MATEMÁTICAS Y GEOMETRÍA PUNTO LÍNEA PLANO ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRIA DEL PLANO LA LINEA Una recta es una línea sin principio ni final formada por infinitos puntos. Por un punto pasan infinitas rectas. Por dos puntos pasa una única recta. Un punto divide a la recta en dos semirrectas. Un segmento es la parte de recta comprendida entre dos puntos A y B. La distancia entre los dos puntos es la longitud del segmento que los une. La línea recta 2 rectas pueden ser: Ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados, que concurren en un punto llamado vértice ÁNGULO Para medir la amplitud de un ángulo utilizaremos como unidad el grado, representado por el símbolo " º ". Asignamos al ángulo nulo una amplitud de 0º y al ángulo recto una amplitud de 90º. Dos ángulos rectos equivalen a uno llano, que tendrá por tanto una amplitud de 180º. Y cuatro ángulos rectos (o dos llanos) ocupan todo el plano, cuya amplitud será de 360º. El resto de los ángulos se medirán por comparación con estos. Por ejemplo, si dividimos un recto en dos ángulos iguales, obtendremos dos ángulos de 45º. Si dividimos en cambio un recto en tres partes iguales, obtendremos tres ángulos de 30º. Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales obtenemos un grado. Medida de ángulos. Para medir la amplitud de un ángulo utilizaremos como unidad el grado, representado por el símbolo " º ". Asignamos al ángulo nulo una amplitud de 0º; al ángulo recto una amplitud de 90º; al ángulo llano una amplitud de 180º. 360º será la amplitud de todo el plano. El resto de los ángulos se medirán por comparación con estos. Así, si dividimos un ángulo recto en dos ángulos iguales, obtendremos dos ángulos de 45º. Si dividimos en cambio uno recto en tres partes iguales, obtendremos tres ángulos de 30º. Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales obtenemos un grado sexagesimal. Medida de ángulos. RECTO AGUDO LLANO OBTUSO Tipos de ángulos Tipos de ángulos POLÍGONOS Línea poligonal Línea poligonal abierta cerrada Las líneas poligonales son varios segmentos de rectas unidos. Un polígono es una porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada. En un polígono tenemos los siguientes elementos: LADOS: segmentos que delimitan el polígono. VÉRTICES: puntos donde se unen dos lados. DIAGONALES: segmentos que unen dos vértices no consecutivos. ÁNGULOS INTERIORES: ángulos en el interior del polígono por dos lados contiguos. Por sus lados y ángulos: REGULAR: polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales. IRREGULAR: polígono que tiene algún lado o ángulo distinto. POLIGONOS REGULARES: Por su número de lados: TRIÁNGULO (3 lados) CUADRILÁTERO (4 lados) PENTÁGONO (5 lados) HEXÁGONO (6 lados) HEPTÁGONO (7 lados) OCTÓGONO (8 lados) ENEÁGONO (9 lados) DECÁGONO (10 lados) Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado. Para polígonos de más lados, se añade el adjetivo regular (pentágono regular, hexágono regular, etc). Clasificación de polígonos Elementos de un polígono regular: CENTRO: punto interior del polígono que está a la misma distancia de todos sus vértices. APOTEMA: cada segmento que unen el centro del polígono con el punto medio de cualquier lado. ÁNGULO CENTRAL: cada uno de los ángulos con vértice el centro del polígono y lados las semirrectas que pasan por dos vértices adyacentes. En un polígono regular de n lados la medida de un ángulo central es 360º/n. PERÍMETRO: suma de longitudes de los lados de un polígono. Polígonos regulares Tipos de triángulos Un triángulo rectángulo está formado por tres lados, de los cuales uno es más largo que los otros 2. Uno de los ángulos mide 90º, o sea, es recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y es el lado más largo; los otros dos lados, los que forman el ángulo recto, son los catetos. La medida de uno cualquiera de los catetos siempre es menor que la medida de la hipotenusa. Pitágoras (matemático griego, 572 a.C – 496 a.C) descubrió una propiedad interesante de los triángulo rectángulos que se conoce como: TEOREMA DE PITÁGORAS: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la medida de cada uno de los catetos: (c) = (a) + (b) rectángulo El triángulo 2 2 2 PARALELOGRAMOS: Tienen los lados paralelos dos a dos Propiedades: 1. Lados opuestos iguales. 2. Ángulos opuestos iguales y ángulos contiguos suplementarios. 3. Sus diagonales se cortan por sus puntos medios. 4. La suma de sus ángulos es 360º. NO PARALELOGRAMOS: No tienen los lados paralelos 2 a 2 CUADRILÁTEROS CUADRADO: RECTÁNGULO: - 4 lados iguales - Lados iguales 2 a 2 - 4 ángulos rectos - 4 ángulos rectos - Diagonales iguales - Diagonales iguales y perpendiculares - S= a ∙ b - S= a2 ROMBO: - 4 lados iguales ROMBOIDE: - Diagonales - Lados iguales 2 a 2 perpendiculares - S= d ∙ D / 2 - Ángulos iguales 2 a 2 (no rectos) - S= b ∙ h Paralelogramos TRAPECIO: TRAPEZOIDE: - Sólo 2 lados paralelos - No tiene lados paralelos. - S= h∙ (B+b) 2 - La superficie se calcula triangulando No paralelogramos Área de polígonos irregulares CENTRO: punto interior del polígono que está a la misma distancia de todos sus vértices. APOTEMA: cada segmento que unen el centro del polígono con el punto medio de cualquier lado. ÁNGULO CENTRAL: cada uno de los ángulos con vértice el centro del polígono y lados las semirrectas que pasan por dos vértices adyacentes. En un polígono regular de n lados la medida de un ángulo central es 360º/n. PERÍMETRO: suma de longitudes de los lados de un polígono. Elementos y área de polígonos regulares LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO CENTRO: es el punto del cual equidistan todos los puntos que forman la circunferencia. RADIO: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. CUERDA: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. DIÁMETRO: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. ARCO: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos. Elementos de la circunferencia SEMICÍRCULO SECTOR CIRCULAR SEGMENTO CIRCULAR CORONA CIRCULAR Regiones circulares 𝛑= L d = 3,1416 𝐋=π ∙d 𝐋 = 2 ∙ π ∙r 𝐀 = π ∙ r2 π El número Pi ( ) Longitud de circunferencia Área del círculo POLIEDROS -Son cuerpos geométricos con todas las caras planas. -Todas sus caras son polígonos CUERPOS REDONDOS - Son cuerpos geométricos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies curvas - Las bases de los cilindros y de los conos son círculos CUERPOS GEOMÉTRICOS. 𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 (ℎ) Volumen del prisma y del cilindro V= Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 (ℎ) 3 Volumen de pirámides y conos
