BLOQUE 1 Al concluir el bloque, podrás: • Identificar diferentes tipos de ángulos y triángulos. • Resolver ejercicios y/o problemas mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo. • Utilizar las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos en la resolución de situaciones matemáticas y reales. Bloque 1.indd 12 11/1/11 7:58 PM Ángulos, triángulos y relaciones métricas Objetos de aprendizaje Competencias por desarrollar Ángulos: •Por su abertura. •Por la posición entre dos rectas. •Paralelas y una secante (transversal). •Por la suma de sus medidas: - Complementarios. - Suplementarios. Triángulos: •Por la medida de sus lados. •Por la abertura de sus ángulos. •Propiedades relativas de los triángulos. • Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. • Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. • Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. • Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. • Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiablidad. • Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. • Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos. • Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. • Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y las habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Actividades de enseñanza Presentar a los estudiantes la clasificación de ángulos y triángulos. Actividades de aprendizaje Instrumentos de evaluación Investigar las características de los diferentes ángulos y triángulos. Hacer un collage donde se muestren los diferentes Solicitar a los estudiantes un collage donde se muestren ángulos y triángulos y exponerlo a los demás los diferentes ángulos y triángulos integrantes del grupo. y exponerlo a los demás integrantes del grupo. Lista de cotejo para evaluar la elaboración del collage. Pedir a los estudiantes que investiguen cuáles son las rectas y los puntos notables del triángulo. Entregar un reporte escrito por equipos en donde se presente la investigación sobre las rectas y los puntos notables del triángulo. Usar software para realizar las construcciones geométricas, como el Cabri y/o Geogebra (que es de uso libre en la red). Lista de cotejo para evaluar el reporte escrito. Ejemplificar a los estudiantes la solución de ejercicios de las propiedades de ángulos y triángulos. Obtener ángulos en rectas paralelas cortadas por una secante, a partir de al menos un ángulo conocido. Lista de cotejo para evaluar cómo resolvieron los ejercicios. Solicitar a los estudiantes que Resolver ejercicios y problemas usando las propiedades resuelvan ejercicios y problemas de ángulos y triángulos tanto en clase como extraclase. usando las propiedades de ángulos y triángulos en clase y extraclase. Los problemas planteados deben estar relacionados con situaciones que se identifican en su comunidad. Bloque 1.indd 13 Rúbrica para evaluar los niveles de desempeño que adquirió el estudiante al resolver los problemas. 11/1/11 7:58 PM B LOQU E 1 ¿De q ué me ac ue rdo? Esta sección está diseñada para que identifiques y recuperes tus conocimientos previos acerca de los temas que estudiarás en este bloque. 1. ¿Qué es un ángulo? 2. ¿Qué partes tiene un ángulo? 3. Dibuja un ángulo agudo. 4. Encierra en un círculo los ángulos agudos. 5. Escribe el nombre de cinco figuras que presenten al menos un ángulo. 6. ¿Conoces algún oficio o profesión en el que se empleen los ángulos? Escríbelo. 7. ¿Qué es un triángulo? 8. Escribe el nombre de dos objetos cuyas formas tengan al menos un triángulo. 14 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 14 11/1/11 7:58 PM B LOQU E 1 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Los ángulos y triángulos son construcciones geométricas que cotidianamente se emplean en gran cantidad de objetos y estructuras, como rampas para sillas de ruedas, escaleras, resbaladillas, toboganes, paredes, sillas, aparatos para hacer ejercicio y carreteras. En diversos trabajos se requiere tener conocimiento sobre ángulos y triángulos para desarrollarlos de forma eficiente, ejemplo de ello son los que desempeñan astrónomos, geógrafos, carpinteros, arquitectos, ingenieros, fotógrafos y diseñadores gráficos, por mencionar algunos. El triángulo se emplea en la fabricación de grúas, estructuras para techos, puentes y juegos mecánicos, entre otros, para conseguir que las estructuras permanezcan con su forma original. 1.1 Ángulos Un ángulo se define como la abertura formada en un plano por dos rayos llamados lados, los cuales se unen en un punto denominado vértice. En la siguiente figura se muestran los elementos de un ángulo. Lado terminal Vértice Lado inicial Signo de un ángulo Los ángulos se clasifican en positivos cuando su lado terminal se abre en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, y negativos cuando aquél se abre en el sentido de las manecillas del reloj. Observa la imagen. Ángulo positivo Lado terminal Ángulo negativo Lado inicial (–) (+) Lado inicial Lado terminal Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 15 15 11/1/11 7:58 PM B LOQU E 1 Notación de ángulos Los elementos de un ángulo se indican con una notación específica, la cual nos permite distinguir entre los lados, el vértice y la abertura del ángulo; ésta puede componerse como se indica a continuación. 1. Con una letra mayúscula en el vértice. D 2. Con una letra minúscula, letra griega minúscula o un número, que se coloca entre los lados del ángulo. b 1 3. Con tres letras mayúsculas, la del vértice en el centro. B A C Medición de un ángulo Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad de medida. Existen varias formas de medir ángulos, pero el sistema sexagesimal es el más empleado en México. Sistema sexagesimal En éste, la circunferencia se divide en 360 partes iguales denominadas grados; un grado, a su vez, posee 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto tiene 60 partes iguales que constituyen los segundos. La notación para estos elementos es: Grados (°) Minutos (‘) Segundos (“) 1 circunferencia = 360° 1° = 60‘ 1‘ = 60“ Los transportadores son herramientas para medir los ángulos. Hay dos tipos: uno es una circunferencia completa, dividida en 360°, y otro es una semicircunferencia, con una graduación que va de 0° a 180° en ambos sentidos (positivo y negativo). 16 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 16 11/1/11 7:58 PM B LOQU E 1 Trazo de ángulos con el transportador Para dibujar un ángulo con el transportador, hay que seguir estas indicaciones. Observa la figura en la que se ilustra cada paso. 1. Traza el lado inicial del ángulo. 2. Selecciona el vértice en uno de los extremos del lado inicial. Coloca el origen del transportador en el punto antes elegido, cuidando que la medida de 0° esté sobre el vértice. c) Tomamos la lectura numérica con el lado fnal. 3. Mide el ángulo y traza una marca. 4. Dibuja un segmento para unir el vértice con la marca trazada. b) Colocamos el lado inicial en 0º a) Colocamos el vértice del ángulo en el origen del transportador La medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de su abertura; considera la siguiente figura: advierte que hay tres ángulos con lados de diferente longitud, pero idéntica abertura. a aa a a aa a y y y y y y y y Aunque el sistema sexagesimal incluye grados, minutos y segundos, la escala de un transportador común sólo llega a grados, por lo que si se requiere hacer mediciones exactas, se emplea el transportador de precisión o goniómetro. Po n te e n f o r m a 1. Mide los ángulos indicados y anota en la línea su medida en grados. Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 17 17 11/1/11 7:58 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a 1. Toma cada segmento como lado inicial y traza un ángulo positivo con la medida indicada. = 30° = 45° ε = 215° = 257° = 70° = 270° = 100° = 324° = 190° = 348° Adiciones y sustracciones con ángulos Casos de adición con ángulos Medida de los ángulos Ejemplo Grados 50° + 35° = 85° 50° 40‘ + 35° 12‘ 85° 52‘ Grados y minutos 40° 54‘ + 45° 6‘ 85° 60‘ Característica La suma de los minutos no completa un grado. como 60‘ = 1° = 86° 72° 56‘ + 55° 43‘ 85° 99‘ como 60‘ = 1° = 99‘ – 60‘ = 39‘ tenemos 99‘ = 1° = 39‘ entonces son 85° + 1° = 39‘ = 86° 39‘ La suma de los minutos completa un grado. La suma de los minutos excede un grado. 18 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 18 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Medida de los ángulos Ejemplo Característica 50° 40“ + 35° 12“ 85° 52“ Grados y segundos La suma de los segundos no completa un minuto. 40° 54“ + 45° 6“ 85° 60“ como 60“ = 1‘ 85° + 1‘ = 85° 1‘ La suma de los segundos completa un minuto. 72° 56“ + 55° 43“ 85° 99“ como 60“ = 1‘ = 99“ – 60“ = 39“ tenemos 99“ = 1‘ 39“ entonces son 85° + 1‘ 39“ = 85° 1‘ 39“ Medida de los ángulos La suma de los segundos excede un minuto. Ejemplo Característica 28‘ 42“ + 15‘ 11“ 43‘ 53“ Minutos y segundos La suma de los segundos no completa un minuto. 24‘ 47“ + 32‘ 13“ 56‘ 60“ como 60“ = 1‘ 56‘ + 1‘ = 57’ La suma de los segundos completa un minuto. 12‘ 56“ + 25‘ 43“ 37’ 99“ como 60“ = 1‘ = 99“ – 60“ = 39“ tenemos 99“ = 1‘ = 39“ entonces son 37‘ + 1‘ + 39“ = 38‘ 39“ La suma de los segundos excede un minuto. Po n te e n f o r m a 1. Reúnanse en equipos y resuelvan las siguientes sumas de ángulos. 42° 30‘ 22“ + 12° 12‘ 14“ 73° 30‘ 12“ + 35° 12‘ 34“ 22° 03‘ 34“ + 37° 42‘ 44“ 45° 30‘ 52“ + 15° 29‘ 13“ 82° 00‘ 28“ + 15° 00‘ 32“ 55° 34‘ 42“ + 15° 12‘ 04“ 72° 30‘ 12“ + 36° 42‘ 34“ 22° 03‘ 34“ + 31° 42‘ 44“ 52° 30‘ 52“ + 15° 29‘ 13“ 98° 00‘ 18“ + 17° 00‘ 22“ Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 19 19 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Casos de sustracción con ángulos Medida de los ángulos Ejemplo Grados 50° – 35° = 85° Grados y minutos 50° 40‘ – 35° 12‘ 15° 28‘ El minuendo de los minutos es mayor que el sustraendo de los minutos. 60° 54‘ – 44° 54‘ 16° 00‘ El minuendo y el sustraendo de los minutos son iguales. 72° 26‘ – 55° 43‘ Tomamos 1° del minuendo, lo convertimos a 60‘ y se lo sumamos a los minutos que tenemos: El minuendo de los minutos es menor que el sustraendo de los minutos. 72° 26‘ = 71° + 1° + 26‘ = 71° + 60‘+ 26‘ = 71° 86‘ Recuerda que: 1° = 60‘ 71° 86‘ – 55° 43‘ 16° 43‘ Medida de los ángulos Grados y segundos Característica Ejemplo Característica 50° 40“ – 38° 13“ 12° 27“ El minuendo de segundos es mayor que el sustraendo de segundos. 50° 14“ – 44° 14“ 6° 00“ El minuendo y el sustraendo de segundos son iguales. 72° 25“ – 55° 40“ Tomamos 1° del minuendo, lo convertimos a 60‘, quedando 71° 60‘ 25“ Ahora tomamos 1‘ y lo convertimos a segundos, quedando 71° 59‘ 60“ + 25“ = 71° 59‘ 85“ Así realizamos la resta El minuendo de segundos es menor que el sustraendo de segundos. Recuerda que: 1° = 60‘ 1‘ = 1“ 71° 59‘ 85“ – 55° 00‘ 40“ 16° 59‘ 45“ 20 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 20 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Medida de los ángulos Ejemplo Característica 28‘ 42“ – 15‘ 11“ 13‘ 31“ El minuendo de los segundos es mayor que el sustraendo de los segundos. 24‘ 47“ – 22‘ 47“ 2‘ 00“ El minuendo y el sustraendo de los segundos son iguales. 32‘ 6“ – 25‘ 43“ Minutos y segundos Tomamos un 1‘ del minuendo, lo convertimos a segundos 32‘ – 1‘ = 31‘ El minuendo de los segundos es menor que el sustraendo de segundos. 32‘ 6“ = 31‘ + 1‘ + 6“ = 31‘ + 60“ + 6“ = 31‘ 66“ Recuerda que: 1‘ = 60“ Así realizamos la resta 31‘ 66“ – 25‘ 43“ 6‘ 23“ Po n te e n f o r m a 1. Reúnanse en equipos y resuelvan las siguientes sustracciones de ángulos. 45° 30‘ 22“ – 15° 12‘ 14“ 72° 30‘ 12“ – 35° 42‘ 34“ 42° 03‘ 34“ – 25° 42‘ 44“ 47° 30‘ 52“ – 45° 29‘ 13“ 92° 00‘ 28“ – 19° 00‘ 32“ 55° 34‘ 42“ – 28° 12‘ 04“ 72° 30‘ 12“ – 35° 42‘ 34“ 53° 03‘ 34“ – 52° 42‘ 44“ 79° 30‘ 52“ – 55° 29‘ 13“ 65° 00‘ 58“ – 53° 00‘ 02“ Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 21 21 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Clasificación de ángulos Los ángulos se pueden clasificar según varios criterios: por su abertura, por la posición del observador y por la posición de sus lados. TIC Visita los siguientes sitios para encontrar información acerca de clasificación de ángulos por su abertura. http://www.profesorenlinea.cl/geometria/angulosclasificacion.htm http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/segundo-ciclo-basico/matematica/geometria/2009/12/102-8681-9-1angulos.shtml Po n te e n f o r m a 1. Investiga cómo se clasifican los ángulos según su magnitud, escribe en la siguiente tabla los datos y haz las representaciones indicadas. Recurre a libros, enciclopedias o sitios web. Clasificación de ángulos según su magnitud Nombre Medidas Representación gráfica Imagen de un objeto que contenga el ángulo Nulo Agudo 22 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 22 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Clasificación de ángulos según su magnitud Nombre Medidas Representación gráfica Imagen de un objeto que contenga el ángulo Recto Obtuso o convexo Llano, colineal o extendido Entrante o cóncavo Perigono o completo Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 23 23 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a 1. Analiza la magnitud de los ángulos y escribe el nombre que le corresponde. Magnitud Nombre del ángulo Magnitud 2° 222° 124° 14° 14‘ 14“ 45° 30‘ 145° 30‘ 289° 9‘ 89° 9‘ 99° 20‘ 3“ 199° 20‘ 3“ 360° 359° 59‘ 59“ 45° 89° 45‘ 180° 180° 2‘ 1“ 235° 23‘ 179° 59‘ 43° 12‘ 3“ 3“ Nombre del ángulo Clasificación de ángulos según la posición del observador Nombre Características Ángulo de elevación Está formado por la horizontal que pasa por el ojo del observador y el rayo que se determina al dirigir la vista hacia un punto por encima del observador. Representación Ángulo de elevación Observador Observador Ángulo de depresión Está formado por la horizontal que pasa por el ojo del observador y el rayo que se determina al dirigir la vista hacia un punto por debajo del observador. Ángulo de depresión 24 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 24 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a 1. En las siguientes figuras, traza una línea horizontal a partir del ojo del observador y otra línea hacia donde se dirige la vista. Luego, escribe cómo se clasifica ese ángulo según la posición del observador. Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 25 25 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Clasificación de ángulos por la posición de sus lados Nombre Características Ángulos consecutivos Tienen vértice común y un lado común. Ángulos adyacentes Son consecutivos y los lados no comunes forman parte de una misma recta. Representación b a δ Ángulos opuestos por el vértice Los lados de uno de ellos son prolongaciones de los lados del otro. y El δ es opuesto al y Po n te e n f o r m a 1. Observa el ángulo marcado con rojo y escribe su nombre según su posición entre las dos rectas formadas. 26 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 26 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 P ie n s a 1. Identifica en cuál de los siguientes casos se forman ángulos consecutivos y anótalo. Para los otros dos pares, justifica por qué no cumplen con las condiciones necesarias para ser ángulos consecutivos. b a b a b a Po n te e n f o r m a 1. Encuentra el valor de las incógnitas en los siguientes ejercicios. 80˚ 88˚ ? 46 ˚ 138˚ C ? 125˚ 30˚ Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 27 27 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 105˚ ? 75˚ 30 ˚ c a b 50˚ 52˚ ? 95˚ 120˚ 30˚ c b d 85˚ a a 125˚ e f 95˚ 130˚ 28 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 28 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Clasificación de ángulos por la suma de sus medidas Nombre Características Ángulos complementarios Representación Son dos ángulos cuyas magnitudes suman 90º. Un ángulo es complemento del otro, si: ∡ α + ∡ β = 90° Ángulos suplementarios Son dos ángulos cuyas magnitudes suman 180º. Un ángulo es suplemento del otro, si: ∡ α + ∡ β = 180° Ángulos conjugados Son dos ángulos cuyas magnitudes suman 360°. Un ángulo es conjugado de otro si: ∡ α + ∡ β = 360° Po n te e n f o r m a 1. Calcula el complemento, suplemento y conjugado de cada uno de los siguientes ángulos y anótalo. Ángulo Complemento Suplemento Conjugado 43° 79° 55° 10’ 25’ 25’’ 55’ 20’ 45’’ 13’’ 4° 59’ 20’’ 40°40’ 40’’ Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 29 29 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos que se clasifican por parejas, ya sea por su posición entre las paralelas o la transversal. Ángulos interiores o internos Ángulos exteriores o externos Son los que se encuentran entre las líneas paralelas. Son los que se encuentran fuera de las líneas paralelas. Ángulos colaterales Ángulos alternos Son los que se encuentran de un mismo lado de la transversal. Son los que se encuentran en lados opuestos respecto de la transversal, sin ser consecutivos. Clasificación de pares de ángulos Correspondientes: son dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y otro externo) y que son congruentes (es decir, tienen la misma medida). 30 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 30 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Alternos internos: se trata de dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos), dentro de las paralelas (internos) y son congruentes. Alternos externos: son dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos). También son congruentes. Colaterales internos: se trata de dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos). Son suplementarios. Colaterales externos: son dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos). Son suplementarios. Observa que los ángulos formados por dos rectas paralelas que están cortadas por una recta transversal, presentan las siguientes propiedades: 1. Los pares de ángulos correspondientes son iguales. 2. Los pares de ángulos alternos internos son iguales. 3. Los ángulos colaterales internos son suplementarios. 4. Los ángulos colaterales externos son suplementarios. 5. Si varias rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas también es perpendicular a las otras. Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 31 31 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a 1. A partir de la siguiente figura, escribe las letras de los ángulos solicitados en cada inciso. y x z l w b a c d m a) Ángulos correspondientes b) Ángulos alternos internos c) Ángulos alternos externos d) Ángulos colaterales internos e) Ángulos colaterales externos f) Ángulos opuestos por el vértice 2. Escribe el valor de todos los ángulos faltantes. a) b) c) 150˚ d) 70˚ 50˚ 50˚ 65˚ 32 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 32 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 3. Calcula todos los ángulos indicados en cada figura. (Sugerencia: alarga las rectas paralelas y la línea transversal.) a) A D B 35˚ C b) 38˚ 73˚ x 68˚ x y D A y B C S c) d) A x B y 190˚ 54˚ C x 70˚ D y y S´ S B A e) 54˚ E f) A x C 4y B D 120˚ 60˚ y G x + 2y C D F S´ Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 33 33 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 1.2 Triángulos El triángulo se define como una porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. Los elementos de cualquier triángulo son: tres vértices, tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores. Los vértices corresponden a los tres puntos no alineados que determinan el triángulo. Los lados, en tanto, son tres segmentos de recta que se cortan en los vértices y delimitan el triángulo. Finalmente, los ángulos interiores se forman con dos lados consecutivos del triángulo, y los exteriores, con la prolongación de un lado y el lado consecutivo. Notación de los elementos de un triángulo Para distinguir los elementos del triángulo, se usan diferentes símbolos. Los vértices se nombran con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas; en los ángulos, se emplean letras minúsculas del alfabeto griego, como puedes observar en las siguientes figuras (advierte que en la que está a la derecha, los ángulos interiores están marcados en rojo y los exteriores en verde). También se ocupa el símbolo ∡ para señalar al ángulo. B a c A C A b A β a c α b B B β C B α C A C Otra manera de indicar los lados, es usar las letras mayúsculas correspondientes a los dos vértices que constituyen sus extremos y colocar una línea horizontal sobre ellas, de la siguiente manera: AB BC AC El símbolo ∆ se utiliza para indicar un triángulo, por ejemplo, las figuras anteriores pueden ser referidas como: ∆ABC. Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y la magnitud de sus ángulos internos. TIC En la siguiente dirección electrónica encontrarás información sobre triángulos: http://www.escolar.com/avanzado/geometria010.htm 34 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 34 11/1/11 7:59 PM Po n te e n f o r m a B LOQU E 1 1. Para recordar cómo se clasifican los triángulos según la longitud de sus lados, completa la siguiente tabla. Investiga en libros, enciclopedias o sitios web. Nombre Características Representación Sus lados son: Equilátero Sus tres ángulos miden: Dos de sus lados son: Isósceles Dos ángulos son: Sus tres lados son: Escaleno Sus tres ángulos son: 2. Para recordar la clasificación de triángulos según la magnitud de sus ángulos, completa la siguiente tabla. Investiga en libros, enciclopedias o sitios web. Nombre Características Obtusángulo Tiene un ángulo: Acutángulo Sus tres ángulos son: Rectángulo Tiene un ángulo: Representación Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 35 35 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 P ie n s a 1. Analiza los cuestionamientos y contesta. Justifica cada respuesta y da un ejemplo. Si la respuesta es afirmativa, además dibuja en tu cuaderno la figura con los datos que permitan cumplir la condición. a) ¿Un triángulo equilátero puede ser triángulo obtusángulo? b) ¿Un triángulo equilátero puede ser triángulo rectángulo? c) ¿Un triángulo equilátero puede ser triángulo acutángulo? d) ¿Un triángulo isósceles puede ser triángulo obtusángulo? e) ¿Un triángulo isósceles puede ser triángulo rectángulo? f) ¿Un triángulo isósceles puede ser triángulo acutángulo? g) ¿Un triángulo escaleno puede ser triángulo obtusángulo? h) ¿Un triángulo escaleno puede ser triángulo rectángulo? i) ¿Un triángulo escaleno puede ser triángulo acutángulo? Propiedades generales de los triángulos Todos los triángulos, independientemente de la longitud de sus lados o la magnitud de sus ángulos internos, cumplen estas propiedades: 1. La suma de sus ángulos interiores es igual a 180°. 2. La suma de sus ángulos exteriores siempre es igual a 360°. 3. Un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. 4. Un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 5. El lado mayor se opone al ángulo de mayor magnitud. Adicionalmente, los triángulos isósceles tienen una propiedad específica: a sus dos lados iguales se oponen ángulos iguales. En las siguientes actividades podrás comprobar las propiedades de los triángulos. 36 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 36 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a 1. Traza tres triángulos distintos, recorta cada uno en otros tres triángulos distintos. Después, pega todos los vértices de cada triángulo sobre un mismo punto. Al terminar, responde: a) ¿Qué observaste al pegar los ángulos de los tres triángulos en forma consecutiva? b) ¿Cuál es la medida del ángulo que forman? 2. Determina el ángulo faltante en cada triángulo. a) b) ? c) ? ? 57˚ 135˚ 62˚ 20˚ 46˚ 3. En los siguientes triángulos están indicados los ángulos interiores con su medida (la figura no está a escala). a) Obtén el valor de los ángulos exteriores y anótalo. b) ¿Cuánto suman los ángulos exteriores en cada caso? 48˚ 52˚ 52˚ 48˚ 80˚ 80˚ 51˚ 51˚ 75˚ 75˚ Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 37 37 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 P ie n s a 1. Sigue las instrucciones para el siguiente triángulo y luego responde. a) Mide los ángulos interiores del triángulo y anota la medida de cada uno. b) Prolonga uno de los lados para formar un ángulo exterior. Mídelo y escribe su magnitud. c) Suma los ángulos interiores no adyacentes al ángulo exterior trazado. Escribe su medida. ¿Qué notas? d) ¿Sucederá lo mismo si repites el procedimiento para los otros dos ángulos exteriores? ¿Por qué crees que ocurra esto? 2. Para cada triángulo, calcula el ángulo exterior faltante. a) b) 42˚ 42˚ c) 42˚ 42˚ 42 42 74˚ ? 74˚ ? ? ? ? ? 38 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 38 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a Haz la siguiente actividad que te permitirá comprobar la propiedad 4 de los triángulos. 1. Responde y argumenta tu respuesta en cada caso (puedes usar una representación gráfica para ello, utiliza tu cuaderno). a) ¿Es posible formar un triángulo en el que la suma de dos lados sea mayor que la medida del tercer lado? b) ¿Es posible formar un triángulo en el que la suma de dos lados sea igual que la medida del tercer lado? c) ¿Es posible formar un triángulo en el que la suma de dos lados sea menor que la medida del tercer lado? Para comprobar de modo gráfico la propiedad 4 de los triángulos, también puedes usar algunos materiales sencillos. En esta parte de la actividad necesitarás doce palillos de madera (cada uno representará un valor de 1 unidad de longitud); reúnelos y sigue las indicaciones. Debes usar todos los palillos en cada caso. 2. Usa los palillos para formar los triángulos que se indican. Dibújalos en tu cuaderno y responde. a) Triángulo equilátero. Anota cuánto mide cada lado. a+b= c= b+c= a= a+c= b= a−b= c= b−c= a= a−c= b= Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 39 39 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 b) Triángulo con lados de 3, 4 y 5 unidades. Anota cuánto mide cada lado. a+b= c= b+c= a= a+c= b= a−b= c= b−c= a= a−c= b= c) Triángulo con dos lados de 5 unidades. Anota cuánto mide el tercer lado. a+b= c= b+c= a= a+c= b= a−b= c= b−c= a= a−c= b= 3. Si intentamos trazar los siguientes triángulos, ¿en qué casos sí podríamos hacerlo? Explica por qué. 2 cm 5 cm 4 cm 5 cm 5 cm 5 cm 10 cm 7 cm 10 cm 40 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 40 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 4. Ahora realiza lo que se indica para comprobar la propiedad 5 de los triángulos. D m k M K d a) Determina la medida de los tres ángulos interiores y anótala. ¿Cómo es su magnitud? b) Mide los tres lados y escribe su longitud. Observa y compara la posición y longitud de cada lado en relación con los otros. ¿Qué puedes decir al respecto? 5. Verifica si las conclusiones obtenidas para el ejercicio anterior también son válidas para los siguientes triángulos. Haz lo que se indica y responde. a) Mide los ángulos, márcalos y escribe su medida. b) Mide los lados, márcalos y escribe su longitud. c) ¿Qué característica tienen dos de los lados, en ambos triángulos? d) ¿Qué característica tienen dos de los ángulos, en ambos triángulos? e) ¿Estos lados y ángulos se relacionan de alguna manera? f) ¿Qué sucede con el tercer lado y ángulo, que no consideraste para responder los incisos c y d? Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 41 41 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Rectas y puntos notables en un triángulo En un triángulo podemos trazar cuatro rectas notables, cada una con su correspondiente punto notable. Altura y ortocentro La altura es un segmento de recta perpendicular que va de un vértice al lado opuesto o la prolongación del mismo; cada triángulo tiene tres alturas. c A A‘ B‘ A Ortocentro B C B C‘ El ortocentro es el punto donde se intersecan las alturas de un triángulo. En un triángulo acutángulo, éste se localiza en el interior de la figura; en un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto, y en el triángulo obtusángulo, queda localizado fuera del triángulo. A A A hb ha hc hc hb B C ha c B hc C B hb Ortocentro TIC En la siguiente dirección electrónica encontrarás simulaciones con las alturas y el ortocentro de un triángulo; podrás manipular los elementos del triángulo y observar cómo se cambia el ortocentro al hacerlo. http://www.mathopenref.com/triangleorthocenter.html 42 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 42 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a 1. Traza la altura a partir del lado AB en los siguientes triángulos y al finalizar responde las preguntas. A B A A B B a) ¿Dónde queda ubicada la altura trazada en el primer triángulo? b) ¿Dónde queda ubicada la altura trazada en el segundo triángulo? c) ¿Dónde queda ubicada la altura trazada en el tercer triángulo? 2. Ahora traza las tres alturas en los siguientes triángulos y determina el ortocentro. Al finalizar responde las preguntas. a) ¿Dónde quedó situado el ortocentro del ∆ABC? B A b) ¿Dónde quedó situado el ortocentro del ∆MNP? C N c) ¿Dónde quedó situado el ortocentro del ∆JKL? M P K J L Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 43 43 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Medianas y baricentro La mediana es el segmento de recta que parte de un vértice y llega hasta el punto medio del lado opuesto. Una mediana divide a un triángulo en dos triángulos con la misma área. Todo triángulo tiene tres medianas. A A CB C C C CB A A A B BC C A A A C B B C B A B B AC Mediana de AB Mediana de AB AC de CB Mediana de CB de de AC Mediana Mediana de ABdeMediana Mediana de CB MedianaMediana El baricentro —también llamado centro de gravedad— es el punto donde se intersecan las medianas de un triángulo. Éste siempre está en el interior al triángulo y divide a cada mediana en una proporción 2:1. En la siguiente figura se muestran las medianas y el baricentro de algunos triángulos de distintas dimensiones. A A Baricentro mC m mC B mA B m mA B C B Baricentro C A A Baricentro m mA mC B C B m mC B mA mB Baricentro C B mA C TIC Consulta Math Open Reference en la dirección http://www.mathopenref.com/trianglecentroid.html; encontrarás un applet que te muestra las medianas y el baricentro de un triángulo; además, puedes manipular el triángulo para observar lo que sucede. 44 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 44 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a 1. Traza la mediana a partir del lado AB en los siguientes triángulos y responde. a) ¿En qué posición queda la mediana trazada en el siguiente triángulo? A B b) ¿En qué posición queda la mediana en el siguiente triángulo? A B c) ¿En qué posición queda la mediana en el siguiente triángulo? A B 2. Traza las tres medianas en los siguientes triángulos y obtén el baricentro. B a) ¿Dónde quedó situado el baricentro del ∆ABC? C A N b) ¿Dónde quedó situado el baricentro del ∆MNP? P M c) ¿Dónde quedó situado el baricentro del ∆JKL? K J L Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 45 45 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Mediatrices y circuncentro Una mediatriz es la recta perpendicular que se traza a partir del punto medio de un lado. Todo triángulo tiene tres mediatrices. A B A A B B A B A B B C A C B A C C C B A C C C El circuncentro es el punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo y también es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del mismo. A A Ma Mb Mc 0 Mb B C Ma Ma A B 0 Mb Mc Mc C B C En el triángulo acutángulo, el circuncentro está en el interior de la figura; en el triángulo rectángulo, coincide con el punto medio de la hipotenusa y, en el triángulo obtusángulo es un punto exterior al triángulo. TIC Visita Math Open Reference en la dirección http://www.mathopenref.com/trianglecircumcenter.html; en él encontrarás un applet que te muestra las mediatrices y el circuncentro de un triángulo; también puedes manipular el triángulo para observar lo que sucede. 46 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 46 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a 1. Traza la mediatriz a partir del lado AB en los siguientes triángulos. A A B AB B A A A B B A A B A B B B 2. Traza las tres mediatrices en los siguientes triángulos y determina el circuncentro. Después, dibuja la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo y cuyo centro es el circuncentro. Por último, responde las preguntas. B a) ¿Dónde se localiza el circuncentro respecto al ∆ABC? A b) ¿Dónde se localiza el circuncentro respecto al ∆MNP? C N M P c) ¿Dónde se localiza el circuncentro respecto al ∆JKL? K L J Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 47 47 11/1/11 7:59 PM B B LOQU E 1 Bisectrices e incentro La bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Todo triángulo tiene tres bisectrices. A A C C B C A A B B C C A B C A A B C B C A A B B C B El incentro es el punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo y también es el centro de la circunferencia que está inscrita en un triángulo, y es tangente a los tres lados de éste. Por ello, el incentro siempre está al interior del triángulo. A A A Incentro bB bC Incentro bC bB bB bC B B C bA bA C B bA C A A Incentro Incentro bC bC bB bB C B bA TIC C B bA C Consulta Math Open Reference en la dirección http://www.mathopenref.com/triangleincenter.html, en la cual encontrarás un applet que te muestra las bisectrices y el incentro de un triángulo; además, puedes manipular el triángulo para observar lo que sucede. 48 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 48 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Po n te e n f o r m a 1. Traza las tres bisectrices en los siguientes triángulos para obtener el incentro y dibuja la circunferencia tangente a los lados del triángulo. Al finalizar, responde las preguntas. B a) ¿Dónde se localiza el incentro respecto al ∆ABC? C A b) ¿Dónde se localiza el incentro respecto al ∆MNP? N M P c) ¿Dónde se localiza el incentro respecto al ∆JKL? K J L Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 49 49 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 A ut oe va lu ac ión Autoevaluación sobre competencias genéricas Criterio por autoevaluar Nunca A veces Siempre 1. Solicité ayuda para resolver mis dudas. 2. Cuando cometí errores, los acepté y corregí. 3. Expresé mis ideas con lenguaje gráfico y simbólico. 4. Seguí las instrucciones para llevar a cabo las actividades. 5. Consulté los sitios web sugeridos. 6. Di seguimiento a mi aprendizaje en forma constante. 7. Ayudé en la organización y resolución de trabajos en equipo. 8. Dialogué con mis compañeros de manera respetuosa. 9. Hice todas mis actividades en tiempo y forma. Utilización de la escala tipo Likert Total Acuerdo (TA); Parcial Acuerdo (PA); Ni Acuerdo/Ni Desacuerdo (NA/ND); Parcial Desacuerdo (PD); Total Desacuerdo (TD). Autoevaluación por competencias disciplinares Criterio TA PA NA/ND PD TD Puedo expresar verbal y matemáticamente ideas sobre ángulos y triángulos. Identifico todos los tipos de ángulos y triángulos. Utilizo las propiedades y características de ángulos y triángulos para valorar objetos en mi entorno. Puedo resolver la mayoría de los ejercicios y/o problemas relacionados con ángulos y triángulos. 50 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 50 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Lo que ap re ndí Verticales 1. Ángulos con un lado y vértice común. 2. Unidad de medida de ángulos que se divide en 60 segundos. 1. Resuelve los crucigramas. 4. Instrumento para medida de ángulos en grados. 5. Ángulo que mide 90°. 6. Unidad de medida de ángulos que se divide en 60 minutos. 8. Ángulo que se forma cuando vemos hacia abajo. 11. Ángulo que se forma cuando vemos hacia arriba. 13. Ángulo que mide más de 0° y menos de 90°. 14. Par de ángulos que suman 90°. 15. Instrumento para mediciones exactas de ángulos. 18. Ángulo que mide 360°. 19. Ángulos situados entre las dos paralelas cortadas por una transversal. Horizontales 1. Par de ángulos que suman 360°. 3. Ángulo que mide más de 90° y menos de 180°. 7. Sistema de medida de ángulos en México. 9. Ángulos situados en lados opuestos de la transversal sin ser consecutivos. 10. Ángulos donde los lados de uno son prolongaciones del otro. 12. Ángulos situados del mismo lado de la transversal que interseca dos paralelas. 16. Abertura que forma dos lados que parten de un mismo punto. 17. Par de ángulos que suman 180°. 22. Ángulos situados fuera de las dos paralelas cortadas por una transversal. 20. Ángulo que mide 180°. 21. Ángulo que mide más de 180° y menos de 360°. 23. Ángulo que mide 0°. 24. Ángulos situados del mismo lado de una transversal siendo uno interno y otro extremo. Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 51 51 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 Horizontales Verticales 1. Triángulo con tres ángulos agudos.. 2. Punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo. 5. Triángulos con tres lados diferentes. 3. Punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo. 6. Punto donde se intersecan las tres medianas de un triángulo. 4. Punto donde se intersecan las alturas de un triángulo. 7. Segmentos de recta que se forman con dos lados consecutivos de un triángulo. 5. La suma de estos ángulos es 360°. 10. Triángulo con dos lados iguales. 13. Triángulo con tres lados iguales. 14. Característica del triángulo que lo hace imprescindible en las construcciones. 16. La suma de éstos ángulos es 180°. 18. Segmento de recta que parte de un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. 8. Triángulo con un ángulo obtuso. 9. Recta perpendicular en el punto medio de un lado. 11. Recta que divide un ángulo en dos ángulos de igual medida. 12. Triángulo con un ángulo recto. 15. Puntos no alineados que determinan un triángulo. 17. En cualquier triángulo, al lado mayor se le opone el ángulo... 19. Segmento de recta que parte de un vértice hasta su lado opuesto o prolongación de éste, en forma perpendicular. 52 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 52 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 2. Calcula el ángulo faltante y escribe el nombre de cada par de ángulos 60˚ 25´ x 51˚ 48˚ 43´ x x x x 102˚ 13´ 102˚ 20” 13´ 20” x x x 46˚ 52´46˚ 30” 52´ 30” x 115˚ 115˚ 3. Determina el valor del ángulo marcado con signo de interrogación. ? a b c 119˚ f e d h i g j 98˚ k Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 53 53 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 4. En el ∆ABC se ubica el punto D sobre el lado AB. Obtén los ángulos indicados en cada inciso. C 50˚ 30˚ A 40˚ D a) ∡ACD = b) ∡DCB = c) ∡CBD = d) ∡ACB = B 5. Dados los puntos A, B, C y M, prueba que ∡ABC es un ángulo recto, si AM = BM = CM. C A B M 6. El ∆ABC es isósceles con un ángulo de 36°. El segmento BD divide al ∡B en partes iguales. Prueba que AB = BD = CD. C 36˚ D A B 54 Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 54 11/1/11 7:59 PM B LOQU E 1 7. En la siguiente figura están marcados algunos segmentos y ángulos. Haz lo que se indica y responde. Considera que ∡NMK = 108° y el segmento RW es paralelo al segmento JK. a) ¿Cuál es el valor del ∡WNM? w A b) Escribe las parejas de ángulos. K N M B • Correspondientes • Alternos internos R J T • Alternos externos • Colaterales internos • Colaterales externos c) ¿Qué tipo de triángulo es ∆JMT? d) ¿Qué tipo de triángulo es ∆NMJ? e) Nombre de los ángulos (por su medida). ∡RNJ ∡NMK ∡RNM f) ¿Cómo podrías calcular la medida de los ángulos centrales de la rueda? 8. Responde las preguntas. Para cada caso, justifica y presenta un ejemplo. a) ¿El baricentro puede localizarse fuera de un triángulo? b) ¿El incentro puede localizarse fuera de un triángulo? c) ¿El ortocentro puede localizarse fuera de un triángulo? d) ¿El circuncentro puede localizarse fuera de un triángulo? Ángulos, triángulos y relaciones métricas Bloque 1.indd 55 55 11/1/11 7:59 PM
