivo de unificar los enfoques de enseñanza y secuenciar la profundidad de los aprendizajes durante los cuatro periodos escolares (preescolar, primero a tercer grado de primaria, cuarto a sexto grado de primaria, y secundaria). Los elementos que articulan estos cuatro periodos son el perfil de egreso, los nuevos estándares curriculares y el enfoque de enseñanza de las matemáticas en la educación básica. Este programa de articulación ha generado los estándares curriculares y los vinculó con los aprendizajes esperados. Estos componentes son enunciados o indicadores que definen aquello que los estudiantes deben saber y saber hacer, así como las actitudes que demostrarán durante el proceso de aprendizaje y de exposición de lo aprendido. Los aprendizajes esperados y los estándares son útiles para dar seguimiento al desarrollo de las competencias. Los aprendizajes esperados se consiguen después del estudio de una secuencia de contenidos del programa, que están vinculados entre sí, y se demuestran a través de desempeños concretos de los alumnos en situaciones problemáticas. Por otra parte, los estándares curriculares enmarcan una secuencia de aprendizajes esperados y se definen al término de cada periodo escolar. Debido a su importancia, presentamos los aprendizajes esperados y los estándares curriculares en el avance programático de la guía didáctica, y que están relacionados con los contenidos de estudio del programa. De esta forma, usted podrá efectuar un seguimiento puntual sobre el avance que se espera tengan los estudiantes. El programa de estudio de matemáticas Los aprendizajes esperados y los estándares curriculares Actitudes y valores Uno de los propósitos del programa de matemáticas es que los alumnos muestren disposición positiva hacia el estudio de la matemática, así como al trabajo autónomo y colaborativo. Los estándares curriculares cubren cada uno de los ejes de contenido (Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida; Manejo de la información) y abarcan un cuarto rubro que es de reciente incorporación: las actitudes y valores hacia el estudio de las matemáticas. En la serie Conect@ Estrategias hemos incluido una serie de recomendaciones en las cápsulas “Convivimos”, mismas que facilitarán algunas pistas sobre cómo trabajar estos estándares. El enfoque didáctico y las competencias matemáticas El enfoque didáctico para el campo formativo Pensamiento Matemático se fundamenta en la resolución de problemas, pues se busca despertar el interés de los estudiantes mediante secuencias que impliquen situaciones problemáticas con las que reflexionen para desarrollar sus propias estrategias y formulen argumentos que validen sus resultados. Las competencias que se indican en el programa son: resolver problemas de manera autónoma; comunicar información matemática; validar procedimientos y resultados, y manejar técnicas eficientemente. 21 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 21 1/18/13 11:04 AM Matriz de competencias Cada una de las competencias matemáticas se divide en varias subcompetencias. Presentamos un cuadro en el que hacemos una propuesta sobre cuáles subcompetencias se trabajan principalmente en cada una de las secuencias didácticas de Conect@ Estrategias Matemáticas 1. En el, podrá identificar los aspectos de las competencias matemáticas que se consolidarán conforme trabaja con las secuencias didácticas del libro del alumno. Evaluar la pertinencia de los resultados Efectuar estimaciones Efectuar cálculo mental Manejo de técnicas o procedimientos Manejar técnicas eficientemente Uso de formas de representación Validar resultados Justificar procedimientos Validar procedimientos y resultados Explicar procedimientos Inferir propiedades o características de una situación Deducir información Exponer ideas matemáticas Establecer nexos entre representaciones Interpretar información matemática Comunicar información matemática Representar información matemática Plantear problemas Reconocer procedimientos eficaces Generalizar procedimientos de solución Resolver problemas Resolver problemas de manera autónoma Bloque 1 Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 3 Secuencia 4 Secuencia 5 Secuencia 6 Secuencia 7 Secuencia 8 Secuencia 9 Bloque 2 Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 3 Secuencia 4 Secuencia 5 Secuencia 6 Secuencia 7 22 GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 22 1/18/13 11:04 AM GUIA_MAT1o_PRELIM.indd 23 Evaluar la pertinencia de los resultados Efectuar estimaciones Efectuar cálculo mental Validar procedimientos y resultados Manejo de técnicas o procedimientos Uso de formas de representación Validar resultados Justificar procedimientos Comunicar información matemática Explicar procedimientos Inferir propiedades o características de una situación Deducir información Exponer ideas matemáticas Establecer nexos entre representaciones Interpretar información matemática Representar información matemática Plantear problemas Reconocer procedimientos eficaces Generalizar procedimientos de solución Resolver problemas Resolver problemas de manera autónoma Manejar técnicas eficientemente Bloque 3 Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 3 Secuencia 4 Secuencia 5 Secuencia 6 Secuencia 7 Bloque 4 Secuencia 8 Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 3 Secuencia 4 Secuencia 5 Secuencia 6 Secuencia 7 Bloque5 Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 3 Secuencia 4 Secuencia 5 Secuencia 6 23 1/18/13 11:04 AM Avance programático Bloque 1 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. • 6.4.1 Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no decimales usando la notación decimal • 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa Lección 1 Diferentes maneras de expresar medidas Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Utilice ejemplos que sean familiares para los alumnos, relacionando los contextos y significados en los que aparezcan fracciones, por ejemplo, en el mercado o en una receta de pastel. • Un ejemplo concreto de esto es considerar el número __34 (que equivale a 0.75 o 75%) en sus distintas formas, las cuales tienen una aplicación directa en la vida cotidiana, aunque no todas ilustren de igual manera aspectos como los siguientes: • Como una subregión de un territorio la entidad en que radican. • Una relación parte-todo. El pastel y la cantidad que se comerán • El resultado de una división entre dos números enteros • Un punto en regla graduada entre dos valores enteros Indicadores de desempeño • Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. • Ubica fracciones decimales y no decimales en la recta numérica. 24 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 24 1/17/13 6:16 PM Lección 2 Escritura decimal de una fracción Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Pida o plantee al alumno ejemplos de fracciones cuya expresión decimal sea periódica. • Por ejemplo: __31 , _17 , __37 y otros más. • El objetivo no es dificultar el aprendizaje del alumno, sino explicarle que hay números simples que, al ser analizados desde otra perspectiva, se comportan de manera compleja. Un ejemplo de ello es la fracción __37 , la cual, en apariencia, no denota un número complicado para el alumno, sin embargo, al intentar calcular la fracción decimal que representa surge la dificultad de que no es finita. Esto puede propiciar un tema de debate. Pida a los alumnos que identifiquen si hay más fracciones de este tipo, o que determinen cuántas son. Lección 3 • Convierte fracciones a número decimal para construir una fracción decimal equivalente a la original. • Ubica fracciones decimales y no decimales en la recta numérica. ¿Cuántas cifras hay después del punto? Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Observe los errores y las dificultades que se presenten durante el llenado de las tablas; pida a los alumnos que no teman exteriorizarlos, así como que compartan sus estrategias con aquellos a los que se les complique. • Socializar los errores y las dificultades permite que los alumnos entiendan mejor los obstáculos y las formas en que sus compañeros los sortean. Indicadores de desempeño • Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Otros recursos: Encuentre más ejemplos de conversión de fracciones a decimales y viceversa en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM1-03 25 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 25 1/17/13 6:16 PM Lección 4 Otro juego de flechas Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Ahonde en el tema con ejemplos de los siguientes aspectos. 2 3 1 Decimales finitos: = 0.4, = 0.6, = 0.1 5 5 10 1 _ Decimales infinitos: = 0.3333 3 7 = 0.7777777 = 0.7 Decimales infinitos periódicos: _ 9 Decimales infinitos semiperiódicos. En estos decimales aparecen una o más cifras antes del periodo. El número formado por estas se llama anteperiodo (es un número que está entre la coma y la raya 7 = 0.2333333 = 0.23 superior): _ 30 • Pida a los alumnos que den tres ejemplos de cada uno y comenten las dificultades que se presenten. • Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. • Ubica fracciones decimales y no decimales en la recta numérica. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. • 6.2.1 Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica en situaciones diversas. Por ejemplo, se quieren representar medios y la unidad está dividida en sextos, la unidad no está establecida, etcétera • 6.3.1 Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales • 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación 26 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 26 1/17/13 6:16 PM Lección 5 Las apariencias engañan Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Aproveche el tema de fracciones equivalentes para enfatizar que los números son simplemente una representación; por ejemplo, el valor del número 1 es el mismo que el de 50 . 2 100 • Determina cuándo dos fracciones son equivalentes. • Haga las siguientes observaciones: • Al multiplicar cualquier número por 1, este no cambia, es decir, n × 1 = n. n • Un número dividido entre sí mismo da 1, es decir, _ n =1 • Dos fracciones son equivalentes si una de ellas es el resultado de multiplicar a la otra por un 1 “conveniente”; por ejemplo, las fracciones 3 15 3 5 15 4 y 20 son equivalentes, pues 4 × 5 = 20 . • Calcula fracciones equivalentes a una fracción dada. • Simplifica una fracción. • Compara fracciones respecto al orden, es decir, determina cuándo una fracción es mayor o igual que otra. Otros recursos: puede consultar la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-05, donde encontrará métodos para identificar fracciones equivalentes. Lección 6 Números en la recta Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Pida a los alumnos que determinen cuándo dos fracciones son equivalentes, además de que dada una fracción den otras equivalentes. También aplique ejercicios de comparación. Pregunte: ¿cuántas fracciones equivalentes se pueden dar de cada fracción? • El alumno debe comprender que cuando se establece una medida en la recta (fraccionaria o entera), esta debe conservarse en dicha recta; es decir que, diferencias iguales entre números deben corresponder a distancias iguales en la recta. Indicadores de desempeño • Localiza un número (entero o fraccional) en una recta. • Compara dos números de acuerdo con su posición en la recta. 27 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 27 1/17/13 6:16 PM Lección 7 Números ocultos Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Pida a los alumnos que tracen rectas numéricas con distintas medidas para la unidad (recuérdeles que una vez establecida una medida, esta no debe cambiar en esa recta). Las rectas deben comenzar en cualquier número distinto a 0. • Ubica números enteros y fracciones en la recta numérica. • Divide un segmento de una recta numérica en fracciones. • Suma fracciones. • Plantea y resuelve problemas utilizando como recurso la recta numérica. • Con esta actividad, el estudiante comprenderá que no es necesario empezar en 0 para crear una recta numérica, y que una fracción también se puede dividir en más fracciones. En esta lección se fomenta la capacidad de abstracción del alumno, pues la recta es una representación de distancias entre números. Lección 8 Del cero al uno Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Continúe con los ejercicios de comparación para determinar en qué ocasiones una fracción es mayor a otra y cuándo dos fracciones son equivalentes. • Para esta lección, diseñe ejercicios de localización de fracciones en la recta numérica, donde es importante determinar el valor de los puntos. Indíqueles las fracciones que deben encontrar. • Enfatice la propiedad de la densidad de los racionales; es decir, que entre dos fracciones siempre existe un número infinito de ellas. Indicadores de desempeño • Compara fracciones. • Localiza fracciones en la recta. • Crea una recta numérica que puede o no comenzar en cero. • Determina cuándo dos fracciones son equivalentes. 28 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 28 1/17/13 6:16 PM Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. • Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas. • 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones • 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales • 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos • 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros Lección 9 Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Repase los métodos tradicionales para sumar números en sus formas fraccional y decimal, así como plantear ejemplos que impliquen adición con fracciones y decimales. Es importante hacer hincapié en que para sumar números decimales, es necesario alinear el punto decimal de cada cantidad, sin importar el número de dígitos de cada una. Para la suma de fracciones plantee dos casos. • Primer caso: suma de dos o más fracciones que tienen el mismo denominador. Solo hay que sumar los numeradores y dejar el denominador común. Por ejemplo: 3 4 7 + = . 5 5 5 Indicadores de desempeño • Resuelve sumas de fracciones con el mismo denominador. • Resuelve sumas de fracciones con distinto denominador. 29 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 29 1/17/13 6:16 PM Lección 10 Para usar las fracciones Estrategias de enseñanza y aprendizaje Segundo caso: suma de dos o más fracciones con distinto denominador • Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores • Se calcula el numerador con la fórmula numerador antiguo × denominador común y dividido por denominador antiguo • Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador) Por ejemplo, en 3 + 4 … 4 14 Calculamos el mínimo común múltiplo: mcm(4, 14) = 28. Calculamos los numeradores: numerador de la primera fracción: 3 × 28 ÷ 4 = 21; numerador de la segunda fracción: 4 × 28 ÷ 14 = 8. Como los denominadores son idénticos, los sumamos como en el caso 1. 3 8 21 21 21 29 Sumar con es lo mismo que sumar con 8 y + = . 4 4 28 28 28 28 Lección 11 Indicadores de desempeño • Resuelve sumas de fracciones con el mismo denominador. • Resuelve sumas de fracciones con distinto denominador. Un juego de cartas Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Identifique los errores al finalizar el juego. Si se observa dificultad en la suma o resta será necesario llevar a cabo más actividades. Es importante dejar en claro la conversión de fracciones. Para una fracción impropia en mixta… • se divide el numerador entre el denominador; • se escribe el cociente como número entero; • se escribe el resto encima del denominador. 15 Por ejemplo: . Se divide 15 entre 12 (da 1 y quedan 3). El resultado 12 3 . se escribe como 1 12 Para una fracción mixta en impropia… • se multiplica la parte entera por el denominador; • se suma al numerador; • se escribe el resultado encima del denominador. 1 Por ejemplo: 2 . Se multiplica 2 por 4 y se suma 1 (se obtiene 9), y se 4 coloca el resultado como numerador, con 4 como denominador: 9 . 4 • Resuelve sumas y restas de fracciones con el mismo denominador. • Resuelve sumas y restas de fracciones con distinto denominador. 30 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 30 1/17/13 6:16 PM Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras Contenidos Aprendizaje esperado • 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa. • 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética • 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros • 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión Lección 12 • Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. • Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión. Estándar • Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión. La matemática de las rejas Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Despierte el interés del razonamiento del alumno con problemas en los que tengan que encontrar la regla general. • El alumno relacionará figuras geométricas para establecer patrones de sucesiones y encontrará una regla general usando el lenguaje común. En la secuencia de bloque 5 los alumnos utilizarán literales para expresar las reglas. • Para preparar el uso de literales, aplique a los alumnos el siguiente ejercicio. • Completa la siguiente tabla. x 7 8 9 40 44 y 28 32 36 160 176 • Plantea situaciones sencillas y aumenta su grado de dificultad. • Identifica el patrón en una sucesión de figuras. a) Si el valor de x fuera 25, ¿cuál sería el de y? 100. b) ¿Cómo calculaste el valor de y? Multiplicando por 4. c) ¿Qué sucede con el valor de y cuando crecen los valores de x? y aumenta cuatro veces. 31 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 31 1/17/13 6:16 PM Lección 13 Bordados Estrategias de enseñanza y aprendizaje • La ordenación se basa en la comparación. Los alumnos son capaces de comparar el tamaño de dos objetos al mismo tiempo, sin embargo, cuando el número de objetos aumenta, tienen dificultad para coordinar las relaciones. • De manera gradual, se debe desarrollar en el alumno un sentido de orden, además de procurar que, sistemáticamente, construya una sucesión de figuras o de números. Para esto procure que sea capaz de reconocer patrones y sucesiones, comenzando por los objetos que lo rodean. • La secuenciación es una operación lógica que permite establecer relaciones de comparación, respecto a un sistema de referencia, entre los elementos de un conjunto y ordenarlos según sus diferencias. En los casos que más nos interesan van de forma creciente o decreciente. Lección 14 Indicadores de desempeño • Reconoce patrones en sucesiones de figuras. • Expresa, simbólicamente, patrones de sucesiones de figuras. Sucesiones de figuras o números Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Cuando los alumnos compartan sus respuestas, pida que mencionen las características de cada sucesión, orden, regla, etcétera. • También es importante dejar en claro el tipo de sucesiones que se trabajaron y explicarle al alumno que existen otros. Sucesiones aritméticas • El ejemplo 3, 5, 7, 9 es una sucesión aritmética (o progresión aritmética) porque la diferencia entre un término y el siguiente es constante. Sucesiones geométricas • En una sucesión geométrica, cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Por ejemplo: la que desarrollaron en la actividad 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256… En este, un término se obtiene al multiplicar por 2 el anterior. La regla de la sucesión es 2n. Indicadores de desempeño • Construye sucesiones de números o figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. • Formula en lenguaje común expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresiones aritméticas o geométricas, de números y de figuras. 32 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 32 1/17/13 6:16 PM Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar Contenidos • 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar • 7.3.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios Lección 15 Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b; ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. • Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas. La fórmula es útil, pero no es lo único Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Mencione al alumno que es posible traducir cualquier problema, real o imaginario, a lenguaje matemático usando instrumentos algebraicos (fórmulas matemáticas) para resolverlo. Tras esto, la solución se sustituye en el problema inicial. Un modelo matemático se entiende como la traducción de un problema a lenguaje algebraico. • Ejemplo sencillo de modelo matemático Problema ¿Cuál es el perímetro de una mesa que mide 120 cm de largo y 70 cm de ancho? Traducción Calcular el perímetro de un rectángulo de largo b y ancho a. Desarrollo a + b + a + b = 2a + 2b Traducción 2(70) + 2(120) = 140 + 240 = perímetro = 380 cm Solución El perímetro de la mesa mide 380 cm. • Interpreta fórmulas matemáticas. • Desarrolla fórmulas para resolver determinados problemas matemáticos. 33 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 33 1/17/13 6:16 PM Lección 16 Con números o con letras Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Muestre al estudiante cómo se utiliza el álgebra constantemente en situaciones de la vida real. • Se le debe exponer el uso de literales como una herramienta en el desarrollo de procesos de solución de acertijos, enigmas, pasatiempos, arcanos y ejercicios, a fin de que incremente su habilidad tanto en las estrategias como en el manejo de los recursos matemáticos. • Pida al estudiante que traduzca problemas matemáticos sencillos sustituyendo los valores numéricos por literales. Lección 17 Indicadores de desempeño • Usa literales para expresar cantidades. • Interpreta en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas. • Interpreta literales como números generales con los que es posible operar. • Maneja expresiones algebraicas sencillas. Con fórmulas y con palabras Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Explique al alumno, mediante ejemplos, por qué las literales pueden ser consideradas variables, y la función de una constante en una formula. • Es importante recalcar la importancia del algebra en la vida cotidiana relacionando actividades cercanas al alumno, como el uso de literales para facilitar la solución de un problema. Indicadores de desempeño • Interpreta en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas. • Interpreta literales como números generales con los que es posible operar. • Maneja expresiones algebraicas sencillas. 34 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 34 1/17/13 6:16 PM Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría Contenidos Aprendizaje esperado • 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría • 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo • Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros. • 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo Lección 18 Estándar • Utiliza la regla y el compás para efectuar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. De tres lados Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Diseñe una actividad sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Si no cuenta con un software, hágalo en papel. • Por ejemplo: pedir a los alumnos que dibujen un triángulo (cualquiera) y recorten los vértices a una tercera parte de la medida del lado; colocarlos de manera consecutiva (donde termine uno, colocar el otro) sobre una recta para comprobar que la suma de los ángulos dé 180°. Posteriormente, pida que clasifiquen los triángulos en equilátero, isósceles o escaleno, de acuerdo con sus ángulos. Indicadores de desempeño • Traza triángulos mediante el uso del juego geométrico. • Construye triángulos que cumplen con ciertas condiciones establecidas. Otros recursos: use algún software para las mismas actividades. La herramienta permite ir transformando las figuras geométricas. Puede encontrar varias opciones en www.e-sm.com.mx/ GSCM1-18 35 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 35 1/17/13 6:16 PM Lección 19 De cuatro lados Estrategias de enseñanza y aprendizaje • En el procedimiento B, puede generar dudas la palabra equidistar. Explique detenidamente. Por ejemplo: “ubica los puntos de corte (que estén del mismo lado de la recta) de las dos circunferencias”. También se observa que las circunferencias C2 y C3 cortan a la circunferencia C1 en varios puntos. Señale que no cortan al primer segmento. Lección 20 Indicadores de desempeño • Traza cuadriláteros mediante el uso del juego geométrico. • Construye cuadriláteros que cumplen con ciertas condiciones establecidas. Diseños con triángulos y cuadriláteros Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Traza triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. • Explique que los procedimientos pueden ser distintos, por ejemplo: se pueden trazar el cuadrado y el triángulo partiendo de la circunferencia o haciendo rectas perpendiculares; sin embargo, hay que cuidar que el trazado cumpla las condiciones establecidas. • Al final de la actividad 4, procure una socialización del resultado para observar los procedimientos que más posibilidades arrojaron. El alumno debe notar que es más fácil partir de circunferencias. • Construye polígonos regulares a partir de condiciones establecidas. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. 36 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 36 1/17/13 6:16 PM Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo Contenidos Aprendizaje esperado • 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría • 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo • Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros. • 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo Lección 21 Estándar • Utiliza la regla y el compás para efectuar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. Un triángulo al interior de un círculo Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Comprende, describe y construye la circunferencia circunscrita a un triángulo. • Comprende, describe y construye las mediatrices de los lados de un triángulo. • Enfatice en cada actividad el trazo correcto de rectas perpendiculares. Utilice en un software, si es posible, la herramienta de arrastre para ir anotando las características que se observen tras cada movimiento. • Utiliza la regla y el compás para efectuar diversos trazos, como alturas de triángulos y mediatrices. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. 37 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 37 1/17/13 6:16 PM Lección 22 Un círculo en un triángulo Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Genere un debate grupal donde los estudiantes argumenten sus respuestas a las siguientes preguntas. • ¿Por qué el circuncentro no necesariamente está dentro del triángulo y el incentro sí? ¿También el incentro es único? ¿Por qué? • Resalte que las mediatrices son segmentos construidos a partir de los lados de un triángulo y las bisectrices, a partir de sus ángulos. Esta observación ayudará al estudiante a no confundir las rectas notables que está aprendiendo. • Indique cómo al trazar las bisectrices se ha visto que el uso de transportador provoca más errores que el del compás. Lección 23 Indicadores de desempeño • Traza y analiza las propiedades de las bisectrices del triángulo. • Resuelve problemas que implican el trazo de bisectrices, con base en información diversa. • Comprende, describe y construye las bisectrices de los ángulos de un triángulo. • Comprende, describe y construye el incentro de un triángulo. Centro de gravedad Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Resalte que el baricentro o centro de gravedad (intersección de las medianas), además de propiedades geométricas, tiene una propiedad física muy importante, como su nombre lo indica. Para que el estudiante tome conciencia de esto, pídale que elabore triángulos de madera y coloque un lápiz en el baricentro. Con esto se percatara de la veracidad de esta propiedad. • Es interesante y muy estimulante para el alumno aprender por qué el centro de gravedad se encuentra en el baricentro y no en el incentro. Para esto, invítelo a hacer una breve investigación en Internet u otras fuentes sobre este hecho. • Dé la posibilidad, en la actividad 4, de trazar tres o cuatro triángulos; en la 5, sugiera utilizar un color distinto para las medianas, bisectrices y mediatrices. Indicadores de desempeño • Traza y analiza las propiedades de las medianas en un triángulo. • Comprende, describe y construye el baricentro de un triángulo. • Resuelve problemas que impliquen el trazo de medianas, bisectrices, y mediatrices en un triángulo, con base en información diversa. 38 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 38 1/17/13 6:16 PM Lección 24 Las alturas del triángulo Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Esta lección, además de plantear la construcción del ortocentro, invita al estudiante a reflexionar sobre las condiciones que deben cumplir las rectas notables (mediatrices, bisectrices, medianas y alturas) para que coincidan en un triángulo; consígalo con una serie de preguntas distribuidas en diferentes puntos. Debátalas con los alumnos. • Comprende, describe y construye las alturas de los lados de un triángulo. • Ahora que se han visto las diferentes rectas notables de un triángulo, pídales a los estudiantes que, en una cartulina, tracen un triángulo donde no coincidan las rectas notables, y que dibujen cada una de distinto color. • Traza y analiza las propiedades de las alturas, mediatrices y medianas de un triángulo. • Al socializar las respuestas, es importante que se argumente con un trazo o la descripción del trabajo efectuado. • Resuelve problemas que implican el trazo de alturas, mediatrices y medianas de un triángulo, con base en información diversa. • Comprende, describe y construye el ortocentro de un triángulo. Eje. Manejo de la información Tema. Proporcionalidad y funciones 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario • Resuelve problemas vinculados con la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o interés compuesto. • 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple 39 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 39 1/17/13 6:16 PM Lección 25 ¿Son proporcionales? Estrategias de enseñanza y aprendizaje • El alumno debe repasar el concepto de proporcionalidad. Para ello, muestre diversos ejemplos que expresen cómo al aumentar (o disminuir) un valor, aumenta (o disminuye) otro. • Pida que elabore ejemplos donde dos conjuntos de cantidades sean directamente proporcionales. • Por ejemplo: si cada día se ahorran $10.00, después de dos días se habrán acumulado $20.00, y al cabo de seis, $60.00; es decir, si el número de días aumenta el doble, el triple, etc., el dinero ahorrado también lo hace el doble, el triple, etcétera. Indicadores de desempeño • Identifica cuándo una relación es de proporcionalidad. • Elabora, completa y construye tablas donde las cantidades de un conjunto están relacionadas con las de otro. Otros recursos: encuentre ejemplos de problemas donde se aplica la proporcionalidad directa en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-25 Lección 26 El campamento Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Maneja tablas con valores numéricos. • El alumno debe comprender el concepto de proporcionalidad. Por ejemplo: las cantidades en una tabla están en proporción directa si existe un número que, al multiplicar cada cantidad de la primera columna, dé su valor correspondiente en la segunda. Una vez encontrado este valor para cada tabla de la lección, verifique que se cumpla lo mencionado. • Determina, a partir de dos datos, si estos son o no directamente proporcionales. • Obtiene una constante de proporcionalidad. • Resuelve problemas de reparto proporcional. 40 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 40 1/17/13 6:16 PM Lección 27 Repartos justos Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Se muestra el ejemplo de una sastrería donde el reparto de las ganancias entre los socios debe ser proporcional al número de horas que cada quien ha trabajado. Pida a los alumnos que formen varios equipos, y simulen que cada miembro es socio de la sastrería; deben registrar las ganancias y las horas trabajadas al transcurso de una, dos y tres semanas. • Plantee el siguiente problema a los estudiantes: Si 2 kg de naranja cuestan $1.00, ¿cuánto constarán 5 kg? Se observa que hay una relación entre el peso de las naranjas y su precio: 2 kg cuestan $1.00; el de doble de kilos cuesta el doble, $2.00; el triple cuesta el triple, $3.00; un kilo cuesta la mitad, $0.50; y así sucesivamente. Se puede observar que el cociente entre el precio de las naranjas y su peso es siempre constante: 0.5. • Determina, en una situación de reparto proporcional, el valor que corresponde a cada parte. • Resuelve problemas de reparto proporcional. Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples. • Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. • 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles • 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias • 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados • 8.1.8 Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…” 41 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 41 1/17/13 6:16 PM Lección 28 Hablemos de juegos I Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • En la actividad 2, los alumnos, tras varias rondas de juego, notarán que responder al azar no es la mejor estrategia. También observaran que quien dice “17” tiene el juego ganado. Sin embargo, conforme jueguen más partidas, desarrollarán estrategias, razón por la cual elegirá números diferentes a los anteriores, y notará que la estrategia ganadora es tomar tan pronto como sea posible la sucesión 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20. En cambio, si el contrincante supiera de esta sucesión sería mejor tomarla partiendo de 5; de lo contrario no sería posible ganar. Conviene que la actividad se lleve a cabo en dos equipos. Al termino del juego, propicie una discusión que permita concertar estrategias. • Elige las estrategias en función del análisis de resultados posibles. Lección 29 Hablemos de juegos II Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Procure que los alumnos construyan el espacio muestral y comenten sus observaciones. (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Indicadores de desempeño • Identifica y practica juegos de azar sencillos y registra los resultados. • Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples. 42 GUIA_MAT1o_BLOQUE_1.indd 42 1/17/13 6:16 PM Bloque 2 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. • Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor. • 6.3.2 Determinación de múltiplos y divisores de números naturales. Análisis de regularidades al obtener los múltiplos de dos, tres y cinco • 6.5.1 Determinación de divisores o múltiplos comunes a varios números. Identificación, en casos sencillos, del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor • 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos • 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo Lección 30 Divisores y números primos Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Enfatice el hecho de que los números que tienen exactamente dos divisores, uno y el mismo, son números primos. • Por ejemplo, 17 es primo pues sus únicos divisores son 1 y 17. El 21 no es primo pues, además de 1 y 21, tiene como divisores a 7 y a 3. • Pida a los alumnos que den cinco ejemplos de números primos mayores a 50 y de números compuestos; que analicen por qué 1 no es número primo pero tampoco es compuesto. • Formula los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. • Distingue entre números primos y compuestos. 43 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 43 1/24/13 4:17 PM Lección 31 ¿Quién divide a quién? Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Proponga a los alumnos que compartan sus observaciones con el grupo y escriban en sus cuadernos aquellas en las que todos concuerden, completando los criterios de divisibilidad. • Es importante que escriban las condiciones que cumple un número al ser dividido por otro y que las validen, además de que, en caso de ser necesario, las desechen. Si es necesario, sugiérales algunos números para tal efecto. • Formula los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. • Distingue entre números primos y compuestos. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. • Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor. • 6.3.2 Determinación de múltiplos y divisores de números naturales. Análisis de regularidades al obtener los múltiplos de dos, tres y cinco • 6.5.1 Determinación de divisores o múltiplos comunes a varios números. Identificación, en casos sencillos, del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor • 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos • 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo 44 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 44 1/24/13 4:17 PM Lección 32 Mínimo común múltiplo Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Enfatice el hecho de que el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo tras la factorización de los números, hay que tomar los factores comunes (los que aparecen en todos los números) y multiplicarlos. • El máximo común divisor de dos o más números enteros es el mayor número que los divide sin dejar resto (o dejar residuo 0). Si el máximo común divisor de dos números es 1 se dice que estos son primos relativos. Para el cálculo del máximo común divisor de varios números, hay que factorizarlos y tomar los factores comunes elevados al mayor exponente. Lección 33 Indicadores de desempeño • Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Máximo común divisor Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Proponga más ejercicios sobre mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Por ejemplo: Juan, Pedro y María son hermanos. Juan visita a su mamá cada diez días; Pedro, cada doce; y María, cada cinco. ¿Cuántos tiempo transcurren para que los tres vayan a visitarla el mismo día? • Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. 45 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 45 1/24/13 4:17 PM Lección 34 Descomponiendo números Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Proponga más ejercicios sobre mínimo común múltiplo y máximo común divisor de un mismo conjunto de números para reafirmar el conocimiento adquirido. Si observa dificultades, retome los casos y promueva la socialización de los errores y las respuestas correctas. • Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. • Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas. • 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones • 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales • 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos • 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros 46 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 46 1/24/13 4:17 PM Lección 35 La migración indocumentada en Estados Unidos de América Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Es natural que el primer paso del hombre en el tema de las matemáticas sea desarrollar un método para contar, actividad para la que se usan los números naturales. • Enfatice el hecho de que los números son la representación de una idea abstracta y, por tanto, aun cuando dos sean diferentes pueden representar una misma cantidad. Por ejemplo: 1 1 5 kg = kg, 1.250 kg = 1.25 kg , 1 250 g = 1kg + 250 g 4 4 Indicadores de desempeño • Identifica los números naturales. • Comprende cuando dos números expresados de manera diferente representan una misma cantidad. • Representa cantidades de distintas maneras. Otros recursos: consulte el libro del maestro publicado por la sep sobre didáctica de las matemáticas en www.e-sm.com.mx/GSCM1-35a; para estudiar más a fondo el conjunto de números naturales y sus propiedades consulte el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM1-35b Lección 36 Tipo de cambio y algo más Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Proponga más ejercicios de suma y resta de fracciones, y de números decimales. 1 • Tal vez algunos alumnos expresen la fracción como la suma de las 2 1 1 fracciones + , pero la consigna indica que las fracciones deben 4 4 ser unitarias diferentes entre sí, y en este caso, se está sumando la misma fracción unitaria. 1 1 1 • Una manera de obtener la suma es + + ; otra, con solo dos 4 6 12 1 1 + . Esto implica que los alumnos deben buscar sumandos, es 3 6 otras estrategias. • Resuelve problemas aditivos usando fracciones. • Resuelve problemas aditivos usando decimales. • También pueden recurrir a la representación gráfica de las fracciones, la cual los ayudará a comprender mejor lo que se indica. Otros recursos: encuentre más ejemplos de problemas aditivos con fracciones y decimales en www.e-sm.com.mx/GSCM1-36 47 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 47 1/24/13 4:17 PM Lección 37 Salarios y precios Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Revise los avances de cada alumno. Ellos intentarán completar los cuadrados sin hacer las comprobaciones. Sugiérales que identifiquen las casillas en las que solo haga falta un número, que sumen los dos y que determinen con qué número la suma es la indicada. De este modo garantizan que el número que encontraron es correcto. Esta estrategia puede seguir usándose hasta completar cada cuadrado. La actividad, además de favorecer el trabajo en equipo, refuerza los conocimientos y las habilidades adquiridas. • Resuelve problemas aditivos usando fracciones. • Resuelve problemas aditivos usando decimales. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales. • Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios. • 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales • 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional • 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional 48 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 48 1/24/13 4:17 PM Lección 38 La mitad de un cuarto I Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Haga énfasis en el significado de efectuar una división de una fracción entre un número natural. • Es importante que los estudiantes comprendan el significado de lo que se indica en la actividad 4. Puede utilizar como ejemplo la expresión 14 fraccionaria de un número entero, por ejemplo: 5 = __51 ; 7 = __ , etc. 2 • Multiplica medidas fraccionarias por números naturales. Otros recursos: hay más problemas relacionados con la división de fracciones en la liga www.e-sm.com.mx/GSCM1-38 Lección 39 La mitad de un cuarto II Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Aproveche para repasar el tema de fracciones equivalentes y las operaciones con fracciones. Haga las siguientes observaciones. • Al multiplicar cualquier número por 1, este no sufre cambio, es decir, n × 1 = n. Al dividir un número entre sí mismo el resultado es 1, es decir, n =1 n • Dos fracciones son equivalentes si una es el resultado de multiplicar a la otra por un 1 conveniente, por ejemplo: 3 15 3 3 Las fracciones y son equivalentes, pues ×1= , 4 20 4 4 pero • Multiplica medidas fraccionarias entre números naturales . • Resuelve problemas que combinan multiplicación y división de medidas fraccionarias. • Compara medidas fraccionarias. 1 = 5 , así, 3 = 3 × 1 = 3 × 5 = 3 × 5 × 5 = 15 . 5 4 4 4 5 4 20 49 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 49 1/24/13 4:17 PM Lección 40 Vueltas alrededor de un circuito I Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Recuerde a los alumnos que multiplicar por un número natural equivale a sumar esa cantidad reiteradamente; por ejemplo, 3 3 3 3 ×3= + + . 4 4 4 4 • Con este mismo ejemplo puede multiplicar un número natural por 0.75 y enfatizar que el resultado debe ser el mismo que multipicarlo por tres cuartos. Indicadores de desempeño • Multiplica fracciones. • Calcula fracciones de una cantidad determinada. • Identifica una misma cantidad presentada en diferentes representaciones. Otros recursos: encontrará métodos para identificar fracciones equivalentes, así como ejercicios de multiplicación de fracciones, en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM1-40 Lección 41 Vueltas alrededor de un circuito II Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Es conveniente mencionar el concepto de neutro multiplicativo, es decir, del número que tiene la propiedad de que al ser multiplicado por otro, lo deja igual (el neutro multiplicativo es el 1, pues n × 1 = n). Una vez dado este concepto, se puede establecer el inverso multiplicativo: dado un número, su inverso multiplicativo es aquel que al multiplicarlo da el neutro (por ejemplo, el inverso multiplicativo de __21 es 2, pues 1 __1 × 2 = 1); multiplicar por __ n es lo mismo que dividir entre n. 2 • Es oportuno mencionar al estudiante que el proceso es sencillo. Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican en línea. Esto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. Se recomienda mencionar que tomar una fracción de otra fracción es lo mismo que multiplicarlas. Indicadores de desempeño • Comprende el sentido de la multiplicación de fracciones. • Multiplica fracciones. 50 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 50 1/24/13 4:17 PM Lección 42 ¿Qué número multiplicado por 2 da 3? Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Proponga a los alumnos que comparen resultados y justifiquen sus procedimientos para que decidan qué respuestas son correctas. • El alumno deberá ser capaz de resolver problemas que involucren números decimales en operaciones de suma, resta, multiplicación (un número natural por uno decimal) y división (dos números naturales entre sí con cociente decimal y un número decimal entre uno natural). • Es pertinente recordar al alumno que dado un número, su inverso multiplicativo es aquel que al multiplicarlo da el neutro. • Convierte números mixtos a fracciones impropias. • Multiplica fracciones. • Obtiene fracciones de otras fracciones dadas. Otros recursos: como apoyo en el tema de multiplicación de fracciones, consulte el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM1-42 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo Contenidos Aprendizaje esperado • 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría • 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo • 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo • Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros. Estándar • Utiliza la regla y el compás para efectuar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. 51 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 51 1/24/13 4:17 PM Lección 43 A la misma distancia I Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Esta es una recta perpendicular al segmento por su punto medio. • Traza la mediatriz de un segmento de recta. • El alumno debe tener presente que tres puntos determinan un triángulo. Cualquier punto sobre la mediatriz, al unirse con los extremos del segmento de recta, forma un triángulo isósceles. En este, la mediatriz trazada en el lado desigual divide al triángulo en dos triángulos idénticos. Las mediatrices sirven para resolver diferentes problemas geométricos. • Utiliza las propiedades de la mediatriz de un segmento para resolver problemas geométricos. • Traza la perpendicular a un segmento de recta. Otros recursos: encuentre más ejemplos de problemas que involucren la mediatriz de un segmento de recta en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-43 Lección 44 A la misma distancia II Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Traza la bisectriz de un ángulo. • La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Enfatice el buen uso de los instrumentos de trazo para que la figura tenga las propiedades que se piden. • Traza figuras geométricas básicas utilizando regla y compás. • Utiliza las propiedades de la bisectriz de un ángulo para resolver problemas geométricos. Otros recursos: encuentre más ejemplos y métodos de construcción de la bisectriz de un ángulo en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-44 52 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 52 1/24/13 4:17 PM Lección 45 Mediatrices y bisectrices Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño Enseñe al alumno el siguiente método para trazar la bisectriz. • Con centro en el vértice del ángulo, se trazan dos circunferencias cualesquiera. • Se dibuja un segmento de recta que vaya del punto de intersección de la circunferencia mayor con uno de los lados del ángulo hacia el punto de intersección de la circunferencia menor con el otro lado del ángulo. • Se traza otro segmento de recta del punto de intersección del primer lado del ángulo con la circunferencia menor al punto de intersección del segundo lado del ángulo con la circunferencia mayor. • Utiliza las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver problemas geométricos. • Traza figuras geométricas básicas utilizando regla y compás. • La bisectriz del ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto de intersección de las dos rectas trazadas. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras Contenidos • 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras • 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras. • Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen. 53 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 53 1/24/13 4:17 PM Lección 46 Unas fórmulas se originan en otras Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Proporcione al estudiante una gran variedad de ejemplos de triángulos y pídale que complete, en cada uno, los tres posibles rectángulos, tomando cada lado como base de uno. • Todo polígono se puede dividir en triángulos, más aún, un polígono regular de n lados puede dividirse en n triángulos iguales. Repase la definición de ángulo central (son los que tienen como vértice el centro de la circunferencia circunscrita al polígono, y como lados, los lados de los triángulos de la triangulación). Hágale notar que el apotema de un polígono regular es precisamente la altura de los triángulos de la descomposición. Indicadores de desempeño • Reconoce cualquier polígono regular. • Traza polígonos regulares. • Traza polígonos irregulares sencillos. • Justifica la fórmula del área de polígonos regulares. • Justifica la fórmula del área de polígonos irregulares sencillos. Otros recursos: refuerce la justificación de la fórmula del área de un polígono regular en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-46 Lección 47 La mitad del doble Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Identifica trapecios y rombos. • El trapecio y el rombo son paralelogramos que no tienen ángulos rectos; en ellos no se puede aplicar la misma fórmula que en el cuadrado o en el rectángulo. • Explique al estudiante las fórmulas del área del trapecio y del rombo. • Traza trapecios y rombos. • Justifica el área del trapecio y del rombo. • Divide en triángulos un polígono regular y de ahí deduce la fórmula para obtener su área. Otros recursos: consulte justificaciones de la fórmula del trapecio y el rombo en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-47a Encuentre actividades relacionadas con el cálculo del área de triángulos, así como actividades que muestran propiedades de estas en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-47b 54 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 54 1/24/13 4:17 PM Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario • Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto. • 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres empleando valores enteros o fraccionarios • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple Lección 48 Banderas a escala Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Pida al alumno que dibuje en una hoja cuadriculada las copias 1, 2, 3, 4, 5 y 6 de la actividad 1 de esta lección. Esto permite al estudiante comprobar si las figuras que trazó están a escala de la original, ya que, si están bien, la forma y el tamaño de las figuras iguales coincidirán al superponerlas. Si una es más grande o más chica que otra, conviene buscar el error. De esta forma, se refuerza la idea intuitiva que suele tener acerca de la construcción de figuras a escala: dos figuras están a escala si tienen la misma forma. • Resuelve problemas de proporcionalidad de tipo valor faltante, con valor unitario, fraccionario y decimal. • Destaque que las figuras hechas a escala cumplen con dos condiciones: las medidas de los lados correspondientes deben aumentar o disminuir proporcionalmente y, en ambas, los ángulos deben ser iguales. • Reproduce dibujos a escala. 55 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 55 1/24/13 4:17 PM Lección 49 Más del doble pero menos del triple Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Los problemas planteados en esta lección admiten procedimientos diferentes, por lo que conviene resolverlos en equipos. Permita el uso de calculadora. • La estimación de resultados es una habilidad muy útil en la vida diaria. Conduzca al estudiante hacia la estimación de resultados. Por ejemplo, una vez que este haya comprendido de qué se trata el problema, y antes de que comience a resolverlo, pregúntele cuál cree que será el resultado (sin hacer cálculos escritos), a fin de incentivar la habilidad de estimación. Indicadores de desempeño • Resuelve problemas de proporcionalidad operando con fracciones y decimales. • Comprende los conceptos de escala y proporcionalidad, así como la relación entre ellos. Otros recursos: encuentre más problemas de proporcionalidad en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-49 Lección 50 La casita a escala Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Pida con anticipación escuadras, compás, transportador, cartoncillo, tijeras, y colores rojo y azul a cada alumno. Procure que los alumnos resuelvan la actividad 1 en forma individual, la 2 en parejas y la 3 en equipos de cuatro integrantes. Organice una confrontación de resultados al término de la actividad 2 y de la última. • Algunos alumnos pueden tener dificultades para decidir si las afirmaciones son ciertas o falsas. • Si contestan equivocadamente no los corrija. En la confrontación de la siguiente actividad anímelos a que comparen sus respuestas y busquen argumentos que les permitan reconsiderarlas y, si es necesario, corregirlas. Indicadores de desempeño • Identifica un factor de proporcionalidad, ya sea entero o fracción. • Usa los factores de proporcionalidad para reproducir un dibujo a escala. • Compara razones. 56 GUIA_MAT1o_BLOQUE_2.indd 56 1/24/13 4:17 PM Bloque 3 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema: Problemas multiplicativos 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales. • Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios. • 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales • 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional • 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional Lección 51 Multiplicar y dividir entre 10, 100 y 1 000 Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • En esta lección se sugiere efectuar operaciones lo menos posible. Es pertinente proponer actividades donde los alumnos hagan estimaciones y cálculos mentales, tanto en situaciones numéricas como de medición, estadísticas u otras. • Multiplica por potencias de 10 con la menor cantidad de operaciones posible. • Exponga que multiplicar un número decimal por 10n es recorrer n lugares el punto decimal hacia la derecha; y dividir un número decimal por 10n, recorrer n lugares el punto decimal hacia la izquierda. • Divide entre potencias de 10 con la menor cantidad de operaciones posible. Otros recursos: para que el alumno encuentre ejercicios interactivos de divisiones entre 10 recomiende la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-51 57 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 57 1/18/13 11:19 AM Lección 52 Técnicas para multiplicar decimales Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Fomente el trabajo en equipo, ya que permite que los alumnos intercambien puntos de vista, socialicen sus estrategias y las validen o rectifiquen al solucionar un problema o un ejercicio numérico. • Para multiplicar dos números decimales, se multiplican ambos como si fueran números naturales. Luego se coloca el punto decimal en el resultado, separando tantas cifras como decimales tengan en conjunto los dos factores. Menciónele al alumno que una vez que aprende a multiplicar con números naturales, hacerlo con decimales no es complicado; solo hay que cuidar el lugar que le corresponda al punto decimal en el resultado. • Convierte fracciones a decimales. • Convierte decimales a fracciones. • Multiplica números decimales. Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario • Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto. • 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple 58 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 58 1/18/13 11:19 AM Lección 53 Copias de copias Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Identifica relaciones de proporcionalidad. • Enfatice que la multiplicación es una operación conmutativa (es decir, que sin importar cuál sea el orden de los factores que se multipliquen, el resultado será el mismo) y que multiplicar y dividir en realidad son la misma operación (pues dividir un número entre n equivale a multiplicarlo por __n1 . Por esto, el estudiante notará que aplicar el factor m de escala “por __ n ” equivale a producir una reducción, con el factor 1 __ “por n ”, y una ampliación, al multiplicar por el factor “por m”. • Aplica de forma sucesiva factores constantes de proporcionalidad. • Comprende la multiplicación de fracciones como composición de un operador que divide y uno que multiplica. Otros recursos: encuentre ejemplos de problemas en los que se aplica la proporción directa en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-53 Lección 54 Engranajes I Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Es conveniente ver cómo funcionan los engranes de las bicicletas. • Resuelve problemas de proporcionalidad entre dos cantidades de la misma naturaleza. • Hay que rotarlos con cuidado; es importante procurar que los resultados permitan llegar a las conclusiones de la lección. • En caso de que no conseguir una bicicleta, deje de tarea que los alumnos investiguen cómo funciona. Sugiérales que marquen con un color el diente con el que empiezan a girar los dos engranes para facilitar el conteo de las vueltas. • Pida a los alumnos que, una vez que averigüen que con una vuelta del engrane grande (24 dientes) el pequeño (doce dientes) da dos, anticipen, sin usar material, cuántas vueltas daría el engrane chico cuando el grande diera seis. • Identifica el “operador multiplicativo” entero o fraccionario que, aplicado a uno de los conjuntos, da las cantidades del otro. • Aplica sucesivamente factores constantes de proporcionalidad. 59 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 59 1/18/13 11:19 AM Lección 55 Engranajes II Estrategias de enseñanza y aprendizaje • El principal objetivo de esta lección es estudiar propiedades que caracterizan la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad; para ello, se recuperan los conocimientos que ya se han trabajado sobre la multiplicación de fracciones. • Permita que los alumnos resuelvan las actividades con lo que ya saben, y que confronten sus procedimientos en las comparaciones grupales. Indicadores de desempeño • Resuelve problemas de proporcionalidad entre dos cantidades de la misma naturaleza. • Identifica el operador multiplicativo entero o fraccionario que, aplicado a uno de los conjuntos, da las cantidades del otro. • Aplica sucesivamente factores constantes de proporcionalidad. Otros recursos: como apoyo del tema de variación proporcional, se recomienda la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-55 Lección 56 Desandar el camino. El factor recíproco I Estrategias de enseñanza y aprendizaje • El neutro de un conjunto de números respecto a una operación es aquel que, al operarlo con esta, deja al número igual. Por ejemplo, el 0 es neutro aditivo, pues a + 0 = a para todo número a; en el caso de la multiplicación, el neutro multiplicativo es 1, pues a × 1 = a. El inverso de un número en un conjunto, respecto a una operación, es aquel que al operarlo con este nos da el neutro, por ejemplo, el inverso aditivo de 5, es −5, pues 5 + (–5) = 0. • En el caso de la multiplicación, el inverso multiplicativo de n es __n1 pues n × __n1 = __nn = 1. Es importante que el estudiante observe que por este medio es posible partir de un número, multiplicarlo y, posteriormente, volver al número original. Llamamos al inverso multiplicativo de un número fracción recíproca. Indicadores de desempeño • Multiplica por la fracción recíproca para dividir entre una fracción. 60 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 60 1/18/13 11:19 AM Lección 57 Desandar el camino. El factor recíproco II Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • El estudiante ha visto ya que el recíproco del número n es el número __n1 según lo cual, dividir un número entre otro es lo mismo que multiplicarlo por su recíproco (o inverso multiplicativo). Plantéele la siguiente cuestión. • ¿Cuál es el recíproco del m número __ n? • Divide entre una fracción como la multiplicación por la fracción recíproca. • Recuerde que el recíproco de un número es aquel que al multiplicarlo por este da el neutro (es decir, 1). Otros recursos: consulte más información respecto a las propiedades de los números, la conmutatividad (de la suma y multiplicación), la asociatividad (de la suma y de la multiplicación), el neutro y el inverso, tanto multiplicativo como aditivo en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-57 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales. • Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios. • 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales • 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional • 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional 61 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 61 1/18/13 11:19 AM Lección 58 Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan I Estrategias de enseñanza y aprendizaje • En esta lección se estudia de nuevo el tema de aplicar problemas que impliquen multiplicar y dividir tanto fracciones como decimales. El objetivo es que el estudiante desarrolle sus habilidades mentales, como la capacidad de análisis y el planteamiento de problemas. • Es conveniente que siga ejercitando sus habilidades aritméticas. Indicadores de desempeño • Identifica los problemas que implica multiplicar por fracciones y decimales. • Identifica los problemas que implica dividir por fracciones y decimales. Otros recursos: consulte El libro del maestro, publicado por la Secretaría de Educación Pública, referente a la didáctica de las matemáticas en www.e-sm.com.mx/GSCM1-58 Lección 59 Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan II Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Promueva el uso de material concreto para que los alumnos resuelvan y verifiquen sus respuestas, y faciliten la socialización de los procedimientos y la búsqueda de errores. La actividad 1 de esta lección es propicia para este fin. Tenga presente que los intentos fallidos de los alumnos al resolver un problema forman parte de su proceso de aprendizaje y pueden ser aprovechados. • En esta lección es importante que el alumno analice los problemas y, más allá de que sepa la forma correcta de efectuar las operaciones, estime los resultados y comente con sus compañeros sus razonamientos. Indicadores de desempeño • Estima los resultados de multiplicaciones con números decimales. • Estima los resultados de divisiones con números decimales. 62 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 62 1/18/13 11:19 AM Lección 60 Técnicas para dividir decimales Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Para dividir números decimales, debemos preocuparnos por tener la misma cantidad de decimales tanto en el dividendo como en el divisor. • Conviene subrayar que, al dividir entre un número mayor a 0 y menor a 1, el cociente resultará mayor que el dividendo; si el número es mayor a 1, el cociente será menor que el dividendo. • Señale al estudiante las siguientes condiciones. • Al multiplicar un número decimal por 10n se recorre el punto decimal n lugares a la derecha. • Al dividir un número entre 10n se recorre el punto decimal n lugares a la izquierda. • Divide números decimales. • Resuelve problemas con números decimales. Otros recursos: para reforzar el aprendizaje y la práctica de la división de números decimales, consulte la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-60 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones 7.3.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios Contenidos • 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar • 7.3.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. • Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas. 63 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 63 1/18/13 11:19 AM Lección 61 Adivinanzas I Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Interpreta problemas que involucren una incógnita. • En esta lección, mediante adivinanzas y acertijos, intuitivamente se comienza a introducir el álgebra, la cual se presenta al estudiante como un método para adivinar valores faltantes en un problema. Por supuesto, no se trata de adivinar, sino de deducir mediante operaciones algebraicas el valor de una incógnita. • Aproveche esta sección para que el alumno desarrolle su capacidad de abstracción. Recuérdele al grupo que los números son símbolos que representan una cantidad y que las literales funcionan con las mismas reglas que estos. Lección 62 • Plantea problemas que le den sentido al uso de ecuaciones de primer grado con una incógnita. • Resuelve problemas que le den sentido al uso de ecuaciones de primer grado con una incógnita. • Identifica las operaciones necesarias para llegar de una cantidad a otra en una “adivinanza” algebraica. Adivinanzas II Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Usa la terminología de las ecuaciones. • En esta lección se introducen las ecuaciones con más formalidad que en la anterior. Es importante decirle al alumno que la palabra ecuación se refiere a igualdad. Este debe percibir a las ecuaciones (por lo pronto, las lineales, de primer grado) como un recurso para resolver una gran diversidad de problemas. • Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce el valor de una o más cantidades (incógnitas). • Interpreta y plantea ecuaciones para resolver determinados problemas. • Utiliza el procedimiento de ensayo y error en la estimación del resultado de ecuaciones lineales de una incógnita. Otros recursos: encuentre problemas algebraicos para nivel secundaria en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-62 64 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 64 1/18/13 11:19 AM Lección 63 Balanzas en equilibrio Estrategias de enseñanza y aprendizaje • En esta lección se relaciona el concepto de ecuación con la noción de equilibrio. Es importante que el estudiante comprenda que lo primordial al resolver una ecuación es no perder la igualdad. De la misma forma en que en una balanza debe mantener el equilibrio con el mismo peso en cada plato, en una ecuación se debe conservar el mismo valor; si restamos de un lado del signo igual una cantidad, debemos restar lo mismo del otro lado, por ejemplo. Lección 64 • Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Podemos obtener ecuaciones equivalentes sumando, restando, multiplicando o dividiendo en ambos miembros por el mismo número. • • Comprende que en el proceso de resolver una ecuación, al efectuar una operación en uno de los lados de la igualdad, esta debe ser aplicada al otro con el fin de preservar dicha igualdad. • Resuelve ecuaciones mediante las propiedades de la igualdad. Ecuaciones equivalentes Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Indicadores de desempeño Caso 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación que resulta es equivalente a la dada. Caso 2. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto a 0, la ecuación resultante es equivalente a la dada. Indicadores de desempeño • Determina cuándo dos ecuaciones son equivalentes. • Resuelve ecuaciones mediante las propiedades de la igualdad. Otros recursos: encuentre ejercicios interactivos con ecuaciones equivalentes en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-64 65 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 65 1/18/13 11:19 AM Lección 65 Problemas diversos Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • En esta lección se plantean problemas cotidianos para los cuales un recurso de solución es aplicar una ecuación lineal con una incógnita. • Interpreta problemas que impliquen ecuaciones de primer grado. • Propicie en el alumno el estudio de la realidad desde un punto de vista algebraico o su capacidad para interpretar una expresión algebraica con ese enfoque, en lugar de hacer hincapié en el aprendizaje de métodos algorítmicos. • Plantea problemas utilizando ecuaciones de primer grado. • Para ello, la interrelación entre situación cotidiana y álgebra debe estar presente en la lección desde el inicio, en los ejemplos, en las prácticas, en los ejercicios, en el mismo aprendizaje de los algoritmos. • Resuelve problemas mediante ecuaciones de primer grado. Otros recursos: para encontrar un banco de problemas diversos que involucran ecuaciones de primer grado puede consultar la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-65 Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella Contenidos • 7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella • 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas Aprendizaje esperado • Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas. Estándar • Utiliza la regla y el compás para efectuar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. 66 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 66 1/18/13 11:19 AM Lección 66 Polígonos y doblado de papel Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Clasifica un polígono (regular o irregular). Procure que el alumno distinga el ángulo central y los ángulos interiores en un polígono. Dos hechos que resulta útil tener presentes son los siguientes: • los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, • la circunferencia tiene 360°, y • la suma del ángulo central más el ángulo interior da siempre 180°. • Solicite al alumno que localice todos los polígonos posibles a su alrededor, a fin de que se familiarice con el concepto. • Identifica el nombre de un polígono regular a partir de su número de lados. • Obtiene la medida de los ángulos centrales de un polígono regular. • Construye polígonos regulares a partir de distintas informaciones. Otros recursos: encontrará distintos métodos de construcción de polígonos, así como ejercicios interactivos para practicarla, en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-66 Lección 67 Relaciones interesantes Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Clasifica un polígono (regular o irregular). • Enfatice que hay polígonos regulares e irregulares, siendo los regulares aquellos cuyos lados tienen la misma medida (en consecuencia, todos sus ángulos interiores también coinciden) y los irregulares, aquellos que tienen al menos un lado diferente. • Todo polígono regular puede ser inscrito en una circunferencia, lo cual quiere decir que sus vértices forman parte del conjunto de puntos de dicha circunferencia. Dados diferentes datos (por ejemplo, la medida de sus lados o de los ángulos interiores, el radio de la circunferencia circunscrita, etc.) se puede construir un polígono regular. • Identifica el nombre de un polígono regular a partir de su número de lados. • Obtiene la medida de los ángulos centrales de un polígono regular. • Construye polígonos regulares a partir de distintas informaciones. 67 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 67 1/18/13 11:19 AM Lección 68 Vitrales Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Mide ángulos con transportador. • La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada se basa en la división de esta en partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la cuerda correspondiente a cada arco, es decir, el lado del polígono; en otras, pasa por el ángulo central del polígono correspondiente. • Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados en un solo sentido, sino que, partiendo de un vértice, se lleve la mitad en una dirección y la otra, en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción inherentes al instrumento o al procedimiento. • Calcula ángulos con determinada información (un ángulo que es mitad de otro que mida 90° medirá 45°; la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°; etcétera). • Traza figuras geométricas utilizando regla, escuadra, transportador y compás. • Construye polígonos regulares a partir de distintos datos conocidos. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares Contenidos • 5.4.6 Construcción y uso de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos, ya sea como resultado de la suma de lados o como producto • 6.5.4 Armado y desarmado de figuras en otras diferentes. Análisis y comparación del área y el perímetro de la figura original y la que se obtuvo • 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras Aprendizaje esperado • Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. • Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras. Estándar • Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen. • 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares 68 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 68 1/18/13 11:19 AM Lección 69 La plaza Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Motive al alumno a buscar plazas o jardines donde se observen polígonos regulares, y a que calcule el área que ocupan y el material necesario para su construcción, lo cual reforzará el conocimiento adquirido de área y perímetro de polígonos regulares. Lección 70 Indicadores de desempeño • Calcula el perímetro de un polígono regular. • Calcula el área de un polígono regular. Mesas y polígonos regulares Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Motive al alumno a buscar objetos o muebles donde se observen polígonos regulares, y a que calcule sus áreas y perímetros. Indicadores de desempeño • Calcula el perímetro de un polígono regular. • Calcula el área de un polígono regular. 69 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 69 1/18/13 11:19 AM Lección 71 Más sobre el área de polígonos regulares Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Motive al alumno a trabajar en equipo discutiendo sobre los resultados obtenidos en las lecciones anteriores y respondiendo a las preguntas de estas. Comparar sus resultados le permitirá socializar y corregir los posibles errores que haya cometido. • Calcula el perímetro de un polígono regular. • Calcula el área de un polígono regular. Otros recursos: encuentre información de construcciones de polígonos y diversos problemas en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-71 Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples. • Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. • 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles • 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias • 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados • 8.1.8 Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…” 70 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 70 1/18/13 11:19 AM Lección 72 Creencias y realidades Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Es importante que el alumno anticipe los resultados de una experiencia aleatoria y los registre en una tabla de frecuencias. Hágale preguntas acerca de los posibles resultados (espacio muestral) y pídale que los escriba e indique si alguno tiene mayores posibilidades de ocurrir. • Mide, estima, agrupa y analiza información mediante el uso de tablas de frecuencias. Lección 73 Para comparar datos Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Es importante que el alumno anticipe los resultados de una experiencia aleatoria y los registre en una tabla de frecuencias para su análisis y comparación. • Mide, estima, agrupa y analiza información mediante el uso de tablas de frecuencias. 71 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 71 1/18/13 11:19 AM Lección 74 Lanzamiento de un dado Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Solicite al alumno que elabore el dado con cartulina y que, en equipo, compare resultados y analice la información. Es importante que experimente y note, por ejemplo, que aunque al lanzar una moneda al aire existe la misma posibilidad de que caiga sol o águila, si hace dos lanzamientos, pueden salir dos soles o dos águilas, es decir, cuando un experimento se lleva a cabo puede no ocurrir lo que uno supone, aunque si se efectúa muchas veces, se puede asegurar que en la mitad de ellas caerá sol y en la otra, águila. • Mide, estima, agrupa y analiza información mediante el uso de tablas de frecuencias. Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos 7.3.8 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información. • Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media. • 6.1.8 Lectura de datos contenidos en tablas y gráficas circulares, para responder diversos cuestionamientos • 6.2.5 Lectura de datos, explícitos o implícitos, contenidos en diversos portadores para responder preguntas • 7.3.8 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa • 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada 72 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 72 1/18/13 11:19 AM Lección 75 ¿Es mucho o es poco? Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Pida a los alumnos que analicen, en equipo, la siguiente gráfica de barras, la cual muestra los resultados de una encuesta a un grupo de alumnos respecto a su deporte favorito. • • • • • • 20 15 • Reconoce cuándo una frecuencia es absoluta y cuándo es relativa. 10 Tenis Beisbol Basquetbol 0 Futbol 5 Voleibol Núm. de alumnos • Solicite que, posteriormente, contesten las preguntas. 1. ¿Cuál es el deporte de mayor preferencia? Futbol 2. ¿Y de menor? Tenis 3. ¿Cuántos alumnos prefieren el basquetbol? 12 4. ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? 47 5. ¿Cuántos no eligieron basquetbol? 35 6. ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere futbol? 31.91% Otros recursos: para profundizar en el tema de frecuencia absoluta y relativa, revise la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-75 Lección 76 Elecciones Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Promueva la discusión y el análisis de tablas de frecuencia absoluta y relativa a partir de la información de esta lección, y buscar tablas actuales en noticias o periódicos para fortalecer el conocimiento adquirido. Indicadores de desempeño • Reconoce cuándo una frecuencia es absoluta y cuándo es relativa. • Analiza información a partir de tablas de frecuencia absoluta y relativa. 73 GUIA_MAT1o_BLOQUE_3.indd 73 1/18/13 11:19 AM Bloque 4 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. • Resuelve problemas aditivos que implican efectuar cálculos con expresiones algebraicas. • 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones • 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales • 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos • 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros Lección 77 Temperaturas bajo cero Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • El estudiante analizará cómo los números negativos permiten modelar y resolver diferentes situaciones cotidianas. • Muéstrele que en la vida hay muchas situaciones donde intervienen dos cantidades o conceptos contrarios: arriba-abajo, sube-baja, izquierda-derecha, norte-sur, caliente-frío. En el caso de los números, todo número positivo tiene su negativo, ambos de naturaleza contraria, es decir, +2 tiene al negativo –2. Por ejemplo, en lo que se refiere a un elevador +2 significaría “piso 2 arriba del suelo”, mientras que –2, “piso 2 abajo del suelo”. • Resuelve problemas que implican el uso de números con signo. 74 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 74 1/18/13 10:21 AM Lección 78 Números opuestos Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia de 0 porque están formados por el mismo número natural, el 3, aunque con distinto signo. Al 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así: |+3| = |–3 | = 3. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo; se indica poniendo el número entero entre barras. Enfatice que el valor absoluto es una distancia y, como todas las distancias, es siempre positivo. Lección 79 Indicadores de desempeño • Determina el valor absoluto de un número entero. • Sabe cuál es el número opuesto de un entero. Estadísticas del futbol mexicano Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Explore lo que saben los estudiantes acerca del conteo de goles: cómo se calcula la diferencia y para qué sirve. Analice la tabla e identifique con ellos qué significa cada columna, en especial la que se refiere al goleo a favor y en contra de los equipos. Aproveche la lección 76 para trabajar el significado de una diferencia de goles negativa. Indicadores de desempeño • Resuelve problemas de números con signo. • Cerciórese de que los estudiantes entiendan las preguntas antes de contestarlas. Analice con ellos el ejemplo y comente los procedimientos para resolver el inciso 4a. Otros recursos: recomiende al estudiante la siguiente liga sobre el tema suma de números con signo www.e-sm.com.mx/GSCM1-79 75 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 75 1/18/13 10:21 AM Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas Contenidos Aprendizaje esperado • 7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella • Construye círculos y polígonos regulares que cumplan conciertas condiciones establecidas. • 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas Lección 80 Estándar • Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. El círculo en la arquitectura Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • En esta lección, el alumno puede dibujar y divertirse mientras utiliza conocimientos básicos de geometría. Retome lo que los estudiantes conocen del círculo y la circunferencia. Comente cuáles y cuántas figuras trazaron en cada caso y cómo lo hicieron. Promueva una comparación entre los dibujos y un intercambio de estrategias. Ponga especial atención al caso de los círculos y el trazo de arcos de circunferencia. • Construye círculos a partir de diferentes condiciones. 76 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 76 1/18/13 10:21 AM Lección 81 Círculos y algo más Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Propicie que, en plenaria, se construya una definición de círculo. Procure que se concluya que es la única figura donde todos sus puntos están a la misma distancia del centro. Retome lo que los alumnos conocen acerca de la construcción de figuras con regla y compás. Promueva una comparación entre dibujos y un intercambio de estrategias. • Resuelve problemas que se relacionan con el trazo de círculos. Otros recursos: para conocer más teoremas y demostraciones respecto a la construcción y las propiedades de figuras geométricas, consulte el libro Radmila, B. y Gómez, J. A. (2002). Geometría. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. México: Instituto de Matemáticas-unam. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. • Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen. • 6.4.5 Cálculo de la longitud de una circunferencia mediante diversos procedimientos • 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro • 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas • 8.1.5 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides 77 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 77 1/18/13 10:21 AM Lección 82 Dar la vuelta Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Aproveche la diferencia de resultados (imprecisiones en la medición) que habrá entre los estudiantes al medir el diámetro y la circunferencia, y al hacer la división de los valores, para comentar sobre las características de π. Es probable que los valores de la última columna no coincidan; comente por qué. Tenga en cuenta que estarán trabajando con aproximaciones; no intente forzar los resultados. • Cuando encuentren el valor de π, motive al estudiante relatando brevemente la historia y algunas características de este número: es un número irracional, el cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. Lección 83 • Conoce el número π. • Justifica la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia. • Calcula el perímetro de un círculo. En la pizzería Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • En esta lección se justifica la fórmula para obtener el área de un círculo. Trabaje con los estudiantes a partir de polígonos regulares inscritos y circunscritos en una circunferencia. Observe cómo se aproximan las áreas de los polígonos regulares a la del círculo conforme aumenta su número de lados. Enfóquese en la relación entre el radio del círculo y las apotemas de los polígonos. Use la p×a fórmula del área de cualquier polígono regular, A = ___ , para justificar 2 la del círculo. • Justifica la fórmula para calcular el área del círculo. • Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la longitud; por tanto, el área es p×a (2×π×r)×r L×r _______ _____ A = ___ = ___ = = 2×π×r 2 2 2 2 2 78 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 78 1/18/13 10:21 AM Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario. • Resuelve problemas vinculados con la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto. • 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple Lección 84 La regla de tres Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • En lecciones anteriores se han visto estrategias y herramientas para abordar problemas de proporcionalidad directa. En esta lección se presenta una de las más comunes: la regla de tres simple. Este método permite conocer a partir de tres datos un cuarto faltante. Mencione a los alumnos que se basa en que, en una relación de proporcionalidad directa, los cocientes de dos cantidades que se corresponden son siempre iguales entre sí. • Utiliza la regla de tres para resolver problemas de proporcionalidad con fracciones y decimales. Otros recursos: como apoyo para la exposición de este tema y para obtener más ejemplos, consulte la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-84 79 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 79 1/18/13 10:21 AM Lección 85 Un mismo problema, varias técnicas Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Presénteles a sus alumnos diferentes situaciones de variación proporcional y no proporcional, para que analicen en cuáles es posible predecir lo que sucederá con otros datos. Por ejemplo, si el martes primero de junio la temperatura es de 24°, no puede predecirse la del día siguiente. En cambio, si 2 kg de tortilla cuestan $1.50 puede calcularse el precio de 3 kg. En esta lección se presentan los cinco métodos que se han visto en lecciones anteriores para resolver problemas de proporcionalidad. Conviene que el estudiante desarrolle su propio criterio para elegir el método que utilizará. • Resuelve problemas de proporcionalidad con fracciones y decimales mediante distintos procedimientos. Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario. • Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto. • 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple 80 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 80 1/18/13 10:21 AM Lección 86 Factores de escala I Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Como en esta lección se trabajará con factores de escala que involucrarán operaciones con fracciones, haga un breve repaso de tales números, pues generalmente al alumno se le dificultan este tipo de operaciones. • Es importante que se visualice el concepto de factor de escala. Enfatice por qué cuando se aplican varios factores de escala el resultado final es una multiplicación. El ejercicio 1, además de desarrollar la intuición geométrica del alumno, lo ayudará a relacionar el factor de escala con el tamaño de una figura geométrica, lo cual aumentará su capacidad de abstracción. Indicadores de desempeño • Aprende el concepto de factor de escala y lo usa sin importar el tipo de número que sea; identifica de manera clara que dependiendo del valor de este, la figura aumentará o disminuirá de tamaño. • Identifica que el producto de los factores de escala dan el factor del resultado final. Otros recursos: obtenga más información acerca de los factores de escala en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-86 Lección 87 Factores de escala II Estrategias de enseñanza y aprendizaje • En esta lección se pretende que el alumno, mediante el razonamiento aprendido en la anterior, infiera el valor de los lados de una figura a partir de estos aumentados o disminuidos por un cierto factor de escala. Estimule el razonamiento del alumno para que llegue al concepto de factor inverso. Indicadores de desempeño • Comprende el significado de un factor de escala fraccionario, así como aprende a manejar el concepto de factor recíproco. • Interpreta los cambios que sufre una figura de acuerdo con el factor de escala a través de la información numérica. 81 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 81 1/18/13 10:21 AM Lección 88 Del maíz a las tortillas Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Esta lección está dedicada al uso de proporciones, las cuales se introducen mediante un problema. Desglose en el pizarrón los datos con los que se cuenta, de modo que el desarrollo de las relaciones sea inductivo. Muestre a los alumnos la regla de tres y su funcionamiento. Escriba en el pizarrón la información con la que se cuenta: • Comprende el significado de un factor de proporcionalidad y su uso en el planteamiento de ecuaciones simples. (1) 5 kg de maíz→3 kg de harina (2) 2 kg de harina→5 kg de masa (3) 10 kg de masa→ 7 kg de tortilla • De este modo, las reglas de tres mostradas en el ejercicio 2 serán más comprensibles. • Sustituye en las fórmulas los datos que se tienen para encontrar el valor de las incógnitas y resolver diversos tipos de problemas de proporcionalidad. Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples. • Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. • 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles • 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias • 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados • 8.1.8 Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…” 82 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 82 1/18/13 10:21 AM Lección 89 Tarjetas de felicitación Estrategias de enseñanza y aprendizaje • En este tema se introducen herramientas de conteo. El estudiante puede calcular las distintas posibilidades de organizar determinados conjuntos. Haga que calculen de cuántas formas podrían acomodarse si hay el mismo número de alumnos que de bancas; de cuántas formas, si quitamos algunas bancas y sobran estudiantes; y de cuántas, si tuviéramos más bancas que estudiantes. Indicadores de desempeño • Calcula permutaciones. • Calcula combinaciones de conjuntos sencillos. • Elabora diagramas de árbol. Otros recursos: para más información y ejemplos de permutaciones y combinaciones, puede consultar la liga www.e-sm.com.mx/GSCM1-89 Lección 90 Futbol Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • En este tema se introducen dos nuevos métodos de conteo. Hacer gráficas es bastante útil para facilitar el conteo de las posibilidades o de los objetos de un conjunto, donde cada uno sea representado por un vértice y la combinación entre estos se represente con una arista. • Calcula permutaciones que impliquen conjuntos de pocos elementos. Plantee el siguiente ejemplo, en adición a los ejercicios del libro: • Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas palabras distintas sepueden formar? • Al tratarse de palabras, el orden importa. • Además n = m, es decir, tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos (D, I, S, C, O) que no están repetidos. Se pueden formar 120 palabras: • Calcula combinaciones de conjuntos con pocos elementos. • Utiliza multiplicaciones y tablas de doble entrada en la resolución de problemas de conteo. 83 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 83 1/18/13 10:21 AM Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información. • Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media. • 6.1.8 Lectura de datos contenidos en tablas y gráficas circulares, para responder diversos cuestionamientos • 6.2.5 Lectura de datos, explícitos o implícitos, contenidos en diversos portadores para responder preguntas • 7.3.8 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa • 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada Lección 91 Deportistas de México Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Usualmente se utiliza una gráfica de barras para representar datos organizados en una tabla. Se pueden hacer comparaciones de usuarios de diferentes servicios, tipos de medicamentos que son administrados con mayor o menor frecuencia, número de consultas por servicio, etcétera. Recuerde a los estudiantes que estas gráficas se utilizan cuando la información corresponde a una serie de sucesos (escala nominal) para comparar dos o más grupos entre sí (se sugiere que no más de seis). • Lee e interpreta gráficas de barras. 84 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 84 1/18/13 10:21 AM Lección 92 México en el año 2000 Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Las gráficas circulares, denominadas también de pastel, se utilizan para mostrar porcentajes y proporciones. Los elementos comparados en un gráfico circular no deben ser más de cinco, ordenando los segmentos de mayor a menor, iniciando con el más amplio a partir de las 12:00, como en un reloj. Algunas características de la gráfica circular son las siguientes. • El empleo de tonalidades o colores, al igual que en la gráfica de barras, facilita la diferenciación de los porcentajes o proporciones. • El número máximo de elementos a graficar no debe ser mayor a cinco. • Si se hacen las gráficas manualmente, una buena manera de distinguir las porciones es con el sombreado, donde el tono oscuro se le asignara a la porción más grande y el más claro, a la de menor tamaño. Lección 93 • Lee, interpreta y construye gráficas circulares. Información diversa Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Enfatice que algunos tipos de gráfica son más adecuados para ciertos resultados, y que una diferencia entre una gráfica de barras y una circular es que en la segunda se representa el total de la muestra estudiada, mientras que en la primera no siempre es así. • Lee e interpreta gráficas de barras. • Los pasos para crear una gráfica de barras son los siguientes. • Dibuje los ejes vertical (y) y horizontal (x). • En el eje vertical se crea una escala que mida las frecuencias de la variable (por ejemplo, número de medicamentos, de usuarios, etcétera.). • En el eje horizontal se pone la escala nominal, que se refiere a las diferentes características o cualidades de la variable (por ejemplo, sexo femenino, tipos de medicamento, etcétera). • Se dibuja un rectángulo para cada característica o cualidad de la variable. La altura de la barra representará la frecuencia en la que la característica fue observada. • Lee e interpreta gráficas circulares. • Construye gráficas de barras. • Construye gráficas circulares. • Establece qué tipo de gráfica es conveniente para representar determinada información. 85 GUIA_MATE1o_BLOQUE_4.indd 85 1/18/13 10:21 AM Bloque 5 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. • Resuelve problemas aditivos que implican efectuar cálculos con expresiones algebraicas. • 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones • 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales • 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos • 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros Lección 94 Suma de números con signo I Estrategias de enseñanza y aprendizaje • La suma de dos números enteros de distinto signo da otro número entero, cuyo valor absoluto es igual a la diferencia entre los valores absolutos de los sumandos y cuyo signo es el del sumando de mayor valor absoluto. Como caso particular, se presenta la suma de dos números enteros opuestos, cuyo resultado es igual a 0. • Sumar un número entero positivo significa desplazarse hacia la derecha en la recta numérica, y sumar uno negativo, desplazarse hacia la izquierda. Indicadores de desempeño • Resuelve sumas de números con signo. Otros recursos: como apoyo al tema de los números con signo, le sugerimos consultar el libro del maestro publicado por la Secretaría de Educación Pública sobre didáctica de las matemáticas en www.e-sm.com.mx/GSCM1-94 86 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 86 1/18/13 11:20 AM Lección 95 Suma de números con signo II Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Recuerde al estudiante la noción de valor absoluto. Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia de 0. Ocurre así porque están formados por el mismo número natural, 3, aunque con distinto signo. Al 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se representa así: |+3| = |−3 | = 3. El valor absoluto de un número entero es una distancia y, como todas las distancias, es siempre positivo. Destaque lo siguiente. • Cuando los números enteros tienen el mismo signo se suman, y el resultado queda con el signo de los sumandos. Indicadores de desempeño • Determina el valor absoluto de un número entero. • Calcula el número opuesto de un entero. • Resuelve sumas de números con signo. • Cuando los números tienen distinto signo se resta el menor al mayor (ambos en valor absoluto), y el resultado lleva el signo del mayor (también en valor absoluto). Lección 96 Resta de números con signo Estrategias de enseñanza y aprendizaje • El estudiante está acostumbrado a que a un número mayor se le puede restar un número menor. En esta lección verá que es posible hacerlo aun cuando el sustraendo sea mayor que el minuendo; es decir, que una resta se puede hacer con cualquier par de números con signo. Retome lo visto en el bloque 4 al respecto. El estudiante debe observar que restar números con signo es equivalente a sumar a un número el opuesto de otro, por ejemplo: 5 − 3 = 5 + (−3). Indicadores de desempeño • Resta números con signo. • Representa una adición o una sustracción • Restar un número positivo significa desplazarse hacia la izquierda en la recta numérica; restar un número negativo significa hacerlo hacia la derecha. Otros recursos: para encontrar ejercicios interactivos sobre suma de números con signo visite la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-96 87 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 87 1/18/13 11:20 AM Lección 97 Juegos con números Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Un cuadrado semimágico es un arreglo de números dispuestos en un cuadrado de m casillas de lado, de forma que la suma de los números sea siempre el mismo en cada fila y columna del cuadrado. Un cuadrado mágico es uno semimágico donde la suma de los números en las dos diagonales principales es igual a la suma de los números de cualquier hilera. En esta lección se presenta un ejemplo de resolución de problemas por medio de la suma y resta de números con signo mediante la construcción de cuadrados mágicos. • Resuelve problemas que implican suma y resta de números con signo. • Resuelve y elabora cuadrados mágicos. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas Contenidos Aprendizaje esperado • 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas • Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. • 7.5.3 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales • 8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo • Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. Estándar • Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios. 88 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 88 1/18/13 11:20 AM Lección 98 Cantidades astronómicas o microscópicas Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • En ocasiones, al trabajar con cantidades pequeñas o grandes hay errores, sobre todo cuando se tienen que comparar u operar. Procure que la resolución de las actividades no se haga de manera mecánica y se analicen los procedimientos para escribir las cantidades que se presentan en su notación científica, y se determine por qué se aplican las potencias de 10 como factor para “simplificar” la escritura del número. Pida a los alumnos que comparen sus resultados para que socialicen y corrijan sus errores. • Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. Lección 99 Distancias y masas Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño 3 12 • El trabajo con la notación científica adquiere sentido cuando se comparan u operan cantidades pequeñas o grandes. En ocasiones, los estudiantes ven el empleo de esta notación como algo arbitrario y engorroso, pues no comprenden su uso. Fomente el análisis de algoritmos para operar con números muy grandes y muy pequeños. Los estudiantes deben entender la importancia de la escritura científica para facilitar no solo la notación, sino la operación y la comparación de cantidades con estas características, a fin de que le den sentido a lo que hagan. • Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. 89 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 89 1/18/13 11:20 AM Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos 7.5.3 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales • Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios. • 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas • 7.5.3 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales • 8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo Lección 100 La medida de un lado Estrategias de enseñanza y aprendizaje • La operación de elevar al cuadrado un número t nos proporciona el área de un cuadrado cuyo lado mide t. Por esta razón, a tal operación se le conoce, precisamente, como elevar al cuadrado, y se representa por t2. Mencione que un número elevado al cuadrado siempre es positivo, y que la raíz cuadrada de un número x es aquel número no negativo (positivo o 0) que, multiplicado por sí mismo, da como resultado x; es decir, que la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado. Indicadores de desempeño • Resuelve problemas que implican cálculo de la raíz cuadrada. • Resuelve problemas que implican elevar al cuadrado. 90 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 90 1/18/13 11:20 AM Lección 101 Raíces cuadradas Estrategias de enseñanza y aprendizaje • El crecimiento exponencial se produce en forma continua. Ejemplos de él son: una cuenta corriente que genera intereses sobre intereses, una bola de nieve que adquiere masa conforme rueda, una población que crece 3.0% cada año, etcétera. • La multiplicación es un potente factor de crecimiento numérico, al menos cuando se trata de números cuyo valor es mayor a 1. Para ilustrar este hecho, enfrente a los alumnos a situaciones donde se vean no solo los números que se generan en el proceso, sino su magnitud relativa. Lección 102 Indicadores de desempeño • Resuelve problemas vinculados a la potenciación. • Resuelve problemas vinculados a la radicación. Crecimiento exponencial Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Los fenómenos de crecimiento proporcionan un contexto muy adecuado para el trabajo con números grandes, potencias o notación científica. Además de dominar las destrezas requeridas para resolver estos problemas, es imprescindible dar sentido a las cantidades que aparecen en ellos pues, de lo contrario, difícilmente se apreciarán los resultados y se valorarán sus consecuencias. • Resuelve problemas vinculados a la potenciación. • Resuelve problemas vinculados a la radicación. Otros recursos: como apoyo para la enseñanza de las matemáticas, lea Cole, K. C. (1999). El universo y la taza de té. Las matemáticas de la verdad y la belleza. Barcelona: Ediciones B. 91 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 91 1/18/13 11:20 AM Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética Contenidos Aprendizaje esperado • 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras • 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética • 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros • Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. • Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión. Estándar • Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión. • 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión Lección 103 Símbolos en lugar de palabras Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Revise previamente lo trabajado en el bloque 1, lección 13 y 14, y aprovéchelo para pasar de la expresión de la regla general de una sucesión con progresión aritmética en lenguaje común a la formulada en el algebraico. • Recuerde que hay una sucesión aritmética cuando la diferencia entre un término y el siguiente es constante. Deténgase en las actividades de la cápsula “Reflexionemos”, pues servirán para analizar en conjunto los patrones y encontrar una regularidad, sobre todo en los primeros ejercicios. Fomente que los estudiantes compartan sus estrategias para hallar la representación del término n. Indicadores de desempeño • Representa sucesiones de una progresión aritmética con números enteros a partir de una regla dada y viceversa. 92 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 92 1/18/13 11:20 AM Lección 104 Construyendo sucesiones Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • Esta lección se centra en la obtención y expresión algebraica de la regla general de una sucesión con progresión aritmética. Fomente que los estudiantes compartan sus estrategias para encontrar la representación del término n, lo cual ayudará a expresar algebraicamente el patrón de una sucesión. Destaque quen representa el lugar que ocupa cualquier término. Ponga especial atención en el llenado de la tabla, en particular en las últimas dos filas. • Representa sucesiones de una progresión aritmética con números enteros a partir de una regla dada y viceversa. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. • Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen. • 6.4.5 Cálculo de la longitud de una circunferencia mediante diversos procedimientos • 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro • 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas • 8.1.5 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides 93 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 93 1/18/13 11:20 AM Lección 105 Circulando Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Es importante que identifique las actividades que consisten en la resolución de problemas. Tenga presente que, a partir de los datos, se desea obtener una información que no es su consecuencia inmediata. Estos datos pueden ser proporcionados por medio de enunciados, documentos, situaciones o experiencias, o de la construcción de algún objeto (en este caso, el círculo). Estas actividades deben llevar al estudiante a efectuar descubrimientos propios y no solo a aquello que queremos que aprenda. Estimule en él un espíritu de búsqueda que lo ayude a desarrollar la intuición matemática. Esta lección se puede aprovechar muy bien para ello. Indicadores de desempeño • Resuelve problemas que implican calcular el área de un círculo. • Resuelve problemas que implican calcular el perímetro de un círculo. Otros recursos: para verificar las fórmulas de perímetro y área del círculo así como su justificación, recomiende a sus estudiantes la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-105 Lección 106 De vuelta en la pizzería Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Mencione a sus estudiantes que cuando un conjunto de puntos tiene una propiedad común se denomina lugar geométrico. • El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro, que se denomina centro, es una circunferencia. • El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia es el radio de la misma. Indicadores de desempeño • Resuelve problemas que implican calcular el área de un círculo. • Resuelve problemas que implican calcular el perímetro de un círculo. Otros recursos: encuentre más propiedades interesantes del círculo en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-106 94 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 94 1/18/13 11:20 AM Lección 107 Más sobre círculos y circunferencias Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • El propósito de la lección es que el estudiante use las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Sin embargo, en todos los que se presentan se hay uno o varios círculos combinados con otras figuras o divididos para componer otras. Primero, hay que identificar los elementos de cada figura para determinar cómo responder lo que se pide. Fomente un intercambio de los procesos que sigan los estudiantes y especifique que, aunque hay unos más directos que otros, se puede llegar al resultado por varios caminos. • Si se presentan dificultades para obtener el resultado del área de la figura 3D, auxíliese de construcciones alternas, como la siguiente: • Resuelve problemas que implican calcular el área de un círculo. • Resuelve problemas que implican calcular el perímetro de un círculo. Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple Contenidos Aprendizaje esperado Estándar • Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario. • Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto. • 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple 95 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 95 1/18/13 11:20 AM Lección 108 Depende de varias magnitudes I Estrategias de enseñanza y aprendizaje Indicadores de desempeño • El objetivo de esta lección es que el alumno se familiarice con el uso de la regla de tres y que, mediante los ejemplos, visualice este cálculo. Pida a los estudiantes que desglosen en sus cuadernos la manera en que obtuvieron las respuestas del ejercicio 4, por ejemplo: • Practica el uso de la regla de tres siendo capaz de distinguir cuando un objeto es proporcional a dos magnitudes, cuando una de ellas es constante. • ocho estudiantes → 4 000 l de agua → diez días. • Así visualizará de manera clara el uso de la regla de tres. Lección 109 • Deduce fórmulas que lo lleven a encontrar resultados deseados. Depende de varias magnitudes II Estrategias de enseñanza y aprendizaje • Como en esta lección se presentan situaciones de proporcionalidad múltiple o compuesta, haga notar que no necesariamente se utiliza la regla de tres. Para el cálculo de magnitudes, es mejor identificar la taza constante de crecimiento, por ejemplo, en el ejercicio 1: • tres costureras → 30 uniformes → siete días. • Fomente el uso de tablas para representar y reflexionar de manera conjunta sobre la información que se tiene y mostrar cómo se encontró, en este caso, la taza constante de crecimiento. • Para resolver los ejercicios 3 y 5, solicite a los estudiantes que dibujen las figuras de los problemas con el fin de visualizar los factores de proporcionalidad. Indicadores de desempeño • Distingue y resuelve problemas de proporcionalidad múltiple o compuesta. • Calcula la taza constante de crecimiento en un problema de proporcionalidad compuesta. Otros recursos: encuentre más ejercicios sobre proporcionalidad compuesta en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-109 96 GUIA_MATE1o_BLOQUE_5.indd 96 1/18/13 11:20 AM S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 1 1/18/13 12:30 PM Dirección De conteniDos y servicios eDucativos Elisa Bonilla Rius Gerencia De publicaciones escolares Felipe Ricardo Valdez González autores David Francisco Block Sevilla, Silvia García Peña coorDinación eDitorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar eDición Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Cristóbal Bravo Marván FotoGraFía © 2011, Carlos A. Vargas, © 2011, Iván Meza © Thinkstock, 2011, © OTHERIMAGES, 2011 © Archivo Digital, 2011, Archivo SM DiGitaliZación e imaGen Carlos A. López, Uriel Flores Moreno Donovan Popoca Jiménez, Eliana Castro Fernández Gerente De proDucción y Distribución Carlos Olvera JeFe De proDucción Víctor Canto revisión técnica y asistencia eDitorial Armando Solares Rojas activiDaDes con tecnoloGía, enlaces web y evaluaciones enlace Eric Ruíz Flores González, Valentina Muñoz Porras colaboración Mónica de Lourdes Valencia (páginas 186, 187, 228-229), Ana Laura Barriendos (páginas 76-77) revisión técnica De evaluaciones Instituto de Evaluación y Asesoramiento Educativo (idea) coorDinación De corrección Abdel López Cruz corrección Juan Eduardo Jiménez Zurita, Guadalupe Casillas, Laura Martínez, Mónica Terán Dirección De arte Quetzatl León Calixto coorDinación De Diseño Segundo Pérez Cuevas Diseño De la serie y De portaDa Brenda López Romero coorDinación GrÁFica y DiaGramación César Leyva Acosta ilustración Raúl Castillo Tena coorDinación De imaGen Ricardo Tapia iconoGraFía Penélope Graciela Ubaldo Jurado S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 2 Matemáticas 1. Secundaria. Conect@ Estrategias Primera edición, 2012 Segunda reimpresión, 2013 D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2012 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx ISBN 978-607-24-0331-4 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. Las marcas Ediciones SM® y Conect@ Estrategias® son propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico 1/18/13 12:30 PM Presentación ¿Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica más conveniente, decidir si un juego de dados es equitativo e interpretar los datos de una gráfica en una noticia del periódico, son algunos de los muchos casos en que hacemos matemáticas. También hacemos matemáticas cuando contestamos preguntas propias de estas; por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5? ¿Las medidas de los lados de un triángulo pueden ser tres números cualesquiera? ¿La suma de dos números impares consecutivos siempre es múltiplo de cuatro? ¿Cómo se calcula el área de una elipse?… Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen son insuficientes. Hacer matemáticas es, asimismo, una manera divertida de aprenderlas. Por ello, en este libro te proponemos numerosas cuestiones que pueden resolverse con su ayuda. Nos interesa que aprendas matemáticas y las veas como una herramienta para pensar. Presentación para el alumno Cuando afrontas problemas nuevos debes sentirte con la libertad de poner en práctica lo que se te ocurra para resolverlos; por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer cómo proceden tus compañeros y con la ayuda del profesor, irá mejorando la manera en que los resuelves: será cada vez más ordenada, sistemática y comprobable. Es decir, harás mejores matemáticas. Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos y en grupo. • Al afrontar una nueva tarea es bueno que reflexiones; después, es importante que compartas ideas y dudas con los otros. Trabajar en parejas o en equipos puede serte muy útil para avanzar. • Explicar al grupo tus acciones o las de tu equipo, conocer lo que hicieron otros equipos, decidir juntos si los resultados son correctos y atender los aportes del profesor te ayudará mucho a aprender. • Después, es importante que, en algún momento, veas si puedes hacer tú solo la tarea. A lo largo del libro se sugiere el trabajo en grupo, en equipo o en parejas. Sin embargo, es el profesor quien indicará el tipo de organización más adecuada para cada momento. Esperamos, igual que todos los autores que escriben para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te anime a exclamar: “¡Esto sí me gusta!”. Los autores 3 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 3 1/18/13 12:30 PM Guía de uso BL OQ UE Conect@ Estrategias está estructurado en cinco bloques que tienen los siguientes elementos. ho mayor Un peligro muc ce de lo que pare 1 do en el e iceberg flotan Obser va el enorm de la parte sumergida en océano… El volum el de la parte visible. r que es mucho mayo los glaciares desprenden de Los icebergs se ente por el lentam en se muev en los polos y s y corrientes d de los viento océano, a merce marinas. polar son ientos de hielo Los desprendim cos de todo frecuentes, y científi ian su cada vez más proceso y estud este vigilan el mundo ad humana. planeta n con la activid superficie del r posible relació as partes de la dulce, y la mayo más de dos tercer ; solo 3% es agua El agua cubre del mayoría es salada s partes de toda el agua dulce (72%), pero la (cuatro quinta es de agua dulce polos los en gigantescos bloqu parte está muchas gs son, por tanto, que afectan a planeta). Los iceber en la salinidad del océano ios ciones en el clima. y producen camb o, producir altera as; pueden, inclus especies marin esquema de arridel iceberg del tas la fracción visible mente, ¿cuán gida. Aproximada 1. Mide la altura de en forma de de la parte sumer a el resultado ba y la altura sumergidas? Expres están total partes del parforma decimal. salada? ¿Qué fracción y en tas son de agua de agua, ¿cuán partes cien cada 2. De los polos? está fuera de más grande del te de agua dulce En 1912 el barco chocar ia del Titanic? as a bordo tras 2 200 person 3. ¿Conoces la histor seguro, ó con más de un barco muy mundo se hundi ban que era de los pasag. Como pensa s de la mitad con un iceber . idas para meno salvav terceras partes dos botes ron murie solo había mente, en total n con vida? saliero as jeros. Desgraciada ,¿cuántas person en… Aproximadamente en el planeta ución del agua sobre la distrib Investiga más x/SCM1-017 www.e-sm.com.m Entrada de bloque Se presenta un contexto histórico o una situación cercana a la vida de los estudiantes y se numeran los aprendizajes esperados que se lograrán en el bloque. Aprendizajes esperados Los números es enteras. de cantidad son imprescindibles en esar partes ello mos que expr hacerlo; por A menudo tene ionarios nos permiten r… fracc s ir, para juga decimales y rar, para med rezas necesaria comp dest las para adquirido nuestra vida: robarás si has bloque comp en distintos ámbitos. los Al final de este y efectuar cálcu para usarlos a ros fraccionarios ✓ Convierte núme rsa. decimales y viceve s para las convencione y ✓ Conoce y utiliza ros fraccionarios núme entar repres rica. la recta numé decimales en números o sucesiones de senta y Repre ✓ de una regla dada de figuras a partir 17 viceversa. 16 Los contenidos se desarrollan en secuencias didácticas de varias lecciones. Cada secuencia cuenta con… Competencias Se dan ejemplos de las competencias matemáticas que se desarrollan con las actividades. IDO Nombre de la lección ción 30 cia 1 / lec imos meros pr es y nú Divisor 2 rios de los crite 2, 3 y 5. e Formula lidad entr divisibi entre números e stos. Distingu y compue primos CONTEN Se indica el contenido que se trabaja en la secuencia. Las secuencias se numeran por bloque. La numeración de las lecciones es continua en todo el libro. Secuen BL OQ UE Contenido Número de bloque, de secuencia y de lección resolver mas, s proble er alguno de dividirse a resolv pue es útil par si un número bar ctamente o compro a otro exa rás cóm divide sab ero n. n bié núm divisió o sin Saber qué enseguida. Tam , sin hacer la en el otr ás nte o y seis como ver 5 y 9 exactame en un lad 3, de diez entre 2, tángulo ar un rec ga ocho de form o que ten os se pue rectángul 60 mosaic un . Con 1. formarse re alguno ¿puede que sob sabes mosaicos, cómo lo tidad de Explica ma can esa mis ga doce? a) Con que ten ¿Y uno o? nreprese en un lad se os. Puedes 60 mosaic o y seis en el otro arse con un lad rían form diez en que pod si tiene tángulos . Por ejemplo, tra los rec ción b) Encuen una multiplica tarlos con 10 × 6. nta represe e es el cocient los que decir, con ente, es exactam s de los los lado lo dividen poner en plo, 10 y 6: son los que pueden números s que se ; por ejem s de un de mosaico den exactamente Los divisoreresiduo, 0. des cantida el lo divi rior, las sto que 6 con residuo 0 entero y = blema ante sores de 60, pue duo 0 60 ÷ 10 En el pro divi 10 con resi ulos son 60 ÷ 6 = rectáng ta Una pis derno. en tu cua n 16. ríbelos que sea 600 y esc ifiquen eros. Ver isores de compañ . tra los div e con tus no falte alguno encontrast ar que isores que os para asegur te los div ent par imi Com ced m es Divisor en sus pro eros. Coment Número de los núm es divisores Divisor todos los 15 uentra Número 3. Enc es 16 Divisor 8 Número 17 9 1 18 10 2 19 11 3 20 12 4 21 13 5 uen 2. Enc icación multipl eros, En toda eros ent de núm plo: por ejem 600, = diviso100 × 6 ores son los fact to: produc , res del de 600 sor divi • 100 es que puesto = 6 con 600 ÷ 100 0. residuo sor de 600, • 6 es divi que puesto 100 con = 600 ÷ 6 0. residuo se pueden to, sores de Por tan r los divi conoce cando ero bus un núm icaciones tipl las mul como arrojan que lo o. ltad resu 6 Introducción a la secuencia En la primera lección de cada secuencia se destaca algún aspecto sobresaliente del conocimiento que estudiarás. Puestas en común Se destaca el trabajo de dos competencias (comunicar y validar) en estos momentos. 14 7 84 4 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 4 1/18/13 12:30 PM Guía de uso En las secuencias se intercalan cápsulas que fomentan la reflexión y el análisis, plantean retos y fortalecen las habilidades. Ya sabemos… des 2 Esa recta segmento FL. la mediatriz del d anterior trazaste Marca otros tres puntos. o. 2. En la activida que habías marcad cinco puntos distancia de están a la misma a) ¿Estos puntos A F y de L? / lección 43 ncia I A la misma dista s Resuelve problema n que implique geométricos propiedades el uso de las de un de la mediatriz bisectriz de segmento y la un ángulo. y habilida conocimientos Recordatorio de conceptos o técnicas que los alumnos ya conocen. Secuencia 5 BLOQ UE resolver de AB. es la mediatriz c) La recta azul la recta. puntos sobre os del » Marca cinco ia a los extrem » Mide su distanc o están a la misma z de un segment grupo, Comenta, en el 3. Lee el siguien tus respuestas te procedimiento des 1 y 2. de las activida Cuando es necesario, los conceptos, las técnicas o las fórmulas de la lección aparecen resaltados. d) ¿Cuánto miden los ángulos que esos e) Por formar que en el otro extremo c) Apoya el compás que y traza dos arcos del segmento es. corten los anterior LP = tos. FP = c) Mide los segmen al Como divide en dos segmento FL P es su partes iguales, punto medio. to FL y la recta forman el segmen son entre ángulos, ¿cómo de por el punto medio La recta que pasa segmento. mediatriz del sí el segmento un segmento y iento Este procedim para tratambién es útil icas. zar figuras geométr para ¿Cómo lo usarías con trazar un triánguloy uno dos lados iguales uno para diferente? ¿Y iguales? con tres lados rectifícalos. to FL. La recta Este es el segmen puntos negros. Llámale P. to que une los to FL en un punto. b) Traza el segmen a) corta al segmen trazaste en el inciso Ya sabemos… técnicas un segmento. mediatriz de del en un extremo y abajo. b) Apoya el compás un arco arriba segmento y traza para trazar la mayor a una medida a) Abre tu compás segmento. que la mitad del Conceptos distancia mediatri pertenecen a la Los puntos que s de este. de los extremo m Si no puedes trazarla, Sugerencias de actividades relacionadas con el uso de las TIC. B segmento. sean iguales. estas distancias » Verifica que F cinco puntos. Conectamos x/ www.e-sm.com.m SCM1-111 respues b) Verifica tu L que pase por los se traza Practica cómo un segla mediatriz de mento en… ta. s. ¿Cómo ia de dos pueblo misma distanc n de tren a la r ir una estació podrás resolve Se decidió constru de un ángulo lugar? y la bisectriz localizarías ese un segmento mediatriz de Al estudiar la este. problemas como un Se construirá y de Luisa (L). (F) o ones. de Fernand posibles ubicaci ntan las casas es una de sus negros represe El punto azul 1. Los puntos ambas. irse. de ia distanc podría constru pozo a la misma que también puntos en los Marca otros cinco a) Traza una recta pasa por los d) Une los puntos mediatriz. que trazaste? de corte. Esa recta Reflexionamos es la y la recta? es perpendicular segmen cuaderno cuatro 4. Traza en tu ices. marca sus mediatr a él se llama tos diferentes y, con el proced , imiento descrito 111 110 3 conocimientos y habilidades BLOQUE Secuencia 5 / lección 66 Polígonos y doblado de papel Construye polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Analiza la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. 3. Traza, en tu cuaderno, cinco circunferencias de 5 cm de radio y úsalas para trazar, respectivamente, un cuadrado, un pentágono regular, un hexágono regular, un octágono regular y un nonágono regular (nueve lados). Con frecuencia se usan polígonos regulares para construir mosaicos, azulejos, vitrales, e incluso fuentes, kioscos y edificios. Dan armonía y belleza al lugar donde se encuentran. En esta secuencia aprenderás a trazarlos y conocerás algunas de sus propiedades. Los vértices de los polígonos trazados quedaron sobre una circunferencia. Esta es la circunferencia circunscrita al polígono regular. 1. Sigue el procedimiento para construir un hexágono. Necesitarás cuatro círculos de papel de 6 cm de radio. Pueden ser de colores. Dobla el círculo a la mitad. En contexto Dobla en tres partes iguales para obtener esta figura. técnicas Convivimos 45º También quedaron marcados los ángulos centrales del polígono regular. El vértice de estos ángulos es el centro de la circunferencia circunscrita y sus lados van de dicho centro a dos vértices consecutivos del polígono. Desdobla: el círculo ha quedado dividido en seis partes iguales. Este edificio, llamado “El Pentágono”, es la sede del Departamento de Defensa de Estados Unidos de América. En contexto 4. En cada polígono que trazaste… a) verifica que todos sus lados midan b) marca un ángulo central y anota Traza líneas con tu regla para formar el hexágono. Se relaciona un contenido que estés estudiando con un contexto de otra asignatura o de la vida cotidiana. lo mismo. su medida. 5. Traza una circunferencia circunscrita Dobla por las líneas. Voltea la figura: tienes un hexágono regular. Pégalo en tu cuaderno. al triángulo equilátero y otra al cuadrado. Convivimos Cuando no hayas entendido algo no dudes en preguntar a otros. Comenta a tu profesor o a tus compañeros aquello que te está costando trabajo. Esto te permitirá avanzar con más confianza en el estudio de las matemáticas. Y, si tú has comprendido algo, compártelo con aquellos a quienes se les dificulte. a) Con los otros círculos forma un cuadrado, un octágono regular y un triángulo equilátero, y pégalos en tu cuaderno. 2. Responde. a) ¿En cuántas partes quedó dividido el círculo? b) ¿Cuánto mide cada ángulo marcado? c) Traza los segmentos que faltan para Una pista formar un polígono regular. d) ¿Qué polígono obtuviste? 6. Traza un hexágono regular en la circunferencia circunscrita al triángulo y un octágono regular en la del cuadrado. 164 Recuerda lo que estudiaste de la mediatriz de un segmento. 165 Evaluación Evaluaciones tipo ENLACE (TIPO ENLACE) BLOQU E 1 Selecciona la opción n Evaluació correcta. es falsa? 1. ¿Cuál igualdad 25 d) _ = 0.025 1 1000 c) _ = 0.125 1 8 4 b) _ = 0.5 a) _ = 1.3 5 manera 3 de milla. ¿De qué otra a recorrer es de 5/8 caballos, la distancia 2. En una carrera de esta distancia? se puede expresar millas 5.8 d) c) 0.85 millas b) 0.625 millas a) 0.58 millas Con estas evaluaciones podrás evaluar tus conocimientos. Reactivos de opción múltiple para repasar y consolidar lo que sabes hacer. 3. ¿Qué número señala la flecha? 4. ¿Qué regla genera –12 b) La serie inicia en cada número. y se va sumando 3 a n m permite 5. ¿Qué expresión a) 2m × 2n 3 d) 1 _ 4 1 c) 1 _ 3 –2, 3, 8, 13, 18…? la sucesión –12, –7, –12 a) La serie inicia en cada número. y se va restando 5 a –12 c) La serie inicia en cada número. y se va sumando 5 a –12 d) La serie inicia en cada número. y se va restando 3 a calcular el perímetro con las siguientes del rectángulo? c) m + n b) 2m + 2n obtiene 6. ¿Qué figura se d) m × n instrucciones? extremos A y B. de 8 cm y llamar sus i) Trazar un segmento de metal en un extremo 3 cm, colocar la punta ii) Abrir el compás ncia. una circunferencia. y trazar otra circunfere del segmento y trazar de metal en el otro 6 cm, colocar la punta C y D. iii) Abrir el compás circunferencias y llamarlos donde se cruzan las iv) Marcar los puntos y DA . BD CB, s de recta AC, v) Trazar los segmento lados miden 14 cm. b) Un rectángulo cuyos c) Un triángulo cuyos 78 lados miden 3 y 6 cm. lados miden 8, 3 y 6 d) Un cuadrilátero, dos los: ¿la Rascacie cm. de cuyos lados miden 3 cm y los otros, 6 cm. Pongo s de tres nos dato altos del 2 412 500 m 395 000 m 452 m 410 m mundo. m nas Torres Petro ur) (Kwala Lump i Torre Taipe (Taipei) Torre Willis (Chicago) 442.3 Willis? 508 m hasta la del -13.1 m Taipei? ¿Y 448 m 0 del edificio último piso -31.5 m as torres. la altura del nto de amb Willis sótano hasta de al conju del último s? la torre dada correspon veces es más alta desde la base de cada rascacielola torre Willis. total hay rficie ncia ntas ia de los pisos Taipei y de en cuenta que la supe Mide 230 m. ¿Cuá 1. ¿Qué dista co. Pregunta ¿Cuál es la altura med un piso del edificio ad de Méxi Petronas. Ten de 2. Pregunta Calcula la superficie un piso de las torres la Reforma en la Ciud de 3. NCIAS Pregunta Calcula la superficie entra en el Paseo de COMPETE oma 4. ra autón Pregunta La Torre Mayor se encu s de mane matemática 4. problema Resolver nicar información Pregunta que la Torre Mayor? Comu ros la niña. s partes –dijo dos cuarta el Sombrerero Loco. mismo que tarta es lo —la felicitó el pelo? Mediafracciones equivalentes o el tomando las tarta —dij —¿Me estás acabas de descubrir . 50% de la comerte el la Liebre —Muy bien, prefieres én es lo _1 = _1 —añadió glotona y la tarta tambi —Claro: 2 4lo mejor eres una El 50% de nque a Alicia—. testó —Au . tiempo el pelo! —pro las orejas. ca que el Somb Sombrerero iendo con a todas horas. e de números y poco sta bajo de tomarme ojos. —Eso signifiCharlie—. lo toman está bien . bosqu Marzo, aplaudel Lirón sin abrir los dispue pues del de —¡Ya o, entó nal mesa —contestó una la Liebre —com de extrañ la mitad la diago do el té en tiene nada ron avanzando por mismo que tan lista! —exclamó la mitad? —preguntóo que tomar la mitad en Lo cual no Marzo toman que te, siguie muy juntos —¡Qué niña 50% es lo mismo cincuenta, es lo mism la Liebre de agrupado licó el Somel Y, efectivamen al Sombrerero y a profundamente. se habían gritar: cien —¿Por qué de cien partes tomas la tarta! —rep después vieron ellos, el Lirón dormí rgo los tres comensalesrerero empezaron a si que partir uno que partirla en —Porque Alicia. Entre la que tiene e, y sin emba la Liebre y el Somb un árbol. amplia no eres tú en dos trozos y darte muy grand rápidamente a en una nota que o partirla matemáticas. La mesa era Al ver acercarse a Alicia, se sentab ¡Cómo se áticamente, . Malditas es lo mism a. la vez que —Ah, ¿sí? a enigm que (2000) esquin ada, C. ndo sitio! i, Números. ¿Crees una Frabett País de los sitio! ¡No hay la niña, indign la seguía sonrie brerero—. nta? Alicia en el de —¡No hay de sobra —replicó mesa. Charlie, que y darte cincue la ntó la Liebre de sitio trozos ra y pregu —Ha cabece s partes? —le había a la butaca que lado. na o dos cuarta ientes su de manza uiosa sonrisa. Ingred tarta se sentó a res, media harina 1 una obseq 1 _2 taza de —¿Qué prefie mientras le ofrecía qué? Loco? ¿Por en a Alicia? 2 huevos Marzo a Alicia, manzanas Sombrerero limón 2 le ofrec 1 yogur de pregunta del ión de tarta que que se estaban comiendo _1 taza de a la última en. 4 la fracc _1 taza de leche zana responderíasas aparece expresada rar la tarta de man que muestra la imag 2 mermelada _3 taza de aceite unta 1. ¿Qué form de prepa son los cia en el nto: Ali es de cue Fraccion y sus rerero Loco amigos están tomando país de el té de las los núme cinco diez? tas Preg ha encargado seis personas nas? ¿Y para a la 2. ¿De cuán Pregunta El Sombrerero Loco se Los ingredientes para te para cuatro perso durmió, y al llegar de 3. se . dad Pregunta en el té de las cinco sita de cada ingredien ingredientes pero ar? ¿Qué canti prar los dad nece s podrá invit a) ¿Qué canti el encargado de com¿A cuántos comensale era b) El Lirón quedaba un huevo. a? solo ahor a tiend sitará diente nece cada ingre 80 Sugerencias para la resolución de algún problema o ejercicio con cierto grado de dificultad. s 3 418 064 m 442.3 m 2 2 Una pista NCIAS COMPETE oma ra autón s de mane ntemente eficie problema Resolver Manejar técnicas 108 5 5 Sugerencias que apoyan el desarrollo de las competencias actitudinales y los valores. petencia mis com Torre Willis (Chicago) 1970-1973 88 101 ráneos Niveles subter Superficie antena Altura con el último piso Altura hasta Último sótano cios más de los edifi as Torres Petron r) (Kwala Lumpu 1992-1998 Torre Taipei (Taipei) 1999-2004 Construcción en juego ? la que ves altura es jan algu a se refle En la tabl 1 BL OQ UE A) (TIPO PIS Pisos 2 1 5 b) _ 4 3 a) _ 2 a) Un cuadrado cuyos S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 5 Preguntas que ayudan a profundizar el aprendizaje de los contenidos. 4 Evaluaciones tipo PISA Respóndelas en tu cuaderno. Podrás hacerlas de forma individual o en equipo. Es importante que argumenten y justifiquen las respuestas y procedimientos desarrollados. 5 1/18/13 12:30 PM Guía de uso Al finalizar cada bloque encontrarás otras dos secciones. cas en... Las matemáti Y para terminar... primos Los números Las matemáticas en… Se proponen situaciones de la vida cotidiana, la naturaleza, la música, y de otros ámbitos en los que, sorprendentemente, hay un conocimiento matemático en juego. logrado des primos y han do los número respuesta. áticos han estudia s preguntas sin dad, los matem o aun hay mucha Desde la antigüe ades. Sin embarg s de sus propied mostrar alguna de ellas. amos algunas de núinfinita d Aquí te present cantida tró que “hay una el más grande Euclides demos primo que sea el matemático número s priun Grecia, hay En la antigua palabras, “no fácilmente número para encontrar ” o, dicho en otras meros primos ierto un método no se ha descub de todos”. Todavía s. . grande mos muy que está escrito grande que el o primo más númer un inciso > 41 alumnos e) Escribe en cada geometría a sus > 31 d) Euclides enseñando > 53 c) > 13 b) los >5 a) más básicos” de s” o “componentes de núforma, los “ladrillo multiplicación se como una , son, en cierta Los números primos er número natural puede escribir cualqui números, pues o: ejempl , por 813 = 3 × 271 meros primos 41 164 = 2 × 2 × 5×7 × 2 = 70 ×5 60 = 2 × 2 × 3 15 = 5 × 3 os primos. licación de númer como multip tes números e) 69 = Escribe los siguien d) 18 = c) 192 = b) 78 = tan s primos, qué a) 32 = o de los número tado, al respect distancia. pregun misma han la hay a también se y cuántos primos Los matemáticos dos números primos estar cerca pueden . más cerca posible decir, están lo es , unidad 3 distan una n son Los primos 2 y s; 11 y 13 tambié s primos gemelo es; son llamado 5 distan dos unidad Los primos 3 y s. primos gemelo ¿Hay otros dos que números primos sta. ? Explica tu respue disten una unidad más justo? Explica por qué. proporcional? Explica por qué. s. de primos gemelo una cantidad infinita Se cree que hay trado. hasta ahora s, sin embargo de primos gemelo Y para terminar… Contiene una actividad final que se relaciona con varios de los temas que se vieron en el bloque. 3. Rodrigo propu so que José les regalara cuatro comics a cada uno, dado que los dos colaboraron con nación en la búsqu la misma determieda y salvam ento de su compañero. ¿Qué reparto es Escribe cinco parejas Un cuento Decidido a encont rar el árbol que nunca duerme, abiertos, José se internó en el un gran sauce cuyas ramas semeja bosque más de Sin poder evitarlo lo que el líder n ojos se perdió en aquel de su equipo les inhóspito y peligro había permitido. so lugar. Al cabo de varias horas de búsque da, Rodrigo y René mochila, sus víveres lo encontraron. y su lámpara. José había perdid o su Estuvieron todo un día de camino al campamento y René. Cada vez y comieron los que se sentaro víveres que llevaba n a comer, dividía iguales. Al final n una de las barras n Rodrigo de su travesía contaron cinco energéticas en barras de Rodrig partes o y tres barras Una vez que regresa de René. ron, Rodrigo y René recibieron larles algunos de sus comics una medalla al de acuerdo a las mérito y José decidió regabarras energé ticas que le compa Te presentamos rtieron. tres diferentes formas de retribu ción según lo acontecido. 1. José propu so entregar cinco comics a Rodrig energéticas que o y tres a René, aportó cada uno. en relación a las barras 2. René propu so otra repart ición: “cada uno comíamos 1 __ cada Puesto que fueron vez 3 de una barra. ocho barras en 24 comimos __ total 3 , de los cuáles yo puse __ 9 8 __ comí y le di _ 1 3 , me 3 a 3 José; Rodrigo puso __7 . Por esto le corresp 3 onden a Rodrig o siete comics y a mi solo uno”. no se ha ¿Qué reparto es demos 126 81 Al final del libro, encontrarás las siguientes secciones. Bibliografía Glosario ar es perpendicul un triángulo y de un vértice de nto que parte triángulo:: segme Altura de un . ia to a ese vértice de la circunferenc al lado opues vértice es el centro del polígono. cuyo ángulo : no regular: consecutivos l de un polígo a dos vértices Ángulo centra cuyos lados van al polígono y polígono cutivos de un que circunscribe conse lados dos forman no:: ángulo que o de un polígo Ángulo intern dentro de él. un polígono y se encuentra de los lados de se forma por uno no:: ángulo que no. o de un polígo fuera del polígo Ángulo extern de otro. Se ubica el nombre gación y la prolon ulo. También recibe nas de un triáng media las cortan en el que se Baricentro:: punto ad. dos partes de centro de graved y lo divide en de un ángulo vértice el que pasa por ángulo: recta Bisectriz de un ia. iguales. de la circunferenc s cualesquiera une dos punto que de la nto centro segme el Es Cuerda: un triángulo. mediatrices de se cortan las : punto donde Circuncentro: no. circunscrita. s de un polígo circunferencia todos los vértice por pasa que ia : circunferenc ia circunscrita polígono. Circunferenc los lados de un en un punto todos ferencia que toca circun : ta: ia inscri to a 0) si la Circunferenc ro entero a (distin por un núme b es divisible un número entero Divisibilidad: exacta. r residuo. división b/a es arroja sin ro otro núme que puede dividir número entero de elevar otro Divisor:: todo potencia se ha denota a qué a. algebraica que ro o expresión superior a la derech Exponente:: núme coloca en la parte expresión y se número u otra un dato. repite se veces que uta: número de el total de Frecuencia absol de un dato entre ncia absoluta dividir la frecue a:: resultado de Frecuencia relativ ángulo datos. es circulares cuyo entan con sector repres se datos los ar:: gráfica donde Gráfica circul que representa. rcional al valor un sistema central es propo dibujadas sobre barras de nto l al dato es proporciona da por un conju s:: gráfica forma ud de las barras vertical. La longit Gráfica de barra horizontal y otro de dos ejes, uno . que representan 276 Bibliografía Para el alumno a. Matmáticas 1. ex. para Telesecundari »» Bosh, C. y Góme ero/1_Matematicas/ind cas interactivas undaria/1_prim Unidades didácti z, C. (2003). Una nam.mx/Vinculos/Sec ventana a las forma Santillana. arquimedes.matem.u s.»Bibl Biblio ioteca teca»juven juveniil»ilust l ilustra rada.»M html da. Méxic »» Enzensberg éxico: o:» les. er, H. M. (1997 decima y ). El diablo de , fracciones 005/indice. los números. Madri tivos sobre medida »» Perero, M. adjuntos/2007/12/05/0 s/html/ d:»Siru Recursos interac (1994). Historia Siruel averroe ela.» a. ia.es/averroes/ e historias de matem www.juntadeandaluc áticas. México:»Gru »» Tahan, M. Grupo (1994). El homb po»Ed Editor itorial ial»Ibero Iberoaaméri re que calculaba. ientos. mérica ca..htm México:»Noriega»E dar los conocim »» VanCleave, Editor r, practicar y consoli ditorees. J. (1997). Matem s. ed02/refuerzo_matetivas para repasa áticas para niños s_informaticos/andar Actividades interac y jóvenes. Méxic ia.es/averroes/recurso o:»Lim Limus usa.» a. www.juntadeandaluc Material vide tm mate.h ográfico maticas/indice »» Donald en el país de las matem áticas.»Clásicos»de Para el profesor »Disney.»México:»Gr secundaria. Grupo »» ILCE»Studio. upo»V Video ideo»V ticas en la escuela Visa. isa.» »El mundo de las za de las matemá matemáticas (5»vols H. (2001). La enseñan .).»México:»Video» »» Alarcón, J. y Barrón, sep. sep. . lecturas.»México:» 1).»Libro para el maestro Guía de estudio y Enlaces web reco , T. y Quintero, R.»(200 mendados. (Fec , E.; Nava, R.; Rojano sep. ha de consulta Guía Interactiva »» Alarcón, J.; Bonilla xico:» aria.»Mé ón Secund les para para Secundaria. : enero de 2012 Matemáticas. Educaci una escritura. Materia basica.sep.gob.mx Apoy ) decimales: más que /dgdgie/cva/gis/in o al estudio de Español Peña, S. (2008).»Los y Matemáticas dex.html . »» Ávila, A. y García ico:»inee. va.»Méx la de za educati Descartes. Mater enseñan apoyar la práctica iales didácticos le toca el doble? La recursostic.educac intera M. (2010).»¿Al doble o:»Ediciones»SM. za, T. y Ramírez, ion.es/descartes/w ctivos para el aprendizaje Somos»Maestros.»Méxic »» Block, D.; Mendo de las matem eb/ en la educación básica.» áticas. eslabón perdido entre proporcionalidad Cuéntame. Págin r matemáticas. El , J. (2000).»Estudia a del Instituto Bosch, M. y Gascón Nacional de Estad cuentame.inegi.o »» Chevallard, Y.; rg.mx/ istica y Geog zaje.»México:»sep. rafía. as. Matemáticas. didáctic enseñanza y aprendi des »Fichero de activida Para practicar S. y García, M. (2000). operaciones »» Espinosa, H.; García, y cálculos. www.aplicacione ticas.» sep. s.info/calculo/cal y aprende matemá Secundaria.»México:» culo.htm l, A. (1992).»Juega Balbuena, H. y Carvaja Ejercicios práct rada, I.; Block, D.; Fuenlab » » icos. Evaluacion es en línea. aulavirtual.inaeb R. y Mancera MartíMéxico:»sep. Licea García, M. a.edu.mx/ejercici va. dia Guerrero, D.; os_practicos/pag la práctica educati as, M. T.; Garmen inas/ejercicios_se Materiales para apoyar »» Fonseca Cárden ticas. Matechavos. Matemá c_mate.html en el aula: Proyecto para nez, E. (2008).»PISA la enseñanza arquimedes.m de las matem Materiales atem.unam.mx/P áticas asistid México:»inee. za de la geometría. UEMAC/PUEMAC_ a por computado O. L. (2008).»La enseñan ro, 2008/matechavos Escude ra. y López Matemáticas /html/index.html inee. »» García Peña, S. divertidas. Juego educativa.»México:» Aprendizaje y s interactivos www.matem para apoyar la práctica z Sánchez, E.»et al. . aticasdivertidas.c Bernabeu, C.; Sánche om/Zonaflash/zon ez, A.; Batanero tivas.»México:»sep. aflash.html »» Gutiérrez Rodrígu s. Casos y perspec Matemáticas matemáticas escolare sin números. . enseñanza de las Pagina de la »vols).»México:»sep redescolar.ilce.ed Red Escolar del universal de las cifras»(2 u.mx/educontinu es:»Libros» »Historia nos»Air (2000). G. ría.»Bue a/mate/lugares.ht ilce para aprender matem »» Ifrah, áticas. didáctico de la geomet m Materiales educa »Iniciación al estudio tivos para Telese »» Itzcovich, H. (2005). telesecundaria.dg cundaria. Libro s digitales, video del»Zorzal. me.sep.gob.mx/m s e interactivos at_edu/mat_edu_ . 01.php 277 274 Glosario Bibliografía para el alum no Definiciones útiles que utilizarás Te proponemos algunas referencias en las secuencias didácticas. bibliográficas y sitios web para que repases y consolides tus aprendizajes. Bibliografía para profesor el Sugerencias de bibliografía y enlaces web para el profesor. 6 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 6 1/18/13 12:30 PM d con e . Presentación para el profesor El enfoque didáctico de Conect@ Estrategias. Matemáticas 1 En Conect@ Estrategias. Matemáticas 1 se ha cuidado que las secuencias didácticas propicien de manera significativa el desarrollo de las siguientes competencias. 1. Resolver problemas de manera autónoma 2. Comunicar información matemática 3. Validar procedimientos y resultados 4. Manejar técnicas eficientemente El libro está organizado en cinco bloques de lecciones; cada grupo de estas constituye una secuencia didáctica en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra, lo que no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún punto del mismo tema. En general, cada actividad contribuye al desarrollo de más de una competencia, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo. 5. Reúnete con un compañero y hagan lo siguiente. » Construya, cada uno, un diseño geométrico con triángulos y cuadriláteros. No lo muestren al otro. » Escriban las instrucciones para que el compañero lo reproduzca. » Intercambien las instrucciones. Cada uno trace el diseño que inventó el otro, según sus instrucciones. » Al terminar, comparen los diseños y vean si son iguales. Si no es así, determinen qué ocurrió. Con esta actividad, los estudiantes deben resolver un problema. Al escribir e interpretar instrucciones desarrollan su competencia para comunicar información matemática. Al comparar sus figuras tendrán que validar sus procedimientos y resultados. Esta actividad se plantea al finalizar una lección en la que se han trabajado técnicas para trazar paralelas, perpendiculares y triángulos. Si los estudiantes utilizan esto en su diseño geométrico, entonces observarán que también está presente la competencia sobre el manejo de técnicas. Debido a esta relación múltiple y compleja entre las competencias y las actividades que las propician hemos optado por marcar, en cada lección, solamente algunas competencias que se favorecen, a fin de patentizar que, al efectuar las actividades que se plantean en el libro, a la vez que los alumnos aprenden conocimientos matemáticos, desarrollan competencias. La selección de actividades en que se destaca alguna competencia se hizo con la idea de mostrarle a usted la diversidad de actividades relacionadas con cada competencia. 7 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 7 1/18/13 12:30 PM En las puestas en común se destacan dos competencias (comunicar y validar), de manera sistemática, mediante el logo . * resolver Resolver. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que este aparezca como respuesta a una pregunta o como solución a una problemática que los alumnos ya hayan afrontado. Se considera también que, en muchos casos, al afrontar una problemática adecuadamente, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al ideal. Por esto, numerosas lecciones de Conect@ Estrategias. Matemáticas 1 comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas. Solo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado. ¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información suficiente han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan resolverlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución con herramientas más elementales, o bien, que aun cuando no puedan resolverlos identifiquen una limitación en sus conocimientos previos y la necesidad de uno nuevo. Después de analizar los problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejercicios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, puede complementar los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que diseñe o tome de otros materiales. comunicar Comunicar. Al resolver problemas, los conocimientos se generan muchas veces de manera silenciosa, implícita, al menos parcialmente. Por ello, una fase importante en los procesos de aprendizaje de nociones matemáticas consiste en explicitar esos conocimientos, nombrarlos, representarlos y, también, adoptar convenciones. Para dar lugar a la diversidad de procesos relacionados con la comunicación, en Conect@ Estrategias. Matemáticas 1 se apela a varios recursos: en cada lección se propone el trabajo en parejas o equipos, o la modalidad de una puesta en común de procedimientos y resultados. En estos momentos los alumnos construyen formulaciones con sus palabras y aprenden de sus compañeros. Cabe recordar que diferentes formas de resolución ponen en juego distintas relaciones entre los datos, y conocer y analizar la resolución de otros ayuda a comprender mejor algunas nociones, a verlas desde distintos puntos de vista. Las puestas en común también constituyen el momento ideal para que usted introduzca las formas convencionales de representación. Además, para atender a la necesidad de crear un lenguaje matemático y perfeccionar su uso, se proponen situaciones en las que, como parte integral de una tarea matemática, los alumnos deben comunicar algo a alguien, como dar instrucciones para que se construya una figura geométrica. Otro aspecto más que suele vincularse con la capacidad de comunicación es la posibilidad de expresar ideas matemáticas e interpretarlas en distintos tipos de representación: gráfica tabular, numérica, geométrica y algebraica, entre otros. validar Validar. ¿Cómo se sabe, en clase de matemáticas, qué es correcto y qué es incorrecto? ¿Quién lo decide? Otra característica fundamental del quehacer matemático 8 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 8 1/18/13 12:30 PM es el desarrollo de formas de probar que algo es correcto, verdadero. A la vez, esta característica ofrece una oportunidad formativa única: se trata de que el profesor ponga en manos de los alumnos los medios para que aprendan a determinar la validez de sus procedimientos y resultados. No es cuestión todavía de enseñar a los alumnos a que hagan demostraciones formales, pero sí de que sientan la necesidad de probar las aserciones con los recursos a mano. En Conect@ Estrategias. Matemáticas 1 se proponen dos maneras de validar. • Empíricamente, mediante la prueba, para saber si algo funciona. Por ejemplo, la manera empírica de apreciar si las medidas de una figura a escala son correctas consiste en comparar visualmente su forma con la original; la prueba empírica de que un número es solución de una ecuación consiste en sustituir el valor en la ecuación y ver si se obtiene una igualdad. Estas maneras de “probar” se nombran, frecuentemente, como “verificar”. • Por medio de validación semántica. La principal característica es que descansa en argumentos, por ejemplo, “la suma de dos números impares es par, puesto que si quitas una unidad a cada uno, obtienes dos números pares, y además, un dos…” . Técnicas. El desarrollo de técnicas y su aplicación en la resolución de problemas constituye otra característica del trabajo en matemáticas. En Conect@ Estrategias. Matemáticas 1 se ha puesto especial cuidado en la diversidad de técnicas por varias razones: ocurre con frecuencia que las técnicas más rápidas o más elaboradas para resolver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres); tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pasos. Otras técnicas, en cambio, aunque más precarias por ser más largas o menos sistemáticas son más fáciles de comprender para los alumnos; incluso, en ocasiones, las pueden establecer por sí mismos. Estas técnicas cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunas son más económicas que la técnica más avanzada; y además constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que los estudiantes olvidan la más avanzada. técnicas A final de cuentas, ¿qué procedimiento es mejor? Esto depende tanto del tipo de problema como de los conocimientos de quien resuelve. Por ello, los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la resolución de problemas. OTRAS CARACTERÍSTICAS DE LA OBRA Como apoyo a su labor docente hemos pensado en algunos elementos dirigidos a un aspecto en específico. • Para la planificación de la enseñanza incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones. En esta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases. • Para la evaluación continua indicamos en el índice los contenidos (conocimientos y habilidades) a fin de facilitar su identificación y seguimiento. Esperamos que Conect@ Estrategias. Matemáticas 1 constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enriquezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos. Los autores 9 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 9 1/18/13 12:30 PM Dosificación Ya que el tiempo que dedica a cada secuencia depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones y las eventualidades (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita, podrá trabajar las actividades de “Las matemáticas en…”, así como “Y para terminar…” o adelantar S E M A N A S BLOQUES 1 2 3 4 1 Secuencia 1 Fracciones decimales y no decimales (lecciones 1 a 4) Secuencia 2 Fracciones y decimales en la recta numérica (lecciones 5 a 8) Secuencia 3 Suma y resta de fracciones (lecciones 9 a 11) Secuencia 4 Sucesiones de números (lecciones 12 a 14) Secuencia 5 Uso de literales en fórmulas geométricas (lecciones 15 a 17) 2 Secuencia 1 Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos (lecciones 30 y 31) Secuencia 2 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (lecciones 32 a 34) Secuencia 3 Problemas aditivos con fracciones y decimales (lecciones 35 a 37) Secuencia 4 Multiplicación y división con fracciones (lecciones 38 a 42) 3 Secuencia 1 Multiplicación de números decimales (lecciones 51 y 52) Secuencia 2 Aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad (lecciones 53 a 57) Secuencia 3 División de números decimales (lecciones 58 a 60) Secuencia 4 Ecuaciones de primer grado (lecciones 61 a 65) 4 Secuencia 1 Números con signo (lecciones 77 a 79) Secuencia 2 Construcción de círculos (lecciones 80 y 81) Secuencia 3 Justificación de la fórmula Secuencia 4 para perímetro y área Regla de tres del círculo (lecciones 84 y 85) (lecciones 82 y 83) 5 Secuencia 1 Adición y sustracción de números con signo (lecciones 94 a 97) Secuencia 2 Notación científica (lecciones 98 y 99) Secuencia 3 Raíz cuadrada y potencia (lecciones 100 a 102) Secuencia 4 Sucesiones aritméticas. Regla general (lecciones 103 y 104) 10 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 10 1/18/13 12:30 PM Dosificación el trabajo de otros contenidos si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan el eje al que corresponde cada contenido: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en anaranjado Forma, espacio y medida; y en verde Manejo de la información. La redacción de los contenidos ha sido simplificada. S E M A N A S 5 Secuencia 6 Trazo de triángulos y cuadriláteros (lecciones 18 a 20 ) Secuencia 5 Mediatriz y bisectriz (lecciones 43 a 45) Secuencia 5 Construcción de polígonos regulares (lecciones 66 a 68) Secuencia 5 Proporcionalidad directa. Factor inverso (lecciones 86 a 88) 6 7 Secuencia 7 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo (lecciones 21 a 24) Secuencia 8 Reparto proporcional (lecciones 25 a 27) Secuencia 6 Justificación de fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares (lecciones 46 y 47) Secuencia 7 Proporcionalidad directa. Valor faltante y factores constantes fraccionarios (lecciones 48 a 50) Secuencia 6 Perímetro y área de polígonos regulares (lecciones 69 a 71) Secuencia 7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria (lecciones 72 a 74) Secuencia 6 Problemas de conteo (lecciones 89 y 90) Secuencia 7 Gráfica de barras y circulares (lecciones 91 a 93) 8 Secuencia 9 Identificación y práctica de juegos de azar (lecciones 28 y 29) 9 Evaluación tipo ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 78 a 80) Evaluación tipo ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 128 a 130) Secuencia 8 Frecuencia absoluta y relativa (lección 75 y 76) Evaluación tipo ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 188 a 190) Evaluación tipo ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 230 a 232) Secuencia 5 Perímetro y área del círculo (lecciones 105 a 107) Secuencia 6 Proporcionalidad múltiple (lecciones 108 y 109) Evaluación tipo ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 270 a 272) 11 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 11 1/18/13 12:30 PM Índice BLOQUE 1 Lección Presentación para el alumno .......................................................................................................................... 3 Guía de uso ........................................................................................................................................................... 4 Presentación para el profesor ......................................................................................................................... 7 Dosificación ........................................................................................................................................................... 10 Título Página Contenido Lección 1 Diferentes maneras de expresar medidas 18 Lección 2 Escritura decimal de una fracción Lección 3 ¿Cuántas cifras hay después del punto? 20 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su 22 escritura decimal y viceversa Lección 4 Otro juego de flechas 24 Lección 5 Las apariencias engañan 26 Lección 6 Números en la recta Lección 7 Números ocultos Lección 8 Del cero al uno 28 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, 30 analizando las convenciones de esta representación 32 Lección 9 Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío 34 Lección 10 Para usar las fracciones Lección 11 Un juego de cartas Resolución y planteamiento de problemas que impliquen 36 más de una operación de suma y resta de fracciones 38 Tema Números y sistemas de numeración Problemas aditivos Lección 17 Con fórmulas y con palabras 40 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. 42 Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión 44 aritmética o geométrica de números y de figuras Patrones y ecuaciones 46 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al 48 considerar a las literales como números generales con los que es posible operar 50 Lección 18 De tres lados 52 Lección 12 La matemática de las rejas Lección 13 Bordados Lección 14 Sucesiones de figuras o números Lección 15 La fórmula es útil, pero no es lo único Lección 16 Con números o con letras Lección 20 Diseños con triángulos y cuadriláteros Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso 54 del juego de geometría 56 Lección 21 Un triángulo al interior de un círculo 58 Lección 22 Un círculo en un triángulo Lección 23 Centro de gravedad 60 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, 62 medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo Lección 24 Las alturas del triángulo 64 Lección 25 ¿Son proporcionales? 66 Lección 26 El campamento 68 Resolución de problemas de reparto proporcional Lección 27 Repartos justos 70 Lección 28 Hablemos de juegos I 72 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias 74 en función del análisis de resultados posibles Lección 19 De cuatro lados Lección 29 Hablemos de juegos II 16 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico espacio Figuras y cuerpos Forma, y medida Proporcionalidad y funciones Manejo de la información Nociones de probabilidad Las matemáticas en la música 76 Evaluación (TIPO ENLACE) 78 Evaluación (TIPO PISA) 80 Y para terminar... 81 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 12 1/18/13 12:30 PM Índice BLOQUE 2 Lección 82 Título Lección 30 Divisores y números primos Página Contenido Lección 31 ¿Quién divide a quién? 84 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. 86 Distinción entre números primos y compuestos Lección 32 Mínimo común múltiplo 88 Lección 33 Máximo común divisor Lección 34 Descomponiendo números Lección 35 La migración indocumentada en Estados Unidos de América Lección 36 Tipo de cambio y algo más Lección 37 Salarios y precios Resolución de problemas que impliquen el cálculo 90 del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo 92 94 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, 96 empleando los algoritmos convencionales 98 Lección 38 La mitad de un cuarto I 100 Lección 39 La mitad de un cuarto II 102 Lección 40 Vueltas alrededor de un circuito I Lección 41 Vueltas alrededor de un circuito II Resolución de problemas que impliquen la multiplicación 104 y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales 106 Lección 42 ¿Qué número multiplicado por 2 da 3? 108 Lección 43 A la misma distancia I 110 Lección 44 A la misma distancia II Lección 45 Mediatrices y bisectrices Lección 46 Unas fórmulas se originan en otras Lección 47 La mitad del doble Lección 48 Banderas a escala Lección 49 Más del doble pero menos del triple Lección 50 La casita a escala Tema Eje Números y sistemas de numeración Problemas aditivos Sentido numérico y pensamiento algebraico Problemas multiplicativos Resolución de problemas geométricos que impliquen 112 el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo 114 Figuras y cuerpos 116 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción 118 y transformación de figuras Medida 120 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” 122 en diversos contextos, con factores constantes 124 fraccionarios Proporcionalidad y funciones Forma, espacio y medida Manejo de la información Las matemáticas en los números primos 126 Evaluación (TIPO ENLACE) 128 Evaluación (TIPO PISA) 130 Y para terminar... BLOQUE 3 Lección 131 Título Lección 51 Multiplicar y dividir entre 10, 100 y 1 000 Página Contenido Lección 52 Técnicas para multiplicar decimales 134 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando 136 el algoritmo convencional Lección 53 Copias de copias 138 Lección 54 Engranajes I 140 Lección 56 Desandar el camino. El factor recíproco I Formulación de explicaciones sobre el efecto 142 de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas 144 Lección 57 Desandar el camino. El factor recíproco II 146 Lección 55 Engranajes II S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 13 Tema 132 Eje Problemas multiplicativos Sentido numérico y pensamiento algebraico Proporcionalidad y funciones Manejo de la información 1/18/13 12:30 PM Índice Lección 58 Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan I Lección 59 Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan II 148 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando 150 el algoritmo convencional Problemas multiplicativos Lección 60 Técnicas para dividir decimales 152 Lección 61 Adivinanzas I 154 Lección 62 Adivinanzas II 156 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma Patrones 158 x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades y ecuaciones de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales 160 o fraccionarios 162 Lección 63 Balanzas en equilibrio Lección 64 Ecuaciones equivalentes Lección 65 Problemas diversos Lección 66 Polígonos y doblado de papel Lección 68 Vitrales 164 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, 166 ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos 168 de la circunferencia y el polígono inscrito en ella Lección 69 La plaza 170 Lección 67 Relaciones interesantes Lección 71 Más sobre el área de polígonos regulares Resolución de problemas que impliquen calcular 172 el perímetro y el área de polígonos regulares 174 Lección 72 Creencias y realidades 176 Lección 70 Mesas y polígonos regulares Lección 73 Para comparar datos Lección 74 Lanzamiento de un dado Lección 75 ¿Es mucho o es poco? Lección 76 Elecciones Sentido numérico y pensamiento algebraico Figuras y cuerpos Forma, espacio y medida Medida Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, 178 su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias 180 Nociones de probabilidad 182 Lectura y comunicación de información mediante el uso 184 de tablas de frecuencia absoluta y relativa Análisis y representación de datos Manejo de la información Las matemáticas en el arte 186 Evaluación (TIPO ENLACE) 188 Evaluación (TIPO PISA) 190 Y para terminar... BLOQUE 4 Lección 191 Título Lección 77 Temperaturas bajo cero Lección 78 Números opuestos Lección 79 Estadísticas del futbol mexicano Lección 80 El círculo en la arquitectura Lección 81 Círculos y algo más Lección 82 Dar la vuelta Lección 83 En la pizzería S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 14 Página Contenido 194 Tema Planteamiento y resolución de problemas que impliquen 196 la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos 198 Números y sistemas de numeración 200 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que 202 cumplan condiciones dadas Figuras y cuerpos 204 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la Medida 206 razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro 192 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida 1/18/13 12:30 PM Índice Lección 84 La regla de tres Lección 85 Un mismo problema, varias técnicas 208 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros 210 o fraccionarios Lección 86 Factores de escala I 212 Proporcionalidad y funciones 218 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar 220 los resultados Nociones de probabilidad 222 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas 224 y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo 226 la representación gráfica más adecuada Análisis y representación de datos Lección 87 Factores de escala II Lección 88 Del maíz a las tortillas Lección 89 Tarjetas de felicitación Lección 90 Futbol Lección 91 Deportistas de México Lección 92 México en el año 2000 Lección 93 Información diversa Análisis de los efectos del factor inverso en una relación 214 de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala 216 Manejo de la información Las matemáticas en los recorridos 228 Evaluación (TIPO ENLACE) 230 Evaluación (TIPO PISA) 232 Y para terminar... BLOQUE 5 Lección 233 Título Página Contenido Tema Lección 94 Suma de números con signo I 236 Lección 95 Suma de números con signo II Lección 96 Resta de números con signo 238 Resolución de problemas que implican el uso de sumas 240 y restas de números enteros Lección 97 Juegos con números 242 Lección 98 Cantidades astronómicas o microscópicas Lección 99 Distancias y masas 244 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes 246 o muy pequeñas Lección 100 La medida de un lado 248 Problemas multiplicativos Lección 104 Construyendo sucesiones 254 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) 256 de una sucesión con progresión aritmética Patrones y ecuaciones Lección 105 Circulando 258 Lección 101 Raíces cuadradas Lección 102 Crecimiento exponencial Lección 103 Símbolos en lugar de palabras Resolución de problemas que impliquen el cálculo 250 de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales 252 234 Eje Problemas aditivos Sentido numérico y pensamiento algebraico Medida Lección 107 Más sobre círculos y circunferencias Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área 260 del círculo en la resolución de problemas 262 Forma, espacio y medida Lección 108 Depende de varias magnitudes I 264 Lección 109 Depende de varias magnitudes II 266 Proporcionalidad y funciones Manejo de la información Lección 106 De vuelta en la pizzería Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple Las matemáticas en la sucesión de Fibonacci 268 Evaluación (TIPO ENLACE) 270 Evaluación (TIPO PISA) 272 Y para terminar... 273 Glosario ................................................................................................................................................................................................................................. 274 Bibliografía para el alumno............................................................................................................................................................................................ 276 Bibliografía para el profesor .............................................................................................................................................................................................. 277 S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 15 1/18/13 12:30 PM BLOQUE 1 Aprendizajes esperados ✓ Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. ✓ Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. ✓ Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa. 16 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 16 1/18/13 10:45 AM Un peligro mucho mayor de lo que parece Observa el enorme iceberg flotando en el océano… El volumen de la parte sumergida es mucho mayor que el de la visible. Los icebergs se desprenden de los glaciares en los polos y se mueven lentamente por el océano, a merced de los vientos y las corrientes marinas. Los desprendimientos de hielo polar son cada vez más frecuentes; científicos de todo el mundo vigilan este proceso, y estudian su posible relación con la actividad humana. El agua cubre más de dos terceras partes de la superficie del planeta (72%), pero la mayoría es salada; solo 3% es agua dulce, y la mayor parte está en los polos(cuatro quintas partes de toda el agua dulce del planeta). Los icebergs son, por tanto, gigantescos bloques de agua dulce y producen cambios en la salinidad del océano que afectan a muchas especies marinas; pueden, incluso, producir alteraciones en el clima. 1. Mide la altura de la fracción visible del iceberg del esquema de arri- ba y la altura de la parte sumergida. Aproximadamente, ¿cuántas partes del total están sumergidas? Expresa el resultado en forma de fracción y en forma decimal. 2. De cada cien partes de agua, ¿cuántas son de agua salada? ¿Qué parte de agua dulce está fuera de los polos? 3. ¿Conoces la historia del Titanic? En 1912 el barco más grande del mundo se hundió con más de 2 200 personas a bordo tras golpear un iceberg. Como pensaban que era un barco muy seguro, solo había botes salvavidas para menos de la mitad de los pasajeros. Desgraciadamente, en total murieron dos terceras partes. Aproximadamente, ¿cuántas personas salieron con vida? Investiga más sobre la distribución del agua en el planeta en… www.e-sm.com.mx/SCM1-017 eros es de cantidades enteras. Los núm A menudo debemos expresar part imprescindibles en son ello por rlo; hace iten perm decimales y fraccionarios nos medir, para jugar… nuestra vida: para comprar, para sarias si has adquirido las destrezas nece Al final de este bloque comprobarás distintos ámbitos. para usarlos y efectuar cálculos en 17 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 17 1/18/13 10:45 AM contenido BLOQUE 1 Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa Secuencia 1 / lección 1 Diferentes maneras de expresar medidas Esmcomúnmquemlasmmedidasmsemexpresenmdemdiferentesmmaneras.mPormejemplo,m1mm__ m12mmlm tambiénmpuedemexpresarsemcomom1.5mlmomcomom1m500mml.m¿Cómomsemexpresam1.75mmm usandomfracciones?m¿Ym1mmm__14mmkgmmusandompuntomdecimal? 1. Subraya la pesa que equilibre cada balanza. a) b) Peso neto 0.25 kg Peso neto 0.5 kg _3 kg 4 _1 kg 2 _1 kg 4 _3 kg _1 kg 4 8 c) _1 kg 2 _1 kg 4 4 8 d) Peso neto 0.75 kg _3 kg _1 kg Peso neto 0.125 kg _1 kg 2 _1 kg 4 _1 kg 8 _3 kg 4 _1 kg 2 _1 kg 4 _1 kg 8 2. Escribe en forma de fracción la cantidad de agua que hay en cada botella. Contenido: 0.1 l 1 _ de litro 10 mm Contenido: 0.2 l 2 _ de litro 10 Contenido: 0.35 l 35 _ 100 de litro Compara tus resultados con los de tus compañeros. Coméntales si sabes convertir un número con punto decimal en una fracción. 18 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 18 1/18/13 10:45 AM 3. A continuación se presenta un procedimiento para convertir un número con punto decimal en fracción. Complétalo. i. Se anota la fracción que corresponde a cada cifra decimal. 2 + 0.28 = _ 10 8 ii. Se reduce a denominador común. iii. Si es posible, se simplifica la fracción. 28 8 28 20 0.28 = _ + = 100 100 100 100 100 28 Los pasos i. y ii. pueden abreviarse poniendo directamente la fracción decimal 0.28 = ___ . 100 Basta con recordar que la última cifra de la derecha indica si se trata de décimos, centésimos, milésimos, etcétera. 4. Escribe la fracción correspondiente. a) 0.3 = 3 _ 10 2 b) 0.02 = _ 55 d) 0.055 = _ 100 1000 455 e) 0.455 = _ 50 = 7 25 Ya sabemos… Para simplificar una fracción se dividen su numerador y su denominador entre un mismo número. 8 f ) 0.008 = _ 1000 mm 14 En un número con punto decimal, la primera cifra a la derecha del punto representa décimos; la segunda, centésimos; la tercera, milésimos; etcétera. 100 12 c) 0.12 = _ = 1000 Compara tus resultados de las actividades 3 y 4 con los de tus compañeros. Conviertan el número 4.005 en su expresión con una fracción. Escriban en su cuaderno el procedimiento completo de la actividad 3 usando como ejemplo la fracción 0.375. 5. Subraya las pesas que equilibren cada balanza. Solo puedes usar una vez cada pesa. _3 kg 4 mm _1 kg 2 _1 kg 4 _1 kg 8 Convivimos Peso neto 1.25 kg Peso neto 1.5 kg _3 kg 4 _1 kg 2 _1 kg 4 _1 kg 8 Explica tu procedimiento a algunos de tus compañeros y escucha el que ellos efectuaron. Comenten qué diferencias hay entre ellos. Conocer formas de resolver problemas distintas a la que usaste enriquece tu comprensión del problema y tus nociones matemáticas. Por ello, es recomendable comparar con frecuencia tus resultados con los de tus compañeros. 19 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 19 1/18/13 10:45 AM contenido BLOQUE 1 Secuencia 1 / lección 2 Escritura decimal de una fracción Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa 1. Trabaja en equipo. Anoten el peso neto de la caja usando una expresión con punto decimal para que la balanza esté equilibrada. resolver _1 kg 8 mm 8 Peso neto _1 kg 0.375 kg 8 Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Comenten si saben convertir una fracción en su expresión con punto decimal. 2. A continuación hay dos procedimientos incompletos para convertir la fracción __38 en su expresión con punto decimal. Complétalos. Ya sabemos... Procedimiento 1 Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad. Por ejemplo, Se busca una fracción decimal equivalente a 3 , es decir, que su 8 3 12 __ es equivalente a ___ . 25 _1 kg Procedimiento 2 Se divide 3 entre 8 hasta obtener 0 en el residuo. denominador sea 10, 100, 100 o 1 000… Puedes obtener una fracción equivalente a otra multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número. 0.375 3 = 375 8 1 000 8 3 30 60 40 0 Esta fracción es igual a un número con punto decimal. El resultado es 0.375 El resultado es 0.375 3. Convierte cada fracción en su expresión decimal. Utiliza el procedimiento que prefieras. 3 _ = 2 mm 1.5 7 = _ 10 0.7 9 _ = 2.25 4 4= _ 5 0.8 7 = 0.35 _ 20 31 _ = 3.875 8 9 _ = 0.36 25 19 _ = 0.38 50 7 = 3.5 _ 2 13 _ = 3.25 4 7 = 0.875 _ 8 34 _ = 1.36 25 Compara tus resultados con tus compañeros. Lean y comenten la siguiente información. 20 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 20 1/18/13 10:45 AM Algunas fracciones son equivalentes a una fracción decimal, por ejemplo: 1 5 = = 0.5 2 10 3 75 = = 0.75 4 100 17 125 =2 = 2.125 8 1 000 36 180 = = 1.8 20 100 Estas fracciones se caracterizan porque, al dividir el numerador entre el denominador, en algún momento se obtiene un residuo igual a 0 (como en el caso de 3 ). Por lo tanto, 8 el número de cifras después del punto es finito. 4. En la tabla hay cantidades de medicina que pueden ponerse en la jeringa. A B 1.4 oz C 0.8 oz 1.5 oz D E F G H 0.3 oz 1 ___1_ oz 1 ___2_ oz 3 __ oz __4 oz 5 2 5 10 a) Indica las expresiones que representen la misma cantidad de medicina. Ay F By H Cy E Dy G b) Marca donde corresponde cada letra en la jeringa para verificar tus respuestas. validar 5. Juega con un compañero. Por turnos, cada uno tacha una fracción del tablero, la convierte en su expresión con punto decimal y la ubica en la recta con una flecha. Gana el primero que coloque tres flechas consecutivas, es decir, que entre ellas no haya una flecha del contrincante. Usen colores diferentes para distinguir las flechas de cada uno. 0 mm 13 20 1 10 19 10 3 2 8 5 17 10 1 4 9 5 13 10 7 5 7 10 6 5 7 4 1 5 75 10 2 5 1 2 3 5 5 4 3 4 9 10 11 20 27 20 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de conversión de fracciones. 1.7 1.8 1.9 2 Comenta con tus compañeros cuáles fueron las estrategias que utilizaron para colocar las tres flechas. Escriban en el pizarrón tres estrategias. 21 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 21 1/18/13 10:45 AM contenido BLOQUE 1 Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa Secuencia 1 / lección 3 ¿Cuántas cifras hay después del punto? 1. Anota en cada flecha la expresión con punto decimal correspondiente. 3.25 3.3333 1.75 0.6666 2. Usa el procedimiento 1 de la lección anterior para convertir las fracciones en su expresión con número decimal. 3 a) _ = 0.75 4 1 = 0.125 c) _ 8 Ya sabemos... Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador es 10, 100, 1 000, 10 000. 1 = 0.25 b) _ 4 2 = 0.66666 d) _ 3 3. ¿Con qué fracción no pudiste emplear el procedimiento 1? d) 4. Utiliza el procedimiento 2 para escribir la fracción __32 en su notación con punto decimal. No uses calculadora. ¿Qué sucede? mm R.T.Elresiduonuncallegaa0. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean lo siguiente. Existen fracciones que no son equivalentes a una fracción decimal. Cuando se intenta convertirlas en una expresión con punto decimal, dividiendo el numerador entre el denominador, sucede que… » el residuo nunca es 0, se podría seguir dividiendo tantas veces como se quisiera; y » la expresión decimal del cociente tiene una parte que se repite de manera infinita, por ejemplo: 1 = 0.33333… 3 7 = 0.16666… 6 20 = 1.818181… 11 Al conjunto de cifras que se repite de manera infinita después del punto se le llama periodo. A la expresión decimal se le llama expresión decimal periódica. Otra manera de escribir los números anteriores es colocando una línea sobre el periodo. 0.33333… = 0.3 0.16666… = 0.16 1.818181… = 1.81 22 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 22 1/18/13 10:45 AM 5. Haz lo siguiente. a) Completa la tabla. En cada casilla puedes formar una fracción, considerando como numerador un número de la primera columna y como denominador uno de la última fila. Escribe la expresión decimal correspondiente a la fracción que se forma en cada caso. Usa calculadora. Medios Tercios 1 0.5 0.3 Cuartos Quintos 0.25 0.2 Sextos 0.16 Séptimos Octavos Novenos 0.142857 0.125 Décimos 0.1 0.1 2 1 0.6 0.5 0.4 0.3 0.285714 0.25 0.2 0.2 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 0.428571 0.375 0.3 0.3 4 2 1.3 1 0.8 0.6 0.571428 0.5 0.4 0.4 5 2.5 1.6 1.25 1 0.83 0.714285 0.625 0.5 0.5 6 3 2 1.5 1.2 1 0.857142 0.75 0.6 0.6 7 3.5 2.3 1.75 1.4 1.16 1 0.875 0.7 0.7 8 4 2.6 2 1.6 1.3 1.142857 1 0.8 0.8 9 4.5 3 2.25 1.8 1.5 1.285714 1.125 1 0.9 10 5 3.3 2.5 2 1.6 1.428571 1.25 1.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b) Completa las oraciones, considera las fracciones de la tabla, sin tener en cuenta los enteros. » Los medios, cuartos, quintos , y octavos décimos siempre tienen una expresión decimal finita. » Los tercios, , sextos séptimos y novenos siempre Ya sabemos... Los medios resultan cuando el entero se divide en dos partes iguales; los tercios, cuando se hace en tres partes; los cuartos, en cuatro; y así sucesivamente. tienen una expresión decimal periódica. mm Comenta tus respuestas con tus compañeros. Compárenlas con lo leído en la página anterior y registren sus conclusiones en su cuaderno. 6. Analiza las regularidades de cada columna de la tabla anterior y, sin usar calculadora ni hacer la división por escrito, completa la tabla. Medios Tercios Cuartos Quintos Sextos Séptimos resolver Octavos Novenos Décimos 11 5.5 3.6 2.75 2.2 1.83 1.571428 1.375 1.2 1.1 12 6 4 3 2.4 2 1.714285 1.5 1.3 1.2 13 6.5 4.3 3.25 2.6 2.16 1.857142 1.625 1.4 1.3 Repasa la conversión de fracciones en su escritura decimal en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-023 23 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 23 1/18/13 10:45 AM contenido BLOQUE 1 Secuencia 1 / lección 4 Otro juego de flechas Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa 0 1 _ 12 1 _ 8 1. Juega con un compañero. Por turnos, cada uno tacha un número del tablero y lo ubica en la recta con una flecha. Se puede usar la calculadora solo después de tachar el número. Gana el primero que coloque tres flechas consecutivas, es decir, sin que haya alguna del otro jugador entre ellas. Algunas fracciones ya se han ubicado de manera aproximada. 1 _ 6 2 _ 1 _ 9 4 0.5 0.25 0.83 0.375 0.3 0.16 0.6 0.083 0.125 0.625 0.94 0.2 0.5 0.72 0.7 0.875 0.4 0.90 1 _ 3 3 _ 8 4 _ 9 1 _ 2 5 _ 9 5 _ 8 2 _ 3 8 _ 11 7 _ 9 5 _ 6 7 _ 8 10 _ 17 _ 11 18 1 2. Responde considerando los números de la actividad anterior. Verifica con calculadora hasta después de responder las cuatro preguntas. 0 1 _ 12 1 _ 8 1 _ 6 2 _ 1 _ 9 4 3 _ 8 4 _ 9 1 _ 2 5 _ 9 5 _ 8 2 _ 3 8 _ 11 7 _ 9 5 _ 6 7 _ 8 10 _ 17 _ 11 18 1 a) ¿Qué números del tablero ha elegido quien está jugando con el rojo? 0.6y0.83 Ya sabemos... b) ¿Y el que está jugando con el azul? 0.625,0.875y0.94 Para multiplicar por 10 un número con punto decimal, basta con desplazar el punto un lugar a la derecha, por ejemplo, 0.5 × 10 es 5. Para multiplicar por 100, basta con desplazar el punto decimal dos lugares a la derecha y, si hace falta, agregar ceros, por ejemplo, 0.5 × 100 = 50. 1 _ 3 c) Es el turno del rojo. ¿Qué número del tablero debería elegir para ganar? R.T.0.7 d) ¿Con cuál ganaría el azul? R.T.0.90 mm Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten cómo eligieron los números en el juego de las flechas. Con el profesor, lean la siguiente información. 24 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 24 1/18/13 10:45 AM Cómo pasar de la notación decimal a la fraccionaria Es muy sencillo expresar un decimal finito como fracción, puesto que el número de cifras a la derecha del punto indica si se trata de décimos, centésimos, milésimos, etc. Por ejemplo, 5 625 0.625 = 625 milésimos = _ = _ 1 000 8 8 2 0.08 = 8 centésimos = _ = _ 100 25 Expresar como fracción un decimal periódico como 0.45 es más difícil. Se puede hacer de la siguiente manera. Sabemos que 0.45 es 0.45454545…, entonces… a) Como el periodo tiene dos cifras, se multiplica por 100. 0.45454545… × 100 = 45.45454545… b) Obtuvimos 100 veces el valor de la fracción que estamos buscando. 45.4545… c) Si restamos 0.454545… a 45.454545…, obtenemos 45. Este valor es 99 veces el valor de la fracción que buscamos (porque a 100 veces el número le restamos una vez el mismo número). 45.4545… – 0.4545… 45 45 45 ÷ 99 = _ 99 Simplificando, se obtiene d) Entonces, para obtener la fracción buscada, debemos dividir entre 99. 5 0.45 = _ 11 3. Verifica con calculadora que 45 5 y sean iguales a 0.45. 99 11 4. Convierte los números decimales en fracciones. a) 0.12 = 12 100 1225 d) 12.25 = 100 g) 0.09 = mm 1 11 b) 4.3 = 43 c) 56.13 = 5613 10 100 12 e) 0.12 = 99 f ) 0.375 = 375 999 h) 2.15= 213 99 Investiga, en grupo, qué fracción corresponde a 0.02. Consideren primero multiplicar por 100 y luego por 10; al restar obtendrán 90 veces la fracción que buscan. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten lo que han aprendido acerca de cómo convertir fracciones en decimales y decimales en fracciones. Hagan un resumen en su cuaderno y pongan ejemplos de ambos casos. 25 S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 25 1/18/13 10:45 AM contenido BLOQUE 1 Representa números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. resolver Secuencia 2 / lección 5 Las apariencias engañan Una manera de representar y entender los números es mediante la recta numérica. ¿Sabías que esta recta es un conjunto infinito de puntos y que a cada uno le corresponde un número? 1. Reúnete con un compañero para resolver las actividades. a) El dibujo de abajo representa una pista de 9 km. Ubiquen a cada corredor en su posición aproximada, como se muestra en el ejemplo. Corredor A B C D E F G H I J Kilómetros recorridos 6 __34 21 __ 6 5 __34 16 __ 18 __ 6.5 5 __13 13 __ 7.25 3 3 3 2 1 2 0 3 4 8 J B 5 7 H E 6 A G I D F C ¿Qué corredores están empatados? G con I, C con F y E con H b) Localicen en la recta numérica los siguientes números. 5 _ 3 4 _ 15 _ 3 _ 6 1, _ 2, _ 1, _ _ , 2 , _, _ , , , , 0.5, 0.3333…, 0.16 3 3 2 6 6 9 6 18 6 9 0.5 0 1 0.16 26 S-CNCT_M1_B1_026-033.indd 26 2 6 1 3 3 9 1 2 3 6 6 9 2 3 4 6 5 6 15 18 1/17/13 4:28 PM c) Si ubicaron bien las fracciones, varias se sobrepusieron, es decir, son equivalentes. De las fracciones del inciso b), escriban en el espacio correspondiente las equivalentes a las que se indican. 1 _ 3 2 6 1 _ 2 3 9 2 _ 3 3 6 6 9 5 _ 6 4 6 15 18 Ya sabemos... Dos o más fracciones son equivalentes cuando se escriben diferente pero representan el mismo número. 5 Por ejemplo: __13 = __26 = __ 15 2. Averigüen cuál es el número mayor en cada pareja y subráyenlo. Si los números son equivalentes, subrayen ambos. __4 y __6 __7 y 1 __5 y 1 __1 y __2 3 __6 y 1 __2 y __4 __1 y __1 5 __ __ y7 __1 y 0.5 __1 y __4 __1 y __5 11 __ y 0.75 __3 y __2 __2 y 0.83333… __3 y __4 6 __ __ y 12 1.5 y __46 8 __ __ y2 4 6 2 6 3 2 12 3 6 6 2 2 4 3 2 3 12 6 6 2 6 6 3 6 12 12 3 3. Ubiquen los números anteriores en la recta. Luego, revisen sus respuestas con base en el orden en que quedaron. 0.5 0.83 0.75 3 5 4 6 11 12 0 6 6 7 6 4 3 3 2 validar 6 4 1 1 3 5 12 3 6 6 12 1 2 8 2 12 3 4 6 2 1.5 12 _ 6 Algunas veces, para comparar dos fracciones es suficiente observarlas y pensar en lo que representan, por ejemplo, __67 y __32 , ¿cuál es mayor? __67 es menor que 1, mientras que __32 es mayor que 1, por lo tanto __32 es mayor que __67 . Otro ejemplo, __56 y __34 , ¿cuál es mayor? A __56 le falta __16 para completar 1, mientras que a __34 le falta __14 para completar 1, por lo tanto es mayor __56 . 4. Encuentren una fracción equivalente en cada caso. Exprésenla de manera simplificada. m 3 6 _ = 8 4 1 8 _ = 16 2 1 50 _ = 100 2 1 30 _ = 90 3 5 10 _ = 12 6 2 10 _ = 15 3 técnicas Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Recuerden cómo se sabe cuál de dos fracciones es mayor o si son equivalentes, y cómo se simplifican. 27 S-CNCT_M1_B1_026-033.indd 27 1/17/13 4:28 PM contenido BLOQUE 1 Representa números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Secuencia 2 / lección 6 Números en la recta 1. A un grupo de alumnos se le pidió representar los números 0, 8, 16 y 24 en la siguiente recta. A continuación verás cómo resolvieron el problema cuatro alumnos. Anota en cada caso si la solución es correcta o incorrecta y explica por qué. a) José lo hizo así: 0 8 Lo que hizo José es 16 24 incorrecto porque R. T. entre 0 y 8, entre 8 y 16, y entre 16 y 24 debe haber la misma distancia. b) Pedro hizo lo siguiente: 0 8 16 Lo que hizo Pedro es correcto porque 24 R. T. si entre dos marcas consecutivas hay dos unidades, tenemos los valores requeridos. c) María lo hizo así: 0 8 16 24 Lo que hizo María es correcto porque R. T. si entre dos marcas consecutivas hay ocho unidades, tenemos los valores requeridos. d) Rosa resolvió así: 0 8 Lo que hizo Rosa es 24 16 incorrecto porque R. T. 24 es mayor que 16, por lo que debe representarse más a la derecha en la recta. e) ¿Cómo lo resolverías? Usa la recta que hay al inicio de la lección para responder. Justifica tu respuesta en el cuaderno. 28 S-CNCT_M1_B1_026-033.indd 28 1/17/13 4:28 PM resolver 2. Haz lo que se indica en cada recta. a) Representa los números 0 1 2 3 , y . 4 3 2 1 2 1 4 b) Representa los números 3 _ 2 2 _ 3 1 3 , y 2. 2 4 R. P. 1 3 c) Representa los números 2 , 0.7 y 1.2. 5 R. P. 0.3 m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Entre todos, analicen lo siguiente. Al representar números en una recta numérica es importante tener en cuenta diversos aspectos. » No siempre hay un lugar fijo para el cero, de manera que, como en los casos b) y c) de la actividad 2, es correcto que lo ubiques donde te parezca conveniente. » Si ya están ubicados dos o más números, hay una unidad de medida establecida que se debe conservar en la recta. José se equivocó en el problema 1 porque no conservó la misma medida. De 0 a 8 cada espacio vale uno, pero de 8 a 16, vale dos y de 16 a 24, vale cuatro. Es incorrecto hacer esto en la misma recta. No siempre correcto qu Si ya están u var en la rec espacio vale recta. Si solo está que sea con Se ha conve cha o de ab ción es inco » Si solo está ubicado un número, o ninguno, es necesario establecer la unidad de medida del tamaño que sea conveniente para ubicar otros números. » Se ha convenido que el valor de los números representados en una recta aumenta de izquierda a derecha o de abajo hacia arriba. En la actividad 1 Rosa no tuvo en cuenta esta convención y por eso su solución es incorrecta. 3. Anota los números que corresponden a los puntos señalados en las rectas. 0.5 1.5 0 2 3 8 0 Ya sabemos... 1 __ 5 __ 4 4 0.3 1.3 0.7 m 1 Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si hay diferencias, identifiquen los errores y corrijan lo que sea necesario. Identifiquen qué parte de la información resulta útil en cada caso de las actividades 2 y 3. Cuando hay dos o más números ubicados en la recta numérica, ya hay una unidad que debes conservar. Si solo está ubicado un número o ninguno, debes establecer la unidad. 29 S-CNCT_M1_B1_026-033.indd 29 1/17/13 4:28 PM contenido BLOQUE 1 Representa números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Secuencia 2 / lección 7 Números ocultos 1. En la siguiente recta el segmento de 0 a 20 está dividido en cinco partes iguales. Anota el número que le corresponde al punto que señala la flecha. 0 resolver 20 12 a) Explica en tu cuaderno por qué el número que corresponde al punto señalado no puede ser el 3. b) El segmento de 0 a 15 está dividido en cinco partes iguales. ¿Qué número corresponde 9 al punto señalado con la flecha? 0 15 c) El segmento de 0 a 1 está dividido en cinco partes iguales. ¿Qué número corresponde 3 al punto señalado con la flecha? 5 0 1 2. En la siguiente recta el segmento de 0 a 20 está dividido en seis partes iguales. a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha. 0 20 20 3 b) Respecto a la actividad del inciso a), cinco equipos de un grupo dieron las respuestas que se muestran. Solo dos son correctas. Anota en la columna de comentarios por qué consideras que es correcta o incorrecta cada respuesta, con base en la información que hay en la recta. validar Equipo 1 2 3 4 5 m Respuesta 6 20 _ 3 21 _ 3 2 6+_ 3 6.6 Comentarios Incorrecta, pues 6 + 6 + 6 = 18 Correcta, pues 20 3 + 20 + 20 = 20 3 3 Incorrecta, pues 7 + 7 + 7 = 21 2 20 Correcta, pues tres veces 6 + 3 es 3 Incorrecta, aunque es aproximada Revisa, con ayuda del profesor, lo que escribiste para ver si coinciden tus respuestas con las de tus compañeros. Anota a qué conclusiones llegan. 30 S-CNCT_M1_B1_026-033.indd 30 1/17/13 4:28 PM 3. Anota los números que corresponden a los puntos señalados con flechas en cada una de las rectas. Si en vez de 5 fuera 1, el número que correspondería al punto señalado con la flecha sería __23 , pero es cinco veces 1, por tanto el número buscado es… a) El segmento de 0 a 5 está dividido en tres partes iguales. 0 Una pista 5 10 3 b) El segmento de 0 a 5 está dividido en ocho partes iguales. 5 8 0 5 2 15 4 5 4. En la siguiente recta, el segmento AB se dividió en siete partes iguales. A 1 9 7 a) ¿Qué número le corresponde al punto A? b) ¿Y al punto B? B 3 7 17 7 c) Anota otro número que se ubique en el segmento AB: R. P. d) Anota uno que se ubique fuera del segmento AB: R. P. m Compara, con ayuda del profesor, tus resultados con los de tus compañeros. En caso de que haya diferencias, averigüen quién tiene razón y por qué. Después lean la siguiente información. 7 4 Una manera de resolver problemas como los de esta lección consiste en pensarlos como problemas de reparto. Por ejemplo, si se trata de un segmento de 0 a 7 dividido en cuatro partes iguales, dividir 7 entre 4 nos da 7 , 1 3 o 1.75 para cada parte del segmento. Esto quiere decir que el 4 4 número que corresponde a la primera marca después de 0 es 7 ; a la segunda, 14 ; a la tercera, 4 4 21 ; y a la cuarta, 28 , que es igual a 7. 4 4 5. ¿Qué número corresponde al punto señalado con la flecha? 20 7 0 4 31 S-CNCT_M1_B1_026-033.indd 31 1/17/13 4:28 PM contenido BLOQUE 1 Representa números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Secuencia 2 / lección 8 Del cero al uno 1. En la siguiente recta la flecha señala el punto medio del segmento que va de 1 2 a . 3 3 a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha. 0 1 3 1 2 3 3 6 b) A continuación se presentan cuatro razonamientos distintos para encontrar el número que señala la flecha. Anota sobre las líneas si es correcto o incorrecto. » El segmento que va de 1 a 2 mide 1 . La mitad de 1 es 1 , entonces, el número 3 3 3 3 que señala la flecha es 1 + 1 = 3 . 3 6 6 Correcto. 6 » El número que señala la flecha es 1 + 1 , es decir, 5 . 3 2 6 » Incorrecto. 1 vale lo mismo que 2 y 2 vale lo mismo que 4 ; el número que está a la mitad 3 6 3 6 entre 2 y 4 es 3 . 6 6 Correcto. 6 » El número que señala la flecha es la mitad de 1 , es decir, 1 . 3 resolver Incorrecto. 6 2. Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha en las rectas. 7 10 a) 0 7 12 3 5 1 4 5 b) 0 1 2 0.25 2 3 1 c) 0 0.2 0.3 1 7 12 d) 0 m 1 3 2 3 1 Revisa, con ayuda del profesor, los resultados de las actividades anteriores. Después, analiza la siguiente información. 32 S-CNCT_M1_B1_026-033.indd 32 1/17/13 4:28 PM Entre dos números fraccionarios o decimales cualesquiera siempre hay otros números fraccionarios o decimales. Una forma de encontrarlos es utilizando números equivalentes. Por ejemplo, entre 7 y 8 está 15 . ¿Por qué? A esta característica de los números fraccionarios 6 6 12 y decimales se le llama propiedad de densidad. 3. En la recta A el segmento que va de 0 a 1 se dividió en diez partes iguales. En la recta B, una de estas partes se amplificó y dividió en diez partes iguales. En la recta C, una de estas partes se amplificó y de nuevo se dividió en diez partes iguales. a) Anota los números que corresponden a los puntos señalados con flechas y contesta lo que se pide. 7 8 10 Recta A 10 0 www.e-sm.com.mx/ SCM1-033 1 76 77 100 100 Recta B 70 100 Recta C Familiarízate más con las fracciones y la recta numérica en... 80 100 76 100 b) Escribe un número comprendido entre 777 1 000 1 2 y . 10 10 77 100 R. T. 3 20 c) Escribe un número comprendido entre 0.4 y 0.5. R. T. 0.42 m m Compara, con ayuda del profesor, los resultados de la actividad anterior con los de tus compañeros. Comenten cómo encontrarían dos números decimales entre __47 y __35 . Juega en grupo “de 0 a 1”. » El profesor piensa un número que sea mayor que 0 y menor que 1, y lo anota en un papel, sin que los alumnos vean. » Los alumnos, organizados en equipos, tienen derecho a hacer hasta diez preguntas para acercarse lo más posible al número que pensó el profesor. » A cada pregunta que hagan los equipos, el profesor solo contesta sí o no. » Al final, cada equipo dice un número y gana el que se haya acercado más. 33 S-CNCT_M1_B1_026-033.indd 33 1/17/13 4:28 PM contenido BLOQUE 1 Secuencia 3 / lección 9 Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío Resuelve y plantea problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Lamsumamymlamrestamdemfraccionesmsonmoperacionesmquemestudiastemenmlamprimaria.mEnmestam secuenciamlasmutilizarásmparamresolvermdiversosmproblemas.mCalculammentalmentemlosm 1 1 resultadosmsiempremquempuedas.mPormejemplo,mparamresolverm 2 m+m 3 mpuedesmpensarmquemm 3 2 5 3 1 1 2 mequivalemam 6 mym 3 mequivalemam ,mentonces,m 6 m+m 6 m=m 6 . 2 6 1. Las etiquetas que indican el contenido de cada vaso están revueltas. A B C D E F G H I J a) Estima el contenido de cada vaso y coloca las etiquetas en la tabla. 1 5 3 4 5 10 5 6 2 3 1 4 1 3 1 6 1 2 A B C D E F G H I J 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 3 4 3 5 5 6 5 10 3 5 2. Responde las preguntas con la información de la tabla. a) El vaso con más líquido es I. » ¿Cuánto contiene? » ¿Cuánto le falta para estar lleno? 5 6 1 6 b) El vaso con menos líquido es E. » ¿Cuánto contiene? » ¿Cuánto le falta para estar lleno? c) ¿Qué vasos tienen menos de 1 2 ? 1 6 5 6 B, C, D, E, 34 S-CNCT_M1_B1_034-039.indd 34 1/17/13 4:40 PM d) ¿Qué vasos tienen más de 1 2 ? F, G, H, I 1 e) ¿Qué vasos tienen exactamente 2 ? mm A, J Compara tus resultados con los de tus compañeros 3. Si juntas el contenido de dos vasos, es posible que el resultado sea menos de un vaso, exactamente un vaso o más de un vaso. Completa la tabla con base en los ejemplos. A mm B C D E F G H I J más más lleno A lleno menos menos menos menos más más B menos menos menos menos menos lleno más menos más menos C menos menos menos menos menos menos lleno menos más menos D menos menos menos menos menos menos menos menos más menos E menos menos menos menos menos menos menos menos lleno menos resolver vaso F más lleno menos menos menos más más más más más G más más lleno menos menos más más más más más H más menos menos menos menos más más más más más I más más más más más más J lleno menos menos menos menos más más más más lleno más más más lleno Revisa algunas de las respuestas con tus compañeros. Expliquen en cada caso cómo supieron que un resultado sería mayor, menor o igual que un vaso lleno. 4. Anota en la siguiente tabla la fracción de vaso que se llena al juntar el líquido de dos vasos. A A B C D E F mm 1 5 __ 6 3 __ 4 7 __ 10 2 __ 3 7 __ 6 B C D E F 5 __ 3 __ 7 __ 2 __ 6 2 __ 3 7 __ 12 8 __ 15 1 2 4 7 __ 12 10 8 __ 15 9 ___ 20 2 __ 5 11 ___ 30 13 __ 15 3 7 6 1/2 1 5 __ 11 __ 1 1/2 9 ___ 20 5 __ 12 11 __ 12 G H I 5 __ 4 13 __ 12 11 __ 4 __ 12 12 1 11 ___ 13 __ 19 ___ 30 __1 3 5 __ 6 15 5 __ 6 4 __ 3 20 11 __ 12 17 __ 12 10 14 __ 15 17 ___ 20 4 __ 5 23 ___ 30 19 __ 15 J 3 1 7 __ 5 __ 6 6 13 __ 3 __ 12 4 31 ___ 7 __ 30 10 2 __ 3 7 __ 6 1 3 __ 2 Comenta con tus compañeros los procedimientos que utilizaron. Hagan una lista con los procedimientos distintos e indiquen cuál les parece mejor para esta situación. Ya sabemos... Hay diferentes maneras de sumar dos fracciones, por ejemplo, convirtiendo a fracciones con igual denominador, convirtiendo a decimales, usando la recta numérica, etc. validar 35 S-CNCT_M1_B1_034-039.indd 35 1/17/13 4:40 PM contenido BLOQUE 1 Resuelve y plantea problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. resolver Secuencia 3 / lección 10 Para usar las fracciones 1. Resuelve, en equipo, los problemas. Expliquen sus procedimientos. 1 1 a) En una bolsa hay 20 canicas de cinco colores diferentes. 5 son rojas, 4 son azules, 1 10 son amarillas y tres son verdes. El resto son negras. ¿Qué fracción de las 20 canicas corresponde a las negras? 3 10 Ya sabemos... Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, primero debes hacer las conversiones necesarias para igualar los denominadores. Por ejemplo, para sumar 1 2 3 + 5 puedes convertirlas en quinceavos: 1 = 5 2 = 6 3 15 5 15 5 + 6 = 11 15 15 15 b) La siguiente operación es una resta de fracciones con cuatro dígitos diferentes, cuyo resultado es 1. Escribe al menos otras dos operaciones que cumplan las mismas características. 4 3 – 2 6 R. T. 10 12 – =1 4 8 =1 R. T. 7 4 – =1 5 10 c) Los antiguos egipcios escribían las fracciones como sumas de fracciones unitarias, es decir, fracciones cuyo numerador es 1. Por ejemplo, para escribir la fracción 5 , utiliza8 ban la expresión 12 + 18 . » Las siguientes sumas corresponden a tres fracciones del recuadro. Identifícalas y anótalas donde corresponda. 1 + 1 = 4 5 1 + 1 + 1 = 11 2 3 12 9 20 1 + 1 = 2 3 12 11 12 7 10 7 12 9 20 3 4 5 6 5 6 » Escribe en tu cuaderno las otras tres fracciones como sumas de fracciones unitarias con distinto denominador. 1 1 3 + = 2 4 4 1 1 7 + = 2 5 10 d) Con base en la información del esquema que aparece abajo, ¿cuánto tiempo tardó el autobús en ir de la ciudad B a la ciudad C. 1 3 h 4 5 12 h 1 1 7 + = 2 12 12 2 14 h A 1 12 h B C D 36 S-CNCT_M1_B1_034-039.indd 36 1/17/13 4:40 PM 1 1 1 e) Un niño ocupa 3 del día para dormir, 4 para estudiar, 6 para jugar y ver televisión, y el resto para otras actividades. ¿Qué parte del día ocupa para otras actividades? 1 4 1 5 f ) Una fotografía mide 6 4 pulgadas de ancho por 8 8 pulgadas de largo. ¿Cuál es el perímetro de la fotografía? 29 3 = 119 4 4 g) Encuentra dos números, a y b, mayores que __12 pero menores que __34 . Representa los cuatro números en la recta. 3 1 _ _ R. T. a b 2 4 0 1 2 3 5 8 » ¿Qué valores pueden tomar a y b? R. T. » Si la diferencia entre dos números sucesivos es siempre la misma, ¿cuánto vale b? 7 _ 8 _ u 12 12 h) Anota en cada cuadrito el signo más (+) o el signo menos (–) para que las expresiones sean correctas. 1 2 mm – 1 1 3 4 + 8 = 8 2 3 – 1 10 = 2 – 3 1 6 = 4 8 5 + 1 2 2 3 + 1 4 – 1 1 6 + 2 =1 5 4 – 1 2 – 3 3 8 = 8 1 2 – 1 3 + 1 6 =1 Practica la suma y resta de fracciones en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-037 Revisen en grupo, con ayuda del profesor, los resultados de los problemas. Cuando difieran, averigüen quién tiene razón y dónde están los errores. 37 S-CNCT_M1_B1_034-039.indd 37 1/17/13 4:40 PM contenido BLOQUE 1 Resuelve y plantea problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. resolver Secuencia 3 / lección 11 Un juego de cartas 1. Reúnete con tres compañeros. Preparen un juego de 40 cartas y anoten en cada una alguno de los siguientes números: 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 3 , 3 , 5 . Cada número debe re2 4 3 6 8 3 4 8 8 petirse en cuatro cartas. » Uno de los jugadores se encargará de revolver las cartas y repartir. » El repartidor da tres cartas a cada jugador sin que los demás vean los números. » Cada jugador, después de observar los números de sus cartas, tiene derecho a pedir más o a quedarse con las que tiene. 1 » El jugador que más se acerca a 1 2 sumando los números de sus tarjetas gana tres puntos. Si hay empate, se reparten los tres puntos entre los ganadores. » El jugador que se pasa de 1 12 pierde el juego. » Al final de varias rondas, gana el jugador que obtiene más puntos. 1 2. Daniela, Carmen, Rodrigo y Mario jugaron cuatro rondas de 1 2 . Analicen los resultados de cada una y escriban el nombre de los ganadores. Ya sabemos... Para sumar o restar fracciones primero se hacen las conversiones necesarias para que tengan el mismo denominador. Ronda Cartas de Daniela Cartas de Carmen Primera 1 3 5 8 1 6 5 8 3 8 1 4 Segunda 1 4 3 8 1 2 1 2 3 8 5 8 Tercera 5 8 1 8 1 Cuarta 1 3 1 2 1 6 2 3 Cartas de Rodrigo 1 8 1 8 1 3 Cartas de Mario 1 2 ¿Quién ganó la ronda? 2 3 3 4 3 4 Carmen 2 3 2 3 1 8 5 8 1 2 1 4 Carmen 1 4 1 6 3 8 3 8 1 1 2 1 3 5 8 1 4 1 3 Mario 1 8 5 8 1 4 1 1 3 1 4 3 4 2 3 1 8 1 Rodrigo a) ¿Quién ganó al final de las cuatro rondas? Carmen. 38 S-CNCT_M1_B1_034-039.indd 38 1/17/13 4:40 PM 3. Daniela, Carmen, Rodrigo y Mario cambiaron las reglas del juego. Ahora cada uno toma tres cartas. Deben sumar dos de ellas y restar la otra. Gana el que obtenga el resultado mayor. Anota, en la última columna, quién ganó. Ronda Cartas de Daniela Cartas de Carmen Cartas de Rodrigo Cartas de Mario Primera 1 6 2 3 2 3 1 3 5 8 1 8 1 2 5 8 3 4 1 4 1 6 5 8 Daniela Segunda 1 3 4 1 4 3 8 1 1 3 1 8 2 3 3 8 3 8 1 6 1 2 Daniela Tercera 1 6 1 1 2 1 3 3 4 3 8 1 3 2 3 1 8 1 1 4 1 2 Daniela Cuarta 1 4 1 6 1 6 3 8 1 2 1 6 3 4 1 4 1 1 8 3 8 5 8 Rodrigo a) ¿Quién ganó al final de las cuatro rondas? ¿Quién ganó la ronda? Daniela. 4. Lee la siguiente información. Cuando hay sumas y restas de fracciones con distinto denominador en una expresión es necesario encontrar fracciones equivalentes con igual denominador para calcular el resultado. Por ejemplo: 3 _ 9 _ 1 =_ 4 =_ 17 _ + 1 –_ + 12 – _ 8 2 6 24 24 24 24 mm Comenta, en grupo, cómo calculaste las sumas y restas de fracciones. 39 S-CNCT_M1_B1_034-039.indd 39 1/17/13 4:40 PM contenido BLOQUE 1 Construye sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formula en lenguaje común expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Secuencia 4 / lección 12 La matemática de las rejas Muchas figuras que conoces siguen cierta regla o patrón. ¿Te has preguntado qué tienen que ver las rejas con las matemáticas? ¿Has notado que algunos bordados también siguen una regla? 1. Trabaja en equipo. Don Manolo, el herrero, diseña rejas con tres modelos de barras. Tipo A Tipo B Tipo C resolver Esta es parte de una reja. 1 2 3 4 5 6 7 En contexto En el trabajo de los herreros hay diversas aplicaciones matemáticas, por ejemplo: líneas rectas y curvas, figuras geométricas distintas y simetrías. Además, constantemente toman medidas y hacen cálculos. a) ¿Qué tipo de barra es la número 5? Tipo A. b) Si la reja continúa, ¿de qué tipo será la barra número 10? Tipo B. c) ¿Y la 39? Tipo A. d) ¿La barra número 45 es del tipo B? No. e) ¿Cómo lo averiguaron? Porque las rejas pares son tipo B y las impares, tipo A. f ) Expliquen la regla que siguió don Manolo para hacer esta reja: R. P. 40 S-CNCT_M1_B1_040-045.indd 40 1/17/13 5:10 PM 2. Veamos una sección de otra reja que diseñó don Manolo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de sucesiones. a) Expliquen la regla que siguió don Manolo para hacer esta reja. R. T. Van de tres en tres. b) Completen la tabla. Tipo de barra Lugares que ocupan A 3 6 9 12 15 18 B 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 C 1 4 7 10 13 16 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 c) Deduzcan y expliquen la regla que sigue cada sucesión numérica anterior. Tipo de barra comunicar Regla A R. T. Son los múltiplos de 3. B R. T. Van de tres en tres, a partir de 2. C R. T. Van de tres en tres a partir de 1. d) Escriban el tipo de barra (A, B o C) que hay en cada lugar. m Lugar 18 19 20 33 38 55 104 121 Tipo A C B A B C B C 201 A 102 A Comparen sus resultados y procedimientos con los de sus compañeros. Expliquen en su cuaderno por qué es posible saber el tipo de reja que hay en determinado lugar. 41 S-CNCT_M1_B1_040-045.indd 41 1/17/13 5:10 PM contenido BLOQUE 1 Construye sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formula en lenguaje común expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Secuencia 4 / lección 13 Bordados 1. Las figuras de la izquierda son diseños para hacer bordados en punto de cruz. a) Considera que las figuras continúan y completa la tabla. Figura 1 2 3 4 5 10 50 100 Cuadrados bordados 4 8 12 16 20 40 200 400 b) ¿Cómo calculaste el número de cuadrados bordados de la figura 100? Multiplicando 100 Í 4. c) Si conocieras el número de una figura, ¿cómo calcularías el número de cuadrados bor- Figura 1 dados que tiene? Multiplicándolo por 4. d) Si a una figura le corresponde el número 200, ¿con qué operación se calcula su número Figura 2 200 Í 4 = 800 de cuadrados? e) Subraya la regla que corresponde a esta sucesión. » Sumar 4 al número de la figura. » Multiplicar por 4 el número de la figura. Figura 3 » Dividir entre 4 el número de cuadrados bordados. f ) ¿Alguna figura completa de este diseño tendrá 101 cuadrados bordados? ¿Por qué? Figura 4 m No. Porque 4 no divide a 101. Compara tus resultados con los de tus compañeros. 2. Aquí tienes otro diseño. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 a) Considera que las figuras anteriores continúan y completa la tabla. Figura 1 2 3 4 5 10 Cuadrados bordados 5 9 13 17 21 41 50 201 100 401 42 S-CNCT_M1_B1_040-045.indd 42 1/17/13 5:10 PM b) ¿Cómo calculaste los cuadrados de la figura 100? Multiplicando 100 Í 4 y sumando 1. c) Si conocieras el número de una figura, ¿cómo calcularías el número de cuadrados bordados que tiene? Multiplicándolo por 4 y sumando 1. d) Si a una figura le corresponde el número 200, ¿con qué operaciones sabrías su número Figura 1 4 Í 200 + 1 = 801 de cuadrados? e) ¿Alguna figura completa de este diseño tendrá 45 cuadrados bordados? Sí. R. T. Porque 45 = 11 Í 4 + 1 f ) ¿Por qué? Figura 2 g) Subraya la regla que corresponde a esta sucesión. » Multiplicar por 2 el número de la figura y sumarle 3 al resultado. » Multiplicar por 3 el número de la figura y sumarle 2 al resultado. » Multiplicar por 4 el número de la figura y sumarle 1 al resultado. 3. Observa el diseño que está a la derecha. Figura 3 a) Considera que las figuras continúan y completa la tabla. Figura 1 2 3 4 5 10 Cuadrados bordados 1 4 9 16 25 100 50 100 2 500 10 000 Figura 4 resolver b) ¿Cómo calculaste los cuadrados de la figura 100? 100 x 100 c) Escribe la regla para encontrar el número de cuadrados a partir del número de la figura: R. T. Multiplicar el número por sí mismo. d) Si a una figura le correspondiera el número 200, ¿con qué operaciones sabrías su número de cuadrados? Multiplicando 200 x 200 = 40 000. e) ¿Alguna figura completa tendrá 121 cuadrados bordados? Sí, la número 11. f ) ¿Por qué? m Ve más sucesiones de figuras en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-043 Porque 11 x 11 es 121. Compara tus resultados con los de tus compañeros. Lean lo siguiente y ejemplifíquenlo en su cuaderno con una sucesión numérica y su regla. Una sucesión numérica es un conjunto de números ordenados de acuerdo con una regla. 43 S-CNCT_M1_B1_040-045.indd 43 1/17/13 5:10 PM contenido BLOQUE 1 Construye sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formula en lenguaje común expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Secuencia 4 / lección 14 Sucesiones de figuras o números 1. Considera el número de flores en cada dibujo. Dibujo 1 Dibujo 2 Dibujo 3 Dibujo 4 Practica más con sucesiones de figuras en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-044 a) ¿Cuántas flores tendrá el dibujo 10? 1 024 b) Explica cómo aumenta el número de flores. R. T. Inicia con dos, y va aumentando al doble respecto al término anterior. resolver 2. Una sucesión de figuras formadas por puntos aumenta de tal manera que cada una tiene el triple de puntos que la anterior. La sucesión empieza con tres puntos. a) Dibuja las primeras cuatro figuras de la sucesión. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 R. T. Trazar tres puntos en fila Dibujar tres filas de tres puntos cada una: nueve puntos en total Dibujar 27 puntos. Tres filas de 9 puntos Dibujar un cuadrado con 9 puntos por lado: 81 puntos en total 44 S-CNCT_M1_B1_040-045.indd 44 1/17/13 5:10 PM 3. Escribe, a partir de la regla dada, los primeros diez números de la sucesión. a) La sucesión inicia en 100 y se resta 2 al número anterior. 100, 98, 96, 94, 92, 90, 88, 86, 84, 82 b) La sucesión inicia en __12 y se duplica el valor del número anterior. __1 , 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 2 c) La sucesión inicia en 0.4 y se triplica el valor del número anterior. 0.4, 1.2, 3.6, 10.8, 32.4, 97.2, 291.6, 874.8, 2 624.4, 7 873.2 m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Resuman, en su cuaderno, qué es una sucesión numérica y den tres ejemplos anotando la regla de cada uno. 4. Completa la tabla. En la primera columna deben aparecer los primeros cinco números de la sucesión; en la segunda, los dos que siguen; en la tercera, la regla con que se forma. Sucesión Números que siguen Regla 18, 21 Se suma 3 al número anterior. 3, 6, 9, 12, 15, … 7, 14, 21, 28, 35, … 42, 49 125 000, 25 000, 5 000, … 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,… 3 6 12 24 48 m Se suma 7 al número anterior. 4,8 0.125, 0.25, 0.5, 1, 2, … comunicar Se multiplica por 2 el término anterior. Cada número es la quinta parte del anterior. 1 000, 200 1 _ 1 _ , 96 192 Cada número es la mitad del anterior. Explica a tus compañeros cómo completaste la tabla. Lean la siguiente información. Hay sucesiones de números o figuras que siguen una regla o patrón. A veces, la regla consiste en sumar o restar un número, o bien, en multiplicar o dividir; también hay sucesiones que combinan las operaciones anteriores. Encontrar la regla te permite calcular números o dibujar figuras que pertenecen a la sucesión. 45 S-CNCT_M1_B1_040-045.indd 45 1/17/13 5:10 PM contenido BLOQUE 1 Explica el significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. Secuencia 5 / lección 15 La fórmula es útil, pero no es lo único ¿Recuerdas algunas fórmulas geométricas? ¿Sabes lo que significa cada uno de sus términos? En esta secuencia analizarás estos y otros aspectos. 1. Imagina rectángulos diferentes (pequeños, medianos, grandes) y objetos que tengan forma de rectángulo, por ejemplo, cuadernos, losetas, pizarrones, ventanas, patios, etcétera. ¿Qué procedimiento utilizarías para calcular su área? Descríbelo. R. T. Mediría la base y la altura, y luego multiplicaría ambas. resolver 2. Aunque existe un procedimiento general para calcular el área de cualquier rectángulo, la información que se necesita para ello puede expresarse de distintas maneras, como las siguientes. a) Sobre fondo cuadriculado. ¿Cuál es el área de cada rectángulo? Considera un cuadrito como unidad. Convivimos Ante una actividad nueva es normal que tengas dificultades y cometas errores. Hasta a los matemáticos les pasa. Poco a poco desarrollarás la habilidad necesaria para resolverla y te parecerá menos difícil. A= 15 A= 12 b) Con medidas reales. ¿Cuál es el área, en cm2, del siguiente rectángulo? A= 21 cm2 3.5 cm 6 cm 46 S-CNCT_M1_B1_046-051.indd 46 1/17/13 5:13 PM c) Con medidas ficticias. ¿Cuál es el área, en m2, de este rectángulo? 13 m A= 325 m2 25 m d) Con medidas disfrazadas. El radio del círculo pequeño mide 3 unidades y el del círculo grande mide 5. Calcula el área del rectángulo. A= 3 60 5 e) Con medidas representadas con literales. El largo del rectángulo es m y el ancho, n. ¿Cuánto mide el área? n A= mxn m m Analiza, en grupo, cada respuesta. En caso de haber diferencias averigüen a qué se deben. Registren sus conclusiones acerca de porqué es importante usar literales. El resultado del último problema es la expresión general, también llamada fórmula, con que se calcula el área de cualquier rectángulo. La expresión con palabras es “área (del rectángulo) es igual a largo por ancho”. La expresión con literales es A = mn. El largo y el ancho también se denominan base (b) y altura (h), de manera que la fórmula más conocida es A = bh, pero ambas expresiones son equivalentes. Cuando se multiplican dos literales no se usa el signo ×, para no confundirlo con la letra equis. 47 S-CNCT_M1_B1_046-051.indd 47 1/17/13 5:13 PM contenido BLOQUE 1 Explica el significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. Secuencia 5 / lección 16 Con números o con letras 1. Haz, en grupo, lo siguiente. a) Expresen con palabras, de la manera más breve posible, cómo calcular el perímetro de un rectángulo. comunicar R. T. Se suma la medida de cada lado. b) Identifiquen, con ayuda del profesor, la descripción más breve del procedimiento y verifiquen que sea correcta. c) Expresen con una fórmula el procedimiento para calcular el perímetro del rectángulo de la izquierda. d) Anoten lo que falta en la tabla. Consideren que A representa el área; P, el perímetro; a, el ancho; y l, el largo. La primera fila está resuelta. 2(a + l) Con palabras Con símbolos ¿Qué se calcula? A 2a + 2l Dos veces el ancho más dos veces el largo P a l ✓ l xa Largo por ancho A Área entre largo l Ancho más largo multiplicado por dos Área entre ancho 2(a + l) A __ a ✓ Ancho más largo, más ancho más largo a + l + a + l m Comenten la siguiente información. La expresión 2(a + l) significa 2 por a más l, lo que es igual a 2a + 2l. Escriban sus conclusiones en el cuaderno. 2. Las figuras son triángulos equiláteros, es decir, sus lados son iguales. En uno, las medidas están expresadas con números; en otro, con literales. a) Anota las medidas que se piden. 3 cm b 26 cm a 9 cm 3.9 cm2 3b ba _ 2 b) Expresa con palabras cómo calcular el área de un triángulo. El área es igual al producto de su base por la altura, dividido entre dos. 48 S-CNCT_M1_B1_046-051.indd 48 1/17/13 5:13 PM m Revisa, en grupo, las medidas que escribiste, especialmente los casos en que no coincidan con las de tus compañeros. Comprueben quiénes tienen razón. 3. Haz lo mismo con los siguientes cuadrados Medida de un lado: Perímetro: Área: Medida de un lado: 3 cm 12 cm 9 cm2 3 cm Perímetro: 4a Área: a2 a Sigue practicando con fórmulas geométricas en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-049 a 4. La siguiente figura es un paralelogramo. Dos medidas están indicadas con números y una con una literal. Anota lo que se pide. 3 cm x Medida de un lado: 6.5 Medida de la altura: 3 Perímetro: 13 + 2x Área: 19.5 cm2 6.5 cm 5. El perímetro de una figura cuyos lados y ángulos son iguales puede calcularse mediante la fórmula P = a + a + a + a + a, o bien, P = 5a, donde a representa la medida de un lado. a) ¿Qué figura es? resolver Un pentágono regular. b) Si a vale 3.5, ¿cuál es el perímetro de la figura? 17.5 c) Si el perímetro mide 28 cm, ¿cuál es el valor de a? 5.6 d) En tu cuaderno, dibuja la figura y divídela en cinco triángulos iguales. La altura de uno de esos mide b. ¿Cómo se expresa el área de la figura con literales? A= m 5 ba 2 Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Ubiquen los errores y corrijan lo que sea necesario. 6. La siguiente fórmula sirve para calcular el área de un trapecio: A = (B + b) h . 2 a) Asigna, en grupo, valores a B, b y h. R. P. b) Calculen el área del trapecio. c) Tracen el trapecio y escriban sus medidas. 49 S-CNCT_M1_B1_046-051.indd 49 1/17/13 5:13 PM BLOQUE 1 comunicar Secuencia 5 / lección 17 Con fórmulas y con palabras 1. Completa la tabla. Operaciones que intervienen Figura a la que pertenece Qué se calcula Área es igual a lado al cuadrado. potenciación cuadrado área Perímetro es igual a seis veces lo que mide un lado. multiplicación hexágono regular perímetro suma, multiplicación, división trapecio área división rectángulo ancho Fórmula A = l2 P = 6l (B + b) h A= 2 a= A l Área es igual a la suma de la base mayor más la base menor, multiplicado por la altura, dividido entre dos. Ancho es igual a área entre largo. P = 3l Perímetro es igual a tres veces lo que mide un lado. multiplicación triángulo equilátero perímetro P = 5l Perímetro es igual a cinco veces lo que mide un lado. multiplicación pentágono regular perímetro Área es igual a base por altura entre dos. multiplicación y división triángulo área Área es igual a diagonal mayor por diagonal menor entre dos. multiplicación y división rombo área A = bh 2 A = Dd 2 contenido Con palabras Explica el significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar. m Revisa, en grupo, lo que anotaste en la tabla. Pónganse de acuerdo cuando haya respuestas diferentes. Después, lean y comenten la siguiente información. Cada fórmula es una igualdad. A la izquierda del signo igual está lo que se calcula y a la derecha, cómo se calcula. Cada literal representa una medida de la figura y es importante saber distinguirlas, así como las operaciones que se indican, por ejemplo: B + b, la suma de la base mayor y la base menor; bh, base por altura; 2b , el doble de la base entre la altura; l2, elevar a la segunda potencia la h medida de un lado, que equivale a multiplicar lado por lado. 50 S-CNCT_M1_B1_046-051.indd 50 1/17/13 5:13 PM 2. Las ocho fórmulas registradas en la tabla anterior corresponden a las siguientes figuras. Anota abajo de cada una su fórmula y escribe cada letra sobre la medida que representa. resolver l l l a A a=_ l A = l2 P = 3l l D l d Dd A=_ 2 P = 6l P = 5l b h h b B (B + b)h A=_ 2 m A= bh 2 Trabaja en grupo. Asignen a las letras los valores que decidan, calculen lo que indican las fórmulas y organicen la información en la tabla. Hay un caso ya resuelto (a un lado del hexágono regular se le asignó 4 cm). Figura Fórmula Valores asignados Resultado P=6l l = 4 cm 24 cm técnicas R. P. hexágono regular m Revisen, con ayuda del profesor, lo que registraron en la tabla. Recuerden que puede haber varias formas de escribir la fórmula correcta. Por ejemplo, en vez de P = 6 l, alguien pudo escribir P = l + l + l + l + l + l. 51 S-CNCT_M1_B1_046-051.indd 51 1/17/13 5:13 PM contenido BLOQUE 1 Traza triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. técnicas ¿Podrías haber empezado trazando el segmento de 3.5 cm? ¿Cuáles serían las instrucciones para este caso? Secuencia 6 / lección 18 De tres lados En esta secuencia podrás responder preguntas como las siguientes: ¿Cómo trazarías un triángulo si conocieras las medidas de los lados? ¿Podrías trazar un cuadrado si supieras cuánto mide su diagonal? 1. Sigue las indicaciones para trazar en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 2.5 cm y 3.5 cm. a) Se traza un segmento de 4 cm. b) Se abre el compás a 2.5 cm y, apoyándolo en un extremo del segmento, se traza un arco. c) Se abre el compás a 3.5 cm y, apoyándolo en el otro extremo del segmento, se traza otro arco que corte al primero. d) Se une cada extremo del segmento con el punto de corte de los arcos y se obtiene el triángulo deseado. Los triángulos que tienen tres lados desiguales se llaman triángulos escalenos. Los que tienen dos lados iguales se llaman triángulos isósceles. Los triángulos isósceles que tienen tres lados iguales también se llaman triángulos equiláteros. 2. Traza en tu cuaderno o en una hoja, con instrumentos geométricos, un triángulo que tenga al menos dos lados iguales y otro con tres lados diferentes. 52 S-CNCT_M1_B1_052-057.indd 52 1/17/13 5:18 PM 3. Traza triángulos con las características que se indican. Utiliza instrumentos geométricos. Anota la medida de cada lado y, cuando sea el caso, indica el ángulo de 90°. Isósceles con un ángulo de 90° Equilátero R. P. Escaleno con un ángulo de 90° Dadas tres medidas diferentes, ¿siempre será posible trazar un triángulo con ellas? Estudiarás esto más adelante. Cualquier triángulo con ángulos menores de 90° Los triángulos que tienen tres ángulos agudos, es decir, menores de 90°, se llaman triángulos acutángulos. Los que tienen un ángulo recto, es decir, de 90°, son triángulos rectángulos. Los que tienen un ángulo obtuso, es decir, mayor de 90°, se conocen como triángulos obtusángulos. 4. Comenta, en equipo, si es posible que un triángulo… m a) sea equilátero y rectángulo a la vez. No es posible. b) sea isósceles y acutángulo a la vez. Sí es posible. c) tenga más de un ángulo recto. No es posible. d) tenga más de un ángulo obtuso. No es posible. comunicar Comenten sus respuestas con sus compañeros. Para cada caso, si concluyeron que el triángulo existe, tracen un ejemplo en el cuaderno. Si concluyeron que no, argumenten por qué. 53 S-CNCT_M1_B1_052-057.indd 53 1/17/13 5:18 PM contenido BLOQUE 1 Traza triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. técnicas Secuencia 6 / lección 19 De cuatro lados 1. Lee los procedimientos. Sin llevar a cabo las instrucciones, imagina qué resulta. Procedimiento A » Traza una recta. » Con el compás, traza dos circunferencias que se corten entre sí y tengan su centro en diferentes puntos de la recta. » Encuentra los dos puntos de corte de ambas circunferencias. » Traza una recta que pase por los dos puntos. Procedimiento B » Traza una recta. » Con el compás, traza una circunferencia con centro sobre la recta. Nómbralo circunferencia C1. » Con el compás, traza otras dos circunferencias del mismo tamaño cuyos centros equidisten del centro de C1 y que corten a C1 en dos puntos. » Ubica los puntos de corte (que estén del mismo lado de la recta) de las dos circunferencias con C1. » Traza una recta que pase por estos dos puntos. a) Escribe si se puede utilizar el procedimiento A, el B o ninguno para obtener lo que se indica. » Una recta transversal a la primera recta. Procedimientos A y B. » Una recta paralela a la primera recta. Procedimiento B. » Una recta perpendicular a la primera recta. Procedimientos A y B. validar 2. Traza en tu cuaderno lo que indican los procedimientos y verifica tus respuestas. técnicas 3. Observa, en equipo, cómo trazar rectas perpendiculares usando escuadras. Una pista Trazar rectas perpendiculares con escuadras te puede ayudar. a) Averigüen cómo trazar rectas paralelas usando escuadras. b) Tracen en su cuaderno una pareja de rectas perpendiculares y una de paralelas usando escuadras. c) Comenten los procedimientos que utilizaron. 54 S-CNCT_M1_B1_052-057.indd 54 1/17/13 5:18 PM resolver 4. Traza, con instrumentos geométricos, lo que se indica. a) Un rectángulo cuya base sea AB y uno de sus vértices el punto C. C B A b) Un cuadrado, tomando el siguiente segmento como uno de sus lados. c) Un rombo, uno de cuyos lados sea el segmento PQ y tenga dos ángulos de 60º. P 60o Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de trazo de cuadriláteros. 120o 120o 60o Q d) Un cuadrado que tenga por diagonal el siguiente segmento. Una pista Analiza cómo son entre sí las diagonales de un cuadrado. 55 S-CNCT_M1_B1_052-057.indd 55 1/17/13 5:18 PM contenido BLOQUE 1 Traza triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Secuencia 6 / lección 20 Diseños con triángulos y cuadriláteros 1. Completa las instrucciones para trazar el siguiente diseño. » Traza un cuadrado. » Ubica los puntos medios de cada uno de sus lados. » Une consecutivamente los puntos medios que localizaste para formar otro Ya sabemos... El punto medio de un segmento se encuentra sobre este y a la misma distancia de sus extremos. cuadrado más » pequeño y traza sus diagonales. comunicar 2. Analiza, en equipo, cada diseño. Escriban las instrucciones para trazarlo con instrumentos geométricos. Puede ser del tamaño que consideren conveniente. R. T. Traza un triángulo equilátero. Divide cada lado en cuatro partes iguales. Une los puntos formando líneas paralelas. R. T. Traza un rombo. Traza sus diagonales. Prolonga la diagonal menor. Aprende más sobre cuadriláteros en… Selecciona un punto sobre esta recta y www.e-sm.com.mx/ SCM1-056 únelo con los vértices del rombo opuestos a la diagonal menor. m Elige, en grupo, uno de los diseños. Lean en voz alta algunas de las instrucciones que escribieron. Comenten si con ellas pueden construir el modelo. 56 S-CNCT_M1_B1_052-057.indd 56 1/17/13 5:18 PM 3. Traza en tu cuaderno cualquiera de los diseños de la página anterior. 4. Traza un diseño geométrico en el espacio de abajo siguiendo las instrucciones. » Traza un cuadrado que mida 4 cm de lado. » Sobre cada lado, hacia afuera, traza un triángulo equilátero. » Traza los cuatro ejes de simetría del cuadrado. » Prolonga los ejes de simetría que cortan a los lados hasta que toquen los vértices de los triángulos. » Colorea a tu gusto. R. P. m Comparen su diseño con los de sus compañeros. Si no son iguales determinen por qué. 5. Reúnete con un compañero y hagan lo siguiente. » Construya, cada uno, un diseño geométrico con triángulos y cuadriláteros. No lo muestren al otro. » Escriban las instrucciones para que el compañero lo reproduzca. » Intercambien las instrucciones. Cada uno trace el diseño que inventó el otro, según sus instrucciones. » Al terminar, comparen los diseños y vean si son iguales. Si no es así, determinen qué ocurrió. resolver 57 S-CNCT_M1_B1_052-057.indd 57 1/17/13 5:18 PM contenido BLOQUE 1 Traza y analiza las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. resolver Secuencia 7 / lección 21 Un triángulo al interior de un círculo Considera un triángulo: ¿qué es el centro de gravedad?, ¿cuántas alturas tiene?, ¿se puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices?, ¿se puede trazar una que toque en un punto sus lados? Al estudiar esta secuencia podrás responder estas preguntas. C 1. Trabaja con un compañero. Tracen en su cuaderno un triángulo escaleno acutángulo. Nombren sus vértices como A, B y C. a) Intenten trazar un círculo cuya circunferencia pase por A, B y C. Si lo logran, expliquen cómo encontrar el centro del círculo de una manera que no sea al tanteo. B A R. T. Trazando las mediatrices. técnicas 2. Ahora conocerás una forma de trazar la circunferencia anterior. a) En una hoja de papel traza un triángulo ABC como el anterior. b) Marca dobleces en el papel. » Dóblalo de manera que el vértice A quede exactamente encima del vértice B. Marca bien el doblez. » Ahora dobla el papel de manera que el vértice A quede encima del vértice C y marca el doblez. » Haz que el vértice B quede encima del vértice C. » Si hiciste bien los dobleces, las líneas marcadas deben cortarse en un solo punto, como muestra la figura. C B A c) Nombra P al punto donde se cortan las tres líneas. Mide las distancias de P a cada vértice. PA = 2.5 cm PB = 2.5 cm PC = 2.5 cm d) P es el centro del círculo que pasa por los tres vértices. Verifícalo. 58 S-CNCT_M1_B1_058-065.indd 58 1/18/13 11:09 AM Cuando una circunferencia pasa por los tres vértices se dice que circunscribe al triángulo y se le llama circunferencia circunscrita. Los dobleces que marcaste son las mediatrices de los lados del triángulo. La mediatriz de un segmento es la perpendicular al segmento en su punto medio. El punto donde se cortan las tres mediatrices se denomina circuncentro, pues es el centro de la circunferencia circunscrita. 3. Traza en papel un triángulo rectángulo y uno obtusángulo. Marca sus mediatrices con dobleces, encuentra el circuncentro y traza un círculo que pase por los vértices. C A C B A B a) ¿Dónde quedó el circuncentro del triángulo rectángulo? Sobre la hipotenusa. b) ¿Dónde quedó el circuncentro del triángulo obtusángulo? Afuera del triángulo. Comenta tus respuestas con tus compañeros. Argumenten, con ejemplos, cómo llegaron a ellas. Entre todos, califiquen como falsa o verdadera cada una de las siguientes afirmaciones. Argumenten sus respuestas. m validar a) El circuncentro de un triángulo siempre queda dentro del triángulo. Falsa b) El circuncentro de un triángulo rectángulo se ubica sobre el lado mayor del triángulo. Verdadera m Compara tus respuestas con la de un compañero. Si no coinciden, anoten por qué en sus cuadernos. 4. Traza en tu cuaderno estos diseños. En el primero, los lados iguales del triángulo isósceles deben medir 5 cm y, en el segundo, los lados del triángulo equilátero deben medir 6 cm. En el bloque 2 aprenderás más sobre mediatrices y cómo trazarlas con regla y compás. 59 S-CNCT_M1_B1_058-065.indd 59 1/18/13 11:09 AM contenido BLOQUE 1 Traza y analiza las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. técnicas Secuencia 7 / lección 22 Un círculo en un triángulo 1. Trabaja con un compañero. Intenten trazar en el triángulo de la derecha una circunferencia como se muestra en el triángulo de la izquierda. Observen que la circunferencia toca cada lado del triángulo en un solo punto. Expliquen cómo encontrar el centro del círculo de una manera que no sea al tanteo. 2. Ahora sabrás cómo trazar la circunferencia anterior. » Traza en una hoja un triángulo escaleno acutángulo, como los triángulos anteriores, y recórtalo. Dobla por la mitad cada ángulo. » Si hiciste bien los dobleces, deben cortarse en un solo punto, como muestra la figura. Llama P a ese punto. B » Traza un segmento que salga de P y sea perpendicular a uno de los lados. Observa que, sin importar qué lado escojas, los segmentos miden lo mismo. P C A » Apoya tu compás en P y ábrelo al tamaño del segmento que trazaste en el punto anterior. Verifica que P sea el centro del círculo y toque en un solo punto cada lado del triángulo. B P C A 60 S-CNCT_M1_B1_058-065.indd 60 1/18/13 11:09 AM Cuando una circunferencia toca en un punto cada lado de un triángulo, se dice que está inscrita en el triángulo. Los dobleces que marcaste son las bisectrices de los ángulos del triángulo. El punto donde se cortan las tres bisectrices se llama incentro, pues es el centro de la circunferencia inscrita. 3. Traza un círculo inscrito en cada triángulo. C C B A m B A a) ¿Dónde quedó el incentro del triángulo rectángulo? Dentro del triángulo. b) ¿Dónde quedó el incentro del triángulo obtusángulo? Dentro del triángulo. Comenta, en grupo, si la siguiente afirmación es verdadera y argumenta por qué. El incentro de un triángulo siempre queda dentro de este. resolver 4. En la siguiente figura aparece el triángulo ABC, al que se le han prolongado los lados, así como tres circunferencias que tocan un lado y las prolongaciones de los otros dos en un punto. A esas circunferencias se les llama exinscritas. a) Construye, con un compañero, un triángulo en una hoja de papel. Prolonguen sus lados, averigüen cómo ubicar el centro de cada circunferencia y tracen las tres circunferencias exinscritas. validar A B C En el bloque 2 aprenderás más sobre bisectrices y cómo trazarlas con regla y compás. 61 S-CNCT_M1_B1_058-065.indd 61 1/18/13 11:09 AM contenido BLOQUE 1 Traza y analiza las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. técnicas Secuencia 7 / lección 23 Centro de gravedad 1. Recorta, en pareja, un triángulo de cartón. Intenten encontrar un punto para ponerlo en equilibrio sobre la goma de un lápiz. Cuando lo hagan, márquenlo con un círculo pequeño. 2. ¿Cómo encontrar el punto de equilibrio de manera segura y no al tanteo? Hagan lo siguiente en su triángulo de cartón. » » » » Localicen el punto medio de cada lado. Unan cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Verifiquen que los tres segmentos trazados se corten en un punto, que llamarán B. Comprueben que B es el punto de equilibrio del triángulo. ¿Está cerca del que encontraron antes? El segmento que une un vértice con el punto medio de su lado opuesto se denomina mediana. El punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo se llama baricentro o centro de gravedad. 3. Encuentra el baricentro de los triángulos. 62 S-CNCT_M1_B1_058-065.indd 62 1/18/13 11:09 AM validar 4. Considera la siguiente afirmación. Una mediana y una mediatriz de un triángulo nunca coinciden. a) Demuestra con un ejemplo que la afirmación es falsa. Traza el triángulo con su mediana y su mediatriz en el recuadro de la derecha. R. T. Un triángulo equilátero o isósceles. 5. Señala la afirmación falsa y demuestra por qué lo es con un ejemplo. Afirmación Ejemplo na dia me mediana, mediatriz y bisectriz me dia na triz ec bis c) En un triángulo equilátero, el baricentro, el circuncentro y el incentro son el mismo punto. triz mediatriz media b) En un triángulo isósceles con solo dos lados iguales, las medianas, bisectrices y mediatrices coinciden. bis ec triz a) El baricentro de un triángulo siempre queda dentro de él. falsa 6. Traza en el recuadro un triángulo cuyo centro de gravedad esté a la misma distancia de sus vértices. R. T. Un triángulo equilátero. m resolver Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten de qué tipo es el triángulo de la actividad 4 y compárenlo con el del inciso b) de la actividad 5. Escriban sus conclusiones sobre qué sucede con el triángulo equilátero. 63 S-CNCT_M1_B1_058-065.indd 63 1/18/13 11:09 AM contenido BLOQUE 1 Traza y analiza las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Secuencia 7 / lección 24 Las alturas del triángulo C 1. Traza en una hoja un triángulo escaleno acutángulo y nombra sus vértices como A, B y C. B A C » Dobla el papel de manera que el vértice B caiga sobre el lado AB y el doblez pase por el punto C, como muestra la ilustración de la derecha. A B C » Este doblez es una de las tres alturas del triángulo: la que corresponde al lado AB. En el dibujo se indica con una línea punteada. B A C Explora las propiedades de las alturas de un triángulo en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-064 » Marca con el procedimiento que prefieras las otras dos alturas del triángulo: la que corresponde al lado AC y pasa por el vértice B, y la que corresponde al lado BC y pasa por el vértice A. A B » Si hiciste bien los dobleces observarás que las tres alturas se cortan en un punto. La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado o su prolongación y que pasa por el vértice opuesto a dicho lado. Los triángulos tienen tres alturas y estas concurren en un punto llamado ortocentro. 64 S-CNCT_M1_B1_058-065.indd 64 1/18/13 11:09 AM 2. El siguiente procedimiento sirve para trazar solo con escuadras las alturas de un triángulo. Paso 1 Coloca una escuadra sobre un lado del triángulo. C técnicas Paso 2 Coloca la otra escuadra de manera que forme ángulo recto con la anterior y pase por el vértice opuesto. Traza la altura. C A B A B a) Traza en tu cuaderno un triángulo en el que… resolver » el ortocentro sea uno de sus vértices. » el ortocentro quede fuera del triángulo. b) ¿Cómo es el triángulo cuyo ortocentro es uno de sus vértices? Triángulo rectángulo. c) ¿Cómo es el triángulo cuyo ortocentro queda fuera del triángulo? Obtusángulo. 3. Traza en tu cuaderno un triángulo en el que… » una de sus alturas también sea una de sus mediatrices. » dos de sus alturas coincidan con dos de sus lados. 4. Traza las alturas, las medianas, las mediatrices y las bisectrices del siguiente triángulo. ¿Qué observas? Anota en tu cuaderno tus conclusiones. m Compara tus respuestas a las actividades 2, 3 y 4 con las de tus compañeros. Comenten si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Argumenten sus respuestas. » La altura de un triángulo siempre es menor o igual que la mediana que corresponde al mismo lado. » Cualquiera de las alturas de un triángulo siempre es menor que uno de sus lados. Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de alturas del triángulo. 65 S-CNCT_M1_B1_058-065.indd 65 1/18/13 11:09 AM contenido BLOQUE 1 Secuencia 8 / lección 25 ¿Son proporcionales? Resuelve problemas de reparto proporcional. resolver Dos amigos hicieron juntos un trabajo. Uno de ellos trabajó el doble de tiempo que el otro. ¿Crees que las ganancias deben repartirse por mitades? ¿Por qué? 1. Trabaja con un compañero. Completen las tablas. Si consideran que algún dato no puede calcularse, tachen la casilla correspondiente. Un taxi cobra $7.04 por el servicio más $0.86 por cada 250 m Cuando Mario nació, Luisa tenía 6 años Acontecimiento Edad de Mario Edad de Luisa Mario entra a la escuela primaria. 6 12 Luisa termina la licenciatura. 18 24 Luisa tiene su primer hijo. 30 36 15 $58.64 Mario tiene su primer hijo. 42 48 30 $110.24 Km recorridos en taxi Precio del recorrido 3 $17.36 $24.24 5 Tabla 1 Tabla 2 Los helados se venden a… Una receta para un pastel pide hornear durante 45 min a 200° Núm. de pasteles que se hornean al mismo tiempo Tiempo de horneado 1 45 min 2 3 Núm. de helados Precio total 3 $9.00 6 $18.00 45 min 15 $45.00 45 min 30 $90.00 Tabla 3 Tabla 4 Las cajas tienen la misma cantidad de chocolates El disco contiene 20 canciones Núm. de chocolates Núm. de canciones reproducidas Tiempo transcurrido desde que se reproduce la primera canción 3 36 1 3 min 6 72 120 144 2 7 min 3 9 min 4 X Núm. de cajas 10 12 Tabla 5 Tabla 6 Ana lee un libro Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 90 km/h Núm. de páginas leídas Núm. de páginas por leer 12 102 24 90 2h 36 78 3h 60 54 Tabla 7 Tiempo transcurrido 1h 4h Distancia 90 180 270 360 Tabla 8 66 S-CNCT_M1_B1_066-071.indd 66 1/18/13 11:09 AM 2. Revisa, en grupo y con la ayuda del profesor, las tablas anteriores de la siguiente manera. a) Comparen las cantidades que encontraron. Si difieren, identifiquen las correctas. b) En la primera columna de la tabla, hay una lista de características de una relación. En la primera fila, las “T” refieren a las tablas de la actividad 1. Indiquen con una palomita (ü) o un tache (×) si la tabla tiene la característica indicada. T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 Cuando una cantidad de uno de los conjuntos varía (aumenta o disminuye), la correspondiente del otro conjunto puede no variar (solamente una tabla tiene esta característica). Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las correspondientes del otro conjunto tienen algún aumento. Ya sabemos... Hay muchas formas en que las cantidades de un conjunto dependen de las de otro. Si una cantidad de un conjunto aumenta dos veces, tres veces o n veces, y la correspondiente del otro conjunto aumenta ese mismo número de veces, se dice que las cantidades de un conjunto son directamente proporcionales a las del otro conjunto. comunicar Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las correspondientes del otro conjunto disminuyen. La diferencia (resta) entre dos cantidades de un conjunto es siempre igual a la diferencia entre las dos cantidades correspondientes en el otro conjunto. Cuando una cantidad se hace dos, tres, o n veces mayor, la correspondiente del otro conjunto se hace ese mismo número de veces mayor (tres tablas tienen esta característica). 3. Contesten las preguntas. » ¿Las edades de Luisa y Mario cambian de manera proporcional? No. » ¿La cantidad de tiempo que requieren los pasteles para hornearse es proporcional a la No. cantidad de pasteles que se hornean? » ¿La cantidad de dinero que se debe pagar por los helados es proporcional a la cantidad de helados que se compren? Sí. » ¿La cantidad total de tiempo transcurrido desde la primera canción es proporcional al No. número de canciones que han sido reproducidas? 4. Encuentren tres parejas de cantidades que sean proporcionales y tres que no lo sean. (2, 4), (3, 6) y (4, 8) son proporcionales; (1, 2) (3,5) y (8, 10) no lo son. 67 S-CNCT_M1_B1_066-071.indd 67 1/18/13 11:09 AM contenido BLOQUE 1 Resuelve problemas de reparto proporcional. Secuencia 8 / lección 26 El campamento 1. En el campamento al que fue Juan, los víveres se distribuyeron entre las tiendas de campaña. La cantidad que se entregó a cada tienda dependió del número de ocupantes. Un día hubo protestas por el reparto de galletas. a) Compara lo que recibieron los ocupantes de las tiendas A y B en el reparto de galletas, y anota quiénes protestaron y por qué. resolver Tienda de campaña A B R. T. Los de la tienda B, porque le Núm. de ocupantes 3 5 correspondieron menos galletas por Núm. de galletas 7 7 ocupante. b) En cada par de tiendas indica si el reparto de galletas te parece justo y argumenta por qué. Tienda de campaña C D Tienda de campaña E F Núm. de ocupantes 4 4 Núm. de ocupantes 3 6 Núm. de galletas 7 8 Núm. de galletas 7 12 Practica con situaciones de reparto proporcional en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-068 R. T. No, ambas tiendas deben recibir No, la tienda F debe recibir el doble de igual cantidad de galletas. galletas que la E. Tienda de campaña G H Tienda de campaña I J Núm. de ocupantes 3 2 Núm. de ocupantes 2 8 Núm. de galletas 5 7 Núm. de galletas 4 16 No, la tienda G tiene más ocupantes Sí, pues ambas tiendas pero recibió menos galletas. . reciben la misma cantidad de galletas por ocupante. m Comenta, en grupo y con tu profesor, qué condiciones debe cumplir un reparto para que sea justo. Anota las conclusiones a las que lleguen. R. T. Al dividir el número de galletas entre el número de ocupantes de cada tienda, el resultado debe ser el mismo. 68 S-CNCT_M1_B1_066-071.indd 68 1/18/13 11:09 AM 2. Reparte 80 galletas entre las diez tiendas de manera que el reparto sea justo. Anota en la tabla tus resultados. Tienda de campaña A B C D E F G H I J Total Núm. de ocupantes 3 5 4 4 3 6 3 2 2 8 40 Núm. de galletas 6 10 8 8 6 12 6 4 4 16 80 Si los grupos de personas fueran del mismo tamaño, para que el reparto fuera justo bastaría con dar la misma cantidad a cada uno. Como los grupos no son del mismo tamaño, una manera de que el reparto sea justo es que las cantidades sean proporcionales al tamaño de cada grupo, es decir que, si un grupo es dos, tres o n veces mayor que otro, reciba una cantidad ese mismo número de veces mayor. Cuando esto ocurre, se dice que el reparto es proporcional. m Compara las tablas con las de tus compañeros. Revisa si las calcularon como tú. Explica tu método. 3. En la siguiente tabla se presentan otras cantidades de víveres. a) Trabaja en pareja. Distribuyan los víveres de manera que los repartos sean proporcionales. Tienda de campaña A B C D E F G H I J Total Núm. de ocupantes 3 5 4 4 3 6 3 2 2 8 40 Núm. de latas de atún 9 15 12 12 9 18 9 6 6 24 120 l de agua 12 20 16 16 12 24 12 8 8 32 160 Núm. de panes 3.75 6.25 5 5 3.75 7.5 3.75 2.5 2.5 10 50 Kg de queso .75 1.25 1 1 .75 1.5 .75 .5 .5 2 10 b) Verifiquen que, aunque los grupos reciben cantidades distintas, a las personas les corresponde la misma cantidad de cada cosa, por ejemplo, todas obtienen una pieza y cuarto de pan. 4. Resuelve el siguiente problema. Te puede ayudar hacer una tabla. Los habitantes de tres pequeñas comunidades harán una obra de drenaje. El costo de los materiales necesarios asciende a $360 000.00. Se decidió que las aportaciones sean proporcionales al número de habitantes de cada comunidad. En la comunidad A hay 120, en la comunidad B hay 240 y en la comunidad C, 360. ¿Con cuánto debe cooperar cada comunidad? Responde en tu cuaderno. m Compara con tus compañeros las distintas maneras de resolver el problema anterior. Verifiquen que la comunidad C, en comparación con la A, coopere el triple, mientras que la B, el doble. Convivimos Comunicar a otros ideas propias no siempre es fácil pero tiene ventajas importantes: permite que uno mismo aclare sus ideas y las precise, propicia que se reciba retroalimentación de otros y, también, es una forma de ayudar a los demás. 69 S-CNCT_M1_B1_066-071.indd 69 1/18/13 11:09 AM contenido BLOQUE 1 Secuencia 8 / lección 27 Repartos justos Resuelve problemas de reparto proporcional. 1. Tres personas abrieron una pequeña sastrería. Debido a que tienen distintas ocupaciones, acordaron turnarse para atender el negocio y repartirse las ganancias de cada semana en función del tiempo que trabajara cada quien. a) En la siguiente tabla se indican las horas que trabajó cada persona durante la primera semana, así como las ganancias totales que obtuvieron. Busca cómo distribuir las ganancias entre las tres personas en función del tiempo trabajado. Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de reparto de ganancias. m Primera semana María Ana Pedro Total Horas trabajadas 20 h 8h 12 h 40 h Ganancia correspondiente $1 000.00 $400.00 $600.00 $2 000.00 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si repartieron las ganancias de distintas maneras, comenten cuáles, a su juicio, son justas. b) Distribuye las ganancias de la segunda semana. Enseguida, completa los procedimientos que están bajo la tabla. Segunda semana María Ana Pedro Total Horas trabajadas 32 h 12 h 4h 48 h Ganancia correspondiente $1 920.00 $720.00 $240.00 $2 880.00 Procedimiento 1 técnicas 1 Procedimiento 2 1 4 h es 12 de 48 h; por tanto, a Pedro le corresponde 12 de $2 880.00, es decir, $ 240.00 . 12 h es 1 de 48 h; por tanto, a Ana le Si por 48 h ganaron $2 880.00, ganaron en promedio $ 60.00 por h. 4 corresponden $ 720.00 . 32 h es 2 de 48 h; por tanto, a Entonces, Pedro ganó $ 240.00 , Ana ganó 3 María le corresponden $ validar 1 920.00 . $ 720.00 y María ganó $ 1 920.00 . c) Verifica lo siguiente. » ¿La suma de lo que ganan los tres juntos es igual a $2 880.00? » Ana trabajó el triple de tiempo que Pedro. ¿También ganó el triple? Sí. Sí. » María trabajó ocho veces lo que trabajó Pedro. ¿También ganó ocho veces más que él? 70 S-CNCT_M1_B1_066-071.indd 70 Sí. 1/18/13 11:09 AM d) Haz lo mismo con estos datos. Tercera semana María Ana Pedro Total Horas trabajadas 18 h 6h 24 h 48 h Ganancia correspondiente $1 620.00 $540.00 $2 160.00 $4 320.00 2. Resuelve el problema. Tres amigos reunieron su dinero para comprar un boleto de $250.00 para una rifa. Luis aportó $50.00; Jaime, $125.00; y Rosa, $75.00. Tuvieron suerte y ganaron un premio de $2 000.00. Decidieron que las cantidades que les correspondieran fueran proporcionales a lo que dieron para comprar el boleto. a) ¿Cuánto dinero recibirá cada uno? A Luis le corresponden $400.00; a Jaime, $1 000.00; y a Rosa, $600.00. b) Verifica tus resultados. ¿La suma de lo que obtendrá a cada uno es igual a $2 000.00? Jaime aportó 2 1 2 veces lo que Luis. ¿La ganancia de Jaime también es 2 1 2 la de Luis? Sí. 3. Completa las soluciones del problema anterior. Solución 1 Solución 2 El premio ($2 000.00) es ocho veces mayor que el costo del boleto ($250.00). Jaime aportó la mitad; por tanto, recibirá la mitad. Luis aportó la quinta parte; por ello recibirá la quinta parte. ¿Y Rosa? Ella recibirá lo demás. x Total Luis Jaime Rosa Boleto $250.00 $50.00 $125.00 $75.00 8 Premio $2 000.00 $400.00 $1 000.00 $600.00 R. T. Jaime = $1 000.00 Luis = $400.00 Jaime + Luis = $1 000.00 + $400.00 = $1 400.00 Rosa = $2 000.00 - $1 400.00 = $600.00 4. Resuelve el problema. Cuatro amigas, Martha, Pati, Lupita y Marina, hicieron un viaje juntas. Reunieron el dinero que cada una tenía: $600.00 de Martha, $600.00 de Pati, $950.00 de Lupita y $850.00 de Marina. Al regresar del viaje les quedaron $150.00. Decidieron repartirse el sobrante de manera proporcional a lo que cada una aportó. Anota en tu cuaderno. resolver a) ¿Cuánto le corresponde a cada una? $30.00 a Martha, $30.00 a Pati, $47.50 a Lupita y $42.50 a Mariana. b) ¿Cuánto habría recibido cada amiga si el sobrante hubiera sido… » $300.00? » $450.00? $60.00, $60.00, $95.00, $85.00 $90.00, $90.00, $142.50, $127.50 S-CNCT_M1_B1_066-071.indd 71 71 1/18/13 11:09 AM contenido BLOQUE 1 Identifica y practica juegos de azar sencillos y registra los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Secuencia 9 / lección 28 Hablemos de juegos I En la vida hay muchas situaciones en las que interviene el azar, es decir, situaciones cuyos resultados son impredecibles, como en muchos de los juegos que conoces: lotería, oca, ruleta, volados, etcétera. Instrucciones generales En esta lección y en la siguiente se describen cuatro juegos que podrás practicar en varias sesiones de clase. En cada uno haz lo siguiente. » Agrúpate para jugar en parejas o en grupos más amplios, como se indique en cada juego. » Jueguen al menos cinco rondas y registren en una tabla quién gana en cada una. » Después de la última ronda de cada juego, comenten con los demás jugadores si creen que es un juego de azar (no hay certeza sobre el resultado del juego) y por qué. » Averigüen si hay una estrategia para ganar. 1. Carrera a 20 Reglas » Se juega en parejas. Solo necesitan una hoja de papel y un lápiz. Antes de iniciar el juego, dibujen sobre la hoja un esquema como el que se muestra. Javier Maru » El jugador que inicia escribe, de su lado, 1 o 2. » El otro jugador suma 1 o 2 a lo que escribió el primero y escribe el resultado en su lado del esquema. » Ahora, el jugador que inició el juego puede sumar 1 o 2 a lo que escribió el otro jugador. Y así sucesivamente. » Gana quien llega primero a 20. resolver a) Jueguen varias partidas y traten de encontrar una estrategia para ganar siempre. b) Javier y Maru jugaron dos partidas. En la primera empezó Javier y ganó Maru. En la segunda empezó Maru y también ganó. Analiza las jugadas y contesta las preguntas. Javier Maru Javier Maru 1 2 3 1 3 5 7 5 7 8 10 8 9 11 12 11 13 14 16 14 15 17 18 17 18 20 20 72 S-CNCT_M1_B1_072-075.indd 72 1/18/13 11:09 AM » ¿A qué atribuyes que Javier perdiera la primera partida? Cuando Maru coloca el 2, Javier puede llegar a 3 o 4. En cualquier caso, Maru puede llegar a 5 y continuar la sucesión 5, 8, 11, 14, 17, 20. » ¿Y la segunda? Después del 1 de Maru, Javier debió sumar 1 para llegar a 2; sin embargo, sumó 2 y llegó a 3. Maru de nuevo pudo llegar a 5 y controlar el juego. » ¿Pudo ganar en alguna, o en las dos? En las dos. c) Probablemente encontraste una estrategia para ganar. Compártela con el grupo. Verifiquen si funciona siempre. d) ¿Consideras que carrera a 20 es un juego de azar? validar No. ¿Por qué? R. T. Porque si los dos jugadores conocen la estrategia ganadora, siempre ganará el que tenga el primer turno. 2. Completa el entero Reglas » Agrúpate con cuatro compañeros. Necesitan el juego de cartas que utilizaron en la lección 10 de la secuencia 3. » Uno de los jugadores revuelve las cartas y las reparte. A cada jugador le corresponden ocho. » El jugador que inicia el juego pone en el centro de la mesa una de sus cartas, con el número hacia arriba. » El jugador que está a su derecha busca entre sus cartas una que, sumada a la que está en la mesa, dé 1. Si la encuentra, la pone al centro de la mesa para que todos verifiquen que la suma es 1 y recoge las dos cartas. Si no la encuentra, cede el turno al jugador que está a la derecha. » Las cartas que tienen 1 son comodines: se les puede dar el valor necesario para formar el entero. » El juego termina cuando todos agotan sus cartas o cuando nadie puede formar el entero. Gana el juego quien forme más enteros. a) Si encontraste una forma de ganar siempre, compártela con el grupo. comunicar b) ¿Consideras que completa el entero es un juego de azar? Sí y no. ¿Por qué? Aunque las cartas se reparten al azar, también interviene la habilidad del jugador. 73 S-CNCT_M1_B1_072-075.indd 73 1/18/13 11:09 AM contenido BLOQUE 1 Identifica y practica juegos de azar sencillos y registra los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Secuencia 9 / lección 29 Hablemos de juegos II 1. El siete mata Reglas » Forma un equipo de tres a cinco jugadores. Uno será cajero y los demás, apostadores. Necesitan un tablero como el que se muestra, dos dados y 25 fichas. Pueden dibujar el tablero en 14 de cartulina. 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 » Antes de iniciar el juego, el cajero reparte cinco fichas a cada apostador y se queda con cinco. Enseguida, cada apostador pone su apuesta en el número que prefiera. El cajero lanza los dados, suma los puntos y paga a quien eligió la casilla con el número resultante el doble de lo que apostó. Las apuestas de los perdedores son para el cajero. » Si en una tirada cae 7 (que no está en el tablero), el cajero gana las apuestas. Si cae un número distinto a 7 y nadie gana, el cajero vuelve a lanzar los dados. » El juego termina cuando alguno de los apostadores o el cajero se queda sin fichas. Gana quien tiene más fichas; puede ser un apostador o el cajero. a) Jueguen diez partidas. Anoten, en la tabla, el nombre de los jugadores y registren quién ganó en cada ocasión. Después de las partidas contesten las preguntas. 1 Cajero 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R. P. Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 74 S-CNCT_M1_B1_072-075.indd 74 1/18/13 11:09 AM b) ¿Habrá algunos números a los que conviene apostarles porque salen más veces que Sí. Si tu respuesta es sí, escribe los números; si es no, explica por qué. otros? resolver R. T. El 6 y el 8 (cada uno tiene cinco maneras distintas de salir) c) ¿Tiene ventaja ser apostador o ser cajero en este juego? Explica por qué. Ser cajero. R. T. El jugador solo gana con una casilla del tablero; el cajero, con todas las demás.. 2. Cubilete Reglas » Pueden participar de dos a cuatro jugadores. Necesitan cinco dados, un vaso de plástico y 20 fichas, que se reparten equitativamente. » En cada ronda, cada jugador apuesta una ficha. Por turnos, usan el vaso para revolver los dados y lanzarlos sobre la mesa. Gana el jugador que obtiene más caras iguales y con más puntos en la ronda. » En caso de empate, vuelven a lanzar los jugadores que empataron. » El juego termina cuando algún jugador se queda sin fichas. El ganador es el que tiene más fichas. a) ¿Habrá alguna estrategia que permita ganar siempre en este juego? Si tu respuesta es sí, di en qué consiste; si es no, explica por qué. R. T. No, porque es un juego de azar: el resultado no depende de la habilidad o la estrategia del jugador. m Enfréntate a la computadora en un juego de azar en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-075 Analiza, con tus compañeros y profesor, la información relacionada con los cuatro juegos: carrera a 20, completa el entero, el siete mata y cubilete. Probablemente notaron diferencias en los cuatro juegos. En carrera a 20 hay una estrategia que asegura el triunfo al jugador que inicia el juego, es decir, el resultado es predecible: no es un juego de azar. El siete mata y cubilete son juegos de azar porque cada uno de los posibles resultados de lanzar los dados es impredecible, aunque se puede averiguar cuáles tienen más posibilidades de salir mediante el cálculo de probabilidades, que estudiarán más adelante. Finalmente, hay otros juegos que, si bien no se consideran de azar, porque en ellos los conocimientos y las habilidades de los jugadores influyen en quien gana, tienen, no obstante, algo de azaroso, por ejemplo, completa el entero. En ese juego interviene el azar en la distribución de las cartas. 75 S-CNCT_M1_B1_072-075.indd 75 1/18/13 11:09 AM Las matemáticas en... La música En la música se usan las matemáticas de varias maneras. Una de ellas tiene que ver con la escritura. ¿Sabías que las fracciones se utilizan en la escritura de las notas, y también de los silencios, que son una parte muy importante de la música? 1 y dura la mitad que 4 1 la anterior; este silencio, , dura lo mismo que una nota de ; y este, , dura la 4 1 mitad que el anterior, es decir, lo mismo que una nota de 8 . En la siguiente tabla Una nota como esta, , se llama 1 ; esta otra, 2 , se llama hay otros valores musicales. Notas Silencios Las notas y los silencios de toda pieza musical se escriben en fragmentos separados por una línea vertical llamados compases. En los siguientes compases escribe notas y silencios para que cada uno dure 4 . Observa el ejemplo 4 que hay en el primer compás. Notas Notas Silencios Silencios 1 Cuando los compositores quieren escribir un silencio que dure 3 , es decir, 1 + , 4 2 4 Notas Notas Notas Notas 1 . Eso quiere decir que a ese silencio se le agrega la mitad de su valor, o sea 2 no escriben los dos silencios sino que ponen un punto a la derecha del silencio de + se escribe Notas Lo mismo sucede con las notas. La nota 76 S-CNCT_M1_B1_076-081.indd 76 • dura lo mismo que y juntas, o SilenciosSilencios Silencios Silencios Silencios sea, 1 + 1 = 3 . 8 4 8 1/18/13 11:10 AM En los siguientes compases escribe notas y silencios para que cada compás 5 dure 8 . Usa el puntillo siempre que puedas. El siguiente es un fragmento de “Las Mañanitas”, ¿en qué compás está escrita? Rodéalo. 3 4 3 8 4 4 2 2 El siguiente es un fragmento de “La Cucaracha”, ¿en qué compás está escrita? Rodéalo. 3 4 4 4 5 4 6 8 El siguiente es un fragmento del Concierto para dos violines en re menor de Vivaldi. El compositor la escribió en 12 , en la lista de fracciones hay otros que 8 son equivalentes, ¿cuáles son? Rodéalas. 12 4 4 4 6 8 6 4 3 2 77 S-CNCT_M1_B1_076-081.indd 77 1/18/13 11:10 AM Evaluación (TIPO ENLACE) BLOQUE 1 Selecciona la opción correcta. 1. ¿Qué igualdad es falsa? 4 = 1.3 a) _ 3 1 = 0.5 b) _ 5 25 d) _ = 0.025 1000 1 = 0.125 c) _ 8 2. En una carrera de caballos, la distancia por recorrer es de __85 de milla. ¿De qué otra manera se puede expresar esta cantidad? a) 0.58 millas b) 0.625 millas c) 0.85 millas d) 5.8 millas 3. ¿Qué número señala la flecha? 1 3 a) _ 2 5 b) _ 4 2 1 c) 1 _ 3 3 d) 1 _ 4 4. ¿Qué regla genera la sucesión –12, –7, –2, 3, 8, 13, 18…? a) La serie inicia en –12 y se va restando 5 a cada número. c) La serie inicia en –12 y se va sumando 5 a cada número. b) La serie inicia en –12 y se va sumando 3 a cada número. d) La serie inicia en –12 y se va restando 3 a cada número. 5. ¿Qué expresión permite calcular el perímetro del rectángulo de la izquierda? n m a) 2m × 2n b) 2m + 2n c) m + n d) m × n 6. ¿Qué figura se obtiene con las instrucciones? i) Trazar un segmento de 8 cm y llamar sus extremos A y B ii) Abrir el compás 3 cm, colocar la punta de metal en un extremo del segmento y trazar una circunferencia iii) Abrir el compás 6 cm, colocar la punta de metal en el otro y trazar otra circunferencia iv) Marcar los puntos donde se cruzan las circunferencias y llamarlos C y D v) Trazar los segmentos de recta AC, CB, BD y DA a) Un cuadrado cuyos lados miden 14 cm. b) Un rectángulo cuyos lados miden 3 y 6 cm. c) Un triángulo cuyos lados miden 8, 3 y 6 cm. d) Un cuadrilátero, dos de cuyos lados miden 3 cm y los otros, 6 cm. 78 S-CNCT_M1_B1_076-081.indd 78 1/18/13 11:10 AM 7. Selecciona la afirmación verdadera; el punto D es el centro de la circunferencia . A f e a) El punto D es el baricentro del triángulo ABC. D b) Las rectas d, e y f son las medianas del triángulo ABC. B c) Las rectas d, e y f son las mediatrices del triángulo ABC. C d) El punto D es el incentro del triángulo ABC. 8. Sebastián, Max y Ariel compraron un videojuego que costó $350.00. Sebastián gastó $100.00; Max, $100.00; y Ariel, $150.00, y quieren que el tiempo que lo use cada quien sea proporcional al dinero que gastó. ¿Cuál es el arreglo? a) Que, a la semana, Sebastián lo use un día; Max, otro; y Ariel, los cinco restantes. b) Que, a la semana, Sebastián lo use dos días; Max, uno; y Ariel, los otros cuatro. c) Que, a la semana, Sebastián lo use dos días; Max, dos; y Ariel, los otros tres. d) Que, a la semana, Sebastián lo use dos días; Max, dos; Ariel, dos días; y el último se lo vayan turnando. 9. Andrea y sus amigas lanzan tres monedas y, antes de que caigan al suelo, dicen qué resultará. ¿Qué opción debe escoger Andrea para tener más posibilidad de ganar? a) Tres águilas. b) Resultado mixto (águilas y soles). c) Tres soles. d) Cualquiera de las estrategias anteriores es igual de buena. 10. Traza las alturas del triángulo ABC. B A C 79 S-CNCT_M1_B1_076-081.indd 79 1/18/13 11:10 AM Evaluación (TIPO PISA) Pongo en juego mis competencias BLOQUE 1 Rascacielos: ¿la altura es la que ves? En la tabla se reflejan algunos datos de tres de los edificios más altos del mundo. Construcción Pisos Niveles subterráneos Superficie Torre Taipei (Taipei) Torres Petronas (Kwala Lumpur) Torre Willis (Chicago) 1999-2004 1992-1998 1970-1973 101 88 108 5 5 3 412 500 m2 395 000 m2 418 064 m2 Altura con antena 508 m 452 m 527 m Altura hasta el último piso 448 m 410 m 442.3 m Último sótano -31.5 m 0 -13.1 m COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Manejar técnicas eficientemente Torres Petronas (Kwala Lumpur) Torre Taipei (Taipei) Torre Willis (Chicago) Pregunta 1. ¿Qué distancia hay desde la base del último sótano hasta la altura del último piso del edificio Taipei? ¿Y hasta la del Willis? Pregunta 2. ¿Cuál es la altura media de los pisos de cada rascacielos? Pregunta 3. Calcula la superficie de un piso del edificio Taipei y de la torre Willis. Pregunta 4. Calcula la superficie de un piso de las torres Petronas. Ten en cuenta que la superficie total dada corresponde al conjunto de ambas torres. Pregunta 5. La Torre Mayor se encuentra en el Paseo de la Reforma en la Ciudad de México. Mide 230 m. ¿Cuántas veces es más alta la torre Willis que la Torre Mayor? Fracciones de cuento: Alicia en el país de los números —Eso significa que el Sombrerero Loco y sus amigos están tomando el té de las cinco —comentó Charlie—. Lo cual no tiene nada de extraño, pues lo toman a todas horas. Y, efectivamente, siguieron avanzando por la diagonal del bosque de números y poco tiempo después vieron al Sombrerero y la Liebre de Marzo tomando el té en una mesa dispuesta bajo un árbol. Entre ellos, el Lirón dormía profundamente. La mesa era muy grande, y sin embargo los tres comensales se habían agrupado muy juntos en una esquina. Al ver acercarse a Alicia, la Liebre y el Sombrerero empezaron a gritar: —¡No hay sitio! ¡No hay sitio! —Hay sitio de sobra —replicó la niña, indignada, a la vez que se sentaba en una amplia butaca que había a la cabecera de la mesa. Charlie, que la seguía sonriendo enigmáticamente, se sentó a su lado. —¿Qué prefieres, media tarta de manzana o dos cuartas partes? —le preguntó la Liebre de Marzo a Alicia, mientras le ofrecía una obsequiosa sonrisa. COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Comunicar información matemática —¿Me estás tomando el pelo? Media tarta es lo mismo que dos cuartas partes –dijo la niña. —Muy bien, acabas de descubrir las fracciones equivalentes —la felicitó el Sombrerero Loco. —Claro: _21 = _24 —añadió la Liebre. —Aunque a lo mejor eres una glotona y prefieres comerte el 50% de la tarta —dijo el Sombrerero. —¡Ya está bien de tomarme el pelo! —protestó Alicia—. El 50% de la tarta también es lo mismo que la mitad. —¡Qué niña tan lista! —exclamó la Liebre de Marzo, aplaudiendo con las orejas. —¿Por qué el 50% es lo mismo que la mitad? —preguntó el Lirón sin abrir los ojos. —Porque si de cien partes tomas cincuenta, es lo mismo que tomar la mitad —contestó rápidamente Alicia. —Ah, ¿sí? ¡Cómo se nota que no eres tú la que tiene que partir la tarta! —replicó el Sombrerero—. ¿Crees que es lo mismo partirla en dos trozos y darte uno que partirla en cien trozos y darte cincuenta? Frabetti, C. (2000). Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números. Pregunta 1. ¿Qué responderías a la última pregunta del Sombrerero Loco? ¿Por qué? Pregunta 2. ¿De cuántas formas aparece expresada la fracción de tarta que le ofrecen a Alicia? Pregunta 3. El Sombrerero Loco se ha encargado de preparar la tarta de manzana que se estaban comiendo en el té de las cinco. Los ingredientes para seis personas son los que muestra la imagen. a) ¿Qué cantidad necesita de cada ingrediente para cuatro personas? ¿Y para diez? b) El Lirón era el encargado de comprar los ingredientes, pero se durmió, y al llegar a la tienda solo quedaba un huevo. ¿A cuántos comensales podrá invitar? ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesitará ahora? Ingredientes 2 huevos 1 _12 taza de harina 1 yogur de limón 2 manzanas _1 taza de leche 2 _3 taza de aceite 4 _1 taza de 4 mermelada 80 S-CNCT_M1_B1_076-081.indd 80 1/18/13 11:10 AM Un cuento Y para terminar... Decidido a encontrar el árbol que nunca duerme, un gran sauce cuyas ramas semejan ojos abiertos, José se internó en el bosque más de lo que el líder de su equipo les había permitido. Sin poder evitarlo, se perdió en aquel inhóspito y peligroso lugar. Al cabo de varias horas de búsqueda, Rodrigo y René lo encontraron. José había perdido su mochila, sus víveres y su lámpara. Estuvieron todo un día de camino al campamento y comieron los víveres que llevaban Rodrigo y René. Cada vez que se sentaron a comer, dividían una de las barras energéticas en partes iguales. Al final de su travesía contaron cinco barras de Rodrigo y tres barras de René. Una vez que regresaron, Rodrigo y René recibieron una medalla al mérito y José decidió regalarles algunos de sus cómics de acuerdo con las barras energéticas que le compartieron. Te presentamos tres diferentes formas de retribución según lo acontecido. 1. José propuso entregar cinco cómics a Rodrigo y tres a René, en relación a las barras energéticas que aportó cada uno. 2. René propuso otra repartición: “Cada uno comimos cada vez __13 de una barra. Puesto que fueron ocho barras en total 24 comimos __ , de los cuales yo puse __39 , me 3 1 a José; Rodrigo puso __7 . comí __83 y le di _ 3 3 Por esto le corresponden a Rodrigo siete cómics y a mí solo uno”. 3. Rodrigo propuso que José les regalara cuatro cómics a cada uno, dado que los dos colaboraron con la misma determinación en la búsqueda y salvamento de su compañero. ¿Qué reparto es más justo? Explica por qué. R. P. ¿Qué reparto es proporcional? Explica por qué. El de René. 81 S-CNCT_M1_B1_076-081.indd 81 1/18/13 11:10 AM BLOQUE 2 Aprendizajes esperados ✓ Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. ✓ Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros. 82 S-CNCT_M1_B2_082-087.indd 82 1/18/13 11:29 AM Arte numérico Observa el arreglo de botellas: hay 196 y están colocadas rectangularmente en 7 filas y 28 columnas. Tanto 7 como 28 son divisores de 196, ya que ambos lo dividen de manera exacta. Siempre que disponemos un conjunto de elementos de manera rectangular, los números de filas y columnas son divisores del número de elementos. La imagen está inspirada en una obra de Andy Warhol (1928-1987) de 1962, quien utilizó con frecuencia en sus trabajos objetos cotidianos, rostros de personajes famosos y objetos de difusión masiva. 1. ¿Puedes colocar rectangularmente estas botellas en tres filas? ¿Por qué? 2. ¿El número 7 tiene divisores? ¿Y el 28? ¿Cómo puedes colocar 7 botellas en un arreglo rectangular? ¿Y 28 botellas? 3. Reúnete con un compañero. Conviértanse en un Warhol poniendo en juego su creatividad. Dibujen un cuadro teniendo en cuenta que el motivo que se repite debe hacerlo 60 veces en disposición rectangular (no puede sobrar ninguno). ¿Cuántas filas y columnas dibujaron? Comparen el resultado con los del grupo. ¿Todos tienen la misma disposición? Para saber más sobre Andy Warhol entra a… www.e-sm.com.mx/SCM1-083 des, ulos matemáticos con números gran Constantemente efectuamos cálc tera. pequeños, múltiplos, divisores, etcé son esos cálculos y algunos problemas para En este bloque comprobarás que eros núm de ión osic omp desc la emáticas, como necesarias las herramientas mat es. en factores o el trazo de bisectric 83 S-CNCT_M1_B2_082-087.indd 83 1/18/13 11:30 AM CONTENIDO BLOQUE 2 Formula los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distingue entre números primos y compuestos. resolver Secuencia 1 / lección 30 Divisores y números primos Saber qué número divide a otro exactamente es útil para resolver algunos problemas, como verás enseguida. También sabrás cómo comprobar si un número puede dividirse entre 2, 3, 5 y 9 exactamente, sin hacer la división. 1. Con 60 mosaicos se puede formar un rectángulo de diez en un lado y seis en el otro sin que sobre alguno. a) Con esa misma cantidad de mosaicos, ¿puede formarse un rectángulo que tenga ocho en un lado? No. ¿Y uno que tenga doce? Sí. 12 x 5 Explica cómo lo sabes R. P. b) Encuentra los rectángulos que podrían formarse con 60 mosaicos. Puedes representarlos con una multiplicación. Por ejemplo, si tiene diez en un lado y seis en el otro se representa 10 × 6. 1 x 60, 2 x 30, 3 x 20, 4 x 15, 5 x 12, 6 x 10 Los divisores de un número son los que lo dividen exactamente, es decir, con los que el cociente es entero y el residuo, 0. En el problema anterior, las cantidades de mosaicos que se pueden poner en los lados de los rectángulos son divisores de 60, puesto que lo dividen exactamente; por ejemplo, 10 y 6: 60 ÷ 10 = 6 con residuo 0 60 ÷ 6 = 10 con residuo 0 Una pista En toda multiplicación de números enteros, por ejemplo: 100 × 6 = 600, los factores son divisores del producto: • 100 es divisor de 600, puesto que 600 ÷ 100 = 6 con residuo 0. • 6 es divisor de 600, puesto que 600 ÷ 6 = 100 con residuo 0. Por tanto, se pueden conocer los divisores de un número buscando las multiplicaciones que lo arrojan como resultado. 2. Encuentra los divisores de 600 y escríbelos en tu cuaderno. m Comparte los divisores que encontraste con tus compañeros. Verifiquen que sean 16. Comenten sus procedimientos para asegurar que no falte alguno. 3. Encuentra todos los divisores de los números. Número Divisores Número Divisores 1 Número Divisores 1 8 1, 2, 4, 8 15 1, 3, 5, 15 2 1, 2 9 1, 3, 9 16 1, 2, 4, 8, 16 3 1, 3 10 1, 2, 5, 10 17 1, 17 4 1, 2 ,4 11 1, 11 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 5 1, 5 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 19 1, 19 6 1, 2, 3, 6 13 1, 13 20 1, 2, 4, 5, 10, 20 7 1, 7 14 1, 2, 7, 14 21 1, 3, 7, 21 84 S-CNCT_M1_B2_082-087.indd 84 1/18/13 11:30 AM a) Del número 2 al 21, hay ocho que tienen exactamente dos divisores. ¿Cuáles son? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 b) ¿Qué número es divisor de todos los de la tabla anterior? 1 Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de números primos. c) Un número siempre es divisor de sí mismo. Explica en tu cuaderno por qué. Los números que tienen exactamente dos divisores, 1 y el mismo número, se llaman números primos. Por ejemplo, 7 es primo pues sus únicos divisores son 1 y 7. El 8 no es primo pues, además de 1 y 8, tiene como divisores a 2 y a 4. Los números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos. El número 1 solamente tiene un divisor. No es ni primo ni compuesto. m Verifica, con tus compañeros, si encontraste los mismos números primos entre 1 y 21. 4. Identifica los números primos entre 1 y 100. » En el cuadro, encierra el número 2, que es primo, y tacha aquellos de los que es divisor (todos los múltiplos de 2). » Encierra el siguiente número no tachado y tacha sus múltiplos. » Sigue hasta que todos los números estén tachados o encerrados. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 » Conclusión: los números encerrados son los números primos entre 1 y 100. m Verifica, en grupo, la lista de los primos menores a 100. Deben ser 25 (no se cuenta el 1). Comenten la siguiente información. técnicas Ya sabemos... Los números que se obtienen multiplicando un número natural por otros números naturales son múltiplos de ese número. Así, 2, 4, 6, 8… son múltiplos de 2. En cambio, 7 no lo es, pues no hay número natural que multiplicado por 2 dé 7. En contexto Eratóstenes de Cirene, un matemático griego del siglo III a. n. e., concibió un método similar, al que se le llamó criba de Eratóstenes. Todo número es múltiplo de sus divisores y divisor de sus múltiplos. 85 S-CNCT_M1_B2_082-087.indd 85 1/18/13 11:30 AM CONTENIDO BLOQUE 2 Formula los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distingue entre números primos y compuestos. Secuencia 1 / lección 31 ¿Quién divide a quién? 1. Haz, en equipo, lo siguiente. a) Anoten cada número de la lista que aparece a continuación, en uno o en varios de los casilleros de la tabla de abajo, según si el número es divisible entre 2, 3, 4, 5 o 6. Un mismo número puede ir en dos o más columnas. Repártanse el trabajo. Pueden usar calculadora. 10, 12, 15, 21, 24, 32, 36, 100, 112, 123, 150, 204, 360, 500, 561, 1 000, 2 700, 3 000, 6 570, 15 000 Divisibles entre 2 Divisibles entre 3 10, 12 12 24, 32, 36, 100, 112, 15, 21, 24, 36, 123, 150, 150, 204, 360, 500, 204, 360, 561, 1 000, 2 700, 3 000, 2 700, 3 000, 6 570, 6 570, 15 000 15 000 Divisibles entre 4 12 Divisibles entre 5 12 24, 32, 36, 100, 112, 15, 100, 150, 360, 24, 36, 150, 204, 360, 204, 360, 500, 1 000, 500, 1 000, 2 700, 2 700, 3 000, 6 570, 2 700, 3 000, 15 000 3 000, 6 570, 15 000 15 000 18, 156, 30 000 18, 20, 26, 40, 400, 20, 35, 40, 125, 400, 254, 400, 700, 1 300, 18, 27, 111, 156, 700, 1 300, 5 000, 700, 1 300, 5 000, 5 000, 30 000 11 000, 30 000 11 000, 30 000 18, 20, 26, 40, 156, Divisibles entre 6 10 11 000, 30 000 b) Comparen los números que pusieron en cada columna con los de otros equipos. Corrijan si es necesario. c) Analicen las similitudes de los números divisibles entre 2. ¿Qué observan? R. T. Todos acaban en cifra par. d) Analicen las similitudes de los números divisibles entre 5. ¿Qué observan? ¿Cómo comprobarías que no existe un número divisible entre 2 cuya cifra de las unidades sea 3? R. T. Todos acaban en 0 o en 5. m Compartan sus observaciones con el grupo. Revisen si lo que observaron les permite determinar si el número 236 es divisible entre 2 y si es divisible entre 5, sin hacer las divisiones. Probablemente ya observaste que en todos los números divisibles entre 2 la cifra de las unidades es par: 0, 2, 4, 6 u 8. Esta característica es el criterio de divisibilidad entre 2 y permite saber si un número es divisible entre 2, sin tener que hacer la división. Por ejemplo, puede saberse que 421 no es divisible entre 2 pues la cifra de las unidades no es par. e) Completa el criterio de divisibilidad entre 5. Un número es divisible entre 5 si R. T. termina en 5 o en 0. 86 S-CNCT_M1_B2_082-087.indd 86 1/18/13 11:30 AM 2. A continuación se presenta el criterio de divisibilidad entre 3. Verifica que los números de la tabla que sean múltiplos de 3 lo cumplan y los demás no. En los números divisibles entre 3, la suma de sus cifras es divisible entre 3. Si la suma no es divisible entre tres, el número tampoco lo es. Por ejemplo, la suma de las cifras del número 2 301 es 2 + 3 + 0 + 1 = 6, por tanto sí es divisible entre 3. 3. Ubica en la tabla anterior los siguientes números. Usa los criterios de divisibilidad en lugar de hacer la división. 18, 20, 26, 27, 35, 40, 111, 125, 156, 254, 400, 700, 1 300, 5 000, 11 000, 30 000 m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten cómo ubicaron los números divisibles entre 4 y entre 6. Si hay diferencias, vean quiénes cometieron un error. 4. Resuelve los problemas. Cuando sea posible utiliza los criterios de divisibilidad. Explica tus procedimientos en el cuaderno. resolver a) Se quieren empacar 1 028 galletas en bolsitas iguales, sin que sobre ninguna. ¿Es posible hacerlo de dos en dos? Sí. ¿De cinco en cinco? No. ¿Y de tres en tres? No. b) En una tienda se venden paletas de tres pesos. En el registro de ventas del día aparecen las cantidades que se indican a continuación. Encierra las que podrían corresponder a la venta de distintas cantidades de paletas. $92; $10; $3; $21; $43; $ 61; $72; $27; $28; $45; $101; $20 c) Con 180 losetas se puede formar un rectángulo de 45 × 4 losetas. ¿Qué otros rectángulos se pueden formar? Encuentra todos los que puedas e indícalos en el cuaderno. d) De una cartulina rectangular de 30 × 105 cm se quieren recortar cuadrados sin que sobre cartulina. ¿Los cuadrados podrían tener 2 cm de lado? No. ¿Y 3 cm? Sí. ¿Podrían tener 5 cm? Sí. e) Los alumnos de primer grado fueron de excursión al campo. El guía los organizó en grupos pequeños. Si los agrupaba de cinco en cinco, no quedaba alguno fuera, si lo hacía de tres en tres, tampoco; pero si los agrupaba de dos en dos, uno quedaba fuera. A la excursión fueron entre 40 y 50 alumnos. Determina cuántos asistieron. m Aprende más sobre números primos en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-087 45 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten qué criterios de divisibilidad usaron. 87 S-CNCT_M1_B2_082-087.indd 87 1/18/13 11:30 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. resolver Secuencia 2 / lección 32 Mínimo común múltiplo Se quiere cuadricular una explanada de 20 m × 30 m de manera que todos los cuadrados queden completos. ¿Cuánto mide el lado del mayor cuadrado posible? En esta secuencia estudiarás situaciones como esta, en las que es necesario encontrar múltiplos o divisores compartidos por dos o más números. 1. El juego de la pulga y las trampas.1 a) Reúnete con un compañero. Hagan una tira de papel de 2 m × 5 cm y escriban en ella los números de 1 a 50, dejando 4 cm entre cada uno. » Uno de ustedes ubica trampas (cualquier objeto) en cuatro números. » El otro determina la forma en que saltará su pulga (desde 2 en 2 hasta 9 en 9). Si escoge, por ejemplo, saltos de 3 en 3, la pulga (un objeto distinto al de las trampas) pasará por los números 3, 6, 9… Convivimos Para jugar es necesario respetar las reglas y el turno de los demás. También se pueden inventar nuevas reglas y ponerlas a consideración de otros. Salida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 48 49 50 » Si la pulga cae en una trampa, el que puso las trampas se anota un punto. Si la pulga completa la tira sin caer en las trampas, el punto es para su dueño. » Jueguen cinco o seis veces alternando los papeles. 2. Contesta las preguntas y haz lo que se pide. a) ¿Con qué tipos de salto las pulgas caen en el 12? 2, 3, 4, 6 b) ¿Con qué tipos de salto las pulgas caen en el 17? Ninguno. c) Como habrás observado, unos números solo atrapan a las pulgas de un tipo de salto, mientras que otros atrapan a las de distintos tipos. Escribe en tu cuaderno un ejemplo de cada caso. d) Si tienes en cuenta todos los tipos de salto, ¿en qué número caen más pulgas? 24, 36, 48 Una pista ¿Con qué tipos de salto? 24 y 48 con 2, 3, 4, 6, 8; 36 con 2, 3, 4, 6, 9 e) ¿En qué números deben ir las trampas para que no pase ninguna pulga? Observa que 36 es un múltiplo común de 2, 3, 4, 6 y 9, entre otros. Es, por tanto, un buen número para poner una trampa. R. T. 35, 36, 40 f ) ¿Es posible lograrlo solo con dos trampas? m 1 No. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Juego tomado de Fuenlabrada, I. et al. (1991). Juega y aprende matemáticas. Libros del Rincón. México: sep, 1991. 88 S-CNCT_M1_B2_088-093.indd 88 1/18/13 11:31 AM 3. Haz lo siguiente. a) Escribe en tu cuaderno los primeros diez múltiplos de 4 y de 6, y encierra los que sean múltiplos de ambos. b) ¿Cuál es el múltiplo común más pequeño de 4 y 6? 12 Al número más pequeño que es múltiplo de dos números a y b se le llama mínimo común múltiplo de a y b, y se representa como mcm (a, b); por ejemplo: mcm (4, 6) = 12 Este número es útil para resolver algunos problemas. c) Enlista en tu cuaderno los primeros múltiplos de 6 y 10. ¿Cuál es el múltiplo común más pequeño de 6 y 10? mcm (6, 10) = 30 d) Calcula lo que se pide. mcm (4, 10) = 20 mcm (5, 7) = 35 mcm (3, 6) = 6 mcm (12, 18) = 36 mcm (4, 9) = 36 mcm (2, 8) = 8 4. Ubica los números en los diagramas. Algunos ya están ubicados. Números de 1 a 12 Múltiplos de 2 Múltiplos de 3 2 3 6 9 8 12 10 5 7 Números de 1 a 30 11 1 4 Múltiplos de 3 Múltiplos de 2 2 4 21 6 3 8 14 12 9 18 22 16 27 24 26 28 30 10 15 1 20 17 13 11 7 5 25 29 19 23 Múltiplos de 5 Si un número es múltiplo de 2 y de 3, ¿puede no serlo de 6? 5. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Indica las respuestas y tus procedimientos. a) ¿Cuánto mide de lado el cuadrado de menor tamaño que se puede hacer con losetas de 20 cm × 30 cm? 60 cm Í 60 cm b) María toma tres medicinas: la A cada 2 horas, la B cada 6 horas, y la C cada 8 horas. A las 12 p. m. tomó las tres. ¿A qué hora las volverá a tomar juntas? A las 12 p. m. 1 1 1 c) ¿Cuál es el menor denominador común con el que se puede sumar __ + __ + __ ? 12 16 20 240 m Compara tus respuestas de las actividades 3, 4 y 5 con las de tus compañeros. Sigue jugando la pulga y las trampas en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-089 89 S-CNCT_M1_B2_088-093.indd 89 1/18/13 11:31 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Secuencia 2 / lección 33 Máximo común divisor 1. Resuelve el problema. Se van a preparar bolsas con golosinas para los invitados de una fiesta. Se tienen 24 chocolatines, 36 bastones de caramelo y 60 paletas. Se quiere que las bolsas sean iguales entre sí, es decir, que no haya una, por ejemplo, con más chocolates que otra. También se desea que no sobren golosinas. resolver a) ¿Pueden hacerse 8 bolsas? Si tu respuesta es sí, indica cuántas golosinas de cada tipo llevaría una bolsa y demuestra que no sobrarían golosinas. Si tu respuesta es no, explica por qué. No, porque 60 y 36 no son divisibles entre 8. 24 ___ b) ¿Pueden hacerse tres bolsas? Explica por qué. Sí, porque 3 = 8, 36 60 ___ = 12, y ___ = 20. 3 3 Practica tus habilidades para encontrar múltiplos y divisores en… c) Responde las preguntas. www.e-sm.com.mx/ SCM1-090 » ¿Cuál es el mayor número de bolsas que se pueden hacer? 12 » ¿Cuántas golosinas de cada tipo se pueden poner por bolsa? 2 chocolatines, 3 bastones de caramelo y 5 paletas. Verifica que al multiplicar el contenido de cada bolsa por el número de bolsas obtengas 24 chocolatines, 36 bastones de caramelo y 60 paletas. m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean la siguiente información. Para que un número de bolsas sea una solución al problema anterior, debe dividir exactamente a cada cantidad de golosinas, es decir, debe ser un divisor común de 24, 36 y 60. El mayor número de bolsas posible es el máximo común divisor de los tres números y se abrevia MCD (24, 36 y 60). 90 S-CNCT_M1_B2_088-093.indd 90 1/18/13 11:31 AM técnicas 2. Lee el procedimiento para calcular todos los divisores de 60. Una manera de encontrar los divisores de 60 es dividir 60 entre los números del 1 en adelante e identificar los casos en los que el residuo es 0. Cuando se repite un par de divisores se han encontrado todas las opciones. 3. Haz lo siguiente. a) Calcula, con la técnica anterior, todos los divisores de 24 y de 36. b) Consulta las listas anteriores de divisores para encontrar el MCD (24, 36 y 60). 12 División Residuo Divisores 60 ÷ 1 = 60 =0 1 y 60 60 ÷ 2 = 30 =0 2 y 30 60 ÷ 3 = 20 =0 3 y 20 60 ÷ 4 = 15 =0 4 y 15 60 ÷ 5 = 12 =0 5 y 12 60 ÷ 6 = 10 =0 6 y 10 60 ÷ 7 = ≠0 --- 60 ÷ 8 = ≠0 --- 60 ÷ 9 = ≠0 --- 60 ÷ 10 = =0 10 y 6 Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 c) Verifica que ese número responda al mayor número de bolsas del problema anterior. d) Calcula lo que se pide. MCD (6, 14) = MCD (6, 12) = 2 6 MCD (45, 75) = MCD (7, 9) = 15 1 4. Resuelve los problemas. En algunos utilizarás el MCD y en otros, el mcm. Puedes usar calculadora. Responde en el cuaderno y explica tus procedimientos. A a) En el problema de las bolsas con tres tipos de golosinas, ¿cuál sería el mayor número de bolsas que podría hacerse si hubiera 105 chocolatines, 120 bastones de caramelo y 165 paletas? B MCD (105, 120 y 165) = 15 b) Un engranaje está formado por ruedas dentadas: A, de 12 dientes; B, de 24; y C, de 36. Al girar, las marcas rojas coinciden como se ve en el dibujo. ¿Cuántas vueltas dará C hasta que las marcas vuelvan a coincidir? 4 c) En un laboratorio hay 1 044 ejemplares de un tipo de insecto, 504 machos y 540 hembras. Quieren distribuirlos de manera que se tengan grupos mixtos del mismo tamaño, lo más pequeños posible. ¿Cuántos insectos de cada tipo deben poner por grupo? ¿Cuántos grupos se forman? 36 grupos, de 14 machos y 15 hembras cada uno m Verifica, con tus compañeros, que en el problema c), al multiplicar el número de insectos de cada grupo por el número de grupos, se obtiene el total de insectos. C 5. Resuelve anotando como denominador el mcm de los denominadores. 1 165 1 + 132 + 1 66 16 = 660 7 75 1 2 + 105 + 165 = 229 1925 6. Simplifica las fracciones antes de sumarlas. Busca el MCD del numerador y del denominador. 42 30 m + 51 85 + 22 55 21 + 105 = 13 5 18 63 + 30 70 44 + 154 = 59 63 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Vean si encontraron que, en la primera suma de fracciones, el denominador común es 5 775. 91 S-CNCT_M1_B2_088-093.indd 91 1/18/13 11:31 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Secuencia 2 / lección 34 Descomponiendo números 1. Haz, con un compañero, lo siguiente. R. T. » Uno de ustedes expresa, en la segunda fila de la derecha, el número 180 como producto de dos factores. » El otro lo hace como producto de tres factores en la tercera fila. » Continúan aumentando el número de factores de esta forma. Si uno ya no puede descomponer más en su turno, el otro lo intenta. El que haga la última descomposición gana (los productos por 1 no valen). » Repitan la actividad en su cuaderno con los siguientes números y anoten aquí el producto final. 270 = m 2Í3Í3Í3Í5 180 2 × 90 2 × 2 × 45 2 × 2 × 3 × 15 2 × 2 × 3 × 3 × 5 240 = 2Í2Í2Í2Í3 Í5 1 080 = 2Í2Í2Í3Í3Í3Í5 Comparen las descomposiciones que obtuvieron con las de sus compañeros. Observen que al final se obtienen productos de números primos. Comenten la siguiente información. Todo número natural se puede descomponer en un producto de factores primos. Cuando los números se expresan de esta manera es fácil encontrar sus divisores y múltiplos comunes, como lo comprobarán enseguida. 2. Trabaja con un compañero. La descomposición del número 84 en factores primos es 2 × 2 × 3 × 7. Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de mcm y MCD. a) ¿Qué divisores de 84 pueden identificar a simple vista, sin hacer la división? 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 m Compartan con sus compañeros los divisores que encontraron y la manera en que lo hicieron. Comenten la siguiente información. En una multiplicación, cada factor es divisor del producto. Por ejemplo, 84 es igual a 2 × 2 × 3 × 7, por tanto 3, 2 y 7 son divisores de 84. También los productos que se obtienen con los factores primos son divisores del número, por ejemplo: 3 × 2 × 2 = 12; entonces 12 es divisor de 84. Verifíquenlo haciendo las divisiones y comprobando que el residuo sea 0. b) La descomposición en factores primos de 70 es 2 × 5 × 7. ¿Qué divisores de 70 pueden identificar a simple vista, sin hacer la división? 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 c) Identifiquen, a partir de lo anterior, sin hacer divisiones, algunos divisores comunes de 84 y de 70. 2, 7, 14 92 S-CNCT_M1_B2_088-093.indd 92 1/18/13 11:31 AM d) ¿Cuál es el máximo común divisor de 84 y 70? Identifíquenlo a partir de los productos de factores primos. 14 El máximo común divisor de dos números se puede formar con todos los factores primos comunes de esos números. Por ejemplo, el MCD de 2 × 2 × 3 × 7 y de 2 × 5 × 7 es 2 × 7, es decir, 14. e) Utilicen las descomposiciones en factores primos de la actividad 1 para encontrar lo siguiente. m MCD (180, 270) = 60 MCD (240, 1080) = MCD (180, 240) = 60 MCD (180, 240, 270) = MCD (270, 240) = 120 30 Aprende más del mcm y MCD en… 30 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Revisen cómo formaron los máximos comunes divisores a partir de los factores primos. www.e-sm.com.mx/ SCM1-093 3. Recuerda que la descomposición en factores primos de 70 es 2 × 5 × 7. a) Subraya, sin resolver las multiplicaciones, las que correspondan a múltiplos de 70. 2 × 5; 2 × 2 × 5 × 7; 2 × 5 × 5 × 7; 2 × 7 × 7 × 7; 2 × 3 × 5 × 7; 5×5×7×7 b) Subraya las multiplicaciones que correspondan a múltiplos de 84. 2 × 2 × 3 × 5; 2 × 2 × 3 × 7 × 5; 2 × 2 × 3 × 3 × 7; 2×2×2×7×7 Encuentra dos números cuyo MCD sea 3. c) Resuelve las multiplicaciones y verifica tus respuestas de los incisos a) y b). d) Considera las descomposiciones en factores primos de 84 y de 70 para formar la descomposición en factores primos del mínimo común múltiplo de 84 y de 70. mcm (84, 70) = 2 Í 2 Í 3 Í 5 Í 7 = Encuentra dos cuyo mcm sea 2 × 3 × 5 × 5. 420 El mínimo común múltiplo de dos números se forma con la menor multiplicación posible que contenga a todos los factores primos de cada número. Por tanto, el mcm de 2 × 2 × 3 × 7 y de 2 × 5 × 7 es 2 × 2 × 3 × 5 × 7, es decir, 420. e) Calcula lo que se indica utilizando las descomposiciones en factores primos de la actividad 1. mcm (240, 1 080) = m 2 160 mcm (270, 240) = 2 160 mcm (180, 240) = 720 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten por qué es importante encontrar los factores primos de un número. 93 S-CNCT_M1_B2_088-093.indd 93 1/18/13 11:31 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. Secuencia 3 / lección 35 La migración indocumentada en Estados Unidos de América ¿Qué tan familiarizado estás con los números fraccionarios y la notación decimal? ¿Puedes calcular mentalmente sumas y restas? En esta secuencia consolidarás estas operaciones. 1. Lee el texto y haz lo que se indica. La población migrante total (nacida fuera de Estados Unidos de América) ascendió, en marzo de 2004, a 35.7 millones de personas. De ellas, 21.7 millones (61%) son residentes con permanencia legal, 1.2 millones (3%) tienen permiso de residencia temporal, 2.5 millones (7%) son refugiados llegados después de los ochenta y 10.3 millones (29%) son migrantes indocumentados. (La Jornada, 25 de abril de 2005.) Repasa las fracciones equivalentes en… a) Subraya la respuesta correcta: 35.7 millones de personas significa… » 35 millones de personas más otras siete personas. » 35 millones de personas más siete décimos de una persona. » 35 millones de personas más siete décimos de un millón de personas. www.e-sm.com.mx/ SCM1-094 b) ¿A cuántas personas equivale un décimo de un millón? 100 000 c) ¿A cuántas personas equivalen siete décimos de un millón? d) ¿Cuánto le falta a 35.7 millones para 36 millones? mm comunicar 700 000 300 000 Comenta, en grupo y con ayuda del profesor, tus respuestas. 2. Organiza en la tabla la información que aparece al inicio de la lección. Escritura simplificada (millones) Escritura normal Población migrante total 35.7 35 700 000 100% Residentes legales 21.7 21 700 000 61% Residentes con permiso temporal 1.2 1 200 000 3% Refugiados llegados después de los años ochenta 2.5 2 500 000 7% Migrantes indocumentados 10.3 10 300 000 Porcentaje 29% Tabla 1 94 S-CNCT_M1_B2_094-099.indd 94 1/18/13 11:32 AM 3. Lee la información y haz lo que se indica. Del total de migrantes indocumentados en EUA, 5.9 millones (57%) provienen de México; 2.5 millones (24%), del resto de América Latina; 1 millón (9%), de Asia; 600 000 (6%), de Europa y Canadá; y 400 000 (4%), de África y otros lugares. (La Jornada, 25 de abril de 2005.) a) Organiza en la tabla las cantidades del texto anterior. Origen de los migrantes indocumentados Escritura simplificada (millones) Escritura normal Porcentaje México 5.9 5 900 000 57% Resto de América Latina 2.5 2 500 000 24% 9% Asia 1 1 000 000 Europa y Canadá 0.6 600 000 6% África y otros lugares 0.4 400 000 4% Tabla 2 4. En la tabla 1 se observa que en EUA hay 10.3 millones de inmigrantes indocumentados, cantidad que debería coincidir con la suma de la segunda columna de la tabla 2; sin embargo, no es así. a) ¿Cuál es la suma de la segunda columna de la tabla 2? 10.4 b) ¿Cuál es la diferencia entre esta suma y 10.3 millones? 0.1 millones c) ¿A cuántas personas equivale la diferencia? d) ¿Es mucha esta diferencia? mm resolver 100 000 R. P. Comenta, con ayuda del profesor, tus resultados de las actividades 2, 3 y 4. Si cometiste algún error, descríbelo. Como puedes notar, el significado de los números decimales es muy importante para interpretar cantidades. Así, por ejemplo, 3.2 millones de personas no significa 3 millones más dos personas, sino 3 millones más 2 décimos de millón, es decir, 3 200 000 (tres millones doscientas mil personas), puesto que la décima parte de un millón es 100 000. 5. Interpreta las cantidades y anota lo que se pide. a) 2.3 km es igual a 2 km con 300 m. b) 3.8 h es igual a 3 h con 48 min. c) 5.6 kg es igual a 5 kg más 600 g. Una pista Un décimo de hora son seis minutos. 95 S-CNCT_M1_B2_094-099.indd 95 1/18/13 11:32 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. Secuencia 3 / lección 36 Tipo de cambio y algo más 1. En una casa de cambio aparece el siguiente letrero. COMPRA VENTA Dólarm(USD) resolver Eurom(EUR) a) ¿Por qué los precios de venta son más altos que los precios de compra? En contexto R. T. Para que las casas de cambio obtengan ganancias. El euro es una moneda de uso común en la mayoría de los países europeos. Su símbolo es €. b) ¿Cuál es la diferencia entre el precio de compra y el de venta del dólar? $0.30 ¿Y en el caso del euro? $1.18 c) De acuerdo con la información de la tabla, ¿cuánto más hay que pagar por un euro que por un dólar? $5.18 d) ¿Cuánto gana la casa de cambio por cada 100 dólares que compra y luego vende? $30.00 e) La casa de cambio vende, en promedio, 10 000 dólares y 3 000 euros por día. ¿Con qué moneda obtiene más ganancia? Dólares (por la cantidad). f ) Para viajar de México a EUA, Javier compró 2 000 dólares. Al regresar a México, tenía 500 dólares que no gastó y los vendió. Teniendo en cuenta los precios del letrero, ¿cuánto dinero perdió? $150.00 g) Una cámara fotográfica cuesta $2 500.00 en México, 220 dólares en Nueva York y 200 euros en París. ¿En qué ciudad cuesta menos? (Considera $11.73 por dólar y $16.91 por euro) mm México. Analiza en grupo tus resultados. 96 S-CNCT_M1_B2_094-099.indd 96 1/18/13 11:32 AM 2. Resuelve los problemas sin hacer operaciones escritas. técnicas a) ¿Qué pareja de fracciones de queso se acerca más a un queso entero? » 1 2 queso y queso 2 5 » 1 1 queso y queso 2 3 3 4 b) Para unir dos tablas que miden, respectivamente, » 2 3 y 1 1 queso y queso 2 4 de pulgada de espesor, ¿de 17 12 qué medida deben ser los clavos para que la punta no salga por el otro lado? 1 c) Tres clavos A, B y C de 2 2 pulgadas se clavaron en la pared, de modo que del clavo A quedó más de la mitad afuera, del B quedó la mitad afuera y del C, menos de la mitad. En cada caso, ¿qué parte del clavo quedó dentro? 1 __! in de __4 in Clavo B __________ Clavo A Menos __________ 4 1 Clavo C __________ Más de __4 in d) El partido de futbol empezó a las ocho y cuarto, se jugaron dos tiempos de 1 cada uno y entre cada tiempo hubo 4 de hora de descanso. » ¿A qué hora terminó el partido? mm 3 4 de hora 10:00 Revisa en grupo los resultados y los procedimientos de cálculo mental que utilizaron. 3. Responde las preguntas utilizando los recursos que quieras. Pilar decidió regalar a Martha __13 , y a Hilda __27 de sus estampas. a) ¿Con qué parte de sus estampas se quedó Pilar? b) ¿A quién le dio más estampas: a Martha o a Hilda? 8 21 A Martha. Una pista Los tercios y séptimos se pueden convertir en veintiunavos. c) Si Pilar se quedó con 64 estampas, ¿cuántas le regaló a Martha y cuántas a Hilda? 56 a Martha y 48 a Hilda. mm Revisa, con ayuda del profesor, tus resultados de esta actividad. Si tuviste alguna dificultad, explica en qué consistió. Analiza la siguiente información. Cuando se suman dos o más fracciones con distinto denominador, por ejemplo, __23 + __34 + __56 , es útil encontrar un número que sea múltiplo común de los denominadores, de preferencia el mínimo común múltiplo; en este ejemplo es 12. Las tres fracciones se convierten en doceavos y se suman. 2 = 8 3 12 3 = 9 4 12 5 = 10 6 12 2 + 3 + 5 = 8 + 9 + 10 = 27 = 9 3 4 6 12 12 12 12 4 97 S-CNCT_M1_B2_094-099.indd 97 1/18/13 11:32 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. Secuencia 3 / lección 37 Salarios y precios 1. Trabaja en equipo. En la siguiente tabla se puede ver cuánto gana una persona, en promedio, durante un año en los estados de la república y a nivel nacional. Con base en esa información, resuelvan los problemas que aparecen. En algunos casos conviene usar la calculadora. Remuneraciones promedio por persona según entidad federativa en 2008 (miles de pesos anuales) Entidad Remuneración promedio Entidad Remuneración promedio 1. Campeche 141.1 18. Quintana Roo 83.3 2. Distrito Federal 135.9 19. Jalisco 83.0 3. Tabasco 122.8 20. Guanajuato 83.0 4. Nuevo León 118.4 21. Puebla 81.8 5. Tamaulipas 103.0 22. Morelos 81.1 6. Baja California 101.0 23. Durango 78.9 7. Querétaro 99.2 24. Oaxaca 75.4 8. NACIONAL 99.1 25. Zacatecas 72.2 9. México 98.1 26. Colima 70.2 10. Coahuila 97.1 27. Tlaxcala 69.0 11. Chihuahua 97.0 28. Sinaloa 68.6 12. Veracruz 95.9 29. Guerrero 66.2 13. Aguascalientes 90.6 30. Chiapas 65.4 14. Sonora 85.7 31. Yucatán 64.6 15. Baja California Sur 84.3 32. Michoacán 64.4 16. San Luis Potosí 84.0 33. Nayarit 61.9 17. Hidalgo 83.5 Fuente: Instituto Nacional de Estadística y Geografía. Resumen de los Resultados de los Censos Económicos. 2009. resolver Ya sabemos… Por ejemplo, 141.1 miles de pesos significa 141 mil, más un décimo de mil, que son 100 pesos, es decir, 141 100 pesos. a) ¿Cuál es el salario promedio anual, en pesos, de una persona que vive en el Distrito Federal? 135.9 b) ¿Cuál es la diferencia entre el salario promedio anual más alto y el más bajo? En miles de pesos: 79.2 En pesos: 79 200 c) En el número 8 de la tabla se puede ver el salario promedio anual a nivel nacional. ¿Cuál 37.2 es la diferencia entre este salario y el de Nayarit, que es el más bajo? 98 S-CNCT_M1_B2_094-099.indd 98 1/18/13 11:32 AM d) Si se divide el salario promedio anual de Yucatán, que es $64 600.00, entre los 365 días del año, se obtiene lo que gana una persona en promedio por día: $176.98. A continuación, aparecen los precios de varios productos de consumo básico. Enlista los que se pueden comprar con $176.98. » » » » » » kg de tortilla: $10.00 » kg de carne: $80.00 » l de aceite: $24.00 » kg de jitomate: $10.00 » kg de arroz: $20.00 » kg de chile: $20.00 » kg de azúcar: $15.00 » kg de manzana: $25.00 » garrafón de agua sin el envase: $31.00 kg de huevo: $17.00 pieza de pan: $1.50 kg de frijol: $25.00 l de leche: $14.00 kg de cebolla: $10.00 e) Para la comida del día, Josefina quiere comprar 1 1 kg de carne, 2 kg de chile, 1 kg de cebolla y 1 kg de tortilla. 3 4 kg de jitomate, Practica la suma y resta de fracciones con distinto denominador en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-099 1 4 2 » ¿Cuánto gastará? $147.50 » ¿Cuánto pesará la bolsa en la que meta sus compras? mm 4 kg Revisa, con ayuda del profesor, tus resultados y corrige lo que sea necesario. 2. Completa los cuadrados mágicos. El resultado que debes obtener está debajo de cada cuadrado. » 1 2 , 1 4 , 3 4 5 4 , 1, , 3 2 7 4 , , 2, 1 4 3 2 3 4 5 4 7 4 1 9 4 1 2 2 9 4 » 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1 1 0.3 0.8 0.5 0.7 0.9 0.6 1.1 0.4 Suma: 15 Suma: 2.1 4 » 0.1, 1 5 , 0.3, 2 5 , 0.5, 3 5 , 0.7, , 0.9 » 1 6 , 1 3 , 0.5, 2 3 , 5 6 , 1, 0.1 3 5 0.3 0.5 0.7 0.5 5 6 2 5 0.9 1 5 2 3 1.5 2 mm En contexto 4 5 4 5 Suma: 3 resolver 4 3 7 6 1 6 , 4 3 ,1.5 1 7 6 1 3 Este tipo de cuadrados se llaman mágicos porque en su origen se les atribuyeron, erróneamente, propiedades astrológicas y adivinatorias. En un cuadrado mágico al sumar tres números (de una columna, fila o diagonal) siempre se obtiene el mismo resultado. Suma: 2.5 Compara tus cuadrados con los de otros compañeros y verifica que se cumpla la condición de los cuadrados mágicos. 99 S-CNCT_M1_B2_094-099.indd 99 1/18/13 11:32 AM contenido BLOQUE 2 Secuencia 4 / lección 38 La mitad de un cuarto I Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Multiplicar una cantidad por un número natural equivale a sumar esa cantidad varias 3 3 veces, por ejemplo, 2 × 4 km es lo mismo que 4 km + 34 km. Pero, ¿qué significa multi3 plicar una cantidad por un número fraccionario, por ejemplo, 25 × 4 km ? ¿El resultado 3 también es mayor que 4 km? En esta secuencia estudiarás la multiplicación y la división con fracciones y comprobarás que con ellas pasan cosas inesperadas, distintas a las que suceden con números naturales. 1. Resuelve los problemas usando fracciones. a) Varios jóvenes improvisaron una banca uniendo extremo con extremo cinco tablas de 3 Si una cuerda de 4 m se corta a la mitad, __3 m de largo. ¿Cuál es, en metros, la longitud de la banca? 4 ¿qué fracción de metro 3.750 m b) En un puesto del mercado se vende queso en trozos de __14 kg. Si una persona lleva diez medirá cada parte? trozos, ¿cuántos kilogramos compró? 2.5 kg 1 de tanque de gasolina en su viaje de ida y vuelta al c) Luis utiliza aproximadamente __ 10 trabajo. Si va al trabajo 20 veces al mes, durante diez meses al año, ¿cuántos tanques de técnicas gasolina consume anualmente? 20 tanques 2. Verifica si lo que hiciste en el ejercicio anterior coincide con la siguiente técnica. En caso de no ser así, busca el error. Para multiplicar una fracción por un número entero, basta con multiplicar el numerador de 15 la fracción por el entero. Por ejemplo: __34 m × 5 = __ m = 3 __34 m. 4 3. Completa las multiplicaciones. Simplifica los resultados. 1= a) 3 × _ 3 1 4 = d) 5 × _ 15 4 3 1= 5 g) 4 × 1 _ 4 validar m 1= b) 2 × 3 _ 4 13 2 c) 2 f) 3 e) 3 3 9 ×_=_ 10 10 h) 4 2 =1_ 1 ×_ 7 7 1 =_ 1 ×_ 6 3 1 =_ 1 ×_ 6 2 Comparen la técnica que cada uno describió en la actividad 2 y sus resultados de las multiplicaciones de la actividad 3. Verifiquen que hayan aplicado la siguiente regla. Para multiplicar un entero con una medida fraccionaria, por ejemplo, 5 × __34 m, 5×3 15 m = __ m = 3 __34 m. se multiplica el numerador de la fracción por el entero: 5 × __34 m = ____ 4 4 100 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 100 1/18/13 11:36 AM 1 1 4. Don Pancho solo siembra 4 de su terreno y en 2 de esa parte ha sembrado frijol. El rectángulo de la derecha representa todo el terreno. Efectúa lo que se pide. frijol a) Representa en el rectángulo la parte sembrada de frijol. 1 8 b) ¿Qué fracción del terreno representa esa parte? 1 5. En la tienda donde Luis trabaja se venden rebanadas de 8 de pastel. Cada día, el dueño le regala las rebanadas sobrantes. Para compartirlas con dos amigos, Luis las lleva a la escuela y divide cada una en tres partes iguales. El lunes solamente sobró una rebanada. a) El rectángulo representa un pastel completo. Señala la parte que le correspondió a uno de sus amigos el lunes. 1 ___ 24 Practica la multiplicación de fracciones en… 1 ___ 24 www.e-sm.com.mx/ SCM1-101 1 ___ 24 b) Anota en la tabla cuánto le corresponde a los tres amigos. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Fracción de pastel que Luis reparte entre tres 1 8 2 8 5 8 3 8 7 8 Fracción de pastel para cada uno 1 24 1 12 5 24 1 8 7 24 » Verifica que al multiplicar por 3 la fracción de pastel de cada uno se obtengan las cantidades de pastel repartidas. validar » Verifica que cuando se reparten __28 entre 3, a cada quien le corresponde lo doble que si se reparte __18 entre 3. 3 6. Resuelve el problema con tus compañeros: al multiplicar por 2 el numerador de 4 m, 6 se obtiene una fracción del doble de tamaño: 4 m o 1 1 m. ¿Qué sucedería si, en 2 lugar de multiplicar el numerador, se multiplicara el denominador de 34 m por 2? Expliquen su respuesta. resolver 3 R. T. Se obtiene una fracción de la mitad de tamaño: __8 m. 101 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 101 1/18/13 11:36 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Secuencia 4 / lección 39 La mitad de un cuarto II 1. Un artesano, que necesita trozos de madera pequeños, corta tiras en partes iguales. a) Anota en la tabla la medida de cada trozo. b) Verifica tus resultados. Si multiplicas la medida de cada trozo (columna 3) por el número de trozos (columna 2), obtendrás la medida de la tira (columna 1). c) Anota en la última columna las divisiones correspondientes. técnicas Medida de la tira Núm. de trozos 3 m 4 3 4 m 5 2 1 m 2 2 1 m 3 5 2 m 3 5 Medida de cada trozo División 1 4 2 5 1 4 1 15 2 15 3 ÷3 4 4 5 1 2 1 3 2 3 ÷2 ÷2 ÷5 ÷5 2. Lee las siguientes técnicas para dividir fracciones entre números enteros. Si no son iguales a la que usaste, aplícalas para verificar los resultados del problema anterior. Para dividir una fracción entre un número natural se puede… » dividir el numerador: 45 ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2 ; o bien, 5 5 2 4 » multiplicar el denominador: 45 ÷ 2 = 2 ×4 5 = 10 =5. 3. Resuelve. a) 4 ÷ 2 = 2 5 5 2 d) 8 ÷ 4 = 9 9 b) 1 ÷ 2 = 1 5 1 e) 3 ÷ 3 = 10 7 h) 7 ÷ 2 = 24 24 j) 3 ÷3= 7 1 7 12 k) 3 ÷ 4 = 3 4 9 16 36 f) 1 ÷ 3 = 1 10 30 i) 1 ÷3= 7 1 21 l) 1 ÷4= 4 1 16 10 5 g) 5 ÷ 2 = 12 c) 1 ÷ 4 = 1 10 102 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 102 1/18/13 11:36 AM 4. Analiza y completa. 2 » Si el numerador de 3 se multiplica por 5, se obtiene una fracción cinco veces mayor: 10 o 3 1 . 3 3 2 » Si el denominador de 3 se multiplica por 5, se obtiene una fracción cinco veces menor: 2 . 15 2 » Si tanto el numerador como el denominador de 3 se multiplican por 5, ¿qué se obtiene? 10 Una fracción equivalente: __ 15 m Compara, con ayuda del profesor, las respuestas que obtuviste en las actividades 1, 3 y 4 con las de tus compañeros. 5. Resuelve los problemas. resolver 3 a) Todas las mañanas, Ernesto da cuatro vueltas en una pista de 1 4 km. ¿Cuántos kilómetros recorre diario? 7 km b) La profesora de dibujo entrega a un equipo de cuatro alumnos cartulina y pide que lo repartan en partes iguales. ¿Qué fracción del pliego le corresponde a cada uno? 2 3 de un pliego de Conoce otra forma para multiplicar y dividir fracciones en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-103 1 6 c) Ana debe entregar un pedido de 20 kg de jamón, pero solamente le queda un paquete 3 de 5 kg y paquetes de 4 kg. 3 ¿Cómo puede completar los 20 kg? Con 20 paquetes de __4 d) Un paquete de diez hojas de papel tiene 3 10 cm de espesor. 3 m ¿Qué espesor tienen 100 hojas? ¿Qué espesor tiene cada hoja? 100 3 cm e) Gonzalo manda un tercio de su sueldo mensual a sus familiares, que viven en Hidalgo. Del resto, la mitad es para los gastos de su casa; de estos, 15 es para pagar la luz. 1 » ¿Qué fracción de su sueldo representa el pago de la luz? 15 » Si paga $160.00 de luz, ¿cuál es el sueldo de Gonzalo? Una pista Representa el sueldo de Gonzalo con un rectángulo y fracciónalo. $2 400.00 f ) Una mezcla de pintura está compuesta por pintura roja, pintura blanca y agua. Las 3 1 pinturas roja y blanca representan juntas 5 de la mezcla. La roja es 4 de esos 35 . ¿Qué fracción de toda la mezcla representa la pintura roja? 3 20 103 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 103 1/18/13 11:36 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Secuencia 4 / lección 40 Vueltas alrededor de un circuito I 1. Un tren da vueltas en un circuito de 60 km. a) ¿Cuántos kilómetros recorrerá después de 2 3 4 vueltas? 165 km b) ¿Cuántos kilómeteos recorrerá luego de 0.25 vueltas? 15 km 2. Calcula los datos que faltan y contesta la pregunta. Vueltas 0.25 2 5 0.5 1 7 8 2 3 2_ 4 3 3.5 5 1 5_ 4 km 15 24 30 60 52.5 120 165 180 210 300 315 Ya sabemos... 0.25 es lo mismo La operación que permite obtener los kilómetros recorridos en cinco vueltas es 5 × 60 km = 300 km. ¿Cuál es la operación para obtener los kilómetros que se recorren en 25 2 __ de vuelta? Í 60 km 25 que ___ o __14 . 100 5 Así como a cinco vueltas le corresponde cinco veces 60 km (5 × 60 km), 2 2 2 a 5 de vuelta le corresponden 5 de 60 km ( 5 × 60 km). 2 2 La acción de obtener 5 de una cantidad también se llama multiplicar por 5 . m Compara, en grupo, los datos de la tabla. Comenten qué significa multiplicar una cantidad 3 por una fracción, por ejemplo, 4 × 100 g. 3. En el recuadro aparecen varias multiplicaciones. a) Subraya cada operación con el color que se indica. Si el resultado es menor que 60. Si el resultado es mayor que 60 pero menor que 120. Si el resultado es mayor que 120. ROJO 2 3 × 60 ROJO0.4 × 60 VERDE 1 1 2 × 60 ROJO 3 4 × 60 VERDE1.5 × 60 AZUL 5 2 × 60 ROJO 2 5 × 60 ROJO0.75 × 60 AZUL2 1 3 × 60 AZUL 7 3 × 60 AZUL2.1 × 60 AZUL2 3 4 × 60 104 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 104 1/18/13 11:36 AM 2 b) Una manera de calcular 3 × 60 es calcular primero luego multiplicar el resultado por 2. 1 3 de 60, dividiendo 60 entre 3, y ¿Se obtiene el mismo resultado si se invierte el orden de esas operaciones, es decir, si primero se multiplica 60 por 2 y luego se divide entre 3? Haz la prueba y anota los resultados en el esquema. ÷3 60 ×2 20 ×2 60 40 ÷3 120 40 c) Resuelve de las dos maneras las multiplicaciones del primer renglón del recuadro anterior. Verifica que se obtenga el mismo resultado. d) Resuelve las multiplicaciones del segundo renglón. Recuerda que multiplicar por 0.4 y 4 por 10 es lo mismo. e) Resuelve las multiplicaciones del tercer renglón. Recuerda que para multiplicar 60 1 por 2 3 se puede multiplicar 60 por 2, después 60 por 13 , y, finalmente, sumar ambos resultados. Multiplicar 60 × 5 equivale a sumar cinco veces 60. 3 3 Multiplicar 60 × 4 equivale a obtener 4 de 60. 75 Multiplicar 60 × 0.75 equivale a obtener 100 de 60. m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 4. Encuentra el número que falta. Si el número no es entero, usa fracciones. a) 5 d) g) 1 2 2 3 × 60 = 300 b) × 60 = 30 e) × 60 = 40 h) 4 3 1 3 1 10 × 60 = 80 c) 1 × 60 = 60 × 60 = 20 f) × 60 = 10 × 60 = 6 i) 1 6 1 60 × 60 = 1 Observa que… » multiplicar por 1 es lo mismo que dividir entre 2. 2 » multiplicar no siempre es agrandar. 105 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 105 1/18/13 11:36 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. resolver Secuencia 4 / lección 41 Vueltas alrededor de un circuito II 2 1. Un tren viaja en un circuito de 5 de km. a) Si da diez vueltas, ¿cuántos kilómetros recorre? Cuatro. 1 5 1 10 1 b) Si da 2 de vuelta, ¿cuántos kilómetros recorre? 1 c) Si da 4 de vuelta, ¿cuántos kilómetros recorre? técnicas Vueltas d) La tabla de la derecha muestra una manera de 2 1 calcular 4 de 5 , que consiste en dividir 2 entre 2, 5 (÷2) 2 e) Si el tren viaja 4 3 vueltas, ¿cuántos kilómetros recorre? 1 13 15 f ) La tabla de la derecha muestra una manera de 2 2 2 5 1 2 1 5 1 4 1 10 Vueltas km calcular 3 de 5 : se calcula 3 de 5 , es decir, 2 5 se divide entre 3. Escribe lo que falta. (×2) 2 5 1 3 2 15 2 3 (÷2) (÷2) 1 (÷3) 2 1 1 (÷2) dos veces. Anota lo que falta. km (÷3) (×2) 4 15 Recuerda que para dividir una fracción entre un número n se puede dividir su numerador entre n, o bien, multiplicar su denominador por n. 3 2. El circuito del tren ahora mide 4 km. a) Anota los datos que faltan. Vueltas 1 4 1 3 1 2 2 3 1 1 2 3 2 Km 3 16 1 4 3 8 1 2 3 4 5 4 3 2 2 2 3 4 1 53 2 3 4 106 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 106 1/18/13 11:36 AM 4 2 técnicas b) Completa la técnica para calcular 7 de 5 km. Observa que Paso 1 Paso 2 2 1 Calcular 7 de 5 Multiplicar el resultado anterior por 4 Esto se hace así: Esto se hace así: 1 2 x_ 2 = 5 7 35 2 x 8 4= 35 35 4 2 (4 × 2) 8 de = _ = . 7 5 (7 × 5) 35 Es decir, para encontrar el resultado de una fracción de fracción basta multiplicar entre sí tanto los numeradores como los denominadores. c) Verifica los resultados de la tabla anterior mediante la técnica de multiplicar entre sí los numeradores y los denominadores. validar Para calcular a cuánto equivalen cinco vueltas de 60 km cada una, se multiplica 5 × 60 km = 300 km. 4 2 Para calcular a cuánto equivalen de vuelta de km cada una, también se multiplica 7 5 4 2 4 × 2 = 8 km. × = _ 7 5 7 × 5 35 Es decir, obtener una fracción de fracción también es multiplicar. En las lecciones del bloque siguiente continuarás estudiando la multiplicación y la división de fracciones y decimales. 3. Resuelve y simplifica. 2 1 a) 3 × 2 = 1 3 1 b) 4 × 6 = 1 1 1 e) 10 × 2 = 1 f) 5 × 4 = 1 3 20 m 3 1 c) 10 × 3 = 1 8 4 10 3 5 10 g) 10 × 3 = 1 5 2 d) 12 × 5 = 1 6 3 4 h) 4 × 3 = 1 Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de multiplicación y división de fracciones. Compara, con ayuda del profesor, tus resultados con los del grupo. Averigüen cómo se resuelven las siguientes multiplicaciones de fracciones mixtas. 2 1 a) 2 3 × 2 = 4 3 3 1 b) 5 4 × 2 6 = 299 24 107 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 107 1/18/13 11:36 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Secuencia 4 / lección 42 ¿Qué número multiplicado por 2 da 3? 1. Traza en una hoja una línea de 20 cm y divídela en tres segmentos iguales. a) ¿Cuánto mide cada segmento? 6.6666... b) Multiplica por 3 la medida que encontraste y verifica que obtengas los 20 cm. ¿Alguien encontró una medida que, multiplicada por 3, dé exactamente 20 cm? Si no la encontraron, en grupo, inténtenlo expresando la medida con una fracción. Anótenla. m 20 cm ÷ 3 = resolver 20 3 2. Algunos robots que se fabrican en un taller dan pasos grandes y otros dan pasos pequeños. Los pasos se miden con una unidad llamada “vara”. a) Un robot avanza una vara en 5 pasos. ¿Qué fracción avanza en cada paso? 1 5 b) Calcula y anota en la tabla el tamaño de los pasos de otros robots. Verifica los resultados multiplicándolos por 5 y comparando la distancia que cada robot recorrió en 5 pasos. Robot Distancia que avanza en 5 pasos RA 1 vara RB 2 varas RC 5 varas RD 14 varas RE 15 varas Tamaño de un paso 1 5 de vara 2 5 de vara 1 vara 14 5 15 5 Verificación 5× 1 5 = 1 5× 2 5 = 2 = 5 = 14 = 15 5× 5× de vara 5× de vara 1 14 5 15 5 7 c) De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es el resultado de dividir 7 varas entre 5? __ de vara 5 técnicas d) La siguiente es una forma de dividir 7 varas entre 5. El resultado de dividir una vara entre 5 es 1 de vara. 5 Si en vez de dividir una vara entre 5, se dividen siete varas entre 5, el resultado será siete veces mayor, es decir, siete veces 1 de vara. 5 7 2 Por tanto, el resultado de dividir siete varas entre 5 es igual a 5 de vara o 1 . 5 3. Encuentra los cocientes usando fracciones. 108 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 108 a) 3 varas entre 4 = 3 b) 6 varas entre 4 = 3 c) 5 varas entre 6 = 5 4 d) 5 varas entre 3 = 5 3 2 e) 10 varas entre 8 = 5 4 f ) 30 varas entre 8 = 15 6 4 1/18/13 11:36 AM 4. Cada sábado, María lleva barritas de chocolate a sus nueve sobrinos y les pide que las repartan en pedazos iguales. a) Anota en la tabla cuánto le corresponde a cada sobrino. Total de barritas A cada sobrino le corresponde… Sábado 2 1 1 9 9× Sábado 9 3 1 3 9× Sábado 16 5 5 9 9× Sábado 23 7 7 9 Sábado 30 8 8 9 Verificación 1 9 División =1 1÷ 9= 1 9 =3 3÷ 9= 1 3 5 9 =5 5÷ 9= 5 9 9× 7 9 =7 7÷ 9= 7 9 9× 8 9 =8 8÷ 9= 8 9 1 3 b) Completa las oraciones. » Si una barrita se reparte entre nueve niños, a cada uno le corresponde 1 9 m 9 » Si m barritas se reparten entre nueve niños, a cada uno le corresponde 1 n » Si una barrita se reparte entre n niños, a cada uno le corresponde » Si m barritas se reparten entre n niños, a cada uno le corresponde Observa que el resultado de dividir m unidades entre n es la fracción m n m de unidad. n 5. Resuelve usando fracciones. a) 2 × e) 10 × 1 2 =1 3 10 =3 b) 5 × 2 5 f ) 100 × 3 100 =2 =3 c) 3 × 2 3 g) 2 ÷ 5 = 1 4 =2 d) 4 × 2 5 h) 3 ÷ 4 = =1 3 4 6. Resuelve con números decimales. Puedes usar calculadora. a) 2 × e) 10 × m 0.5 0.3 =1 =3 b) 5 × 0.4 f ) 100 × 0.03 =2 =3 c) 3 × 0.666 = 2 d) 4 × g) 2 ÷ 5 = h) 3 ÷ 4 = 0.4 =1 0.25 Ya sabemos… Dados dos números diferentes de 0, siempre existe un tercer número que multiplicado por uno de los números da el otro. 0.75 Compara los resultados de las actividades 4, 5 y 6 con tus compañeros. Comenten lo siguiente: ¿qué fracción de barrita multiplicada por 2 es igual a tres barritas? 109 S-CNCT_M1_B2_100-109.indd 109 1/18/13 11:36 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. resolver Secuencia 5 / lección 43 A la misma distancia I Se decidió construir una estación de tren a la misma distancia de dos pueblos. ¿Cómo localizarías ese lugar? Al estudiar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo podrás resolver problemas como este. 1. Los puntos negros representan las casas de Fernando (F) y de Luisa (L). Se construirá un pozo a la misma distancia de ambas. El punto azul es una de sus posibles ubicaciones. Marca otros cinco puntos en los que también podría construirse. L P F a) Traza una recta que pase por los cinco puntos. Si no puedes trazarla, rectifícalos. Ya sabemos… Como divide al segmento FL en dos partes iguales, P es su punto medio. b) Traza el segmento que une los puntos negros. Este es el segmento FL. La recta que trazaste en el inciso a) corta al segmento FL en un punto. Llámale P. c) Mide los segmentos. FP = 3.1 cm LP = 3.1 cm d) ¿Cuánto miden los ángulos que forman el segmento FL y la recta que trazaste? o 90 e) Por formar esos ángulos, ¿cómo son entre sí el segmento y la recta? Perpendiculares. La recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él se llama mediatriz del segmento. 110 S-CNCT_M1_B2_110-115.indd 110 1/18/13 11:36 AM 2. En la actividad anterior trazaste la mediatriz del segmento FL. Esa recta pasa por los cinco puntos que habías marcado. Marca otros tres puntos. a) ¿Estos puntos están a la misma distancia de F y de L? Sí. Practica cómo se traza la mediatriz de un segmento en… A www.e-sm.com.mx/ SCM1-111 b) Verifica tu respuesta. c) La recta azul es la mediatriz de AB. » Marca cinco puntos sobre la recta. » Mide su distancia a los extremos del segmento. » Verifica que estas distancias sean iguales. B Los puntos que pertenecen a la mediatriz de un segmento están a la misma distancia de los extremos de este. m Comenta, en el grupo, tus respuestas de las actividades 1 y 2. 3. Lee el siguiente procedimiento para trazar la mediatriz de un segmento. a) Abre tu compás a una medida mayor que la mitad del segmento. técnicas b) Apoya el compás en un extremo del segmento y traza un arco arriba y abajo. Este procedimiento también es útil para trazar figuras geométricas. ¿Cómo lo usarías para trazar un triángulo con dos lados iguales y uno diferente? ¿Y para uno con tres lados iguales? c) Apoya el compás en el otro extremo del segmento y traza dos arcos que corten los anteriores. d) Une los puntos de corte. Esa recta es la mediatriz. 4. Traza en tu cuaderno cuatro segmentos diferentes y, con el procedimiento descrito, marca sus mediatrices. 111 S-CNCT_M1_B2_110-115.indd 111 1/18/13 11:37 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. Secuencia 5 / lección 44 A la misma distancia II 1. Se colocará una señal a la misma distancia de dos vías férreas que se cruzan. a) El punto rojo es una posible ubicación para la señal. Marca otras cinco posibilidades. resolver R. P. b) Traza una recta que pase por los cinco puntos y prolóngala hasta el vértice del ángulo. Si no es posible hacerlo, rectifica los puntos. c) Al trazar la recta, el ángulo quedó dividido en dos ángulos iguales. Usa tu transportador y completa la tabla. Medida del ángulo inicial 40 Medida de los ángulos en que quedó dividido 20 o o La línea que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales se llama bisectriz del ángulo. 2. En la actividad anterior trazaste la bisectriz del ángulo que forman las vías. Esa recta pasa por los cinco puntos que habías marcado. Marca otros tres puntos. a) ¿Estos puntos están a la misma distancia de las vías? Sí. b) Verifica tu respuesta. Recuerda que para medir la distancia de un punto a una recta se usa la escuadra. Practica el trazo de la bisectriz de un ángulo en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-112 112 S-CNCT_M1_B2_110-115.indd 112 1/18/13 11:37 AM B c) La recta roja es la bisectriz del ángulo A. R. P. A C » Marca cinco puntos sobre la bisectriz y mide sus distancias a los lados del ángulo. Verifica que sean iguales. Los puntos que pertenecen a la bisectriz de un ángulo están a la misma distancia de sus lados. m Comenta con tus compañeros las respuestas de las actividades 1 y 2. Escriban en sus cuadernos la propiedad que cumplen los puntos de una bisectriz e ilústrenla. R. P. técnicas 3. Lee el siguiente procedimiento para trazar la bisectriz de un ángulo. a) Abre el compás a una medida b) Apoya el compás en M y traza un arco arbitraria y, con el centro en el vértice hacia el lado opuesto a V. (V), traza dos arcos que corten los N lados del ángulo. Los puntos de corte son M y N. V M N V M c) Con la misma abertura, y apoyando el compás en N, traza otro arco que corte al anterior. El punto de corte es P. d) Une V y P. Esa línea es la bisectriz. N P V N M P V Este procedimiento también es útil para trazar figuras geométricas. ¿Cómo lo usarías para trazar un rombo de 8 cm de lado y cuyo ángulo agudo mida 60°? M 4. Traza en tu cuaderno cuatro ángulos diferentes y, con el procedimiento descrito, traza la bisectriz de cada uno. 113 S-CNCT_M1_B2_110-115.indd 113 1/18/13 11:37 AM contenido BLOQUE 2 Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. Secuencia 5 / lección 45 Mediatrices y bisectrices 1. Traza tres triángulos isósceles distintos en los que el segmento MN sea el lado desigual. R. P. M N 2. Traza tres rombos distintos en los que su diagonal mayor sea el segmento PQ. Q P 3. Traza una bisectriz en cada polígono. a) ¿En qué polígonos la bisectriz es mediatriz de un lado? Pentágono y heptágono. b) ¿Qué tienen en común estos polígonos? Tienen un número impar de lados. c) Si se trazara una bisectriz de un polígono regular de 35 lados, ¿esa bisectriz sería media- validar triz de un lado? Sí. ¿Cómo lo sabes? R. P. d) ¿Pasaría lo mismo si el polígono fuera irregular? Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de mediatriz y bisectriz. No necesariamente. Traza un polígono regular en tu cuaderno y ejemplifica tu respuesta. m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 114 S-CNCT_M1_B2_110-115.indd 114 1/18/13 11:37 AM 4. La recta anaranjada representa una vía férrea y los puntos, dos poblados. Se construirá una estación de tren a la misma distancia de ambos. Ubica con un punto el lugar donde podría construirse la estación. Una pista Recuerda las características de la mediatriz y la bisectriz. R. P. Debe estar sobre la mediatriz. 5. Ana quiere poner un negocio a la misma distancia de las avenidas Mariano Escobedo, Melchor Ocampo y Eje 3 Poniente. Señala el lugar adecuado. Señala también dónde debería estar si lo quisiera a la misma distancia de los cruces de estas avenidas. resolver Convivimos Ejé rcit o EJ E3 Nac ion al M exi ca no PT E Ante una tarea matemática, piensa que eres libre de probar diferentes maneras de resolverla. Por lo general no hay una sola que lleve a la respuesta correcta. rg be Guten . Calz l. M Gra am po Oc or lch Me Ca lz. o bed sco no E aria Museo Rufino Tamayo 115 S-CNCT_M1_B2_110-115.indd 115 1/18/13 11:37 AM contenido BLOQUE 2 Justifica las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. Secuencia 6 / lección 46 Unas fórmulas se originan en otras ¿Te has preguntado de dónde salen las fórmulas para calcular perímetros y áreas? ¿Por qué una fórmula puede servir para diferentes figuras? En esta secuencia estudiarás estos aspectos y verás por qué sabiendo una puedes conocer otras. 1. La fórmula para calcular el área de las siguientes figuras es la misma. Explica por qué. h A = bh Ya sabemos… Una figura se puede transformar en otra, conservando su superficie. h A = bh b b R. T. Las piezas del rectángulo pueden reacomodarse para formar el romboide y viceversa. m Compara tu explicación con la de tus compañeros. Si no coinciden, verifiquen quiénes tienen razón. 2. Divide el rectángulo y el romboide en dos partes iguales mediante una diagonal. a) ¿En qué figuras quedaron divididas? Triángulos. b) ¿Qué parte del área de cada figura ocupan? La mitad. c) Tanto la base del rectángulo como la del romboide miden b, y las alturas, h. ¿Cuánto miden la base y la altura de los triángulos que se formaron? Triángulos en el rectángulo Base = b Altura = h Altura = h Triángulos en el romboide Base = b d) Considerando que las áreas del rectángulo y del romboide se calculan multiplicando bh base por altura (A = bh), ¿cómo se determina el área de un triángulo? _ 2 ¿Por qué? Porque es la mitad de un paralelogramo. m Analiza, en grupo y con ayuda del profesor, tus respuestas. 116 S-CNCT_M1_B2_116-119.indd 116 1/18/13 11:38 AM técnicas 3. Estas figuras son polígonos regulares. a) Divide cada polígono en triángulos iguales. El centro del polígono debe ser el vértice común de los triángulos, y estos deben ser tantos como los lados del polígono. b) Si el área de un triángulo se calcula multiplicando base por altura y dividiendo el resulbh tado entre 2 (A = __ ), ¿cómo se determina el área de un hexágono regular? 2 Ya sabemos… Un polígono regular es una figura que tiene lados y ángulos iguales. bh A=6x_ 2 c) ¿Cómo se calcula el área de un octágono regular? bh A=8x_ 2 d) ¿Cómo se obtiene el área de un polígono regular de 25 lados? ¿Puedes identificar el perímetro del octágono en esta fórmula? bh . ¿Y la A = 8 × __ 2 apotema? bh A = 25 x _ 2 e) ¿Cómo se calcula el área de un polígono regular de n lados? A = n x bh/2 La fórmula para calcular el área de un polígono regular es Pa ). La apoteárea igual a perímetro por apotema entre dos, (A = __ 2 ma tiene la misma medida que la altura de uno de los triángulos en que se divide el polígono. apotema 4. Calcula el área de un octágono regular de la medida que quieras con las fórmulas Pa bh y A = 8 × __ (base por altura entre 2, que es el área del triángulo, por 8, puesto A = __ 2 2 que el octágono se divide en 8 triángulos). Verifica en tu cuaderno que los resultados sean iguales en las dos fórmulas. R. P. resolver 117 S-CNCT_M1_B2_116-119.indd 117 1/18/13 11:38 AM contenido BLOQUE 2 Secuencia 6 / lección 47 La mitad del doble Justifica las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. 1. Esta figura es un romboide formado por dos trapecios iguales. b c a a) Expresa con letras las medidas. » » » » m b c » Altura del romboide » Área del romboide (a + b)c (a + b)c » Área del trapecio _ a Base mayor del trapecio b Base menor del trapecio c Altura del trapecio Base del romboide a + b 2 Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si no coinciden, verifiquen quiénes tienen razón. Comenten la siguiente información. La fórmula para calcular el área de un trapecio es base mayor más base menor por altura entre 2: (B + b) h . A = ______ 2 2. También se puede obtener la fórmula para el área del trapecio con un corte en este, paralelo a las bases y a la mitad de la altura, y la unión de las partes. b h h _ 2 B B b a) Encuentra las medidas del romboide con base en las medidas del trapecio. ¿Es cierto que (B + b) (h) _______ = (B + b)(__h2 )? 2 Compruébalo asignando valores a B, b y h. » Base del romboide B+b b) ¿Cuál es el área del romboide? c) ¿Cuál es el área del trapecio? » Altura del romboide h _ 2 (B + b)h _ 2 (B + b)h _ 2 118 S-CNCT_M1_B2_116-119.indd 118 1/18/13 11:38 AM 3. Observa la figura y responde las preguntas. resolver B A a) ¿Qué fórmula conoces para calcular el área de un cuadrado? Lado por lado. b) Si la unidad de medida es un cuadrito, ¿cuál es el área de A? 16 cuadritos. c) ¿Cuál es el área de B? 32 cuadritos. d) Observa que un lado de B mide lo mismo que la diagonal de A y su área es el doble. m Expresa, en grupo, a partir de las observaciones anteriores, otra fórmula para calcular el área (Diagonal x Diagonal) del cuadrado y anótala. __ 2 4. El rombo y el cuadrado tienen cuatro lados iguales. Difieren en que el cuadrado siempre tiene cuatro ángulos rectos y el rombo puede tener dos ángulos agudos y dos obtusos. A B C D por d D por d entre dos Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de área de polígonos. D d a) ¿Cuánto miden las diagonales del rombo A? d = 4 D= 6 b) Al multiplicar D por d se obtiene el área de un rectángulo cuyo largo es D y su ancho, d. ¿Qué relación hay entre el área del rectángulo y el área del rombo? El área del rombo es la mitad de la del rectángulo. c) ¿Cómo se calcula el área de un rombo con base en sus diagonales? Dxd _ 2 119 S-CNCT_M1_B2_116-119.indd 119 1/18/13 11:38 AM contenido BLOQUE 2 Identifica y resuelve situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. Secuencia 7 / lección 48 Banderas a escala Si se amplifica un dibujo de manera que un lado de 6 unidades mida 9, ¿cuánto medirá un lado de 4 unidades? 1. Luis hará seis copias a escala de la bandera de la derecha. Considera la tabla para contestar las preguntas. No calcules todavía las medidas. resolver a a) ¿Qué copias serán más grandes que la original? c Las copias 1, 2, 4 y 5. e b) ¿Cuál será la copia más grande? Observa representaciones a escala de objetos reales en… b d La copia 4. m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. www.e-sm.com.mx/ SCM1-120 Bandera original Copia 1 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5 Copia 6 Lado a 6 12 15 3 18 9 4.5 Lado b 6 12 15 3 18 9 4.5 Lado c 4 8 10 2 12 6 3 Lado d 8 16 20 4 24 12 6 Lado e 12 24 30 6 36 18 9 2. Indica si las afirmaciones son correctas o incorrectas y explica tus respuestas. Afirmación 1: Las medidas de la copia 1 se obtienen multiplicando por 2 las de la original. R. T. Es correcta, pues los lados de la copia miden el doble que los de la original. Afirmación 2: Las medidas de la copia 5 se obtienen sumando 3 unidades a las de la original. R. T. Es incorrecta: 4 + 3 = 7, pero el lado c de la copia 5 mide 6 unidades. validar a) Si las dos afirmaciones fueran correctas, ¿cuánto medirían los lados de las copias 1 y 5? Copia 1. Lado a: 12 Lado b: 12 Lado c: 8 Lado d: 16 Lado e: 24 Copia 5. Lado a: 9 Lado b: 9 Lado c: 7 Lado d: 11 Lado e: 15 b) Dibuja en papel cuadriculado las copias 1 y 5. c) ¿Cómo quedaron? Registra tus observaciones en tu cuaderno. 120 S-CNCT_M1_B2_120-125.indd 120 1/18/13 11:39 AM 3. Las medidas de la copia 5 no se obtienen sumando 3 a las de la original. a) ¿Cómo se obtienen y cuáles son? 3 R. T. Multiplicando por __2 las medidas de la figura original. Lado a: 9 Lado b: 9 Lado c: 6 Lado d: 12 Lado e: 18 validar b) Dibuja en papel cuadriculado la copia 5 con las medidas que encontraste. » La bandera original es un cuadrado. ¿Ocurre lo mismo en tu copia? Sí. » En la bandera original, e es igual a la suma de c y d. ¿Esto ocurre en tu copia? Sí. » Si tu copia 5 no cumple con las características anteriores, averigua, en grupo, dónde está el error. 4. El lado b mide 6 unidades en la bandera original y 9 en la copia 5. Si c mide 4 unidades en la original, ¿cuánto debe medir en la copia 5? 6 a) En la tabla de la derecha hay un procedimiento para calcular la medida de c en la copia 5. Encuentra lo que falta y compara el resultado con el que habías obtenido. Dibujo original ÷6 ×4 Copia 5 6 9 1 1.5 — 4 6 — - técnicas ÷6 ×4 5. Anota en la tabla el número de unidades que corresponde en cada copia a una sola unidad de la original. Bandera original Copia 1 Copia 2 Copia 3 1 2 5 o 2.5 2 1 o 0.5 2 Copia 4 Copia 5 Copia 6 3 1 __12 o 1.5 3 o 0.75 4 6. Calcula las medidas de las seis copias, anótalas en la tabla de la actividad 1 y dibuja las copias en papel cuadriculado. m Compara tus copias con las de tus compañeros. Verifiquen las anticipaciones que hicieron en la actividad 1. 121 S-CNCT_M1_B2_120-125.indd 121 1/18/13 11:39 AM contenido BLOQUE 2 Identifica y resuelve situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. Secuencia 7 / lección 49 Más del doble pero menos del triple 1. Escribe las medidas que calculaste en la lección anterior. Lado a Lado b Lado c Lado d Bandera original Copia 1 1 2 6 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5 Copia 6 2.5 0.5 3 1.5 0.75 0.25 15 3 18 9 4.5 1.5 12 15 3 l8 4.5 1.5 8 10 2 6 3 1 24 12 6 2 36 18 12 6 9 4 12 8 20 4 16 Lado e 12 6 24 30 9 3 2. Contesta las preguntas. a) ¿En qué copia los lados miden el doble que los de la bandera original? Copia 1 ¿Cuál es su factor de escala? b) ¿En qué copia los lados miden el triple que los de la original? 2 Copia 4 ¿Cuál es su factor de escala? c) ¿Qué copia está entre las dos anteriores? Es decir, ¿cuál es mayor que una pero menor que la otra? 3 Copia 2 d) Los lados de esta última copia miden más del doble que los de la original, pero menos del triple. Por tanto, el factor de escala agranda más del doble pero menos del triple. ¿Cuál es ese factor? 2 1 2 En la copia 2, a cada unidad del dibujo original le corresponden 2 __12 unidades: 1➝ 2 __12 . Entonces, el factor de escala de la copia es 2 __12 o 2.5. 122 S-CNCT_M1_B2_120-125.indd 122 1/18/13 11:39 AM m resolver Verifica en grupo. Puedes usar calculadora. a) Cada medida de la copia 2 es 2 __12 veces la medida correspondiente de la original. b) Cada medida de la copia 2 es igual a la medida correspondiente de la original por 2.5. 3. ¿Cuáles son los factores de escala de las otras copias? Anótalos en la primera fila de la tabla de la página anterior. 4. El factor de escala de una nueva copia (copia 7) es 0.25. Anótalo en la columna vacía de la tabla anterior. Ya sabemos… Recuerda: dividir entre n equivale a multipli1 car por __ n. a) ¿La copia 7 es mayor, menor o igual que la bandera original? Menor. b) ¿Cuánto mide en la copia 7 el lado que en la original mide 6 unidades? A continuación hay dos caminos para calcularlo: complétalos. Camino 1: como el factor de escala es 0.25, a cada unidad de la original le corresponden 0.25 unidades en la copia. Entonces… Camino 2: como el factor de escala es 0.25, 25 todas las medidas de la copia son ___ de las 100 originales, es decir, __14 de las originales. 1 ➞ 0.25 6 ➞ 6 veces 0.25 = técnicas Por tanto, el lado de 6 unidades en la bandera original medirá, en la copia, __41 de 6 uni- 1.5 dades, es decir, 1.5 unidades. c) Calcula las demás medidas de la copia 7 y anótalas en la tabla. 5. Ordena los factores de escala, desde el de la copia más pequeña hasta el de la más grande. m × 1.2 × 1.19 × 0.8 × 0.75 ×2 ×3 2 ×_ 3 7 ×_ 4 2 _ 3 0.75 0.8 1.19 1.2 7 4 2 3 Compara, con ayuda del profesor, tus resultados de las actividades 3, 4 y 5 con los de tus compañeros. Si un factor de escala es, por ejemplo, __74 , entonces… » a cada unidad de la figura original le corresponden __74 de unidad en la copia; » cualquier medida de la copia equivale a __74 de la medida original. 123 S-CNCT_M1_B2_120-125.indd 123 1/18/13 11:39 AM contenido BLOQUE 2 Secuencia 7 / lección 50 La casita a escala Identifica y resuelve situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. 1. Se harán cinco copias a escala del dibujo que aparece a la izquierda. En la tabla se indican varias medidas del original y una medida de cada copia. Antes de calcular las medidas que faltan, contesta las preguntas. Argumenta tus respuestas. a) ¿Qué copia será la más pequeña? Copia 5. ¿Cómo lo sabes? R. P. b) ¿Qué copia será la más grande? Copia 1. ¿Cómo lo sabes? R. P. d f e c c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles? 2 y 4 a b ¿Por qué? R. P. 3 __ 1 __ 1 __ 2 __ 1 __ Dibujo original Copia 1 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5 Lado a 4 3 2 1.33 2 0.8 Lado b 10 7.5 5 3.33 5 2 4.5 3 2 3 1.2 0.4 1 4 m 2 3 4 Lado c 6 Lado d 2 1.5 1 0.66 1 Lado e 5 3.75 2.5 1.66 2.5 5 Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Expliquen sus razones en cada caso. No es necesario que lleguen a acuerdos. Más adelante podrán verificar. 2. Efectúa lo que se pide. a) Calcula las medidas de la copia 1 y anótalas con lápiz en la tabla. b) A continuación, se indican tres relaciones que cumplen las medidas del dibujo original. Anota “sí” o “no” para indicar si en las medidas que calculaste para la copia 1 se verifican esas relaciones. Si no se verifica alguna, hay un error. » ¿El lado a mide lo doble que el lado d? Sí. » ¿El lado c mide lo triple que el lado d? Sí. » ¿El lado b mide lo doble que el lado e? Sí. 124 S-CNCT_M1_B2_120-125.indd 124 1/18/13 11:39 AM Dibujo original c) El lado a mide 4 unidades en el dibujo original y 3 en la copia 1. Si el lado b mide 10 unidades en el original, ¿cuánto mide en la copia 1? Responde en tu cuaderno. ÷4 » Completa los datos que faltan en la tabla y compara el resultado con la medida del lado b que encontraste. Copia 1 3 4 × 10 1 3 5 — 10 7.5 - ÷4 × 10 — d) Dado que a cada unidad del original le corresponden en la copia __34 de unidad, el factor de escala es __34 . Anótalo en la primera fila de la tabla, en la columna que corresponde a la copia 1. » Verifica las medidas de los demás lados y corrígelas si es necesario. » Verifica que se cumplan las relaciones del inciso b). e) Calcula las medidas de las demás copias y anótalas en la tabla. Verifica que se cumplan las relaciones del inciso b). Anota también los factores de escala que corresponden a cada copia. Practica la proporcionalidad en los dibujos a escala en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-125 3. Efectúa lo siguiente con ayuda de tu profesor. a) Compara las medidas y factores que anotaste en la tabla con los de tus compañeros. b) Verifica si acertaste en cuál iba a ser la copia menor y cuál la copia mayor. 4. En la tabla de abajo se indican las medidas del dibujo de la derecha y algunas de cinco copias a escala. Contesta las preguntas antes de calcular los datos y justifica tus respuestas. a) ¿Qué copia será la más pequeña? La copia 2. b) ¿Qué copia será la más grande? Copia 3. e c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles son? d a 4y5 b d) Calcula los datos que faltan. Dibujo original Copia 1 Copia 2 4 6.66 Lado a 3 Lado b 5 Lado c 1 Lado d 4 Lado e 2 1.33 5.33 2.66 Copia 3 Copia 4 3.6 6 4.5 4.5 6 10 7.5 7.5 1.2 2 1.5 1.5 4.8 8 6 2.4 4 3 c Copia 5 6 3 125 S-CNCT_M1_B2_120-125.indd 125 1/18/13 11:39 AM Las matemáticas en... Los números primos Desde la Antigüedad, los matemáticos han estudiado los números primos y han logrado demostrar algunas de sus propiedades. Sin embargo, aún hay muchas preguntas sin respuestas. Aquí te presentamos algunas de ellas. En la antigua Grecia, el matemático Euclides demostró que “hay una cantidad infinita de números primos” o, dicho en otras palabras, “no hay un número primo que sea el más grande de todos”. Todavía no se ha descubierto un método para encontrar fácilmente números primos muy grandes. Euclides enseñando geometría a sus alumnos R. T. Escribe en cada inciso un número primo más grande que el que está escrito. a) 7 > 5 b) 19 > 13 c) 79 > 53 d) 47 > 31 e) 79 > 41 Los números primos, son, en cierta forma, los “ladrillos” o “componentes más básicos” de los números, pues cualquier número natural puede escribirse como una multiplicación de números primos, por ejemplo: 15 = 5 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 70 = 2 × 5 × 7 164 = 2 × 2 × 41 813 = 3 × 271 Escribe los siguientes números como multiplicación de números primos. a) 32 = b) 78 = 2 x 3 x 13 2x2x2x2x2 c) 192 = d) 18 = 2 x 3 x 3 e) 69 = 3 x 23 2x2x2x2x2x2x3 Los matemáticos también se han preguntado, al respecto de los números primos, qué tan cerca pueden estar dos de ellos y cuántos hay a la misma distancia. Los primos 2 y 3 distan una unidad, es decir, están lo más cerca posible. Los primos 3 y 5 distan dos unidades; son llamados primos gemelos; 11 y 13 también son primos gemelos. ¿Hay otros dos números primos que disten una unidad? Explica tu respuesta. R. T. No, porque el 2 es el único par. Escribe cinco parejas de primos gemelos. (5, 7), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) Se considera que hay una cantidad infinita de primos gemelos; sin embargo, hasta ahora no se ha demostrado que así sea. 126 S-CNCT_M1_B2_126-131.indd 126 1/18/13 11:40 AM Muchos números pares mayores que 2 se pueden escribir como suma de dos números primos, por ejemplo: 8=5+3 24 = 13 + 11 48 = 31 + 17 100 = 83 + 17 Escribe los siguientes números como suma de dos números primos. a) 18 = 15 + 3 b) 28 = c) 30 = 17 + 11 d) 90 = 23 + 7 29 + 61 e) 56 = 43 + 13 Muchos matemáticos han tratado de demostrar que “cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos primos”, pero nadie ha podido. Durante mucho tiempo algunas personas creyeron que encontrar primos cada vez más grandes era una mera “ociosidad de los matemáticos”, pero en el siglo xx se descubrió que los números primos grandes resultan muy útiles para enviar mensajes secretos. La idea se basa en que con dos números primos grandes es fácil crear un número compuesto grande (basta con multiplicarlos). Multiplica estos números primos. 5 × 11 = 55 13 × 17 = 221 11 × 7 = 77 23 × 7 = 161 19 × 29 = 551 Pero el camino de regreso es diferente: es muy difícil escribir un número compuesto muy grande como multiplicación de números primos. Encuentra los dos números primos que, multiplicados, dan como resultado los números que se indican. 11 × 31 = 341 7 × 13 = 91 31 × 7 = 217 17 × 15 = 85 29 × 31 = 899 Multiplica dos números primos menores que 20 y di a tus compañeros el resultado. Ahora pregúntales qué primos multiplicaste. ¿Cuánto tiempo tardaron en responder? R. P. Actualmente, la seguridad de muchos datos bancarios depende de los números primos. Hay compañías que ofrecen un premio a las personas que encuentren números primos cada vez más grandes. Quizás, en el futuro comprobar si cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos, o saber cuántos primos gemelos hay, resulte ser más que una simple “ociosidad matemática”. 127 S-CNCT_M1_B2_126-131.indd 127 1/18/13 11:40 AM Evaluación (TIPO ENLACE) BLOQUE 2 Selecciona la opción correcta. 1. ¿Qué número es divisible entre 3? a) 1111 b) 11111111111 c) 111111111111 d) 1111111111111 2. En una papelería se venden cajas de lápices con doce unidades y cajas de borradores con diez unidades. Una persona quiere comprar la misma cantidad de lápices y borradores gastando lo menos posible. ¿Cuántos lápices debe comprar? a) 120 b) 112 c) 60 d) 22 3 3. A un listón que mide 91.44 cm se le corta un pedazo de _ m. ¿Cuánto listón sobra? 4 a) 90.69 cm b) 83.94 cm c) 25 cm d) 16.44 cm 4. El aire está compuesto de varios elementos químicos, de los cuales __43 son nitrógeno; __51 , oxígeno; y el resto, otros componentes. ¿Qué parte corresponde a otros componentes? 1 a) _ 20 4 b) _ 9 5 c) _ 9 19 d) _ 20 5. Dos litros y medio de leche se reparten en vasos de __52 l. ¿Cuántos vasos se llenan y cuánto sobra? 1 l. a) Cinco vasos y sobra _ 5 4 l. c) Siete vasos y sobra _ 5 1 l. b) Seis vasos y sobra _ 10 1 l. d) Ocho vasos y sobra _ 4 6. En el diagrama, L es la mediatriz del segmento AB. ¿Qué podemos asegurar acerca del triángulo ABC? a) El triángulo ABC es equilátero (sus tres lados miden lo mismo). b) El triángulo ABC es isósceles (dos de sus lados miden lo mismo). c) El triángulo ABC es escaleno (sus tres lados tienen medidas distintas). C A L B d) El triángulo ABC es rectángulo (uno de sus ángulos es recto). 128 S-CNCT_M1_B2_126-131.indd 128 1/18/13 11:40 AM 7. Observa la figura ABCDEF: es un hexágono regular cuyo centro es O. Identifica la opción para calcuar el área del cuadrilátero ABCF . E 57.9 a) (_) × 3 4.72 D 4.72 b) 57.9 × 3 Area = 57.9 F C c) 4.72 × 3 57.9 d) (_) × 3 2 B A 8. Se quiere reducir una figura de manera que el lado AB, que mide 5 cm en la figura original, mida 4 cm. ¿Con qué operación se calculan las medidas de la figura a escala? a) Restar 1 a cada medida original. F b) Restar 2 a cada medida original. D 2 cm 1 E 3 cm C 4 cm 3 cm 4 cada medida original. c ) Multiplicar por _ 5 5 _ d) Multiplicar por cada medida original. 4 5 cm A G B H 1 cm 1 cm 9. Anota en los recuadros la base y la altura del rectángulo usando las medidas D y d de la primera figura. Después expresa el área del rectángulo. D d D __ dD ___ A = _________ 2 2 9m 10. Mide lo que necesites. A partir de la medida que se proporciona en el plano, averigua y anota. a) Longitud real de la recámara 1 (distancia entre la línea 1 y la línea 3): 1 3 A Cocina Recámara 1 4.94 m b) Ancho de la cocina (distancia entre la línea A y la línea B): 3.53 m 4 2 B B B Comedor C c) Ancho de la casa (distancia entre la línea A y la línea D): 9 m 17 d) Factor de proporcionalidad: _____ 3000 Recámara 2 D Sala Escaleras al sótano 129 S-CNCT_M1_B2_126-131.indd 129 1/18/13 11:40 AM Evaluación (TIPO PISA) BLOQUE 2 Pongo en juego mis competencias Geometría e ilusiones ópticas COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Manejar técnicas eficientemente La imagen es un fragmento de la obra Bitlinko, de Víctor Vasarely, un artista de comienzos del siglo xx a quien se le considera el padre del Op-Art, una corriente abstracta que utiliza fenómenos ópticos para engañar al ojo humano y dar sensación de movimiento o relieve. Al contrario de otras tendencias, el Op-Art se basa en principios científicos rigurosos. Pregunta 1. En la obra mencionada el artista ha incluido tres tipos de polígonos. ¿Cuáles son y cuántos hay de cada tipo? Pregunta 2. Si se sabe que el lado de cada cuadrado mide 2 cm, se observa la relación entre las dimensiones de los tres tipos de polígonos y se mide lo necesario, ¿cuál es el área total de la superficie pintada de negro? Pregunta 3. Si miras fijamente la imagen notarás puntos grises en la intersección de los polígonos. Estos no son reales, sino una ilusión óptica. ¿A qué se debe? Pregunta 4. Muchas personas opinan que estas obras geométricas no pueden considerarse arte. ¿Qué opinas tú? Escribe tus argumentos y preséntaselos a tus compañeros. Pregunta 5. Elabora una composición geométrica con polígonos al estilo de Vasarely. ¿Qué polígonos utilizaste? Calcula el área de tu composición. ¿Adivino gracias a las matemáticas? COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Comunicar información matemática Luis quiere adivinar el número de cartas que tiene Carlos, quien le dice: “El número de cartas que tengo es el más pequeño que me permite hacer montones de 18 o de 30 sin que en ningún caso me sobren cartas”. Luis escribe unos números en un papel y en pocos segundos contesta: “¡Tienes 90 cartas!”. Carlos cuenta sus cartas y, sorprendido, responde: “¿Cómo lo hiciste?”. Luis le contesta: “Lo aprendí en clase de Matemáticas”. Pregunta 1. Como Carlos puede hacer montones de 18 o de 30 cartas, ¿cuántas cartas puede tener? Pregunta 2. Explica cómo adivinó Luis esto. 130 S-CNCT_M1_B2_126-131.indd 130 1/18/13 11:40 AM Y para terminar... ¡Hagamos papiroflexia! Necesitarás ocho cuadrados de papel del mismo tamaño; cuatro de un color y cuatro de otro. 5. Ensambla dos romboides de diferente color como se muestra. 1. Toma un cuadrado y dóblalo por las líneas punteadas para hallar el centro. 6. Dobla hacia adentro los pequeños triángulos sobrantes para fijar bien los dos romboides. 2. Lleva dos vértices consecutivos del cuadrado hacia el centro. 7. Haz lo mismo con los ocho romboides hasta completar la siguiente figura. 3. Marca con dobleces las líneas punteadas; no dejes el doblez hecho, solo marca y desdobla. ¿Qué figuras forman el diseño? 8. Desliza las piezas hacia el centro del octágono y obtendrás esta estrella. 4. Dobla a la mitad hacia el centro para formar un romboide. a) b) c) Encuentra, sin usar transportador, cuánto mide cada ángulo del romboide. Repite los pasos anteriores hasta obtener ocho romboides. Identifica en la estrella, sin usar transportador, ángulos de 45º, 90º y 135º. 131 S-CNCT_M1_B2_126-131.indd 131 1/18/13 11:40 AM BLOQUE 3 Aprendizajes esperados ✓ Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales. ✓ Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. ✓ Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras. 132 S-CNCT_M1_B3_132-137.indd 132 1/18/13 11:44 AM Juguemos al tangram ¿Has jugado alguna vez con el tangram? El tangram es un antiguo juego chino parecido a un rompecabezas que, como puedes ver en la imagen, consta de siete piezas que forman un cuadrado. Usando todas las piezas se forman diferentes figuras. Aunque originalmente estaban catalogados unos cientos de formas, actualmente existen ya más de 10 000. ¿Te atreves a jugar? 1. ¿Qué figuras geométricas forman el tangram? 2. Calcula qué parte del área corresponde a cada figura. 3. Organízate con cuatro compañeros para elaborar un tangram. Ga- nará el equipo que forme primero todas las figuras propuestas y explique la respuesta de lo siguiente. a) ¿Tienen todas las figuras el mismo perímetro? b) ¿Y la misma área? Practica con un tangram interactivo en… www.e-sm.com.mx/SCM1-133 os y ángulos geométricos: líneas, puntos, plan Estamos rodeados de elementos necesitamos nte eme tant cons y cio, espa el forman figuras en el plano y en . conocer sus dimensiones, medirlas ianos en los si sabes resolver problemas cotid Al finalizar el bloque, comprobarás y perímetros. que sea necesario calcular áreas 133 S-CNCT_M1_B3_132-137.indd 133 1/18/13 11:45 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Secuencia 1 / lección 51 Multiplicar y dividir entre 10, 100 y 1 000 Hacer cuentas mentalmente y “a mano” es útil para verificar resultados obtenidos con calculadora o cuando no se dispone de ella. En esta lección recordarás procedimientos para multiplicar por 10, 100 y 1 000; en la siguiente usarás ese conocimiento para multiplicar números con punto decimal. 1. Resuelve las actividades sin calculadora. a) Encuentra el número que… »» multiplicado por 1 000 da 25 000 »» multiplicado por 100 da 20 000 »»»»multiplicado por 10 da 4 300 25 430 200 b) Resuelve. »» 250 × 10 = 2 500 » 35 × 100 = 3 500 » 120 × 1 000 = 120 000 c) Verifica con calculadora tus resultados. técnicas 2. Recuerda, con tus compañeros, las técnicas para multiplicar de manera rápida números naturales por 10, 100 y 1 000. Anótalas. Convivimos »» Para multiplicar un número por 10 se agrega un 0 a la derecha del número. Trabajar en equipo es importante y útil porque entre todos disponen de más información e ideas que las que tiene cada integrante, por lo que es más probable que resuelvan con éxito las tareas propuestas. Además, los puntos de vista de otros enriquecen el tuyo. »» Para multiplicar un número por 100 se agregan dos ceros a la derecha. »» Para multiplicar un número por 1 000 se agregan tres ceros a la derecha. 3. Utiliza las técnicas que anotaste para resolver los problemas. Verifica los resultados con calculadora. a) Un paquete grande se forma con diez paquetes chicos. Anota los datos que faltan. Paquete chico Paquete grande 25 gomas 30 250 300 plumones 50 lápices 100 500 hojas 500 1 000 clips 5 000 b) Encuentra los números que faltan. » 37 × 100 = 3 700 » 20 × 10 = » » 42 × 1 000 = 42 000 » 25 × 10 000 = 250 000 670 » 40 × 200 × 100 = 67 000 100 = 4 000 » 110 × 1 000 = 110 000 » 45 000 × 10 = 450 000 » 200 × 10 = 2 000 134 S-CNCT_M1_B3_132-137.indd 134 1/18/13 11:45 AM 4. Anota en tu cuaderno una forma de resolver sin calculadora el siguiente problema. a) Un plumón cuesta $3.75, ¿cuánto cuestan diez plumones?37.5 b) Completa la tabla. Usa calculadora. m» Completa, con tus compañeros, las técnicas para multiplicar números con punto decimal por 100 y 1 000. Observa el ejemplo. × 10 × 100 × 1 000 3.75 37.5 375 3 750 21.5 215 2 150 21 500 0.415 4.15 41.5 415 técnicas »» Para multiplicar por 10 un número con punto decimal se recorre el punto un lugar a la derecha: 3.75 × 10 = 37.5 »» Para multiplicar por 100 un número con punto decimal se recorre el punto dos lugares a la derecha. »» Para multiplicar por 1 000 un número con punto decimal se recorre el punto tres lugares a la derecha. c) Resuelve con las técnicas anteriores. Verifica con calculadora si funcionan. 5. Encuentra los números que faltan. Puedes usar calculadora. a) 7 d) 2.5 × 100 = 250 × 10 = 70 b) × 10 × 100 × 1 000 2.45 24.5 245 2 450 0.025 0.25 2.5 25 1.0055 10.055 100.55 1 005.5 0.7 × 10 = 7 e) 0.25 × 100 = 25 c) 0.07 × 10 = 0.7 f ) 0.025 × 100 = 2.5 »» Explica cómo encontrar, con una operación, el número que multiplicado por 100 da 2 500. 6. Haz lo siguiente. a) Explica en tu cuaderno cómo encontrar, con una operación, el número que multiplicado por 100 da 250 b) Los factores que encontraste en la actividad anterior son también cocientes de divisiones, por ejemplo: 2.5 × 100 = 250, por lo tanto, 250 ÷100 = 2.5 Anota en tu cuaderno, para cada multiplicación de esa actividad, la división correspondiente. m» Compara con tus compañeros los resultados de las actividades 5 y 6. Completen las técnicas para dividir entre 10 y 100, sin calculadora, números con punto decimal. Observen el ejemplo. »» Para dividir entre 1 000 un número con punto decimal se recorre el punto tres lugares a la izquierda y, si hace falta, se agregan ceros: 32 ÷ 1 000 = 0.032 »» Para dividir entre 10 un número con punto decimal se recorre el punto un lugar a la izquierda. »» Para dividir entre 100 un número con punto decimal se recorre el punto dos lugares a la izquierda. 135 S-CNCT_M1_B3_132-137.indd 135 1/18/13 11:45 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Secuencia 1 / lección 52 Técnicas para multiplicar decimales 1. Si conoces una forma de multiplicar 0.3 × 0.15 sin calculadora, anótala en tu cuaderno y compárala con las que están a continuación. 2. En el recuadro se explica una técnica para resolver multiplicaciones de números con punto decimal. Utilízala, con un compañero, para resolver las multiplicaciones. Verifiquen los resultados con calculadora. Técnica 1: para multiplicar dos números con punto decimal, como 0.3 y 0.15, se puede… 3 15 y 0.15 = ___ . 1. Escribir los números como fracciones decimales: 0.3 = __ 10 100 3 15 45 × ___ = ____ . 2. Multiplicar esas fracciones: __ 10 100 1 000 45 = 0.045 3. Escribir el resultado con punto decimal: ____ 1 000 técnicas »» 0.5 × 0.12 = 0.06 »» 3.25 × 1.2 = 3.9 »» 0.05 × 1.02 = 0.051 »» 0.125 × 0.8 = 0.1 3. Lean la técnica que se explica a continuación. Utilicen alguna de las técnicas para resolver las multiplicaciones. Verifiquen los resultados con calculadora. Técnica 2: para multiplicar dos números con punto decimal, como 0.3 y 0.15, se puede… 1. Multiplicar los números como si no tuvieran punto decimal: 3 × 15 = 45 2. Contar el número de cifras que tienen los factores a la derecha del punto decimal: una, en 0.3, más dos, en 0.15, dan tres cifras. 3. Anotar el punto decimal en el resultado de manera que tenga la cantidad anterior de cifras decimales (en el ejemplo son tres cifras). Si fuera necesario, añadir ceros para que después del punto haya esa cantidad de cifras después del punto. En el ejemplo, hay que añadir un cero para que queden tres cifras después del punto: 0.045. 5 5×2 2 =_ »» 0.5 × 0.2 = _ × _ = 10 = 0.01 10 10 10 × 10 100 104 _ = 0.104 1 000 765 7 5 355 _×_=_ »» 7.65 × 0.7 = 100 10 1 000 1 052 _ 205 _ 215 660 _ × = = 21.566 »» 10.52 × 2.05 = 100 100 10 000 125 × 5 »» 0.125 × 0.5 = 125 × 5 = _ = 0.0625 1000 10 1000 × 10 2 »» 5.2 × 0.02 = 52 × ___ = 100 10 = 5.355 136 S-CNCT_M1_B3_132-137.indd 136 1/18/13 11:45 AM 4. La técnica 1 y la técnica 2 de la página anterior están relacionadas. Analiza en grupo el siguiente caso y encuentra esa relación. Técnica 2 Practica la multiplicación de números decimales en… »» Se multiplican los números como si no tuvieran punto decimal: 7 × 8 = 56 www.e-sm.com.mx/ SCM1-137 0.7 × 0.08 Técnica 1 8 7×8 56 7 ×_ _ = _ = _ = 0.056 10 100 10 × 100 1 000 »» Se cuentan las cifras después del punto de los factores y ese número de cifras se pone en el producto: 0.056 5. Resuelve los problemas. Usa calculadora solo para verificar. resolver a) En una escala por cada cm de la figura original se ponen 0.2 cm en la copia. »» ¿La copia es mayor o menor que la figura original? »» ¿Cuál es el factor de escala? Es menor. 0.2 »» ¿Cuánto mide en la copia un lado que en la figura original mide 23 cm? 4.6 cm »» ¿Cuánto mide en la copia un lado que en la figura original mide 0.5 cm? 0.1 cm b) Por cada peso que le presta el banco, José deberá pagar $2.25 dentro de tres años. »» ¿Pagará más del doble o menos del doble de lo que le prestaron? Más del doble. »» ¿Cuánto deberá devolver en tres años por un préstamo de $508.50? $1 144.125 c) Un atleta se detuvo después de correr diez vueltas en una pista. Recorrió 23.3 km. »» ¿Cuánto mide la pista? 2.33 km d) ¿Cuál es el área de un terreno rectangular de 15.5 × 10.1 m? 156.55 m2 e) Un automóvil gasta 8.24 l de gasolina por cada 100 km que recorre. »» ¿Cuánto gastará en un recorrido de 256.9 km? 21.16856 l »» ¿Cuántos km recorrerá con 65.6 l? 796.1165 km 137 S-CNCT_M1_B3_132-137.indd 137 1/18/13 11:45 AM 3 contenido BLOQUE Formula explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. resolver Secuencia 2 / lección 53 Copias de copias En esta secuencia aprenderás a hacer una copia a escala de otra copia y a encontrar el factor de escala que regresa una figura a su tamaño original. También conocerás el funcionamiento de engranajes y su relación con la proporcionalidad. 1. Considera los datos de tres copias a escala. » Las medidas de la copia A son tres veces más grandes que las del dibujo original. » Las medidas de la copia B son dos veces más grandes que las de la copia A. » Las medidas de la copia C son dos veces más grandes que las de la copia B. a) ¿Cuántas veces es más grande B que el original? 6 b) ¿Cuántas veces es más grande C que el original? 12 c) Anota las medidas que faltan. Verifica tus respuestas de las preguntas anteriores. Dibujo original Copia A Copia B Copia C Medida a 16 Medida b 4 48 12 6 12 6 12 96 24 12 24 12 24 192 48 24 48 24 48 Medida c Medida d Medida e Medida f 2 4 2 4 d) Los números de los óvalos indican por cuánto se deben multiplicar las medidas de un dibujo para obtener las de otro; son los factores de escala. Encuentra los que faltan. × Se aplica el factor de escala m y después n. ¿Es posible obtener lo mismo aplicando un factor? ¿Cuál? × 6 ×3 12 ×2 ×2 Dibujo original Copia A Copia B Copia C Medida a 16 Medida b 4 48 12 96 24 192 48 Aplicar el factor de escala × 2 a una figura y, a la figura resultante, aplicarle el factor × 3 equivale a aplicar desde el principio el factor × 6. m Compara tus resultados con los de tus compañeros. 138 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 138 1/18/13 11:46 AM 2. Considera las dos copias. Las medidas de la copia D son __41 de las medidas del dibujo original, es decir, D es cuatro veces menor. Las medidas de la copia E son tres veces mayores que las de D. a) Calcula y anota las medidas que faltan. Dibuja en papel cuadriculado D y E, y encuentra el factor de escala que, aplicado al original, produce a E. Escríbelo. 3 __ 1 ×_ × 4 ×3 4 Dibujo original Copia D Copia E Copia F Medida a 16 Medida b 4 4 1 12 3 12 3 Medida c 2 Medida d 4 2 4 Medida e Medida f __1 3 __ 2 2 3 __ 2 1 3 __1 3 3 __ 2 3 __ 2 1 2 3 3 b) Las medidas de la copia F son __34 de las del dibujo original. Calcula sus medidas y anótalas en la tabla anterior. Aplicar el factor de escala × __34 equivale a producir primero una reducción con factor × __14 y después una ampliación con factor × 3. 3 ×_ 4 1 ×_ ×3 4 c) La copia F debe ser igual a la copia E. Explica por qué. R. P. validar d) Si se aplican los factores en otro orden, es decir, si primero se amplía ×3 y después se reduce × __14 , ¿se obtiene una copia igual o diferente a la anterior? Calcúlalo. 1 ×_ ×3 4 Dibujo original Medida a 16 4 Medida b 48 12 12 3 resolver 3. Anota los factores que faltan. ×2 2 ×_ 1 x __ 6 x6 ×3 1 ×_ 2 3 1 ×_ 3 1 ×_ 3 x2 139 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 139 1/18/13 11:46 AM 3 contenido BLOQUE Formula explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Secuencia 2 / lección 54 Engranajes I 1. Para que te familiarices con los engranajes, organízate con tu grupo para llevar una bicicleta al salón. Comenten lo siguiente. Piñón Plato a) Las bicicletas tienen una rueda dentada donde se coloca el pedal (plato) y otra más pequeña fija a la rueda trasera (piñón). Cuando el pedal da una vuelta, el plato también da una y el piñón da… ¿más de una vuelta o menos? Más de una vuelta. b) Las bicicletas de velocidades tienen piñones de distinto tamaño. Si se quiere que con cada vuelta de pedal la llanta trasera avance lo más posible, ¿qué piñón se debe usar: el más pequeño o el más grande? El más pequeño. Ya sabemos... B tiene la mitad de dientes que A, y, en cambio, da el doble de vueltas. 2. La rueda A tiene 24 dientes y la B, 12. a) Cuando A da una vuelta, ¿cuántas da B? Dos. b) Completa la tabla. x2 A Vueltas que da A Vueltas que da B 1 2 6 12 16 3 6 B 8 15 16 20 30 30 32 40 60 c) El número de vueltas de B es proporcional al de A. ¿Qué significa esto? R. T. Que hay un número que multiplicado por las vueltas de A da como resultado las de B, d) ¿Qué factor, al multiplicar las vueltas de A, da el número de vueltas de B? El número que, al multiplicar (o dividir) el número de vueltas de una rueda, da como resultado el número de vueltas correspondientes a otra rueda es un factor de proporcionalidad. e) Anota el factor de proporcionalidad en el óvalo que está sobre la tabla anterior. 140 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 140 1/18/13 11:46 AM B 3. La rueda B tiene 12 dientes y la C, 36. C resolver a) Cuando B da una vuelta, ¿C da menos o más de una? Menos. b) ¿Cuántas vueltas da C cuando B da tres? Una. c) ¿Qué fracción de vuelta da C cuando B da una? 1 _ 3 d) Completa la tabla. 1 x __3 e) Verifica que el número de vueltas de C sea __13 del de B. Esa fracción es un factor de proporcionalidad. Anótalo en el óvalo sobre la tabla. B C 1 __1 3 3 1 6 2 12 15 18 4 5 6 4. Formaremos un engranaje con las ruedas A (de 24 dientes), B (de 12 dientes) y C (de 36 dientes). 2 x __3 C A 1 x2 x __ 3 A B a) Si A da tres vueltas, ¿cuántas da B? b) ¿Cuántas da C? Dos. c) Completa la tabla. Verfica que… Seis. B C __1 2 1 __1 1 2 2 __ 1 1 __2 3 1 2 4 4 __ 1 2 __2 5 1 __23 3 3 3 3 6 2 1 3 __2 7 2 __13 4 8 2 2 __3 9 3 4 __1 2 » multiplicando las vueltas de A por 2 se obtengan las de B. » multiplicando las vueltas de B por __13 (o dividiéndolas entre 3) se obtengan las de C. Ya sabemos... Estos son los factores de proporcionalidad. Anótalos en los óvalos. d) ¿Qué factor, aplicado a las vueltas de A, arroja las de C? Escríbelo en el óvalo correspondiente. m Compara, con ayuda del profesor, tus respuestas con las de tus compañeros. Multiplicar una cantidad por m y después por __n1 equivale a multiplicar esa cantidad m por __ n. 141 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 141 1/18/13 11:46 AM 3 contenido BLOQUE Formula explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Secuencia 2 / lección 55 Engranajes II A 1. Las ruedas A, B y C están engranadas. A tiene 120 dientes; B, 60; y C, 12. B a) Si A da una vuelta, ¿cuántas da B? 2 ¿Cuántas da C? 10 C b) Completa la tabla. c) Anota en los óvalos los factores de proporcionalidad. En contexto Los engranes tienen gran utilidad: hay algunos muy pequeños que se usan en relojes y otros de grandes dimensiones que se usan en los hornos de fábricas de cemento. También se usan, por ejemplo, en diferentes medios de transporte (camiones, locomotoras, autos, aviones, buques, etc.), en la generación de energía eléctrica y en máquinas de industrias textiles, de alimentación y químicas. 2. Las ruedas D y E están engranadas. Cuando D completa tres vueltas, E da una. a) ¿Qué rueda es más grande? E b) ¿Cuántos dientes podría tener cada una? Encuentra al menos dos soluciones. Primera solución D: 2 , E: 6 × ×2 5 Vueltas que da B Vueltas que da C 1 2 10 5 10 0.5 1 50 5 10 10 50 0.1 0.2 1 Segunda solución D: 3 , E: 9 __1 × 6 __1 × 3 F × __12 D E F 3 1 0.5 6 2 1 b) Completa la tabla. Anota los factores de proporcionalidad en los óvalos. 12 4 2 18 6 3 c) ¿Cuántos dientes podría tener cada rueda? Encuentra al menos dos soluciones. 24 8 4 ¿Cuál es la menor? ¿Cómo lo sabes? D R. P. Primera solución D: 60 , E: 20 , F: 10 m × Vueltas que da A 3. Las ruedas D, E y F están engranadas. Cuando D da tres vueltas, E completa una; si E da dos vueltas, F da una. a) ¿Qué rueda es la mayor? 10 Segunda solución D: 30 , E: 10 , F: 5 Compara tus resultados con los del grupo. Si hay diferencias, identifiquen los correctos. 142 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 142 1/18/13 11:46 AM 4. Las ruedas G, H e I están engranadas. Cuando G da cuatro vueltas, H completa una e I, tres. a) ¿Qué rueda es la mayor? ¿Cómo lo sabes? ¿Cuál es la menor? H resolver G R. P. × __4 3 b) Completa la tabla. Anota en los óvalos los factores de proporcionalidad. 1 x __4 c) ¿Cuántos dientes podría tener cada rueda? Encuentra al menos dos soluciones. Primera solución G: 28 , H: 7 , I: 21 m x3 G H I 4 1 3 1 __1 3 __ 4 4 Segunda solución G: 24 , H: 6 , I: 18 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay diferencias, identifiquen los correctos. 5. En las tablas se indican las vueltas de tres ruedas engranadas, respectivamente. Complétalas y anota los factores de proporcionalidad. x4 x2 x2 K L 3 6 12 4 2 1 x __ 6 __1 O x x 3 x J 1 x x 2 P Q R 6 2 1 18 6 3 1 3 M x 1 5 N Ñ 15 5 1 30 10 2 __5 x 1 6 x __61 __1 1 15 x x __1 x4 5 S T 12 2 6 1 4 U V W 10 3 12 3 5 1 4 1 Aplicar el factor de proporcionalidad × __ba equivale a aplicar factores × a y × __b1 (este último equivale a dividir entre b). m 1 Diseña, en grupo, un problema en que intervenga el factor de proporcionalidad × __ . 10 Algunos contextos posibles son la materia prima desperdiciada al fabricar un producto y los intereses que cobra un banco por dar préstamos. 143 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 143 1/18/13 11:46 AM 3 contenido BLOQUE Formula explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Secuencia 2 / lección 56 Desandar el camino. El factor recíproco I 1. En la lección 53 calculaste la medida de varias copias a escala. A continuación, aparecen el dibujo original y las copias D y E. 3 × 4 1 × 4 ×3 Dibujo original Copia D Copia E d d d a a e f c b a c c b b e e f f x4 x x 1 3 4 3 a) Si el factor de escala × __14 se aplica al dibujo original, se obtiene D. Recuerda que multiplicar por __14 equivale a dividir entre 4. ¿Cuál es el factor de escala que, aplicado a D, nos x4 regresa al dibujo original? 1 se llama factor recíproco de _ 1. El factor de escala que “deshace” lo que hizo el factor _ 4 4 b) Si el factor de escala × 3 se aplica a D se obtiene E. ¿Cuál es el factor recíproco de × 3? x 1 3 c) Si el factor de escala × __34 se aplica al dibujo original se obtiene E. ¿Cuál es el factor recíproco de × __34 ? x 4 3 144 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 144 1/18/13 11:46 AM d) Anota los factores de escala recíprocos en los óvalos de la parte inferior del dibujo anterior. Aplicar el factor de escala × __34 equivale a aplicar sucesivamente los factores × 3 y × __14 . El recíproco del factor × 3 es × __13 , el recíproco del factor × __14 es × 4. Por tanto, el recíproco del factor × __34 es × __43 . e) Anota las medidas y los factores que faltan. Aplica el factor × __43 a la copia E y verifica que obtengas el dibujo original. Dibujo original Copia D Copia E Medida a 16 4 12 Medida b 4 1 3 Medida c 2 1 2 1 __12 x 1 4 x 3 4 × 3 x 2. Si el factor de escala × 0.2 se aplica a una figura, ¿esta se amplía o se reduce? Se reduce ×2 2 10 resolver 1 × 10 Dibujo original Copia A Copia B 15 30 3 25 50 5 30 60 6 ¿Cuál es el factor recíproco de × 0.2? Para encontrarlo, te conviene anotar el factor 0.2 como fracción y encontrar el recíproco. 5 3. Anota en la tabla de la derecha las medidas y los factores que faltan en las copias A y B. 4. Anota los factores que faltan. Factor Recíproco m ×2 x 1 2 1 ×_ 3 x3 × 20 x 1 20 3 ×_ 10 x 10 3 × 0.1 x 10 x 1 2 x 10 x × 1.2 × 0.52 10 12 100 ×_ 52 x 10 2 4 x __3 3 ×_ 4 x5 1 x __ 5 1 ×_ 5 ×5 Compara tus resultados de las actividades 2, 3 y 4 con los de tus compañeros. 145 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 145 1/18/13 11:46 AM 3 contenido BLOQUE Formula explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Secuencia 2 / lección 57 Desandar el camino. El factor recíproco II 1. La rueda A, de 48 dientes, está engranada con la rueda B, de 12. a) Completa la tabla. b) ¿Qué factor multiplicado por las vueltas de A arroja las de B? resolver x4 c) ¿Cuál es el factor recíproco del anterior, es decir, el que multiplicado por las vueltas de B arroja las de A? x 1 4 x4 d) Anota los factores en los óvalos. Vueltas que da A Vueltas que da B 1 4 8 20 80 A 2 5 20 B 100 25 30 120 1 4 x 1. El factor recíproco de × 4 es ÷4, o × _ 4 × __23 2. Calcula y anota los datos que faltan. a) ¿Cuál es el recíproco de × 2? Repasa la aplicación sucesiva de factores de proporcionalidad en… 1? b) ¿Cuál es el recíproco de × _ 3 _ c) ¿Cuál es el recíproco de × 2 ? 3 www.e-sm.com.mx/ SCM1-146 d) Anota los factores en los óvalos. m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten la siguiente información. × __13 ×2 Vueltas que da C Vueltas que da D Vueltas que da E 9 18 6 12 24 8 18 36 12 x 1 2 x3 x 3 2 Para “deshacer” lo que hace el factor × __23 se puede… » dividir entre __23 , o » multiplicar por su factor recíproco, × __32 . Es lo mismo dividir entre __23 que multiplicar por __32 . 146 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 146 1/18/13 11:46 AM técnicas 3. Resuelve las operaciones como se muestra en el ejemplo. 24 =8 » Ejemplo: 6 ÷ __34 = 6 × __43 = __ 3 » 10 ÷ __15 = 10 × 5 = 50 10 1 = 70 » 7 ÷ 0.1 = 7 ÷ __ = 7 × __ 10 1 20 10 9 » 2 ÷ __ = 2 × __ = ___ 10 » __34 ÷ __14 = __3 100 » 3 ÷ 0.25 = 3 × ___ = 12 25 4 9 ×4=3 9 4. Si el factor × __35 se aplica a una cantidad y al resultado se le aplica el factor recíproco × __53 , ¿se obtiene una cantidad mayor, menor o igual que la inicial? Igual que la inicial. m Verifica, en grupo, tus respuestas aplicando los factores que se indican. × __3 5 × __5 3 15 9 15 10 6 10 20 12 20 5. Contesta. a) ¿Qué obtienes al dividir un número entre sí mismo? Haz pruebas y concluye. El número 1. b) ¿Qué obtienes al multiplicar un número por su recíproco? Haz pruebas y concluye. Ya sabemos... Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco. Es decir, que lo que hace la multiplicación lo deshacen la división y el factor recíproco. El número 1. 6. Se reduce 50% un dibujo y esa reducción se amplifica al doble. ¿La figura que se obtiene es mayor, menor o del mismo tamaño que la original? Argumenta tu respuesta. Es del mismo tamaño que la original. m Compara tus resultados con los de tus compañeros. 147 S-CNCT_M1_B3_138-147.indd 147 1/18/13 11:46 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. resolver Secuencia 3 / lección 58 Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan I ¿Esmposiblemmultiplicarmdosmnúmerosmymquemelmproductomseammenormquemalgunomdemellos?m ¿Haymdivisionesmenmquemelmcocientemesmmásmgrandemquemelmdividendo?m¿Cómomsemdividenm númerosmconmpuntomdecimal?mEnmestamsecuenciamestudiarásmestasmcuestiones. 1. Con la información de abajo se pueden construir tres problemas: uno de multiplicación y dos de división. Dato 1 Ernesto da doce pasos. Dato 2 3 Cada paso mide _ m. 4 Dato 3 En total, Ernesto avanza 9 m. a) Para plantear los problemas, basta con proporcionar dos datos y preguntar por el tercero. Si se dan los datos 1 y 3, y se pregunta por el 2, se obtiene este problema: »m Al dar doce pasos, Ernesto avanza 9 m. ¿Cuánto mide cada paso? »m Resultado: cada paso mide __34 m. Operación: 9 ÷ 12 = __34 . »m Escribe los otros dos problemas en tu cuaderno. 2. Escribe, en tu cuaderno, los tres problemas que se obtienen al preguntar por los datos de cada conjunto. Resuelve los problemas y anota el resultado y la operación que hiciste. a) Dato 1 Luis reparte tres pasteles. Dato 2 Luis reparte los pasteles entre cuatro amigos. Dato 3 A cada amigo le corresponden __34 de pastel. b) Dato 1 El auto recorrió 425.6 km. Dato 2 El auto rinde 17.5 km por litro de gasolina. Dato 3 El auto consumió 24.32 l de gasolina. c) Dato 1 El frasco de medicina contiene 12 dl. Dato 2 Una dosis es de 0.5 dl. Dato 3 El frasco rinde 24 dosis. d) Dato 1 El factor de escala es __34 . Dato 2 Un lado A de la figura original mide 4 cm. Dato 3 El lado A’ de la copia mide 3 cm. 148 S-CNCT_M1_B3_148-153.indd 148 1/18/13 11:47 AM 3. Encuentra, entre las operaciones de los problemas anteriores… a) divisiones con cociente mayor que el dividendo. Ya sabemos... R. T. 12 ÷ 0.5 = 24; 24 > 12 b) multiplicaciones con producto menor que uno de los factores. 3 x 4 = 3; 3 < 4 4 mm Recuerda el nombre de los términos de una división. 12 ÷ 4 = 3 Revisa, en grupo, si en los problemas que elaboraste… Dividendo ÷ Divisor = Cociente a) la escritura es adecuada. b) el resultado es correcto. c) la operación está bien planteada. d) encontraste las divisiones y multiplicaciones del punto anterior. 4. Formula un problema con cada operación. Procura que se relacione con la vida cotidiana. a) 1.8 ÷ 10 = 0.18 R. P. b) 0.25 ÷ 0.05 = 5 c) 25 × 0.1 = 2.5 d) 5.2 × 2 = 10.4 mm Revisa, en grupo y con ayuda de tu profesor, si los problemas se resuelven con las operaciones indicadas y si se podrían encontrar en la vida cotidiana. 149 S-CNCT_M1_B3_148-153.indd 149 1/18/13 11:47 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Secuencia 3 / lección 59 Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan II 1. Reúnete con un compañero. Jueguen al laberinto contra otra pareja. »m Cada pareja empieza con 100 puntos. »m Cada pareja marca en su laberinto un camino hacia la meta reuniendo el mayor puntaje posible. Gana la pareja que obtenga más puntos. resolver »m No se puede pasar dos veces por un número. »m Pueden usar calculadora. 100 Convivimos Un buen juego se disfruta independientemente de quién gane. Aunque, en efecto, ¡a nadie le disgusta ganar! ×2 × 10 × 0.01 ×4 ÷2 ÷ 0.1 ÷ 0.100 ÷ 100 × 0.2 ÷ 0.01 ÷ 0.5 × 0.19 × 0.5 MEtA Puntaje: R. P. mm Analicen, en grupo, algunos juegos ganadores. Determinen qué pareja obtuvo el mejor puntaje. Revisen si es posible lograr uno mayor. 150 S-CNCT_M1_B3_148-153.indd 150 1/18/13 11:47 AM 2. Jueguen ahora con el siguiente laberinto. 100 × 0.5 ÷ 0.5 ÷2 ×5 ÷ 0.2 Puntaje: R. P. ÷ 0.02 ÷ 10 ÷ 30 ÷ 0.2 ÷ 0.1 ÷2 ×3 × 10 ÷ 0.005 MEtA mm Determinen, en grupo, qué pareja obtuvo el mejor puntaje. Revisen si es posible lograr uno mayor. 3. Completa las oraciones. comunicar a) El producto de una multiplicación es menor que alguno de sus factores cuando R. T. uno de los factores es mayor que 0 y menor que 1. Por ejemplo: 5 x 0.4 = 2 . b) El producto de una multiplicación es mayor que sus factores cuando ambos son mayores que 1. Por ejemplo: 8 x 1.5 = 12 . c) El cociente de una división es menor que el dividendo cuando el divisor es mayor que 1. Por ejemplo: 220 ÷ 40 = 5.5 . d) El cociente de una división es mayor que el dividendo cuando el divisor es menor que 1. Por ejemplo: mm 24 ÷ 0.6 = 40 . Revisa, en grupo, tus respuestas. 151 S-CNCT_M1_B3_148-153.indd 151 1/18/13 11:47 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. técnicas Secuencia 3 / lección 60 Técnicas para dividir decimales 1. Anota una forma para resolver la división 0.7 ÷ 0.28 sin calculadora. 7 28 700 5 ÷ = = 10 100 280 2 2. Haz lo siguiente. a) Se empacan 4 000 naranjas en bolsas de 16. ¿Cuántas bolsas se usan? Dividendo (naranjas totales) Divisor (naranjas por bolsa) 4 000 16 8 000 16 2 000 16 250 La propiedad de las divisiones que tienen el mismo cociente se parece mucho a una propiedad de las fracciones equivalentes que ya conoces. ¿La recuerdas? ¿Consideras que se relacionan una con la otra? b) Encuentra, con el resultado anterior, los cocientes sin hacer cuentas escritas ni usar calculadora. mm 4 000 8 4 000 32 2 000 8 8 000 32 Cociente (bolsas) 250 500 125 500 125 250 250 Efectúa, en grupo y con la ayuda de tu profesor, lo siguiente. a) Comparen cómo calcularon los resultados anteriores. b) Observen que el cociente de 4 000 ÷ 16 es igual al de 2 000 ÷ 8. Cuando el dividendo y el divisor se multiplican o se dividen por un mismo número se obtiene otra división con el mismo cociente. c) Escriban, siguiendo la propiedad anterior, tres divisiones que tengan el mismo cociente. Verifiquen los resultados con calculadora. R. T. 3 000 ÷ 500 1 500 ÷ 250 300 ÷ 50 3. trabaja con un compañero. a) ¿La propiedad anterior funciona cuando el dividendo o el divisor es un número con punto decimal? Lleven a cabo lo siguiente para averiguarlo. »m Resuelvan con calculadora la división 0.8 ÷ 4. »m Multipliquen por el mismo número el dividendo y el divisor: 0.8 × 10 = 8 ; 4 × 10 = 40 . »m Dividan el nuevo dividendo entre el nuevo divisor y verifiquen que los cocientes sean iguales. 0.8 ÷ 4 = 0.2 8 ÷ 40 = 0.2 152 S-CNCT_M1_B3_148-153.indd 152 1/18/13 11:47 AM b) Esta propiedad convierte una división de números con punto decimal en una de números sin punto decimal con el mismo cociente. ¿Cómo se hace? Prueben con la siguiente división. 0.7 ÷ 0.35 = técnicas 2 c) En seguida se muestra cómo resolver la división 0.7 ÷ 0.35 sin usar calculadora. Completen lo que falta. Paso 1. El dividendo y el divisor se multiplican por 100: 0.7 × 100 = 0.35 × 100 = 70 35 Paso 2. El nuevo dividendo se divide entre el nuevo divisor: 70 = 2 35 d) Verifiquen, con calculadora, que el cociente sea igual al de 0.7 ÷ 0.35. Cuando el divisor o el dividendo, o ambos, son números con punto decimal se puede obtener una división equivalente sin números con punto decimal multiplicando ambos términos por la potencia de 10 adecuada (10, 100, 1 000, etcétera). 4. Aplica la técnica anterior para resolver sin calculadora las divisiones. Considera si debes multiplicar por 10, 100, 1 000 u otra potencia de 10. a) 1.25 ÷ 0.25 = c) 1 ÷ 0.1 = mm 125 =5 25 10 =10 1 725 = 29 = 1.45 500 20 247 =1 247 b) 0.725 ÷ 0.5 = d) 24.7 ÷ 24.7 = Verifica tus resultados con calculadora y compáralos con los de tus compañeros. 5. trabaja con un compañero. Por turnos, uno indique con una palomita el intervalo en que está el cociente de cada división y el otro verifique con calculadora. El cociente está entre… 0 y 1. 1 y 2. 2 y 10. 0.6 ÷ 0.2 ✓ ✓ 6 ÷ 0.02 ✓ 0.06 ÷ 0.02 0.006 ÷ 0.02 100 y 1 000. ✓ 6 ÷ 0.2 0.6 ÷ 2 10 y 100. ✓ ✓ 153 S-CNCT_M1_B3_148-153.indd 153 1/18/13 11:47 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Secuencia 4 / lección 61 Adivinanzas I La entrada al circo cuesta $130.00 para adultos y $60.00 para niños. Una persona pagó $810.00 por diez entradas. ¿Cuántos adultos y cuántos niños eran? Problemas como este pueden resolverse mediante ecuaciones. Qué son estas, cómo funcionan y para qué sirven se aborda en esta secuencia. 1. Resuelve las adivinanzas. a) Pensé un número y le sumé 13; obtuve 25. ¿Qué número pensé? 12 resolver b) Pensé un número y le resté 17; obtuve 23. ¿Qué número pensé? 40 c) Pensé un número, le sumé 13 y al resultado le resté 25; obtuve 28. ¿Qué número pensé? Convivimos 40 Cuando te enfrentes a un problema matemático nuevo procura no decir “ese no me lo enseñaron” y anímate a ensayar con los recursos que te vengan a la mente: dibujos, diagramas, representaciones de los datos con algún material, etcétera. d) Pensé un número y le sumé __23 ; obtuve __34 . ¿Qué número pensé? 1 12 e) Pensé un número, lo multipliqué por 3, al resultado le sumé 11; obtuve 35. ¿Qué número pensé? 8 f ) Pensé un número, lo multipliqué por 2.5, al resultado le resté 11; obtuve 26.5. ¿Qué número pensé? m 15 Compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros. 2. Cada expresión corresponde a una de las adivinanzas de arriba. Anota la letra del inciso correspondiente. Equis representa el número pensado. 3x significa “3 por equis”, “3 veces equis” o “tres veces un número que no se conoce”. a) x + __23 = __34 d d) 2.5x – 11 = 26.5 b) x – 17 = 23 f c) x + 13 = 25 b e) x + 13 – 25 = 28 c f ) 3x + 11 = 35 a e 3. Escribe una adivinanza para cada expresión. a) 2x + 5 = 19 R. P. b) x – __12 = __54 154 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 154 1/18/13 11:47 AM c) 7x – 11= 38 d) x – 10.5 = 18.3 4. Las adivinanzas pueden expresarse gráficamente mediante esquemas. Observa que si se parte del resultado, siguiendo el camino de regreso, se llega al número pensado. Adivinanza Pensé un número, lo multipliqué por 3 y al resultado le sumé 9; obtuve 42. ¿Qué número pensé? Esquema ÷3 11 –9 número pensado 33 ×3 resultado 42 +9 resolver 5. Anota los números que faltan y explica tu respuesta. Adivinanza Pensé un número, lo multipliqué por 6 y al resultado le sumé 1; obtuve 73. ¿Qué número pensé? Pensé un número, lo dividí entre 4 y al resultado le resté 8; obtuve 52. ¿Qué número pensé? Pensé un número, lo dividí entre 9 y al resultado le sumé 13; obtuve 121. ¿Qué número pensé? Pensé un número, lo multipliqué por 2.5 y al resultado le sumé 7.2; obtuve 32.2. ¿Qué número pensé? técnicas Esquema -1 ÷6 12 73 72 ×6 +1 x4 +8 52 60 240 ÷4 –8 x9 - 13 121 108 972 ÷9 + 13 ÷ 2.5 - 7.2 + 10 El “camino de regreso” implica hacer las operaciones inversas. Por ejemplo, si se sumó 9 hay que restar 9; si se multiplicó por 3 hay que dividir entre 3. 32.2 25 x 2.5 Una pista + 7.2 155 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 155 1/18/13 11:47 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Secuencia 4 / lección 62 Adivinanzas II 1. Lee el problema. Julián pensó un número, lo dividió entre 12 y al resultado le restó 13; obtuvo 78. ¿Qué número pensó? Al representar con x el número que pensó Julián, el problema queda expresado así: x x ÷ 12 – 13 = 78 o __ – 13 = 78 12 El valor de x es el número que pensó Julián. x = 1 092 2. Averigua el valor de x en cada expresión. 2+x= 8 x=6 2x = 8 x=4 x+x+x+x=8 x= 2 2 + 3x = 8 x=2 3. Si sustituyes x por su valor, se obtiene una igualdad. Por ejemplo, en la expresión x + x + x = 6, el valor de x es 2. Al sustituir x por 2 se obtiene lo siguiente. 2+2+2=6 6=6 Encuentra el valor de x en cada expresión. Verifica que se obtenga una igualdad. 9x – 6 = 21 x=3 3x + 6 = 21 x=5 12.4 = 15 – x x = 2.6 24 = 2x + x x =8 Las expresiones anteriores se llaman ecuaciones. Resolver una ecuación es encontrar el valor de x con el cual la igualdad se conserva. La x o la letra que se utilice en la ecuación recibe el nombre de incógnita. 4. Resuelve las ecuaciones y verifica que obtengas una igualdad. Ya sabemos... Observa que 3(x – 5) = 3x − 15 3x – 5 = 16 x= 7 3(x – 5) = 15 x = 10 3(x + 1) = 12 x=3 3(x – 5) + 2 = 8 x= 7 156 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 156 1/18/13 11:47 AM m Compara tus resultados de las actividades 3 y 4 con el grupo. Efectúen lo siguiente. a) Comenten cómo resolvieron la ecuación 24 = 2x + x (¿simplificaron para obtener 24 = 3x o la resolvieron por ensayo y error?). b) Si resolvieron por ensayo y error las ecuaciones con paréntesis, ahora hagan las operaciones que se indican. 3(x – 5) significa 3 por (x – 5) y equivale a 3 por x menos 3 por 5, es decir, 3x – 15. 5. El valor de x puede obtenerse por ensayo y error, es decir, probando con distintos números hasta obtener una igualdad. Completa la tabla para solucionar 6x + 10 = 118. Entonces 6x + 10 es igual a Si x vale… técnicas Comentarios 5 6(5) + 10 = 40 x debe ser mayor que 5 R. T. 20 6(20) + 10 = 130 x debe ser menor que 20 10 6(10) + 10 = 70 x debe ser mayor que 10 15 6(15) + 10 = 100 x debe ser mayor que 15 6. Resuelve la ecuaciones con el procedimiento que prefieras (ensayo y error, u operaciones inversas). a) 4x – 25 = 75 x= c) 80 – x = 35.5 x = 44.5 25 b) __5x + 10 = 30 x = 100 d) 56 – 3x = 38 x= 6 7. Completa la tabla. Ecuación resolver Adivinanza Pensé un número y le sumé 24; resultó 57. ¿Qué número pensé? Valor de x 2 x + 15 = 24 Pensé un número, lo multipliqué por 2 y al resultado le sumé 15; obtuve 24. ¿Qué número pensé? 4.5 x – __25 = 0.6 2 Pensé un número y le resté __ ; resultó 0.6. ¿Qué 5 número pensé? x + 24 = 57 3.4 x – 8 = 32.8 Pensé un número, lo multipliqué por 3.4 y al resultado le resté 8; obtuve 32.8. ¿Qué número pensé? 33 1 12 5x + 7.2 = 32.2 Pensé un número, lo multipliqué por 5 y le sumé 7.2; resultó 32.2. ¿Qué número pensé? 5 10x – 10 = 20 Pensé un número, lo multipliqué por 10 y le resté 10; resultó 20. ¿Qué número pensé? 3 0.5 x + 0.5 = 5.5 Pensé un número, lo multipliqué por 0.5 y al resultado le sumé 0.5; obtuve 5.5. ¿Qué número pensé? 10 m Comenta, en grupo, tus resultados de las actividades 6 y 7. 157 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 157 1/18/13 11:47 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Secuencia 4 / lección 63 Balanzas en equilibrio 1. Observa las balanzas y responde. a) ¿Qué balanza contiene pesos iguales en ambas bolsas? b) ¿Cómo lo sabes? Porque es la única que está en equilibrio. a resolver La c. b c 2. La balanza c contiene una pesa de 50 g en la bolsa izquierda; en la bolsa derecha contiene tres pesas distintas. ¿Cuánto puede pesar cada una de las tres pesas? Encuentra tres respuestas y anótalas en las bolsas de la derecha. 50 g 50 g 50 g R. T. 20 + 20 + 10 R. T. 15 + 15 + 20 R. T. 28 + 12 + 10 Una ecuación es una igualdad que se comporta como balanza en equilibrio. La expresión que está a la izquierda del signo igual se llama primer miembro de la ecuación; la expresión que está a la derecha se llama segundo miembro de la ecuación. 3. Una balanza se equilibró con dos pesas en la parte izquierda y tres en la derecha. a) ¿De cuántos gramos puede ser cada pesa? R. T. m 2 + 34 = 12 + 12 + 12 Compara tu respuesta con las de tus compañeros. Verifica que el total de la parte izquierda sea igual al de la derecha. Por ejemplo, si un compañero anotó es correcto porque 150 + 50 = 75 + 75 + 50 200 = 200 158 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 158 1/18/13 11:47 AM 4. Considera el ejemplo anterior: 150 + 50 = 75 + 75 + 50. Anota sí o no en la segunda columna para indicar en qué casos se conserva el equilibrio. Anota en la última columna la expresión resultante. Para decir no es igual usa el signo ≠. ¿Se conserva el equilibrio? Resulta la expresión… a) Se quita una pesa de 50 g en cada miembro. Sí 150 = 75 + 75 b) Se quita una pesa de 50 g en el primer miembro y una de 75 g en el segundo. No 150 ≠ 75 + 50 c) Se agrega una pesa de 100 g en ambos miembros. Sí d) Se duplica el valor de la pesa de 150 g del primer miembro y el de la de 50 g del segundo. No 2(150) + 50 ≠ 75 + 75 + 2(50) e) Se duplican los valores de las pesas de ambos miembros. Sí 2(150 + 50) = 2(75 + 75 + 50) f) Se divide entre 5 el valor de las pesas de ambos miembros. Sí 150/5 + 50/5 = 75/5 + 75/5 + 50/5 150 + 50 + 100 = 75 + 75 + 50 + 100 5. Haz lo mismo con la ecuación: 13 + 25 + x = 50 + 13. ¿Se conserva el equilibrio? Resulta la expresión… a) Se resta 13 en ambos miembros. Sí 25 + x = 50 b) Se suma 25 en el primer miembro y se resta lo mismo en el segundo. No 13 + 50 + x ≠ 25 + 13 c) Se multiplican por 2 todos los términos de ambos miembros. Sí 2(13 + 25 + x) = 2(50 + 13) d) Se resta x en ambos miembros. Sí e) Se resta 38 en ambos miembros. Sí m 13 + 25 + x – x = 50 + 13 – x 13 + 25 + x – 38 = 50 + 13 – 38 Comenta, con tus compañeros y el profesor, los resultados de las actividades 4 y 5. Si cometiste algún error, explica a qué se debió. 159 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 159 1/18/13 11:47 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Secuencia 4 / lección 64 Ecuaciones equivalentes 1. Dos o más ecuaciones pueden ser equivalentes, es decir, el valor de x que las resuelve es el mismo. Por ejemplo: » x+3=8 » 2x + 6 = 16 » 2x + 8 = 18 » x+4=9 » x=5 ¿Cuál es el valor de x en estas cinco ecuaciones? 5 2. A partir de la ecuación 3x + 51 = 60 encontraremos otras que sean equivalentes pero más simples. El secreto es aplicar la misma operación, con los mismos números, en ambos miembros. Anota qué operación se aplicó. a) 3x + 50 = 59 Se restó 1. b) 3x = 9 Se restó 50. c) x = 3 Se dividió entre 3. 3. Haz lo mismo con x + x + 1 = 57. a) 2x + 1 = 57 Se sustituyó x + x por 2x. Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de ecuaciones. b) 2x = 56 Se restó 1. c) x = 28 Se dividió entre 2. 4. A partir de la ecuación 5x + 4 = 59, anota sobre cada línea la ecuación que resulta después de aplicar la operación que se indica. a) Se suma 1 en ambos miembros: 5x + 5 = 60 b) Se dividen entre 5 ambos miembros: x + 1 = 12 c) Se resta 1 en ambos miembros: x = 11 d) ¿Cuánto vale x? 11 m Compara, con ayuda del profesor, tus resultados con los de tus compañeros. Si cometiste errores, explica en qué consisten. 160 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 160 1/18/13 11:47 AM 5. Indica qué operación se efectuó en cada caso. x = 2.5 a) 10x = 25 Se multiplicó por 10. b) 10x – 5 = 20 Se restó 5. c) 20x – 10 = 40 Se multiplicó por 2. d) 2x – 1 = 4 Se dividió entre 10. e) 2x = 5 Se sumó 1. f ) x = __52 Se dividió entre 2. ¿Cuánto vale x? 2.5 Las ecuaciones pueden resolverse por ensayo y error, con operaciones inversas o utilizando las propiedades de la igualdad, que permiten aplicar la misma operación, con los mismos números, en ambos miembros. bh 6. ¿Recuerdas la fórmula A = __ ? Se lee “área igual a base por altura entre dos” y sirve para 2 calcular el área de un triángulo. Esta fórmula, como muchas otras, es una igualdad y puede transformarse aplicando la misma operación, con los mismos números, en ambos miembros de la igualdad. Anota la operación que se efectuó en cada caso. bh A = __ 2 a) 2A = bh Se multiplicó por 2. b) bh = 2A c) 2A b = __ h Si 2A = bh, entonces bh = 2A Se dividió entre h. » Según la última expresión, la base de un triángulo es igual a dos veces su área dividida entre la altura. 7. Resuelve con el procedimiento que te resulte más sencillo. m a) 6x – 4 = 2 x= 1 =1 c) 3x + _ 2 x= e) 4x + 6 = 8 x= 1 1 6 1 2 b) 3x + 5 = 7 x= d) 5x + 40 = 40 x= 2 3 0 f ) 2.5x + 2.5 = 10 x= 3 Revisa, con tus compañeros y el profesor, los resultados de las actividades 5, 6 y 7. Analicen los errores y corrijan lo que sea necesario. 161 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 161 1/18/13 11:47 AM 3 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Secuencia 4 / lección 65 Problemas diversos 1. Analiza el problema y haz lo que se pide. Un garrafón con 18 l de agua cuesta $92.80. El envase cuesta 1.9 veces lo que el líquido. ¿Cuánto cuesta el envase y cuánto el líquido? a) Traduce el problema a una ecuación. Piensa que el envase o el líquido cuestan x pesos. » Si el envase costara x, ¿cuánto costaría el líquido? x _ 1.9 » Si el líquido costara x, ¿cuánto costaría el envase? 1.9x b) Habiendo expresado algebraicamente el costo del envase y del líquido, se puede escribir la ecuación. Hazlo de dos formas. » Si el envase cuesta x, la ecuación es: x + x _ 1.9 » Si el líquido cuesta x, la ecuación es: x + 1.9x = 92.80 = 92.80 c) En el esquema hay una manera de resolver la primera ecuación. Completa las casillas (en las sombreadas se indica qué hacerle a la ecuación anterior). x x + ___ = 92.80 1.9 Multiplicar por 1.9: x 1.9x + 1.9 ___ = 1.9(92.80) 1.9 1.9x + x = 1.9(92.80) Dividir ambos miembros entre 2.9: 2.9x = 176.32 Simplificar términos, es decir, sumar 1.9x + x x = 60.8 d) El valor encontrado es el costo del envase. ¿Cuánto cuesta el líquido? $32.00 e) Resuelve, en tu cuaderno, la ecuación en la que x representa el costo del líquido. Anota las operaciones que efectúes. x + 1.9x = 92.80 m Comenta con tus compañeros con qué ecuación fue más fácil resolver el problema. 162 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 162 1/18/13 11:47 AM 2. Formula una ecuación para cada problema. Resuélvela con la técnica que prefieras y comprueba la solución. Problema Ecuación resolver Solución a) El triple de la edad de María, más dos años es igual a 38 años. ¿Qué edad tiene María? 3x + 2 = 38 b) El costo de una camisa, menos la quinta parte de ese costo es igual a $144.00. ¿Cuánto cuesta la camisa? x – x = 144 5 180 c) Un taxi cobra $3.20 por km más $8.00 por viaje. Una persona pagó $78.40. ¿Cuántos km recorrió el taxi? 3.2x + 8 = 78.4 22 d) Seis veces la cantidad de minutos que utilicé para estos problemas más 20 minutos de discusión totalizaron 128 minutos. ¿Cuántos utilicé para resolver estos problemas? 6x + 20 = 128 18 x = doce años 3. Inventa un problema para cada ecuación, resuélvelo y comprueba la solución. a) 2.5x + 6 = 31 R. P. b) 45x + 5 = 275 R. P. 4. Relaciona las ecuaciones con las soluciones. a) 15x – 3 = 162 x = 2.1 b) 5x – 2.5 = 62.5 x=0 c) 3x + 2.1 = 8.4 x = 13 d) 15x + 1 000 = 1 000 x = 11 e) 3x – 2 000 = 1 000 x = 1 000 técnicas Sigue practicando con ecuaciones como las de este bloque en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-163 163 S-CNCT_M1_B3_154-163.indd 163 1/18/13 11:47 AM 3 contenido BLOQUE Construye polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Analiza la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. En contexto Secuencia 5 / lección 66 Polígonos y doblado de papel Con frecuencia se usan polígonos regulares para construir mosaicos, azulejos, vitrales, e incluso fuentes, kioscos y edificios. Dan armonía y belleza al lugar donde se encuentran. En esta secuencia aprenderás a trazarlos y conocerás algunas de sus propiedades. 1. Sigue el procedimiento para construir un hexágono. Necesitarás cuatro círculos de papel de 6 cm de radio. Pueden ser de colores. Desdobla: el círculo ha queDobla el círculo a la mitad. Dobla en tres partes iguales dado dividido en seis partes para obtener esta figura. iguales. Este edificio, llamado El Pentágono, es la sede del Departamento de Defensa de Estados Unidos de América. Traza líneas con tu regla para formar el hexágono. Dobla por las líneas. Voltea la figura: tienes un hexágono regular. Pégalo en tu cuaderno. a) Con los otros círculos forma un cuadrado, un octágono regular y un triángulo equilátero, y pégalos en tu cuaderno. 2. Responde. a) ¿En cuántas partes quedó dividido el círculo? 5 b) ¿Cuánto mide cada ángulo marcado? 72 º c) Traza los segmentos que faltan para formar un polígono regular. d) ¿Qué polígono obtuviste? Pentágono. 164 S-CNCT_M1_B3_164-169.indd 164 1/18/13 11:48 AM 3. Traza, en tu cuaderno, cinco circunferencias de 5 cm de radio y úsalas para trazar, respectivamente, un cuadrado, un pentágono regular, un hexágono regular, un octágono regular y un nonágono regular (nueve lados). Los vértices de los polígonos trazados quedaron sobre una circunferencia. Esta es la circunferencia circunscrita al polígono regular. técnicas 45º También quedaron marcados los ángulos centrales del polígono regular. El vértice de estos ángulos es el centro de la circunferencia circunscrita y sus lados van de dicho centro a dos vértices consecutivos del polígono. 4. En cada polígono que trazaste… a) verifica que todos sus lados midan lo mismo. b) marca un ángulo central y anota su medida. 5. Traza una circunferencia circunscrita al triángulo equilátero y otra al cuadrado. Convivimos Cuando no hayas entendido algo no dudes en preguntar a otros. Comenta a tu profesor o a tus compañeros aquello que te está costando trabajo. Esto te permitirá avanzar con más confianza en el estudio de las matemáticas. Y, si has comprendido algo, compártelo con aquellos a quienes se les dificulte. Una pista 6. Traza un hexágono regular en la circunferencia circunscrita al triángulo y un octágono regular en la del cuadrado. Recuerda lo que estudiaste de la mediatriz de un segmento. 165 S-CNCT_M1_B3_164-169.indd 165 1/18/13 11:48 AM 3 contenido BLOQUE Construye polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Analiza la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Secuencia 5 / lección 67 Relaciones interesantes 1. Reúnete con un compañero. Lean lo siguiente. Un ángulo interno de un polígono se forma por dos de sus lados consecutivos. Se ubica dentro del polígono. Un ángulo externo de un polígono se forma por uno de sus lados y la prolongación de otro. Se ubica fuera del polígono. a) Marquen un ángulo interno en cada polígono. b) En cada figura se prolongó un lado para identificar un ángulo externo. Prolonguen otro lado e identifiquen el ángulo externo que se forma. c) Identifiquen un ángulo interno y uno externo en los polígonos regulares que trazaron en la lección anterior. Verifiquen que los ángulos internos de cada polígono midan lo mismo. d) Respondan sin medir. » ¿Los ángulos externos de un polígono regular miden lo mismo? Sí. » Argumenten su respuesta. R. T. Cada ángulo externo es el com- plemento para 180 grados del ángulo interno correspondiente, pero los ángulos internos de un polígono regular miden llo mismo. 166 S-CNCT_M1_B3_164-169.indd 166 1/18/13 11:48 AM 2. Completa en equipo la tabla. Usen los polígonos regulares de la lección anterior para comprobar los datos que ya están. Polígono regular cuadrado pentágono hexágono octágono nonágono Medida del ángulo central Medida del ángulo interno o Medida Suma del ángulo del ángulo central más el externo ángulo interno o 90 o 90 90 o 180 o 108° 72 180° o o 120 60° 180 135° 45 180 o 40° 180° 72 60 o 45 o 40 o o o 140 o 3. Respondan las preguntas. a) Conociendo el número de lados de un polígono regular, ¿cómo se calcula la medida de o su ángulo central? Se divide 360 entre el número de lados. b) ¿Cómo se relacionan la medida del ángulo central y la del ángulo interno? o Suman 180 . Conoce más sobre polígonos regulares en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-167 c) ¿Cómo se relacionan la medida del ángulo externo y la del ángulo central? Ambos tienen igual medida. 4. Traza en tu cuaderno… resolver a) un octágono regular cuyo lado mida 2 cm. b) un polígono regular cuyo ángulo interno mida 36°. c) un polígono regular cuyo ángulo externo mida 120°. d) una circunferencia de 4 cm de radio circunscrita a un polígono regular cuyo ángulo interno mida 60°. m Compara tus respuestas y trazos con los de tus compañeros. Comenten en qué casos los polígonos son del mismo tamaño. Se dice que un polígono es regular cuando cumple dos condiciones: 1) sus lados miden lo mismo, y 2) sus ángulos internos miden igual. 167 S-CNCT_M1_B3_164-169.indd 167 1/18/13 11:48 AM 3 contenido BLOQUE Construye polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Analiza la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Secuencia 5 / lección 68 Vitrales 1. Utiliza lo que sabes sobre trazado de paralelas y perpendiculares para reproducir en tu cuaderno el siguiente vitral. El cuadrado más grande debe medir 10 cm por lado. » Anota las instrucciones para trazarlo. R. T. Se traza un cuadrado de 10 cm de lado; se unen los puntos medios de cada lado para formar el cuadrado interior, y se trazan las mediatrices del cuadrado pequeño hasta tocar los vértices del grande. validar resolver » Trabaja con un compañero. Lee sus instrucciones y él leerá las tuyas. Cada uno debe seguirlas y comprobar si pudo dibujar el diseño del vitral; hagan las correcciones necesarias en las instrucciones de ambos. 2. José hizo un dibujo a escala 1:20 de otro vitral. Ya sabemos... La escala 1:20 significa que por cada centímetro del dibujo, el original mide 20 cm. Dibuja en tu cuaderno el mismo vitral a escala 1:10 del original. 168 S-CNCT_M1_B3_164-169.indd 168 1/18/13 11:48 AM 3. Analiza estos vitrales, piensa cómo trazarlos y reproduce uno en tu cuaderno del tamaño que gustes. m Comenta con tus compañeros cómo trazaste el vitral. 4. En el siguiente espacio, diseña un vitral en forma de decágono regular cuyo lado mida 3 cm. Coloréalo a tu gusto. R. P. 5. Reúnete con un compañero. a) Escribe en una hoja las instrucciones para trazar el vitral que diseñaste. b) Intercambien las instrucciones que escribieron. Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de perímetro y área de polígonos. c) Cada uno siga las instrucciones del otro para trazar, en su cuaderno, el vitral. d) Comparen sus dibujos. Comenten si las instrucciones del compañero les permitieron trazar el vitral. 169 S-CNCT_M1_B3_164-169.indd 169 1/18/13 11:48 AM 3 CONTENIDO BLOQUE Resuelve problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Secuencia 6 / lección 69 La plaza En el centro de una plaza cuadrada hay un quiosco octagonal cuyo piso se quiere cubrir con mosaicos. ¿Cuántos mosaicos se deben comprar como mínimo? Preguntas como esta pueden responderse calculando el área y perímetro de polígonos regulares. 1. Considera el croquis. 10 m En contexto El adocreto es un material ecológico que, además de ser fabricado con un proceso poco contaminante, permite el paso del agua de lluvia hacia el manto acuífero de la tierra, evitando saturar el drenaje. F Quiosco F 35 m a) Se tiene proyectado… Practica el cálculo del área de polígonos regulares en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-170 » » » » cubrir el piso de la plaza con adocreto (a excepción de jardineras, quiosco y fuentes), colocar pasto en rollo en las jardineras, cubrir el piso del quiosco y de las fuentes (marcados con F) con mosaicos, y colocar barandal de hierro alrededor del quiosco y de las jardineras. En el quiosco se dejarán dos entradas de 1 m sin barandal. 170 S-CNCT_M1_B3_170-175.indd 170 1/18/13 11:48 AM b) Las medidas del quiosco y las fuentes son las siguientes. Quiosco Lado: 2 m Apotema: 2.41 m Fuentes Lado: 1 m Apotema: 0.87 m Ya sabemos... La apotema de un polígono regular es el segmento que va del centro del polígono a cualquiera de sus lados, y es perpendicular a estos. c) Completa la siguiente tabla. Estima el material que se requiere y anótalo. Después verifica con calculadora y llena la tercera columna. Estimación de la cantidad mínima requerida Material Pasto para las cuatro jardineras Cantidad mínima requerida 400 m2 R. P. técnicas Mosaico para el piso del quiosco 19.28 m2 Mosaico para el piso de las dos fuentes 5.22 m2 Adocreto para el piso restante de la plaza 800.5 m2 Barandal para las cuatro jardineras 160 m Barandal para el quiosco 14 m 2. La tabla muestra los costos de los materiales. Estima primero y después verifica con calculadora. Precio Estimación del gasto Gasto Pasto en rollo $50.00 × m2 R. P. $20 000 Mosaico para el quiosco y las fuentes $150.00 × m2 $3 675 Adocreto para el piso de la plaza $200.00 × m2 $160 100 Barandal para las jardineras y el quiosco $500.00 × m $87 000 Material TOTAL m Ya sabemos... El área de un polígono regular se calcula multiplicando el perímetro por la apotema y dividiendo el resultado entre 2. $270 775 Compara tus respuestas de las actividades 1 y 2 con las de tus compañeros. Comenta tu estrategia para hacer las estimaciones. Comenta también en qué casos se necesitará más material y por qué. 171 S-CNCT_M1_B3_170-175.indd 171 1/18/13 11:48 AM 3 CONTENIDO BLOQUE Resuelve problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Secuencia 6 / lección 70 Mesas y polígonos regulares 1. Calcula el vidrio necesario para cubrir cada mesa. En cada caso la parte superior es un polígono regular. Puedes usar calculadora. resolver Escala: 1:30 Vidrio necesario para cubrirla: 3 510 cm2 lado = 3 cm altura = 2.6 cm Ya sabemos... Escala: 1:40 La escala 1:30 significa que 30 unidades del original corresponden a una unidad en el dibujo. Vidrio necesario para cubrirla: 17 424 cm2 lado 3.3 cm Escala: 1:30 Vidrio necesario para cubrirla: 6 750 cm2 lado = 2 cm apotema = 1.5 cm Escala: 1:40 Vidrio necesario para cubrirla: lado = 1.5 cm y apotema = 1.3 cm A = 9 360 cm2 m 172 S-CNCT_M1_B3_170-175.indd 172 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay diferencias expliquen por qué. R. T. Hay errores por la medición y por redondear o truncar los números decimales en las operaciones. 1/18/13 11:48 AM 2. Las colchonetas trapezoidales son muy versátiles. Se pueden acomodar de muchas maneras. Observa las imágenes y responde. o 60 o 120 o 120 o 60 120 o 120 o o o 120 120 o 120 o 120 a) ¿Cuánto deben medir los ángulos del trapecio para que se forme el hexágono? o o 60 en la base mayor y 120 en la base menor. b) Anota, en el dibujo, las medidas de los ángulos de uno de los trapecios y los del hexágono. c) Considerando que la base mayor de cada trapecio mide 80 cm; la base menor, 40 cm; y la altura, 34.5 cm. Averigua… » el perímetro del hexágono exterior. 480 cm » el perímetro del hexágono interior. 240 cm Apotema del hexágono interior = 34.5 cm » la apotema de cada hexágono. Apotema del hexágono exterior = 69 cm » el área del hexágono interior. 4 140 cm2 » el área que abarcan las seis mesas. 16 560 cm2 3. Responde las preguntas. validar a) Para cubrir una mesa octagonal con vidrio se ocuparon 1.2 m2. Si la apotema de la mesa mide 0.60 m, ¿cuánto mide un lado? 0.5 cm b) Explica tu respuesta. R. T. A partir de la fórmula para calcular el área de un polígono regular, se sustituyen los datos conocidos, se despeja el valor del lado y se efectúan las operaciones. Practica el cálculo del perímetro de polígonos regulares en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-173 173 S-CNCT_M1_B3_170-175.indd 173 1/18/13 11:48 AM 3 CONTENIDO BLOQUE Resuelve problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. técnicas Secuencia 6 / lección 71 Más sobre el área de polígonos regulares 1. Mide lo necesario en cada caso para calcular el área de la figura. Utiliza la fórmula que se indica. a) Área del cuadrado Área = lado × lado Área = A = 3 Í3 A= = 9 cm2 perímetro × apotema 2 (3 Í4) Í 1.5 _ 4.2 Í 4.2 17.64 18 __ = = A = __ = _ = 2 2 2 2 9 cm2 validar diagonal × diagonal 2 Área = 8.82 cm2 » ¿Por qué se obtiene el área del cuadrado con la segunda fórmula? R. T. Porque se puede considerar la figura como un polígono regular de cuatro lados. » ¿Por qué se obtiene con la tercera? R. T. Porque todo cuadrado es también un rombo. b) Área del triángulo perímetro × apotema 2 Área = base × altura 2 Área = 4 Í3.4 A = _____ 12 Í1.1 A = _____ 2 = 6.8 cm2 2 = 6.6 cm2 » ¿Por qué se obtiene el área del triángulo con la segunda fórmula? R. T. Porque se puede considerar la figura como un polígono regular de tres lados. 174 S-CNCT_M1_B3_170-175.indd 174 1/18/13 11:48 AM m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Revisen si hubo diferencias y expliquen por qué. Respondan: ¿por qué funciona la fórmula para el área de un polígono regular en el cuadrado y en el triángulo equilátero? Porque ambas figuras son polígonos regulares. 2. Considera el triángulo isósceles. Mide lo necesario para responder las preguntas. A » ¿Qué polígono regular se forma uniendo varios de estos triángulos con A como vértice común sin dejar huecos ni encimarlos? Un pentágono. » ¿Cuál es el perímetro de esa figura? 26.5 cm » ¿Cuál es su área? 49 cm2 3. Considera el romboide. Mide lo necesario para responder las preguntas. » ¿Qué polígono regular se forma uniendo varios de estos rombos sin dejar huecos ni encimarlos? Un hexágono. » ¿Cuál es el perímetro de esa figura? 18 cm » ¿Cuál es su área? 23.4 cm2 4. Responde. resolver a) Cada lado de un polígono regular mide 0.5 cm y su área es: A = 4a (A = área, a = apotema). ¿Cuántos lados tiene? Ocho. b) ¿Cuánto debe medir la apotema de un polígono regular para que su área y su perímetro sean iguales? 2 unidades de longitud. m Explica tus respuestas a tus compañeros. 175 S-CNCT_M1_B3_170-175.indd 175 1/18/13 11:48 AM 3 contenido BLOQUE Anticipa resultados de una experiencia aleatoria, los verifica al realizar el experimento y los registra en una tabla de frecuencias. Secuencia 7 / lección 72 Creencias y realidades ¿Qué resultaría de lanzar dos volados? Águila, águila; águila, sol; sol, águila; o sol, sol. ¿Y si lanzaras diez? ¿Y cien? En esta secuencia compararás lo que consideras que sucederá con lo que ocurre cuando efectúas el experimento. 1. Haz lo que se indica. a) Anota los resultados que piensas que saldrán al lanzar veinte volados. Anota A para águila y S para sol. Resultados supuestos R. P. b) Lanza los veinte volados y anota los resultados. Resultados reales Una pista c) Verifica que, en el siguiente ejemplo, haya once rachas. Se llama racha a una sucesión de resultados iguales. A S S S A S A A A A S S A S A A A S S A » Completa la lista con la longitud de cada racha. 1, 3, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1 » ¿Cuál es la racha más larga? La de cuatro águilas seguidas (AAAA). 2. Completa la tabla de acuerdo con los resultados de la actividad 1. Núm. de águilas Resultados supuestos Núm. de soles Núm. de rachas Longitud de la racha más larga R. P. Resultados reales m Analiza, en grupo, los resultados que obtuvieron. Observen si hay diferencias entre los resultados supuestos y los reales. Revisen si… » los resultados supuestos son más uniformes que los reales; » en general, no se aprecian rachas muy largas y la cantidad de águilas es similar a la de soles; y » en los resultados supuestos, la cantidad de águilas y soles es igual o muy similar. » Anoten sus conclusiones. R. P. 176 S-CNCT_M1_B3_176-181.indd 176 1/18/13 11:49 AM 3. Haz lo siguiente para analizar y contrastar los resultados supuestos y reales. resolver a) Recopila el número de águilas supuestas por cada compañero. Anótalos en el recuadro y ordénalos de menor a mayor. DATOS: águilas supuestas R. P. b) Organiza estos datos en la tabla de frecuencias. Ya sabemos... Tabla de frecuencias Resultados supuestos Núm. de águilas 0 Frecuencia R. P. Núm. de águilas Frecuencia 11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 17 7 18 8 19 9 20 Se le llama frecuencia al número de veces que se repite un suceso. 10 c) Responde las preguntas. » ¿Alguien en tu grupo supuso que caerían quince águilas al lanzar veinte volados? ¿Cómo lo sabes? R. P. » ¿Cuántas águilas supuso que caerían la mayoría del grupo? Una pista Si en tu grupo hay 35 alumnos y cada uno lanzó veinte volados, el total de soles más el total de águilas es igual a 700. » ¿Cuántas águilas aparecen en los resultados supuestos? » ¿El número de águilas es mayor, menor o igual que el de soles? » ¿Cómo lo averiguaste? m Revisa, en grupo, tus resultados. Corrije, si es necesario, con la ayuda del profesor. 177 S-CNCT_M1_B3_176-181.indd 177 1/18/13 11:49 AM 3 contenido BLOQUE Anticipa resultados de una experiencia aleatoria, los verifica al realizar el experimento y los registra en una tabla de frecuencias. Secuencia 7 / lección 73 Para comparar datos 1. Organiza los resultados reales de los volados de la lección anterior tal como lo hiciste con los supuestos: recaba los datos del grupo y ordénalos de menor a mayor. DATOS: águilas reales R. P. a) Organiza los datos en la tabla de frecuencias. R. P. Tabla de frecuencias Resultados reales Núm. de águilas 0 Frecuencia R. P. Núm. de águilas Frecuencia 11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 17 7 18 8 19 9 20 10 resolver 2. Responde y haz lo que se indica para analizar y comparar los resultados supuestos con los reales. a) ¿Cuál es el mayor número de águilas en los resultados reales? R. P. ¿Y el menor? b) ¿Coinciden los datos anteriores con los resultados supuestos? ¿Por qué? c) ¿Qué dato tiene mayor frecuencia en los resultados reales? ¿Y en los supuestos? 178 S-CNCT_M1_B3_176-181.indd 178 1/18/13 11:49 AM d) ¿Cuántas águilas aparecen en los resultados reales? ¿Este número es mayor, menor o igual que el número de soles? e) ¿La diferencia entre el número de águilas y el de soles es mayor en los resultados supuestos o en los reales? ¿A qué se debe? Revisa, en grupo, tus respuestas. m comunicar 3. Representa en una gráfica de barras cada conjunto de resultados. Gráfica de barras Resultados reales F r e c u e n c i a R. P. Gráfica de barras Resultados supuestos F r e c u e n c i a 15 10 5 0 15 10 5 0 Núm. de águilas Núm. de águilas 4. Comenta y escribe, con ayuda del profesor, tus conclusiones sobre… a) las diferencias que se aprecian entre resultados supuestos y reales. R. P. Aprende más sobre anticipación de resultados en una experiencia aleatoria en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-179 b) la utilidad de las tablas de frecuencias y las gráficas para apreciar las diferencias. R. T. Ayudan a identificar los resultados que tienen mayor, menor o igual frecuencia en un experimento. 179 S-CNCT_M1_B3_176-181.indd 179 1/18/13 11:49 AM 3 contenido BLOQUE Anticipa resultados de una experiencia aleatoria, los verifica al realizar el experimento y los registra en una tabla de frecuencias. resolver Secuencia 7 / lección 74 Lanzamiento de un dado 1. En las lecciones anteriores analizaste algunos aspectos relacionados con los volados. En esta lección reflexionarás sobre qué pasa cuando se lanza un dado. Para las actividades necesitarás un dado; si no lo tienes, puedes construirlo con cartulina o papel (trazando y armando una plantilla como la siguiente). 2. Llena las tablas: para la primera supón que lanzas 30 veces un dado y para la segunda haz 30 lanzamientos y registra los resultados. Después contesta las preguntas. Resultados supuestos R. P. Resultados reales a) ¿Cuántas rachas hay en la primera tabla? R. P. ¿Y en la segunda? b) ¿Cuál es la longitud de la racha más larga en la primera? c) ¿Cuántas veces creíste que iba a caer 1? ¿Y en la segunda? ¿Cuántas veces cayó? 3. Forma un equipo de cinco personas. Sumen sus resultados y regístrenlos en las siguientes tablas. Por ejemplo, si Luis anotó tres veces 1 en los resultados supuestos; Juan, dos; Tere, una; Mónica, cinco; y José, cuatro; la frecuencia del 1 sería 3 + 2 + 1 + 5 + 4 = 15. 180 S-CNCT_M1_B3_176-181.indd 180 1/18/13 11:49 AM Resultados supuestos Puntos del dado Resultados reales Frecuencia 1 Puntos del dado Frecuencia 1 R. P. 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 a) ¿Detectan diferencia entre los resultados supuestos y los reales? R. P. ¿En qué consiste? b) ¿Suponen que un número cae con mayor frecuencia que los demás? ¿Qué número es? ¿Es el mismo que en los resultados reales? 4. En la gráfica de barras adosada se muestran los resultados reales y los supuestos. Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de juegos de azar y loterías. Gráfica de barras adosada 35 30 33 27 25 24 28 26 22 20 24 24 23 25 25 19 Reales 15 Supuestos 10 5 0 1 2 3 4 5 6 a) Observen el ejemplo y tracen, en su cuaderno, una gráfica de barras adosada que represente las tablas de frecuencias de la actividad 3. La gráfica de barras adosada que construyeron permite apreciar las semejanzas y diferencias entre los resultados supuestos y los reales. Como en los volados, tal vez confirmen que tendemos a pensar que hay más regularidades de las que ocurren en una situación aleatoria. Por ejemplo, suponemos que después de caer águila es más probable que caiga sol. 181 S-CNCT_M1_B3_176-181.indd 181 1/18/13 11:49 AM 3 contenido BLOQUE Lee y comunica información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. resolver Secuencia 8 / lección 75 ¿Es mucho o es poco? ¿Metermcincomgolesmenmtirosmlibresmesmmucho?mDependemdemcuántosmtirosmsemhagan. 1. Los alumnos de tercero de secundaria de todas las escuelas de una ciudad presentaron un examen. Algunos resultados fueron los siguientes. Escuela Alumnos aprobados A 70 B 28 C 28 D 12 ¿Qué escuela tuvo los mejores resultados? R. T. No puede saberse. 2. Los alumnos de tercero de secundaria en cada escuela son… Escuela Alumnos de tercero A 300 Una pista En la escuela A, 300 alumnos representan el total de alumnos. Observa que 10 alumnos es 30 veces menor 1 que 300 y representa __ 30 del total. B 30 C 120 D 120 a) Considerando esto, ¿qué escuela tuvo los mejores resultados? B ¿Y los peores? D b) En la escuela C menos de la cuarta parte de los alumnos aprobó. Esa escuela se ubica en el primer intervalo de la recta de abajo. Ubica las otras escuelas. C 3 1 _ _ B 4 4 2 c) Calcula la fracción de alumnos de tercero aprobados en cada escuela. 0 1 A_ D Escuela A B C D mm 1 Fracción de alumnos aprobados 7 ___ = 0.233... 30 7 ___ 30 14 __ = 0.933... 15 = 0.233... 12 ___ = 0.1 120 Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean la siguiente información con la ayuda de su profesor. 182 S-CNCT_M1_B3_182-185.indd 182 1/18/13 11:49 AM La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que se repite. Por ejemplo, la frecuencia absoluta de alumnos aprobados en la escuela A es 70. La frecuencia relativa de un dato es la frecuencia absoluta comparada con el total, es decir, se trata de una razón. Puede expresarse con una fracción o con un decimal. Por ejemplo, la frecuencia relativa de alumnos aprobados en la escuela A es 7 = 0.23333... 70 alumnos de 300 = _ 30 Para poder decir qué escuela tuvo mejores resultados no basta conocer la frecuencia absoluta de aprobados, es necesario conocer la frecuencia relativa. 3. Se hicieron votaciones para elegir al representante estudiantil de secundaria. Se presentaron tres candidatos: Luis, María y Sonia. En la tabla se presentan algunos resultados. Complétala. Frecuencia relativa Frecuencia absoluta María 200 Luis 75 Sonia 325 Total 600 Como fracción 200 ____ 0.33... 0.125 600 75 ___ 600 325 ____ 600 ___ Como decimal 600 0.5416... 1 600 Practica con las tablas de frecuencia en... www.e-sm.com.mx/ SCM1-183 4. Haz, en equipo, lo siguiente. Respondan en su cuaderno. a) Comparen sus tablas. Comprueben que la suma de las tres fracciones así como la suma de los tres números decimales sea igual a 1. b) ¿Qué significa que la frecuencia relativa de votos de un candidato sea muy cercana a 1? ¿Qué significa que sea muy cercana a 0? ¿Podría ser mayor a 1? ¿Por qué es útil conocer la frecuencia relativa? 5. En una encuesta, los porcentajes de votos que recibieron tres alumnos fueron… Alumno Porcentaje de votos Araceli 15% Layla 52% Éric 33% validar Que recibió cerca de 100% de los votos. Que casi no recibió votos. No podría ser mayor a 1. Permite comparar parte de los datos con el total. Completa la tabla considerando que hubo 200 votantes. Frecuencia relativa Frecuencia absoluta Araceli Como fracción 30 ____ 104 ____ Éric 30 104 66 Total 200 200 ____ Layla 200 200 66 ____ 200 200 Como decimal 0.15 0.52 0.33 1 Una pista Observa que el porcentaje permite expresar la frecuencia relativa. 6. Encuesta a 20 compañeros sobre qué deporte les gusta más. Haz, en tu cuaderno, una tabla de frecuencias absoluta y relativa con los datos. 183 S-CNCT_M1_B3_182-185.indd 183 1/18/13 11:49 AM 3 contenido BLOQUE Lee y comunica información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. Secuencia 8 / lección 76 Elecciones 1. Considera la población de un estado A que pertenece a un país B. Habitantes Mujeres Hombres Estado A 7 587 931 3 889 438 3 698 493 País B 56 168 269 28 740 654 27 427 615 a) En la tabla están los resultados de las votaciones para gobernador del estado A. Se registró un padrón de 5 millones 277 835 electores, con una participación de 46.15% Partido Candidato Votos Partido Patriota Raúl Gómez 301 570 Partido Solidario Juana Pérez 1 522 777 Partido Fraterno Miguel Araujo 515 498 Nulos 90 219 No registrados 5 582 Total 2 435 646 b) La cantidad de habitantes del Estado A no coincide con los habitantes registrados en el padrón electoral. ¿A qué se debe? R. T. El registro en el padrón electoral es a partir de los 18 años. c) ¿Qué significa que la participación electoral fue de 46.15%? R. T. Que menos de la En contexto El padrón electoral es un registro en el que se inscriben a los ciudadanos de un distrito electoral que pueden participar en elecciones. mitad de la población registrada en el padrón electoral votó. d) Según los datos anteriores, ¿qué candidato ganó? Juana Pérez. e) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de votos del candidato ganador? 1 522 777 184 S-CNCT_M1_B3_182-185.indd 184 1/18/13 11:49 AM f ) ¿Cuál es la frecuencia relativa de sus votos considerando… 1 522 777 »m el total de votantes. _ 2 435 646 1 522 777 »m el total de habitantes registrados en el padrón electoral. _ 5 277 835 g) ¿Cuál fue la frecuencia absoluta de votos del segundo lugar? 515 498 h) ¿Cuál fue la frecuencia relativa de votos del segundo lugar considerando… 515 498 »m el total de votantes. _ 2 435 646 515 498 »m el total de habitantes registrados en el padrón electoral. _ 5 277 835 i) ¿Qué son los votos nulos? R. T. Los votos anulados. j) ¿Y los no registrados? R. T. Son votos por candidatos no registrados. 2. Llena la tabla con los datos anteriores. Partido Partido Patriota Partido Solidario Partido Fraterno Nulos No registrados TOTAL Frecuencia absoluta de votos 301 570 1 522 777 515 498 90 219 5 582 2 435 646 comunicar Frecuencia respecto al total de votantes Como fracción Como decimal _______ 301 570 2 435 647 1 522 777 ________ 2 435 646 _______ 515 498 2 435 646 90 219 _______ 2 435 646 5 582 _______ 2 435 646 1 0.1238 0.6252 0.2116 0.0370 0.0023 1 3. Nombren, en grupo, tres posibles candidatos para presidente del comité estudiantil. Hagan una encuesta sobre por qué candidatos votarían. Anoten, en una tabla como la anterior, los resultados de la encuesta. mm Compara tus resultados de los ejercicios 2 y 3 con los de tus compañeros. Discutan en grupo. »m ¿Por qué es importante conocer la frecuencia absoluta y la relativa cuando se analizan los resultados de una elección? R. T. Para saber cuántos votos y qué porcentaje obtuvo cada candidato. Entra a la página de COnECt@ y descarga la actividad de tablas de frecuencia »m ¿En qué otros casos es importante conocer frecuencias relativas, además de absolutas? R. P. 185 S-CNCT_M1_B3_182-185.indd 185 1/18/13 11:49 AM Las matemáticas en... El arte Entre los siguientes rectángulos hay dos que son semejantes, es decir, tienen la misma forma. Encuéntralos: Anota las medidas de los rectángulos en la tabla. Calcula y anota el cociente “largo entre ancho” de cada rectángulo; puedes usar calculadora. CyD A C Rectángulo A B C D Largo (l) 4 4 3 6 Ancho (a) 2 3 1 2 3 3 l÷a 2 4 __ 3 Observa que en los dos rectángulos semejantes el largo mide tres veces el ancho. Se puede decir que la razón del largo respecto del ancho es 3 a 1. B Las siguientes son imágenes de dos creaciones muy famosas en el mundo: el Partenón, de Atenas, Grecia y la catedral de Notre-Dame, en París. En cada una se pueden identificar rectángulos: el que inscribe al Partenón y, en el caso de la catedral, los que están marcados. D Calcula mediante una división el valor de la razón del largo respecto del ancho en cada rectángulo. Toma las medidas que sean necesarias. Largo Partenón Ancho Largo ÷ ancho 6 3.6 Catedral (rectángulo rojo) 1.6666667 0.9 0.6 1.5 Catedral (rectángulo azul) 2.1 1.3 1.61538 Catedral (rectángulo verde) 3.8 2.4 1.58333 186 S-CNCT_M1_B3_186-191.indd 186 1/18/13 11:50 AM Observa que, en los rectángulos, la razón del largo respecto del ancho es cercana a 1.618. La razón 1 a 1.618 fue llamada por los antiguos griegos razón áurea. Los rectángulos cuyos lados guardan esa razón (rectángulos áureos) eran muy apreciados por su forma armoniosa y estética. Lee las instrucciones para construir rectángulos áureos y después traza los rectángulos que se piden. B Se abre el compás a la medida AB y, apoyándolo en A, se traza un arco desde el punto B. Se empieza con un cuadrado que se divide en dos rectángulos iguales. Se traza la diagonal de uno de los rectángulos. A Se prolonga la línea de la base hasta que corte al arco. Desde ese punto de intersección se traza una perpendicular hasta la línea de arriba y se completa el rectángulo. Construye en tu cuaderno dos rectángulos áureos, partiendo de un cuadrado de 6 cm de lado y de otro de 5 cm de lado. Observa la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Usa tu calculadora para resolver las divisiones; observa que todas ellas involucran dos números consecutivos de la sucesión. 8÷5= 13 ÷ 8 = 1.6 55 ÷ 34 = 1.625 89 ÷ 55 = 1.61 1.618 21 ÷ 13 = 1.615 34 ÷ 21 = 144 ÷ 89 = 1.617 233 ÷ 144 = 1.6190 1.618 ¿Qué observas en los resultados?, ¿qué relación encuentras con la razón áurea? En las páginas 268 y 269 trabajarás de nuevo con esta sucesión. Son cercanas las razones a la razón áurea. Reúnete con un compañero. Con cinta métrica midan algunas partes de su cuerpo y busquen al menos dos medidas cuyo cociente se aproxime a la razón áurea, por ejemplo: Medida del dedo meñique = 5 cm entonces, 5 ÷ 3 = 1.666 Medida de dos de sus falanges = 3 cm Anoten qué partes del cuerpo encontraron cuya razón se aproxime a la razón áurea: Cadera y cintura Razón: 15 Pierna y torso Razón: 1.618 187 S-CNCT_M1_B3_186-191.indd 187 1/18/13 11:50 AM Evaluación (TIPO ENLACE) BLOQUE 3 Selecciona la opción correcta. 1. Camila compró 4.25 kg de manzanas a $21.50 el kilogramo. ¿Cuánto pagó? a) $25.75 b) $42.50 c) $91.37 d) $215.00 2. Para traer agua de un pozo que está a 360 m, se conectarán tubos de 4.8 m de largo. ¿Cuántos tubos como mínimo se necesitan? a) 90 b) 75 c) 65 d) 50 3. Un automóvil recorrió 480 km a 80 km/h. Si expresamos con x el número de horas que el auto estuvo en movimiento, ¿cuál es la ecuación que representa el planteamiento? a) 80 + x = 480 b) 80x = 480 x = 480 d) _ 80 c) 480 – 80 = x 4. El doble de la edad de Jimena más la edad de su papá suman 78 años. Considerando que su papá tiene 50 años, ¿qué ecuación permite conocer la edad de Jimena? a) 2x + 50 = 78 b) 2 + x + 50 = 78 c) 2 + x + 78 = 50 d) 2x + 78 = 50 5. ¿Qué enunciado es falso? a) Los lados de un polígono regular siempre miden lo mismo. b) Los ángulos internos de un polígono regular siempre suman 360°. c) Los ángulos centrales de un polígono regular siempre suman 360°. d) Los ángulos internos de un polígono regular siempre miden lo mismo. 6. El jardín de una plaza está formado por un hexágono regular, cinco triángulos equiláteros y un cuadrado. Si cada lado del hexágono mide 2 m, ¿cuál es el perímetro del jardín? a) 36 m b) 30 m c) 26 m d) 20 m 2 cm 7. ¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia con radio de 5 cm? 5 cm a) 30 cm b) 45 cm c) 60 cm d) 65 cm 188 S-CNCT_M1_B3_186-191.indd 188 1/18/13 11:50 AM 8. A la figura M se le aplicó un factor de proporcionalidad de __43 para obtener la figura N, y a esta también se le aplicó un factor de __34 para obtener la figura P. ¿Cuál es el factor de reducción entre M y P? Figura M Figura N 6 b) _ 4 9 a) _ 4 Figura P 6 c) _ 8 9 d) _ 16 9. En una tienda de abarrotes tienen la siguiente promoción: Antes de pagar, el cliente saca sin ver una canica de color de una bolsa en que hay dos canicas azules, tres rojas y una blanca. Si la canica es blanca, el cliente recibe 20% de descuento; si es azul, recibe 10%; y si es roja, no recibe ningún descuento. ¿Qué resultado se repetirá más? a) 10% de descuento. b) 20% de descuento. c) Ningún descuento. d) Las tres frecuencias serán parecidas. 10. En una escuela se les preguntó a los alumnos su género de televisión favorito. Los resultados de la encuesta se presentan en la tabla. Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Deportes Género favorito 98 0.443 Telenovela 71 0.321 Concursos 15 0.068 Películas 29 0.131 Caricaturas 8 0.036 221 1.000 Total Selecciona la opción que indica una lectura incorrecta de la tabla. a) Coco deduce que menos de la mitad de los encuestados prefiere ver deportes. b) De acuerdo con Felipe, aproximadamente la tercera parte de los encuestados prefiere las telenovelas. c) Luisa concluye que 36% de los encuestados prefiere las caricaturas. d) Para Pedro, menos de 10% de los encuestados prefiere los concursos. 189 S-CNCT_M1_B3_186-191.indd 189 1/18/13 11:50 AM Evaluación (TIPO PISA) BLOQUE 3 Pongo en juego mis competencias COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados Test visual Cuando vamos al oculista, este nos hace leer unas letras de diferentes tamaños en un panel con el fin de valorar nuestra visión. La agudeza visual se expresa como una fracción o un decimal. El paciente se sitúa a una distancia fija del panel y va leyendo las líneas (optotipos) hasta donde pueda. En la escala de fracciones se usa un numerador fijo, que es la distancia a la que se encuentra el panel (suele ser de 20 pies, cerca de 6 m), y un denominador, que representa la distancia máxima a la que una persona con visión normal es capaz de ver esa línea. Cuanto mayor es el denominador, peor es la visión. Por ejemplo, una visión 20/40 significa que la última línea que el paciente es capaz de leer a 20 pies puede ser leída por un sujeto con visión normal a 40 pies. Pregunta 1. Ana, Belén y María tienen una agudeza de 20/50, 20/18 y 20/30. Interpreta estos resultados. Indica quién tiene mejor visión. Pregunta 2. En una óptica utilizan este sistema, pero miden la distancia en metros. Julio tienen una visión de 6/8 y Laura, de 6/7.5. Compara sus resultados con los de Ana, Belén y María, y ordénalos de mejor a peor. Pregunta 3. Otra escala que se suele usar es la decimal, que resulta de dividir las fracciones. Se suele redondear con dos decimales. Calcula la visión de las cinco personas en esta escala. La parcela Joaquín desea construir una casa y está buscando anuncios de terrenos. Hoy ha encontrado estos cuatro. uadrado c Terreno xcelente ado en e ubic amiento fraccion ños de con 30 a , a 10 km2 d a d antigüe m. d da ; 828 de la ciu 0 .0 $900 000 1 Ocasió n: terreno de 15 dam 2 a la s afueras 500 m . Cuenta con de la ciudad. M uy buena luz y agua. Bien vista. Área para construcc comunicado. Ideal ión de 29 m × 17 m. para construir casa. $1 300 00 0 .0 0. Servic $720 000.00 de recole io cción de basura, 2 agua y ele ctricidad . Se vende lote de COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Manejar técnicas eficientemente 2 Pregunta 1. Calcula el precio de un metro cuadrado de terreno en cada caso. 3 Terreno. 20 m × 12 m. $300 000.00. Todos los servicios. Vista panorámica. A 5 min de la estación y a 25 del centro. 4 Pregunta 2. En el primer anuncio, ¿cuánto mide aproximadamente un lado del terreno? Pregunta 3. En el anuncio 3, ¿qué parte del terreno representa el área para construir? Pregunta 4. ¿Qué terreno elegirías? Explica los pros y los contras. 190 S-CNCT_M1_B3_186-191.indd 190 1/18/13 11:50 AM Y para terminar... ¡Juguemos a chicos y grandes! 1. Formen equipos. 2. Por equipo, hagan un tablero como el siguiente. 3. Consigan fichas (frijolitos o botones). • Si a un equipo se le acaban las fichas, queda fuera. La caja, en cambio, puede pedir más fichas. 4. Nombren a la persona que manejará la caja. 5. Cada integrante se queda con 20 fichas y el cajero con 50. 6. Cada integrante puede hacer apuestas de acuerdo con las reglas descritas a continuación. 7. Cuando los dados marquen 7, la caja recoge todas las fichas que en ese momento estén en el tablero. ¡A divertirse! Cuando terminen de jugar, analicen lo siguiente. • Nadie puede apostar al 7. 1) ¿Qué número salió más veces durante el juego? • Se puede apostar el número de fichas que se desee a un número en particular, por ejemplo, al 8, al 3, al 4. Si al lanzar los dos dados el total de puntos es igual a ese número, la caja le dará al jugador el doble de fichas de las que apostó. • Se puede apostar a “chicos” o “grandes”, colocando en la parte azul las fichas por apostar. Si al lanzar los dos dados cae un número chico, a quienes hayan apostado a “chicos” la caja les dará el mismo número de fichas que apostaron; si cae uno grande, se dará lo mismo a quienes hayan apostado a “grandes”. 2) ¿Por qué piensan que sucedió así? 3) ¿Es más posible que salga 12 o que salga 8? ¿Por qué lo consideran así? 4) Si se lanzaran dos dados y en el tablero hubiera un 1, ¿le apostarían al número 1?, ¿por qué? 5) ¿Conviene más apostarle a números chicos, a números grandes o da lo mismo? 191 S-CNCT_M1_B3_186-191.indd 191 1/18/13 11:50 AM BLOQUE 4 Aprendizajes esperados ✓ Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas. ✓ Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información. 192 S-CNCT_M1_B4_192-199.indd 192 1/18/13 11:53 AM Espíritu olímpico ¿Cuál es el origen de los juegos olímpicos? ¿Cuáles son sus valores? Los juegos olímpicos nacieron en la cultura griega, en el siglo viii a. n. e. Se celebraron 293 juegos, hasta que el emperador cristiano Teodosio I los abolió el año 393 por considerarlos paganos. A finales del siglo xix se volvieron a organizar como días de paz en los que los valores del deporte estarían por encima de los conflictos entre países. 4 3 Oro Plata 2 Cobre 1 0 Londres 1948 México 1968 Moscú Los Ángeles Sídney 1980 1984 2000 Atenas 2004 Pekín 2008 1. El diagrama refleja el número de medallas obtenidas por el equipo olímpico mexicano en varios juegos olímpicos. a) ¿En qué juegos olímpicos el equipo de México obtuvo más medallas? ¿Cuántas fueron? b) ¿Conoces otra forma de graficar los mismos datos? Elige, con un compañero, una representación. Trácenla en cartulina. Justifiquen ante el grupo su elección. 2. La Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO) es una competencia para estudiantes de bachillerato que se celebra anualmente desde 1959. Mantiene los mismos valores de deportividad que los juegos olímpicos y premia el ingenio y la habilidad matemática. a) En la IMO se otorga medalla de oro a un doceavo de los concursantes, de plata a dos doceavos y de bronce a tres doceavos. En la IMO de México, en 2005, hubo 513 participantes, de 91 países. ¿Cuántas medallas de cada tipo se otorgaron? b) Los concursantes que no obtienen medalla pero resuelven algún problema reciben mención honorífica. ¿Cómo contribuye esto a sustentar los valores olímpicos? Conoce más sobre la IMO en… www.e-sm.com.mx/SCM1-193 de distinto rmación representada en gráficas A diario nos encontramos con info s y analizar tarla rpre inte sario nece es as derl tipo y tablas de datos. Para compren su información. expresar si has aprendido a interpretar y a Al final del bloque comprobarás . ticas emá mat s enta ami herr información mediante estas 193 S-CNCT_M1_B4_192-199.indd 193 1/18/13 11:53 AM 4 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. resolver Secuencia 1 / lección 77 Temperaturas bajo cero En el conjunto de los números naturales (1, 2, 3…) una resta como 7 – 13 no tiene solución, porque no existe un número natural que sumado a 13 dé como resultado 7. Sin embargo, en el conjunto de los números enteros operaciones como esta sí tienen solución, como verás en esta secuencia. 1. Contesta con base en la tabla. Distancia media al Sol (millones de km) Temperatura superficial (ºC) Mercurio 58 350 Venus 108 480 Tierra 150 22 Planetas En contexto El 24 de agosto de 2006, la Unión Astronómica Internacional adoptó una nueva definición de planeta y Plutón quedó clasificado como planeta enano. Marte 228 23 Júpiter 778 –150 Saturno 1 427 –180 Urano 2 870 –210 Neptuno 4 500 –220 a) ¿Qué planeta es el más caluroso? Venus. b) ¿Cuál es el más frío? Neptuno. c) ¿Qué significa –150 °C? Que la temperatura es 150 C bajo cero. o d) ¿Es cierto que el planeta más caluroso es también el más cercano al Sol? No. e) Entre Marte y Júpiter, ¿cuál es más caliente? Marte. f ) ¿Cuál es la diferencia de temperatura, en °C, entre la Tierra y Marte? o 1 C g) ¿Cuál es la diferencia de temperatura, en °C, entre Marte y Júpiter? o 173 C h) ¿Cuál es la diferencia de temperatura, en °C, entre Júpiter y Saturno? o 30 C 194 S-CNCT_M1_B4_192-199.indd 194 1/18/13 11:53 AM m Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Observen los procedimientos que siguieron para resolver las actividades g) y h). Registren sus conclusiones y lean la siguiente información. En las preguntas anteriores se plantea un problema nuevo, que consiste en calcular la diferencia entre dos números enteros o dos números con signo, como suele llamárseles. Se puede resolver representando dichos números en una recta numérica para determinar qué distancia hay entre uno y otro. Por ejemplo, para calcular la diferencia entre 20 y –150, se puede hacer lo siguiente. –150 –100 –20 0 20 En la recta se observa que entre 20 y –150 hay una distancia de 170, entonces, la diferencia entre 20 y –150 es 170. resolver 2. Calcula las diferencias. Puedes apoyarte en la misma recta. a) La diferencia entre 20 y 50 es 30. . b) La diferencia entre –20 y –50 es 30. . c) La diferencia entre 40 y –30 es 70. . d) La diferencia entre 10.5 y –20.5 es 31. . e) La diferencia entre __12 y – __34 es . 5 __ . 4 3. Los termómetros comunes funcionan con un metal líquido llamado mercurio, que se dilata o se contrae según aumenta o disminuye la temperatura. En una ciudad muy fría, el termómetro marcó 6 °C a mediodía. Al llegar la noche, la temperatura disminuyó 7 °C, y por la mañana, descendió otros 5.5 °C. a) ¿Qué temperatura marcaba el termómetro en la mañana? –6.5 C o 6.5 C bajo cero. o o b) Verifica tu respuesta en la recta. El punto de partida es 6. Señala con flechas los dos descensos. –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c) La situación descrita en el problema anterior también puede expresarse mediante una operación. Resuélvela. 6 – 7 – 5.5 = –6.5 Los números enteros son los números que no tienen parte decimal, pueden ser positivos o negativos: los positivos son mayores a 0, los negativos son menores. El 0 no es ni positivo ni negativo pero forma parte del conjunto de los números enteros. 195 S-CNCT_M1_B4_192-199.indd 195 1/18/13 11:53 AM 4 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Secuencia 1 / lección 78 Números opuestos En la recta numérica, los números negativos se ubican a la izquierda del 0 y los positivos a la derecha. –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 1. Lleva a cabo lo que se pide. 5 a) Ubica en la recta numérica los números 2, –5.5, –2, 0, __52 , 7. __ R. T. 2 –2 –5.5 0 2 7 Como habrás notado, para indicar que un número es negativo se pone un signo de “menos” antes del numeral (−5). Los números positivos se representan únicamente con el numeral (5), o bien, con un signo de “más” antes de él (+5). b) Encierra el número más cercano a 0 de cada pareja. Si están a la misma distancia, encierra ambos. 2 y –5 3.5 y –4 +2 y –3 +4 y –4 __5 y __5 8 y –8 1 y –__3 1.5 y –1.5 13 y –3 2 y –2 2 8 8 c) Ubica los números de la primera fila de la tabla siguiente en una recta numérica. Anota en la segunda fila la distancia a la que están del 0. Número Distancia del número al 0 m –5.3 5.3 5.3 + __23 – __23 0 3 –3 5.3 2 _ 3 __2 0 3 3 3 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Lean la siguiente información. La distancia de un número al 0 es su valor absoluto. Por ejemplo, el valor absoluto de –3 es 3, puesto que hay tres unidades entre –3 y 0. Y se representa |–3| = 3. El valor absoluto de +3 también es 3: |+3| = 3. El valor absoluto de un número siempre es un número positivo o 0. |–8| = 8 |+5| = 5 |0| = 0 196 S-CNCT_M1_B4_192-199.indd 196 1/18/13 11:53 AM 2. Anota lo que falta. Los tres últimos incisos tienen dos respuestas cada uno. a) I–5I = 5 b) I9I = 9 c) I+7I = 7 d) I– __12 I = 1 _ 2 e) I0I = 0 f ) I3.5I = 3.5 g) I+6I = 6 h) I–1.25I = i) I4I = 4 j) I 3 I = 3 k) I 1.5 I = 1.5 I –3 I = 3 I –1.5 I = 1.5 1.25 Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de números negativos. l) I 9 I = 9 I –9 I = 9 3. Anota en la recta numérica dos números distintos que estén a la misma distancia del 0. 0 –3 R. T. 3 a) ¿Qué tienen en común esos números? Tienen el mismo valor absoluto. b) ¿En qué son diferentes? Tienen signos diferentes: uno es negativo y otro, positivo. 4. Subraya las parejas que tengan el mismo valor absoluto, es decir, que estén a la misma distancia del 0. +5 y –5 +4 y 40 –3 y –1.3 –2 y 2 +1.5 y –1.5 –0.7 y 7 1 __ –__ y 12 2 –50 y 50 +9 y –9 80 y 0.80 Dos números de distinto signo con el mismo valor absoluto son llamados opuestos. El 7 y el –7 son opuestos pues tienen distinto signo y el mismo valor absoluto: I7I = 7 I–7I = 7 Observa que los números opuestos están a la misma distancia del 0. 5. Haz lo que se indica. a) Completa la tabla. resolver Número a –1 5 +2 –8 3 _ 4 Opuesto de a 1 -5 -2 8 3 –_ 4 b) Considera que a es un número entero mayor que 1. Ubícalo en la recta. Ubica también –a, a – 1, –a + 1. R. T. 0 –a m –a + 1 a–1 1 a Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 197 S-CNCT_M1_B4_192-199.indd 197 1/18/13 11:53 AM 4 contenido BLOQUE Secuencia 1 / lección 79 Estadísticas del futbol mexicano Resuelve problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. 1. La tabla muestra los resultados del Torneo Clausura 2010 del futbol mexicano. Como verás, se pueden plantear muchas preguntas. Estadísticas del futbol mexicano Partidos jugados Total de goles Goles por partido Tarjetas amarillas Tarjetas rojas Mejor ofensiva Mejor defensiva 153 385 2.52 848 65 Cruz Azul Cruz Azul Equipo PJ PG PE PP GF GC DG TA TR Promedio Puntos Cruz Azul 17 12 3 2 33 13 20 42 3 1.6 39 Monterrey 17 9 5 3 29 20 9 43 3 1.6824 32 Santos Laguna 17 9 3 5 28 19 9 55 3 1.5177 30 América 17 7 6 4 22 16 6 48 4 1.4824 27 San Luis 17 8 2 7 21 19 2 39 3 1.2588 26 Jaguares 17 6 7 4 21 14 7 53 4 1.2 25 Pachuca 17 7 4 6 27 28 –1 54 2 1.5412 25 Pumas 17 7 4 6 23 24 –1 55 4 1.4588 25 Tigres 17 6 6 5 24 16 8 39 3 1.2353 24 Chivas 17 4 10 3 16 15 1 48 4 1.4 22 Toluca 17 5 7 5 18 20 –2 34 3 1.7647 22 Morelia 17 5 6 6 17 16 1 48 5 1.4706 21 Puebla 17 5 4 8 21 26 –5 57 3 1.2353 19 Gallos Blancos 17 5 4 8 18 28 –10 50 4 1.1373 19 Necaxa 17 4 4 9 14 21 –7 42 3 0.9412 16 Atlante 17 4 4 9 17 27 –10 50 4 1.1647 16 Estudiantes UAG 17 4 3 10 18 36 –18 47 5 1.2235 15 Atlas 17 3 4 10 18 27 –9 44 5 1.1529 13 PJ: Partidos jugados PG: Partidos ganados PE: Partidos empatados PP: Partidos perdidos GF: Goles a favor GC: Goles en contra DG: Diferencia de goles TA: Tarjetas amarillas TR: Tarjetas rojas 2. Trabaja con un compañero. Ordenen los equipos en su cuaderno. Anoten al principio el de la mejor diferencia de goles y al final el de la peor. 198 S-CNCT_M1_B4_192-199.indd 198 1/18/13 11:53 AM 3. La diferencia de goles de cada equipo se calcula mediante una resta. Anota en la tabla la resta con que se calcula la diferencia de goles de cada equipo. Cruz Azul 33 – 13 Monterrey 29 – 20 Santos Laguna 28 – 19 América 22 – 16 San Luis 21 – 19 Jaguares 21 – 14 Pachuca 27 – 28 Pumas 23 – 24 Tigres 16 – 15 24 – 16 Chivas Toluca 18 – 20 Morelia 17 – 16 Puebla 21 – 26 Gallos Blancos 18 – 28 Necaxa 14 – 21 Atlante 17 – 27 Estudiantes UAG 18 – 36 Atlas 18 – 27 Observa que en algunos casos, como el de Toluca, la diferencia se calcula con la operación 18 – 20 = –2, esto significa que, cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, la resta tiene solución en el conjunto de los números enteros. 4. Lee la siguiente información La diferencia de goles de Chivas es 1, mientras que la de Pumas es –1. La diferencia entre ambos equipos es de dos goles, como se ve en la recta y en la cuenta. 1 – (–1) = 1 + 1 = 2 –3 –2 –1 0 1 2 3 5. Busca en la tabla dos equipos que tengan una diferencia, entre ambos, de 16 goles. Representa esa diferencia con una recta y una cuenta. América-Atlante: 6 – (–10) = 16 Jaguares-Atlas: 7 – (–9) = 16 Toluca-Estudiantes UAG: –2 – (–18) = 16 R. T. Monterrey-Necaxa: 9 – (–7) = 16 Santos Laguna-Necaxa: 9 – (–7) = 16 América-Gallos Blancos: 6 – (–10) = 16 Practica las operaciones con números negativos en… www.e–sm.com.mx/ SCM1–199 6. Resuelve las operaciones. técnicas » 28 – 19 = 9 » 20 – (–9) = 29 » –5.6 + 2.3 = » –10 + (–15) = –25 » –7 – (–2) = –5 5 1 + (– _ 1 ) = –_ » –_ 2 3 6 –3.3 199 S-CNCT_M1_B4_192-199.indd 199 1/18/13 11:53 AM 4 contenido BLOQUE Construye círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. resolver En contexto El arco es un elemento arquitectónico de forma curveada que se coloca entre dos pilares o muros. Está compuesto por piezas en forma de cuñas, llamadas dovelas; las de la base son las dovelas salmer y la del centro es la dovela clave. Secuencia 2 / lección 80 El círculo en la arquitectura Los conocimientos sobre círculos y circunferencias se aplican en situaciones tan diversas como diseñar arcos para construcciones, localizar un lugar a la misma distancia de tres ciudades o medir distancias con los giros de una rueda. En esta secuencia aplicarás y ampliarás tus conocimientos sobre círculos y circunferencias resolviendo problemas. 1. Trabaja con un compañero. Observen los arcos y planeen una manera de trazarlos en su cuaderno usando instrumentos geométricos. Trácenlos cuando se hayan puesto de acuerdo. Para ayudarlos, se muestran algunos trazos auxiliares con líneas punteadas. Además, cuando es necesario, se dan datos adicionales. a) Arco de medio punto. Se usó en la arquitectura romana y renacentista. Trácenlo de manera que el segmento MN mida 8 cm. M N Clave Dovelas salmer b) Arco de herradura. Lo usaron sobre todo los árabes. Trácenlo de manera que el ángulo P’OQ’ (marcado con rojo) mida 240º y el segmento PQ, 8 cm. P P’ Q Q’ O c) Arco ojival. Es característico del estilo gótico, desarrollado en Europa durante la Edad Media. Trácenlo de manera que el segmento AB mida 8 cm. A B 200 S-CNCT_M1_B4_200-203.indd 200 1/18/13 11:54 AM d) Arco trebolado. Se ha usado ampliamente en el arte árabe. Reprodúzcanlo de manera que el triángulo equilátero ABC tenga 6 cm por lado. A B C e) Arco de talón. Es recurrente en el arte indio y bizantino. Reprodúzcanlo de manera que el cuadrado MNPQ tenga 6 cm por lado. N M P Q f ) Arco apuntado. Es propio de la arquitectura árabe. Reprodúzcanlo de manera que, en el rectángulo, AB mida 4 cm y AC, 6 cm. P es punto medio de AB. Los arcos se trazan abriendo el compás a la medida DP y apoyándolo en cada vértice del rectángulo. A C m P B D Comenten con el grupo los procedimientos que siguieron. 201 S-CNCT_M1_B4_200-203.indd 201 1/18/13 11:54 AM 4 contenido BLOQUE Construye círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. resolver Secuencia 2 / lección 81 Círculos y algo más 1. Resuelve los problemas. a) Conexión a Internet. Dany contrató con su línea telefónica un servicio de Internet inalámbrico. Puede conectarse si está a menos de 100 m del módem. El siguiente es un plano en escala 1:5 000. Marca la zona donde Dany puede conectarse a Internet. Una pista 0 Calle 1 7 3 Calle 1 7 Orient e 7 Calle 1 3 Calle 1 3 8 9 Avenid a Calle 1 3 0 Para abordar un problema que parezca difícil es útil simplificarlo, por ejemplo, poniendo cantidades pequeñas que puedas representar con dibujos u objetos. Calle 1 4 Convivimos Calle 1 6 9 Casa de Dany b) El plato roto. Un arqueólogo encontró esta parte de un plato circular y quiere reconstruirlo. Para ello, es necesario hallar el centro del plato. Márcalo y comprueba con un compás que se pueda trazar el resto. Recuerda las propiedades de la mediatriz que estudiaste en la lección 36 y traza dos segmentos que te sirvan. 202 S-CNCT_M1_B4_200-203.indd 202 1/18/13 11:54 AM c) El hospital. Se desea construir un hospital a la misma distancia de tres ciudades (representadas con un punto). Marca dónde debe construirse y comprueba con compás que esté a igual distancia de ellas. d) La cuerda floja. Traza varias circunferencias que pasen por A y B. ¿Cuántas pudiste dibujar? R. T. B A e) La gasolinera. Se desea construir una gasolinera dentro del triángulo que forman tres carreteras y a la misma distancia de cada una. Si estas se representan con las rectas, marca dónde debe estar la gasolinera. Comprueba con compás que se cumpla lo enunciado. Practica la construcción de círculos en... www.e-sm.com.mx/ SCM1-203 m Compara tus soluciones con las de tus compañeros y comenta cómo las encontraste. Los elementos principales de un círculo son el centro y el radio. A partir de estos, el círculo queda determinado y puede trazarse. También es posible construir círculos a partir de otros elementos, como el diámetro o tres puntos de la circunferencia. En los problemas de trazado de círculos puede haber una solución, muchas o ninguna, según los elementos dados. 203 S-CNCT_M1_B4_200-203.indd 203 1/18/13 11:54 AM 4 contenido BLOQUE Justifica la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicita el número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Secuencia 3 / lección 82 Dar la vuelta El contorno del círculo recibe el nombre de circunferencia. La medida de la circunferencia es el perímetro del círculo. Si divides la medida de la circunferencia de cualquier círculo entre la medida de su diámetro, obtendrás un valor cercano a un número llamado Pi. 1. Reúnete con dos compañeros. Trabajarán con seis círculos. Para agilizar el trabajo, cada uno puede encargarse de dos. a) Recorten seis círculos de cartulina con radios de 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm y 8 cm. b) Midan con hilaza (o cualquier hilo resistente que no se estire) el contorno de cada círculo. c) Completen la tabla. Utilicen calculadora para las divisiones. Medida del contorno Medida del diámetro Medida del contorno ÷ medida del diámetro R. P. d) Observen que los resultados de la tercera columna son muy semejantes entre sí. e) ¿Cuántas veces cabe, aproximadamente, el diámetro en el contorno del círculo? m Comenta los resultados de tu equipo con los de otros. Lee la información y contesta la pregunta. El contorno del círculo se llama circunferencia y si divides su medida entre el diámetro obtienes un valor cercano al número Pi. Este número se simboliza con la letra griega π y vale, aproximadamente, 3.14. circunferencia π = __ diámetro Valor aproximado de π: 3.14 La fórmula para calcular el perímetro del círculo es la siguiente. Circunferencia Círculo Diámetro Perímetro del círculo = π × diámetro técnicas a) ¿Cómo se calcula la medida de la circunferencia de un círculo si se conoce la medida de su diámetro? Circunferencia = π Í diámetro. 204 S-CNCT_M1_B4_204-207.indd 204 1/18/13 11:54 AM 2. Responde las preguntas. En contexto a) Si en la actividad 1 hubieras tenido un círculo de 2 cm de diámetro, ¿cuánto habría medido su circunferencia? 6.28 cm b) El siguiente círculo mide 1 cm de diámetro. La flecha roja indica el 0 en una recta numérica. ¿Qué número señalará cuando el círculo dé una vuelta completa a la derecha? El valor aproximado de π con veinte decimales es 3.14159265358979323846. Para cuestiones prácticas es suficiente con usar 3.14. 3.14 0 3. Completa la tabla. Puedes usar calculadora. Medida del diámetro (cm) Medida de la circunferencia (cm) 1 3.14 6.28 9.42 12.56 31.4 2 3 4 10 a) ¿Es una relación de proporcionalidad? Sí. b) Si tu respuesta fue afirmativa, indica la constante de proporcionalidad. 3.14 c) Si tu respuesta fue negativa, explica por qué la relación no es de proporcionalidad. validar R. P. resolver 4. Responde las preguntas. a) Se tienen dos círculos. El radio de uno mide el triple que el del otro. ¿Cuántas veces más mide el perímetro del mayor respecto al del menor? Tres veces. b) Un círculo A tiene 1 cm de diámetro. Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad del número π. » ¿Cuánto mide su circunferencia? 3.14 cm » ¿Cuánto mide el cociente de su circunferencia entre el diámetro? 3.14 c) El círculo B tiene un diámetro mil veces mayor que el de A. ¿Cuánto mide el cociente de la circunferencia de B entre su diámetro? 3.14 m Compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros. 205 S-CNCT_M1_B4_204-207.indd 205 1/18/13 11:54 AM 4 contenido BLOQUE Justifica la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicita el número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Secuencia 3 / lección 83 En la pizzería 1. Una pizza de 20 cm de diámetro está cortada en 16 rebanadas. Las rebanadas se colocan como se muestra. Investiga más sobre π en… a) ¿A qué figura geométrica se parece este arreglo? A un romboide. b) Trabaja con un compañero. Busquen, de acuerdo con el arreglo, cómo calcular el área de la pizza. Escriban el procedimiento en su cuaderno. www.e-sm.com.mx/ SCM1-206 1 Área de la pizza = base x altura o __ de la circunferencia x radio. 2 técnicas m Lleva a cabo, en grupo, lo siguiente. a) Comenten cómo calcularon el área. b) Lean y comenten, con ayuda del profesor, el siguiente procedimiento para obtener la fórmula del área del círculo. 206 S-CNCT_M1_B4_204-207.indd 206 1/18/13 11:55 AM Si partimos la pizza en rebanadas cada vez más pequeñas, el arreglo se parecerá más a un rectángulo. 1. Si se considera la figura como un rectángulo, puede decirse que… » el área del círculo es aproximadamente igual al área del rectángulo, la cual se calcula multiplicando base por altura. 2. La base del rectángulo es la mitad del perímetro del círculo y su altura es el radio. Por tanto: perímetro ×r Área del círculo = 2 3. El perímetro del círculo es π × diámetro, entonces: diámetro π × diámetro Área del círculo = ×r ×r=π× 2 2 4. Dado que la mitad del diámetro es el radio: Área del círculo = π × r × r = π × r2 = π r2 Es decir, el área de un círculo es igual al producto de π (que vale aproximadamente 3.14) por el cuadrado de la medida del radio. c) ¿Se cumple siempre la simplificación del paso 3? Prueba con números: verifica si 4×9 ____ es igual a 4 × __92 . Revísalo con otros números y verás que siempre se cumple. 2 2. Trabaja en equipo. Observen cómo varían los polígonos. Hexágono Octágono Decágono a) Comprueben que al sustituir en la fórmula Área = Perímetro × apotema obtienen la fórmula para el área del círculo. 2 Icoságono validar 207 S-CNCT_M1_B4_204-207.indd 207 1/18/13 11:55 AM 4 contenido BLOQUE Analiza la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. resolver Secuencia 4 / lección 84 La regla de tres Hay varias formas de calcular un valor desconocido en una situación de proporcionalidad. La más práctica depende del tipo de números. En esta secuencia estudiarás la técnica llamada regla de tres y recordarás otras. No olvides que es bueno conocer varias técnicas, pero, más importante aún, saber cuándo aplicar cada una. 1. En las tablas se muestra cuánto vale el jamón en dos locales de un mercado. Anota en la tercera columna el resultado de dividir cada precio entre el número correspondiente de kilogramos. Local A kg Precio ($) __14 Local B Precio/kg kg Precio ($) 8.00 32.00 __14 12.00 48.00 __ 12 16.00 32.00 __ 1 2 20.00 40.00 1 32.00 32.00 1 32.00 32.00 2 64.00 32.00 2 60.00 30.00 4 128.00 112.00 160.00 32.00 32.00 4 5 5 140.00 28.00 28.00 2. Reúnete con un compañero. Anoten sí o no en cada columna. m Precio/kg Local A Local B a) Entre más kilogramos se compran, ¿mayor es el precio? sí sí b) ¿__12 kg cuesta la mitad que 1 kg? sí no c) ¿5 kg cuestan cinco veces lo que 1 kg? sí no d) ¿Se paga lo mismo si se compra 1 kg y luego 4 kg que si se compran de una sola vez 5 kg? sí no e) Entre más kilogramos se compran, ¿es más barato el kilogramo? f ) ¿El precio por kilogramo es siempre el mismo? no sí sí no Efectúa, en grupo, lo siguiente. a) Comparen sus respuestas de la actividad anterior. b) Indiquen en qué local la relación entre peso y precio es de proporcionalidad y expliquen cómo lo supieron. En el local A, pues al dividir el precio entre el peso se obtiene la misma cantidad. El factor constante de proporcionalidad es 32. 208 S-CNCT_M1_B4_208-211.indd 208 1/18/13 11:55 AM c) Lean la información y verifiquen qué relación es de proporcionalidad. Recuerda:cuandolascantidadesdeunconjuntosonproporcionalesalasdeotroconjunto… »loscocientesqueseobtienenaldividirunacantidaddeunconjuntoentrelacantidadcorrespondienteenotrosoniguales. Porejemplo,enellocalA,8÷__ 14=32;16÷__ 12=32;64÷2=32;128÷4=32;160÷5=32… Estecocientesellamafactoroconstante de proporcionalidad. 3. Resuelve el problema. Escribe la solución en el cuaderno y explica tu procedimiento. En el local C, los precios del jamón son proporcionales a las cantidades que se compran. Una persona pagó $192.50 por 7 kg y otra, $275.00, ¿cuántos kilogramos compró esta última? 4. Trabaja en grupo. Comparen la manera en que resolvieron el problema. Lean en el recuadro cómo hacerlo con la regla de tres. Si tienen dudas, pidan ayuda al profesor. técnicas Paso 1. Se escriben los datos en una tabla anotando en los encabezados a qué corresponden las cantidades. Se nombra x el dato desconocido. Paso 2. Como las cantidades son proporcionales, los cocientes de 192.5 ÷ 7 y 275 ÷ x deben ser iguales. Conviene anotar la igualdad de cocientes como una igualdad de fracciones. Paso 3. Ya que las fracciones son iguales, los productos cruzados también lo son. Paso 4. Se despeja x. kg Precio ($) 7 192.50 x 275.00 192.5 _ 7 = 275 _ x x × 192.5 = 275 × 7 Conclusión. Se da la respuesta del problema: con $275.00 se compraron 10 kg de jamón. 275 × 7 x=_ 192.5 1 925 x = _ = 10 192.5 5. Resuelve los problemas en tu cuaderno mediante la regla de tres. a) En una copia a escala, el lado a, que mide 5 cm en la figura original, mide 8 cm. Si el lado b mide 4.8 cm en la copia, ¿cuánto mide en la figura original? 3 cm b) Con 5 l de leche se obtienen 2 l de crema. ¿Cuántos litros de leche se necesitan para __34 l 15 de crema? __ l 8 m Resuelve un problema utilizando la regla de tres en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-209 Comenta en grupo: ¿puede usarse la regla de tres en un problema donde la relación entre cantidades no es de proporcionalidad? Apliquen la regla de tres a estos problemas y concluyan. - Ana tiene 2 años y su mamá tiene 29. Cuando Ana tenga 10 años, ¿cuántos tendrá su mamá? - Luis mide 120 cm. Al subirse a un banco alcanza los 150 cm. María mide 125 cm. ¿Qué altura alcanzaría si subiera al mismo banco? - María ha leído 80 páginas de su libro. Le faltan 40 por leer. ¿Cuántas le faltarán por leer cuando haya leído 100? 209 S-CNCT_M1_B4_208-211.indd 209 1/18/13 11:55 AM 4 contenido BLOQUE Analiza la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. técnicas Secuencia 4 / lección 85 Un mismo problema, varias técnicas 1. A continuación se muestran cinco técnicas para calcular un valor desconocido en una situación de proporcionalidad. Anota los datos que faltan. Problema: por un préstamo de $400.00 se pagaron al banco $300.00 de intereses en un año. ¿Cuánto debe pagarse de intereses en un año por un préstamo de $600.00? 1. Calculando el valor unitario Se puede calcular cuánto se paga de interés por cada peso. 2. Calculando un valor intermedio distinto del unitario Cantidad prestada ($) Intereses ($) Cantidad prestada ($) Intereses 400.00 300.00 400.00 300.00 1.00 0.75 450.00 200.00 150.00 450.00 600.00 3. Calculando el factor de proporcionalidad ¿Qué número multiplicado por 400 da 300? Dicho de otra forma, ¿qué fracción de 400 es igual a 300? Esa misma fracción debe aplicarse a 600. 600.00 4. Con la regla de tres Cantidad prestada ($) Intereses ($) 400.00 300.00 600.00 450.00 Cocientes que deben ser iguales: x 300 (_) = (_) 400 600 3 por _ 4 Productos cruzados iguales: Cantidad prestada ($) Intereses ($) 400.00 300.00 600.00 450.00 400x = (300)(600) Despejarx: [(300)(600)]/400 = 450 5. Calculando el valor de una razón interna ¿Qué número multiplicado por 400 da 600? Hay que multiplicar 300 por ese número. × 1.5 Cantidad prestada ($) Intereses ($) 400.00 300.00 600.00 450.00 × 1.5 210 S-CNCT_M1_B4_208-211.indd 210 1/18/13 11:55 AM 2. Resuelve los problemas de proporcionalidad. Utiliza en cada uno la técnica que te parezca más sencilla. resolver a) Anota las cantidades de ingredientes de un pastel para seis personas. Receta para un pastel de cerezas Tazasdeharina Mantequilla Cerezas Para4personas 8 __18kg 1__ 14kg Para6personas 12 3 __ 15 __ 16 8 b) La figura A’ es una reproducción a escala de la figura A. Anota los datos que faltan. Figura A Figura A’ 16cm 4cm 4cm 1 cm 5 cm 3 cm 20cm 12cm c) Se usaron 96.4 l de pintura vinílica para pintar 400 m2 de una superficie que mide 600 m2. ¿Cuántos litros de pintura faltan para terminar de pintar la superficie? 48.2 l Convivimos Saber de memoria algunos conceptos y técnicas de matemáticas es muy útil al enfrentarse a problemas, pero a veces la memoria falla. Revisa tus apuntes, las lecciones del libro y pregunta a otros las veces que sean necesarias para obtener información que te sea útil. d) Luis se dirige a Santa Rosa. Viaja en automóvil a una velocidad constante de 80 km/h. A las 13 h 50 min pasa por Barranca Profunda. Un letrero borroso indica cuántos kilómetros faltan para llegar a Santa Rosa, pero Luis no logra distinguir las cifras. Continúa a la misma velocidad hasta llegar a Santa Rosa a las 15 h 20 min. ¿Qué distancia a Santa Rosa indicaba el letrero de Barranca? 120 km 3. Completa las tablas. En una de ellas las cantidades no son proporcionales. Cuotas por uso de teléfono celular considerando la tarifa mensual más minutos adicionales m Costos por llamadas de larga distancia nacional en un teléfono público Minutosadicionales Pago($) Minutosadicionales Pago($) 1 253.00 4 7.00 2 256.50 8 14.00 4 263.50 10 17.50 5 267.00 15 26.25 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comparen las técnicas que utilizaron para calcular los valores faltantes. 211 S-CNCT_M1_B4_208-211.indd 211 1/18/13 11:55 AM 4 contenido BLOQUE Analiza los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. Secuencia 5 / lección 86 Factores de escala I En las lecciones 55 y 56 estudiaste cómo aplicar un factor de escala después de otro y cómo invertirlo para regresar una figura a su tamaño original. En esta secuencia estudiarás ese tema y verás cómo interviene en un contexto de fórmulas. 1. Observa la imagen, lee el texto y haz lo que se pide. » Al aplicar el factor de escala 1.5 al dibujo A1 se obtiene A2. » Al aplicar el factor de escala 2 en A2 se obtiene A3. » Traza A2 y A3 en una hoja cuadriculada. Dibujo A1 a b e c d resolver 2. Deduce cómo calcular las medidas de A3 sin que sea necesario calcular las medidas de A2. Recuerda: cuando dos figuras están a escala existe un número, siempre el mismo, que, multiplicado por cualquier medida de una, proporciona la correspondiente de la otra. Puede decirse que las medidas de una figura son proporcionales a las medidas de la otra. Ese número es el factor de escala o constante de proporcionalidad. Aplicar los factores n y m, uno después de otro, equivale a aplicar el factor n × m. 212 S-CNCT_M1_B4_212-217.indd 212 1/18/13 11:55 AM 3. Reúnete con un compañero. Contesten las preguntas. a) Al aplicar el factor de escala __13 al dibujo A1 se obtiene A4. Al aplicar el factor 2 en A4 se obtiene A5. ¿Qué dibujo es mayor: A1 o A5? A1 2 × __ 3 1 ×_ 3 ¿Por qué? R.P. Lado a b) Calculen y anoten en la tabla las medidas de A4 y A5. Lado b Lado c Lado d c) Tracen el dibujo A5 en papel cuadriculado. Lado e ×2 Dibujo A1 Dibujo A4 3 6 9 18 2 1 2 3 6 2 __ 3 Dibujo A5 2 4 6 12 4 __ 3 d) ¿Qué factor de escala aplicado al dibujo A1 permite obtener el dibujo A5? Anótenlo en el óvalo superior de la tabla. 4. Hagan lo siguiente. a) Comparen su dibujo A5 con el de otras parejas. Si no son iguales, identifiquen la causa. Vean si A5 es mayor o menor que A1. b) Comparen sus respuestas del inciso d) de la actividad anterior y verifiquen que se relacione con la siguiente información. 1 n 1 _ _ Aplicar los factores _ m y n, sucesivamente, equivale a aplicar el factor m × n, es decir, m . 5. Escribe lo que falta. ×2 ×3 1 ×_ 2 3 __2 1 ×_ 2 5 ×_ 4 1 __ 6 6 1 ×_ 3 1 __4 3 ×_ 5 5 5 ×_ 3 4 1 __ 5 2 ×1 ×1 1 ×3 2 ×_ 5 1 ×_ 4 n _ m m _ n 213 S-CNCT_M1_B4_212-217.indd 213 1/18/13 11:55 AM 4 contenido BLOQUE Analiza los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. resolver Ya sabemos... El factor que “deshace” la acción de un factor n es el recíproco de n. El factor recíproco de 4 es __14 . Secuencia 5 / lección 87 Factores de escala II 1. Se aplicó el factor de escala 4 a una figura B1 y se obtuvo B2. a) Se conocen las medidas de B2, pero no las de B1. Calcúlalas y anótalas en la tabla. b) ¿Qué factor debe aplicarse a la figura B2 para obtener B1? Anótalo en el óvalo inferior. ×4 Figura B1 Lado a Lado b Lado c Lado d Figura B2 4 1 1 __ 4 2 3 __ 4 1 8 3 1 __ 4 2 a una figura C se obtuvo C . 2. Trabaja con un compañero. Al aplicar el factor de escala _ 1 2 5 a) Porqueelfactordeescala ¿Qué figura es mayor: C1 o C2? C1 ¿Por qué? Multiplicar por __14 es lo mismo que dividir entre 4. esmenorque1. b) Se tiene la figura C2 pero no C1. Calculen las medidas de C1 y anótenlas en la tabla. Tracen ambas figuras en una hoja cuadriculada. Figura C2 2 ×_ 5 Figura C1 d e Lado a Lado b Lado c Lado d Lado e a b Figura C2 2 5 15 20 10 25 6 8 4 10 5 ×__ 2 c 214 S-CNCT_M1_B4_212-217.indd 214 1/18/13 11:55 AM 3. Haz, en grupo, lo siguiente. 2 ×_ 5 a) Comparen las medidas que encontraron y comenten el método utilizado. × __15 ×2 Figura C1 » Una forma de encontrar las medidas de C1 es aplicar el recíproco de __52 a C2. Lado a Lado b » El factor __25 equivale a aplicar los factores __1 y 2. Por tanto, para Lado c 5 Lado d “desandar el camino” basta aplicar Lado e los recíprocos de esos factores. Figura C2 2 1 3 4 2 5 5 15 20 10 25 6 8 4 10 1 ×5 b) Anoten los recíprocos en los óvalos inferiores de la tabla y calculen las medidas de C1. ×__ 2 5 ×__ 2 4. Anota los factores que faltan. R.T. Una pista 7 ×_ 4 1 ×__ 4 Figura 1 ×7 Figura 2 ×4 El recíproco del factor __15 es 5; el recíproco del factor 2 es __12 . Por tanto, el recíproco del factor __25 es el factor __52 . 5 ×_ 8 1 ×__ 8 Figura 3 Figura 1 1 ×__ 7 ×5 Figura 2 Figura 3 1 ×__ 5 ×8 8 ×__ 5 4 ×__ 7 5. Completa. n En general, el factor recíproco de __ m es m __ n . 6. Trabaja con un compañero. Investiguen lo siguiente. 6 1 a) ¿Cuál es el factor equivalente a aplicar __34 y después __23 ? __ 2 12o__ b) En general, ¿cuál es el factor equivalente a aplicar __ab y luego __dc ? c) 2 Si a una figura se aplica el factor __ y, a la figura que resulte, se aplica el factor recíproco 5 5 2 __ __ de 5 , es decir, 2 , ¿la figura final será mayor, menor o igual que la original? ac __ bd Practica más con los dibujos a escala en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-215 Igualquelaoriginal. m Concluyan qué ocurre al aplicar un factor y su recíproco. Lafiguraquedadeigualtamaño. 215 S-CNCT_M1_B4_212-217.indd 215 1/18/13 11:55 AM 4 contenido BLOQUE Analiza los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. resolver Secuencia 5 / lección 88 Del maíz a las tortillas 1. Reúnete con un compañero. Hagan lo que se pide. Con 5 kg de maíz se hacen 3 kg de harina. Con 2 kg de harina se hacen 5 kg de masa. Con 10 kg de masa se hacen 7 kg de tortillas. a) Calculen, con base en la información anterior, cuántas tortillas se producen con 20 kg de maíz. 21kgdetortillas b) Determinen cuánto maíz se necesita para 35 kg de tortillas. 33.333kgdemaíz. c) Calculen cuánta harina se produce con 1 kg de maíz. 600g d) Verifiquen que cualquier cantidad de harina sea igual a __35 de la cantidad de maíz. e) Lean lo siguiente. A continuación, las cantidades se representarán con letras. maíz: m harina: h masa: M tortillas: t La fórmula h = __35 m es la expresión algebraica de la relación proporcional entre la cantidad de maíz y de harina; __3 es un factor constante de proporcionalidad. 5 f ) Encuentren el factor que, aplicado a una cantidad de harina, da la cantidad correspondiente de masa. Anoten la expresión algebraica. M= 5 _ 2 h 2. Lleva a cabo, en grupo, lo siguiente. a) Comparen sus respuestas de los incisos a) y b) de la actividad anterior y los procedimientos que siguieron. b) Observen que la cantidad de harina correspondiente a 1 kg de maíz se puede calcular de dos maneras. Maíz Harina Maíz Harina 5 kg 3 kg 5 kg 3 kg 1 kg 3 kg ÷ 5 = 0.6 kg 1 kg 3 kg ÷ 5 = __35 kg 216 S-CNCT_M1_B4_212-217.indd 216 1/18/13 11:55 AM c) Lean el siguiente procedimiento para encontrar el factor que, aplicado a una cantidad de harina, da la correspondiente cantidad de masa. A 2 kg de harina le corresponden 5 kg de masa. Por tanto, a 1 kg de harina le corresponden __52 kg de masa. En consecuencia, el factor es __52 o 2.5. La expresión algebraica de la relación es M = 2.5 h. 3. Trabaja en equipo de tres o cuatro integrantes. Anoten los factores de proporcionalidad en los óvalos del esquema. Recuerden que el factor recíproco de __ba es __ba . 21 x___ 20 × __35 7 x__ 10 5 x__ 2 Maíz (m) Harina (h) Masa (M) Tortillas (t) 5 kg 3 kg 3.333kg 3.333kg 6.666kg 2 kg 7.5kg 5kg 2kg 4kg 5.25kg 3.5kg 3.5kg 10 kg 5 kg × __5 7 kg 2 x__ 5 3 Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de factor inverso. 10 x__ 7 20 x___ 21 4. Completen las expresiones. h= 3 _ m 5 5 m= _ h 3 t= 21 _m 20 5 _ h 2 M= 2 _ h = M 5 t= 7 _M 10 10 _ t M = 7 20 _ t 21 m = ¿Qué fracción aplicada a 2 kg da 5 kg: 2 __ __ o 52 ? 5 Se puede saberlo observando que al pasar de 2 a 5 la cantidad aumenta. 5. Utilicen las expresiones anteriores para calcular… a) cuántas tortillas se producen con 50 kg de maíz. 52.5kg b) cuánto maíz se requiere para 42 kg de tortillas. 40kg m Revisa, en grupo, los resultados de las actividades 3, 4 y 5. 217 S-CNCT_M1_B4_212-217.indd 217 1/18/13 11:55 AM 4 contenido BLOQUE Resuelve problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Busca recursos para verificar los resultados. resolver Secuencia 6 / lección 89 Tarjetas de felicitación Contarmnomsiempremesmfácil.mAmvecesmsemrequierenmtécnicasmespeciales.mPormejemplo,m ¿cuántasmparejasmdembailemsempuedenmformarmenmunamreuniónmdondemhaymseismhombresmy seismmujeres?m¿Demcuántasmmanerasmsempuedemllenarmunamquinielamdemfutbol?mPreguntasm comomlasmanterioresmsemrespondenmmediantemtécnicasmdemconteo. 1. Para el Día de San Valentín, Pati hará tarjetas en tres colores diferentes y las decorará con corazones o cupidos. Le gusta poner solamente un color y un tipo de adorno por tarjeta. a) Enlista, en tu cuaderno, todas las tarjetas que puede hacer. Por ejemplo, una combinación posible es azul con cupidos. b) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer? Seis. Convivimos Muchas veces las personas no preguntan porque consideran que “se verán mal” o que los demás pensarán que son ignorantes. ¡Cuidado! Casi siempre es al revés: se van convirtiendo en ignorantes los que no se atreven a preguntar. 2. Pati consiguió otro tipo de adorno. a) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer si aumenta este adorno? Nueve. 3. Para el Día de las Madres, Pati hará tarjetas cuadradas y rectangulares. Tiene papel de dos colores y dos tipos de adorno. Formas Colores Adornos a) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer? Ocho. b) ¿Cómo lo averiguaste? Puede hacer cuatro tarjetas diferentes de cada forma, o bien, multiplicando 2 por 2 por 2. 218 S-CNCT_M1_B4_218-221.indd 218 1/18/13 11:56 AM c) Enlista, en tu cuaderno, las tarjetas que puede hacer. Por ejemplo, una combinación es cuadrada azul con las flores amarillas. d) En las tarjetas cuadradas no caben las flores amarillas, así que Pati no hará tarjetas con esa combinación. ¿Cuántas tarjetas puede hacer si se considera esto? Seis. 4. Para saber las maneras de combinar los colores y adornos es posible elaborar un diagrama. Complétalo con los colores y adornos de la actividad 1. técnicas corazón amarillo cupido Ya sabemos... corazón Esta manera de organizar los datos se llama diagrama de árbol. azul cupido corazón verde cupido 5. Para Navidad, Pati hará tarjetas con dos formas, tres colores y tres tipos de adorno. Formas Colores Adornos a) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer? 18 b) ¿Cómo lo averiguaste? Puede hacer nueve tarjetas de cada forma, o bien, multiplicando 2 por 3 por 3. c) En tu cuaderno, haz un diagrama de árbol que muestre las combinaciones posibles. d) Pati notó que no conviene hacer tarjetas verdes con el pino, por lo que descartó esta opción. ¿Cuántas combinaciones puede formar? 16 e) Tampoco hará tarjetas cuadradas rojas. ¿Cuántas tarjetas puede elaborar? 13 mm Compara tus resultados con los de tus compañeros. 219 S-CNCT_M1_B4_218-221.indd 219 1/18/13 11:56 AM 4 contenido BLOQUE Resuelve problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Busca recursos para verificar los resultados. Secuencia 6 / lección 90 Futbol 1. Un equipo de futbol tiene tres playeras y dos shorts. ¿Cuántas combinaciones se pueden formar? técnicas Seis. 2. Las combinaciones se pueden organizar en una tabla. Colorea cada una. Observa el ejemplo. a) ¿Coincide tu respuesta de la pregunta anterior con las combinaciones de la tabla? R. P. b) Si, además, los equipos pueden escoger entre dos pares de calcetas, ¿cuántos uniformes pueden formar? Doce. c) La tabla contiene el número de playeras y de shorts de distintos equipos. Complétala. Calcula el número de uniformes sin listarlos. mm Número de playeras diferentes Número de shorts diferentes Número de uniformes diferentes que pueden formar 4 2 8 5 2 10 5 4 20 8 4 32 m n mn Compara tus respuestas y procedimientos con los del grupo. 220 S-CNCT_M1_B4_218-221.indd 220 1/18/13 11:56 AM 3. Los alumnos de la escuela secundaria 401 organizaron un torneo de futbol y formaron cuatro equipos. Decidieron que cada uno se enfrentaría dos veces a los demás. Halcones Vaqueros Búhos resolver Toros a) ¿Cuántos partidos jugarán? Doce. b) Elabora, en tu cuaderno, una tabla como la de la actividad 2 que muestre los equipos que se enfrentarán en cada partido. Practica técnicas de conteo en… c) ¿Cuántos partidos se jugarían si cada equipo se enfrentara una vez a los demás? www.e-sm.com.mx/ SCM1-221 Seis. Los problemas de la lección anterior y esta son problemas de conteo. Es posible formar algunos con una multiplicación. Por ejemplo, si se tienen dos playeras y tres shorts, el número de uniformes diferentes que se pueden formar es 3 × 2 = 6. 4. En la primera semana del torneo se jugarán dos partidos: Halcones contra Búhos y Toros contra Vaqueros. Los alumnos quieren hacer una quiniela; esta se llena sombreando el recuadro del equipo que se supone que ganará o el del centro si se piensa que empatarán. 1 HALCONES 2 TOROS BÚHOS 1 VAQUEROS 2 a) Si se sombrea un cuadro por partido, ¿cuántas maneras hay de llenar la quiniela? Nueve. b) Si la quiniela fuera de tres partidos, ¿de cuántas maneras podría llenarse? 1 2 3 BÚHOS VAQUEROS BÚHOS TOROS HALCONES VAQUEROS 1 2 3 27 ¿Cuántas formas hay de llenar una quiniela de 14 partidos? 1 UNAM 2 GUADALAJARA 3 ATLANTE AMÉRICA 1 TOLUCA 2 TIGRES 4 PACHUCA 3 ATLAS 5 4 ESTUDIANTES SANTOS 5 6 TIJUANA CHIAPAS 6 7 INTER MILAN 7 8 MANCHESTER ARSENAL 8 221 S-CNCT_M1_B4_218-221.indd 221 1/18/13 11:56 AM 4 contenido BLOQUE Lee información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunica información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. resolver Secuencia 7 / lección 91 Deportistas de México Las gráficas se usan cada vez más en medios de difusión, como periódicos y revistas, o en textos científicos. En esta secuencia seguirás desarrollando tu habilidad para leer e interpretar gráficas. 1. Trabaja en equipo. Una encuesta aplicada a 455 personas sobre el mejor deportista mexicano arrojó lo siguiente. Investiga y comenta con tus compañeros qué deporte practica cada personaje de la gráfica y por qué ha destacado. Ana Gabriela Guevara Hugo Sánchez 17.7% 13.3% Julio César Chávez 8.0% Cuauhtémoc Blanco 5.8% Soraya Jiménez 5.6% Récord. Diario deportivo. (12 de agosto de 2005). Ana Guevara fue considerada la mejor de todos los tiempos, superando por más de cuatro puntos porcentuales a Hugo Sánchez. a) ¿Quién debería estar en la lista y no lo está? R. P. En contexto La información es de 2005. Después de ese año, ¿qué otro deportista mexicano ha destacado? ¿Qué deporte practica? b) ¿Quién no debería estar en la lista? R. P. c) ¿Cuántas personas votaron por Ana Guevara? Aproximadamente 80. d) ¿Y por Hugo Sánchez? Aproximadamente 60. e) ¿Cuánto falta para que la suma de los porcentajes sea 100%? 49.6% 2. El porcentaje restante está distribuido entre los siguientes deportistas. Otras menciones (porcentaje) Fernando Platas (clavados) 5.5 Ricardo López (boxeo) Rafael Márquez (futbol) 4.1 Raúl González (caminata) 1.0 0.9 Belem Guerrero (ciclismo) 3.5 Vinicio Castilla (béisbol) 0.8 Eduardo Nájera (basquetbol) 3.2 José Pedraza (caminata) 0.7 Jorge Campos (futbol) 3.1 Roberto Ávila (béisbol) 0.6 Fernando Valenzuela (béisbol) 2.9 Doramitzi González (paralímpicos) 0.6 Lorena Ochoa (golf) 2.5 Carlos Girón (clavados) 0.6 Adrián Fernández (automovilismo) 2.4 Raúl Ramírez (tenis) 0.5 Iridia Salazar (taekwondo) 2.3 Humberto Mariles (equitación) 0.4 Jared Borguetti (futbol) 1.8 Luis Hernández (futbol) 0.4 Joaquín Capilla (clavados) 1.5 Francisco Fonseca (futbol) 0.4 Ernesto Canto (caminata) 1.3 Rubén Olivares (boxeo) 0.3 Felipe Muñoz (natación) 1.1 Salvador Sánchez (boxeo) 0.2 Víctor Estrada (taekwondo) 1.1 Otros 2.7 Oswaldo Sánchez (futbol) 1.1 No contestó 2.0 Récord. Diario deportivo. (12 de agosto de 2005). 222 S-CNCT_M1_B4_222-227.indd 222 1/18/13 11:56 AM a) ¿Qué deporte predomina? Futbol. b) ¿Los que practican este deporte son mejores que los demás o hay otra razón para que aparezcan más veces? R. P. 3. Se aplicó la misma encuesta a 22 deportistas y a quince especialistas en deportes. Debían nombrar a los cinco mejores deportistas mexicanos. A la primera mención se le asignó cinco puntos; a la segunda, cuatro; a la tercera, tres; a la cuarta, dos; y a la quinta, uno. Se sumaron los puntos y los resultados para los primeros cinco lugares fueron… Opinión de los deportistas Opinión de los especialistas Nombre Puntos Nombre Puntos Hugo Sánchez 78 Hugo Sánchez 41 Ana Guevara 60 Ana Guevara 31 Julio César Chávez 50 Julio César Chávez 26 Fernando Valenzuela 9 Fernando Valenzuela 25 Joaquín Capilla 6 Joaquín Capilla 13 a) Investiguen por qué han destacado los personajes de la lista. b) ¿En qué son iguales las listas y en qué diferentes? R. P. c) Los deportistas opinan que Julio César Chávez es mucho mejor que Fernando Valenzuela. ¿Qué opinan los especialistas? Los valoran igual. d) ¿Quiénes aparecen en la gráfica de la actividad 1 y no en estas listas? Cuauhtémoc y Soraya. e) ¿Qué resultados son más confiables? R. P. ¿Por qué? R. P. f ) Elaboren, en su cuaderno, dos gráficas de barras con los datos de las tablas. Redacta un texto basado en las gráficas. Comenta cuántos pichichis ganó, cuántos fueron consecutivos, cuál consiguió con más goles o con menos, etcétera. 40 38 34 30 29 25 20 15 comunicar Pichichis ganados por Hugo Sánchez 35 Goles 4. Hugo Sánchez hizo parte de su carrera como futbolista en España, país donde se otorga un trofeo llamado pichichi al máximo goleador de una temporada. La gráfica muestra los años en que ganó el trofeo y el número de goles que anotó en cada temporada. 22 19 10 5 0 1985 1986 1987 Año 1988 1990 223 S-CNCT_M1_B4_222-227.indd 223 1/18/13 11:56 AM 4 contenido BLOQUE Lee información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunica información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. Secuencia 7 / lección 92 México en el año 2000 1. Según datos del inegi, en el año 2000 una cuarta parte de la población mexicana vivía en el campo y las tres partes restantes, en ciudades. Campo El círculo de la derecha representa a la población. Colorea con azul la parte del círculo que corresponde a la población que vivía en el campo y con rojo la correspondiente a la población de las ciudades. Escribe en cada parte lo que representa. Ciudad 2. En ese mismo año, por cada 100 mexicanos, 51 eran mujeres y 49, hombres. En contexto El inegi es el Instituto Nacional de Estadística y Geografía; se creó por decreto presidencial el 25 de enero de 1983 para recopilar, procesar y difundir información acerca del territorio, la población y la economía de nuestro país. Su sede está en Aguascalientes. Hombres Mujeres Representa, en el círculo, con un color a la población femenina y con otro a la masculina. Indica a qué género se refiere cada parte. 3. La población trabajadora estaba distribuida, aproximadamente, de la siguiente manera. Sexta parte Sector primario (agricultura y ganadería) Cuarta parte Sector secundario (industrias) El resto Sector terciario (comercio, servicios y gobierno) Representa los datos de la tabla en una gráfica circular. Utiliza los mismos colores y escribe el sector laboral que representa cada parte. 1 _ 6 1 _ 4 224 S-CNCT_M1_B4_222-227.indd 224 1/18/13 11:56 AM 4. La gráfica muestra la parte de la población que vivía en el Distrito Federal. resolver Aproximadamente, a) ¿qué porcentaje vivía en el D. F.? Vivían en el D. F. 10% b) ¿qué porcentaje vivía en el resto de la república? Vivían en el resto de la república Refuerza tus conocimientos sobre gráficas de barras y circulares en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-225a 90% Las gráficas circulares son otra manera de presentar datos contenidos en un texto o una tabla. Los sectores circulares deben ser proporcionales a las cantidades que representan. Así, a 25%, que es la cuarta parte de 100%, le corresponde un sector circular de un cuarto de círculo, es decir, con un ángulo de 90°. Recuerda que 90° es la cuarta parte de los 360° del círculo. 5. Trabaja en equipo. En el año 2000, la distribución de la población por edad era… Edad Porcentaje (%) menores de 14 años 34 15-29 años 29 30-59 años 30 60 años o más 7 Piensen en una estrategia para representar los datos en una gráfica circular. Recuerden que los sectores deben ser proporcionales a los porcentajes y que el círculo completo representa 100%. Una pista La regla de tres puede ser útil en problemas en que las cantidades varían de manera proporcional. 7% 34% 29% 30% m Comenten, en grupo, cómo hicieron la gráfica. Conoce la página del inegi para niños y jóvenes en... www.e-sm.com.mx/ SCM1-225b 225 S-CNCT_M1_B4_222-227.indd 225 1/18/13 11:56 AM 4 contenido BLOQUE Lee información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunica información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. Secuencia 7 / lección 93 Información diversa 1. Un estudio sobre videojuegos hecho en España a 4 000 alumnos de entre 10 y 17 años (últimos grados de primaria, secundaria y bachillerato) arrojó estos resultados. 31% No juega 69% Juega resolver Porcentajes de alumnos por nivel escolar Nivel escolar Bachillerato Juega Secundaria No juega Primaria 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Información recuperada de www.guiavideojuegos.es/ Anota, de acuerdo con las gráficas, si las afirmaciones sobre el uso de los videojuegos son falsas o verdaderas. a) Más de la mitad de los entrevistados usa videojuegos. Verdadera. b) Poco más de 1 200 no usa videojuegos. Verdadera. c) Entre mayor es el nivel escolar, más se usan videojuegos. Falsa. d) Más de la mitad de los entrevistados de bachillerato acostumbra usar videojuegos. Verdadera. e) Las partes azules de las barras representan a los mismos niños que la parte amarilla de la gráfica circular. Verdadera f ) ¿Los porcentajes con estudiantes mexicanos serían similares? m R. P. Organicen, en grupo, una encuesta sobre el uso de videojuegos con estudiantes de primaria, secundaria y bachillerato, y elaboren dos gráficas como las anteriores. Comparen los porcentajes obtenidos con los de los alumnos españoles. 226 S-CNCT_M1_B4_222-227.indd 226 1/18/13 11:56 AM 2. Completa la tabla y elabora en tu cuaderno la gráfica. Aproxima los porcentajes hasta décimos. Puedes usar calculadora. Decide si harás gráfica de barras o circular, y si utilizarás valores absolutos o porcentajes. Año Total de hogares 1992 Hogares con computadora Absolutos Porcentaje (%) 17 819 414 349 443 2.0 1994 19 440 278 641 529 3.3 1996 20 467 038 643 660 1998 22 163 568 1 262 884 3.1 5.7 2000 23 596 452 2 454 031 10.4 Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de tipos de gráficas. 3. Determina qué podría representar esta gráfica. Titúlala y rotula cada barra. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 R. P. 4. Indica qué información podría representar esta gráfica. Titúlala, rotula cada sector y anota su porcentaje. R. P. m Compara tus respuestas de las actividades 2, 3 y 4 con las de tus compañeros. 5. Trabaja en equipo. Hagan una encuesta acerca de un aspecto que quieran conocer sobre sus compañeros. comunicar a) Elaboren una o dos preguntas para sus compañeros. b) Decidan si es conveniente presentar los resultados en gráfica de barras, circular o tabla de frecuencias (pueden elegir más de una). c) Expongan los resultados de su encuesta a sus compañeros. 227 S-CNCT_M1_B4_222-227.indd 227 1/18/13 11:56 AM Las matemáticas en... Los recorridos Intenta resolver este problema conocido como “los siete puentes de Königsberg”; si no lo logras, continúa con las actividades en las que encontrarás ideas que pueden servirte. Dos islas en el río Pregel, en Königsberg, se unen entre ellas y con tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzar cada puente una sola vez y volver al punto de partida? Recorre cada figura sin despegar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma línea. ¿Pudiste hacerlo con todas? Marca con una palomita las que sí pudiste recorrer. ¿Sabías que la figura negra se conoce como “la firma del diablo” porque es imposible trazarla sin despegar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma línea? ¿En qué consiste que unas figuras puedan trazarse y otras no? El número de vértices con grado impar, si es 0 o 2 puede recorrerse, en cualquier otro caso no se puede. ¿Ya lo descubriste? Continúa leyendo y lo sabrás. 228 S-CNCT_M1_B4_228-233.indd 228 1/18/13 11:57 AM A Considera la segunda figura. Diremos que el vértice A es par porque a él llega un número par de líneas (llegan dos), mientras que el vértice C es impar porque a él llega un número impar de líneas (llegan tres). Con esta idea, completa la siguiente tabla. E B D C Figura Núm. de vértices pares 0 3 4 5 4 Núm. de vértices impares 4 2 2 2 4 ¿Puede recorrerse? No Sí Sí Sí No Analiza la tabla y ¡descubre por qué algunas figuras no pueden trazarse! Lee y comenta con tus compañeros la siguiente información. El problema de “los siete puentes de Königsberg” fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a una teoría matemática denominada teoría de Grafos, según la cual “un dibujo puede recorrerse sin despegar el lápiz ni pasar dos veces por el mismo lado si, y solo si, el número de vértices a los que llega una cantidad impar de líneas es 0 o 2”. Aplica lo anterior al siguiente esquema de los puentes. Las líneas representan los puentes, y los puntos, las islas y la tierra firme que unen. Verifica que, efectivamente, es imposible hacer el recorrido. Inventa dos nuevas figuras; una que sí pueda trazarse sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por la misma línea, y otra en la que no sea posible esto. R. P. 229 S-CNCT_M1_B4_228-233.indd 229 1/18/13 11:57 AM Evaluación (TIPO ENLACE) BLOQUE 4 Selecciona la opción correcta. 1. En el Campeonato Mundial de Futbol de Sudáfrica 2010, la selección de Francia tuvo un gol a favor y cuatro en contra. ¿Qué número expresa su diferencia de goles? a) 3 b) –3 c) 5 2. El segmento AB mide 6 cm. ¿Cuántas circunferencias de 5 cm de radio que pasen por A y B se pueden dibujar? d) –5 A 6 cm B a) Ninguna. b) Solo una. 5 cm C c) Solo dos. d) Tres o más. 3. El área de un círculo de 2 cm de radio es 12.56 cm2 (tomando π = 3.14) ¿Cuál será el área de un círculo con el doble de radio? a) 50.24 cm2 b) 50.24 cm c) 25.12 cm2 d) 25.12 cm 4. En la figura, los lados del triángulo miden el doble que los radios de los círculos. ¿Qué es mayor: el perímetro del triángulo o el de una de las circunferencias? a) Son iguales. b) El perímetro de la circunferencia es mayor. c) El perímetro del triángulo es mayor. d) No puede determinarse. 5. En una receta de chocolate para quince personas se utilizan 4.5 l de leche. ¿Qué opción corresponde a la leche necesaria (L) para seis personas? 4.5 × 15 a) L = ______ 6 4.5 × 6 b) L = _____ 15 15 c) L = _____ 4.5 × 6 6 d) L = ______ 4.5 × 15 6. Las placas de los coches de una ciudad están formadas por dos letras seguidas de tres dígitos. Por ejemplo, una placa puede ser GH 391 o XE 266. Considerando que hay diez dígitos y 27 letras, ¿cuántas placas distintas pueden hacerse? a) 729 b) 54 000 c) 270 000 d) 729 000 230 S-CNCT_M1_B4_228-233.indd 230 1/18/13 11:57 AM 7. Fernanda tiene cinco suéteres que usa de lunes a viernes: tres rojos, uno azul y uno negro. ¿De cuántas maneras puede usarlos todos sin repetir el color dos días consecutivos? a) 20 b) 15 c) 5 d) 2 8. Para trazar la figura a escala se utilizó un factor de proporcionalidad de __32 . ¿Qué operación permite calcular la medida del lado GF original? 8 2 =_ a) 4 × _ 3 3 3 c) 4 + _ = 5.5 2 3 b) 4 × _ = 6 2 2 _ d) 4 + = 4.6 3 A B C H E G 9. Los datos de la gráfica aparecieron en el periódico mural de una escuela secundaria. Si hay 150 alumnos inscritos en tercer grado, ¿cuántos de ellos tienen Internet en su hogar? 4 cm D F Porcentaje de alumnos por grado con Internet en su hogar 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 1er grado a) 72 b) 78 2o grado c) 105 3er grado d) 108 10. Analiza las gráficas y contesta. Estado de México 14% Chihuahua 13% Distrito Federal 8% Sonora 9% Veracruz 7% Coahuila 8% Jalisco 6% Durango 6% Puebla 5% Oaxaca 5% Guanajuato 5% Jalisco 4% Chiapas 4% Tamaulipas 4% Otros 51% Otros 51% Estas gráficas se construyeron con datos del Censo de Población y Vivienda 2010. Una de ellas representa la extensión territorial por estado y la otra, la población. ¿Cuál era el tercer estado más poblado del país y cuántos habitantes tenía, aproximadamente? Considera que la población del país en 2010 era de, aproximadamente, 112 millones. a) Veracruz, con 7 millones de personas. b) Veracruz, con 7.8 millones de personas. c) Coahuila, con 8 millones de personas. d) Coahuila, con 8.9 millones de personas. 231 S-CNCT_M1_B4_228-233.indd 231 1/18/13 11:57 AM Evaluación (TIPO PISA) Pongo en juego mis competencias BLOQUE 4 COMPETENCIAS Comunicar información matemática Manejar técnicas eficientemente Los libros más vendidos de la historia Esta es una muestra de los libros más vendidos de la historia. Posición Título Autor Idioma original Copias vendidas (millones) 1 La Biblia -- Hebreo, arameo, griego ~ 5 000 a 6 000 2 Harry Potter (1997) (serie) J. K. Rowling Inglés ~ 1 000 3 Citas del presidente Mao Tse-Tung (1966) Mao Tse-Tung Chino ~ 1000 5 El señor de los anillos (1954) (serie) J. R. R. Tolkien Inglés ~ 100 11 El Código Da Vinci (2003) Dan Brown Inglés ~ 60.5 14 El alquimista (1988) Paulo Coelho Portugués ~ 50 15 El principito (1943) Antoine de Saint-Exupéry Francés ~ 50 Pregunta 1. Expresa con una gráfica de barras el número de copias vendidas de cada libro. Pregunta 2. ¿Sería adecuada una gráfica circular para representar los datos de la tabla? ¿Por qué? Pregunta 3. ¿Cómo determinarías cuáles son los tres libros más leídos en tu escuela? Superficies y viviendas COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados Observa el plano del departamento. Estancia Superficie útil Estancia 5.13 m2 Sala-comedor 2.7 m2 Lavadero 1.08 m Recibidor 2.72 m2 Superficie útil 9.9 m2 7.98 m2 2 Dormitorio con baño 4.05 m2 Pregunta 1. Completa las tablas en tu cuaderno con las superficies útiles de cada habitación. 1: 150 Pregunta 2. Lee el texto y contesta: En una vivienda, la superficie construida es la que ocupa la vivienda contando paredes y columnas, mientras que la superficie útil es la que queda disponible dentro de la vivienda. a) Calcula la superficie construida y la superficie útil total. b) El precio de venta de esta vivienda fue de $400 000.00. Calcula el precio por metro cuadrado de superficie útil. c) ¿Cuál es la fracción de la superficie útil del departamento que corresponde a la sala-comedor? Expresa también ese valor como número decimal. 232 S-CNCT_M1_B4_228-233.indd 232 1/18/13 11:57 AM Y para terminar... ¡Investiguemos! ¿Qué plan conviene contratar? Los planes que ofrecen las compañías de teléfonos celulares no siempre son claros, por ello puede ser difícil saber cuál conviene contratar. En esta investigación explorarán este problema e intentarán dar recomendaciones para algunos casos. La pregunta que guía la investigación es “¿Qué plan le conviene contratar a una persona?”. Dado que el mejor plan podría depender del uso que se pretenda dar al teléfono, es necesario considerar... 1) varios planes posibles, y 2) diferentes tipos de usuario. Tarea 1: organícense para averiguar los planes que ofrecen una o dos empresas de teléfonos. Tarea 2: cada uno pregunte, al menos a dos personas que usen teléfono celular, cuántos minutos al mes lo utilizan (o cuántas llamadas de cuántos minutos), en qué horarios y si son a teléfonos fijos o a otros teléfonos celulares. Consideren únicamente llamadas locales. Organicen la información que llevó todo el grupo; por ejemplo, hagan una primera clasificación de los usuarios en tres grupos, en función del tiempo que usan el teléfono. Definan tres tipos de usuario del teléfono celular: quien lo use muy poco, uno que lo use regularmente y otro que lo use mucho. Analicen algunos de los planes que consiguieron. Para ello, elaboren las tablas y gráficas necesarias. Saquen algunas conclusiones como la siguiente: A una persona que hace tantas llamadas al mes en horario pico le podría convenir más el plan tal que el plan… 233 S-CNCT_M1_B4_228-233.indd 233 1/18/13 11:57 AM BLOQUE 5 Aprendizajes esperados ✓ Resuelve problemas aditivos que impliquen el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. ✓ Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. ✓ Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario. 234 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 234 1/18/13 11:57 AM Cuatro toneladas de comida al día La ballena azul es el animal más grande que existe, y ha existido, en la Tierra (si se considera la masa corporal): puede llegar a medir 30 m y pesar 180 ton. Se alimenta principalmente de krill, un pequeño crustáceo que mide apenas 5 cm y pesa cerca de 1 g. Una ballena azul puede comer 4 000 000 g de krill (cerca de 4 millones de estos crustáceos) para sobrevivir. 1. ¿Cuántos millones de veces es mayor el peso de la ballena azul que el de su alimento? ¿Puedes expresar ese número en forma de potencia? 2. Los científicos estiman que la masa de todo el krill de la Antártida es igual que la de todos los humanos de la Tierra. Si la masa media de una persona es de 75 kg y hay 6 000 millones en el mundo, ¿cuántos ejemplares de krill hay en la Antártida? 3. La ballena azul se encuentra en peligro de extinción, por lo que desde 1966 está prohibida su pesca. Actualmente, una de sus áreas naturales está en México, en el golfo de California. Investiga sobre la situación actual de la ballena azul y las medidas de protección desarrolladas en nuestro país. Puedes visitar la página del Programa de Conservación de Especies en Riesgo (PROCER): www.e-sm.com.mx/SCM1-235 necesitamos muy grandes y muy pequeños, y El mundo está lleno de números ajar con ellos. trab y piadas para comprenderlos herramientas matemáticas apro de ellas. nas algu son ue, bloq ás en este Las potencias y raíces, que estudiar s en ncia si has adquirido las compete Al final de este bloque comprobarás ejo man el y n ació unic así como en la com el manejo de estas herramientas, eficiente de las matemáticas. 235 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 235 1/18/13 11:57 AM 5 contenido BLOQUE Resuelve problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Secuencia 1 / lección 94 Suma de números con signo I Si a un número a le sumas otro número, ¿el resultado puede ser menor que a? En esta secuencia verás que sí es posible usando números enteros. 1. La tabla registra las canicas que Mario ganó (con números positivos) y perdió (con negativos) en varios partidos. Complétala. Ganó 8 Perdió 9 +8 –9 Perdió 5 Ganó 4 Ganó 5 Perdió 1 Perdió 2 Ganó 6 –5 +4 +5 –2 +6 –1 No ganó ni perdió 0 2. Mario juega series de dos partidos. La tabla muestra lo que pasó en cada uno y el resultado final, además de la operación que permite obtenerlo. a) Completa la tabla. Primer partido Segundo partido Resultado final Operación Ganó 15 Ganó 28 Ganó 43 (+15) + (+28) = 43 Ganó 15 Perdió 28 Perdió 13 (+15) + (–28) = (–13) Perdió 35 Ganó 13 Perdió 22 (–35) + (+13) = (–22) Perdió 18 Perdió 14 Perdió 32 (–18) + (–14) = (–32) Ganó 27 Perdió 25 Ganó 2 (+27) + (–25) = 2 Perdió 32 Ganó 25 Perdió 7 (–32) + (+25) =(–7) Perdió 17 Perdió 14 Perdió 31 –31 (–17) + (–14) = ____ b) Resuelve las operaciones. m (+3) + (+10) = 13 (–3) + (+10) = 7 (–3) + (–10) = –13 (+3) + (–10)= –7 (+1) + (+5) = –4 (–1) + (+5) = 4 (–1) + (–5) = –6 (+1) + (–5) = –4 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay diferencias, averigüen con ayuda del profesor a qué se deben y corrijan. Lean la técnica para sumar números con signo con el apoyo de la recta numérica. Para sumar (+5) + (–7): Paso 1: se ubica el primer sumando en la recta numérica. –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 236 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 236 1/18/13 11:57 AM Paso 2: si el segundo sumando es positivo, se cuentan hacia la derecha las unidades que indica; si es negativo, hacia la izquierda. (–7) –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Así, (+5) + (–7) = –2. técnicas 3. Utiliza la técnica anterior para resolver las sumas. (+2) + (+8) = 10 (–2) + (+8) = 6 (–2) + (–8) = –10 (+2) + (–8)= –6 (+5 ) + (+10) = 15 (–5) + (+10) = 5 (–5) + (–10) = –15 (+5) + (–10) = –5 En la expresión (–2) + (+8), el primer + indica adición. En cambio, el segundo, el de +8, indica que se trata de un número positivo. Los números positivos pueden representarse también sin el signo +. Por tanto, » (–2) + (+8) equivale a –2 + 8. » (+2) + (+8) equivale a 2 + 8. » (–2) – (+8) equivale a –2 – 8. 4. Resuelve. 4 + (–3) = 1 5 + (–7) = –2 m –4 + 3 = –1 (–4) + (–3) = –7 4+3= 7 (–5) + (–7) = –12 5 + 7 = 12 –5 + 7 = 2 Compara tus resultados con los de tus compañeros. 5. Completa la tabla y responde. resolver Número 5 –8 –3 2 4 Opuesto del número –5 8 3 –2 –4 Suma del número y su opuesto 0 0 0 0 0 a) ¿Qué resulta de sumar un número y su opuesto? 0 b) ¿Qué número sumado a –5 da 0? 5 Ya sabemos... El opuesto de un número n tiene el mismo valor absoluto que n, pero distinto signo. El opuesto de –3 es +3. El opuesto de +3 es –3. c) ¿Cuál es el opuesto de –5? 5 237 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 237 1/18/13 11:57 AM 5 contenido BLOQUE Resuelve problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Secuencia 1 / lección 95 Suma de números con signo II 1. Compara las parejas de números. Escribe mayor que, menor que o igual que. Ya sabemos... • |a| significa valor absoluto del número a, es decir, su distancia al 0. Los valores absolutos siempre son positivos o 0. • Entre más a la derecha está un número en la recta numérica, mayor es. • Nota que –25 es menor que 3, pero tiene un valor absoluto mayor. m a) –25 menor que 3 b) –5 c) |–25| mayor que |3| d) |–5| mayor que |–3| –3 menor que e) |7| igual que 7 f ) –12 menor que –9 g) |17| mayor que |7| h) |–12| mayor que |–9| Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 2. Resuelve las sumas apoyándote en la recta numérica. –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 a) 2 + 5 = 7 b) 5 + 5 = 10 c) 3 + 7 = 10 d) –2 + (–5) = –7 e) –5 + (–5) = –10 f ) –3 + (–7) = –10 g) –2 + 5 = 3 h) –5 + 5 = 0 i) –3 + 7 = 4 j) 2 + (–5) = –3 k) 5 + (–5) = 0 l) 3 + (–7) = –4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. Trabaja en pareja. Lleven a cabo lo siguiente. a) Comparen sus resultados de la actividad anterior y corrijan los errores. b) Observen que en las seis primeras operaciones los sumandos tienen el mismo signo y en las seis últimas, signos diferentes. c) Escriban una técnica para sumar números con signos positivos y negativos. Anoten la técnica en su cuaderno. 238 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 238 1/18/13 11:57 AM m Haz lo siguiente en grupo. a) Comenten las técnicas que escribieron. b) Lean la siguiente técnica para sumar números con signo. Observen si se parece a las que propusieron. Caso 1. Los dos sumandos tienen el mismo signo, por ejemplo: –2 + (–5). » El valor absoluto del resultado es igual a la suma de los valores absolutos de los sumandos: |–2| + |–5| = 2 + 5 = 7. » El signo del resultado es igual al de los sumandos, que en el ejemplo es negativo. » Entonces, –2 + (–5) = –7. Caso 2. Los sumandos tienen signos diferentes, por ejemplo: (+2) + (–5). » El valor absoluto del resultado es igual a la diferencia entre los valores absolutos: |–5| – |+2| = 5 – 2 = 3. » El signo del resultado es igual al del sumando de mayor valor absoluto. En el ejemplo, es el signo de –5, es decir, negativo. » Entonces, 2 + (–5) = –3. 4. Aplica la técnica anterior para resolver las sumas. técnicas a) 15 + 23 = 38 b) –15 + (–23)= –38 c) –15 + 23 = 8 d) –2.5 + 3.2 = 0.7 e) –2.5 + (–3.2) = –5.7 f ) 2.5 + (–3.2) = –0.7 g) –12 + 34 = 22 h) 12 + (–34) = –22 i) –12 + (–34) = –46 j) 5 + (–5) = 0 k) 5 + 5 = 10 l) –5 + 5 = 0 5. Resuelve las ecuaciones con el procedimiento que prefieras. a) 5 + x = 7 x= 2 b) 5 + x = 2 x = –3 c) –5 + x = –2 x= 3 d) 12 + x = 0 x = –12 e) –12 + x = 0 x = 12 f ) –5 + x = 0 x= 5 g) 237.5 + x = 100 x = –137.5 h) 45.6 + x = 60.7 x = 15.1 m resolver i) 25.2 + x = 26 x = 0.8 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si es necesario, utilicen una recta numérica para apoyar sus razonamientos. Comenten lo siguiente. En el conjunto de los números positivos y el 0, la ecuación 5 + x = 0 no tiene solución. Pero, si se añaden los números negativos, la ecuación sí tiene una solución: x = –5. 239 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 239 1/18/13 11:57 AM 5 contenido BLOQUE Resuelve problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Secuencia 1 / lección 96 Resta de números con signo 1. Verifica, con calculadora pero sin usar la tecla de resta, que las operaciones sean correctas. ¿Es correcta? Resta ¿Es correcta? 2 231 – 975 = 1 356 Resta no 5 420 – 856 = 4 564 sí 3 800 – 1 097 = 2 703 sí 4 075 – 786 = 3 209 no Probablemente usaste esta propiedad: en una resta, si se suma la diferencia (o resultado) con el sustraendo, se obtiene el minuendo. minuendo – sustraendo = diferencia 20 – 15 = 5 diferencia + sustraendo = minuendo 5 + 15 = 20 2. Lee, en grupo, la técnica para resolver la resta (+8) – (–3) usando la propiedad anterior. Repite la técnica con una o dos restas. Primer paso: llamar x a la diferencia buscada. Segundo paso: aplicar la propiedad anterior. (+8) – (–3) = x x + (–3) = (+8) minuendo – sustraendo = diferencia diferencia + sustraendo = minuendo Tercer paso: buscar el valor de x en la recta numérica. ¿Qué número sumado a (–3) da (+8)? (11) –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Es decir, restar (+8) – (–3) equivale a buscar el número que sumado a (–3) da (+8). En la expresión (+8) – (–3), el primer signo – indica sustracción. El segundo, el de –3, indica número negativo. 240 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 240 1/18/13 11:57 AM 3. Reúnete con un compañero. Utilicen la técnica anterior para resolver las restas. Apóyense en una recta numérica si es necesario. Minuendo – sustraendo = diferencia Diferencia + sustraendo = minuendo Diferencia (–4) – (–5) = x x + (–5) = (–4) x = +1 (+9) – (+9) = x x + (+9) = (+9) x=0 (+8) – (–2) = x x + (–2) = 8 x = 10 (+15) – (–15) = x x + (–15) = 15 x = 30 (–8) – (+7) = x x + (+7) = –8 x = –15 (0) – (–9) = x x + (–9) = 0 x=9 5–2=x x+2=5 x=3 2–5=x x+5=2 x = –3 –2 – 5 = x x + 5 = –2 x = –7 –2 – (–5) = x x + (–5) = –2 x=3 4. Resuelve los problemas. Explica la respuesta en tu cuaderno. técnicas resolver a) Ana sacó $5.00 de su alcancía el lunes, metió $8.00 el martes, sacó $3.00 más el miércoles, sacó $2.00 el jueves y metió $1.00 el viernes. ¿Al final de la semana hay más o menos dinero en la alcancía que al principio? ¿Cuánto? b) En una serie de juegos de canicas, Pepe perdió tres canicas, luego ganó dos y después perdió cinco. ¿Cuántas canicas le sobraron? c) Mario jugó dos partidos. En el primero perdió tres canicas. No recuerda cómo le fue en el segundo, pero sabe que acabó ganando una canica. ¿Cómo le fue en el segundo partido? 5. Lee cada problema y colorea el recuadro que corresponda al resultado. a) Doña Tere gastó a pesos en la mañana y b pesos en la tarde. Le quedaron c pesos. ¿Cuánto tenía en la mañana? (a + b) + c c – (a + b) (a – b) – c (a + b) – c Practica la resta de números con signo en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-241 b) La temperatura bajó a grados en la mañana y b más en la noche. ¿Cuánto bajó en total? a–b a+b b–a c) Mario debía a pesos. Si pagó b pesos el mes pasado y c este mes, ¿cuánto debe aún? a + (b + c) a – (b + c) a + (b – c) a – (b – c) 241 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 241 1/18/13 11:57 AM 5 contenido BLOQUE Resuelve problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. técnicas Secuencia 1 / lección 97 Juegos con números 1. ¿Recuerdas los cuadrados mágicos? Se llaman así porque al sumar en forma horizontal, vertical o diagonal, siempre se obtiene el mismo resultado. a) Resuelve el cuadrado mágico. Verifica que en todos los casos la suma dé 0. 3 –4 1 –2 0 2 –1 4 –3 Horizontales 3–4+1= Verticales 3–2–1= 0 3+0–3= 0 –2 + 0 + 2 = 0 –4 + 0 + 4 = 0 –1 + 4 – 3 = 1+2–3= 0 Diagonales 0 –1 + 0 + 1 = 0 0 b) Completa el cuadrado mágico y anota las sumas de cada caso. El resultado siempre debe ser –9 y no puedes repetir números. 0 –7 –2 Horizontales Verticales Diagonales –3 –1 0 – 7 – 2 = –9 0 – 5 – 4 = –9 0 – 3 – 6 = –9 –5 –5 – 3 – 1 = –9 –7 – 3 + 1 = –9 –2 – 3 – 4 = –9 –4 1 –6 –4 + 1 – 6 = –9 –2 – 1 – 6 = –9 Para encontrar un número en el cuadrado mágico necesitas conocer los otros dos números que estén en la misma línea o diagonal. Por ejemplo, en una línea están los números –2 y –1; la suma de ellos con el número que falta debe ser –9: –2 + (–1) + = –9 es decir, –3 + = –9. ¿Qué número sumado a –3 da –9? –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c) Haz lo mismo que en el inciso anterior. La suma siempre debe ser 3.6. 4.6 –3.2 2.2 –1.2 1.2 0.2 5.6 –2.2 Horizontales 4.6 – 3.2 + 2.2 = 3.6 3.6 Verticales Diagonales 4.6 – 1 .2 + 0.2 = 3.6 4.6 + 1.2 – 2.2 = 3.6 –1.2 + 1.2 + 3.6 = 3.6 –3.2 + 1.2 + 5.6 = 3.6 2.2 + 1.2 + 0.2 = 3.6 0.2 + 5.6 -2.2 = 3.6 2.2 + 3.6 – 2.2 = 3.6 242 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 242 1/18/13 11:57 AM d) En este caso, la suma siempre debe ser __32 . – __14 3 __ 2 __1 4 1 3 __ 4 Horizontales Verticales Diagonales 3 3 1 1 –__4 + __2 + __4 = __2 5 3 1 1 + __2 + __4 = __2 –___ 47 3 1 1 + __2 + 0 = __2 5 3 3 1 __ – __2 + __4 = __2 4 2 –__2 1 3 3 1 –__4 + 1 + __4 = __2 0 5 __ 4 3 3 1 1 __ + __2 – __2 = __2 2 5 3 __1 + 0 + __ = __2 4 4 1 __ 5 3 3 1 __ – __2 + __4 = __2 4 2. Trabaja en grupo. a) Verifiquen que hayan utilizado los mismos números para completar cada cuadrado. Ordénenlos de menor a mayor valor. Deben ser nueve y no se debe repetir ninguno. b) Comprueben que las ocho sumas de cada cuadrado den el resultado indicado. Si hay errores, corríjanlos. c) Inventen un cuadrado mágico. » Escriban, de menor a mayor, nueve números consecutivos; de preferencia empiecen R. P. con un número negativo. » Acomódenlos en el cuadrado. El de en medio de la serie debe colocarse en la casilla central y la suma de tres números en línea debe ser igual al triple de este. » Verifiquen que las ocho sumas den el mismo resultado. 3. Haz lo siguiente en la estrella mágica. a) Anota los números faltantes de manera que la suma de cuatro de ellos en línea siempre sea la misma. No se deben repetir números. resolver b) Compara tu estrella con la de tus compañeros. –5 –6 1 5 3 –1 –2 Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de números enteros. –4 –3 0 2 4 243 S-CNCT_M1_B5_234-243.indd 243 1/18/13 11:57 AM 5 CONTENIDO BLOQUE Secuencia 2 / lección 98 Cantidades astronómicas o microscópicas Usa la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Leer, escribir y hacer operaciones con cantidades muy grandes o muy pequeñas, como la distancia de la Tierra al Sol o la masa en gramos de una molécula, son actividades engorrosas y pueden provocar errores. ¿Sabías que hay una forma de agilizarlas? En esta secuencia estudiarás algunas maneras eficientes de manejar cantidades así. 1. Completa las igualdades. Observa los ejemplos; corresponden a potencias de base 10. 108 = 100 000 000 ¿Cómo surge el exponente negativo? Analiza 10 el siguiente ejemplo: ___ 103 2 10 × 10 1 = _________ = __ = 10 × 10 × 10 10 0.1 = 102–3 = 10–1. 103 = 1 000 107 = 10 000 000 102 = 1 00 106 = 1 000 000 101 = 10 105 = 100 000 100 = 1 104 = 10 000 1 10–1 = __ = 0.1 10 1 ________ 10–6 = 1 000 000 = 0.000001 1 1 10–2 = ___ = 0.01 10–7 = _________ = 0.0000001 100 10 000 000 1 1 10–3 = _____ = 0.001 10–8 = ________ = 0.00000001 100 000 000 1 000 10–4 = 0.0001 1 10–9 = ___________ = 0.000000001 1 000 000 000 10–5 = 0.00001 En las potencias de base 10 con exponente positivo, el exponente coincide con el número de ceros del número. En las potencias de base 10 con exponente negativo, el exponente coincide con su número de cifras decimales. 2. Completa la tabla. Descripción de la cantidad Cantidad con letras Distancia de la Tierra al Sol en kilómetros Ciento cuarenta y nueve millones de kilómetros Presupuesto 2010 para la Secretaría de Educación Pública Veinticinco mil millones de pesos Tamaño de un glóbulo rojo Setenta y seis cienmilésimos de milímetro Cantidad aproximada de células Sesenta billones de células que forman el cuerpo humano Tamaño aproximado de una bacteria Cinco diezmilésimas de milímetro Cantidad con cifras 149 000 000 km $25 000 000 000 0.00076 mm 60 000 000 000 000 0.0005 mm Las cantidades de la tercera columna pueden expresarse en notación científica, es decir, de la siguiente forma: a × 10n Es un producto en que a es un número mayor o igual a 1 y menor a 10 llamado coeficiente y n es un número entero. Por ejemplo, 149 000 000 en notación científica se escribe 1.49 × 108; el número 0.000025 (veinticinco millonésimos) en notación científica se escribe 2.5 × 10–5. 244 S-CNCT_M1_B5_244-247.indd 244 1/18/13 12:00 PM 3. Escribe en notación científica las cantidades de la actividad 2. Descripción de la cantidad técnicas En notación científica Distancia de la Tierra al Sol en kilómetros 1.49 Í 108 Presupuesto 2011 para la Secretaría de Educación Pública 2.5 Í 1010 Tamaño de un glóbulo rojo 7.6 Í 10-4 Cantidad aproximada de células que forman el cuerpo humano 6 Í 1013 Tamaño aproximado de una bacteria 5 Í 10-4 m Revisa, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de las actividades 2 y 3. Corrijan lo que sea necesario. 4. En cada grupo de expresiones hay una que no corresponde al mismo número. Táchala. Primer grupo 001 7.2 × 10 Segundo grupo 7.2 × 10–3 3 72 × 102 0.72 × 10–2 720 × 100 0.072 × 10–1 0.72 × 104 72 × 10–2 5. Ordena los números de menor a mayor valor. 2 × 10–2 3 × 10–1 2.5 Í 10-3 2 Í 10-2 2.5 × 10–3 2.9 Í 10-2 2.9 × 10–2 3.2 × 10–1 3 Í 10-1 3.2 Í 10-1 6. Subraya la forma correcta de escribir, en notación científica, las cantidades. resolver a) La población de México en 2010 era de 112 millones de habitantes. » 1.12 × 106 habitantes » 1.12 × 107 habitantes » 1.12 × 108 habitantes b) El tamaño de un virus puede ser de cinco cienmilésimos de milímetro. » 5 × 10 mm –4 » 5 × 10 mm –5 » 5 × 10 mm –6 c) La cantidad de insectos por hectárea en la selva amazónica es de 32 millones. 3.2 × 106 insectos m 3.2 × 107 insectos Practica el uso de la notación científica en… www.e–sm.com.mx/ SCM1–245 3.2 × 108 insectos Revisa, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de las actividades 4, 5 y 6. Corrijan y aclaren lo que sea necesario. 245 S-CNCT_M1_B5_244-247.indd 245 1/18/13 12:00 PM 5 CONTENIDO BLOQUE Usa la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Secuencia 2 / lección 99 Distancias y masas 1. Completa la tabla. Planeta Distancia media al Distancia media al Sol en Sol (millones de km) notación científica (km) Mercurio 58 5.8 Í 107 9.2 Í 107 Venus 108 1.08 Í 108 4.2 Í 107 Tierra 150 1.50 Í 108 0 Marte 228 2.28 Í 108 7.8 Í 107 Júpiter 778 7.78 Í 108 6.28 Í 108 Saturno 1 427 1.427 Í 109 1.277 Í 109 Urano 4 500 4.5 Í 109 4.35 Í 109 Neptuno 5 900 5.9 Í 109 5.75 Í 109 En contexto A la distancia media de la Tierra al Sol se le llama también unidad astronómica. De acuerdo con ella, la distancia media de Venus al Sol es 0.72 unidades astronómicas (ua); la de Marte al Sol, 1.52 ua. ¿Cuál es la distancia media de Júpiter al Sol en unidades astronómicas? Diferencia en distancia respecto a la Tierra (km) m Revisa, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de la tabla. Corrijan lo que sea necesario y comenten lo siguiente. Una técnica para sumar o restar cantidades en notación científica es la que se describe enseguida. Caso 1 Si las potencias de base 10 tienen el mismo exponente, se suman o restan los coeficientes. Por ejemplo: 1.08 × 108 + 2.28 × 108 = 3.36 × 108 2.28 × 108 – 1.08 × 108 = 1.20 × 108 Caso 2 Si las potencias de base 10 tienen distinto exponente, primero hay que igualarlo, multiplicando o dividiendo algún coeficiente por 10, 100, etc., según sea necesario. Por ejemplo: 1.5 × 108 – 5.8 × 107 = 1.5 × 108 – 0.58 × 108 = 0.92 × 108 = 9.2 × 107 2. Resuelve los problemas. a) La Luna tiene una masa de 7.3 × 1022 kg y la Tierra, de 5.97 × 1024 kg. ¿Qué diferencia en kilogramos hay entre ambas masas? 5.897 Í 1024 b) El Sol tiene una masa de 1.98 × 1030 kg. ¿Cuál es la diferencia entre su masa y la de la Tierra? 1.9794 Í 1030 246 S-CNCT_M1_B5_244-247.indd 246 1/18/13 12:00 PM 3. Trabaja en equipo. Resuelvan las operaciones y deduzcan una regla para obtener rápidamente el resultado. » (4 × 103) × (2 × 102) = 8 Í 105 » (5 × 104) × (2.5 × 102) = 12.5 Í 106 » (4 × 103) ÷ (2 × 102) = 2 Í 101 » (5 × 104) ÷ (2.5 × 102) = 2 Í 102 » (9 × 105) × (3 × 103) = 27 Í 108 » (6.4 × 102) × (3.2 × 103) = 20.48 Í 105 » (9 × 105) ÷ (3 × 103) = 3 Í 102 » (6.4 × 102) ÷ (3.2 × 103) = 2 Í 10-1 técnicas a) Escribe la regla que encontraron. Para multiplicar dos expresiones escritas en notación científica R. P. Para dividir dos expresiones escritas en notación científica R. P. m Comparen, con ayuda del profesor, las reglas. Registren sus conclusiones. 4. Contesta con base en la información del dibujo. Usa notación científica para los cálculos. Sol 1.98 × 1030 kg Luna 7.3 × 1022 kg 385 000 km 149 000 000 km Tierra 5.97 × 1024 kg a) ¿Cuántas veces es más grande la masa de la Tierra que la de la Luna? 817 b) ¿Cuántas veces es más grande la masa del Sol que la de la Tierra? 3.31 Í 105 c) ¿Cuántas veces es más grande la distancia de la Tierra al Sol que de la Tierra a la Luna? 387 m Revisa, en grupo, los resultados de las actividades 2 y 4. Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de notación científica. 247 S-CNCT_M1_B5_244-247.indd 247 1/18/13 12:00 PM 5 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. resolver Secuencia 3 / lección 100 La medida de un lado La superficie de un cuadrado mide 81 m2. ¿Cuánto mide uno de sus lados? ¿Y si la superficie es de 190.44 m2? En esta secuencia aprenderás a resolver problemas como estos. 1. Observa los cuadrados y responde. Debajo de cada uno está su área en unidades cuadradas. 1u 2u 1 u2 3u 4 u2 4u 9 u2 5u 16 u2 25 u2 a) ¿Cuántas unidades mide un lado de cada cuadrado? Anota las respuestas a un costado de cada uno. b) ¿Cuánto mide un lado de un cuadrado cuya área es 6.25 cm2? 2.5 u c) ¿Cuánto mide un lado de un cuadrado cuya área es 169 m2? 13 u d) ¿Cuánto mide un lado de un cuadrado cuya área es 172 m2? 13.11 u La medida de un lado de un cuadrado es un número que multiplicado por sí mismo da el área. En algunos casos, si conocemos el área, podemos encontrar la medida exacta de cada lado, pero en otros solo hallaremos la aproximada. 2. Completa la tabla. En la tercera columna escribe si la medida de un lado es exacta o aproximada. Puedes usar calculadora. Área del cuadrado (m2) Medida de un lado (m) ¿Exacta o aproximada? Perímetro (4m) 49 7 10 2.83 3.46 12 2.44 6.93 13 29.58 59 exacta exacta aproximada aproximada exacta aproximada aproximada exacta aproximada exacta 28 100 8 12 144 6 48 169 875 3 481 m 40 11.31 13.86 48 9.80 27.71 52 118.32 236 Compara tus resultados de las actividades 1 y 2 con los de tus compañeros. » Comenten cómo calcularon un lado del cuadrado con 875 m2 de área. » Averigüen quién se aproximó más a 875 al multiplicar lado por lado. 248 S-CNCT_M1_B5_248-253.indd 248 1/18/13 12:00 PM La medida de un lado de un cuadrado es la raíz cuadrada de su área. Calcular la raíz cuadrada de un número n consiste en encontrar un número tal que multiplicado por sí mismo dé o se aproxime a n. 3. Busca con calculadora la manera más rápida para encontrar la raíz cuadrada de 14 780. Anótala en tu cuaderno y compárala con la de tus compañeros. 4. Lee el problema y resuelve: Javier descubrió cómo obtener la raíz cuadrada de 14 780 con calculadora. Presionó ciertas teclas y en la pantalla apareció este número: 121.5730233. Verifica si a medida que se usan más cifras decimales, el resultado se acerca más a 14 780. 121 × 121 = 14 641 121.5 × 121.5 = 14 762.25 121.57 × 121.57 = 14 779.2649 121.573 × 121.573 = 14 779.994329 121.5730 × 121.5730 = 14 779.994329 121.57302 × 121.57302 = 14 779.99919 técnicas 121.573023 × 121.573023 = 14 779.999921 121.5730233 × 121.5730233 = 14 779.9999943023 m Comenta en grupo: si aumentan más cifras decimales, ¿obtendrán exactamente 14 780? 5. Completa la tabla. Número (n) Número al cuadrado (n2) Raíz cuadrada de n2 1 12 = 1 1 10 102 = 100 10 2.5 2.52 = 6.25 2.5 31 312 = 961 31 n n2 n Ya sabemos... Multiplicar un número por sí mismo es elevar al cuadrado dicho número. Por ejemplo, 5 por 5 es lo mismo que 5 al cuadrado y se representa 5 × 5 = 52. La operación de extraer raíz cuadrada se representa con el símbolo √. Por ejemplo: √3 528. √9 = 3 √25 = 5 √2 = 1.4142… 6. Resuelve el problema: se quieren plantar árboles alrededor de un terreno cuadrado de una hectárea (1 ha) a 4 m uno del otro. ¿Cuántos árboles se necesitarán? (se plantará un árbol en cada vértice, recuerda que 1 ha equivale a 10 000 m2). 100 m Comenta, en grupo, la relación que existe entre las operaciones “sacar raíz cuadrada” y “elevar al cuadrado”. Comparen sus resultados de las actividades 3, 4, 5 y 6. Una operación es inversa de la otra. 249 S-CNCT_M1_B5_248-253.indd 249 1/18/13 12:00 PM 5 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. Secuencia 3 / lección 101 Raíces cuadradas 1. Lee la información y responde. Una técnica para obtener la raíz cuadrada es la de ensayo y error, que usaste en la lección anterior. Consiste en encontrar un número que multiplicado por sí mismo dé el número al que se quiere extraer raíz cuadrada o se acerque a él. Por ejemplo, para encontrar √3 857, podemos hacer lo siguiente. » 100 × 100 = 10 000. Entonces el número buscado es menor que 100. » 50 × 50 = 2 500. Entonces el número buscado es mayor que 50. » 60 × 60 = 3 600. Entonces el número buscado es mayor que 60. a) ¿Piensas que el número buscado sea mayor que 70? b) ¿Y mayor que 65? ¿Por qué? Porque 652 = 4 225. No. c) ¿Cuál es el número buscado, sin parte decimal? 62 ¿cuánto le falta al producto para llegar a 3 857? Al multiplicarlo por sí mismo, 13 d) ¿Cuál es el número buscado, con una cifra decimal? técnicas R. T. No. 62.1 2. Completa la tabla. El radicando es el número al que se sacará la raíz cuadrada. Radicando (n) Raíz cuadrada de n sin parte decimal Resto Relación entre n, su raíz cuadrada y el resto Convivimos 8 2 4 8=2×2+4 Estamos acostumbrados a que el profesor nos diga si nuestras respuestas son correctas. Es importante cambiar esa costumbre y asumir la responsabilidad de aprender a argumentar y explicar a otros cómo resolvimos un problema y por qué consideramos que estamos bien, y, de igual forma, aceptar que estamos equivocados cuando otros compañeros nos lo hagan ver. 18 4 2 18 = 4 Í 4 + 2 81 9 0 80 = 9 Í 9 740 27 11 740 = 27 Í 27 + 11 400 20 0 400 = 20 Í 20 4 520 67 31 4 520 = 67 Í 67 + 31 35 827 189 106 35 827 = 189 Í 189 + 106 250 000 500 0 25 000 = 500 Í 500 m Compara tus resultados de las actividades 1 y 2 con los de tus compañeros. Corrijan lo que sea necesario. 250 S-CNCT_M1_B5_248-253.indd 250 1/18/13 12:00 PM 3. Analiza, en grupo y con ayuda del profesor, el siguiente procedimiento y haz lo que se indica. Este procedimiento es útil cuando el cálculo mental no es suficiente o cuando no se dispone de calculadora. Paso 1. El radicando (en el ejemplo es 54 271.24) se separa en grupos de dos cifras, tanto a la izquierda como a la derecha del punto decimal. A la extrema izquierda del punto decimal puede quedar un grupo de una cifra (5, en el ejemplo). A la derecha del punto solo puede haber grupos de dos cifras. Si es necesario se agrega un 0. Paso 2. La primera cifra de la raíz (2) es la raíz cuadrada del primer grupo (en este caso, la de 5). Esta cifra se eleva al cuadrado y se resta al primer grupo. Paso 3. Se baja el siguiente grupo de cifras (42) y se duplica(n) la(s) cifra(s) de la raíz ya encontrada(s) (en este caso, quedaría 4). Paso 4. La siguiente cifra de la raíz formará un número con la(s) cifra(s) duplicada(s) en el paso anterior (4) y se multiplicará por él: 41 × 1, 42 × 2, 43 × 3, etc. El resultado debe acercarse lo más posible a 142 sin rebasarlo. 5,42,71.24 5,42,71.24 –4 1 2 5,42,71.24 –4 142 2 5,42,71.24 –4 1 42 –1 29 13 23 4 43 × 3 Paso 5. Para encontrar las siguientes cifras de la raíz se repiten los pasos 3 y 4. Se debe colocar el punto decimal en la raíz cuando se baja el primer grupo decimal. a) Continúen el proceso y verifiquen que la raíz cuadrada, con una cifra decimal, sea 232.9 y el resto, 28.83. b) Calculen las raíces cuadradas en su cuaderno con el procedimiento anterior. » √237 15.39 m » √5 428 73.67 » √246.49 15.7 Revisen, en grupo, los resultados. Corrijan, con el apoyo del profesor, lo que sea necesario. Practica el cálculo de raíces cuadradas en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-251 251 S-CNCT_M1_B5_248-253.indd 251 1/18/13 12:00 PM 5 contenido BLOQUE Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. Secuencia 3 / lección 102 Crecimiento exponencial 1. Lee la situación y responde: Irma vive en un lugar donde las noticias se propagan rápidamente. Se puede esquematizar cómo lo hacen. Primera etapa. Irma contó la noticia a tres personas. Segunda etapa. Cada una la platicó a otras tres. Tercera etapa. Cada una de estas nueve la comentó a otras tres. a) ¿Cuántas personas oyeron la noticia en la quinta etapa? 243 b) Señala la operación que permite resolver la pregunta anterior. » 3×3×3×3×3= » 3+3+3+3+3= » 5×3= 2. Responde las preguntas. a) Si en vez de comenzar con tres personas en la primera etapa, Irma empezara con cuatro, ¿cuántas sabrían la noticia en la quinta etapa? 1 024 b) ¿Y si lo hiciera con cinco? 3 125 Las multiplicaciones de factores iguales, como 2 × 2 × 2; 3 × 3 × 3 × 3; 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7; n × n × n × n; se pueden expresar en forma exponencial: 23, 34, 76, n4. El factor repetido es la base y el número que indica las veces que se repite es el exponente. resolver 3. Lee la información y responde. Se sabe que ciertas bacterias pueden duplicar su número cada 20 min. a) A los 20 min de que se inicie el proceso con una bacteria, ¿cuántas habrá? Dos b) ¿Y después de una hora? Ocho c) ¿En cuántas horas se formará una colonia de 512 bacterias? 3 h (180 min) m Compara tus resultados de las tres actividades de esta página con los del grupo. 252 S-CNCT_M1_B5_248-253.indd 252 1/18/13 12:00 PM 4. Encuentra la expresión equivalente, en la columna derecha, para las expresiones de la izquierda. Anota la letra correspondiente. a) 7 × 7 × 7 × 7 ( d ) 47 b) 7 + 7 + 7 + 7 (b )7×4 c) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 ( a ) 74 d) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 (c )4×7 5. Responde las preguntas. Recuerda que un cubo tiene seis caras cuadradas iguales y su volumen se calcula multiplicando el área de la base por la altura. a) ¿Cuál es el área de la base del cubo? b) ¿Cuál es su volumen? 16 cm2 64 cm3 4 cm c) Si un cubo tiene 216 cm , ¿cuánto mide un lado de la base? 3 6 cm Para calcular el área de un cuadrado, se eleva al cuadrado la medida de un lado. Para calcular la medida de un lado se extrae la raíz cuadrada del área. Para calcular el volumen de un cubo, se eleva al cubo lo que mide un lado de la base, también llamado arista. Para calcular la medida de la arista, se saca la raíz cúbica del volumen. 6. Anota en los óvalos los números que faltan. En los esquemas se muestra lo que sucede cuando un número se eleva a una potencia n y se extrae la raíz n. elevar al cubo elevar al cuadrado 7 49 64 4 elevar a la cuarta 5 Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de raíz cuadrada. extraer raíz cúbica extraer raíz cuadrada elevar a la n 625 2n 2 extraer raíz cuarta extraer raíz n 7. Efectúa los cálculos. En el inciso d) aproxima hasta centésimos. a) 34 = 81 b) 2.52 = 6.25 c) √289 = 17 d) √28 = 5.29 técnicas 253 S-CNCT_M1_B5_248-253.indd 253 1/18/13 12:00 PM 5 CONTENIDO BLOQUE Obtiene la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética. Secuencia 4 / lección 103 Símbolos en lugar de palabras En»el»bloque»1»describiste»con»palabras»la»regla»o»patrón»de»algunas»sucesiones.»En»esta» secuencia»aprenderás»a»expresarlas»con»letras»y»símbolos»matemáticos. 1. Considera la sucesión de figuras. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 a) Completa la tabla. resolver ¿Cuántos círculos tendrá la figura a? ¿Y la m?, ¿y la p? Figura 1 2 3 4 50 100 Círculos 3 6 9 12 150 300 b) Analiza y completa. Si la figura 8 tiene 3 × 8 círculos y la 90, 3 × 90 círculos; la 1 000 tendrá círculos, la 5 000 tendrá 3 Í 5 000 círculos, la figura n tendrá 3 Í 1 000 3 Í n o 3n círculos. Cuando se usan letras, como n, no se usa × para la multiplicación porque se confunde con la letra x. En matemáticas, en lugar de anotar 3 × n, se anota 3n, que significa “tres por n” o “tres veces n”. 2. Considera la sucesión de figuras y haz lo que se indica. ¿Cómo expresarías el número de círculos de la figura n + 1? Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 a) Completa la tabla. En la última columna anota cuántos círculos tendrá la figura n. Figura 1 2 3 50 100 n Círculos 4 7 10 151 301 3n + 1 b) ¿Cómo expresarías el número de círculos de la figura n + 1? 254 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 254 1/18/13 12:02 PM 3. Analiza cuántas sillas (puntos) se pueden poner alrededor de las mesas y completa la tabla. Núm. de mesas 1 2 3 4 20 100 n Núm. de sillas 4 6 8 10 42 202 2(n + 1) 4. Completa la sucesión de números e inventa la de figuras. Figura 1 2 3 4 20 100 n Puntos 4 8 12 16 80 400 4n Sucesión de figuras. R. P. La primera figura debe tener cuatro objetos; la sucesión crece de 4 en 4. El enésimo término tendrá 4n objetos. 5. Compara tus resultados y procedimientos con los de tus compañeros. Pongan atención a las expresiones en que utilizaron la letra n. 6. Completa la tabla. comunicar 1 2 3 4 5 10 20 100 n 2 4 6 8 10 20 40 200 2n 5 10 15 20 25 50 100 500 5n 3 5 7 9 11 21 41 201 2n + 1 1 3 5 7 9 19 39 199 2n - 1 6 12 18 24 30 60 120 600 6n Practica el cálculo de la regla general de sucesiones en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-255 255 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 255 1/18/13 12:02 PM 5 CONTENIDO BLOQUE Obtiene la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética. Secuencia 4 / lección 104 Construyendo sucesiones 1. Considera la siguiente sucesión. 5, 10, 15, 20, 25… a) ¿Qué número está en el segundo lugar? b) ¿Y en el quinto? 25 c) ¿Y en el centésimo? 500 d) ¿Qué número hay en el lugar 1 000? e) ¿Y en el lugar n? comunicar 10 5 000 5n 2. Haz lo que se indica. a) Construye una sucesión donde el número que está en el lugar de la n se calcula con la regla 2n + 3. »» Anota los primeros cinco términos. 5 , 7 , 9 , 11 , 13 »» ¿Cómo los calculaste? Se multiplica el énésimo término por 2 y se le suma 3. b) Considera una sucesión cuya regla para calcular el término que está en el lugar n es n + 4. »» Anota los primeros cinco términos. 5 , 6 , 7 , 8 , 9 »» ¿Cómo los calculaste? R. T. Al lugar de cada término se le suma 4. c) Inventa una sucesión de figuras con puntos que siga la regla 4n + 2. resolver Sucesión de figuras. R. P. 256 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 256 1/18/13 12:02 PM 3. Completa la tabla. m» Una pista Regla 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7n 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 n + 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2n + 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 3n – 1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 7n – 7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 n+5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n+2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3n + 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 7n + 4 11 18 25 32 39 46 53 60 67 74 Puedes hallar primero la sucesión con números y luego la de figuras. Compara tus resultados con los de tus compañeros. Lean y comenten lo siguiente. Las expresiones como n+6 3n 4n + 2 se llaman expresiones algebraicas. La letra puede tomar diferentes valores. Cuando la expresión algebraica se usa para expresar el patrón de una sucesión, n representa el lugar que ocupa cualquier término. Por ejemplo, en la sucesión cuya expresión es 4n + 2, el término que está en quinto lugar es 4 × 5 + 2 = 22. Recuerda que, en expresiones algebraicas, no conviene usar el signo por (×) de la multiplicación, pues se confunde con la letra x, por lo que “3n” significa “3 por n” o “tres veces n”. 4. Propón tres reglas algebraicas de sucesiones, escríbelas en tu cuaderno y anota sus primeros diez términos. Estas expresiones son llamadas reglas de sucesión. 257 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 257 1/18/13 12:02 PM 5 CONTENIDO BLOQUE Usa las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Secuencia 5 / lección 105 Circulando En»el»bloque»4»estudiaste»fórmulas»para»calcular»el»perímetro»y»el»área»del»círculo.»» En»esta»secuencia»aplicarás»estas»fórmulas»para»resolver»problemas. 1. Una bicicleta tiene ruedas de 60 cm de diámetro. a) ¿Cuántos metros recorre cuando las ruedas dan una vuelta? 1. 884 m Ya sabemos... b) Completa la tabla. La medida de la circunferencia se calcula multiplicando π por la medida del diámetro. c) Haz la gráfica correspondiente en papel milimétrico. Vueltas de la rueda Distancia recorrida (m) 2 3.768 3.5 6.594 4 7.536 5 9.42 10 18.84 35 65.94 100 188.40 d) ¿Es una relación de proporcionalidad? Sí. validar ¿Cómo lo sabes? R. T. Porque al doble le toca el doble; al triple, el triple; etc. 2. Un automóvil tiene llantas con un radio de 0.29 m. a) Cuando el automóvil recorre 10 km, ¿cuántas vueltas han dado sus llantas? 5 488 b) ¿Cuántos kilómetros avanza cuando sus llantas dan 1 000 vueltas? 1.822 km resolver 3. Las ruedas también sirven para medir longitudes: al centro de una rueda de madera se le sujeta un palo de modo que pueda girar al deslizarla por una superficie. La rueda tiene una marca para saber cuándo ha dado una vuelta. a) Para que una rueda avance 1 m cada vez que da una vuelta, ¿cuánto debe medir su radio? 15.9 cm b) ¿Y para que avance 1.5 m? 23.9 cm c) Se midió la distancia entre dos árboles con una rueda de 32 cm de radio. La rueda dio ocho vueltas. ¿Qué distancia hay entre los árboles? 16.08 m m» Comenta con tus compañeros cómo resolviste estos problemas. 258 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 258 1/18/13 12:02 PM 4. Haz lo siguiente. a) Mide el diámetro de los círculos. Observa que el diámetro del círculo grande mide el doble que el del pequeño. Recuerda cómo calcular el área y perímetro del círculo en… b) ¿Cuántas veces mayor será el perímetro del círculo grande en comparación con el del pequeño? Dos. ¿Cuántas veces mayor será el área? www.e-sm.com.mx/ SCM1-259 Cuatro. c) Calcula el perímetro y área en cada caso y anota tus conclusiones. Círculo grande Ya sabemos... Círculo pequeño A1 = 8.04 cm2 A2 = 32.16 cm2 P1= 5.075 cm P2= 10.05 cm El área de un círculo se calcula multiplicando π por el cuadrado del radio. Conclusión: si el diámetro de un círculo aumenta al doble, ¿su perímetro también? Sí. ¿Y su área? No. técnicas 5. Completa la tabla. Usa calculadora. Radio (cm) 1 2 4 8 10 Perímetro 6.28 cm 12.56 cm 25.12 cm 50.24 cm 62.8 cm 4 8 Radio (cm) Área 1 2 3.14 cm2 12.56 cm2 50.24 cm2 200.96 cm2 10 314 cm2 a) Elabora la gráfica correspondiente a cada tabla en papel milimétrico. comunicar b) ¿El perímetro de un círculo es proporcional a su radio? Sí. ¿Cómo lo sabes? R. P. c) ¿El área de un círculo es proporcional a su radio? No. ¿Cómo lo sabes? R. P. 6. Para barnizar una tabla cuadrada de 1 m de lado, se usaron __34 l de barniz. Para barnizar una mesa circular de 1 m de diámetro, ¿se utilizará más de __34 l o menos? Menos. ¿Cómo lo sabes? Un círculo de 1 m de diámetro tiene menor área que un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuánto barniz se usará en la mesa circular? 0.589 l 259 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 259 1/18/13 12:02 PM 5 CONTENIDO BLOQUE Usa las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Secuencia 5 / lección 106 De vuelta en la pizzería 1. Los clientes de una pizzería pidieron lo siguiente. En la mesa 1 había cuatro personas y pidieron una pizza mediana. En la mesa 2 había seis personas y pidieron una pizza grande. resolver 24 cm Pizza mediana Pizza grande 30 cm En la mesa 3 había dos personas y pidieron una pizza chica. Pizza chica 20 cm En cada mesa se repartieron la pizza en partes iguales. a) ¿En qué mesa le correspondió más pizza a cada persona? En la 3. b) ¿Qué cantidad recibió cada persona en las tres mesas? Mesa 1: Mesa 2: 113.09 cm2 117.81 cm2 Mesa 3: 157.07 cm2 2. Los costos de las pizzas son los siguientes. Pizza Costo chica $49.00 mediana $69.00 grande $89.00 a) ¿En qué tipo de pizza sale más caro el centímetro cuadrado? En la chica. b) ¿Cómo lo averiguaste? R. T. Dividí el costo de cada pizza entre su área. validar m» Comenta con tus compañeros cómo resolviste estos problemas. 260 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 260 1/18/13 12:02 PM 3. La pizza grande se colocó en un plato con la medida indicada. 40 cm a) ¿Qué parte del plato queda sin cubrir? 549.78 cm2 b) Escribe el procedimiento con el que lo supiste. R. P. 4. En otra pizzería se venden pizzas de los siguientes tamaños. 25 cm Pizza mediana $25.00 35 cm Pizza grande $49.00 a) El dueño quiere que el costo de las pizzas sea proporcional a su área. Anota el precio de la grande en el recuadro. m» Comenta con tus compañeros cómo resolviste las actividades 3 y 4. 261 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 261 1/18/13 12:02 PM 5 CONTENIDO BLOQUE Usa las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Secuencia 5 / lección 107 Más sobre círculos y circunferencias 1. Obtén el área coloreada en cada figura. Toma las medidas necesarias. Puedes usar calculadora. Ya sabemos... El área del rombo se calcula multiplicando la medida de sus diagonales y dividiendo entre 2 el producto. resolver 3.4336 cm2 11.78097 cm2 2. Considera la siguiente pista circular para correr. 8.5663 cm2 64 m a) ¿Cuántos metros menos corre quien va más cerca del pasto? 31.4 m Pasto b) Si se conserva el ancho de la pista, pero el diámetro del círculo con pasto es de 100 m, ¿cuál es la respuesta de la pregunta anterior? 5m 31.4 m Ya sabemos... El perímetro del círculo se calcula con la fórmula P = π × d. El área del círculo se calcula con la fórmula A = π × r 2. 3. Doña Luisa hace manteles individuales de tela y les pone listón en el contorno. En cada caso, calcula la cantidad mínima de tela y de listón que utiliza para cada tipo de mantel. Puedes usar calculadora. a) 20 cm Tela: 914.16 cm2 Listón: 122.8 cm 30 cm 262 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 262 1/18/13 12:02 PM b) Tela: 800 cm2 20 cm Listón: 120 cm 40 cm c) 5 cm 10 cm 20 cm Tela: 578.5 cm2 Listón: 91.4 cm 30 cm d) Tela: 863.68 cm2 24 cm Listón: 175.84 cm 40 cm »» ¿En qué diseño empleará más tela? En el a). »» ¿En cuál empleará más listón? En el d). »» Explica cómo calculaste la cantidad de tela y de listón para el inciso d). validar R. P. m» Compara con el grupo tus respuestas de las actividades 2 y 3. Si las estimaciones que hiciste del 1 fueron buenas, comenta a tus compañeros qué estrategia usaste. Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad sobre el área del círculo. 263 S-CNCT_M1_B5_254-263.indd 263 1/18/13 12:02 PM 5 contenido BLOQUE Resuelve problemas de proporcionalidad múltiple. resolver Secuencia 6 / lección 108 Depende de varias magnitudes I Ya conoces situaciones en las que una magnitud depende de otra. En esta secuencia estudiarás casos en los que una magnitud depende, al mismo tiempo, de dos o más magnitudes. Por ejemplo, el consumo total de agua de un grupo de personas durante cierto tiempo depende de lo que cada una beba, del número de individuos y de la cantidad de tiempo. 1. Resuelve, con un compañero, el siguiente problema. La señora Martínez alquila su rancho a grupos de personas. Como le surten el agua en pipa únicamente cuando la solicita, debe prever cuánta necesitará. El año pasado, un grupo de ocho personas permaneció en la casa durante diez días y consumió 4 000 l de agua. Si este año recibirá a un grupo de 24 personas durante 20 días y el consumo diario de cada uno es, en promedio, igual al del año pasado, ¿cuánta agua necesitará? 24 000 l m Comparen su respuesta con la de sus compañeros. Revisen si siguieron distintos procedimientos. 2. Averigüen cuánta agua se necesitaría en los casos que se indican. a) 8 personas durante 10 días: b) 16 personas durante 10 días: 8 000 l c) 24 personas durante 10 días: 12 000 l d) 32 personas durante 10 días: 16 000 l e) 8 personas durante 20 días: 8 000 l f ) 8 personas durante 30 días: 12 000 l 400 l g) 8 personas durante 1 día: h) 1 persona en un día: 50 l i) 10 personas durante 18 días: m 4 000 l 9 000 l Comparen sus resultados. Revisen si usaron distintos métodos para calcularlos. 264 S-CNCT_M1_B5_264-267.indd 264 1/18/13 12:03 PM 3. Anota los resultados y completa la tabla de doble entrada. Deja en blanco la última fila y la última columna. Personas Días 1 8 10 16 24 1 50 l 400 l 500 l 800 l 1 200 l 1 600 l 50m 8 400 l 1 200 l 4 000 l 6 400 l 9 600 l 12 800 l 400m 10 500 l 4 000 l 5 000 l 8 000 l 12 000 l 16 000 l 500m 18 900 l 7 200 l 9 000 l 14 400 l 21 600 l 28 800 l 900 m 20 1 000 l 8 000 l 10 000 l 16 000 l 24 000 l 32 000 l 1 000m 30 1 500 l 1 200 l 15 000 l 24 000 l 36 000 l 48 000 l 1 500m n 50n 400n 500 n 800n 32 1 200n 1 600n m 50nm 4. Resuelve, en equipo, los problemas. a) Si 15 personas consumieron 4 500 l de agua, ¿cuántos días estuvieron en el rancho? Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de proporcionalidad múltiple. Seis. b) ¿Cuánta agua consumiría una persona en n días? 50n l c) ¿Cuánta agua consumirían ocho personas en n días? 400n l d) Llenen el renglón correspondiente a n días. Por ejemplo, en la casilla del consumo de diez personas anoten 500n, puesto que diez personas consumirían, en n días, 500 l de agua. e) Llenen la columna correspondiente a m días. Por ejemplo, en la casilla de 18 días escriban 900m. f ) Encierren, de las siguientes expresiones, la que denota el consumo de agua de m personas en n días. Debe ir en la casilla del extremo inferior derecho de la tabla. » m + 50n m » 50mn » mn + 50 » mn Una pista Diez personas necesitan, durante un día, 500 l de agua. Diez personas requieren, durante n días, n veces esa cantidad, es decir, 500 n. Comparen sus resultados con los de otros equipos y comenten lo siguiente. En el problema anterior, el consumo de agua es proporcional a dos magnitudes: número de estudiantes, cuando la cantidad de días es constante, y número de días, cuando la cantidad de estudiantes es constante. 265 S-CNCT_M1_B5_264-267.indd 265 1/18/13 12:03 PM 5 contenido BLOQUE Resuelve problemas de proporcionalidad múltiple. Secuencia 6 / lección 109 Depende de varias magnitudes II 1. Resuelve los problemas. resolver a) En un taller, tres costureras confeccionan, en equipo, 30 uniformes en una semana. Si una escuela solicita 1 200 uniformes, ¿cuántas semanas tardará el equipo de costureras en hacer el pedido? 40 b) La escuela requiere los uniformes en, máximo, diez semanas. En el taller deciden contratar a otras costureras para formar más equipos de tres. Suponiendo que todos los equipos trabajan a la misma velocidad, ¿cuántos se necesitarán para entregar el pedido en ese tiempo? Cuatro. ¿Cuántas costureras en total se requerirán? Doce. c) Completa la tabla. 1 equipo 1 semana Convivimos Una buena actitud hacia el estudio de las matemáticas es que, cuando hayas resuelto un problema, te preguntes: “¿Cómo puedo comprobar si estoy bien?, ¿será la única solución?, ¿habrá otras soluciones?, ¿habrá otras maneras de resolverlo diferentes a la que yo usé?”. 30 uniformes 4 equipos 8 equipos m equipos 120 uniformes 240 uniformes 30m uniformes 5 semanas 150 uniformes 600 uniformes 1 200 uniformes 150m uniformes 10 semanas 300 uniformes 1 200 uniformes 2 400 uniformes 300m uniformes ___ 15 semanas 450 uniformes 1 800 uniformes 3 600 uniformes n semanas 30n uniformes 120n uniformes 450m uniformes 240n uniformes 30mn uniformes 2. Trabaja en equipo. Comparen sus resultados e identifiquen distintas maneras de obtenerlos. Observen que el dato que pusieron en la última casilla de la columna derecha es la fórmula para obtener la cantidad de uniformes a partir del número de equipos y de semanas. m Comenten la siguiente información. El número de uniformes es proporcional al de equipos cuando la cantidad de semanas es fija, y proporcional al de semanas cuando la cantidad de equipos es fija. Las situaciones en que esto ocurre se denominan situaciones de proporcionalidad múltiple o de proporcionalidad compuesta. 266 S-CNCT_M1_B5_264-267.indd 266 1/18/13 12:03 PM 3. La primera fila y la primera columna de la tabla contienen la medida de los lados de distintos rectángulos. En las otras casillas se indica su área. Completen la tabla. Lado a m cm 2 cm 5 cm 6 cm2 15 cm2 30 cm2 3m cm2 20 cm2 50 cm2 100 cm2 10m cm2 15 cm 30 cm2 75 cm2 150 cm2 15m cm2 n cm 2n cm2 5n cm2 10n cm2 mn cm2 Lado b 3 cm 10 cm 10 cm 4. Hagan, con ayuda del profesor, lo siguiente. Identifica los ejemplos en que haya magnitudes dependientes de otras. » El volumen de un prisma » El costo de una mudanza » El consumo de gasolina de un vehículo » El tiempo que tarda un depósito de agua en llenarse (o vaciarse) a) Comparen sus respuestas y verifiquen que el dato de la casilla inferior derecha corresponda a la fórmula del área del rectángulo. b) Comenten la siguiente información. El área del rectángulo es proporcional a uno de sus lados cuando el otro lado se mantiene constante. c) Escriban por qué es una relación de proporcionalidad. Si un lado se mantiene cuando comunicar el otro crece o decrece, el área del rectángulo lo hace en igual proporción. 5. Resuelve los problemas y ejemplifica con rectángulos cada caso. a) Si se duplican la longitud y el ancho de un rectángulo, ¿cuántas veces aumenta el área? Cuatro. b) La longitud de un rectángulo se duplicó y el ancho se triplicó. ¿Cuántas veces aumentó el área? Seis. c) La longitud de un rectángulo se duplicó, pero el ancho se mantuvo igual. ¿Cuántas veces creció el área? Dos. d) Si se quiere triplicar el área de un rectángulo, ¿qué debe hacerse con los lados? Triplicar el ancho y mantener la longitud. m Practica la proporcionalidad múltiple en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-267 Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 267 S-CNCT_M1_B5_264-267.indd 267 1/18/13 12:03 PM Las matemáticas en... La sucesión de Fibonacci Observa la siguiente sucesión de figuras. Está formada por cuadrados de distintos tamaños. En cada uno se indica la longitud de sus lados (en unidades). 8 5 1 3 2 1 Completa la tabla. Cuadrado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Medida de cada lado (unidades) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 13 14 233 377 Explica cómo agregaste más términos a la sucesión 1, 1, 2, 3, 5… Sumé los dos últimos términos de la sucesión. La sucesión 1, 1, 2, 3, 5… se conoce como sucesión de Fibonacci y proviene del libro Liber Abaci, escrito por el matemático italiano Leonardo Fibonacci y publicado en 1202. Ahí, él explica cómo hacer operaciones con los números indoarábigos. En esa época, se utilizaban en Europa los números romanos, por lo que esta obra contribuyó a que se conociera el sistema de numeración que usamos actualmente. Los cuadrados que te presentamos al inicio sirven para dibujar una espiral. Observa. 8 13 2 11 5 3 268 S-CNCT_M1_B5_268-273.indd 268 1/18/13 12:03 PM Esta espiral se llama espiral logarítmica y desde hace mucho tiempo ha fascinado a los matemáticos. Las espirales aparecen con frecuencia en la naturaleza. Girasol Romanesca Huracán Nautilo Las plantas tiene sus hojas, ramas y pétalos distribuidos de tal manera que absorben el máximo posible de luz solar. Se han encontrado girasoles que tienen 55 espirales en un sentido y 89 en otro, dos números que están en la sucesión de Fibonacci. En Liber Abaci se plantean muchos problemas aritméticos. Resuelve dos de ellos. 1. Un hombre viaja por cinco ciudades con 100 monedas para sus gastos. En cada ciudad gasta __15 de su dinero. Responde sin hacer cálculos. Aproximadamente, ¿cuánto dinero le sobró? Ahora verifica con calculadora. ¿Cuánto dinero le sobró? 32.7 o 0 30 o 0 (según se entienda la pregunta: si en cada ciudad 1 1 gasta __ del total o __ de lo 5 5 que le queda). 2. Dos hombres encuentran una bolsa con monedas. El primero le dice al segundo: “Si me quedo con las monedas de la bolsa tendré tres veces más monedas que tú”. El otro hombre le responde: “Si me quedo con la bolsa tendré cuatro veces más monedas que tú”. Encuentra cuántas monedas tiene cada uno y cuántas hay en la bolsa. Una respuesta es que el primer hombre tiene cuatro monedas; el segundo, cinco. El saco contiene once monedas. 269 S-CNCT_M1_B5_268-273.indd 269 1/18/13 12:04 PM Evaluación (TIPO ENLACE) BLOQUE 5 Selecciona la opción correcta. 1. Completa la tabla, de manera que las operaciones en las filas y columnas sean correctas. ¿Qué número va en la esquina inferior derecha? 15 – + -2 a) 24 = 18 = -6 = 12 + – = 13 -3 + 4 = – b) 12 = 1 c) –12 d) 24 2. Los astrónomos estiman que la edad del universo es 1.4 × 1010 años, aproximadamente. ¿Qué opción corresponde a esta cantidad? a) 14 millones de años b) 140 millones de años c) 1 400 millones de años d) 14 000 millones de años 3. El diámetro de algunos virus es 0.00002 mm, aproximadamente. ¿Cómo se escribe esta cantidad en notación científica? a) 2 × 10-6 b) 2 × 10-5 c) 2 × 105 d) 2 × 106 4. El área del cuadrado grande es de 25 unidades cuadradas y la del pequeño, es de 13. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado pequeño? a) 16 unidades b) 14.4 unidades c) 13.8 unidades d) 12 unidades 5. Los primeros términos de una sucesión son 6, 9, 12, 15… ¿Cuál es la expresión algebraica de la regla que la genera? a) 6n + 6 b) 3n + 6 c) 6n + 3 d) 3n + 3 6. La expresión algebraica de una sucesión numérica es 7n + 2. ¿Cuál es el vigésimo término de la sucesión? a) 20 b) 22 c) 140 d) 142 270 S-CNCT_M1_B5_268-273.indd 270 1/18/13 12:04 PM 7. Se utilizó una cuerda de 7 m para amarrar una vaca a la esquina de un corral cuadrado de 10 m de lado. ¿En qué área puede caminar la vaca? a) 70 m2 c) 38.5 m2 10 m b) 49 m2 d) 24.5 m2 10 m 10 m vaca 10 m 8. Una pista de carreras está formada por dos rectas y dos semicircunferencias. El ancho de la pista es de 50 m y la longitud es de 400 m. ¿Cuánto mide aproximadamente cada recta? 50 m a) 157.5 m b) 133.5 m c) 121.5 m d) 112.5 m 9. Un viajero camina 5 h diarias durante 20 días; en total recorre 620 km. ¿En qué situación recorrerá la misma distancia? a) Camina 10 h diarias a la misma velocidad durante 40 días. b) Camina 5 h diarias al doble de velocidad durante 20 días. c) Camina 10 h diarias al doble de velocidad durante 10 días. d) Camina 10 h diarias a la mitad de velocidad durante 20 días. 10. Mario organizó un campamento de dos días con tres amigos. Calculó que 24 l de agua serán suficientes. ¿Cuántos litros deben llevar si invitan a otros dos amigos y se quedan un día más? a) 72 l b) 54 l c) 48 l d) 36 l 271 S-CNCT_M1_B5_268-273.indd 271 1/18/13 12:04 PM Evaluación (TIPO PISA) BLOQUE 5 Pongo en juego mis competencias El tamaño de los mamíferos: ¿enorme o diminuto? El tamaño de un animal es difícil de definir pues atiende a distintas características: peso, longitud, envergadura, etc. Ya viste, en la entrada de bloque, que la ballena azul con sus 30 m de longitud y 180 t no solo es el mayor mamífero vivo, sino el animal más grande que ha existido en nuestro planeta si se considera la masa corporal. Entre los mamíferos terrestres actuales el elefante africano es el mayor; el máximo tamaño registrado fue el de un ejemplar capturado en Angola en 1974 que medía 4.2 m de alto, 10.6 m de largo y pesaba 12.2 t. En el otro extremo nos encontramos a la musaraña etrusca, de la que se han encontrado especímenes de entre 3.6 cm y 5.2 cm. Otro mamífero minúsculo es el murciélago de Tailandia, con 4 cm de envergadura y 2 g de tamaño medio. Pregunta 1. Completa la tabla con la equivalencia en peso de la ballena azul, el elefante africano, el murciélago y la musaraña. Pregunta 2. Expresa en toneladas y con notación científica el peso de un murciélago de Tailandia. ¿Consideras que la tonelada es una unidad conveniente para expresar este dato? Pregunta 3. El elefante africano necesita comer diariamente alrededor de 200 kg de diferentes vegetales. Si vive cerca de 70 años, ¿qué cantidad habrá consumido durante su vida? Expresa el resultado en notación científica. Pregunta 4. El mamut se extinguió hace 9 000 años aproximadamente; era uno de los mamíferos más grandes y habitó distintas regiones del planeta. La especie columbi ocupó gran parte de América del Norte en un periodo entre 120 000 y 9 000 años en el pasado. Investiga en Internet sobre los distintos tipos de mamuts y calcula cuántas veces mayor o menor, en masa y altura, es el elefante africano actual comparado con ellos. Dibuja sumas de números: ¿resultados enormes? Geométricamente, la suma de los primeros números impares se puede representar como en la figura de la derecha. 1 14.754 1 0.677 1 1 COMPETENCIAS Comunicar información matemática Validar procedimientos y resultados Los números naturales se pueden considerar términos de una progresión aritmética en que la diferencia entre dos consecutivos siempre es 1. Su término general es an= 1+ (n – 1) ·1. En el caso de los números impares, la sucesión comenzaría con el número 1 y la diferencia sería 2, por lo que su término general sería In = 1 + (n – 1) · 2. COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Manejar técnicas eficientemente 1=1 1+3=4 1+3+5=9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Pregunta 1. Indica, a partir del término general para la sucesión de números impares, qué números ocupan los lugares 49 y 150. Pregunta 2. Observa la representación geométrica de la suma de los cuatro primeros números impares (el último cuadrado). Dibuja la suma de los siete primeros números. Pregunta 3. Indica, sin dibujar, cuál es la suma de los ocho primeros números. 272 S-CNCT_M1_B5_268-273.indd 272 1/18/13 12:04 PM Y para terminar... ¡Acertijos! ¿Qué número da el mismo resultado cuando se divide entre 6 que cuando se le restan 6? Un balón pesa medio kilogramo más la mitad de su propio peso. ¿Cuánto pesa? Entre padre e hijo tienen 55 años. Las edades de ambos utilizan las mismas cifras pero expresadas al revés, ¿cuánto años tiene cada uno? La cabeza de un pez mide 9 cm de largo. La cola mide la longitud de la cabeza más la mitad del cuerpo. El cuerpo mide igual que la cabeza, más la cola. ¿Cuánto mide todo el pez? Éric y Dany juegan a las canicas. Si Éric gana la siguiente canica tendrá la misma cantidad de canicas que Dany, si Dany gana la que sigue tendrá el doble que Éric . ¿Cuántas canicas tiene cada uno en este momento? María midió con una vara la altura de Emilio; midió 6 varas. Juan tiene una vara que es 2 la de María. Con la vara de 3 Juan, ¿cuánto mide Emilio? 6 5 4 3 2 1 273 S-CNCT_M1_B5_268-273.indd 273 1/18/13 12:04 PM Glosario Altura de un triángulo: segmento que parte de un vértice de un triángulo y es perpendicular al lado opuesto a ese vértice. Ángulo central de un polígono regular: ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia que circunscribe al polígono y cuyos lados van a dos vértices consecutivos del polígono. Ángulo interno de un polígono: ángulo que forman dos lados consecutivos de un polígono y se encuentra dentro de él. Ángulo externo de un polígono: ángulo que se forma por uno de los lados de un polígono y la prolongación de otro. Se ubica fuera del polígono. Baricentro: punto donde se cortan las medianas de un triángulo. También recibe el nombre de centro de gravedad. Bisectriz de un ángulo: recta que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales. Circuncentro: punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita. Circunferencia circunscrita: circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono. Circunferencia inscrita: circunferencia que toca en un punto todos los lados de un polígono. Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Divisibilidad: un número entero b es divisible entre un número entero a (distinto a 0) si la división __ba es exacta. Divisor: todo número entero que puede dividir otro número sin arrojar residuo. Exponente: número o expresión algebraica que denota a qué potencia se eleva otro número u otra expresión y se coloca en la parte superior a la derecha. Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un dato. Frecuencia relativa: resultado de dividir la frecuencia absoluta de un dato entre el total de datos. Gráfica circular: gráfica en que los datos se representan con sectores circulares cuyo ángulo central es proporcional al valor que representa. Gráfica de barras: gráfica formada por un conjunto de barras dibujadas sobre un sistema de dos ejes, uno horizontal y otro vertical. La longitud de las barras es proporcional al dato que representan. 274 S-CNCT_M1_B6_272-278.indd 274 1/18/13 12:05 PM Incentro: punto donde se cortan las bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita. Incógnita: en matemáticas, número desconocido de antemano que constituye una solución de un problema matemático representado con una ecuación. Máximo Común Divisor (MCD): mayor número natural que divide a un grupo de números sin dejar residuo. Mediana: segmento que va de un vértice de un triángulo al punto medio del lado opuesto a ese vértice. Mediatriz de un segmento: recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a este. Mínimo común múltiplo (mcm): menor número natural que es múltiplo de un grupo de números. Múltiplo: los múltiplos de un número natural a se obtienen multiplicando a por cualquier número natural: a, 2a, 3a, etcétera. Números compuestos: aquellos que tienen más de dos divisores. Números pares: todos los múltiplos de 2. Se identifican porque su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8. Números primos: aquellos que tienen solo dos divisores (1 y el mismo número). Ortocentro: punto donde se cortan las alturas de un triángulo. Polígono regular: polígono cuyos lados y ángulos internos miden lo mismo. Proporción: igualdad entre dos razones. Reparto proporcional: dadas unas cantidades a, b, c, etc., y una cantidad S por repartir, el reparto es proporcional si las partes repartidas son proporcionales a las cantidades a, b, c… Sucesión aritmética: secuencia de números en la que cada elemento se puede obtener sumando a este una cantidad constante. Sucesión geométrica: secuencia de números en la que cada elemento se puede obtener al multiplicar el anterior por una cantidad constante. Triángulo acutángulo: aquel que tiene solo ángulos agudos, es decir, de menos de 90º. Triángulo obtusángulo: aquel que tiene un ángulo obtuso, es decir, de más de 90º y menos de 180º. Triángulo rectángulo: aquel que tiene un ángulo recto, es decir, de 90º. 275 S-CNCT_M1_B6_272-278.indd 275 1/18/13 12:05 PM Bibliografía Para el alumno » Bosh, C. y Gómez, C. (2003). Una ventana a las formas. Biblioteca Juvenil Ilustrada. México: Santillana. » Enzensberger, H. M. (1997). El diablo de los números. Madrid: Siruela. » Perero, M. (1994). 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Evaluaciones en línea aulavirtual.inaeba.edu.mx/ejercicios_practicos/paginas/ejercicios_sec_mate.html Matechavos. Proyecto para la enseñanza de las matemáticas asistida por computadora arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/matechavos/html/index.html Matemáticas divertidas. Juegos interactivos www.matematicasdivertidas.com/Zonaflash/zonaflash.html Matemáticas sin números. Pagina de la Red Escolar del ilce para aprender matemáticas redescolar.ilce.edu.mx/educontinua/mate/lugares.htm Materiales educativos para Telesecundaria. Libros digitales, videos e interactivos telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/mat_edu/mat_edu_01.php 276 S-CNCT_M1_B6_272-278.indd 276 1/18/13 12:05 PM Bibliografía Unidades didácticas interactivas para Telesecundaria. Matemáticas 1 arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/1_primero/1_Matematicas/index. html Recursos interactivos sobre medida, fracciones y decimales www.juntadeandalucia.es/averroes/averroes/html/adjuntos/2007/12/05/0005/indice. htm Actividades interactivas para repasar, practicar y consolidar los conocimientos www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/andared02/refuerzo_matematicas/indicemate.htm Para el profesor » Alarcón, J. y Barrón, H. (2001). La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Guía de estudio y lecturas. México: sep. » Alarcón, J.; Bonilla, E.; Nava, R.; Rojano, T. y Quintero, R. (2001). Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria. México: sep. » Ávila, A. y García Peña, S. (2008). Los decimales: más que una escritura. Materiales para apoyar la práctica educativa. México: inee. » Block, D.; Mendoza, T. y Ramírez, M. (2010). ¿Al doble le toca el doble? La enseñanza de la proporcionalidad en la educación básica. Somos Maestros. 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Colección de aplicaciones interactivas para apoyar el aprendizaje de las matemáticas nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html Descartes. Materiales didácticos interactivos para el aprendizaje de las matemáticas recursostic.educacion.es/descartes/web/indice_ud.php recursostic.educacion.es/descartes/web/indice_miscelanea.php 278 S-CNCT_M1_B6_272-278.indd 278 1/18/13 12:05 PM Bibliografía DivulgaMAT. Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española www.divulgamat.net/ Educar Chile. Objetos Digitales de Aprendizaje. Cuenta con el apoyo del Ministerio de Educación de Chile www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/verContenido.aspx?ID=186119 Consejo Nacional de Educación para la Vida y el Trabajo. Ejercicios interactivos de matemáticas www.conevyt.org.mx/index.php?option=com_content&view=article&id=494&Itemid=968 Matechavos. Proyecto para la enseñanza de las matemáticas asistida por computadora arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/matechavos/html/index.html Eduteka. Portal educativo con contenidos para docentes y directivos para enriquecer los ambientes escolares con el uso de las tic www.eduteka.org Eduteka. Simulaciones de matemátic-as y física www.eduteka.org/instalables.php3 Proyecto Cifras. Internet en el Aula. Ministerio de Educación de España recursostic.educacion.es/primaria/cifras/web/ Proyecto Gauss. Internet en el Aula. Ministerio de Educación de España recursostic.educacion.es/gauss/web/indice.htm Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora. Instituto de Matemáticas de la unam puemac.matem.unam.mx Junta de Andalucía. Consejería de Educación. Banco de recursos www.juntadeandalucia.es/averroes/averroes/impe/web/ portadaRecursosEducativos?pag=/contenidos/B/BancoDeRecursos/ Red Escolar ilce redescolar.ilce.edu.mx/proyectos/proyectos.html Telesecundaria telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/ 279 S-CNCT_M1_B6_272-278.indd 279 1/18/13 12:05 PM 7056001619 119 Los libros de texto de Conect@ Estrategias están disponibles en papel y en soporte digital. Acompañan el desarrollo de las competencias matemáticas de los alumnos, desde preescolar hasta secundaria, y siguen las disposiciones curriculares del campo de formación Pensamiento matemático. La Guía didáctica Matemáticas 1 de la serie Conect@ Estrategias le proporciona orientaciones didácticas para el tratamiento del contenido del libro del alumno, además del solucionario. Adicionalmente, en reconocimiento a la importancia de brindar a los docentes una variedad de recursos didácticos para aplicar el enfoque de enseñanza de las matemáticas en la educación secundaria, en el portal www.conectadigital-sm.com.mx podrá registrarse para que le asignemos un código con el que accederá al contenido digital asociado al libro del alumno. En este portal también encontrará recursos de evaluación (reactivos tipo enlace), avance programático editable y herramientas para el seguimiento del aprendizaje de sus alumnos. Educar lo es todo. Al adquirir cualquiera de nuestras obras colaborarás en el crecimiento educativo y cultural de muchas personas con menos oportunidades para desarrollarse. SM pertenece a la Fundación SM quien, a través de sus diversos programas educativos y sociales, asume la responsabilidad de retornar a la sociedad una parte de los beneficios que genera el trabajo editorial, contribuyendo así a extender la cultura y la educación a los grupos más desfavorecidos. La educación es un derecho de todos. ¡Gracias por contribuir con SM a llevarla a todas partes! www.fundacion-sm.org.mx ¡Gracias por permitirnos ser su compañero en la aventura de educar a los jóvenes de la Sociedad del Conocimiento! ISBN 978-607-24-0334-5 www.conectadigital-sm.com.mx www.ediciones-sm.com.mx Portada_secun1_conecta.indd 2 1/25/13 10:51 AM