Subido por Jairon Armijos Pineda

SM Conecta Estrategias Secundaria - Matemáticas 1 -Guía Didáctica

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Guía didáctica
Secundaria
Pensamiento matemático
* Ejemplar de obsequio *
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Dirección de contenidos y servicios educativos: Elisa Bonilla Rius
Gerencia de publicaciones escolares: Felipe Ricardo Valdez González
Autores: Melisa Vivanco, Erika Barquera Pedraza, Emilio Domínguez Bravo,
Mauricio Héctor Cano Pineda, José Cruz García Zagal
Coordinación editorial: Ernesto Manuel Espinosa Asuar
Edición: Cristóbal Bravo Marván, Macbeth Baruch Rangel Orduña, Uriel Jiménez Herrera
Coordinación de corrección: Abdel López Cruz
Corrección: Eduardo Jiménez Zurita
Dirección de arte y diseño: Quetzatl León Calixto
Diseño de portada y de la serie: Brenda López Romero
Diseño gráfico y diagramación: Oscar Chávez, Maricarmen Martínez
Coordinación de diagramación: Jesús Arana Trejo
Producción: Carlos Olvera, Víctor Canto
Guía didáctica. Matemáticas 1. Secundaria. [email protected] Estrategias
Primera edición, 2012
Primera reimpresión, 2012
D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2012
Magdalena 211, Colonia del Valle,
03100, México, D. F.
Tel.: (55) 1087 8400
www.ediciones-sm.com.mx
ISBN 978-607-24-0334-5
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro número 2830
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento
informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea
electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso
previo y por escrito de los titulares del copyright.
Las marcas Ediciones SM® y [email protected] Estrategias® son propiedad de SM de Ediciones, S. A.
de C. V.
Prohibida su reproducción total o parcial.
Impreso en México/Printed in Mexico
Guía didáctica. Matemáticas 1. Secundara.
[email protected] Estrategias
se terminó de imprimir en enero de 2013,
en Editorial Impresora Apolo, S. A. de C. V.,
Centeno núm. 150, local 6, col. Granjas Esmeralda,
C. P. 09810, México, D. F.
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Poner en práctica estas acciones en clase requiere que el docente tenga claro el aprendizaje que se espera del estudiante; que reconozca el contexto (la historia de la localidad, las
prácticas y costumbres, las tradiciones, el carácter urbano de dicho sitio, el clima, la flora y
la fauna) para integrarlos a la situación específica de aprendizaje; y gestionar la interacción
con los estudiantes, entre otros aspectos.
Presentación
En SM reconocemos que el aprendizaje por competencias requiere transformar las prácticas de enseñanza y contar con recursos didácticos para aprovechar una temática de interés para los estudiantes. Asimismo, implica tener a la mano información que favorezca
nuevas formas de aprender los contenidos; establecer vínculos con los contenidos de otras
asignaturas; y favorecer la interacción respetuosa.
En SM asumimos este reto junto con los colegios, profesores, alumnos y padres de familia. Ponemos a su servicio nuestro saber hacer, acompañándolo y brindándole una amplia
oferta orientada al desarrollo de competencias, la cual incorpora la tecnología como estrategia de fomento de las habilidades digitales. [email protected] es la respuesta para hacer frente a
los retos de la sociedad del conocimiento y a la Nueva Articulación de la Educación Básica.
En el contexto de la reciente Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB), esta guía didáctica
tiene el propósito de brindarle recomendaciones prácticas para el tratamiento de los contenidos
curriculares de los planes de estudio vigentes, mismos que conforman la Nueva Articulación de la
Educación Básica; tiene el propósito fundamental de favorecer la adecuada interpretación y educativo aprovechamiento del libro del alumno y de las secuencias didácticas que se plantean en este.
En esta guía se presentan las respuestas de todas las actividades del libro del alumno, así como
sugerencias didácticas que apoyarán su labor docente. Se incluye también la definición relativa a
la enseñanza, con base en el modelo de competencias. Además, se explican las sugerencias de
evaluación que incluye el libro del alumno, las cuales se han diseñado para evaluar competencias. Las dosificación y los conceptos fundamentales del enfoque de la asignatura Matemáticas
puede consultarlos en la reproducción del libro del alumno que se incluye en esta guía.
Estas son las características de la guía didáctica.
• Facilita la organización de la enseñanza y el seguimiento del aprendizaje.
• Explica los elementos del enfoque de enseñanza de Matemáticas en la educación secundaria.
• Propone una dosificación del curso con base en la carga horaria de la asignatura.
• Contiene sugerencias didácticas que consideran los aprendizajes esperados y los estándares curriculares.
• Incluye las respuestas de las actividades del alumno y de las evaluaciones ENLACE.
¡Gracias por permitirnos ser su compañero en la aventura de educar la infancia de
la Sociedad del Conocimiento!
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• Conocimiento y habilidad
que se trabajan en la lección
• Bloque, eje y tema al que pertenece el
contenido desarrollado en la lección
Bloque 1
Avance programático
¿Cómo usar esta guía?
El avance programático contiene lo siguiente.
• Secuencia de
contenidos del mismo
grado y de otros que
permiten obtener el
aprendizaje esperado
Eje: Sentido numérico y pensamie
nto algebraico
Tema: Números y sistemas
de numeración
7.1.1 Conversión de fraccione
s decimales y no decimales
a su escritura
Contenidos
Aprendizaje esperado
• 6.4.1 Conversión de fraccione
s decimales a escritura
decimal y viceversa. Aproxim
ación de algunas
fracciones no decimales
usando la notación decimal
• 7.1.1 Conversión de fraccione
s decimales y no decimale
s
a su escritura decimal y
viceversa
• Sugerencias
didácticas e
indicadores de
desempeño
decimal y viceversa
Lección 1
Diferentes maneras de
expresar
Estrategias de enseñanza
• Convierte números
fraccionarios
a decimales y
viceversa.
Estándar
• Resuelve
problemas
que implican
convertir
números
fraccionarios
a decimales
y viceversa.
• Nombre y
número de
lección
medidas
y aprendizaje
Indicadores de
desempeño
• Utilice ejemplos que sean
familiares para los alumnos
, relacionando los
contextos y significados
en los que aparezcan fraccione
s, por ejemplo, en el
mercado o en una receta
de pastel.
• Un ejemplo concreto de
esto es considerar el número __3
o 75%) en sus distintas formas,
4 (que equivale a 0.75
las cuales tienen una aplicació
vida cotidiana, aunque no
n directa en la
todas ilustren de igual manera
aspectos como los
siguientes:
• Como una subregión de
un territorio la entidad en
que radican.
• Una relación parte-tod
o. El pastel y la cantidad
que se comerán
• El resultado de una división
entre dos números enteros
• Un punto en regla graduad
a entre dos valores enteros
• Aprendizaje
esperado
y estándar
curricular
relacionados con
el contenido
• Convierte
fracciones
decimales y no
decimales a su
escritura decimal
y viceversa.
• Ubica fracciones
decimales y no
decimales en la
recta numérica.
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indd 24
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El libro del alumno con las respuestas
3
contenido
BLOQU E
Secuencia 8 / lección
¿Es mucho o es poco?
Lee y comunica información
mediante el uso de tablas
de frecuencia absoluta
y relativa.
75
resolver
mcuántosmtirosmsemhagan.
ibresmesmmucho?mDependemde
¿Metermcincomgolesmenmtirosml
presentaron
las escuelas de una ciudad
de secundaria de todas
1. Los alumnos de tercero
s fueron los siguientes.
un examen. Algunos resultado
Alumnos aprobados
Escuela
70
A
28
B
28
C
12
D
¿Qué escuela tuvo los mejores
2. Los alumnos de tercero
saberse.
resultados? R. T. No puede
de secundaria en cada
escuela son…
Alumnos de tercero
300
Escuela
A
30
B
Una pista
En la escuela A, 300
alumnos representan el
total de alumnos.
Observa que 10 alumnos es 30 veces menor__
1
que 300 y representa 30
del total.
120
C
120
D
a) Considerando esto, ¿qué
¿Y los peores?
• Respuesta de las actividades
resaltadas en color magenta.
En algunas respuestas se
emplea la abreviatura R. P.
cuando el alumno debe colocar
una respuesta personal;
aparece R. T. cuando
es una respuesta tipo, debido
a que el ejercicio se puede
responder de varias formas.
escuela tuvo los mejores
resultados? B
D
se ubica
alumnos aprobó. Esa escuela
de la cuarta parte de los
b) En la escuela C menos
otras escuelas.
la recta de abajo. Ubica las
en el primer intervalo de
C
0
1
A_
D
4
alumnos
c) Calcula la fracción de
Escuela
A
B
C
D
mm
Compara tus respuestas
ayuda de su profesor.
1
_
2
de tercero aprobados en
B
3
_
4
cada escuela.
1
s
Fracción de alumnos aprobado
7
___
= 0.233...
30
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__
= 0.933...
15
7
___
= 0.233...
30
12
___
= 0.1
120
n con la
os. Lean la siguiente informació
con las de tus compañer
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Índice
El proyecto [email protected] ........................................................................... 6
Claves pedagógicas del proyecto [email protected] ................................. 8
Aprender con tecnología.................................................................. 16
El programa de estudio de matemáticas ....................................21
Matriz de competencias ...................................................................22
Avance programático .......................................................................24
Bloque 1 .................................................................................................................... 24
Bloque 2 ....................................................................................................................43
Bloque 3 .................................................................................................................... 57
Bloque 4 .....................................................................................................................74
Bloque 5 ....................................................................................................................86
Libro del alumno con respuestas .................................................. 97
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El proyecto [email protected]
La educación es un camino apasionante en el que la calidad del viaje importa más
que el destino; en el que el proceso de aprendizaje cuenta más que los resultados.
La clave no está en la acumulación de datos y saberes enciclopédicos, sino en el
desarrollo de habilidades y capacidades para afrontar los retos de un futuro incierto.
Hoy enfrentamos un nuevo escenario, un nuevo paradigma impulsado por la irrupción de los medios digitales, en el que han cambiado tanto las necesidades de la
educación como los aprendizajes básicos. El rápido desarrollo de las tecnologías
de la información y la comunicación (TIC) promueve nuevas formas de enseñanza y aprendizaje complementarias al libro en papel, que resultan de gran interés
para potenciar las competencias de los alumnos del siglo xxi.
El mundo educativo se está transformando. En el siglo xx, la educación estaba
centrada en las instituciones y su principal objetivo era la certificación formal. En
el siglo xxi, en cambio, el modelo educativo se centra en el alumno autónomo y el
objetivo es que siga aprendiendo a lo largo de su vida.
Anteriormente, en el currículo, se enfatizaba en los datos y en la formación disciplinaria; en la actualidad, uno de los mayores desafíos educativos consiste en
desarrollar competencias para la vida, con el propósito de que los alumnos puedan desenvolverse de manera autónoma. Esto implica enseñarles a integrar y
relacionar los distintos aprendizajes, y a saber utilizarlos de manera práctica en
contextos reales.
La incorporación efectiva de estas competencias en el currículo no es sencilla, exige esfuerzo de la comunidad educativa y, sobre todo, del profesorado, quien debe
reenfocar su labor para poner énfasis en el desarrollo de competencias.
Es por ello que en México, al igual que en muchos otros países, se ha definido un
perfil de egreso de la educación básica y se ha decidido organizarla en un solo
tramo educativo. Dicho perfil es preponderante en el proceso de articulación de
los tres niveles de la educación básica; es el resultado de desarrollar competencias
para la vida que darán a los jóvenes la garantía de desenvolverse satisfactoriamente en cualquier ámbito en que elijan continuar su aprendizaje. Para alcanzarlo,
los alumnos deben desarrollar este perfil desde su ingreso a la escuela.
En SM asumimos este reto junto con las escuelas, profesores, alumnos y padres de
familia. Ponemos a su servicio nuestro saber hacer, acompañándolo y brindándole una amplia y diversa oferta modular orientada al desarrollo de competencias,
la cual incorpora la tecnología como estrategia de fomento de las habilidades digitales. [email protected] es la respuesta para hacer frente a los retos de la Sociedad del
Conocimiento y a la Nueva Articulación de la Educación Básica.
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Si bien, [email protected] se apega totalmente a las disposiciones oficiales, no se circunscribe
a ellas. La mirada educativa de SM sobre la sociedad que queremos construir enriquece la propuesta y la hace pertinente a las necesidades de las escuelas de hoy.
[email protected] es un proyecto multiplataforma integrado por un conjunto de productos y servicios que abarca todos los grados de la educación básica. La oferta de
[email protected] está constituida por 62 libros impresos y digitales: cincuenta curriculares
y doce complementarios.
Estos 62 libros abarcan los tres niveles educativos: 18 para preescolar, 30 para
primaria y catorce para secundaria; y están organizados en cuatro campos de
formación:
1. lenguaje y comunicación ([email protected] Palabras),
2. pensamiento matemático ([email protected] Estrategias),
3. exploración y comprensión del mundo natural y social ([email protected] Entornos), y
4. desarrollo personal y para la convivencia ([email protected] Personas).
Además, la propuesta se complementa con el portal [email protected] Digital, el cual ofrece un espacio de interacción con recursos específicos para alumnos y profesores. Incluye un “Entorno Virtual de Aprendizaje” con más de 1 500 actividades en
soporte digital, así como recursos didácticos y acceso a comunidades virtuales
para compartir experiencias.
[email protected] es mucho más que una colección de libros, por ello, ofrece 270 actividades de formación, además de sesiones de asesoría y evaluación. Al adquirir los
libros de [email protected], usted recibirá una conferencia magistral sobre el programa de
la Nueva Articulación de la Educación Básica y podrá elegir dos talleres sobre cada
campo de formación que haya adquirido.
Las asesorías consisten en sesiones de trabajo con nuestro calificado equipo de
especialistas educativos para analizar los componentes de [email protected] Respecto a
la evaluación, se aplicará un diagnóstico de áreas de oportunidad a los profesores usuarios.
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Claves pedagógicas del proyecto [email protected]
Las claves pedagógicas son los principios que guían la aplicación del enfoque de
enseñanza por competencias, y han sido desarrolladas con un doble propósito.
1. Ser la estructura sobre la cual se desarrollen los contenidos con el fin de alcanzar los aprendizajes esperados, contribuir efectivamente al logro de estos
y de las competencias para la vida.
2. Ser criterios orientadores para el trabajo en el aula con los contenidos del libro para simplificar la tarea docente de crear un ambiente de aprendizaje que
promueva competencias genéricas y específicas.
3. En este sentido, la estructura de los libros de [email protected] favorece el cambio de
los estilos de enseñanza y apoya la transformación de la práctica docente que
exige la Nueva Articulación de la Educación Básica propuesta por las autoridades educativas del país.
Clave 1. Los estudiantes y sus procesos de aprendizaje: estructura de [email protected]
El centro y el referente fundamental del proyecto [email protected] es el estudiante. En
esta colección se asume como punto de partida que, desde etapas tempranas,
es posible generar en el estudiante las siguientes disposiciones y capacidades:
continuar aprendiendo a lo largo de la vida; desarrollar habilidades superiores del
pensamiento para solucionar problemas; pensar críticamente; comprender y explicar situaciones desde diversas áreas del saber; manejar información; e innovar
y crear en distintos ámbitos de la vida.
La investigación educativa ha documentado durante los últimos 25 años que
los alumnos tienen conocimientos y creencias respecto a lo que se espera que
aprendan, acerca del mundo que les rodea, de las relaciones y de las expectativas
sobre su comportamiento. En este sentido, es necesario reconocer la diversidad
social, cultural, de capacidades, estilos y ritmos de aprendizaje de los estudiantes,
y aprovecharla para generar ambientes que los acerquen al aprendizaje significativo. Por ello, la colección [email protected] está diseñada con base en una variedad de
colores atractivos, en portadas que corresponden al mundo iconográfico de los
niños y jóvenes, y en ilustraciones claras —cuya incorporación tiene propósitos
didácticos y no meramente decorativos—. Además, en [email protected] se utiliza un lenguaje directo que cuestiona a los estudiantes, y se proponen actividades lúdicas,
retadoras, orientadas a desarrollar las habilidades correspondientes a los distintos
tipos de pensamiento y al logro de los aprendizajes esperados.
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Clave 2. Organizar el proceso de aprendizaje en función del estudiante y del contenido
La visión del aprendizaje como un proceso requiere de diversos momentos de interacción del alumno con los contenidos de estudio, también exige una manera
específica de organizar la enseñanza e implica gestionar la clase considerando
la dificultad del contenido, las experiencias y conocimientos de los estudiantes,
y la meta que se quiere alcanzar. Para ello, es necesario organizar actividades de
aprendizaje a partir de las diversas formas de interacción de alumnos y contenido
(cualitativo, cuantitativo, integrativo, personal, colaborativo, concreto o abstracto).
Las actividades deben representar desafíos intelectuales para los estudiantes, con
el fin de que planteen alternativas de solución. Para diseñar una planificación se
requiere superar las clases magistrales, unidireccionales y discursivas, y proponer
secuencias y proyectos didácticos.
[email protected] está organizado en secuencias didácticas que permiten a los alumnos
aproximarse, con base en sus conocimientos previos, a los nuevos contenidos de
estudio. Este planteamiento reconoce que los estudiantes aprenden a lo largo de
la vida y que se involucran en su proceso de aprendizaje.
Las actividades incluidas en las secuencias de [email protected] se han diseñado cuidando que las diferentes situaciones de aprendizaje sean interesantes y constituyan
un desafío, con el fin de que los estudiantes indaguen, cuestionen, analicen, comprendan y reflexionen. La organización didáctica de las secuencias permite que
el profesor identifique los niveles de complejidad de cada actividad, así como la
función que debe asumir para favorecer el aprendizaje: ¿cuándo debe cuestionar?
¿Cuándo debe promover el trabajo colaborativo? ¿Cuándo es conveniente que favorezca la obtención de conclusiones?, etcétera.
Adicionalmente, [email protected] incorpora en varias de sus secciones (entrada y final de
bloque y evaluaciones) temas de relevancia social para que los alumnos relacionen
lo que aprenden en la escuela con lo que aprenden en casa y en otros ámbitos.
Por ello, en cada una de las asignaturas, niveles y grados se tratan importantes
temas que contribuyen a la formación crítica, responsable y participativa de los
estudiantes en la sociedad. Estos favorecen aprendizajes relacionados con valores y actitudes, sin dejar de lado la adquisición de conocimientos y habilidades.
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Clave 3. Favorecer la aplicación de un modelo de enseñanza basado en competencias
Hacer realidad el aprendizaje basado en el modelo por competencias requiere
transformar las prácticas de enseñanza en formas diferentes de interacción de
los estudiantes y los contenidos, y contar con diversos recursos didácticos para
aprovechar una temática de interés para los estudiantes. Asimismo, implica tener
a la mano información que favorezca nuevas formas de aprender los contenidos
del programa; establecer vínculos con contenidos estudiados en otras asignaturas;
y favorecer la interacción armónica y respetuosa.
Pero poner en práctica estas acciones en clase es problemático y requiere que usted tenga muy claro el aprendizaje que espera del estudiante; que sepa reconocer
los elementos del contexto (la historia de la localidad, las prácticas y costumbres,
las tradiciones, el carácter urbano de dicho sitio, el clima, la flora y la fauna) para
integrarlos a la situación específica de aprendizaje; y gestionar la interacción con
los estudiantes, entre otros aspectos.
[email protected] proporciona, mediante una rica variedad de cápsulas, este tipo de herramientas para que usted las utilice de manera flexible, de acuerdo con las necesidades e intereses de sus alumnos.
Cápsulas
Propósito
En contexto
• Establecer una relación entre los
contenidos y algún aspecto de otra
asignatura o la vida cotidiana
Conectamos
• Sugerir páginas electrónicas
y actividades con TIC
Ya sabemos…
• Apoyar a los alumnos para recordar
definiciones, técnicas, descripciones y
características de lo aprendido
Reflexionamos
• Plantear preguntas para consolidar
la comprensión de los contenidos
Convivimos
• Sugerir actitudes positivas
o actividades para aplicar
en la comunidad
Una pista
• Sugerir una pista para la resolución
de algún problema o actividad con
cierto grado de dificultad
Icono
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Clave 4. Fomentar el aprendizaje colaborativo
La única manera de hacer posible la existencia de aulas inclusivas, en las cuales alumnos muy diferentes puedan aprender juntos, es estructurar en ellas el aprendizaje de
forma colaborativa. Difícilmente se pueden practicar y, por lo tanto, aprender, algunas
competencias básicas, por no decir todas, si los alumnos no tienen la oportunidad de
trabajar juntos en clase, reunidos en equipo, de manera constante.
[email protected] propone a las escuelas y a los profesores concretar este tipo de aprendizaje
mediante tres formas básicas de interacción de alumnos, y de alumno y profesor.
1. Momentos para la enseñanza personalizada, es decir, que se ajuste a las características de cada estudiante.
2. Momentos de aprendizaje mediante el fomento de la autonomía de los estudiantes, o sea, que sepan aprender de forma independiente.
3. Momentos de aprendizaje cooperativo, es decir, que los estudiantes se ayuden
mutuamente.
[email protected] incluye diversas actividades de trabajo: proyectos estudiantiles o didácticos,
estudios de caso, investigaciones cortas, pero productivas, etc. Este tipo de estrategias
didácticas le ofrece a usted la oportunidad de identificar, de manera global, el avance
de los alumnos en las competencias para la vida. Además, les permite a estos últimos
superar la visión de aprendizajes fragmentados y acercarse al espíritu del aprendizaje
competencial.
Clave 5. Favorece la búsqueda, selección y discriminación de información proveniente
de soportes distintos (impresos, digitales, orales, etcétera)
Los cambios radicales provocados por la tercera revolución industrial —la de las tecnologías de la información y la comunicación— han creado una nueva dinámica social,
en la que la noción de conocimiento, cualquiera que sea su tipo, se ha vuelto esencial
en los procesos de desarrollo e innovación. En nuestros días, se asume que el conocimiento se ha convertido en objeto de desafíos económicos, políticos y culturales hasta
tal punto, que las sociedades cuyos contornos empezamos a vislumbrar pueden calificarse de sociedades del conocimiento.
Si bien, la escuela tiene como función promover la formación básica, eso no significa que
deba limitarse a impulsar la adquisición de información relativa a las áreas socialmente
validadas, sino que tendrá que transformarse en una escuela en la que se comparta el
conocimiento, con el fin de propiciar el desarrollo del ser humano y la vida. Lo anterior
exige incorporar en las clases portadores de información variados y con propósitos
distintos a los usados comúnmente.
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Como los formatos y medios de acceso a dichos portadores requieren habilidades específicas para su uso, se vuelve necesario incorporarlos, si bien con criterio pedagógico, con urgencia. Será necesario ir más allá del libro de texto e incorporar los acervos
de la biblioteca familiar y escolar, recursos multimedia, Internet, periódicos, etcétera.
El proyecto [email protected] pone a disposición de usted, profesor, alumnos y padres de familia,
adicionalmente a los libros impresos, un entorno virtual de enseñanza y aprendizaje que
enfatiza el desarrollo y la aplicación de las habilidades digitales y de las competencias
de la sociedad del conocimiento: [email protected] Digital.
[email protected] Digital está diseñado para apoyar a los profesores de educación básica en la
tarea de impulsar los siguientes aspectos de la formación de los estudiantes.
1. Creatividad e innovación
2. Comunicación y colaboración
3. Investigación y manejo de información
4. Pensamiento crítico, solución de problemas y toma de decisiones
5. Ciudadanía digital
[email protected] Digital contiene lo siguiente.
A) Para los profesores
• Libros de texto y guías didácticas en soporte digital
• Acceso al contenido digital del libro del alumno
• Extenso acervo de actividades de refuerzo y ampliación para usarlo de manera
flexible, en función de las necesidades de aprendizaje de los alumnos
• Herramientas que potencian las presentaciones del libro, para usarlas en pizarrones tradicionales o interactivos
• Capa (layer) del profesor, la cual le permite añadir contenidos al libro de texto y,
por lo tanto, personalizarlo.
• Entorno virtual de aprendizaje que facilita la participación y el seguimiento de los
alumnos.
• Blogs sobre temas de vanguardia mediante los cuales usted podrá participar en
una comunidad virtual de aprendizaje formada por diversas escuelas del país.
• Acceso a una comunidad virtual de profesores, en el portal Aprender a Pensar, para
compartir consideraciones sobre el reto de enseñar a niños y jóvenes del siglo xx.
• Contacto con el editor y los autores del libro para que atiendan necesidades específicas de orientación didáctica.
• Folletos digitales que lo ayudarán a interactuar con los padres de familia.
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B) Para los alumnos
• Libros de texto en soporte digital, para cada grado, enriquecidos con numerosos
y variados recursos interactivos
• Acervo de actividades de refuerzo y ampliación para fortalecer el logro de los
aprendizajes esperados
• Registro del cumplimiento de actividades en el entorno virtual de aprendizaje
• Foro para el trabajo personalizado, en el que podrán compartir información con
sus compañeros y profesores.
• Audiolibros sobre temas educativos para propiciar el acercamiento entre padres
e hijos
C) Para los padres de familia
• Folletos digitales orientativos que tratan temas de interés sobre la educación
• Audiolibros sobre temas educativos para propiciar el acercamiento entre padres
e hijos
Clave 6. La evaluación del aprendizaje como estrategia para retroalimentar el proceso
de enseñanza
En la actualidad, la evaluación del aprendizaje ha permitido consolidar un cambio
de paradigma: hace dos décadas este tema aludía únicamente al examen mediante el cual el alumno obtenía una calificación; hoy se reconoce la importancia
de la evaluación como un proceso formativo que se convierte en elemento para la
retroalimentación del aprendizaje de alumnos y padres de familia, así como para
identificar necesidades específicas de la tarea docente.
A diferencia de otros tipos de evaluación, donde se enfatiza la calificación de
comportamientos modificados por los alumnos, la perspectiva de [email protected] pone
el énfasis en atender los diversos momentos que experimenta el alumno durante
el proceso de desarrollo de un aprendizaje. El enfoque de evaluación de [email protected]
se centra en la evaluación del aprendizaje pero no se limita a esta, pues también
incluye su perspectiva de manera que retroalimente la actividad docente.
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[email protected] ofrece a los profesores esquemas de evaluación que les permiten llevar
a cabo una amplia gama de tareas, por ejemplo: el desarrollo de proyectos, la estructuración de portafolios, el trabajo por rúbricas o matrices de desempeño, guías
de observación, resolución de problemas en forma individual o grupal, periódico
mural e incluso, en algunas ocasiones, exámenes. Estos instrumentos y técnicas
posibilitan la interacción de diversos elementos y actores educativos: contenidos
cognitivos de un campo con algún referente concreto de la realidad que permita
dar sentido a la tarea de evaluar; alumnos, padres de familia, docentes y directivos escolares.
La evaluación formativa que propone [email protected] está diseñada para obtener evidencias, elaborar juicios informados y brindar retroalimentación sobre los aprendizajes logrados por los alumnos durante su formación. Además, dicha evaluación
constituye el eje para identificar y considerar el logro de los aprendizajes tanto de
manera individual como grupal.
Los materiales de los alumnos permiten aplicar e integrar los contenidos estudiados, para valorar si han alcanzado los aprendizajes esperados y en qué medida
lo han hecho. Lo anterior se concreta mediante secciones fijas de evaluación incorporadas en el libro. En la colección [email protected] se incluyen, a lo largo de la educación básica, rúbricas de verificación, listas de cotejo y control, anecdotario, observaciones directas, textos escritos y dibujos, proyectos colectivos de búsqueda
de información, identificación de problemáticas y propuestas de alternativas de
solución, redes mentales, esquemas y mapas conceptuales, registros y cuadros
para anotar las actitudes observadas en los estudiantes, portafolios de evidencias,
reactivos competenciales y reactivos tipo PISA y tipo ENLACE.
Secciones fijas de evaluación
Evaluación
Descripción
• Reactivos tipo PISA para evaluar
competencias
• Reactivos tipo ENLACE, evaluación con
reactivos de opción múltiple
De igual modo, en [email protected] Digital encontrará recursos de evaluación que pueden ser utilizados de manera flexible.
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Clave 7. El proyecto educativo de SM como marco de [email protected]
En SM entendemos que hablar de educación es hablar más de semillas que de frutos,
más de siembra que de cosecha; es trazar un rumbo y ponerse en camino. SM, en conjunto con los profesores, acompañamos a los alumnos en su crecimiento, en todas sus
facetas como persona; los conducimos y los nutrimos. Educar implica conducir desde
fuera para dejar nacer todo lo que la persona lleva dentro. Educar significa intervenir
positivamente, desde la autoridad moral de usted, para hacer crecer.
Es así que la escuela de nuestros días se enfrenta a desafíos sin precedentes: se espera que prepare a los futuros ciudadanos que actuarán en ambientes socioculturales y
laborales caracterizados por constantes cambios. La parte crítica de dichos desafíos
consiste en que los alumnos aprendan de una manera diferente, es decir, que se les
oriente al descubrimiento; al manejo de fuentes de información múltiples y en formatos
distintos; que tengan la capacidad para trabajar en equipo y que aprendan de la diversidad con la que conviven cotidianamente. Asimismo, se requiere que los estudiantes
actúen con referentes éticos y desarrollen identidades sólidas y definidas. En pocas
palabras: que se formen en un ambiente orientado al desarrollo de las competencias
para el aprendizaje permanente, el manejo de la información y de situaciones, la convivencia y la vida en sociedad.
Sin embargo, desarrollar competencias desde la escuela no es una tarea fácil ni inmediata. Se requiere una transformación de las formas de dar clases de los profesores,
así como sustituir la función del profesor por el de educador que aprovecha un campo
de conocimientos (asignaturas) para fomentar el desarrollo integral de los estudiantes.
Se requiere renovar la relación entre la escuela, los alumnos y los padres de familia, de
modo que se socialicen las metas de enseñanza, los logros de aprendizaje, las estrategias para atender las diversas necesidades de esta, etcétera.
Ese espíritu es el que anima a [email protected] Mediante el portal permite poner en contacto
a padres de familia con profesores; a utilizar los recursos digitales en función de las
características y necesidades de los estudiantes; y vincula a la escuela con un espacio dedicado a los temas educativos, a los cuales coloca en el centro de la discusión,
de los debates y de las alternativas que se están aplicando en múltiples escuelas de
México que utilizan estos materiales.
En SM estamos conscientes de que el desafío se puede afrontar trabajando juntos,
como debe ocurrir en todo proyecto educativo. ¡Gracias por permitirnos ser su compañero de viaje!
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Aprender con tecnología
Vivimos en un mundo caracterizado por los avances tecnológicos que permean
cada aspecto de la vida cotidiana. Es un mundo marcado por la competencia
y los cambios, en el cual la educación es fundamental para tener acceso a mejores oportunidades en la vida.
El uso de las tecnologías de la información y comunicación (TIC) permite que
los estudiantes desarrollen tanto competencias educativas como competencias
para la vida. El Plan Nacional de Desarrollo establece que “el analfabetismo digital
es un barrera decisiva para el acceso de los mexicanos en un mundo globalizado.
No basta con saber leer y escribir; para competir exitosamente hace falta también
saber utilizar las computadoras”.1
Con la tecnología podemos divertirnos y comunicarnos, aprender y enseñar. Los
estudiantes deben adquirir las herramientas básicas que les permitan aprender
con ella y, de esta forma, estar preparados para interactuar adecuadamente con
los recursos tecnológicos disponibles en la actualidad y los que se desarrollarán
en el futuro.
El uso didáctico de las tecnologías de la información y la comunicación fomenta
los siguientes elementos.
Uso de las TIC en la educación básica
Desarrollar competencias
para aprender a lo largo
de la vida
Impulsar la
comunicación en los
ambientes colaborativos
Fomentar
la autonomía
del estudiante
El plan de estudios 2011 para la educación básica contempla el desarrollo de habilidades digitales como eje transversal de los campos formativos del currículo, con el
objetivo de que los estudiantes aprovechen los recursos tecnológicos a su alcance
como medios para comunicarse, obtener información y construir conocimiento.
Para ello, la reforma educativa definió Estándares de Habilidades Digitales,
fundamentales en el desarrollo de competencias para la vida y la construcción de
una ciudadanía digital.
1
Plan Nacional de Desarrollo 2007-2012, Estrategia 11.1, p. 188.
16
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1. Creatividad
e innovación
6. Funcionamiento
y conceptos de las TIC
2. Comunicación
y colaboración
Estándares
de Habilidades
Digitales
3. Investigación
y manejo
de la información
5. Ciudadanía digital
4. Pensamiento
crítico, solución
de problemas y toma
de decisiones
Para desarrollar estos estándares en la educación básica, el Gobierno Federal
creó la estrategia educativa de Habilidades Digitales para Todos (HDT), programa enfocado en brindar las herramientas necesarias para que los estudiantes
puedan insertarse en la sociedad del conocimiento a través del desarrollo de sus
habilidades digitales.
1. Conocer las TIC y utilizarlas de manera creativa, experimentando formas innovadoras de emplearlas
2. Comunicarse y compartir información con otros, así como trabajar en ambientes colaborativos
3. Buscar, analizar y evaluar la información requerida a través de diferentes fuentes
17
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4. Reflexionar y encontrar la solución a diversos problemas, aprendiendo a tomar
decisiones y hacerse responsable de sus consecuencias
5. Utilizar las TIC de forma responsable y respetuosa, convirtiéndose en un ciudadano digital que contribuya con el desarrollo de su comunidad
6. Emplear las TIC de manera eficaz para transmitir propios contenidos
El plan de estudios 2011 señala que las habilidades digitales se encuentran presentes en todos los campos formativos, por lo que no debe ser objeto de una sola
materia aislada, sino que debe apoyar decididamente las experiencias de aprendizaje de todas las asignaturas.
La apropiación de estas habilidades digitales en los procesos de enseñanza requiere de la formación continua de los profesores con el objeto de que puedan
desarrollar las competencias digitales para sus prácticas docentes. Por un lado, es
necesario integrar a la escuela las experiencias con tecnología que los estudiantes tienen en su vida cotidiana; por otro, es indispensable que la escuela permita
que los estudiantes tengan acceso a la tecnología para reducir la brecha digital.
A continuación se mencionan algunas sugerencias para la incorporación de las
TIC en los procesos de aprendizaje.
Habilidades
digitales
Herramientas
de colaboración
y comunicación
Recursos
Sugerencias
Correo electrónico, Estos recursos permiten la
blogs, foros, chats comunicación instantánea con
personas de cualquier parte del
mundo. Proveen un espacio en el
que se intercambian puntos de
vista, experiencias y resultados
con otros estudiantes.
Teléfonos
celulares, tablets
Pueden ser usados para distribuir
diversos contenidos educativos.
Podcasts
Son archivos de sonido en
formato mp3 que le permitirán
transmitir mensajes o contenidos
educativos de fácil acceso para
sus estudiantes.
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Herramientas
Procesadores
de productividad de texto, hojas
de cálculo,
presentaciones
Investigación
y manejo
de la
información
Estas herramientas sirven para
crear documentos, bases de datos,
identificación de tendencias,
presentaciones, entre otras muchas
funciones que potencian el trabajo
escolar.
Internet
La Internet ha cambiado la forma
de tener acceso a la información.
Es muy importante que trabaje con
sus alumnos sobre la identificación
de fuentes confiables mediante
consultas de páginas oficiales;
fomente este uso por medio de ligas
seguras a portales educativos.
Trabaje con ellos el desarrollo del
pensamiento crítico para discernir
sobre las fuentes de información
y que tomen propias decisiones
sobre lo publicado en línea.
Materiales
didácticos
digitales
HDT, portales
educativos
Impulse el uso de los materiales
educativos gratuitos que ofrecen
una gran variedad de portales, los
cuales pueden ayudarle a trabajar
una gran cantidad de contenidos
de diversas asignaturas.
Ciudadanía
digital
Internet, redes
sociales
Fomente la incorporación
a las redes sociales con base
en principios éticos, para así
alcanzar un uso seguro
y responsable de la Internet.
La construcción de la ciudadanía digital contempla el uso ético de los recursos
informáticos. La Internet ofrece una gran cantidad de información, pero también
de peligros; así pues, los alumnos deben reconocerlos para que puedan protegerse de ellos.
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A continuación, se numeran algunas recomendaciones que ayudarán a los estudiantes a tener una experiencia digital segura.
Para navegar seguro
1. Es necesario que protejan la información personal. Comente que los datos
personales los identifican como personas, por ello no deben proporcionar esta
información a nadie.
2. Si entran a sitios con imágenes o palabras ofensivas, pídales que salgan de
ella y lo comenten con sus padres o tutores.
3. No deben abrir correos electrónicos de desconocidos.
Para usar redes sociales y foros
1. Sugiera que entren a foros que traten temas de acuerdo con la edad e intereses de los alumnos.
2. Coménteles que no todo es verdad en la Internet. Deben tener cuidado, pues
muchos usuarios mienten sobre su verdadera identidad.
3. Si alguien a quien contactaron en línea desea conocerlos personalmente, deben hacerlo del conocimiento de sus padres o sus tutores.
4. Cuando usen redes sociales, deben crear perfiles privados y agregar a sus
contactos conocidos. No deben proporcionar sus datos personales.
Uso del teléfono celular
1. Pida que no proporcionen el número telefónico a extraños.
2. Solicite que no usen el teléfono celular para molestar o insultar a otras personas.
Videojuegos
1. Sugiera que jueguen solo los que son adecuados para su edad. Además, deben determinar tiempos para las sesiones de juego.
Para más información, consulte junto con sus estudiantes la página
http://www.clicseguro.sep.gob.mx/index.php
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La Nueva Articulación de la Educación Básica está orientada, de manera prioritaria, al desarrollo de las competencias para la vida, a la par del desarrollo de las habilidades, conocimientos y actitudes propias del pensamiento matemático. El programa de articulación tiene el objetivo de unificar los enfoques de enseñanza y secuenciar la profundidad de los aprendizajes
durante los cuatro periodos escolares (preescolar, primero a tercer grado de primaria, cuarto
a sexto grado de primaria, y secundaria). Los elementos que articulan estos cuatro periodos
son el perfil de egreso, los nuevos estándares curriculares y el enfoque de enseñanza de las
matemáticas en la educación básica.
Este programa de articulación ha generado los estándares curriculares y los vinculó con los
aprendizajes esperados. Estos componentes son enunciados o indicadores que definen aquello
que los estudiantes deben saber y saber hacer, así como las actitudes que demostrarán durante
el proceso de aprendizaje y de exposición de lo aprendido. Los aprendizajes esperados y los
estándares son útiles para dar seguimiento al desarrollo de las competencias. Los aprendizajes esperados se consiguen después del estudio de una secuencia de contenidos del programa, que están vinculados entre sí, y se demuestran a través de desempeños concretos de los
alumnos en situaciones problemáticas. Por otra parte, los estándares curriculares enmarcan
una secuencia de aprendizajes esperados y se definen al término de cada periodo escolar.
Debido a su importancia, presentamos los aprendizajes esperados y los estándares curriculares
en el avance programático de la guía didáctica, y que están relacionados con los contenidos
de estudio del programa. De esta forma, usted podrá efectuar un seguimiento puntual sobre el
avance que se espera tengan los estudiantes.
El programa de estudio de matemáticas
Los aprendizajes esperados y los estándares curriculares
Actitudes y valores
Uno de los propósitos del programa de matemáticas es que los alumnos muestren disposición
positiva hacia el estudio de la matemática, así como al trabajo autónomo y colaborativo. Los
estándares curriculares cubren cada uno de los ejes de contenido (Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida; Manejo de la información) y abarcan un cuarto rubro
que es de reciente incorporación: las actitudes y valores hacia el estudio de las matemáticas.
En la serie [email protected] Estrategias hemos incluido una serie de recomendaciones en las cápsulas “Convivimos”, mismas que facilitarán algunas pistas sobre cómo trabajar estos estándares.
El enfoque didáctico y las competencias matemáticas
El enfoque didáctico para el campo formativo Pensamiento Matemático se fundamenta en la
resolución de problemas, pues se busca despertar el interés de los estudiantes mediante secuencias que impliquen situaciones problemáticas con las que reflexionen para desarrollar sus
propias estrategias y formulen argumentos que validen sus resultados.
Las competencias que se indican en el programa son: resolver problemas de manera autónoma; comunicar información matemática; validar procedimientos y resultados, y manejar técnicas eficientemente.
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Matriz de competencias
Cada una de las competencias matemáticas se divide en varias subcompetencias. Presentamos un
cuadro en el que hacemos una propuesta sobre cuáles subcompetencias se trabajan principalmente
en cada una de las secuencias didácticas de [email protected] Estrategias Matemáticas 1. En el, podrá identificar los aspectos de las competencias matemáticas que se consolidarán conforme trabaja con las
secuencias didácticas del libro del alumno.
Evaluar la pertinencia de
los resultados
Efectuar estimaciones
Efectuar cálculo mental
Manejo de técnicas
o procedimientos
Manejar técnicas
eficientemente
Uso de formas de
representación
Validar resultados
Justificar procedimientos
Validar procedimientos
y resultados
Explicar procedimientos
Inferir propiedades o características de una situación
Deducir información
Exponer ideas matemáticas
Establecer nexos entre
representaciones
Interpretar información
matemática
Comunicar información matemática
Representar información
matemática
Plantear problemas
Reconocer procedimientos
eficaces
Generalizar procedimientos
de solución
Resolver problemas
Resolver problemas
de manera autónoma
Bloque 1
Secuencia 1
Secuencia 2
Secuencia 3
Secuencia 4
Secuencia 5
Secuencia 6
Secuencia 7
Secuencia 8
Secuencia 9
Bloque 2
Secuencia 1
Secuencia 2
Secuencia 3
Secuencia 4
Secuencia 5
Secuencia 6
Secuencia 7
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Evaluar la pertinencia de
los resultados
Efectuar estimaciones
Efectuar cálculo mental
Validar procedimientos
y resultados
Manejo de técnicas o
procedimientos
Uso de formas de
representación
Validar resultados
Justificar procedimientos
Comunicar información matemática
Explicar procedimientos
Inferir propiedades o características de una situación
Deducir información
Exponer ideas matemáticas
Establecer nexos entre
representaciones
Interpretar información
matemática
Representar información
matemática
Plantear problemas
Reconocer procedimientos
eficaces
Generalizar procedimientos
de solución
Resolver problemas
Resolver problemas
de manera autónoma
Manejar técnicas
eficientemente
Bloque 3
Secuencia 1
Secuencia 2
Secuencia 3
Secuencia 4
Secuencia 5
Secuencia 6
Secuencia 7
Bloque 4
Secuencia 8
Secuencia 1
Secuencia 2
Secuencia 3
Secuencia 4
Secuencia 5
Secuencia 6
Secuencia 7
Bloque5
Secuencia 1
Secuencia 2
Secuencia 3
Secuencia 4
Secuencia 5
Secuencia 6
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Avance programático
Bloque 1
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Números y sistemas de numeración
7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Convierte números
fraccionarios
a decimales y
viceversa.
• Resuelve
problemas
que implican
convertir
números
fraccionarios
a decimales
y viceversa.
• 6.4.1 Conversión de fracciones decimales a escritura
decimal y viceversa. Aproximación de algunas
fracciones no decimales usando la notación decimal
• 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales
a su escritura decimal y viceversa
Lección 1
Diferentes maneras de expresar medidas
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Utilice ejemplos que sean familiares para los alumnos, relacionando los
contextos y significados en los que aparezcan fracciones, por ejemplo, en el
mercado o en una receta de pastel.
• Un ejemplo concreto de esto es considerar el número __34 (que equivale a 0.75
o 75%) en sus distintas formas, las cuales tienen una aplicación directa en la
vida cotidiana, aunque no todas ilustren de igual manera aspectos como los
siguientes:
• Como una subregión de un territorio la entidad en que radican.
• Una relación parte-todo. El pastel y la cantidad que se comerán
• El resultado de una división entre dos números enteros
• Un punto en regla graduada entre dos valores enteros
Indicadores de
desempeño
• Convierte
fracciones
decimales y no
decimales a su
escritura decimal
y viceversa.
• Ubica fracciones
decimales y no
decimales en la
recta numérica.
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Lección 2
Escritura decimal de una fracción
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Pida o plantee al alumno ejemplos de fracciones cuya expresión
decimal sea periódica.
• Por ejemplo: __31 , _17 , __37 y otros más.
• El objetivo no es dificultar el aprendizaje del alumno, sino explicarle
que hay números simples que, al ser analizados desde otra
perspectiva, se comportan de manera compleja. Un ejemplo de ello es
la fracción __37 , la cual, en apariencia, no denota un número complicado
para el alumno, sin embargo, al intentar calcular la fracción decimal
que representa surge la dificultad de que no es finita. Esto puede
propiciar un tema de debate. Pida a los alumnos que identifiquen si
hay más fracciones de este tipo, o que determinen cuántas son.
Lección 3
• Convierte fracciones a
número decimal para
construir una fracción
decimal equivalente a la
original.
• Ubica fracciones decimales
y no decimales en la recta
numérica.
¿Cuántas cifras hay después del punto?
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Observe los errores y las dificultades que se presenten durante el
llenado de las tablas; pida a los alumnos que no teman exteriorizarlos,
así como que compartan sus estrategias con aquellos a los que se les
complique.
• Socializar los errores y las dificultades permite que los alumnos
entiendan mejor los obstáculos y las formas en que sus compañeros
los sortean.
Indicadores de desempeño
• Convierte fracciones
decimales y no decimales
a su escritura decimal y
viceversa.
Otros recursos:
Encuentre más ejemplos de conversión de fracciones a decimales y viceversa en el sitio
www.e-sm.com.mx/GSCM1-03
25
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Lección 4
Otro juego de flechas
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Ahonde en el tema con ejemplos de los siguientes aspectos.
2
3
1
Decimales finitos:
= 0.4,
= 0.6,
= 0.1
5
5
10
1
_
Decimales infinitos: = 0.3333
3
7 = 0.7777777 = 0.7
Decimales infinitos periódicos: _
9
Decimales infinitos semiperiódicos. En estos decimales aparecen
una o más cifras antes del periodo. El número formado por estas se
llama anteperiodo (es un número que está entre la coma y la raya
7 = 0.2333333 = 0.23
superior): _
30
• Pida a los alumnos que den tres ejemplos de cada uno y comenten las
dificultades que se presenten.
• Convierte fracciones
decimales y no decimales
a su escritura decimal
y viceversa.
• Ubica fracciones decimales
y no decimales en la recta
numérica.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Números y sistemas de numeración
7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones,
analizando las convenciones de esta representación
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Conoce y utiliza
las convenciones
para representar
números
fraccionarios y
decimales en la
recta numérica.
• Resuelve problemas
que implican
convertir números
fraccionarios
a decimales y
viceversa.
• 6.2.1 Ubicación de fracciones y decimales en la recta
numérica en situaciones diversas. Por ejemplo, se
quieren representar medios y la unidad está dividida
en sextos, la unidad no está establecida, etcétera
• 6.3.1 Identificación de una fracción o un decimal
entre dos fracciones o decimales dados.
Acercamiento a la propiedad de densidad de los
racionales, en contraste con los números naturales
• 7.1.2 Representación de números fraccionarios y
decimales en la recta numérica a partir de distintas
informaciones, analizando las convenciones de esta
representación
26
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Lección 5
Las apariencias engañan
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Aproveche el tema de fracciones equivalentes para enfatizar que los
números son simplemente una representación; por ejemplo, el valor
del número 1 es el mismo que el de 50 .
2
100
• Determina cuándo dos
fracciones son equivalentes.
• Haga las siguientes observaciones:
• Al multiplicar cualquier número por 1, este no cambia, es decir,
n × 1 = n.
n
• Un número dividido entre sí mismo da 1, es decir, _
n =1
• Dos fracciones son equivalentes si una de ellas es el resultado de
multiplicar a la otra por un 1 “conveniente”; por ejemplo, las fracciones
3 15
3
5 15
4 y 20 son equivalentes, pues 4 × 5 = 20 .
• Calcula fracciones
equivalentes a una fracción
dada.
• Simplifica una fracción.
• Compara fracciones
respecto al orden, es decir,
determina cuándo una
fracción es mayor o igual
que otra.
Otros recursos: puede consultar la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-05, donde encontrará métodos
para identificar fracciones equivalentes.
Lección 6
Números en la recta
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Pida a los alumnos que determinen cuándo dos fracciones
son equivalentes, además de que dada una fracción den otras
equivalentes. También aplique ejercicios de comparación. Pregunte:
¿cuántas fracciones equivalentes se pueden dar de cada fracción?
• El alumno debe comprender que cuando se establece una medida en
la recta (fraccionaria o entera), esta debe conservarse en dicha recta;
es decir que, diferencias iguales entre números deben corresponder a
distancias iguales en la recta.
Indicadores de desempeño
• Localiza un número (entero
o fraccional) en una recta.
• Compara dos números de
acuerdo con su posición en
la recta.
27
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Lección 7
Números ocultos
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Pida a los alumnos que tracen rectas numéricas con distintas medidas
para la unidad (recuérdeles que una vez establecida una medida,
esta no debe cambiar en esa recta). Las rectas deben comenzar en
cualquier número distinto a 0.
• Ubica números enteros
y fracciones en la recta
numérica.
• Divide un segmento de
una recta numérica en
fracciones.
• Suma fracciones.
• Plantea y resuelve
problemas utilizando como
recurso la recta numérica.
• Con esta actividad, el estudiante comprenderá que no es necesario
empezar en 0 para crear una recta numérica, y que una fracción
también se puede dividir en más fracciones. En esta lección se
fomenta la capacidad de abstracción del alumno, pues la recta es una
representación de distancias entre números.
Lección 8
Del cero al uno
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Continúe con los ejercicios de comparación para determinar en qué
ocasiones una fracción es mayor a otra y cuándo dos fracciones son
equivalentes.
• Para esta lección, diseñe ejercicios de localización de fracciones en
la recta numérica, donde es importante determinar el valor de los
puntos. Indíqueles las fracciones que deben encontrar.
• Enfatice la propiedad de la densidad de los racionales; es decir, que
entre dos fracciones siempre existe un número infinito de ellas.
Indicadores de desempeño
• Compara fracciones.
• Localiza fracciones en la
recta.
• Crea una recta numérica
que puede o no comenzar
en cero.
• Determina cuándo dos
fracciones son equivalentes.
28
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Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Problemas aditivos
7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas
aditivos que implican el
uso de números enteros,
fraccionarios o decimales
positivos y negativos.
• Resuelve problemas aditivos
que impliquen efectuar
cálculos con expresiones
algebraicas.
• 7.1.3 Resolución y planteamiento de
problemas que impliquen más de
una operación de suma y resta de
fracciones
• 7.2.3 Resolución de problemas aditivos
en los que se combinan números
fraccionarios y decimales en distintos
contextos, empleando los algoritmos
convencionales
• 7.4.1 Planteamiento y resolución de
problemas que impliquen la utilización
de números enteros, fraccionarios o
decimales positivos y negativos
• 7.5.1 Resolución de problemas que
implican el uso de sumas y restas de
números enteros
Lección 9
Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Repase los métodos tradicionales para sumar números en sus formas
fraccional y decimal, así como plantear ejemplos que impliquen
adición con fracciones y decimales. Es importante hacer hincapié en
que para sumar números decimales, es necesario alinear el punto
decimal de cada cantidad, sin importar el número de dígitos de cada
una. Para la suma de fracciones plantee dos casos.
•
Primer caso: suma de dos o más fracciones que tienen el mismo
denominador. Solo hay que sumar los numeradores y dejar el
denominador común. Por ejemplo:
3
4
7
+
= .
5
5
5
Indicadores de desempeño
• Resuelve sumas de
fracciones con el mismo
denominador.
• Resuelve sumas de
fracciones con distinto
denominador.
29
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Lección 10
Para usar las fracciones
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Segundo caso: suma de dos o más fracciones con distinto denominador
• Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores
• Se calcula el numerador con la fórmula numerador antiguo ×
denominador común y dividido por denominador antiguo
• Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el
mismo denominador)
Por ejemplo, en 3 + 4 …
4 14
Calculamos el mínimo común múltiplo: mcm(4, 14) = 28.
Calculamos los numeradores:
numerador de la primera fracción: 3 × 28 ÷ 4 = 21;
numerador de la segunda fracción: 4 × 28 ÷ 14 = 8.
Como los denominadores son idénticos, los sumamos como en el caso 1.
3
8
21
21 21 29
Sumar
con
es lo mismo que sumar
con 8 y
+
= .
4
4
28
28 28 28
Lección 11
Indicadores de desempeño
• Resuelve sumas de
fracciones con el mismo
denominador.
• Resuelve sumas de
fracciones con distinto
denominador.
Un juego de cartas
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Identifique los errores al finalizar el juego. Si se observa dificultad
en la suma o resta será necesario llevar a cabo más actividades. Es
importante dejar en claro la conversión de fracciones.
Para una fracción impropia en mixta…
• se divide el numerador entre el denominador;
• se escribe el cociente como número entero;
• se escribe el resto encima del denominador.
15
Por ejemplo: . Se divide 15 entre 12 (da 1 y quedan 3). El resultado
12
3
.
se escribe como 1
12
Para una fracción mixta en impropia…
• se multiplica la parte entera por el denominador;
• se suma al numerador;
• se escribe el resultado encima del denominador.
1
Por ejemplo: 2 . Se multiplica 2 por 4 y se suma 1 (se obtiene 9), y se
4
coloca el resultado como numerador, con 4 como denominador: 9 .
4
• Resuelve sumas y restas
de fracciones con el mismo
denominador.
• Resuelve sumas y restas
de fracciones con distinto
denominador.
30
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Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación
en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o
geométrica, de números y de figuras
Contenidos
Aprendizaje esperado
• 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de
figuras a partir de una regla dada en lenguaje común.
Formulación en lenguaje común de expresiones
generales que definen las reglas de sucesiones con
progresión aritmética o geométrica, de números y de
figuras
• Representa sucesiones
de números o de
figuras a partir de una
regla dada y viceversa.
• 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje
algebraico) de una sucesión con progresión aritmética
• 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros
a partir de las reglas algebraicas que las definen.
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico)
de una sucesión con progresión aritmética de
números enteros
• 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática
para definir el enésimo término de una sucesión
Lección 12
• Representa sucesiones
de números enteros
a partir de una regla
dada y viceversa.
• Utiliza en casos
sencillos expresiones
generales cuadráticas
para definir el enésimo
término de una
sucesión.
Estándar
• Resuelve
problemas
que implican
expresar y
utilizar la regla
general lineal o
cuadrática de
una sucesión.
La matemática de las rejas
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Despierte el interés del razonamiento del alumno con problemas en los
que tengan que encontrar la regla general.
• El alumno relacionará figuras geométricas para establecer patrones de
sucesiones y encontrará una regla general usando el lenguaje común. En
la secuencia de bloque 5 los alumnos utilizarán literales para expresar las
reglas.
• Para preparar el uso de literales, aplique a los alumnos el siguiente
ejercicio.
• Completa la siguiente tabla.
x
7
8
9
40
44
y
28
32
36
160
176
• Plantea situaciones
sencillas y aumenta su
grado de dificultad.
• Identifica el patrón en
una sucesión de figuras.
a) Si el valor de x fuera 25, ¿cuál sería el de y? 100.
b) ¿Cómo calculaste el valor de y? Multiplicando por 4.
c) ¿Qué sucede con el valor de y cuando crecen los valores de x?
y aumenta cuatro veces.
31
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Lección 13
Bordados
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• La ordenación se basa en la comparación. Los alumnos son capaces
de comparar el tamaño de dos objetos al mismo tiempo, sin embargo,
cuando el número de objetos aumenta, tienen dificultad para
coordinar las relaciones.
• De manera gradual, se debe desarrollar en el alumno un sentido de
orden, además de procurar que, sistemáticamente, construya una
sucesión de figuras o de números. Para esto procure que sea capaz
de reconocer patrones y sucesiones, comenzando por los objetos que
lo rodean.
• La secuenciación es una operación lógica que permite establecer
relaciones de comparación, respecto a un sistema de referencia, entre
los elementos de un conjunto y ordenarlos según sus diferencias.
En los casos que más nos interesan van de forma creciente o
decreciente.
Lección 14
Indicadores de desempeño
• Reconoce patrones en
sucesiones de figuras.
• Expresa, simbólicamente,
patrones de sucesiones de
figuras.
Sucesiones de figuras o números
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Cuando los alumnos compartan sus respuestas, pida que mencionen
las características de cada sucesión, orden, regla, etcétera.
• También es importante dejar en claro el tipo de sucesiones que se
trabajaron y explicarle al alumno que existen otros.
Sucesiones aritméticas
• El ejemplo 3, 5, 7, 9 es una sucesión aritmética (o progresión
aritmética) porque la diferencia entre un término y el siguiente es
constante.
Sucesiones geométricas
• En una sucesión geométrica, cada término se calcula multiplicando
el anterior por un número fijo. Por ejemplo: la que desarrollaron en
la actividad 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256… En este, un término se
obtiene al multiplicar por 2 el anterior. La regla de la sucesión es 2n.
Indicadores de desempeño
• Construye sucesiones de
números o figuras a partir
de una regla dada en
lenguaje común.
• Formula en lenguaje
común expresiones
generales que definen las
reglas de sucesiones con
progresiones aritméticas
o geométricas, de números
y de figuras.
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Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los
que es posible operar
Contenidos
• 7.1.5 Explicación del significado de
fórmulas geométricas, al considerar
las literales como números generales
con los que es posible operar
• 7.3.3 Resolución de problemas que
impliquen el planteamiento y la
resolución de ecuaciones de primer
grado de la forma x + a = b; ax = b;
ax + b = c, utilizando las propiedades
de la igualdad, con a, b y c números
naturales, decimales o fraccionarios
Lección 15
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas
que impliquen el uso de
ecuaciones de las formas:
x + a = b; ax = b;
ax + b = c, donde a, b y c
son números naturales
y/o decimales.
• Resuelve problemas
que involucran el uso de
ecuaciones lineales o
cuadráticas.
La fórmula es útil, pero no es lo único
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Mencione al alumno que es posible traducir cualquier problema, real o
imaginario, a lenguaje matemático usando instrumentos algebraicos
(fórmulas matemáticas) para resolverlo. Tras esto, la solución se
sustituye en el problema inicial. Un modelo matemático se entiende
como la traducción de un problema a lenguaje algebraico.
• Ejemplo sencillo de modelo matemático
Problema
¿Cuál es el perímetro de una mesa que mide 120 cm de largo y 70 cm
de ancho?
Traducción
Calcular el perímetro de un rectángulo de largo b y ancho a.
Desarrollo
a + b + a + b = 2a + 2b
Traducción
2(70) + 2(120) = 140 + 240 = perímetro = 380 cm
Solución
El perímetro de la mesa mide 380 cm.
• Interpreta fórmulas
matemáticas.
• Desarrolla fórmulas para
resolver determinados
problemas matemáticos.
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Lección 16
Con números o con letras
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Muestre al estudiante cómo se utiliza el álgebra constantemente en
situaciones de la vida real.
• Se le debe exponer el uso de literales como una herramienta
en el desarrollo de procesos de solución de acertijos, enigmas,
pasatiempos, arcanos y ejercicios, a fin de que incremente su
habilidad tanto en las estrategias como en el manejo de los recursos
matemáticos.
• Pida al estudiante que traduzca problemas matemáticos sencillos
sustituyendo los valores numéricos por literales.
Lección 17
Indicadores de desempeño
• Usa literales para expresar
cantidades.
• Interpreta en lenguaje
natural el significado
de algunas fórmulas
geométricas.
• Interpreta literales como
números generales con los
que es posible operar.
• Maneja expresiones
algebraicas sencillas.
Con fórmulas y con palabras
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Explique al alumno, mediante ejemplos, por qué las literales pueden
ser consideradas variables, y la función de una constante en una
formula.
• Es importante recalcar la importancia del algebra en la vida cotidiana
relacionando actividades cercanas al alumno, como el uso de literales
para facilitar la solución de un problema.
Indicadores de desempeño
• Interpreta en lenguaje
natural el significado
de algunas fórmulas
geométricas.
• Interpreta literales como
números generales con los
que es posible operar.
• Maneja expresiones
algebraicas sencillas.
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Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos
7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría
Contenidos
Aprendizaje esperado
• 7.1.6 Trazo de triángulos y
cuadriláteros mediante el uso del
juego de geometría
• 7.1.7 Trazo y análisis de las
propiedades de las alturas, medianas,
mediatrices y bisectrices en un
triángulo
• Resuelve problemas
geométricos que
impliquen el uso de las
propiedades de las alturas,
medianas, mediatrices y
bisectrices en triángulos y
cuadriláteros.
• 7.2.5 Resolución de problemas
geométricos que impliquen el uso de
las propiedades de la mediatriz de un
segmento y la bisectriz de un ángulo
Lección 18
Estándar
• Utiliza la regla y el compás
para efectuar diversos
trazos, como alturas de
triángulos, mediatrices,
rotaciones, simetrías,
etcétera.
• Resuelve problemas que
implican construir círculos
y polígonos regulares
con base en información
diversa y usa las relaciones
entre sus puntos y rectas
notables.
De tres lados
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Diseñe una actividad sobre la suma de los ángulos interiores de un
triángulo. Si no cuenta con un software, hágalo en papel.
• Por ejemplo: pedir a los alumnos que dibujen un triángulo (cualquiera)
y recorten los vértices a una tercera parte de la medida del lado;
colocarlos de manera consecutiva (donde termine uno, colocar el
otro) sobre una recta para comprobar que la suma de los ángulos dé
180°. Posteriormente, pida que clasifiquen los triángulos en equilátero,
isósceles o escaleno, de acuerdo con sus ángulos.
Indicadores de desempeño
• Traza triángulos mediante el
uso del juego geométrico.
• Construye triángulos
que cumplen con ciertas
condiciones establecidas.
Otros recursos: use algún software para las mismas actividades. La herramienta permite ir
transformando las figuras geométricas. Puede encontrar varias opciones en www.e-sm.com.mx/
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Lección 19
De cuatro lados
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• En el procedimiento B, puede generar dudas la palabra equidistar.
Explique detenidamente. Por ejemplo: “ubica los puntos de corte (que
estén del mismo lado de la recta) de las dos circunferencias”. También
se observa que las circunferencias C2 y C3 cortan a la circunferencia
C1 en varios puntos. Señale que no cortan al primer segmento.
Lección 20
Indicadores de desempeño
• Traza cuadriláteros
mediante el uso del juego
geométrico.
• Construye cuadriláteros
que cumplen con ciertas
condiciones establecidas.
Diseños con triángulos y cuadriláteros
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Traza triángulos y
cuadriláteros mediante el
uso del juego de geometría.
• Explique que los procedimientos pueden ser distintos, por ejemplo: se
pueden trazar el cuadrado y el triángulo partiendo de la circunferencia
o haciendo rectas perpendiculares; sin embargo, hay que cuidar que
el trazado cumpla las condiciones establecidas.
• Al final de la actividad 4, procure una socialización del resultado para
observar los procedimientos que más posibilidades arrojaron. El
alumno debe notar que es más fácil partir de circunferencias.
• Construye polígonos
regulares a partir de
condiciones establecidas.
• Resuelve problemas que
implican construir círculos
y polígonos regulares
con base en información
diversa y usa las relaciones
entre sus puntos y rectas
notables.
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Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos
7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo
Contenidos
Aprendizaje esperado
• 7.1.6 Trazo de triángulos y
cuadriláteros mediante el uso del
juego de geometría
• 7.1.7 Trazo y análisis de las
propiedades de las alturas, medianas,
mediatrices y bisectrices en un
triángulo
• Resuelve problemas
geométricos que
impliquen el uso de
las propiedades de
las alturas, medianas,
mediatrices y bisectrices
en triángulos y
cuadriláteros.
• 7.2.5 Resolución de problemas
geométricos que impliquen el uso de
las propiedades de la mediatriz de un
segmento y la bisectriz de un ángulo
Lección 21
Estándar
• Utiliza la regla y el compás
para efectuar diversos
trazos, como alturas de
triángulos, mediatrices,
rotaciones, simetrías,
etcétera.
• Resuelve problemas que
implican construir círculos
y polígonos regulares
con base en información
diversa y usa las relaciones
entre sus puntos y rectas
notables.
Un triángulo al interior de un círculo
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Comprende, describe y construye la
circunferencia circunscrita a un triángulo.
• Comprende, describe y construye las
mediatrices de los lados de un triángulo.
• Enfatice en cada actividad el trazo correcto de rectas
perpendiculares. Utilice en un software, si es posible,
la herramienta de arrastre para ir anotando las
características que se observen tras cada movimiento.
• Utiliza la regla y el compás para efectuar
diversos trazos, como alturas de triángulos
y mediatrices.
• Resuelve problemas que implican construir
círculos y polígonos regulares con base en
información diversa y usa las relaciones
entre sus puntos y rectas notables.
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Lección 22
Un círculo en un triángulo
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Genere un debate grupal donde los estudiantes argumenten sus
respuestas a las siguientes preguntas.
• ¿Por qué el circuncentro no necesariamente está dentro del triángulo
y el incentro sí? ¿También el incentro es único? ¿Por qué?
• Resalte que las mediatrices son segmentos construidos a partir de los
lados de un triángulo y las bisectrices, a partir de sus ángulos. Esta
observación ayudará al estudiante a no confundir las rectas notables
que está aprendiendo.
• Indique cómo al trazar las bisectrices se ha visto que el uso de
transportador provoca más errores que el del compás.
Lección 23
Indicadores de desempeño
• Traza y analiza las
propiedades de las
bisectrices del triángulo.
• Resuelve problemas
que implican el trazo de
bisectrices, con base en
información diversa.
• Comprende, describe y
construye las bisectrices de
los ángulos de un triángulo.
• Comprende, describe y
construye el incentro de un
triángulo.
Centro de gravedad
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Resalte que el baricentro o centro de gravedad (intersección de las
medianas), además de propiedades geométricas, tiene una propiedad
física muy importante, como su nombre lo indica. Para que el
estudiante tome conciencia de esto, pídale que elabore triángulos de
madera y coloque un lápiz en el baricentro. Con esto se percatara de
la veracidad de esta propiedad.
• Es interesante y muy estimulante para el alumno aprender por qué el
centro de gravedad se encuentra en el baricentro y no en el incentro.
Para esto, invítelo a hacer una breve investigación en Internet u otras
fuentes sobre este hecho.
• Dé la posibilidad, en la actividad 4, de trazar tres o cuatro triángulos;
en la 5, sugiera utilizar un color distinto para las medianas, bisectrices
y mediatrices.
Indicadores de desempeño
• Traza y analiza las
propiedades de las
medianas en un triángulo.
• Comprende, describe y
construye el baricentro de
un triángulo.
• Resuelve problemas que
impliquen el trazo de
medianas, bisectrices, y
mediatrices en un triángulo,
con base en información
diversa.
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Lección 24
Las alturas del triángulo
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Esta lección, además de plantear la construcción del ortocentro,
invita al estudiante a reflexionar sobre las condiciones que deben
cumplir las rectas notables (mediatrices, bisectrices, medianas
y alturas) para que coincidan en un triángulo; consígalo con una
serie de preguntas distribuidas en diferentes puntos. Debátalas
con los alumnos.
• Comprende, describe y construye
las alturas de los lados de un
triángulo.
• Ahora que se han visto las diferentes rectas notables de un
triángulo, pídales a los estudiantes que, en una cartulina, tracen
un triángulo donde no coincidan las rectas notables, y que
dibujen cada una de distinto color.
• Traza y analiza las propiedades
de las alturas, mediatrices y
medianas de un triángulo.
• Al socializar las respuestas, es importante que se argumente con
un trazo o la descripción del trabajo efectuado.
• Resuelve problemas que implican
el trazo de alturas, mediatrices
y medianas de un triángulo, con
base en información diversa.
• Comprende, describe y construye
el ortocentro de un triángulo.
Eje. Manejo de la información
Tema. Proporcionalidad y funciones
7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional
Contenidos
Aprendizaje
esperado
Estándar
• Resuelve
problemas de
proporcionalidad
directa del tipo
“valor faltante”, en
los que la razón
interna o externa
es un número
fraccionario
• Resuelve problemas
vinculados con la
proporcionalidad
directa, inversa
o múltiple, como
porcentajes, escalas,
interés simple o
interés compuesto.
• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto
proporcional
• 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de
proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
en diversos contextos, con factores constantes
fraccionarios
• 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto
de la aplicación sucesiva de factores constantes de
proporcionalidad en situaciones dadas
• 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores
enteros o fraccionarios
• 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una
relación de proporcionalidad, en particular en una
reproducción a escala
• 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad
múltiple
39
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Lección 25
¿Son proporcionales?
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• El alumno debe repasar el concepto de proporcionalidad. Para ello,
muestre diversos ejemplos que expresen cómo al aumentar (o
disminuir) un valor, aumenta (o disminuye) otro.
• Pida que elabore ejemplos donde dos conjuntos de cantidades sean
directamente proporcionales.
• Por ejemplo: si cada día se ahorran $10.00, después de dos días se
habrán acumulado $20.00, y al cabo de seis, $60.00; es decir, si el
número de días aumenta el doble, el triple, etc., el dinero ahorrado
también lo hace el doble, el triple, etcétera.
Indicadores de desempeño
• Identifica cuándo
una relación es de
proporcionalidad.
• Elabora, completa y
construye tablas donde las
cantidades de un conjunto
están relacionadas con las
de otro.
Otros recursos: encuentre ejemplos de problemas donde se aplica la proporcionalidad directa en la
página www.e-sm.com.mx/GSCM1-25
Lección 26
El campamento
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Maneja tablas con valores
numéricos.
• El alumno debe comprender el concepto de proporcionalidad. Por
ejemplo: las cantidades en una tabla están en proporción directa
si existe un número que, al multiplicar cada cantidad de la primera
columna, dé su valor correspondiente en la segunda. Una vez
encontrado este valor para cada tabla de la lección, verifique que se
cumpla lo mencionado.
• Determina, a partir
de dos datos, si estos
son o no directamente
proporcionales.
• Obtiene una constante de
proporcionalidad.
• Resuelve problemas de
reparto proporcional.
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Lección 27
Repartos justos
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Se muestra el ejemplo de una sastrería donde el reparto de las
ganancias entre los socios debe ser proporcional al número de horas
que cada quien ha trabajado. Pida a los alumnos que formen varios
equipos, y simulen que cada miembro es socio de la sastrería; deben
registrar las ganancias y las horas trabajadas al transcurso de una,
dos y tres semanas.
• Plantee el siguiente problema a los estudiantes:
Si 2 kg de naranja cuestan $1.00, ¿cuánto constarán 5 kg?
Se observa que hay una relación entre el peso de las naranjas y su
precio: 2 kg cuestan $1.00; el de doble de kilos cuesta el doble, $2.00;
el triple cuesta el triple, $3.00; un kilo cuesta la mitad, $0.50; y así
sucesivamente. Se puede observar que el cociente entre el precio de
las naranjas y su peso es siempre constante: 0.5.
• Determina, en una situación
de reparto proporcional, el
valor que corresponde a
cada parte.
• Resuelve problemas de
reparto proporcional.
Eje: Manejo de la información
Tema: Nociones de probabilidad
7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función
del análisis de resultados posibles
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Compara cualitativamente
la probabilidad de eventos
simples.
• Calcula la probabilidad de
eventos complementarios,
mutuamente excluyentes e
independientes.
• 7.1.9 Identificación y práctica de juegos
de azar sencillos y registro de los
resultados. Elección de estrategias
en función del análisis de resultados
posibles
• 7.3.7 Anticipación de resultados de una
experiencia aleatoria, su verificación al
realizar el experimento y su registro en
una tabla de frecuencias
• 7.4.6 Resolución de problemas
de conteo mediante diversos
procedimientos. Búsqueda de recursos
para verificar los resultados
• 8.1.8 Comparación de dos o más
eventos a partir de sus resultados
posibles, usando relaciones como:
“es más probable que…”, “es menos
probable que…”
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Lección 28
Hablemos de juegos I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• En la actividad 2, los alumnos, tras varias rondas de juego, notarán
que responder al azar no es la mejor estrategia. También observaran
que quien dice “17” tiene el juego ganado. Sin embargo, conforme
jueguen más partidas, desarrollarán estrategias, razón por la cual
elegirá números diferentes a los anteriores, y notará que la estrategia
ganadora es tomar tan pronto como sea posible la sucesión 2, 5, 8, 11,
14, 17, 20. En cambio, si el contrincante supiera de esta sucesión sería
mejor tomarla partiendo de 5; de lo contrario no sería posible ganar.
Conviene que la actividad se lleve a cabo en dos equipos. Al termino
del juego, propicie una discusión que permita concertar estrategias.
• Elige las estrategias en
función del análisis de
resultados posibles.
Lección 29
Hablemos de juegos II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Procure que los alumnos construyan el espacio muestral y comenten
sus observaciones.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Indicadores de desempeño
• Identifica y practica juegos
de azar sencillos y registra
los resultados.
• Compara cualitativamente
la probabilidad de eventos
simples.
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Bloque 2
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Números y sistemas de numeración
7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas
utilizando el máximo
común divisor y el mínimo
común múltiplo.
• Resuelve problemas que
implican calcular el mínimo
común múltiplo o el máximo
común divisor.
• 6.3.2 Determinación de múltiplos
y divisores de números naturales.
Análisis de regularidades al obtener
los múltiplos de dos, tres y cinco
• 6.5.1 Determinación de divisores o
múltiplos comunes a varios números.
Identificación, en casos sencillos, del
mínimo común múltiplo y el máximo
común divisor
• 7.2.1 Formulación de los criterios de
divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción
entre números primos y compuestos
• 7.2.2 Resolución de problemas que
impliquen el cálculo del máximo
común divisor y el mínimo común
múltiplo
Lección 30
Divisores y números primos
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Enfatice el hecho de que los números que tienen exactamente dos
divisores, uno y el mismo, son números primos.
• Por ejemplo, 17 es primo pues sus únicos divisores son 1 y 17. El 21 no
es primo pues, además de 1 y 21, tiene como divisores a 7 y a 3.
• Pida a los alumnos que den cinco ejemplos de números primos
mayores a 50 y de números compuestos; que analicen por qué 1 no
es número primo pero tampoco es compuesto.
• Formula los criterios de
divisibilidad entre 2, 3 y 5.
• Distingue entre números
primos y compuestos.
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Lección 31
¿Quién divide a quién?
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Proponga a los alumnos que compartan sus observaciones con
el grupo y escriban en sus cuadernos aquellas en las que todos
concuerden, completando los criterios de divisibilidad.
• Es importante que escriban las condiciones que cumple un número al
ser dividido por otro y que las validen, además de que, en caso de ser
necesario, las desechen. Si es necesario, sugiérales algunos números
para tal efecto.
• Formula los criterios de
divisibilidad entre 2, 3 y 5.
• Distingue entre números
primos y compuestos.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Números y sistemas de numeración
7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve
problemas
utilizando el
máximo común
divisor y el mínimo
común múltiplo.
• Resuelve problemas
que implican calcular
el mínimo común
múltiplo o el máximo
común divisor.
• 6.3.2 Determinación de múltiplos y divisores de
números naturales. Análisis de regularidades al
obtener los múltiplos de dos, tres y cinco
• 6.5.1 Determinación de divisores o múltiplos
comunes a varios números. Identificación, en casos
sencillos, del mínimo común múltiplo y el máximo
común divisor
• 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad
entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y
compuestos
• 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el
cálculo del máximo común divisor y el mínimo
común múltiplo
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Lección 32
Mínimo común múltiplo
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Enfatice el hecho de que el mínimo común múltiplo de dos o más
números naturales es el menor número natural que es múltiplo de
todos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo tras la factorización
de los números, hay que tomar los factores comunes (los que
aparecen en todos los números) y multiplicarlos.
•
El máximo común divisor de dos o más números enteros es el
mayor número que los divide sin dejar resto (o dejar residuo 0). Si
el máximo común divisor de dos números es 1 se dice que estos
son primos relativos. Para el cálculo del máximo común divisor de
varios números, hay que factorizarlos y tomar los factores comunes
elevados al mayor exponente.
Lección 33
Indicadores de desempeño
• Resuelve problemas que
impliquen el cálculo del
máximo común divisor y el
mínimo común múltiplo.
Máximo común divisor
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Proponga más ejercicios sobre mínimo común múltiplo y máximo
común divisor. Por ejemplo:
Juan, Pedro y María son hermanos. Juan visita a su mamá cada
diez días; Pedro, cada doce; y María, cada cinco. ¿Cuántos tiempo
transcurren para que los tres vayan a visitarla el mismo día?
• Resuelve problemas que
impliquen el cálculo del
máximo común divisor y el
mínimo común múltiplo.
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Lección 34
Descomponiendo números
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Proponga más ejercicios sobre mínimo común múltiplo y máximo
común divisor de un mismo conjunto de números para reafirmar el
conocimiento adquirido. Si observa dificultades, retome los casos y
promueva la socialización de los errores y las respuestas correctas.
• Resuelve problemas que
impliquen el cálculo del
máximo común divisor y el
mínimo común múltiplo.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Problemas aditivos
7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos
contextos, empleando los algoritmos convencionales
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve
problemas
aditivos que
implican el uso de
números enteros,
fraccionarios o
decimales positivos
y negativos.
• Resuelve
problemas aditivos
que impliquen
efectuar cálculos
con expresiones
algebraicas.
• 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que
impliquen más de una operación de suma y resta de
fracciones
• 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que
se combinan números fraccionarios y decimales
en distintos contextos, empleando los algoritmos
convencionales
• 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas
que impliquen la utilización de números enteros,
fraccionarios o decimales positivos y negativos
• 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso
de sumas y restas de números enteros
46
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Lección 35
La migración indocumentada en Estados Unidos de América
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Es natural que el primer paso del hombre en el tema de las
matemáticas sea desarrollar un método para contar, actividad para la
que se usan los números naturales.
• Enfatice el hecho de que los números son la representación de una
idea abstracta y, por tanto, aun cuando dos sean diferentes pueden
representar una misma cantidad. Por ejemplo:
1
1
5
kg =
kg, 1.250 kg = 1.25 kg , 1 250 g = 1kg + 250 g
4
4
Indicadores de desempeño
• Identifica los números
naturales.
• Comprende cuando dos
números expresados
de manera diferente
representan una misma
cantidad.
• Representa cantidades de
distintas maneras.
Otros recursos: consulte el libro del maestro publicado por la sep sobre didáctica de las matemáticas en
www.e-sm.com.mx/GSCM1-35a; para estudiar más a fondo el conjunto de números naturales y sus
propiedades consulte el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM1-35b
Lección 36
Tipo de cambio y algo más
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Proponga más ejercicios de suma y resta de fracciones, y de números
decimales.
1
• Tal vez algunos alumnos expresen la fracción
como la suma de las
2
1
1
fracciones
+ , pero la consigna indica que las fracciones deben
4
4
ser unitarias diferentes entre sí, y en este caso, se está sumando la
misma fracción unitaria.
1
1
1
• Una manera de obtener la suma es
+
+ ; otra, con solo dos
4
6 12
1
1
+ . Esto implica que los alumnos deben buscar
sumandos, es
3
6
otras estrategias.
• Resuelve problemas aditivos
usando fracciones.
• Resuelve problemas aditivos
usando decimales.
• También pueden recurrir a la representación gráfica de las fracciones,
la cual los ayudará a comprender mejor lo que se indica.
Otros recursos: encuentre más ejemplos de problemas aditivos con fracciones y decimales en
www.e-sm.com.mx/GSCM1-36
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Lección 37
Salarios y precios
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Revise los avances de cada alumno. Ellos intentarán completar los
cuadrados sin hacer las comprobaciones. Sugiérales que identifiquen
las casillas en las que solo haga falta un número, que sumen los dos y
que determinen con qué número la suma es la indicada. De este modo
garantizan que el número que encontraron es correcto. Esta estrategia
puede seguir usándose hasta completar cada cuadrado. La actividad,
además de favorecer el trabajo en equipo, refuerza los conocimientos
y las habilidades adquiridas.
• Resuelve problemas aditivos
usando fracciones.
• Resuelve problemas aditivos
usando decimales.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Problemas multiplicativos
7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los algoritmos usuales
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve
problemas que
implican efectuar
multiplicaciones
o divisiones
con fracciones
y números
decimales.
• Resuelve problemas
multiplicativos
con expresiones
algebraicas a
excepción de la
división entre
polinomios.
• 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la
multiplicación y división con números fraccionarios
en distintos contextos, utilizando los algoritmos
usuales
• 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la
multiplicación de números decimales en distintos
contextos, utilizando el algoritmo convencional
• 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen
la división de números decimales en distintos
contextos, utilizando el algoritmo convencional
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Lección 38
La mitad de un cuarto I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Haga énfasis en el significado de efectuar una división de una fracción
entre un número natural.
• Es importante que los estudiantes comprendan el significado de lo que
se indica en la actividad 4. Puede utilizar como ejemplo la expresión
14
fraccionaria de un número entero, por ejemplo: 5 = __51 ; 7 = __
, etc.
2
• Multiplica medidas
fraccionarias por números
naturales.
Otros recursos: hay más problemas relacionados con la división de fracciones en la liga
www.e-sm.com.mx/GSCM1-38
Lección 39
La mitad de un cuarto II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Aproveche para repasar el tema de fracciones equivalentes y las
operaciones con fracciones. Haga las siguientes observaciones.
• Al multiplicar cualquier número por 1, este no sufre cambio, es decir,
n × 1 = n.
Al dividir un número entre sí mismo el resultado es 1, es decir,
n
=1
n
• Dos fracciones son equivalentes si una es el resultado de multiplicar a la
otra por un 1 conveniente, por ejemplo:
3 15
3
3
Las fracciones
y
son equivalentes, pues
×1= ,
4 20
4
4
pero
• Multiplica medidas
fraccionarias entre
números naturales
.
• Resuelve problemas que
combinan multiplicación
y división de medidas
fraccionarias.
• Compara medidas
fraccionarias.
1 = 5 , así, 3 = 3 × 1 = 3 × 5 = 3 × 5 × 5 = 15 .
5
4
4
4
5
4
20
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Lección 40
Vueltas alrededor de un circuito I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Recuerde a los alumnos que multiplicar por un número natural
equivale a sumar esa cantidad reiteradamente; por ejemplo,
3
3
3
3
×3=
+
+ .
4
4
4
4
• Con este mismo ejemplo puede multiplicar un número natural por 0.75
y enfatizar que el resultado debe ser el mismo que multipicarlo por
tres cuartos.
Indicadores de desempeño
• Multiplica fracciones.
• Calcula fracciones de una
cantidad determinada.
• Identifica una misma
cantidad presentada en
diferentes representaciones.
Otros recursos: encontrará métodos para identificar fracciones equivalentes, así como ejercicios de
multiplicación de fracciones, en el sitio www.e-sm.com.mx/GSCM1-40
Lección 41
Vueltas alrededor de un circuito II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Es conveniente mencionar el concepto de neutro multiplicativo, es
decir, del número que tiene la propiedad de que al ser multiplicado por
otro, lo deja igual (el neutro multiplicativo es el 1, pues n × 1 = n). Una
vez dado este concepto, se puede establecer el inverso multiplicativo:
dado un número, su inverso multiplicativo es aquel que al multiplicarlo
da el neutro (por ejemplo, el inverso multiplicativo de __21 es 2, pues
1
__1 × 2 = 1); multiplicar por __
n es lo mismo que dividir entre n.
2
• Es oportuno mencionar al estudiante que el proceso es sencillo. Para
multiplicar dos o más fracciones, se multiplican en línea. Esto es, el
numerador por el numerador y el denominador por el denominador.
Se recomienda mencionar que tomar una fracción de otra fracción es
lo mismo que multiplicarlas.
Indicadores de desempeño
• Comprende el sentido de la
multiplicación de fracciones.
• Multiplica fracciones.
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Lección 42
¿Qué número multiplicado por 2 da 3?
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Proponga a los alumnos que comparen resultados y justifiquen sus
procedimientos para que decidan qué respuestas son correctas.
• El alumno deberá ser capaz de resolver problemas que involucren
números decimales en operaciones de suma, resta, multiplicación (un
número natural por uno decimal) y división (dos números naturales
entre sí con cociente decimal y un número decimal entre uno natural).
• Es pertinente recordar al alumno que dado un número, su inverso
multiplicativo es aquel que al multiplicarlo da el neutro.
• Convierte números mixtos a
fracciones impropias.
• Multiplica fracciones.
• Obtiene fracciones de otras
fracciones dadas.
Otros recursos: como apoyo en el tema de multiplicación de fracciones, consulte el sitio
www.e-sm.com.mx/GSCM1-42
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos
7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la
mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo
Contenidos
Aprendizaje esperado
• 7.1.6 Trazo de triángulos y
cuadriláteros mediante el uso del
juego de geometría
• 7.1.7 Trazo y análisis de las
propiedades de las alturas, medianas,
mediatrices y bisectrices en un
triángulo
• 7.2.5 Resolución de problemas
geométricos que impliquen el uso de
las propiedades de la mediatriz de un
segmento y la bisectriz de un ángulo
• Resuelve problemas
geométricos que
impliquen el uso de
las propiedades de
las alturas, medianas,
mediatrices y bisectrices
en triángulos y
cuadriláteros.
Estándar
• Utiliza la regla y el compás
para efectuar diversos
trazos, como alturas de
triángulos, mediatrices,
rotaciones, simetrías,
etcétera.
• Resuelve problemas que
implican construir círculos
y polígonos regulares con
base en información diversa
y usa las relaciones entre
sus puntos y rectas notables.
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Lección 43
A la misma distancia I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de los extremos del segmento. Esta es una recta
perpendicular al segmento por su punto medio.
• Traza la mediatriz de un
segmento de recta.
• El alumno debe tener presente que tres puntos determinan un
triángulo. Cualquier punto sobre la mediatriz, al unirse con los
extremos del segmento de recta, forma un triángulo isósceles. En
este, la mediatriz trazada en el lado desigual divide al triángulo en dos
triángulos idénticos. Las mediatrices sirven para resolver diferentes
problemas geométricos.
• Utiliza las propiedades de la
mediatriz de un segmento
para resolver problemas
geométricos.
• Traza la perpendicular a un
segmento de recta.
Otros recursos: encuentre más ejemplos de problemas que involucren la mediatriz de un segmento de
recta en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-43
Lección 44
A la misma distancia II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Traza la bisectriz de un
ángulo.
• La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos
iguales. Enfatice el buen uso de los instrumentos de trazo para que la
figura tenga las propiedades que se piden.
• Traza figuras geométricas
básicas utilizando regla y
compás.
• Utiliza las propiedades de
la bisectriz de un ángulo
para resolver problemas
geométricos.
Otros recursos: encuentre más ejemplos y métodos de construcción de la bisectriz de un ángulo en la
página www.e-sm.com.mx/GSCM1-44
52
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Lección 45
Mediatrices y bisectrices
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
Enseñe al alumno el siguiente método para trazar la bisectriz.
• Con centro en el vértice del ángulo, se trazan dos circunferencias
cualesquiera.
• Se dibuja un segmento de recta que vaya del punto de intersección de
la circunferencia mayor con uno de los lados del ángulo hacia el punto
de intersección de la circunferencia menor con el otro lado del ángulo.
• Se traza otro segmento de recta del punto de intersección del primer
lado del ángulo con la circunferencia menor al punto de intersección
del segundo lado del ángulo con la circunferencia mayor.
• Utiliza las propiedades de la
mediatriz de un segmento
y la bisectriz de un ángulo
para resolver problemas
geométricos.
• Traza figuras geométricas
básicas utilizando regla y
compás.
• La bisectriz del ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y
el punto de intersección de las dos rectas trazadas.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Medida
7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y
transformación de figuras
Contenidos
• 7.2.6 Justificación de las fórmulas
de perímetro y área de polígonos
regulares, con apoyo de la
construcción y transformación de
figuras
• 7.3.5 Resolución de problemas que
impliquen calcular el perímetro y el
área de polígonos regulares
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas
que implican el cálculo
de cualquiera de las
variables de las fórmulas
para calcular el perímetro
y el área de triángulos,
cuadriláteros y polígonos
regulares. Explica la
relación que existe entre
el perímetro y el área de
las figuras.
• Calcula cualquiera de las
variables que intervienen en
las fórmulas de perímetro,
área y volumen.
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Lección 46
Unas fórmulas se originan en otras
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Proporcione al estudiante una gran variedad de ejemplos de
triángulos y pídale que complete, en cada uno, los tres posibles
rectángulos, tomando cada lado como base de uno.
• Todo polígono se puede dividir en triángulos, más aún, un polígono
regular de n lados puede dividirse en n triángulos iguales. Repase
la definición de ángulo central (son los que tienen como vértice el
centro de la circunferencia circunscrita al polígono, y como lados,
los lados de los triángulos de la triangulación). Hágale notar que el
apotema de un polígono regular es precisamente la altura de los
triángulos de la descomposición.
Indicadores de desempeño
• Reconoce cualquier polígono
regular.
• Traza polígonos regulares.
• Traza polígonos irregulares
sencillos.
• Justifica la fórmula del área
de polígonos regulares.
• Justifica la fórmula del área
de polígonos irregulares
sencillos.
Otros recursos: refuerce la justificación de la fórmula del área de un polígono regular en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-46
Lección 47
La mitad del doble
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Identifica trapecios
y rombos.
• El trapecio y el rombo son paralelogramos que no tienen ángulos
rectos; en ellos no se puede aplicar la misma fórmula que en el
cuadrado o en el rectángulo.
• Explique al estudiante las fórmulas del área del trapecio y del rombo.
• Traza trapecios y rombos.
• Justifica el área del trapecio
y del rombo.
• Divide en triángulos un
polígono regular y de ahí
deduce la fórmula para
obtener su área.
Otros recursos: consulte justificaciones de la fórmula del trapecio y el rombo en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-47a
Encuentre actividades relacionadas con el cálculo del área de triángulos, así como actividades que
muestran propiedades de estas en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-47b
54
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Eje: Manejo de la información
Tema: Proporcionalidad y funciones
7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos,
con factores constantes fraccionarios
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas de
proporcionalidad directa
del tipo “valor faltante”, en
los que la razón interna
o externa es un número
fraccionario
• Resuelve
problemas
vinculados a la
proporcionalidad
directa, inversa
o múltiple, como
porcentajes,
escalas, interés
simple o
compuesto.
• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto
proporcional
• 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de
proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
en diversos contextos, con factores constantes
fraccionarios
• 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el
efecto de la aplicación sucesiva de factores
constantes de proporcionalidad en situaciones
dadas
• 7.4.4 Análisis de la regla de tres empleando
valores enteros o fraccionarios
• 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en
una relación de proporcionalidad, en particular
en una reproducción a escala
• 7.5.6 Resolución de problemas de
proporcionalidad múltiple
Lección 48
Banderas a escala
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Pida al alumno que dibuje en una hoja cuadriculada las copias 1, 2,
3, 4, 5 y 6 de la actividad 1 de esta lección. Esto permite al estudiante
comprobar si las figuras que trazó están a escala de la original,
ya que, si están bien, la forma y el tamaño de las figuras iguales
coincidirán al superponerlas. Si una es más grande o más chica que
otra, conviene buscar el error. De esta forma, se refuerza la idea
intuitiva que suele tener acerca de la construcción de figuras a escala:
dos figuras están a escala si tienen la misma forma.
• Resuelve problemas de
proporcionalidad de tipo
valor faltante, con valor
unitario, fraccionario
y decimal.
• Destaque que las figuras hechas a escala cumplen con dos
condiciones: las medidas de los lados correspondientes deben
aumentar o disminuir proporcionalmente y, en ambas, los ángulos
deben ser iguales.
• Reproduce dibujos a escala.
55
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Lección 49
Más del doble pero menos del triple
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Los problemas planteados en esta lección admiten procedimientos
diferentes, por lo que conviene resolverlos en equipos. Permita el uso
de calculadora.
• La estimación de resultados es una habilidad muy útil en la vida
diaria. Conduzca al estudiante hacia la estimación de resultados.
Por ejemplo, una vez que este haya comprendido de qué se trata el
problema, y antes de que comience a resolverlo, pregúntele cuál cree
que será el resultado (sin hacer cálculos escritos), a fin de incentivar la
habilidad de estimación.
Indicadores de desempeño
• Resuelve problemas de
proporcionalidad operando
con fracciones y decimales.
• Comprende los
conceptos de escala y
proporcionalidad, así como
la relación entre ellos.
Otros recursos: encuentre más problemas de proporcionalidad en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-49
Lección 50
La casita a escala
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Pida con anticipación escuadras, compás, transportador, cartoncillo,
tijeras, y colores rojo y azul a cada alumno. Procure que los alumnos
resuelvan la actividad 1 en forma individual, la 2 en parejas y la 3
en equipos de cuatro integrantes. Organice una confrontación de
resultados al término de la actividad 2 y de la última.
• Algunos alumnos pueden tener dificultades para decidir si las
afirmaciones son ciertas o falsas.
• Si contestan equivocadamente no los corrija. En la confrontación
de la siguiente actividad anímelos a que comparen sus respuestas
y busquen argumentos que les permitan reconsiderarlas y, si es
necesario, corregirlas.
Indicadores de desempeño
• Identifica un factor de
proporcionalidad, ya sea
entero o fracción.
• Usa los factores de
proporcionalidad para
reproducir un dibujo a
escala.
• Compara razones.
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Bloque 3
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Problemas multiplicativos
7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando
el algoritmo convencional
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve
problemas que
implican efectuar
multiplicaciones
o divisiones con
fracciones y
números decimales.
• Resuelve problemas
multiplicativos
con expresiones
algebraicas a
excepción de la
división entre
polinomios.
• 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen
la multiplicación y división con números
fraccionarios en distintos contextos, utilizando los
algoritmos usuales
• 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la
multiplicación de números decimales en distintos
contextos, utilizando el algoritmo convencional
• 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen
la división de números decimales en distintos
contextos, utilizando el algoritmo convencional
Lección 51
Multiplicar y dividir entre 10, 100 y 1 000
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• En esta lección se sugiere efectuar operaciones lo menos posible.
Es pertinente proponer actividades donde los alumnos hagan
estimaciones y cálculos mentales, tanto en situaciones numéricas
como de medición, estadísticas u otras.
• Multiplica por potencias de
10 con la menor cantidad de
operaciones posible.
• Exponga que multiplicar un número decimal por 10n es recorrer n
lugares el punto decimal hacia la derecha; y dividir un número decimal
por 10n, recorrer n lugares el punto decimal hacia la izquierda.
• Divide entre potencias de 10
con la menor cantidad de
operaciones posible.
Otros recursos: para que el alumno encuentre ejercicios interactivos de divisiones entre 10 recomiende
la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-51
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Lección 52
Técnicas para multiplicar decimales
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Fomente el trabajo en equipo, ya que permite que los alumnos
intercambien puntos de vista, socialicen sus estrategias y las validen o
rectifiquen al solucionar un problema o un ejercicio numérico.
• Para multiplicar dos números decimales, se multiplican ambos como
si fueran números naturales. Luego se coloca el punto decimal en
el resultado, separando tantas cifras como decimales tengan en
conjunto los dos factores. Menciónele al alumno que una vez que
aprende a multiplicar con números naturales, hacerlo con decimales
no es complicado; solo hay que cuidar el lugar que le corresponda al
punto decimal en el resultado.
• Convierte fracciones a
decimales.
• Convierte decimales a
fracciones.
• Multiplica números
decimales.
Eje: Manejo de la información
Tema: Proporcionalidad y funciones
7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad
en situaciones dadas
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve
problemas de
proporcionalidad
directa del tipo
“valor faltante”, en
los que la razón
interna o externa
es un número
fraccionario
• Resuelve problemas
vinculados a la
proporcionalidad
directa, inversa
o múltiple, como
porcentajes, escalas,
interés simple o
compuesto.
• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto
proporcional
• 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de
proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
en diversos contextos, con factores constantes
fraccionarios
• 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto
de la aplicación sucesiva de factores constantes de
proporcionalidad en situaciones dadas
• 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores
enteros o fraccionarios
• 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una
relación de proporcionalidad, en particular en una
reproducción a escala
• 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad
múltiple
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Lección 53
Copias de copias
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Identifica relaciones de
proporcionalidad.
• Enfatice que la multiplicación es una operación conmutativa (es decir,
que sin importar cuál sea el orden de los factores que se multipliquen,
el resultado será el mismo) y que multiplicar y dividir en realidad
son la misma operación (pues dividir un número entre n equivale a
multiplicarlo por __n1 . Por esto, el estudiante notará que aplicar el factor
m
de escala “por __
n ” equivale a producir una reducción, con el factor
1
__
“por n ”, y una ampliación, al multiplicar por el factor “por m”.
• Aplica de forma sucesiva
factores constantes de
proporcionalidad.
• Comprende la multiplicación
de fracciones como
composición de un operador
que divide y uno que
multiplica.
Otros recursos: encuentre ejemplos de problemas en los que se aplica la proporción directa en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-53
Lección 54
Engranajes I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Es conveniente ver cómo funcionan los engranes de las bicicletas.
• Resuelve problemas de
proporcionalidad entre dos
cantidades de la misma
naturaleza.
• Hay que rotarlos con cuidado; es importante procurar que los
resultados permitan llegar a las conclusiones de la lección.
• En caso de que no conseguir una bicicleta, deje de tarea que los
alumnos investiguen cómo funciona. Sugiérales que marquen con
un color el diente con el que empiezan a girar los dos engranes para
facilitar el conteo de las vueltas.
• Pida a los alumnos que, una vez que averigüen que con una vuelta
del engrane grande (24 dientes) el pequeño (doce dientes) da dos,
anticipen, sin usar material, cuántas vueltas daría el engrane chico
cuando el grande diera seis.
• Identifica el “operador
multiplicativo” entero o
fraccionario que, aplicado a
uno de los conjuntos, da las
cantidades del otro.
• Aplica sucesivamente
factores constantes de
proporcionalidad.
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Lección 55
Engranajes II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• El principal objetivo de esta lección es estudiar propiedades que
caracterizan la aplicación sucesiva de factores constantes de
proporcionalidad; para ello, se recuperan los conocimientos que ya se
han trabajado sobre la multiplicación de fracciones.
• Permita que los alumnos resuelvan las actividades con lo que ya
saben, y que confronten sus procedimientos en las comparaciones
grupales.
Indicadores de desempeño
• Resuelve problemas de
proporcionalidad entre dos
cantidades de la misma
naturaleza.
• Identifica el operador
multiplicativo entero o
fraccionario que, aplicado a
uno de los conjuntos, da las
cantidades del otro.
• Aplica sucesivamente
factores constantes de
proporcionalidad.
Otros recursos:
como apoyo del tema de variación proporcional, se recomienda la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-55
Lección 56
Desandar el camino. El factor recíproco I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• El neutro de un conjunto de números respecto a una operación es
aquel que, al operarlo con esta, deja al número igual. Por ejemplo, el 0
es neutro aditivo, pues a + 0 = a para todo número a; en el caso de la
multiplicación, el neutro multiplicativo es 1, pues a × 1 = a. El inverso
de un número en un conjunto, respecto a una operación, es aquel que
al operarlo con este nos da el neutro, por ejemplo, el inverso aditivo de
5, es −5, pues 5 + (–5) = 0.
• En el caso de la multiplicación, el inverso multiplicativo de n es __n1 pues
n × __n1 = __nn = 1. Es importante que el estudiante observe que por este
medio es posible partir de un número, multiplicarlo y, posteriormente,
volver al número original. Llamamos al inverso multiplicativo de un
número fracción recíproca.
Indicadores de desempeño
• Multiplica por la fracción
recíproca para dividir entre
una fracción.
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Lección 57
Desandar el camino. El factor recíproco II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• El estudiante ha visto ya que el recíproco del número n es el
número __n1 según lo cual, dividir un número entre otro es lo mismo que
multiplicarlo por su recíproco (o inverso multiplicativo). Plantéele la
siguiente cuestión.
• ¿Cuál es el recíproco del
m
número __
n?
• Divide entre una fracción
como la multiplicación por la
fracción recíproca.
• Recuerde que el recíproco de un número es aquel que al multiplicarlo
por este da el neutro (es decir, 1).
Otros recursos:
consulte más información respecto a las propiedades de los números, la conmutatividad (de la suma y
multiplicación), la asociatividad (de la suma y de la multiplicación), el neutro y el inverso, tanto
multiplicativo como aditivo en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-57
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Problemas multiplicativos
7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el
algoritmo convencional
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve
problemas que
implican efectuar
multiplicaciones
o divisiones
con fracciones
y números
decimales.
• Resuelve problemas
multiplicativos
con expresiones
algebraicas a
excepción de la
división entre
polinomios.
• 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la
multiplicación y división con números fraccionarios
en distintos contextos, utilizando los algoritmos
usuales
• 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la
multiplicación de números decimales en distintos
contextos, utilizando el algoritmo convencional
• 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen
la división de números decimales en distintos
contextos, utilizando el algoritmo convencional
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Lección 58
Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• En esta lección se estudia de nuevo el tema de aplicar problemas
que impliquen multiplicar y dividir tanto fracciones como decimales.
El objetivo es que el estudiante desarrolle sus habilidades mentales,
como la capacidad de análisis y el planteamiento de problemas.
• Es conveniente que siga ejercitando sus habilidades aritméticas.
Indicadores de desempeño
• Identifica los problemas
que implica multiplicar por
fracciones y decimales.
• Identifica los problemas que
implica dividir por fracciones
y decimales.
Otros recursos: consulte El libro del maestro, publicado por la Secretaría de Educación Pública, referente
a la didáctica de las matemáticas en www.e-sm.com.mx/GSCM1-58
Lección 59
Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Promueva el uso de material concreto para que los alumnos resuelvan
y verifiquen sus respuestas, y faciliten la socialización de los
procedimientos y la búsqueda de errores. La actividad 1 de esta lección
es propicia para este fin. Tenga presente que los intentos fallidos de
los alumnos al resolver un problema forman parte de su proceso de
aprendizaje y pueden ser aprovechados.
• En esta lección es importante que el alumno analice los problemas y,
más allá de que sepa la forma correcta de efectuar las operaciones,
estime los resultados y comente con sus compañeros sus
razonamientos.
Indicadores de desempeño
• Estima los resultados
de multiplicaciones con
números decimales.
• Estima los resultados de
divisiones con números
decimales.
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Lección 60
Técnicas para dividir decimales
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Para dividir números decimales, debemos preocuparnos por tener la
misma cantidad de decimales tanto en el dividendo como en el divisor.
• Conviene subrayar que, al dividir entre un número mayor a 0 y menor
a 1, el cociente resultará mayor que el dividendo; si el número es
mayor a 1, el cociente será menor que el dividendo.
• Señale al estudiante las siguientes condiciones.
• Al multiplicar un número decimal por 10n se recorre el punto decimal
n lugares a la derecha.
• Al dividir un número entre 10n se recorre el punto decimal n lugares a
la izquierda.
• Divide números decimales.
• Resuelve problemas con
números decimales.
Otros recursos: para reforzar el aprendizaje y la práctica de la división de números decimales, consulte la
página www.e-sm.com.mx/GSCM1-60
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
7.3.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales
o fraccionarios
Contenidos
• 7.1.5 Explicación del significado de
fórmulas geométricas, al considerar
las literales como números generales
con los que es posible operar
• 7.3.3 Resolución de problemas que
impliquen el planteamiento y la
resolución de ecuaciones de primer
grado de la forma x + a = b; ax = b;
ax + b = c, utilizando las propiedades
de la igualdad, con a, b y c números
naturales, decimales o fraccionarios
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas
que impliquen el uso de
ecuaciones de las formas:
x + a = b; ax = b y ax +
b = c, donde a, b y c son
números naturales y/o
decimales.
• Resuelve problemas
que involucran el uso de
ecuaciones lineales o
cuadráticas.
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Lección 61
Adivinanzas I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Interpreta problemas que
involucren una incógnita.
• En esta lección, mediante adivinanzas y acertijos, intuitivamente se
comienza a introducir el álgebra, la cual se presenta al estudiante
como un método para adivinar valores faltantes en un problema.
Por supuesto, no se trata de adivinar, sino de deducir mediante
operaciones algebraicas el valor de una incógnita.
• Aproveche esta sección para que el alumno desarrolle su capacidad
de abstracción. Recuérdele al grupo que los números son símbolos
que representan una cantidad y que las literales funcionan con las
mismas reglas que estos.
Lección 62
• Plantea problemas que
le den sentido al uso de
ecuaciones de primer grado
con una incógnita.
• Resuelve problemas que
le den sentido al uso de
ecuaciones de primer grado
con una incógnita.
• Identifica las operaciones
necesarias para llegar de
una cantidad a otra en una
“adivinanza” algebraica.
Adivinanzas II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Usa la terminología de las
ecuaciones.
• En esta lección se introducen las ecuaciones con más formalidad que
en la anterior. Es importante decirle al alumno que la palabra ecuación
se refiere a igualdad. Este debe percibir a las ecuaciones (por lo
pronto, las lineales, de primer grado) como un recurso para resolver
una gran diversidad de problemas.
• Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce el valor de una
o más cantidades (incógnitas).
• Interpreta y plantea
ecuaciones para resolver
determinados problemas.
• Utiliza el procedimiento
de ensayo y error en la
estimación del resultado de
ecuaciones lineales de una
incógnita.
Otros recursos: encuentre problemas algebraicos para nivel secundaria en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-62
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Lección 63
Balanzas en equilibrio
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• En esta lección se relaciona el concepto de ecuación con la noción
de equilibrio. Es importante que el estudiante comprenda que lo
primordial al resolver una ecuación es no perder la igualdad. De la
misma forma en que en una balanza debe mantener el equilibrio con
el mismo peso en cada plato, en una ecuación se debe conservar el
mismo valor; si restamos de un lado del signo igual una cantidad,
debemos restar lo mismo del otro lado, por ejemplo.
Lección 64
• Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las
mismas soluciones. Podemos obtener ecuaciones equivalentes
sumando, restando, multiplicando o dividiendo en ambos miembros
por el mismo número.
•
• Comprende que en el
proceso de resolver una
ecuación, al efectuar una
operación en uno de los
lados de la igualdad, esta
debe ser aplicada al otro
con el fin de preservar dicha
igualdad.
• Resuelve ecuaciones
mediante las propiedades
de la igualdad.
Ecuaciones equivalentes
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
•
Indicadores de desempeño
Caso 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un
mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación que
resulta es equivalente a la dada.
Caso 2. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación
por un mismo número, distinto a 0, la ecuación resultante es
equivalente a la dada.
Indicadores de desempeño
• Determina cuándo
dos ecuaciones son
equivalentes.
• Resuelve ecuaciones
mediante las propiedades
de la igualdad.
Otros recursos: encuentre ejercicios interactivos con ecuaciones equivalentes en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-64
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Lección 65
Problemas diversos
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• En esta lección se plantean problemas cotidianos para los cuales un
recurso de solución es aplicar una ecuación lineal con una incógnita.
• Interpreta problemas que
impliquen ecuaciones de
primer grado.
• Propicie en el alumno el estudio de la realidad desde un punto de vista
algebraico o su capacidad para interpretar una expresión algebraica
con ese enfoque, en lugar de hacer hincapié en el aprendizaje de
métodos algorítmicos.
• Plantea problemas
utilizando ecuaciones de
primer grado.
• Para ello, la interrelación entre situación cotidiana y álgebra debe
estar presente en la lección desde el inicio, en los ejemplos, en las
prácticas, en los ejercicios, en el mismo aprendizaje de los algoritmos.
• Resuelve problemas
mediante ecuaciones de
primer grado.
Otros recursos: para encontrar un banco de problemas diversos que involucran ecuaciones de primer
grado puede consultar la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-65
Eje. Forma, espacio y medida
Tema. Figuras y cuerpos
7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno,
ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella
Contenidos
• 7.3.4 Construcción de polígonos
regulares a partir de distintas
informaciones (medida de un lado,
del ángulo interno, ángulo central).
Análisis de la relación entre los
elementos de la circunferencia y el
polígono inscrito en ella
• 7.4.2 Construcción de círculos a partir
de diferentes datos (el radio, una
cuerda, tres puntos no alineados, etc.)
o que cumplan condiciones dadas
Aprendizaje esperado
• Construye círculos y
polígonos regulares que
cumplan con ciertas
condiciones establecidas.
Estándar
• Utiliza la regla y el compás
para efectuar diversos
trazos, como alturas de
triángulos, mediatrices,
rotaciones, simetrías,
etcétera.
• Resuelve problemas que
implican construir círculos
y polígonos regulares con
base en información diversa
y usa las relaciones entre
sus puntos y rectas notables.
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Lección 66
Polígonos y doblado de papel
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Clasifica un polígono
(regular o irregular).
Procure que el alumno distinga el ángulo central y los ángulos interiores
en un polígono. Dos hechos que resulta útil tener presentes son los
siguientes:
• los ángulos interiores de un triángulo suman 180°,
• la circunferencia tiene 360°, y
• la suma del ángulo central más el ángulo interior da siempre 180°.
• Solicite al alumno que localice todos los polígonos posibles a su
alrededor, a fin de que se familiarice con el concepto.
• Identifica el nombre de un
polígono regular a partir de
su número de lados.
• Obtiene la medida de los
ángulos centrales de un
polígono regular.
• Construye polígonos
regulares a partir de
distintas informaciones.
Otros recursos: encontrará distintos métodos de construcción de polígonos, así como ejercicios
interactivos para practicarla, en la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-66
Lección 67
Relaciones interesantes
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Clasifica un polígono
(regular o irregular).
• Enfatice que hay polígonos regulares e irregulares, siendo los
regulares aquellos cuyos lados tienen la misma medida (en
consecuencia, todos sus ángulos interiores también coinciden) y los
irregulares, aquellos que tienen al menos un lado diferente.
• Todo polígono regular puede ser inscrito en una circunferencia, lo cual
quiere decir que sus vértices forman parte del conjunto de puntos de
dicha circunferencia. Dados diferentes datos (por ejemplo, la medida
de sus lados o de los ángulos interiores, el radio de la circunferencia
circunscrita, etc.) se puede construir un polígono regular.
• Identifica el nombre de un
polígono regular a partir de
su número de lados.
• Obtiene la medida de los
ángulos centrales de un
polígono regular.
• Construye polígonos
regulares a partir de
distintas informaciones.
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Lección 68
Vitrales
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Mide ángulos con
transportador.
• La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada
se basa en la división de esta en partes iguales. En ocasiones, el
trazado pasa por la cuerda correspondiente a cada arco, es decir, el
lado del polígono; en otras, pasa por el ángulo central del polígono
correspondiente.
• Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y
hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia,
se aconseja no llevar todos los lados en un solo sentido, sino que,
partiendo de un vértice, se lleve la mitad en una dirección y la otra, en
sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción
inherentes al instrumento o al procedimiento.
• Calcula ángulos con
determinada información
(un ángulo que es mitad de
otro que mida 90° medirá
45°; la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es
180°; etcétera).
• Traza figuras geométricas
utilizando regla, escuadra,
transportador y compás.
• Construye polígonos
regulares a partir de
distintos datos conocidos.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Medida
7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares
Contenidos
• 5.4.6 Construcción y uso de una
fórmula para calcular el perímetro
de polígonos, ya sea como
resultado de la suma de lados o
como producto
• 6.5.4 Armado y desarmado de
figuras en otras diferentes. Análisis
y comparación del área y el
perímetro de la figura original y la
que se obtuvo
• 7.2.6 Justificación de las fórmulas
de perímetro y área de polígonos
regulares, con apoyo de la
construcción y transformación de
figuras
Aprendizaje esperado
• Resuelve problemas que implican
el cálculo de cualquiera de las
variables de las fórmulas para
calcular el perímetro y el área
de triángulos, cuadriláteros y
polígonos regulares.
• Explica la relación que existe
entre el perímetro y el área de las
figuras.
Estándar
• Calcula cualquiera
de las variables que
intervienen en las
fórmulas de perímetro,
área y volumen.
• 7.3.5 Resolución de problemas que
impliquen calcular el perímetro y el
área de polígonos regulares
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Lección 69
La plaza
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Motive al alumno a buscar plazas o jardines donde se observen
polígonos regulares, y a que calcule el área que ocupan y el material
necesario para su construcción, lo cual reforzará el conocimiento
adquirido de área y perímetro de polígonos regulares.
Lección 70
Indicadores de desempeño
• Calcula el perímetro de un
polígono regular.
• Calcula el área de un
polígono regular.
Mesas y polígonos regulares
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Motive al alumno a buscar objetos o muebles donde se observen
polígonos regulares, y a que calcule sus áreas y perímetros.
Indicadores de desempeño
• Calcula el perímetro de un
polígono regular.
• Calcula el área de un
polígono regular.
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Lección 71
Más sobre el área de polígonos regulares
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Motive al alumno a trabajar en equipo discutiendo sobre los resultados
obtenidos en las lecciones anteriores y respondiendo a las preguntas
de estas. Comparar sus resultados le permitirá socializar y corregir los
posibles errores que haya cometido.
• Calcula el perímetro de un
polígono regular.
• Calcula el área de un
polígono regular.
Otros recursos: encuentre información de construcciones de polígonos y diversos problemas en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-71
Eje: Manejo de la información
Tema: Nociones de probabilidad
7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en
una tabla de frecuencias
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Compara cualitativamente
la probabilidad de eventos
simples.
• Calcula la probabilidad de
eventos complementarios,
mutuamente excluyentes e
independientes.
• 7.1.9 Identificación y práctica de
juegos de azar sencillos y registro de
los resultados. Elección de estrategias
en función del análisis de resultados
posibles
• 7.3.7 Anticipación de resultados de una
experiencia aleatoria, su verificación al
realizar el experimento y su registro en
una tabla de frecuencias
• 7.4.6 Resolución de problemas
de conteo mediante diversos
procedimientos. Búsqueda de recursos
para verificar los resultados
• 8.1.8 Comparación de dos o más
eventos a partir de sus resultados
posibles, usando relaciones como:
“es más probable que…”, “es menos
probable que…”
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Lección 72
Creencias y realidades
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Es importante que el alumno anticipe los resultados de una
experiencia aleatoria y los registre en una tabla de frecuencias.
Hágale preguntas acerca de los posibles resultados (espacio
muestral) y pídale que los escriba e indique si alguno tiene mayores
posibilidades de ocurrir.
• Mide, estima, agrupa
y analiza información
mediante el uso de tablas de
frecuencias.
Lección 73
Para comparar datos
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Es importante que el alumno anticipe los resultados de una
experiencia aleatoria y los registre en una tabla de frecuencias para
su análisis y comparación.
• Mide, estima, agrupa
y analiza información
mediante el uso de tablas de
frecuencias.
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Lección 74
Lanzamiento de un dado
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Solicite al alumno que elabore el dado con cartulina y que, en equipo,
compare resultados y analice la información. Es importante que
experimente y note, por ejemplo, que aunque al lanzar una moneda al
aire existe la misma posibilidad de que caiga sol o águila, si hace dos
lanzamientos, pueden salir dos soles o dos águilas, es decir, cuando
un experimento se lleva a cabo puede no ocurrir lo que uno supone,
aunque si se efectúa muchas veces, se puede asegurar que en la
mitad de ellas caerá sol y en la otra, águila.
• Mide, estima, agrupa
y analiza información
mediante el uso de tablas de
frecuencias.
Eje: Manejo de la información
Tema: Análisis y representación de datos
7.3.8 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Lee información
presentada en gráficas
de barras y circulares.
Utiliza estos tipos de
gráficas para comunicar
información.
• Lee y representa
información en diferentes
tipos de gráficas; calcula
y explica el significado del
rango y la desviación media.
• 6.1.8 Lectura de datos contenidos
en tablas y gráficas circulares, para
responder diversos cuestionamientos
• 6.2.5 Lectura de datos, explícitos o
implícitos, contenidos en diversos
portadores para responder preguntas
• 7.3.8 Lectura y comunicación de
información mediante el uso de tablas
de frecuencia absoluta y relativa
• 7.4.7 Lectura de información
representada en gráficas de barras
y circulares, provenientes de diarios
o revistas y de otras fuentes.
Comunicación de información
proveniente de estudios sencillos,
eligiendo la representación gráfica
más adecuada
72
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Lección 75
¿Es mucho o es poco?
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Pida a los alumnos que analicen, en equipo, la siguiente gráfica de
barras, la cual muestra los resultados de una encuesta a un grupo de
alumnos respecto a su deporte favorito.
•
•
•
•
•
•
20
15
• Reconoce cuándo una
frecuencia es absoluta
y cuándo es relativa.
10
Tenis
Beisbol
Basquetbol
0
Futbol
5
Voleibol
Núm. de alumnos
• Solicite que, posteriormente, contesten las preguntas.
1. ¿Cuál es el deporte de mayor preferencia? Futbol
2. ¿Y de menor? Tenis
3. ¿Cuántos alumnos prefieren el basquetbol? 12
4. ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? 47
5. ¿Cuántos no eligieron basquetbol? 35
6. ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere futbol? 31.91%
Otros recursos: para profundizar en el tema de frecuencia absoluta y relativa, revise la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-75
Lección 76
Elecciones
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Promueva la discusión y el análisis de tablas de frecuencia absoluta
y relativa a partir de la información de esta lección, y buscar tablas
actuales en noticias o periódicos para fortalecer el conocimiento
adquirido.
Indicadores de desempeño
• Reconoce cuándo una
frecuencia es absoluta
y cuándo es relativa.
• Analiza información a partir
de tablas de frecuencia
absoluta y relativa.
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Bloque 4
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Números y sistemas de numeración
7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o
decimales positivos y negativos
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve
problemas
aditivos que
implican el uso de
números enteros,
fraccionarios o
decimales positivos
y negativos.
• Resuelve
problemas
aditivos que
implican efectuar
cálculos con
expresiones
algebraicas.
• 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que
impliquen más de una operación de suma y resta de
fracciones
• 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que
se combinan números fraccionarios y decimales
en distintos contextos, empleando los algoritmos
convencionales
• 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas
que impliquen la utilización de números enteros,
fraccionarios o decimales positivos y negativos
• 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de
sumas y restas de números enteros
Lección 77
Temperaturas bajo cero
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de
desempeño
• El estudiante analizará cómo los números negativos permiten modelar y
resolver diferentes situaciones cotidianas.
• Muéstrele que en la vida hay muchas situaciones donde intervienen dos
cantidades o conceptos contrarios: arriba-abajo, sube-baja, izquierda-derecha,
norte-sur, caliente-frío. En el caso de los números, todo número positivo tiene
su negativo, ambos de naturaleza contraria, es decir, +2 tiene al negativo –2.
Por ejemplo, en lo que se refiere a un elevador +2 significaría “piso 2 arriba del
suelo”, mientras que –2, “piso 2 abajo del suelo”.
• Resuelve
problemas que
implican el uso
de números con
signo.
74
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Lección 78
Números opuestos
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia de 0
porque están formados por el mismo número natural, el 3, aunque
con distinto signo. Al 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se
indica así: |+3| = |–3 | = 3. El valor absoluto de un número entero es
el número natural que sigue al signo; se indica poniendo el número
entero entre barras. Enfatice que el valor absoluto es una distancia y,
como todas las distancias, es siempre positivo.
Lección 79
Indicadores de desempeño
• Determina el valor absoluto
de un número entero.
• Sabe cuál es el número
opuesto de un entero.
Estadísticas del futbol mexicano
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Explore lo que saben los estudiantes acerca del conteo de goles: cómo
se calcula la diferencia y para qué sirve. Analice la tabla e identifique
con ellos qué significa cada columna, en especial la que se refiere al
goleo a favor y en contra de los equipos. Aproveche la lección 76 para
trabajar el significado de una diferencia de goles negativa.
Indicadores de desempeño
• Resuelve problemas de
números con signo.
• Cerciórese de que los estudiantes entiendan las preguntas antes
de contestarlas. Analice con ellos el ejemplo y comente los
procedimientos para resolver el inciso 4a.
Otros recursos: recomiende al estudiante la siguiente liga sobre el tema suma de números con signo
www.e-sm.com.mx/GSCM1-79
75
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Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos
7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que
cumplan condiciones dadas
Contenidos
Aprendizaje esperado
• 7.3.4 Construcción de polígonos
regulares a partir de distintas
informaciones (medida de un lado,
del ángulo interno, ángulo central).
Análisis de la relación entre los
elementos de la circunferencia y el
polígono inscrito en ella
• Construye círculos y
polígonos regulares que
cumplan conciertas
condiciones establecidas.
• 7.4.2 Construcción de círculos a partir
de diferentes datos (el radio, una
cuerda, tres puntos no alineados, etc.)
o que cumplan condiciones dadas
Lección 80
Estándar
• Utiliza la regla y el compás
para realizar diversos
trazos, como alturas de
triángulos, mediatrices,
rotaciones, simetrías,
etcétera.
• Resuelve problemas que
implican construir círculos
y polígonos regulares
con base en información
diversa, y usa las relaciones
entre sus puntos y rectas
notables.
El círculo en la arquitectura
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• En esta lección, el alumno puede dibujar y divertirse mientras utiliza
conocimientos básicos de geometría. Retome lo que los estudiantes
conocen del círculo y la circunferencia. Comente cuáles y cuántas
figuras trazaron en cada caso y cómo lo hicieron. Promueva una
comparación entre los dibujos y un intercambio de estrategias.
Ponga especial atención al caso de los círculos y el trazo de arcos de
circunferencia.
• Construye círculos a partir
de diferentes condiciones.
76
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Lección 81
Círculos y algo más
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Propicie que, en plenaria, se construya una definición de círculo.
Procure que se concluya que es la única figura donde todos sus
puntos están a la misma distancia del centro. Retome lo que
los alumnos conocen acerca de la construcción de figuras con
regla y compás. Promueva una comparación entre dibujos y un
intercambio de estrategias.
• Resuelve problemas que se
relacionan con el trazo de
círculos.
Otros recursos: para conocer más teoremas y demostraciones respecto a la construcción y las
propiedades de figuras geométricas, consulte el libro Radmila, B. y Gómez, J. A. (2002). Geometría.
Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. México: Instituto de Matemáticas-unam.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Medida
7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y
algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas
que impliquen calcular
el área y el perímetro
del círculo.
• Calcula
cualquiera de
las variables
que intervienen
en las fórmulas
de perímetro,
área y volumen.
• 6.4.5 Cálculo de la longitud de una circunferencia
mediante diversos procedimientos
• 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la
longitud de la circunferencia y el área del círculo
(gráfica y algebraicamente). Explicitación del
número π (pi) como la razón entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro
• 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y
el área del círculo en la resolución de problemas
• 8.1.5 Resolución de problemas que impliquen el
cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo
áreas laterales y totales de prismas y pirámides
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Lección 82
Dar la vuelta
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Aproveche la diferencia de resultados (imprecisiones en la
medición) que habrá entre los estudiantes al medir el diámetro y la
circunferencia, y al hacer la división de los valores, para comentar
sobre las características de π. Es probable que los valores de la última
columna no coincidan; comente por qué. Tenga en cuenta que estarán
trabajando con aproximaciones; no intente forzar los resultados.
• Cuando encuentren el valor de π, motive al estudiante relatando
brevemente la historia y algunas características de este número: es
un número irracional, el cociente entre la longitud de la circunferencia
(perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente
en matemáticas, física e ingeniería.
Lección 83
• Conoce el número π.
• Justifica la fórmula para
calcular la longitud de la
circunferencia.
• Calcula el perímetro de un
círculo.
En la pizzería
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• En esta lección se justifica la fórmula para obtener el área de un
círculo. Trabaje con los estudiantes a partir de polígonos regulares
inscritos y circunscritos en una circunferencia. Observe cómo se
aproximan las áreas de los polígonos regulares a la del círculo
conforme aumenta su número de lados. Enfóquese en la relación
entre el radio del círculo y las apotemas de los polígonos. Use la
p×a
fórmula del área de cualquier polígono regular, A = ___
, para justificar
2
la del círculo.
• Justifica la fórmula para
calcular el área del círculo.
• Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos
lados, el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el
perímetro con la longitud; por tanto, el área es
p×a
(2×π×r)×r
L×r _______ _____
A = ___
= ___
=
= 2×π×r
2
2
2
2
2
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Eje: Manejo de la información
Tema: Proporcionalidad y funciones
7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas de
proporcionalidad directa
del tipo “valor faltante”, en
los que la razón interna
o externa es un número
fraccionario.
• Resuelve problemas
vinculados con la
proporcionalidad
directa, inversa
o múltiple, como
porcentajes, escalas,
interés simple o
compuesto.
• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto
proporcional
• 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones
de proporcionalidad directa del tipo “valor
faltante” en diversos contextos, con factores
constantes fraccionarios
• 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre
el efecto de la aplicación sucesiva de
factores constantes de proporcionalidad en
situaciones dadas
• 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando
valores enteros o fraccionarios.
• 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso
en una relación de proporcionalidad, en
particular en una reproducción a escala
• 7.5.6 Resolución de problemas de
proporcionalidad múltiple
Lección 84
La regla de tres
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• En lecciones anteriores se han visto estrategias y herramientas para
abordar problemas de proporcionalidad directa. En esta lección
se presenta una de las más comunes: la regla de tres simple. Este
método permite conocer a partir de tres datos un cuarto faltante.
Mencione a los alumnos que se basa en que, en una relación de
proporcionalidad directa, los cocientes de dos cantidades que se
corresponden son siempre iguales entre sí.
• Utiliza la regla de tres
para resolver problemas
de proporcionalidad con
fracciones y decimales.
Otros recursos: como apoyo para la exposición de este tema y para obtener más ejemplos, consulte la
página www.e-sm.com.mx/GSCM1-84
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Lección 85
Un mismo problema, varias técnicas
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Presénteles a sus alumnos diferentes situaciones de variación
proporcional y no proporcional, para que analicen en cuáles es posible
predecir lo que sucederá con otros datos. Por ejemplo, si el martes
primero de junio la temperatura es de 24°, no puede predecirse la
del día siguiente. En cambio, si 2 kg de tortilla cuestan $1.50 puede
calcularse el precio de 3 kg. En esta lección se presentan los cinco
métodos que se han visto en lecciones anteriores para resolver
problemas de proporcionalidad. Conviene que el estudiante desarrolle
su propio criterio para elegir el método que utilizará.
• Resuelve problemas de
proporcionalidad con
fracciones y decimales
mediante distintos
procedimientos.
Eje: Manejo de la información
Tema: Proporcionalidad y funciones
7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a
escala
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas
de proporcionalidad
directa del tipo “valor
faltante”, en los que
la razón interna o
externa es un número
fraccionario.
• Resuelve problemas
vinculados a la
proporcionalidad
directa, inversa
o múltiple, como
porcentajes, escalas,
interés simple o
compuesto.
• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto
proporcional
• 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de
proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
en diversos contextos, con factores constantes
fraccionarios
• 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el
efecto de la aplicación sucesiva de factores
constantes de proporcionalidad en situaciones
dadas
• 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando
valores enteros o fraccionarios
• 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en
una relación de proporcionalidad, en particular
en una reproducción a escala
• 7.5.6 Resolución de problemas de
proporcionalidad múltiple
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Lección 86
Factores de escala I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Como en esta lección se trabajará con factores de escala que
involucrarán operaciones con fracciones, haga un breve repaso de
tales números, pues generalmente al alumno se le dificultan este tipo
de operaciones.
• Es importante que se visualice el concepto de factor de escala.
Enfatice por qué cuando se aplican varios factores de escala el
resultado final es una multiplicación. El ejercicio 1, además de
desarrollar la intuición geométrica del alumno, lo ayudará a relacionar
el factor de escala con el tamaño de una figura geométrica, lo cual
aumentará su capacidad de abstracción.
Indicadores de desempeño
• Aprende el concepto de
factor de escala y lo usa
sin importar el tipo de
número que sea; identifica
de manera clara que
dependiendo del valor de
este, la figura aumentará o
disminuirá de tamaño.
• Identifica que el producto de
los factores de escala dan el
factor del resultado final.
Otros recursos: obtenga más información acerca de los factores de escala en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-86
Lección 87
Factores de escala II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• En esta lección se pretende que el alumno, mediante el razonamiento
aprendido en la anterior, infiera el valor de los lados de una figura
a partir de estos aumentados o disminuidos por un cierto factor
de escala. Estimule el razonamiento del alumno para que llegue al
concepto de factor inverso.
Indicadores de desempeño
• Comprende el significado
de un factor de escala
fraccionario, así como
aprende a manejar
el concepto de factor
recíproco.
• Interpreta los cambios que
sufre una figura de acuerdo
con el factor de escala a
través de la información
numérica.
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Lección 88
Del maíz a las tortillas
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Esta lección está dedicada al uso de proporciones, las cuales se
introducen mediante un problema. Desglose en el pizarrón los datos
con los que se cuenta, de modo que el desarrollo de las relaciones sea
inductivo. Muestre a los alumnos la regla de tres y su funcionamiento.
Escriba en el pizarrón la información con la que se cuenta:
• Comprende el significado
de un factor de
proporcionalidad y su uso
en el planteamiento de
ecuaciones simples.
(1) 5 kg de maíz→3 kg de harina
(2) 2 kg de harina→5 kg de masa
(3) 10 kg de masa→ 7 kg de tortilla
• De este modo, las reglas de tres mostradas en el ejercicio 2 serán más
comprensibles.
• Sustituye en las fórmulas
los datos que se tienen
para encontrar el valor de
las incógnitas y resolver
diversos tipos de problemas
de proporcionalidad.
Eje: Manejo de la información
Tema: Nociones de probabilidad
7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los
resultados
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Compara
cualitativamente
la probabilidad de
eventos simples.
• Calcula la
probabilidad
de eventos
complementarios,
mutuamente
excluyentes e
independientes.
• 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar
sencillos y registro de los resultados. Elección de
estrategias en función del análisis de resultados
posibles
• 7.3.7 Anticipación de resultados de una
experiencia aleatoria, su verificación al realizar
el experimento y su registro en una tabla de
frecuencias
• 7.4.6 Resolución de problemas de conteo
mediante diversos procedimientos. Búsqueda de
recursos para verificar los resultados
• 8.1.8 Comparación de dos o más eventos a partir
de sus resultados posibles, usando relaciones
como: “es más probable que…”, “es menos
probable que…”
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Lección 89
Tarjetas de felicitación
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• En este tema se introducen herramientas de conteo. El estudiante
puede calcular las distintas posibilidades de organizar determinados
conjuntos. Haga que calculen de cuántas formas podrían acomodarse
si hay el mismo número de alumnos que de bancas; de cuántas
formas, si quitamos algunas bancas y sobran estudiantes; y de
cuántas, si tuviéramos más bancas que estudiantes.
Indicadores de desempeño
• Calcula permutaciones.
• Calcula combinaciones de
conjuntos sencillos.
• Elabora diagramas de árbol.
Otros recursos:
para más información y ejemplos de permutaciones y combinaciones, puede consultar la liga
www.e-sm.com.mx/GSCM1-89
Lección 90
Futbol
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• En este tema se introducen dos nuevos métodos de conteo. Hacer
gráficas es bastante útil para facilitar el conteo de las posibilidades o
de los objetos de un conjunto, donde cada uno sea representado por
un vértice y la combinación entre estos se represente con una arista.
• Calcula permutaciones que
impliquen conjuntos de
pocos elementos.
Plantee el siguiente ejemplo, en adición a los ejercicios del libro:
• Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas palabras distintas
sepueden formar?
• Al tratarse de palabras, el orden importa.
• Además n = m, es decir, tenemos que formar palabras de cinco letras
con cinco elementos (D, I, S, C, O) que no están repetidos. Se pueden
formar 120 palabras:
• Calcula combinaciones
de conjuntos con pocos
elementos.
• Utiliza multiplicaciones y
tablas de doble entrada en
la resolución de problemas
de conteo.
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Eje: Manejo de la información
Tema: Análisis y representación de datos
7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de
otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más
adecuada
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Lee información
presentada en gráficas
de barras y circulares.
Utiliza estos tipos de
gráficas para comunicar
información.
• Lee y representa
información en diferentes
tipos de gráficas; calcula
y explica el significado del
rango y la desviación media.
• 6.1.8 Lectura de datos contenidos
en tablas y gráficas circulares, para
responder diversos cuestionamientos
• 6.2.5 Lectura de datos, explícitos o
implícitos, contenidos en diversos
portadores para responder preguntas
• 7.3.8 Lectura y comunicación de
información mediante el uso de tablas
de frecuencia absoluta y relativa
• 7.4.7 Lectura de información
representada en gráficas de barras
y circulares, provenientes de diarios
o revistas y de otras fuentes.
Comunicación de información
proveniente de estudios sencillos,
eligiendo la representación gráfica
más adecuada
Lección 91
Deportistas de México
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Usualmente se utiliza una gráfica de barras para representar datos
organizados en una tabla. Se pueden hacer comparaciones de
usuarios de diferentes servicios, tipos de medicamentos que son
administrados con mayor o menor frecuencia, número de consultas
por servicio, etcétera. Recuerde a los estudiantes que estas gráficas
se utilizan cuando la información corresponde a una serie de sucesos
(escala nominal) para comparar dos o más grupos entre sí (se sugiere
que no más de seis).
• Lee e interpreta gráficas de
barras.
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Lección 92
México en el año 2000
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Las gráficas circulares, denominadas también de pastel, se utilizan
para mostrar porcentajes y proporciones. Los elementos comparados
en un gráfico circular no deben ser más de cinco, ordenando los
segmentos de mayor a menor, iniciando con el más amplio a partir de
las 12:00, como en un reloj.
Algunas características de la gráfica circular son las siguientes.
• El empleo de tonalidades o colores, al igual que en la gráfica de
barras, facilita la diferenciación de los porcentajes o proporciones.
• El número máximo de elementos a graficar no debe ser mayor a
cinco.
• Si se hacen las gráficas manualmente, una buena manera de
distinguir las porciones es con el sombreado, donde el tono oscuro
se le asignara a la porción más grande y el más claro, a la de menor
tamaño.
Lección 93
• Lee, interpreta y construye
gráficas circulares.
Información diversa
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Enfatice que algunos tipos de gráfica son más adecuados para ciertos
resultados, y que una diferencia entre una gráfica de barras y una
circular es que en la segunda se representa el total de la muestra
estudiada, mientras que en la primera no siempre es así.
• Lee e interpreta gráficas de
barras.
• Los pasos para crear una gráfica de barras son los siguientes.
• Dibuje los ejes vertical (y) y horizontal (x).
• En el eje vertical se crea una escala que mida las frecuencias de
la variable (por ejemplo, número de medicamentos, de usuarios,
etcétera.).
• En el eje horizontal se pone la escala nominal, que se refiere a las
diferentes características o cualidades de la variable (por ejemplo,
sexo femenino, tipos de medicamento, etcétera).
• Se dibuja un rectángulo para cada característica o cualidad de la
variable. La altura de la barra representará la frecuencia en la que la
característica fue observada.
• Lee e interpreta gráficas
circulares.
• Construye gráficas de
barras.
• Construye gráficas
circulares.
• Establece qué tipo de
gráfica es conveniente para
representar determinada
información.
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Bloque 5
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Problemas aditivos
7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas
aditivos que implican el
uso de números enteros,
fraccionarios o decimales
positivos y negativos.
• Resuelve problemas aditivos
que implican efectuar
cálculos con expresiones
algebraicas.
• 7.1.3 Resolución y planteamiento de
problemas que impliquen más de
una operación de suma y resta de
fracciones
• 7.2.3 Resolución de problemas aditivos
en los que se combinan números
fraccionarios y decimales en distintos
contextos, empleando los algoritmos
convencionales
• 7.4.1 Planteamiento y resolución de
problemas que impliquen la utilización
de números enteros, fraccionarios o
decimales positivos y negativos
• 7.5.1 Resolución de problemas que
implican el uso de sumas y restas de
números enteros
Lección 94
Suma de números con signo I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• La suma de dos números enteros de distinto signo da otro número
entero, cuyo valor absoluto es igual a la diferencia entre los valores
absolutos de los sumandos y cuyo signo es el del sumando de mayor
valor absoluto. Como caso particular, se presenta la suma de dos
números enteros opuestos, cuyo resultado es igual a 0.
• Sumar un número entero positivo significa desplazarse hacia la
derecha en la recta numérica, y sumar uno negativo, desplazarse
hacia la izquierda.
Indicadores de desempeño
• Resuelve sumas de números
con signo.
Otros recursos: como apoyo al tema de los números con signo, le sugerimos consultar el libro del
maestro publicado por la Secretaría de Educación Pública sobre didáctica de las matemáticas en
www.e-sm.com.mx/GSCM1-94
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Lección 95
Suma de números con signo II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Recuerde al estudiante la noción de valor absoluto. Los números +3 y
–3 se encuentran a la misma distancia de 0. Ocurre así porque están
formados por el mismo número natural, 3, aunque con distinto signo.
Al 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se representa así:
|+3| = |−3 | = 3. El valor absoluto de un número entero es una
distancia y, como todas las distancias, es siempre positivo.
Destaque lo siguiente.
• Cuando los números enteros tienen el mismo signo se suman, y el
resultado queda con el signo de los sumandos.
Indicadores de desempeño
• Determina el valor absoluto
de un número entero.
• Calcula el número opuesto
de un entero.
• Resuelve sumas de números
con signo.
• Cuando los números tienen distinto signo se resta el menor al mayor
(ambos en valor absoluto), y el resultado lleva el signo del mayor
(también en valor absoluto).
Lección 96
Resta de números con signo
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• El estudiante está acostumbrado a que a un número mayor se le
puede restar un número menor. En esta lección verá que es posible
hacerlo aun cuando el sustraendo sea mayor que el minuendo; es
decir, que una resta se puede hacer con cualquier par de números con
signo. Retome lo visto en el bloque 4 al respecto. El estudiante debe
observar que restar números con signo es equivalente a sumar a un
número el opuesto de otro, por ejemplo: 5 − 3 = 5 + (−3).
Indicadores de desempeño
• Resta números con signo.
• Representa una adición o
una sustracción
• Restar un número positivo significa desplazarse hacia la izquierda en
la recta numérica; restar un número negativo significa hacerlo hacia
la derecha.
Otros recursos: para encontrar ejercicios interactivos sobre suma de números con signo visite la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-96
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Lección 97
Juegos con números
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Un cuadrado semimágico es un arreglo de números dispuestos en
un cuadrado de m casillas de lado, de forma que la suma de los
números sea siempre el mismo en cada fila y columna del cuadrado.
Un cuadrado mágico es uno semimágico donde la suma de los
números en las dos diagonales principales es igual a la suma de los
números de cualquier hilera. En esta lección se presenta un ejemplo
de resolución de problemas por medio de la suma y resta de números
con signo mediante la construcción de cuadrados mágicos.
• Resuelve problemas que
implican suma y resta de
números con signo.
• Resuelve y elabora
cuadrados mágicos.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Problemas multiplicativos
7.5.2 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy
pequeñas
Contenidos
Aprendizaje esperado
• 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar
cálculos en los que intervienen cantidades muy
grandes o muy pequeñas
• Resuelve
problemas que
implican el uso de
las leyes de los
exponentes y de la
notación científica.
• 7.5.3 Resolución de problemas que impliquen el
cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos)
y la potencia de exponente natural de números
naturales y decimales
• 8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias
enteras positivas de la misma base y potencias
de una potencia. Significado de elevar un número
natural a una potencia de exponente negativo
• Resuelve
problemas que
impliquen el
cálculo de la
raíz cuadrada
y potencias de
números naturales
y decimales.
Estándar
• Resuelve problemas
multiplicativos
con expresiones
algebraicas a
excepción de la
división entre
polinomios.
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Lección 98
Cantidades astronómicas o microscópicas
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• En ocasiones, al trabajar con cantidades pequeñas o grandes hay
errores, sobre todo cuando se tienen que comparar u operar. Procure
que la resolución de las actividades no se haga de manera mecánica
y se analicen los procedimientos para escribir las cantidades que se
presentan en su notación científica, y se determine por qué se aplican
las potencias de 10 como factor para “simplificar” la escritura del
número. Pida a los alumnos que comparen sus resultados para que
socialicen y corrijan sus errores.
• Resuelve problemas que
implican el uso de las leyes
de los exponentes y de la
notación científica.
Lección 99
Distancias y masas
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
3
12
• El trabajo con la notación científica adquiere sentido cuando se
comparan u operan cantidades pequeñas o grandes. En ocasiones,
los estudiantes ven el empleo de esta notación como algo arbitrario
y engorroso, pues no comprenden su uso. Fomente el análisis de
algoritmos para operar con números muy grandes y muy pequeños.
Los estudiantes deben entender la importancia de la escritura
científica para facilitar no solo la notación, sino la operación y la
comparación de cantidades con estas características, a fin de que le
den sentido a lo que hagan.
• Resuelve problemas que
implican el uso de las leyes
de los exponentes y de la
notación científica.
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Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Problemas multiplicativos
7.5.3 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de
exponente natural de números naturales y decimales
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve
problemas que
impliquen el
cálculo de la
raíz cuadrada
y potencias de
números naturales
y decimales
• Resuelve problemas
multiplicativos
con expresiones
algebraicas a
excepción de la
división entre
polinomios.
• 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar
cálculos en los que intervienen cantidades muy
grandes o muy pequeñas
• 7.5.3 Resolución de problemas que impliquen el
cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos)
y la potencia de exponente natural de números
naturales y decimales
• 8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias
enteras positivas de la misma base y potencias
de una potencia. Significado de elevar un número
natural a una potencia de exponente negativo
Lección 100
La medida de un lado
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• La operación de elevar al cuadrado un número t nos proporciona el
área de un cuadrado cuyo lado mide t. Por esta razón, a tal operación
se le conoce, precisamente, como elevar al cuadrado, y se representa
por t2. Mencione que un número elevado al cuadrado siempre es
positivo, y que la raíz cuadrada de un número x es aquel número
no negativo (positivo o 0) que, multiplicado por sí mismo, da como
resultado x; es decir, que la raíz cuadrada es la operación inversa de
elevar al cuadrado.
Indicadores de desempeño
• Resuelve problemas que
implican cálculo de la raíz
cuadrada.
• Resuelve problemas que
implican elevar al cuadrado.
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Lección 101
Raíces cuadradas
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• El crecimiento exponencial se produce en forma continua. Ejemplos de
él son: una cuenta corriente que genera intereses sobre intereses, una
bola de nieve que adquiere masa conforme rueda, una población que
crece 3.0% cada año, etcétera.
• La multiplicación es un potente factor de crecimiento numérico, al
menos cuando se trata de números cuyo valor es mayor a 1. Para
ilustrar este hecho, enfrente a los alumnos a situaciones donde se
vean no solo los números que se generan en el proceso, sino su
magnitud relativa.
Lección 102
Indicadores de desempeño
• Resuelve problemas
vinculados a la potenciación.
• Resuelve problemas
vinculados a la radicación.
Crecimiento exponencial
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Los fenómenos de crecimiento proporcionan un contexto muy
adecuado para el trabajo con números grandes, potencias o notación
científica. Además de dominar las destrezas requeridas para resolver
estos problemas, es imprescindible dar sentido a las cantidades que
aparecen en ellos pues, de lo contrario, difícilmente se apreciarán los
resultados y se valorarán sus consecuencias.
• Resuelve problemas
vinculados a la potenciación.
• Resuelve problemas
vinculados a la radicación.
Otros recursos: como apoyo para la enseñanza de las matemáticas, lea Cole, K. C. (1999). El universo y la
taza de té. Las matemáticas de la verdad y la belleza. Barcelona: Ediciones B.
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Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética
Contenidos
Aprendizaje esperado
• 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o
de figuras a partir de una regla dada en lenguaje
común. Formulación en lenguaje común de
expresiones generales que definen las reglas de
sucesiones con progresión aritmética o geométrica,
de números y de figuras
• 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje
algebraico) de una sucesión con progresión
aritmética
• 8.4.1 Construcción de sucesiones de números
enteros a partir de las reglas algebraicas que las
definen. Obtención de la regla general (en lenguaje
algebraico) de una sucesión con progresión
aritmética de números enteros
• Representa
sucesiones de
números enteros a
partir de una regla
dada y viceversa.
• Utiliza en
casos sencillos
expresiones
generales
cuadráticas para
definir el enésimo
término de una
sucesión.
Estándar
• Resuelve problemas
que implican
expresar y utilizar la
regla general lineal
o cuadrática de una
sucesión.
• 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática
para definir el enésimo término de una sucesión
Lección 103
Símbolos en lugar de palabras
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Revise previamente lo trabajado en el bloque 1, lección 13 y 14, y
aprovéchelo para pasar de la expresión de la regla general de una
sucesión con progresión aritmética en lenguaje común a la formulada
en el algebraico.
• Recuerde que hay una sucesión aritmética cuando la diferencia entre
un término y el siguiente es constante. Deténgase en las actividades
de la cápsula “Reflexionemos”, pues servirán para analizar en conjunto
los patrones y encontrar una regularidad, sobre todo en los primeros
ejercicios. Fomente que los estudiantes compartan sus estrategias
para hallar la representación del término n.
Indicadores de desempeño
• Representa sucesiones de
una progresión aritmética
con números enteros a
partir de una regla dada
y viceversa.
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Lección 104
Construyendo sucesiones
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• Esta lección se centra en la obtención y expresión algebraica de la
regla general de una sucesión con progresión aritmética. Fomente
que los estudiantes compartan sus estrategias para encontrar
la representación del término n, lo cual ayudará a expresar
algebraicamente el patrón de una sucesión. Destaque quen representa
el lugar que ocupa cualquier término. Ponga especial atención en el
llenado de la tabla, en particular en las últimas dos filas.
• Representa sucesiones de
una progresión aritmética
con números enteros a
partir de una regla dada y
viceversa.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Medida
7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas que
impliquen calcular el área
y el perímetro del círculo.
• Calcula cualquiera de las
variables que intervienen en
las fórmulas de perímetro,
área y volumen.
• 6.4.5 Cálculo de la longitud de una
circunferencia mediante diversos
procedimientos
• 7.4.3 Justificación de la fórmula
para calcular la longitud de la
circunferencia y el área del círculo
(gráfica y algebraicamente).
Explicitación del número π (pi)
como la razón entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro
• 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular
el perímetro y el área del círculo en la
resolución de problemas
• 8.1.5 Resolución de problemas que
impliquen el cálculo de áreas de
figuras compuestas, incluyendo áreas
laterales y totales de prismas
y pirámides
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Lección 105
Circulando
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Es importante que identifique las actividades que consisten en la
resolución de problemas. Tenga presente que, a partir de los datos, se
desea obtener una información que no es su consecuencia inmediata.
Estos datos pueden ser proporcionados por medio de enunciados,
documentos, situaciones o experiencias, o de la construcción de
algún objeto (en este caso, el círculo). Estas actividades deben llevar al
estudiante a efectuar descubrimientos propios y no solo a aquello que
queremos que aprenda. Estimule en él un espíritu de búsqueda que
lo ayude a desarrollar la intuición matemática. Esta lección se puede
aprovechar muy bien para ello.
Indicadores de desempeño
• Resuelve problemas que
implican calcular el área de
un círculo.
• Resuelve problemas
que implican calcular el
perímetro de un círculo.
Otros recursos: para verificar las fórmulas de perímetro y área del círculo así como su justificación,
recomiende a sus estudiantes la página www.e-sm.com.mx/GSCM1-105
Lección 106
De vuelta en la pizzería
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Mencione a sus estudiantes que cuando un conjunto de puntos tiene
una propiedad común se denomina lugar geométrico.
• El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro, que
se denomina centro, es una circunferencia.
• El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la
circunferencia es el radio de la misma.
Indicadores de desempeño
• Resuelve problemas que
implican calcular el área de
un círculo.
• Resuelve problemas
que implican calcular el
perímetro de un círculo.
Otros recursos: encuentre más propiedades interesantes del círculo en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-106
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Lección 107
Más sobre círculos y circunferencias
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• El propósito de la lección es que el estudiante use las fórmulas para
calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.
Sin embargo, en todos los que se presentan se hay uno o varios círculos
combinados con otras figuras o divididos para componer otras. Primero,
hay que identificar los elementos de cada figura para determinar cómo
responder lo que se pide. Fomente un intercambio de los procesos que
sigan los estudiantes y especifique que, aunque hay unos más directos
que otros, se puede llegar al resultado por varios caminos.
• Si se presentan dificultades para obtener el resultado del área de la figura
3D, auxíliese de construcciones alternas, como la siguiente:
• Resuelve problemas que
implican calcular el área
de un círculo.
• Resuelve problemas
que implican calcular el
perímetro de un círculo.
Eje: Manejo de la información
Tema: Proporcionalidad y funciones
7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple
Contenidos
Aprendizaje esperado
Estándar
• Resuelve problemas
de proporcionalidad
directa del tipo
“valor faltante”, en
los que la razón
interna o externa
es un número
fraccionario.
• Resuelve
problemas
vinculados a la
proporcionalidad
directa,
inversa o
múltiple, como
porcentajes,
escalas, interés
simple o
compuesto.
• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional
• 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de
proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en
diversos contextos, con factores constantes fraccionarios
• 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto
de la aplicación sucesiva de factores constantes de
proporcionalidad en situaciones dadas
• 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores
enteros o fraccionarios
• 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una
relación de proporcionalidad, en particular en una
reproducción a escala
• 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad
múltiple
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Lección 108
Depende de varias magnitudes I
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Indicadores de desempeño
• El objetivo de esta lección es que el alumno se familiarice con el uso
de la regla de tres y que, mediante los ejemplos, visualice este cálculo.
Pida a los estudiantes que desglosen en sus cuadernos la manera en
que obtuvieron las respuestas del ejercicio 4, por ejemplo:
• Practica el uso de la regla
de tres siendo capaz de
distinguir cuando un objeto
es proporcional a dos
magnitudes, cuando una de
ellas es constante.
• ocho estudiantes → 4 000 l de agua → diez días.
• Así visualizará de manera clara el uso de la regla de tres.
Lección 109
• Deduce fórmulas que
lo lleven a encontrar
resultados deseados.
Depende de varias magnitudes II
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
• Como en esta lección se presentan situaciones de proporcionalidad
múltiple o compuesta, haga notar que no necesariamente se utiliza
la regla de tres. Para el cálculo de magnitudes, es mejor identificar la
taza constante de crecimiento, por ejemplo, en el ejercicio 1:
• tres costureras → 30 uniformes → siete días.
• Fomente el uso de tablas para representar y reflexionar de manera
conjunta sobre la información que se tiene y mostrar cómo se
encontró, en este caso, la taza constante de crecimiento.
• Para resolver los ejercicios 3 y 5, solicite a los estudiantes que dibujen
las figuras de los problemas con el fin de visualizar los factores de
proporcionalidad.
Indicadores de desempeño
• Distingue y resuelve
problemas de
proporcionalidad múltiple o
compuesta.
• Calcula la taza constante de
crecimiento en un problema
de proporcionalidad
compuesta.
Otros recursos: encuentre más ejercicios sobre proporcionalidad compuesta en la página
www.e-sm.com.mx/GSCM1-109
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228-229), Ana Laura Barriendos (páginas 76-77)
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Matemáticas 1. Secundaria. [email protected] Estrategias
Primera edición, 2012
Segunda reimpresión, 2013
D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2012
Magdalena 211, Colonia del Valle,
03100, México, D. F.
Tel.: (55) 1087 8400
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ISBN 978-607-24-0331-4
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de la Industria Editorial Mexicana
Registro número 2830
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de este libro ni su tratamiento informático,
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Prohibida su reproducción total o parcial.
Impreso en México/Printed in Mexico
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Presentación
¿Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica más
conveniente, decidir si un juego de dados es equitativo
e interpretar los datos de una gráfica en una noticia del periódico, son algunos
de los muchos casos en que hacemos matemáticas.
También hacemos matemáticas cuando contestamos preguntas propias de estas;
por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5?
¿Las medidas de los lados de un triángulo pueden ser tres números cualesquiera?
¿La suma de dos números impares consecutivos siempre es múltiplo de cuatro? ¿Cómo
se calcula el área de una elipse?…
Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina para resolver ciertos problemas, y también es crear
nuevos conocimientos, cuando los que se tienen son insuficientes.
Hacer matemáticas es, asimismo, una manera divertida de aprenderlas. Por ello, en este libro te proponemos
numerosas cuestiones que pueden resolverse con su ayuda. Nos interesa que aprendas matemáticas y las veas como
una herramienta para pensar.
Presentación para el alumno
Cuando afrontas problemas nuevos debes sentirte con la libertad de poner en práctica
lo que se te ocurra para resolverlos; por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados
o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer
cómo proceden tus compañeros y con la ayuda del profesor,
irá mejorando la manera en que los resuelves: será cada vez más ordenada, sistemática
y comprobable. Es decir, harás mejores matemáticas.
Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos
y en grupo.
• Al afrontar una nueva tarea es bueno que reflexiones; después, es importante
que compartas ideas y dudas con los otros. Trabajar en parejas o en equipos puede serte muy útil para avanzar.
• Explicar al grupo tus acciones o las de tu equipo, conocer lo que hicieron otros equipos, decidir juntos si los
resultados son correctos y atender los aportes del profesor te ayudará mucho a aprender.
• Después, es importante que, en algún momento, veas si puedes hacer tú solo la tarea.
A lo largo del libro se sugiere el trabajo en grupo, en equipo o en parejas. Sin embargo, es el profesor quien
indicará el tipo de organización más adecuada para cada momento.
Esperamos, igual que todos los autores que escriben para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a
aprender, te anime a exclamar: “¡Esto sí me gusta!”.
Los autores
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Guía de uso
BL OQ UE
[email protected] Estrategias está estructurado en cinco bloques que tienen
los siguientes elementos.
ho mayor
Un peligro muc
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de lo que pare
1
do en el
e iceberg flotan
Obser va el enorm de la parte sumergida
en
océano… El volum el de la parte visible.
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Los icebergs se
ente por el
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cada vez más
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posible relació
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dulce, y la mayo
más de dos tercer
; solo 3% es agua
El agua cubre
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mayoría es salada s partes de toda el agua dulce
(72%), pero la
(cuatro quinta
es de agua dulce
polos
los
en
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parte está
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ciones en el clima.
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especies marin
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1. Mide la altura de
en forma de
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a el resultado
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parforma decimal.
salada? ¿Qué
fracción y en
tas son de agua
de agua, ¿cuán
partes
cien
cada
2. De
los polos?
está fuera de
más grande del
te de agua dulce
En 1912 el barco
chocar
ia del Titanic?
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2 200 person
3. ¿Conoces la histor
seguro,
ó con más de
un barco muy
mundo se hundi
ban que era
de los pasag. Como pensa
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jeros. Desgraciada
,¿cuántas person
en…
Aproximadamente
en el planeta
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sobre la distrib
Investiga más
x/SCM1-017
www.e-sm.com.m
Entrada de bloque
Se presenta un contexto histórico
o una situación cercana a la vida
de los estudiantes y se numeran
los aprendizajes esperados
que se lograrán en el bloque.
Aprendizajes
esperados
Los números
es enteras.
de cantidad son imprescindibles en
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y efectuar cálcu
para usarlos
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rica.
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decimales en
números o
sucesiones de
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y
Repre
✓
de una regla dada
de figuras a partir
17
viceversa.
16
Los contenidos se desarrollan en
secuencias didácticas de varias
lecciones. Cada secuencia cuenta con…
Competencias
Se dan ejemplos de las
competencias matemáticas
que se desarrollan con las
actividades.
IDO
Nombre de la lección
ción 30
cia 1 / lec
imos
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es y nú
Divisor
2
rios de
los crite 2, 3 y 5.
e
Formula
lidad entr
divisibi entre números
e
stos.
Distingu
y compue
primos
CONTEN
Se indica el
contenido que
se trabaja en la
secuencia.
Las secuencias se numeran por bloque. La numeración
de las lecciones es continua en todo el libro.
Secuen
BL OQ UE
Contenido
Número de bloque, de secuencia y de lección
resolver
mas,
s proble
er alguno de dividirse
a resolv
pue
es útil par si un número
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divide
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en el otr
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1.
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b) Encuen una multiplica
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de mosaico den exactamente
Los divisoreresiduo, 0.
des
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el
lo divi
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sto que 6 con residuo 0
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=
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60 ÷ 10
En el pro
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Número
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Divisor
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Número
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19
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21
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un núm icaciones
tipl
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como
arrojan
que lo
o.
ltad
resu
6
Introducción a la secuencia
En la primera lección de cada
secuencia se destaca algún
aspecto sobresaliente del
conocimiento
que estudiarás.
Puestas en común
Se destaca el trabajo
de dos competencias
(comunicar y validar)
en estos momentos.
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7
84
4
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Guía de uso
En las secuencias se intercalan cápsulas que fomentan la reflexión
y el análisis, plantean retos y fortalecen las habilidades.
Ya sabemos…
des
2
Esa recta
segmento FL.
la mediatriz del
d anterior trazaste Marca otros tres puntos.
o.
2. En la activida
que habías marcad
cinco puntos
distancia de
están a la misma
a) ¿Estos puntos
A
F y de L?
/ lección 43
ncia I
A la misma dista
s
Resuelve problema
n
que implique
geométricos
propiedades
el uso de las
de un
de la mediatriz
bisectriz de
segmento y la
un ángulo.
y habilida
conocimientos
Recordatorio
de conceptos
o técnicas que
los alumnos
ya conocen.
Secuencia 5
BLOQ UE
resolver
de AB.
es la mediatriz
c) La recta azul
la recta.
puntos sobre
os del
» Marca cinco
ia a los extrem
» Mide su distanc
o están a la misma
z de un segment
grupo,
Comenta, en el
3. Lee el siguien
tus respuestas
te procedimiento
des 1 y 2.
de las activida
Cuando es necesario,
los conceptos, las
técnicas o las fórmulas
de la lección aparecen
resaltados.
d) ¿Cuánto miden
los ángulos que
esos
e) Por formar
que
en el otro extremo
c) Apoya el compás
que
y traza dos arcos
del segmento
es.
corten los anterior
LP =
tos. FP =
c) Mide los segmen
al
Como divide
en dos
segmento FL
P es su
partes iguales,
punto medio.
to FL y la recta
forman el segmen
son entre
ángulos, ¿cómo
de
por el punto medio
La recta que pasa
segmento.
mediatriz del
sí el segmento
un segmento y
iento
Este procedim
para tratambién es útil
icas.
zar figuras geométr
para
¿Cómo lo usarías con
trazar un triánguloy uno
dos lados iguales uno
para
diferente? ¿Y
iguales?
con tres lados
rectifícalos.
to FL. La recta
Este es el segmen
puntos negros.
Llámale P.
to que une los
to FL en un punto.
b) Traza el segmen
a) corta al segmen
trazaste en el inciso
Ya sabemos…
técnicas
un segmento.
mediatriz de
del
en un extremo
y abajo.
b) Apoya el compás
un arco arriba
segmento y traza
para trazar la
mayor
a una medida
a) Abre tu compás
segmento.
que la mitad del
Conceptos
distancia
mediatri
pertenecen a la
Los puntos que
s de este.
de los extremo
m
Si no puedes trazarla,
Sugerencias
de actividades
relacionadas con el uso
de las TIC.
B
segmento.
sean iguales.
estas distancias
» Verifica que
F
cinco puntos.
Conectamos
x/
www.e-sm.com.m
SCM1-111
respues
b) Verifica tu
L
que pase por los
se traza
Practica cómo
un segla mediatriz de
mento en…
ta.
s. ¿Cómo
ia de dos pueblo
misma distanc
n de tren a la
r
ir una estació
podrás resolve
Se decidió constru
de un ángulo
lugar?
y la bisectriz
localizarías ese
un segmento
mediatriz de
Al estudiar la
este.
problemas como
un
Se construirá
y de Luisa (L).
(F)
o
ones.
de Fernand
posibles ubicaci
ntan las casas
es una de sus
negros represe
El punto azul
1. Los puntos
ambas.
irse.
de
ia
distanc
podría constru
pozo a la misma
que también
puntos en los
Marca otros cinco
a) Traza una recta
pasa por los
d) Une los puntos
mediatriz.
que trazaste?
de corte. Esa recta
Reflexionamos
es la
y la recta?
es perpendicular
segmen
cuaderno cuatro
4. Traza en tu
ices.
marca sus mediatr
a él se llama
tos diferentes
y, con el proced
,
imiento descrito
111
110
3
conocimientos y habilidades
BLOQUE
Secuencia 5 / lección 66
Polígonos y doblado de papel
Construye polígonos
regulares a partir de
distintas informaciones
(medida de un lado, del
ángulo interno, ángulo
central). Analiza la relación
entre los elementos de la
circunferencia y el polígono
inscrito en ella.
3. Traza, en tu cuaderno, cinco
circunferencias de 5 cm de radio
y úsalas para trazar, respectivamente, un cuadrado, un
pentágono regular, un hexágono
regular, un octágono
regular y un nonágono regular
(nueve lados).
Con frecuencia se usan polígonos
regulares para construir mosaicos,
azulejos, vitrales, e
incluso fuentes, kioscos y edificios.
Dan armonía y belleza al lugar
donde se encuentran.
En esta secuencia aprenderás
a trazarlos y conocerás algunas
de sus propiedades.
Los vértices de los polígonos trazados
quedaron sobre una circunferencia.
Esta es la
circunferencia circunscrita al polígono
regular.
1. Sigue el procedimiento para
construir un hexágono. Necesitarás
cuatro círculos de papel
de 6 cm de radio. Pueden ser de
colores.
Dobla el círculo a la mitad.
En contexto
Dobla en tres partes iguales
para obtener esta figura.
técnicas
Convivimos
45º
También quedaron marcados los ángulos
centrales del
polígono regular. El vértice de estos
ángulos es el centro
de la circunferencia circunscrita y
sus lados van de dicho
centro a dos vértices consecutivos
del polígono.
Desdobla: el círculo ha quedado dividido en seis partes
iguales.
Este edificio, llamado
“El Pentágono”, es la
sede del Departamento
de Defensa de Estados
Unidos de América.
En contexto
4. En cada polígono que trazaste…
a) verifica que todos sus lados midan
b) marca un ángulo central y anota
Traza líneas con tu regla
para formar el hexágono.
Se relaciona un
contenido que estés
estudiando con un
contexto de otra
asignatura o de
la vida cotidiana.
lo mismo.
su medida.
5. Traza una circunferencia circunscrita
Dobla por las líneas.
Voltea la figura: tienes un
hexágono regular. Pégalo
en tu cuaderno.
al triángulo equilátero y otra al
cuadrado.
Convivimos
Cuando no hayas
entendido algo no
dudes en preguntar
a otros. Comenta a
tu profesor o a tus
compañeros aquello
que te está costando
trabajo. Esto te
permitirá avanzar
con más confianza
en el estudio de las
matemáticas. Y, si tú
has comprendido
algo, compártelo con
aquellos a quienes se
les dificulte.
a) Con los otros círculos forma un
cuadrado, un octágono regular y
un triángulo equilátero, y pégalos en tu cuaderno.
2. Responde.
a) ¿En cuántas partes quedó dividido
el círculo?
b) ¿Cuánto mide cada ángulo marcado?
c) Traza los segmentos que faltan
para
Una pista
formar un polígono regular.
d) ¿Qué polígono obtuviste?
6. Traza un hexágono regular
en la circunferencia circunscrita
al triángulo y un octágono
regular en la del cuadrado.
164
Recuerda lo que estudiaste de la mediatriz
de un segmento.
165
Evaluación
Evaluaciones tipo
ENLACE
(TIPO ENLACE)
BLOQU E 1
Selecciona la opción
n
Evaluació
correcta.
es falsa?
1. ¿Cuál igualdad
25
d) _ = 0.025
1
1000
c) _ = 0.125
1
8
4
b) _ = 0.5
a) _ = 1.3
5
manera
3
de milla. ¿De qué otra
a recorrer es de 5/8
caballos, la distancia
2. En una carrera de
esta distancia?
se puede expresar
millas
5.8
d)
c) 0.85 millas
b) 0.625 millas
a) 0.58 millas
Con estas evaluaciones
podrás evaluar tus
conocimientos.
Reactivos de opción
múltiple para repasar y
consolidar lo que sabes
hacer.
3. ¿Qué número señala
la flecha?
4. ¿Qué regla genera
–12
b) La serie inicia en
cada número.
y se va sumando 3 a
n
m
permite
5. ¿Qué expresión
a) 2m × 2n
3
d) 1 _
4
1
c) 1 _
3
–2, 3, 8, 13, 18…?
la sucesión –12, –7,
–12
a) La serie inicia en
cada número.
y se va restando 5 a
–12
c) La serie inicia en
cada número.
y se va sumando 5 a
–12
d) La serie inicia en
cada número.
y se va restando 3 a
calcular el perímetro
con las siguientes
del rectángulo?
c) m + n
b) 2m + 2n
obtiene
6. ¿Qué figura se
d) m × n
instrucciones?
extremos A y B.
de 8 cm y llamar sus
i) Trazar un segmento
de metal en un extremo
3 cm, colocar la punta
ii) Abrir el compás
ncia.
una circunferencia.
y trazar otra circunfere
del segmento y trazar
de metal en el otro
6 cm, colocar la punta
C y D.
iii) Abrir el compás
circunferencias y llamarlos
donde se cruzan las
iv) Marcar los puntos
y DA .
BD
CB,
s de recta AC,
v) Trazar los segmento
lados miden 14 cm.
b) Un rectángulo cuyos
c) Un triángulo cuyos
78
lados miden 3 y 6 cm.
lados miden 8, 3 y 6
d) Un cuadrilátero, dos
los: ¿la
Rascacie
cm.
de cuyos lados miden
3 cm y los otros, 6 cm.
Pongo
s de tres
nos dato
altos del
2
412 500 m
395 000 m
452 m
410 m
mundo.
m
nas
Torres Petro ur)
(Kwala Lump
i
Torre Taipe
(Taipei)
Torre Willis
(Chicago)
442.3
Willis?
508 m
hasta la del
-13.1 m
Taipei? ¿Y
448 m
0
del edificio
último piso
-31.5 m
as torres.
la altura del
nto de amb Willis
sótano hasta
de al conju
del último
s?
la torre
dada correspon veces es más alta
desde la base de cada rascacielola torre Willis.
total
hay
rficie
ncia
ntas
ia de los pisos
Taipei y de en cuenta que la supe Mide 230 m. ¿Cuá
1. ¿Qué dista
co.
Pregunta ¿Cuál es la altura med un piso del edificio
ad de Méxi
Petronas. Ten
de
2.
Pregunta Calcula la superficie un piso de las torres la Reforma en la Ciud
de
3.
NCIAS
Pregunta Calcula la superficie entra en el Paseo de
COMPETE oma
4.
ra autón
Pregunta La Torre Mayor se encu
s de mane matemática
4.
problema
Resolver nicar información
Pregunta que la Torre Mayor?
Comu
ros
la niña.
s partes –dijo
dos cuarta el Sombrerero Loco.
mismo que
tarta es lo
—la felicitó
el pelo? Mediafracciones equivalentes
o el
tomando
las
tarta —dij
—¿Me estás acabas de descubrir .
50% de la
comerte el
la Liebre
—Muy bien,
prefieres
én es lo
_1 = _1 —añadió
glotona y
la tarta tambi
—Claro: 2 4lo mejor eres una
El 50% de
nque a
Alicia—.
testó
—Au
.
tiempo
el pelo! —pro
las orejas.
ca que el Somb
Sombrerero
iendo con
a todas horas. e de números y poco sta bajo
de tomarme
ojos.
—Eso signifiCharlie—.
lo toman
está bien .
bosqu
Marzo, aplaudel Lirón sin abrir los
dispue
pues
del
de
—¡Ya
o,
entó
nal
mesa
—contestó
una
la Liebre
—com
de extrañ
la mitad
la diago
do el té en
tiene nada ron avanzando por
mismo que tan lista! —exclamó la mitad? —preguntóo que tomar la mitad
en
Lo cual no
Marzo toman
que
te, siguie
muy juntos
—¡Qué niña 50% es lo mismo cincuenta, es lo mism
la Liebre de
agrupado
licó el Somel
Y, efectivamen al Sombrerero y a profundamente.
se habían
gritar:
cien
—¿Por qué de cien partes tomas
la tarta! —rep
después vieron ellos, el Lirón dormí rgo los tres comensalesrerero empezaron a
si
que partir uno que partirla en
—Porque Alicia.
Entre
la que tiene
e, y sin emba la Liebre y el Somb
un árbol.
amplia
no eres tú en dos trozos y darte
muy grand
rápidamente
a en una
nota que
o partirla
matemáticas.
La mesa era Al ver acercarse a Alicia,
se sentab
¡Cómo se
áticamente,
. Malditas
es lo mism
a.
la vez que
—Ah, ¿sí?
a
enigm
que
(2000)
esquin
ada,
C.
ndo
sitio!
i,
Números.
¿Crees
una
Frabett
País de los
sitio! ¡No hay
la niña, indign
la seguía sonrie
brerero—.
nta?
Alicia en el
de
—¡No hay de sobra —replicó mesa. Charlie, que
y darte cincue
la
ntó la Liebre
de
sitio
trozos
ra
y
pregu
—Ha
cabece
s partes? —le
había a la
butaca que lado.
na o dos cuarta
ientes
su
de manza uiosa sonrisa.
Ingred
tarta
se sentó a
res, media
harina
1
una obseq
1 _2 taza de
—¿Qué prefie mientras le ofrecía
qué?
Loco? ¿Por en a Alicia?
2 huevos
Marzo a Alicia,
manzanas
Sombrerero
limón 2
le ofrec
1 yogur de
pregunta del ión de tarta que que se estaban comiendo
_1 taza de
a la última
en.
4
la fracc
_1 taza de leche
zana
responderíasas aparece expresada rar la tarta de man que muestra la imag
2
mermelada
_3 taza de aceite
unta 1. ¿Qué
form
de prepa
son los
cia en el
nto: Ali
es de cue
Fraccion
y sus
rerero Loco
amigos están
tomando
país de
el té de las
los núme
cinco
diez?
tas
Preg
ha encargado
seis personas
nas? ¿Y para
a la
2. ¿De cuán
Pregunta El Sombrerero Loco se Los ingredientes para te para cuatro perso durmió, y al llegar de
3.
se
.
dad
Pregunta en el té de las cinco sita de cada ingredien ingredientes pero
ar? ¿Qué canti
prar los
dad nece
s podrá invit
a) ¿Qué canti el encargado de com¿A cuántos comensale
era
b) El Lirón quedaba un huevo. a?
solo
ahor
a
tiend
sitará
diente nece
cada ingre
80
Sugerencias para la
resolución de algún
problema o ejercicio
con cierto grado de
dificultad.
s
3
418 064 m
442.3 m
2
2
Una pista
NCIAS
COMPETE oma
ra autón
s de mane ntemente
eficie
problema
Resolver Manejar técnicas
108
5
5
Sugerencias que
apoyan el desarrollo
de las competencias
actitudinales y los
valores.
petencia
mis com
Torre Willis
(Chicago)
1970-1973
88
101
ráneos
Niveles subter
Superficie
antena
Altura con
el último piso
Altura hasta
Último sótano
cios más
de los edifi
as
Torres Petron r)
(Kwala Lumpu
1992-1998
Torre Taipei
(Taipei)
1999-2004
Construcción
en juego
?
la que ves
altura es
jan algu
a se refle
En la tabl
1
BL OQ UE
A)
(TIPO PIS
Pisos
2
1
5
b) _
4
3
a) _
2
a) Un cuadrado cuyos
S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 5
Preguntas que ayudan
a profundizar
el aprendizaje de
los contenidos.
4
Evaluaciones tipo
PISA
Respóndelas en tu
cuaderno. Podrás
hacerlas de forma
individual o en equipo.
Es importante
que argumenten
y justifiquen
las respuestas
y procedimientos
desarrollados.
5
1/18/13 12:30 PM
Guía de uso
Al finalizar cada bloque encontrarás otras dos secciones.
cas en...
Las matemáti
Y para
terminar...
primos
Los números
Las matemáticas en…
Se proponen situaciones
de la vida cotidiana, la
naturaleza, la música, y
de otros ámbitos en los
que, sorprendentemente,
hay un conocimiento
matemático en juego.
logrado des primos y han
do los número
respuesta.
áticos han estudia
s preguntas sin
dad, los matem
o aun hay mucha
Desde la antigüe
ades. Sin embarg
s de sus propied
mostrar alguna
de ellas.
amos algunas
de núinfinita
d
Aquí te present
cantida
tró que “hay una
el más grande
Euclides demos
primo que sea
el matemático
número
s priun
Grecia,
hay
En la antigua
palabras, “no
fácilmente número
para encontrar
” o, dicho en otras
meros primos
ierto un método
no se ha descub
de todos”. Todavía
s.
.
grande
mos muy
que está escrito
grande que el
o primo más
númer
un
inciso
> 41
alumnos
e)
Escribe en cada
geometría a sus
> 31
d)
Euclides enseñando
> 53
c)
> 13
b)
los
>5
a)
más básicos” de
s” o “componentes
de núforma, los “ladrillo
multiplicación
se como una
, son, en cierta
Los números primos er número natural puede escribir
cualqui
números, pues
o:
ejempl
, por
813 = 3 × 271
meros primos
41
164 = 2 × 2 ×
5×7
×
2
=
70
×5
60 = 2 × 2 × 3
15 = 5 × 3
os primos.
licación de númer
como multip
tes números
e) 69 =
Escribe los siguien
d) 18 =
c) 192 =
b) 78 =
tan
s primos, qué
a) 32 =
o de los número
tado, al respect
distancia.
pregun
misma
han
la
hay a
también se
y cuántos primos
Los matemáticos
dos números primos
estar
cerca pueden
.
más cerca posible
decir, están lo
es
,
unidad
3 distan una
n son
Los primos 2 y
s; 11 y 13 tambié
s primos gemelo
es; son llamado
5 distan dos unidad
Los primos 3 y
s.
primos gemelo
¿Hay otros dos
que
números primos
sta.
? Explica tu respue
disten una unidad
más justo? Explica
por qué.
proporcional?
Explica
por qué.
s.
de primos gemelo
una cantidad infinita
Se cree que hay
trado.
hasta ahora
s, sin embargo
de primos gemelo
Y para terminar…
Contiene una actividad
final que se relaciona con
varios de los temas que
se vieron en el bloque.
3. Rodrigo propu
so que José les
regalara
cuatro comics
a cada uno, dado
que los
dos colaboraron
con
nación en la búsqu la misma determieda y salvam
ento de
su compañero.
¿Qué reparto es
Escribe cinco parejas
Un cuento
Decidido a encont
rar el árbol que
nunca duerme,
abiertos, José
se internó en el
un gran sauce
cuyas ramas semeja
bosque más de
Sin poder evitarlo
lo que el líder
n ojos
se perdió en aquel
de su equipo les
inhóspito y peligro
había permitido.
so lugar.
Al cabo de varias
horas de búsque
da, Rodrigo y René
mochila, sus víveres
lo encontraron.
y su lámpara.
José había perdid
o su
Estuvieron todo
un día de camino
al campamento
y René. Cada vez
y comieron los
que se sentaro
víveres que llevaba
n a comer, dividía
iguales. Al final
n una de las barras
n Rodrigo
de su travesía
contaron cinco
energéticas en
barras de Rodrig
partes
o y tres barras
Una vez que regresa
de René.
ron, Rodrigo y
René recibieron
larles algunos
de sus comics
una medalla al
de acuerdo a las
mérito y José
decidió regabarras energé
ticas que le compa
Te presentamos
rtieron.
tres diferentes
formas de retribu
ción según lo
acontecido.
1. José propu
so entregar cinco
comics a Rodrig
energéticas que
o y tres a René,
aportó cada uno.
en relación a
las barras
2. René propu
so otra repart
ición: “cada
uno comíamos
1
__
cada
Puesto que fueron vez 3 de una barra.
ocho barras en
24
comimos __
total
3 , de los cuáles yo puse __
9
8
__
comí y le di _
1
3 , me
3
a
3 José; Rodrigo puso __7 .
Por esto le corresp
3
onden a Rodrig
o siete
comics y a mi
solo uno”.
no se ha
¿Qué reparto es
demos
126
81
Al final del libro, encontrarás las siguientes secciones.
Bibliografía
Glosario
ar
es perpendicul
un triángulo y
de un vértice de
nto que parte
triángulo:: segme
Altura de un
.
ia
to a ese vértice
de la circunferenc
al lado opues
vértice es el centro del polígono.
cuyo
ángulo
:
no regular:
consecutivos
l de un polígo
a dos vértices
Ángulo centra
cuyos lados van
al polígono y
polígono
cutivos de un
que circunscribe
conse
lados
dos
forman
no:: ángulo que
o de un polígo
Ángulo intern
dentro de él.
un polígono
y se encuentra
de los lados de
se forma por uno
no:: ángulo que
no.
o de un polígo
fuera del polígo
Ángulo extern
de otro. Se ubica
el nombre
gación
y la prolon
ulo. También recibe
nas de un triáng
media
las
cortan
en el que se
Baricentro:: punto
ad.
dos partes
de centro de graved
y lo divide en
de un ángulo
vértice
el
que pasa por
ángulo: recta
Bisectriz de un
ia.
iguales.
de la circunferenc
s cualesquiera
une dos punto
que
de la
nto
centro
segme
el
Es
Cuerda:
un triángulo.
mediatrices de
se cortan las
: punto donde
Circuncentro:
no.
circunscrita.
s de un polígo
circunferencia
todos los vértice
por
pasa
que
ia
: circunferenc
ia circunscrita
polígono.
Circunferenc
los lados de un
en un punto todos
ferencia que toca
circun
:
ta:
ia inscri
to a 0) si la
Circunferenc
ro entero a (distin
por un núme
b es divisible
un número entero
Divisibilidad:
exacta.
r residuo.
división b/a es
arroja
sin
ro
otro núme
que puede dividir
número entero
de elevar otro
Divisor:: todo
potencia se ha
denota a qué
a.
algebraica que
ro o expresión
superior a la derech
Exponente:: núme
coloca en la parte
expresión y se
número u otra
un dato.
repite
se
veces que
uta: número de
el total de
Frecuencia absol
de un dato entre
ncia absoluta
dividir la frecue
a:: resultado de
Frecuencia relativ
ángulo
datos.
es circulares cuyo
entan con sector
repres
se
datos
los
ar:: gráfica donde
Gráfica circul
que representa.
rcional al valor
un sistema
central es propo
dibujadas sobre
barras
de
nto
l al dato
es proporciona
da por un conju
s:: gráfica forma
ud de las barras
vertical. La longit
Gráfica de barra
horizontal y otro
de dos ejes, uno
.
que representan
276
Bibliografía
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sin números.
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cundaria. Libro
s digitales, video
del»Zorzal.
me.sep.gob.mx/m
s e interactivos
at_edu/mat_edu_
.
01.php
277
274
Glosario
Bibliografía
para el alum
no
Definiciones útiles que utilizarás Te proponemos algunas referencias
en las secuencias didácticas.
bibliográficas y sitios web
para que repases y consolides
tus aprendizajes.
Bibliografía para
profesor
el
Sugerencias de bibliografía y enlaces
web para el profesor.
6
S-CNCT_M1_B0_001-015.indd 6
1/18/13 12:30 PM
d
con
e
.
Presentación para el profesor
El enfoque didáctico de [email protected] Estrategias. Matemáticas 1
En [email protected] Estrategias. Matemáticas 1 se ha cuidado que las secuencias didácticas
propicien de manera significativa el desarrollo de las siguientes competencias.
1. Resolver problemas de manera autónoma
2. Comunicar información matemática
3. Validar procedimientos y resultados
4. Manejar técnicas eficientemente
El libro está organizado en cinco bloques de lecciones; cada grupo de estas constituye
una secuencia didáctica en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla
y se cierra, lo que no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún punto
del mismo tema.
En general, cada actividad contribuye al desarrollo de más de una competencia, como
se puede apreciar en el siguiente ejemplo.
5. Reúnete con un compañero y hagan lo siguiente.
» Construya, cada uno, un diseño geométrico con triángulos y cuadriláteros. No lo muestren
al otro.
» Escriban las instrucciones para que el compañero lo reproduzca.
» Intercambien las instrucciones. Cada uno trace el diseño que inventó el otro, según sus
instrucciones.
» Al terminar, comparen los diseños y vean si son iguales. Si no es así, determinen qué ocurrió.
Con esta actividad, los estudiantes deben resolver un problema. Al escribir e interpretar
instrucciones desarrollan su competencia para comunicar información matemática. Al
comparar sus figuras tendrán que validar sus procedimientos y resultados. Esta actividad
se plantea al finalizar una lección en la que se han trabajado técnicas para trazar paralelas,
perpendiculares y triángulos. Si los estudiantes utilizan esto en su diseño geométrico,
entonces observarán que también está presente la competencia sobre el manejo
de técnicas.
Debido a esta relación múltiple y compleja entre las competencias y las actividades
que las propician hemos optado por marcar, en cada lección, solamente algunas
competencias que se favorecen, a fin de patentizar que, al efectuar las actividades
que se plantean en el libro, a la vez que los alumnos aprenden conocimientos
matemáticos, desarrollan competencias. La selección de actividades en que se destaca
alguna competencia se hizo con la idea de mostrarle a usted la diversidad de actividades
relacionadas con cada competencia.
7
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En las puestas en común se destacan dos competencias (comunicar y validar), de manera
sistemática, mediante el logo .
*
resolver
Resolver. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a
coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario
que este aparezca como respuesta a una pregunta o como solución a una problemática
que los alumnos ya hayan afrontado. Se considera también que, en muchos casos, al
afrontar una problemática adecuadamente, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos
conocimientos aproximados al ideal.
Por esto, numerosas lecciones de [email protected] Estrategias. Matemáticas 1 comienzan con el
planteamiento de uno o varios problemas. Solo después y paulatinamente se presenta la
información relativa al conocimiento tratado.
¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que
lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información suficiente han sido
diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan resolverlos aunque no
dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución
con herramientas más elementales, o bien, que aun cuando no puedan resolverlos
identifiquen una limitación en sus conocimientos previos y la necesidad de uno nuevo.
Después de analizar los problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo
conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejercicios para
aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, puede complementar
los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que diseñe o tome de
otros materiales.
comunicar
Comunicar. Al resolver problemas, los conocimientos se generan muchas veces de manera
silenciosa, implícita, al menos parcialmente. Por ello, una fase importante en los procesos
de aprendizaje de nociones matemáticas consiste en explicitar esos conocimientos,
nombrarlos, representarlos y, también, adoptar convenciones.
Para dar lugar a la diversidad de procesos relacionados con la comunicación, en [email protected]
Estrategias. Matemáticas 1 se apela a varios recursos: en cada lección se propone el
trabajo en parejas o equipos, o la modalidad de una puesta en común de procedimientos
y resultados. En estos momentos los alumnos construyen formulaciones con sus palabras
y aprenden de sus compañeros. Cabe recordar que diferentes formas de resolución ponen
en juego distintas relaciones entre los datos, y conocer y analizar la resolución de otros
ayuda a comprender mejor algunas nociones, a verlas desde distintos puntos de vista. Las
puestas en común también constituyen el momento ideal para que usted introduzca las
formas convencionales de representación.
Además, para atender a la necesidad de crear un lenguaje matemático y perfeccionar su
uso, se proponen situaciones en las que, como parte integral de una tarea matemática, los
alumnos deben comunicar algo a alguien, como dar instrucciones para que se construya
una figura geométrica.
Otro aspecto más que suele vincularse con la capacidad de comunicación es la posibilidad
de expresar ideas matemáticas e interpretarlas en distintos tipos de representación: gráfica
tabular, numérica, geométrica y algebraica, entre otros.
validar
Validar. ¿Cómo se sabe, en clase de matemáticas, qué es correcto y qué es incorrecto?
¿Quién lo decide? Otra característica fundamental del quehacer matemático
8
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es el desarrollo de formas de probar que algo es correcto, verdadero. A la vez, esta
característica ofrece una oportunidad formativa única: se trata de que el profesor ponga
en manos de los alumnos los medios para que aprendan a determinar la validez de sus
procedimientos y resultados.
No es cuestión todavía de enseñar a los alumnos a que hagan demostraciones formales,
pero sí de que sientan la necesidad de probar las aserciones con los recursos a mano.
En [email protected] Estrategias. Matemáticas 1 se proponen dos maneras de validar.
• Empíricamente, mediante la prueba, para saber si algo funciona. Por ejemplo, la manera
empírica de apreciar si las medidas de una figura a escala son correctas consiste en
comparar visualmente su forma con la original; la prueba empírica de que un número es
solución de una ecuación consiste en sustituir el valor en la ecuación y ver si se obtiene
una igualdad. Estas maneras de “probar” se nombran, frecuentemente, como “verificar”.
• Por medio de validación semántica. La principal característica es que descansa
en argumentos, por ejemplo, “la suma de dos números impares es par, puesto que si
quitas una unidad a cada uno, obtienes dos números pares, y además, un dos…” .
Técnicas. El desarrollo de técnicas y su aplicación en la resolución de problemas constituye
otra característica del trabajo en matemáticas. En [email protected] Estrategias. Matemáticas 1
se ha puesto especial cuidado en la diversidad de técnicas por varias razones: ocurre con
frecuencia que las técnicas más rápidas o más elaboradas para resolver ciertos problemas
parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo
de la multiplicación por decimales o la regla de tres); tal dificultad hace que los alumnos
tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pasos. Otras técnicas, en
cambio, aunque más precarias por ser más largas o menos sistemáticas son más fáciles de
comprender para los alumnos; incluso, en ocasiones, las pueden establecer por sí mismos.
Estas técnicas cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema;
en ciertos casos, algunas son más económicas que la técnica más avanzada; y además
constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que los estudiantes olvidan
la más avanzada.
técnicas
A final de cuentas, ¿qué procedimiento es mejor? Esto depende tanto del tipo de problema
como de los conocimientos de quien resuelve. Por ello, los alumnos que han desarrollado
varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la resolución de problemas.
OTRAS CARACTERÍSTICAS DE LA OBRA
Como apoyo a su labor docente hemos pensado en algunos elementos dirigidos
a un aspecto en específico.
• Para la planificación de la enseñanza incluimos una propuesta de dosificación
de las lecciones. En esta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras
y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases.
• Para la evaluación continua indicamos en el índice los contenidos (conocimientos
y habilidades) a fin de facilitar su identificación y seguimiento.
Esperamos que [email protected] Estrategias. Matemáticas 1 constituya un apoyo en sus clases,
una herramienta que enriquezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo,
que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas
para sus alumnos.
Los autores
9
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Dosificación
Ya que el tiempo que dedica a cada secuencia depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características
de sus grupos, esta tabla es una propuesta que podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las
fechas de entrega de calificaciones y las eventualidades (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el
tiempo lo permita, podrá trabajar las actividades de “Las matemáticas en…”, así como “Y para terminar…” o adelantar
S E M A N A S
BLOQUES
1
2
3
4
1
Secuencia 1
Fracciones decimales
y no decimales
(lecciones 1 a 4)
Secuencia 2
Fracciones y decimales
en la recta numérica
(lecciones 5 a 8)
Secuencia 3
Suma y resta
de fracciones
(lecciones 9 a 11)
Secuencia 4
Sucesiones de números
(lecciones 12 a 14)
Secuencia 5
Uso de literales
en fórmulas geométricas
(lecciones 15 a 17)
2
Secuencia 1
Criterios de divisibilidad.
Números primos
y compuestos
(lecciones 30 y 31)
Secuencia 2
Máximo común divisor
y mínimo común múltiplo
(lecciones 32 a 34)
Secuencia 3
Problemas aditivos con
fracciones y decimales
(lecciones 35 a 37)
Secuencia 4
Multiplicación y división
con fracciones
(lecciones 38 a 42)
3
Secuencia 1
Multiplicación
de números decimales
(lecciones 51 y 52)
Secuencia 2
Aplicación sucesiva
de factores constantes de
proporcionalidad
(lecciones 53 a 57)
Secuencia 3
División de números
decimales
(lecciones 58 a 60)
Secuencia 4
Ecuaciones
de primer grado
(lecciones 61 a 65)
4
Secuencia 1
Números con signo
(lecciones 77 a 79)
Secuencia 2
Construcción de círculos
(lecciones 80 y 81)
Secuencia 3
Justificación de la fórmula Secuencia 4
para perímetro y área
Regla de tres
del círculo
(lecciones 84 y 85)
(lecciones 82 y 83)
5
Secuencia 1
Adición y sustracción
de números con signo
(lecciones 94 a 97)
Secuencia 2
Notación científica
(lecciones 98 y 99)
Secuencia 3
Raíz cuadrada y potencia
(lecciones 100 a 102)
Secuencia 4
Sucesiones aritméticas.
Regla general
(lecciones 103 y 104)
10
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Dosificación
el trabajo de otros contenidos si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan el eje al que
corresponde cada contenido: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en anaranjado Forma,
espacio y medida; y en verde Manejo de la información. La redacción de los contenidos ha sido simplificada.
S E M A N A S
5
Secuencia 6
Trazo de triángulos
y cuadriláteros
(lecciones 18 a 20 )
Secuencia 5
Mediatriz y bisectriz
(lecciones 43 a 45)
Secuencia 5
Construcción de
polígonos regulares
(lecciones 66 a 68)
Secuencia 5
Proporcionalidad
directa. Factor inverso
(lecciones 86 a 88)
6
7
Secuencia 7
Alturas, medianas,
mediatrices
y bisectrices
en un triángulo
(lecciones 21 a 24)
Secuencia 8
Reparto proporcional
(lecciones 25 a 27)
Secuencia 6
Justificación de
fórmulas de perímetro
y área de polígonos
regulares
(lecciones 46 y 47)
Secuencia 7
Proporcionalidad
directa. Valor faltante
y factores constantes
fraccionarios
(lecciones 48 a 50)
Secuencia 6
Perímetro y área
de polígonos
regulares
(lecciones 69 a 71)
Secuencia 7
Anticipación de
resultados de una
experiencia aleatoria
(lecciones 72 a 74)
Secuencia 6
Problemas de conteo
(lecciones 89 y 90)
Secuencia 7
Gráfica de barras
y circulares
(lecciones 91 a 93)
8
Secuencia 9
Identificación
y práctica de juegos
de azar
(lecciones 28 y 29)
9
Evaluación tipo
ENLACE
Evaluación tipo PISA
(páginas 78 a 80)
Evaluación tipo
ENLACE
Evaluación tipo PISA
(páginas 128 a 130)
Secuencia 8
Frecuencia absoluta
y relativa
(lección 75 y 76)
Evaluación tipo
ENLACE
Evaluación tipo PISA
(páginas 188 a 190)
Evaluación tipo
ENLACE
Evaluación tipo PISA
(páginas 230 a 232)
Secuencia 5
Perímetro y área
del círculo
(lecciones 105 a 107)
Secuencia 6
Proporcionalidad
múltiple
(lecciones 108 y 109)
Evaluación tipo
ENLACE
Evaluación tipo PISA
(páginas 270 a 272)
11
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Índice
BLOQUE 1
Lección
Presentación para el alumno .......................................................................................................................... 3
Guía de uso ........................................................................................................................................................... 4
Presentación para el profesor ......................................................................................................................... 7
Dosificación ........................................................................................................................................................... 10
Título
Página
Contenido
Lección 1
Diferentes maneras de expresar medidas
18
Lección 2
Escritura decimal de una fracción
Lección 3
¿Cuántas cifras hay después del punto?
20 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su
22 escritura decimal y viceversa
Lección 4
Otro juego de flechas
24
Lección 5
Las apariencias engañan
26
Lección 6
Números en la recta
Lección 7
Números ocultos
Lección 8
Del cero al uno
28 Representación de números fraccionarios y decimales
en la recta numérica a partir de distintas informaciones,
30 analizando las convenciones de esta representación
32
Lección 9
Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío
34
Lección 10 Para usar las fracciones
Lección 11 Un juego de cartas
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen
36 más de una operación de suma y resta de fracciones
38
Tema
Números
y sistemas
de numeración
Problemas
aditivos
Lección 17 Con fórmulas y con palabras
40 Construcción de sucesiones de números o de figuras
a partir de una regla dada en lenguaje común.
42 Formulación en lenguaje común de expresiones generales
que definen las reglas de sucesiones con progresión
44 aritmética o geométrica de números y de figuras
Patrones
y ecuaciones
46
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al
48 considerar a las literales como números generales con los
que es posible operar
50
Lección 18 De tres lados
52
Lección 12 La matemática de las rejas
Lección 13 Bordados
Lección 14 Sucesiones de figuras o números
Lección 15 La fórmula es útil, pero no es lo único
Lección 16 Con números o con letras
Lección 20 Diseños con triángulos y cuadriláteros
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso
54 del juego de geometría
56
Lección 21 Un triángulo al interior de un círculo
58
Lección 22 Un círculo en un triángulo
Lección 23 Centro de gravedad
60 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas,
62 medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo
Lección 24 Las alturas del triángulo
64
Lección 25 ¿Son proporcionales?
66
Lección 26 El campamento
68 Resolución de problemas de reparto proporcional
Lección 27 Repartos justos
70
Lección 28 Hablemos de juegos I
72 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos
y registro de los resultados. Elección de estrategias
74 en función del análisis de resultados posibles
Lección 19 De cuatro lados
Lección 29 Hablemos de juegos II
16
Eje
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
espacio
Figuras y cuerpos Forma,
y medida
Proporcionalidad
y funciones
Manejo de la
información
Nociones
de probabilidad
Las matemáticas en la música
76
Evaluación (TIPO ENLACE)
78
Evaluación (TIPO PISA)
80
Y para terminar...
81
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Índice
BLOQUE 2
Lección
82
Título
Lección 30 Divisores y números primos
Página
Contenido
Lección 31 ¿Quién divide a quién?
84 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5.
86 Distinción entre números primos y compuestos
Lección 32 Mínimo común múltiplo
88
Lección 33 Máximo común divisor
Lección 34 Descomponiendo números
Lección 35
La migración indocumentada en Estados
Unidos de América
Lección 36 Tipo de cambio y algo más
Lección 37 Salarios y precios
Resolución de problemas que impliquen el cálculo
90 del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
92
94
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan
números fraccionarios y decimales en distintos contextos,
96 empleando los algoritmos convencionales
98
Lección 38 La mitad de un cuarto I
100
Lección 39 La mitad de un cuarto II
102
Lección 40 Vueltas alrededor de un circuito I
Lección 41 Vueltas alrededor de un circuito II
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación
104 y división con números fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los algoritmos usuales
106
Lección 42 ¿Qué número multiplicado por 2 da 3?
108
Lección 43 A la misma distancia I
110
Lección 44 A la misma distancia II
Lección 45 Mediatrices y bisectrices
Lección 46 Unas fórmulas se originan en otras
Lección 47 La mitad del doble
Lección 48 Banderas a escala
Lección 49 Más del doble pero menos del triple
Lección 50 La casita a escala
Tema
Eje
Números
y sistemas de
numeración
Problemas
aditivos
Sentido
numérico
y pensamiento
algebraico
Problemas
multiplicativos
Resolución de problemas geométricos que impliquen
112 el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento
y la bisectriz de un ángulo
114
Figuras y cuerpos
116 Justificación de las fórmulas de perímetro y área
de polígonos regulares, con apoyo de la construcción
118 y transformación de figuras
Medida
120 Identificación y resolución de situaciones
de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
122 en diversos contextos, con factores constantes
124 fraccionarios
Proporcionalidad
y funciones
Forma, espacio
y medida
Manejo de la
información
Las matemáticas en los números primos
126
Evaluación (TIPO ENLACE)
128
Evaluación (TIPO PISA)
130
Y para terminar...
BLOQUE 3
Lección
131
Título
Lección 51 Multiplicar y dividir entre 10, 100 y 1 000
Página
Contenido
Lección 52 Técnicas para multiplicar decimales
134 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación
de números decimales en distintos contextos, utilizando
136 el algoritmo convencional
Lección 53 Copias de copias
138
Lección 54 Engranajes I
140
Lección 56 Desandar el camino. El factor recíproco I
Formulación de explicaciones sobre el efecto
142 de la aplicación sucesiva de factores constantes de
proporcionalidad en situaciones dadas
144
Lección 57 Desandar el camino. El factor recíproco II
146
Lección 55 Engranajes II
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Tema
132
Eje
Problemas
multiplicativos
Sentido
numérico
y pensamiento
algebraico
Proporcionalidad
y funciones
Manejo de la
información
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Índice
Lección 58
Multiplicaciones que achican, divisiones
que agrandan I
Lección 59
Multiplicaciones que achican, divisiones
que agrandan II
148
Resolución de problemas que impliquen la división
de números decimales en distintos contextos, utilizando
150 el algoritmo convencional
Problemas
multiplicativos
Lección 60 Técnicas para dividir decimales
152
Lección 61 Adivinanzas I
154
Lección 62 Adivinanzas II
156 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento
y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma
Patrones
158 x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades y ecuaciones
de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales
160 o fraccionarios
162
Lección 63 Balanzas en equilibrio
Lección 64 Ecuaciones equivalentes
Lección 65 Problemas diversos
Lección 66 Polígonos y doblado de papel
Lección 68 Vitrales
164 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas
informaciones (medida de un lado, del ángulo interno,
166 ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos
168 de la circunferencia y el polígono inscrito en ella
Lección 69 La plaza
170
Lección 67 Relaciones interesantes
Lección 71 Más sobre el área de polígonos regulares
Resolución de problemas que impliquen calcular
172 el perímetro y el área de polígonos regulares
174
Lección 72 Creencias y realidades
176
Lección 70 Mesas y polígonos regulares
Lección 73 Para comparar datos
Lección 74 Lanzamiento de un dado
Lección 75 ¿Es mucho o es poco?
Lección 76 Elecciones
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Figuras y cuerpos
Forma, espacio
y medida
Medida
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria,
178 su verificación al realizar el experimento y su registro
en una tabla de frecuencias
180
Nociones de
probabilidad
182 Lectura y comunicación de información mediante el uso
184 de tablas de frecuencia absoluta y relativa
Análisis y
representación
de datos
Manejo de la
información
Las matemáticas en el arte
186
Evaluación (TIPO ENLACE)
188
Evaluación (TIPO PISA)
190
Y para terminar...
BLOQUE 4
Lección
191
Título
Lección 77 Temperaturas bajo cero
Lección 78 Números opuestos
Lección 79 Estadísticas del futbol mexicano
Lección 80 El círculo en la arquitectura
Lección 81 Círculos y algo más
Lección 82 Dar la vuelta
Lección 83 En la pizzería
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Página
Contenido
194
Tema
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen
196 la utilización de números enteros, fraccionarios
o decimales positivos y negativos
198
Números y
sistemas de
numeración
200 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el
radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que
202 cumplan condiciones dadas
Figuras y cuerpos
204 Justificación de la fórmula para calcular la longitud
de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y
algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la Medida
206 razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro
192
Eje
Sentido
numérico
y pensamiento
algebraico
Forma, espacio
y medida
1/18/13 12:30 PM
Índice
Lección 84 La regla de tres
Lección 85 Un mismo problema, varias técnicas
208 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros
210 o fraccionarios
Lección 86 Factores de escala I
212
Proporcionalidad
y funciones
218 Resolución de problemas de conteo mediante diversos
procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar
220 los resultados
Nociones
de probabilidad
222 Lectura de información representada en gráficas
de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas
224 y de otras fuentes. Comunicación de información
proveniente de estudios sencillos, eligiendo
226 la representación gráfica más adecuada
Análisis
y representación
de datos
Lección 87 Factores de escala II
Lección 88 Del maíz a las tortillas
Lección 89 Tarjetas de felicitación
Lección 90 Futbol
Lección 91 Deportistas de México
Lección 92 México en el año 2000
Lección 93 Información diversa
Análisis de los efectos del factor inverso en una relación
214 de proporcionalidad, en particular en una reproducción
a escala
216
Manejo de la
información
Las matemáticas en los recorridos
228
Evaluación (TIPO ENLACE)
230
Evaluación (TIPO PISA)
232
Y para terminar...
BLOQUE 5
Lección
233
Título
Página
Contenido
Tema
Lección 94 Suma de números con signo I
236
Lección 95 Suma de números con signo II
Lección 96 Resta de números con signo
238 Resolución de problemas que implican el uso de sumas
240 y restas de números enteros
Lección 97 Juegos con números
242
Lección 98 Cantidades astronómicas o microscópicas
Lección 99 Distancias y masas
244 Uso de la notación científica para realizar cálculos
en los que intervienen cantidades muy grandes
246 o muy pequeñas
Lección 100 La medida de un lado
248
Problemas
multiplicativos
Lección 104 Construyendo sucesiones
254 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico)
256 de una sucesión con progresión aritmética
Patrones
y ecuaciones
Lección 105 Circulando
258
Lección 101 Raíces cuadradas
Lección 102 Crecimiento exponencial
Lección 103 Símbolos en lugar de palabras
Resolución de problemas que impliquen el cálculo
250 de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de
exponente natural de números naturales y decimales
252
234
Eje
Problemas
aditivos
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Medida
Lección 107 Más sobre círculos y circunferencias
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área
260 del círculo en la resolución de problemas
262
Forma, espacio
y medida
Lección 108 Depende de varias magnitudes I
264
Lección 109 Depende de varias magnitudes II
266
Proporcionalidad
y funciones
Manejo de la
información
Lección 106 De vuelta en la pizzería
Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple
Las matemáticas en la sucesión de Fibonacci
268
Evaluación (TIPO ENLACE)
270
Evaluación (TIPO PISA)
272
Y para terminar...
273
Glosario ................................................................................................................................................................................................................................. 274
Bibliografía para el alumno............................................................................................................................................................................................ 276
Bibliografía para el profesor .............................................................................................................................................................................................. 277
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BLOQUE
1
Aprendizajes esperados
✓ Convierte números fraccionarios a
decimales y viceversa.
✓ Conoce y utiliza las convenciones para
representar números fraccionarios y
decimales en la recta numérica.
✓ Representa sucesiones de números o
de figuras a partir de una regla dada y
viceversa.
16
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1/18/13 10:45 AM
Un peligro mucho mayor
de lo que parece
Observa el enorme iceberg flotando en el
océano… El volumen de la parte sumergida
es mucho mayor que el de la visible.
Los icebergs se desprenden de los glaciares en los polos y se mueven lentamente
por el océano, a merced de los vientos y las
corrientes marinas.
Los desprendimientos de hielo polar son
cada vez más frecuentes; científicos de todo
el mundo vigilan este proceso, y estudian su
posible relación con la actividad humana.
El agua cubre más de dos terceras partes de la superficie del planeta
(72%), pero la mayoría es salada; solo 3% es agua dulce, y la mayor
parte está en los polos(cuatro quintas partes de toda el agua dulce del
planeta). Los icebergs son, por tanto, gigantescos bloques de agua dulce
y producen cambios en la salinidad del océano que afectan a muchas
especies marinas; pueden, incluso, producir alteraciones en el clima.
1. Mide la altura de la fracción visible del iceberg del esquema de arri-
ba y la altura de la parte sumergida. Aproximadamente, ¿cuántas
partes del total están sumergidas? Expresa el resultado en forma de
fracción y en forma decimal.
2. De cada cien partes de agua, ¿cuántas son de agua salada? ¿Qué
parte de agua dulce está fuera de los polos?
3. ¿Conoces la historia del Titanic? En 1912 el barco más grande del
mundo se hundió con más de 2 200 personas a bordo tras golpear
un iceberg. Como pensaban que era un barco muy seguro, solo había
botes salvavidas para menos de la mitad de los pasajeros. Desgraciadamente, en total murieron dos terceras partes. Aproximadamente,
¿cuántas personas salieron con vida?
Investiga más sobre la distribución del agua en el planeta en…
www.e-sm.com.mx/SCM1-017
eros
es de cantidades enteras. Los núm
A menudo debemos expresar part
imprescindibles en
son
ello
por
rlo;
hace
iten
perm
decimales y fraccionarios nos
medir, para jugar…
nuestra vida: para comprar, para
sarias
si has adquirido las destrezas nece
Al final de este bloque comprobarás
distintos ámbitos.
para usarlos y efectuar cálculos en
17
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contenido
BLOQUE
1
Convierte fracciones
decimales y no decimales
a su escritura decimal
y viceversa
Secuencia 1 / lección 1
Diferentes maneras de expresar medidas
Esmcomúnmquemlasmmedidasmsemexpresenmdemdiferentesmmaneras.mPormejemplo,m1mm__
m12mmlm
tambiénmpuedemexpresarsemcomom1.5mlmomcomom1m500mml.m¿Cómomsemexpresam1.75mmm
usandomfracciones?m¿Ym1mmm__14mmkgmmusandompuntomdecimal?
1. Subraya la pesa que equilibre cada balanza.
a)
b)
Peso neto
0.25 kg
Peso neto
0.5 kg
_3 kg
4
_1 kg
2
_1 kg
4
_3 kg
_1 kg
4
8
c)
_1 kg
2
_1 kg
4
4
8
d)
Peso neto
0.75 kg
_3 kg
_1 kg
Peso neto
0.125 kg
_1 kg
2
_1 kg
4
_1 kg
8
_3 kg
4
_1 kg
2
_1 kg
4
_1 kg
8
2. Escribe en forma de fracción la cantidad de agua que hay en cada botella.
Contenido: 0.1 l
1
_
​ ​​​ de litro
10
mm
Contenido: 0.2 l
2
​_​​​ de litro
10
Contenido: 0.35 l
35
​_​
​​
100 de litro
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Coméntales si sabes convertir un
número con punto decimal en una fracción.
18
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3. A continuación se presenta un procedimiento para convertir un número con punto
decimal en fracción. Complétalo.
i. Se anota la fracción que
corresponde a cada cifra decimal.
2 +
0.28 = _
10
8
ii. Se reduce a denominador
común.
iii. Si es posible, se simplifica
la fracción.
28
8
28
20
0.28 = _ +
=
100
100
100
100
100
28
Los pasos i. y ii. pueden abreviarse poniendo directamente la fracción decimal 0.28 = ___
.
100
Basta con recordar que la última cifra de la derecha indica si se trata de décimos, centésimos,
milésimos, etcétera.
4. Escribe la fracción correspondiente.
a) 0.3 =
3
_
​ ​​​
10
2
b) 0.02 = ​_
​​​
55
d) 0.055 = _
​ ​
​​
100
1​000
455
e) 0.455 = _
​
​​
​
50
=
7
25
Ya sabemos…
Para simplificar una
fracción se dividen
su numerador y su
denominador entre un
mismo número.
8
f ) 0.008 = _
​ ​​​
1​000
mm
14
En un número con
punto decimal, la primera cifra a la derecha
del punto representa
décimos; la segunda,
centésimos; la tercera,
milésimos; etcétera.
100
12
c) 0.12 = _
​ ​​​
=
1​000
Compara tus resultados de las actividades 3 y 4 con los de tus compañeros. Conviertan el
número 4.005 en su expresión con una fracción. Escriban en su cuaderno el procedimiento
completo de la actividad 3 usando como ejemplo la fracción 0.375.
5. Subraya las pesas que equilibren cada balanza. Solo puedes usar una vez cada pesa.
_3 kg
4
mm
_1 kg
2
_1 kg
4
_1 kg
8
Convivimos
Peso neto
1.25 kg
Peso neto
1.5 kg
_3 kg
4
_1 kg
2
_1 kg
4
_1 kg
8
Explica tu procedimiento a algunos de tus compañeros y escucha el que ellos efectuaron.
Comenten qué diferencias hay entre ellos.
Conocer formas de
resolver problemas
distintas a la que
usaste enriquece
tu comprensión
del problema
y tus nociones
matemáticas. Por
ello, es recomendable
comparar con
frecuencia tus
resultados con los de
tus compañeros.
19
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1/18/13 10:45 AM
contenido
BLOQUE
1
Secuencia 1 / lección 2
Escritura decimal de una fracción
Convierte fracciones
decimales y no decimales
a su escritura decimal
y viceversa
1. Trabaja en equipo. Anoten el peso neto de la caja usando una expresión con punto
decimal para que la balanza esté equilibrada.
resolver
_1 kg
8
mm
8
Peso neto
_1 kg
0.375 kg
8
Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Comenten si saben convertir una
fracción en su expresión con punto decimal.
2. A continuación hay dos procedimientos incompletos para convertir la fracción __38 en su
expresión con punto decimal. Complétalos.
Ya sabemos...
Procedimiento 1
Dos fracciones son
equivalentes si expresan la misma cantidad.
Por ejemplo,
Se busca una fracción decimal
equivalente a 3 , es decir, que su
8
3
12
__
es equivalente a ___
.
25
_1 kg
Procedimiento 2
Se divide 3 entre 8 hasta obtener 0 en el
residuo.
denominador sea 10, 100,
100
o 1 000…
Puedes obtener una
fracción equivalente a
otra multiplicando o
dividiendo numerador
y denominador por el
mismo número.
0.375
3
= 375
8 1 000
8 3
30
​​60
​​​​40
​​​​​​0
Esta fracción es igual a un número con
punto decimal.
El resultado es 0.375
El resultado es 0.375
3. Convierte cada fracción en su expresión decimal. Utiliza el procedimiento que prefieras.
3
_
=
2
mm
1.5
7 =
_
10
0.7
9
_
= 2.25
4
4=
_
5
0.8
7 = 0.35
_
20
31
_
= 3.875
8
9
_
= 0.36
25
19
_
= 0.38
50
7 = 3.5
_
2
13
_
= 3.25
4
7 = 0.875
_
8
34
_
= 1.36
25
Compara tus resultados con tus compañeros. Lean y comenten la siguiente información.
20
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Algunas fracciones son equivalentes a una fracción decimal, por ejemplo:
1 5
= = 0.5
2 10
3 75
=
= 0.75
4 100
17
125
=2
= 2.125
8
1 000
36 180
=
= 1.8
20 100
Estas fracciones se caracterizan porque, al dividir el numerador entre el denominador,
en algún momento se obtiene un residuo igual a 0 (como en el caso de 3 ). Por lo tanto,
8
el número de cifras después del punto es finito.
4. En la tabla hay cantidades de medicina que pueden ponerse en la jeringa.
A
B
1.4 oz
C
0.8 oz
1.5 oz
D
E
F
G
H
0.3 oz
1 ___1_ oz
1 ___2_ oz
3
__
oz
__4 oz
5
2
5
10
a) Indica las expresiones que representen la misma cantidad de medicina.
Ay F
By H
Cy E
Dy G
b) Marca donde corresponde cada letra en la jeringa para verificar tus respuestas.
validar
5. Juega con un compañero. Por turnos, cada uno tacha una fracción del tablero, la convierte en su expresión con punto decimal y la ubica en la recta con una flecha. Gana
el primero que coloque tres flechas consecutivas, es decir, que entre ellas no haya una
flecha del contrincante. Usen colores diferentes para distinguir las flechas de cada uno.
0
mm
13
20
1
10
19
10
3
2
8
5
17
10
1
4
9
5
13
10
7
5
7
10
6
5
7
4
1
5
75
10
2
5
1
2
3
5
5
4
3
4
9
10
11
20
27
20
4
5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad de conversión
de fracciones.
1.7
1.8
1.9
2
Comenta con tus compañeros cuáles fueron las estrategias que utilizaron para colocar las
tres flechas. Escriban en el pizarrón tres estrategias.
21
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contenido
BLOQUE
1
Convierte fracciones
decimales y no decimales
a su escritura decimal y
viceversa
Secuencia 1 / lección 3
¿Cuántas cifras hay después del punto?
1. Anota en cada flecha la expresión con punto decimal correspondiente.
3.25
3.3333
1.75
0.6666
2. Usa el procedimiento 1 de la lección anterior para convertir las fracciones en su
expresión con número decimal.
3
a) _ = 0.75
4
1 = 0.125
c) _
8
Ya sabemos...
Una fracción decimal
es una fracción cuyo
denominador es 10,
100, 1 000, 10 000.
1 = 0.25
b) _
4
2 = 0.66666
d) _
3
3. ¿Con qué fracción no pudiste emplear el procedimiento 1? d)
4. Utiliza el procedimiento 2 para escribir la fracción __32 en su notación con punto decimal.
No uses calculadora. ¿Qué sucede?
mm
R.​T.​El​residuo​nunca​llega​a​0.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean lo siguiente.
Existen fracciones que no son equivalentes a una fracción decimal. Cuando se intenta
convertirlas en una expresión con punto decimal, dividiendo el numerador entre el
denominador, sucede que…
» el residuo nunca es 0, se podría seguir dividiendo tantas veces como se quisiera; y
» la expresión decimal del cociente tiene una parte que se repite de manera infinita,
por ejemplo:
1
= 0.33333…
3
7
= 0.16666…
6
20
= 1.818181…
11
Al conjunto de cifras que se repite de manera infinita después del punto se le llama
periodo. A la expresión decimal se le llama expresión decimal periódica. Otra manera
de escribir los números anteriores es colocando una línea sobre el periodo.
0.33333… = 0.3
0.16666… = 0.16
1.818181… = 1.81
22
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5. Haz lo siguiente.
a) Completa la tabla. En cada casilla puedes formar una fracción, considerando como numerador un número de la primera columna y como denominador uno de la última fila.
Escribe la expresión decimal correspondiente a la fracción que se forma en cada caso.
Usa calculadora.
Medios
Tercios
1
0.5
0.3
Cuartos Quintos
0.25
0.2
Sextos
0.16
Séptimos Octavos Novenos
0.142857
0.125
Décimos
0.1
0.1
2
1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.285714
0.25
0.2
0.2
3
1.5
1
0.75
0.6
0.5
0.428571 0.375
0.3
0.3
4
2
1.3
1
0.8
0.6
0.571428
0.5
0.4
0.4
5
2.5
1.6
1.25
1
0.83
0.714285
0.625
0.5
0.5
6
3
2
1.5
1.2
1
0.857142
0.75
0.6
0.6
7
3.5
2.3
1.75
1.4
1.16
1
0.875
0.7
0.7
8
4
2.6
2
1.6
1.3
1.142857
1
0.8
0.8
9
4.5
3
2.25
1.8
1.5
1.285714
1.125
1
0.9
10
5
3.3
2.5
2
1.6
1.428571
1.25
1.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b) Completa las oraciones, considera las fracciones de la tabla, sin tener en cuenta los
enteros.
» Los medios, cuartos,
quintos
,
y
octavos
décimos
siempre
tienen una expresión decimal finita.
» Los tercios,
,
sextos
séptimos
y
novenos
siempre
Ya sabemos...
Los medios resultan
cuando el entero se
divide en dos partes
iguales; los tercios,
cuando se hace en tres
partes; los cuartos, en
cuatro; y así sucesivamente.
tienen una expresión decimal periódica.
mm
Comenta tus respuestas con tus compañeros. Compárenlas con lo leído en la página anterior y registren sus conclusiones en su cuaderno.
6. Analiza las regularidades de cada columna de la tabla anterior y, sin usar calculadora ni
hacer la división por escrito, completa la tabla.
Medios Tercios Cuartos Quintos Sextos
Séptimos
resolver
Octavos Novenos Décimos
11
5.5
3.6
2.75
2.2
1.83
1.571428
1.375
1.2
1.1
12
6
4
3
2.4
2
1.714285
1.5
1.3
1.2
13
6.5
4.3
3.25
2.6
2.16
1.857142
1.625
1.4
1.3
Repasa la conversión de
fracciones en su escritura decimal en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-023
23
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contenido
BLOQUE
1
Secuencia 1 / lección 4
Otro juego de flechas
Convierte fracciones
decimales y no decimales
a su escritura decimal y
viceversa
0
1
_
12
1
_
8
1. Juega con un compañero. Por turnos, cada uno tacha un número del tablero y lo ubica en
la recta con una flecha. Se puede usar la calculadora solo después de tachar el número.
Gana el primero que coloque tres flechas consecutivas, es decir, sin que haya alguna del
otro jugador entre ellas. Algunas fracciones ya se han ubicado de manera aproximada.
1
_
6
2 _
1
_
9 4
0.5
0.25
0.83
0.375
0.3
0.16
0.6
0.083
0.125
0.625
0.94
0.2
0.5
0.72
0.7
0.875
0.4
0.90
1
_
3
3
_
8
4
_
9
1
_
2
5
_
9
5
_
8
2
_
3
8
_
11
7
_
9
5
_
6
7
_
8
10 _
17
_
11 18
1
2. Responde considerando los números de la actividad anterior. Verifica con calculadora
hasta después de responder las cuatro preguntas.
0
1
_
12
1
_
8
1
_
6
2 _
1
_
9 4
3
_
8
4
_
9
1
_
2
5
_
9
5
_
8
2
_
3
8
_
11
7
_
9
5
_
6
7
_
8
10 _
17
_
11 18
1
a) ¿Qué números del tablero ha elegido quien está jugando con el rojo? 0.6​y​0.83
Ya sabemos...
b) ¿Y el que está jugando con el azul? 0.625​,​0.875​y​0.94
Para multiplicar por 10
un número con punto
decimal, basta con
desplazar el punto un
lugar a la derecha, por
ejemplo, 0.5 × 10 es 5.
Para multiplicar por
100, basta con desplazar el punto decimal
dos lugares a la derecha
y, si hace falta, agregar
ceros, por ejemplo,
0.5 × 100 = 50.
1
_
3
c) Es el turno del rojo. ¿Qué número del tablero debería elegir para ganar? R.​T.​0.7
d) ¿Con cuál ganaría el azul? R.​T.​0.90
mm
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten cómo eligieron los números
en el juego de las flechas. Con el profesor, lean la siguiente información.
24
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1/18/13 10:45 AM
Cómo pasar de la notación decimal a la fraccionaria
Es muy sencillo expresar un decimal finito como fracción, puesto que el número de cifras a
la derecha del punto indica si se trata de décimos, centésimos, milésimos, etc. Por ejemplo,
5
625
0.625 = 625 milésimos = _ = _
1 000 8
8
2
0.08 = 8 centésimos = _ = _
100 25
Expresar como fracción un decimal periódico como 0.45 es más difícil. Se puede hacer de
la siguiente manera.
Sabemos que 0.45 es 0.45454545…, entonces…
a) Como el periodo tiene dos cifras, se
multiplica por 100.
0.45454545… × 100 = 45.45454545…
b) Obtuvimos 100 veces el valor de la
fracción que estamos buscando.
45.4545…
c) Si restamos 0.454545… a
45.454545…, obtenemos 45.
Este valor es 99 veces el valor de la
fracción que buscamos (porque a 100
veces el número le restamos una vez
el mismo número).
45.4545…
– 0.4545…
45
45
45 ÷ 99 = _
99
Simplificando, se obtiene
d) Entonces, para obtener la fracción
buscada, debemos dividir entre 99.
5
0.45 = _
11
3. Verifica con calculadora que
45 5
y sean iguales a 0.45.
99 11
4. Convierte los números decimales en fracciones.
a) 0.12 = 12​
100​
1225
d) 12.25 =
100
g) 0.09 =
mm
1
11
b) 4.3 = 43
c) 56.13 = 5613
10
100
12
e) 0.12 =
99
f ) 0.375 = 375
999
h) 2.15= 213
99
Investiga, en grupo,
qué fracción corresponde a 0.02. Consideren
primero multiplicar por
100 y luego por 10; al
restar obtendrán 90
veces la fracción que
buscan.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten lo que han aprendido acerca de cómo convertir fracciones en decimales y decimales en fracciones. Hagan un resumen
en su cuaderno y pongan ejemplos de ambos casos.
25
S-CNCT_M1_B1_016-025.indd 25
1/18/13 10:45 AM
contenido
BLOQUE
1
Representa números
fraccionarios y decimales
en la recta numérica
a partir de distintas
informaciones, analizando
las convenciones de esta
representación.
resolver
Secuencia 2 / lección 5
Las apariencias engañan
Una manera de representar y entender los números es mediante la recta numérica.
¿Sabías que esta recta es un conjunto infinito de puntos y que a cada uno le corresponde
un número?
1. Reúnete con un compañero para resolver las actividades.
a) El dibujo de abajo representa una pista de 9 km. Ubiquen a cada corredor en su posición aproximada, como se muestra en el ejemplo.
Corredor
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Kilómetros
recorridos
6 __34
21
__
6
5 __34
16
__
18
__
6.5
5 __13
13
__
7.25
3
3
3
2
1
2
0
3
4
8
J
B
5
7
H
E
6
A
G
I
D
F
C
¿Qué corredores están empatados?
G con I, C con F y E con H
b) Localicen en la recta numérica los siguientes números.
5 _
3 4 _
15 _
3 _
6
1, _
2, _
1, _
_
, 2 , _, _
,
,
,
, 0.5, 0.3333…, 0.16
3 3 2 6 6 9 6 18 6 9
0.5
0
1
0.16
26
S-CNCT_M1_B1_026-033.indd 26
2
6
1
3
3
9
1
2
3
6
6
9
2
3
4
6
5
6
15
18
1/17/13 4:28 PM
c) Si ubicaron bien las fracciones, varias se sobrepusieron, es decir, son equivalentes. De
las fracciones del inciso b), escriban en el espacio correspondiente las equivalentes a las
que se indican.
1
_
3
2
6
1
_
2
3
9
2
_
3
3
6
6
9
5
_
6
4
6
15
18
Ya sabemos...
Dos o más fracciones
son equivalentes
cuando se escriben diferente pero representan el mismo número.
5
Por ejemplo: __13 = __26 = __
15
2. Averigüen cuál es el número mayor en cada pareja y subráyenlo. Si los números son
equivalentes, subrayen ambos.
__4 y __6
__7 y 1
__5 y 1
__1 y __2
3
__6 y 1
__2 y __4
__1 y __1
5 __
__
y7
__1 y 0.5
__1 y __4
__1 y __5
11
__
y 0.75
__3 y __2
__2 y 0.83333…
__3 y __4
6 __
__
y 12
1.5 y __46
8 __
__
y2
4
6
2
6
3
2
12
3
6
6
2
2
4
3
2
3
12
6
6
2
6
6
3
6
12
12
3
3. Ubiquen los números anteriores en la recta. Luego, revisen sus respuestas con base en
el orden en que quedaron.
0.5
0.83
0.75 3 5
4 6
11
12
0
6
6
7
6
4
3
3
2
validar
6
4
1
1
3
5
12
3
6
6
12
1
2
8 2
12 3
4
6
2
1.5
12
_
6
Algunas veces, para comparar dos fracciones es suficiente observarlas y pensar en lo que representan, por ejemplo, __67 y __32 , ¿cuál es mayor? __67 es menor que 1, mientras que __32 es mayor que 1, por lo
tanto __32 es mayor que __67 .
Otro ejemplo, __56 y __34 , ¿cuál es mayor? A __56 le falta __16 para completar 1, mientras que a __34 le falta __14 para
completar 1, por lo tanto es mayor __56 .
4. Encuentren una fracción equivalente en cada caso. Exprésenla de manera simplificada.
m
3
6
_
=
8
4
1
8
_
=
16
2
1
50
_
=
100
2
1
30
_
=
90
3
5
10
_
=
12
6
2
10
_
=
15
3
técnicas
Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Recuerden cómo se sabe cuál de dos
fracciones es mayor o si son equivalentes, y cómo se simplifican.
27
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contenido
BLOQUE
1
Representa números
fraccionarios y decimales
en la recta numérica
a partir de distintas
informaciones, analizando
las convenciones de esta
representación.
Secuencia 2 / lección 6
Números en la recta
1. A un grupo de alumnos se le pidió representar los números 0, 8, 16 y 24 en la siguiente
recta.
A continuación verás cómo resolvieron el problema cuatro alumnos. Anota en cada caso si
la solución es correcta o incorrecta y explica por qué.
a) José lo hizo así:
0
8
Lo que hizo José es
16
24
incorrecto porque R. T. entre 0 y 8, entre 8 y 16,
y entre 16 y 24 debe haber la misma distancia.
b) Pedro hizo lo siguiente:
0
8
16
Lo que hizo Pedro es
correcto
porque
24
R. T. si entre dos marcas
consecutivas hay dos unidades, tenemos los valores requeridos.
c) María lo hizo así:
0
8
16 24
Lo que hizo María es
correcto
porque
R. T. si entre dos marcas
consecutivas hay ocho unidades, tenemos los valores requeridos.
d) Rosa resolvió así:
0
8
Lo que hizo Rosa es
24
16
incorrecto porque R. T. 24 es mayor que 16,
por lo que debe representarse más a la derecha en la recta.
e) ¿Cómo lo resolverías? Usa la recta que hay al inicio de la lección para responder. Justifica tu respuesta en el cuaderno.
28
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resolver
2. Haz lo que se indica en cada recta.
a) Representa los números
0
1 2
3
, y .
4 3
2
1
2
1
4
b) Representa los números
3
_
2
2
_
3
1 3
, y 2.
2 4
R. P.
1
3
c) Representa los números
2
, 0.7 y 1.2.
5
R. P.
0.3
m
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Entre todos, analicen lo siguiente.
Al representar números en una recta numérica es importante tener en cuenta diversos aspectos.
» No siempre hay un lugar fijo para el cero, de manera que, como en los casos b) y c) de la actividad 2, es correcto que lo ubiques donde te parezca conveniente.
» Si ya están ubicados dos o más números, hay una unidad de medida establecida que se debe
conservar en la recta. José se equivocó en el problema 1 porque no conservó la misma medida.
De 0 a 8 cada espacio vale uno, pero de 8 a 16, vale dos y de 16 a 24, vale cuatro. Es incorrecto
hacer esto en la misma recta.
No siempre
correcto qu
Si ya están u
var en la rec
espacio vale
recta.
Si solo está
que sea con
Se ha conve
cha o de ab
ción es inco
» Si solo está ubicado un número, o ninguno, es necesario establecer la unidad de medida del
tamaño que sea conveniente para ubicar otros números.
» Se ha convenido que el valor de los números representados en una recta aumenta de izquierda a
derecha o de abajo hacia arriba. En la actividad 1 Rosa no tuvo en cuenta esta convención y por
eso su solución es incorrecta.
3. Anota los números que corresponden a los puntos señalados en las rectas.
0.5
1.5
0
2
3
8
0
Ya sabemos...
1
__
5
__
4
4
0.3
1.3
0.7
m
1
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si hay diferencias, identifiquen los
errores y corrijan lo que sea necesario. Identifiquen qué parte de la información resulta útil
en cada caso de las actividades 2 y 3.
Cuando hay dos o más
números ubicados en
la recta numérica, ya
hay una unidad que
debes conservar. Si
solo está ubicado un
número o ninguno,
debes establecer la
unidad.
29
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1/17/13 4:28 PM
contenido
BLOQUE
1
Representa números
fraccionarios y decimales
en la recta numérica
a partir de distintas
informaciones, analizando
las convenciones de esta
representación.
Secuencia 2 / lección 7
Números ocultos
1. En la siguiente recta el segmento de 0 a 20 está dividido en cinco partes iguales. Anota
el número que le corresponde al punto que señala la flecha.
0
resolver
20
12
a) Explica en tu cuaderno por qué el número que corresponde al punto señalado no
puede ser el 3.
b) El segmento de 0 a 15 está dividido en cinco partes iguales. ¿Qué número corresponde
9
al punto señalado con la flecha?
0
15
c) El segmento de 0 a 1 está dividido en cinco partes iguales. ¿Qué número corresponde
3
al punto señalado con la flecha?
5
0
1
2. En la siguiente recta el segmento de 0 a 20 está dividido en seis partes iguales.
a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha.
0
20
20
3
b) Respecto a la actividad del inciso a), cinco equipos de un grupo dieron las respuestas
que se muestran. Solo dos son correctas. Anota en la columna de comentarios por qué
consideras que es correcta o incorrecta cada respuesta, con base en la información que
hay en la recta.
validar
Equipo
1
2
3
4
5
m
Respuesta
6
20
_
3
21
_
3
2
6+_
3
6.6
Comentarios
Incorrecta, pues 6 + 6 + 6 = 18
Correcta, pues
20
3
+ 20 + 20 = 20
3
3
Incorrecta, pues 7 + 7 + 7 = 21
2
20
Correcta, pues tres veces 6 + 3 es 3
Incorrecta, aunque es aproximada
Revisa, con ayuda del profesor, lo que escribiste para ver si coinciden tus respuestas con las
de tus compañeros. Anota a qué conclusiones llegan.
30
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3. Anota los números que corresponden a los puntos señalados con flechas en cada una
de las rectas.
Si en vez de 5 fuera 1, el
número que correspondería al punto señalado
con la flecha sería __23 ,
pero es cinco veces 1,
por tanto el número
buscado es…
a) El segmento de 0 a 5 está dividido en tres partes iguales.
0
Una pista
5
10
3
b) El segmento de 0 a 5 está dividido en ocho partes iguales.
5
8
0
5
2
15
4
5
4. En la siguiente recta, el segmento AB se dividió en siete partes iguales.
A
1
9
7
a) ¿Qué número le corresponde al punto A?
b) ¿Y al punto B?
B
3
7
17
7
c) Anota otro número que se ubique en el segmento AB: R. P.
d) Anota uno que se ubique fuera del segmento AB: R. P.
m
Compara, con ayuda del profesor, tus resultados con los de tus compañeros. En caso de
que haya diferencias, averigüen quién tiene razón y por qué. Después lean la siguiente
información.
7
4
Una manera de resolver problemas como los de esta lección consiste en pensarlos como problemas
de reparto. Por ejemplo, si se trata de un segmento de 0 a 7 dividido en cuatro partes iguales,
dividir 7 entre 4 nos da 7 , 1 3 o 1.75 para cada parte del segmento. Esto quiere decir que el
4
4
número que corresponde a la primera marca después de 0 es 7 ; a la segunda, 14 ; a la tercera,
4
4
21 ; y a la cuarta, 28 , que es igual a 7.
4
4
5. ¿Qué número corresponde al punto señalado con la flecha?
20
7
0
4
31
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1/17/13 4:28 PM
contenido
BLOQUE
1
Representa números
fraccionarios y decimales
en la recta numérica
a partir de distintas
informaciones, analizando
las convenciones de esta
representación.
Secuencia 2 / lección 8
Del cero al uno
1. En la siguiente recta la flecha señala el punto medio del segmento que va de
1
2
a .
3
3
a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha.
0
1
3
1
2
3
3
6
b) A continuación se presentan cuatro razonamientos distintos para encontrar el número
que señala la flecha. Anota sobre las líneas si es correcto o incorrecto.
» El segmento que va de 1 a 2 mide 1 . La mitad de 1 es 1 , entonces, el número
3
3
3
3
que señala la flecha es 1 + 1 = 3 .
3
6
6
Correcto.
6
» El número que señala la flecha es 1 + 1 , es decir, 5 .
3
2
6
»
Incorrecto.
1 vale lo mismo que 2 y 2 vale lo mismo que 4 ; el número que está a la mitad
3
6
3
6
entre 2 y 4 es 3 .
6
6
Correcto.
6
» El número que señala la flecha es la mitad de 1 , es decir, 1 .
3
resolver
Incorrecto.
6
2. Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha en las rectas.
7
10
a)
0
7
12
3
5
1
4
5
b)
0
1
2
0.25
2
3
1
c)
0
0.2
0.3
1
7
12
d)
0
m
1
3
2
3
1
Revisa, con ayuda del profesor, los resultados de las actividades anteriores. Después, analiza
la siguiente información.
32
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Entre dos números fraccionarios o decimales cualesquiera siempre hay otros números fraccionarios
o decimales. Una forma de encontrarlos es utilizando números equivalentes.
Por ejemplo, entre 7 y 8 está 15 . ¿Por qué? A esta característica de los números fraccionarios
6
6
12
y decimales se le llama propiedad de densidad.
3. En la recta A el segmento que va de 0 a 1 se dividió en diez partes iguales. En la recta
B, una de estas partes se amplificó y dividió en diez partes iguales. En la recta C, una de
estas partes se amplificó y de nuevo se dividió en diez partes iguales.
a) Anota los números que corresponden a los puntos señalados con flechas y contesta lo
que se pide.
7
8
10
Recta A
10
0
www.e-sm.com.mx/
SCM1-033
1
76 77
100 100
Recta B
70
100
Recta C
Familiarízate más con
las fracciones y la recta
numérica en...
80
100
76
100
b) Escribe un número comprendido entre
777
1 000
1
2
y .
10 10
77
100
R. T. 3
20
c) Escribe un número comprendido entre 0.4 y 0.5. R. T. 0.42
m
m
Compara, con ayuda del profesor, los resultados de la actividad anterior con los de tus compañeros. Comenten cómo encontrarían dos números decimales entre __47 y __35 .
Juega en grupo “de 0 a 1”.
» El profesor piensa un número que sea mayor que 0 y menor que 1, y lo anota en un
papel, sin que los alumnos vean.
» Los alumnos, organizados en equipos, tienen derecho a hacer hasta diez preguntas para
acercarse lo más posible al número que pensó el profesor.
» A cada pregunta que hagan los equipos, el profesor solo contesta sí o no.
» Al final, cada equipo dice un número y gana el que se haya acercado más.
33
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1/17/13 4:28 PM
contenido
BLOQUE
1
Secuencia 3 / lección 9
Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío
Resuelve y plantea
problemas que impliquen
más de una operación de
suma y resta de fracciones.
Lamsumamymlamrestamdemfraccionesmsonmoperacionesmquemestudiastemenmlamprimaria.mEnmestam
secuenciamlasmutilizarásmparamresolvermdiversosmproblemas.mCalculammentalmentemlosm
1
1
resultadosmsiempremquempuedas.mPormejemplo,mparamresolverm 2 m+m 3 mpuedesmpensarmquemm
3
2
5
3
1
1
2
mequivalemam 6 mym 3 mequivalemam ,mentonces,m 6 m+m 6 m=m 6 .
2
6
1. Las etiquetas que indican el contenido de cada vaso están revueltas.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
a) Estima el contenido de cada vaso y coloca las etiquetas en la tabla.
1
5
3
4
5
10
5
6
2
3
1
4
1
3
1
6
1
2
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
2
3
3
4
3
5
5
6
5
10
3
5
2. Responde las preguntas con la información de la tabla.
a) El vaso con más líquido es I.
» ¿Cuánto contiene?
» ¿Cuánto le falta para estar lleno?
5
6
1
6
b) El vaso con menos líquido es E.
» ¿Cuánto contiene?
» ¿Cuánto le falta para estar lleno?
c) ¿Qué vasos tienen menos de
1
2
?
1
6
5
6
B, C, D, E,
34
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d) ¿Qué vasos tienen más de
1
2
?
F, G, H, I
1
e) ¿Qué vasos tienen exactamente 2 ?
mm
A, J
Compara tus resultados con los de tus compañeros
3. Si juntas el contenido de dos vasos, es posible que el resultado sea menos de un vaso,
exactamente un vaso o más de un vaso. Completa la tabla con base en los ejemplos.
A
mm
B
C
D
E
F
G
H
I
J
más
más
lleno
A
lleno menos menos menos menos más
más
B
menos menos menos menos menos lleno
más
menos más
menos
C
menos menos menos menos menos menos lleno menos más
menos
D
menos menos menos menos menos menos menos menos más
menos
E
menos menos menos menos menos menos menos menos lleno menos
resolver
vaso
F
más
lleno menos menos menos más
más
más
más
más
G
más
más
lleno menos menos más
más
más
más
más
H
más menos menos menos menos más
más
más
más
más
I
más
más
más
más
más
más
J
lleno menos menos menos menos más
más
más
más
lleno
más
más
más
lleno
Revisa algunas de las respuestas con tus compañeros. Expliquen en cada caso cómo supieron que un resultado sería mayor, menor o igual que un vaso lleno.
4. Anota en la siguiente tabla la fracción de vaso que se llena al juntar el líquido de dos vasos.
A
A
B
C
D
E
F
mm
1
5
__
6
3
__
4
7
__
10
2
__
3
7
__
6
B
C
D
E
F
5
__
3
__
7
__
2
__
6
2
__
3
7
__
12
8
__
15
1
2
4
7
__
12
10
8
__
15
9
___
20
2
__
5
11
___
30
13
__
15
3
7
6
1/2
1
5
__
11
__
1
1/2
9
___
20
5
__
12
11
__
12
G
H
I
5
__
4
13
__
12
11
__
4
__
12
12
1
11
___
13
__
19
___
30
__1
3
5
__
6
15
5
__
6
4
__
3
20
11
__
12
17
__
12
10
14
__
15
17
___
20
4
__
5
23
___
30
19
__
15
J
3
1
7
__
5
__
6
6
13
__
3
__
12
4
31
___
7
__
30
10
2
__
3
7
__
6
1
3
__
2
Comenta con tus compañeros los procedimientos que utilizaron. Hagan una lista con los
procedimientos distintos e indiquen cuál les parece mejor para esta situación.
Ya sabemos...
Hay diferentes
maneras de sumar
dos fracciones, por
ejemplo, convirtiendo a fracciones con
igual denominador,
convirtiendo a decimales, usando la recta
numérica, etc.
validar
35
S-CNCT_M1_B1_034-039.indd 35
1/17/13 4:40 PM
contenido
BLOQUE
1
Resuelve y plantea
problemas que impliquen
más de una operación de
suma y resta de fracciones.
resolver
Secuencia 3 / lección 10
Para usar las fracciones
1. Resuelve, en equipo, los problemas. Expliquen sus procedimientos.
1
1
a) En una bolsa hay 20 canicas de cinco colores diferentes. 5 son rojas, 4 son azules, 1
10
son amarillas y tres son verdes. El resto son negras. ¿Qué fracción de las 20 canicas
corresponde a las negras?
3
10
Ya sabemos...
Para sumar o restar
fracciones con distinto denominador,
primero debes hacer
las conversiones necesarias para igualar los
denominadores. Por
ejemplo, para sumar
1
2
3 + 5 puedes convertirlas en quinceavos:
1 = 5
2 = 6
3 15 5 15
5 + 6 = 11
15 15
15
b) La siguiente operación es una resta de fracciones con cuatro dígitos diferentes, cuyo
resultado es 1. Escribe al menos otras dos operaciones que cumplan las mismas
características.
4
3
–
2
6
R. T.
10 12
–
=1
4 8
=1
R. T.
7 4
–
=1
5 10
c) Los antiguos egipcios escribían las fracciones como sumas de fracciones unitarias, es
decir, fracciones cuyo numerador es 1. Por ejemplo, para escribir la fracción 5 , utiliza8
ban la expresión 12 + 18 .
» Las siguientes sumas corresponden a tres fracciones del recuadro. Identifícalas y anótalas
donde corresponda.
1 + 1 =
4
5
1 + 1 + 1 = 11
2
3 12
9
20
1 + 1 =
2
3
12
11
12
7
10
7
12
9
20
3
4
5
6
5
6
» Escribe en tu cuaderno las otras tres fracciones como sumas de fracciones unitarias con
distinto denominador.
1
1
3
+ =
2 4
4
1
1
7
+ =
2 5 10
d) Con base en la información del esquema que aparece abajo, ¿cuánto tiempo tardó el
autobús en ir de la ciudad B a la ciudad C. 1 3 h
4
5 12 h
1
1
7
+ =
2 12 12
2 14 h
A
1 12 h
B
C
D
36
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1
1
1
e) Un niño ocupa 3 del día para dormir, 4 para estudiar, 6 para jugar y ver televisión, y el
resto para otras actividades. ¿Qué parte del día ocupa para otras actividades?
1
4
1
5
f ) Una fotografía mide 6 4 pulgadas de ancho por 8 8 pulgadas de largo. ¿Cuál es el perímetro de la fotografía?
29 3 = 119
4
4
g) Encuentra dos números, a y b, mayores que __12 pero menores que __34 . Representa los
cuatro números en la recta.
3
1
_
_
R. T.
a
b
2
4
0
1
2
3
5
8
» ¿Qué valores pueden tomar a y b? R. T.
» Si la diferencia entre dos números sucesivos es siempre la misma, ¿cuánto vale b?
7 _
8
_
u
12 12
h) Anota en cada cuadrito el signo más (+) o el signo menos (–) para que las expresiones
sean correctas.
1
2
mm
–
1
1 3
4 + 8 = 8
2
3
–
1
10 = 2
–
3
1
6 = 4
8
5
+
1
2
2
3
+
1
4
–
1
1
6 + 2 =1
5
4
–
1
2
–
3
3
8 = 8
1
2
–
1
3
+
1
6 =1
Practica la suma y resta
de fracciones en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-037
Revisen en grupo, con ayuda del profesor, los resultados de los problemas. Cuando difieran,
averigüen quién tiene razón y dónde están los errores.
37
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contenido
BLOQUE
1
Resuelve y plantea
problemas que impliquen
más de una operación de
suma y resta de fracciones.
resolver
Secuencia 3 / lección 11
Un juego de cartas
1. Reúnete con tres compañeros. Preparen un juego de 40 cartas y anoten en cada una
alguno de los siguientes números: 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 3 , 3 , 5 . Cada número debe re2 4 3 6 8 3 4 8 8
petirse en cuatro cartas.
» Uno de los jugadores se encargará de revolver las cartas y repartir.
» El repartidor da tres cartas a cada jugador sin que los demás vean los números.
» Cada jugador, después de observar los números de sus cartas, tiene derecho a pedir
más o a quedarse con las que tiene.
1
» El jugador que más se acerca a 1 2 sumando los números de sus tarjetas gana tres
puntos. Si hay empate, se reparten los tres puntos entre los ganadores.
» El jugador que se pasa de 1 12 pierde el juego.
» Al final de varias rondas, gana el jugador que obtiene más puntos.
1
2. Daniela, Carmen, Rodrigo y Mario jugaron cuatro rondas de 1 2 . Analicen los resultados
de cada una y escriban el nombre de los ganadores.
Ya sabemos...
Para sumar o restar
fracciones primero se
hacen las conversiones necesarias para
que tengan el mismo
denominador.
Ronda
Cartas de
Daniela
Cartas de
Carmen
Primera
1
3
5
8
1
6
5
8
3
8
1
4
Segunda
1
4
3
8
1
2
1
2
3
8
5
8
Tercera
5
8
1
8
1
Cuarta
1
3
1
2
1
6
2
3
Cartas de
Rodrigo
1
8
1
8
1
3
Cartas de
Mario
1
2
¿Quién ganó
la ronda?
2
3
3
4
3
4
Carmen
2
3
2
3
1
8
5
8
1
2
1
4
Carmen
1
4
1
6
3
8
3
8
1
1
2
1
3
5
8
1
4
1
3
Mario
1
8
5
8
1
4
1
1
3
1
4
3
4
2
3
1
8
1
Rodrigo
a) ¿Quién ganó al final de las cuatro rondas?
Carmen.
38
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3. Daniela, Carmen, Rodrigo y Mario cambiaron las reglas del juego. Ahora cada uno toma
tres cartas. Deben sumar dos de ellas y restar la otra. Gana el que obtenga el resultado
mayor. Anota, en la última columna, quién ganó.
Ronda
Cartas de
Daniela
Cartas de
Carmen
Cartas de
Rodrigo
Cartas de
Mario
Primera
1
6
2
3
2
3
1
3
5
8
1
8
1
2
5
8
3
4
1
4
1
6
5
8
Daniela
Segunda
1
3
4
1
4
3
8
1
1
3
1
8
2
3
3
8
3
8
1
6
1
2
Daniela
Tercera
1
6
1
1
2
1
3
3
4
3
8
1
3
2
3
1
8
1
1
4
1
2
Daniela
Cuarta
1
4
1
6
1
6
3
8
1
2
1
6
3
4
1
4
1
1
8
3
8
5
8
Rodrigo
a) ¿Quién ganó al final de las cuatro rondas?
¿Quién ganó
la ronda?
Daniela.
4. Lee la siguiente información.
Cuando hay sumas y restas de fracciones con distinto denominador en una expresión es necesario
encontrar fracciones equivalentes con igual denominador para calcular el resultado. Por ejemplo:
3 _
9 _
1 =_
4 =_
17
_
+ 1 –_
+ 12 – _
8 2 6 24 24 24 24
mm
Comenta, en grupo, cómo calculaste las sumas y restas de fracciones.
39
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contenido
BLOQUE
1
Construye sucesiones de
números o de figuras a
partir de una regla dada
en lenguaje común.
Formula en lenguaje común
expresiones generales
que definen las reglas de
sucesiones con progresión
aritmética o geométrica, de
números y de figuras.
Secuencia 4 / lección 12
La matemática de las rejas
Muchas figuras que conoces siguen cierta regla o patrón. ¿Te has preguntado qué tienen que ver las rejas con las matemáticas? ¿Has notado que algunos bordados también
siguen una regla?
1. Trabaja en equipo. Don Manolo, el herrero, diseña rejas con tres modelos de barras.
Tipo A
Tipo B
Tipo C
resolver
Esta es parte de una reja.
1
2
3
4
5
6
7
En contexto
En el trabajo de los
herreros hay diversas
aplicaciones matemáticas, por ejemplo: líneas
rectas y curvas, figuras
geométricas distintas
y simetrías. Además,
constantemente toman
medidas y hacen
cálculos.
a) ¿Qué tipo de barra es la número 5? Tipo A.
b) Si la reja continúa, ¿de qué tipo será la barra número 10? Tipo B.
c) ¿Y la 39? Tipo A.
d) ¿La barra número 45 es del tipo B? No.
e) ¿Cómo lo averiguaron? Porque las rejas pares son tipo B y las impares, tipo A.
f ) Expliquen la regla que siguió don Manolo para hacer esta reja:
R. P.
40
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2. Veamos una sección de otra reja que diseñó don Manolo.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de
sucesiones.
a) Expliquen la regla que siguió don Manolo para hacer esta reja.
R. T. Van de tres en tres.
b) Completen la tabla.
Tipo de
barra
Lugares que ocupan
A
3
6
9
12
15
18
B
2
5
8
11
14
17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47
C
1
4
7
10
13
16
21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
19 22 25 28 31 34 37 40 43 46
c) Deduzcan y expliquen la regla que sigue cada sucesión numérica anterior.
Tipo de
barra
comunicar
Regla
A
R. T. Son los múltiplos de 3.
B
R. T. Van de tres en tres, a partir de 2.
C
R. T. Van de tres en tres a partir de 1.
d) Escriban el tipo de barra (A, B o C) que hay en cada lugar.
m
Lugar
18
19
20
33
38
55
104
121
Tipo
A
C
B
A
B
C
B
C
201
A
102
A
Comparen sus resultados y procedimientos con los de sus compañeros. Expliquen en su
cuaderno por qué es posible saber el tipo de reja que hay en determinado lugar.
41
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contenido
BLOQUE
1
Construye sucesiones de
números o de figuras a
partir de una regla dada
en lenguaje común.
Formula en lenguaje común
expresiones generales
que definen las reglas de
sucesiones con progresión
aritmética o geométrica, de
números y de figuras.
Secuencia 4 / lección 13
Bordados
1. Las figuras de la izquierda son diseños para hacer bordados en punto de cruz.
a) Considera que las figuras continúan y completa la tabla.
Figura
1
2
3
4
5
10
50
100
Cuadrados bordados
4
8
12
16
20
40
200
400
b) ¿Cómo calculaste el número de cuadrados bordados de la figura 100?
Multiplicando 100 Í 4.
c) Si conocieras el número de una figura, ¿cómo calcularías el número de cuadrados bor-
Figura 1
dados que tiene?
Multiplicándolo por 4.
d) Si a una figura le corresponde el número 200, ¿con qué operación se calcula su número
Figura 2
200 Í 4 = 800
de cuadrados?
e) Subraya la regla que corresponde a esta sucesión.
» Sumar 4 al número de la figura.
» Multiplicar por 4 el número de la figura.
Figura 3
» Dividir entre 4 el número de cuadrados bordados.
f ) ¿Alguna figura completa de este diseño tendrá 101 cuadrados bordados?
¿Por qué?
Figura 4
m
No.
Porque 4 no divide a 101.
Compara tus resultados con los de tus compañeros.
2. Aquí tienes otro diseño.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
a) Considera que las figuras anteriores continúan y completa la tabla.
Figura
1
2
3
4
5
10
Cuadrados bordados
5
9
13
17
21
41
50
201
100
401
42
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b) ¿Cómo calculaste los cuadrados de la figura 100? Multiplicando 100 Í 4 y sumando 1.
c) Si conocieras el número de una figura, ¿cómo calcularías el número de cuadrados bordados que tiene?
Multiplicándolo por 4 y sumando 1.
d) Si a una figura le corresponde el número 200, ¿con qué operaciones sabrías su número
Figura 1
4 Í 200 + 1 = 801
de cuadrados?
e) ¿Alguna figura completa de este diseño tendrá 45 cuadrados bordados?
Sí.
R. T. Porque 45 = 11 Í 4 + 1
f ) ¿Por qué?
Figura 2
g) Subraya la regla que corresponde a esta sucesión.
» Multiplicar por 2 el número de la figura y sumarle 3 al resultado.
» Multiplicar por 3 el número de la figura y sumarle 2 al resultado.
» Multiplicar por 4 el número de la figura y sumarle 1 al resultado.
3. Observa el diseño que está a la derecha.
Figura 3
a) Considera que las figuras continúan y completa la tabla.
Figura
1
2
3
4
5
10
Cuadrados bordados
1
4
9
16
25
100
50
100
2 500 10 000
Figura 4
resolver
b) ¿Cómo calculaste los cuadrados de la figura 100?
100 x 100
c) Escribe la regla para encontrar el número de cuadrados a partir del número de la figura:
R. T. Multiplicar el número por sí mismo.
d) Si a una figura le correspondiera el número 200, ¿con qué operaciones sabrías su número de cuadrados?
Multiplicando 200 x 200 = 40 000.
e) ¿Alguna figura completa tendrá 121 cuadrados bordados? Sí, la número 11.
f ) ¿Por qué?
m
Ve más sucesiones de
figuras en…
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SCM1-043
Porque 11 x 11 es 121.
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Lean lo siguiente y ejemplifíquenlo en
su cuaderno con una sucesión numérica y su regla.
Una sucesión numérica es un conjunto de números ordenados de acuerdo con una regla.
43
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1
Construye sucesiones de
números o de figuras a
partir de una regla dada
en lenguaje común.
Formula en lenguaje común
expresiones generales
que definen las reglas de
sucesiones con progresión
aritmética o geométrica, de
números y de figuras.
Secuencia 4 / lección 14
Sucesiones de figuras o números
1. Considera el número de flores en cada dibujo.
Dibujo 1
Dibujo 2
Dibujo 3
Dibujo 4
Practica más con sucesiones de figuras en…
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SCM1-044
a) ¿Cuántas flores tendrá el dibujo 10?
1 024
b) Explica cómo aumenta el número de flores.
R. T. Inicia con dos, y va aumentando al doble
respecto al término anterior.
resolver
2. Una sucesión de figuras formadas por puntos aumenta de tal manera que cada una
tiene el triple de puntos que la anterior. La sucesión empieza con tres puntos.
a) Dibuja las primeras cuatro figuras de la sucesión.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
R. T. Trazar tres
puntos en fila
Dibujar tres filas
de tres puntos
cada una: nueve
puntos en total
Dibujar 27 puntos.
Tres filas de 9
puntos
Dibujar un cuadrado con 9
puntos por lado:
81 puntos en total
44
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3. Escribe, a partir de la regla dada, los primeros diez números de la sucesión.
a) La sucesión inicia en 100 y se resta 2 al número anterior.
100, 98, 96, 94, 92, 90, 88, 86, 84, 82
b) La sucesión inicia en __12 y se duplica el valor del número anterior.
__1 , 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
2
c) La sucesión inicia en 0.4 y se triplica el valor del número anterior.
0.4, 1.2, 3.6, 10.8, 32.4, 97.2, 291.6, 874.8, 2 624.4, 7 873.2
m
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Resuman, en su cuaderno, qué es una
sucesión numérica y den tres ejemplos anotando la regla de cada uno.
4. Completa la tabla. En la primera columna deben aparecer los primeros cinco números de
la sucesión; en la segunda, los dos que siguen; en la tercera, la regla con que se forma.
Sucesión
Números que siguen
Regla
18, 21
Se suma 3 al número
anterior.
3, 6, 9, 12, 15, …
7, 14, 21, 28, 35, …
42, 49
125 000, 25 000,
5 000, …
1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,…
3 6 12 24 48
m
Se suma 7 al número anterior.
4,8
0.125, 0.25, 0.5, 1, 2, …
comunicar
Se multiplica por 2 el
término anterior.
Cada número es la quinta parte
del anterior.
1 000, 200
1 _
1
_
,
96 192
Cada número es la
mitad del anterior.
Explica a tus compañeros cómo completaste la tabla. Lean la siguiente información.
Hay sucesiones de números o figuras que siguen una regla o patrón. A veces, la regla consiste en
sumar o restar un número, o bien, en multiplicar o dividir; también hay sucesiones que combinan
las operaciones anteriores. Encontrar la regla te permite calcular números o dibujar figuras que
pertenecen a la sucesión.
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contenido
BLOQUE
1
Explica el significado de
fórmulas geométricas, al
considerar las literales como
números generales con los
que es posible operar.
Secuencia 5 / lección 15
La fórmula es útil, pero no es lo único
¿Recuerdas algunas fórmulas geométricas? ¿Sabes lo que significa cada uno de sus
términos? En esta secuencia analizarás estos y otros aspectos.
1. Imagina rectángulos diferentes (pequeños, medianos, grandes) y objetos que tengan
forma de rectángulo, por ejemplo, cuadernos, losetas, pizarrones, ventanas, patios,
etcétera. ¿Qué procedimiento utilizarías para calcular su área? Descríbelo.
R. T. Mediría la base y la altura, y luego multiplicaría ambas.
resolver
2. Aunque existe un procedimiento general para calcular el área de cualquier rectángulo,
la información que se necesita para ello puede expresarse de distintas maneras, como
las siguientes.
a) Sobre fondo cuadriculado. ¿Cuál es el área de cada rectángulo? Considera un cuadrito como unidad.
Convivimos
Ante una actividad
nueva es normal que
tengas dificultades y
cometas errores. Hasta
a los matemáticos
les pasa. Poco a
poco desarrollarás la
habilidad necesaria
para resolverla y te
parecerá menos difícil.
A=
15
A=
12
b) Con medidas reales. ¿Cuál es el área, en cm2, del siguiente rectángulo?
A=
21 cm2
3.5 cm
6 cm
46
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c) Con medidas ficticias. ¿Cuál es el área, en m2, de este rectángulo?
13 m
A=
325 m2
25 m
d) Con medidas disfrazadas. El radio del círculo pequeño mide 3 unidades y el del círculo grande mide 5. Calcula el área del rectángulo.
A=
3
60
5
e) Con medidas representadas con literales. El largo del rectángulo es m y el ancho, n.
¿Cuánto mide el área?
n
A=
mxn
m
m
Analiza, en grupo, cada respuesta. En caso de haber diferencias averigüen a qué se deben.
Registren sus conclusiones acerca de porqué es importante usar literales.
El resultado del último problema es la expresión general, también llamada fórmula, con que se
calcula el área de cualquier rectángulo.
La expresión con palabras es “área (del rectángulo) es igual a largo por ancho”.
La expresión con literales es A = mn. El largo y el ancho también se denominan base (b) y altura (h),
de manera que la fórmula más conocida es A = bh, pero ambas expresiones son equivalentes.
Cuando se multiplican dos literales no se usa el signo ×, para no confundirlo con la letra equis.
47
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contenido
BLOQUE
1
Explica el significado de
fórmulas geométricas, al
considerar las literales como
números generales con los
que es posible operar.
Secuencia 5 / lección 16
Con números o con letras
1. Haz, en grupo, lo siguiente.
a) Expresen con palabras, de la manera más breve posible, cómo calcular el perímetro de
un rectángulo.
comunicar
R. T. Se suma la medida de cada lado.
b) Identifiquen, con ayuda del profesor, la descripción más breve del procedimiento y verifiquen que sea correcta.
c) Expresen con una fórmula el procedimiento para calcular el perímetro del rectángulo
de la izquierda.
d) Anoten lo que falta en la tabla. Consideren que A representa el área; P, el perímetro; a, el
ancho; y l, el largo. La primera fila está resuelta.
2(a + l)
Con palabras
Con símbolos
¿Qué se calcula?
A
2a + 2l
Dos veces el ancho más dos veces el largo
P
a
l
✓
l xa
Largo por ancho
A
Área entre largo
l
Ancho más largo multiplicado por dos
Área entre ancho
2(a + l)
A
__
a
✓
Ancho más largo, más ancho más largo a + l + a + l
m
Comenten la siguiente información. La expresión 2(a + l) significa 2 por a más l, lo que
es igual a 2a + 2l. Escriban sus conclusiones en el cuaderno.
2. Las figuras son triángulos equiláteros, es decir, sus lados son iguales. En uno, las medidas
están expresadas con números; en otro, con literales.
a) Anota las medidas que se piden.
3 cm
b
26 cm
a
9 cm
3.9 cm2
3b
ba
_
2
b) Expresa con palabras cómo calcular el área de un triángulo.
El área es igual al producto de su base por la altura, dividido entre dos.
48
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m
Revisa, en grupo, las medidas que escribiste, especialmente los casos en que no coincidan
con las de tus compañeros. Comprueben quiénes tienen razón.
3. Haz lo mismo con los siguientes cuadrados
Medida de un lado:
Perímetro:
Área:
Medida de un lado:
3 cm
12 cm
9 cm2
3 cm
Perímetro:
4a
Área:
a2
a
Sigue practicando con
fórmulas geométricas
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SCM1-049
a
4. La siguiente figura es un paralelogramo. Dos medidas están indicadas con números
y una con una literal. Anota lo que se pide.
3 cm
x
Medida de un lado:
6.5
Medida de la altura:
3
Perímetro:
13 + 2x
Área:
19.5 cm2
6.5 cm
5. El perímetro de una figura cuyos lados y ángulos son iguales puede calcularse mediante
la fórmula P = a + a + a + a + a, o bien, P = 5a, donde a representa la medida de un lado.
a) ¿Qué figura es?
resolver
Un pentágono regular.
b) Si a vale 3.5, ¿cuál es el perímetro de la figura?
17.5
c) Si el perímetro mide 28 cm, ¿cuál es el valor de a?
5.6
d) En tu cuaderno, dibuja la figura y divídela en cinco triángulos iguales. La altura de uno
de esos mide b. ¿Cómo se expresa el área de la figura con literales?
A=
m
5 ba
2
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Ubiquen los errores y corrijan lo que
sea necesario.
6. La siguiente fórmula sirve para calcular el área de un trapecio: A =
(B + b) h
.
2
a) Asigna, en grupo, valores a B, b y h. R. P.
b) Calculen el área del trapecio.
c) Tracen el trapecio y escriban sus medidas.
49
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BLOQUE
1
comunicar
Secuencia 5 / lección 17
Con fórmulas y con palabras
1. Completa la tabla.
Operaciones que
intervienen
Figura a la que
pertenece
Qué se calcula
Área es igual a lado
al cuadrado.
potenciación
cuadrado
área
Perímetro es igual
a seis veces lo
que mide un lado.
multiplicación
hexágono regular
perímetro
suma, multiplicación,
división
trapecio
área
división
rectángulo
ancho
Fórmula
A = l2
P = 6l
(B + b) h
A=
2
a= A
l
Área es igual a la suma
de la base mayor más
la base menor, multiplicado por la altura,
dividido entre dos.
Ancho es igual a área
entre largo.
P = 3l
Perímetro es igual
a tres veces lo
que mide un lado.
multiplicación
triángulo equilátero
perímetro
P = 5l
Perímetro es igual
a cinco veces lo
que mide un lado.
multiplicación
pentágono regular
perímetro
Área es igual a base
por altura entre dos.
multiplicación y división
triángulo
área
Área es igual a diagonal
mayor por diagonal
menor entre dos.
multiplicación y división
rombo
área
A = bh
2
A = Dd
2
contenido
Con palabras
Explica el significado de
fórmulas geométricas, al
considerar las literales como
números generales con los
que es posible operar.
m
Revisa, en grupo, lo que anotaste en la tabla. Pónganse de acuerdo cuando haya respuestas
diferentes. Después, lean y comenten la siguiente información.
Cada fórmula es una igualdad. A la izquierda del signo igual está lo que se calcula y a la derecha,
cómo se calcula. Cada literal representa una medida de la figura y es importante saber distinguirlas, así como las operaciones que se indican, por ejemplo: B + b, la suma de la base mayor y la base
menor; bh, base por altura; 2b , el doble de la base entre la altura; l2, elevar a la segunda potencia la
h
medida de un lado, que equivale a multiplicar lado por lado.
50
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2. Las ocho fórmulas registradas en la tabla anterior corresponden a las siguientes figuras.
Anota abajo de cada una su fórmula y escribe cada letra sobre la medida que representa.
resolver
l
l
l
a
A
a=_
l
A = l2
P = 3l
l
D
l
d
Dd
A=_
2
P = 6l
P = 5l
b
h
h
b
B
(B + b)h
A=_
2
m
A=
bh
2
Trabaja en grupo. Asignen a las letras los valores que decidan, calculen lo que indican las
fórmulas y organicen la información en la tabla. Hay un caso ya resuelto (a un lado del hexágono regular se le asignó 4 cm).
Figura
Fórmula
Valores asignados
Resultado
P=6l
l = 4 cm
24 cm
técnicas
R. P.
hexágono regular
m
Revisen, con ayuda del profesor, lo que registraron en la tabla. Recuerden que puede haber
varias formas de escribir la fórmula correcta. Por ejemplo, en vez de P = 6 l, alguien pudo
escribir P = l + l + l + l + l + l.
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contenido
BLOQUE
1
Traza triángulos y
cuadriláteros mediante el
uso del juego de geometría.
técnicas
¿Podrías haber empezado trazando el segmento de 3.5 cm? ¿Cuáles
serían las instrucciones
para este caso?
Secuencia 6 / lección 18
De tres lados
En esta secuencia podrás responder preguntas como las siguientes: ¿Cómo trazarías un
triángulo si conocieras las medidas de los lados? ¿Podrías trazar un cuadrado si supieras
cuánto mide su diagonal?
1. Sigue las indicaciones para trazar en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan 4 cm,
2.5 cm y 3.5 cm.
a) Se traza un segmento de 4 cm.
b) Se abre el compás a 2.5 cm y, apoyándolo
en un extremo del segmento, se traza un
arco.
c) Se abre el compás a 3.5 cm y, apoyándolo en el otro extremo del segmento, se traza otro arco que corte al
primero.
d) Se une cada extremo del segmento con
el punto de corte de los arcos y se obtiene el triángulo deseado.
Los triángulos que tienen tres lados desiguales se llaman triángulos escalenos.
Los que tienen dos lados iguales se llaman triángulos isósceles.
Los triángulos isósceles que tienen tres lados iguales también se llaman triángulos equiláteros.
2. Traza en tu cuaderno o en una hoja, con instrumentos geométricos, un triángulo que
tenga al menos dos lados iguales y otro con tres lados diferentes.
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3. Traza triángulos con las características que se indican. Utiliza instrumentos geométricos.
Anota la medida de cada lado y, cuando sea el caso, indica el ángulo de 90°.
Isósceles con un ángulo de 90°
Equilátero
R. P.
Escaleno con un ángulo de 90°
Dadas tres medidas
diferentes, ¿siempre
será posible trazar un
triángulo con ellas?
Estudiarás esto más
adelante.
Cualquier triángulo con ángulos menores
de 90°
Los triángulos que tienen tres ángulos agudos, es decir, menores de 90°, se llaman triángulos
acutángulos.
Los que tienen un ángulo recto, es decir, de 90°, son triángulos rectángulos.
Los que tienen un ángulo obtuso, es decir, mayor de 90°, se conocen como triángulos
obtusángulos.
4. Comenta, en equipo, si es posible que un triángulo…
m
a) sea equilátero y rectángulo a la vez.
No es posible.
b) sea isósceles y acutángulo a la vez.
Sí es posible.
c) tenga más de un ángulo recto.
No es posible.
d) tenga más de un ángulo obtuso.
No es posible.
comunicar
Comenten sus respuestas con sus compañeros. Para cada caso, si concluyeron que el triángulo existe, tracen un ejemplo en el cuaderno. Si concluyeron que no, argumenten por qué.
53
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contenido
BLOQUE
1
Traza triángulos y
cuadriláteros mediante el
uso del juego de geometría.
técnicas
Secuencia 6 / lección 19
De cuatro lados
1. Lee los procedimientos. Sin llevar a cabo las instrucciones, imagina qué resulta.
Procedimiento A
» Traza una recta.
» Con el compás, traza dos
circunferencias que se corten entre
sí y tengan su centro en diferentes
puntos de la recta.
» Encuentra los dos puntos de corte de
ambas circunferencias.
» Traza una recta que pase por los dos
puntos.
Procedimiento B
» Traza una recta.
» Con el compás, traza una circunferencia
con centro sobre la recta. Nómbralo
circunferencia C1.
» Con el compás, traza otras dos
circunferencias del mismo tamaño cuyos
centros equidisten del centro de C1 y que
corten a C1 en dos puntos.
» Ubica los puntos de corte (que estén
del mismo lado de la recta) de las dos
circunferencias con C1.
» Traza una recta que pase por estos dos
puntos.
a) Escribe si se puede utilizar el procedimiento A, el B o ninguno para obtener lo que se
indica.
» Una recta transversal a la primera recta. Procedimientos A y B.
» Una recta paralela a la primera recta. Procedimiento B.
» Una recta perpendicular a la primera recta. Procedimientos A y B.
validar
2. Traza en tu cuaderno lo que indican los
procedimientos y verifica tus respuestas.
técnicas
3. Observa, en equipo, cómo trazar rectas
perpendiculares usando escuadras.
Una pista
Trazar rectas perpendiculares con escuadras
te puede ayudar.
a) Averigüen cómo trazar rectas paralelas usando escuadras.
b) Tracen en su cuaderno una pareja
de rectas perpendiculares y una de
paralelas usando escuadras.
c) Comenten los procedimientos que
utilizaron.
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resolver
4. Traza, con instrumentos geométricos, lo que se indica.
a) Un rectángulo cuya base sea AB y uno de sus vértices el punto C.
C
B
A
b) Un cuadrado, tomando el siguiente segmento como uno de sus lados.
c) Un rombo, uno de cuyos lados sea el segmento PQ y tenga dos ángulos de 60º.
P
60o
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de trazo de
cuadriláteros.
120o
120o
60o
Q
d) Un cuadrado que tenga por diagonal el siguiente segmento.
Una pista
Analiza cómo son entre
sí las diagonales de un
cuadrado.
55
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contenido
BLOQUE
1
Traza triángulos y
cuadriláteros mediante el
uso del juego de geometría.
Secuencia 6 / lección 20
Diseños con triángulos y cuadriláteros
1. Completa las instrucciones para trazar el siguiente diseño.
» Traza un
cuadrado.
» Ubica los puntos medios de cada
uno de sus lados.
» Une consecutivamente los puntos
medios que localizaste para formar otro
Ya sabemos...
El punto medio de un
segmento se encuentra sobre este y a la
misma distancia de
sus extremos.
cuadrado más
»
pequeño y traza
sus diagonales.
comunicar
2. Analiza, en equipo, cada diseño. Escriban las instrucciones para trazarlo con instrumentos
geométricos. Puede ser del tamaño que consideren conveniente.
R. T. Traza un triángulo equilátero.
Divide cada lado en cuatro partes
iguales. Une los puntos formando
líneas paralelas.
R. T. Traza un rombo. Traza sus
diagonales. Prolonga la diagonal menor.
Aprende más sobre
cuadriláteros en…
Selecciona un punto sobre esta recta y
www.e-sm.com.mx/
SCM1-056
únelo con los vértices del rombo opuestos a la diagonal menor.
m
Elige, en grupo, uno de los diseños. Lean en voz alta algunas de las instrucciones que escribieron. Comenten si con ellas pueden construir el modelo.
56
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3. Traza en tu cuaderno cualquiera de los diseños de la página anterior.
4. Traza un diseño geométrico en el espacio de abajo siguiendo las instrucciones.
» Traza un cuadrado que mida 4 cm de lado.
» Sobre cada lado, hacia afuera, traza un triángulo equilátero.
» Traza los cuatro ejes de simetría del cuadrado.
» Prolonga los ejes de simetría que cortan a los lados hasta que toquen los vértices de los
triángulos.
» Colorea a tu gusto.
R. P.
m
Comparen su diseño con los de sus compañeros. Si no son iguales determinen por qué.
5. Reúnete con un compañero y hagan lo siguiente.
» Construya, cada uno, un diseño geométrico con triángulos y cuadriláteros. No lo muestren
al otro.
» Escriban las instrucciones para que el compañero lo reproduzca.
» Intercambien las instrucciones. Cada uno trace el diseño que inventó el otro, según sus
instrucciones.
» Al terminar, comparen los diseños y vean si son iguales. Si no es así, determinen qué ocurrió.
resolver
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contenido
BLOQUE
1
Traza y analiza las
propiedades de las alturas,
medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
resolver
Secuencia 7 / lección 21
Un triángulo al interior de un círculo
Considera un triángulo: ¿qué es el centro de gravedad?, ¿cuántas alturas tiene?, ¿se
puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices?, ¿se puede trazar una que
toque en un punto sus lados?
Al estudiar esta secuencia podrás responder estas preguntas.
C
1. Trabaja con un compañero. Tracen en su
cuaderno un triángulo escaleno acutángulo.
Nombren sus vértices como A, B y C.
a) Intenten trazar un círculo cuya circunferencia pase por A, B y C. Si lo logran,
expliquen cómo encontrar el centro del
círculo de una manera que no sea al
tanteo.
B
A
R. T. Trazando las mediatrices.
técnicas
2. Ahora conocerás una forma de trazar la circunferencia anterior.
a) En una hoja de papel traza un triángulo ABC como el anterior.
b) Marca dobleces en el papel.
» Dóblalo de manera que el vértice A quede
exactamente encima del vértice B. Marca
bien el doblez.
» Ahora dobla el papel de manera que el
vértice A quede encima del vértice C y
marca el doblez.
» Haz que el vértice B quede encima del
vértice C.
» Si hiciste bien los dobleces, las líneas
marcadas deben cortarse en un solo
punto, como muestra la figura.
C
B
A
c) Nombra P al punto donde se cortan las tres líneas. Mide las distancias de P a cada
vértice.
PA =
2.5 cm
PB =
2.5 cm
PC =
2.5 cm
d) P es el centro del círculo que pasa por los tres vértices. Verifícalo.
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Cuando una circunferencia pasa por los tres vértices se dice que circunscribe al triángulo y se le
llama circunferencia circunscrita.
Los dobleces que marcaste son las mediatrices de los lados del triángulo. La mediatriz de un segmento es la perpendicular al segmento en su punto medio. El punto donde se cortan las tres mediatrices se denomina circuncentro, pues es el centro de la circunferencia circunscrita.
3. Traza en papel un triángulo rectángulo y uno obtusángulo. Marca sus mediatrices con
dobleces, encuentra el circuncentro y traza un círculo que pase por los vértices.
C
A
C
B
A
B
a) ¿Dónde quedó el circuncentro del triángulo rectángulo?
Sobre la hipotenusa.
b) ¿Dónde quedó el circuncentro del triángulo obtusángulo?
Afuera del triángulo.
Comenta tus respuestas con tus compañeros. Argumenten, con ejemplos, cómo llegaron
a ellas. Entre todos, califiquen como falsa o verdadera cada una de las siguientes afirmaciones.
Argumenten sus respuestas.
m
validar
a) El circuncentro de un triángulo siempre queda dentro del triángulo. Falsa
b) El circuncentro de un triángulo rectángulo se ubica sobre el lado mayor del triángulo. Verdadera
m
Compara tus respuestas con la de un compañero. Si no coinciden, anoten por qué en sus
cuadernos.
4. Traza en tu cuaderno estos diseños. En el primero, los lados iguales del triángulo
isósceles deben medir 5 cm y, en el segundo, los lados del triángulo equilátero deben
medir 6 cm.
En el bloque 2 aprenderás más sobre mediatrices y cómo trazarlas con regla y compás.
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contenido
BLOQUE
1
Traza y analiza las
propiedades de las alturas,
medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
técnicas
Secuencia 7 / lección 22
Un círculo en un triángulo
1. Trabaja con un compañero. Intenten trazar en el triángulo de la derecha una circunferencia como se muestra en el triángulo de la izquierda. Observen que la circunferencia
toca cada lado del triángulo en un solo punto. Expliquen cómo encontrar el centro del
círculo de una manera que no sea al tanteo.
2. Ahora sabrás cómo trazar la circunferencia anterior.
» Traza en una hoja un triángulo escaleno
acutángulo, como los triángulos anteriores,
y recórtalo. Dobla por la mitad cada ángulo.
» Si hiciste bien los dobleces, deben cortarse en
un solo punto, como muestra la figura. Llama
P a ese punto.
B
» Traza un segmento que salga de P y sea
perpendicular a uno de los lados. Observa que,
sin importar qué lado escojas, los segmentos
miden lo mismo.
P
C
A
» Apoya tu compás en P y ábrelo al tamaño del
segmento que trazaste en el punto anterior.
Verifica que P sea el centro del círculo y toque
en un solo punto cada lado del triángulo.
B
P
C
A
60
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Cuando una circunferencia toca en un punto cada lado de un triángulo, se dice que está inscrita
en el triángulo.
Los dobleces que marcaste son las bisectrices de los ángulos del triángulo.
El punto donde se cortan las tres bisectrices se llama incentro, pues es el centro de la circunferencia inscrita.
3. Traza un círculo inscrito en cada triángulo.
C
C
B
A
m
B
A
a) ¿Dónde quedó el incentro del triángulo rectángulo?
Dentro del triángulo.
b) ¿Dónde quedó el incentro del triángulo obtusángulo?
Dentro del triángulo.
Comenta, en grupo, si la siguiente afirmación es verdadera y argumenta por qué. El incentro
de un triángulo siempre queda dentro de este.
resolver
4. En la siguiente figura aparece el triángulo ABC, al que se le han prolongado
los lados, así como tres circunferencias
que tocan un lado y las prolongaciones
de los otros dos en un punto. A esas circunferencias se les llama exinscritas.
a) Construye, con un compañero, un
triángulo en una hoja de papel. Prolonguen sus lados, averigüen cómo
ubicar el centro de cada circunferencia y tracen las tres circunferencias
exinscritas.
validar
A
B
C
En el bloque 2 aprenderás más sobre bisectrices y cómo trazarlas con regla y compás.
61
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contenido
BLOQUE
1
Traza y analiza las
propiedades de las alturas,
medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
técnicas
Secuencia 7 / lección 23
Centro de gravedad
1. Recorta, en pareja, un triángulo de cartón. Intenten encontrar un punto para ponerlo
en equilibrio sobre la goma de un lápiz. Cuando lo hagan, márquenlo con un círculo
pequeño.
2. ¿Cómo encontrar el punto de equilibrio de manera segura y no al tanteo? Hagan lo
siguiente en su triángulo de cartón.
»
»
»
»
Localicen el punto medio de cada lado.
Unan cada vértice con el punto medio del lado opuesto.
Verifiquen que los tres segmentos trazados se corten en un punto, que llamarán B.
Comprueben que B es el punto de equilibrio del triángulo. ¿Está cerca del que encontraron
antes?
El segmento que une un vértice con el punto medio de su lado opuesto se denomina mediana.
El punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo se llama baricentro o centro de
gravedad.
3. Encuentra el baricentro de los triángulos.
62
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validar
4. Considera la siguiente afirmación.
Una mediana y una mediatriz de un triángulo nunca coinciden.
a) Demuestra con un ejemplo que la
afirmación es falsa. Traza el triángulo
con su mediana y su mediatriz en el
recuadro de la derecha.
R. T. Un triángulo equilátero o
isósceles.
5. Señala la afirmación falsa y demuestra por qué lo es con un ejemplo.
Afirmación
Ejemplo
na
dia
me
mediana, mediatriz y bisectriz
me
dia
na
triz
ec
bis
c) En un triángulo equilátero, el baricentro, el
circuncentro y el incentro son el mismo punto.
triz mediatriz
media
b) En un triángulo isósceles con solo dos lados
iguales, las medianas, bisectrices y mediatrices
coinciden.
bis
ec
triz
a) El baricentro de un triángulo siempre queda
dentro de él.
falsa
6. Traza en el recuadro un triángulo cuyo centro de gravedad esté a la misma distancia de
sus vértices.
R. T. Un triángulo equilátero.
m
resolver
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten de qué tipo es el triángulo
de la actividad 4 y compárenlo con el del inciso b) de la actividad 5. Escriban sus conclusiones sobre qué sucede con el triángulo equilátero.
63
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contenido
BLOQUE
1
Traza y analiza las
propiedades de las alturas,
medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
Secuencia 7 / lección 24
Las alturas del triángulo
C
1. Traza en una hoja un triángulo escaleno
acutángulo y nombra sus vértices como
A, B y C.
B
A
C
» Dobla el papel de manera que el
vértice B caiga sobre el lado AB y el
doblez pase por el punto C, como
muestra la ilustración de la derecha.
A
B
C
» Este doblez es una de las tres alturas
del triángulo: la que corresponde al
lado AB. En el dibujo se indica con una
línea punteada.
B
A
C
Explora las propiedades
de las alturas de un
triángulo en…
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SCM1-064
» Marca con el procedimiento que
prefieras las otras dos alturas del
triángulo: la que corresponde al lado
AC y pasa por el vértice B, y la que
corresponde al lado BC y pasa por
el vértice A.
A
B
» Si hiciste bien los dobleces observarás
que las tres alturas se cortan en un
punto.
La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado o su prolongación y que pasa
por el vértice opuesto a dicho lado.
Los triángulos tienen tres alturas y estas concurren en un punto llamado ortocentro.
64
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2. El siguiente procedimiento sirve para trazar solo con escuadras las alturas de un
triángulo.
Paso 1
Coloca una escuadra sobre un lado del
triángulo.
C
técnicas
Paso 2
Coloca la otra escuadra de manera que forme ángulo recto con la anterior y pase por
el vértice opuesto. Traza la altura.
C
A
B
A
B
a) Traza en tu cuaderno un triángulo en el que…
resolver
» el ortocentro sea uno de sus vértices.
» el ortocentro quede fuera del triángulo.
b) ¿Cómo es el triángulo cuyo ortocentro es uno de sus vértices? Triángulo rectángulo.
c) ¿Cómo es el triángulo cuyo ortocentro queda fuera del triángulo?
Obtusángulo.
3. Traza en tu cuaderno un triángulo en el que…
» una de sus alturas también sea una de sus mediatrices.
» dos de sus alturas coincidan con dos de sus lados.
4. Traza las alturas, las medianas, las mediatrices y las bisectrices del siguiente triángulo.
¿Qué observas? Anota en tu cuaderno tus conclusiones.
m
Compara tus respuestas a las actividades 2, 3 y 4 con las de tus compañeros. Comenten si
las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Argumenten sus respuestas.
» La altura de un triángulo siempre es menor o igual que la mediana que corresponde
al mismo lado.
» Cualquiera de las alturas de un triángulo siempre es menor que uno de sus lados.
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de alturas
del triángulo.
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contenido
BLOQUE
1
Secuencia 8 / lección 25
¿Son proporcionales?
Resuelve problemas de
reparto proporcional.
resolver
Dos amigos hicieron juntos un trabajo. Uno de ellos trabajó el doble de tiempo que el
otro. ¿Crees que las ganancias deben repartirse por mitades? ¿Por qué?
1. Trabaja con un compañero. Completen las tablas. Si consideran que algún dato no puede
calcularse, tachen la casilla correspondiente.
Un taxi cobra $7.04 por el servicio más
$0.86 por cada 250 m
Cuando Mario nació, Luisa tenía 6 años
Acontecimiento
Edad de Mario
Edad de Luisa
Mario entra a la escuela primaria.
6
12
Luisa termina la licenciatura.
18
24
Luisa tiene su primer hijo.
30
36
15
$58.64
Mario tiene su primer hijo.
42
48
30
$110.24
Km recorridos
en taxi
Precio del recorrido
3
$17.36
$24.24
5
Tabla 1
Tabla 2
Los helados se venden a…
Una receta para un pastel pide hornear durante 45 min a 200°
Núm. de pasteles que se
hornean al mismo tiempo
Tiempo de horneado
1
45 min
2
3
Núm. de helados
Precio total
3
$9.00
6
$18.00
45 min
15
$45.00
45 min
30
$90.00
Tabla 3
Tabla 4
Las cajas tienen la misma
cantidad de chocolates
El disco contiene 20 canciones
Núm. de chocolates
Núm. de canciones
reproducidas
Tiempo transcurrido desde que se
reproduce la primera canción
3
36
1
3 min
6
72
120
144
2
7 min
3
9 min
4
X
Núm. de cajas
10
12
Tabla 5
Tabla 6
Ana lee un libro
Un automóvil se desplaza a una velocidad
constante de 90 km/h
Núm. de páginas
leídas
Núm. de páginas
por leer
12
102
24
90
2h
36
78
3h
60
54
Tabla 7
Tiempo
transcurrido
1h
4h
Distancia
90
180
270
360
Tabla 8
66
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2. Revisa, en grupo y con la ayuda del profesor, las tablas anteriores de la siguiente manera.
a) Comparen las cantidades que encontraron. Si difieren, identifiquen las correctas.
b) En la primera columna de la tabla, hay una lista de características de una relación. En la
primera fila, las “T” refieren a las tablas de la actividad 1. Indiquen con una palomita (ü)
o un tache (×) si la tabla tiene la característica indicada.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
Cuando una cantidad de uno de los
conjuntos varía (aumenta o disminuye), la
correspondiente del otro conjunto puede
no variar (solamente una tabla tiene esta
característica).
Cuando las cantidades de un conjunto
aumentan, las correspondientes del otro
conjunto tienen algún aumento.
Ya sabemos...
Hay muchas formas en
que las cantidades de
un conjunto dependen de las de otro.
Si una cantidad de un
conjunto aumenta
dos veces, tres veces o
n veces, y la correspondiente del otro
conjunto aumenta
ese mismo número
de veces, se dice que
las cantidades de un
conjunto son directamente proporcionales a las del otro
conjunto.
comunicar
Cuando las cantidades de un conjunto
aumentan, las correspondientes del otro
conjunto disminuyen.
La diferencia (resta) entre dos cantidades de
un conjunto es siempre igual a la diferencia
entre las dos cantidades correspondientes
en el otro conjunto.
Cuando una cantidad se hace dos, tres,
o n veces mayor, la correspondiente del
otro conjunto se hace ese mismo número
de veces mayor (tres tablas tienen esta
característica).
3. Contesten las preguntas.
» ¿Las edades de Luisa y Mario cambian de manera proporcional?
No.
» ¿La cantidad de tiempo que requieren los pasteles para hornearse es proporcional a la
No.
cantidad de pasteles que se hornean?
» ¿La cantidad de dinero que se debe pagar por los helados es proporcional a la cantidad
de helados que se compren?
Sí.
» ¿La cantidad total de tiempo transcurrido desde la primera canción es proporcional al
No.
número de canciones que han sido reproducidas?
4. Encuentren tres parejas de cantidades que sean proporcionales y tres que no lo sean.
(2, 4), (3, 6) y (4, 8) son proporcionales; (1, 2) (3,5) y (8, 10) no lo son.
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1
Resuelve problemas de
reparto proporcional.
Secuencia 8 / lección 26
El campamento
1. En el campamento al que fue Juan, los víveres se distribuyeron entre las tiendas de
campaña. La cantidad que se entregó a cada tienda dependió del número de ocupantes.
Un día hubo protestas por el reparto de galletas.
a) Compara lo que recibieron los ocupantes de las tiendas A y B en el reparto de galletas,
y anota quiénes protestaron y por qué.
resolver
Tienda de campaña
A
B
R. T. Los de la tienda B, porque le
Núm. de ocupantes
3
5
correspondieron menos galletas por
Núm. de galletas
7
7
ocupante.
b) En cada par de tiendas indica si el reparto de galletas te parece justo y argumenta por qué.
Tienda de campaña
C
D
Tienda de campaña
E
F
Núm. de ocupantes
4
4
Núm. de ocupantes
3
6
Núm. de galletas
7
8
Núm. de galletas
7
12
Practica con situaciones
de reparto proporcional en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-068
R. T. No, ambas tiendas deben recibir
No, la tienda F debe recibir el doble de
igual cantidad de galletas.
galletas que la E.
Tienda de campaña
G
H
Tienda de campaña
I
J
Núm. de ocupantes
3
2
Núm. de ocupantes
2
8
Núm. de galletas
5
7
Núm. de galletas
4
16
No, la tienda G tiene más ocupantes
Sí, pues ambas tiendas
pero recibió menos galletas. .
reciben la misma cantidad de
galletas por ocupante.
m
Comenta, en grupo y con tu profesor, qué condiciones debe cumplir un reparto para que
sea justo. Anota las conclusiones a las que lleguen.
R. T. Al dividir el número de galletas entre el número de ocupantes
de cada tienda, el resultado debe ser el mismo.
68
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2. Reparte 80 galletas entre las diez tiendas de manera que el reparto sea justo. Anota en
la tabla tus resultados.
Tienda de campaña
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Total
Núm. de ocupantes
3
5
4
4
3
6
3
2
2
8
40
Núm. de galletas
6
10
8
8
6
12
6
4
4
16
80
Si los grupos de personas fueran del mismo tamaño, para que el reparto fuera justo bastaría con
dar la misma cantidad a cada uno.
Como los grupos no son del mismo tamaño, una manera de que el reparto sea justo es que las
cantidades sean proporcionales al tamaño de cada grupo, es decir que, si un grupo es dos, tres
o n veces mayor que otro, reciba una cantidad ese mismo número de veces mayor. Cuando esto
ocurre, se dice que el reparto es proporcional.
m
Compara las tablas con las de tus compañeros. Revisa si las calcularon como tú. Explica tu
método.
3. En la siguiente tabla se presentan otras cantidades de víveres.
a) Trabaja en pareja. Distribuyan los víveres de manera que los repartos sean
proporcionales.
Tienda de campaña
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Total
Núm. de ocupantes
3
5
4
4
3
6
3
2
2
8
40
Núm. de latas
de atún
9
15
12
12
9
18
9
6
6
24
120
l
de agua
12
20
16
16
12
24
12
8
8
32
160
Núm. de panes
3.75
6.25
5
5
3.75
7.5
3.75
2.5
2.5
10
50
Kg de queso
.75
1.25
1
1
.75
1.5
.75
.5
.5
2
10
b) Verifiquen que, aunque los grupos reciben cantidades distintas, a las personas les
corresponde la misma cantidad de cada cosa, por ejemplo, todas obtienen una pieza y
cuarto de pan.
4. Resuelve el siguiente problema. Te puede ayudar hacer una tabla.
Los habitantes de tres pequeñas comunidades harán una obra de drenaje. El costo de los
materiales necesarios asciende a $360 000.00. Se decidió que las aportaciones sean proporcionales al número de habitantes de cada comunidad. En la comunidad A hay 120, en la comunidad B hay 240 y en la comunidad C, 360. ¿Con cuánto debe cooperar cada comunidad?
Responde en tu cuaderno.
m
Compara con tus compañeros las distintas maneras de resolver el problema anterior. Verifiquen que la comunidad C, en comparación con la A, coopere el triple, mientras que la B, el
doble.
Convivimos
Comunicar a otros ideas
propias no siempre es
fácil pero tiene ventajas
importantes: permite
que uno mismo aclare
sus ideas y las precise,
propicia que se reciba
retroalimentación de
otros y, también, es una
forma de ayudar a los
demás.
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contenido
BLOQUE
1
Secuencia 8 / lección 27
Repartos justos
Resuelve problemas de
reparto proporcional.
1. Tres personas abrieron una pequeña sastrería. Debido a que tienen distintas ocupaciones,
acordaron turnarse para atender el negocio y repartirse las ganancias de cada semana
en función del tiempo que trabajara cada quien.
a) En la siguiente tabla se indican las horas que trabajó cada persona durante la primera
semana, así como las ganancias totales que obtuvieron. Busca cómo distribuir las ganancias entre las tres personas en función del tiempo trabajado.
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad de reparto de
ganancias.
m
Primera semana
María
Ana
Pedro
Total
Horas trabajadas
20 h
8h
12 h
40 h
Ganancia correspondiente
$1 000.00
$400.00
$600.00
$2 000.00
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si repartieron las ganancias de distintas
maneras, comenten cuáles, a su juicio, son justas.
b) Distribuye las ganancias de la segunda semana. Enseguida, completa los procedimientos que están bajo la tabla.
Segunda semana
María
Ana
Pedro
Total
Horas trabajadas
32 h
12 h
4h
48 h
Ganancia correspondiente
$1 920.00
$720.00
$240.00
$2 880.00
Procedimiento 1
técnicas
1
Procedimiento 2
1
4 h es 12 de 48 h; por tanto, a Pedro le corresponde 12 de $2 880.00,
es decir, $ 240.00
. 12 h es
1
de 48 h; por tanto, a Ana le
Si por 48 h ganaron $2 880.00, ganaron en promedio
$ 60.00
por h.
4
corresponden $
720.00
. 32 h es
2
de 48 h; por tanto, a
Entonces, Pedro ganó $ 240.00
, Ana ganó
3
María le corresponden $
validar
1 920.00
.
$ 720.00
y María ganó $
1 920.00 .
c) Verifica lo siguiente.
» ¿La suma de lo que ganan los tres juntos es igual a $2 880.00?
» Ana trabajó el triple de tiempo que Pedro. ¿También ganó el triple?
Sí.
Sí.
» María trabajó ocho veces lo que trabajó Pedro. ¿También ganó ocho veces más que él?
70
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Sí.
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d) Haz lo mismo con estos datos.
Tercera semana
María
Ana
Pedro
Total
Horas trabajadas
18 h
6h
24 h
48 h
Ganancia correspondiente
$1 620.00
$540.00
$2 160.00
$4 320.00
2. Resuelve el problema.
Tres amigos reunieron su dinero para comprar un boleto de $250.00 para una rifa. Luis aportó
$50.00; Jaime, $125.00; y Rosa, $75.00. Tuvieron suerte y ganaron un premio de $2 000.00.
Decidieron que las cantidades que les correspondieran fueran proporcionales a lo que dieron
para comprar el boleto.
a) ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?
A Luis le corresponden $400.00;
a Jaime, $1 000.00; y a Rosa, $600.00.
b) Verifica tus resultados. ¿La suma de lo que obtendrá a cada uno es igual a $2 000.00?
Jaime aportó 2
1
2
veces lo que Luis. ¿La ganancia de Jaime también es 2
1
2
la de Luis?
Sí.
3. Completa las soluciones del problema anterior.
Solución 1
Solución 2
El premio ($2 000.00) es ocho veces mayor
que el costo del boleto ($250.00).
Jaime aportó la mitad; por tanto, recibirá la mitad. Luis aportó la quinta parte; por ello recibirá
la quinta parte. ¿Y Rosa? Ella recibirá lo demás.
x
Total
Luis
Jaime
Rosa
Boleto
$250.00
$50.00
$125.00
$75.00
8
Premio
$2 000.00
$400.00
$1 000.00
$600.00
R. T. Jaime = $1 000.00
Luis = $400.00
Jaime + Luis = $1 000.00 + $400.00 = $1 400.00
Rosa = $2 000.00 - $1 400.00 = $600.00
4. Resuelve el problema.
Cuatro amigas, Martha, Pati, Lupita y Marina, hicieron un viaje juntas. Reunieron el dinero que
cada una tenía: $600.00 de Martha, $600.00 de Pati, $950.00 de Lupita y $850.00 de Marina.
Al regresar del viaje les quedaron $150.00. Decidieron repartirse el sobrante de manera proporcional a lo que cada una aportó. Anota en tu cuaderno.
resolver
a) ¿Cuánto le corresponde a cada una? $30.00 a Martha, $30.00 a Pati, $47.50
a Lupita y $42.50 a Mariana.
b) ¿Cuánto habría recibido cada amiga si el sobrante hubiera sido…
» $300.00?
» $450.00?
$60.00, $60.00, $95.00, $85.00 $90.00, $90.00, $142.50, $127.50
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contenido
BLOQUE
1
Identifica y practica juegos
de azar sencillos y registra
los resultados. Elección
de estrategias en función
del análisis de resultados
posibles.
Secuencia 9 / lección 28
Hablemos de juegos I
En la vida hay muchas situaciones en las que interviene el azar, es decir, situaciones
cuyos resultados son impredecibles, como en muchos de los juegos que conoces: lotería,
oca, ruleta, volados, etcétera.
Instrucciones generales
En esta lección y en la siguiente se describen cuatro juegos que podrás
practicar en varias sesiones de clase. En cada uno haz lo siguiente.
» Agrúpate para jugar en parejas o en grupos más amplios, como
se indique en cada juego.
» Jueguen al menos cinco rondas y registren en una tabla quién
gana en cada una.
» Después de la última ronda de cada juego, comenten con
los demás jugadores si creen que es un juego de azar (no hay
certeza sobre el resultado del juego) y por qué.
» Averigüen si hay una estrategia para ganar.
1. Carrera a 20
Reglas
» Se juega en parejas. Solo necesitan una hoja de papel y
un lápiz. Antes de iniciar el juego, dibujen sobre la hoja un
esquema como el que se muestra.
Javier
Maru
» El jugador que inicia escribe, de su lado, 1 o 2.
» El otro jugador suma 1 o 2 a lo que escribió el primero y
escribe el resultado en su lado del esquema.
» Ahora, el jugador que inició el juego puede sumar 1 o 2 a lo
que escribió el otro jugador. Y así sucesivamente.
» Gana quien llega primero a 20.
resolver
a) Jueguen varias partidas y traten de
encontrar una estrategia para ganar
siempre.
b) Javier y Maru jugaron dos partidas.
En la primera empezó Javier y ganó
Maru. En la segunda empezó Maru y
también ganó. Analiza las jugadas
y contesta las preguntas.
Javier
Maru
Javier
Maru
1
2
3
1
3
5
7
5
7
8
10
8
9
11
12
11
13
14
16
14
15
17
18
17
18
20
20
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» ¿A qué atribuyes que Javier perdiera la primera partida?
Cuando Maru
coloca el 2, Javier puede llegar a 3 o 4. En cualquier caso, Maru puede
llegar a 5 y continuar la sucesión 5, 8, 11, 14, 17, 20.
» ¿Y la segunda? Después del 1 de Maru, Javier debió sumar 1 para
llegar a 2; sin embargo, sumó 2 y llegó a 3. Maru de
nuevo pudo llegar a 5 y controlar el juego.
» ¿Pudo ganar en alguna, o en las dos?
En las dos.
c) Probablemente encontraste una estrategia para ganar. Compártela con el grupo. Verifiquen si funciona siempre.
d) ¿Consideras que carrera a 20 es un juego de azar?
validar
No. ¿Por qué?
R. T. Porque si los dos jugadores conocen la estrategia ganadora, siempre
ganará el que tenga el primer turno.
2. Completa el entero
Reglas
» Agrúpate con cuatro compañeros. Necesitan el juego de cartas que utilizaron en la
lección 10 de la secuencia 3.
» Uno de los jugadores revuelve las cartas y las reparte. A cada jugador le corresponden
ocho.
» El jugador que inicia el juego pone en el centro de la mesa una de sus cartas, con
el número hacia arriba.
» El jugador que está a su derecha busca entre sus cartas una que, sumada a la que
está en la mesa, dé 1. Si la encuentra, la pone al centro de la mesa para que todos
verifiquen que la suma es 1 y recoge las dos cartas. Si no la encuentra, cede el turno
al jugador que está a la derecha.
» Las cartas que tienen 1 son comodines: se les puede dar el valor necesario para
formar el entero.
» El juego termina cuando todos agotan sus cartas o cuando nadie puede formar
el entero. Gana el juego quien forme más enteros.
a) Si encontraste una forma de ganar siempre, compártela con el grupo.
comunicar
b) ¿Consideras que completa el entero es un juego de azar? Sí y no. ¿Por qué?
Aunque las cartas se reparten al azar, también interviene la habilidad del
jugador.
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contenido
BLOQUE
1
Identifica y practica juegos
de azar sencillos y registra
los resultados. Elección
de estrategias en función
del análisis de resultados
posibles.
Secuencia 9 / lección 29
Hablemos de juegos II
1. El siete mata
Reglas
» Forma un equipo de tres a cinco jugadores. Uno será cajero y los demás, apostadores.
Necesitan un tablero como el que se muestra, dos dados y 25 fichas. Pueden dibujar
el tablero en 14 de cartulina.
2
3
4
5
6
8
9
10
11
12
» Antes de iniciar el juego, el cajero reparte cinco fichas a cada apostador y se queda
con cinco. Enseguida, cada apostador pone su apuesta en el número que prefiera. El
cajero lanza los dados, suma los puntos y paga a quien eligió la casilla con el número
resultante el doble de lo que apostó. Las apuestas de los perdedores son para el cajero.
» Si en una tirada cae 7 (que no está en el tablero), el cajero gana las apuestas. Si cae
un número distinto a 7 y nadie gana, el cajero vuelve a lanzar los dados.
» El juego termina cuando alguno de los apostadores o el cajero se queda sin fichas.
Gana quien tiene más fichas; puede ser un apostador o el cajero.
a) Jueguen diez partidas. Anoten, en la tabla, el nombre de los jugadores y registren quién
ganó en cada ocasión. Después de las partidas contesten las preguntas.
1
Cajero
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R. P.
Jugador 1
Jugador 2
Jugador 3
Jugador 4
74
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b) ¿Habrá algunos números a los que conviene apostarles porque salen más veces que
Sí. Si tu respuesta es sí, escribe los números; si es no, explica por qué.
otros?
resolver
R. T. El 6 y el 8 (cada uno tiene cinco maneras distintas de salir)
c) ¿Tiene ventaja ser apostador o ser cajero en este juego?
Explica por qué.
Ser cajero.
R. T. El jugador solo gana con una casilla del tablero; el
cajero, con todas las demás..
2. Cubilete
Reglas
» Pueden participar de dos a cuatro jugadores. Necesitan cinco dados, un vaso de
plástico y 20 fichas, que se reparten equitativamente.
» En cada ronda, cada jugador apuesta una ficha. Por turnos, usan el vaso para revolver
los dados y lanzarlos sobre la mesa. Gana el jugador que obtiene más caras iguales
y con más puntos en la ronda.
» En caso de empate, vuelven a lanzar los jugadores que empataron.
» El juego termina cuando algún jugador se queda sin fichas. El ganador es el que
tiene más fichas.
a) ¿Habrá alguna estrategia que permita ganar siempre en este juego? Si tu respuesta es
sí, di en qué consiste; si es no, explica por qué.
R. T. No, porque es un juego de azar: el resultado no depende de
la habilidad o la estrategia del jugador.
m
Enfréntate a la computadora en un juego de
azar en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-075
Analiza, con tus compañeros y profesor, la información relacionada con los cuatro juegos:
carrera a 20, completa el entero, el siete mata y cubilete.
Probablemente notaron diferencias en los cuatro juegos. En carrera a 20 hay una estrategia que
asegura el triunfo al jugador que inicia el juego, es decir, el resultado es predecible: no es un juego
de azar.
El siete mata y cubilete son juegos de azar porque cada uno de los posibles resultados de lanzar
los dados es impredecible, aunque se puede averiguar cuáles tienen más posibilidades de salir mediante el cálculo de probabilidades, que estudiarán más adelante.
Finalmente, hay otros juegos que, si bien no se consideran de azar, porque en ellos los conocimientos y las habilidades de los jugadores influyen en quien gana, tienen, no obstante, algo de azaroso,
por ejemplo, completa el entero. En ese juego interviene el azar en la distribución de las cartas.
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Las matemáticas en...
La música
En la música se usan las matemáticas de varias maneras. Una de ellas tiene que ver con
la escritura. ¿Sabías que las fracciones se utilizan en la escritura de las notas, y también
de los silencios, que son una parte muy importante de la música?
1
y dura la mitad que
4
1
la anterior; este silencio, , dura lo mismo que una nota de
; y este, , dura la
4
1
mitad que el anterior, es decir, lo mismo que una nota de 8 . En la siguiente tabla
Una nota como esta,
, se llama 1 ; esta otra,
2
, se llama
hay otros valores musicales.
Notas
Silencios
Las notas y los silencios de toda pieza musical se escriben en fragmentos separados por una línea vertical llamados compases. En los siguientes compases escribe notas y silencios para que cada uno dure 4 . Observa el ejemplo
4
que hay en el primer compás.
Notas
Notas
Silencios
Silencios
1
Cuando los compositores quieren escribir un silencio que dure 3 , es decir, 1 + ,
4
2
4
Notas Notas
Notas
Notas
1
. Eso quiere decir que a ese silencio se le agrega la mitad de su valor, o sea
2
no escriben los dos silencios sino que ponen un punto a la derecha del silencio de
+ se escribe
Notas
Lo mismo sucede
con las notas. La nota
76
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• dura lo mismo que
y
juntas, o
SilenciosSilencios
Silencios
Silencios
Silencios
sea, 1 + 1 = 3 .
8
4
8
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En los siguientes compases escribe notas y silencios para que cada compás
5
dure 8 . Usa el puntillo siempre que puedas.
El siguiente es un fragmento de “Las Mañanitas”, ¿en qué compás está
escrita? Rodéalo.
3
4
3
8
4
4
2
2
El siguiente es un fragmento de “La Cucaracha”, ¿en qué compás está escrita?
Rodéalo.
3
4
4
4
5
4
6
8
El siguiente es un fragmento del Concierto para dos violines en re menor de
Vivaldi. El compositor la escribió en 12 , en la lista de fracciones hay otros que
8
son equivalentes, ¿cuáles son? Rodéalas.
12
4
4
4
6
8
6
4
3
2
77
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Evaluación
(TIPO ENLACE)
BLOQUE 1
Selecciona la opción correcta.
1. ¿Qué igualdad es falsa?
4 = 1.3
a) _
3
1 = 0.5
b) _
5
25
d) _ = 0.025
1000
1 = 0.125
c) _
8
2. En una carrera de caballos, la distancia por recorrer es de __85 de milla. ¿De qué otra manera
se puede expresar esta cantidad?
a) 0.58 millas
b) 0.625 millas
c) 0.85 millas
d) 5.8 millas
3. ¿Qué número señala la flecha?
1
3
a) _
2
5
b) _
4
2
1
c) 1 _
3
3
d) 1 _
4
4. ¿Qué regla genera la sucesión –12, –7, –2, 3, 8, 13, 18…?
a) La serie inicia en –12
y se va restando 5 a cada número.
c) La serie inicia en –12
y se va sumando 5 a cada número.
b) La serie inicia en –12
y se va sumando 3 a cada número.
d) La serie inicia en –12
y se va restando 3 a cada número.
5. ¿Qué expresión permite calcular el perímetro del rectángulo de la izquierda?
n
m
a) 2m × 2n
b) 2m + 2n
c) m + n
d) m × n
6. ¿Qué figura se obtiene con las instrucciones?
i) Trazar un segmento de 8 cm y llamar sus extremos A y B
ii) Abrir el compás 3 cm, colocar la punta de metal en un extremo
del segmento y trazar una circunferencia
iii) Abrir el compás 6 cm, colocar la punta de metal en el otro y trazar otra circunferencia
iv) Marcar los puntos donde se cruzan las circunferencias y llamarlos C y D
v) Trazar los segmentos de recta AC, CB, BD y DA
a) Un cuadrado cuyos lados miden 14 cm.
b) Un rectángulo cuyos lados miden 3 y 6 cm.
c) Un triángulo cuyos lados miden 8, 3 y 6 cm.
d) Un cuadrilátero, dos de cuyos lados miden 3 cm y los otros, 6 cm.
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7. Selecciona la afirmación verdadera; el punto D es el centro
de la circunferencia .
A
f
e
a) El punto D es el baricentro del triángulo ABC.
D
b) Las rectas d, e y f son las medianas del triángulo ABC.
B
c) Las rectas d, e y f son las mediatrices del triángulo ABC.
C
d) El punto D es el incentro del triángulo ABC.
8. Sebastián, Max y Ariel compraron un videojuego que costó $350.00. Sebastián gastó
$100.00; Max, $100.00; y Ariel, $150.00, y quieren que el tiempo que lo use cada quien
sea proporcional al dinero que gastó. ¿Cuál es el arreglo?
a) Que, a la semana, Sebastián lo use un día; Max, otro; y Ariel, los cinco restantes.
b) Que, a la semana, Sebastián lo use dos días; Max, uno; y Ariel, los otros cuatro.
c) Que, a la semana, Sebastián lo use dos días; Max, dos; y Ariel, los otros tres.
d) Que, a la semana, Sebastián lo use dos días; Max, dos; Ariel, dos días; y el último se lo
vayan turnando.
9. Andrea y sus amigas lanzan tres monedas y, antes de que caigan al suelo, dicen qué
resultará. ¿Qué opción debe escoger Andrea para tener más posibilidad de ganar?
a) Tres águilas.
b) Resultado mixto (águilas y soles).
c) Tres soles.
d) Cualquiera de las estrategias anteriores es igual de buena.
10. Traza las alturas del triángulo ABC.
B
A
C
79
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Evaluación
(TIPO PISA)
Pongo en juego mis competencias
BLOQUE 1
Rascacielos: ¿la altura es la que ves?
En la tabla se reflejan algunos datos de tres de los edificios más altos del mundo.
Construcción
Pisos
Niveles subterráneos
Superficie
Torre Taipei
(Taipei)
Torres Petronas
(Kwala Lumpur)
Torre Willis
(Chicago)
1999-2004
1992-1998
1970-1973
101
88
108
5
5
3
412 500 m2
395 000 m2
418 064 m2
Altura con antena
508 m
452 m
527 m
Altura hasta el último piso
448 m
410 m
442.3 m
Último sótano
-31.5 m
0
-13.1 m
COMPETENCIAS
Resolver problemas de manera autónoma
Manejar técnicas eficientemente
Torres Petronas
(Kwala Lumpur)
Torre Taipei
(Taipei)
Torre Willis
(Chicago)
Pregunta 1. ¿Qué distancia hay desde la base del último sótano hasta la altura del último piso del edificio Taipei? ¿Y hasta la del Willis?
Pregunta 2. ¿Cuál es la altura media de los pisos de cada rascacielos?
Pregunta 3. Calcula la superficie de un piso del edificio Taipei y de la torre Willis.
Pregunta 4. Calcula la superficie de un piso de las torres Petronas. Ten en cuenta que la superficie total dada corresponde al conjunto de ambas torres.
Pregunta 5. La Torre Mayor se encuentra en el Paseo de la Reforma en la Ciudad de México. Mide 230 m. ¿Cuántas veces es más alta la torre Willis
que la Torre Mayor?
Fracciones de cuento: Alicia en el país de los números
—Eso significa que el Sombrerero Loco y sus amigos están tomando el té de las cinco
—comentó Charlie—.
Lo cual no tiene nada de extraño, pues lo toman a todas horas.
Y, efectivamente, siguieron avanzando por la diagonal del bosque de números y poco tiempo
después vieron al Sombrerero y la Liebre de Marzo tomando el té en una mesa dispuesta bajo
un árbol. Entre ellos, el Lirón dormía profundamente.
La mesa era muy grande, y sin embargo los tres comensales se habían agrupado muy juntos en
una esquina. Al ver acercarse a Alicia, la Liebre y el Sombrerero empezaron a gritar:
—¡No hay sitio! ¡No hay sitio!
—Hay sitio de sobra —replicó la niña, indignada, a la vez que se sentaba en una amplia
butaca que había a la cabecera de la mesa. Charlie, que la seguía sonriendo enigmáticamente,
se sentó a su lado.
—¿Qué prefieres, media tarta de manzana o dos cuartas partes? —le preguntó la Liebre de
Marzo a Alicia, mientras le ofrecía una obsequiosa sonrisa.
COMPETENCIAS
Resolver problemas de manera autónoma
Comunicar información matemática
—¿Me estás tomando el pelo? Media tarta es lo mismo que dos cuartas partes –dijo la niña.
—Muy bien, acabas de descubrir las fracciones equivalentes —la felicitó el Sombrerero Loco.
—Claro: _21 = _24 —añadió la Liebre.
—Aunque a lo mejor eres una glotona y prefieres comerte el 50% de la tarta —dijo el
Sombrerero.
—¡Ya está bien de tomarme el pelo! —protestó Alicia—. El 50% de la tarta también es lo
mismo que la mitad.
—¡Qué niña tan lista! —exclamó la Liebre de Marzo, aplaudiendo con las orejas.
—¿Por qué el 50% es lo mismo que la mitad? —preguntó el Lirón sin abrir los ojos.
—Porque si de cien partes tomas cincuenta, es lo mismo que tomar la mitad —contestó
rápidamente Alicia.
—Ah, ¿sí? ¡Cómo se nota que no eres tú la que tiene que partir la tarta! —replicó el Sombrerero—. ¿Crees que es lo mismo partirla en dos trozos y darte uno que partirla en cien
trozos y darte cincuenta?
Frabetti, C. (2000).
Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números.
Pregunta 1. ¿Qué responderías a la última pregunta del Sombrerero Loco? ¿Por qué?
Pregunta 2. ¿De cuántas formas aparece expresada la fracción de tarta que le ofrecen a Alicia?
Pregunta 3. El Sombrerero Loco se ha encargado de preparar la tarta de manzana que se estaban comiendo
en el té de las cinco. Los ingredientes para seis personas son los que muestra la imagen.
a) ¿Qué cantidad necesita de cada ingrediente para cuatro personas? ¿Y para diez?
b) El Lirón era el encargado de comprar los ingredientes, pero se durmió, y al llegar a la
tienda solo quedaba un huevo. ¿A cuántos comensales podrá invitar? ¿Qué cantidad de
cada ingrediente necesitará ahora?
Ingredientes
2 huevos
1 _12 taza de harina
1 yogur de limón 2 manzanas
_1 taza de leche
2
_3 taza de aceite
4
_1 taza de
4
mermelada
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Un cuento
Y para
terminar...
Decidido a encontrar el árbol que nunca duerme, un gran sauce cuyas ramas semejan ojos
abiertos, José se internó en el bosque más de lo que el líder de su equipo les había permitido.
Sin poder evitarlo, se perdió en aquel inhóspito y peligroso lugar.
Al cabo de varias horas de búsqueda, Rodrigo y René lo encontraron. José había perdido su
mochila, sus víveres y su lámpara.
Estuvieron todo un día de camino al campamento y comieron los víveres que llevaban Rodrigo
y René. Cada vez que se sentaron a comer, dividían una de las barras energéticas en partes
iguales. Al final de su travesía contaron cinco barras de Rodrigo y tres barras de René.
Una vez que regresaron, Rodrigo y René recibieron una medalla al mérito y José decidió regalarles algunos de sus cómics de acuerdo con las barras energéticas que le compartieron.
Te presentamos tres diferentes formas de retribución según lo acontecido.
1. José propuso entregar cinco cómics a Rodrigo y tres a René, en relación a las barras
energéticas que aportó cada uno.
2. René propuso otra repartición: “Cada
uno comimos cada vez __13 de una barra.
Puesto que fueron ocho barras en total
24
comimos __
, de los cuales yo puse __39 , me
3
1 a José; Rodrigo puso __7 .
comí __83 y le di _
3
3
Por esto le corresponden a Rodrigo siete
cómics y a mí solo uno”.
3. Rodrigo propuso que José les regalara
cuatro cómics a cada uno, dado que los
dos colaboraron con la misma determinación en la búsqueda y salvamento de
su compañero.
¿Qué reparto es más justo? Explica por qué.
R. P.
¿Qué reparto es proporcional? Explica por qué.
El de René.
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BLOQUE
2
Aprendizajes esperados
✓ Resuelve problemas utilizando el máximo
común divisor y el mínimo común múltiplo.
✓ Resuelve problemas geométricos que
impliquen el uso de las propiedades de las
alturas, medianas, mediatrices y bisectrices
en triángulos y cuadriláteros.
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Arte numérico
Observa el arreglo de botellas: hay 196 y están
colocadas rectangularmente en 7 filas y 28 columnas. Tanto 7 como 28 son divisores de 196,
ya que ambos lo dividen de manera exacta.
Siempre que disponemos un conjunto de elementos de manera rectangular, los números
de filas y columnas son divisores del número
de elementos.
La imagen está inspirada en una obra de Andy
Warhol (1928-1987) de 1962, quien utilizó con
frecuencia en sus trabajos objetos cotidianos,
rostros de personajes famosos y objetos de
difusión masiva.
1. ¿Puedes colocar rectangularmente estas botellas en tres filas? ¿Por qué?
2. ¿El
número 7 tiene divisores? ¿Y el 28?
¿Cómo puedes colocar 7 botellas en un arreglo rectangular? ¿Y 28 botellas?
3. Reúnete
con un compañero. Conviértanse
en un Warhol poniendo en juego su creatividad. Dibujen un cuadro teniendo en
cuenta que el motivo que se repite debe
hacerlo 60 veces en disposición rectangular
(no puede sobrar ninguno). ¿Cuántas filas y
columnas dibujaron? Comparen el resultado
con los del grupo. ¿Todos tienen la misma
disposición?
Para saber más sobre Andy Warhol entra a…
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des,
ulos matemáticos con números gran
Constantemente efectuamos cálc
tera.
pequeños, múltiplos, divisores, etcé
son
esos cálculos y algunos problemas
para
En este bloque comprobarás que
eros
núm
de
ión
osic
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la
emáticas, como
necesarias las herramientas mat
es.
en factores o el trazo de bisectric
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CONTENIDO
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2
Formula los criterios de
divisibilidad entre 2, 3 y 5.
Distingue entre números
primos y compuestos.
resolver
Secuencia 1 / lección 30
Divisores y números primos
Saber qué número divide a otro exactamente es útil para resolver algunos problemas,
como verás enseguida. También sabrás cómo comprobar si un número puede dividirse
entre 2, 3, 5 y 9 exactamente, sin hacer la división.
1. Con 60 mosaicos se puede formar un rectángulo de diez en un lado y seis en el otro sin
que sobre alguno.
a) Con esa misma cantidad de mosaicos, ¿puede formarse un rectángulo que tenga ocho
en un lado? No. ¿Y uno que tenga doce? Sí. 12 x 5 Explica cómo lo sabes
R. P.
b) Encuentra los rectángulos que podrían formarse con 60 mosaicos. Puedes representarlos con una multiplicación. Por ejemplo, si tiene diez en un lado y seis en el otro se
representa 10 × 6.
1 x 60, 2 x 30, 3 x 20, 4 x 15, 5 x 12, 6 x 10
Los divisores de un número son los que lo dividen exactamente, es decir, con los que el cociente es
entero y el residuo, 0.
En el problema anterior, las cantidades de mosaicos que se pueden poner en los lados de los
rectángulos son divisores de 60, puesto que lo dividen exactamente; por ejemplo, 10 y 6:
60 ÷ 10 = 6 con residuo 0
60 ÷ 6 = 10 con residuo 0
Una pista
En toda multiplicación
de números enteros,
por ejemplo:
100 × 6 = 600,
los factores son divisores del producto:
• 100 es divisor de 600,
puesto que
600 ÷ 100 = 6 con
residuo 0.
• 6 es divisor de 600,
puesto que
600 ÷ 6 = 100 con
residuo 0.
Por tanto, se pueden
conocer los divisores de
un número buscando
las multiplicaciones
que lo arrojan como
resultado.
2. Encuentra los divisores de 600 y escríbelos en tu cuaderno.
m
Comparte los divisores que encontraste con tus compañeros. Verifiquen que sean 16.
Comenten sus procedimientos para asegurar que no falte alguno.
3. Encuentra todos los divisores de los números.
Número
Divisores
Número
Divisores
1
Número
Divisores
1
8
1, 2, 4, 8
15
1, 3, 5, 15
2
1, 2
9
1, 3, 9
16
1, 2, 4, 8, 16
3
1, 3
10
1, 2, 5, 10
17
1, 17
4
1, 2 ,4
11
1, 11
18
1, 2, 3, 6, 9, 18
5
1, 5
12
1, 2, 3, 4, 6, 12
19
1, 19
6
1, 2, 3, 6
13
1, 13
20
1, 2, 4, 5, 10, 20
7
1, 7
14
1, 2, 7, 14
21
1, 3, 7, 21
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a) Del número 2 al 21, hay ocho que tienen exactamente dos divisores. ¿Cuáles son?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
b) ¿Qué número es divisor de todos los de la tabla anterior?
1
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primos.
c) Un número siempre es divisor de sí mismo. Explica en tu cuaderno por qué.
Los números que tienen exactamente dos divisores, 1 y el mismo número, se llaman números primos. Por ejemplo, 7 es primo pues sus únicos divisores son 1 y 7. El 8 no es primo pues, además de
1 y 8, tiene como divisores a 2 y a 4.
Los números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.
El número 1 solamente tiene un divisor. No es ni primo ni compuesto.
m
Verifica, con tus compañeros, si encontraste los mismos números primos entre 1 y 21.
4. Identifica los números primos entre 1 y 100.
» En el cuadro, encierra el número 2, que es primo, y tacha aquellos de los que es divisor
(todos los múltiplos de 2).
» Encierra el siguiente número no tachado y tacha sus múltiplos.
» Sigue hasta que todos los números estén tachados o encerrados.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
» Conclusión: los números encerrados son los números primos entre 1 y 100.
m
Verifica, en grupo, la lista de los primos menores a 100. Deben ser 25 (no se cuenta el 1).
Comenten la siguiente información.
técnicas
Ya sabemos...
Los números que se
obtienen multiplicando un número natural
por otros números naturales son múltiplos
de ese número. Así, 2,
4, 6, 8… son múltiplos
de 2. En cambio, 7
no lo es, pues no hay
número natural que
multiplicado por 2
dé 7.
En contexto
Eratóstenes de Cirene,
un matemático griego
del siglo III a. n. e., concibió un método similar,
al que se le llamó criba
de Eratóstenes.
Todo número es múltiplo de sus divisores y divisor de sus múltiplos.
85
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CONTENIDO
BLOQUE
2
Formula los criterios de
divisibilidad entre 2, 3 y 5.
Distingue entre números
primos y compuestos.
Secuencia 1 / lección 31
¿Quién divide a quién?
1. Haz, en equipo, lo siguiente.
a) Anoten cada número de la lista que aparece a continuación, en uno o en varios de los
casilleros de la tabla de abajo, según si el número es divisible entre 2, 3, 4, 5 o 6. Un
mismo número puede ir en dos o más columnas. Repártanse el trabajo. Pueden usar
calculadora.
10, 12, 15, 21, 24, 32, 36, 100, 112, 123, 150, 204, 360, 500, 561, 1 000, 2 700, 3 000, 6 570, 15 000
Divisibles entre 2
Divisibles entre 3
10, 12
12
24, 32, 36, 100, 112,
15, 21, 24, 36, 123, 150,
150, 204, 360, 500,
204, 360, 561,
1 000, 2 700, 3 000,
2 700, 3 000, 6 570,
6 570, 15 000
15 000
Divisibles entre 4
12
Divisibles entre 5
12
24, 32, 36, 100, 112,
15, 100, 150, 360,
24, 36, 150, 204, 360,
204, 360, 500, 1 000,
500, 1 000, 2 700,
2 700, 3 000, 6 570,
2 700, 3 000, 15 000
3 000, 6 570, 15 000
15 000
18, 156, 30 000
18, 20, 26, 40, 400,
20, 35, 40, 125, 400,
254, 400, 700, 1 300,
18, 27, 111, 156,
700, 1 300, 5 000,
700, 1 300, 5 000,
5 000,
30 000
11 000, 30 000
11 000, 30 000
18, 20, 26, 40, 156,
Divisibles entre 6
10
11 000, 30 000
b) Comparen los números que pusieron en cada columna con los de otros equipos.
Corrijan si es necesario.
c) Analicen las similitudes de los números divisibles entre 2. ¿Qué observan?
R. T. Todos acaban en cifra par.
d) Analicen las similitudes de los números divisibles entre 5. ¿Qué observan?
¿Cómo comprobarías
que no existe un número divisible entre 2 cuya
cifra de las unidades
sea 3?
R. T. Todos acaban en 0 o en 5.
m
Compartan sus observaciones con el grupo. Revisen si lo que observaron les permite
determinar si el número 236 es divisible entre 2 y si es divisible entre 5, sin hacer las
divisiones.
Probablemente ya observaste que en todos los números divisibles entre 2 la cifra de las unidades
es par: 0, 2, 4, 6 u 8.
Esta característica es el criterio de divisibilidad entre 2 y permite saber si un número es divisible
entre 2, sin tener que hacer la división.
Por ejemplo, puede saberse que 421 no es divisible entre 2 pues la cifra de las unidades no es par.
e) Completa el criterio de divisibilidad entre 5.
Un número es divisible entre 5 si
R. T. termina en 5 o en 0.
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2. A continuación se presenta el criterio de divisibilidad entre 3. Verifica que los números
de la tabla que sean múltiplos de 3 lo cumplan y los demás no.
En los números divisibles entre 3, la suma de sus cifras es divisible entre 3. Si la suma no es divisible
entre tres, el número tampoco lo es. Por ejemplo, la suma de las cifras del número 2 301 es
2 + 3 + 0 + 1 = 6, por tanto sí es divisible entre 3.
3. Ubica en la tabla anterior los siguientes números. Usa los criterios de divisibilidad en
lugar de hacer la división.
18, 20, 26, 27, 35, 40, 111, 125, 156, 254, 400, 700, 1 300, 5 000, 11 000, 30 000
m
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten cómo ubicaron los números
divisibles entre 4 y entre 6. Si hay diferencias, vean quiénes cometieron un error.
4. Resuelve los problemas. Cuando sea posible utiliza los criterios de divisibilidad. Explica
tus procedimientos en el cuaderno.
resolver
a) Se quieren empacar 1 028 galletas en bolsitas iguales, sin que sobre ninguna.
¿Es posible hacerlo de dos en dos?
Sí.
¿De cinco en cinco?
No.
¿Y de tres en tres? No.
b) En una tienda se venden paletas de tres pesos. En el registro de ventas del día aparecen
las cantidades que se indican a continuación. Encierra las que podrían corresponder
a la venta de distintas cantidades de paletas.
$92; $10; $3; $21; $43; $ 61; $72; $27; $28; $45; $101; $20
c) Con 180 losetas se puede formar un rectángulo de 45 × 4 losetas. ¿Qué otros rectángulos se pueden formar? Encuentra todos los que puedas e indícalos en el cuaderno.
d) De una cartulina rectangular de 30 × 105 cm se quieren recortar cuadrados sin que
sobre cartulina.
¿Los cuadrados podrían tener 2 cm de lado? No.
¿Y 3 cm?
Sí.
¿Podrían tener 5 cm? Sí.
e) Los alumnos de primer grado fueron de excursión al campo. El guía los organizó en
grupos pequeños. Si los agrupaba de cinco en cinco, no quedaba alguno fuera, si lo
hacía de tres en tres, tampoco; pero si los agrupaba de dos en dos, uno quedaba fuera.
A la excursión fueron entre 40 y 50 alumnos.
Determina cuántos asistieron.
m
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números primos en…
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Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten qué criterios de divisibilidad
usaron.
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contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas que
impliquen el cálculo del
máximo común divisor y
el mínimo común múltiplo.
resolver
Secuencia 2 / lección 32
Mínimo común múltiplo
Se quiere cuadricular una explanada de 20 m × 30 m de manera que todos los cuadrados
queden completos. ¿Cuánto mide el lado del mayor cuadrado posible? En esta secuencia
estudiarás situaciones como esta, en las que es necesario encontrar múltiplos o divisores
compartidos por dos o más números.
1. El juego de la pulga y las trampas.1
a) Reúnete con un compañero. Hagan una tira de papel de 2 m × 5 cm y escriban en ella
los números de 1 a 50, dejando 4 cm entre cada uno.
» Uno de ustedes ubica trampas (cualquier objeto) en cuatro números.
» El otro determina la forma en que saltará su pulga (desde 2 en 2 hasta 9 en 9). Si escoge,
por ejemplo, saltos de 3 en 3, la pulga (un objeto distinto al de las trampas) pasará por
los números 3, 6, 9…
Convivimos
Para jugar es necesario
respetar las reglas y
el turno de los demás.
También se pueden
inventar nuevas
reglas y ponerlas a
consideración de otros.
Salida
1 2 3 4
5
6 7 8 9 10 11 12
47 48 49 50
» Si la pulga cae en una trampa, el que puso las trampas se anota un punto. Si la pulga
completa la tira sin caer en las trampas, el punto es para su dueño.
» Jueguen cinco o seis veces alternando los papeles.
2. Contesta las preguntas y haz lo que se pide.
a) ¿Con qué tipos de salto las pulgas caen en el 12?
2, 3, 4, 6
b) ¿Con qué tipos de salto las pulgas caen en el 17?
Ninguno.
c) Como habrás observado, unos números solo atrapan a las pulgas de un tipo de salto,
mientras que otros atrapan a las de distintos tipos. Escribe en tu cuaderno un ejemplo
de cada caso.
d) Si tienes en cuenta todos los tipos de salto, ¿en qué número caen más pulgas? 24, 36, 48
Una pista
¿Con qué tipos de salto?
24 y 48 con 2, 3, 4, 6, 8; 36 con 2, 3, 4, 6, 9
e) ¿En qué números deben ir las trampas para que no pase ninguna pulga?
Observa que 36 es un
múltiplo común de 2,
3, 4, 6 y 9, entre otros.
Es, por tanto, un buen
número para poner
una trampa.
R. T. 35, 36, 40
f ) ¿Es posible lograrlo solo con dos trampas?
m
1
No.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Juego tomado de Fuenlabrada, I. et al. (1991). Juega y aprende matemáticas. Libros del Rincón. México: sep, 1991.
88
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1/18/13 11:31 AM
3. Haz lo siguiente.
a) Escribe en tu cuaderno los primeros diez múltiplos de 4 y de 6, y encierra los que sean
múltiplos de ambos.
b) ¿Cuál es el múltiplo común más pequeño de 4 y 6? 12
Al número más pequeño que es múltiplo de dos números a y b se le llama mínimo común múltiplo de a y b, y se representa como mcm (a, b); por ejemplo:
mcm (4, 6) = 12
Este número es útil para resolver algunos problemas.
c) Enlista en tu cuaderno los primeros múltiplos de 6 y 10. ¿Cuál es el múltiplo común más
pequeño de 6 y 10? mcm (6, 10) = 30
d) Calcula lo que se pide.
mcm (4, 10) = 20
mcm (5, 7) = 35
mcm (3, 6) = 6
mcm (12, 18) = 36
mcm (4, 9) = 36
mcm (2, 8) = 8
4. Ubica los números en los diagramas. Algunos ya están ubicados.
Números de 1 a 12
Múltiplos de 2
Múltiplos de 3
2
3
6
9
8
12
10
5
7
Números de 1 a 30
11
1
4
Múltiplos de 3
Múltiplos de 2
2 4
21
6
3
8 14
12
9
18
22 16
27
24
26 28
30
10
15
1
20
17
13
11
7
5
25
29
19 23
Múltiplos de 5
Si un número es múltiplo de 2 y de 3, ¿puede
no serlo de 6?
5. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Indica las respuestas y tus procedimientos.
a) ¿Cuánto mide de lado el cuadrado de menor tamaño que se puede hacer con losetas
de 20 cm × 30 cm? 60 cm Í 60 cm
b) María toma tres medicinas: la A cada 2 horas, la B cada 6 horas, y la C cada 8 horas. A las
12 p. m. tomó las tres. ¿A qué hora las volverá a tomar juntas? A las 12 p. m.
1
1
1
c) ¿Cuál es el menor denominador común con el que se puede sumar __
+ __
+ __
?
12
16
20
240
m
Compara tus respuestas de las actividades 3, 4 y 5 con las de tus compañeros.
Sigue jugando la pulga
y las trampas en…
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contenido
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2
Resuelve problemas que
impliquen el cálculo del
máximo común divisor y
el mínimo común múltiplo.
Secuencia 2 / lección 33
Máximo común divisor
1. Resuelve el problema.
Se van a preparar bolsas con golosinas para los invitados de una fiesta. Se tienen 24 chocolatines, 36 bastones de caramelo y 60 paletas.
Se quiere que las bolsas sean iguales entre sí, es decir, que no haya una, por ejemplo, con
más chocolates que otra. También se desea que no sobren golosinas.
resolver
a) ¿Pueden hacerse 8 bolsas? Si tu respuesta es sí, indica cuántas golosinas de cada tipo
llevaría una bolsa y demuestra que no sobrarían golosinas. Si tu respuesta es no, explica
por qué.
No, porque 60 y 36 no son divisibles entre 8.
24
___
b) ¿Pueden hacerse tres bolsas? Explica por qué. Sí, porque 3 = 8,
36
60
___
= 12, y ___
= 20.
3
3
Practica tus habilidades
para encontrar múltiplos y divisores en…
c) Responde las preguntas.
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SCM1-090
» ¿Cuál es el mayor número de bolsas que se pueden hacer? 12
» ¿Cuántas golosinas de cada tipo se pueden poner por bolsa?
2
chocolatines,
3
bastones de caramelo y
5
paletas.
Verifica que al multiplicar el contenido de cada bolsa por el número de bolsas obtengas 24 chocolatines, 36 bastones de caramelo y 60 paletas.
m
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean la siguiente información.
Para que un número de bolsas sea una solución al problema anterior, debe dividir exactamente a
cada cantidad de golosinas, es decir, debe ser un divisor común de 24, 36 y 60.
El mayor número de bolsas posible es el máximo común divisor de los tres números y se abrevia
MCD (24, 36 y 60).
90
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técnicas
2. Lee el procedimiento para calcular todos los divisores de 60.
Una manera de encontrar los divisores de 60 es
dividir 60 entre los números del 1 en adelante
e identificar los casos en los que el residuo es
0. Cuando se repite un par de divisores se han
encontrado todas las opciones.
3. Haz lo siguiente.
a) Calcula, con la técnica anterior, todos
los divisores de 24 y de 36.
b) Consulta las listas anteriores de divisores para encontrar el MCD (24, 36
y 60). 12
División
Residuo
Divisores
60 ÷ 1 = 60
=0
1 y 60
60 ÷ 2 = 30
=0
2 y 30
60 ÷ 3 = 20
=0
3 y 20
60 ÷ 4 = 15
=0
4 y 15
60 ÷ 5 = 12
=0
5 y 12
60 ÷ 6 = 10
=0
6 y 10
60 ÷ 7 =
≠0
---
60 ÷ 8 =
≠0
---
60 ÷ 9 =
≠0
---
60 ÷ 10 =
=0
10 y 6
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60
c) Verifica que ese número responda al mayor número de bolsas del problema anterior.
d) Calcula lo que se pide.
MCD (6, 14) =
MCD (6, 12) =
2
6
MCD (45, 75) =
MCD (7, 9) =
15
1
4. Resuelve los problemas. En algunos utilizarás el MCD y en otros, el mcm. Puedes usar
calculadora. Responde en el cuaderno y explica tus procedimientos.
A
a) En el problema de las bolsas con tres tipos de golosinas, ¿cuál sería el mayor número de bolsas que podría hacerse si hubiera 105 chocolatines, 120 bastones de caramelo y 165 paletas?
B
MCD (105, 120 y 165) = 15
b) Un engranaje está formado por ruedas dentadas: A, de 12 dientes; B, de 24; y C, de 36.
Al girar, las marcas rojas coinciden como se ve en el dibujo. ¿Cuántas vueltas dará C
hasta que las marcas vuelvan a coincidir? 4
c) En un laboratorio hay 1 044 ejemplares de un tipo de insecto, 504 machos y 540 hembras. Quieren distribuirlos de manera que se tengan grupos mixtos del mismo tamaño,
lo más pequeños posible. ¿Cuántos insectos de cada tipo deben poner por grupo?
¿Cuántos grupos se forman? 36 grupos, de 14 machos y 15 hembras cada uno
m
Verifica, con tus compañeros, que en el problema c), al multiplicar el número de insectos
de cada grupo por el número de grupos, se obtiene el total de insectos.
C
5. Resuelve anotando como denominador el mcm de los denominadores.
1
165
1
+ 132
+
1
66
16
=
660
7
75
1
2
+ 105
+ 165 =
229
1925
6. Simplifica las fracciones antes de sumarlas. Busca el MCD del numerador y del denominador.
42
30
m
+
51
85
+
22
55
21
+ 105 =
13
5
18
63
+
30
70
44
+ 154
=
59
63
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Vean si encontraron que, en la primera
suma de fracciones, el denominador común es 5 775.
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contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas que
impliquen el cálculo del
máximo común divisor y
el mínimo común múltiplo.
Secuencia 2 / lección 34
Descomponiendo números
1. Haz, con un compañero, lo siguiente.
R. T.
» Uno de ustedes expresa, en la segunda fila de la derecha, el
número 180 como producto de dos factores.
» El otro lo hace como producto de tres factores en la tercera fila.
» Continúan aumentando el número de factores de esta forma.
Si uno ya no puede descomponer más en su turno, el otro
lo intenta. El que haga la última descomposición gana (los
productos por 1 no valen).
» Repitan la actividad en su cuaderno con los siguientes
números y anoten aquí el producto final.
270 =
m
2Í3Í3Í3Í5
180
2 × 90
2 × 2 × 45
2 × 2 × 3 × 15
2 × 2 × 3 × 3 × 5
240 = 2Í2Í2Í2Í3 Í5 1 080 = 2Í2Í2Í3Í3Í3Í5
Comparen las descomposiciones que obtuvieron con las de sus compañeros. Observen que
al final se obtienen productos de números primos. Comenten la siguiente información.
Todo número natural se puede descomponer en un producto de factores primos. Cuando los números se expresan de esta manera es fácil encontrar sus divisores y múltiplos comunes, como lo
comprobarán enseguida.
2. Trabaja con un compañero. La descomposición del número 84 en factores primos
es 2 × 2 × 3 × 7.
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de mcm
y MCD.
a) ¿Qué divisores de 84 pueden identificar a simple vista, sin hacer la división?
2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
m
Compartan con sus compañeros los divisores que encontraron y la manera en que lo hicieron. Comenten la siguiente información.
En una multiplicación, cada factor es divisor del producto. Por ejemplo, 84 es igual a 2 × 2 × 3 × 7,
por tanto 3, 2 y 7 son divisores de 84.
También los productos que se obtienen con los factores primos son divisores del número, por
ejemplo: 3 × 2 × 2 = 12; entonces 12 es divisor de 84.
Verifíquenlo haciendo las divisiones y comprobando que el residuo sea 0.
b) La descomposición en factores primos de 70 es 2 × 5 × 7. ¿Qué divisores de 70 pueden
identificar a simple vista, sin hacer la división? 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
c) Identifiquen, a partir de lo anterior, sin hacer divisiones, algunos divisores comunes de
84 y de 70. 2, 7, 14
92
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d) ¿Cuál es el máximo común divisor de 84 y 70? Identifíquenlo a partir de los productos
de factores primos.
14
El máximo común divisor de dos números se puede formar con todos los factores primos comunes de esos números.
Por ejemplo, el MCD de 2 × 2 × 3 × 7 y de 2 × 5 × 7 es 2 × 7, es decir, 14.
e) Utilicen las descomposiciones en factores primos de la actividad 1 para encontrar lo
siguiente.
m
MCD (180, 270) =
60
MCD (240, 1080) =
MCD (180, 240) =
60
MCD (180, 240, 270) =
MCD (270, 240) =
120
30
Aprende más del mcm
y MCD en…
30
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Revisen cómo formaron los máximos
comunes divisores a partir de los factores primos.
www.e-sm.com.mx/
SCM1-093
3. Recuerda que la descomposición en factores primos de 70 es 2 × 5 × 7.
a) Subraya, sin resolver las multiplicaciones, las que correspondan a múltiplos de 70.
2 × 5;
2 × 2 × 5 × 7;
2 × 5 × 5 × 7;
2 × 7 × 7 × 7;
2 × 3 × 5 × 7;
5×5×7×7
b) Subraya las multiplicaciones que correspondan a múltiplos de 84.
2 × 2 × 3 × 5;
2 × 2 × 3 × 7 × 5;
2 × 2 × 3 × 3 × 7;
2×2×2×7×7
Encuentra dos números
cuyo MCD sea 3.
c) Resuelve las multiplicaciones y verifica tus respuestas de los incisos a) y b).
d) Considera las descomposiciones en factores primos de 84 y de 70 para formar la descomposición en factores primos del mínimo común múltiplo de 84 y de 70.
mcm (84, 70) = 2 Í 2 Í 3 Í 5 Í 7
=
Encuentra dos cuyo
mcm sea 2 × 3 × 5 × 5.
420
El mínimo común múltiplo de dos números se forma con la menor multiplicación posible que contenga a todos los factores primos de cada número.
Por tanto, el mcm de 2 × 2 × 3 × 7 y de 2 × 5 × 7 es 2 × 2 × 3 × 5 × 7, es decir, 420.
e) Calcula lo que se indica utilizando las descomposiciones en factores primos de la actividad 1.
mcm (240, 1 080) =
m
2 160
mcm (270, 240) = 2 160
mcm (180, 240) =
720
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten por qué es importante
encontrar los factores primos de un número.
93
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contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas
aditivos en los que se
combinan números
fraccionarios y decimales
en distintos contextos,
empleando los algoritmos
convencionales.
Secuencia 3 / lección 35
La migración indocumentada en Estados Unidos de América
¿Qué tan familiarizado estás con los números fraccionarios y la notación decimal?
¿Puedes calcular mentalmente sumas y restas? En esta secuencia consolidarás estas
operaciones.
1. Lee el texto y haz lo que se indica.
La población migrante total (nacida fuera de Estados Unidos de América) ascendió, en marzo de
2004, a 35.7 millones de personas. De ellas, 21.7 millones (61%) son residentes con permanencia
legal, 1.2 millones (3%) tienen permiso de residencia temporal, 2.5 millones (7%) son refugiados llegados después de los ochenta y 10.3 millones (29%) son migrantes indocumentados. (La
Jornada, 25 de abril de 2005.)
Repasa las fracciones
equivalentes en…
a) Subraya la respuesta correcta: 35.7 millones de personas significa…
» 35 millones de personas más otras siete personas.
» 35 millones de personas más siete décimos de una persona.
» 35 millones de personas más siete décimos de un millón de personas.
www.e-sm.com.mx/
SCM1-094
b) ¿A cuántas personas equivale un décimo de un millón?
100 000
c) ¿A cuántas personas equivalen siete décimos de un millón?
d) ¿Cuánto le falta a 35.7 millones para 36 millones?
mm
comunicar
700 000
300 000
Comenta, en grupo y con ayuda del profesor, tus respuestas.
2. Organiza en la tabla la información que aparece al inicio de la lección.
Escritura simplificada
(millones)
Escritura
normal
Población
migrante total
35.7
35 700 000
100%
Residentes legales
21.7
21 700 000
61%
Residentes con
permiso temporal
1.2
1 200 000
3%
Refugiados llegados
después de los
años ochenta
2.5
2 500 000
7%
Migrantes
indocumentados
10.3
10 300 000
Porcentaje
29%
Tabla 1
94
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3. Lee la información y haz lo que se indica.
Del total de migrantes indocumentados en EUA, 5.9 millones (57%) provienen de México; 2.5
millones (24%), del resto de América Latina; 1 millón (9%), de Asia; 600 000 (6%), de Europa y
Canadá; y 400 000 (4%), de África y otros lugares. (La Jornada, 25 de abril de 2005.)
a) Organiza en la tabla las cantidades del texto anterior.
Origen de los migrantes
indocumentados
Escritura simplificada
(millones)
Escritura normal
Porcentaje
México
5.9
5 900 000
57%
Resto de América Latina
2.5
2 500 000
24%
9%
Asia
1
1 000 000
Europa y Canadá
0.6
600 000
6%
África y otros lugares
0.4
400 000
4%
Tabla 2
4. En la tabla 1 se observa que en EUA hay 10.3 millones de inmigrantes indocumentados,
cantidad que debería coincidir con la suma de la segunda columna de la tabla 2; sin
embargo, no es así.
a) ¿Cuál es la suma de la segunda columna de la tabla 2?
10.4
b) ¿Cuál es la diferencia entre esta suma y 10.3 millones?
0.1 millones
c) ¿A cuántas personas equivale la diferencia?
d) ¿Es mucha esta diferencia?
mm
resolver
100 000
R. P.
Comenta, con ayuda del profesor, tus resultados de las actividades 2, 3 y 4. Si cometiste
algún error, descríbelo.
Como puedes notar, el significado de los números decimales es muy importante para interpretar
cantidades. Así, por ejemplo, 3.2 millones de personas no significa 3 millones más dos personas,
sino 3 millones más 2 décimos de millón, es decir, 3 200 000 (tres millones doscientas mil personas),
puesto que la décima parte de un millón es 100 000.
5. Interpreta las cantidades y anota lo que se pide.
a) 2.3 km es igual a
2 km con 300 m.
b) 3.8 h es igual a
3 h con 48 min.
c) 5.6 kg es igual a
5 kg más 600 g.
Una pista
Un décimo de hora son
seis minutos.
95
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contenido
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2
Resuelve problemas
aditivos en los que se
combinan números
fraccionarios y decimales
en distintos contextos,
empleando los algoritmos
convencionales.
Secuencia 3 / lección 36
Tipo de cambio y algo más
1. En una casa de cambio aparece el siguiente letrero.
COMPRA
VENTA
Dólarm(USD)
resolver
Eurom(EUR)
a) ¿Por qué los precios de venta son más altos que los precios de compra?
En contexto
R. T. Para que las casas de cambio obtengan ganancias.
El euro es una moneda
de uso común en la
mayoría de los países
europeos. Su símbolo
es €.
b) ¿Cuál es la diferencia entre el precio de compra y el de venta del dólar?
$0.30
¿Y en el caso del euro? $1.18
c) De acuerdo con la información de la tabla, ¿cuánto más hay que pagar por un euro que
por un dólar? $5.18
d) ¿Cuánto gana la casa de cambio por cada 100 dólares que compra y luego vende? $30.00
e) La casa de cambio vende, en promedio, 10 000 dólares y 3 000 euros por día.
¿Con qué moneda obtiene más ganancia? Dólares (por la cantidad).
f ) Para viajar de México a EUA, Javier compró 2 000 dólares. Al regresar a México, tenía 500
dólares que no gastó y los vendió. Teniendo en cuenta los precios del letrero, ¿cuánto
dinero perdió? $150.00
g) Una cámara fotográfica cuesta $2 500.00 en México, 220 dólares en Nueva York y
200 euros en París. ¿En qué ciudad cuesta menos? (Considera $11.73 por dólar y $16.91
por euro)
mm
México.
Analiza en grupo tus resultados.
96
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2. Resuelve los problemas sin hacer operaciones escritas.
técnicas
a) ¿Qué pareja de fracciones de queso se acerca más a un queso entero?
»
1
2
queso y queso
2
5
»
1
1
queso y queso
2
3
3
4
b) Para unir dos tablas que miden, respectivamente,
»
2
3
y
1
1
queso y queso
2
4
de pulgada de espesor, ¿de
17
12
qué medida deben ser los clavos para que la punta no salga por el otro lado?
1
c) Tres clavos A, B y C de 2 2 pulgadas se clavaron en la pared, de modo que del clavo A
quedó más de la mitad afuera, del B quedó la mitad afuera y del C, menos de la mitad.
En cada caso, ¿qué parte del clavo quedó dentro?
1
__! in
de __4 in Clavo B __________
Clavo A Menos
__________
4
1
Clavo C __________
Más de __4 in
d) El partido de futbol empezó a las ocho y cuarto, se jugaron dos tiempos de
1
cada uno y entre cada tiempo hubo 4 de hora de descanso.
» ¿A qué hora terminó el partido?
mm
3
4
de hora
10:00
Revisa en grupo los resultados y los procedimientos de cálculo mental que utilizaron.
3. Responde las preguntas utilizando los recursos que quieras. Pilar decidió regalar a
Martha __13 , y a Hilda __27 de sus estampas.
a) ¿Con qué parte de sus estampas se quedó Pilar?
b) ¿A quién le dio más estampas: a Martha o a Hilda?
8
21
A Martha.
Una pista
Los tercios y séptimos
se pueden convertir en
veintiunavos.
c) Si Pilar se quedó con 64 estampas, ¿cuántas le regaló a Martha y cuántas a Hilda?
56 a Martha y 48 a Hilda.
mm
Revisa, con ayuda del profesor, tus resultados de esta actividad. Si tuviste alguna dificultad,
explica en qué consistió. Analiza la siguiente información.
Cuando se suman dos o más fracciones con distinto denominador, por ejemplo, __23 + __34 + __56 , es útil
encontrar un número que sea múltiplo común de los denominadores, de preferencia el mínimo común múltiplo; en este ejemplo es 12. Las tres fracciones se convierten en doceavos y se suman.
2
= 8
3
12
3
= 9
4
12
5
= 10
6
12
2
+ 3 + 5 = 8 + 9 + 10 = 27 = 9
3
4
6
12 12 12 12
4
97
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contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas aditivos
en los que se combinan
números fraccionarios y
decimales en distintos
contextos, empleando los
algoritmos convencionales.
Secuencia 3 / lección 37
Salarios y precios
1. Trabaja en equipo. En la siguiente tabla se puede ver cuánto gana una persona, en
promedio, durante un año en los estados de la república y a nivel nacional. Con base
en esa información, resuelvan los problemas que aparecen. En algunos casos conviene
usar la calculadora.
Remuneraciones promedio por persona según entidad federativa en 2008 (miles de pesos anuales)
Entidad
Remuneración promedio
Entidad
Remuneración promedio
1. Campeche
141.1
18. Quintana Roo
83.3
2. Distrito Federal
135.9
19. Jalisco
83.0
3. Tabasco
122.8
20. Guanajuato
83.0
4. Nuevo León
118.4
21. Puebla
81.8
5. Tamaulipas
103.0
22. Morelos
81.1
6. Baja California
101.0
23. Durango
78.9
7. Querétaro
99.2
24. Oaxaca
75.4
8. NACIONAL
99.1
25. Zacatecas
72.2
9. México
98.1
26. Colima
70.2
10. Coahuila
97.1
27. Tlaxcala
69.0
11. Chihuahua
97.0
28. Sinaloa
68.6
12. Veracruz
95.9
29. Guerrero
66.2
13. Aguascalientes
90.6
30. Chiapas
65.4
14. Sonora
85.7
31. Yucatán
64.6
15. Baja California Sur
84.3
32. Michoacán
64.4
16. San Luis Potosí
84.0
33. Nayarit
61.9
17. Hidalgo
83.5
Fuente: Instituto Nacional de Estadística y Geografía. Resumen de los Resultados de los Censos Económicos. 2009.
resolver
Ya sabemos…
Por ejemplo, 141.1 miles de pesos significa
141 mil, más un décimo de mil, que son
100 pesos, es decir,
141 100 pesos.
a) ¿Cuál es el salario promedio anual, en pesos, de una persona que vive en el Distrito
Federal? 135.9
b) ¿Cuál es la diferencia entre el salario promedio anual más alto y el más bajo?
En miles de pesos: 79.2
En pesos: 79 200
c) En el número 8 de la tabla se puede ver el salario promedio anual a nivel nacional. ¿Cuál
37.2
es la diferencia entre este salario y el de Nayarit, que es el más bajo?
98
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1/18/13 11:32 AM
d) Si se divide el salario promedio anual de Yucatán, que es $64 600.00, entre los 365 días
del año, se obtiene lo que gana una persona en promedio por día: $176.98. A continuación, aparecen los precios de varios productos de consumo básico. Enlista los que se
pueden comprar con $176.98.
»
»
»
»
»
» kg de tortilla: $10.00
» kg de carne: $80.00
» l de aceite: $24.00
» kg de jitomate: $10.00
» kg de arroz: $20.00
» kg de chile: $20.00
» kg de azúcar: $15.00
» kg de manzana: $25.00
» garrafón de agua sin el envase: $31.00
kg de huevo: $17.00
pieza de pan: $1.50
kg de frijol: $25.00
l de leche: $14.00
kg de cebolla: $10.00
e) Para la comida del día, Josefina quiere comprar 1 1 kg de carne,
2
kg de chile, 1 kg de cebolla y 1 kg de tortilla.
3
4
kg de jitomate,
Practica la suma y
resta de fracciones con
distinto denominador
en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-099
1
4
2
» ¿Cuánto gastará?
$147.50
» ¿Cuánto pesará la bolsa en la que meta sus compras?
mm
4 kg
Revisa, con ayuda del profesor, tus resultados y corrige lo que sea necesario.
2. Completa los cuadrados mágicos. El resultado que debes obtener está debajo de cada
cuadrado.
»
1
2
,
1
4
,
3
4
5
4
, 1,
,
3
2
7
4
,
, 2,
1
4
3
2
3
4
5
4
7
4
1
9
4
1
2
2
9
4
» 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1
1
0.3
0.8
0.5
0.7
0.9
0.6
1.1
0.4
Suma: 15
Suma: 2.1
4
» 0.1,
1
5
, 0.3,
2
5
, 0.5,
3
5
, 0.7,
, 0.9
»
1
6
,
1
3
, 0.5,
2
3
,
5
6
, 1,
0.1
3
5
0.3
0.5
0.7
0.5
5
6
2
5
0.9
1
5
2
3
1.5
2
mm
En contexto
4
5
4
5
Suma: 3
resolver
4
3
7
6
1
6
,
4
3
,1.5
1
7
6
1
3
Este tipo de cuadrados
se llaman mágicos
porque en su origen se
les atribuyeron, erróneamente, propiedades
astrológicas y adivinatorias. En un cuadrado
mágico al sumar tres
números (de una columna, fila o diagonal)
siempre se obtiene el
mismo resultado.
Suma: 2.5
Compara tus cuadrados con los de otros compañeros y verifica que se cumpla la condición
de los cuadrados mágicos.
99
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contenido
BLOQUE
2
Secuencia 4 / lección 38
La mitad de un cuarto I
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
y división con números
fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los
algoritmos usuales.
Multiplicar una cantidad por un número natural equivale a sumar esa cantidad varias
3
3
veces, por ejemplo, 2 × 4 km es lo mismo que 4 km + 34 km. Pero, ¿qué significa multi3
plicar una cantidad por un número fraccionario, por ejemplo, 25 × 4 km ? ¿El resultado
3
también es mayor que 4 km?
En esta secuencia estudiarás la multiplicación y la división con fracciones y comprobarás
que con ellas pasan cosas inesperadas, distintas a las que suceden con números naturales.
1. Resuelve los problemas usando fracciones.
a) Varios jóvenes improvisaron una banca uniendo extremo con extremo cinco tablas de
3
Si una cuerda de 4 m
se corta a la mitad,
__3 m de largo. ¿Cuál es, en metros, la longitud de la banca?
4
¿qué fracción de metro
3.750 m
b) En un puesto del mercado se vende queso en trozos de __14 kg. Si una persona lleva diez
medirá cada parte?
trozos, ¿cuántos kilogramos compró?
2.5 kg
1
de tanque de gasolina en su viaje de ida y vuelta al
c) Luis utiliza aproximadamente __
10
trabajo. Si va al trabajo 20 veces al mes, durante diez meses al año, ¿cuántos tanques de
técnicas
gasolina consume anualmente? 20 tanques
2. Verifica si lo que hiciste en el ejercicio anterior coincide con la siguiente técnica. En caso
de no ser así, busca el error.
Para multiplicar una fracción por un número entero, basta con multiplicar el numerador de
15
la fracción por el entero. Por ejemplo: __34 m × 5 = __
m = 3 __34 m.
4
3. Completa las multiplicaciones. Simplifica los resultados.
1=
a) 3 × _
3
1
4 =
d) 5 × _
15
4
3
1= 5
g) 4 × 1 _
4
validar
m
1=
b) 2 × 3 _
4
13
2
c)
2
f)
3
e)
3
3
9
×_=_
10 10
h)
4
2 =1_
1
×_
7
7
1 =_
1
×_
6 3
1 =_
1
×_
6 2
Comparen la técnica que cada uno describió en la actividad 2 y sus resultados de las multiplicaciones de la actividad 3. Verifiquen que hayan aplicado la siguiente regla.
Para multiplicar un entero con una medida fraccionaria, por ejemplo, 5 × __34 m,
5×3
15
m = __
m = 3 __34 m.
se multiplica el numerador de la fracción por el entero: 5 × __34 m = ____
4
4
100
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1
1
4. Don Pancho solo siembra 4 de su terreno y en 2 de
esa parte ha sembrado frijol. El rectángulo de la derecha
representa todo el terreno. Efectúa lo que se pide.
frijol
a) Representa en el rectángulo la parte sembrada de frijol.
1
8
b) ¿Qué fracción del terreno representa esa parte?
1
5. En la tienda donde Luis trabaja se venden rebanadas de 8 de pastel. Cada día, el
dueño le regala las rebanadas sobrantes. Para compartirlas con dos amigos, Luis las
lleva a la escuela y divide cada una en tres partes iguales. El lunes solamente sobró
una rebanada.
a) El rectángulo representa un pastel completo. Señala la parte que le correspondió a uno
de sus amigos el lunes.
1
___
24
Practica la multiplicación de fracciones en…
1
___
24
www.e-sm.com.mx/
SCM1-101
1
___
24
b) Anota en la tabla cuánto le corresponde a los tres amigos.
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Fracción de pastel que
Luis reparte entre tres
1
8
2
8
5
8
3
8
7
8
Fracción de pastel
para cada uno
1
24
1
12
5
24
1
8
7
24
» Verifica que al multiplicar por 3 la fracción de pastel de cada uno se obtengan las
cantidades de pastel repartidas.
validar
» Verifica que cuando se reparten __28 entre 3, a cada quien le corresponde lo doble que si
se reparte __18 entre 3.
3
6. Resuelve el problema con tus compañeros: al multiplicar por 2 el numerador de 4 m,
6
se obtiene una fracción del doble de tamaño: 4 m o 1 1 m. ¿Qué sucedería si, en
2
lugar de multiplicar el numerador, se multiplicara el denominador de 34 m por 2?
Expliquen su respuesta.
resolver
3
R. T. Se obtiene una fracción de la mitad de tamaño: __8 m.
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1/18/13 11:36 AM
contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
y división con números
fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los
algoritmos usuales.
Secuencia 4 / lección 39
La mitad de un cuarto II
1. Un artesano, que necesita trozos de madera
pequeños, corta tiras en partes iguales.
a) Anota en la tabla la medida de cada
trozo.
b) Verifica tus resultados. Si multiplicas la
medida de cada trozo (columna 3) por el
número de trozos (columna 2), obtendrás la medida de la tira (columna 1).
c) Anota en la última columna las divisiones
correspondientes.
técnicas
Medida
de la tira
Núm. de
trozos
3
m
4
3
4
m
5
2
1
m
2
2
1
m
3
5
2
m
3
5
Medida
de cada
trozo
División
1
4
2
5
1
4
1
15
2
15
3
÷3
4
4
5
1
2
1
3
2
3
÷2
÷2
÷5
÷5
2. Lee las siguientes técnicas para dividir fracciones entre números enteros. Si no son
iguales a la que usaste, aplícalas para verificar los resultados del problema anterior.
Para dividir una fracción entre un número natural se puede…
» dividir el numerador: 45 ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2 ; o bien,
5
5
2
4
» multiplicar el denominador: 45 ÷ 2 = 2 ×4 5 = 10
=5.
3. Resuelve.
a) 4 ÷ 2 = 2
5
5
2
d) 8 ÷ 4 =
9
9
b) 1 ÷ 2 = 1
5
1
e) 3 ÷ 3 =
10
7
h) 7 ÷ 2 =
24
24
j)
3 ÷3=
7
1
7
12
k) 3 ÷ 4 = 3
4
9
16
36
f) 1 ÷ 3 = 1
10
30
i)
1 ÷3=
7
1
21
l)
1 ÷4=
4
1
16
10
5
g) 5 ÷ 2 =
12
c) 1 ÷ 4 = 1
10
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4. Analiza y completa.
2
» Si el numerador de 3 se multiplica por 5, se obtiene una fracción cinco veces mayor:
10 o 3 1 .
3
3
2
» Si el denominador de 3 se multiplica por 5, se obtiene una fracción cinco veces menor: 2 .
15
2
» Si tanto el numerador como el denominador de 3 se multiplican por 5, ¿qué se obtiene?
10
Una fracción equivalente: __
15
m
Compara, con ayuda del profesor, las respuestas que obtuviste en las actividades 1, 3 y 4
con las de tus compañeros.
5. Resuelve los problemas.
resolver
3
a) Todas las mañanas, Ernesto da cuatro vueltas en una pista de 1 4 km. ¿Cuántos kilómetros recorre diario?
7 km
b) La profesora de dibujo entrega a un equipo de cuatro alumnos
cartulina y pide que lo repartan en partes iguales.
¿Qué fracción del pliego le corresponde a cada uno?
2
3
de un pliego de
Conoce otra forma para
multiplicar y dividir
fracciones en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-103
1
6
c) Ana debe entregar un pedido de 20 kg de jamón, pero solamente le queda un paquete
3
de 5 kg y paquetes de 4 kg.
3
¿Cómo puede completar los 20 kg?
Con 20 paquetes de __4
d) Un paquete de diez hojas de papel tiene
3
10
cm de espesor.
3
m ¿Qué espesor tienen 100 hojas?
¿Qué espesor tiene cada hoja?
100
3 cm
e) Gonzalo manda un tercio de su sueldo mensual a sus familiares, que viven en Hidalgo.
Del resto, la mitad es para los gastos de su casa; de estos, 15 es para pagar la luz.
1
» ¿Qué fracción de su sueldo representa el pago de la luz?
15
» Si paga $160.00 de luz, ¿cuál es el sueldo de Gonzalo?
Una pista
Representa el sueldo de
Gonzalo con un rectángulo y fracciónalo.
$2 400.00
f ) Una mezcla de pintura está compuesta por pintura roja, pintura blanca y agua. Las
3
1
pinturas roja y blanca representan juntas 5 de la mezcla. La roja es 4 de esos 35 .
¿Qué fracción de toda la mezcla representa la pintura roja?
3
20
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contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
y división con números
fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los
algoritmos usuales.
Secuencia 4 / lección 40
Vueltas alrededor de un circuito I
1. Un tren da vueltas en un circuito de 60 km.
a) ¿Cuántos kilómetros recorrerá después de 2
3
4
vueltas? 165 km
b) ¿Cuántos kilómeteos recorrerá luego de 0.25 vueltas? 15 km
2. Calcula los datos que faltan y contesta la pregunta.
Vueltas
0.25
2
5
0.5
1
7
8
2
3
2_
4
3
3.5
5
1
5_
4
km
15
24
30
60
52.5
120
165
180
210
300
315
Ya sabemos...
0.25 es lo mismo
La operación que permite obtener los kilómetros recorridos en cinco vueltas es
5 × 60 km = 300 km. ¿Cuál es la operación para obtener los kilómetros que se recorren en 25
2
__
de vuelta?
Í 60 km
25
que ___
o __14 .
100
5
Así como a cinco vueltas le corresponde cinco veces 60 km (5 × 60 km),
2
2
2
a 5 de vuelta le corresponden 5 de 60 km ( 5 × 60 km).
2
2
La acción de obtener 5 de una cantidad también se llama multiplicar por 5 .
m
Compara, en grupo, los datos de la tabla. Comenten qué significa multiplicar una cantidad
3
por una fracción, por ejemplo, 4 × 100 g.
3. En el recuadro aparecen varias multiplicaciones.
a) Subraya cada operación con el color que se indica.
Si el resultado es menor que 60.
Si el resultado es mayor que 60 pero menor que 120.
Si el resultado es mayor que 120.
ROJO
2
3 × 60
ROJO0.4 × 60
VERDE
1
1
2 × 60
ROJO
3
4 × 60
VERDE1.5 × 60
AZUL
5
2 × 60
ROJO
2
5 × 60
ROJO0.75 × 60
AZUL2
1
3 × 60
AZUL
7
3 × 60
AZUL2.1 × 60
AZUL2
3
4 × 60
104
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2
b) Una manera de calcular 3 × 60 es calcular primero
luego multiplicar el resultado por 2.
1
3
de 60, dividiendo 60 entre 3, y
¿Se obtiene el mismo resultado si se invierte el orden de esas operaciones, es decir,
si primero se multiplica 60 por 2 y luego se divide entre 3? Haz la prueba y anota los
resultados en el esquema.
÷3
60
×2
20
×2
60
40
÷3
120
40
c) Resuelve de las dos maneras las multiplicaciones del primer renglón del recuadro anterior. Verifica que se obtenga el mismo resultado.
d) Resuelve las multiplicaciones del segundo renglón. Recuerda que multiplicar por 0.4 y
4
por 10
es lo mismo.
e) Resuelve las multiplicaciones del tercer renglón. Recuerda que para multiplicar 60
1
por 2 3 se puede multiplicar 60 por 2, después 60 por 13 , y, finalmente, sumar ambos
resultados.
Multiplicar 60 × 5 equivale a sumar cinco veces 60.
3
3
Multiplicar 60 × 4 equivale a obtener 4 de 60.
75
Multiplicar 60 × 0.75 equivale a obtener 100 de 60.
m
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
4. Encuentra el número que falta. Si el número no es entero, usa fracciones.
a)
5
d)
g)
1
2
2
3
× 60 = 300
b)
× 60 = 30
e)
× 60 = 40
h)
4
3
1
3
1
10
× 60 = 80
c)
1
× 60 = 60
× 60 = 20
f)
× 60 = 10
× 60 = 6
i)
1
6
1
60
× 60 = 1
Observa que…
» multiplicar por 1 es lo mismo que dividir entre 2.
2
» multiplicar no siempre es agrandar.
105
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contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
y división con números
fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los
algoritmos usuales.
resolver
Secuencia 4 / lección 41
Vueltas alrededor de un circuito II
2
1. Un tren viaja en un circuito de 5 de km.
a) Si da diez vueltas, ¿cuántos kilómetros recorre?
Cuatro.
1
5
1
10
1
b) Si da 2 de vuelta, ¿cuántos kilómetros recorre?
1
c) Si da 4 de vuelta, ¿cuántos kilómetros recorre?
técnicas
Vueltas
d) La tabla de la derecha muestra una manera de
2
1
calcular 4 de 5 , que consiste en dividir 2 entre 2,
5
(÷2)
2
e) Si el tren viaja 4 3 vueltas, ¿cuántos kilómetros
recorre?
1
13
15
f ) La tabla de la derecha muestra una manera de
2
2
2
5
1
2
1
5
1
4
1
10
Vueltas
km
calcular 3 de 5 : se calcula 3 de 5 , es decir,
2
5 se divide entre 3. Escribe lo que falta.
(×2)
2
5
1
3
2
15
2
3
(÷2)
(÷2)
1
(÷3)
2
1
1
(÷2)
dos veces. Anota lo que falta.
km
(÷3)
(×2)
4
15
Recuerda que para dividir una fracción entre un número n se puede dividir su numerador entre n, o
bien, multiplicar su denominador por n.
3
2. El circuito del tren ahora mide 4 km.
a) Anota los datos que faltan.
Vueltas
1
4
1
3
1
2
2
3
1
1 2
3
2
Km
3
16
1
4
3
8
1
2
3
4
5
4
3
2
2
2
3
4
1
53
2
3
4
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4
2
técnicas
b) Completa la técnica para calcular 7 de 5 km.
Observa que
Paso 1
Paso 2
2
1
Calcular 7 de 5
Multiplicar el resultado anterior por 4
Esto se hace así:
Esto se hace así:
1
2 x_
2
=
5 7 35
2 x
8
4=
35
35
4
2 (4 × 2)
8
de = _ =
.
7
5 (7 × 5) 35
Es decir, para encontrar el resultado de una fracción de fracción basta multiplicar entre sí tanto los
numeradores como los denominadores.
c) Verifica los resultados de la tabla anterior mediante la técnica de multiplicar entre sí los
numeradores y los denominadores.
validar
Para calcular a cuánto equivalen cinco vueltas de 60 km cada una, se multiplica
5 × 60 km = 300 km.
4
2
Para calcular a cuánto equivalen de vuelta de km cada una, también se multiplica
7
5
4 2
4
× 2 = 8 km.
× = _
7 5
7 × 5 35
Es decir, obtener una fracción de fracción también es multiplicar.
En las lecciones del bloque siguiente continuarás estudiando la multiplicación y la división de
fracciones y decimales.
3. Resuelve y simplifica.
2 1
a) 3 × 2 = 1
3 1
b) 4 × 6 = 1
1
1
e) 10 × 2 = 1
f) 5 × 4 = 1
3
20
m
3
1
c) 10 × 3 = 1
8
4
10
3
5
10
g) 10 × 3 = 1
5
2
d) 12 × 5 = 1
6
3
4
h) 4 × 3 = 1
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad de multiplicación y división de
fracciones.
Compara, con ayuda del profesor, tus resultados con los del grupo. Averigüen cómo se
resuelven las siguientes multiplicaciones de fracciones mixtas.
2
1
a) 2 3 × 2 = 4
3
3
1
b) 5 4 × 2 6 = 299
24
107
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contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
y división con números
fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los
algoritmos usuales.
Secuencia 4 / lección 42
¿Qué número multiplicado por 2 da 3?
1. Traza en una hoja una línea de 20 cm y divídela en tres segmentos iguales.
a) ¿Cuánto mide cada segmento?
6.6666...
b) Multiplica por 3 la medida que encontraste y verifica que obtengas los 20 cm.
¿Alguien encontró una medida que, multiplicada por 3, dé exactamente 20 cm? Si no la
encontraron, en grupo, inténtenlo expresando la medida con una fracción. Anótenla.
m
20 cm ÷ 3 =
resolver
20
3
2. Algunos robots que se fabrican en un taller dan pasos grandes y otros dan pasos pequeños. Los pasos se miden con una unidad llamada “vara”.
a) Un robot avanza una vara en 5 pasos. ¿Qué fracción avanza en cada paso?
1
5
b) Calcula y anota en la tabla el tamaño de los pasos de otros robots. Verifica los resultados
multiplicándolos por 5 y comparando la distancia que cada robot recorrió en 5 pasos.
Robot
Distancia que avanza en 5 pasos
RA
1 vara
RB
2 varas
RC
5 varas
RD
14 varas
RE
15 varas
Tamaño de un paso
1
5
de vara
2
5
de vara
1
vara
14
5
15
5
Verificación
5×
1
5
=
1
5×
2
5
=
2
=
5
=
14
=
15
5×
5×
de vara
5×
de vara
1
14
5
15
5
7
c) De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es el resultado de dividir 7 varas entre 5? __
de vara
5
técnicas
d) La siguiente es una forma de dividir 7 varas entre 5.
El resultado de dividir una vara entre 5 es
1
de vara.
5
Si en vez de dividir una vara entre 5, se dividen siete varas entre 5, el resultado será siete veces mayor, es decir, siete veces
1
de vara.
5
7
2
Por tanto, el resultado de dividir siete varas entre 5 es igual a 5 de vara o 1 .
5
3. Encuentra los cocientes usando fracciones.
108
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a) 3 varas entre 4 = 3
b) 6 varas entre 4 = 3
c) 5 varas entre 6 = 5
4
d) 5 varas entre 3 = 5
3
2
e) 10 varas entre 8 = 5
4
f ) 30 varas entre 8 = 15
6
4
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4. Cada sábado, María lleva barritas de chocolate a sus nueve sobrinos y les pide que las
repartan en pedazos iguales.
a) Anota en la tabla cuánto le corresponde a cada sobrino.
Total de
barritas
A cada sobrino le
corresponde…
Sábado 2
1
1
9
9×
Sábado 9
3
1
3
9×
Sábado 16
5
5
9
9×
Sábado 23
7
7
9
Sábado 30
8
8
9
Verificación
1
9
División
=1
1÷ 9=
1
9
=3
3÷ 9=
1
3
5
9
=5
5÷ 9=
5
9
9×
7
9
=7
7÷ 9=
7
9
9×
8
9
=8
8÷ 9=
8
9
1
3
b) Completa las oraciones.
» Si una barrita se reparte entre nueve niños, a cada uno le corresponde
1
9
m
9
» Si m barritas se reparten entre nueve niños, a cada uno le corresponde
1
n
» Si una barrita se reparte entre n niños, a cada uno le corresponde
» Si m barritas se reparten entre n niños, a cada uno le corresponde
Observa que el resultado de dividir m unidades entre n es la fracción
m
n
m
de unidad.
n
5. Resuelve usando fracciones.
a) 2 ×
e) 10 ×
1
2
=1
3
10
=3
b) 5 ×
2
5
f ) 100 ×
3
100
=2
=3
c) 3 ×
2
3
g) 2 ÷ 5 =
1
4
=2
d) 4 ×
2
5
h) 3 ÷ 4 =
=1
3
4
6. Resuelve con números decimales. Puedes usar calculadora.
a) 2 ×
e) 10 ×
m
0.5
0.3
=1
=3
b) 5 ×
0.4
f ) 100 ×
0.03
=2
=3
c) 3 × 0.666 = 2
d) 4 ×
g) 2 ÷ 5 =
h) 3 ÷ 4 =
0.4
=1
0.25
Ya sabemos…
Dados dos números
diferentes de 0, siempre existe un tercer
número que multiplicado por uno de los
números da el otro.
0.75
Compara los resultados de las actividades 4, 5 y 6 con tus compañeros. Comenten lo
siguiente: ¿qué fracción de barrita multiplicada por 2 es igual a tres barritas?
109
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contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas
geométricos que impliquen
el uso de las propiedades
de la mediatriz de un
segmento y la bisectriz
de un ángulo.
resolver
Secuencia 5 / lección 43
A la misma distancia I
Se decidió construir una estación de tren a la misma distancia de dos pueblos. ¿Cómo
localizarías ese lugar?
Al estudiar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo podrás resolver
problemas como este.
1. Los puntos negros representan las casas de Fernando (F) y de Luisa (L). Se construirá un
pozo a la misma distancia de ambas. El punto azul es una de sus posibles ubicaciones.
Marca otros cinco puntos en los que también podría construirse.
L
P
F
a) Traza una recta que pase por los cinco puntos. Si no puedes trazarla, rectifícalos.
Ya sabemos…
Como divide al
segmento FL en dos
partes iguales, P es su
punto medio.
b) Traza el segmento que une los puntos negros. Este es el segmento FL. La recta que
trazaste en el inciso a) corta al segmento FL en un punto. Llámale P.
c) Mide los segmentos. FP = 3.1 cm
LP =
3.1 cm
d) ¿Cuánto miden los ángulos que forman el segmento FL y la recta que trazaste?
o
90
e) Por formar esos ángulos, ¿cómo son entre sí el segmento y la recta?
Perpendiculares.
La recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él se llama
mediatriz del segmento.
110
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2. En la actividad anterior trazaste la mediatriz del segmento FL. Esa recta pasa por los
cinco puntos que habías marcado. Marca otros tres puntos.
a) ¿Estos puntos están a la misma distancia de
F y de L?
Sí.
Practica cómo se traza
la mediatriz de un segmento en…
A
www.e-sm.com.mx/
SCM1-111
b) Verifica tu respuesta.
c) La recta azul es la mediatriz de AB.
» Marca cinco puntos sobre la recta.
» Mide su distancia a los extremos del
segmento.
» Verifica que estas distancias sean iguales.
B
Los puntos que pertenecen a la mediatriz de un segmento están a la misma distancia
de los extremos de este.
m
Comenta, en el grupo, tus respuestas de las actividades 1 y 2.
3. Lee el siguiente procedimiento para trazar la mediatriz de un segmento.
a) Abre tu compás a una medida mayor
que la mitad del segmento.
técnicas
b) Apoya el compás en un extremo del
segmento y traza un arco arriba y abajo.
Este procedimiento
también es útil para trazar figuras geométricas.
¿Cómo lo usarías para
trazar un triángulo con
dos lados iguales y uno
diferente? ¿Y para uno
con tres lados iguales?
c) Apoya el compás en el otro extremo
del segmento y traza dos arcos que
corten los anteriores.
d) Une los puntos de corte. Esa recta es la
mediatriz.
4. Traza en tu cuaderno cuatro segmentos diferentes y, con el procedimiento descrito,
marca sus mediatrices.
111
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1/18/13 11:37 AM
contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas
geométricos que impliquen
el uso de las propiedades
de la mediatriz de un
segmento y la bisectriz
de un ángulo.
Secuencia 5 / lección 44
A la misma distancia II
1. Se colocará una señal a la misma distancia de dos vías férreas que se cruzan.
a) El punto rojo es una posible ubicación para la señal. Marca otras cinco posibilidades.
resolver
R. P.
b) Traza una recta que pase por los cinco puntos y prolóngala hasta el vértice del ángulo.
Si no es posible hacerlo, rectifica los puntos.
c) Al trazar la recta, el ángulo quedó dividido en dos ángulos iguales. Usa tu transportador
y completa la tabla.
Medida del ángulo inicial
40
Medida de los ángulos en que quedó dividido
20
o
o
La línea que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales
se llama bisectriz del ángulo.
2. En la actividad anterior trazaste la bisectriz del ángulo que forman las vías. Esa recta
pasa por los cinco puntos que habías marcado. Marca otros tres puntos.
a) ¿Estos puntos están a la misma distancia de las vías?
Sí.
b) Verifica tu respuesta. Recuerda que para medir la distancia de un punto a una recta se
usa la escuadra.
Practica el trazo de la
bisectriz de un ángulo
en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-112
112
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B
c) La recta roja es la bisectriz del ángulo A.
R. P.
A
C
» Marca cinco puntos sobre la bisectriz y mide sus distancias a los lados del ángulo.
Verifica que sean iguales.
Los puntos que pertenecen a la bisectriz de un ángulo están a la misma distancia de sus lados.
m
Comenta con tus compañeros las respuestas de las actividades 1 y 2. Escriban en sus cuadernos la propiedad que cumplen los puntos de una bisectriz e ilústrenla. R. P.
técnicas
3. Lee el siguiente procedimiento para trazar la bisectriz de un ángulo.
a) Abre el compás a una medida
b) Apoya el compás en M y traza un arco
arbitraria y, con el centro en el vértice
hacia el lado opuesto a V.
(V), traza dos arcos que corten los
N
lados del ángulo. Los puntos de corte
son M y N.
V
M
N
V
M
c) Con la misma abertura, y apoyando
el compás en N, traza otro arco que
corte al anterior. El punto de corte
es P.
d) Une V y P. Esa línea es la bisectriz.
N
P
V
N
M
P
V
Este procedimiento
también es útil para trazar figuras geométricas.
¿Cómo lo usarías
para trazar un rombo
de 8 cm de lado
y cuyo ángulo agudo
mida 60°?
M
4. Traza en tu cuaderno cuatro ángulos diferentes y, con el procedimiento descrito, traza
la bisectriz de cada uno.
113
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contenido
BLOQUE
2
Resuelve problemas
geométricos que impliquen
el uso de las propiedades
de la mediatriz de un
segmento y la bisectriz
de un ángulo.
Secuencia 5 / lección 45
Mediatrices y bisectrices
1. Traza tres triángulos isósceles distintos en los que el segmento MN sea el lado desigual.
R. P.
M
N
2. Traza tres rombos distintos en los que su diagonal mayor sea el segmento PQ.
Q
P
3. Traza una bisectriz en cada polígono.
a) ¿En qué polígonos la bisectriz es mediatriz de un lado? Pentágono y heptágono.
b) ¿Qué tienen en común estos polígonos? Tienen un número impar de lados.
c) Si se trazara una bisectriz de un polígono regular de 35 lados, ¿esa bisectriz sería media-
validar
triz de un lado? Sí.
¿Cómo lo sabes? R. P.
d) ¿Pasaría lo mismo si el polígono fuera irregular?
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad de mediatriz
y bisectriz.
No necesariamente.
Traza un polígono regular en tu cuaderno y ejemplifica tu respuesta.
m
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
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1/18/13 11:37 AM
4. La recta anaranjada representa una vía férrea y los puntos, dos poblados. Se construirá
una estación de tren a la misma distancia de ambos. Ubica con un punto el lugar donde
podría construirse la estación.
Una pista
Recuerda las características de la mediatriz y la
bisectriz.
R. P. Debe
estar sobre
la mediatriz.
5. Ana quiere poner un negocio a la misma distancia de las avenidas Mariano Escobedo,
Melchor Ocampo y Eje 3 Poniente. Señala el lugar adecuado. Señala también dónde
debería estar si lo quisiera a la misma distancia de los cruces de estas avenidas.
resolver
Convivimos
Ejé
rcit
o
EJ
E3
Nac
ion
al M
exi
ca
no
PT
E
Ante una tarea
matemática, piensa
que eres libre de probar
diferentes maneras
de resolverla. Por lo
general no hay una sola
que lleve a la respuesta
correcta.
rg
be
Guten
.
Calz
l. M
Gra
am
po
Oc
or
lch
Me
Ca
lz.
o
bed
sco
no E
aria
Museo Rufino
Tamayo
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contenido
BLOQUE
2
Justifica las fórmulas
de perímetro y área de
polígonos regulares, con
apoyo de la construcción
y transformación de figuras.
Secuencia 6 / lección 46
Unas fórmulas se originan en otras
¿Te has preguntado de dónde salen las fórmulas para calcular perímetros y áreas? ¿Por
qué una fórmula puede servir para diferentes figuras? En esta secuencia estudiarás
estos aspectos y verás por qué sabiendo una puedes conocer otras.
1. La fórmula para calcular el área de las siguientes figuras es la misma. Explica por qué.
h
A = bh
Ya sabemos…
Una figura se puede
transformar en otra,
conservando su superficie.
h
A = bh
b
b
R. T. Las piezas del rectángulo pueden reacomodarse para formar el romboide y viceversa.
m
Compara tu explicación con la de tus compañeros. Si no coinciden, verifiquen quiénes
tienen razón.
2. Divide el rectángulo y el romboide en dos partes iguales mediante una diagonal.
a) ¿En qué figuras quedaron divididas?
Triángulos.
b) ¿Qué parte del área de cada figura ocupan?
La mitad.
c) Tanto la base del rectángulo como la del romboide miden b, y las alturas, h. ¿Cuánto
miden la base y la altura de los triángulos que se formaron?
Triángulos en el rectángulo
Base =
b
Altura =
h
Altura =
h
Triángulos en el romboide
Base =
b
d) Considerando que las áreas del rectángulo y del romboide se calculan multiplicando
bh
base por altura (A = bh), ¿cómo se determina el área de un triángulo? _
2
¿Por qué? Porque es la mitad de un paralelogramo.
m
Analiza, en grupo y con ayuda del profesor, tus respuestas.
116
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técnicas
3. Estas figuras son polígonos regulares.
a) Divide cada polígono en triángulos iguales. El centro del polígono debe ser el vértice
común de los triángulos, y estos deben ser tantos como los lados del polígono.
b) Si el área de un triángulo se calcula multiplicando base por altura y dividiendo el resulbh
tado entre 2 (A = __
), ¿cómo se determina el área de un hexágono regular?
2
Ya sabemos…
Un polígono regular
es una figura que
tiene lados y ángulos
iguales.
bh
A=6x_
2
c) ¿Cómo se calcula el área de un octágono regular?
bh
A=8x_
2
d) ¿Cómo se obtiene el área de un polígono regular de 25 lados?
¿Puedes identificar el
perímetro del octágono
en esta fórmula?
bh
. ¿Y la
A = 8 × __
2
apotema?
bh
A = 25 x _
2
e) ¿Cómo se calcula el área de un polígono regular de n lados?
A = n x bh/2
La fórmula para calcular el área de un polígono regular es
Pa
). La apoteárea igual a perímetro por apotema entre dos, (A = __
2
ma tiene la misma medida que la altura de uno de los triángulos en que se divide el polígono.
apotema
4. Calcula el área de un octágono regular de la medida que quieras con las fórmulas
Pa
bh
y A = 8 × __
(base por altura entre 2, que es el área del triángulo, por 8, puesto
A = __
2
2
que el octágono se divide en 8 triángulos). Verifica en tu cuaderno que los resultados
sean iguales en las dos fórmulas. R. P.
resolver
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contenido
BLOQUE
2
Secuencia 6 / lección 47
La mitad del doble
Justifica las fórmulas
de perímetro y área de
polígonos regulares, con
apoyo de la construcción
y transformación de figuras.
1. Esta figura es un romboide formado por dos trapecios iguales.
b
c
a
a) Expresa con letras las medidas.
»
»
»
»
m
b
c
» Altura del romboide
» Área del romboide (a + b)c
(a + b)c
» Área del trapecio _
a
Base mayor del trapecio
b
Base menor del trapecio
c
Altura del trapecio
Base del romboide a + b
2
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si no coinciden, verifiquen quiénes
tienen razón. Comenten la siguiente información.
La fórmula para calcular el área de un trapecio es
base mayor más base menor por altura entre 2:
(B + b) h
.
A = ______
2
2. También se puede obtener la fórmula para el área del trapecio con un corte en este,
paralelo a las bases y a la mitad de la altura, y la unión de las partes.
b
h
h
_
2
B
B
b
a) Encuentra las medidas del romboide con base en las medidas del trapecio.
¿Es cierto que
(B + b) (h)
_______
= (B + b)(__h2 )?
2
Compruébalo asignando valores a B, b y h.
» Base del romboide
B+b
b) ¿Cuál es el área del romboide?
c) ¿Cuál es el área del trapecio?
» Altura del romboide
h
_
2
(B + b)h
_
2
(B + b)h
_
2
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1/18/13 11:38 AM
3. Observa la figura y responde las preguntas.
resolver
B
A
a) ¿Qué fórmula conoces para calcular el área de un cuadrado?
Lado por lado.
b) Si la unidad de medida es un cuadrito, ¿cuál es el área de A? 16 cuadritos.
c) ¿Cuál es el área de B? 32 cuadritos.
d) Observa que un lado de B mide lo mismo que la diagonal de A y su área es el doble.
m
Expresa, en grupo, a partir de las observaciones anteriores, otra fórmula para calcular el área
(Diagonal x Diagonal)
del cuadrado y anótala.
__
2
4. El rombo y el cuadrado tienen cuatro lados iguales. Difieren en que el cuadrado siempre
tiene cuatro ángulos rectos y el rombo puede tener dos ángulos agudos y dos obtusos.
A
B
C
D por d
D por d entre dos
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de área
de polígonos.
D
d
a) ¿Cuánto miden las diagonales del rombo A? d =
4 D=
6
b) Al multiplicar D por d se obtiene el área de un rectángulo cuyo largo es D y su ancho, d.
¿Qué relación hay entre el área del rectángulo y el área del rombo?
El área del rombo es la mitad de la del rectángulo.
c) ¿Cómo se calcula el área de un rombo con base en sus diagonales?
Dxd
_
2
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contenido
BLOQUE
2
Identifica y resuelve
situaciones de
proporcionalidad directa
del tipo “valor faltante”
en diversos contextos,
con factores constantes
fraccionarios.
Secuencia 7 / lección 48
Banderas a escala
Si se amplifica un dibujo de manera que un lado de 6 unidades mida 9, ¿cuánto medirá
un lado de 4 unidades?
1. Luis hará seis copias a escala de la bandera de la derecha. Considera la tabla para contestar las preguntas. No calcules todavía las medidas.
resolver
a
a) ¿Qué copias serán más grandes que la original?
c
Las copias 1, 2, 4 y 5.
e
b) ¿Cuál será la copia más grande?
Observa representaciones a escala de objetos
reales en…
b
d
La copia 4.
m
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
www.e-sm.com.mx/
SCM1-120
Bandera
original
Copia 1
Copia 2
Copia 3
Copia 4
Copia 5
Copia 6
Lado a
6
12
15
3
18
9
4.5
Lado b
6
12
15
3
18
9
4.5
Lado c
4
8
10
2
12
6
3
Lado d
8
16
20
4
24
12
6
Lado e
12
24
30
6
36
18
9
2. Indica si las afirmaciones son correctas o incorrectas y explica tus respuestas.
Afirmación 1: Las medidas de la copia 1 se obtienen multiplicando por 2 las de la original.
R. T. Es correcta, pues los lados de la copia miden el doble que los de la original.
Afirmación 2: Las medidas de la copia 5 se obtienen sumando 3 unidades a las de la original.
R. T. Es incorrecta: 4 + 3 = 7, pero el lado c de la copia 5 mide 6 unidades.
validar
a) Si las dos afirmaciones fueran correctas, ¿cuánto medirían los lados de las copias 1 y 5?
Copia 1. Lado a: 12
Lado b: 12
Lado c: 8
Lado d: 16
Lado e: 24
Copia 5. Lado a: 9
Lado b: 9
Lado c: 7
Lado d: 11
Lado e: 15
b) Dibuja en papel cuadriculado las copias 1 y 5.
c) ¿Cómo quedaron? Registra tus observaciones en tu cuaderno.
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3. Las medidas de la copia 5 no se obtienen sumando 3 a las de la original.
a) ¿Cómo se obtienen y cuáles son?
3
R. T. Multiplicando por __2 las medidas de la figura original.
Lado a: 9
Lado b: 9
Lado c: 6
Lado d: 12
Lado e: 18
validar
b) Dibuja en papel cuadriculado la copia 5 con las medidas que encontraste.
» La bandera original es un cuadrado. ¿Ocurre lo mismo en tu copia? Sí.
» En la bandera original, e es igual a la suma de c y d. ¿Esto ocurre en tu copia? Sí.
» Si tu copia 5 no cumple con las características anteriores, averigua, en grupo, dónde
está el error.
4. El lado b mide 6 unidades en la bandera original y 9 en la copia 5. Si c mide 4 unidades
en la original, ¿cuánto debe medir en la copia 5? 6
a) En la tabla de la derecha hay un procedimiento para calcular la medida de c en la
copia 5. Encuentra lo que falta y compara
el resultado con el que habías obtenido.
Dibujo original
÷6
×4
Copia 5
6
9
1
1.5
—
4
6
—
-
técnicas
÷6
×4
5. Anota en la tabla el número de unidades que corresponde en cada copia a una sola
unidad de la original.
Bandera
original
Copia 1
Copia 2
Copia 3
1
2
5 o 2.5
2
1 o 0.5
2
Copia 4
Copia 5
Copia 6
3
1 __12 o 1.5
3 o 0.75
4
6. Calcula las medidas de las seis copias, anótalas en la tabla de la actividad 1 y dibuja las
copias en papel cuadriculado.
m
Compara tus copias con las de tus compañeros. Verifiquen las anticipaciones que hicieron
en la actividad 1.
121
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1/18/13 11:39 AM
contenido
BLOQUE
2
Identifica y resuelve
situaciones de
proporcionalidad directa
del tipo “valor faltante”
en diversos contextos,
con factores constantes
fraccionarios.
Secuencia 7 / lección 49
Más del doble pero menos del triple
1. Escribe las medidas que calculaste en la lección anterior.
Lado a
Lado b
Lado c
Lado d
Bandera
original
Copia 1
1
2
6
Copia 2
Copia 3
Copia 4
Copia 5
Copia 6
2.5
0.5
3
1.5
0.75
0.25
15
3
18
9
4.5
1.5
12
15
3
l8
4.5
1.5
8
10
2
6
3
1
24
12
6
2
36
18
12
6
9
4
12
8
20
4
16
Lado e
12
6
24
30
9
3
2. Contesta las preguntas.
a) ¿En qué copia los lados miden el doble que los de la bandera original?
Copia 1
¿Cuál es su factor de escala?
b) ¿En qué copia los lados miden el triple que los de la original?
2
Copia 4
¿Cuál es su factor de escala?
c) ¿Qué copia está entre las dos anteriores? Es decir, ¿cuál es mayor que una
pero menor que la otra?
3
Copia 2
d) Los lados de esta última copia miden más del doble que los de la original, pero menos
del triple. Por tanto, el factor de escala agranda más del doble pero menos del triple.
¿Cuál es ese factor?
2
1
2
En la copia 2, a cada unidad del dibujo original le corresponden 2 __12 unidades: 1➝ 2 __12 .
Entonces, el factor de escala de la copia es 2 __12 o 2.5.
122
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m
resolver
Verifica en grupo. Puedes usar calculadora.
a) Cada medida de la copia 2 es 2 __12 veces la medida correspondiente de la original.
b) Cada medida de la copia 2 es igual a la medida correspondiente de la original por 2.5.
3. ¿Cuáles son los factores de escala de las otras copias? Anótalos en la primera fila de la
tabla de la página anterior.
4. El factor de escala de una nueva copia (copia 7) es 0.25. Anótalo en la columna vacía de
la tabla anterior.
Ya sabemos…
Recuerda: dividir entre
n equivale a multipli1
car por __
n.
a) ¿La copia 7 es mayor, menor o igual que la bandera original? Menor.
b) ¿Cuánto mide en la copia 7 el lado que en la original mide 6 unidades? A continuación
hay dos caminos para calcularlo: complétalos.
Camino 1: como el factor de escala es 0.25,
a cada unidad de la original le corresponden
0.25 unidades en la copia. Entonces…
Camino 2: como el factor de escala es 0.25,
25
todas las medidas de la copia son ___
de las
100
originales, es decir, __14 de las originales.
1 ➞ 0.25
6 ➞ 6 veces 0.25 =
técnicas
Por tanto, el lado de 6 unidades en la bandera original medirá, en la copia, __41 de 6 uni-
1.5
dades, es decir,
1.5
unidades.
c) Calcula las demás medidas de la copia 7 y anótalas en la tabla.
5. Ordena los factores de escala, desde el de la copia más pequeña hasta el de la más
grande.
m
× 1.2
× 1.19
× 0.8
× 0.75
×2
×3
2
×_
3
7
×_
4
2
_
3
0.75
0.8
1.19
1.2
7
4
2
3
Compara, con ayuda del profesor, tus resultados de las actividades 3, 4 y 5 con los de tus
compañeros.
Si un factor de escala es, por ejemplo, __74 , entonces…
» a cada unidad de la figura original le corresponden __74 de unidad en la copia;
» cualquier medida de la copia equivale a __74 de la medida original.
123
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contenido
BLOQUE
2
Secuencia 7 / lección 50
La casita a escala
Identifica y resuelve
situaciones de
proporcionalidad directa
del tipo “valor faltante”
en diversos contextos,
con factores constantes
fraccionarios.
1. Se harán cinco copias a escala del dibujo que aparece a la izquierda. En la tabla se indican
varias medidas del original y una medida de cada copia.
Antes de calcular las medidas que faltan, contesta las preguntas. Argumenta tus respuestas.
a) ¿Qué copia será la más pequeña? Copia 5.
¿Cómo lo sabes?
R. P.
b) ¿Qué copia será la más grande? Copia 1.
¿Cómo lo sabes?
R. P.
d
f
e
c
c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles? 2 y 4
a
b
¿Por qué?
R. P.
3
__
1
__
1
__
2
__
1
__
Dibujo original
Copia 1
Copia 2
Copia 3
Copia 4
Copia 5
Lado a
4
3
2
1.33
2
0.8
Lado b
10
7.5
5
3.33
5
2
4.5
3
2
3
1.2
0.4
1
4
m
2
3
4
Lado c
6
Lado d
2
1.5
1
0.66
1
Lado e
5
3.75
2.5
1.66
2.5
5
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Expliquen sus razones en cada
caso. No es necesario que lleguen a acuerdos. Más adelante podrán verificar.
2. Efectúa lo que se pide.
a) Calcula las medidas de la copia 1 y anótalas con lápiz en la tabla.
b) A continuación, se indican tres relaciones que cumplen las medidas del dibujo original.
Anota “sí” o “no” para indicar si en las medidas que calculaste para la copia 1 se verifican
esas relaciones. Si no se verifica alguna, hay un error.
» ¿El lado a mide lo doble que el lado d?
Sí.
» ¿El lado c mide lo triple que el lado d?
Sí.
» ¿El lado b mide lo doble que el lado e?
Sí.
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Dibujo original
c) El lado a mide 4 unidades en el dibujo original y 3 en la copia
1. Si el lado b mide 10 unidades en el original, ¿cuánto mide en
la copia 1? Responde en tu cuaderno.
÷4
» Completa los datos que faltan en la tabla y compara el resultado
con la medida del lado b que encontraste.
Copia 1
3
4
× 10
1
3
5
—
10
7.5
-
÷4
× 10
—
d) Dado que a cada unidad del original le corresponden en la copia __34 de unidad, el factor
de escala es __34 . Anótalo en la primera fila de la tabla, en la columna que corresponde
a la copia 1.
» Verifica las medidas de los demás lados y corrígelas si es necesario.
» Verifica que se cumplan las relaciones del inciso b).
e) Calcula las medidas de las demás copias y anótalas en la tabla. Verifica que se cumplan
las relaciones del inciso b). Anota también los factores de escala que corresponden a
cada copia.
Practica la proporcionalidad en los dibujos
a escala en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-125
3. Efectúa lo siguiente con ayuda de tu profesor.
a) Compara las medidas y factores que anotaste en la tabla con
los de tus compañeros.
b) Verifica si acertaste en cuál iba a ser la copia menor y cuál la
copia mayor.
4. En la tabla de abajo se indican las medidas del dibujo de la derecha y algunas de cinco copias a escala. Contesta las preguntas
antes de calcular los datos y justifica tus respuestas.
a) ¿Qué copia será la más pequeña?
La copia 2.
b) ¿Qué copia será la más grande?
Copia 3.
e
c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles son?
d
a
4y5
b
d) Calcula los datos que faltan.
Dibujo original
Copia 1
Copia 2
4
6.66
Lado a
3
Lado b
5
Lado c
1
Lado d
4
Lado e
2
1.33
5.33
2.66
Copia 3
Copia 4
3.6
6
4.5
4.5
6
10
7.5
7.5
1.2
2
1.5
1.5
4.8
8
6
2.4
4
3
c
Copia 5
6
3
125
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Las matemáticas en...
Los números primos
Desde la Antigüedad, los matemáticos han estudiado los números primos y han logrado demostrar algunas de sus propiedades. Sin embargo, aún hay muchas preguntas sin respuestas.
Aquí te presentamos algunas de ellas.
En la antigua Grecia, el matemático Euclides demostró que “hay una cantidad infinita de números primos” o, dicho en otras palabras, “no hay un número primo que sea el más grande
de todos”. Todavía no se ha descubierto un método para encontrar fácilmente números primos muy grandes.
Euclides enseñando geometría a sus alumnos
R. T.
Escribe en cada inciso un número primo más grande que el que está escrito.
a) 7 > 5
b) 19 > 13
c) 79 > 53
d) 47 > 31
e) 79 > 41
Los números primos, son, en cierta forma, los “ladrillos” o “componentes más básicos” de los
números, pues cualquier número natural puede escribirse como una multiplicación de números primos, por ejemplo:
15 = 5 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
70 = 2 × 5 × 7
164 = 2 × 2 × 41
813 = 3 × 271
Escribe los siguientes números como multiplicación de números primos.
a) 32 =
b) 78 = 2 x 3 x 13
2x2x2x2x2
c) 192 =
d) 18 = 2 x 3 x 3
e) 69 =
3 x 23
2x2x2x2x2x2x3
Los matemáticos también se han preguntado, al respecto de los números primos, qué tan
cerca pueden estar dos de ellos y cuántos hay a la misma distancia.
Los primos 2 y 3 distan una unidad, es decir, están lo más cerca posible.
Los primos 3 y 5 distan dos unidades; son llamados primos gemelos; 11 y 13 también son primos gemelos.
¿Hay otros dos números primos que disten una unidad? Explica tu respuesta.
R. T. No, porque el 2 es el único par.
Escribe cinco parejas de primos gemelos.
(5, 7), (17, 19), (29, 31), (41, 43),
(59, 61)
Se considera que hay una cantidad infinita de primos gemelos; sin embargo, hasta ahora
no se ha demostrado que así sea.
126
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Muchos números pares mayores que 2 se pueden escribir como suma de dos números primos, por ejemplo:
8=5+3
24 = 13 + 11
48 = 31 + 17
100 = 83 + 17
Escribe los siguientes números como suma de dos números primos.
a) 18 =
15 + 3
b) 28 =
c) 30 =
17 + 11
d) 90 =
23 + 7
29 + 61
e) 56 = 43 + 13
Muchos matemáticos han tratado de demostrar que “cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos primos”, pero nadie ha podido.
Durante mucho tiempo algunas personas creyeron que encontrar primos cada vez más grandes era una mera “ociosidad de los matemáticos”, pero en el siglo xx se descubrió que los números primos grandes resultan muy útiles para enviar mensajes secretos.
La idea se basa en que con dos números primos grandes es fácil crear un número compuesto
grande (basta con multiplicarlos).
Multiplica estos números primos.
5 × 11 = 55
13 × 17 = 221
11 × 7 = 77
23 × 7 = 161
19 × 29 = 551
Pero el camino de regreso es diferente: es muy difícil escribir un número compuesto muy
grande como multiplicación de números primos.
Encuentra los dos números primos que, multiplicados, dan como resultado los números que se indican.
11 × 31 = 341
7 × 13 = 91
31 × 7 = 217
17 × 15 = 85
29 × 31 = 899
Multiplica dos números primos menores que 20 y di a tus compañeros el resultado.
Ahora pregúntales qué primos multiplicaste.
¿Cuánto tiempo tardaron en responder?
R. P.
Actualmente, la seguridad de muchos datos bancarios depende de los números
primos. Hay compañías que ofrecen un premio a las personas que encuentren números primos cada vez más grandes.
Quizás, en el futuro comprobar si cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos, o saber cuántos primos gemelos hay,
resulte ser más que una simple “ociosidad matemática”.
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Evaluación
(TIPO ENLACE)
BLOQUE 2
Selecciona la opción correcta.
1. ¿Qué número es divisible entre 3?
a) 1111
b) 11111111111
c) 111111111111
d) 1111111111111
2. En una papelería se venden cajas de lápices con doce unidades y cajas de borradores con
diez unidades. Una persona quiere comprar la misma cantidad de lápices y borradores
gastando lo menos posible. ¿Cuántos lápices debe comprar?
a) 120
b) 112
c) 60
d) 22
3
3. A un listón que mide 91.44 cm se le corta un pedazo de _ m. ¿Cuánto listón sobra?
4
a) 90.69 cm
b) 83.94 cm
c) 25 cm
d) 16.44 cm
4. El aire está compuesto de varios elementos químicos, de los cuales __43 son nitrógeno; __51 ,
oxígeno; y el resto, otros componentes. ¿Qué parte corresponde a otros componentes?
1
a) _
20
4
b) _
9
5
c) _
9
19
d) _
20
5. Dos litros y medio de leche se reparten en vasos de __52 l. ¿Cuántos vasos se llenan y cuánto
sobra?
1 l.
a) Cinco vasos y sobra _
5
4 l.
c) Siete vasos y sobra _
5
1 l.
b) Seis vasos y sobra _
10
1 l.
d) Ocho vasos y sobra _
4
6. En el diagrama, L es la mediatriz del segmento AB. ¿Qué podemos asegurar acerca del
triángulo ABC?
a) El triángulo ABC es equilátero
(sus tres lados miden lo mismo).
b) El triángulo ABC es isósceles
(dos de sus lados miden lo mismo).
c) El triángulo ABC es escaleno
(sus tres lados tienen medidas distintas).
C
A
L
B
d) El triángulo ABC es rectángulo
(uno de sus ángulos es recto).
128
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7. Observa la figura ABCDEF: es un hexágono regular cuyo centro es O. Identifica la opción
para calcuar el área del cuadrilátero ABCF .
E
57.9
a) (_) × 3
4.72
D
4.72
b) 57.9 × 3
Area = 57.9
F
C
c) 4.72 × 3
57.9
d) (_) × 3
2
B
A
8. Se quiere reducir una figura de manera que el lado AB, que mide 5 cm en la figura original, mida 4 cm. ¿Con qué operación se calculan las medidas de la figura a escala?
a) Restar 1 a cada medida original.
F
b) Restar 2 a cada medida original.
D 2 cm
1
E
3 cm
C
4 cm
3 cm
4 cada medida original.
c ) Multiplicar por _
5
5
_
d) Multiplicar por cada medida original.
4
5 cm
A
G
B
H
1 cm
1 cm
9. Anota en los recuadros la base y la altura del rectángulo usando las medidas D y d de
la primera figura. Después expresa el área del rectángulo.
D
d
D
__
dD
___
A = _________
2
2
9m
10. Mide lo que necesites. A partir de la medida que
se proporciona en el plano, averigua y anota.
a) Longitud real de la recámara 1
(distancia entre la línea 1 y la línea 3):
1
3
A
Cocina
Recámara 1
4.94 m
b) Ancho de la cocina
(distancia entre la línea A y la línea B):
3.53 m
4
2
B
B
B
Comedor
C
c) Ancho de la casa (distancia entre
la línea A y la línea D): 9 m
17
d) Factor de proporcionalidad: _____
3000
Recámara 2
D
Sala
Escaleras
al sótano
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Evaluación
(TIPO PISA)
BLOQUE 2
Pongo en juego mis competencias
Geometría e ilusiones ópticas
COMPETENCIAS
Resolver problemas de manera autónoma
Manejar técnicas eficientemente
La imagen es un fragmento de la obra Bitlinko, de Víctor Vasarely, un artista
de comienzos del siglo xx a quien se le considera el padre del Op-Art, una
corriente abstracta que utiliza fenómenos ópticos para engañar al ojo humano
y dar sensación de movimiento o relieve. Al contrario de otras tendencias, el
Op-Art se basa en principios científicos rigurosos.
Pregunta 1. En la obra mencionada el artista ha incluido tres tipos de polígonos.
¿Cuáles son y cuántos hay de cada tipo?
Pregunta 2. Si se sabe que el lado de cada cuadrado mide 2 cm, se observa la
relación entre las dimensiones de los tres tipos de polígonos y se mide
lo necesario, ¿cuál es el área total de la superficie pintada de negro?
Pregunta 3. Si miras fijamente la imagen notarás puntos grises en la intersección
de los polígonos. Estos no son reales, sino una ilusión óptica. ¿A
qué se debe?
Pregunta 4. Muchas personas opinan que estas obras geométricas no pueden
considerarse arte. ¿Qué opinas tú? Escribe tus argumentos y preséntaselos a tus compañeros.
Pregunta 5. Elabora una composición geométrica con polígonos al estilo de
Vasarely. ¿Qué polígonos utilizaste? Calcula el área de tu composición.
¿Adivino gracias a las matemáticas?
COMPETENCIAS
Resolver problemas de manera autónoma
Comunicar información matemática
Luis quiere adivinar el número de cartas que tiene Carlos,
quien le dice: “El número de cartas que tengo es el más pequeño que me permite hacer montones de 18 o de 30 sin
que en ningún caso me sobren cartas”.
Luis escribe unos números en un papel y en pocos segundos
contesta: “¡Tienes 90 cartas!”.
Carlos cuenta sus cartas y, sorprendido, responde: “¿Cómo
lo hiciste?”.
Luis le contesta: “Lo aprendí en clase de Matemáticas”.
Pregunta 1. Como Carlos puede hacer montones de 18 o de 30 cartas,
¿cuántas cartas puede tener?
Pregunta 2. Explica cómo adivinó Luis esto.
130
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Y para
terminar...
¡Hagamos papiroflexia!
Necesitarás ocho cuadrados de papel del mismo tamaño;
cuatro de un color y cuatro de otro.
5. Ensambla dos romboides de diferente color como se
muestra.
1. Toma un cuadrado y dóblalo por las líneas punteadas
para hallar el centro.
6. Dobla hacia adentro los pequeños triángulos sobrantes
para fijar bien los dos romboides.
2. Lleva dos vértices consecutivos del cuadrado hacia el
centro.
7. Haz lo mismo con los ocho romboides hasta completar
la siguiente figura.
3. Marca con dobleces las líneas punteadas; no dejes el
doblez hecho, solo marca y desdobla.
¿Qué figuras forman el diseño?
8. Desliza las piezas hacia el centro del octágono y obtendrás esta estrella.
4. Dobla a la mitad hacia el centro para formar un
romboide.
a)
b)
c)
Encuentra, sin usar transportador, cuánto mide cada ángulo del romboide.
Repite los pasos anteriores hasta obtener ocho romboides.
Identifica en la estrella, sin usar transportador, ángulos
de 45º, 90º y 135º.
131
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BLOQUE
3
Aprendizajes esperados
✓ Resuelve problemas que implican efectuar
multiplicaciones o divisiones con fracciones
y números decimales.
✓ Resuelve problemas que impliquen el uso
de ecuaciones de las formas:
x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c
son números naturales y/o decimales.
✓ Resuelve problemas que implican el
cálculo de cualquiera de las variables de las
fórmulas para calcular el perímetro y el área
de triángulos, cuadriláteros y polígonos
regulares. Explica la relación que existe
entre el perímetro y el área de las figuras.
132
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Juguemos al tangram
¿Has jugado alguna vez con el tangram?
El tangram es un antiguo juego chino parecido a un rompecabezas
que, como puedes ver en la imagen, consta de siete piezas que forman
un cuadrado.
Usando todas las piezas se forman diferentes figuras. Aunque originalmente estaban catalogados unos cientos de formas, actualmente
existen ya más de 10 000. ¿Te atreves a jugar?
1. ¿Qué figuras geométricas forman el tangram?
2. Calcula qué parte del área corresponde a cada figura.
3. Organízate con cuatro compañeros para elaborar un tangram. Ga-
nará el equipo que forme primero todas las figuras propuestas y explique la respuesta de lo siguiente.
a) ¿Tienen todas las figuras el mismo perímetro?
b) ¿Y la misma área?
Practica con un tangram interactivo en…
www.e-sm.com.mx/SCM1-133
os y ángulos
geométricos: líneas, puntos, plan
Estamos rodeados de elementos
necesitamos
nte
eme
tant
cons
y
cio,
espa
el
forman figuras en el plano y en
.
conocer sus dimensiones, medirlas
ianos en los
si sabes resolver problemas cotid
Al finalizar el bloque, comprobarás
y perímetros.
que sea necesario calcular áreas
133
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3
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
de números decimales
en distintos contextos,
utilizando el algoritmo
convencional.
Secuencia 1 / lección 51
Multiplicar y dividir entre 10, 100 y 1 000
Hacer cuentas mentalmente y “a mano” es útil para verificar resultados
obtenidos con calculadora o cuando no se dispone de ella. En esta lección
recordarás procedimientos para multiplicar por 10, 100 y 1 000; en la siguiente
usarás ese conocimiento para multiplicar números con punto decimal.
1. Resuelve las actividades sin calculadora.
a) Encuentra el número que…
»» multiplicado por 1 000 da 25 000
»» multiplicado por 100 da 20 000
»»»»multiplicado por 10 da 4 300
25
430
200
b) Resuelve.
»» 250 × 10 =
2 500
» 35 × 100 =
3 500
» 120 × 1 000 = 120 000
c) Verifica con calculadora tus resultados.
técnicas
2. Recuerda, con tus compañeros, las técnicas para multiplicar de manera rápida números
naturales por 10, 100 y 1 000. Anótalas.
Convivimos
»» Para multiplicar un número por 10 se agrega un 0 a la derecha del número.
Trabajar en equipo
es importante y útil
porque entre todos
disponen de más
información e ideas
que las que tiene cada
integrante, por lo que
es más probable que
resuelvan con éxito
las tareas propuestas.
Además, los puntos
de vista de otros
enriquecen el tuyo.
»» Para multiplicar un número por 100
se agregan dos ceros a la derecha.
»» Para multiplicar un número por 1 000
se agregan tres ceros a la derecha.
3. Utiliza las técnicas que anotaste para resolver los problemas. Verifica los resultados con
calculadora.
a) Un paquete grande se forma con diez paquetes chicos. Anota los datos que faltan.
Paquete chico
Paquete grande
25 gomas
30
250
300 plumones
50 lápices
100
500 hojas
500
1 000 clips
5 000
b) Encuentra los números que faltan.
» 37 × 100 = 3 700
» 20 × 10 =
»
»
42
× 1 000 = 42 000
» 25 × 10 000 = 250 000
670
» 40 ×
200
× 100 = 67 000
100
= 4 000
» 110 × 1 000 = 110 000
» 45 000 × 10 = 450 000
» 200 ×
10
= 2 000
134
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4. Anota en tu cuaderno una forma de resolver sin calculadora el siguiente problema.
a) Un plumón cuesta $3.75, ¿cuánto cuestan diez plumones?37.5
b) Completa la tabla. Usa
calculadora.
m»
Completa, con tus compañeros, las
técnicas para multiplicar números
con punto decimal por 100 y 1 000.
Observa el ejemplo.
× 10
× 100
× 1 000
3.75
37.5
375
3 750
21.5
215
2 150
21 500
0.415
4.15
41.5
415
técnicas
»» Para multiplicar por 10 un número con punto decimal se recorre el punto un lugar a la
derecha: 3.75 × 10 = 37.5
»» Para multiplicar por 100 un número con punto decimal se recorre el punto dos lugares a la derecha.
»» Para multiplicar por 1 000 un número con punto decimal se recorre el punto tres lugares a la derecha.
c) Resuelve con las técnicas anteriores. Verifica con calculadora si
funcionan.
5. Encuentra los números que
faltan. Puedes usar calculadora.
a)
7
d)
2.5 × 100 = 250
× 10 = 70
b)
× 10
× 100
× 1 000
2.45
24.5
245
2 450
0.025
0.25
2.5
25
1.0055
10.055
100.55
1 005.5
0.7 × 10 = 7
e) 0.25 × 100 = 25
c) 0.07 × 10 = 0.7
f ) 0.025 × 100 = 2.5
»» Explica cómo encontrar, con una operación, el número que multiplicado por 100 da 2 500.
6. Haz lo siguiente.
a) Explica en tu cuaderno cómo encontrar, con una operación, el número que multiplicado por 100 da 250
b) Los factores que encontraste en la actividad anterior son también cocientes de divisiones, por ejemplo:
2.5 × 100 = 250, por lo tanto, 250 ÷100 = 2.5
Anota en tu cuaderno, para cada multiplicación de esa actividad, la división
correspondiente.
m»
Compara con tus compañeros los resultados de las actividades 5 y 6. Completen las técnicas para dividir entre 10 y 100, sin calculadora, números con punto decimal. Observen el
ejemplo.
»» Para dividir entre 1 000 un número con punto decimal se recorre el punto tres lugares
a la izquierda y, si hace falta, se agregan ceros: 32 ÷ 1 000 = 0.032
»» Para dividir entre 10 un número con punto decimal se recorre el punto un lugar a la izquierda.
»» Para dividir entre 100 un número con punto decimal se recorre el punto dos lugares a la izquierda.
135
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3
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
de números decimales
en distintos contextos,
utilizando el algoritmo
convencional.
Secuencia 1 / lección 52
Técnicas para multiplicar decimales
1. Si conoces una forma de multiplicar 0.3 × 0.15 sin calculadora, anótala en tu cuaderno
y compárala con las que están a continuación.
2. En el recuadro se explica una técnica para resolver multiplicaciones de números con
punto decimal. Utilízala, con un compañero, para resolver las multiplicaciones. Verifiquen
los resultados con calculadora.
Técnica 1: para multiplicar dos números con punto decimal, como 0.3 y 0.15, se puede…
3
15
y 0.15 = ___
.
1. Escribir los números como fracciones decimales: 0.3 = __
10
100
3
15
45
× ___
= ____
.
2. Multiplicar esas fracciones: __
10
100
1 000
45
= 0.045
3. Escribir el resultado con punto decimal: ____
1 000
técnicas
»» 0.5 × 0.12 =
0.06
»» 3.25 × 1.2 =
3.9
»» 0.05 × 1.02 = 0.051
»» 0.125 × 0.8 = 0.1
3. Lean la técnica que se explica a continuación. Utilicen alguna de las técnicas para resolver
las multiplicaciones. Verifiquen los resultados con calculadora.
Técnica 2: para multiplicar dos números con punto decimal, como 0.3 y 0.15, se puede…
1. Multiplicar los números como si no tuvieran punto decimal: 3 × 15 = 45
2. Contar el número de cifras que tienen los factores a la derecha del punto decimal:
una, en 0.3, más dos, en 0.15, dan tres cifras.
3. Anotar el punto decimal en el resultado de manera que tenga la cantidad anterior de cifras decimales (en el ejemplo son tres cifras). Si fuera necesario, añadir ceros para que después del punto
haya esa cantidad de cifras después del punto. En el ejemplo, hay que añadir un cero para que
queden tres cifras después del punto: 0.045.
5
5×2
2 =_
»» 0.5 × 0.2 = _ × _
= 10 = 0.01
10 10 10 × 10 100
104
_
= 0.104
1 000
765
7
5
355
_×_=_
»» 7.65 × 0.7 =
100
10
1 000
1 052 _
205 _
215 660
_
×
=
= 21.566
»» 10.52 × 2.05 =
100
100
10 000
125 × 5
»» 0.125 × 0.5 = 125 × 5 = _ = 0.0625
1000
10 1000 × 10
2
»» 5.2 × 0.02 = 52 × ___
=
100
10
= 5.355
136
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4. La técnica 1 y la técnica 2 de la página anterior están relacionadas. Analiza en grupo el
siguiente caso y encuentra esa relación.
Técnica 2
Practica la multiplicación de números
decimales en…
»» Se multiplican los números como si no
tuvieran punto decimal: 7 × 8 = 56
www.e-sm.com.mx/
SCM1-137
0.7 × 0.08
Técnica 1
8
7×8
56
7 ×_
_
= _ = _ = 0.056
10 100 10 × 100 1 000
»» Se cuentan las cifras después del punto de
los factores y ese número de cifras se pone
en el producto: 0.056
5. Resuelve los problemas. Usa calculadora solo para verificar.
resolver
a) En una escala por cada cm de la figura original se ponen 0.2 cm en la copia.
»» ¿La copia es mayor o menor que la figura original?
»» ¿Cuál es el factor de escala?
Es menor.
0.2
»» ¿Cuánto mide en la copia un lado que en la figura original mide 23 cm? 4.6 cm
»» ¿Cuánto mide en la copia un lado que en la figura original mide 0.5 cm? 0.1 cm
b) Por cada peso que le presta el banco, José deberá pagar $2.25 dentro de tres años.
»» ¿Pagará más del doble o menos del doble de lo que le prestaron? Más del doble.
»» ¿Cuánto deberá devolver en tres años por un préstamo de $508.50?
$1 144.125
c) Un atleta se detuvo después de correr diez vueltas en una pista. Recorrió 23.3 km.
»» ¿Cuánto mide la pista?
2.33 km
d) ¿Cuál es el área de un terreno rectangular de 15.5 × 10.1 m? 156.55 m2
e) Un automóvil gasta 8.24 l de gasolina por cada 100 km que recorre.
»» ¿Cuánto gastará en un recorrido de 256.9 km? 21.16856 l
»» ¿Cuántos km recorrerá con 65.6 l?
796.1165 km
137
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3
contenido
BLOQUE
Formula explicaciones
sobre el efecto de la
aplicación sucesiva de
factores constantes de
proporcionalidad en
situaciones dadas.
resolver
Secuencia 2 / lección 53
Copias de copias
En esta secuencia aprenderás a hacer una copia a escala de otra copia y a encontrar
el factor de escala que regresa una figura a su tamaño original. También conocerás el
funcionamiento de engranajes y su relación con la proporcionalidad.
1. Considera los datos de tres copias a escala.
» Las medidas de la copia A son tres veces más grandes
que las del dibujo original.
» Las medidas de la copia B son dos veces más grandes
que las de la copia A.
» Las medidas de la copia C son dos veces más grandes
que las de la copia B.
a) ¿Cuántas veces es más grande B que el original? 6
b) ¿Cuántas veces es más grande C que el original? 12
c) Anota las medidas que faltan. Verifica tus respuestas
de las preguntas anteriores.
Dibujo original
Copia A
Copia B
Copia C
Medida a
16
Medida b
4
48
12
6
12
6
12
96
24
12
24
12
24
192
48
24
48
24
48
Medida c
Medida d
Medida e
Medida f
2
4
2
4
d) Los números de los óvalos indican por cuánto se deben multiplicar las medidas de un
dibujo para obtener las de otro; son los factores de escala. Encuentra los que faltan.
×
Se aplica el factor de
escala m y después n.
¿Es posible obtener lo
mismo aplicando un
factor? ¿Cuál?
×
6
×3
12
×2
×2
Dibujo original
Copia A
Copia B
Copia C
Medida a
16
Medida b
4
48
12
96
24
192
48
Aplicar el factor de escala × 2 a una figura y, a la figura resultante, aplicarle el factor × 3 equivale a aplicar desde el principio el factor × 6.
m
Compara tus resultados con los de tus compañeros.
138
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2. Considera las dos copias.
Las medidas de la copia D son __41 de las medidas del dibujo original, es decir, D es cuatro veces
menor. Las medidas de la copia E son tres veces mayores que las de D.
a) Calcula y anota las medidas que faltan. Dibuja en papel cuadriculado D y E, y encuentra
el factor de escala que, aplicado al original, produce a E. Escríbelo.
3
__
1
×_
× 4
×3
4
Dibujo original
Copia D
Copia E
Copia F
Medida a
16
Medida b
4
4
1
12
3
12
3
Medida c
2
Medida d
4
2
4
Medida e
Medida f
__1
3
__
2
2
3
__
2
1
3
__1
3
3
__
2
3
__
2
1
2
3
3
b) Las medidas de la copia F son __34 de las del dibujo original. Calcula sus medidas y anótalas en la tabla anterior.
Aplicar el factor de escala × __34 equivale
a producir primero una reducción con
factor × __14 y después una ampliación con
factor × 3.
3
×_
4
1
×_
×3
4
c) La copia F debe ser igual a la copia E. Explica por qué. R. P.
validar
d) Si se aplican los factores en otro orden, es decir, si primero se amplía ×3 y después se
reduce × __14 , ¿se obtiene una copia igual o diferente a la anterior? Calcúlalo.
1
×_
×3
4
Dibujo original
Medida a
16
4
Medida b
48
12
12
3
resolver
3. Anota los factores que faltan.
×2
2
×_
1
x __
6
x6
×3
1
×_
2
3
1
×_
3
1
×_
3
x2
139
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3
contenido
BLOQUE
Formula explicaciones
sobre el efecto de la
aplicación sucesiva de
factores constantes de
proporcionalidad en
situaciones dadas.
Secuencia 2 / lección 54
Engranajes I
1. Para que te familiarices con los engranajes, organízate con tu grupo para llevar una bicicleta al salón.
Comenten lo siguiente.
Piñón
Plato
a) Las bicicletas tienen una rueda dentada donde
se coloca el pedal (plato) y otra más pequeña
fija a la rueda trasera (piñón). Cuando el pedal
da una vuelta, el plato también da una y el
piñón da… ¿más de una vuelta o menos? Más de una vuelta.
b) Las bicicletas de velocidades tienen piñones de distinto tamaño. Si se quiere que con
cada vuelta de pedal la llanta trasera avance lo más posible, ¿qué piñón se debe usar: el
más pequeño o el más grande? El más pequeño.
Ya sabemos...
B tiene la mitad de
dientes que A, y, en
cambio, da el doble de
vueltas.
2. La rueda A tiene 24 dientes y la B, 12.
a) Cuando A da una vuelta, ¿cuántas da B? Dos.
b) Completa la tabla.
x2
A
Vueltas que da A
Vueltas que da B
1
2
6
12
16
3
6
B
8
15
16
20
30
30
32
40
60
c) El número de vueltas de B es proporcional al de A. ¿Qué significa esto? R. T. Que
hay un número que multiplicado por las vueltas de A da como resultado
las de B,
d) ¿Qué factor, al multiplicar las vueltas de A, da el número de vueltas de B?
El número que, al multiplicar (o dividir) el número de vueltas de una rueda, da como resultado el
número de vueltas correspondientes a otra rueda es un factor de proporcionalidad.
e) Anota el factor de proporcionalidad en el óvalo que está sobre la tabla anterior.
140
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B
3. La rueda B tiene 12 dientes y la C, 36.
C
resolver
a) Cuando B da una vuelta, ¿C da menos o más de una? Menos.
b) ¿Cuántas vueltas da C cuando B da tres?
Una.
c) ¿Qué fracción de vuelta da C cuando B da una?
1
_
3
d) Completa la tabla.
1
x __3
e) Verifica que el número de vueltas de C
sea __13 del de B. Esa fracción es un factor
de proporcionalidad. Anótalo en el
óvalo sobre la tabla.
B
C
1
__1
3
3
1
6
2
12
15
18
4
5
6
4. Formaremos un engranaje con las ruedas A (de 24 dientes), B (de 12 dientes) y C (de 36
dientes).
2
x __3
C
A
1
x2
x __
3
A
B
a) Si A da tres vueltas, ¿cuántas da B?
b) ¿Cuántas da C?
Dos.
c) Completa la tabla. Verfica que…
Seis.
B
C
__1
2
1
__1
1
2
2
__
1
1 __2
3
1
2
4
4
__
1
2 __2
5
1 __23
3
3
3
3
6
2
1
3 __2
7
2 __13
4
8
2
2 __3
9
3
4
__1
2
» multiplicando las vueltas de A por 2 se obtengan las de B.
» multiplicando las vueltas de B por __13 (o dividiéndolas entre 3) se obtengan las de C.
Ya sabemos...
Estos son los factores de proporcionalidad. Anótalos en los óvalos.
d) ¿Qué factor, aplicado a las vueltas de A, arroja las de C? Escríbelo en el óvalo
correspondiente.
m
Compara, con ayuda del profesor, tus respuestas con las de tus compañeros.
Multiplicar una cantidad por m y después
por __n1 equivale a multiplicar esa cantidad
m
por __
n.
141
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3
contenido
BLOQUE
Formula explicaciones
sobre el efecto de la
aplicación sucesiva de
factores constantes de
proporcionalidad en
situaciones dadas.
Secuencia 2 / lección 55
Engranajes II
A
1. Las ruedas A, B y C están engranadas.
A tiene 120 dientes; B, 60; y C, 12.
B
a) Si A da una vuelta, ¿cuántas da B? 2
¿Cuántas da C?
10
C
b) Completa la tabla.
c) Anota en los óvalos los factores de
proporcionalidad.
En contexto
Los engranes tienen
gran utilidad: hay
algunos muy pequeños
que se usan en relojes
y otros de grandes
dimensiones que se
usan en los hornos de
fábricas de cemento.
También se usan, por
ejemplo, en diferentes
medios de transporte
(camiones, locomotoras, autos, aviones,
buques, etc.), en la
generación de energía
eléctrica y en máquinas
de industrias textiles,
de alimentación
y químicas.
2. Las ruedas D y E están engranadas. Cuando D completa tres vueltas, E da una.
a) ¿Qué rueda es más grande?
E
b) ¿Cuántos dientes podría tener
cada una? Encuentra al menos dos
soluciones.
Primera solución D: 2 , E: 6
×
×2
5
Vueltas
que da B
Vueltas
que da C
1
2
10
5
10
0.5
1
50
5
10
10
50
0.1
0.2
1
Segunda solución D:
3 , E: 9
__1
× 6
__1
× 3
F
× __12
D
E
F
3
1
0.5
6
2
1
b) Completa la tabla. Anota los factores
de proporcionalidad en los óvalos.
12
4
2
18
6
3
c) ¿Cuántos dientes podría tener cada
rueda? Encuentra al menos dos
soluciones.
24
8
4
¿Cuál es la menor?
¿Cómo lo sabes?
D
R. P.
Primera solución D: 60 , E: 20 , F: 10
m
×
Vueltas
que da A
3. Las ruedas D, E y F están engranadas.
Cuando D da tres vueltas, E completa
una; si E da dos vueltas, F da una.
a) ¿Qué rueda es la mayor?
10
Segunda solución D: 30 , E: 10 , F:
5
Compara tus resultados con los del grupo. Si hay diferencias, identifiquen los correctos.
142
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4. Las ruedas G, H e I están engranadas. Cuando G da cuatro vueltas, H completa una e I, tres.
a) ¿Qué rueda es la mayor?
¿Cómo lo sabes?
¿Cuál es la menor?
H
resolver
G
R. P.
× __4
3
b) Completa la tabla. Anota en los óvalos
los factores de proporcionalidad.
1
x __4
c) ¿Cuántos dientes podría tener cada
rueda? Encuentra al menos dos
soluciones.
Primera solución G: 28 , H: 7 , I: 21
m
x3
G
H
I
4
1
3
1
__1
3
__
4
4
Segunda solución G: 24 , H: 6 , I:
18
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay diferencias, identifiquen los
correctos.
5. En las tablas se indican las vueltas de tres ruedas engranadas, respectivamente. Complétalas y anota los factores de proporcionalidad.
x4
x2
x2
K
L
3
6
12
4
2
1
x __
6
__1
O
x
x
3
x
J
1
x
x
2
P
Q
R
6
2
1
18
6
3
1
3
M
x
1
5
N
Ñ
15
5
1
30
10
2
__5
x 1
6
x __61
__1
1
15
x
x __1
x4
5
S
T
12
2
6
1
4
U
V
W
10
3
12
3
5
1
4
1
Aplicar el factor de proporcionalidad × __ba equivale a aplicar factores × a y × __b1 (este último equivale
a dividir entre b).
m
1
Diseña, en grupo, un problema en que intervenga el factor de proporcionalidad × __
.
10
Algunos contextos posibles son la materia prima desperdiciada al fabricar un producto y los
intereses que cobra un banco por dar préstamos.
143
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3
contenido
BLOQUE
Formula explicaciones
sobre el efecto de la
aplicación sucesiva de
factores constantes de
proporcionalidad en
situaciones dadas.
Secuencia 2 / lección 56
Desandar el camino. El factor recíproco I
1. En la lección 53 calculaste la medida de varias copias a escala. A continuación, aparecen
el dibujo original y las copias D y E.
3
× 4
1
× 4
×3
Dibujo original
Copia D
Copia E
d
d
d
a
a
e f
c
b
a
c
c
b
b
e
e
f
f
x4
x
x
1
3
4
3
a) Si el factor de escala × __14 se aplica al dibujo original, se obtiene D. Recuerda que multiplicar por __14 equivale a dividir entre 4. ¿Cuál es el factor de escala que, aplicado a D, nos
x4
regresa al dibujo original?
1 se llama factor recíproco de _
1.
El factor de escala que “deshace” lo que hizo el factor _
4
4
b) Si el factor de escala × 3 se aplica a D se obtiene E. ¿Cuál es el factor recíproco de × 3?
x
1
3
c) Si el factor de escala × __34 se aplica al dibujo original se obtiene E. ¿Cuál es el factor
recíproco de × __34 ?
x
4
3
144
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d) Anota los factores de escala recíprocos en los óvalos de la parte inferior del dibujo
anterior.
Aplicar el factor de escala × __34 equivale a aplicar sucesivamente los factores × 3 y × __14 .
El recíproco del factor × 3 es × __13 , el recíproco del factor × __14 es × 4.
Por tanto, el recíproco del factor × __34 es × __43 .
e) Anota las medidas y los factores que faltan. Aplica el factor × __43 a la copia E y verifica
que obtengas el dibujo original.
Dibujo original
Copia D
Copia E
Medida a
16
4
12
Medida b
4
1
3
Medida c
2
1
2
1 __12
x
1
4
x 3
4
× 3
x
2. Si el factor de escala × 0.2 se aplica a una
figura, ¿esta se amplía o se reduce?
Se reduce
×2
2
10
resolver
1
× 10
Dibujo
original
Copia A
Copia B
15
30
3
25
50
5
30
60
6
¿Cuál es el factor recíproco de × 0.2? Para
encontrarlo, te conviene anotar el factor
0.2 como fracción y encontrar el recíproco.
5
3. Anota en la tabla de la derecha las medidas y los factores que faltan en las copias
A y B.
4. Anota los factores que faltan.
Factor
Recíproco
m
×2
x
1
2
1
×_
3
x3
× 20
x
1
20
3
×_
10
x
10
3
× 0.1
x 10
x
1
2
x 10
x
× 1.2
× 0.52
10
12
100
×_
52
x
10
2
4
x __3
3
×_
4
x5
1
x __
5
1
×_
5
×5
Compara tus resultados de las actividades 2, 3 y 4 con los de tus compañeros.
145
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3
contenido
BLOQUE
Formula explicaciones
sobre el efecto de la
aplicación sucesiva de
factores constantes de
proporcionalidad en
situaciones dadas.
Secuencia 2 / lección 57
Desandar el camino. El factor recíproco II
1. La rueda A, de 48 dientes, está engranada con la rueda B, de 12.
a) Completa la tabla.
b) ¿Qué factor multiplicado por las vueltas de A arroja las de B?
resolver
x4
c) ¿Cuál es el factor recíproco del anterior, es decir, el que multiplicado por las vueltas de B
arroja las de A?
x 1
4
x4
d) Anota los factores en los óvalos.
Vueltas que da A
Vueltas que da B
1
4
8
20
80
A
2
5
20
B
100
25
30
120
1
4
x
1.
El factor recíproco de × 4 es ÷4, o × _
4
× __23
2. Calcula y anota los datos que faltan.
a) ¿Cuál es el recíproco de × 2?
Repasa la aplicación
sucesiva de factores de
proporcionalidad en…
1?
b) ¿Cuál es el recíproco de × _
3
_
c) ¿Cuál es el recíproco de × 2 ?
3
www.e-sm.com.mx/
SCM1-146
d) Anota los factores en los óvalos.
m
Compara tus respuestas con las de tus
compañeros. Comenten la siguiente
información.
× __13
×2
Vueltas
que da C
Vueltas
que da D
Vueltas
que da E
9
18
6
12
24
8
18
36
12
x
1
2
x3
x
3
2
Para “deshacer” lo que hace el factor × __23 se puede…
» dividir entre __23 , o
» multiplicar por su factor recíproco, × __32 .
Es lo mismo dividir entre __23 que multiplicar por __32 .
146
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técnicas
3. Resuelve las operaciones como se muestra en el ejemplo.
24
=8
» Ejemplo: 6 ÷ __34 = 6 × __43 = __
3
» 10 ÷ __15 = 10 × 5 = 50
10
1
= 70
» 7 ÷ 0.1 = 7 ÷ __
= 7 × __
10
1
20
10
9
» 2 ÷ __
= 2 × __ = ___
10
» __34 ÷ __14 = __3
100
» 3 ÷ 0.25 = 3 × ___
= 12
25
4
9
×4=3
9
4. Si el factor × __35 se aplica a una cantidad y al resultado se le aplica el factor recíproco
× __53 , ¿se obtiene una cantidad mayor, menor o igual que la inicial?
Igual que la inicial.
m
Verifica, en grupo, tus respuestas aplicando los factores que se indican.
× __3
5
× __5
3
15
9
15
10
6
10
20
12
20
5. Contesta.
a) ¿Qué obtienes al dividir un número entre sí mismo? Haz pruebas y concluye.
El número 1.
b) ¿Qué obtienes al multiplicar un número por su recíproco? Haz pruebas y concluye.
Ya sabemos...
Dividir entre un número es lo mismo que
multiplicar por su
recíproco. Es decir,
que lo que hace la
multiplicación lo
deshacen la división y
el factor recíproco.
El número 1.
6. Se reduce 50% un dibujo y esa reducción se amplifica al doble. ¿La figura que se obtiene
es mayor, menor o del mismo tamaño que la original? Argumenta tu respuesta.
Es del mismo tamaño que la original.
m
Compara tus resultados con los de tus compañeros.
147
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1/18/13 11:46 AM
3
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
y división de números
decimales en distintos
contextos, utilizando el
algoritmo convencional.
resolver
Secuencia 3 / lección 58
Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan I
¿Esmposiblemmultiplicarmdosmnúmerosmymquemelmproductomseammenormquemalgunomdemellos?m
¿Haymdivisionesmenmquemelmcocientemesmmásmgrandemquemelmdividendo?m¿Cómomsemdividenm
númerosmconmpuntomdecimal?mEnmestamsecuenciamestudiarásmestasmcuestiones.
1. Con la información de abajo se pueden construir tres problemas: uno de multiplicación
y dos de división.
Dato 1
Ernesto da
doce pasos.
Dato 2
3
Cada paso mide _ m.
4
Dato 3
En total, Ernesto
avanza 9 m.
a) Para plantear los problemas, basta con proporcionar dos datos y preguntar por el
tercero. Si se dan los datos 1 y 3, y se pregunta por el 2, se obtiene este problema:
»m Al dar doce pasos, Ernesto avanza 9 m. ¿Cuánto mide cada paso?
»m Resultado: cada paso mide __34 m. Operación: 9 ÷ 12 = __34 .
»m Escribe los otros dos problemas en tu cuaderno.
2. Escribe, en tu cuaderno, los tres problemas que se obtienen al preguntar por los datos
de cada conjunto. Resuelve los problemas y anota el resultado y la operación que hiciste.
a)
Dato 1
Luis reparte
tres pasteles.
Dato 2
Luis reparte los pasteles
entre cuatro amigos.
Dato 3
A cada amigo le
corresponden __34 de pastel.
b)
Dato 1
El auto recorrió
425.6 km.
Dato 2
El auto rinde 17.5 km
por litro de gasolina.
Dato 3
El auto consumió
24.32 l de gasolina.
c)
Dato 1
El frasco de medicina
contiene 12 dl.
Dato 2
Una dosis es
de 0.5 dl.
Dato 3
El frasco rinde
24 dosis.
d)
Dato 1
El factor de escala
es __34 .
Dato 2
Un lado A de la figura
original mide 4 cm.
Dato 3
El lado A’ de la
copia mide 3 cm.
148
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1/18/13 11:47 AM
3. Encuentra, entre las operaciones de los problemas anteriores…
a) divisiones con cociente mayor que el dividendo.
Ya sabemos...
R. T. 12 ÷ 0.5 = 24; 24 > 12
b) multiplicaciones con producto menor que uno de los factores.
3 x
4 = 3; 3 < 4
4
mm
Recuerda el nombre
de los términos de una
división.
12 ÷ 4 = 3
Revisa, en grupo, si en los problemas que elaboraste…
Dividendo ÷ Divisor = Cociente
a) la escritura es adecuada.
b) el resultado es correcto.
c) la operación está bien planteada.
d) encontraste las divisiones y multiplicaciones del punto anterior.
4. Formula un problema con cada operación. Procura que se relacione con la vida cotidiana.
a) 1.8 ÷ 10 = 0.18
R. P.
b) 0.25 ÷ 0.05 = 5
c) 25 × 0.1 = 2.5
d) 5.2 × 2 = 10.4
mm
Revisa, en grupo y con ayuda de tu profesor, si los problemas se resuelven con las operaciones indicadas y si se podrían encontrar en la vida cotidiana.
149
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3
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
y división de números
decimales en distintos
contextos, utilizando el
algoritmo convencional.
Secuencia 3 / lección 59
Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan II
1. Reúnete con un compañero. Jueguen al laberinto contra otra pareja.
»m Cada pareja empieza con 100 puntos.
»m Cada pareja marca en su laberinto un camino hacia la meta reuniendo el mayor puntaje
posible. Gana la pareja que obtenga más puntos.
resolver
»m No se puede pasar dos veces por un número.
»m Pueden usar calculadora.
100
Convivimos
Un buen juego
se disfruta
independientemente
de quién gane. Aunque,
en efecto, ¡a nadie le
disgusta ganar!
×2
× 10
× 0.01
×4
÷2
÷ 0.1
÷ 0.100
÷ 100
× 0.2
÷ 0.01
÷ 0.5
× 0.19
× 0.5
MEtA
Puntaje: R. P.
mm
Analicen, en grupo, algunos juegos ganadores. Determinen qué pareja obtuvo el mejor
puntaje. Revisen si es posible lograr uno mayor.
150
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2. Jueguen ahora con el siguiente laberinto.
100
× 0.5
÷ 0.5
÷2
×5
÷ 0.2
Puntaje: R. P.
÷ 0.02
÷ 10
÷ 30
÷ 0.2
÷ 0.1
÷2
×3
× 10
÷ 0.005
MEtA
mm
Determinen, en grupo, qué pareja obtuvo el mejor puntaje. Revisen si es posible lograr uno
mayor.
3. Completa las oraciones.
comunicar
a) El producto de una multiplicación es menor que alguno de sus factores cuando
R. T. uno de los factores es mayor que 0 y menor que 1.
Por ejemplo:
5 x 0.4 = 2
.
b) El producto de una multiplicación es mayor que sus factores cuando
ambos son mayores que 1.
Por ejemplo:
8 x 1.5 = 12
.
c) El cociente de una división es menor que el dividendo cuando
el divisor es mayor que 1.
Por ejemplo:
220 ÷ 40 = 5.5
.
d) El cociente de una división es mayor que el dividendo cuando
el divisor es menor que 1.
Por ejemplo:
mm
24 ÷ 0.6 = 40
.
Revisa, en grupo, tus respuestas.
151
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contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen la multiplicación
y división de números
decimales en distintos
contextos, utilizando el
algoritmo convencional.
técnicas
Secuencia 3 / lección 60
Técnicas para dividir decimales
1. Anota una forma para resolver la división 0.7 ÷ 0.28 sin calculadora.
7 28 700 5
÷
=
=
10 100 280 2
2. Haz lo siguiente.
a) Se empacan 4 000 naranjas en bolsas
de 16. ¿Cuántas bolsas se usan?
Dividendo
(naranjas
totales)
Divisor
(naranjas
por bolsa)
4 000
16
8 000
16
2 000
16
250
La propiedad de las
divisiones que tienen
el mismo cociente
se parece mucho a
una propiedad de las
fracciones equivalentes
que ya conoces. ¿La
recuerdas? ¿Consideras
que se relacionan una
con la otra?
b) Encuentra, con el resultado anterior,
los cocientes sin hacer cuentas escritas ni usar calculadora.
mm
4 000
8
4 000
32
2 000
8
8 000
32
Cociente
(bolsas)
250
500
125
500
125
250
250
Efectúa, en grupo y con la ayuda de tu profesor, lo siguiente.
a) Comparen cómo calcularon los resultados anteriores.
b) Observen que el cociente de 4 000 ÷ 16 es igual al de 2 000 ÷ 8.
Cuando el dividendo y el divisor se multiplican o se dividen por un mismo número se obtiene otra
división con el mismo cociente.
c) Escriban, siguiendo la propiedad anterior, tres divisiones que tengan el mismo cociente.
Verifiquen los resultados con calculadora. R. T.
3 000 ÷ 500
1 500 ÷ 250
300 ÷ 50
3. trabaja con un compañero.
a) ¿La propiedad anterior funciona cuando el dividendo o el divisor es un número con
punto decimal? Lleven a cabo lo siguiente para averiguarlo.
»m Resuelvan con calculadora la división 0.8 ÷ 4.
»m Multipliquen por el mismo número el dividendo y el divisor: 0.8 × 10 = 8 ; 4 × 10 = 40 .
»m Dividan el nuevo dividendo entre el nuevo divisor y verifiquen que los cocientes sean
iguales.
0.8 ÷ 4 = 0.2
8 ÷ 40 = 0.2
152
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b) Esta propiedad convierte una división de números con punto decimal en una de
números sin punto decimal con el mismo cociente. ¿Cómo se hace? Prueben con la
siguiente división.
0.7 ÷ 0.35 =
técnicas
2
c) En seguida se muestra cómo resolver la división 0.7 ÷ 0.35 sin usar calculadora. Completen lo que falta.
Paso 1. El dividendo y el divisor se multiplican por 100:
0.7 × 100 =
0.35 × 100 =
70
35
Paso 2. El nuevo dividendo se divide entre el nuevo divisor:
70 = 2
35
d) Verifiquen, con calculadora, que el cociente sea igual al de 0.7 ÷ 0.35.
Cuando el divisor o el dividendo, o ambos, son números con punto decimal se puede obtener una
división equivalente sin números con punto decimal multiplicando ambos términos por la potencia
de 10 adecuada (10, 100, 1 000, etcétera).
4. Aplica la técnica anterior para resolver sin calculadora las divisiones. Considera si debes
multiplicar por 10, 100, 1 000 u otra potencia de 10.
a) 1.25 ÷ 0.25 =
c) 1 ÷ 0.1 =
mm
125
=5
25
10
=10
1
725 = 29 = 1.45
500
20
247
=1
247
b) 0.725 ÷ 0.5 =
d) 24.7 ÷ 24.7 =
Verifica tus resultados con calculadora y compáralos con los de tus compañeros.
5. trabaja con un compañero. Por turnos, uno indique con una palomita el intervalo en
que está el cociente de cada división y el otro verifique con calculadora.
El cociente está entre…
0 y 1.
1 y 2.
2 y 10.
0.6 ÷ 0.2
✓
✓
6 ÷ 0.02
✓
0.06 ÷ 0.02
0.006 ÷ 0.02
100 y 1 000.
✓
6 ÷ 0.2
0.6 ÷ 2
10 y 100.
✓
✓
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contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen el planteamiento
y resolución de ecuaciones
de primer grado de la forma
x + a = b; ax = b; ax + b = c,
utilizando las propiedades
de la igualdad, con a, b
y c números naturales,
decimales o fraccionarios.
Secuencia 4 / lección 61
Adivinanzas I
La entrada al circo cuesta $130.00 para adultos y $60.00 para niños. Una persona pagó
$810.00 por diez entradas. ¿Cuántos adultos y cuántos niños eran? Problemas como
este pueden resolverse mediante ecuaciones. Qué son estas, cómo funcionan y para
qué sirven se aborda en esta secuencia.
1. Resuelve las adivinanzas.
a) Pensé un número y le sumé 13; obtuve 25. ¿Qué número pensé? 12
resolver
b) Pensé un número y le resté 17; obtuve 23. ¿Qué número pensé?
40
c) Pensé un número, le sumé 13 y al resultado le resté 25; obtuve 28. ¿Qué número pensé?
Convivimos
40
Cuando te enfrentes
a un problema
matemático nuevo
procura no decir “ese
no me lo enseñaron”
y anímate a ensayar
con los recursos que
te vengan a la mente:
dibujos, diagramas,
representaciones de
los datos con algún
material, etcétera.
d) Pensé un número y le sumé __23 ; obtuve __34 . ¿Qué número pensé?
1
12
e) Pensé un número, lo multipliqué por 3, al resultado le sumé 11; obtuve 35. ¿Qué número pensé?
8
f ) Pensé un número, lo multipliqué por 2.5, al resultado le resté 11; obtuve 26.5. ¿Qué
número pensé?
m
15
Compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros.
2. Cada expresión corresponde a una de las adivinanzas de arriba. Anota la letra del inciso
correspondiente. Equis representa el número pensado.
3x significa “3 por equis”, “3 veces equis” o “tres veces un número que no se conoce”.
a) x + __23 = __34 d
d) 2.5x – 11 = 26.5
b) x – 17 = 23
f
c) x + 13 = 25
b
e) x + 13 – 25 = 28
c
f ) 3x + 11 = 35
a
e
3. Escribe una adivinanza para cada expresión.
a) 2x + 5 = 19 R. P.
b) x – __12 = __54
154
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c) 7x – 11= 38
d) x – 10.5 = 18.3
4. Las adivinanzas pueden expresarse gráficamente mediante esquemas. Observa que si
se parte del resultado, siguiendo el camino de regreso, se llega al número pensado.
Adivinanza
Pensé un número,
lo multipliqué por 3 y
al resultado le sumé 9;
obtuve 42.
¿Qué número pensé?
Esquema
÷3
11
–9
número
pensado
33
×3
resultado
42
+9
resolver
5. Anota los números que faltan y explica tu respuesta.
Adivinanza
Pensé un número,
lo multipliqué por 6 y
al resultado le sumé 1;
obtuve 73.
¿Qué número pensé?
Pensé un número, lo
dividí entre 4 y al resultado le
resté 8; obtuve 52.
¿Qué número pensé?
Pensé un número, lo
dividí entre 9 y al resultado le
sumé 13; obtuve 121.
¿Qué número pensé?
Pensé un número, lo
multipliqué por 2.5 y al
resultado le sumé 7.2;
obtuve 32.2.
¿Qué número pensé?
técnicas
Esquema
-1
÷6
12
73
72
×6
+1
x4
+8
52
60
240
÷4
–8
x9
- 13
121
108
972
÷9
+ 13
÷ 2.5
- 7.2
+ 10
El “camino de regreso” implica hacer las
operaciones inversas.
Por ejemplo, si se sumó
9 hay que restar 9; si
se multiplicó por 3 hay
que dividir entre 3.
32.2
25
x 2.5
Una pista
+ 7.2
155
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contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen el planteamiento
y resolución de ecuaciones
de primer grado de la forma
x + a = b; ax = b; ax + b = c,
utilizando las propiedades
de la igualdad, con a, b
y c números naturales,
decimales o fraccionarios.
Secuencia 4 / lección 62
Adivinanzas II
1. Lee el problema.
Julián pensó un número, lo dividió entre 12 y al resultado le restó 13; obtuvo 78. ¿Qué número
pensó?
Al representar con x el número que pensó Julián, el problema queda expresado así:
x
x ÷ 12 – 13 = 78 o __
– 13 = 78
12
El valor de x es el número que pensó Julián. x =
1 092
2. Averigua el valor de x en cada expresión.
2+x= 8
x=6
2x = 8
x=4
x+x+x+x=8
x= 2
2 + 3x = 8
x=2
3. Si sustituyes x por su valor, se obtiene una igualdad. Por ejemplo, en la expresión
x + x + x = 6, el valor de x es 2. Al sustituir x por 2 se obtiene lo siguiente.
2+2+2=6
6=6
Encuentra el valor de x en cada expresión. Verifica que se obtenga una igualdad.
9x – 6 = 21
x=3
3x + 6 = 21
x=5
12.4 = 15 – x
x = 2.6
24 = 2x + x
x =8
Las expresiones anteriores se llaman ecuaciones. Resolver una ecuación es encontrar
el valor de x con el cual la igualdad se conserva.
La x o la letra que se utilice en la ecuación recibe el nombre de incógnita.
4. Resuelve las ecuaciones y verifica que obtengas una igualdad.
Ya sabemos...
Observa que
3(x – 5) = 3x − 15
3x – 5 = 16
x= 7
3(x – 5) = 15
x = 10
3(x + 1) = 12
x=3
3(x – 5) + 2 = 8
x= 7
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m
Compara tus resultados de las actividades 3 y 4 con el grupo. Efectúen lo siguiente.
a) Comenten cómo resolvieron la ecuación 24 = 2x + x (¿simplificaron para obtener
24 = 3x o la resolvieron por ensayo y error?).
b) Si resolvieron por ensayo y error las ecuaciones con paréntesis, ahora hagan las operaciones que se indican. 3(x – 5) significa 3 por (x – 5) y equivale a 3 por x menos 3 por 5,
es decir, 3x – 15.
5. El valor de x puede obtenerse por ensayo y error, es decir, probando con distintos números hasta obtener una igualdad. Completa la tabla para solucionar 6x + 10 = 118.
Entonces 6x + 10
es igual a
Si x vale…
técnicas
Comentarios
5
6(5) + 10 = 40
x debe ser mayor que 5
R. T. 20
6(20) + 10 = 130
x debe ser menor que 20
10
6(10) + 10 = 70
x debe ser mayor que 10
15
6(15) + 10 = 100
x debe ser mayor que 15
6. Resuelve la ecuaciones con el procedimiento que prefieras (ensayo y error, u operaciones
inversas).
a) 4x – 25 = 75
x=
c) 80 – x = 35.5
x = 44.5
25
b) __5x + 10 = 30
x = 100
d) 56 – 3x = 38
x=
6
7. Completa la tabla.
Ecuación
resolver
Adivinanza
Pensé un número y le sumé 24; resultó 57. ¿Qué
número pensé?
Valor de x
2 x + 15 = 24
Pensé un número, lo multipliqué por 2 y al resultado
le sumé 15; obtuve 24. ¿Qué número pensé?
4.5
x – __25 = 0.6
2
Pensé un número y le resté __
; resultó 0.6. ¿Qué
5
número pensé?
x + 24 = 57
3.4 x – 8 = 32.8 Pensé un número, lo multipliqué por 3.4 y al resultado
le resté 8; obtuve 32.8. ¿Qué número pensé?
33
1
12
5x + 7.2 = 32.2
Pensé un número, lo multipliqué por 5 y le sumé
7.2; resultó 32.2. ¿Qué número pensé?
5
10x – 10 = 20
Pensé un número, lo multipliqué por 10 y le resté 10;
resultó 20. ¿Qué número pensé?
3
0.5 x + 0.5 = 5.5 Pensé un número, lo multipliqué por 0.5 y al resultado
le sumé 0.5; obtuve 5.5. ¿Qué número pensé?
10
m
Comenta, en grupo, tus resultados de las actividades 6 y 7.
157
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contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen el planteamiento
y resolución de ecuaciones
de primer grado de la forma
x + a = b; ax = b; ax + b = c,
utilizando las propiedades
de la igualdad, con a, b
y c números naturales,
decimales o fraccionarios.
Secuencia 4 / lección 63
Balanzas en equilibrio
1. Observa las balanzas y responde.
a) ¿Qué balanza contiene pesos iguales en ambas bolsas?
b) ¿Cómo lo sabes?
Porque es la única que está en equilibrio.
a
resolver
La c.
b
c
2. La balanza c contiene una pesa de 50 g en la bolsa izquierda; en la bolsa derecha contiene tres pesas distintas. ¿Cuánto puede pesar cada una de las tres pesas? Encuentra
tres respuestas y anótalas en las bolsas de la derecha.
50 g
50 g
50 g
R. T. 20 + 20 + 10
R. T. 15 + 15 + 20
R. T. 28 + 12 + 10
Una ecuación es una igualdad que se comporta como balanza en equilibrio. La expresión que
está a la izquierda del signo igual se llama primer miembro de la ecuación; la expresión
que está a la derecha se llama segundo miembro de la ecuación.
3. Una balanza se equilibró con dos pesas en la parte izquierda y tres en la derecha.
a) ¿De cuántos gramos puede ser cada pesa?
R. T.
m
2
+
34
=
12
+
12
+
12
Compara tu respuesta con las de tus compañeros. Verifica que el total de la parte izquierda
sea igual al de la derecha.
Por ejemplo, si un compañero anotó
es correcto porque
150 +
50
=
75
+
75
+
50
200 = 200
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4. Considera el ejemplo anterior: 150 + 50 = 75 + 75 + 50. Anota sí o no en la segunda
columna para indicar en qué casos se conserva el equilibrio. Anota en la última columna
la expresión resultante. Para decir no es igual usa el signo ≠.
¿Se conserva
el equilibrio?
Resulta la expresión…
a) Se quita una pesa de 50 g
en cada miembro.
Sí
150 = 75 + 75
b) Se quita una pesa de
50 g en el primer miembro
y una de 75 g en el
segundo.
No
150 ≠ 75 + 50
c) Se agrega una pesa de
100 g en ambos miembros.
Sí
d) Se duplica el valor de la pesa
de 150 g del primer miembro
y el de la de 50 g del segundo.
No
2(150) + 50 ≠ 75 + 75 + 2(50)
e) Se duplican los valores de las
pesas de ambos miembros.
Sí
2(150 + 50) = 2(75 + 75 + 50)
f) Se divide entre 5 el valor de las
pesas de ambos miembros.
Sí
150/5 + 50/5 = 75/5 + 75/5 + 50/5
150 + 50 + 100 = 75 + 75 + 50 + 100
5. Haz lo mismo con la ecuación: 13 + 25 + x = 50 + 13.
¿Se conserva el equilibrio?
Resulta la
expresión…
a) Se resta 13 en ambos
miembros.
Sí
25 + x = 50
b) Se suma 25 en el primer
miembro y se resta lo mismo
en el segundo.
No
13 + 50 + x ≠ 25 + 13
c) Se multiplican por 2 todos los
términos de ambos miembros.
Sí
2(13 + 25 + x) = 2(50 + 13)
d) Se resta x en ambos miembros.
Sí
e) Se resta 38 en ambos miembros.
Sí
m
13 + 25 + x – x = 50 + 13 – x
13 + 25 + x – 38 = 50 + 13 – 38
Comenta, con tus compañeros y el profesor, los resultados de las actividades 4 y 5. Si cometiste algún error, explica a qué se debió.
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Resuelve problemas que
impliquen el planteamiento
y resolución de ecuaciones
de primer grado de la forma
x + a = b; ax = b; ax + b = c,
utilizando las propiedades
de la igualdad, con a, b
y c números naturales,
decimales o fraccionarios.
Secuencia 4 / lección 64
Ecuaciones equivalentes
1. Dos o más ecuaciones pueden ser equivalentes, es decir, el valor de x que las resuelve
es el mismo. Por ejemplo:
» x+3=8
» 2x + 6 = 16
» 2x + 8 = 18
» x+4=9
» x=5
¿Cuál es el valor de x en estas cinco ecuaciones?
5
2. A partir de la ecuación 3x + 51 = 60 encontraremos otras que sean equivalentes pero
más simples. El secreto es aplicar la misma operación, con los mismos números, en
ambos miembros. Anota qué operación se aplicó.
a) 3x + 50 = 59 Se restó 1.
b) 3x = 9 Se restó 50.
c) x = 3 Se dividió entre 3.
3. Haz lo mismo con x + x + 1 = 57.
a) 2x + 1 = 57 Se sustituyó x + x por 2x.
Entra a la página
de [email protected] y
descarga la actividad
de ecuaciones.
b) 2x = 56 Se restó 1.
c) x = 28 Se dividió entre 2.
4. A partir de la ecuación 5x + 4 = 59, anota sobre cada línea la ecuación que resulta después de aplicar la operación que se indica.
a) Se suma 1 en ambos miembros: 5x + 5 = 60
b) Se dividen entre 5 ambos miembros: x + 1 = 12
c) Se resta 1 en ambos miembros: x = 11
d) ¿Cuánto vale x? 11
m
Compara, con ayuda del profesor, tus resultados con los de tus compañeros. Si cometiste
errores, explica en qué consisten.
160
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5. Indica qué operación se efectuó en cada caso.
x = 2.5
a) 10x = 25
Se multiplicó por 10.
b) 10x – 5 = 20
Se restó 5.
c) 20x – 10 = 40
Se multiplicó por 2.
d) 2x – 1 = 4
Se dividió entre 10.
e) 2x = 5
Se sumó 1.
f ) x = __52
Se dividió entre 2.
¿Cuánto vale x?
2.5
Las ecuaciones pueden resolverse por ensayo y error, con operaciones inversas o utilizando las propiedades de la igualdad, que permiten aplicar la misma operación, con los mismos
números, en ambos miembros.
bh
6. ¿Recuerdas la fórmula A = __
? Se lee “área igual a base por altura entre dos” y sirve para
2
calcular el área de un triángulo. Esta fórmula, como muchas otras, es una igualdad
y puede transformarse aplicando la misma operación, con los mismos números, en
ambos miembros de la igualdad. Anota la operación que se efectuó en cada caso.
bh
A = __
2
a) 2A = bh
Se multiplicó por 2.
b) bh = 2A
c)
2A
b = __
h
Si 2A = bh, entonces bh = 2A
Se dividió entre h.
» Según la última expresión, la base de un triángulo es igual a dos veces su área dividida
entre la altura.
7. Resuelve con el procedimiento que te resulte más sencillo.
m
a) 6x – 4 = 2
x=
1 =1
c) 3x + _
2
x=
e) 4x + 6 = 8
x=
1
1
6
1
2
b) 3x + 5 = 7
x=
d) 5x + 40 = 40
x=
2
3
0
f ) 2.5x + 2.5 = 10
x=
3
Revisa, con tus compañeros y el profesor, los resultados de las actividades 5, 6 y 7. Analicen
los errores y corrijan lo que sea necesario.
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contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen el planteamiento
y resolución de ecuaciones
de primer grado de la forma
x + a = b; ax = b; ax + b = c,
utilizando las propiedades
de la igualdad, con a, b
y c números naturales,
decimales o fraccionarios.
Secuencia 4 / lección 65
Problemas diversos
1. Analiza el problema y haz lo que se pide.
Un garrafón con 18 l de agua cuesta $92.80. El envase cuesta 1.9 veces lo que el líquido.
¿Cuánto cuesta el envase y cuánto el líquido?
a) Traduce el problema a una ecuación. Piensa que el envase o el líquido cuestan x pesos.
» Si el envase costara x, ¿cuánto costaría el líquido?
x
_
1.9
» Si el líquido costara x, ¿cuánto costaría el envase? 1.9x
b) Habiendo expresado algebraicamente el costo del envase y del líquido, se puede escribir la ecuación. Hazlo de dos formas.
» Si el envase cuesta x, la ecuación es: x +
x
_
1.9
» Si el líquido cuesta x, la ecuación es: x +
1.9x
= 92.80
= 92.80
c) En el esquema hay una manera de resolver la primera ecuación. Completa las casillas
(en las sombreadas se indica qué hacerle a la ecuación anterior).
x
x + ___
= 92.80
1.9
Multiplicar por 1.9:
x
1.9x + 1.9 ___
= 1.9(92.80)
1.9
1.9x + x = 1.9(92.80)
Dividir ambos
miembros entre 2.9:
2.9x = 176.32
Simplificar términos, es
decir, sumar 1.9x + x
x = 60.8
d) El valor encontrado es el costo del envase.
¿Cuánto cuesta el líquido?
$32.00
e) Resuelve, en tu cuaderno, la ecuación en la que x representa el costo del líquido. Anota
las operaciones que efectúes.
x + 1.9x = 92.80
m
Comenta con tus compañeros con qué ecuación fue más fácil resolver el problema.
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2. Formula una ecuación para cada problema. Resuélvela con la técnica que prefieras y
comprueba la solución.
Problema
Ecuación
resolver
Solución
a) El triple de la edad de María, más dos años es
igual a 38 años. ¿Qué edad tiene María?
3x + 2 = 38
b) El costo de una camisa, menos la quinta
parte de ese costo es igual a $144.00.
¿Cuánto cuesta la camisa?
x – x = 144
5
180
c) Un taxi cobra $3.20 por km más $8.00 por
viaje. Una persona pagó $78.40. ¿Cuántos km
recorrió el taxi?
3.2x + 8 = 78.4
22
d) Seis veces la cantidad de minutos que utilicé
para estos problemas más 20 minutos de
discusión totalizaron 128 minutos. ¿Cuántos
utilicé para resolver estos problemas?
6x + 20 = 128
18
x = doce años
3. Inventa un problema para cada ecuación, resuélvelo y comprueba la solución.
a) 2.5x + 6 = 31
R. P.
b) 45x + 5 = 275
R. P.
4. Relaciona las ecuaciones con las soluciones.
a) 15x – 3 = 162
x = 2.1
b) 5x – 2.5 = 62.5
x=0
c) 3x + 2.1 = 8.4
x = 13
d) 15x + 1 000 = 1 000
x = 11
e) 3x – 2 000 = 1 000
x = 1 000
técnicas
Sigue practicando con
ecuaciones como las
de este bloque en…
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contenido
BLOQUE
Construye polígonos
regulares a partir de
distintas informaciones
(medida de un lado, del
ángulo interno, ángulo
central). Analiza la relación
entre los elementos de la
circunferencia y el polígono
inscrito en ella.
En contexto
Secuencia 5 / lección 66
Polígonos y doblado de papel
Con frecuencia se usan polígonos regulares para construir mosaicos, azulejos, vitrales, e
incluso fuentes, kioscos y edificios. Dan armonía y belleza al lugar donde se encuentran.
En esta secuencia aprenderás a trazarlos y conocerás algunas de sus propiedades.
1. Sigue el procedimiento para construir un hexágono. Necesitarás cuatro círculos de papel
de 6 cm de radio. Pueden ser de colores.
Desdobla: el círculo ha queDobla el círculo a la mitad.
Dobla en tres partes iguales
dado dividido en seis partes
para obtener esta figura.
iguales.
Este edificio, llamado El
Pentágono, es la sede
del Departamento de
Defensa de Estados
Unidos de América.
Traza líneas con tu regla
para formar el hexágono.
Dobla por las líneas.
Voltea la figura: tienes un
hexágono regular. Pégalo
en tu cuaderno.
a) Con los otros círculos forma un cuadrado, un octágono regular y un triángulo equilátero, y pégalos en tu cuaderno.
2. Responde.
a) ¿En cuántas partes quedó dividido el círculo? 5
b) ¿Cuánto mide cada ángulo marcado? 72 º
c) Traza los segmentos que faltan para formar un polígono regular.
d) ¿Qué polígono obtuviste?
Pentágono.
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3. Traza, en tu cuaderno, cinco circunferencias de 5 cm de radio y úsalas para trazar, respectivamente, un cuadrado, un pentágono regular, un hexágono regular, un octágono
regular y un nonágono regular (nueve lados).
Los vértices de los polígonos trazados
quedaron sobre una circunferencia. Esta es la
circunferencia circunscrita al polígono regular.
técnicas
45º
También quedaron marcados los ángulos centrales del
polígono regular. El vértice de estos ángulos es el centro
de la circunferencia circunscrita y sus lados van de dicho
centro a dos vértices consecutivos del polígono.
4. En cada polígono que trazaste…
a) verifica que todos sus lados midan lo mismo.
b) marca un ángulo central y anota su medida.
5. Traza una circunferencia circunscrita al triángulo equilátero y otra al cuadrado.
Convivimos
Cuando no hayas
entendido algo no
dudes en preguntar
a otros. Comenta a
tu profesor o a tus
compañeros aquello
que te está costando
trabajo. Esto te
permitirá avanzar
con más confianza
en el estudio de las
matemáticas. Y, si
has comprendido
algo, compártelo con
aquellos a quienes se
les dificulte.
Una pista
6. Traza un hexágono regular en la circunferencia circunscrita al triángulo y un octágono
regular en la del cuadrado.
Recuerda lo que estudiaste de la mediatriz
de un segmento.
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contenido
BLOQUE
Construye polígonos
regulares a partir de
distintas informaciones
(medida de un lado, del
ángulo interno, ángulo
central). Analiza la relación
entre los elementos de la
circunferencia y el polígono
inscrito en ella.
Secuencia 5 / lección 67
Relaciones interesantes
1. Reúnete con un compañero. Lean lo siguiente.
Un ángulo interno de un polígono se forma por dos de sus lados consecutivos.
Se ubica dentro del polígono.
Un ángulo externo de un polígono se forma por uno de sus lados y la prolongación
de otro. Se ubica fuera del polígono.
a) Marquen un ángulo interno en cada polígono.
b) En cada figura se prolongó un lado para identificar un ángulo externo. Prolonguen otro
lado e identifiquen el ángulo externo que se forma.
c) Identifiquen un ángulo interno y uno externo en los polígonos regulares que trazaron
en la lección anterior. Verifiquen que los ángulos internos de cada polígono midan lo
mismo.
d) Respondan sin medir.
» ¿Los ángulos externos de un polígono regular miden lo mismo? Sí.
» Argumenten su respuesta. R. T. Cada ángulo externo es el com-
plemento para 180 grados del ángulo interno correspondiente,
pero los ángulos internos de un polígono regular miden llo mismo.
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2. Completa en equipo la tabla. Usen los polígonos regulares de la lección anterior para
comprobar los datos que ya están.
Polígono
regular
cuadrado
pentágono
hexágono
octágono
nonágono
Medida
del ángulo
central
Medida
del ángulo
interno
o
Medida
Suma del ángulo
del ángulo
central más el
externo
ángulo interno
o
90
o
90
90
o
180
o
108°
72
180°
o
o
120
60°
180
135°
45
180
o
40°
180°
72
60
o
45
o
40
o
o
o
140
o
3. Respondan las preguntas.
a) Conociendo el número de lados de un polígono regular, ¿cómo se calcula la medida de
o
su ángulo central? Se divide 360 entre el número de lados.
b) ¿Cómo se relacionan la medida del ángulo central y la del ángulo interno?
o
Suman 180 .
Conoce más sobre
polígonos regulares
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c) ¿Cómo se relacionan la medida del ángulo externo y la del ángulo central?
Ambos tienen igual medida.
4. Traza en tu cuaderno…
resolver
a) un octágono regular cuyo lado mida 2 cm.
b) un polígono regular cuyo ángulo interno mida 36°.
c) un polígono regular cuyo ángulo externo mida 120°.
d) una circunferencia de 4 cm de radio circunscrita a un polígono regular cuyo ángulo
interno mida 60°.
m
Compara tus respuestas y trazos con los de tus compañeros. Comenten en qué casos los
polígonos son del mismo tamaño.
Se dice que un polígono es regular cuando cumple dos condiciones:
1) sus lados miden lo mismo, y
2) sus ángulos internos miden igual.
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contenido
BLOQUE
Construye polígonos
regulares a partir de
distintas informaciones
(medida de un lado, del
ángulo interno, ángulo
central). Analiza la relación
entre los elementos de la
circunferencia y el polígono
inscrito en ella.
Secuencia 5 / lección 68
Vitrales
1. Utiliza lo que sabes sobre trazado de paralelas y perpendiculares para reproducir en tu
cuaderno el siguiente vitral. El cuadrado más grande debe medir 10 cm por lado.
» Anota las instrucciones para trazarlo.
R. T. Se traza un cuadrado de
10 cm de lado; se unen los puntos medios de cada lado para
formar el cuadrado interior, y
se trazan las mediatrices del
cuadrado pequeño hasta tocar
los vértices del grande.
validar
resolver
» Trabaja con un compañero. Lee sus instrucciones y él leerá las tuyas. Cada uno debe
seguirlas y comprobar si pudo dibujar el diseño del vitral; hagan las correcciones
necesarias en las instrucciones de ambos.
2. José hizo un dibujo a escala 1:20 de otro vitral.
Ya sabemos...
La escala 1:20 significa
que por cada centímetro del dibujo, el
original mide 20 cm.
Dibuja en tu cuaderno el mismo vitral a escala 1:10 del original.
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3. Analiza estos vitrales, piensa cómo trazarlos y reproduce uno en tu cuaderno del tamaño
que gustes.
m
Comenta con tus compañeros cómo trazaste el vitral.
4. En el siguiente espacio, diseña un vitral en forma de decágono regular cuyo lado mida
3 cm. Coloréalo a tu gusto.
R. P.
5. Reúnete con un compañero.
a) Escribe en una hoja las instrucciones para trazar el vitral que diseñaste.
b) Intercambien las instrucciones que escribieron.
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad de perímetro
y área de polígonos.
c) Cada uno siga las instrucciones del otro para trazar, en su cuaderno, el vitral.
d) Comparen sus dibujos. Comenten si las instrucciones del compañero les permitieron
trazar el vitral.
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CONTENIDO
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen calcular el
perímetro y el área de
polígonos regulares.
Secuencia 6 / lección 69
La plaza
En el centro de una plaza cuadrada hay un quiosco octagonal cuyo piso se quiere cubrir
con mosaicos. ¿Cuántos mosaicos se deben comprar como mínimo? Preguntas como
esta pueden responderse calculando el área y perímetro de polígonos regulares.
1. Considera el croquis.
10 m
En contexto
El adocreto es un
material ecológico que,
además de ser fabricado con un proceso
poco contaminante,
permite el paso del
agua de lluvia hacia el
manto acuífero de la
tierra, evitando saturar
el drenaje.
F
Quiosco
F
35 m
a) Se tiene proyectado…
Practica el cálculo del
área de polígonos regulares en…
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»
»
»
»
cubrir el piso de la plaza con adocreto (a excepción de jardineras, quiosco y fuentes),
colocar pasto en rollo en las jardineras,
cubrir el piso del quiosco y de las fuentes (marcados con F) con mosaicos, y
colocar barandal de hierro alrededor del quiosco y de las jardineras. En el quiosco se
dejarán dos entradas de 1 m sin barandal.
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b) Las medidas del quiosco y las fuentes son las siguientes.
Quiosco
Lado: 2 m
Apotema: 2.41 m
Fuentes
Lado: 1 m
Apotema: 0.87 m
Ya sabemos...
La apotema de un
polígono regular
es el segmento que
va del centro del
polígono a cualquiera
de sus lados, y es
perpendicular a estos.
c) Completa la siguiente tabla. Estima el material que se requiere y anótalo. Después verifica con calculadora y llena la tercera columna.
Estimación de la
cantidad mínima
requerida
Material
Pasto para las cuatro jardineras
Cantidad mínima
requerida
400 m2
R. P.
técnicas
Mosaico para el piso del quiosco
19.28 m2
Mosaico para el piso de las dos fuentes
5.22 m2
Adocreto para el piso restante de la plaza
800.5 m2
Barandal para las cuatro jardineras
160 m
Barandal para el quiosco
14 m
2. La tabla muestra los costos de los materiales. Estima primero y después verifica con
calculadora.
Precio
Estimación
del gasto
Gasto
Pasto en rollo
$50.00 × m2
R. P.
$20 000
Mosaico para el quiosco y las fuentes
$150.00 × m2
$3 675
Adocreto para el piso de la plaza
$200.00 × m2
$160 100
Barandal para las jardineras y el quiosco
$500.00 × m
$87 000
Material
TOTAL
m
Ya sabemos...
El área de un polígono
regular se calcula
multiplicando el
perímetro por la
apotema y dividiendo
el resultado entre 2.
$270 775
Compara tus respuestas de las actividades 1 y 2 con las de tus compañeros. Comenta tu
estrategia para hacer las estimaciones. Comenta también en qué casos se necesitará más
material y por qué.
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CONTENIDO
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen calcular el
perímetro y el área de
polígonos regulares.
Secuencia 6 / lección 70
Mesas y polígonos regulares
1. Calcula el vidrio necesario para cubrir cada mesa. En cada caso la parte superior es un
polígono regular. Puedes usar calculadora.
resolver
Escala: 1:30
Vidrio necesario
para cubrirla:
3 510 cm2
lado = 3 cm
altura = 2.6 cm
Ya sabemos...
Escala: 1:40
La escala 1:30 significa
que 30 unidades del
original corresponden
a una unidad en
el dibujo.
Vidrio necesario
para cubrirla:
17 424 cm2
lado 3.3 cm
Escala: 1:30
Vidrio necesario
para cubrirla:
6 750 cm2
lado = 2 cm
apotema = 1.5 cm
Escala: 1:40
Vidrio necesario
para cubrirla:
lado = 1.5 cm y apotema
= 1.3 cm
A = 9 360 cm2
m
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Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay diferencias expliquen por qué.
R. T. Hay errores por la medición y por redondear o truncar los números decimales en las operaciones.
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2. Las colchonetas trapezoidales son muy versátiles. Se pueden acomodar de muchas
maneras. Observa las imágenes y responde.
o
60
o
120
o
120
o
60 120
o
120 o
o
o
120
120 o
120
o
120
a) ¿Cuánto deben medir los ángulos del trapecio para que se forme el hexágono?
o
o
60 en la base mayor y 120 en la base menor.
b) Anota, en el dibujo, las medidas de los ángulos de uno de los trapecios y los del
hexágono.
c) Considerando que la base mayor de cada trapecio mide 80 cm; la base menor, 40 cm; y
la altura, 34.5 cm. Averigua…
» el perímetro del hexágono exterior. 480 cm
» el perímetro del hexágono interior. 240 cm
Apotema del hexágono interior = 34.5 cm
» la apotema de cada hexágono. Apotema del hexágono exterior = 69 cm
» el área del hexágono interior. 4 140 cm2
» el área que abarcan las seis mesas. 16 560 cm2
3. Responde las preguntas.
validar
a) Para cubrir una mesa octagonal con vidrio se ocuparon 1.2 m2. Si la apotema de la mesa
mide 0.60 m, ¿cuánto mide un lado? 0.5 cm
b) Explica tu respuesta. R. T. A partir de la fórmula para calcular el área de un
polígono regular, se sustituyen los datos conocidos, se despeja el valor del lado
y se efectúan las operaciones.
Practica el cálculo del
perímetro de polígonos
regulares en…
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CONTENIDO
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen calcular el
perímetro y el área de
polígonos regulares.
técnicas
Secuencia 6 / lección 71
Más sobre el área de polígonos regulares
1. Mide lo necesario en cada caso para calcular el área de la figura. Utiliza la fórmula que
se indica.
a) Área del cuadrado
Área = lado × lado
Área =
A = 3 Í3
A=
= 9 cm2
perímetro × apotema
2
(3 Í4) Í 1.5 _
4.2 Í 4.2 17.64
18
__
=
= A = __ = _ =
2
2
2
2
9 cm2
validar
diagonal × diagonal
2
Área =
8.82 cm2
» ¿Por qué se obtiene el área del cuadrado con la segunda fórmula? R. T. Porque
se puede considerar la figura como un polígono regular de cuatro lados.
» ¿Por qué se obtiene con la tercera?
R. T. Porque todo cuadrado es también
un rombo.
b) Área del triángulo
perímetro × apotema
2
Área = base × altura
2
Área =
4 Í3.4
A = _____
12 Í1.1
A = _____
2
= 6.8 cm2
2
= 6.6 cm2
» ¿Por qué se obtiene el área del triángulo con la segunda fórmula? R. T. Porque
se puede considerar la figura como un polígono regular de tres lados.
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m
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Revisen si hubo diferencias y expliquen
por qué. Respondan: ¿por qué funciona la fórmula para el área de un polígono regular en el
cuadrado y en el triángulo equilátero?
Porque ambas figuras son polígonos regulares.
2. Considera el triángulo isósceles. Mide lo necesario para responder las preguntas.
A
» ¿Qué polígono regular se forma uniendo varios de estos triángulos con A como vértice
común sin dejar huecos ni encimarlos? Un pentágono.
» ¿Cuál es el perímetro de esa figura? 26.5 cm
» ¿Cuál es su área? 49 cm2
3. Considera el romboide. Mide lo necesario para responder las preguntas.
» ¿Qué polígono regular se forma uniendo varios de estos rombos sin dejar huecos ni
encimarlos? Un hexágono.
» ¿Cuál es el perímetro de esa figura? 18 cm
» ¿Cuál es su área? 23.4 cm2
4. Responde.
resolver
a) Cada lado de un polígono regular mide 0.5 cm y su área es:
A = 4a (A = área, a = apotema). ¿Cuántos lados tiene? Ocho.
b) ¿Cuánto debe medir la apotema de un polígono regular para que su área y su perímetro sean iguales? 2 unidades de longitud.
m
Explica tus respuestas a tus compañeros.
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3
contenido
BLOQUE
Anticipa resultados de
una experiencia aleatoria,
los verifica al realizar
el experimento y los
registra en una tabla de
frecuencias.
Secuencia 7 / lección 72
Creencias y realidades
¿Qué resultaría de lanzar dos volados? Águila, águila; águila, sol; sol, águila; o sol, sol. ¿Y
si lanzaras diez? ¿Y cien? En esta secuencia compararás lo que consideras que sucederá
con lo que ocurre cuando efectúas el experimento.
1. Haz lo que se indica.
a) Anota los resultados que piensas que saldrán al lanzar veinte volados. Anota A para
águila y S para sol.
Resultados supuestos
R. P.
b) Lanza los veinte volados y anota los resultados.
Resultados reales
Una pista
c) Verifica que, en el siguiente ejemplo, haya once rachas.
Se llama racha a una
sucesión de resultados
iguales.
A
S
S
S
A
S
A
A
A
A
S
S
A
S
A
A
A
S
S
A
» Completa la lista con la longitud de cada racha.
1, 3, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1
» ¿Cuál es la racha más larga? La de cuatro águilas seguidas (AAAA).
2. Completa la tabla de acuerdo con los resultados de la actividad 1.
Núm. de
águilas
Resultados supuestos
Núm. de soles
Núm. de rachas
Longitud de la
racha más larga
R. P.
Resultados reales
m
Analiza, en grupo, los resultados que obtuvieron. Observen si hay diferencias entre los resultados supuestos y los reales. Revisen si…
» los resultados supuestos son más uniformes que los reales;
» en general, no se aprecian rachas muy largas y la cantidad de águilas es similar a la de
soles; y
» en los resultados supuestos, la cantidad de águilas y soles es igual o muy similar.
» Anoten sus conclusiones. R. P.
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3. Haz lo siguiente para analizar y contrastar los resultados supuestos y reales.
resolver
a) Recopila el número de águilas supuestas por cada compañero. Anótalos en el recuadro
y ordénalos de menor a mayor.
DATOS: águilas supuestas
R. P.
b) Organiza estos datos en la tabla de frecuencias.
Ya sabemos...
Tabla de frecuencias
Resultados supuestos
Núm. de águilas
0
Frecuencia
R. P.
Núm. de águilas
Frecuencia
11
1
12
2
13
3
14
4
15
5
16
6
17
7
18
8
19
9
20
Se le llama frecuencia al número de
veces que se repite un
suceso.
10
c) Responde las preguntas.
» ¿Alguien en tu grupo supuso que caerían quince águilas al lanzar veinte volados?
¿Cómo lo sabes? R. P.
» ¿Cuántas águilas supuso que caerían la mayoría del grupo?
Una pista
Si en tu grupo hay 35
alumnos y cada uno
lanzó veinte volados,
el total de soles más el
total de águilas es igual
a 700.
» ¿Cuántas águilas aparecen en los resultados supuestos?
» ¿El número de águilas es mayor, menor o igual que el de soles?
» ¿Cómo lo averiguaste?
m
Revisa, en grupo, tus resultados. Corrije, si es necesario, con la ayuda del profesor.
177
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3
contenido
BLOQUE
Anticipa resultados de
una experiencia aleatoria,
los verifica al realizar
el experimento y los
registra en una tabla de
frecuencias.
Secuencia 7 / lección 73
Para comparar datos
1. Organiza los resultados reales de los volados de la lección anterior tal como lo hiciste
con los supuestos: recaba los datos del grupo y ordénalos de menor a mayor.
DATOS: águilas reales
R. P.
a) Organiza los datos en la tabla de frecuencias. R. P.
Tabla de frecuencias
Resultados reales
Núm. de águilas
0
Frecuencia
R. P.
Núm. de águilas
Frecuencia
11
1
12
2
13
3
14
4
15
5
16
6
17
7
18
8
19
9
20
10
resolver
2. Responde y haz lo que se indica para analizar y comparar los resultados supuestos con
los reales.
a) ¿Cuál es el mayor número de águilas en los resultados reales? R. P.
¿Y el menor?
b) ¿Coinciden los datos anteriores con los resultados supuestos?
¿Por qué?
c) ¿Qué dato tiene mayor frecuencia en los resultados reales?
¿Y en los supuestos?
178
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d) ¿Cuántas águilas aparecen en los resultados reales?
¿Este número es
mayor, menor o igual que el número de soles?
e) ¿La diferencia entre el número de águilas y el de soles es mayor en los resultados supuestos o en los reales?
¿A qué se debe?
Revisa, en grupo, tus respuestas.
m
comunicar
3. Representa en una gráfica de barras cada conjunto de resultados.
Gráfica de barras
Resultados reales
F
r
e
c
u
e
n
c
i
a
R. P.
Gráfica de barras
Resultados supuestos
F
r
e
c
u
e
n
c
i
a
15
10
5
0
15
10
5
0
Núm. de águilas
Núm. de águilas
4. Comenta y escribe, con ayuda del profesor, tus conclusiones sobre…
a) las diferencias que se aprecian entre resultados supuestos y reales.
R. P.
Aprende más sobre
anticipación de resultados en una experiencia
aleatoria en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-179
b) la utilidad de las tablas de frecuencias y las gráficas para apreciar las diferencias.
R. T. Ayudan a identificar los resultados que tienen mayor, menor o igual
frecuencia en un experimento.
179
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3
contenido
BLOQUE
Anticipa resultados de
una experiencia aleatoria,
los verifica al realizar
el experimento y los
registra en una tabla de
frecuencias.
resolver
Secuencia 7 / lección 74
Lanzamiento de un dado
1. En las lecciones anteriores analizaste algunos aspectos relacionados con los volados. En
esta lección reflexionarás sobre qué pasa cuando se lanza un dado. Para las actividades
necesitarás un dado; si no lo tienes, puedes construirlo con cartulina o papel (trazando
y armando una plantilla como la siguiente).
2. Llena las tablas: para la primera supón que lanzas 30 veces un dado y para la segunda
haz 30 lanzamientos y registra los resultados. Después contesta las preguntas.
Resultados supuestos
R. P.
Resultados reales
a) ¿Cuántas rachas hay en la primera tabla? R. P.
¿Y en la segunda?
b) ¿Cuál es la longitud de la racha más larga en la primera?
c) ¿Cuántas veces creíste que iba a caer 1?
¿Y en la segunda?
¿Cuántas veces cayó?
3. Forma un equipo de cinco personas. Sumen sus resultados y regístrenlos en las siguientes
tablas. Por ejemplo, si Luis anotó tres veces 1 en los resultados supuestos; Juan, dos;
Tere, una; Mónica, cinco; y José, cuatro; la frecuencia del 1 sería 3 + 2 + 1 + 5 + 4 = 15.
180
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Resultados supuestos
Puntos del dado
Resultados reales
Frecuencia
1
Puntos del dado
Frecuencia
1
R. P.
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
a) ¿Detectan diferencia entre los resultados supuestos y los reales? R. P.
¿En qué consiste?
b) ¿Suponen que un número cae con mayor frecuencia que los demás?
¿Qué número es?
¿Es el mismo que en los resultados reales?
4. En la gráfica de barras adosada se muestran los resultados reales y los supuestos.
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad de juegos de
azar y loterías.
Gráfica de barras adosada
35
30
33
27
25
24
28
26
22
20
24
24 23
25 25
19
Reales
15
Supuestos
10
5
0
1
2
3
4
5
6
a) Observen el ejemplo y tracen, en su cuaderno, una gráfica de barras adosada que
represente las tablas de frecuencias de la actividad 3.
La gráfica de barras adosada que construyeron permite apreciar las semejanzas y diferencias entre
los resultados supuestos y los reales. Como en los volados, tal vez confirmen que tendemos a pensar que hay más regularidades de las que ocurren en una situación aleatoria. Por ejemplo, suponemos que después de caer águila es más probable que caiga sol.
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3
contenido
BLOQUE
Lee y comunica información
mediante el uso de tablas
de frecuencia absoluta
y relativa.
resolver
Secuencia 8 / lección 75
¿Es mucho o es poco?
¿Metermcincomgolesmenmtirosmlibresmesmmucho?mDependemdemcuántosmtirosmsemhagan.
1. Los alumnos de tercero de secundaria de todas las escuelas de una ciudad presentaron
un examen. Algunos resultados fueron los siguientes.
Escuela
Alumnos aprobados
A
70
B
28
C
28
D
12
¿Qué escuela tuvo los mejores resultados? R. T. No puede saberse.
2. Los alumnos de tercero de secundaria en cada escuela son…
Escuela
Alumnos de tercero
A
300
Una pista
En la escuela A, 300
alumnos representan el
total de alumnos.
Observa que 10 alumnos es 30 veces menor
1
que 300 y representa __
30
del total.
B
30
C
120
D
120
a) Considerando esto, ¿qué escuela tuvo los mejores resultados? B
¿Y los peores?
D
b) En la escuela C menos de la cuarta parte de los alumnos aprobó. Esa escuela se ubica
en el primer intervalo de la recta de abajo. Ubica las otras escuelas.
C
3
1
_
_
B
4
4
2
c) Calcula la fracción de alumnos de tercero aprobados en cada escuela.
0
1
A_
D
Escuela
A
B
C
D
mm
1
Fracción de alumnos aprobados
7
___
= 0.233...
30
7
___
30
14
__
= 0.933...
15
= 0.233...
12
___
= 0.1
120
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean la siguiente información con la
ayuda de su profesor.
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La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que se repite. Por ejemplo, la frecuencia
absoluta de alumnos aprobados en la escuela A es 70.
La frecuencia relativa de un dato es la frecuencia absoluta comparada con el total, es decir, se trata de una razón. Puede expresarse con una fracción o con un decimal.
Por ejemplo, la frecuencia relativa de alumnos aprobados en la escuela A es
7 = 0.23333...
70 alumnos de 300 = _
30
Para poder decir qué escuela tuvo mejores resultados no basta conocer la frecuencia absoluta de
aprobados, es necesario conocer la frecuencia relativa.
3. Se hicieron votaciones para elegir al representante estudiantil de secundaria. Se presentaron tres candidatos: Luis, María y Sonia. En la tabla se presentan algunos resultados.
Complétala.
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta
María
200
Luis
75
Sonia
325
Total
600
Como fracción
200
____
0.33...
0.125
600
75
___
600
325
____
600
___
Como decimal
600
0.5416...
1
600
Practica con las tablas
de frecuencia en...
www.e-sm.com.mx/
SCM1-183
4. Haz, en equipo, lo siguiente. Respondan en su cuaderno.
a) Comparen sus tablas. Comprueben que la suma de las tres fracciones así como la suma
de los tres números decimales sea igual a 1.
b) ¿Qué significa que la frecuencia relativa de votos de un candidato sea muy cercana a 1?
¿Qué significa que sea muy cercana a 0? ¿Podría ser mayor a 1? ¿Por qué es útil conocer
la frecuencia relativa?
5. En una encuesta, los porcentajes de votos que recibieron tres alumnos fueron…
Alumno
Porcentaje de votos
Araceli
15%
Layla
52%
Éric
33%
validar
Que recibió cerca de
100% de los votos.
Que casi no recibió
votos.
No podría ser mayor
a 1.
Permite comparar
parte de los datos
con el total.
Completa la tabla considerando que hubo 200 votantes.
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta
Araceli
Como fracción
30
____
104
____
Éric
30
104
66
Total
200
200
____
Layla
200
200
66
____
200
200
Como decimal
0.15
0.52
0.33
1
Una pista
Observa que el porcentaje permite expresar
la frecuencia relativa.
6. Encuesta a 20 compañeros sobre qué deporte les gusta más. Haz, en tu cuaderno, una
tabla de frecuencias absoluta y relativa con los datos.
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3
contenido
BLOQUE
Lee y comunica información
mediante el uso de tablas
de frecuencia absoluta
y relativa.
Secuencia 8 / lección 76
Elecciones
1. Considera la población de un estado A que pertenece a un país B.
Habitantes
Mujeres
Hombres
Estado A
7 587 931
3 889 438
3 698 493
País B
56 168 269
28 740 654
27 427 615
a) En la tabla están los resultados de las votaciones para gobernador del estado A.
Se registró un padrón de 5 millones 277 835 electores,
con una participación de 46.15%
Partido
Candidato
Votos
Partido Patriota
Raúl Gómez
301 570
Partido Solidario
Juana Pérez
1 522 777
Partido Fraterno
Miguel Araujo
515 498
Nulos
90 219
No registrados
5 582
Total
2 435 646
b) La cantidad de habitantes del Estado A no coincide con los habitantes registrados en el
padrón electoral. ¿A qué se debe?
R. T. El registro en el padrón electoral es a partir de los 18 años.
c) ¿Qué significa que la participación electoral fue de 46.15%? R. T. Que menos de la
En contexto
El padrón electoral
es un registro en
el que se inscriben a
los ciudadanos de un
distrito electoral que
pueden participar
en elecciones.
mitad de la población registrada en el padrón electoral votó.
d) Según los datos anteriores, ¿qué candidato ganó?
Juana Pérez.
e) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de votos del candidato ganador? 1 522 777
184
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f ) ¿Cuál es la frecuencia relativa de sus votos considerando…
1 522 777
»m el total de votantes. _
2 435 646
1 522 777
»m el total de habitantes registrados en el padrón electoral. _
5 277 835
g) ¿Cuál fue la frecuencia absoluta de votos del segundo lugar? 515 498
h) ¿Cuál fue la frecuencia relativa de votos del segundo lugar considerando…
515 498
»m el total de votantes. _
2 435 646
515 498
»m el total de habitantes registrados en el padrón electoral. _
5 277 835
i) ¿Qué son los votos nulos? R. T. Los votos anulados.
j) ¿Y los no registrados? R. T. Son votos por candidatos no registrados.
2. Llena la tabla con los datos anteriores.
Partido
Partido Patriota
Partido Solidario
Partido Fraterno
Nulos
No registrados
TOTAL
Frecuencia absoluta
de votos
301 570
1 522 777
515 498
90 219
5 582
2 435 646
comunicar
Frecuencia respecto al total de votantes
Como fracción
Como decimal
_______
​ 301 570 ​
2 435 647
1 522 777
​________
​
2 435 646
_______
​ 515 498 ​
2 435 646
90 219
_______
​2 435
646
5 582
_______
​2 435
646
1
0.1238
0.6252
0.2116
0.0370
0.0023
1
3. Nombren, en grupo, tres posibles candidatos para presidente del comité estudiantil.
Hagan una encuesta sobre por qué candidatos votarían. Anoten, en una tabla como la
anterior, los resultados de la encuesta.
mm
Compara tus resultados de los ejercicios 2 y 3 con los de tus compañeros. Discutan en
grupo.
»m ¿Por qué es importante conocer la frecuencia absoluta y la relativa cuando se analizan
los resultados de una elección?
R. T. Para saber cuántos votos y qué porcentaje obtuvo cada candidato.
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de tablas
de frecuencia
»m ¿En qué otros casos es importante conocer frecuencias relativas, además de absolutas?
R. P.
185
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Las matemáticas en...
El arte
Entre los siguientes rectángulos hay dos que son semejantes,
es decir, tienen la misma forma. Encuéntralos:
Anota las medidas de los rectángulos en la tabla. Calcula y
anota el cociente “largo entre ancho” de cada rectángulo;
puedes usar calculadora.
CyD
A
C
Rectángulo
A
B
C
D
Largo (l)
4
4
3
6
Ancho (a)
2
3
1
2
3
3
l÷a
2
4
__
3
Observa que en los dos rectángulos semejantes el largo mide
tres veces el ancho. Se puede decir que la razón del largo respecto del ancho es 3 a 1.
B
Las siguientes son imágenes de dos creaciones muy famosas en el mundo: el
Partenón, de Atenas, Grecia y la catedral de Notre-Dame, en París.
En cada una se pueden identificar rectángulos: el que inscribe al Partenón y, en
el caso de la catedral, los que están marcados.
D
Calcula mediante una división el valor de la razón del largo respecto del ancho en cada rectángulo. Toma las medidas
que sean necesarias.
Largo
Partenón
Ancho
Largo ÷ ancho
6
3.6
Catedral (rectángulo rojo)
1.6666667
0.9
0.6
1.5
Catedral (rectángulo azul)
2.1
1.3
1.61538
Catedral (rectángulo verde)
3.8
2.4
1.58333
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Observa que, en los rectángulos, la razón del largo respecto del ancho es cercana a 1.618.
La razón 1 a 1.618 fue llamada por los antiguos griegos razón áurea. Los rectángulos cuyos lados guardan esa razón (rectángulos áureos) eran muy apreciados por su forma armoniosa y estética.
Lee las instrucciones para construir rectángulos áureos y después traza los rectángulos que se piden.
B
Se abre el compás a la
medida AB y, apoyándolo
en A, se traza un arco
desde el punto B.
Se empieza con un
cuadrado que se divide
en dos rectángulos iguales.
Se traza la diagonal de uno
de los rectángulos.
A
Se prolonga la línea de la base hasta que corte al arco. Desde ese punto de intersección se
traza una perpendicular hasta la línea de arriba y se completa el rectángulo.
Construye en tu cuaderno dos rectángulos áureos, partiendo de un cuadrado de 6 cm de lado y de otro de 5 cm de lado.
Observa la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Usa tu calculadora para resolver las divisiones; observa que todas ellas involucran dos números consecutivos
de la sucesión.
8÷5=
13 ÷ 8 =
1.6
55 ÷ 34 =
1.625
89 ÷ 55 =
1.61
1.618
21 ÷ 13 =
1.615
34 ÷ 21 =
144 ÷ 89 =
1.617
233 ÷ 144 =
1.6190
1.618
¿Qué observas en los resultados?, ¿qué relación encuentras con la razón áurea? En las páginas 268 y 269 trabajarás de nuevo
con esta sucesión. Son cercanas las razones a la razón áurea.
Reúnete con un compañero. Con cinta métrica midan algunas partes de su cuerpo y busquen al menos dos medidas cuyo
cociente se aproxime a la razón áurea, por ejemplo:
Medida del dedo meñique = 5 cm
entonces, 5 ÷ 3 = 1.666
Medida de dos de sus falanges = 3 cm
Anoten qué partes del cuerpo encontraron cuya razón se aproxime a la razón áurea:
Cadera
y
cintura
Razón:
15
Pierna
y
torso
Razón:
1.618
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Evaluación
(TIPO ENLACE)
BLOQUE 3
Selecciona la opción correcta.
1. Camila compró 4.25 kg de manzanas a $21.50 el kilogramo. ¿Cuánto pagó?
a) $25.75
b) $42.50
c) $91.37
d) $215.00
2. Para traer agua de un pozo que está a 360 m, se conectarán tubos de 4.8 m de largo.
¿Cuántos tubos como mínimo se necesitan?
a) 90
b) 75
c) 65
d) 50
3. Un automóvil recorrió 480 km a 80 km/h. Si expresamos con x el número de horas que
el auto estuvo en movimiento, ¿cuál es la ecuación que representa el planteamiento?
a) 80 + x = 480
b) 80x = 480
x = 480
d) _
80
c) 480 – 80 = x
4. El doble de la edad de Jimena más la edad de su papá suman 78 años. Considerando
que su papá tiene 50 años, ¿qué ecuación permite conocer la edad de Jimena?
a) 2x + 50 = 78
b) 2 + x + 50 = 78
c) 2 + x + 78 = 50
d) 2x + 78 = 50
5. ¿Qué enunciado es falso?
a) Los lados de un polígono regular siempre miden lo mismo.
b) Los ángulos internos de un polígono regular siempre suman 360°.
c) Los ángulos centrales de un polígono regular siempre suman 360°.
d) Los ángulos internos de un polígono regular siempre miden lo mismo.
6. El jardín de una plaza está formado por un hexágono
regular, cinco triángulos equiláteros y un cuadrado.
Si cada lado del hexágono mide 2 m, ¿cuál es el
perímetro del jardín?
a) 36 m
b) 30 m
c) 26 m
d) 20 m
2 cm
7. ¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia con radio de 5 cm?
5 cm
a) 30 cm
b) 45 cm
c) 60 cm
d) 65 cm
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8. A la figura M se le aplicó un factor de proporcionalidad de __43 para obtener la figura N, y
a esta también se le aplicó un factor de __34 para obtener la figura P. ¿Cuál es el factor de
reducción entre M y P?
Figura M
Figura N
6
b) _
4
9
a) _
4
Figura P
6
c) _
8
9
d) _
16
9. En una tienda de abarrotes tienen la siguiente promoción:
Antes de pagar, el cliente saca sin ver una canica de color de una bolsa en que hay dos canicas
azules, tres rojas y una blanca. Si la canica es blanca, el cliente recibe 20% de descuento; si es
azul, recibe 10%; y si es roja, no recibe ningún descuento. ¿Qué resultado se repetirá más?
a) 10% de descuento.
b) 20% de descuento.
c) Ningún descuento.
d) Las tres frecuencias serán parecidas.
10. En una escuela se les preguntó a los alumnos su género de televisión favorito. Los
resultados de la encuesta se presentan en la tabla.
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Deportes
Género favorito
98
0.443
Telenovela
71
0.321
Concursos
15
0.068
Películas
29
0.131
Caricaturas
8
0.036
221
1.000
Total
Selecciona la opción que indica una lectura incorrecta de la tabla.
a) Coco deduce que menos de la mitad de los encuestados prefiere ver deportes.
b) De acuerdo con Felipe, aproximadamente la tercera parte de los encuestados prefiere
las telenovelas.
c) Luisa concluye que 36% de los encuestados prefiere las caricaturas.
d) Para Pedro, menos de 10% de los encuestados prefiere los concursos.
189
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Evaluación
(TIPO PISA)
BLOQUE 3
Pongo en juego mis competencias
COMPETENCIAS
Resolver problemas de manera autónoma
Validar procedimientos y resultados
Test visual
Cuando vamos al oculista, este nos hace leer unas letras de diferentes tamaños en un
panel con el fin de valorar nuestra visión.
La agudeza visual se expresa como una fracción o un decimal. El paciente se sitúa a una
distancia fija del panel y va leyendo las líneas (optotipos) hasta donde pueda.
En la escala de fracciones se usa un numerador fijo, que es la distancia a la que se encuentra el panel (suele ser de 20 pies, cerca de 6 m), y un denominador, que representa
la distancia máxima a la que una persona con visión normal es capaz de ver esa línea.
Cuanto mayor es el denominador, peor es la visión. Por ejemplo, una visión 20/40 significa que la última línea que el paciente es capaz de leer a 20 pies puede ser leída por un
sujeto con visión normal a 40 pies.
Pregunta 1. Ana, Belén y María tienen una agudeza de 20/50, 20/18 y 20/30. Interpreta estos resultados.
Indica quién tiene mejor visión.
Pregunta 2. En una óptica utilizan este sistema, pero miden la distancia en metros. Julio tienen una visión
de 6/8 y Laura, de 6/7.5. Compara sus resultados con los de Ana, Belén y María, y ordénalos
de mejor a peor.
Pregunta 3. Otra escala que se suele usar es la decimal, que resulta de dividir las fracciones. Se suele redondear
con dos decimales. Calcula la visión de las cinco personas en esta escala.
La parcela
Joaquín desea construir una casa y está buscando anuncios de terrenos.
Hoy ha encontrado estos cuatro.
uadrado
c
Terreno xcelente
ado en e
ubic
amiento
fraccion
ños de
con 30 a
, a 10 km2
d
a
d
antigüe
m.
d
da ; 828
de la ciu
0
.0
$900 000
1
Ocasió
n: terreno
de 15
dam 2 a la
s afueras
500 m . Cuenta con
de la
ciudad. M
uy buena
luz y agua. Bien
vista.
Área para
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comunicado. Ideal
ión
de 29 m
× 17 m.
para construir casa.
$1 300 00
0
.0
0. Servic
$720 000.00
de recole
io
cción de
basura,
2
agua y ele
ctricidad
.
Se vende lote de
COMPETENCIAS
Resolver problemas de manera autónoma
Manejar técnicas eficientemente
2
Pregunta 1. Calcula el precio de un metro cuadrado de terreno en cada caso.
3
Terreno. 20 m × 12 m.
$300 000.00. Todos
los servicios. Vista
panorámica. A 5 min
de la estación y a 25
del centro.
4
Pregunta 2. En el primer anuncio, ¿cuánto mide aproximadamente un lado del terreno?
Pregunta 3. En el anuncio 3, ¿qué parte del terreno representa el área para construir?
Pregunta 4. ¿Qué terreno elegirías? Explica los pros y los contras.
190
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Y para
terminar...
¡Juguemos a chicos y grandes!
1. Formen equipos.
2. Por equipo, hagan un tablero como el siguiente.
3. Consigan fichas (frijolitos o botones).
• Si a un equipo se le acaban las fichas, queda fuera.
La caja, en cambio, puede pedir más fichas.
4. Nombren a la persona que manejará la caja.
5. Cada integrante se queda con 20 fichas y el cajero con
50.
6. Cada integrante puede hacer apuestas de acuerdo con
las reglas descritas a continuación.
7. Cuando los dados marquen 7, la caja recoge todas las
fichas que en ese momento estén en el tablero.
¡A divertirse!
Cuando terminen de jugar, analicen lo siguiente.
• Nadie puede apostar al 7.
1) ¿Qué número salió más veces durante el juego?
• Se puede apostar el número de fichas que se desee
a un número en particular, por ejemplo, al 8, al 3, al 4.
Si al lanzar los dos dados el total de puntos es igual
a ese número, la caja le dará al jugador el doble de
fichas de las que apostó.
• Se puede apostar a “chicos” o “grandes”, colocando
en la parte azul las fichas por apostar. Si al lanzar los
dos dados cae un número chico, a quienes hayan
apostado a “chicos” la caja les dará el mismo número
de fichas que apostaron; si cae uno grande, se dará lo
mismo a quienes hayan apostado a “grandes”.
2) ¿Por qué piensan que sucedió así?
3) ¿Es más posible que salga 12 o que salga 8? ¿Por qué
lo consideran así?
4) Si se lanzaran dos dados y en el tablero hubiera un 1,
¿le apostarían al número 1?, ¿por qué?
5) ¿Conviene más apostarle a números chicos, a números
grandes o da lo mismo?
191
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BLOQUE
4
Aprendizajes esperados
✓ Construye círculos y polígonos regulares
que cumplan con ciertas condiciones
establecidas.
✓ Lee información presentada en gráficas de
barras y circulares. Utiliza estos tipos de
gráficas para comunicar información.
192
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Espíritu olímpico
¿Cuál es el origen de los juegos olímpicos? ¿Cuáles son sus valores?
Los juegos olímpicos nacieron en la cultura griega, en el siglo viii a. n. e.
Se celebraron 293 juegos, hasta que el emperador cristiano Teodosio I
los abolió el año 393 por considerarlos paganos. A finales del siglo xix
se volvieron a organizar como días de paz en los que los valores del
deporte estarían por encima de los conflictos entre países.
4
3
Oro
Plata
2
Cobre
1
0
Londres
1948
México
1968
Moscú Los Ángeles Sídney
1980
1984
2000
Atenas
2004
Pekín
2008
1. El diagrama refleja el número de medallas obtenidas por el equipo
olímpico mexicano en varios juegos olímpicos.
a) ¿En qué juegos olímpicos el equipo de México obtuvo más medallas? ¿Cuántas fueron?
b) ¿Conoces otra forma de graficar los mismos datos? Elige, con un
compañero, una representación. Trácenla en cartulina. Justifiquen ante el grupo su elección.
2. La Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO) es una competencia para estudiantes de bachillerato que se celebra anualmente
desde 1959. Mantiene los mismos valores de deportividad que los
juegos olímpicos y premia el ingenio y la habilidad matemática.
a) En la IMO se otorga medalla de oro a un doceavo de los concursantes, de plata a dos doceavos y de bronce a tres doceavos. En
la IMO de México, en 2005, hubo 513 participantes, de 91 países.
¿Cuántas medallas de cada tipo se otorgaron?
b) Los concursantes que no obtienen medalla pero resuelven algún
problema reciben mención honorífica. ¿Cómo contribuye esto a
sustentar los valores olímpicos?
Conoce más sobre la IMO en…
www.e-sm.com.mx/SCM1-193
de distinto
rmación representada en gráficas
A diario nos encontramos con info
s y analizar
tarla
rpre
inte
sario
nece
es
as
derl
tipo y tablas de datos. Para compren
su información.
expresar
si has aprendido a interpretar y a
Al final del bloque comprobarás
.
ticas
emá
mat
s
enta
ami
herr
información mediante estas
193
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4
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen la utilización
de números enteros,
fraccionarios o decimales
positivos y negativos.
resolver
Secuencia 1 / lección 77
Temperaturas bajo cero
En el conjunto de los números naturales (1, 2, 3…) una resta como 7 – 13 no tiene
solución, porque no existe un número natural que sumado a 13 dé como resultado 7.
Sin embargo, en el conjunto de los números enteros operaciones como esta sí tienen
solución, como verás en esta secuencia.
1. Contesta con base en la tabla.
Distancia media al Sol
(millones de km)
Temperatura superficial
(ºC)
Mercurio
58
350
Venus
108
480
Tierra
150
22
Planetas
En contexto
El 24 de agosto
de 2006, la Unión
Astronómica Internacional adoptó
una nueva definición
de planeta
y Plutón quedó clasificado como
planeta enano.
Marte
228
23
Júpiter
778
–150
Saturno
1 427
–180
Urano
2 870
–210
Neptuno
4 500
–220
a) ¿Qué planeta es el más caluroso? Venus.
b) ¿Cuál es el más frío? Neptuno.
c) ¿Qué significa –150 °C? Que la temperatura es 150 C bajo cero.
o
d) ¿Es cierto que el planeta más caluroso es también el más cercano al Sol?
No.
e) Entre Marte y Júpiter, ¿cuál es más caliente? Marte.
f ) ¿Cuál es la diferencia de temperatura, en °C, entre la Tierra y Marte?
o
1 C
g) ¿Cuál es la diferencia de temperatura, en °C, entre Marte y Júpiter?
o
173 C
h) ¿Cuál es la diferencia de temperatura, en °C, entre Júpiter y Saturno?
o
30 C
194
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m
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Observen los procedimientos que
siguieron para resolver las actividades g) y h). Registren sus conclusiones y lean la siguiente
información.
En las preguntas anteriores se plantea un problema nuevo, que consiste en calcular la diferencia
entre dos números enteros o dos números con signo, como suele llamárseles. Se puede resolver representando dichos números en una recta numérica para determinar qué distancia hay entre
uno y otro. Por ejemplo, para calcular la diferencia entre 20 y –150, se puede hacer lo siguiente.
–150
–100
–20
0
20
En la recta se observa que entre 20 y –150 hay una distancia de 170, entonces, la diferencia entre
20 y –150 es 170.
resolver
2. Calcula las diferencias. Puedes apoyarte en la misma recta.
a) La diferencia entre 20 y 50 es 30.
.
b) La diferencia entre –20 y –50 es 30.
.
c) La diferencia entre 40 y –30 es 70.
.
d) La diferencia entre 10.5 y –20.5 es 31.
.
e) La diferencia entre __12 y – __34 es
.
5
__
.
4
3. Los termómetros comunes funcionan con un metal líquido llamado mercurio, que se
dilata o se contrae según aumenta o disminuye la temperatura. En una ciudad muy
fría, el termómetro marcó 6 °C a mediodía. Al llegar la noche, la temperatura disminuyó
7 °C, y por la mañana, descendió otros 5.5 °C.
a) ¿Qué temperatura marcaba el termómetro en la mañana? –6.5 C o 6.5 C bajo cero.
o
o
b) Verifica tu respuesta en la recta. El punto de partida es 6. Señala con flechas los dos
descensos.
–10 –9 –8 –7
–6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c) La situación descrita en el problema anterior también puede expresarse mediante una
operación. Resuélvela.
6 – 7 – 5.5 = –6.5
Los números enteros
son los números que no
tienen parte decimal,
pueden ser positivos o
negativos: los positivos
son mayores a 0, los
negativos son menores.
El 0 no es ni positivo ni
negativo pero forma
parte del conjunto de
los números enteros.
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4
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen la utilización
de números enteros,
fraccionarios o decimales
positivos y negativos.
Secuencia 1 / lección 78
Números opuestos
En la recta numérica, los números negativos se ubican a la izquierda del 0 y los positivos
a la derecha.
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
1. Lleva a cabo lo que se pide.
5
a) Ubica en la recta numérica los números 2, –5.5, –2, 0, __52 , 7. __
R. T.
2
–2
–5.5
0
2
7
Como habrás notado, para indicar que un número es negativo se pone un signo de “menos” antes
del numeral (−5). Los números positivos se representan únicamente con el numeral (5), o bien, con
un signo de “más” antes de él (+5).
b) Encierra el número más cercano a 0 de cada pareja. Si están a la misma distancia, encierra ambos.
2 y –5
3.5 y –4
+2 y –3
+4 y –4
__5 y __5
8 y –8
1 y –__3
1.5 y –1.5
13 y –3
2 y –2
2
8
8
c) Ubica los números de la primera fila de la tabla siguiente en una recta numérica. Anota
en la segunda fila la distancia a la que están del 0.
Número
Distancia del
número al 0
m
–5.3
5.3
5.3
+ __23
– __23
0
3
–3
5.3
2
_
3
__2
0
3
3
3
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Lean la siguiente información.
La distancia de un número al 0 es su valor absoluto. Por ejemplo, el valor absoluto de –3 es 3,
puesto que hay tres unidades entre –3 y 0.
Y se representa |–3| = 3.
El valor absoluto de +3 también es 3: |+3| = 3.
El valor absoluto de un número siempre es un número positivo o 0.
|–8| = 8
|+5| = 5
|0| = 0
196
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2. Anota lo que falta. Los tres últimos incisos tienen dos respuestas cada uno.
a) I–5I =
5
b) I9I =
9
c) I+7I =
7
d) I– __12 I =
1
_
2
e) I0I =
0
f ) I3.5I =
3.5
g) I+6I =
6
h) I–1.25I =
i) I4I =
4
j) I 3 I = 3
k) I 1.5 I = 1.5
I –3 I = 3
I –1.5 I = 1.5
1.25
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de números
negativos.
l) I 9 I = 9
I –9 I = 9
3. Anota en la recta numérica dos números distintos que estén a la misma distancia del 0.
0
–3
R. T.
3
a) ¿Qué tienen en común esos números? Tienen el mismo valor absoluto.
b) ¿En qué son diferentes? Tienen signos diferentes: uno es negativo y otro, positivo.
4. Subraya las parejas que tengan el mismo valor absoluto, es decir, que estén a la misma
distancia del 0.
+5 y –5
+4 y 40
–3 y –1.3
–2 y 2
+1.5 y –1.5
–0.7 y 7
1 __
–__
y 12
2
–50 y 50
+9 y –9
80 y 0.80
Dos números de distinto signo con el mismo valor absoluto son llamados opuestos.
El 7 y el –7 son opuestos pues tienen distinto signo y el mismo valor absoluto:
I7I = 7
I–7I = 7
Observa que los números opuestos están a la misma distancia del 0.
5. Haz lo que se indica.
a) Completa la tabla.
resolver
Número a
–1
5
+2
–8
3
_
4
Opuesto
de a
1
-5
-2
8
3
–_
4
b) Considera que a es un número entero mayor que 1. Ubícalo en la recta. Ubica también
–a, a – 1, –a + 1.
R. T.
0
–a
m
–a + 1
a–1
1
a
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
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4
contenido
BLOQUE
Secuencia 1 / lección 79
Estadísticas del futbol mexicano
Resuelve problemas que
impliquen la utilización de
números enteros, fraccionarios
o decimales positivos
y negativos.
1. La tabla muestra los resultados del Torneo Clausura 2010 del futbol mexicano. Como
verás, se pueden plantear muchas preguntas.
Estadísticas del futbol mexicano
Partidos
jugados
Total de
goles
Goles por
partido
Tarjetas
amarillas
Tarjetas rojas
Mejor
ofensiva
Mejor
defensiva
153
385
2.52
848
65
Cruz Azul
Cruz Azul
Equipo
PJ
PG
PE
PP
GF
GC
DG
TA
TR
Promedio
Puntos
Cruz Azul
17
12
3
2
33
13
20
42
3
1.6
39
Monterrey
17
9
5
3
29
20
9
43
3
1.6824
32
Santos
Laguna
17
9
3
5
28
19
9
55
3
1.5177
30
América
17
7
6
4
22
16
6
48
4
1.4824
27
San Luis
17
8
2
7
21
19
2
39
3
1.2588
26
Jaguares
17
6
7
4
21
14
7
53
4
1.2
25
Pachuca
17
7
4
6
27
28
–1
54
2
1.5412
25
Pumas
17
7
4
6
23
24
–1
55
4
1.4588
25
Tigres
17
6
6
5
24
16
8
39
3
1.2353
24
Chivas
17
4
10
3
16
15
1
48
4
1.4
22
Toluca
17
5
7
5
18
20
–2
34
3
1.7647
22
Morelia
17
5
6
6
17
16
1
48
5
1.4706
21
Puebla
17
5
4
8
21
26
–5
57
3
1.2353
19
Gallos
Blancos
17
5
4
8
18
28
–10
50
4
1.1373
19
Necaxa
17
4
4
9
14
21
–7
42
3
0.9412
16
Atlante
17
4
4
9
17
27
–10
50
4
1.1647
16
Estudiantes
UAG
17
4
3
10
18
36
–18
47
5
1.2235
15
Atlas
17
3
4
10
18
27
–9
44
5
1.1529
13
PJ: Partidos jugados PG: Partidos ganados PE: Partidos empatados PP: Partidos perdidos
GF: Goles a favor GC: Goles en contra DG: Diferencia de goles TA: Tarjetas amarillas TR: Tarjetas rojas
2. Trabaja con un compañero. Ordenen los equipos en su cuaderno. Anoten al principio el
de la mejor diferencia de goles y al final el de la peor.
198
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3. La diferencia de goles de cada equipo se calcula mediante una resta. Anota en la tabla
la resta con que se calcula la diferencia de goles de cada equipo.
Cruz Azul
33 – 13
Monterrey
29 – 20
Santos Laguna
28 – 19
América
22 – 16
San Luis
21 – 19
Jaguares
21 – 14
Pachuca
27 – 28
Pumas
23 – 24
Tigres
16 – 15
24 – 16
Chivas
Toluca
18 – 20
Morelia
17 – 16
Puebla
21 – 26
Gallos Blancos
18 – 28
Necaxa
14 – 21
Atlante
17 – 27
Estudiantes UAG
18 – 36
Atlas
18 – 27
Observa que en algunos casos, como el de
Toluca, la diferencia se
calcula con la operación 18 – 20 = –2, esto
significa que, cuando
el sustraendo es mayor
que el minuendo, la
resta tiene solución
en el conjunto de los
números enteros.
4. Lee la siguiente información
La diferencia de goles de Chivas es 1, mientras que la de Pumas es –1. La diferencia entre ambos
equipos es de dos goles, como se ve en la recta y en la cuenta.
1 – (–1) = 1 + 1 = 2
–3
–2 –1
0
1
2
3
5. Busca en la tabla dos equipos que tengan una diferencia, entre ambos, de 16 goles.
Representa esa diferencia con una recta y una cuenta.
América-Atlante:
6 – (–10) = 16
Jaguares-Atlas:
7 – (–9) = 16
Toluca-Estudiantes UAG:
–2 – (–18) = 16
R. T. Monterrey-Necaxa:
9 – (–7) = 16
Santos Laguna-Necaxa:
9 – (–7) = 16
América-Gallos Blancos:
6 – (–10) = 16
Practica las operaciones
con números negativos
en…
www.e–sm.com.mx/
SCM1–199
6. Resuelve las operaciones.
técnicas
» 28 – 19 =
9
» 20 – (–9) =
29
» –5.6 + 2.3 =
» –10 + (–15) =
–25
» –7 – (–2) =
–5
5
1 + (– _
1 ) = –_
» –_
2
3
6
–3.3
199
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4
contenido
BLOQUE
Construye círculos a partir
de diferentes datos (el
radio, una cuerda, tres
puntos no alineados, etc.)
o que cumplan condiciones
dadas.
resolver
En contexto
El arco es un elemento arquitectónico de
forma curveada que se
coloca entre dos pilares
o muros. Está compuesto por piezas en forma
de cuñas, llamadas
dovelas; las de la base
son las dovelas salmer
y la del centro es la
dovela clave.
Secuencia 2 / lección 80
El círculo en la arquitectura
Los conocimientos sobre círculos y circunferencias se aplican en situaciones tan diversas
como diseñar arcos para construcciones, localizar un lugar a la misma distancia de tres
ciudades o medir distancias con los giros de una rueda. En esta secuencia aplicarás y
ampliarás tus conocimientos sobre círculos y circunferencias resolviendo problemas.
1. Trabaja con un compañero. Observen los arcos y planeen una manera de trazarlos en
su cuaderno usando instrumentos geométricos. Trácenlos cuando se hayan puesto de
acuerdo.
Para ayudarlos, se muestran algunos trazos auxiliares con líneas punteadas. Además, cuando
es necesario, se dan datos adicionales.
a) Arco de medio punto. Se usó en la arquitectura romana y renacentista. Trácenlo de
manera que el segmento MN mida 8 cm.
M
N
Clave
Dovelas
salmer
b) Arco de herradura. Lo usaron sobre todo los árabes. Trácenlo de manera que el ángulo P’OQ’ (marcado con rojo) mida 240º y el segmento PQ, 8 cm.
P
P’
Q
Q’
O
c) Arco ojival. Es característico del estilo gótico, desarrollado en Europa durante la Edad
Media. Trácenlo de manera que el segmento AB mida 8 cm.
A
B
200
S-CNCT_M1_B4_200-203.indd 200
1/18/13 11:54 AM
d) Arco trebolado. Se ha usado ampliamente en el arte árabe. Reprodúzcanlo de manera
que el triángulo equilátero ABC tenga 6 cm por lado.
A
B
C
e) Arco de talón. Es recurrente en el arte indio y bizantino. Reprodúzcanlo de manera
que el cuadrado MNPQ tenga 6 cm por lado.
N
M
P
Q
f ) Arco apuntado. Es propio de la arquitectura árabe. Reprodúzcanlo de manera que, en
el rectángulo, AB mida 4 cm y AC, 6 cm. P es punto medio de AB. Los arcos se trazan
abriendo el compás a la medida DP y apoyándolo en cada vértice del rectángulo.
A
C
m
P
B
D
Comenten con el grupo los procedimientos que siguieron.
201
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1/18/13 11:54 AM
4
contenido
BLOQUE
Construye círculos a partir
de diferentes datos (el
radio, una cuerda, tres
puntos no alineados, etc.)
o que cumplan condiciones
dadas.
resolver
Secuencia 2 / lección 81
Círculos y algo más
1. Resuelve los problemas.
a) Conexión a Internet. Dany contrató con su línea telefónica un servicio de Internet
inalámbrico. Puede conectarse si está a menos de 100 m del módem. El siguiente es un
plano en escala 1:5 000. Marca la zona donde Dany puede conectarse a Internet.
Una pista
0
Calle 1
7
3
Calle 1
7
Orient
e
7
Calle 1
3
Calle 1
3
8
9
Avenid
a
Calle 1
3
0
Para abordar un
problema que
parezca difícil es útil
simplificarlo, por
ejemplo, poniendo
cantidades pequeñas
que puedas representar
con dibujos u objetos.
Calle 1
4
Convivimos
Calle 1
6
9
Casa de Dany
b) El plato roto. Un arqueólogo encontró esta parte de un plato circular y quiere reconstruirlo. Para ello, es necesario hallar el centro del plato. Márcalo y comprueba con un
compás que se pueda trazar el resto.
Recuerda las propiedades de la mediatriz que
estudiaste en la lección
36 y traza dos segmentos que te sirvan.
202
S-CNCT_M1_B4_200-203.indd 202
1/18/13 11:54 AM
c) El hospital. Se desea construir un hospital a la misma distancia de tres ciudades (representadas con un punto). Marca dónde debe construirse y comprueba con compás que
esté a igual distancia de ellas.
d) La cuerda floja. Traza varias circunferencias que pasen por A y B. ¿Cuántas pudiste
dibujar? R. T.
B
A
e) La gasolinera. Se desea construir una gasolinera dentro del triángulo que forman tres
carreteras y a la misma distancia de cada una. Si estas se representan con las rectas, marca
dónde debe estar la gasolinera. Comprueba con compás que se cumpla lo enunciado.
Practica la construcción
de círculos en...
www.e-sm.com.mx/
SCM1-203
m
Compara tus soluciones con las de tus compañeros y comenta cómo las encontraste.
Los elementos principales de un círculo son el centro y el radio. A partir de estos, el círculo queda
determinado y puede trazarse.
También es posible construir círculos a partir de otros elementos, como el diámetro o tres puntos
de la circunferencia.
En los problemas de trazado de círculos puede haber una solución, muchas o ninguna, según los
elementos dados.
203
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1/18/13 11:54 AM
4
contenido
BLOQUE
Justifica la fórmula para
calcular la longitud de
la circunferencia y el
área del círculo (gráfica y
algebraicamente). Explicita
el número π (pi) como la
razón entre la longitud
de la circunferencia y el
diámetro.
Secuencia 3 / lección 82
Dar la vuelta
El contorno del círculo recibe el nombre de circunferencia. La medida de la circunferencia
es el perímetro del círculo.
Si divides la medida de la circunferencia de cualquier círculo entre la medida de su
diámetro, obtendrás un valor cercano a un número llamado Pi.
1. Reúnete con dos compañeros. Trabajarán con seis círculos. Para agilizar el trabajo, cada
uno puede encargarse de dos.
a) Recorten seis círculos de cartulina con radios de 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm y 8 cm.
b) Midan con hilaza (o cualquier hilo resistente que no se estire) el contorno de cada
círculo.
c) Completen la tabla. Utilicen calculadora para las divisiones.
Medida del contorno
Medida del diámetro
Medida del contorno ÷
medida del diámetro
R. P.
d) Observen que los resultados de la tercera columna son muy semejantes entre sí.
e) ¿Cuántas veces cabe, aproximadamente, el diámetro en el contorno del círculo?
m
Comenta los resultados de tu equipo con los de otros. Lee la información y contesta la
pregunta.
El contorno del círculo se llama circunferencia y si divides su medida entre el diámetro obtienes
un valor cercano al número Pi. Este número se simboliza con la letra griega π y vale, aproximadamente, 3.14.
circunferencia
π = __
diámetro
Valor aproximado de π: 3.14
La fórmula para calcular el perímetro
del círculo es la siguiente.
Circunferencia
Círculo
Diámetro
Perímetro del círculo = π × diámetro
técnicas
a) ¿Cómo se calcula la medida de la circunferencia de un círculo si se conoce la medida de
su diámetro? Circunferencia = π Í diámetro.
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2. Responde las preguntas.
En contexto
a) Si en la actividad 1 hubieras tenido un círculo de 2 cm de diámetro, ¿cuánto habría
medido su circunferencia? 6.28 cm
b) El siguiente círculo mide 1 cm de diámetro. La flecha roja indica el 0 en una recta numérica. ¿Qué número señalará cuando el círculo dé una vuelta completa a la derecha?
El valor aproximado de π
con veinte decimales es
3.14159265358979323846.
Para cuestiones prácticas
es suficiente con usar
3.14.
3.14
0
3. Completa la tabla. Puedes usar calculadora.
Medida del diámetro (cm)
Medida de la circunferencia (cm)
1
3.14
6.28
9.42
12.56
31.4
2
3
4
10
a) ¿Es una relación de proporcionalidad?
Sí.
b) Si tu respuesta fue afirmativa, indica la constante de proporcionalidad. 3.14
c) Si tu respuesta fue negativa, explica por qué la relación no es de proporcionalidad.
validar
R. P.
resolver
4. Responde las preguntas.
a) Se tienen dos círculos. El radio de uno mide el triple que el del otro. ¿Cuántas veces
más mide el perímetro del mayor respecto al del menor?
Tres veces.
b) Un círculo A tiene 1 cm de diámetro.
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad del número π.
» ¿Cuánto mide su circunferencia? 3.14 cm
» ¿Cuánto mide el cociente de su circunferencia entre el diámetro?
3.14
c) El círculo B tiene un diámetro mil veces mayor que el de A. ¿Cuánto mide el cociente
de la circunferencia de B entre su diámetro? 3.14
m
Compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros.
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4
contenido
BLOQUE
Justifica la fórmula para
calcular la longitud de
la circunferencia y el
área del círculo (gráfica y
algebraicamente). Explicita
el número π (pi) como la
razón entre la longitud
de la circunferencia y el
diámetro.
Secuencia 3 / lección 83
En la pizzería
1. Una pizza de 20 cm de diámetro está cortada en 16 rebanadas.
Las rebanadas se colocan como se muestra.
Investiga más sobre π
en…
a) ¿A qué figura geométrica se parece este arreglo? A un romboide.
b) Trabaja con un compañero. Busquen, de acuerdo con el arreglo, cómo calcular el área
de la pizza. Escriban el procedimiento en su cuaderno.
www.e-sm.com.mx/
SCM1-206
1
Área de la pizza = base x altura o __
de la circunferencia x radio.
2
técnicas
m
Lleva a cabo, en grupo, lo siguiente.
a) Comenten cómo calcularon el área.
b) Lean y comenten, con ayuda del profesor, el siguiente procedimiento para obtener la
fórmula del área del círculo.
206
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Si partimos la pizza en rebanadas cada vez más pequeñas, el arreglo se parecerá más a un
rectángulo.
1. Si se considera la figura como un rectángulo, puede decirse que…
» el área del círculo es aproximadamente igual al área del rectángulo, la cual se calcula multiplicando base por altura.
2. La base del rectángulo es la mitad del perímetro del círculo y su altura es el radio. Por tanto:
perímetro
×r
Área del círculo =
2
3. El perímetro del círculo es π × diámetro, entonces:
diámetro
π × diámetro
Área del círculo =
×r
×r=π×
2
2
4. Dado que la mitad del diámetro es el radio:
Área del círculo = π × r × r = π × r2 = π r2
Es decir, el área de un círculo es igual al producto de π (que vale aproximadamente 3.14) por el cuadrado de la medida del radio.
c) ¿Se cumple siempre la simplificación del paso 3? Prueba con números: verifica si
4×9
____
es igual a 4 × __92 . Revísalo con otros números y verás que siempre se cumple.
2
2. Trabaja en equipo. Observen cómo varían los polígonos.
Hexágono
Octágono
Decágono
a) Comprueben que al sustituir en la fórmula Área = Perímetro × apotema obtienen la
fórmula para el área del círculo.
2
Icoságono
validar
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4
contenido
BLOQUE
Analiza la regla de tres,
empleando valores enteros
o fraccionarios.
resolver
Secuencia 4 / lección 84
La regla de tres
Hay varias formas de calcular un valor desconocido en una situación de proporcionalidad. La más práctica depende del tipo de números. En esta secuencia estudiarás la
técnica llamada regla de tres y recordarás otras. No olvides que es bueno conocer varias
técnicas, pero, más importante aún, saber cuándo aplicar cada una.
1. En las tablas se muestra cuánto vale el jamón en dos locales de un mercado. Anota en
la tercera columna el resultado de dividir cada precio entre el número correspondiente
de kilogramos.
Local A
kg
Precio ($)
​__14​​
Local B
Precio/kg
kg
Precio ($)
8.00
32.00
​__14​​
12.00
48.00
__
​12​​
16.00
32.00
__
​1​​
2
20.00
40.00
1
32.00
32.00
1
32.00
32.00
2
64.00
32.00
2
60.00
30.00
4
128.00
112.00
160.00
32.00
32.00
4
5
5
140.00
28.00
28.00
2. Reúnete con un compañero. Anoten sí o no en cada columna.
m
Precio/kg
Local A Local B
a) Entre más kilogramos se compran, ¿mayor es el precio?
sí
sí
b) ¿__12 kg cuesta la mitad que 1 kg?
sí
no
c) ¿5 kg cuestan cinco veces lo que 1 kg?
sí
no
d) ¿Se paga lo mismo si se compra 1 kg y luego 4 kg que si se
compran de una sola vez 5 kg?
sí
no
e) Entre más kilogramos se compran, ¿es más barato el kilogramo?
f ) ¿El precio por kilogramo es siempre el mismo?
no
sí
sí
no
Efectúa, en grupo, lo siguiente.
a) Comparen sus respuestas de la actividad anterior.
b) Indiquen en qué local la relación entre peso y precio es de proporcionalidad y expliquen cómo lo supieron. En el local A, pues al dividir el precio entre el peso se
obtiene la misma cantidad. El factor constante de proporcionalidad es 32.
208
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c) Lean la información y verifiquen qué relación es de proporcionalidad.
Recuerda:​cuando​las​cantidades​de​un​conjunto​son​proporcionales​a​las​de​otro​conjunto…
»​​los​cocientes​que​se​obtienen​al​dividir​una​cantidad​de​un​conjunto​entre​la​cantidad​correspondiente​en​otro​son​iguales.
Por​ejemplo,​en​el​local​A,​8​÷​​__
​14​​=​32;​16​÷​​__
​12​​=​32;​64​÷​2​=​32;​128​÷​4​=​32;​160​÷​5​=​32…
Este​cociente​se​llama​factor​o​constante de proporcionalidad.
3. Resuelve el problema. Escribe la solución en el cuaderno y explica tu procedimiento.
En el local C, los precios del jamón son proporcionales a las cantidades que se compran.
Una persona pagó $192.50 por 7 kg y otra, $275.00, ¿cuántos kilogramos compró esta última?
4. Trabaja en grupo. Comparen la manera en que resolvieron el problema. Lean en el
recuadro cómo hacerlo con la regla de tres. Si tienen dudas, pidan ayuda al profesor.
técnicas
Paso 1. Se escriben los datos en una tabla anotando en los encabezados a qué corresponden las cantidades. Se nombra x el
dato desconocido.
Paso 2. Como las cantidades son proporcionales, los cocientes de
192.5 ÷ 7 y 275 ÷ x deben ser iguales. Conviene anotar la igualdad
de cocientes como una igualdad de fracciones.
Paso 3. Ya que las fracciones son iguales, los productos cruzados
también lo son.
Paso 4. Se despeja x.
kg
Precio ($)
7
192.50
x
275.00
192.5
_
7
=
275
_
x ​
x × 192.5 = 275 × 7
Conclusión. Se da la respuesta del problema: con $275.00 se
compraron 10 kg de jamón.
275 × 7
x=_
192.5
1 925
x = _ = 10
192.5
5. Resuelve los problemas en tu cuaderno mediante la regla de tres.
a) En una copia a escala, el lado a, que mide 5 cm en la figura original, mide 8 cm. Si el
lado b mide 4.8 cm en la copia, ¿cuánto mide en la figura original? 3 cm
b) Con 5 l de leche se obtienen 2 l de crema. ¿Cuántos litros de leche se necesitan para __34 l
15
de crema? ​__
​l
8
m
Resuelve un problema
utilizando la regla de
tres en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-209
Comenta en grupo: ¿puede usarse la regla de tres en un problema donde la relación entre
cantidades no es de proporcionalidad? Apliquen la regla de tres a estos problemas y concluyan.
- Ana tiene 2 años y su mamá tiene 29. Cuando Ana tenga 10 años, ¿cuántos tendrá su mamá?
- Luis mide 120 cm. Al subirse a un banco alcanza los 150 cm. María mide 125 cm. ¿Qué altura
alcanzaría si subiera al mismo banco?
- María ha leído 80 páginas de su libro. Le faltan 40 por leer. ¿Cuántas le faltarán por leer
cuando haya leído 100?
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4
contenido
BLOQUE
Analiza la regla de tres,
empleando valores enteros
o fraccionarios.
técnicas
Secuencia 4 / lección 85
Un mismo problema, varias técnicas
1. A continuación se muestran cinco técnicas para calcular un valor desconocido en una
situación de proporcionalidad. Anota los datos que faltan.
Problema: por un préstamo de $400.00 se pagaron al banco $300.00 de intereses en un año.
¿Cuánto debe pagarse de intereses en un año por un préstamo de $600.00?
1. Calculando el valor unitario
Se puede calcular cuánto se paga de interés
por cada peso.
2. Calculando un valor intermedio
distinto del unitario
Cantidad prestada ($)
Intereses ($)
Cantidad prestada ($)
Intereses
400.00
300.00
400.00
300.00
1.00
0.75
450.00
200.00
150.00
450.00
600.00
3. Calculando el factor de
proporcionalidad
¿Qué número multiplicado por 400 da 300?
Dicho de otra forma, ¿qué fracción de 400
es igual a 300? Esa misma fracción debe
aplicarse a 600.
600.00
4. Con la regla de tres
Cantidad prestada ($)
Intereses ($)
400.00
300.00
600.00
450.00
Cocientes que deben ser iguales:
x
300
(_) = (_)
400
600
3
por _
4
Productos cruzados iguales:
Cantidad prestada ($)
Intereses ($)
400.00
300.00
600.00
450.00
400x = (300)(600)
Despejar​x:
[(300)(600)]/400 = 450
5. Calculando el valor de una razón interna
¿Qué número multiplicado por 400 da 600? Hay que multiplicar 300 por ese número.
×
1.5
Cantidad prestada ($)
Intereses ($)
400.00
300.00
600.00
450.00
×
1.5
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2. Resuelve los problemas de proporcionalidad. Utiliza en cada uno la técnica que te parezca más sencilla.
resolver
a) Anota las cantidades de ingredientes de un pastel para seis personas.
Receta para un pastel de cerezas
Tazas​de​harina
Mantequilla
Cerezas
Para​4​personas
8
​__18​​kg
1​​__
​14​​kg
Para​6​personas
12
3
__
15
__
16
8
b) La figura A’ es una reproducción a escala de la figura A. Anota los datos que faltan.
Figura A
Figura A’
16​cm
4​cm
4​cm
1 cm
5 cm
3 cm
20​cm
12​cm
c) Se usaron 96.4 l de pintura vinílica para pintar 400 m2 de una superficie que mide 600
m2. ¿Cuántos litros de pintura faltan para terminar de pintar la superficie?
48.2 l
Convivimos
Saber de memoria
algunos conceptos
y técnicas de
matemáticas es muy
útil al enfrentarse a
problemas, pero a
veces la memoria falla.
Revisa tus apuntes,
las lecciones del libro
y pregunta a otros
las veces que sean
necesarias para obtener
información que te sea
útil.
d) Luis se dirige a Santa Rosa. Viaja en automóvil a una velocidad constante de 80 km/h. A
las 13 h 50 min pasa por Barranca Profunda. Un letrero borroso indica cuántos kilómetros faltan para llegar a Santa Rosa, pero Luis no logra distinguir las cifras. Continúa a
la misma velocidad hasta llegar a Santa Rosa a las 15 h 20 min. ¿Qué distancia a Santa
Rosa indicaba el letrero de Barranca?
120 km
3. Completa las tablas. En una de ellas las cantidades no son proporcionales.
Cuotas por uso de teléfono celular
considerando la tarifa mensual
más minutos adicionales
m
Costos por llamadas de
larga distancia nacional en un teléfono
público
Minutos​adicionales
Pago​($)
Minutos​adicionales
Pago​($)
1
253.00
4
7.00
2
256.50
8
14.00
4
263.50
10
17.50
5
267.00
15
26.25
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comparen las técnicas que utilizaron
para calcular los valores faltantes.
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4
contenido
BLOQUE
Analiza los efectos
del factor inverso
en una relación de
proporcionalidad,
en particular en una
reproducción a escala.
Secuencia 5 / lección 86
Factores de escala I
En las lecciones 55 y 56 estudiaste cómo aplicar un factor de escala después de otro y
cómo invertirlo para regresar una figura a su tamaño original. En esta secuencia estudiarás ese tema y verás cómo interviene en un contexto de fórmulas.
1. Observa la imagen, lee el texto y haz lo que se pide.
» Al aplicar el factor de escala 1.5 al dibujo A1 se obtiene A2.
» Al aplicar el factor de escala 2 en A2 se obtiene A3.
» Traza A2 y A3 en una hoja cuadriculada.
Dibujo A1
a
b
e
c
d
resolver
2. Deduce cómo calcular las medidas de A3 sin que sea necesario calcular las medidas
de A2.
Recuerda: cuando dos figuras están a escala existe un número, siempre el mismo, que, multiplicado
por cualquier medida de una, proporciona la correspondiente de la otra. Puede decirse que las medidas de una figura son proporcionales a las medidas de la otra. Ese número es el factor de escala
o constante de proporcionalidad.
Aplicar los factores n y m, uno después de otro, equivale a aplicar el factor n × m.
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3. Reúnete con un compañero. Contesten las preguntas.
a) Al aplicar el factor de escala __13 al dibujo A1 se obtiene A4. Al aplicar el factor
2 en A4 se obtiene A5. ¿Qué dibujo es
mayor: A1 o A5? A1
2
× __
​3​
1
×_
3
¿Por qué? R.​P.
Lado a
b) Calculen y anoten en la tabla las medidas de A4 y A5.
Lado b
Lado c
Lado d
c) Tracen el dibujo A5 en papel
cuadriculado.
Lado e
×2
Dibujo A1
Dibujo A4
3
6
9
18
2
1
2
3
6
2
__
​3​​
Dibujo A5
2
4
6
12
4
__
​3​
d) ¿Qué factor de escala aplicado al dibujo A1 permite obtener el dibujo A5? Anótenlo en
el óvalo superior de la tabla.
4. Hagan lo siguiente.
a) Comparen su dibujo A5 con el de otras parejas. Si no son iguales, identifiquen la causa.
Vean si A5 es mayor o menor que A1.
b) Comparen sus respuestas del inciso d) de la actividad anterior y verifiquen que se relacione con la siguiente información.
1
n
1
_
_
Aplicar los factores _
m y n, sucesivamente, equivale a aplicar el factor m × n, es decir, m .
5. Escribe lo que falta.
×2
×3
1
×_
2
3
​__2​​
1
×_
2
5
×_
4
1
​__
​​
6
6
1
×_
3
1
​__4​​
3
×_
5
5
5
×_
3
4
1
__
​5​​
2
×1
×1
1
×3
2
×_
5
1
×_
4
n
_
​m​​​
m
_
​n​​​
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contenido
BLOQUE
Analiza los efectos
del factor inverso
en una relación de
proporcionalidad,
en particular en una
reproducción a escala.
resolver
Ya sabemos...
El factor que “deshace”
la acción de un factor
n es el recíproco de n.
El factor recíproco de
4 es __14 .
Secuencia 5 / lección 87
Factores de escala II
1. Se aplicó el factor de escala 4 a una figura
B1 y se obtuvo B2.
a) Se conocen las medidas de B2, pero
no las de B1. Calcúlalas y anótalas en la
tabla.
b) ¿Qué factor debe aplicarse a la figura
B2 para obtener B1? Anótalo en el
óvalo inferior.
×4
Figura B1
Lado a
Lado b
Lado c
Lado d
Figura B2
4
1
1
__
​4​​
2
3
__
​4​​
1
8
3
1
__
​4​​
2 a una figura C se obtuvo C .
2. Trabaja con un compañero. Al aplicar el factor de escala _
1
2
5
a) ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Porque​el​factor​de​escala​
¿Qué figura es mayor: C1 o C2? C1
¿Por qué?
​
Multiplicar por __14 es
lo mismo que dividir
entre 4.
​es​menor​que​1.
b) Se tiene la figura C2 pero no C1. Calculen las medidas de C1 y anótenlas en la tabla.
Tracen ambas figuras en una hoja cuadriculada.
Figura C2
2
×_
5
Figura C1
d
e
Lado a
Lado b
Lado c
Lado d
Lado e
a
b
Figura C2
2
5
15
20
10
25
6
8
4
10
5
×​​__
​2​​
c
214
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3. Haz, en grupo, lo siguiente.
2
×_
5
a) Comparen las medidas que encontraron y comenten el método utilizado.
× __15
×2
Figura C1
» Una forma de encontrar las medidas
de C1 es aplicar el recíproco de __52 a C2.
Lado a
Lado b
» El factor __25 equivale a aplicar los
factores __1 y 2. Por tanto, para
Lado c
5
Lado d
“desandar el camino” basta aplicar
Lado e
los recíprocos de esos factores.
Figura C2
2
1
3
4
2
5
5
15
20
10
25
6
8
4
10
1
×​5
b) Anoten los recíprocos en los óvalos
inferiores de la tabla y calculen las
medidas de C1.
×​​__
​2​​
5
×​​__
​2​​
4. Anota los factores que faltan. R.​T.
Una pista
7
×_
4
1
×​​__
​4​​
Figura
1
×​7
Figura
2
×​4
El recíproco del factor __15
es 5; el recíproco del
factor 2 es __12 . Por tanto,
el recíproco del factor __25
es el factor __52 .
5
×_
8
1
×​​__
​8​​
Figura
3
Figura
1
1
×​​__
​7​​
×​5
Figura
2
Figura
3
1
×​​__
​5​​
×​8
8
×​​__
​5​​
4
×​​__
​7​​
5. Completa.
n
En general, el factor recíproco de __
m es
m
​__
n​​​
.
6. Trabaja con un compañero. Investiguen lo siguiente.
6
1
a) ¿Cuál es el factor equivalente a aplicar __34 y después __23 ? __
​2​​
​12​​​o​​__
b)
En general, ¿cuál es el factor equivalente a aplicar __ab y luego __dc ?
c)
2
Si a una figura se aplica el factor __
y, a la figura que resulte, se aplica el factor recíproco
5
5
2
__
__
de 5 , es decir, 2 , ¿la figura final será mayor, menor o igual que la original?
ac
__
​bd​​​
Practica más con los
dibujos a escala en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-215
​Igual​que​la​original.
m
Concluyan qué ocurre al aplicar un factor y su recíproco.
​La​figura​queda​de​igual​tamaño.
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4
contenido
BLOQUE
Analiza los efectos
del factor inverso
en una relación de
proporcionalidad,
en particular en una
reproducción a escala.
resolver
Secuencia 5 / lección 88
Del maíz a las tortillas
1. Reúnete con un compañero. Hagan lo que se pide. Con 5 kg de maíz se hacen 3 kg de
harina. Con 2 kg de harina se hacen 5 kg de masa. Con 10 kg de masa se hacen 7 kg de
tortillas.
a) Calculen, con base en la información anterior, cuántas tortillas se producen con
20 kg de maíz.
​21​kg​de​tortillas
b) Determinen cuánto maíz se necesita para 35 kg de tortillas. ​33.333​kg​de​maíz.
c) Calculen cuánta harina se produce con 1 kg de maíz. ​600​g
d) Verifiquen que cualquier cantidad de harina sea igual a __35 de la cantidad de maíz.
e) Lean lo siguiente.
A continuación, las cantidades se representarán con letras.
maíz: m
harina: h
masa: M
tortillas: t
La fórmula h = __35 m es la expresión algebraica de la relación proporcional entre la
cantidad de maíz y de harina; __3 es un factor constante de proporcionalidad.
5
f ) Encuentren el factor que, aplicado a una cantidad de harina, da la cantidad correspondiente
de masa. Anoten la expresión algebraica.
M=
5
_
​ ​​
2
h
2. Lleva a cabo, en grupo, lo siguiente.
a) Comparen sus respuestas de los incisos a) y b) de la actividad anterior y los procedimientos que siguieron.
b) Observen que la cantidad de harina correspondiente a 1 kg de maíz se puede calcular
de dos maneras.
Maíz
Harina
Maíz
Harina
5 kg
3 kg
5 kg
3 kg
1 kg
3 kg ÷ 5 = 0.6 kg
1 kg
3 kg ÷ 5 = __35 kg
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c) Lean el siguiente procedimiento para encontrar el factor que, aplicado a una cantidad
de harina, da la correspondiente cantidad de masa.
A 2 kg de harina le corresponden 5 kg de masa.
Por tanto, a 1 kg de harina le corresponden __52 kg de masa.
En consecuencia, el factor es __52 o 2.5.
La expresión algebraica de la relación es M = 2.5 h.
3. Trabaja en equipo de tres o cuatro integrantes. Anoten los factores de proporcionalidad
en los óvalos del esquema. Recuerden que el factor recíproco de __ba es __ba .
21
x​​___
​20​​​
× __35
7
x​​__
​10​​​
5
x​​__
​2​​
Maíz (m)
Harina (h)
Masa (M)
Tortillas (t)
5 kg
3 kg
3.333​kg
3.333​kg
6.666​kg
2 kg
7.5​kg
5​kg
2​kg
4​kg
5.25​kg
3.5​kg
3.5​kg
10 kg
5 kg
× __5
7 kg
2
x​​__
​5​​
3
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de factor
inverso.
10
x​​__
​7​​​
20
x​​___
​21​​
​
4. Completen las expresiones.
h=
3
​_​​ m
5
5
m= _
​ ​​ h
3
t=
21
​_​​​m
20
5
​_​​ h
2
M=
2
_
h = ​ ​​ M
5
t=
7
​_​​​M
10
10
_
​
​t
M = ​ ​​
7
20
_
​​​ t
21
m =​
¿Qué fracción aplicada
a 2 kg da 5 kg:
2 __
__
o 52 ?
5
Se puede saberlo observando que al pasar
de 2 a 5 la cantidad
aumenta.
5. Utilicen las expresiones anteriores para calcular…
a) cuántas tortillas se producen con 50 kg de maíz. 52.5​kg
b) cuánto maíz se requiere para 42 kg de tortillas. 40​kg
m
Revisa, en grupo, los resultados de las actividades 3, 4 y 5.
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4
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas de
conteo mediante diversos
procedimientos. Busca
recursos para verificar los
resultados.
resolver
Secuencia 6 / lección 89
Tarjetas de felicitación
Contarmnomsiempremesmfácil.mAmvecesmsemrequierenmtécnicasmespeciales.mPormejemplo,m
¿cuántasmparejasmdembailemsempuedenmformarmenmunamreuniónmdondemhaymseismhombresmy
seismmujeres?m¿Demcuántasmmanerasmsempuedemllenarmunamquinielamdemfutbol?mPreguntasm
comomlasmanterioresmsemrespondenmmediantemtécnicasmdemconteo.
1. Para el Día de San Valentín, Pati hará tarjetas en tres colores diferentes y las decorará
con corazones o cupidos. Le gusta poner solamente un color y un tipo de adorno por
tarjeta.
a) Enlista, en tu cuaderno, todas las tarjetas que puede hacer. Por ejemplo, una combinación posible es azul con cupidos.
b) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer? Seis.
Convivimos
Muchas veces las
personas no preguntan
porque consideran que
“se verán mal” o que
los demás pensarán
que son ignorantes.
¡Cuidado! Casi siempre
es al revés: se van
convirtiendo en
ignorantes los que no
se atreven a preguntar.
2. Pati consiguió otro tipo de adorno.
a) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer si aumenta este adorno? Nueve.
3. Para el Día de las Madres, Pati hará tarjetas cuadradas y rectangulares. Tiene papel de
dos colores y dos tipos de adorno.
Formas
Colores
Adornos
a) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer? Ocho.
b) ¿Cómo lo averiguaste? Puede hacer cuatro tarjetas diferentes de cada forma,
o bien, multiplicando 2 por 2 por 2.
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c) Enlista, en tu cuaderno, las tarjetas que puede hacer. Por ejemplo, una combinación es
cuadrada azul con las flores amarillas.
d) En las tarjetas cuadradas no caben las flores amarillas, así que Pati no hará tarjetas con
esa combinación. ¿Cuántas tarjetas puede hacer si se considera esto? Seis.
4. Para saber las maneras de combinar los colores y adornos es posible elaborar un diagrama. Complétalo con los colores y adornos de la actividad 1.
técnicas
corazón
amarillo
cupido
Ya sabemos...
corazón
Esta manera de
organizar los datos
se llama diagrama de
árbol.
azul
cupido
corazón
verde
cupido
5. Para Navidad, Pati hará tarjetas con dos formas, tres colores y tres tipos de adorno.
Formas
Colores
Adornos
a) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer? 18
b) ¿Cómo lo averiguaste?
Puede hacer nueve tarjetas de cada forma, o bien,
multiplicando 2 por 3 por 3.
c) En tu cuaderno, haz un diagrama de árbol que muestre las combinaciones posibles.
d) Pati notó que no conviene hacer tarjetas verdes con el pino, por lo que descartó esta
opción. ¿Cuántas combinaciones puede formar? 16
e) Tampoco hará tarjetas cuadradas rojas. ¿Cuántas tarjetas puede elaborar? 13
mm
Compara tus resultados con los de tus compañeros.
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contenido
BLOQUE
Resuelve problemas de
conteo mediante diversos
procedimientos. Busca
recursos para verificar los
resultados.
Secuencia 6 / lección 90
Futbol
1. Un equipo de futbol tiene tres playeras y dos shorts.
¿Cuántas combinaciones se pueden formar?
técnicas
Seis.
2. Las combinaciones se pueden organizar en una tabla. Colorea cada una. Observa el
ejemplo.
a) ¿Coincide tu respuesta de la pregunta anterior con las combinaciones de la tabla? R. P.
b) Si, además, los equipos pueden escoger entre dos pares de calcetas, ¿cuántos uniformes pueden formar?
Doce.
c) La tabla contiene el número de playeras y de shorts de distintos equipos. Complétala.
Calcula el número de uniformes sin listarlos.
mm
Número de playeras
diferentes
Número de shorts
diferentes
Número de uniformes diferentes que
pueden formar
4
2
8
5
2
10
5
4
20
8
4
32
m
n
mn
Compara tus respuestas y procedimientos con los del grupo.
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3. Los alumnos de la escuela secundaria 401 organizaron un torneo de futbol y formaron
cuatro equipos. Decidieron que cada uno se enfrentaría dos veces a los demás.
Halcones
Vaqueros
Búhos
resolver
Toros
a) ¿Cuántos partidos jugarán?
Doce.
b) Elabora, en tu cuaderno, una tabla como la de la actividad 2 que muestre los equipos
que se enfrentarán en cada partido.
Practica técnicas de
conteo en…
c) ¿Cuántos partidos se jugarían si cada equipo se enfrentara una vez a los demás?
www.e-sm.com.mx/
SCM1-221
Seis.
Los problemas de la lección anterior y esta son problemas de conteo. Es posible formar algunos con
una multiplicación.
Por ejemplo, si se tienen dos playeras y tres shorts, el número de uniformes diferentes que se pueden formar es 3 × 2 = 6.
4. En la primera semana del torneo se jugarán dos partidos: Halcones contra Búhos y Toros
contra Vaqueros. Los alumnos quieren hacer una quiniela; esta se llena sombreando el
recuadro del equipo que se supone que ganará o el del centro si se piensa que empatarán.
1
HALCONES
2
TOROS
BÚHOS
1
VAQUEROS
2
a) Si se sombrea un cuadro por partido, ¿cuántas maneras hay de llenar la quiniela?
Nueve.
b) Si la quiniela fuera de tres partidos, ¿de cuántas maneras podría llenarse?
1
2
3
BÚHOS
VAQUEROS
BÚHOS
TOROS
HALCONES
VAQUEROS
1
2
3
27
¿Cuántas formas hay de
llenar una quiniela de
14 partidos?
1
UNAM
2
GUADALAJARA
3
ATLANTE
AMÉRICA
1
TOLUCA
2
TIGRES
4
PACHUCA
3
ATLAS
5
4
ESTUDIANTES
SANTOS
5
6
TIJUANA
CHIAPAS
6
7
INTER
MILAN
7
8
MANCHESTER
ARSENAL
8
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4
contenido
BLOQUE
Lee información
representada en gráficas
de barras y circulares,
provenientes de diarios o
revistas y de otras fuentes.
Comunica información
proveniente de estudios
sencillos, eligiendo la
representación gráfica más
adecuada.
resolver
Secuencia 7 / lección 91
Deportistas de México
Las gráficas se usan cada vez más en medios de difusión, como periódicos y revistas, o
en textos científicos. En esta secuencia seguirás desarrollando tu habilidad para leer
e interpretar gráficas.
1. Trabaja en equipo. Una encuesta aplicada
a 455 personas sobre el mejor deportista
mexicano arrojó lo siguiente. Investiga y
comenta con tus compañeros qué deporte practica cada personaje de la gráfica
y por qué ha destacado.
Ana Gabriela Guevara
Hugo Sánchez
17.7%
13.3%
Julio César Chávez
8.0%
Cuauhtémoc Blanco
5.8%
Soraya Jiménez
5.6%
Récord. Diario deportivo. (12 de agosto de 2005).
Ana Guevara fue considerada la mejor de todos los tiempos, superando por más de cuatro
puntos porcentuales a Hugo Sánchez.
a) ¿Quién debería estar en la lista y no lo está? R. P.
En contexto
La información es
de 2005. Después de
ese año, ¿qué otro
deportista mexicano
ha destacado? ¿Qué
deporte practica?
b) ¿Quién no debería estar en la lista? R. P.
c) ¿Cuántas personas votaron por Ana Guevara? Aproximadamente 80.
d) ¿Y por Hugo Sánchez? Aproximadamente 60.
e) ¿Cuánto falta para que la suma de los porcentajes sea 100%?
49.6%
2. El porcentaje restante está distribuido entre los siguientes deportistas.
Otras menciones (porcentaje)
Fernando Platas (clavados)
5.5
Ricardo López (boxeo)
Rafael Márquez (futbol)
4.1
Raúl González (caminata)
1.0
0.9
Belem Guerrero (ciclismo)
3.5
Vinicio Castilla (béisbol)
0.8
Eduardo Nájera (basquetbol)
3.2
José Pedraza (caminata)
0.7
Jorge Campos (futbol)
3.1
Roberto Ávila (béisbol)
0.6
Fernando Valenzuela (béisbol)
2.9
Doramitzi González (paralímpicos)
0.6
Lorena Ochoa (golf)
2.5
Carlos Girón (clavados)
0.6
Adrián Fernández (automovilismo)
2.4
Raúl Ramírez (tenis)
0.5
Iridia Salazar (taekwondo)
2.3
Humberto Mariles (equitación)
0.4
Jared Borguetti (futbol)
1.8
Luis Hernández (futbol)
0.4
Joaquín Capilla (clavados)
1.5
Francisco Fonseca (futbol)
0.4
Ernesto Canto (caminata)
1.3
Rubén Olivares (boxeo)
0.3
Felipe Muñoz (natación)
1.1
Salvador Sánchez (boxeo)
0.2
Víctor Estrada (taekwondo)
1.1
Otros
2.7
Oswaldo Sánchez (futbol)
1.1
No contestó
2.0
Récord. Diario deportivo. (12 de agosto de 2005).
222
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a) ¿Qué deporte predomina? Futbol.
b) ¿Los que practican este deporte son mejores que los demás o hay otra razón para que
aparezcan más veces? R. P.
3. Se aplicó la misma encuesta a 22 deportistas y a quince especialistas en deportes. Debían
nombrar a los cinco mejores deportistas mexicanos. A la primera mención se le asignó
cinco puntos; a la segunda, cuatro; a la tercera, tres; a la cuarta, dos; y a la quinta, uno.
Se sumaron los puntos y los resultados para los primeros cinco lugares fueron…
Opinión de los deportistas
Opinión de los especialistas
Nombre
Puntos
Nombre
Puntos
Hugo Sánchez
78
Hugo Sánchez
41
Ana Guevara
60
Ana Guevara
31
Julio César Chávez
50
Julio César Chávez
26
Fernando Valenzuela
9
Fernando Valenzuela
25
Joaquín Capilla
6
Joaquín Capilla
13
a) Investiguen por qué han destacado los personajes de la lista.
b) ¿En qué son iguales las listas y en qué diferentes? R. P.
c) Los deportistas opinan que Julio César Chávez es mucho mejor que Fernando Valenzuela. ¿Qué opinan los especialistas? Los valoran igual.
d) ¿Quiénes aparecen en la gráfica de la actividad 1 y no en estas listas? Cuauhtémoc y Soraya.
e) ¿Qué resultados son más confiables? R. P.
¿Por qué? R. P.
f ) Elaboren, en su cuaderno, dos gráficas de barras con los datos de las tablas.
Redacta un texto basado en las gráficas.
Comenta cuántos pichichis ganó, cuántos
fueron consecutivos, cuál consiguió con
más goles o con menos, etcétera.
40
38
34
30
29
25
20
15
comunicar
Pichichis ganados por Hugo Sánchez
35
Goles
4. Hugo Sánchez hizo parte de su carrera
como futbolista en España, país donde
se otorga un trofeo llamado pichichi al
máximo goleador de una temporada. La
gráfica muestra los años en que ganó el
trofeo y el número de goles que anotó
en cada temporada.
22
19
10
5
0
1985
1986
1987
Año
1988
1990
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4
contenido
BLOQUE
Lee información
representada en gráficas
de barras y circulares,
provenientes de diarios o
revistas y de otras fuentes.
Comunica información
proveniente de estudios
sencillos, eligiendo la
representación gráfica más
adecuada.
Secuencia 7 / lección 92
México en el año 2000
1. Según datos del inegi, en el año 2000 una cuarta parte de la población mexicana vivía
en el campo y las tres partes restantes, en ciudades.
Campo
El círculo de la derecha representa a la población. Colorea con azul la parte del círculo
que corresponde a la población que vivía
en el campo y con rojo la correspondiente
a la población de las ciudades. Escribe en
cada parte lo que representa.
Ciudad
2. En ese mismo año, por cada 100 mexicanos, 51 eran mujeres y 49, hombres.
En contexto
El inegi es el Instituto
Nacional de Estadística
y Geografía; se creó por
decreto presidencial
el 25 de enero de 1983
para recopilar, procesar
y difundir información
acerca del territorio, la
población y la economía de nuestro país.
Su sede está en
Aguascalientes.
Hombres
Mujeres
Representa, en el círculo, con un color a la población femenina y con otro a la masculina. Indica
a qué género se refiere cada parte.
3. La población trabajadora estaba distribuida, aproximadamente, de la siguiente manera.
Sexta parte
Sector primario
(agricultura y ganadería)
Cuarta parte
Sector secundario
(industrias)
El resto
Sector terciario (comercio,
servicios y gobierno)
Representa los datos de la tabla en una
gráfica circular.
Utiliza los mismos colores y escribe el sector
laboral que representa cada parte.
1
_
6
1
_
4
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4. La gráfica muestra la parte de la población que vivía en el Distrito Federal.
resolver
Aproximadamente,
a) ¿qué porcentaje vivía en el D. F.?
Vivían
en el D. F.
10%
b) ¿qué porcentaje vivía en el resto
de la república?
Vivían
en el resto de
la república
Refuerza tus conocimientos sobre gráficas
de barras y circulares
en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-225a
90%
Las gráficas circulares son otra manera de presentar datos contenidos en un texto o una tabla.
Los sectores circulares deben ser proporcionales a las cantidades que representan. Así, a 25%, que
es la cuarta parte de 100%, le corresponde un sector circular de un cuarto de círculo, es decir, con
un ángulo de 90°. Recuerda que 90° es la cuarta parte de los 360° del círculo.
5. Trabaja en equipo. En el año 2000, la distribución de la población por edad era…
Edad
Porcentaje (%)
menores de 14 años
34
15-29 años
29
30-59 años
30
60 años o más
7
Piensen en una estrategia para representar los datos en una gráfica circular. Recuerden que los
sectores deben ser proporcionales a los porcentajes y que el círculo completo representa 100%.
Una pista
La regla de tres puede
ser útil en problemas
en que las cantidades
varían de manera
proporcional.
7%
34%
29%
30%
m
Comenten, en grupo, cómo hicieron la gráfica.
Conoce la página del
inegi para niños y jóvenes en...
www.e-sm.com.mx/
SCM1-225b
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4
contenido
BLOQUE
Lee información
representada en gráficas
de barras y circulares,
provenientes de diarios o
revistas y de otras fuentes.
Comunica información
proveniente de estudios
sencillos, eligiendo la
representación gráfica más
adecuada.
Secuencia 7 / lección 93
Información diversa
1. Un estudio sobre videojuegos hecho en España a 4 000 alumnos de entre 10 y 17 años
(últimos grados de primaria, secundaria y bachillerato) arrojó estos resultados.
31%
No juega
69%
Juega
resolver
Porcentajes de alumnos por nivel escolar
Nivel escolar
Bachillerato
Juega
Secundaria
No juega
Primaria
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Información recuperada de www.guiavideojuegos.es/
Anota, de acuerdo con las gráficas, si las afirmaciones sobre el uso de los videojuegos son
falsas o verdaderas.
a) Más de la mitad de los entrevistados usa videojuegos. Verdadera.
b) Poco más de 1 200 no usa videojuegos. Verdadera.
c) Entre mayor es el nivel escolar, más se usan videojuegos. Falsa.
d) Más de la mitad de los entrevistados de bachillerato acostumbra usar videojuegos.
Verdadera.
e) Las partes azules de las barras representan a los mismos niños que la parte amarilla de
la gráfica circular. Verdadera
f ) ¿Los porcentajes con estudiantes mexicanos serían similares?
m
R. P.
Organicen, en grupo, una encuesta sobre el uso de videojuegos con estudiantes de primaria, secundaria y bachillerato, y elaboren dos gráficas como las anteriores. Comparen los
porcentajes obtenidos con los de los alumnos españoles.
226
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2. Completa la tabla y elabora en tu cuaderno la gráfica. Aproxima los porcentajes hasta
décimos. Puedes usar calculadora. Decide si harás gráfica de barras o circular, y si utilizarás valores absolutos o porcentajes.
Año
Total de hogares
1992
Hogares con computadora
Absolutos
Porcentaje (%)
17 819 414
349 443
2.0
1994
19 440 278
641 529
3.3
1996
20 467 038
643 660
1998
22 163 568
1 262 884
3.1
5.7
2000
23 596 452
2 454 031
10.4
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de tipos de
gráficas.
3. Determina qué podría representar esta gráfica. Titúlala y rotula cada barra.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
R. P.
4. Indica qué información podría representar esta gráfica. Titúlala, rotula cada sector y
anota su porcentaje.
R. P.
m
Compara tus respuestas de las actividades 2, 3 y 4 con las de tus compañeros.
5. Trabaja en equipo. Hagan una encuesta acerca de un aspecto que quieran conocer sobre
sus compañeros.
comunicar
a) Elaboren una o dos preguntas para sus compañeros.
b) Decidan si es conveniente presentar los resultados en gráfica de barras, circular o tabla
de frecuencias (pueden elegir más de una).
c) Expongan los resultados de su encuesta a sus compañeros.
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Las matemáticas en...
Los recorridos
Intenta resolver este problema conocido como “los siete puentes de Königsberg”; si no lo logras, continúa con las actividades en las que encontrarás ideas que
pueden servirte.
Dos islas en el río Pregel, en Königsberg, se unen entre ellas y con tierra firme mediante siete puentes.
¿Es posible dar un paseo empezando por cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzar cada puente una sola vez y volver al punto de partida?
Recorre cada figura sin despegar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma línea.
¿Pudiste hacerlo con todas? Marca con una palomita
las que sí pudiste recorrer.
¿Sabías que la figura negra se conoce como “la firma del
diablo” porque es imposible trazarla sin despegar el lápiz
y sin pasar dos veces por la misma línea?
¿En qué consiste que unas figuras puedan trazarse y
otras no?
El número de vértices con grado impar, si es 0 o
2 puede recorrerse, en cualquier otro caso no se
puede.
¿Ya lo descubriste? Continúa leyendo y lo sabrás.
228
S-CNCT_M1_B4_228-233.indd 228
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A
Considera la segunda figura. Diremos que el vértice A es
par porque a él llega un número par de líneas (llegan dos),
mientras que el vértice C es impar porque a él llega un número impar de líneas (llegan tres). Con esta idea, completa
la siguiente tabla.
E
B
D
C
Figura
Núm. de
vértices pares
0
3
4
5
4
Núm. de
vértices impares
4
2
2
2
4
¿Puede
recorrerse?
No
Sí
Sí
Sí
No
Analiza la tabla y ¡descubre por qué algunas figuras no pueden trazarse!
Lee y comenta con tus compañeros la siguiente información.
El problema de “los siete puentes de Königsberg” fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a una teoría matemática denominada teoría de Grafos, según la cual “un dibujo puede recorrerse sin despegar el lápiz ni pasar dos veces
por el mismo lado si, y solo si, el número de vértices a los que llega una cantidad impar de líneas es 0 o 2”.
Aplica lo anterior al siguiente esquema de los puentes.
Las líneas representan los puentes, y los puntos, las islas
y la tierra firme que unen. Verifica que, efectivamente,
es imposible hacer el recorrido.
Inventa dos nuevas figuras; una que sí pueda trazarse sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por la misma
línea, y otra en la que no sea posible esto.
R. P.
229
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Evaluación
(TIPO ENLACE)
BLOQUE 4
Selecciona la opción correcta.
1. En el Campeonato Mundial de Futbol de Sudáfrica 2010, la selección de Francia tuvo
un gol a favor y cuatro en contra. ¿Qué número expresa su diferencia de goles?
a) 3
b) –3
c) 5
2. El segmento AB mide 6 cm. ¿Cuántas circunferencias
de 5 cm de radio que pasen por A y B se pueden dibujar?
d) –5
A
6 cm
B
a) Ninguna.
b) Solo una.
5 cm
C
c) Solo dos.
d) Tres o más.
3. El área de un círculo de 2 cm de radio es 12.56 cm2 (tomando π = 3.14) ¿Cuál será el
área de un círculo con el doble de radio?
a) 50.24 cm2
b) 50.24 cm
c) 25.12 cm2
d) 25.12 cm
4. En la figura, los lados del triángulo miden el doble que los radios de los círculos. ¿Qué
es mayor: el perímetro del triángulo o el de una de las circunferencias?
a) Son iguales.
b) El perímetro de la circunferencia es mayor.
c) El perímetro del triángulo es mayor.
d) No puede determinarse.
5. En una receta de chocolate para quince personas se utilizan 4.5 l de leche. ¿Qué opción
corresponde a la leche necesaria (L) para seis personas?
4.5 × 15
a) L = ______
6
4.5 × 6
b) L = _____
15
15
c) L = _____
4.5 × 6
6
d) L = ______
4.5 × 15
6. Las placas de los coches de una ciudad están formadas por dos letras seguidas de tres
dígitos. Por ejemplo, una placa puede ser GH 391 o XE 266. Considerando que hay
diez dígitos y 27 letras, ¿cuántas placas distintas pueden hacerse?
a) 729
b) 54 000
c) 270 000
d) 729 000
230
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7. Fernanda tiene cinco suéteres que usa de lunes a viernes: tres rojos, uno azul y uno negro.
¿De cuántas maneras puede usarlos todos sin repetir el color dos días consecutivos?
a) 20
b) 15
c) 5
d) 2
8. Para trazar la figura a escala se utilizó un factor de proporcionalidad de __32 .
¿Qué operación permite calcular la medida del lado GF original?
8
2 =_
a) 4 × _
3 3
3
c) 4 + _ = 5.5
2
3
b) 4 × _ = 6
2
2
_
d) 4 + = 4.6
3
A
B
C
H
E
G
9. Los datos de la gráfica aparecieron en el periódico mural de una escuela secundaria.
Si hay 150 alumnos inscritos en tercer grado, ¿cuántos de ellos tienen Internet en su hogar?
4 cm
D
F
Porcentaje de alumnos por grado con Internet en su hogar
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
1er grado
a) 72
b) 78
2o grado
c) 105
3er grado
d) 108
10. Analiza las gráficas y contesta.
Estado de México 14%
Chihuahua 13%
Distrito Federal 8%
Sonora 9%
Veracruz 7%
Coahuila 8%
Jalisco 6%
Durango 6%
Puebla 5%
Oaxaca 5%
Guanajuato 5%
Jalisco 4%
Chiapas 4%
Tamaulipas 4%
Otros 51%
Otros 51%
Estas gráficas se construyeron con datos del Censo de Población y Vivienda 2010. Una de
ellas representa la extensión territorial por estado y la otra, la población. ¿Cuál era el tercer
estado más poblado del país y cuántos habitantes tenía, aproximadamente? Considera que
la población del país en 2010 era de, aproximadamente, 112 millones.
a) Veracruz, con 7 millones de personas. b) Veracruz, con 7.8 millones de personas.
c) Coahuila, con 8 millones de personas. d) Coahuila, con 8.9 millones de personas.
231
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Evaluación
(TIPO PISA)
Pongo en juego mis competencias
BLOQUE 4
COMPETENCIAS
Comunicar información matemática
Manejar técnicas eficientemente
Los libros más vendidos de la historia
Esta es una muestra de los libros más vendidos de la historia.
Posición
Título
Autor
Idioma original
Copias vendidas
(millones)
1
La Biblia
--
Hebreo, arameo, griego
~ 5 000 a 6 000
2
Harry Potter (1997) (serie)
J. K. Rowling
Inglés
~ 1 000
3
Citas del presidente Mao Tse-Tung (1966)
Mao Tse-Tung
Chino
~ 1000
5
El señor de los anillos (1954) (serie)
J. R. R. Tolkien
Inglés
~ 100
11
El Código Da Vinci (2003)
Dan Brown
Inglés
~ 60.5
14
El alquimista (1988)
Paulo Coelho
Portugués
~ 50
15
El principito (1943)
Antoine de Saint-Exupéry
Francés
~ 50
Pregunta 1. Expresa con una gráfica de barras el número de copias vendidas de cada libro.
Pregunta 2. ¿Sería adecuada una gráfica circular para representar los datos de la tabla? ¿Por qué?
Pregunta 3. ¿Cómo determinarías cuáles son los tres libros más leídos en tu escuela?
Superficies y viviendas
COMPETENCIAS
Resolver problemas de manera autónoma
Validar procedimientos y resultados
Observa el plano del departamento.
Estancia
Superficie útil
Estancia
5.13 m2
Sala-comedor
2.7 m2
Lavadero
1.08 m
Recibidor
2.72 m2
Superficie útil
9.9 m2
7.98 m2
2
Dormitorio con baño
4.05 m2
Pregunta 1. Completa las tablas en tu cuaderno con las superficies útiles de cada
habitación.
1: 150
Pregunta 2. Lee el texto y contesta: En una vivienda, la superficie construida es la que
ocupa la vivienda contando paredes y columnas, mientras que la superficie útil es la
que queda disponible dentro de la vivienda.
a) Calcula la superficie construida y la superficie útil total.
b) El precio de venta de esta vivienda fue de $400 000.00. Calcula el precio por metro cuadrado de superficie útil.
c) ¿Cuál es la fracción de la superficie útil del departamento que corresponde a la sala-comedor? Expresa también ese valor como número decimal.
232
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Y para
terminar...
¡Investiguemos!
¿Qué plan conviene contratar?
Los planes que ofrecen las compañías de teléfonos celulares no
siempre son claros, por ello puede ser difícil saber cuál conviene
contratar.
En esta investigación explorarán este problema e intentarán dar recomendaciones para algunos casos.
La pregunta que guía la investigación es “¿Qué plan le conviene contratar
a una persona?”.
Dado que el mejor plan podría depender del uso que se pretenda dar al
teléfono, es necesario considerar...
1) varios planes posibles, y
2) diferentes tipos de usuario.
Tarea 1: organícense para averiguar los planes que ofrecen una o dos empresas de teléfonos.
Tarea 2: cada uno pregunte, al menos a dos personas que usen teléfono celular, cuántos
minutos al mes lo utilizan (o cuántas llamadas de cuántos minutos), en qué horarios y si son a
teléfonos fijos o a otros teléfonos celulares. Consideren únicamente llamadas locales.
Organicen la información que llevó todo el grupo; por ejemplo, hagan una primera clasificación de los usuarios en tres grupos, en función del tiempo que usan el teléfono.
Definan tres tipos de usuario del teléfono celular: quien lo use muy poco, uno que lo use
regularmente y otro que lo use mucho.
Analicen algunos de los planes que consiguieron. Para ello, elaboren las
tablas y gráficas necesarias. Saquen algunas conclusiones como la
siguiente:
A una persona que hace tantas llamadas al mes en
horario pico le podría convenir más el plan tal que el
plan…
233
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BLOQUE
5
Aprendizajes esperados
✓ Resuelve problemas aditivos que impliquen
el uso de números enteros, fraccionarios o
decimales positivos y negativos.
✓ Resuelve problemas que impliquen el
cálculo de la raíz cuadrada y potencias de
números naturales y decimales.
✓ Resuelve problemas de proporcionalidad
directa del tipo “valor faltante”, en los que
la razón interna o externa es un número
fraccionario.
234
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Cuatro toneladas de comida al día
La ballena azul es el animal más grande
que existe, y ha existido, en la Tierra (si se
considera la masa corporal): puede llegar
a medir 30 m y pesar 180 ton.
Se alimenta principalmente de krill, un
pequeño crustáceo que mide apenas
5 cm y pesa cerca de 1 g. Una ballena azul
puede comer 4 000 000 g de krill (cerca de
4 millones de estos crustáceos) para sobrevivir.
1. ¿Cuántos millones de veces es mayor el peso de la ballena azul
que el de su alimento? ¿Puedes expresar ese número en forma de
potencia?
2. Los científicos estiman que la masa de todo el krill de la Antártida es
igual que la de todos los humanos de la Tierra. Si la masa media de
una persona es de 75 kg y hay 6 000 millones en el mundo, ¿cuántos
ejemplares de krill hay en la Antártida?
3. La ballena azul se encuentra en peligro de extinción, por lo que
desde 1966 está prohibida su pesca. Actualmente, una de sus áreas
naturales está en México, en el golfo de California. Investiga sobre
la situación actual de la ballena azul y las medidas de protección
desarrolladas en nuestro país. Puedes visitar la página del Programa
de Conservación de Especies en Riesgo (PROCER):
www.e-sm.com.mx/SCM1-235
necesitamos
muy grandes y muy pequeños, y
El mundo está lleno de números
ajar con ellos.
trab
y
piadas para comprenderlos
herramientas matemáticas apro
de ellas.
nas
algu
son
ue,
bloq
ás en este
Las potencias y raíces, que estudiar
s en
ncia
si has adquirido las compete
Al final de este bloque comprobarás
ejo
man
el
y
n
ació
unic
así como en la com
el manejo de estas herramientas,
eficiente de las matemáticas.
235
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5
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
implican el uso de sumas y
restas de números enteros.
Secuencia 1 / lección 94
Suma de números con signo I
Si a un número a le sumas otro número, ¿el resultado puede ser menor que a? En esta
secuencia verás que sí es posible usando números enteros.
1. La tabla registra las canicas que Mario ganó (con números positivos) y perdió (con
negativos) en varios partidos. Complétala.
Ganó 8
Perdió 9
+8
–9
Perdió 5 Ganó 4 Ganó 5 Perdió 1 Perdió 2 Ganó 6
–5
+4
+5
–2
+6
–1
No ganó
ni perdió
0
2. Mario juega series de dos partidos. La tabla muestra lo que pasó en cada uno y el resultado final, además de la operación que permite obtenerlo.
a) Completa la tabla.
Primer partido
Segundo partido
Resultado final
Operación
Ganó 15
Ganó 28
Ganó 43
(+15) + (+28) = 43
Ganó 15
Perdió 28
Perdió 13
(+15) + (–28) = (–13)
Perdió 35
Ganó 13
Perdió 22
(–35) + (+13) = (–22)
Perdió 18
Perdió 14
Perdió 32
(–18) + (–14) = (–32)
Ganó 27
Perdió 25
Ganó 2
(+27) + (–25) = 2
Perdió 32
Ganó 25
Perdió 7
(–32) + (+25) =(–7)
Perdió 17
Perdió 14
Perdió 31
–31
(–17) + (–14) = ____
b) Resuelve las operaciones.
m
(+3) + (+10) = 13
(–3) + (+10) = 7
(–3) + (–10) = –13
(+3) + (–10)= –7
(+1) + (+5) = –4
(–1) + (+5) = 4
(–1) + (–5) = –6
(+1) + (–5) = –4
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay diferencias, averigüen con ayuda
del profesor a qué se deben y corrijan. Lean la técnica para sumar números con signo con el
apoyo de la recta numérica.
Para sumar (+5) + (–7):
Paso 1: se ubica el primer sumando en la recta numérica.
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
236
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Paso 2: si el segundo sumando es positivo, se cuentan hacia la derecha las unidades que indica; si
es negativo, hacia la izquierda.
(–7)
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Así, (+5) + (–7) = –2.
técnicas
3. Utiliza la técnica anterior para resolver las sumas.
(+2) + (+8) = 10
(–2) + (+8) = 6
(–2) + (–8) = –10
(+2) + (–8)= –6
(+5 ) + (+10) = 15
(–5) + (+10) = 5
(–5) + (–10) = –15
(+5) + (–10) = –5
En la expresión (–2) + (+8), el primer + indica adición.
En cambio, el segundo, el de +8, indica que se trata de un número positivo.
Los números positivos pueden representarse también sin el signo +. Por tanto,
» (–2) + (+8) equivale a –2 + 8.
» (+2) + (+8) equivale a 2 + 8.
» (–2) – (+8) equivale a –2 – 8.
4. Resuelve.
4 + (–3) =
1
5 + (–7) = –2
m
–4 + 3 = –1
(–4) + (–3) = –7
4+3= 7
(–5) + (–7) = –12
5 + 7 = 12
–5 + 7 = 2
Compara tus resultados con los de tus compañeros.
5. Completa la tabla y responde.
resolver
Número
5
–8
–3
2
4
Opuesto del número
–5
8
3
–2
–4
Suma del número y su opuesto
0
0
0
0
0
a) ¿Qué resulta de sumar un número y su opuesto? 0
b) ¿Qué número sumado a –5 da 0?
5
Ya sabemos...
El opuesto de un número n tiene el mismo
valor absoluto que n,
pero distinto signo.
El opuesto de –3 es
+3. El opuesto de +3
es –3.
c) ¿Cuál es el opuesto de –5? 5
237
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5
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
implican el uso de sumas y
restas de números enteros.
Secuencia 1 / lección 95
Suma de números con signo II
1. Compara las parejas de números. Escribe mayor que, menor que o igual que.
Ya sabemos...
• |a| significa valor
absoluto del número
a, es decir, su distancia al 0. Los valores
absolutos siempre
son positivos o 0.
• Entre más a la derecha está un número
en la recta numérica,
mayor es.
• Nota que –25 es menor que 3, pero tiene
un valor absoluto
mayor.
m
a) –25
menor que
3
b) –5
c) |–25|
mayor que
|3|
d) |–5|
mayor que
|–3|
–3
menor que
e) |7|
igual que
7
f ) –12
menor que
–9
g) |17|
mayor que
|7|
h) |–12|
mayor que
|–9|
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
2. Resuelve las sumas apoyándote en la recta numérica.
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
a) 2 + 5 = 7
b) 5 + 5 = 10
c) 3 + 7 = 10
d) –2 + (–5) = –7
e) –5 + (–5) = –10
f ) –3 + (–7) = –10
g) –2 + 5 = 3
h) –5 + 5 = 0
i) –3 + 7 = 4
j) 2 + (–5) = –3
k) 5 + (–5) = 0
l) 3 + (–7) = –4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. Trabaja en pareja. Lleven a cabo lo siguiente.
a) Comparen sus resultados de la actividad anterior y corrijan los errores.
b) Observen que en las seis primeras operaciones los sumandos tienen el mismo signo y
en las seis últimas, signos diferentes.
c) Escriban una técnica para sumar números con signos positivos y negativos. Anoten la
técnica en su cuaderno.
238
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m
Haz lo siguiente en grupo.
a) Comenten las técnicas que escribieron.
b) Lean la siguiente técnica para sumar números con signo. Observen si se parece a las
que propusieron.
Caso 1. Los dos sumandos tienen el mismo signo, por ejemplo: –2 + (–5).
» El valor absoluto del resultado es igual a la suma de los valores absolutos de los sumandos:
|–2| + |–5| = 2 + 5 = 7.
» El signo del resultado es igual al de los sumandos, que en el ejemplo es negativo.
» Entonces, –2 + (–5) = –7.
Caso 2. Los sumandos tienen signos diferentes, por ejemplo: (+2) + (–5).
» El valor absoluto del resultado es igual a la diferencia entre los valores absolutos:
|–5| – |+2| = 5 – 2 = 3.
» El signo del resultado es igual al del sumando de mayor valor absoluto.
En el ejemplo, es el signo de –5, es decir, negativo.
» Entonces, 2 + (–5) = –3.
4. Aplica la técnica anterior para resolver las sumas.
técnicas
a) 15 + 23 = 38
b) –15 + (–23)= –38
c) –15 + 23 = 8
d) –2.5 + 3.2 = 0.7
e) –2.5 + (–3.2) = –5.7
f ) 2.5 + (–3.2) = –0.7
g) –12 + 34 = 22
h) 12 + (–34) = –22
i) –12 + (–34) = –46
j) 5 + (–5) = 0
k) 5 + 5 = 10
l) –5 + 5 = 0
5. Resuelve las ecuaciones con el procedimiento que prefieras.
a) 5 + x = 7
x= 2
b) 5 + x = 2
x = –3
c) –5 + x = –2
x=
3
d) 12 + x = 0
x = –12
e) –12 + x = 0
x = 12
f ) –5 + x = 0
x=
5
g) 237.5 + x = 100 x = –137.5 h) 45.6 + x = 60.7 x = 15.1
m
resolver
i) 25.2 + x = 26
x = 0.8
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si es necesario, utilicen una recta
numérica para apoyar sus razonamientos. Comenten lo siguiente.
En el conjunto de los números positivos y el 0, la ecuación 5 + x = 0 no tiene solución.
Pero, si se añaden los números negativos, la ecuación sí tiene una solución: x = –5.
239
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5
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
implican el uso de sumas y
restas de números enteros.
Secuencia 1 / lección 96
Resta de números con signo
1. Verifica, con calculadora pero sin usar la tecla de resta, que las operaciones sean correctas.
¿Es correcta?
Resta
¿Es correcta?
2 231 – 975 = 1 356
Resta
no
5 420 – 856 = 4 564
sí
3 800 – 1 097 = 2 703
sí
4 075 – 786 = 3 209
no
Probablemente usaste esta propiedad: en una resta, si se suma la diferencia (o resultado) con
el sustraendo, se obtiene el minuendo.
minuendo – sustraendo = diferencia
20 – 15 = 5
diferencia + sustraendo = minuendo
5 + 15 = 20
2. Lee, en grupo, la técnica para resolver la resta (+8) – (–3) usando la propiedad anterior.
Repite la técnica con una o dos restas.
Primer paso: llamar x a la diferencia
buscada.
Segundo paso: aplicar la propiedad
anterior.
(+8) – (–3) = x
x + (–3) = (+8)
minuendo – sustraendo = diferencia
diferencia + sustraendo = minuendo
Tercer paso: buscar el valor de x en la recta numérica. ¿Qué número sumado a (–3) da (+8)?
(11)
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Es decir, restar (+8) – (–3) equivale a buscar el número que sumado a (–3) da (+8).
En la expresión (+8) – (–3), el primer signo – indica sustracción. El segundo, el de –3, indica número
negativo.
240
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3. Reúnete con un compañero. Utilicen la técnica anterior para resolver las restas. Apóyense
en una recta numérica si es necesario.
Minuendo – sustraendo = diferencia
Diferencia + sustraendo = minuendo
Diferencia
(–4) – (–5) = x
x + (–5) = (–4)
x = +1
(+9) – (+9) = x
x + (+9) = (+9)
x=0
(+8) – (–2) = x
x + (–2) = 8
x = 10
(+15) – (–15) = x
x + (–15) = 15
x = 30
(–8) – (+7) = x
x + (+7) = –8
x = –15
(0) – (–9) = x
x + (–9) = 0
x=9
5–2=x
x+2=5
x=3
2–5=x
x+5=2
x = –3
–2 – 5 = x
x + 5 = –2
x = –7
–2 – (–5) = x
x + (–5) = –2
x=3
4. Resuelve los problemas. Explica la respuesta en tu cuaderno.
técnicas
resolver
a) Ana sacó $5.00 de su alcancía el lunes, metió $8.00 el martes, sacó $3.00 más el miércoles, sacó $2.00 el jueves y metió $1.00 el viernes. ¿Al final de la semana hay más o
menos dinero en la alcancía que al principio? ¿Cuánto?
b) En una serie de juegos de canicas, Pepe perdió tres canicas, luego ganó dos y después
perdió cinco. ¿Cuántas canicas le sobraron?
c) Mario jugó dos partidos. En el primero perdió tres canicas. No recuerda cómo le fue
en el segundo, pero sabe que acabó ganando una canica. ¿Cómo le fue en el segundo
partido?
5. Lee cada problema y colorea el recuadro que corresponda al resultado.
a) Doña Tere gastó a pesos en la mañana y b pesos en la tarde. Le quedaron c pesos.
¿Cuánto tenía en la mañana?
(a + b) + c
c – (a + b)
(a – b) – c
(a + b) – c
Practica la resta de números con signo en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-241
b) La temperatura bajó a grados en la mañana y b más en la noche. ¿Cuánto bajó en total?
a–b
a+b
b–a
c) Mario debía a pesos. Si pagó b pesos el mes pasado y c este mes, ¿cuánto debe aún?
a + (b + c)
a – (b + c)
a + (b – c)
a – (b – c)
241
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5
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
implican el uso de sumas y
restas de números enteros.
técnicas
Secuencia 1 / lección 97
Juegos con números
1. ¿Recuerdas los cuadrados mágicos? Se llaman así porque al sumar en forma horizontal,
vertical o diagonal, siempre se obtiene el mismo resultado.
a) Resuelve el cuadrado mágico. Verifica que en todos los casos la suma dé 0.
3
–4
1
–2
0
2
–1
4
–3
Horizontales
3–4+1=
Verticales
3–2–1=
0
3+0–3=
0
–2 + 0 + 2 = 0
–4 + 0 + 4 = 0
–1 + 4 – 3 =
1+2–3=
0
Diagonales
0
–1 + 0 + 1 = 0
0
b) Completa el cuadrado mágico y anota las sumas de cada caso. El resultado siempre
debe ser –9 y no puedes repetir números.
0
–7
–2
Horizontales
Verticales
Diagonales
–3
–1
0 – 7 – 2 = –9
0 – 5 – 4 = –9
0 – 3 – 6 = –9
–5
–5 – 3 – 1 = –9
–7 – 3 + 1 = –9
–2 – 3 – 4 = –9
–4
1
–6
–4 + 1 – 6 = –9
–2 – 1 – 6 = –9
Para encontrar un número en el cuadrado mágico necesitas conocer los otros dos números que estén en la misma línea o diagonal. Por ejemplo, en una línea están los números –2 y –1; la suma de
ellos con el número que falta debe ser –9:
–2 + (–1) +
= –9 es decir, –3 +
= –9.
¿Qué número sumado a –3 da –9?
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c) Haz lo mismo que en el inciso anterior. La suma siempre debe ser 3.6.
4.6
–3.2 2.2
–1.2
1.2
0.2
5.6 –2.2
Horizontales
4.6 – 3.2 + 2.2 = 3.6
3.6
Verticales
Diagonales
4.6 – 1 .2 + 0.2 = 3.6 4.6 + 1.2 – 2.2 = 3.6
–1.2 + 1.2 + 3.6 = 3.6 –3.2 + 1.2 + 5.6 = 3.6 2.2 + 1.2 + 0.2 = 3.6
0.2 + 5.6 -2.2 = 3.6
2.2 + 3.6 – 2.2 = 3.6
242
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d) En este caso, la suma siempre debe ser __32 .
– __14
3
__
2
__1
4
1
3
__
4
Horizontales
Verticales
Diagonales
3
3
1
1
–__4 + __2 + __4 = __2
5
3
1
1
+ __2 + __4 = __2
–___
47
3
1
1 + __2 + 0 = __2
5
3
3
1
__
– __2 + __4 = __2
4
2
–__2
1
3
3
1
–__4 + 1 + __4 = __2
0
5
__
4
3
3
1
1
__
+ __2 – __2 = __2
2
5
3
__1 + 0 + __
= __2
4
4
1
__
5
3
3
1
__
– __2 + __4 = __2
4
2. Trabaja en grupo.
a) Verifiquen que hayan utilizado los mismos números para completar cada cuadrado.
Ordénenlos de menor a mayor valor. Deben ser nueve y no se debe repetir ninguno.
b) Comprueben que las ocho sumas de cada cuadrado den el resultado indicado. Si hay
errores, corríjanlos.
c) Inventen un cuadrado mágico.
» Escriban, de menor a mayor, nueve números consecutivos; de preferencia empiecen R. P.
con un número negativo.
» Acomódenlos en el cuadrado. El de en medio de la serie debe colocarse en la casilla
central y la suma de tres números en línea debe ser igual al triple de este.
» Verifiquen que las ocho sumas den el mismo resultado.
3. Haz lo siguiente en la estrella mágica.
a) Anota los números faltantes de manera que la suma de cuatro de ellos en línea siempre
sea la misma. No se deben repetir números.
resolver
b) Compara tu estrella con la de tus compañeros.
–5
–6
1
5
3
–1
–2
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad de números
enteros.
–4
–3
0
2
4
243
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5
CONTENIDO
BLOQUE
Secuencia 2 / lección 98
Cantidades astronómicas o microscópicas
Usa la notación científica
para realizar cálculos en los
que intervienen cantidades
muy grandes o muy
pequeñas.
Leer, escribir y hacer operaciones con cantidades muy grandes o muy pequeñas, como
la distancia de la Tierra al Sol o la masa en gramos de una molécula, son actividades
engorrosas y pueden provocar errores. ¿Sabías que hay una forma de agilizarlas? En
esta secuencia estudiarás algunas maneras eficientes de manejar cantidades así.
1. Completa las igualdades. Observa los ejemplos; corresponden a potencias de base 10.
108 = 100 000 000
¿Cómo surge el exponente negativo? Analiza
10
el siguiente ejemplo: ___
103
2
10 × 10
1
= _________
= __
=
10 × 10 × 10
10
0.1 = 102–3 = 10–1.
103 =
1 000
107 = 10 000 000 102 =
1 00
106 = 1 000 000
101 =
10
105 = 100 000
100 =
1
104 =
10 000
1
10–1 = __
= 0.1
10
1
________
10–6 = 1 000 000 = 0.000001
1
1
10–2 = ___
= 0.01 10–7 = _________
= 0.0000001
100
10 000 000
1
1
10–3 = _____
= 0.001 10–8 = ________
= 0.00000001
100 000 000
1 000
10–4 =
0.0001
1
10–9 = ___________
= 0.000000001
1 000 000 000
10–5 = 0.00001
En las potencias de base 10 con exponente positivo, el exponente coincide con el número de ceros
del número. En las potencias de base 10 con exponente negativo, el exponente coincide con su
número de cifras decimales.
2. Completa la tabla.
Descripción de la cantidad
Cantidad con letras
Distancia de la Tierra al Sol
en kilómetros
Ciento cuarenta y nueve
millones de kilómetros
Presupuesto 2010 para la
Secretaría de Educación Pública
Veinticinco mil millones de
pesos
Tamaño de un glóbulo rojo
Setenta y seis cienmilésimos de
milímetro
Cantidad aproximada de células Sesenta billones de células
que forman el cuerpo humano
Tamaño aproximado de una
bacteria
Cinco diezmilésimas de
milímetro
Cantidad con cifras
149 000 000 km
$25 000 000 000
0.00076 mm
60 000 000 000 000
0.0005 mm
Las cantidades de la tercera columna pueden expresarse en notación científica, es decir, de la siguiente forma:
a × 10n
Es un producto en que a es un número mayor o igual a 1 y menor a 10 llamado coeficiente y n es
un número entero. Por ejemplo, 149 000 000 en notación científica se escribe 1.49 × 108; el número
0.000025 (veinticinco millonésimos) en notación científica se escribe 2.5 × 10–5.
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3. Escribe en notación científica las cantidades de la actividad 2.
Descripción de la cantidad
técnicas
En notación científica
Distancia de la Tierra al Sol en kilómetros
1.49 Í 108
Presupuesto 2011 para la Secretaría de Educación
Pública
2.5 Í 1010
Tamaño de un glóbulo rojo
7.6 Í 10-4
Cantidad aproximada de células que forman el
cuerpo humano
6 Í 1013
Tamaño aproximado de una bacteria
5 Í 10-4
m
Revisa, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de las actividades 2 y 3. Corrijan lo
que sea necesario.
4. En cada grupo de expresiones hay una que no corresponde al mismo número. Táchala.
Primer grupo
001
7.2 × 10
Segundo grupo
7.2 × 10–3
3
72 × 102
0.72 × 10–2
720 × 100
0.072 × 10–1
0.72 × 104
72 × 10–2
5. Ordena los números de menor a mayor valor.
2 × 10–2
3 × 10–1
2.5 Í 10-3
2 Í 10-2
2.5 × 10–3
2.9 Í 10-2
2.9 × 10–2
3.2 × 10–1
3 Í 10-1
3.2 Í 10-1
6. Subraya la forma correcta de escribir, en notación científica, las cantidades.
resolver
a) La población de México en 2010 era de 112 millones de habitantes.
» 1.12 × 106 habitantes
» 1.12 × 107 habitantes
» 1.12 × 108 habitantes
b) El tamaño de un virus puede ser de cinco cienmilésimos de milímetro.
» 5 × 10 mm
–4
» 5 × 10 mm
–5
» 5 × 10 mm
–6
c) La cantidad de insectos por hectárea en la selva amazónica es de 32 millones.
3.2 × 106 insectos
m
3.2 × 107 insectos
Practica el uso de la
notación científica en…
www.e–sm.com.mx/
SCM1–245
3.2 × 108 insectos
Revisa, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de las actividades 4, 5 y 6. Corrijan
y aclaren lo que sea necesario.
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5
CONTENIDO
BLOQUE
Usa la notación científica
para realizar cálculos en los
que intervienen cantidades
muy grandes o muy
pequeñas.
Secuencia 2 / lección 99
Distancias y masas
1. Completa la tabla.
Planeta
Distancia media al Distancia media al Sol en
Sol (millones de km) notación científica (km)
Mercurio
58
5.8 Í 107
9.2 Í 107
Venus
108
1.08 Í 108
4.2 Í 107
Tierra
150
1.50 Í 108
0
Marte
228
2.28 Í 108
7.8 Í 107
Júpiter
778
7.78 Í 108
6.28 Í 108
Saturno
1 427
1.427 Í 109
1.277 Í 109
Urano
4 500
4.5 Í 109
4.35 Í 109
Neptuno
5 900
5.9 Í 109
5.75 Í 109
En contexto
A la distancia media
de la Tierra al Sol se le
llama también unidad
astronómica. De acuerdo con ella, la distancia
media de Venus al
Sol es 0.72 unidades
astronómicas (ua); la
de Marte al Sol, 1.52
ua. ¿Cuál es la distancia
media de Júpiter al
Sol en unidades astronómicas?
Diferencia en distancia
respecto a la Tierra (km)
m
Revisa, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de la tabla. Corrijan lo que sea
necesario y comenten lo siguiente.
Una técnica para sumar o restar cantidades en notación científica es la que se describe enseguida.
Caso 1
Si las potencias de base 10 tienen el mismo exponente, se suman o restan los coeficientes.
Por ejemplo: 1.08 × 108 + 2.28 × 108 = 3.36 × 108
2.28 × 108 – 1.08 × 108 = 1.20 × 108
Caso 2
Si las potencias de base 10 tienen distinto exponente, primero hay que igualarlo, multiplicando o
dividiendo algún coeficiente por 10, 100, etc., según sea necesario.
Por ejemplo: 1.5 × 108 – 5.8 × 107 = 1.5 × 108 – 0.58 × 108 = 0.92 × 108 = 9.2 × 107
2. Resuelve los problemas.
a) La Luna tiene una masa de 7.3 × 1022 kg y la Tierra, de 5.97 × 1024 kg. ¿Qué diferencia en
kilogramos hay entre ambas masas? 5.897 Í 1024
b) El Sol tiene una masa de 1.98 × 1030 kg. ¿Cuál es la diferencia entre su masa y la de la
Tierra? 1.9794 Í 1030
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3. Trabaja en equipo. Resuelvan las operaciones y deduzcan una regla para obtener rápidamente el resultado.
» (4 × 103) × (2 × 102) = 8 Í 105
» (5 × 104) × (2.5 × 102) = 12.5 Í 106
» (4 × 103) ÷ (2 × 102) = 2 Í 101
» (5 × 104) ÷ (2.5 × 102) = 2 Í 102
» (9 × 105) × (3 × 103) = 27 Í 108
» (6.4 × 102) × (3.2 × 103) = 20.48 Í 105
» (9 × 105) ÷ (3 × 103) = 3 Í 102
» (6.4 × 102) ÷ (3.2 × 103) = 2 Í 10-1
técnicas
a) Escribe la regla que encontraron.
Para multiplicar dos expresiones escritas en notación científica R. P.
Para dividir dos expresiones escritas en notación científica R. P.
m
Comparen, con ayuda del profesor, las reglas. Registren sus conclusiones.
4. Contesta con base en la información del dibujo. Usa notación científica para los cálculos.
Sol
1.98 × 1030 kg
Luna
7.3 × 1022 kg
385 000 km
149 000 000 km
Tierra
5.97 × 1024 kg
a) ¿Cuántas veces es más grande la masa de la Tierra que la de la Luna? 817
b) ¿Cuántas veces es más grande la masa del Sol que la de la Tierra? 3.31 Í 105
c) ¿Cuántas veces es más grande la distancia de la Tierra al Sol que de la Tierra a la Luna?
387
m
Revisa, en grupo, los resultados de las actividades 2 y 4.
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad de notación
científica.
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5
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen el cálculo de la
raíz cuadrada (diferentes
métodos) y la potencia
de exponente natural
de números naturales y
decimales.
resolver
Secuencia 3 / lección 100
La medida de un lado
La superficie de un cuadrado mide 81 m2. ¿Cuánto mide uno de sus lados? ¿Y si la superficie es de 190.44 m2? En esta secuencia aprenderás a resolver problemas como estos.
1. Observa los cuadrados y responde. Debajo de cada uno está su área en unidades
cuadradas.
1u
2u
1 u2
3u
4 u2
4u
9 u2
5u
16 u2
25 u2
a) ¿Cuántas unidades mide un lado de cada cuadrado? Anota las respuestas a un costado
de cada uno.
b) ¿Cuánto mide un lado de un cuadrado cuya área es 6.25 cm2?
2.5 u
c) ¿Cuánto mide un lado de un cuadrado cuya área es 169 m2?
13 u
d) ¿Cuánto mide un lado de un cuadrado cuya área es 172 m2?
13.11 u
La medida de un lado de un cuadrado es un número que multiplicado por sí mismo da el área.
En algunos casos, si conocemos el área, podemos encontrar la medida exacta de cada lado, pero en
otros solo hallaremos la aproximada.
2. Completa la tabla. En la tercera columna escribe si la medida de un lado es exacta o
aproximada. Puedes usar calculadora.
Área del cuadrado (m2)
Medida de un lado (m)
¿Exacta o aproximada?
Perímetro (4m)
49
7
10
2.83
3.46
12
2.44
6.93
13
29.58
59
exacta
exacta
aproximada
aproximada
exacta
aproximada
aproximada
exacta
aproximada
exacta
28
100
8
12
144
6
48
169
875
3 481
m
40
11.31
13.86
48
9.80
27.71
52
118.32
236
Compara tus resultados de las actividades 1 y 2 con los de tus compañeros.
» Comenten cómo calcularon un lado del cuadrado con 875 m2 de área.
» Averigüen quién se aproximó más a 875 al multiplicar lado por lado.
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La medida de un lado de un cuadrado es la raíz cuadrada de su área. Calcular la raíz cuadrada de un
número n consiste en encontrar un número tal que multiplicado por sí mismo dé o se aproxime a n.
3. Busca con calculadora la manera más rápida para encontrar la raíz cuadrada de 14 780.
Anótala en tu cuaderno y compárala con la de tus compañeros.
4. Lee el problema y resuelve: Javier descubrió cómo obtener la raíz cuadrada de 14 780 con
calculadora. Presionó ciertas teclas y en la pantalla apareció este número: 121.5730233.
Verifica si a medida que se usan más cifras decimales, el resultado se acerca más a
14 780.
121 × 121 = 14 641
121.5 × 121.5 = 14 762.25
121.57 × 121.57 = 14 779.2649
121.573 × 121.573 = 14 779.994329
121.5730 × 121.5730 = 14 779.994329
121.57302 × 121.57302 = 14 779.99919
técnicas
121.573023 × 121.573023 = 14 779.999921 121.5730233 × 121.5730233 = 14 779.9999943023
m
Comenta en grupo: si aumentan más cifras decimales, ¿obtendrán exactamente 14 780?
5. Completa la tabla.
Número (n)
Número al cuadrado (n2)
Raíz cuadrada de n2
1
12 = 1
1
10
102 = 100
10
2.5
2.52 = 6.25
2.5
31
312 = 961
31
n
n2
n
Ya sabemos...
Multiplicar un número
por sí mismo es elevar
al cuadrado dicho
número. Por ejemplo,
5 por 5 es lo mismo
que 5 al cuadrado y se
representa 5 × 5 = 52.
La operación de extraer raíz cuadrada se representa con el símbolo √. Por ejemplo: √3 528.
√9 = 3
√25 = 5
√2 = 1.4142…
6. Resuelve el problema: se quieren plantar árboles alrededor de un terreno cuadrado de
una hectárea (1 ha) a 4 m uno del otro. ¿Cuántos árboles se necesitarán? (se plantará
un árbol en cada vértice, recuerda que 1 ha equivale a 10 000 m2). 100
m
Comenta, en grupo, la relación que existe entre las operaciones “sacar raíz cuadrada” y “elevar al cuadrado”. Comparen sus resultados de las actividades 3, 4, 5 y 6.
Una operación es inversa de la otra.
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5
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen el cálculo de la
raíz cuadrada (diferentes
métodos) y la potencia
de exponente natural
de números naturales y
decimales.
Secuencia 3 / lección 101
Raíces cuadradas
1. Lee la información y responde.
Una técnica para obtener la raíz cuadrada es la de ensayo y error, que usaste en la lección
anterior. Consiste en encontrar un número que multiplicado por sí mismo dé el número al
que se quiere extraer raíz cuadrada o se acerque a él. Por ejemplo, para encontrar √3 857,
podemos hacer lo siguiente.
» 100 × 100 = 10 000. Entonces el número buscado es menor que 100.
» 50 × 50 = 2 500. Entonces el número buscado es mayor que 50.
» 60 × 60 = 3 600. Entonces el número buscado es mayor que 60.
a) ¿Piensas que el número buscado sea mayor que 70?
b) ¿Y mayor que 65?
¿Por qué? Porque 652 = 4 225.
No.
c) ¿Cuál es el número buscado, sin parte decimal?
62
¿cuánto le falta al producto para llegar a 3 857?
Al multiplicarlo por sí mismo,
13
d) ¿Cuál es el número buscado, con una cifra decimal?
técnicas
R. T. No.
62.1
2. Completa la tabla. El radicando es el número al que se sacará la raíz cuadrada.
Radicando (n)
Raíz cuadrada de n
sin parte decimal
Resto
Relación entre n, su raíz
cuadrada y el resto
Convivimos
8
2
4
8=2×2+4
Estamos
acostumbrados a que
el profesor nos diga si
nuestras respuestas
son correctas. Es
importante cambiar
esa costumbre y asumir
la responsabilidad de
aprender a argumentar
y explicar a otros
cómo resolvimos
un problema y por
qué consideramos
que estamos bien,
y, de igual forma,
aceptar que estamos
equivocados cuando
otros compañeros nos
lo hagan ver.
18
4
2
18 = 4 Í 4 + 2
81
9
0
80 = 9 Í 9
740
27
11
740 = 27 Í 27 + 11
400
20
0
400 = 20 Í 20
4 520
67
31
4 520 = 67 Í 67 + 31
35 827
189
106
35 827 = 189 Í 189 + 106
250 000
500
0
25 000 = 500 Í 500
m
Compara tus resultados de las actividades 1 y 2 con los de tus compañeros. Corrijan lo que
sea necesario.
250
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3. Analiza, en grupo y con ayuda del profesor, el siguiente procedimiento y haz lo que se
indica. Este procedimiento es útil cuando el cálculo mental no es suficiente o cuando
no se dispone de calculadora.
Paso 1. El radicando (en el ejemplo es
54 271.24) se separa en grupos de dos cifras,
tanto a la izquierda como a la derecha del punto
decimal.
A la extrema izquierda del punto decimal puede
quedar un grupo de una cifra (5, en el ejemplo).
A la derecha del punto solo puede haber grupos
de dos cifras. Si es necesario se agrega un 0.
Paso 2. La primera cifra de la raíz (2) es la raíz
cuadrada del primer grupo (en este caso, la de
5). Esta cifra se eleva al cuadrado y se resta al
primer grupo.
Paso 3. Se baja el siguiente grupo de cifras (42) y
se duplica(n) la(s) cifra(s) de la raíz ya encontrada(s)
(en este caso, quedaría 4).
Paso 4. La siguiente cifra de la raíz formará un
número con la(s) cifra(s) duplicada(s) en el paso
anterior (4) y se multiplicará por él: 41 × 1, 42 ×
2, 43 × 3, etc. El resultado debe acercarse lo más
posible a 142 sin rebasarlo.
5,42,71.24
5,42,71.24
–4
1
2
5,42,71.24
–4
142
2
5,42,71.24
–4
1 42
–1 29
13
23
4
43 × 3
Paso 5. Para encontrar las siguientes cifras de la
raíz se repiten los pasos 3 y 4. Se debe colocar el
punto decimal en la raíz cuando se baja el primer
grupo decimal.
a) Continúen el proceso y verifiquen que la raíz cuadrada, con una cifra decimal, sea 232.9
y el resto, 28.83.
b) Calculen las raíces cuadradas en su cuaderno con el procedimiento anterior.
» √237 15.39
m
» √5 428 73.67
» √246.49 15.7
Revisen, en grupo, los resultados. Corrijan, con el apoyo del profesor, lo que sea necesario.
Practica el cálculo de
raíces cuadradas en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-251
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5
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas que
impliquen el cálculo de la
raíz cuadrada (diferentes
métodos) y la potencia
de exponente natural
de números naturales y
decimales.
Secuencia 3 / lección 102
Crecimiento exponencial
1. Lee la situación y responde: Irma vive en un lugar donde las noticias se propagan rápidamente. Se puede esquematizar cómo lo hacen.
Primera etapa. Irma contó la noticia a tres personas.
Segunda etapa. Cada una la platicó a otras tres.
Tercera etapa. Cada una de estas nueve la comentó a otras tres.
a) ¿Cuántas personas oyeron la noticia en la quinta etapa?
243
b) Señala la operación que permite resolver la pregunta anterior.
» 3×3×3×3×3=
» 3+3+3+3+3=
» 5×3=
2. Responde las preguntas.
a) Si en vez de comenzar con tres personas en la primera etapa, Irma empezara con
cuatro, ¿cuántas sabrían la noticia en la quinta etapa? 1 024
b) ¿Y si lo hiciera con cinco?
3 125
Las multiplicaciones de factores iguales, como
2 × 2 × 2; 3 × 3 × 3 × 3; 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7; n × n × n × n;
se pueden expresar en forma exponencial: 23, 34, 76, n4.
El factor repetido es la base y el número que indica las veces que se repite es el exponente.
resolver
3. Lee la información y responde. Se sabe que ciertas bacterias pueden duplicar su número
cada 20 min.
a) A los 20 min de que se inicie el proceso con una bacteria, ¿cuántas habrá?
Dos
b) ¿Y después de una hora? Ocho
c) ¿En cuántas horas se formará una colonia de 512 bacterias? 3 h (180 min)
m
Compara tus resultados de las tres actividades de esta página con los del grupo.
252
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4. Encuentra la expresión equivalente, en la columna derecha, para las expresiones de la
izquierda. Anota la letra correspondiente.
a) 7 × 7 × 7 × 7
( d ) 47
b) 7 + 7 + 7 + 7
(b )7×4
c) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
( a ) 74
d) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4
(c )4×7
5. Responde las preguntas. Recuerda que un cubo tiene seis caras cuadradas iguales y su
volumen se calcula multiplicando el área de la base por la altura.
a) ¿Cuál es el área de la base del cubo?
b) ¿Cuál es su volumen?
16 cm2
64 cm3
4 cm
c) Si un cubo tiene 216 cm , ¿cuánto mide un lado de la base?
3
6 cm
Para calcular el área de un cuadrado, se eleva al cuadrado la medida de un lado. Para calcular la medida de un lado se extrae la raíz cuadrada del área.
Para calcular el volumen de un cubo, se eleva al cubo lo que mide un lado de la base, también llamado arista. Para calcular la medida de la arista, se saca la raíz cúbica del volumen.
6. Anota en los óvalos los números que faltan. En los esquemas se muestra lo que sucede
cuando un número se eleva a una potencia n y se extrae la raíz n.
elevar al cubo
elevar al cuadrado
7
49
64
4
elevar a la cuarta
5
Entra a la página de
[email protected] y descarga
la actividad de raíz
cuadrada.
extraer raíz cúbica
extraer raíz cuadrada
elevar a la n
625
2n
2
extraer raíz cuarta
extraer raíz n
7. Efectúa los cálculos. En el inciso d) aproxima hasta centésimos.
a) 34 = 81
b) 2.52 = 6.25
c) √289 = 17
d) √28 = 5.29
técnicas
253
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5
CONTENIDO
BLOQUE
Obtiene la regla general (en
lenguaje algebraico) de una
sucesión con progresión
aritmética.
Secuencia 4 / lección 103
Símbolos en lugar de palabras
En»el»bloque»1»describiste»con»palabras»la»regla»o»patrón»de»algunas»sucesiones.»En»esta»
secuencia»aprenderás»a»expresarlas»con»letras»y»símbolos»matemáticos.
1. Considera la sucesión de figuras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
a) Completa la tabla.
resolver
¿Cuántos círculos tendrá la figura a? ¿Y la m?,
¿y la p?
Figura
1
2
3
4
50
100
Círculos
3
6
9
12
150
300
b) Analiza y completa.
Si la figura 8 tiene 3 × 8 círculos y la 90, 3 × 90 círculos; la 1 000 tendrá
círculos, la 5 000 tendrá 3 Í 5 000 círculos, la figura n tendrá
3 Í 1 000
3 Í n o 3n círculos.
Cuando se usan letras, como n, no se usa × para la multiplicación porque se confunde con la letra x.
En matemáticas, en lugar de anotar 3 × n, se anota 3n, que significa “tres por n” o “tres veces n”.
2. Considera la sucesión de figuras y haz lo que se indica.
¿Cómo expresarías el
número de círculos de
la figura n + 1?
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
a) Completa la tabla. En la última columna anota cuántos círculos tendrá la figura n.
Figura
1
2
3
50
100
n
Círculos
4
7
10
151
301
3n + 1
b) ¿Cómo expresarías el número de círculos de la figura n + 1?
254
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3. Analiza cuántas sillas (puntos) se pueden poner alrededor de las mesas y completa la
tabla.
Núm. de mesas
1
2
3
4
20
100
n
Núm. de sillas
4
6
8
10
42
202
2(n + 1)
4. Completa la sucesión de números e inventa la de figuras.
Figura
1
2
3
4
20
100
n
Puntos
4
8
12
16
80
400
4n
Sucesión de figuras.
R. P. La primera figura debe tener cuatro objetos; la sucesión crece de 4 en
4. El enésimo término tendrá 4n objetos.
5. Compara tus resultados y procedimientos con los de tus compañeros. Pongan atención
a las expresiones en que utilizaron la letra n.
6. Completa la tabla.
comunicar
1
2
3
4
5
10
20
100
n
2
4
6
8
10
20
40
200
2n
5
10
15
20
25
50
100
500
5n
3
5
7
9
11
21
41
201
2n + 1
1
3
5
7
9
19
39
199
2n - 1
6
12
18
24
30
60
120
600
6n
Practica el cálculo de la
regla general de sucesiones en…
www.e-sm.com.mx/
SCM1-255
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CONTENIDO
BLOQUE
Obtiene la regla general (en
lenguaje algebraico) de una
sucesión con progresión
aritmética.
Secuencia 4 / lección 104
Construyendo sucesiones
1. Considera la siguiente sucesión.
5, 10, 15, 20, 25…
a) ¿Qué número está en el segundo lugar?
b) ¿Y en el quinto?
25
c) ¿Y en el centésimo?
500
d) ¿Qué número hay en el lugar 1 000?
e) ¿Y en el lugar n?
comunicar
10
5 000
5n
2. Haz lo que se indica.
a) Construye una sucesión donde el número que está en el lugar de la n se calcula con la
regla 2n + 3.
»» Anota los primeros cinco términos.
5
,
7
,
9
,
11
,
13
»» ¿Cómo los calculaste? Se multiplica el énésimo término por 2 y se le suma 3.
b) Considera una sucesión cuya regla para calcular el término que está en el lugar n es n + 4.
»» Anota los primeros cinco términos.
5
,
6
,
7
,
8
,
9
»» ¿Cómo los calculaste? R. T. Al lugar de cada término se le suma 4.
c) Inventa una sucesión de figuras con puntos que siga la regla 4n + 2.
resolver
Sucesión de figuras.
R. P.
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3. Completa la tabla.
m»
Una pista
Regla
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7n
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
n + 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
n–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2n + 10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
3n – 1
2
5
8
11
14
17
20
23
26
29
7n – 7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
n+5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
n+2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3n + 9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
7n + 4
11
18
25
32
39
46
53
60
67
74
Puedes hallar primero la sucesión con
números y luego la de
figuras.
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Lean y comenten lo siguiente.
Las expresiones como
n+6
3n
4n + 2
se llaman expresiones algebraicas. La letra puede tomar diferentes valores.
Cuando la expresión algebraica se usa para expresar el patrón de una sucesión, n representa el lugar que ocupa cualquier término. Por ejemplo, en la sucesión cuya expresión es 4n + 2, el término
que está en quinto lugar es 4 × 5 + 2 = 22.
Recuerda que, en expresiones algebraicas, no conviene usar el signo por (×) de la multiplicación,
pues se confunde con la letra x, por lo que
“3n” significa “3 por n” o “tres veces n”.
4. Propón tres reglas algebraicas de sucesiones, escríbelas en tu cuaderno y anota sus
primeros diez términos. Estas expresiones son llamadas reglas de sucesión.
257
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5
CONTENIDO
BLOQUE
Usa las fórmulas para
calcular el perímetro y
el área del círculo en la
resolución de problemas.
Secuencia 5 / lección 105
Circulando
En»el»bloque»4»estudiaste»fórmulas»para»calcular»el»perímetro»y»el»área»del»círculo.»»
En»esta»secuencia»aplicarás»estas»fórmulas»para»resolver»problemas.
1. Una bicicleta tiene ruedas de 60 cm de diámetro.
a) ¿Cuántos metros recorre cuando las ruedas
dan una vuelta? 1. 884 m
Ya sabemos...
b) Completa la tabla.
La medida de la circunferencia se calcula
multiplicando π por la
medida del diámetro.
c) Haz la gráfica correspondiente en papel
milimétrico.
Vueltas
de la rueda
Distancia
recorrida
(m)
2
3.768
3.5
6.594
4
7.536
5
9.42
10
18.84
35
65.94
100
188.40
d) ¿Es una relación de proporcionalidad? Sí.
validar
¿Cómo lo sabes? R. T. Porque al doble le toca el doble; al triple, el triple; etc.
2. Un automóvil tiene llantas con un radio de 0.29 m.
a) Cuando el automóvil recorre 10 km, ¿cuántas vueltas han dado sus llantas?
5 488
b) ¿Cuántos kilómetros avanza cuando sus llantas dan 1 000 vueltas? 1.822 km
resolver
3. Las ruedas también sirven para medir longitudes: al centro de una rueda de madera
se le sujeta un palo de modo que pueda girar al deslizarla por una superficie. La rueda
tiene una marca para saber cuándo ha dado una vuelta.
a) Para que una rueda avance 1 m cada vez que da una vuelta, ¿cuánto debe medir su
radio? 15.9 cm
b) ¿Y para que avance 1.5 m? 23.9 cm
c) Se midió la distancia entre dos árboles con una rueda de
32 cm de radio. La rueda dio ocho vueltas. ¿Qué distancia hay
entre los árboles? 16.08 m
m»
Comenta con tus compañeros cómo resolviste estos problemas.
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4. Haz lo siguiente.
a) Mide el diámetro de los círculos. Observa que el diámetro del círculo grande mide el doble que el del pequeño.
Recuerda cómo calcular
el área y perímetro del
círculo en…
b) ¿Cuántas veces mayor será el perímetro del círculo grande en comparación con el del pequeño? Dos.
¿Cuántas veces mayor será el área?
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SCM1-259
Cuatro.
c) Calcula el perímetro y área en cada caso y anota tus conclusiones.
Círculo grande
Ya sabemos...
Círculo pequeño
A1 =
8.04 cm2
A2 =
32.16 cm2
P1=
5.075 cm
P2=
10.05 cm
El área de un círculo se
calcula multiplicando
π por el cuadrado del
radio.
Conclusión: si el diámetro de un círculo aumenta al doble, ¿su perímetro también?
Sí.
¿Y su área?
No.
técnicas
5. Completa la tabla. Usa calculadora.
Radio (cm)
1
2
4
8
10
Perímetro
6.28 cm
12.56 cm
25.12 cm
50.24 cm
62.8 cm
4
8
Radio (cm)
Área
1
2
3.14 cm2
12.56 cm2
50.24 cm2 200.96 cm2
10
314 cm2
a) Elabora la gráfica correspondiente a cada tabla en papel milimétrico.
comunicar
b) ¿El perímetro de un círculo es proporcional a su radio? Sí.
¿Cómo lo sabes? R. P.
c) ¿El área de un círculo es proporcional a su radio? No.
¿Cómo lo sabes? R. P.
6. Para barnizar una tabla cuadrada de 1 m de lado, se usaron __34 l de barniz.
Para barnizar una mesa circular de 1 m de diámetro, ¿se utilizará más de __34 l o menos?
Menos.
¿Cómo lo sabes? Un círculo de 1 m de diámetro tiene menor
área que un cuadrado de 1 m de lado.
¿Cuánto barniz se usará en la mesa circular? 0.589 l
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5
CONTENIDO
BLOQUE
Usa las fórmulas para
calcular el perímetro y
el área del círculo en la
resolución de problemas.
Secuencia 5 / lección 106
De vuelta en la pizzería
1. Los clientes de una pizzería pidieron lo siguiente.
En la mesa 1 había cuatro personas y pidieron una pizza mediana.
En la mesa 2 había seis personas y pidieron una
pizza grande.
resolver
24 cm
Pizza
mediana
Pizza
grande
30 cm
En la mesa 3 había dos personas y pidieron una pizza chica.
Pizza
chica
20 cm
En cada mesa se repartieron la pizza en partes iguales.
a) ¿En qué mesa le correspondió más pizza a cada persona? En la 3.
b) ¿Qué cantidad recibió cada persona en las tres mesas?
Mesa 1:
Mesa 2:
113.09 cm2
117.81 cm2
Mesa 3:
157.07 cm2
2. Los costos de las pizzas son los siguientes.
Pizza
Costo
chica
$49.00
mediana
$69.00
grande
$89.00
a) ¿En qué tipo de pizza sale más caro el centímetro cuadrado? En la chica.
b) ¿Cómo lo averiguaste? R. T. Dividí el costo de cada pizza entre su área.
validar
m»
Comenta con tus compañeros cómo resolviste estos problemas.
260
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3. La pizza grande se colocó en un plato con la medida indicada.
40 cm
a) ¿Qué parte del plato queda sin cubrir?
549.78 cm2
b) Escribe el procedimiento con el que lo supiste. R. P.
4. En otra pizzería se venden pizzas de los siguientes tamaños.
25 cm
Pizza
mediana
$25.00
35 cm
Pizza
grande
$49.00
a) El dueño quiere que el costo de las pizzas sea proporcional a su área. Anota el precio de
la grande en el recuadro.
m»
Comenta con tus compañeros cómo resolviste las actividades 3 y 4.
261
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5
CONTENIDO
BLOQUE
Usa las fórmulas para
calcular el perímetro y
el área del círculo en la
resolución de problemas.
Secuencia 5 / lección 107
Más sobre círculos y circunferencias
1. Obtén el área coloreada en cada figura. Toma las medidas necesarias. Puedes usar
calculadora.
Ya sabemos...
El área del rombo se
calcula multiplicando
la medida de sus diagonales y dividiendo
entre 2 el producto.
resolver
3.4336 cm2
11.78097 cm2
2. Considera la siguiente pista circular para
correr.
8.5663 cm2
64 m
a) ¿Cuántos metros menos corre quien
va más cerca del pasto?
31.4 m
Pasto
b) Si se conserva el ancho de la pista,
pero el diámetro del círculo con pasto
es de 100 m, ¿cuál es la respuesta de
la pregunta anterior?
5m
31.4 m
Ya sabemos...
El perímetro del círculo se calcula con la
fórmula P = π × d.
El área del círculo se
calcula con la fórmula
A = π × r 2.
3. Doña Luisa hace manteles individuales de tela y les pone listón en el contorno. En cada
caso, calcula la cantidad mínima de tela y de listón que utiliza para cada tipo de mantel.
Puedes usar calculadora.
a)
20 cm
Tela: 914.16 cm2
Listón: 122.8 cm
30 cm
262
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b)
Tela: 800 cm2
20 cm
Listón:
120
cm
40 cm
c)
5 cm
10 cm
20 cm
Tela: 578.5 cm2
Listón:
91.4 cm
30 cm
d)
Tela: 863.68 cm2
24 cm
Listón: 175.84 cm
40 cm
»» ¿En qué diseño empleará más tela? En el a).
»» ¿En cuál empleará más listón? En el d).
»» Explica cómo calculaste la cantidad de tela y de listón para el inciso d).
validar
R. P.
m»
Compara con el grupo tus respuestas de las actividades 2 y 3. Si las estimaciones que hiciste
del 1 fueron buenas, comenta a tus compañeros qué estrategia usaste.
Entra a la página de
[email protected] y descarga la
actividad sobre el área
del círculo.
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5
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas de
proporcionalidad múltiple.
resolver
Secuencia 6 / lección 108
Depende de varias magnitudes I
Ya conoces situaciones en las que una magnitud depende de otra. En esta secuencia
estudiarás casos en los que una magnitud depende, al mismo tiempo, de dos o más
magnitudes. Por ejemplo, el consumo total de agua de un grupo de personas durante
cierto tiempo depende de lo que cada una beba, del número de individuos y de la
cantidad de tiempo.
1. Resuelve, con un compañero, el siguiente problema.
La señora Martínez alquila su rancho a grupos de personas. Como le surten el
agua en pipa únicamente cuando la solicita, debe prever cuánta necesitará.
El año pasado, un grupo de ocho personas permaneció en la casa durante
diez días y consumió 4 000 l de agua.
Si este año recibirá a un grupo de 24 personas durante 20 días y el consumo diario de cada uno es, en promedio, igual al del año pasado, ¿cuánta
agua necesitará?
24 000 l
m
Comparen su respuesta con la de sus compañeros. Revisen si siguieron distintos
procedimientos.
2. Averigüen cuánta agua se necesitaría en los casos que se indican.
a) 8 personas durante 10 días:
b) 16 personas durante 10 días:
8 000 l
c) 24 personas durante 10 días:
12 000 l
d) 32 personas durante 10 días:
16 000 l
e) 8 personas durante 20 días:
8 000 l
f ) 8 personas durante 30 días:
12 000 l
400 l
g) 8 personas durante 1 día:
h) 1 persona en un día:
50 l
i) 10 personas durante 18 días:
m
4 000 l
9 000 l
Comparen sus resultados. Revisen si usaron distintos métodos para calcularlos.
264
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3. Anota los resultados y completa la tabla de doble entrada. Deja en blanco la última fila
y la última columna.
Personas
Días
1
8
10
16
24
1
50 l
400 l
500 l
800 l
1 200 l
1 600 l
50m
8
400 l
1 200 l
4 000 l
6 400 l
9 600 l
12 800 l
400m
10
500 l
4 000 l
5 000 l
8 000 l
12 000 l
16 000 l
500m
18
900 l
7 200 l
9 000 l
14 400 l
21 600 l
28 800 l
900 m
20
1 000 l
8 000 l
10 000 l 16 000 l 24 000 l 32 000 l
1 000m
30
1 500 l
1 200 l
15 000 l 24 000 l 36 000 l 48 000 l
1 500m
n
50n
400n
500 n
800n
32
1 200n
1 600n
m
50nm
4. Resuelve, en equipo, los problemas.
a) Si 15 personas consumieron 4 500 l de agua, ¿cuántos días estuvieron en el rancho?
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[email protected] y descarga la
actividad de proporcionalidad múltiple.
Seis.
b) ¿Cuánta agua consumiría una persona en n días?
50n l
c) ¿Cuánta agua consumirían ocho personas en n días? 400n l
d) Llenen el renglón correspondiente a n días. Por ejemplo, en la casilla del consumo de
diez personas anoten 500n, puesto que diez personas consumirían, en n días, 500 l de
agua.
e) Llenen la columna correspondiente a m días. Por ejemplo, en la casilla de 18 días escriban 900m.
f ) Encierren, de las siguientes expresiones, la que denota el consumo de agua de m personas en n días. Debe ir en la casilla del extremo inferior derecho de la tabla.
» m + 50n
m
» 50mn
» mn + 50
» mn
Una pista
Diez personas necesitan, durante un día,
500 l de agua. Diez
personas requieren,
durante n días, n veces
esa cantidad, es decir,
500 n.
Comparen sus resultados con los de otros equipos y comenten lo siguiente.
En el problema anterior, el consumo de agua es proporcional a dos magnitudes: número de estudiantes, cuando la cantidad de días es constante, y número de días, cuando la cantidad de
estudiantes es constante.
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5
contenido
BLOQUE
Resuelve problemas de
proporcionalidad múltiple.
Secuencia 6 / lección 109
Depende de varias magnitudes II
1. Resuelve los problemas.
resolver
a) En un taller, tres costureras confeccionan, en equipo, 30 uniformes en una semana.
Si una escuela solicita 1 200 uniformes, ¿cuántas semanas tardará el equipo de
costureras en hacer el pedido?
40
b) La escuela requiere los uniformes en, máximo, diez semanas. En el taller deciden contratar a otras costureras para formar más equipos de tres. Suponiendo que todos los
equipos trabajan a la misma velocidad, ¿cuántos se necesitarán para entregar el
pedido en ese tiempo? Cuatro. ¿Cuántas costureras en total se requerirán? Doce.
c) Completa la tabla.
1 equipo
1 semana
Convivimos
Una buena actitud
hacia el estudio de
las matemáticas es
que, cuando hayas
resuelto un problema,
te preguntes: “¿Cómo
puedo comprobar si
estoy bien?, ¿será la
única solución?, ¿habrá
otras soluciones?,
¿habrá otras maneras
de resolverlo diferentes
a la que yo usé?”.
30 uniformes
4 equipos
8 equipos
m equipos
120 uniformes 240 uniformes 30m uniformes
5 semanas
150 uniformes 600 uniformes 1 200 uniformes 150m uniformes
10 semanas
300 uniformes 1 200 uniformes 2 400 uniformes 300m uniformes
___
15 semanas
450 uniformes 1 800 uniformes 3 600 uniformes
n semanas
30n uniformes
120n uniformes
450m uniformes
240n uniformes 30mn uniformes
2. Trabaja en equipo. Comparen sus resultados e identifiquen distintas maneras de obtenerlos. Observen que el dato que pusieron en la última casilla de la columna derecha
es la fórmula para obtener la cantidad de uniformes a partir del número de equipos
y de semanas.
m
Comenten la siguiente información.
El número de uniformes es proporcional al de equipos cuando la cantidad de semanas es fija, y proporcional al de semanas cuando la cantidad de equipos es fija.
Las situaciones en que esto ocurre se denominan situaciones de proporcionalidad múltiple o de
proporcionalidad compuesta.
266
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3. La primera fila y la primera columna de la tabla contienen la medida de los lados de
distintos rectángulos. En las otras casillas se indica su área. Completen la tabla.
Lado a
m cm
2 cm
5 cm
6 cm2
15 cm2
30 cm2
3m cm2
20 cm2
50 cm2
100 cm2
10m cm2
15 cm
30 cm2
75 cm2
150 cm2
15m cm2
n cm
2n cm2
5n cm2
10n cm2
mn cm2
Lado b
3 cm
10
cm
10
cm
4. Hagan, con ayuda del profesor, lo siguiente.
Identifica los ejemplos
en que haya magnitudes dependientes de
otras.
» El volumen de un
prisma
» El costo de una mudanza
» El consumo de gasolina de un vehículo
» El tiempo que tarda
un depósito de
agua en llenarse (o
vaciarse)
a) Comparen sus respuestas y verifiquen que el dato de la casilla inferior derecha corresponda a la fórmula del área del rectángulo.
b) Comenten la siguiente información.
El área del rectángulo es proporcional a uno de sus lados cuando el otro lado se
mantiene constante.
c) Escriban por qué es una relación de proporcionalidad. Si un lado se mantiene cuando
comunicar
el otro crece o decrece, el área del rectángulo lo hace en igual proporción.
5. Resuelve los problemas y ejemplifica con rectángulos cada caso.
a) Si se duplican la longitud y el ancho de un rectángulo, ¿cuántas veces aumenta el área?
Cuatro.
b) La longitud de un rectángulo se duplicó y el ancho se triplicó. ¿Cuántas veces aumentó
el área?
Seis.
c) La longitud de un rectángulo se duplicó, pero el ancho se mantuvo igual. ¿Cuántas
veces creció el área?
Dos.
d) Si se quiere triplicar el área de un rectángulo, ¿qué debe hacerse con los lados?
Triplicar el ancho y mantener la longitud.
m
Practica la proporcionalidad múltiple en…
www.e-sm.com.mx/
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Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
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Las matemáticas en...
La sucesión de Fibonacci
Observa la siguiente sucesión de figuras. Está formada por cuadrados de distintos
tamaños. En cada uno se indica la longitud de sus lados (en unidades).
8
5
1
3
2
1
Completa la tabla.
Cuadrado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Medida de cada
lado (unidades)
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
13
14
233 377
Explica cómo agregaste más términos a la sucesión 1, 1, 2, 3, 5…
Sumé los dos últimos términos de la sucesión.
La sucesión 1, 1, 2, 3, 5… se conoce como sucesión de Fibonacci y proviene del libro Liber
Abaci, escrito por el matemático italiano Leonardo Fibonacci y publicado en 1202. Ahí, él
explica cómo hacer operaciones con los números indoarábigos. En esa época, se utilizaban en
Europa los números romanos, por lo que esta obra contribuyó a que se conociera el sistema
de numeración que usamos actualmente.
Los cuadrados que te presentamos al inicio sirven para dibujar una espiral. Observa.
8
13
2 11
5
3
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Esta espiral se llama espiral logarítmica y desde hace mucho tiempo ha fascinado a los matemáticos. Las espirales aparecen con frecuencia en la naturaleza.
Girasol
Romanesca
Huracán
Nautilo
Las plantas tiene sus hojas, ramas y pétalos distribuidos de tal manera que absorben el máximo posible de luz solar. Se han encontrado girasoles que tienen 55 espirales en un sentido y
89 en otro, dos números que están en la sucesión de Fibonacci.
En Liber Abaci se plantean muchos problemas aritméticos. Resuelve dos de ellos.
1. Un hombre viaja por cinco ciudades con 100 monedas para sus gastos. En cada ciudad
gasta __15 de su dinero.
Responde sin hacer cálculos. Aproximadamente, ¿cuánto dinero le sobró?
Ahora verifica con calculadora. ¿Cuánto dinero le sobró?
32.7 o 0
30 o 0 (según se entienda la
pregunta: si en cada ciudad
1
1
gasta __
del total o __
de lo
5
5
que le queda).
2. Dos hombres encuentran una bolsa con monedas. El primero le dice al segundo: “Si me
quedo con las monedas de la bolsa tendré tres veces más monedas que tú”. El otro hombre
le responde: “Si me quedo con la bolsa tendré cuatro veces más monedas que tú”.
Encuentra cuántas monedas tiene cada uno y cuántas hay en la bolsa.
Una respuesta es que el primer hombre tiene cuatro monedas; el segundo,
cinco. El saco contiene once monedas.
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Evaluación
(TIPO ENLACE)
BLOQUE 5
Selecciona la opción correcta.
1. Completa la tabla, de manera que las operaciones en las filas y columnas sean correctas.
¿Qué número va en la esquina inferior derecha?
15
–
+
-2
a) 24
=
18
=
-6
=
12
+
–
=
13
-3
+
4
=
–
b) 12
=
1
c) –12
d) 24
2. Los astrónomos estiman que la edad del universo es 1.4 × 1010 años, aproximadamente.
¿Qué opción corresponde a esta cantidad?
a) 14 millones de años
b) 140 millones de años
c) 1 400 millones de años
d) 14 000 millones de años
3. El diámetro de algunos virus es 0.00002 mm, aproximadamente. ¿Cómo se escribe esta
cantidad en notación científica?
a) 2 × 10-6
b) 2 × 10-5
c) 2 × 105
d) 2 × 106
4. El área del cuadrado grande es de 25 unidades cuadradas y la del pequeño, es de 13.
¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado pequeño?
a) 16 unidades
b) 14.4 unidades
c) 13.8 unidades
d) 12 unidades
5. Los primeros términos de una sucesión son 6, 9, 12, 15… ¿Cuál es la expresión algebraica
de la regla que la genera?
a) 6n + 6
b) 3n + 6
c) 6n + 3
d) 3n + 3
6. La expresión algebraica de una sucesión numérica es 7n + 2. ¿Cuál es el vigésimo término
de la sucesión?
a) 20
b) 22
c) 140
d) 142
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7. Se utilizó una cuerda de 7 m para amarrar una vaca a la esquina de un corral
cuadrado de 10 m de lado. ¿En qué área
puede caminar la vaca?
a) 70 m2
c) 38.5 m2
10 m
b) 49 m2
d) 24.5 m2
10 m
10 m
vaca
10 m
8. Una pista de carreras está formada por dos rectas y dos semicircunferencias. El ancho de la
pista es de 50 m y la longitud es de 400 m. ¿Cuánto mide aproximadamente cada recta?
50 m
a) 157.5 m
b) 133.5 m
c) 121.5 m
d) 112.5 m
9. Un viajero camina 5 h diarias durante 20 días; en total recorre 620 km. ¿En qué situación
recorrerá la misma distancia?
a) Camina 10 h diarias a la misma velocidad durante 40 días.
b) Camina 5 h diarias al doble de velocidad durante 20 días.
c) Camina 10 h diarias al doble de velocidad durante 10 días.
d) Camina 10 h diarias a la mitad de velocidad durante 20 días.
10. Mario organizó un campamento de dos días con tres amigos. Calculó que 24 l de agua
serán suficientes. ¿Cuántos litros deben llevar si invitan a otros dos amigos y se quedan
un día más?
a) 72 l
b) 54 l
c) 48 l
d) 36 l
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Evaluación
(TIPO PISA)
BLOQUE 5
Pongo en juego mis competencias
El tamaño de los mamíferos: ¿enorme o diminuto?
El tamaño de un animal es difícil de definir pues atiende a distintas características: peso,
longitud, envergadura, etc. Ya viste, en la entrada de bloque, que la ballena azul con sus
30 m de longitud y 180 t no solo es el mayor mamífero vivo, sino el animal más grande
que ha existido en nuestro planeta si se considera la masa corporal.
Entre los mamíferos terrestres actuales el elefante africano es el mayor; el máximo
tamaño registrado fue el de un ejemplar capturado en Angola en 1974 que medía
4.2 m de alto, 10.6 m de largo y pesaba 12.2 t.
En el otro extremo nos encontramos a la musaraña etrusca, de la que se han encontrado
especímenes de entre 3.6 cm y 5.2 cm. Otro mamífero minúsculo es el murciélago de
Tailandia, con 4 cm de envergadura y 2 g de tamaño medio.
Pregunta 1. Completa la tabla con la equivalencia en peso de la ballena azul, el elefante africano, el
murciélago y la musaraña.
Pregunta 2. Expresa en toneladas y con notación científica el peso de un murciélago de Tailandia. ¿Consideras
que la tonelada es una unidad conveniente para expresar este dato?
Pregunta 3. El elefante africano necesita comer diariamente alrededor de 200 kg de diferentes vegetales.
Si vive cerca de 70 años, ¿qué cantidad habrá consumido durante su vida? Expresa el resultado
en notación científica.
Pregunta 4. El mamut se extinguió hace 9 000 años aproximadamente; era uno de los mamíferos más
grandes y habitó distintas regiones del planeta. La especie columbi ocupó gran parte de América
del Norte en un periodo entre 120 000 y 9 000 años en el pasado. Investiga en Internet sobre
los distintos tipos de mamuts y calcula cuántas veces mayor o menor, en masa y altura, es el
elefante africano actual comparado con ellos.
Dibuja sumas de números: ¿resultados enormes?
Geométricamente, la suma de los primeros números impares se
puede representar como en la figura de la derecha.
1
14.754
1
0.677
1
1
COMPETENCIAS
Comunicar información matemática
Validar procedimientos y resultados
Los números naturales se pueden considerar términos de una
progresión aritmética en que la diferencia entre dos consecutivos
siempre es 1. Su término general es an= 1+ (n – 1) ·1.
En el caso de los números impares, la sucesión comenzaría con el
número 1 y la diferencia sería 2, por lo que su término general sería
In = 1 + (n – 1) · 2.
COMPETENCIAS
Resolver problemas de manera autónoma
Manejar técnicas eficientemente
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
Pregunta 1. Indica, a partir del término general para la sucesión de números impares, qué números ocupan los lugares 49 y 150.
Pregunta 2. Observa la representación geométrica de la suma de los cuatro primeros números impares (el último cuadrado). Dibuja la suma de los
siete primeros números.
Pregunta 3. Indica, sin dibujar, cuál es la suma de los ocho primeros números.
272
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Y para
terminar...
¡Acertijos!
¿Qué número da el mismo
resultado cuando se divide
entre 6 que cuando se le restan 6?
Un balón pesa medio kilogramo
más la mitad de su propio peso.
¿Cuánto pesa?
Entre padre e hijo tienen 55 años.
Las edades de ambos utilizan las
mismas cifras pero expresadas
al revés, ¿cuánto años tiene cada uno?
La cabeza de un pez mide 9 cm
de largo. La cola mide la longitud de
la cabeza más la mitad del cuerpo.
El cuerpo mide igual que la cabeza,
más la cola. ¿Cuánto mide todo el pez?
Éric y Dany juegan a las canicas.
Si Éric gana la siguiente canica
tendrá la misma cantidad de
canicas que Dany, si Dany gana la
que sigue tendrá el doble que Éric .
¿Cuántas canicas tiene cada uno
en este momento?
María midió con una vara la
altura de Emilio; midió 6 varas.
Juan tiene una vara que es
2
la de María. Con la vara de
3
Juan, ¿cuánto mide Emilio?
6
5
4
3
2
1
273
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Glosario
Altura de un triángulo: segmento que parte de un vértice de un triángulo y es perpendicular
al lado opuesto a ese vértice.
Ángulo central de un polígono regular: ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia
que circunscribe al polígono y cuyos lados van a dos vértices consecutivos del polígono.
Ángulo interno de un polígono: ángulo que forman dos lados consecutivos de un polígono
y se encuentra dentro de él.
Ángulo externo de un polígono: ángulo que se forma por uno de los lados de un polígono
y la prolongación de otro. Se ubica fuera del polígono.
Baricentro: punto donde se cortan las medianas de un triángulo. También recibe el nombre
de centro de gravedad.
Bisectriz de un ángulo: recta que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide en dos partes
iguales.
Circuncentro: punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo. Es el centro de la
circunferencia circunscrita.
Circunferencia circunscrita: circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono.
Circunferencia inscrita: circunferencia que toca en un punto todos los lados de un polígono.
Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Divisibilidad: un número entero b es divisible entre un número entero a (distinto a 0) si la
división __ba es exacta.
Divisor: todo número entero que puede dividir otro número sin arrojar residuo.
Exponente: número o expresión algebraica que denota a qué potencia se eleva otro número
u otra expresión y se coloca en la parte superior a la derecha.
Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un dato.
Frecuencia relativa: resultado de dividir la frecuencia absoluta de un dato entre el total de
datos.
Gráfica circular: gráfica en que los datos se representan con sectores circulares cuyo ángulo
central es proporcional al valor que representa.
Gráfica de barras: gráfica formada por un conjunto de barras dibujadas sobre un sistema
de dos ejes, uno horizontal y otro vertical. La longitud de las barras es proporcional al dato
que representan.
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Incentro: punto donde se cortan las bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.
Incógnita: en matemáticas, número desconocido de antemano que constituye una solución
de un problema matemático representado con una ecuación.
Máximo Común Divisor (MCD): mayor número natural que divide a un grupo de números
sin dejar residuo.
Mediana: segmento que va de un vértice de un triángulo al punto medio del lado opuesto a
ese vértice.
Mediatriz de un segmento: recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a este.
Mínimo común múltiplo (mcm): menor número natural que es múltiplo de un grupo de números.
Múltiplo: los múltiplos de un número natural a se obtienen multiplicando a por cualquier
número natural: a, 2a, 3a, etcétera.
Números compuestos: aquellos que tienen más de dos divisores.
Números pares: todos los múltiplos de 2. Se identifican porque su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8.
Números primos: aquellos que tienen solo dos divisores (1 y el mismo número).
Ortocentro: punto donde se cortan las alturas de un triángulo.
Polígono regular: polígono cuyos lados y ángulos internos miden lo mismo.
Proporción: igualdad entre dos razones.
Reparto proporcional: dadas unas cantidades a, b, c, etc., y una cantidad S por repartir, el
reparto es proporcional si las partes repartidas son proporcionales a las cantidades a, b, c…
Sucesión aritmética: secuencia de números en la que cada elemento se puede obtener
sumando a este una cantidad constante.
Sucesión geométrica: secuencia de números en la que cada elemento se puede obtener al
multiplicar el anterior por una cantidad constante.
Triángulo acutángulo: aquel que tiene solo ángulos agudos, es decir, de menos de 90º.
Triángulo obtusángulo: aquel que tiene un ángulo obtuso, es decir, de más de 90º y menos de 180º.
Triángulo rectángulo: aquel que tiene un ángulo recto, es decir, de 90º.
275
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Bibliografía
Para el alumno
» Bosh, C. y Gómez, C. (2003). Una ventana a las formas. Biblioteca Juvenil Ilustrada. México:
Santillana.
» Enzensberger, H. M. (1997). El diablo de los números. Madrid: Siruela.
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» VanCleave, J. (1997). Matemáticas para niños y jóvenes. México: Limusa.
Material videográfico
» Donald en el país de las matemáticas. Clásicos de Disney. México: Grupo Video Visa.
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Enlaces web recomendados (fecha de consulta: enero de 2012)
Guía Interactiva para Secundaria. Apoyo al estudio de Español y Matemáticas
basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html
Descartes. Materiales didácticos interactivos para el aprendizaje de las matemáticas
recursostic.educacion.es/descartes/web/
Cuéntame. Página del Instituto Nacional de Estadística y Geografía
cuentame.inegi.org.mx/
Para practicar operaciones y cálculos
www.aplicaciones.info/calculo/calculo.htm
Ejercicios prácticos. Evaluaciones en línea
aulavirtual.inaeba.edu.mx/ejercicios_practicos/paginas/ejercicios_sec_mate.html
Matechavos. Proyecto para la enseñanza de las matemáticas asistida por computadora
arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/matechavos/html/index.html
Matemáticas divertidas. Juegos interactivos
www.matematicasdivertidas.com/Zonaflash/zonaflash.html
Matemáticas sin números. Pagina de la Red Escolar del ilce para aprender matemáticas
redescolar.ilce.edu.mx/educontinua/mate/lugares.htm
Materiales educativos para Telesecundaria. Libros digitales, videos e interactivos
telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/mat_edu/mat_edu_01.php
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Bibliografía
Unidades didácticas interactivas para Telesecundaria. Matemáticas 1
arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/1_primero/1_Matematicas/index.
html
Recursos interactivos sobre medida, fracciones y decimales
www.juntadeandalucia.es/averroes/averroes/html/adjuntos/2007/12/05/0005/indice.
htm
Actividades interactivas para repasar, practicar y consolidar los conocimientos
www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/andared02/refuerzo_matematicas/indicemate.htm
Para el profesor
» Alarcón, J. y Barrón, H. (2001). La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria.
Guía de estudio y lecturas. México: sep.
» Alarcón, J.; Bonilla, E.; Nava, R.; Rojano, T. y Quintero, R. (2001). Libro para el maestro.
Matemáticas. Educación Secundaria. México: sep.
» Ávila, A. y García Peña, S. (2008). Los decimales: más que una escritura. Materiales para
apoyar la práctica educativa. México: inee.
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» Chevallard, Y.; Bosch, M. y Gascón, J. (2000). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre
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» Espinosa, H.; García, S. y García, M. (2000). Fichero de actividades didácticas. Matemáticas.
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» Fonseca Cárdenas, M. T.; Garmendia Guerrero, D.; Licea García, M. R. y Mancera Martínez, E. (2008). PISA en el aula: Matemáticas. Materiales para apoyar la práctica educativa.
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México: sep.
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Bibliografía
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Enseñanza de las matemáticas con tecnología. México: sep.
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Bibliografía consultada
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en la escuela primaria (tesis). Departamento de Investigaciones Educativas del Centro de
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» Fernández, M. et al. (1996). Circulando por el círculo. Madrid: Síntesis.
» Godino, J. y Batanero, M. (1996). Azar y probabilidad. Madrid: Síntesis.
Enlaces web recomendados (fecha de consulta: enero de 2012)
Página de la Reforma de la Educación Secundaria
www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/index.htm
Habilidades Digitales para Todos. Plataforma educativa con materiales digitales
www.hdt.gob.mx/hdt/
Guía Interactiva para Secundaria. Apoyo al estudio de Español y Matemáticas
basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html
Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales. Colección de aplicaciones interactivas
para apoyar el aprendizaje de las matemáticas
nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html
Descartes. Materiales didácticos interactivos para el aprendizaje de las matemáticas
recursostic.educacion.es/descartes/web/indice_ud.php
recursostic.educacion.es/descartes/web/indice_miscelanea.php
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Bibliografía
DivulgaMAT. Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas de la Real Sociedad
Matemática Española
www.divulgamat.net/
Educar Chile. Objetos Digitales de Aprendizaje. Cuenta con el apoyo del Ministerio de
Educación de Chile
www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/verContenido.aspx?ID=186119
Consejo Nacional de Educación para la Vida y el Trabajo. Ejercicios interactivos de
matemáticas
www.conevyt.org.mx/index.php?option=com_content&view=article&id=494&Itemid=968
Matechavos. Proyecto para la enseñanza de las matemáticas asistida por computadora
arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/matechavos/html/index.html
Eduteka. Portal educativo con contenidos para docentes y directivos para enriquecer los
ambientes escolares con el uso de las tic
www.eduteka.org
Eduteka. Simulaciones de matemátic-as y física
www.eduteka.org/instalables.php3
Proyecto Cifras. Internet en el Aula. Ministerio de Educación de España
recursostic.educacion.es/primaria/cifras/web/
Proyecto Gauss. Internet en el Aula. Ministerio de Educación de España
recursostic.educacion.es/gauss/web/indice.htm
Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora.
Instituto de Matemáticas de la unam
puemac.matem.unam.mx
Junta de Andalucía. Consejería de Educación. Banco de recursos
www.juntadeandalucia.es/averroes/averroes/impe/web/
portadaRecursosEducativos?pag=/contenidos/B/BancoDeRecursos/
Red Escolar ilce
redescolar.ilce.edu.mx/proyectos/proyectos.html
Telesecundaria
telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/
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7056001619
119
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