UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 A. Ecuación de Drake y Cantidad de Civilizaciones El sol es solo una, entre los 70 sextillones (7×1022 ) de estrellas en el universo observable. La Vía Láctea es apenas una, de entre 500 mil millones de galaxias en el Universo. En tal inmensidad, allá afuera de la nave tiene que existir variedad de vida. La siguiente ecuación pionera, del radio astrónomo Frank Drake, 1961, estima el número de civilizaciones en la Vía Láctea, que mediante señales de radio, pudieran tener capacidad de comunicación con otras formas vivientes: C = R * Fp * Ne * FL * Fi * Fc * L donde: R: ritmo anual de formación de estrellas "adecuadas" en la galaxia. (10 estrellas/año). Fp: fracción de estrellas que tienen planetas en su órbita. (0.5 La mitad de esas estrellas cuentan con planetas). Ne: número de planetas orbitando dentro de la ecosfera de la estrella, (las órbitas cuya distancia a la estrella no sean tan próximas, como para ser demasiado calientes, ni tan lejanas como para ser demasiado frías, para poder albergar vida). (2 Cada una de esas estrellas contiene 2 planetas). FL: fracción de esos planetas dentro de la ecosfera, en los que la vida se ha desarrollado. (1 El 100% de esos planetas podría desarrollar vida). Fi: fracción de planetas en los que la vida inteligente se ha desarrollado. (0.01 Solo el 1% albergaría vida inteligente) Fc: fracción de planetas donde seres inteligentes pueden haber desarrollado una tecnología, e intentan comunicación. (0.01 Solo el 1% de tal vida inteligente se puede comunicar). L: lapso, medido en años, durante el que una civilización inteligente y comunicativa sobrevive hasta su extinción. (10.000 años Cada civilización duraría 10.000 años trasmitiendo señales). Aun más: El británico Stephen Hawking (1942-2018), en su libro, “El Gran Diseño”, sostiene que nuestro universo es solo uno, !de entre 1050 universos posibles¡ A) Simule y estime la cantidad de civilizaciones esperadas en la vía Láctea, para los valores indicados. B) mediante uso de tabla de datos, varíe en C, el valor de las fracciones Fp y FL para diversos valores desde 0.5 a 1, con incrementos de 0.1. Solución En la figura, las celdas B3 a B9 contienen los valores a incluir de la ecuación de Drake. El término adicional, fracción de estrellas tipo Sol, intenta compensar el hecho de que no todas las estrellas tienen características similares a las del sol. La ecuación es evaluada en la celda B12. UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 Cantidad de civilizaciones esperadas en la vía lactea. Se puede formar una tabla de dos entradas. Para esto, disponer los valores de Fp en las celdas C12 a H12; y los de FL en las celdas B12 a B18. Para simular la serie de valores Fp y FL declarar una función de tabla Excel mediante los siguientes pasos: 1) Seleccionar el rango B12:H18. 2) En la barra de herramientas seleccionar: Datos / pulsar botón Análisis Y si / Tabla de datos … El valor de entrada a la fila está en la celda B4; y el de la columna, en la celda B6. Pulsar Aceptar. Ver Figura Valores para la tabla de doble entrada La figura muestra los 36 valores al evaluar la fórmula de DrakeI. B. Crecimiento Poblacional Exponencial El crecimiento de una población de bacterias, puede ser modelado mediante un modelo matemático exponencial. Si cada bacteria de la población se reproduce por fisión binaria, es decir, se divide en dos bacterias en cada periodo, se desea simular la dinámica de aumento poblacional, durante los siguientes 24 periodos. La población inicial es de 10 bacterias. Asumir periodos de división de una hora. UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 Solución Evolución de una población de bacterias El modelo Pn = Pn-1*R, con P0 = 10, R = 2, y n = 1, 2,…,24, expresa la relación de crecimiento de la población de bacterias. La celda B5 contiene el valor de población inicial, ingresado previamente en la celda B1. La celda B6 contiene =B5*$B$2. Es decir, el producto entre la población inicial y la tasa de crecimiento. Para cubrir 24 horas de dinámica bacterial, el contenido de la celda B6 se copia en el rango B7:B29. La fórmula =B5*$B$2, está compuesta de una celda de referencia relativa, B5; y una celda de referencia absoluta, $B$2. Al efectuar la copia de esta expresión sobre las celdas B7 hasta B29, irá cambiando la referencia relativa, mientras que la referencia absoluta permanecerá fija. Por ejemplo, el contenido que se copia en la celda B7, será: B6*$B$2. En la celda B8, será: B7*$B$2; en la celda B9 será: B8*$B$2, etc. El resultado de la simulación muestra una infección que inicia con una población de 10 bacterias, luego de 24 horas, tiene más de 167 millones de microbios. C. Estimación de 𝛑 Un método para estimar el valor de la constante Pi, consiste en disponer un círculo de radio 1, con centro en el origen, y en el primer cuadrante inscribir un cuadrado de lado 1. Luego, generar pares de valores aleatorios uniformes entre 0 y 1, correspondientes a las coordenadas de puntos al azar (x,y), sobre el primer cuadrante. Si la distancia del origen al punto (x,y) es menor a 1, se asume que el punto (x,y), cae al interior del círculo. La proporción de puntos dentro del círculo es una estimación de la cuarta parte de Pi. Simular 50 mil puntos (x,y), para estimar Pi. Estimación del Valor de 𝜋 valor estimado de 𝜋 = 3,14632, Luego de simular 50 mil puntos, el aparece en la celda F8. Ver figura 8.8. Este resultado es solo un valor aleatorio. Para lograr mayor exactitud, se puede repetir la simulación unas 19 veces, y finalmente, promediar los 20 resultados independientes. Para obtener una mejor estimación, es recomendable, previamente, determinar la longitud de la simulación, para el nivel de confianza y exactitud deseada. UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 1. Se tienen tres urnas, A, B y C, en cada una de las cuales hay 4 fichas numeradas del 1 al 4. Si se extrae una ficha de cada urna, ¿qué probabilidad hay de que la suma de los tres números sea un número par? 2. Tres estudiantes algo mentirosos no asistieron al examen final. Según su historia, venían en el mismo auto y se les reventó un neumático. El profesor los aísla de inmediato, e interroga a cada uno por separado, sobre cuál neumático se averió. Puesto que no lo esperaban, sorprendidos, cada alumno indica aleatoria e independientemente su respuesta. Simule y estime la probabilidad de que los alumnos se salgan con su engaño. Compare con la probabilidad teórica. 3. Una fábrica produce tres modelos de auto: A, B y C. Cada uno de los modelos puede tener motor de gasolina o diesel. Sabemos que el 60% de los modelos son de tipo A y el 30% de tipo B. Son motores a diésel el 30%, 20% y 25% de los autos A, B y C respectivamente. Se elige un auto al azar. Se piden las probabilidades de los siguientes sucesos: (a) El auto es del modelo A, sabiendo que tiene motor diesel. (b) El auto tiene motor diesel, sabiendo que es del modelo C 4. En un juego de apuestas, el jugador apuesta Bs. 500 cada vez que lanza simultáneamente un dado y una moneda. Gana Bs. 5 mil, si obtiene seis y cara. Determine la cantidad de lanzamientos que se debe simular, para estimar la utilidad esperada del apostador, con 99% de confianza y error de Bs. 50. A) Simule el juego (10). B) Estime la utilidad simulada esperada del jugador. (5). C) Calcule la utilidad esperada teórica del juego. (5) 5. El precio unitario de venta de un artículo es de Bs. 30, y su costo variable por unidad Bs.15. El costo fijo de la empresa es de Bs. 50 mil. Se estima ventas de 5 mil unidades. Simule y muestre en una tabla el ingreso, costo variable de ventas, el costo total y la utilidad, para volúmenes de venta entre 0 y 10 mil unidades, con incrementos de 500 unidades. 6. Una prueba consiste de 10 preguntas, cuya respuesta es Verdadero o Falso. Un evaluado no sabe y responde según el resultado del lanzamiento de una moneda. Simule y estime la probabilidad de que obtenga 5 preguntas correctas. 7. El número de enfermos que solicitan atención diaria de urgencia en un hospital un promedio de Poisson de 39.5 pacientes. El servicio colapsa, cuando el número de enfermos excede de 50. ¿Cuál es la probabilidad de colapso del servicio de urgencias del hospital? 8. Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. En una hora, la máquina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C 100. Las probabilidades de que las máquinas produzcan tornillos defectuosos son, respectivamente, de 0,01 para A, de 0,02 para B y de 0,03 para C. Al finalizar una hora se juntan todos los tornillos producidos y se elige uno al azar: (a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado la máquina A, sabiendo que no es defectuoso? 9. El monto cancelado por hospitalización en una clínica, se distribuye lognormal con promedio 12.1, y desviación 0.8. Simule y estime la probabilidad de que el monto cancelado por un paciente esté entre 500 y 750 mil bolívares. 10. La vida, en miles de millas, de un cierto tipo de control electrónico para locomotoras tiene una distribución aproximadamente logarítmica normal con μ = 5.149 y σ = 0.737. Calcule el 50 percentil de la UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 vida de un control electrónico como éste. 11. El tiempo, en años, que requiere un equipo para recibir mantenimiento durante cualquier semana, es aleatorio Gamma, con forma = 3 y escala = 2. Simule para estimar la probabilidad que durante cualquier semana, el equipo pase más de 8 horas sin exigir mantenimiento. (0.2381) 12. El tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que, a una persona, a quien se ha implantado este marcapasos, requiera reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años? Simule y determine. 13. En una fábrica de leche en polvo se producen tres tipos de leche, clasificados según su contenido en grasa en tipo A, B y C. Diariamente se envasan los distintos tipos en las proporciones: A 20%; B, 50% y C 30%. Se elige al azar 6 latas de la producción de un día. Simule y determine la probabilidad de elegir exactamente 2 latas de cada tipo. (0.08) 14. Una caja de tornillos contiene 8 grandes, 5 medianos y 3 pequeños. Otra caja contiene 6 tuercas que ajustan con los tornillos grandes, 4 que ajustan con los medianos y 2 con los pequeños. Se elige aleatoriamente un tornillo y una tuerca, ¿cuál es la probabilidad de que la tuerca ajuste con el tornillo? (0.3854). 15. Un participante en un concurso recibe 10 llaves, entre las que se encuentra una, que permite abrir una puerta y ganarse una moto. El concursante tiene 3 oportunidades, de modo que cada vez debe escoger al azar una de entre las 10; y probar si logra la apertura. Si la llave seleccionada no es la correcta, la misma es devuelta y mezclada en el grupo de llaves para luego realizar el próximo intento, de entre sus tres oportunidades. A) Para un nivel de confianza del 99% y un error de 1%, determine la longitud de simulación requerida para estimar la probabilidad de que el participante gane el concurso. B) Simule y estime la probabilidad de ganar el concurso. C) Probabilidad de ganar el concurso en el segundo intento. D) Teóricamente, ¿Cuál es la probabilidad de que el participante gane el concurso en el tercer intento? 16. Un examen consta de 10 preguntas. Cada pregunta ofrece 4 alternativas de selección. Simule para: A) estimar la probabilidad de que un evaluado adivinador logre 6 preguntas buenas. B) ¿Cuál es la probabilidad analítica del lograr 6 preguntas correctas? C) Estime la probabilidad de aprobar, si se exige un 50% de desempeño. 17. Una máquina tragamonedas, ubicada en un casino, consta de tres cilindros giratorios. Cada cilindro tiene cuatro figuras distribuidas equitativamente, que son: Limón, Estrella, Siete y Cerezas. Cuando el apostador acciona la palanca de la máquina, los tres cilindros comienzan independientemente a girar, y luego de muchas vueltas, se van deteniendo aleatoriamente, mostrando cada uno, una de las cuatro figuras. Si el jugador obtiene tres figuras iguales, recibe Bs. 500, pero si las tres figuras corresponden a Sietes, entonces recibe Bs. 1500. En caso contrario, pierde lo apostado. En cada apuesta, el jugador arriesga Bs. 50. A) Determine longitud de la simulación para estimar, con una confianza del 95% y error Bs. 5, la utilidad esperada del jugador. Simule y determine: B) Utilidad promedio del jugador. C) Compare el resultado obtenido mediante simulación con la utilidad esperada teórica del jugador. D) Suponga que una persona dispone 100 Bolívares para jugar. Simule y estime la cantidad de dinero que se espera acumule luego de 20 apuestas. UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 18. Usted tiene en su cuenta de correo 100 e-mails: 60 son spam y 40 no. De los 60 spam, 35 contienen la palabra “Free”. De los 40, solo 3 contienen la palabra “Free”. Si un e-mail contiene la palabra “Free”, simule para estimar: A) ¿Cuál es la probabilidad que sea un spam? B) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para estimar esa probabilidad con un nivel de confianza del 95% y un error de 1%. C) Calcule y compare con la probabilidad teórica. (0.92) 19. Simule el lanzamiento de una moneda 5000 veces. Halle la distribución de probabilidad, contando las veces que cae cara y sello. Muestre para n= 10, 100, 1000, 5000, 10 mil, 50 mil, que la probabilidad de © tiende a 0.5. Grafique el histograma de frecuencia. 20. Un juego realizado con ambas manos entre dos jugadores, denominado Papel, Roca y Tijeras, puede simularse para estimar el porcentaje esperado de veces que gana un apostador. Ambos jugadores a un mismo tiempo muestran con una mano su selección. Si ambas manos muestran lo mismo, hay empate. Si difieren, Roca destruye Tijera, Tijera corta Papel o Papel envuelve Roca. Simule el juego entre dos contrincantes y estime: A) Probabilidad de ganar para cada jugador. B) Cantidad de apuestas a simular para estimar la probabilidad de ganar con error de 1% y un nivel de confianza del 95%. C) Halle un intervalo de confianza del 95 % para el valor estimado en A). 21. Un juego de azar consiste en un mecanismo giratorio de ruleta que tiene 12 puestos numerados del 1 al 12. Al accionar una palanca, una pequeña bola comienza a girar sobre la ruleta y luego de un tiempo, se posiciona sobre uno de los números, el cual es declarado ganador. En cada apuesta, siempre apuestan 3 personas. En cada turno, la persona solo escoge un puesto, aunque las personas pueden coincidir y apostar a un mismo número. Asuma que la cantidad que apuesta cada persona en cada turno es una variable aleatoria entera uniforme entre 50 y 100 bolívares, aunque solo se aceptan múltiplos de 5; y si su número resulta ganador, recibe como premio, diez veces el valor apostado. A) Determine la longitud de la simulación para estimar la probabilidad de que dos personas resulten ganadoras en una apuesta, con una confianza de 99% y precisión del 0,5%. (5). B) Estime la probabilidad que en una apuesta haya exactamente 2 ganadores. (15) C) Obtenga la distribución de probabilidad del número de ganadores en cualquier apuesta. (10) D) Estime la utilidad esperada del juego. (5). E) ¿Cuánto debería ser el premio para que el juego sea equilibrado? 22. Se extrae dos fichas sin reemplazo de una caja que contiene 4 fichas verdes, 6 rojas y 5 negras. Simule para estimar la probabilidad de que la segunda ficha sea verde. A) Estime la probabilidad de que las dos fichas sean verdes. B) Compare cada estimado con su probabilidad esperada. 23. Se lanzan dos dados. Sea A: se obtiene par en el dado 1. Sea B: la suma de ambos dados es mayor a 8. A) Obtenga la probabilidad teórica de obtener una suma de ambos dados superior a 8, dado que el primer dado cayó par. B) Determine la longitud de la simulación, para estimar mediante simulación la probabilidad requerida en A). Confianza 95%. Error 2%. C) Estime mediante simulación. 24. Se lanza tres dados, signados D1, D2 y D3, en dos oportunidades. Simule y estime: Estime la probabilidad de obtener el mismo resultado en ambos lanzamientos, para un nivel de confianza del 99%, y un error máximo de 0,5%. Finalmente, utilice una macro para promediar el resultado de 50 repeticiones. Introduction to probability theory and Its Applications. William Feller. Jhon Wiley 1965. 25. Un juego de azar, entre un apostador y la casa consiste en lo siguiente: se lanzan dos dados. Si se obtiene 7 gana el apostador. Si la suma es menor a 7 gana la casa. Si la suma es mayor a 7 nadie gana. En cada lanzamiento, el apostador apuesta Bs. 10. Si gana recibe Bs. 50. Simule y estime el valor esperado del juego. para una longitud de la simulación con 95% de confianza y un error del 3 %. Compare el valor obtenido estimado con el valor teórico de la esperanza del juego. UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 26. El número de accidentes por semana en una fábrica sigue una distribución Poisson de parámetro = 2. Simule para calcular: A) Probabilidad de que en una semana haya algún accidente. B) Probabilidad de que haya 4 accidentes en dos semanas. C) Probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente. 27. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. A) Simule y estime, con una confianza del 97% y un error del 5%, la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? B) Utilice una macro con botones (Simular/ Borrar) para realizar 15 repeticiones y estimar la probabilidad requerida en A). C) Determine analíticamente la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero (0.405). D) Construya un intervalo de confianza para el valor estimado. E) Estime la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea ingeniero y directivo. F) Estime la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea directivo. 28. Suponga que un borracho inicia una caminata en la esquina de una manzana. Asuma que la probabilidad de ir hacia el Norte Sur, Este u Oeste, es la misma cada vez que llega a otra esquina. Si el alcohólico camina 20 cuadras, simule y determine: ¿Cuál es la probabilidad de que termine a una distancia menor o igual a 3 cuadras del punto en que comenzó? 29. Suponga que un cazador dispara a un venado y le acierta con probabilidad de 0.35. Si la probabilidad de que el disparo sea exitoso, es decir, lo hiera mortalmente es 0.55. Simule y determine: ¿Cuántas balas debe llevar consigo, para que tenga un 70 por ciento de confiabilidad de éxito? 30. En una sala hay 15 personas. Sus apellidos corresponden a: 4 Sánchez, 5 Chacón y 6 Pérez. Si se selecciona, una a una, tres personas al azar, A) Obtenga la probabilidad teórica que los tres sean de apellido Sánchez. B) Determine la longitud de la simulación, para estimar la probabilidad de que los tres seleccionados tengan apellido Sánchez, para una confianza de 99 %, con un error de 1%. C) Estime mediante simulación 31. A un cajero peatonal llegan clientes a la tasa Poisson de 15 clientes por hora. El Cajero atiende un cliente en un tiempo exponencial de promedio 4 minutos. Simule. Halle el tiempo de espera para cada cliente, y estime el tiempo promedio de espera del sistema. 32. En un proceso de manufactura se llenan sacos de alimento concentrado. La media de llenado del proceso es 40 kgs/saco y la desviación es 2.5 kgs. Cada hora, se toman 5 sacos para observar el desempeño del gráfico de control estadístico. Simule para determinar la probabilidad que un saco esté fuera de los límites de control. Compare el resultado simulado con el resultado teórico esperado. 33. Para atraer más clientes, el propietario de un auto restaurante de comida rápida, obsequia una bebida gratis valorada en Bs. 2, a cada auto que espere más de 2.5 minutos para iniciar atención. Los autos llegan a la única ventanilla de servicio a la tasa Poisson de 20 por hora. El tiempo de atención de un auto es normal con media de 2.5 minutos y desviación de 0.5 minutos. Simule (10 puntos) y estime: A) el costo esperado por obsequio de bebidas (10). B) La probabilidad de ser atendido en menos de 3 minutos (5). C) El tiempo que en promedio, pasa un cliente en el sistema (5). D) Porcentaje de ocupación de la ventanilla de servicio (5). El restaurante atiende durante 8 horas diarias. 34. Un equipo está compuesto de cuatro tubos los cuales fallan con cierta frecuencia, ocasionando que el equipo deje de trabajar mientras los tubos son reemplazados. El tiempo de duración de un tubo es una variable Uniforme entre 2.000 y 5.000 horas. Se desea evaluar dos políticas de reemplazo. La política A consiste en sustituir individualmente el tubo que falle, lo cual requiere dos horas. UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 La política B consiste en reparar todos los 4 tubos cuando falle uno o más tubos, lo cual requiere 5 horas. El costo por hora de la máquina parada es de Bs. 100/hora. El costo de sustituir un tubo es de Bs. 25. Comenzando con los 4 tubos nuevos, simular y evaluar las dos políticas y recomendar la más apropiada. 35. Una máquina produce herramientas de precisión. Si un día la máquina está en buenas condiciones, al día siguiente, con probabilidad de 0.85, continuará bien produciendo 1000 herramientas por día. Si la máquina amanece en mal estado, continuará en mal estado al día siguiente con probabilidad de 0.75, produciendo 400 herramientas/día. ¿Determine la longitud de la simulación para estimar la probabilidad de producir 1000 herramientas, con una precisión del 5 %, y una confianza del 95%? Simule y estime: A) En promedio, ¿cuántas herramientas se espera fabricar diariamente? B) Si la empresa labora 360 días/año, ¿Durante cuantos días se espera que la máquina produzca 1000 herramientas? 36. Una clínica de Barrio Adentro V, recibe del Banco Regional de Sangre, una entrega semanal de sangre tipo O. Dependiendo de las disponibilidades, la cantidad en litros es aleatoria, según la siguiente distribución de probabilidad: Cantidad 4 5 6 7 8 9 En litros Probabilidad 0.15 0.20 0.25 0.15 0.15 0.10 El número de pacientes por semana que requieren sangre varía según la siguiente distribución: Pacientes 0 1 2 3 4 Probabilidad 0.25 0.25 0.30 0.15 0.05 La cantidad necesaria por paciente es aleatoria y tiene la siguiente distribución: Litros por 1 2 3 4 Paciente Probabilidad 0.40 0.30 0.20 0.10 Asumiendo que el plasma es almacenable, y comenzando con 2 litros en existencia, simule el proceso de recepción y suministro durante las siguientes 10 semanas. Determine la existencia al final de la décima semana y la cantidad promedio de litros no atendidos. 37. Una costurera trabaja exclusivamente en una fase del proceso de producción de un diseño especial de prendas de vestir. Esta fase requiere exactamente media hora para terminar una prenda. Cada 30 minutos llega un mensajero a la mesa de la costurera para recoger todas aquellas prendas que estén terminadas y para entregar las nuevas prendas que deben ser cosidas. El número de nuevas prendas que lleva el mensajero es inseguro: 30 % del tiempo, el mensajero llega sin prendas para ser cosidas; 50 % de las veces, el mensajero trae sólo una prenda para dejar; 20 % de las veces, el mensajero trae dos prendas a la costurera. Sin embargo, el mensajero tiene instrucciones de nunca dejar más de tres prendas juntas no terminadas a la costurera. (Las prendas no terminadas que no puedan dejarse a la costurera, a resultas de esta política, se llevan a otra costurera para ser procesadas. Simule y estime: A) Porcentaje del tiempo que la costurera permanece ociosa. Considere que cualquier cantidad de prendas no terminadas que estén en la mesa de la costurera al final de un turno de trabajo, permanecen ahí para ser procesadas durante el siguiente día de trabajo. B) Número promedio de prendas pendientes en la mesa de la costurera. C) Obtenga los resultados analíticos. 38. Los registros de una compañía aseguradora de automóviles indican que la probabilidad que un asegurado sufra un siniestro automovilístico es de 0.18. Si hay accidente, con probabilidad de 0.45, la indemnización a cancelar es del 25 % del valor asegurado del automóvil; 0.30 que el valor a pagar sea el 45%; 0.15 que se tenga UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 que pagar el 75 % del valor, y el 10 % de los accidentes son declarados pérdida total. El monto asegurado de cualquier vehículo varía según el tipo de póliza contratada, y se distribuye según una variable aleatoria Normal, con promedio de 175 mil bolívares y desviación de 40 mil. El monto cobrado por póliza es el 12 % del valor asegurado. Determine la longitud de la simulación para estimar la utilidad esperada por vehículo, con un 95 % de confianza y un error de Bs. 500. Simule y estime la utilidad de la aseguradora. B) Suponga se desea determinar el monto que la aseguradora debe cobrar para obtener una ganancia esperada de al menos Bs. 5 mil por auto. ¿Cuánto debería cobrar por auto? 39. Una bodega posee un muelle usado para descargar vagones. La cantidad de vagones que son descargados diariamente es una variable aleatoria Poisson con promedio de 2.5 diarios y valor mínimo de 1. Si la necesidad de descarga supera la capacidad de carga, el excedente se pospone para ser descargado según las posibilidades del día siguiente. Los vagones llegan en la noche y son descargados durante el día. Experiencia pasada indica, que la cantidad de vagones que llegan diariamente sigue la siguiente distribución: Vagones 0 Probabilidad 0.02 1 0.15 2 0.20 3 4 5 0.23 0.25 0.15 La empresa paga penalización de Bs. 100 diarios por cada vagón que sea postergado. A) Determine la longitud de simulación para estimar la probabilidad de ocio del muelle, con una confianza del 95 % y un error del 1%. (5 puntos). B) Simule (10) y estime: A) Desembolso esperado por vagones postergados para descargar el día siguiente. (5). B) Probabilidad de ocio del muelle. (5). C) Estime sendos intervalos de confianza del 95 % para el promedio de vagones postergados y para la probabilidad de ocio del muelle. (5). D) Halle la distribución de probabilidad del número de vagones postergados de un día al siguiente. (5). 40. Auto alquila es una compañía que ofrece autos en alquiler. Posee 500 unidades. Una vez por semana se inspecciona cada automóvil. Durante este tiempo, un auto pudo haber estado alquilado, o haber requerido mantenimiento menor o mayor. En la primera semana de junio, se determinó que 400 autos estaban en condiciones de ser alquilados, 80 necesitaban reparaciones menores y 20 requirieron reparaciones mayores. En la segunda semana de junio, 350 de los autos que estaban en buenas condiciones se mantenían igual, 40 necesitaban reparaciones menores y 10 necesitaban reparaciones mayores. De los 80 que necesitaban reparaciones menores, 50 se encontraban en buenas condiciones, 25 seguían necesitando reparaciones menores y otros 5 exigían ahora reparaciones mayores. Por último, de los 20 automóviles que requerían de reparaciones mayores, 15 estaban en buenas condiciones, 3 requerían reparaciones menores, y 2 seguían necesitando reparaciones mayores. Se considera que ese comportamiento es permanente de semana en semana. Asuma que un auto en buenas condiciones produce ingreso semanal de Bs. 30 mil. Un auto en reparación menor produce gastos de Bs 10 mil; y 50 mil si pasa en reparación mayor. Para una longitud de simulación de 50 mil autos, A) Simule y estime la utilidad semanal esperada. B) Anualmente, ¿Cuántas semanas se espera que pase un auto en mantenimiento mayor? 41. Una trasnacional bancaria administra el sistema de seguro de Hospitalización, Cirugía y Maternidad (HCM) de sus empleados, en una cuenta colectiva, y debe estimar su desembolso anual por este concepto. Los gastos del HCM son atendidos por los aportes fijos de los empleados y, en caso que sea necesario, el monto restante por la trasnacional. Al inicio, la compañía tiene 5 mil empleados. Sin embargo, de un mes a otro, esta fuerza laboral puede disminuir o aumentar, en un porcentaje que se distribuye según una uniforme con un decimal, entre [ 3% y 6 %]. La probabilidad de que de un mes a otro aumente la fuerza laboral, es de 0.35 y que permanezca sin variación es de 0.25. Que disminuya es de 0.40. El costo promedio de un evento HCM por empleado es aleatorio normal con promedio de Bs. 30 mil, y desviación de Bs. 5 mil. UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 La cantidad de siniestros en cualquier mes es una variable aleatoria entera normal con promedio de 100 y varianza de 64. Cada empleado aporta mensualmente a la cuenta colectiva una cantidad fija de Bs. 500, cuyo total mensual es utilizado para cancelar los gastos de HCM, correspondiendo a la empresa el pago de cualquier diferencia. A) Determine el tamaño de muestra requerido para estimar el monto mensual promedio que la trasnacional debe cancelar por HCM, con nivel de confianza de 95% y error de 50000. (10); y B) simule la evolución del fondo mensualmente durante 10 años (20 puntos). Determine: C) Monto mensual promedio que la trasnacional espera desembolsar por HCM (5). D) Probabilidad de tener que entre 75 y 100 siniestros en cualquier mes (5). E) Proporción de meses en que la compañía espera cubrir los gastos de HCM solo con los aportes de sus empleados. (5). F) Probabilidad teórica que en un mes ocurran al menos 100 siniestros (5). 42. Una compañía establece un fondo de pensiones para sus empleados aportando el 5% del sueldo de cada empleado y reteniendo a cada empleado el 5 % de su sueldo. Al inicio, la compañía tiene una nómina mensual de pagos por sueldos de Bs. 3 millones. Cada 6 meses, la empresa debe aumentar sueldos a todos sus empleados en 12%. Los aportes al fondo son depositados al inicio de cada mes en una cuenta especial, cuya tasa de interés anual es una variable aleatoria cuyo comportamiento es el siguiente. La tasa de interés por colocaciones del fondo es una variable aleatoria uniforme entre 20 y 35 %. Simule 100 años para estimar el monto esperado anual acumulado del fondo. 43. Un avión puede tener un máximo de 120 asientos corrientes, aunque puede disponer también de asientos de primera clase, reduciendo su disponibilidad de asientos corrientes. Si agrega asientos de primera clase, por cada uno disminuye dos asientos corrientes. Por ejemplo, si se dispone 4 asientos de primera clase, el máximo de asientos corrientes sería de 112. El avión realiza solo un vuelo diario. Se asume lo siguiente: La demanda por asientos Corrientes es Triangular (70, 100, 120). La demanda por tickets de primera clase es Normal con promedio de 12 puestos y varianza de 9. La ganancia por cada asiento corriente es Bs. 500. La ganancia por cada asiento de primera clase es Bs. 1.500. Los costos operativos son fijos. Simule (15) y determine: A) la longitud de simulación con 99 % de confianza, 1 % de error para estimar la ganancia diaria esperada por asignación óptima de asientos de primera clase, asumiendo que solo se permite disponer múltiplos de cuatro asientos de primera. (15) B) Probabilidad de que un pasajero no encuentre asiento en primera clase. (5) C) Construya un histograma de frecuencia de la utilidad para el diseño óptimo. 44. Remodelación Habitaciones de un Hotel El gerente de un hotel evalúa su remodelación. Tiene espacio para disponer 200 habitaciones normales. Sin embargo, puede incorporar habitaciones de lujo. Una habitación de lujo equivale a dos habitaciones normales. Una normal se renta en $ 990/noche y una de lujo $ 1800. La demanda diaria de habitaciones normales es aleatoria, distribuida normal con promedio de 100 y desviación 20. La demanda diaria de habitaciones de lujo es también normal con promedio de 45 y desviación 10. Una habitación normal que es ocupada, ocasiona un costo de puesta a punto de $ 75; y una de lujo $ 140 diario. Se estima costo fijo diario por habitación normal de $ 550, y $ 1000 por habitación de lujo. Por razones de diseño arquitectónico, solo pueden ser construidas múltiplos de 10 habitaciones por tipo; y no menos de 50 habitaciones normales. Simular y determinar la cantidad óptima de habitaciones a disponer. La disposición de construir al menos 50 habitaciones normales, y solo un número de habitaciones múltiplo de 10, reduce las opciones de construcción a las combinaciones siguientes. SIMULACIÓN UNET / Ingeniería Industrial / Excel F. Ibarra Noviembre_2019 Opciones de construcción Normales 200 180 160 Lujosas 0 10 20 140 30 120 40 100 50 80 60 60 70 Se simulará cada una de las 8 alternativas, durante 50 mil días. Por ejemplo, la alternativa (100; 50), indica que, durante todos los días, al inicio, se dispone la cantidad fija de 100 habitaciones normales y 50 de lujo. Durante cada día, se genera la demanda de habitaciones por tipo, se efectúan los cálculos de ingresos y egresos para determinar la utilidad. Luego de simular los 50 mil días, se obtiene el valor de utilidad promedio que corresponde a la alternativa (100; 50). El mismo procedimiento se aplica a las 7 combinaciones restantes, para finalmente obtener la que entregue el máximo valor promedio. La figura contiene una muestra de resultados al simular la opción (100,50). Simulación de la opción (100,50) Las celdas A6 y B6, guardan los valores de la decisión de construir 100 habitaciones tipo normal y 50 de lujo. La celda L1, contiene un estimado de la bondad de esa decisión: $ 43.072,12. Al repetir el procedimiento de simulación para las 7 políticas restantes, se está en condiciones de seleccionar la mejor alternativa de construcción. En la figura, se muestra la utilización de la función tabla de Excel, para evaluar las 8 alternativas, disponible desde la barra de herramientas DATOS / Análisis Y si / Tabla de datos… Tabla de dos entradas. Simulación de utilidades del hotel. Las celdas con valores posibles, aparecen en letra resaltada en negrita. Se observa, en la celda C6, que la decisión con mayor utilidad promedio, es construir 100 habitaciones tipo normal, y 50 habitaciones de lujo, con un valor de utilidad esperada de $43.072,12 diario. 45. El número de camiones producidos diariamente en una línea de ensamblaje, sigue la siguiente distribución de probabilidad: Cantidad de Camiones 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 Probabilidad 0,03 0,05 0,07 0,10 0,15 0,20 0,15 0,10 0,07 0,05 0,02 0,01 UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 Al final el día, los camiones terminados son trasladados en un trasbordador a través de una bahía. Sin embargo, la capacidad del trasbordador es de 198 camiones. Cuando la producción del día supera esa capacidad, los camiones restantes son trasladados en buques de carga externos, los cuales cobran Bs. 5 mil por camión transportado. Simule con 95 % de confianza y un error de 3%. (10 puntos) y determine: A) Costo promedio diario que la ensambladora cancela a los buques externos. (10) B) Porcentaje de ocupación del trasbordador. (10) C) Probabilidad de que un camión sea trasladado por un buque externo. (10) D)¿Cuál es el número promedio de espacios no ocupados del trasbordador? (5). E) Construya un histograma de frecuencias de los costos de traslado. (5) 46. Un fabricante de balones produce tres modelos diferentes, y ofrece garantía de reemplazo en caso de que el producto resulte defectuoso. La cantidad de balones defectuosos por modelo es una variable aleatoria Normal, con promedio y desviación que se indica a continuación; además del costo y precio de venta por unidad: Promedio por cada 1000 unidades fabricadas: Desviación Estándar: Costo por balón Bs.: Precio de venta: porcentaje del costo Modelo A 16 3 90 25 % Modelo B 12 2.5 120 30 % Modelo C 6 2 160 20 % Si la producción de un mes es de mil balones por modelo, mediante simulación estime A) el costo esperado por reemplazo de balones defectuosos. B) La utilidad esperada. La longitud de la simulación debe ser con 95% de confianza y un error del 2 %. C) Construya un histograma de frecuencia para la utilidad esperada. 47. Una línea de aviones ofrece 20 vuelos matutinos diarios, cada uno atendido por una azafata fija La empresa dispone diariamente de cuatro azafatas adicionales de reserva, disponibles para reemplazar en caso que falte alguna de las fijas. La distribución de probabilidad del número de azafatas que faltan en un día cualquiera es la siguiente: Azafatas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Probabilidad 0,03 0,05 0,08 0,10 0,10 0,15 0,20 0,15 0,10 0,04 Regulaciones estrictas no permiten volar un avión sin su azafata, y obliga a su cancelación. El costo de utilizar una azafata de reserva es de Bs. 1.000. El ingreso promedio por cada avión es normal con media de Bs. 400.000 y desviación de Bs. 50.000. Si un vuelo es cancelado se incurre en una perdida fija de Bs. 200.000. El costo de volar un avión es de Bs. 250.000. Para estimar la utilidad promedio diaria, determine la longitud de la simulación, con 95% de confianza y un error del 3 %. (10) Simule y estime: A) Fracción de utilización de las azafatas de reserva. (10). B) Probabilidad de cancelar un vuelo por no disponer de azafatas (10). C) Utilidad promedio diaria (10). D) Cantidad esperada de azafatas que faltan diariamente (5). E) Construya un histograma de frecuencia para la utilidad. (5) 48. Un vendedor de periódicos puede adquirir cada unidad en Bs. 150 y vender a Bs. 250. Por exigencias del proveedor, solo puede adquirir lotes de 25 periódicos. La demanda diaria es normal con media de 100 y desviación de 25 unidades. Por cada periódico que le quede sin vender, recibe el 25 % del costo. El costo de oportunidad de un periódico faltante es de Bs. 100. El problema es determinar cuántas unidades de 25 comprar, de modo optimice su utilidad promedio diaria. Simule durante 5.000 días. 49. Un depósito puede almacenar hasta diez millones de litros de agua. Cada 6 horas hay una exigencia de descargar en una red de tubería, una cantidad aleatoria de agua, según una distribución uniforme con parámetros entre 300 mil y 600 mil litros. Sin embargo, pudiera entregar menos o nada según sea posible. UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 Las lluvias en la zona ocurren de acuerdo a una distribución Poisson con promedio de 12 lluvias por semana. La cantidad de agua que cae en el depósito durante cada lluvia es una variable aleatoria normal con media de 975 mil litros y desviación de 250 mil litros. El depósito inicia lleno. A) Determine la longitud de simulación para estimar la cantidad esperada del contenido de agua en cualquier instante, con una confianza del 95 % y una desviación máxima de 300 mil litros. (10). B) Simule las entradas y salidas del líquido (10). Redondee los tiempos en que ocurren eventos a valores enteros de la hora del día. C) Estime el contenido esperado del depósito en cualquier hora del día. (10) D) ¿Cuál es la probabilidad de que el depósito en cualquier momento esté a menos de la mitad de su capacidad? (5). 50. Un vendedor compra periódicos a Bs. 5 c/u, y los vende a Bs. 8. Los periódicos que no logra vender en el día, son rematados como desecho a Bs. 1.5 c/u. Los periódicos son adquiridos por el vendedor solo en lotes de 10 unidades. La demanda de periódicos, está relacionada al tipo de titular. Los titulares se clasifican en: Sensacionales, Buenos, y Regulares, con probabilidad de 0.40, 0.45 y 0.15 respectivamente. La distribución de demanda diaria es: Demanda 500 600 700 800 900 1000 1100 Sensacional 0.03 0.05 0.15 0.20 0.35 0.15 0.07 Bueno 0.10 0.18 0.40 0.20 0.08 0.04 ----- Regular 0.34 0.32 0.16 0.12 0.06 ------- A) Determine la longitud de simulación requerida para estimar la utilidad diaria esperada del vendedor, con una confianza del 95% y error del 5%. (5) B) Simule el proceso (10). C) Estime la cantidad de periódicos que el vendedor debería adquirir para optimizar su ganancia, tomando en cuenta costos de oportunidad. (10) C) Utilice una macro que ejecute 15 repeticiones y estime la utilidad esperada (10). 51. La demanda interna diaria de piezas, para atender las necesidades de reparación, de equipos utilizados en un proceso fabricación, es una variable aleatoria Poisson, con media de 5 unidades. Al final de cada día, se examina la cantidad de piezas en existencia, y en caso de que haya menos de 10 unidades, siempre que no haya órdenes externas pendientes por recibir, se ordena al proveedor externo el envío de 10 unidades. En revisión a registros, se determinó que el número de días requeridos, para recibir las 10 unidades solicitadas al proveedor externo, contados a partir del día de pedido, es una variable aleatoria, que presenta la siguiente distribución de frecuencia: Días requeridos por el proveedor: 1 2 3 4 Frecuencia observada: 20 70 50 10 Asumiendo que se inicia operaciones, con quince (15) piezas en existencia, y con atención a pedidos pendientes insatisfechos por falta de disponibilidad interna, a) Simule las operaciones, y determine: a) Probabilidad de finalizar, un día cualquiera con más de 4 unidades en existencia. b) Probabilidad de no tener unidades a disposición. c) Número promedio diario de unidades internas pendientes. 52. Un panadero debe determinar la cantidad de tortas a elaborar diariamente. Por restricciones del equipo de horneado, solo puede elaborar múltiplos de decenas de tortas. La distribución de probabilidad de la demanda diaria de tortas es: Numero de tortas / día 80 100 120 140 160 180 200 220 Probabilidad 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.10 0.08 0.07 UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 El precio de venta de una torta es de 60, y su costo 40. Las tortas no vendidas en el día, son rematadas a otra panadería a mitad de precio A) ¿Cuántas decenas de tortas debe elaborar diariamente? B) Estime el promedio diario de ventas perdidas Longitud de la corrida de simulación: 3.000 días. C) Grafique la distribución de frecuencias de la utilidad. 53. Un detallista vende diariamente un producto perecedero que recibe diariamente solo en lotes de 10 unidades. La demanda diaria del producto sigue la siguiente distribución de probabilidad: Demanda 90 100 110 120 130 140 150 Probabilidad 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.05 0.05 Por cada unidad vendida, obtiene una ganancia de 50 bolívares. Sin embargo, las unidades no vendidas durante el día, son desechadas al final a 7 bolívares cada una. A) ¿Cuántos días se debe simular para estimar la ganancia promedio con una precisión de Bs. 25 y una confianza del 95%? (5). Simule la actividad de ventas del detallista (10). B) ¿Cuántas unidades debe ordenar diariamente para optimizar su ganancia? (10). C) ¿Durante que fracción de tiempo, se espera que no tenga suficiente existencia para atender la demanda? (5). F) Utilice una macro para realizar 10 repeticiones y estimar la ganancia esperada (5). 54. El jefe de almacén estudia la relación de costo y disponibilidad de un determinado artículo. La demanda del producto es Poisson con media de 3.6 unidades por mes; y el tiempo recepción de una orden al proveedor es de 0.5 meses. El costo de mantener una unidad en inventario es de $ 0.25 por unidad por mes. El costo de faltante es de $ 1.75 por unidad. Cada vez que se ordene al proveedor el costo de preparar y procesar el pedido es de $ 0.15. Determine la cantidad a ordenar al proveedor, y el punto de reorden, que optimiza el costo total de inventario. Simulation Modeling and Arena. Manuel Rossetti. Willey. Pág. 354. 55. Una dulcería vende unos dulces especiales para el día de los enamorados. Para ello deben encargarlos con anticipación a la fábrica, al precio de UM 7,5 c/u. Los dueños de la dulcería quieren optimizar su ganancia, sabiendo que pueden vender los dulces hasta y durante el día de los enamorados a UM 12 c/u, y que después de ese día deberán vender con descuento del 50%. El propósito de la simulación es determinar la cantidad de dulces que deberían encargar para maximizar la ganancia, sabiendo que la demanda histórica de dulces es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 40 y 100. Se quiere asegurar que la estimación de la ganancia promedio esté dentro de 5 UM, con una confianza de al menos 99%. Evalúe la ganancia A) sin costos de oportunidad B) incluyendo costo de oportunidad. Discuta su decisión. C) Analice el efecto en la cantidad a encargar óptima, si el precio de costo sube en 30%. 56. La demanda semanal de un producto sigue una variable aleatoria triangular discreta, con valores mínimo de 60, máximo 140 y más probable 100 unidades. Para optimizar el manejo de existencias del producto, el responsable de mantener el inventario, desea determinar la cantidad de unidades que debe pedir al proveedor, además del nivel de reposición del inventario. La política actual de inventario es la siguiente: al cierre de cada semana, se revisa la existencia, y si es inferior a 120 unidades, se ordena 400 unidades al proveedor. El proveedor vende y surte solo lotes del producto, y garantiza que estén disponibles al inicio de la semana siguiente inmediata. Un lote está compuesto de 5 unidades. El costo de mantener una unidad en inventario es Bs. 200. Si el inventario no permite atender la totalidad demandada en una semana, se satisface parcialmente con la cantidad que haya, aunque por cada unidad no atendida se incurre en costo de oportunidad. El costo fijo de emitir una orden al proveedor es de Bs. 7500. El costo de compra por unidad es Bs. 800. El precio unitario de venta es de Bs. 950. Inicialmente, se tiene 400 unidades en existencia. Simule una longitud de simulación adecuada y estime: A) La política óptima de inventario que debe seguirse. B) Probabilidad de que la política óptima no permita atender la totalidad de demanda en cualquier semana. C) Costo esperado de pedido por año. D) probabilidad que la demanda semanal sea al menos 85 unidades. UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 57. Una compañía de alquiler de autos, debe determinar el número óptimo de autos a comprar para ofrecer en alquiler. El costo de adquisición de un auto prorrateado por día es Bs. 250. Según registros, la demanda diaria de autos solicitados en alquiler se distribuye de acuerdo a: Demanda de autos/ día Probabilidad 2 0.03 3 0.02 4 5 6 0.08 0.12 0.20 7 8 9 10 11 12 0.15 0.15 0.10 0.07 0.05 0.03 Si el ingreso diario por auto alquilado es de Bs. 350, y el costo de tener un auto ocioso durante un día es de Bs. 250. A) Determine la longitud de simulación requerida para estimar la cantidad de autos que debería comprar la compañía para atender su negocio de alquiler, con 95% de confianza y error de Bs. 200? (10). B) Simule y estime la cantidad de autos que se debe adquirir. (25). C) Construya un histograma de frecuencias para la utilidad de cada alternativa (5). 58. El tiempo de duración de 50 baterías, en cientos de horas, se muestra en la siguiente tabla continuación. Ajustar un modelo de probabilidad y estimar la probabilidad que una batería dure al menos 400 horas: A) mediante simulación. B) Analíticamente. 59. Ajuste los tiempos de duración (mins) de una muestra de 100 llamadas indicados a continuación: 20.48 13.64 17.84 16.86 17.73 12.07 11.22 8.69 16.53 20.66 22.81 10.97 12.17 20.75 8.55 16.93 10.34 12.01 18.85 12.77 15.11 9.53 13.71 16.12 19.50 12.14 15.84 16.35 16.14 13.69 11.54 19.40 9.87 17.10 19.99 15.68 15.92 17.46 20.96 21.02 17.29 13.99 14.53 16.41 14.09 10.89 20.57 12.65 12.33 17.39 13.50 19.06 22.52 12.81 10.21 22.57 12.07 19.94 19.75 13.21 19.11 21.78 13.10 12.09 19.73 10.11 18.85 15.78 10.90 10.99 14.31 9.25 12.46 20.82 14.07 15.66 21.14 13.53 13.34 17.19 15.46 15.19 9.31 13.11 12.16 14.64 15.32 9.05 18.44 10.72 12.56 16.48 12.18 9.94 20.77 8.54 10.66 12.16 12.52 15.51 SIMULACIÓN UNET / Ingeniería Industrial / Excel F. Ibarra Noviembre_2019 60. Una empresa especializada en riesgos laborales ha decidido estudiar la siniestralidad laboral de una factoría del sector minero. El número de siniestros laborales en los últimos cien meses se detalla en la siguiente tabla: Siniestros por mes Frecuencia 0 1 2 3 4 5 6 35 40 13 6 4 1 1 Utilizar el Test Chi-cuadrado para evaluar la hipótesis de que los datos siguen una distribución de Poisson. Utilizar un nivel de significancia de α = 0.05 61. El tiempo requerido para calcular y registrar el número de horas trabajadas durante una semana para cada uno de los 50 empleados de una empresa se muestra en la siguiente tabla: Tiempo (minutos) 1.88 0.54 1.90 0.15 0.02 2.81 1.50 0.53 2.62 2.67 3.53 0.53 1.80 0.79 0.21 0.80 0.26 0.63 0.36 2.03 1.42 1.28 0.82 2.16 0.05 0.04 1.49 0.66 2.03 1.00 0.39 0.34 0.01 0.10 1.10 0.24 0.26 0.45 0.17 4.29 0.80 5.50 4.91 0.35 0.36 0.90 1.03 1.73 0.38 0.48 Utilizar el Test Chi-cuadrado para evaluar la hipótesis de que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Utilizar un nivel de significancia de α = 0.05 y número de clases de intervalos k = 6. 62. La demanda de azúcar en una tienda se representa mediante una distribución discreta exponencial de 100 kg/día. El dueño de la tienda revisa el inventario cada 7 días, y hace un pedido a la planta igual a la capacidad de su bodega menos la cantidad de azúcar que tiene disponible al momento de realizar el chequeo. La planta suministra el pedido de inmediato. Cuando no puede atender la demanda de sus clientes, la tienda incurre en ventas perdidas. La capacidad de almacenamiento de la tienda es de 700 kg. El costo de ordenar es de 1000 Bs/orden. El costo de faltante es de Bs. 6/kg, y el costo de tener en inventario es de Bs. 1/kg. A) Determinar la longitud de la simulación pata estimar el costo promedio diario del inventario, con un nivel de confianza de 95% y error de 5%. Realice 20 corridas. B) Si revisara el inventario cada 5 días, ¿mejoraría su costo? 63. El Sr. Pérez, está interesado en comprar un autobús para realizar viajes desde San Cristóbal hasta Puerto la Cruz, pero por ser un viaje de 24 horas aproximadamente, está estudiando la posibilidad de lograr el mayor beneficio en cuanto a la distribución que desea sea realizada al autobús y la comodidad de sus pasajeros. El autobús se vende estándar, pero también hay la posibilidad de realizarle cualquier modificación de distribución según lo requiera el cliente. Las especificaciones de un autobús “estándar” son 90 puestos estándar y 1 baño. Pero hay ciertos “adicionales” que el cliente puede tomar, entre estos están: a. Colocar poltronas más cómodas en las primeras filas. Para ello, se requiere usar 2 puestos estándar para uno (1) de poltrona. Según estudios de diseño, el autobús no puede tener más de 6 poltronas, y se deben colocar en pares. b. Colocar un baño adicional. Por razones de diseño, solo se pueden colocar un máximo de dos baños. Por baño adicional, se debe reducir dos puestos estándar. Según registros, la demanda por asientos estándar sigue una distribución Normal con media de 85 y varianza de 25. La demanda de poltronas sigue una distribución triangular (0, 5,7). La utilidad por cada puesto estándar es 200 Bs; y por cada poltrona es de 500 Bs. Considere costos de oportunidad. Un baño adicional genera utilidad de Bs. 450. Simule (25 puntos) y determine: A) la longitud de simulación con 95 % de confianza, y precisión de Bs. 500, para estimar la ganancia diaria esperada por asignación óptima de poltronas, asientos estándares y baños (5 puntos). B) Determine la probabilidad de que un pasajero no encuentre una poltrona para viajar. (5 puntos). C) Mediante una macro, y 15 repeticiones, estime la Utilidad esperada (10 puntos). D) ¿Cuál es la probabilidad teórica que la demanda de puestos estándar en cualquier día sea al menos 90 puestos? (5 puntos). UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 64. El gobierno nacional planifica construir una represa con la finalidad de: a) controlar inundaciones en la zona b) riego agrícola c) recreación. La capacidad máxima de la represa será de 4 millones de metros cúbicos de agua, es decir 4 unidades. El flujo semanal en millones de metros cúbicos de agua del río que surtirá la represa, es una variable aleatoria cuya distribución es: Flujo Semanal Probabilidad 2 0.10 3 0.15 4 0.35 5 0.20 6 7 0.10 0.10 El gobierno debe atender un contrato de riego en la zona por la cantidad de dos unidades de agua por semana. Adicionalmente, para mantener la calidad del agua, es obligatorio liberar una unidad de agua a la semana. En consecuencia, la meta normal de salida de agua semanal es de tres unidades. Sin embargo, cuando el nivel de la represa más la entrada de agua es menor a las tres unidades indicadas anteriormente, cualquier escasez deberá ser resuelta a expensas del agua dedicada a riego. Si la represa está llena, toda entrada adicional se liberará inmediatamente. La política ecológica prohíbe reducir el nivel de la represa a menos de una unidad. El ingreso semanal por atender las dos unidades de riego es de Bs. 3 millones/unidad. Si no es posible suministrar las dos unidades de agua para riego, el gobierno pierde Bs. 1.5 millones/unidad. La represa también está disponible para propósitos recreacionales. Los ingresos por tal concepto dependen del nivel de la represa; en miles de bolívares son los siguientes: Nivel Ingresos 1 0 2 4.000 3 6.000 4 2.000 Finalmente, si es necesario liberar por exceso 2 o más unidades de agua se incurre en una pérdida por inundaciones de Bs. 5 millones. Determine el beneficio esperado semanal. ¿Cuál es la probabilidad de inundación? ¿Cuántas inundaciones se espera durante un año? Muestra de Números Aleatorios Uniformes U(0,1) 3247 2896 0958 9632 7302 5247 0896 0958 2749 9783 4207 4889 2683 6749 9783 4207 5269 4673 8491 2475 8764 5260 4673 8491 9781 8019 2082 2738 1059 3781 8019 2082 7413 9260 9550 8237 3581 7413 9260 9550 6542 5065 8932 4693 2917 6542 5065 8932 7028 4023 2359 5474 2071 7028 4023 2359 9276 5916 1645 8524 8630 1236 5916 1645 4165 1797 2463 3673 2459 4165 1797 2463 6429 8639 7649 7863 4572 6429 8639 7649 0947 5032 4389 9526 6832 0947 5032 4389 1830 2305 7853 2047 9421 1830 2305 7853 1374 0832 1093 2193 5432 1374 0832 1093 Muestra de Números Aleatorios Normales N(0,1) 0.69 -0.70 1.45 0.47 1.39 -0.70 -0.86 1.76 3.14 0.71 -0.61 1.76 -0.98 -0.25 -0.20 -0.38 0.98 -0.25 1.46 0.38 1.54 -0.51 0.76 0.38 -1.22 1.61 -1.24 0.76 -1.22 1.61 -0.12 0.38 0.40 -0.52 -0.12 0.38 -1.15 -0-76 -0.92 -0.48 -1.15 -0-76 -0.83 -2.07 1.08 -0.98 -0.83 -2.07 -0.91 0.43 -1.11 -0.33 0.94 -0.07 1.71 2.44 -0.38 0.64 0.00 -0.57 0.10 0.56 2.00 0.85 -0.91 0.43 -1.11 -0.33 0.94 -0.07 1.71 2.44 UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 Longitud de la Simulación (Tamaño de muestra) Promedio % /Proporción/Probabilidad TLC (normalidad) 𝑍∝/2 2 . 𝑆 2 𝑍∝/2 2 𝑛 >= 𝑛 >= 𝐸2 4 ∗ 𝐸2 Error entre 0y1 CHEBYSHEV 𝑆2 𝑛 >= ∝∗ 𝐸2 Cálculo del Intervalo de Confianza Tamaño de la Prueba Piloto Mayor o igual a 30 (≥30) Teorema del Límite Central Promedios 𝑆 𝑋̅ + 𝑍∝/2 ∗ . √𝑛 𝑆 ∗ 𝑋̅ − 𝑍∝/2 . √𝑛 𝑋̅ + 𝑡𝑛−1,∝/2∗ . Menor a 30 (<30) 𝑋̅ − 𝑡𝑛−1,∝/2∗ . Proporciones 𝑃 + 𝑍∝/2 ∗ . √ 𝑃(1 − 𝑃) 𝑛 𝑃 − 𝑍∝/2 ∗ . √ 𝑃(1 − 𝑃) 𝑛 𝑆 √𝑛 𝑆 √𝑛 𝑃 + (𝑡𝑛−1,∝/2)∗ . √ 𝑃 − (𝑡𝑛−1,∝/2) ∗ . √ 𝑃(1 − 𝑃) 𝑛 𝑃(1 − 𝑃) 𝑛 Teorema de Chebyshev Promedios 𝑋̅ + 𝑋̅ − 𝑆 √𝑛. ∝/2 𝑆 √𝑛. ∝/2 UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 Funciones para Generación Aleatoria en Excel 2007 y 2010 Desde 2007, Excel actualizó los nombres de sus funciones estadísticas. Todas las funciones, cuyo nombre incluya la palabra INV, corresponden a generadores de valores aleatorios. Las siguientes expresiones son útiles al modelado de aplicaciones bajo simulación en Excel. Cada nombre sugiere la distribución de probabilidad que representa. Más adelante, en el capítulo 3, se mostrarán los procedimientos clásicos de generación aleatoria. Uniforme(0,1): = ALEATORIO() Uniforme(a,b): = ALEATORIO.ENTRE(a;b), valores discretos. Uniforme(a,b): =a+(b-a)* ALEATORIO(), valores continuos. Geométrica: =REDONDEAR.MENOS(LN(ALEATORIO()) / LN(1-p); 0) Poisson: = BINOM.CRIT (λ/0,001; 0,001; ALEATORIO()) =INV.BINOM(promedio poisson λ/ 0,001; 0,001; ALEATORIO()) Exponencial: =-1/ λ*LN(ALEATORIO()) Binomial: = BINOM.CRIT(n; p; ALEATORIO()) =INV.BINOM(ensayos n; prob. de éxito p; ALEATORIO()) Normal(0,1): = DISTR.NORM.ESTAND.INV (ALEATORIO()) =INV.NORM.ESTAND(ALEATORIO()) Normal(μ;σ): =DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(); μ; σ) =INV.NORM(ALEATORIO(); μ; σ) Lognormal: =DISTR.LOG.INV(ALEATORIO(); μ; σ) =INV.LOG.NORM(ALEATORIO(); μ; σ) Weibull: = α *(-LN(1- ALEATORIO()))^(1/ β) Gamma: =DISTR.GAMMA.INV(ALEATORIO(); α ;β) =INV.GAMMA(ALEATORIO();α ; β) Beta: =DISTR.BETA.INV(ALEATORIO α; β ; a ; b ) =INV.BETA.N(ALEATORIO α; β ; a; b) Triangular: Opción 1: c+(a+aleatorio()*(b-a)-c)*Raiz(aleatorio()) Opción 2: 1. Calcular Z = (b - a) / (c - a) 2. Generar un valor aleatorio uniforme R entre [0,1] 3. Si R < Z, calcular T Z * R ; caso contrario, T 1 (1 Z ) (1 R) 4. Obtener la variable aleatoria Triangular x = a + ( c – a) * T UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 Penúltimo Parcial 2018: 1. Un participante en un concurso, recibe 8 llaves, entre las que se encuentra una, que permite abrir una puerta y ganarse una moto. El concursante tiene 3 oportunidades, de modo que cada vez debe escoger al azar una de entre las 8; y probar si logra la apertura. Si la llave seleccionada no es la correcta, la misma es devuelta y mezclada en el grupo de llaves para luego realizar el próximo intento, de entre sus tres oportunidades. A) Para un nivel de confianza del 99% y un error de 1%, determine la longitud de simulación requerida para estimar la probabilidad de que el participante gane el concurso. (5 puntos). B) Simule y estime la probabilidad de ganar el concurso. (25 puntos). C) Probabilidad de ganar el concurso en el segundo intento. (10 puntos). D) Teóricamente, ¿Cuál es la probabilidad de que el participante gane el concurso en el tercer intento? (10 puntos). 2. La demanda semanal de un producto es normal discreta, con promedio de 90 unidades y varianza de 49. Con la finalidad de optimizar el manejo de existencias del producto, el responsable de mantener el inventario, desea determinar la cantidad de unidades que debe pedir al proveedor. La política de inventario es la siguiente: al cierre de cada semana, se revisa la existencia, y si es inferior a 50 unidades, se ordena determinada cantidad de lotes al proveedor. El proveedor vende y surte solo lotes del producto, y garantiza que estén disponibles al inicio de la semana. Un lote está compuesto de 10 unidades. El costo de mantener una unidad en inventario es Bs. 150. Si el inventario no permite atender la totalidad demandada en una semana, se satisface parcialmente con la cantidad que haya, aunque por cada unidad no atendida se incurre en costo de oportunidad de Bs. 200. El costo fijo de emitir una orden al proveedor es de Bs. 5000. El costo por unidad es Bs. 500. El precio de venta por unidad es de Bs. 700. Inicialmente, se tiene 200 unidades en existencia. Simule una longitud de simulación adecuada y estime: A) La política óptima de pedidos al proveedor que debe seguirse. (20 puntos). B) Probabilidad de que la política óptima no permita atender la totalidad de demanda en cualquier semana. (10 puntos). C) Teóricamente, ¿Cuál es la probabilidad que en una semana, la demanda sea inferior a 75 unidades? (10 puntos). 3. Auto alquila es una compañía que ofrece autos en alquiler. Posee 500 unidades. Una vez por semana se inspecciona cada automóvil. Durante este tiempo, un auto pudo haber estado alquilado, o haber requerido mantenimiento menor o mayor. En la primera semana de junio, se determinó que 400 autos estaban en condiciones de ser alquilados, 80 necesitaban reparaciones menores y 20 requirieron reparaciones mayores. En la segunda semana de junio, 350 de los autos que estaban en buenas condiciones se mantenían igual, 40 necesitaban reparaciones menores y 10 necesitaban reparaciones mayores. De los 80 que necesitaban reparaciones menores, 50 se encontraban en buenas condiciones, 25 seguían necesitando reparaciones menores y otros 5 exigían ahora reparaciones mayores. Por último, de los 20 automóviles que requerían de reparaciones mayores, 15 estaban en buenas condiciones, 3 requerían reparaciones menores, y 2 seguían necesitando reparaciones mayores. Se considera que ese comportamiento es permanente de semana en semana. Asuma que un auto en buenas condiciones produce ingreso semanal de Bs. 30 mil. Un auto en reparación menor produce gastos de Bs 10 mil; y 50 mil si pasa en reparación mayor. Para una longitud de simulación de 50 mil autos, A) Simule y estime la utilidad semanal esperada. (35). B) Anualmente, ¿Cuántas semanas se espera que pase un auto en mantenimiento mayor? (15 puntos) Resuelva y envíe solo dos problemas. Utilice un libro Excel y guarde el archivo con su primer apellido y primer nombre. Ejecute la simulación de cada problema en sendas hojas del libro. Indique sus respuestas en cada hoja. Para agilizar envío y recepción, el archivo Excel solo debe contener un máximo de 15 o 20 filas. Es decir, aunque su simulación requiera miles de filas, obtenga los resultados para dar las respuestas, y finalmente, elimine todas las filas desde, por ejemplo, la fila 25 en adelante, a fin de no enviar un archivo tan pesado en megabytes. No se acepta archivos comprimidos. Envíe a: [email protected] UNET / Ingeniería Industrial / SIMULACIÓN Excel F. Ibarra Noviembre_2019 Ultimo Parcial 2019: 1. Una evaluación consta de 6 preguntas de selección múltiple, con cuatro opciones cada una, donde solo una respuesta es correcta. Un alumno no estudió y decide contestar al azar. La evaluación se aprueba con acierto de 4 o más preguntas. A) Con error de 1% y 95% de confianza, determine la longitud de la simulación para estimar la probabilidad de aprobar. (5) B) Simular según A) (15). C) ¿Cuál es su probabilidad de aprobar? (5). D) ¿Teóricamente, ¿Cuál es la probabilidad de aprobar? (5). 2. Un fabricante de balones produce tres modelos diferentes, y ofrece garantía de reemplazo en caso de que el producto resulte defectuoso. La cantidad de balones defectuosos por modelo es una variable aleatoria Normal discreta, con promedio y desviación que se indica a continuación; además del costo y precio de venta por unidad: Modelo A Modelo B Modelo C Promedio por cada mil unidades fabricadas: 16 12 6 Desviación Estándar: 3 2,5 2 Costo por balón Bs.: 900 1200 1600 Precio de venta: porcentaje del costo 20 % 25 % 15 % Si la producción mensual es mil balones por modelo, mediante simulación estime A) Longitud del experimento de simulación con 95% de confianza y un error del 5 %, para estimar la ganancia esperada. (5). B) Simule según A) (15), y estime: C) Ganancia esperada (5). D) Costo esperado por reemplazo de balones defectuosos. (5). 3. Una bodega posee un muelle usado para descargar vagones. La cantidad de vagones que son descargados diariamente es una variable aleatoria Poisson con promedio de 3 diarios y valor mínimo de 1. Si la necesidad de descarga supera la capacidad de carga, el excedente se pospone para ser descargado según las posibilidades del día siguiente. Los vagones siempre llegan en la noche y se planifica su descarga para la mañana siguiente. Experiencia pasada indica, que la cantidad de vagones que llegan diariamente sigue la siguiente distribución: Vagones 0 Probabilidad 0,05 1 0,12 2 0,20 3 4 5 0,23 0,25 0,15 La empresa paga penalización de Bs. 100 mil diarios por cada vagón que sea postergado. A) Simule durante 10 mil días. (15) y estime: B) Desembolso esperado por vagones postergados para descargar el día siguiente. (5). C) Probabilidad de que en cualquier día el muelle no trabaje por no tener vagones que descargar. (5). D) Determine la probabilidad de descargar por lo menos tres vagones diarios. (5).
