Sesión 11
Introducción a la Probabilidad
¿Cuál es el porcentaje de estudiantes de sexo
masculino y femenino?
¿Qué porcentaje de estos estudiantes tienen
el cabello ondulado?
¿Qué porcentaje de estos estudiantes posee
maletín?
¿Se
podrá
determinar
la
probabilidad de que un estudiante
sea de sexo femenino, sabiendo que
tiene el cabello rubio?
http://www.youtube.com/watch?v=NfiLhigoF6w
LOGRO
Al finalizar la sesión, el estudiante será
capaz de calcular probabilidades
haciendo uso de las reglas y axiomas de
probabilidad de forma correcta.
Experimentos
Definición 1. Un experimento es cualquier acción o proceso que
genera observaciones.
Definición 2. Un experimento determinístico es cualquier
experimento que, al repetirse bajo las mismas condiciones,
genera siempre los mismos resultados.
Definición 3. Un experimento aleatorio (o estocástico) es
cualquier experimento que, al repetirse bajo las mismas
condiciones, no genera siempre los mismos resultados.
Espacio Muestral
Es denotado por Ω, es un conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento.
Ejemplo 1. Consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado y
observar el número que aparece en la cara superior, entonces su espacio
muestral será:
= 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ejemplo 2. Sea el experimento lanzar dos monedas y observar el resultado,
entonces su espacio muestral será:
= cc, cs, sc, ss
Evento o Suceso
Es un subconjunto del espacio muestra y se denota con las letras mayúsculas A, B, C, etc. Se cumple:
a) Si A es un evento, entonces A
b) y son evento seguro e imposible
Ejemplo 3. Sea el experimento de observar 3 artículos en un control de calidad,
entonces su espacio muestral será:
= ddd, dds, dsd, sdd, dss, sds, ssd, sss
Definir los siguientes eventos:
D: Observar que los tres artículos estén sin defecto.
E: Observar que al menos 2 artículos sean defectuosos
F: Que de cualquiera de los tres, solo uno sea defectuoso.
Probabilidad
Definición. Dado un evento A, asociado a un experimento
aleatorio, se llama probabilidad de A, y se representa por el
símbolo P(A), a la división del número de resultados favorables
para la ocurrencia del evento, entre el número total de
posibilidades Y se denota por:
Número de elementos de A
P( A) =
Número de elementos de
Mide la posibilidad de que ocurra un determinado suceso cuando se realiza un experimento
aleatorio en las mismas condiciones.
Aleatorio: situación que dar lugar a varios resultados en un experimento, sin que podamos
saber con certeza, cuál de estos vamos a obtener.
Ejemplo 1: Considere el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que
el evento tenga como resultado a un número par de puntos”?.
Resultados posible:
Resultados favorables: A = {dos, cuatro, seis}
Conclusión: sea el evento A: Cae un numero par de puntos.
P(A) =
# 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒
# 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑎𝑑𝑜𝑠
3
6
: 𝑃 𝐴 = = 0.5
Ejemplo 2: Sea el experimento de observar sacar cartas de una
baraja de 52, entonces su espacio muestral será:
Ω = { 13 ♠, 13 ♣, 13♦, 13♥}
Calcula las siguientes probabilidades al sacar una carta al azar:
A. Probabilidad que sea roja.
B. Probabilidad que sea trébol ♣.
C. Probabilidad que sea un As.
D. Probabilidad que sea As ♥
Ejemplo 3: Sea la siguiente tabla que muestra la marca de celular que prefieren 40 clientes
que se acercaron a un establecimiento.
Marca
Samsung
Huawei
IPhone
LG
Total
fi
8
14
12
6
40
Si escogemos un cliente al azar de este grupo ¿cual es la probabilidad:
a) Que prefiera Huawei?
b) Que prefiera LG?
c) Que prefiera Samsung o IPhone?
d) Que prefiera Huawei y IPhone
Teoría de Conjuntos
Operaciones:
Conjunto - evento:
Evento mutuamente excluyente: si no pueden
ocurrir juntos (disjuntos).
Ejemplo 4: Un experimento aleatorio consiste en seleccionar alumnos en una clase de la UAP y
observar sus edad. Sea el evento A: El alumno seleccionado al azar tiene más de 30 años y, B: El alumno
seleccionado tiene menos 30 años.
ESTADISTICA I
Propiedades de Probabilidades
Sean los eventos A y B asociados al espacio muestral . Entonces se cumplen las
siguientes propiedades.
1. 0 P ( A) 1
2. P ( ) = 1 es decir, la probabilidad del suceso seguro , es igual a la unidad.
3. P ( ) = 0
4. P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) .
5. P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) para todo A y B eventos disjuntos. Observación: A y B
son disjuntos si su A B =
P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A B )
Ejemplo 5: Un estudio de 90 estudiantes a los cuales se les concedió
becas universitarias mostró que 40 tenían trabajos a tiempo parcial, 25
eran tutores en la universidad, 15 tuvieron trabajo a tiempo parcial y
eran tutores a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante
tenga un trabajo a tiempo parcial o sea también tutor en la universidad?
Ejemplo 6: Un estudio de mercado en una ciudad indica que, durante
cualquier semana, el 18% de los adultos vieron un programa de
televisión orientado a temas empresariales, el 12% leen una publicación
orientada a finanzas y el 10% realizan ambas actividades ¿Cuál es la
probabilidad de que un adulto de esta ciudad vea el programa de
televisión o lea la publicación mencionada?
Probabilidad Condicional
Ocurre cuando dos eventos se relacionan de manera tal que, la probabilidad de ocurrencia de uno
depende de la ocurrencia del otro.
DEFINICIÓN: Sean A y B dos eventos tal que , la probabilidad
condicional de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido B,
se denota:
P( A / B ) =
P( A B )
; P( B ) 0
P( B )
Ejemplo 1: La demanda de televisores para ver el
mundial de futbol 2018 tiene ciertas preferencias:
el 60% de clientes los prefiere con pantalla LED,
el 40% que incluya un sistema en 3D y el 20%
con cámara incluida.
¿Cuántos clientes preferirán ver el mundial en un
televisor con pantalla LED dado que incluyeron un
sistema en 3D?
¿Cuántos clientes incluirán un sistema 3D en su compra dado
que compraron una cámara incluida?
Ejemplo 2: Según el registro de servicios de los clientes de una empresa automotriz, se precisa que,
en promedio acuden por la mañana: tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas
mecánicos y tres con problemas de chapa y, por la tarde acuden: dos con problemas eléctricos, tres
con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
Mañanas
Tardes
Total
Electricidad
3
2
5
Mecánica
8
3
11
Chapa
3
1
4
Total
14
6
20
Calcular:
a) La probabilidad de los que acuden por la tarde
b) La probabilidad de los que acuden por problemas mecánicos
c) La probabilidad de que un automóvil acuda por la tarde, si tiene problemas de chapa.
d) La probabilidad de que un automóvil acuda por la mañana, si tiene problemas eléctricos
Ejemplo 3: En una universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de letras; de los
estudiantes de ciencias el 60% son varones y los de letras son varones el 40%.
Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad que:
a) Sea un estudiante varón
b) Sea un estudiante varón si es de ciencias
c) Sea un estudiante de ciencias si es varón
d) Sea un estudiante de ciencias y varón
e) Sea un estudiante de Letras o mujer
Esp /Sexo
Varones
Mujeres
Total
Ciencias
0.42
0.28
0.70
Letras
0.12
0.18
0.30
Total
0.54
0.46
1.00
¿QUÉ HEMOS VISTO?
• Como describir un espacio muestral.
• Como calcular probabilidades.
• Como se determina e interpreta una
probabilidad condicional.