Clase circunferencia

CIRCUNFERENCIA
1
Circunferencia

Una circunferencia está
formada por el conjunto
de todos los puntos de un
plano cuya distancia a un
punto fijo llamado centro C
es constante. La distancia
se llama radio r (r>0) .





C






2
Circunferencia
No es lo mismo hablar de
circunferencia que de
círculo, la circunferencia
corresponde al borde y el
círculo a la región del
plano limitada por la
circunferencia .
3
Circunferencia con centro en el
origen
La circunferencia tiene centro en
el origen, C (0,0) y radio r
(x, y)
r
Aplicando
la
fórmula
de
distancia entre dos puntos se
tiene:
 x  0
2
C
  y  0  r
x2  y2  r 2
2
Ecuación de la
circunferencia con
centro C(0, 0)
4
Circunferencia con centro (h, k) y
radio r
Por la fórmula de distancia se tiene:
 x  h
2
  y  k  r
2
Luego:
 x  h
2
  y  k  r
2
Ecuación canónica
de la circunferencia
con centro en (h,k)
radio r.
5
Circunferencia con centro (h, k) y
radio r
La ecuación general de
una circunferencia esta
dada en la forma:
x2  y2  Ax  By  C  0,
con A, B, C  R
6
Circunferencia
Ejemplo1.

Determine la ecuación de la
circunferencia con centro en el
origen y de radio 2.

(x, y)

Solución.

Aplicando la fórmula de la
ecuación canónica se tiene.
 x  0   y  0  22 
2


o
2





2

x 2  y2  4
7
Circunferencia
Ejemplo2.
Determine la ecuación de la
circunferencia con centro en
(1/2, -1) y de radio 1.
y

Solución.
x

Aplicando la fórmula de la
ecuación canónica se tiene:



( x, y )
1

2
1

x

  y ( 1
)


2


2
(1/2, -1)
2
1

Efectuando operaciones se tiene:
x2  y2  x  2 y 
1
0
4
Ecuación general
8
Circunferencia
Ejemplo3.
Encuentre el centro y el radio de una circunferencia,
que tiene como ecuación general a:
2 x 2  2 y2  7 x  4 y  6  0
Solución.
Se transforma la ecuación general a ecuación canónica,
con el siguiente procedimiento:
Asociando los términos con x entre sí y los términos con y
entre sí se obtiene:

 

2 x 2  7 x  2 y2  4 y  6
9
Circunferencia
Continuación ejemplo3.
2 x
2
 

 7 x  2 y2  4 y  6
completando trinomios cuadrados perfectos, se obtiene:
2
2
7
7 
 2
2
2
2 x 
x      2 y  2 y  
2
2
4 



= 6  49 2
8
que es equivalente a:
2
7
113
2

x


y

1





4
16


y de esto se puede concluir que:
C(-7/4,-1)
r 
113
4
10
Circunferencia
La gráfica correspondiente es:
C(-7/4,-1)


r 
113
4










11
Circunferencia
Ejemplo4.
Determinar la ecuación de la circunferencia si el
segmento que une los puntos (4, 4) y (-2, -3) es uno
de sus diámetros:
Solución.
Para hallar la coordenada
del centro, se halla el
punto medio entre (4, 4) y
(-2, -3) :
 4  (2) 4  (3)   1 
C 
,
  1, 2 
2
2

 

(4, 4)
r
C
(-2, -3)
12
Circunferencia
Continuación ejemplo4.
Para hallar el radio, se
encuentra la distancia
entre uno de los puntos y
el centro :
r 
2
r
C
85
2
Luego, la ecuación de la
circunferencia con centro
85
(1,1/2) y radio
es:
2
 x  1
(4, 4)
(-2, -3)
2
1
85

y  
2
4

13
SEMICIRCUNFERENCIA
Media Circunferencia











2
y r x

2











y   r 2  x2













x
r 2  y2







x   r 2  y2





14