Estimación de errores de muestreo

Estimaci ó n de errores de muestreo
1 .- M^todo de los grupos aleatorios
por J U LI O M I RAS AM O R
In^tituto Nacional de Estadf^ttice
INTRODUCCION
La teoría ordinaria para el muestreo de poblaciones flnitas obtiene estixnadores
insesgados, o al menos consistentes, para los parámetros que corrientexnente son
objeto de estudio, asf como la varianza de los mismos, bajo las condicionec de una
amplia gaxna de diseños. La búsqueda de estimadores de estas varianzas es el siguiente paso de la teorfa que también se alcar^za con, ^n.ayor o menor dificultad
según el di seño.
En la práctica, las fórmulas ordinarias de los estimadores de las citadas varianzas,
pueden presentar dificultades de cálculo que son crecientes con la complejidad del
diseño. Por este motivo los estadísticos interesados en el tema han tratado de encontrar métodos alternativos de estimación de varianzas que en ciertos casos son
más viables que los ordinarios, aunque tengan xnenos precisión.
En este trabajo tratamos de recoger la xnetodoiogía y el fundame^to teórico de
las más importantes técnicas aplicables a la estimación de varian,zas.
I.
METODO DE LOS GRUPOS ALEATORIOS PARA UN D ISEÑO S IMPLE
I.1.
Supongamos que se ha extraf do, sin reemplaza^rniento y con probabilidades
iguales, una muestra de tamaño n de un colectivo con N unidades de muestreo.
Si la muestra se subdivide aleatoriamente en k submuestras, que denominamos
grupos, de igual ta^rnaño (m = n^k); cada una de ellas, además de ser una submuestra
aleatoria de la muestra coxnpleta, es una muestra aleatoria del colectivo con las
EsTADISTICA ESPArIOLA
$
misxnas propiedades que aquella aunque de menor tamaño. Cada grupo proporciona
una estzmación del parámetro ent cuestión, utilizando la misma fórmula del estimadar
que la diseñada para la muestra completa.
Dada la muestra campleta, w*, la iormación de los k grupos aleatorios podemos
imaginar que se hace numerando de 1 a n los elementos de w^ y despu^s de elegir
una permutación aleatoria de los núrneros 1, 2, . .., n asignamos al primer grupo
los elem,entas correspand3entes a las m primeros enteros de la permutacián, al segundo
los correspondientes^ a los r,^t siguientes, etc. De esta forma cada subxnuestra cuxnple
las condiciones mencionadas en el párrafo anterior.
Veaznos la forxna de obtener un estimador insesgada para la varianza del estimador del total.
N
Y ^ ^ Yi
Sea,
i-i
el total a estimar. Sabemos que,
,^
Y --
N „
^ Yi
n t-^
es un estimadar insesgado de Y cuya varianza es,
Ss
[^.2^
v {Y} = N^ (1 - t')
n
siendo
n
N
la fracci8n de muestreo y Ss la cuasivarianza poblacional. Sabemos también que
denotando por s^ a la cuasivarianza muestral,
s^
^ ^
[ I.3 ^
V (Y) = N^ (1 - f}
n
^
es un estimador insesgado de V(Y).
Denotando por Y,^,. el valor observado en la unidad ja del r^ grupo aleatorio,
,^,
N
^r ^
m
m
^ Y^r
^-i
[ I.4 ]
es la estimación de Y basada en el mencionado grupo aleatorio y su varianza es,
S^
V (Yr) = N^ (1 - f') ,
m
don,de
f' -- rn/lv
[ I.5 J
ESTIMACION DE ERRORES DE 11dUESTREO
^.2.
9
^I'EOREMA.
^n las condiciones del parágrafo I.1 se cumpl^e que,
^
.^
y^,^, (y) _
1 _` f
k r^
,^
^ {yr _ y)2
k {k -- 1) r-^
^
es un estimador insesgado de V(Y).
Demostración: De las fórmulas [ I.2] y[ I.5] se obtiene,
,^
(N --- m) k
,^^
V (Y)
V (Yr) =
N-n
[ I.7]
Por otra parte, esta varianza puede descomponerse de la siguiente forma,
n
.^
.^
r.
n.
y (yr) . ^ E (yr _..- ^c')^ - ^; ( yr -- y -{- Y -- y)^ .=
.^
..
..
..
^, ..
= E (Y, - Y)' -{- E (Y - Y)^ -}- 2E (Yr - Y) {Y -- Y)
puesto que
E(Yr)=Y
y como para toda rnuestra completa, r.u„, es
^
^
E(Yr)=Y
^n
se anula el tercer sumando, obteniéndose :
,.
,.
^
^
y {yr) ` y (y) + E (yr - y)^
Si ahora tenemos en cuenta [ I.7] y[ I.8] resulta
N (k - 1)
^
,,
„
V (Y) = E (Yr - Y)^
N ---- n
y sumando en r estas igualdades se obtiene,
N (k - 1) k
N - n
,.
,.
k
k
,^
^
-.
y (Y) = ^, E (yr - y)^ = E ^ (Yr --- Y)^
r-^
t^^
de donde la igualdad entre la primera y última fórmulas prueba el teorema.
[ I.8]
10
ESTADISTICA ESPAÑ^I.A
1.3.
,^.
L^a estimaei^ir^ cle ^' (Y) d;acl^c pur c^l m^tc^du de Ir,s gruhus aleatc^rios será
tantc^ m^s precisa cuanto mayor sea et númerc^ de grupos pero cuantcj mayor es
éste, mayor es el wolumen de cálculos que requiere.
En el caso extremo de tomar k -- n(n grupos de tamatic:^ 1) es inmediato comprobar que la fórmula ordinaria [ I.3] y la dada por el método de lc^s grupos aleatorios [ I.fiJ coinciden.
Si el diseño es con reemplazamiento la fórmula [ I.fi] se cc.^nvierte en,
r.
!^
^
^ ^ , ,^ , ^ ^' ) ._
%^.
^G
____-- .__
,
[I.sj
^ ( i' r --- ^' ) 2
j^ (k ,_._ 1 ^ r-1
E1 teorema anterior permite dar el siguiente estimador insesgado de S2 si el
diseño cs sin reernplazamiento,
n
^:
__ __,._ ..._..__.__
^.
^, t^' r
N2k (k - 1) r'1
S^^.A•
„
^.
[ I.lO j
Y)^
^
Si el diseño es con reernplazamiento S^c. A. es un estimador insesgado de tf2.
Las fórmulas [ I.fi], [ I.9j y[ I.1(}j pueden escribirse en la forma :
y
k
^r12k
[ I . 6 j __ ( i - f } --- ^ y,. -- n^ (k - 1) r^l
k
N ak
[ I.9 j
=
k
y
^
2
^ ^ir ^ .^.
n^ (k - 1) r^-i
i
[ I. ^ o ^ _ ____^_
x
^
m (k - 1) r°i
k
^ ^
^r _ ^
k
denutandu pur y,- el total muestra^ del r© grupo aleatorio y por Kr^ ^> el total de la
muestra completa.
I I.
EL METOUO DE LOS GRUI'OS ALEATOR lOS I:N D ISEÑOS MAS
COMPLEJOS
II.1.
E1 teurema anterior puede extenderse a diseños más complejos. Supon^
gamos +que para un diseñu muestral dado, 8 es un estimador insesgadu del parámetro e. Supongamos tambié^n que la muestra completa, de tamaño n, c:^btenida
según el citado diseño, se divide aleatoriamente en k submuestras de tamaño rn^ n^k,
11
ESTIMACIUN DE ERRURES DE MUESTREn
de modo que cada una cíe éstas conserVa l^^s misllias propiedades que aqu^lla ( estratificación, probabilidades de seleccián, etc.) aunque es dcj rtienor ta^naño. llesignelncxs '
^
^
por 8 el estimador aplicado a la muestra coxnpleta y por Q,- (r = 1, 2, 3, ..., k) el
aplicado a cada submuestra.
II. ^ .
TEOREMA.
En las candiciones del parágrafo I I.1 si se cumple :
^
^
V (8r) = kV (e}
E (8r) = 8
w
n
1
k
n
^^•
_
____._. ^ (gr _ g)^
k {k - 1) r^ i
[II•tj
es un estixnador inses^ado de V(8).
..
La demostración es análoga a la del teorema I.2. Puesto que suponemos 8 inses-
gado, también lo es 8r y teniendo en cuenta la condición b) resulta,
^
^
^
^
V (9r) -- ^ ( 8) -}- E (8r - 8)^;
r = 1, 2, . . ., k
^
y sustit ^yendo aquí V (8r) según la concíición a) se obtienc^,
(k -- 1) ^' ( 9) = E (8r - 8)Z;
r = 1, 2, . . . , k
de donde su^rn.ando en r, de 1 a k, los dos rniembros queda probado el teorema.
II.3.
A.PLICACIÚN AL MUESTREO ESTRATIFICADO UNIET.t^PICO.
Supon^axnos que la rnuestra completa consta de nh clementos seleccionados cun
reemplazamiento y probabilidades i^uales dentro del h^ estrato.
.-
L
(h = 1, 2, . . ., L), n --_= ^nh
i
Denotando por yh el total muestral observado en el estrato h y por a2h la varianza
de dicho estrato, el estimador de expansi^in insesgado para Y es,
^
L
Ye = ^
n`^1
Nh
yh
nh
[II.2]
12
ESTADISTICA ESPAÑOLA
y su varianza en el muestreo es
y
1,
^^h
V ( ^' ^) -- ^^„^,
h-1
Q'h
nh
^
La aplicación del método de los grupos aleatorios para estimar V(YQ) requiere
dividír la muestra completa de cr^da estrato en k grupos aleatorios d.e igual tamaño
m,r -- nh Jk
I.a submuestra u,^r estará formada entonces por el r^ grupo aleatorio de cada estrato ^,
siendo y,^, el total rnuestral observado en el grupo r del estrato h, proporciona la
estimación
,^
r,
Nh
[ I I.3 j
^f c r= ^, __...,..__ L/ r h
h' ^ mh
En estas condiciones es inmediato comprobar que se cumplen las candiciones a) y b} del teorema anterior:
u)
L
^
kV {Y^) - ^
^ ^h
h-^
b)
.^
Qah -- V (Y^r}
mh
Por ser
E {^rh/%nh) = ^hlnh
tU
A
en cada estrato.
Por tanto,
^.
^
^
k
n,
^.
^ (Yer -- Ye)^
k (k _. ^ ), r- ^
v {V e) -=
,^.
es un estimador insesgado de V(Y^).
La fórmula [II.4j puede aplicarse al muestreo estratificado sin reelnplazamiento
si es práxima a cero la fraccián de muestreo en todos los estratos.
Si 1a rnuestra es autoponderada, esto es, sc cumple
Nh /N = n h/ri, ^ f h
la fórmula [ I I.4] se simplifica puesto que entonces,
„
Y^-
N ^
^yh
n h-1
,,.,
Yer =
Nk ^,
L ^rh
n h=1
ESTIMACION DE ERRORES DE MUESTREO
I I.^.
^3
APLICACI(^N AT^ :^i U F STREO UNTFTÁPICU CO:'^' PROI3AIiILIDAI7ES DESIGUALFS.
Si de la población se ha extrafdo la muestra mediante n extraeciones con reemplazamiento, asignando prubabilidades P^, Pa, ..., P^, ..., Pw ; un est imador insesgado del total Y es,
^
^^ c
^
^' - ^ -i=^ np^
y su varianza admite la forma,
y^$
ya
- ---^' ( y ) - ^
n
^^ i nPf
[ I I.5 )
Si la muestra completa se divide aleatoriamente en k grupos de igual tamaño,
m= n^k, la estimación insesgada de Y, basada en el r^ grupo es,
„
tri
Yri
{^^
mp^
y^ _ ^ ^
siendo Yr{ los valores observados en dicho grupo.
^
La varianza de Y,- es entonces,
^
N
^''L
^' ^ 2
y^ ^ yT^ - ^ ._
s^ 1 mI'^
[II.6J
m
En estas condiciones, es inmediato comprobar que se cumplen las condiciones a) y b) del teorema I.2. En ef ecto ;
a)
De [ I I.5] y[ I I.6] se obtiene,
,.
^
^' iYr) - k^' cY)
por ser n = mk.
b)
Dado que los elementos de cada grupo constituyen una muestra, sin reernplazamiento y probabilidades iguales, de la completa se cumple,
,,
I: (Yr) -_
iv n
Por tanto, de acuerdo con el mencionado teorema,
^
^
VG.A. (^') -
es un estilnador insesgado de V(Y).
k ,.
„
1.
_ _ ^ (Y,. _ ^')2
_
k ^k _ ^ ) r.^ ^
ESTADISTICA ESPAI'^fOI..A
1L.^.
.^PLICACI(SN
AL Mt1ESTR1^;0 ESTRA^ TIFICAI^o L..1tiIF.TÁF'I(:O
COPrT
PROBAI3ILIDAT^ES
I)ESICiL'A1.I:S.
^
5^ ^€i Il^l,ueSira Se lla ol}tellid0 iIl(^epeTidlC'I1tEI11P11t^ eil Ca(^f) estrato, can reempla-
zamiento y probabilidades 1',^^., Ph2, ..., Ph^, ..., Phr;,, ,y si los grupos aleatorios se
forman como se ha indicado en el pardgrafo II.3 se tienen las estimaciones insesgadas
de Y •
L nh Yhi
^,
y^ _.^^_ ^ ^ ______._
h^-^ t^^ nh^h^
n
L ^h ^^rhi
^cr = ^ ^
h^1 t^-i
r --- 1, 2, . . . , k
^
rphPht
Por otra parte, teniendo en cuenta lo dicho en el par^grafo anterior,
^.
L
Nh
^
V^ Ye^3
^
^f' Qh^
Y^h
__ ^ ._ .._____^
^
i-^ nhYn^ ^
rzn
V { Y,) -- ^
h-^
L
Nlt
^
h-1
^
s^i
Y^rht
.
^ ^h
T13hPhi
^h
por tanto
V ( Y^r) = kV ( ^'^)
cumpliéndose así la condición a) clel t eorerna I.2. La condición b) tambi^n se cumple
^
por ser Y, surna, extendida a todos los estratos, de estimadores insesgados del total
esiimad.a^ en cada estrato a partir de la muestra completa.
En resumen,
1
k (k -- 1
k
.^,
.^
^ ^Ycr - ^rtJ.^.
r-1
^
es un estimador insesgado de V(Y^}.
I^.^J.
t4.PLICACIÓN AL 1^1UESTREO BIE^`ÁPICn.
Si la muestra completa consta de n unidades primarias seleccionadas con reempla^amienta, en eada una de las cuales se efectúa un submuestreo; para aplicar el
método de los grupos aleatorios se divide aleatoriamente la muesti•a de un,idades
prilnarias en k grupos de igual tamaña, m= n^k, incluyendo las unidades de segunda
etalaa en la unidad primaria correspoYldiente. 'I'endremos asf k submuestras bietdpicas
de n^ unidades prirnarias cada ul^a.
ESTTMACIQN DE ERROkES DE M[IESTREC7^
15
En el caso de que la muestra completa haya sidc, extraída asignando probabilidades iguales a tocías las unidades primarias.
,_ ,
^.
n ^,
=^
Y .__., ---.____.. ^ Y z
n i ^-1
^
donde Y{ es un estimador insesgado del total Yc de la unidad primaria ia, es un
estimador insesgado de total poblacional Y. Su varianZa, de acuerdo con el teorema
de Madow, es,
,,,
N^
_
V ( Y ) --- -- (ac ^ -}- V )
n
siendo :
N
_
^ ( Ys - Y) s
^
_
;
ac $ --
1
----_._._. ^ V ( Y t ) ;
N i
Y
N
Y =
La estimación insesgada de Y basacia en el r^ grupu cs,
N m ,^.
n
Yr = ^ Yrt
iI
{^1
^
donde Yr{ es el estimador centrado del total de la unidad primaria ia del grupo r^.
Su vArianza es,
^T ^
n
Y(^'T)=-^^(ar2^-ti')
m
por tanto,
^' (Yr) -= kV (Y)
cumpliéndose asi la condición a) del teorema I.2. Por otra parte, la condición b)
también se cumple teniendo en cuenta que la forma.ción de los grupc^s aleatorios
conVierte a cada uno de ellos en una muestra aleatoria c^n probabilidades iguales
cle la muestra con^pleta.
I^n resumen,
1
k
^,
^
^ (yr -- y)
^_
k (k _._ 1) r^1
^
es un estimador in,sesgado de V( Y).
^
En el caso de que la rnuestra completa haya sido extraída con reemplazamiento
de unidades primarias, asignando probabilidades de seleéción proporcionales a su
tamaño
^it
Pc =
,
^L
N
111 - ^ l^l z
is1
16
ESTADISTICA ESPAÑ4LA
y efectuando un submuestreo sin reemplazamiento de m^ ur^idades secundarias er^
el i• unidad primaria,
^ri
^% t r
n
d,onde y^, es la media muestral observada et^ la unidad p ^ríinaria id de la muestra,
es un estimador insesgado del total poblacional Y, cuya varianza es,
M
^
V ( Y) -^- ---n
N
^ 1 --i' 1
m^
M^
^í^
^ Yts
._._._.._ ^^ s + ^
rrt^
{-^ Mt
Y$
^
n
denotando por Si^ la cuasivarianza dentro de la i^ unidad primaria.
Si la muestra de n unidades primarias se subdivide aleatoriamente en k grupos
de m= n^k unidades cada uno, incluyendo las unidades secundarias en la correspondiente unidad primaria,
^,,
rn
^ Yr -- L̀^
{- ^
M_
l^jir
m
siendo ^tr la media muestral de la unidad primaria i^ del grupo r^, es un estimador
^nsesgado de Y, cuya varianza es,
„
y ( yr) ^
M
m
,N
^
f-1
mc
1 ._.._ .^^_
M^
hi^
^v Y^ ^
_
S{ a ...^. ^
{-1 M^
m{
^.
y$
m
luego se cumple la con,dición a) del teoremta ^que estamos aplicando, por ser
V (Yr) - kV (Y)
La condici8n b) también se cumple puesto que considerando la muestra completa, wn,
c©xno una población de la que se extrae un^a muestra de m unidades (un grupo
aleatorio) se tiene,
^
n
E ^Yr) _ ^
^-l
w^
^^ .....
^sr '
m
m
n
n
- ^
i=^
^ _ ^
3^tr --- Y
n
En resumen, también en este caso
x „
1
,^
^ (Yr --- Y}^
k (k _._ 1) r- ^
..,
es un estimador insesgado de V(Y).
ESTIMACION DE ERRORE3 DE MUESTRE4
II.%.
^7
APLICACIÚN AL 1VIUESTREO ESTRATIFIGAD4 I:iIETt^I'ICO.
Si en cada uno de los L estratos en que se ha clasificado la población, se efectúa
independientemente un Inuestreo bietápico, bien sea con asignación de probabilidades
iguales o proporcionales al tamaño a las unidades primarias, el estimadol• del total Y
es ahora suma de estimadores independientes, del tipo estudiado en el parágrafo
axtterior, y su varianza será la surna de las varianzas de los estimadores de cada
estrato. En estas condiciones si se forman k grupos de tamaño m,^ = nn^k en cada
estrato, es
= k = constante
mh
por Io que es inmediato comprobar que
V' ( Y^r) = kV ( Y^}
y que
^
^
E (Y^r) = Ye
wn
En resumen, siendo Y^r el estimador de Y basado en los grupos r°^ cle los L estratos,
e Ys el basado en la m.uestra compl eta,
1
x
..
..
^ ^Ycr - Y)2
k (jr - 1) r-^
^
es un estimador insesgado de V( Y).
II.ó.
MUESTREO SIN REEM,PLAZAMIENTO.
Excepto en el muestreo sin reemplazaxniento unietá^pico con probabilidades
iguales, estudiado en el apartado I, en los demás casos no se cumple exactarnente
el teorerna II.2 que permite aplicar el método de los grupos aleatorios a la estimación
^
^
de V(Y); debido a que en las fór^nulas de V(Y) aparecen Kfactores de correccián,
para poblaciones finitas». Por tanto, en el muestreo sin reemplazamiento, sola^nente
puede aplicarse el método correctamente si los mencion,ados factores de coxrección
pueden suponerse próximos a la unidad. Cabe recordar que en general esto no es
un problezna grave puesto que en definitiva la estimación de la varianza tendría
sesgo positivo y n^o caeríamos e» ^tribuir a un estimador menos varianza de la que
realmente tiene.
2
Esr^nisr^cA ^spAfva^^
18
GPtUPOS ALEATORIOS DE i^ISTINTO TAMAÑO
III,
Hasta aquí siempre hemos supuesto que la mucstra completa se sitbdivide
en k submuestras de igual tamaño m= n^k, pero esta eondicián no es teóricamente
necesaria para la aplicacibn del m.étodo.
Si la muestra completa de tamaño n se subdivide aleatoriamente en k grupas
de tarnaños,
x
n = ^ mr
m^,m=, ,..,m,, ...^mx;
r^i
denotando gor,
mr
%,r -
x
^ Í1,r -- í
;
n
r-i
el tamaño relativo de cacia grupo, el teorema general II.2 se cumple en la forma
siguiente :
x
,^
.,
^ ^r ($r --- 8)s
k -- 1 r^ ^
1
r,
es un estimador insesgado de v' (8) b a j o las hipótesis,
1
a.)
`% ($}
v ($r) =
%r
E ($r) = $
w
n
b)
Su comprobación es in,mediata puesto que teniendo en cuenta a) y b) puede
escribirse,
.,
^
,,
„
v ($) = ^V ($) ^- ^ ($r -- 8)s
1
^r
o bi e^
„
..
^
,.
v(!$) -- l1,rv ( $) -+- ll,rE ($r -- 8) s
de dor^de
.^_
^
„
v (8) (1 -- ^,r ^ = ^rE ($r -- e^s
y sumando en r los dos miexnbros de esta última relación, y puesto que
^^,, - ^
se obtiene el resultado anteriarmente enunciado.
ESTZMACIDN DE ERRORES DE MUESTREO
IV.
19
BREVE ESTUDIO DE LA PRE^ISION I?EL METODO DE LOS GRUPOS
ALEATORIOS
Refiriéndonos al caso de un diseño simple, estudiado en el apartado I de este
^
artículo, vamos a comparar la precisión de s2, como estimador de S$, con la de S$a. ^.
(fórmula [ I.10]) que es el estimador insesgado de Sz dado por el método de los grupos
aleatorios. Han^sen, Hurwitz y Madow tratan esta cuestión en el capítulo 10 de su
con,ocida obra.
La varianza relativa de s^, para un tan^,año rn,uestral no pequeño, es aproximadamente,
^ -- 1
V. R. (s 2) --
n
sien;do
^ ^ u4 raa
el coeficiente de curtosis de Pearson de la distribución poblaciox^al. La varian2a
^
relativa de S$c^. ,^. es,
1
k-3
V.R. (S$Q.^.) --- - ^,n k
k-1
donde,
^
^^, _
m-1
-^- 3
m
[IV.2]
rn
y si el n,úmero k de grupos formados es no pequeño puede suponerse,
^,n - 1
V.R. (SZC.^q•) _
[IV.3]
Teniendo en cuenta [ IV.1], [ IV.2] y [ IV.3] se obtien,e la relación,
„
2
2
V.R. (S^^.A.) = V.R. (s^) -^- .._.... ..._ _.._
n
k
[ IV.4]
en la que, por ser siempre
2
2
- > ___.
k
n
podemos apreciar que la precisián del m,étodo de los grupos aleatorios es meuor
que la del método ordinario, pero el cálculo de S^a. ,^. requiere un trabajo aproxixnadamente equivalente al de calcular s2 can una muestra m veces más pequeña
(esto es, de tamaño k en vez de n). Cabe pregur^tarse eutonces si merece la pena
aplicar el método de los grupos aleatorios con k subrnuestras o el ordin,ario co^ una
ESTADISTICA ESPAÑOLA
mliest.ra cie tamario k. F:s fácil ver que en estas condiciones el métoda de los grupos
aleatorios es más preciso si ^i > 3. En eiecto:
Df^ ^^cuerdc^ cc ^ n [ I^'.1 ^ l.i varianza relativa de s2 para una muestra de tamaño k es,
V.R. (s=)x --
y compar^ndola con la w'. R. (S^a. ,c.), íúrmula [ IV.3], tenien.do en cuenta [ IV.2],
^
se observa que para ^= 3 coinciden V. R. (s$)x y V. R. (S^G. ^.) pero para j3 > 3
aquélla es mayor que ésta.
Por otra partc, la íármula [IV.4] nos dice que para un tamaño de la muestra
complefia, n, fi ^ o cl método de los grupos aleatorios es más preciso a medida que
aument ^i el númc^rc^ ^^ de ellos. Esto confirma lo dicho, sin demostrar, en el párraío I.3.
V.
OBSERVAC IONES F INALES
Es convenicnte recordar que, como hemos visto, el método de los grupos aleatorios
es rnenos p^•eciso que el método ordinario, sobre todo si éste se aplica a la muestra
completa ; pero con este tipo de métodos se trata de soslayar las dificultades de
c^lculo pr^ctico que presentan las íórmulas ordinarias (pensemos, por ejemplo, en
los diseños bictápicos estratificados como es el de la E. G. P. del INE).
Por otra parte, ur^ in,convenier^te del método de los grupos aleatorios reside en
q,ue necesita muestras grandes en cada estrato para poder formar un. número n,o
pequeño de grupos. Esto hace que ^en los ditseños que constan de muchos estratos,
con tamaño de muestra relativamente pequeño en cada uno de ellos (en ciertos
casos sólo dos unidades primarias) no se aplique. Sin embargo, existen otros métodos,
como verernos en una segunda parte de este trabajo, que pueden con;siderarse derivados del mét.odo de los grupos aleatorios.
VI.
BIBLIOGRAFIA
.A, lo largo del texto se han utili^ado resultados generales que puedcn consultarse
en cualquiera de los libros de muestreo actualmente en el mercado, por lo que no
se ha citado a ningun,o cie ellos en p^^rticular. Damos a continuación la bibliografía
utilizada.
I3IBLIiJGRAFIA
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