BERNAL, L; 'Series de funciones r integral de Lebesgue' ; Universidad de Sevilla 2015

UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Series de funciones e integral
de Lebesgue
Luis Bernal González
Departamento de Análisis Matemático
Sevilla, 2015. Disponible en: http://personal.us.es/lbernal/
Índice general
Prólogo
5
1. Series de números reales e integral de Riemann
9
1.1. Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Series de términos positivos y series alternadas . . . . . . . . . 12
1.4. Otros criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Concepto y propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . 15
1.6. Condiciones de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Integración y antiderivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8. Cambio de variables e integración por partes . . . . . . . . . . 18
1.9. La integral de Riemann–Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Integrales impropias
25
2.1. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Integrales mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Criterios de convergencia. Convergencia absoluta . . . . . . . . 30
2.5. Criterios de convergencia para funciones positivas . . . . . . . 32
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1
2
Luis Bernal González
3. Sucesiones de funciones
37
3.1. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . . . . . . 37
3.2. Álgebra de sucesiones uniformemente convergentes . . . . . . . 40
3.3. Convergencia uniforme, continuidad y derivabilidad . . . . . . 43
3.4. Convergencia uniforme e integración
. . . . . . . . . . . . . . 46
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4. Series de funciones
49
4.1. Definiciones: sumas puntual y uniforme . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Relación con la continuidad, derivación e integración . . . . . 50
4.3. Criterios de convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 51
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Series de potencias
57
5.1. Radio e intervalo de convergencia de una serie de potencias . . 57
5.2. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de series de potencias 61
5.3. Funciones analı́ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6. Medida de Lebesgue
71
6.1. El problema de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2. Espacios medibles, espacios de medida y medida exterior . . . 72
6.3. Construcción de la medida de Lebesgue en R . . . . . . . . . . 76
6.4. Conjuntos medibles Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7. Integral de Lebesgue
91
7.1. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3. Integral de Lebesgue de funciones no negativas . . . . . . . . . 99
ÍNDICE GENERAL
3
7.4. Propiedades de la integral de funciones no negativas . . . . . . 101
7.5. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.6. Integral de Lebesgue de funciones medibles . . . . . . . . . . . 104
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8. Teoremas de convergencia
113
8.1. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2. Relación entre las integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . 118
8.3. El espacio L1 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.4. Subespacios densos de L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9. Integrales paramétricas
129
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.2. Continuidad de integrales paramétricas . . . . . . . . . . . . . 130
9.3. Derivabilidad de integrales paramétricas . . . . . . . . . . . . 131
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10. Series de Fourier
135
10.1. Serie de Fourier y coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . 135
10.2. Desigualdades e igualdades con coeficientes de Fourier . . . . . 138
10.3. Convergencia puntual de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . 140
10.4. Convergencia uniforme de la serie de Fourier . . . . . . . . . . 144
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bibliografı́a
151
Lista de sı́mbolos y abreviaturas
153
Índice alfabético
155
Prólogo
Estas notas han sido concebidas para servir de base al estudiante que
pretenda introducirse en los rudimentos de la teorı́a de sucesiones y series de
funciones y en la teorı́a de integración de Lebesgue. Ambas teorı́as proporcionan instrumentos de amplio uso en análisis matemático, en sus dos vertientes
teórica y aplicada.
El texto está dirigido, inicialmente, a los alumnos de la asignatura homónima Series de funciones e integral de Lebesgue, que actualmente se imparte
como asignatura obligatoria en el segundo curso del Grado en Matemáticas
de la Universidad de Sevilla. No obstante, confı́o en que su utilidad vaya más
allá y pueda ser usado como consulta también fuera del ámbito especı́fico
de la asignatura citada. Espero, asimismo, que estas notas sean también de
provecho para el profesor que imparta los contenidos de las mismas.
Como prerrequisito para una lectura provechosa de esta obra, se presupone al lector una fuerte familiaridad con nociones y resultados básicos del
cálculo infinitesimal. Me refiero en especial a conocimientos sobre sucesiones
y series de números reales, convergencia, funciones reales de variable real,
topologı́a de la recta real, continuidad, derivabilidad e integral en el sentido
de Riemann. Aunque no es indispensable, serı́a asimismo bienvenida cierta
base de topologı́a general, álgebra lineal y geometrı́a analı́tica. No obstante,
y con objeto de hacer estas notas lo más autocontenidas posible, se han in-
5
6
Luis Bernal González
corporado, como recordatorio para el lector, algunos conceptos y resultados
adicionales.
El texto se ha dividido en diez capı́tulos o temas. En el Capı́tulo 1 se
recapitulan, sin demostración, los conceptos y resultados básicos sobre series
numéricas e integral de Riemann, conocidos por el estudiante de un curso
elemental de cálculo. Serán muy útiles para impartir la teorı́a y resolver problemas correspondientes a los temas posteriores. Aprovecho para decir que,
en los restantes capı́tulos, a veces se enunciarán sin demostración resultados adicionales que son interesantes para una ulterior profundización en la
materia de que trata el texto.
Como extensión del concepto de integral de Riemann, se estudia la noción
de integral impropia, en la que ya ni el intervalo de definición de la función
ni la función misma a integrar tienen por qué ser acotados. Presentamos este
tipo de integral en el Capı́tulo 2.
Una sucesión real no es más que una aplicación del conjunto de los números naturales en la recta real. Pero a veces surgen sucesiones que dependen
de una variable, que determina la posibilidad de un lı́mite que a su vez es
una función. Estas son las sucesiones de funciones, que se estudiarán en el
Capı́tulo 3. Cuando se consideran las sumas parciales de estas sucesiones,
obtenemos series de funciones, consideradas en el Capı́tulo 4. En ambos casos se establecerán condiciones para la propagación de las propiedades de los
términos a la función lı́mite o suma.
En el Capı́tulo 5 se desarrolla el que quizá sea el ejemplo más importante
de serie funcional, a saber, las series de potencias, las cuales dan lugar al
concepto de función analı́tica. Las propiedades operacionales de este tipo
de series, la estructura del conjunto de puntos de convergencia y diversos
criterios de analiticidad se estudiarán en este capı́tulo.
PRÓLOGO
7
La medida de Lebesgue sobre la recta real, como extensión natural del
concepto de longitud de un intervalo, se presenta en el Capı́tulo 6. Con ella
se prepara la base para establecer el concepto de integral de Lebesgue, que
se estudiará en el Capı́tulo 7. La integral de Lebesgue generaliza de manera
eficaz la noción de integral de Riemann, evitando muchas de las carencias de
esta.
El Capı́tulo 8 da a luz resultados de intercambio de las operaciones de
integración Lebesgue y de lı́mite/sumación, por lo que es ampliamente útil y
conecta las dos partes del tı́tulo de esta obra. Como aplicación, en el Capı́tulo
9 se investiga la propagación, a una función definida por una integral dependiente de un parámetro, de las propiedades de la función que actúa como
integrando.
Finalmente, el estudio de algunos problemas fı́sicos, asociados a la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales, dio lugar a las series de Fourier,
importante clase de series funcionales cuyos rudimentos se exponen en el
Capı́tulo 10.
La obra contiene ejemplos que ilustran los conceptos y resultados que van
surgiendo. Además, al final de cada capı́tulo se propone una variada lista de
ejercicios, en los que la teorı́a dada o bien se aplica o bien se completa. En
algunos de ellos se adjuntan indicaciones o sugerencias útiles. Recomendamos
al estudiante que intente la resolución de dichos ejercicios, pues ello constituye
un buen indicador del grado de asimilación de la materia. Al final del texto se
ofrece una bibliografı́a para que el lector interesado efectúe consultas y amplı́e
conocimientos. Para una mayor comodidad de lectura, incluyo una lista de
abreviaturas y sı́mbolos. El ı́ndice alfabético está organizado de modo que se
indica la página o páginas donde aparece por primera vez la definición de un
concepto o la formulación de un resultado.
8
Luis Bernal González
Para concluir, es de justicia expresar mi agradecimiento a los profesores
Ma Ángeles Japón Pineda y Rafael Villa Caro por proporcionarme material
abundante y valioso, fruto de su experiencia docente. He utilizado frecuentemente, con provecho, dicho material en la elaboración de esta obra.
El autor
Capı́tulo 1
Series de números reales e
integral de Riemann
Efectuamos en este capı́tulo una recapitulación de algunos conceptos y
teoremas que el lector probablemente conoce de un curso elemental de cálculo
infinitesimal. En concreto, se refieren a las series de números reales y a la
integral en el sentido de Riemann. Por tanto, no se darán las demostraciones.
Nuestro objetivo es que los resultados que se recopilan se puedan usar con
comodidad en el resto de esta obra, tanto en la parte teórica como en la
práctica.
1.1.
Series numéricas
Como es usual, denotaremos por N el conjunto {1, 2, . . . } de los enteros
positivos o números naturales, y por R el cuerpo de los números reales.
Consideremos una sucesión de números reales, es decir, una aplicación ϕ :
n ∈ N 7→ an ∈ R, representada como es habitual por a1 , a2 , ..., {an }∞
n=1 o
bien simplemente {an } o (an ). Se llama serie asociada o generada por {an }
P
a la sucesión {Sn } de sumas parciales de aquella, es decir, Sn = nk=1 ak =
9
10
Luis Bernal González
P
a1 + · · · + an para todo n ∈ N. Se representa por ∞
n=1 an , o simplemente
P
an , y a veces también por a1 + a2 + · · · + an + · · · . Por definición, el
carácter de una serie es el mismo que el de la sucesión de sumas parciales
que la genera.
Definición 1.1.1. Se dice que la serie
P∞
n=1
an es convergente cuando {Sn }
converge, esto es, cuando existe un número S ∈ R, necesariamente único,
P
tal que Sn → S. Este hecho se representa por ∞
n=1 an = S, y se dice en
n→∞
P
tal caso que S es la suma de la serie. En el caso de que la serie ∞
n=1 an
no converja, se suele distinguir entre serie divergente y serie oscilante según
que, respectivamente, Sn → ∞ o {Sn } no tienda a ningún número real ni a
infinito.
La ası́ llamada serie geométrica 1 + a + a2 + · · · proporciona el ejemplo
más sencillo. Teniendo en cuenta que las sumas parciales valen Sn = 1 +
a + · · · + an−1 =
1−an
1−a
=
1
1−a
−
an
1−a
si a 6= 1 y Sn = n si a = 1, resulta
que dicha serie es convergente (con suma
1
)
1−a
si a ∈ (−1, 1), divergente si
a ∈ (−∞, −1) ∪ [1, +∞), y oscilante si a = −1.
Es evidente que el hecho de añadir o suprimir un número finito de términos
de una serie no altera el carácter de la misma. Otra propiedad elemental es la
P
asociatividad, que afirma que si una serie ∞
n=1 an es convergente o divergente
P∞
y consideramos la serie reagrupada
n=1 bn , donde b1 = a1 + · · · + an1 ,
P
b2 = an1 +1 + · · · + an2 , ... con n1 < n2 < · · · , entonces ∞
n=1 bn tiene el mismo
P∞
carácter y la misma suma que la serie original n=1 an . Pero la propiedad
disociativa no es válida en general. Por ejemplo, la serie 0 + 0 + 0 + · · · es
trivialmente convergente, y cada término puede escribirse como 0 = 1 − 1.
Tras esta disociación, resulta la nueva serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , la cual no
converge.
Finalmente, tenemos la siguiente propiedad distributiva o de linealidad
para series convergentes.
SERIES DE NÚMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN
11
P
P
Teorema 1.1.2. Si
an = S y
bn = S 0 entonces, para cada par α, β ∈
P
P
R, la serie
αan + βbn converge y
αan + βbn = αS + βS 0 .
P
Anotamos que a veces la sucesión {an } que genera la serie
an no empieza su numeración con el subı́ndice 1, sino con otro subı́ndice N ∈ N0 :=
P∞
N ∪ {0}. En tal caso la serie se expresa como
n=N an y su suma, caso de
ser convergente, es por definición el lı́mn→∞ (aN + aN +1 + · · · + an ).
1.2.
Criterios de convergencia
Vamos a recordar condiciones, necesarias y/o suficientes, de convergencia de series numéricas. Comencemos con la condición necesaria más popular.
P
Teorema 1.2.1. Si la serie
an converge, entonces lı́mn→∞ an = 0.
P
P
√
log n no convergen. Sin embargo,
Por ejemplo, las series (−1)n n y
la condición dada en el teorema anterior no es suficiente para la convergencia.
P
Por ejemplo, la serie armónica
1/n cumple que 1/n → 0, pero no es convergente. A continuación, establecemos el criterio de Cauchy de convergencia
de series numéricas.
Teorema 1.2.2. La serie de números reales
P
an es convergente si y solo
Pm
si para cada ε > 0 existe n0 = n0 (ε) ∈ N tal que
k=n+1 ak < ε para
todos los m, n ∈ N con m > n ≥ n0 .
Por definición, una serie de términos positivos (STP) es una serie
P
cn
P
tal que cn ≥ 0 para todo n ∈ N. De manera natural, una serie numérica
an
P
P
lleva asociada una STP, a saber,
|an |. Se dice que la serie
an es absoP
lutamente convergente cuando
|an | es convergente. Tenemos la siguiente
condición suficiente.
Teorema 1.2.3. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Además,
P
P
si
an = S y
|an | = S ∗ entonces |S| ≤ S ∗ .
12
Luis Bernal González
Por ejemplo, la serie
X
P
3
2
(−1)n +n +n /2n converge; en efecto, la serie
3 +n2 +n
|(−1)n
/2n | =
X
(1/2)n
es convergente, ya que |1/2| < 1. Por tanto, si disponemos de criterios de convergencia de STPs, obtendremos instrumentos para estudiar la convergencia
ordinaria de series. Recordaremos algunos de esos criterios en la sección siguiente.
1.3.
Series de términos positivos y series alternadas
Trataremos aquı́ sobre estos dos tipos especiales de series. Se conoce la
siguiente fácil caracterización de la convergencia de las STPs en función de
las sumas parciales.
Teorema 1.3.1. Una STP es convergente si y solo si su sucesión de sumas
parciales está acotada. En consecuencia, toda STP es convergente o divergente, es decir, no puede ser oscilante.
Recordemos que una permutación de N no es más que una biyección
P
ϕ : N → N. Si
an es una serie y ϕ es una permutación de N, a la nueva
P
serie
aϕ(n) se la llama serie reordenada respecto de la anterior.
Teorema 1.3.2. Las STPs poseen la propiedad conmutativa, es decir, series
reordenadas tienen el mismo carácter, y la misma suma en el caso en que
sean convergentes.
En general, una serie numérica
P
an se dice que es incondicionalmente
convergente cuando toda reordenación suya converge, y a la misma suma.
P
Una serie
an se dice que es condicionalmente convergente cuando converge pero alguna reordenación suya no converge o converge a otra suma.
SERIES DE NÚMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN
13
Como generalización del teorema anterior, se tiene el teorema de Riemann–
P
Dirichlet, que afirma que una serie
an es incondicionalmente convergente
si y solo si es absolutamente convergente.
El siguiente resultado proporciona criterios de convergencia de STPs.
Teorema 1.3.3. Sean
P
an y
P
bn dos STPs. Se verifica:
(a) [Criterio de comparación] Si existe n0 ∈ N tal que an ≤ bn para todo
P
P
n ≥ n0 y
bn es convergente, entonces
an es convergente. Si existe
P
n0 ∈ N tal que an ≥ bn para todo n ≥ n0 y
bn es divergente, entonces
P
an es divergente.
an
= L ∈ [0, +∞)
(b) [Criterio de comparación por paso al lı́mite] Si lı́m
n→∞ bn
P
(∈ (0, +∞], resp.) y
bn es convergente (divergente, resp.), entonces
P
an es convergente (divergente, resp.).
1/n
(c) [Criterio de la raı́z o de Cauchy] Si existe lı́mn→∞ an =: L ∈ [0, +∞]
P
y L < 1 (y L > 1, resp.), entonces la serie
an es convergente (divergente, resp.).
an+1
(d) [Criterio del cociente o de D’Alembert] Si existe lı́m
=: L ∈
n→∞ an
P
[0, +∞] y L < 1 (y L > 1, resp.), la serie
an es convergente (divergente, resp.).
an
−1 =: L ∈ [0, +∞]
n→∞
an+1
P
y L < 1 (y L > 1, resp.), entonces la serie
an es divergente (con-
(e) [Criterio de Raabe–Duhamel] Si existe lı́m n
vergente, resp.).
(f) [Criterio de condensación de Cauchy] Supongamos que {an } es decreP
P n
ciente. Entonces
an es convergente si y solo si
2 · a2n es convergente.
14
Luis Bernal González
(g) La serie armónica generalizada
P
1
na
(a ∈ R) es convergente si y solo
si a > 1.
Se llama serie alternada a una serie cuyos términos tienen signo alterno, es
P
P
decir, una serie de la forma
(−1)n cn o bien
(−1)n+1 cn con cn ≥ 0 para
todo n. El teorema siguiente, conocido como Criterio de Leibniz, proporciona
una condición suficiente de convergencia de series alternadas.
Teorema 1.3.4. Consideremos una serie alternada como la anterior. Si la
sucesión {cn } es decreciente y cn → 0, entonces la serie alternada es convergente. Además, en tal caso, el error cometido en la aproximación no excede
el valor absoluto del primer término despreciado; es decir, si Sn es la suma
parcial n-ésima de la serie alternada y S es la suma, entonces |Sn −S| ≤ cn+1 .
Por ejemplo, la ası́ llamada serie anarmónica 1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ · · · es
convergente. Este ejemplo también muestra que el recı́proco del Teorema
1.2.3 es falso.
1.4.
Otros criterios de convergencia
A veces tenemos una serie que no es absolutamente convergente pero
tampoco alternada, con lo cual no podemos usar los criterios de convergencia
anteriores. En el siguiente teorema se dan dos condiciones suficientes, que se
basan en una descomposición factorial adecuada del término general.
P
P
Teorema 1.4.1. Sean
an y
bn dos series de números reales y denoPn
temos An = k=1 ak . Se verifica:
(a) [Criterio de Dirichlet] Si la sucesión {An } es acotada y la sucesión {bn }
P
es decreciente y con lı́mite 0, entonces
an bn es convergente.
(b) [Criterio de Abel] Si
P
an converge y la sucesión {bn } es monótona
convergente, entonces
P
an bn es convergente.
SERIES DE NÚMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN
1.5.
15
Concepto y propiedades de la integral de
Riemann
El concepto de integral es la abstracción y formalización de la idea de
área. Aquı́ recordaremos la integral de Riemann, mientras que en el Capı́tulo
7 introduciremos la integral, más general, de Lebesgue.
Consideremos un intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ R. Se llama partición
de [a, b] a cualquier conjunto finito de puntos de [a, b], uno de los cuales es a y
otro es b. Luego cada partición P de [a, b] consta de puntos xi (i = 0, 1, ..., n)
con a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Sea f una función acotada. Se define la
suma superior de Riemann de f respecto de la partición P como el número
Pn
U (f, P ) =
i=1 Mi (xi − xi−1 ), donde Mi := sup{f (t) : xi−1 ≤ t ≤ xi }.
Análogamente, la suma inferior de Riemann de f respecto de la partición
Pn
P se define como el número L(f, P ) =
i=1 mi (xi − xi−1 ), donde mi :=
ı́nf{f (t) : xi−1 ≤ t ≤ xi }. Se tiene que L(f, P ) ≤ U (f, P ∗ ) para cualesquiera
particiones P, P ∗ de [a, b].
Rb
Definición 1.5.1. Sea f : [a, b] → R acotada. A los números reales a f :=
Rb
sup{L(f, P ) : P partición de [a, b]} y a f := ı́nf{U (f, P ) : P partición de
[a, b]} se les llama, respectivamente, integral inferior de Darboux e integral
superior de Darboux de f en [a, b].
Se verifica que (b − a) · ı́nf{f (t) : a ≤ t ≤ b} ≤
Rb
f ≤
a
Rb
a
f ≤ (b − a) ·
sup{f (t) : a ≤ t ≤ b}.
Definición 1.5.2. Sea f : [a, b] → R acotada. Se dice que f es integrable
Rb
Rb
Riemann en [a, b] cuando a f = a f , en cuyo caso se denota este valor
Rb
Rb
común por a f o a f (x) dx, el cual se denominará la integral de Riemann
de f en [a, b]. El conjunto de las funciones integrables Riemann en [a, b]
será denotado por R[a, b].
16
Luis Bernal González
Como ejemplo trivial, toda función constante f (x) ≡ c en [a, b] está en
Rb
R[a, b], y además a f = c(b−a). En el siguiente teorema resumimos algunas
propiedades de la integral de Riemann.
Teorema 1.5.3.
(a) [Linealidad respecto al integrando] R[a, b] es un es-
pacio vectorial sobre R. De hecho, si f, g ∈ R[a, b] y α, β ∈ R, entonces
Rb
Rb
Rb
αf + βg ∈ R [a, b] y a (αf + βg) = α a f + β a g.
(b) [Linealidad respecto al intervalo] Si a < c < b y f ∈ R[a, c] ∩ R[c, b]
Rb
Rc
Rb
entonces f ∈ R[a, b] y a f = a f + c f .
(c) [Monotonı́a] Si f ∈ R[a, b] y f ≥ 0 en [a, b] entonces
Rb
Rb
f, g ∈ R[a, b] y f ≥ g en [a, b] entonces a f ≥ a g.
1.6.
Rb
a
f ≥ 0. Si
Condiciones de integrabilidad
Establecemos aquı́ dos condiciones de integrabilidad en el sentido de
Riemann, una necesaria y suficiente, y otra suficiente.
Teorema 1.6.1. [Condición de Riemann] Sea f : [a, b] → R acotada. Se
tiene que f ∈ R[a, b] si y solo si, para cada ε > 0, existe una partición P de
[a, b] tal que U (f, P ) − L(f, P ) < ε.
Como consecuencia, si una función es integrable Riemann en un intervalo,
lo es en cualquier subintervalo de este.
Teorema 1.6.2. Toda función continua en [a, b] es integrable Riemann en
dicho intervalo.
En sı́mbolos, el teorema nos dice que C([a, b]) ⊂ R[a, b]. La anterior no es
una condición necesaria; por ejemplo, la función f : [0, 1] → R definida como
R1
1 en x = 0 y 0 en (0, 1] es integrable Riemann, con 0 f = 0. Veremos en el
SERIES DE NÚMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN
17
Capı́tulo 8 que una función acotada en [a, b] es integrable Riemann si y solo
si “no tiene demasiadas discontinuidades”, en un sentido que se especificará.
Recordemos que, si f ∈ R[a, b], el valor medio integral de f sobre [a, b]
Rb
1
f (x) dx. Si f ≥ 0 en [a, b], µ representa
se define como el número µ = b−a
a
Rb
la altura de un rectángulo de base el segmento [a, b] y área a f . Entonces
m ≤ µ ≤ M , donde m y M son respectivamente el ı́nfimo y el supremo de
f en [a, b]. El Teorema del valor medio integral asegura que si f ∈ C([a, b])
entonces existe algún punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = µ.
Ya sabemos que cualquier combinación lineal finita de funciones integrables Riemann es también integrable Riemann. El siguiente resultado completa
esta afirmación y nos viene a decir que la integral de Riemann es respetuosa con las operaciones elementales. Puede probarse usando la condición de
Riemann. Recordemos que f + y f − denotan respectivamente la parte positiva y la parte negativa de una función f , es decir, f + (x) := máx{f (x), 0} y
f − (x) := máx{−f (x), 0} = − mı́n{f (x), 0}. Luego f + y f − son no negativas
y se tiene f = f + − f − y |f | = f + + f − .
Teorema 1.6.3. Supongamos que f, g ∈ R[a, b]. Entonces las funciones f + ,
f − , |f |, f 2 y f · g están también en R[a, b].
1.7.
Integración y antiderivación
Vamos a recordar la relación que hay entre estas dos operaciones. Resulta que, en un sentido que se especificará más adelante, ambas coinciden
esencialmente.
Supongamos que I ⊂ R es un intervalo y f : I → R es una función. Se
dice que la función F : I → R es una primitiva de f cuando F 0 (x) = f (x)
para todo x ∈ I. Si el extremo izquierdo a (resp., el extremo derecho b)
de I está en I, entendemos que F 0 (a) = F+0 (a) (resp., F 0 (b) = F−0 (b)). Es
18
Luis Bernal González
fácil ver que dos primitivas de una misma función en un mismo intervalo se
diferencian en una constante.
Definición 1.7.1. Sea f ∈ R[a, b]. A la función F : x ∈ [a, b] 7→
Rx
a
f (t) dt
se le llama integral indefinida de f en [a, b].
Podemos decir que la operación de integración “mejora” las propiedades
de la función.
Teorema 1.7.2. Si f ∈ R[a, b] entonces su función integral indefinida es
continua en [a, b].
Los dos resultados que agrupamos en el siguiente teorema son básicos
y expresan la fuerte relación existente entre integrar y la operación inversa
de derivar. Si k ∈ N, denotaremos por C k ([a, b]) el espacio de las funciones
[a, b] → R diferenciables con continuidad hasta orden k inclusive.
Teorema 1.7.3.
(a) [Primer teorema fundamental del Cálculo]
Sea f ∈ R[a, b] y F su función integral indefinida. Si f es continua en
el punto x0 ∈ [a, b] entonces F es derivable en x0 y F 0 (x0 ) = f (x0 ). En
particular, si f ∈ C([a, b]) entonces F ∈ C 1 ([a, b]).
(b) [Segundo teorema fundamental del Cálculo o Regla de Barrow]
Sea f ∈ R[a, b]. Si g : [a, b] → R es una función continua que es una
Rb
primitiva de f en (a, b) entonces a f = g(b) − g(a).
1.8.
Cambio de variables e integración por
partes
Continuamos con este par de resultados, que son importantes desde los
Rd
Rc
puntos de vista teórico y práctico. Si c > d se entenderá que c f = − d f ,
siempre que el segundo miembro tenga sentido.
SERIES DE NÚMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN
19
Teorema 1.8.1. [Fórmula del cambio de variables] Si g ∈ C 1 ([a, b]) y f es
R g(b)
Rb
continua en g([a, b]), entonces g(a) f = a (f ◦ g) · g 0 .
Teorema 1.8.2. [Fórmula de integración por partes] Sean f, g : [a, b] → R
Rb
Rb
derivables con f 0 , g 0 ∈ R [a, b]. Entonces a f g 0 = f (b)g(b)−f (a)g(a)− a f 0 g.
1.9.
La integral de Riemann–Stieltjes
Para terminar, vamos a generalizar la integral de Riemann. El concepto
que se va a definir es muy útil en muchas ramas de la Matemática, tanto pura
como aplicada. Hasta ahora tenı́amos una función integrando f : [a, b] → R
que se integraba respecto de la función identidad i(x) = x. Pero podemos
considerar una función integradora g : [a, b] → R distinta de la identidad,
siempre que verifiquen algunas condiciones. El contexto adecuado lo proporcionan las funciones que se definen a continuación.
Definición 1.9.1. Una función g : [a, b] → R es de variación acotada
cuando existe M ∈ (0, +∞) tal que, para toda partición {t0 = a < t1 <
n
X
|g(tk ) − g(tk−1 )| ≤ M .
· · · < tn = b} de [a, b], se tiene que
k=1
Por BV [a, b] se denotará el conjunto de las funciones [a, b] → R de variación acotada. Enumeramos sin demostración sus propiedades básicas.
Proposición 1.9.2. Se verifican las siguientes propiedades:
El conjunto BV [a, b] es un espacio vectorial.
Si g : [a, b] → R está en BV [a, b], existen funciones g1 , g2 : [a, b] → R
crecientes tales que g = g1 − g2 . En particular, BV [a, b] es la variedad
lineal generada por las funciones monótonas en [a, b].
Se cumplen las siguientes relaciones de inclusión y de no-inclusión:
C[a, b] 6⊂ BV [a, b], C[a, b] 6⊃ BV [a, b] y C 1 [a, b] ⊂ BV [a, b].
20
Luis Bernal González
Si g ∈ BV [a, b], entonces g es continua salvo en un conjunto numerable de puntos, en los que tiene discontinuidades de salto.
Definición 1.9.3. Consideremos dos funciones f, g : [a, b] → R. Diremos
que f es Riemann-Stieltjes integrable respecto de g en [a, b] cuando existe
un número A ∈ R con la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe una
partición P0 = P0 (ε) de [a, b] tal que, para toda partición P = {a = t0 <
t1 < · · · < tN = b} de [a, b] con P ⊃ P0 y todo sistema de puntos ξk ∈
N
X
f (ξk )(g(tk ) − g(tk−1 )) < ε. En tal
[tk−1 , tk ] (k = 1, . . . , N ), se tiene A −
k=1
caso, diremos que A es la integral de Riemann-Stieltjes de f respecto de g, y
Rb
escribiremos a f dg = A.
Es fácil probar que el número A, si existe, es único. El conjunto de las funciones que son Riemann-Stieltjes integrables respecto de g en [a, b] será denotado por RS g [a, b].
Teorema 1.9.4. Se verifican las siguientes propiedades:
(a) Si g(x) = x, entonces f ∈ RS g [a, b] si y solo si f ∈ R[a, b]. En tal
Z b
Z b
caso,
f dg =
f (x) dx.
a
a
(b) RS g [a, b] es un espacio vectorial. Especı́ficamente, si f, h ∈ RS g [a, b]
y α, β ∈ R, entonces αf + βh ∈ RS g [a, b] y
Z b
Z b
Z b
(αf + βh) dg = α
f dg + β
h dg.
a
a
a
(c) Si f ∈ RS g [a, b] ∩ RS h [a, b] y α, β ∈ R, entonces f ∈ RS αg+βh [a, b] y
Z b
Z b
Z b
f d(αg + βh) = α
f dg + β
f dh.
a
a
a
(d) Si c ∈ (a, b) y f ∈ RS g [a, b], entonces f ∈ RS g [a, c] ∩ RS g [c, b] y
Z b
Z c
Z b
f dg =
f dg +
f dg.
a
a
c
SERIES DE NÚMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN
21
(e) Si f ∈ C[a, b] y g ∈ BV [a, b], entonces f ∈ RS g [a, b].
(f) Si f ∈ BV [a, b] y g ∈ C[a, b], entonces f ∈ RS g [a, b].
(g) Se da la fórmula de integración por partes. En concreto, si f ∈ RS g [a, b],
Z b
Z b
g df = f (b)g(b) − f (a)g(a) −
f dg.
entonces g ∈ RS f [a, b] y
a
a
(h) Si f ∈ C[a, b] y g ∈ C 1 [a, b], entonces f ∈ RS g [a, b] y
Rb
f (x)g 0 (x) dx.
a
Rb
a
f dg =
Ejercicios
1.- Demostrar que la sucesión {an } converge si y solo si la serie
P
(an+1 − an )
converge. Probar que, en tal caso, si L es el lı́mite de {an } y S es la suma
de la serie anterior, entonces S = L − a1 .
2.- Demostrar el criterio de Pringsheim: Sea
P
an una STP. Si existe a > 1 tal
P
que lı́mn→∞ na · an = L ∈ [0, +∞), entonces
an es convergente. Si existe
P
a ≤ 1 tal que lı́mn→∞ na · an = L ∈ (0, +∞], entonces
an es divergente.
Indicación: usar el Teorema 1.3.3.
Como aplicación, decidir el carácter de la serie
∞
X
n=1
1
n
1
+ π2
n
· (e1/n − 1)1/2
.
P
an una STP. Si existe el lı́mite
3.- Demostrar el criterio logarı́tmico: Sea
P
ln (1/an )
lı́m
=: α y α > 1 (y α < 1, resp.), la serie
an es convergente
n→∞
ln n
(divergente, resp.). Indicación: usar el Teorema 1.3.3.
∞
X
1
Como aplicación, decidir el carácter de la serie
.
(ln n)ln n
n=2
4.- Decidir si son convergentes o no cada una de las siguientes series:
(a)
P∞
n=1
sen (nθ)
,
n2
donde θ ∈ R es fijo.
(b) 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ ···.
(c) 1 −
1
2
+
2
3
−
1
3
+
2
4
−
1
4
+
2
5
−
1
5
+ ···.
22
5.-
Luis Bernal González
(d)
P∞
(e)
P∞
1
√
.
3 2
n −1
(f)
P∞
1
√
.
3 2
n +1
(g)
P∞
(h)
P∞
(i)
P∞
(j)
P∞
(k)
P∞
(l)
P∞
(m)
P∞
(n)
P∞
(o)
P∞
(p)
P∞
(q)
P∞
(r)
P∞
(s)
P∞
(t)
P∞
(u)
P∞
n log n .
n=1 (−1)
n
n=2
n=1
n2
n=1 n! .
n=1
log n
n .
1
n=2 log n .
1
n=2 (log n)3 .
1
n=2 (log n)n .
1
n
n=2 (−1) (log n)n .
n2
n=1 n3 +1 .
n=1 sen (1/n).
n=1 (1
− cos (1/n)).
1
n=2 n log n .
1
n=2 n(log n)2 .
1
n=2 n2 log n .
n!
n=1 nn .
2n n!
n=1 nn .
3n n!
n=1 nn .
P
b2n convergen, entonces
an bn converge.
P 2
P
(b) Probar que si
an converge, entonces
an /n converge.
(a) Probar que si
P
a2n y
P
6.- Supóngase que {an } es una sucesión decreciente con an ≥ 0 para todo n ∈ N.
P
Demostrar que si
an converge, entonces lı́mn→∞ n · an = 0.
Indicación: utilizar el criterio de Cauchy.
7.- Dar un ejemplo de una sucesión {an } tal que an → 0, la sucesión de sus
P
sumas parciales sea acotada y la serie
an no converja.
SERIES DE NÚMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN
8.- Sean f, g : [a, b] → R continuas con f ≥ g en [a, b]. Probar que
23
Rb
a
f =
Rb
a
g
si y solo si f = g en [a, b].
9.- Demostrar que toda función monótona en un intervalo cerrado y acotado es
integrable Riemann en dicho intervalo.
n
10.-
(a) Si f ∈ C([a, b]), demostrar que
Rb
a
k(b − a) b−aX
.
f a+
n→∞ n
n
f = lı́m
k=1
cos(π/n) + cos(2π/n) + · · · + cos(nπ/n)
(b) Calcular el lı́m
.
n→∞
n
R1
11.- Probar, usando la definición de integral de Riemann, que 0 x dx = 1/2.
12.- Consideremos la función f : [0, 1] → R dada por

 1 si x ∈ Q ∩ [0, 1]
f (x) =
 0 si x ∈ [0, 1] \ Q ,
donde por Q se ha denotado el conjunto de los números racionales. Demostrar que f no es integrable Riemann en [0, 1].
13.- Sea f : [a, b] → R continua y no negativa. Probar que
b
Z
f (x)n dx
lı́m
n→∞
14.-
1/n
= sup{f (x) : a ≤ x ≤ b}.
a
(a) Demostrar que si f es integrable Riemann en [a, b] entonces |f | también
Rb
Rb
lo es y a f ≤ a |f |.
(b) Dar un ejemplo de una función f que no sea integrable Riemann en
[0, 1] y tal que |f | sı́ lo sea.
15.- Supóngase que f ∈ C([a, b]) y que g ∈ R[a, b] con g(x) ≥ 0 para todo
x ∈ [a, b]. Demostrar que existe ξ ∈ [a, b] tal que
Z b
Z b
f (x)g(x) dx = f (ξ)
g(x) dx.
a
a
Este resultado se conoce como Teorema generalizado del valor medio integral.
Mostrar con un ejemplo que la hipótesis de g(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] es
esencial.
24
Luis Bernal González
16.- Sea f ∈ R [a, b]. Probar que, dado ε > 0, existe una función g ∈ C([a, b]) tal
que g ≤ f en [a, b] y
Z
b
Z
f−
a
b
g < ε.
a
17.- Consideremos la función f : [0, 2] → R dada por

 1/[1/x] si 0 < x ≤ 1
f (x) =
 0
si x = 0 o x > 1 ,
donde por [t] se ha denotado la parte entera del número real t. ¿Es f
R2
integrable Riemann en [0, 2]? En caso afirmativo, calcúlese 0 f (x) dx.
18.- Determinar el área comprendida entre las gráficas de las funciones f (x) =
sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, 2π].
19.- Supongamos que f ∈ C[a, b] y que
Rb
a
f (x)g(x) dx = 0 para toda función
g ∈ C[a, b] que verifica g(a) = 0 = g(b). Demostrar que f ≡ 0 en [a, b].
20.- Dar un ejemplo de una función f : [0, 1] → R de variación acotada que no
sea continua. Demostrar que la función g : [0, 1] → R dada por g(0) = 0,
g(x) = x sen (1/x) si x 6= 0, es continua pero no es de variación acotada.
Demostrar que toda función continua h : [a, b] → R, derivable en (a, b) y con
derivada acotada, es de variación acotada en [a, b].
21.- Calcular la integral de Riemann–Stieltjes
R1
0
x dg(x) en los casos:
(a) g(x) = e−x , (b) g(x) = [3x], (c) g(x) = x[3x].
Capı́tulo 2
Integrales impropias
En el capı́tulo anterior se ha recordado el concepto de integral de Riemann, definido para una función acotada en un intervalo cerrado y acotado
[a, b]. En el presente capı́tulo se va a generalizar dicho concepto para funciones que, o bien no están acotadas, o bien están definidas en un intervalo no
acotado. Ello conduce a las nociones de integral impropia de primera especie
(si el intervalo es no acotado), de integral impropia de segunda especie (si la
función es no acotada en un intervalo acotado) y de integrales mixtas (si la
función es no acotada cerca de un punto finito y está definida en un intervalo
no acotado). En todos los casos se procede del mismo modo: se integra en un
subintervalo acotado en el que la función esté acotada y luego se halla el lı́mite de dicha integral cuando el subintervalo tiende al intervalo de integración
dado.
2.1.
Integrales impropias de primera especie
En ciertos aspectos, las integrales impropias son análogas a las series.
En estas se consideraba la suma parcial de orden n y se hacı́a tender n → ∞.
En las integrales impropias se hace tender uno de los lı́mites de integración
25
26
Luis Bernal González
hacia +∞ o −∞. Recordemos que R[a, b] denota el conjunto de las funciones integrables Riemann en [a, b].
Definición 2.1.1. Sea f : [a, +∞) → R tal que f ∈ R[a, b] para todo b > a.
Rb
Consideremos la función I : b ∈ (a, +∞) 7→ I(b) = a f (x) dx ∈ R, que se
llama integral impropia de primera especie de f en [a, +∞), y se representa
R∞
R∞
R +∞ R ∞ R +∞
por a f , a f , a f (x) dx o a f (x) dx. Se dice que la integral a f es
convergente cuando existe el lı́mite I0 = lı́mb→+∞ I(b) y es finito. En tal caso
también se dirá que f es integrable Riemann impropiamente en [a, +∞). Al
número I0 se le llama valor de la integral impropia de f en [a, +∞), y este
R∞
hecho se escribirá como a f = I0 , es decir,
Z
∞
Z
f (x) dx = lı́m
b→+∞
a
b
f (x) dx.
a
En cualquier otro caso, diremos que la integral impropia
R∞
a
f es divergente.
Notas 2.1.2. 1. Un hecho importante para la práctica es que si f tiene una
primitiva F en [a, +∞) entonces, gracias a la regla de Barrow,
Z ∞
f (x) dx = lı́m (F (b) − F (a)) = [ lı́m F (b)] − F (a).
a
b→+∞
b→+∞
2. Si f : (−∞, b] → R es una función tal que f ∈ R[a, b] para todo a < b,
Rb
Rb
se define análogamente −∞ f (x) dx = lı́ma→−∞ a f (x) dx, siempre que el
lı́mite exista.
Ejemplos 2.1.3. 1. Sea a > 0 fijo y α ∈ R. Si usamos la regla de Barrow,
R∞
es fácil ver que la integral a 1/xα dx diverge si α ≤ 1 y converge si α > 1,
R∞
1−α
en cuyo caso a 1/xα dx = aα−1 .
R∞
2. La integral impropia 0 sen (2πx) dx diverge, pues
Z
∞
Z
sen (2πx) dx = lı́m
0
y este lı́mite no existe.
b→+∞
b
1
[1 − cos(2πb)],
b→+∞ 2π
sen (2πx) dx = lı́m
0
INTEGRALES IMPROPIAS
27
En el caso de funciones definidas en todo R el concepto de integral impropia se define como sigue.
Definición 2.1.4. Sea f : R → R tal que f ∈ R[a, b] para todo intervalo
R +∞
cerrado [a, b] ⊂ R. Decimos que la integral impropia −∞ f (x) dx converge
R +∞
Ra
si existe un a ∈ R tal que −∞ f (x) dx e a f (x) dx convergen. En este
caso, el valor de la integral impropia viene dado por
Z
+∞
Z
a
f (x) dx =
−∞
Z
f (x) dx +
−∞
+∞
f (x) dx.
a
En otro caso se dice que la integral impropia diverge.
Por ejemplo, la integral
R0
R +∞
1
por I = −∞ 1+x
2 dx + 0
R +∞
1
−∞ 1+x2
1
dx =
1+x2
dx converge y su valor I viene dado
lı́ma→−∞ [arctan 0 − arctan a]
+ lı́mb→+∞ [arctan b − arctan 0] = π/2 + π/2 = π.
Notas 2.1.5. 1. Es fácil ver a partir de la definición que cualquier valor de
a es válido si hay convergencia y que en tal caso el valor de la integral no
depende de a.
R +∞
2. Se llama valor principal de Cauchy de la integral −∞ f al lı́mite
RT
R +∞
R +∞
lı́mT →+∞ −T f . Se suele denotar por V P C −∞ f . Es evidente que si −∞ f
R +∞
converge, su valor es V P C −∞ f . Pero puede que exista y sea finito el valor
R +∞
principal sin que la integral impropia converja. Por ejemplo, V P C −∞ x dx =
R +∞
0 pero la integral −∞ x dx diverge.
2.2.
Integrales impropias de segunda especie
En este tipo de integrales el intervalo de definición es acotado. Damos el
concepto cuando f está definida en un intervalo del tipo [a, b). Análogamente
se procederı́a si f estuviese definida en un intervalo del tipo (a, b].
28
Luis Bernal González
Definición 2.2.1. Sea f : [a, b) → R tal que f ∈ R[a, c] para todo c ∈ (a, b).
Rc
Consideremos la función I : c ∈ (a, b) 7→ I(c) = a f (x) dx, que se llama
R b−
integral impropia de segunda especie de f en [a, b), y se representa por a f ,
R b−
Rb
Rb
f (x) dx, o simplemente a f (x) dx o a f . Se dice que la integral impropia
a
Rb
f es convergente cuando existe el lı́mite I0 = lı́mc→b− I(c) y es finito. En
a
tal caso también se dirá que f es integrable Riemann impropiamente en [a, b).
Al número I0 se le llama valor de la integral impropia de f en [a, b), y este
Rb
hecho se escribirá como a f = I0 , es decir,
Z
a
b
Z
f (x) dx = lı́m−
c→b
c
f (x) dx.
a
En cualquier otro caso, diremos que la integral impropia
Rb
a
f es divergente.
Notemos que en la definición anterior no se exige que f esté acotada. De
hecho, es fácil ver usando una partición de [a, b] en dos intervalos adecuados,
que siempre que f esté acotada en [a, b], entonces f ∈ R[a, b] si y solo si su
integral impropia de Riemann en [a, b) converge, y en este caso el valor de la
integral de Riemann coincide con el de la integral impropia.
Ejemplo 2.2.2. Sea α ∈ R. Usando la regla de Barrow se obtiene que la
R1
integral impropia 0 x1α dx converge si y solo si α < 1, en cuyo caso la integral
Rb 1
Rb 1
1
vale 1−α
. De igual forma, las integrales a (x−a)
dx convergen
α dx e
a (b−x)α
si y solo si α < 1.
Como en el caso de las integrales del tipo
R∞
−∞
f , que podrı́amos llamar
biláteras de primera especie, se puede definir de manera obvia el concepto de
R b−
convergencia de una integral bilátera de segunda especie a+ f (o simplemente
Rb
f ) donde f es una función definida en (a, b).
a
INTEGRALES IMPROPIAS
2.3.
29
Integrales mixtas
El concepto de integral impropia mixta surge cuando la función está definida en un intervalo no acotado y no está acotada cerca del extremo finito del
intervalo, es decir, cuando se combinan una impropiedad de primera especie
y una de segunda especie.
Definición 2.3.1. Sea f : (a, +∞) → R con f ∈ R[b, c] para todo intervalo
R +∞
cerrado [b, c] ⊂ (a, +∞). Se dice que la integral a f (x) dx, denominada
integral mixta, es convergente si existe b > a tal que las dos integrales improRb
R +∞
pias a f (x) dx y b f (x) dx convergen, en cuyo caso el valor de la integral
mixta se define por
Z
+∞
Z
Z
+∞
f (x) dx.
f (x) dx +
f (x) dx =
a
b
a
b
En cualquier otro caso, diremos que la integral
R +∞
a
f (x) dx diverge.
Es fácil ver que la elección de b en la definición anterior es irrelevante
para la convergencia de la integral. Se puede dar un concepto más general de
convergencia de la integral impropia de una función definida en un intervalo
real, que abarca todos los casos dados hasta ahora.
Definición 2.3.2. Sean I ⊂ R un intervalo y f : I → R una función tal
que existe un conjunto finito F = {x1 < x2 < · · · < xN } ⊂ I de modo que
f ∈ R[a, b] para cada intervalo cerrado [a, b] ⊂ I \ F . Se dice que la integral
R
impropia de Riemann I f (x) dx converge cuando cada integral impropia de
R
Riemann (de primera especie, de segunda especie, o mixta) Ij f (x) dx (j =
1, 2, ..., p) converge, donde I1 , ..., Ip es la colección finita de intervalos dos a
dos disjuntos cuya unión es I \ F . En tal caso, el valor de la integral de f
R
P R
en I se define por I f (x) dx = pj=1 Ij f (x) dx. En cualquier otro caso, se
R
dirá que I f (x) dx diverge.
30
Luis Bernal González
Se deja al lector interesado verificar que la definición anterior es independiente del conjunto finito F , con tal que f ∈ R[a, b] para cada intervalo
cerrado [a, b] ⊂ I \ F .
2.4.
Criterios de convergencia. Convergencia
absoluta
Para estudiar la convergencia, solo consideraremos integrales impropias de primera especie. Para integrales de segunda especie, los criterios son
análogos. Vamos a establecer una condición necesaria y suficiente, debida
a Cauchy, y otra suficiente, basada en el concepto de convergencia absoluta. Como antes, es también fácil definir este concepto para otros tipos de
integrales impropias.
Notemos que el siguiente resultado guarda cierta similitud con el criterio
de Cauchy de convergencia de series (Teorema 1.2.2).
Teorema 2.4.1. [Condición de Cauchy] Supongamos que la función f :
[a, +∞) → R es tal que f ∈ R[a, b] para todo b > a. Son equivalentes:
(a) La integral
R +∞
a
f (x) dx converge.
(b) Para cada ε > 0 existe C = Cε > a tal que
Rc
b
f (x) dx < ε para
todo c > b > C.
Demostración. Para cada b > a denotemos I(b) =
Rb
a
f . Supongamos que (a)
es cierto. Entonces existe I0 = lı́mb→+∞ I(b) ∈ R. Fijado ε > 0, existe C > a
tal que |I(b) − I0 | < ε/2 para todo b > C. Fijemos b y c con c > b > C.
Entonces |I(b) − I0 | < ε/2 y |I(c) − I0 | < ε/2. Gracias a la desigualdad
Rc
triangular, b f (x) dx = |I(c) − I(b)| ≤ |I(c) − I0 | + |I(b) − I0 | < ε. Esto
prueba (b).
INTEGRALES IMPROPIAS
31
En cuanto al recı́proco, partimos ahora de que la condición (b) se satisface. Por el Teorema fundamental del lı́mite, basta demostrar que existe
L ∈ R tal que lı́mn→∞ I(bn ) = L para toda sucesión {bn } ⊂ [a, +∞) con
bn → +∞. Fijemos una tal sucesión {bn } y un ε > 0, y fijemos asimismo
el número C = Cε > a dado por (b). Existe n0 ∈ N tal que bn > C para
Rb
todo n ≥ n0 . Se deduce que |I(bm ) − I(bn )| = bnm f (x) dx < ε siempre que
m, n ≥ n0 . En otras palabras, la sucesión {I(bn )} es de Cauchy, luego existe
L ∈ R tal que lı́mn→∞ I(bn ) = L. Sólo queda probar que el lı́mite L es el
mismo para todas las sucesiones {bn } como la anterior. Esto es fácil, pues si
existiesen dos sucesiones {bn } y {b∗n } en [a, +∞) con bn , b∗n → +∞ de modo
que I(bn ) → L e I(b∗n ) → L∗ , debe ser L∗ = L, ya que la sucesión conjunta
I(b1 ), I(b∗1 ), I(b2 ), I(b∗2 ), I(b3 ), I(b∗3 ), . . . debe converger también.
Definición 2.4.2. Supongamos que la función f : [a, +∞) → R es tal que
R +∞
f ∈ R[a, b] para todo b > a. Se dice que la integral impropia a f (x) dx es
R +∞
absolutamente convergente cuando a |f (x)| dx converge.
De la desigualdad
Rc
b
f ≤
Rc
b
|f | y del Teorema 2.4.1 se deduce lo si-
guiente.
Teorema 2.4.3. Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente.
A la vista del teorema anterior, es conveniente disponer de resultados que
garanticen la convergencia de integrales impropias de funciones no negativas.
De ello nos ocuparemos en la siguiente sección.
Por completitud, definimos la siguiente noción. Decimos que la integral
R +∞
R +∞
impropia a f (x) dx es condicionalmente convergente cuando a f (x) dx
R +∞
converge pero a |f (x)| dx diverge. Un ejemplo se da en los Ejercicios 2(c)
y 3.
32
Luis Bernal González
2.5.
Criterios de convergencia para funciones
positivas
Como se anunció en la sección precedente, vamos a establecer varios
resultados que proporcionan condiciones suficientes de convergencia de integrales impropias de funciones no negativas. Igual que antes, lo haremos solo
para el caso de integrales de primera especie, siendo inmediata su extensión a
integrales de segunda especie. Los criterios dados evocan los correspondientes
de convergencia de series.
En los dos primeros teoremas y en el corolario, se supone que f, g :
[a, +∞) → R son funciones tales que f, g ∈ R[a, b] para todo b > a.
Teorema 2.5.1. [Criterio de comparación] Supongamos que existe x0 ≥ a
tal que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ≥ x0 . Se verifica:
(a) Si
R∞
(b) Si
R∞
a
a
g converge entonces
f diverge entonces
R∞
a
R∞
a
f converge.
g diverge.
Demostración. Puesto que (b) es el contrarrecı́proco de (a), basta probar
R∞
R∞
(a). Para ello, a su vez, es suficiente ver que x0 f converge (pues a f
R∞
Rx
convergerı́a en tal caso con valor x0 f + a 0 f ). Por último, la convergencia
R∞
de x0 f se deduce de la hipótesis y de la condición de Cauchy (Teorema
Rc
Rc
2.4.1), pues b f ≤ b g siempre que c > b ≥ x0 .
Corolario 2.5.2. [Criterio mayorante] Supongamos que existe x0 ≥ a tal
R∞
R∞
que |f (x)| ≤ g(x) para todo x ≥ x0 . Si a g es convergente entonces a f
es convergente.
Demostración. Aplicar el teorema anterior y el Teorema 2.4.3.
Teorema 2.5.3. [Criterio de comparación por paso al lı́mite]
Supongamos que f (x) ≥ 0 y g(x) > 0 para todo x ≥ a.
INTEGRALES IMPROPIAS
33
(x)
(a) Si existe lı́mx→+∞ fg(x)
= λ ∈ (0, +∞), entonces las integrales
R∞
g son simultáneamente convergentes o divergentes.
a
(x)
(b) Si existe lı́mx→+∞ fg(x)
= 0 y la integral
R∞
f es convergente.
a
R∞
a
(x)
(c) Si existe lı́mx→+∞ fg(x)
= +∞ y la integral
R∞
ces a f es divergente.
R∞
a
f e
g es convergente, entonces
R∞
a
g es divergente, enton-
Demostración. La pruebas de (b) y (c) siguen las mismas ideas que las de
(a), ası́ que solo demostraremos (a). A su vez, para obtener (a) es suficienR∞
R∞
te obtener la convergencia de a f a partir de la de a g [ya que existe
lı́mx→+∞
g(x)
f (x)
=
1
λ
∈ (0, +∞)]. Por hipótesis, debe existir x0 > a con la
propiedad de que f (x)/g(x) ≤ 1 + λ para todo x ≥ x0 . Por tanto f (x) ≤
R∞
(1 + λ)g(x) para todo x ≥ x0 . Ahora bien, es obvio que a (1 + λ)g(x) dx
converge. Basta aplicar ahora el Teorema 2.5.1.
Aprovechando el concepto de integral impropia, concluimos este capı́tulo
con el siguiente criterio integral de convergencia de series numéricas.
Teorema 2.5.4. Sea f : [1, +∞) → [0, +∞) una función decreciente tal que
P
f (n) = an para todo n ∈ N. Entonces la serie
an converge si y solo si la
R∞
integral impropia 1 f (x) dx converge.
Demostración. Notemos que f , al ser monótona, es automáticamente integrable Riemann en cada [1, b] con b > 1. Además, de la hipótesis se desprende que an ≥ 0 para todo n, luego tenemos una serie de términos posiP
tivos. Por tanto
an es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales {Sn := a1 + · · · + an }n≥1 está acotada superiormente. Denominemos
Rb
I(b) = 1 f si b ≥ 1. Como f ≥ 0 en [1, +∞), la función I(b) es crecienR∞
te. Se deduce que 1 f converge si y solo si la función I(b) está acotada
superiormente.
34
Luis Bernal González
Supongamos en primer lugar que la serie converge. Entonces existe M ∈
(0, +∞) tal que Sn ≤ M para todo n ∈ N. Fijemos un b ≥ 1 y llamemos
n = [b], la parte entera de b. Usando que f es decreciente, deducimos que
R2
R3
Rn
Rb
I(b) = 1 f + 2 f + · · · + n−1 f + n f ≤ f (1) · 1 + f (2) · 1 + · · · + f (n − 1) ·
1 + f (n) · (b − n) ≤ a1 + · · · + an = Sn ≤ M . Ya que M no depende de b, la
R∞
función I(b) está acotada superiormente, luego 1 f converge.
R∞
Recı́procamente, supongamos que 1 f converge. Entonces existe M ∈
(0, +∞) tal que I(b) ≤ M para todo b ≥ 1. Si n ∈ N resulta, utilizando
de nuevo que f es decreciente, que Sn = f (1) + f (2) + · · · + f (n) ≤ f (1) +
R2
Rn
Rn
f + · · · + n−1 f = f (1) + 1 f = f (1) + I(n) ≤ M ∗ , donde la cota
1
M ∗ := f (1) + M es independiente de n. Esto muestra la acotación de (Sn ),
P
y por tanto la convergencia de
an .
Ejercicios
1.- Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias y calcularlas
cuando converjan:
(a)
R +∞
(b)
R +∞
(c)
R1
(d)
R2
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
0
0
0
e−x dx
xn e−x dx (n ∈ N)
log x dx
0 log |x − 1| dx
R +∞ log x
x dx
1
R +∞ −|x|
dx
−∞ e
R1 x
0 1−x2 dx
R +∞
x
dx
0
(1+x2 )2
R1
x
0 (1−x2 )1/2 dx.
2.- Estudiar si convergen o no las siguientes integrales impropias:
INTEGRALES IMPROPIAS
(a)
R +∞
(b)
R +∞
(c)
R +∞
(d)
R +∞
(e)
R +∞
(f)
R∞
(g)
R +∞
(h)
R +∞
(i)
R +∞
0
0
0
1
0
0
sen2 x
x2
0
0
dx
e−x sen(1/x) dx
senx
xα
dx (α > 0) [Indicación: usar integración por partes]
sen2 (1/x) dx
e−x
−x
e√
x
0
35
2 −x−2
dx
dx
5e−x
x
sen2 x
x
−x/2
+ x + 2 e−3x−e
dx
dx
xα | log x|β dx (α, β ∈ R).
3.- Probar la convergencia condicional de la integral del apartado (c) del ejercicio
anterior si 0 < α ≤ 1. Indicación: fijar N ∈ N con N ≥ 2 y considerar el
conjunto {x ∈ [1, N ] : |sen x| ≥ 1/2}.
4.- Sea α > 1. Demostrar que el área S(α) de la superficie de revolución generada
por la curva y = x−α al girar alrededor de la semirrecta [1, +∞) es finita.
5.- Supongamos que f : [0, 1] → R es continua, que f (0) = 0 y que f es derivable
Z 1
en el origen. Probar que la integral
f (x) x−3/2 dx es convergente.
0
6.- Sea f : [0, +∞) → R continua, no negativa y tal que la integral
R +∞
0
f es
convergente.
(a) Probar que si existe lı́mx→∞ f (x), entonces lı́mx→∞ f (x) = 0.
(b) ¿Se cumple necesariamente que lı́mx→∞ f (x) = 0? ¿Puede ser f no
acotada?
7.- ¿Puede una función integrable Riemann impropiamente en [0, +∞) cumplir
|f (x)| ≥ 1 para todo x ≥ 0? ¿Puede cumplir lo anterior si f es, además,
continua?
36
Luis Bernal González
8.- Demostrar que, para cada α > 0, la integral Γ(α) :=
R +∞
0
xα−1 e−x dx
converge. Por tanto define una función Γ : (0, +∞) → R, denominada función gamma de Euler–Gauss. Probar que Γ(1) = 1, que posee la ası́ denominada “propiedad reproductiva” Γ(α + 1) = αΓ(α) (∀α > 0), y que Γ es
la generalización del factorial, en el sentido de que Γ(n + 1) = n! para todo
n ∈ N0 .
9.- Si p, q > 0, pruébese que la integral impropia
R1
0
tp−1 (1 − t)q−1 dt converge.
A la función
Z
β : (p, q) ∈ (0, +∞) × (0, +∞) 7→
1
tp−1 (1 − t)q−1 dt ∈ R
0
se la llama función beta. Es posible demostrar la siguiente igualdad, válida
para todos los p, q > 0:
β(p, q) =
Γ(p)Γ(q)
.
Γ(p + q)
En particular, β(p, q) = β(q, p).
10.-
P
n
(a) Considerando la serie ∞
n=1 (e/n) , demostrar que la integral impropia
R∞ y y
0 e /y dy converge.
(b) Aplicando el criterio integral (Teorema 2.5.4) junto con un cambio de
∞
X
1
variable adecuado y la parte (a), demostrar que la serie
(log n)log n
n=2
converge.
∞
X
1
(c) Aplicando el criterio integral, probar que la serie
(log n)log(log n)
n=2
diverge. Indicación: Utilizar el mismo cambio de variable que en la
parte (b), y demostrar directamente que la integral resultante diverge.
11.- Estudiar Zla convergencia, segúnZlos valores de p ∈ R, de las integrales im∞
∞
(arctan x)p
(arctan x)p log x
propias
dx
e
dx.
x(1 + x)2
ex x(1 + x2 )
0
0
12.- Se pueden definir, de modo análogo a las integrales impropias de Riemann,
integrales impropias de Riemann–Stieltjes. Si f, g : [a, +∞) → R, dar una
R +∞
R +∞
definición adecuada de a f dg y calcular 0 e−x d[x].
Capı́tulo 3
Sucesiones de funciones
En muchas ocasiones, las funciones que se manejan en problemas de la
vida real se construyen utilizando funciones elementales: polinomios, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, inversas de todas ellas y combinaciones algebraicas y composicionales de las mismas. Para ellas, se estudian
las propiedades más básicas, como son la continuidad y derivabilidad, ası́ como las técnicas de derivación e integración, entre otras. Sin embargo, otros
problemas teóricos o prácticos requieren definir las funciones como lı́mite de
otras. Esto hace necesario el estudio de cómo traspasar dichas propiedades a
través del lı́mite. En este capı́tulo, nos ocupamos de estudiar qué propiedades
hereda la función lı́mite, y cómo ha de definirse éste para que el comportamiento sea el mejor posible.
3.1.
Convergencia puntual y convergencia uniforme
En primer lugar, vamos a fijar qué entenderemos por una sucesión de
funciones.
37
38
Luis Bernal González
f
Definición 3.1.1. Sea A ⊂ R y F(A) := {funciones A −→ R}. Una sucesión
de funciones en A es una aplicación ϕ : N → F(A). Si ϕ(n) = fn , denotaremos la sucesión de funciones por {fn }∞
1 , {fn }n≥1 , {fn } o simplemente
(fn ).
Presentamos un primer concepto de lı́mite que no es más que el de una
convergencia punto a punto.
Definición 3.1.2. Sea (fn ) una sucesión de funciones en A ⊂ R. Consideremos el conjunto B := {x ∈ A : ∃ lı́mn→∞ fn (x) ∈ R}. La función f : B → R
definida por f (x) = lı́mn→∞ fn (x) se denomina función lı́mite puntual de la
sucesión (fn ) y se dice que (fn ) converge puntualmente a f en B.
También se dice que (fn ) converge simplemente a f en B o que f es el
lı́mite simple de (fn ) en B. Al conjunto B se le suele denominar campo de
convergencia o dominio de convergencia de la sucesión (fn ).
x
(n ≥ 1) definidas
Por ejemplo, la sucesión de funciones fn (x) :=
1 + nx
sobre [0, 1] converge puntualmente a la función f ≡ 0 en [0, 1]. Y la sucesión
de funciones gn (x) := xn (n ≥ 1) tiene por lı́mite puntual en [0, 1] a la función

 0 si x ∈ [0, 1)
g(x) =
 1 si x = 1.
Notemos que en el segundo ejemplo cada función gn es continua pero
la función lı́mite puntual g no lo es. Por tanto, para que la función lı́mite
herede las buenas propiedades de las funciones de la sucesión, se necesita
definir una convergencia más exigente, a saber, la convergencia uniforme,
que presentamos a continuación.
Definición 3.1.3. Sea (fn ) una sucesión de funciones en A ⊂ R. Sean B ⊂ A
y f : B → R. Se dice que (fn ) converge uniformemente, o tiende uniformemente, a f en B, o que f es el lı́mite uniforme de (fn ) en B cuando
∀ε > 0 ∃k = k(ε) ∈ N tal que |fn (x) − f (x)| < ε ∀n ≥ k y ∀x ∈ B.
SUCESIONES DE FUNCIONES
39
Observemos que el k de la definición anterior depende de ε, pero no de
x. La interpretación geométrica es la siguiente: la gráficas en B de todas las
funciones fn se sitúan, a partir de la k-ésima, en una banda de anchura 2ε
centrada en la gráfica de f .
Es evidente que si (fn ) converge a f uniformemente en un conjunto entonces f es el lı́mite puntual de (fn ) en dicho conjunto. Mostraremos más abajo,
con un ejemplo, que la implicación recı́proca no es cierta. Por supuesto, la
función lı́mite puntual (y por tanto la función lı́mite uniforme) es única, si
existe.
Notemos también el hecho –que, por cierto, ofrece un criterio muy práctico
para descubrir convergencia uniforme– de que fn → f uniformemente en A
si y solo si Mn → 0, donde Mn := supx∈A |fn (x) − f (x)|.
x
(n ≥ 1; x ∈ [0, 1])
1 + nx
vista anteriormente converge uniformemente a la función 0 en [0, 1]. En efecto,
Ejemplos 3.1.4. 1. La sucesión funcional fn (x) :=
x
| 1+nx
−0| =
x
1+nx
≤
1
n
para todo n y todo x ≥ 0. Fijado ε > 0, de ser 1/n → 0
se deduce la existencia de k ∈ N tal que 1/n < ε para todo n ≥ k, luego
x
| 1+nx
− 0| < ε para todo x ∈ [0, 1] y para los mismos valores de n.
2. Sin embargo, la sucesión gn (x) := xn (n ≥ 1; x ∈ [0, 1]) no converge
uniformemente en [0, 1]. En efecto, si convergiera, lo harı́a a su función lı́mite
puntual g vista anteriormente. Pero es claro que Mn := supx∈[0,1] |gn (x) −
g(x)| ≥ supx∈[0,1) xn = 1 para todo n ∈ N, luego Mn 6→ 0.
En el siguiente teorema, conocido como condición de Cauchy, se da una
condición equivalente a la convergencia uniforme de sucesiones funcionales.
Esta propiedad, que no tiene demasiada aplicación práctica, es muy útil desde el punto de vista teórico, pues ayuda a descubrir convergencia uniforme
sin necesidad de conocer el posible lı́mite, ya que este no aparece en su formulación.
40
Luis Bernal González
Teorema 3.1.5. Sea (fn ) una sucesión de funciones en A ⊂ R. Son equivalentes:
(a) (fn ) tiende uniformemente a alguna función definida en A.
(b) ∀ε > 0 ∃k = k(ε) ∈ N tal que |fm (x) − fn (x)| < ε ∀m, n ≥ k y ∀x ∈ A.
Demostración. Supongamos que fn → f uniformemente en A y que ε > 0.
Entonces existe k ∈ N tal que |fn (x) − f (x)| < ε/2 para todo n ≥ k y todo
x ∈ A. Si ahora m, n ≥ k y x ∈ A, de la desigualdad triangular se infiere que
|fm (x) − fn (x)| ≤ |fm (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)| < ε. Esto prueba que (a)
implica (b).
Para la implicación recı́proca, supóngase que (b) es cierto. Si fijamos
x ∈ A, de la condición de Cauchy para sucesiones numéricas obtenemos que
existe un número real αx tal que lı́mn→∞ fn (x) = αx . Definamos la función
f : A → R como f (x) = αx . Resta probar que fn → f uniformemente en
A. Para ello, fijemos ε > 0. Por hipótesis, podemos encontrar un k ∈ N tal
que |fn (x) − fm (x)| < ε/2 para todos los n, m ≥ k y todo x ∈ A. Si fijamos
n ≥ k y hacemos m → ∞, resulta |fn (x) − f (x)| ≤ ε/2 < ε para todo x ∈ A,
y esto es (a), como querı́amos.
3.2.
Álgebra de sucesiones uniformemente convergentes
En esta sección estudiaremos el comportamiento del lı́mite uniforme
respecto de las operaciones algebraicas más usuales. Para la suma, el resultado es inmediato sin hipótesis adicionales. Para el producto y el cociente,
será necesario el siguiente resultado técnico (Proposición 3.2.1), que es interesante por sı́ mismo. La acotación que expresa es necesaria para mantener
la convergencia uniforme en el producto.
SUCESIONES DE FUNCIONES
41
Una sucesión de funciones (fn ) definidas en un conjunto A ⊂ R se dice que
es uniformemente acotada en A cuando existe una constante M ∈ (0, +∞)
tal que |fn (x)| ≤ M para todo x ∈ A y todo n ∈ N.
Proposición 3.2.1. Una sucesión uniformemente convergente de funciones
acotadas en A ⊂ R, es uniformemente acotada en A. En tal caso, la función
lı́mite es asimismo acotada en A.
Demostración. Supongamos que fn → f uniformemente en A y que, para
cada n ∈ N, existe una constante αn ∈ (0, +∞) tal que |fn (x)| ≤ αn para
todo x ∈ A. Dado ε = 1, existe según el Teorema 3.1.5 un k ∈ N tal que
|fn (x) − fk (x)| < 1 para todo n ≥ k y todo x ∈ A, luego, por la desigualdad
triangular, |fn (x)| < 1 + |fk (x)| ≤ 1 + αk para los mismos valores de n y
x. En consecuencia, |fn (x)| ≤ M para todo x ∈ A y todo n ∈ N, donde
M := máx{α1 , . . . , αk−1 , 1 + αk }. Ası́ que (fn ) es uniformemente acotada.
Finalmente, como f es el lı́mite uniforme de (fn ), dado ε = 1, existe m ∈ N
tal que |fm (x) − f (x)| < 1 para todo x ∈ A. De la desigualdad triangular se
deduce que |f (x)| < 1 + |fm (x)| ≤ 1 + αm para todo x ∈ A. Por tanto f es
acotada en A.
Por ejemplo, sea A = (0, 1), f (x) ≡ 1/x y fn (x) =


1
x
si
1
n
≤x<1
 0 si 0 < x < 1 .
n
Entonces fn → f puntualmente en A y cada fn está acotada, pero f no lo
está. Por tanto fn 6→ f uniformemente en A.
Enunciamos ahora el teorema general sobre álgebra de sucesiones.
Teorema 3.2.2. Sean (fn ) y (gn ) dos sucesiones de funciones definidas en
un mismo subconjunto A ⊂ R, tales que fn → f y gn → g uniformemente
en A. Se verifica:
(a) La sucesión (fn + gn ) tiende a f + g uniformemente en A.
42
Luis Bernal González
(b) Si cada función fn y cada función gn es acotada en A entonces la sucesión producto (fn · gn ) tiende a f · g uniformemente en A.
(c) Supongamos que cada función fn es acotada, que gn (x) 6= 0 para todo
n ∈ N y todo x ∈ A, y que existe α ∈ (0, +∞) tal que |g(x)| ≥ α para
todo x ∈ A. Entonces la sucesión cociente (fn /gn ) tiende uniformemente a f /g en A.
Demostración. El apartado (a) es inmediato a partir de las definiciones y de
la propiedad triangular. Supongamos pues que estamos en las hipótesis de
(b). Entonces fn → f y gn → g uniformemente en A y, por la proposición
anterior, existe M ∈ (0, +∞) tal que |fn (x)| ≤ M , |gn (x)| ≤ M , |f (x)| ≤ M
y |g(x)| ≤ M para todo x ∈ A y todo n ∈ N. Observemos ahora que
|fn (x)gn (x) − f (x)g(x)| = |fn (x)(gn (x) − g(x)) + g(x)(fn (x) − f (x))|
≤ |fn (x)(gn (x) − g(x))| + |g(x)(fn (x) − f (x))|
≤ M |fn (x) − f (x)| + M |gn (x) − g(x)|.
Dado ε > 0, podemos encontrar k ∈ N tal que |fn (x) − f (x)| < ε/(2M ) y
|gn (x)−g(x)| < ε/(2M ) para todo n ≥ k y todo x ∈ A. Ası́ que |fn (x)gn (x)−
f (x)g(x)| < ε para los mismos valores de n y x. Esto prueba (b).
Demostremos (c), que es el caso del cociente. Observemos que se deriva
del caso del producto sin más que probar que cada función 1/gn está acotada
a partir de cierto número natural y que 1/gn → 1/g uniformemente en A.
Para lo primero, como gn → g uniformemente en A, existe m ∈ N que
satisface |gn (x) − g(x)| < α/2 para todo x ∈ A y todo n ≥ m. Se deduce que
|gn (x)| ≥ |g(x)| − |gn (x) − g(x)| > α − α/2 = α/2, luego |1/gn (x)| < 2/α
para los mismos valores de n y x. En cuanto a la convergencia uniforme de
(1/gn ), notemos que
1
2
|gn (x) − g(x)|
1
−
=
≤ 2 |gn (x) − g(x)|
gn (x) g(x)
|gn (x)||g(x)|
α
SUCESIONES DE FUNCIONES
43
para todo n ≥ m y todo x ∈ A, de donde se deduce fácilmente lo que se
quiere.
Por ejemplo, si A = (0, 1), fn (x) ≡ 1/n, gn (x) ≡ 1/x, f (x) ≡ 0 y g(x) ≡
1/x, entonces fn → f y gn → g uniformemente en A, pero (fn gn ) no tiende a
f g uniformemente en A. En efecto, f g ≡ 0 y supx∈A |fn (x)gn (x)−f (x)g(x)| =
sup0<x<1
1
nx
= +∞ para todo n, luego es imposible que este supremo tienda
a 0 cuando n → ∞.
3.3.
Convergencia uniforme, continuidad y derivabilidad
El concepto de lı́mite uniforme persigue poder traspasar propiedades de
regularidad de las funciones que integran la sucesión a la función lı́mite. Ya se
ha visto un ejemplo en la acotación (Proposición 3.2.1). También ocurre con la
continuidad, como se establece en el siguiente teorema. Para la derivabilidad,
se deberá exigir algo más.
Teorema 3.3.1. Supongamos que fn → f uniformemente en A ⊂ R, y que
x0 ∈ A. Si cada función fn es continua en x0 , entonces f es continua en x0 .
En particular, si cada fn es continua en A, entonces f es continua en A.
Demostración. Fijemos ε > 0. Por hipótesis, existe k ∈ N tal que |fk (x) −
f (x)| < ε/3 para todo x ∈ A. En particular, |fk (x0 )−f (x0 )| < ε/3. Ya que fk
es continua en x0 , podemos encontrar un δ > 0 de modo que |fk (x)−fk (x0 )| <
ε/3 siempre que x ∈ A∩(x0 −δ, x0 +δ). Usando estos hechos y la desigualdad
triangular |f (x) − f (x0 )| ≤ |fk (x) − f (x)| + |fk (x) − fk (x0 )| + |fk (x0 ) − f (x0 )|,
obtenemos que si x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ) entonces |f (x) − f (x0 )| < ε. Esto
muestra la continuidad de f en x0 .
44
Luis Bernal González
Por ejemplo, ya sabemos que la sucesión fn (x) = xn tiende puntualmente
en [0, 1] a la función que vale 0 en [0, 1) y 1 en el punto 1. Ya que esta función
no es continua en [0, 1] pero cada fn sı́ lo es, se deduce que la convergencia
no es uniforme.
Para la propiedad de derivación, es necesario reforzar las hipótesis. Será necesario exigir que la sucesión de derivadas sea uniformemente convergente.
Esto, junto con la convergencia de la sucesión en un solo punto, implica la
convergencia uniforme de la sucesión. Esto es, la hipótesis de convergencia
para las derivadas implica la de la propia sucesión. Las derivadas en los extremos a y b se entiende que son las laterales f+0 (a) y f−0 (b).
Teorema 3.3.2. Sea fn : [a, b] → R (n ≥ 1) una sucesión de funciones
derivables tales que:
(a) (fn0 ) converge uniformemente en [a, b] a cierta función g y
(b) existe x0 ∈ [a, b] de modo que la sucesión numérica (fn (x0 )) converge.
Entonces existe una función f : [a, b] → R tal que fn → f uniformemente en
[a, b], f es derivable en [a, b] y f 0 (x) = g(x) para todo x ∈ [a, b].
Demostración. Supongamos que c ∈ [a, b] y definamos una nueva sucesión
(gn ) como sigue:
gn (x) =



fn (x)−fn (c)
x−c
0
fn (c)
si x 6= c
si x = c.
La sucesión ası́ formada depende del punto c. Ya que gn (c) = fn0 (c), la sucesión (gn (c)) es convergente. Vamos a demostrar que, de hecho, (gn ) converge
uniformemente en [a, b]. Si m, n ∈ N y x 6= c, tenemos
gm (x) − gn (x) =
h(x) − h(c)
,
x−c
SUCESIONES DE FUNCIONES
45
donde h(x) := fm (x) − fn (x). Aplicando a h el teorema del valor medio,
obtenemos
0
(x1 ) − fn0 (x1 ),
gm (x) − gn (x) = fm
[1]
donde x1 está comprendido entre x y c. Por hipótesis, (fn0 ) converge uniformemente. Gracias a [1] y a la condición de Cauchy (Teorema 3.1.5), obtenemos
que (gn ) converge uniformemente en [a, b].
Probemos que (fn ) converge uniformemente en [a, b]. Formemos la sucesión particular (gm ) que resulta haciendo c = x0 . Por definición de gn ,
tenemos
fm (x) − fn (x) = fm (x0 ) − fn (x0 ) + (x − x0 )(gm (x) − gn (x))
para todo x ∈ [a, b]. Esta igualdad, con el auxilio de la condición de Cauchy,
establece la convergencia uniforme de (fn ) en [a, b] a cierta función f .
Para demostrar el resto, volvamos a la sucesión (gn ) definida al principio
para un punto arbitrario c ∈ [a, b]. Sea G(x) := lı́mn→∞ gn (x). Como fn0
existe, tenemos que lı́mx→c gn (x) = gn (c) para cada n. En otras palabras,
cada gn es continua en c. Ya que gn → G uniformemente en [a, b], la función
G es también continua en c. Esto significa que
∃ lı́m G(x) = G(c).
x→c
[2]
Pero para x 6= c tenemos
fn (x) − fn (c)
f (x) − f (c)
=
.
n→∞
x−c
x−c
G(x) = lı́m gn (x) = lı́m
n→∞
Luego [2] establece que la derivada f 0 (c) existe y coincide con G(c). Ahora
bien, G(c) = lı́mn→∞ gn (c) = lı́mn→∞ fn0 (c) = g(c) y, por tanto, f 0 (c) = g(c).
Puesto que c es arbitrario, el teorema queda demostrado.
Ejemplo 3.3.3. La sucesión funcional fn : [−1, 1] → R (n ≥ 1) dada por
1
fn (x) = 0 si x ≤ 0 y fn (x) = x1+ n si x > 0 está formada por funciones derivables y converge uniformemente en [−1, 1] a la función f dada por f (x) = 0
46
Luis Bernal González
si x ≤ 0 y f (x) = x si x > 0, pero la función f no es derivable en el 0. Los
detalles se dejan como ejercicio.
3.4.
Convergencia uniforme e integración
La integrabilidad se propaga a través del lı́mite uniforme, como muestra
el siguiente resultado.
Teorema 3.4.1. Si fn → f uniformemente en [a, b] y cada fn ∈ R[a, b],
entonces f ∈ R[a, b] y
Z
lı́m
n→∞
b
Z
b
fn (x) dx =
a
f (x) dx.
a
Demostración. Llamemos gn := f − fn para cada n ∈ N. Entonces gn → 0
uniformemente en [a, b]. Dado ε > 0, existe m ∈ N tal que
|gn (x)| <
ε
4(b − a)
para todo x ∈ [a, b] y todo n ≥ m.
[3]
Además, por la convergencia uniforme y por estar cada fn acotada en [a, b],
f también está acotada en [a, b] (Teorema 3.2.1). Como fm es integrableRiemann, por el Teorema 1.6.1 podemos encontrar una partición P de [a, b]
tal que U (fm , P ) − L(fm , P ) < ε/2. Por otra parte, es fácil ver a partir de
las definiciones y de [3] que U (gm , P ) < ε/4 y L(gm , P ) > −ε/4. Asimismo,
se tienen las desigualdades elementales U (F + G, P ) ≤ U (F, P ) + U (G, P ) y
L(F + G, P ) ≥ L(F, P ) + L(G, P ). Ya que f = fm + gm , se deduce que
ε ε ε
U (f, P )−L(f, P ) ≤ U (fm , P )−L(fm , P )+U (gm , P )−L(gm , P ) < + + = ε.
2 4 4
De acuerdo con el Teorema 1.6.1, f ∈ R[a, b].
En cuanto al lı́mite del enunciado, observemos que gracias a [3] y a la
Rb
Rb
conocida desigualdad a F ≤ a |F |, se obtiene
Z b
Z b
Z b
ε
· (b − a) < ε
fn −
f ≤
|gn | ≤
4(b − a)
a
a
a
SUCESIONES DE FUNCIONES
47
para todo n ≥ m. Esto prueba la igualdad deseada.
Ejemplos 3.4.2. 1. En el Teorema 3.4.1, la convergencia uniforme es suficiente, pero no es necesaria. Para ilustrarlo, consideremos la sucesión fn (x) =
nx(1−x)n (n ∈ N, x ∈ [0, 1]). Entonces (fn ) converge puntualmente en [0, 1] a
la función f ≡ 0, pero no uniformemente. No obstante, se verifica la igualdad
del teorema anterior. La comprobación se deja como ejercicio.
2. Demos un ejemplo para el que no es cierto el enunciado del teorema anterior cuando las integrales de Riemann se sustituyen por integrales impropias.
n
n2 +x2
(n ∈ N, x ∈ [0, +∞)). Se tiene que gn → 0 uniformemenR∞
te en [0, +∞). Pero lı́mn→∞ 0 gn (x) dx = lı́mn→∞ lı́mT →+∞ [arctan(T /n) −
R∞
arctan 0] = lı́mn→∞ π/2 = π/2 6= 0 = 0 0 dx.
Sea gn (x) =
Ejercicios
1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de
funciones:
x
en [0, 1].
nx + 1
√
(b) fn (x) = n x en [0, 1].
(a) fn (x) =
(c) fn (x) = (1 − x)n en [0, 1].
(d) fn (x) = ı́nf{n, 1/x} en (0, +∞).
1 + x log x
en (0, +∞).
nx + x
1 − xn
(f) fn (x) =
en (0, +∞).
1 + xn
(e) fn (x) =
(g) fn (x) = máx{x − n, 0} en R.
(h) fn (x) =
log(x + n)
en [0, +∞).
nex
2.- Comprobar que la sucesión (fn ) converge en todo R pero que lı́mn→∞ fn0 (x) 6=
(lı́mn→∞ fn (x))0 en los siguientes casos:
48
Luis Bernal González
1
(a) fn (x) = √ sen (nx).
n
x
.
(b) fn (x) =
1 + nx2
3.- Comprobar, con las sucesiones de funciones siguientes, que el hecho de que
(fn ) converja uniformente a f en [a, b] no es condición necesaria para que
Rb
Rb
lı́mn→∞ a fn = a f :
1
1 + nx2
(a) fn (x) =
en
[0,
1]
(b)
f
(x)
=
en [0, 1].
n
1 + n2 x2
1 + nx
4.- Consideremos la sucesión de funciones fn : R → R dada por fn (x) =
x2n
.
1+x2n
(a) Estudiar su convergencia puntual.
(b) Dados a y b con 0 < b < 1 < a, estudiar su convergencia uniforme
en cada uno de los subconjuntos [1, +∞), (1, +∞), [a, +∞), [−b, b],
[a, +∞) ∪ [−b, b].
5.- Probar que toda función continua en [0, 1] es lı́mite uniforme de una sucesión
de poligonales (funciones continuas lineales a trozos). ¿Ocurre lo mismo con
la función f (x) = 1/x en (0, 1)?
6.- Demostrar el teorema de convergencia uniforme de Dini: Sean A ⊂ R un
subconjunto compacto y fn : A → R (n ∈ N) una sucesión de funciones continuas convergente puntualmente en A a cierta función continua f .
Si fn (x) ≤ fn+1 (x) para todo x ∈ A y todo n ∈ N, entonces fn −→ f
uniformemente en A.
7.- Supongamos que fn → f uniformemente en un conjunto A ⊂ R, y que g :
R → R es una función uniformemente continua. Pruébese que g ◦ fn → g ◦ f
uniformemente en A.
8.- Dar una demostración más simple del Teorema de convergencia uniforme y
derivación reforzando la hipótesis de derivabilidad de cada fn a la hipótesis
de ser fn ∈ C 1 ([a, b]) para todo n. Indicación: definir f : [a, b] → R como
Rx
f (x) = α + x0 g(t) dt, donde α = lı́mn→∞ fn (x0 ).
Capı́tulo 4
Series de funciones
En el presente capı́tulo estudiaremos las series de funciones. El concepto
de serie de funciones se basa en la sucesión de sumas parciales asociada a una
sucesión de funciones dadas. En la primera sección definiremos los conceptos
de convergencia puntual y uniforme de una serie de funciones. A continuación, y basándonos en los resultados del capı́tulo anterior, analizaremos la
continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la función lı́mite. Finalizaremos
el capı́tulo con el criterio de Weierstrass, que resultará un instrumento de gran
aplicación práctica a la hora de poder asegurar que una serie de funciones
converge uniformemente.
4.1.
Definiciones: sumas puntual y uniforme
Reunimos en la siguiente definición los conceptos de serie de funciones,
convergencia puntual y convergencia uniforme.
Definición 4.1.1. Sea (fn ) una sucesión de funciones definidas en un conjunto A ⊂ R.
(a) Llamaremos serie de funciones de término general fn a la sucesión de
49
50
Luis Bernal González
funciones formada por las sumas parciales sn (x) := f1 (x) + · · · + fn (x).
P
P
P
Se denota por ∞
fn .
n=1 fn ,
n fn o
(b) Se dice que la serie
P
fn converge puntualmente o converge simple-
mente a una función f : A → R cuando la sucesión de sumas parciales
asociada (sn ) converge a f puntualmente en A. En tal caso, diremos
P
P
que f es la suma puntual de
fn y se denotará
fn = f .
(c) Se dice que la serie
P
fn converge uniformemente a una función f :
A → R cuando la sucesión de sumas parciales asociada (sn ) converge a
f uniformemente en A. En tal caso, diremos que f es la suma uniforme
P
P
de
fn y se denotará
fn = f uniformemente en A.
Es obvio que la convergencia uniforme de una serie funcional a una función
implica su convergencia puntual a la misma función. El recı́proco es falso en
general.
Ejemplo 4.1.2. Consideremos la serie funcional
P
n
fn en A = R, donde
nx2
.
n3 +x2
2
Para todo x ∈ R tenemos |fn (x)| ≤ x2 /n2 . De la convergencia
fn (x) =
P
de 1/n , del criterio de comparación y del criterio de convergencia absoluta
P
(ver Capı́tulo 1) resulta que n fn converge puntualmente en R. Sin embargo,
no converge uniformemente en R (ver sección 4.3).
4.2.
Relación con la continuidad, derivación
e integración
La demostración de los siguientes resultados se basa en los teoremas
análogos probados en el tema anterior, sustituyendo la sucesión de funciones
por la sucesión de sumas parciales asociada a la serie de funciones. Por tal
motivo, las pruebas serán omitidas.
SERIES DE FUNCIONES
51
Teorema 4.2.1. [Convergencia uniforme de series y continuidad]
P
Supongamos que n fn = f uniformemente en A ⊂ R, y que x0 ∈ A. Si cada
función fn es continua en x0 , entonces f es continua en x0 . En particular,
si cada fn es continua en A, entonces f es continua en A.
Teorema 4.2.2. [Convergencia uniforme de series e integración]
P
Si n fn = f uniformemente en un intervalo [a, b] ⊂ R y cada fn ∈ R[a, b],
entonces f ∈ R[a, b] y
XZ
n
a
b
Z
fn (x) dx =
b
f (x) dx.
a
Teorema 4.2.3. [Convergencia uniforme de series y derivación]
Sea fn : [a, b] → R (n ≥ 1) una sucesión de funciones derivables tales que:
(a)
P
n
fn0 converge uniformemente en [a, b] a cierta función g y
(b) existe x0 ∈ [a, b] de modo que la serie numérica
Entonces existe una función f : [a, b] → R tal que
P
n
P
n
fn (x0 ) converge.
fn = f uniformemente
en [a, b], f es derivable en [a, b] y f 0 (x) = g(x) para todo x ∈ [a, b].
Los teoremas anteriores expresan que, bajo las hipótesis adecuadas, se
puede intercambiar la operación de suma infinita con la de, respectivamente,
tomar lı́mite cuando x → x0 , integrar en [a, b] y tomar derivadas.
4.3.
Criterios de convergencia uniforme
En esta sección estudiaremos condiciones necesarias y suficientes que
nos permitan asegurar la convergencia uniforme de una serie de funciones sin
tener conocimiento del valor de la función lı́mite.
Teorema 4.3.1. [Condición de Cauchy de convergencia uniforme de series
de funciones] Sea (fn ) una sucesión de funciones en A ⊂ R. Son equivalentes:
52
Luis Bernal González
(a)
P
n
fn tiende uniformemente en A a alguna función definida en A.
(b) Para cada ε > 0 existe k = k(ε) ∈ N tal que
Pm
j=n+1
fj (x) < ε
para todos los m, n ∈ N con m > n ≥ k y todo x ∈ A.
Demostración. Simplemente aplicar la condición de Cauchy de convergencia
uniforme de sucesiones funcionales (Teorema 3.1.5) a la sucesión de sumas
parciales de (fn ).
Una sencilla, pero útil, condición necesaria de convergencia uniforme de
series resulta como consecuencia del resultado anterior, sin más que hacer
m = n + 1 en la propiedad (b). La exponemos a continuación.
Corolario 4.3.2. Si
P
fn converge uniformemente en A ⊂ R entonces
fn → 0 uniformemente en A.
Como ilustración, la serie del Ejemplo 4.1.2 no converge uniformemente
en R, ya que supx∈R |fn (x) − 0| ≥ |fn (n)| =
n3
−→ 1
n3 +n2 n→∞
6= 0, luego fn 6→ 0
uniformemente en R.
La condición de Cauchy es la clave para la demostración del siguiente
resultado, con el que cerramos el tema, conocido como criterio mayorante de
Weierstrass para la convergencia uniforme, o criterio M de Weierstrass, que
tiene gran aplicación práctica.
Teorema 4.3.3. Sea
P
n
fn una serie de funciones definida en un conjunto
A ⊂ R. Supongamos que existe una sucesión (an ) ⊂ (0, +∞) tal que la serie
P
numérica
n an es convergente y |fn (x)| ≤ an para todo n ∈ N y todo
P
x ∈ A. Entonces
n fn converge uniformemente en A.
Demostración. Fijemos ε > 0. Por la condición de Cauchy de convergencia de
P
series numéricas, podemos encontrar k ∈ N tal que m
j=n+1 aj < ε para todos
los m, n ∈ N con m > n ≥ k. Por la desigualdad triangular y la hipótesis
SERIES DE FUNCIONES
de mayoración, tenemos que
53
Pm
j=n+1
fj (x) ≤
Pm
j=n+1
aj < ε. Basta aplicar
ahora el Teorema 4.3.1.
Ejemplo 4.3.4. Hemos visto que la serie de funciones
P∞
nx2
n=1 n3 +x2 ,
si bien
converge puntualmente en R, no lo hace uniformemente. Sin embargo, es
uniformemente convergente en cada intervalo [0, a] con a > 0. En efecto, si
llamamos fn (x) al término general de nuestra serie y an := a2 /n2 , resulta que
P
|fn (x)| ≤ an para todo n ∈ N y todo x ∈ [0, a]. Ya que
1/n2 converge,
podemos aplicar el criterio M de Weierstrass.
Ejercicios
1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes series de funP
ciones
fn :
1 · 3 · · · (2n − 3)
(1 − x)n en [0, 1] y [−1, 1].
2n n!
1
(b) fn (x) =
en [a, +∞), donde a > 0.
(1 + x)n
(a) fn (x) =
(c) fn (x) =
nx2
en [0, a], donde a > 0.
n3 + x3
2
2
(d) fn (x) = 3n xn en R, en (−1/3, 1/3) y en [0, 1/4].
sen x
.
(1 + sen x)n
P∞
(a) Estudiar la convergencia puntual de la serie
n=0 fn (x) y sumarla
2.- Sea la sucesión (fn ) definida en [0, π] como fn (x) =
cuando sea convergente.
(b) Probar que si 0 < a < π/2 la convergencia es uniforme en [a, π − a].
(c) ¿Es uniforme la convergencia en [0, π]? ¿Y en (0, π/2)?
3.- Sea A ⊂ R, y supongamos que (fn ) es una sucesión de funciones tal que
fn → 0 uniformemente en A. Supongamos que fn (x) ≥ fn+1 (x) para todo
P∞
n+1 f (x) converge
x ∈ A y todo n ∈ N. Estudiar si la serie
n
n=1 (−1)
uniformemente en A.
54
Luis Bernal González
∞
X
x2
converge puntualmente
(1 + x2 )n
n=1
en todo R, que converge uniformemente en cada intervalo [a, +∞) (a > 0)
4.- Justifı́quese que la serie de funciones
y que, en cada intervalo [0, a] (a > 0), no hay convergencia uniforme.
5.- Consideremos la sucesión de funciones (fn ) definidas en [0, π] como fn (x) =
sen x (cos x)n para cada n ∈ N0 .
(a) Demostrar que fn → 0 uniformemente en [0, π].
P∞
(b) Comprobar que la serie
n=0 fn (x) es puntualmente convergente y
calcular su suma.
(c) Estudiar la convergencia uniforme de la serie en [a, π/2], donde 0 ≤
a < π/2, y en [π/2, π].
6.- Sea la sucesión de funciones fn (x) = (1 − x2 )x3n .
(a) Probar que fn → 0 uniformemente en [−1, 1].
P
(b) Estudiar la convergencia puntual de la serie ∞
n=1 fn (x) en R. Calcular
su suma en el caso de convergencia.
(c) Estudiar la convergencia uniforme en [0, a], [0, 1] y [−1, 0], siendo 0 <
a < 1.
7.- Sea fn (x) =
e−nx
. Demostrar:
n2 + 1
P∞
converge si y solo si x ∈ [0, +∞).
P∞
(b) Si se define f (x) :=
n=1 fn (x), demostrar que f es continua en
(a)
n=1 fn (x)
[0, +∞).
(c) f es derivable en (0, +∞).
(d) f no es derivable en 0.
8.- Estudiar la convergencia de las siguientes series y sumarlas donde converjan:
∞
X
xn
(a)
.
n
n=1
SERIES DE FUNCIONES
(b)
∞
X
(cos x)2n
n=2
(c)
2n − 2
55
.
∞
X
(x − 1)n x
.
n2 − n
Indicación: utilizar adecuadamente el teorema de derivación y convergencia
n=2
uniforme.
9.- Consideremos la sucesión de funciones fn (x) =
(a) Probar que
P∞
n=0 fn
ex − 1
(n ≥ 0).
enx
converge puntualmente en [0, 1]. ¿Es uniforme la
convergencia?
(b) Calcular, si convergen, la suma de las series
10.-
P∞ R 1
n=0 1/2 fn
y
P∞ R 1
n=0 0
(a) Se llama serie de Dirichlet a una serie de funciones de la forma
fn .
P∞
an
n=1 nx ,
β
β log α . Demostrar que,
donde {an }∞
1 ⊂ R \ {0}. Recordar que α := e
si existe L := lı́mn→∞
log |an |
log n
∈ R, entonces la serie de Dirichlet define
una función continua en el intervalo (1 + L, +∞).
P∞ 1
(b) Probar que la serie funcional
n=1 nx define una función continua
ζ(x) en (1, +∞), la cual se denomina función zeta de Riemann. Demostrar que, para cada x > 1, se tiene que
n
Y
1
= lı́m
(1 − p−x
k ),
ζ(x) n→∞
k=1
donde (pn ) es la sucesión creciente de los números naturales primos, es
decir, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, . . . .
11.- Demostrar el siguiente resultado. Consideremos la serie funcional
P
fn gn ,
donde fn , gn : A ⊂ R → R. Sea (Fn ) la sucesión de sumas parciales de (fn ).
Se tiene:
(a) Criterio de Dirichlet de convergencia uniforme de series: Si (Fn ) está uniformemente acotada en A, gn+1 (x) ≤ gn (x) para cada x ∈ A y cada
P
n ∈ N, y gn → 0 uniformemente en A, entonces
fn gn converge
uniformemente en A.
56
Luis Bernal González
(b) Criterio de Abel de convergencia uniforme de series: Si
P
fn converge
uniformemente en A hacia una función acotada, las gn son uniformemente convergentes en A a una función acotada y, o bien gn (x) ≤
gn+1 (x) (x ∈ A, n ∈ N) o bien gn (x) ≥ gn+1 (x) (x ∈ A, n ∈ N),
P
entonces
fn gn converge uniformemente en A.
Indicación: Usar la siguiente fórmula de sumación de Abel, la cual se demuestra por inducción. Sean a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn+1 ∈ R y denotemos An =
n
n
X
X
Pn
a
.
Entonces
a
b
=
A
b
−
Ak (bk+1 − bk ).
n
n+1
k
k
k
k=1
k=1
k=1
Capı́tulo 5
Series de potencias
En este capı́tulo estudiaremos las series de potencias, que son un caso
particular muy importante de series de funciones. Comenzaremos comprobando que la convergencia puntual y la convergencia uniforme de una serie
de potencias dependen exclusivamente del radio de convergencia, el cual se
obtiene a través del cálculo de un cierto lı́mite. En la segunda sección estudiaremos la continuidad, integrabilidad y derivabilidad de la función lı́mite de
una serie de potencias definida en el intervalo de convergencia. Analizaremos
el comportamiento en la frontera del intervalo de convergencia mediante el
criterio de Abel y finalizaremos el tema definiendo las funciones analı́ticas.
Veremos condiciones suficientes que garanticen que una función infinitamente derivable es analı́tica y obtendremos la expresión en serie de potencias de
diversas funciones conocidas.
5.1.
Radio e intervalo de convergencia de una
serie de potencias
Las series de potencias constituyen el ejemplo más sencillo y quizá más
57
58
Luis Bernal González
importante dentro de las series funcionales. Tras la definición, vamos a ver
que su dominio de convergencia es un intervalo de la recta real. Este intervalo
se puede determinar a partir de los coeficientes de la serie.
Definición 5.1.1. Una serie de potencias (SP) es una serie de funciones del
P∞
n
2
tipo
n=0 an (x − a) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a) + · · · , donde an ∈ R para
todo n = 0, 1, 2, . . . . El punto a se dice que es el centro de la SP, mientras
que los números an se conocen como los coeficientes de la serie.
Por tanto, el término n-ésimo de una serie de potencias es un monomio
de grado n o es nulo. Las siguientes series de funciones son ejemplos de series
∞
∞
∞
X
xn X 1
xn X
,
(−1)n ,
(x − 1)n .
de potencias:
2
n!
n
n
n=1
n=1
n=0
P
n
Teorema 5.1.2. [Fórmula de Cauchy–Hadamard] Sea ∞
n=0 an (x − a) una
p
serie de potencias centrada en a, y sea λ = lı́m supn→∞ n |an |. Denotemos
R := 1/λ, si se entiende esta expresión en la recta real extendida, de modo
que R = 0 si λ = +∞ y R = +∞ si λ = 0. Se verifica:
(a) Si 0 < R < +∞, la SP es absolutamente convergente en cada punto
del intervalo abierto (a − R, a + R), y no converge en ningún punto x
con |x − a| > R. Además, la serie converge uniformemente en cualquier
subconjunto compacto de (a − R, a + R).
(b) Si R = +∞, la SP es absolutamente convergente en cada punto de R,
y converge uniformemente en cualquier subconjunto compacto de R.
(c) Si R = 0 la SP sólo converge en el punto a.
Se llama intervalo de convergencia de la SP al conjunto (a − R, a + R),
a R o a {a}, según que, respectivamente, se dé el caso (a), (b) o (c). El
número R ∈ [0, +∞] definido en el teorema anterior se denomina radio de
convergencia de la SP. Es evidente que, si I es el intervalo de convergencia
de una SP y D es su dominio de convergencia, entonces I ⊂ D ⊂ I.
SERIES DE POTENCIAS
59
Demostración del Teorema 5.1.2. Probaremos sólo (a) [los apartados (b)
y (c) son más fáciles y se demuestran de modo análogo]. Sea pues 0 <
R < +∞ y fijemos un punto x ∈ (a − R, a + R). Entonces |x − a| < R
p
1
. Elijamos cualquier α con R1 < α <
y lı́m supn→∞ n |an | = R1 < |x−a|
1
.
|x−a|
Por definición de lı́mite superior, podemos encontrar n0 ∈ N tal que
p
n
|an | ≤ α para todo n ≥ n0 . Luego, para los mismos valores de n, se tie-
ne |an (x − a)n | ≤ (α|x − a|)n . Ya que α|x − a| < 1, la serie geométrica
P
n
n (α|x − a|) es convergente. Por el criterio de comparación (ver Capı́tulo
P
1), la serie n |an (x − a)n | es también convergente, como se requerı́a. Sea
ahora x tal que |x − a| > R. Por definición de lı́mite superior, existe una
sucesión {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } ⊂ N de modo que
1
|x−a|
< |ank |1/nk ,
para todo k. Por tanto
|ank (x − a)nk | > 1 para todo k ∈ N.
Se deduce que la sucesión {an (x − a)n } tiene una sucesión parcial que no
tiende a 0, luego ella misma no tiende a 0. Por la condición necesaria de
P
n
convergencia de series, ∞
n=0 an (x − a) no converge.
Por último, fijemos un compacto K ⊂ (a − R, a + R). Entonces K es
acotado y cerrado, luego su ı́nfimo y su supremo están en K, ası́ que están
en (a − R, a + R). En consecuencia, existe un intervalo cerrado J con K ⊂
J ⊂ (a − R, a + R). Es claro que podemos suponer que J = [a − r, a + r]
para algún r ∈ (0, R). Por lo ya demostrado, la SP converge absolutamente
P
n
en el punto a + r, es decir, la serie ∞
n=0 |an |r es convergente. Esta es una
serie numérica de términos positivos que cumple |an (x − a)n | ≤ |an |rn para
todo x ∈ J y todo n ∈ N. Por el criterio M de Weierstrass (Teorema 4.3.3),
nuestra SP es uniformemente convergente en J, y por tanto en K.
2
El resultado anterior no afirma nada sobre el comportamiento de la serie en los extremos del intervalo de convergencia. Por ejemplo, las series de
60
Luis Bernal González
potencias
∞
X
xn
n=1
n2
,
∞
X
(−1)
nx
n=1
n
n
,
∞
X
xn
n=0
tienen radio de convergencia R = 1 y las tres presentan comportamientos
distintos en los extremos del intervalo de convergencia, es decir, en los puntos
±1.
A continuación, damos una variante de la fórmula de Hadamard que es
útil en muchos casos.
P∞
an (x − a)n una SP. El radio de convergencia
an
de esta serie viene dado por R = lı́m
, siempre que exista este lı́mite.
n→∞ an+1
Proposición 5.1.3. Sea
n=0
Demostración. Como R es el único número de [0, +∞] tal que la serie converge siempre que |x − a| < R y no converge siempre que |x − a| > R, basta
probar que, si α := lı́mn→∞
an
an+1
, entonces α goza de la misma propiedad.
n+1
||x−a|
Pues bien, si x es tal que |x − a| < α, tenemos que lı́mn→∞ |an+1
< 1.
|an ||x−a|n
P∞
n
Por el criterio del cociente (ver Capı́tulo 1), la serie
n=0 an (x − a) es ab-
solutamente convergente, luego es convergente. Por último, si |x − a| > α, se
tiene que existe n0 ∈ N tal que |x − a| ≥
an
an+1
para todo n ≥ n0 , de donde
se deduce que la sucesión {|an (x − a)n |}n≥n0 es creciente, luego no tiende a
0. Pero entonces el término general de nuestra SP tampoco tiende a 0 en el
punto x, ası́ que, por la condición necesaria de convergencia (ver Capı́tulo
1), la SP no converge en dicho punto x.
Nota 5.1.4. Se pueden considerar series de potencias en el plano complejo,
P∞
n
es decir, series de funciones de la forma
n=0 an (z − a) , donde (an ) ⊂ C y
a ∈ C. En este caso la serie converge puntualmente en el disco de convergencia
{z ∈ C : |z − a| < R} [donde la convergencia es incluso absoluta; recordar
que el valor absoluto o módulo de un número complejo z = x + iy viene dado
por |z| = (x2 + y 2 )1/2 ] y, para cada r ∈ (0, R), converge uniformemente en el
SERIES DE POTENCIAS
61
disco {z ∈ C : |z − a| < r}. Aquı́ R es el radio de convergencia dado por la
fórmula de Cauchy–Hadamard. Si |z − a| > R, la SP no converge.
5.2.
Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de series de potencias
P∞
Consideremos una serie de potencias
n=0
an (x − a)n con radio de
convergencia R > 0. Definimos la función suma de la SP como
x ∈ I 7→ f (x) =
∞
X
an (x − a)n ∈ R.
n=0
Se entiende que I = (a − R, a + R) si R < +∞ e I = R si R = +∞. El
siguiente resultado nos dice que esta función es continua, derivable y tiene
primitiva en su intervalo de convergencia, y que se puede derivar e integrar
término a término dentro de dicho intervalo.
Teorema 5.2.1. Sea f la función suma de la SP
P∞
n=0
an (x − a)n en el
intervalo de convergencia I. Se verifica:
(a) La función f es continua en I.
(b) El intervalo de convergencia de la SP
con I, la función f es derivable en I y
P∞
n
n=0 (n+1)an+1 (x−a) coincide
P
n
f 0 (x) = ∞
n=0 (n+1)an+1 (x−a)
para todo x ∈ I. Es decir, la SP se puede derivar término a término.
(c) El intervalo de convergencia de la SP
P∞
an
n=0 n+1 (x
− a)n+1 coincide
con I y la función g que define es una primitiva de f en I. En
Rx
particular, a f (t) dt = g(x) para todo x ∈ I, es decir, la SP se puede
integrar término a término en I.
Demostración. Recordemos que el radio de convergencia de la SP original
viene dado por R = 1/ lı́m supn→∞ |an |1/n . Llamemos R1 , R2 a los radios de
62
Luis Bernal González
convergencia respectivos de las series que aparacen en (b) y (c), es decir, a
las series formales que resultan de derivar e integrar término a término la SP
original. Por la fórmula de Hadamard,
R1 =
1
lı́m supn→∞ [((n + 1)|an+1 |)
1
n+1
]
n+1
n
y R2 =
1
1
lı́m supn→∞ [(n−1 |an−1 |) n−1 ]
1
1
Teniendo en cuenta que las cuatro sucesiones {(n+1) n+1 }, { n+1
}, {(n−1 ) n−1 }
n
y { n−1
} tienden a 1, resulta que R1 = R = R2 y por tanto los intervalos de
n
convergencia de las tres series son el mismo, I. De acuerdo con el Teorema
5.1.2, las tres series convergen uniformemente en cada intervalo [a − r, a + r]
con 0 < r < R. En particular, ya que cada monomio an (x−a)n es una función
continua, del Teorema 4.2.1 se deduce la continuidad de f en [a − r, a + r].
Como esto es cierto para todo r ∈ (0, R) y cada punto x ∈ I es interior a
alguno de estos intervalos, concluimos que f es continua en I [recordemos
que la continuidad, al igual que la derivabilidad, es una propiedad local, es
decir, solo depende del comportamiento de la función en un entorno del punto
considerado]. Por tanto hemos probado (a).
La primera parte de (b) [y de (c)] ya se ha probado en el párrafo anterior.
Para el resto, consideremos de nuevo las funciones fn (x) := an (x − a)n , que
son derivables. Fijemos un intervalo [a − r, a + r] ⊂ I como antes. Habida
cuenta de la convergencia uniforme de la serie de las derivadas a cierta función
g : [a − r, a + r] → R, del Teorema 4.2.3 (donde [a, b] se sustituye por
[a − r, a + r] y elegimos x0 = a) se infiere que f es derivable en [a − r, a + r] y
que su derivada coincide con g. De nuevo, esto es cierto para cada r ∈ (0, R),
luego las propiedades demostradas son válidas en I y (b) queda probado.
La prueba de (c) se completa de manera análoga, usando el Teorema
4.2.3 en cada [a − r, a + r] pero sustituyendo f por la suma F de la serie
P∞ an
an
n+1
y fn por n+1
(x − a)n+1 . También se puede demostrar
n=0 n+1 (x − a)
utilizando el Teorema 4.2.2 sobre integración término a término de series de
n−1
n
.
SERIES DE POTENCIAS
63
funciones. La última parte de (c) resulta de la regla de Barrow.
Si I ⊂ R es un intervalo y N ∈ N, se denota por C N (I) el conjunto de todas
las funciones f : I → R que tienen derivadas continuas en todos los puntos
de I hasta orden N inclusive. A veces también se escribe C 0 (I) := C(I). Por
otra parte, simbolizaremos mediante C ∞ (I) el conjunto de todas las funciones
f : I → R que tienen derivadas de todos los órdenes en todos los puntos
de I. Es fácil ver que todos estos conjuntos son espacios vectoriales, que
T
C 0 (I) ⊃ C 1 (I) ⊃ C 2 (I) ⊃ · · · ⊃ C ∞ (I) y que C ∞ (I) = N ∈N C N (I).
Corolario 5.2.2. Si f es la función suma de una serie de potencias
P∞
n
∞
n=0 an (x − a) en su intervalo de convergencia I, se tiene que f ∈ C (I)
y que es factible la derivación término a término en I para todos los órdenes
f (n) (a)
para todo n ∈ N0 .
de derivación. En particular, se tiene que an =
n!
Demostración. Basta aplicar sucesivamente el teorema anterior. Para cualquier k ∈ N se tiene que la serie de potencias que resulta al derivar k veces
cada término an (x − a)n tiene el mismo radio de convergencia R que la serie
original. Por inducción, obtenemos que f (k) existe y coincide en el intervalo
de convergencia con la suma de la serie de las derivadas k-ésimas. Si en
particular hacemos x = a, obtenemos f (k) (a) = k!ak + 0 + 0 + 0 + · · · , de
donde resulta la fórmula deseada.
Puesto que la derivada en un punto sólo depende del comportamiento de
la función en un entorno de dicho punto, se deduce la siguiente consecuencia.
Corolario 5.2.3. [Principio de identidad para series de potencias]
P∞
P∞
n
n
Consideremos dos series de potencias
a
(x
−
a)
y
n
n=0
n=0 bn (x − a) ,
de sumas respectivas f y g. Si f y g coinciden en un entorno de a, entonces
an = bn para todo n ∈ N0 , y por tanto las dos series son idénticas.
64
Luis Bernal González
El comportamiento de una serie de potencias en los extremos del intervalo
de convergencia depende del ejemplo en concreto. El siguiente teorema resulta
muy útil cuando la SP converge en un extremo, ya que nos garantiza la
continuidad de la función suma de la serie de potencias en dicho extremo. Lo
enunciamos para el extremo derecho a + R, aunque por supuesto se puede
formular un enunciado análogo para el extremo izquierdo a − R.
P∞
n
Teorema 5.2.4. [Teorema de Abel] Sea
n=0 an (x − a) una SP de radio
de convergencia R ∈ (0, +∞) y sea f la suma de la SP en su intervalo de
convergencia (a − R, a + R). Supongamos que la SP converge en el punto
P∞
n
es convergente. Entonces la SP
b := a + R, es decir, la serie
n=0 an R
P
n
converge uniformemente en [a, b] y se cumple lı́mx→b− f (x) = ∞
n=0 an R .
Demostración. La parte final se deduce de aplicar el Teorema 4.2.1 de preservación de la continuidad de series funcionales a nuestra SP y a la función
P∞
n
suma f : [a, b] → R, extendida al punto b como f (b) :=
n=0 an R . En
consecuencia, nuestra tarea es demostrar la convergencia uniforme de la SP
en [a, b].
Para ello, consideremos dos números m, n ∈ N con m > n y usemos la
fórmula de sumación de Abel indicada en el Ejercicio 11 del Capı́tulo 4, sólo
que los ı́ndices k van desde n hasta m y se sustituye ak por ak Rk y bk por
( x−a
)k . Denotando Ak,n := an Rn + · · · + ak Rk para k ≥ n, obtenemos que
R
m
X
k=n
k
ak (x − a) =
m
X
x − a k
x − a m+1
= Am,n
R
R
k=n
m
X
x − a k+1
x − a k
−
+
Ak,n
R
R
k=n
ak R k
= Am,n
m
x − a m+1
x − a X
x − a k
+ 1−
·
Ak,n
R
R
R
k=n
para todo x ∈ [a, b]. Fijemos ε > 0. Por el criterio de Cauchy de convergencia
de series (ver Capı́tulo 1), existe n0 ∈ N tal que |Ak,n | < ε/2 siempre que
SERIES DE POTENCIAS
65
k ≥ n ≥ n0 . Por tanto, si m > n ≥ n0 , resulta de la desigualdad triangular y
ε P∞ x−a k
Pm
ε
x−a
k
· 2 · k=0 R
=
|
≤
1
que
a
(x−a)
<
+
1−
del hecho | x−a
k
k=n
R
2
R
ε
2
+ 2ε = ε si x ∈ [a, b). Se ha tenido en cuenta que la serie geométrica
P∞ x−a k
es convergente si x 6= b y que su suma en tal caso es 1− 1x−a .
k=0
R
R
P
k
Pero m
a
(x
−
a)
=
A
si
x
=
b.
En
resumidas
cuentas,
dado
ε
>
0
k
m,n
k=n
Pm
k
hemos hallado un n0 ∈ N tal que
< ε para todo par
k=n ak (x − a)
m, n ∈ N con m > n ≥ n0 y para todo x ∈ [a, b]. Basta aplicar ahora la
condición de Cauchy de convergencia uniforme de series de funciones.
Ejemplo 5.2.5. Veremos más adelante [Teorema 5.3.3(d)] que log(1 + x) =
P∞ (−1)n+1
P∞ (−1)n+1 n
x en (−1, 1). Ya que
converge, obtenemos del
n=1
n=1
n
n
P∞ (−1)n+1
= log 2.
teorema anterior que
n=1
n
5.3.
Funciones analı́ticas
Ya estamos familiarizados con las funciones continuas, derivables, de
clase C 1 (derivables con continuidad), de clase C N y de clase C ∞ . Vamos a
introducir ahora una nueva clase de funciones, más pequeña que las anteriores, que surge de manera natural al considerar series de potencias. Son las
ası́ llamadas “funciones analı́ticas”. En cierta forma, son la generalización de
los polinomios.
Definición 5.3.1. Supongamos que I ⊂ R es un intervalo abierto, que f :
I → R es una función definida en I y que a ∈ I. Se dice que f es analı́tica
en a cuando existen un intervalo J ⊂ I centrado en a y una SP centrada en
a tales que f puede expresarse como la suma de dicha serie en J. Y se dice
que f es analı́tica en I cuando es analı́tica en cada punto de I.
Notemos que tanto el intervalo J como la SP de la definición anterior
dependen de f y del punto a. Denotaremos por C ω (I) el conjunto de las
66
Luis Bernal González
funciones analı́ticas en I, y por C ω (a) el conjunto de las funciones definidas
en un entorno del punto a que son analı́ticas en a. Es fácil probar que ambos
conjuntos son espacios vectoriales. De la definición y de la sección anterior
se deduce que si f es analı́tica en a entonces tiene derivadas de todos los
órdenes en dicho punto [y de hecho en todo el intervalo J]. En particular,
C ω (I) ⊂ C ∞ (I).
Pero la inclusión contraria es falsa, es decir, una función puede tener
derivadas de todos los órdenes en un punto sin ser analı́tica en dicho punto.
Por ejemplo, la función

 e−1/x si x > 0
ϕ(x) =
 0
si x ≤ 0
tiene derivada de todos los ordenes en cada punto x ∈ R, siendo ϕ(n) (0) = 0
P
ϕ(n) (0) n
x
para cada n ∈ N0 . Por tanto no puede cumplirse que ϕ(x) = ∞
n=0
n!
en un entorno de 0, luego f no es analı́tica en el 0. Esto nos lleva a estudiar
condiciones para que una función infinitamente derivable sea analı́tica.
Supongamos que f tiene derivada de todos los ordenes en un intervalo
I = (a−R, a+R). Formalmente podemos escribir la serie de Taylor asociada
∞
X
(n)
f (n) (a)
a f en el punto a como
(x − a)n . A los números f n!(a) se les
n!
n=0
llama coeficientes de Taylor de f de a. Si a = 0, se suele hablar de serie de
MacLaurin y de coeficientes de MacLaurin.
El resultado que se enuncia a continuación nos dice que si las derivadas
sucesivas de f no son demasiado grandes, entonces f coincide con su serie de
Taylor.
Teorema 5.3.2. [Teorema de Pringsheim] Sea f : I = (a − R, a + R) → R
tal que R ∈ (0, +∞), f ∈ C ∞ (I) y existe A ∈ (0, +∞) tal que
|f (n) (x)| ≤ A
n!
para todo n ∈ N y todo x ∈ I.
Rn
SERIES DE POTENCIAS
67
Entonces f ∈ C ω (a). De hecho, se tiene
f (x) =
∞
X
f (n) (a)
n=0
n!
(x − a)n para todo x ∈ I.
Demostración. Por la fórmula de Lagrange del resto del polinomio de Taylor,
fijados x ∈ I y n ∈ N [sin pérdida de generalidad, podemos suponer x > a]
existe c = c(x, n) ∈ I tal que
f (x) = f (a) +
f (n) (a)
f (n+1) (c)
f 0 (a)
(x − a) + · · · +
(x − a)n +
(x − a)n+1 .
1!
n!
(n + 1)!
Entonces se cumplirá la igualdad del enunciado en x cuando
(n+1)
f (n+1) (c)
(x − a)n+1 = 0. Ahora bien, f (n+1)!(c) (x − a)n+1 ≤ A · (n + 1)! ·
(n+1)!
n+1
(|x−a|/R)n+1
= A· |x−a|
−→ 0 pues |x−a|
< 1. Esto prueba el teorema. (n+1)!
R
R
n→∞
lı́mn→∞
Finalizamos el tema expresando ciertas funciones conocidas como suma
de una serie de Taylor. Recordemos que, para cada α ∈ R \ {0}, el número
combinatorio generalizado αn se define como
α
α(α − 1)(α − 2) · · · (α − n + 1)
α
=
si n ∈ N y
= 1.
n
n!
0
Teorema 5.3.3. Se verifican los siguientes desarrollos, válidos en los intervalos indicados:
∞
X
xn
x
(a) e =
para todo x ∈ R.
n!
n=0
∞
X
(−1)n 2n
(b) cos x =
x
para todo x ∈ R.
(2n)!
n=0
∞
X
(−1)n 2n+1
(c) sen x =
x
para todo x ∈ R.
(2n
+
1)!
n=0
∞
X
(−1)n+1 n
(d) log(1 + x) =
x para todo x ∈ (−1, 1).
n
n=1
∞ X
α n
α
(e) [Serie binómica] (1 + x) =
x para todo x ∈ (−1, 1).
n
n=0
68
Luis Bernal González
Demostración. Las series de Taylor en el origen asociadas a cada una de las
5 funciones son fáciles de determinar calculando f (n) (x) por inducción sobre
n y particularizando en x = 0. En los casos (a), (b) y (c), fijar R ∈ (0, +∞) y
y aplicar el Teorema 5.3.2 para validar los desarrollos en (−R, R). Como R es
arbitrario, los desarrollos son válidos en todo R. Para probar (d), se considera
la serie de potencias 1 − x + x2 − x3 + · · · , cuyo radio de convergencia es 1, y
1
en (−1, 1). Basta aplicar ahora el Teorema 5.2.1(c)
cuya suma es f (x) = 1+x
P∞ (−1)n+1 n
con g(x) = n=1 n x . La demostración de (e) puede llevarse a cabo
usando la expresión de Cauchy para el término complementario de orden n
P
del resto de Taylor (1 + x)α − nk=0 αk xk .
Notas 5.3.4. 1. Las funciones seno, coseno y exponencial, consideradas en
el teorema anterior, pueden de hecho ser definidas en R por las igualdades
dadas por sus desarrollos de Taylor. Las tres son ejemplos de funciones enteras. Por definición, se dice que una función f : R → R es entera cuando tiene
P∞ f (n) (0) n
un desarrollo en serie de Taylor válido en todo R: f (x) =
x
n=0
n!
para cada x ∈ R. Puede probarse que toda función entera es analı́tica en
todo R. Pero el recı́proco no es cierto: considérese, por ejemplo, la función
f (x) =
1
.
1+x2
La explicación de estos fenómenos excede el alcance de estos
apuntes, pues para ello se ha de acudir al terreno de las funciones definidas
sobre el plano complejo C.
2. Si f es analı́tica en un punto a, la unicidad de los coeficientes de Taylor en
dicho punto hace que estos puedan calcularse por el método de los coeficientes
indeterminados. Ver, por ejemplo, el Ejercicio 6.
Ejercicios
1.- Determinar el radio de convergencia R de las series de potencias
en los siguientes casos:
P∞
n=1 an x
n
SERIES DE POTENCIAS
69
(a) an = log n.
(−1)n
.
n
((−1)n + 3)n
=
.
n
n2
= n.
2
n!
= n.
n
= n−n .
(b) an =
(c) an
(d) an
(e) an
(f) an
(g) an = np (p ∈ N).
(h) a2n = 2n , a2n+1 = 0.
(i) a2n = b2n , a2n+1 = a2n+1 con a, b > 0.
Cuando R sea finito, estudiar el comportamiento de la serie en la frontera
del intervalo de convergencia.
2.- Estudiar la convergencia de las siguientes series y sumarlas donde converjan:
∞
∞
X
X
xn
(x − 1)n
(a)
(b)
.
n
n2 − n
n=1
n=2
3.- Estudiar la convergencia de las series de potencias
P∞
n=1 an x
n
y sumarlas
donde converjan, en los casos:
(a) an =
(−1)n−1
.
n(n + 1)
(b) an = 3n2 − n + 1.
1
si n = 3k − 2, an = 0 en otro caso.
3k
n2 + 2n − 3
(d) an =
.
n!
4n
(e) ak = 0 si k = 2n, ak =
si k = 2n + 1.
(2n + 1)!
(c) an =
4.- Detallar la demostración del Teorema 5.3.3.
5.- Obtener el desarrollo en serie de potencias, en torno al 0, de las siguientes
funciones:
70
Luis Bernal González
1+x
.
1−x
(b) arctan x.
1+x
(c)
.
(1 − x)3
(a) log
(d) sen2 x.
(e) (1 + ex )2 .
(f) log(a + bx), donde a > 0 y b 6= 0.
6.- Obtener, por el método de los coeficientes indeterminados, los primeros
términos del desarrollo en serie de potencias, en torno al 0, de las funciones:
cos x
cos x
(c)
.
(a) tan x
(b)
1 + sen x
1 − 2x
7.- Sean F, G : R → R dos funciones enteras que verifican F (0) = 1, G(0) = 0,
F 0 (x) = G(x) y G0 (x) = F (x) para todo x ∈ R.
(a) Probar que F (x)2 − G(x)2 = 1 para todo x ∈ R.
(b) Hallar las series de Taylor, en el origen, de F y G y hallar su radio de
convergencia.
(c) Probar que estas series convergen en todo x ∈ R al valor de la función
correspondiente.
P
x
−x
x2n
(d) Probar que, para todo x ∈ R, se tiene F (x) = e +e
= ∞
n=0 (2n)!
2
P
x
−x
x2n+1
y G(x) = e −e
= ∞
n=0 (2n+1)! . A estas funciones se las denomina,
2
respectivamente, coseno hiperbólico y seno hiperbólico.
8.-
(a) Estudiar el dominio de convergencia y la suma de la serie
∞
X
x4n−1
.
4n − 1
n=1
(b) Desarrollar en serie de potencias, en torno al 0, la función
1
1+x 1
log
− arctan x.
4
1−x 2
9.- Demostrar que el radio de convergencia R de una SP
dado por R = sup{α ≥ 0 : la sucesión {an
αn }
n≥1
P∞
n
n=0 an (x − a)
está acotada}.
viene
Capı́tulo 6
Medida de Lebesgue
En este capı́tulo vamos a definir la medida de Lebesgue de los subconjuntos de R, persiguiendo ciertas propiedades naturales que se le deben
exigir a una medida. Veremos que no será posible medir cualquier conjunto,
de modo que nos veremos obligados a restringir la medida a una clase de
conjuntos. Esta clase, bastante amplia, es la de los conjuntos medibles. De la
definición, iremos obteniendo las propiedades de la medida de Lebesgue.
6.1.
El problema de la medida
A finales del siglo XIX surgió la idea de que la integral de Riemann
resultaba incompleta, en relación a su comportamiento con los procesos de
lı́mite. Parecı́a necesario reemplazarla por otro tipo de integral, más versátil
en dichos procesos. Las contribuciones de Jordan, Borel y Young fueron completadas por Lebesgue, quien a principios de siglo XX dio con la construcción
más adecuada.
Recordemos (ver Capı́tulo 1) que la integral de Riemann de una función
f : [a, b] → R se define básicamente por aproximación de cantidades de la
Pn
forma
k=1 f (tk )m(Ik ), donde los Ik son intervalos cerrados cuya unión es
71
72
Luis Bernal González
[a, b] y con interiores disjuntos, y m(Ik ) denota la longitud del intervalo Ik .
La teorı́a de Lebesgue se basa en la idea de que esos conjuntos Ik puedan
ser elegidos en una clase más amplia de subconjuntos de R, que llamaremos
conjuntos medibles.
El problema de la medida consiste en asignar a cada conjunto A ⊂ R un
número m(A) ∈ [0, +∞], denominado medida de A, de modo que
m([a, b]) = b − a para todo a, b ∈ R con a < b,
m(x + A) = m(A) para todo A ⊂ R y todo x ∈ R,
m sea numerablemente aditiva, es decir, para cualquier sucesión (An )
de conjuntos disjuntos dos a dos, se tenga
m
[
X
An =
m(An ).
n≥1
n≥1
Resulta que no es posible hacer tal asignación a todos los conjuntos, por lo
que se plantea la necesidad de definir el concepto de conjunto medible.
Ejemplo 6.1.1. Sea m una medida sobre los subconjuntos de R verificando
las tres propiedades anteriores. Existe un conjunto V ⊂ [0, 1] al que no puede
asignársele ningún valor m(V ). Este conjunto se conoce con el nombre de
conjunto de Vitali y su hallazgo se debe a G. Vitali en 1905, ver Ejercicio 5.
6.2.
Espacios medibles, espacios de medida y
medida exterior
Es conveniente situar el problema anterior en un contexto más general.
Podemos definir de manera más abstracta una medida y la familia de conjuntos a los cuales es aplicable una medida. Partimos de un conjunto X 6= ∅. Por
P(X) denotaremos el conjunto de partes de X. Recordemos que, si A ⊂ X, el
MEDIDA DE LEBESGUE
73
complementario de A se define como Ac = {x ∈ X : x ∈
/ A}; y si A, B ⊂ X
entonces su diferencia se define por A \ B = A ∩ B c .
Definición 6.2.1. Sea X un conjunto no vacı́o y M ⊂ P(X). Decimos que
M es una σ-álgebra sobre X cuando se verifican las siguientes condiciones:
(a) X ∈ M.
(b) Si A ∈ M entonces Ac ∈ M.
∞
S
(c) Si {An }n≥1 ⊂ M entonces
An ∈ M.
n=1
Se llama espacio medible al par (X, M), y conjunto medible a cada miembro
de M.
De propiedades elementales de álgebra de conjuntos (incluyendo las leyes
de De Morgan) se deduce que, si M es una σ-álgebra sobre X, entonces
están en M los siguientes conjuntos: ∅, uniones finitas de miembros de M,
intersecciones finitas o numerables de miembros de M, diferencia de dos
miembros de M. Como ejemplos triviales y extremos, se tiene que {∅, X} y
P(X) son σ-álgebras sobre X.
Definición 6.2.2. Sea (X, M) un espacio medible. Por definición, una medida positiva, o simplemente una medida, sobre (X, M) es una aplicación
µ : M → [0, +∞] tal que µ(∅) = 0 y es numerablemente aditiva, es decir,
∞
S
si {An }n≥1 ⊂ M y los An son dos a dos disjuntos, entonces µ
An =
∞
P
n=1
µ(An ). La terna (X, M, µ) se denomina espacio de medida.
n=1
La denominación de los siguientes casos especiales es aplicable tanto a µ
como a (X, M, µ):
Si µ(X) < +∞, µ se dice finita. Si µ(X) = 1, µ es una medida de
probabilidad o simplemente probabilidad. Comentamos aquı́ que, en el
lenguaje propio de la Teorı́a de la Probabilidad, los elementos de M se
suelen denominar sucesos, y a (X, M) se le llama espacio de sucesos.
74
Luis Bernal González
Si existe {An }∞
n=1 ⊂ M tal que µ(An ) < +∞ para todo n ∈ N y
∞
S
X=
An , µ se dice σ-finita.
n=1
Si [A ∈ M, B ⊂ A y µ(A) = 0] implica que B ∈ M, entonces se dice
que µ es completa.
Si S ∈ M, entonces MS := {A ∈ M : A ⊂ S} es una σ-álgebra
sobre S y la restricción µ|MS es una medida sobre (S, MS ). A la terna
(S, MS , µ|MS ) se le llama espacio de medida inducido en S.
Ejemplo 6.2.3. Sea X un conjunto y consideremos la aplicación µ : P(X) →
[0, +∞] dada por µ(A) = card(A) si A es finito, y µ(A) = +∞ si A es infinito. Entonces µ es una medida positiva, denominada medida cardinal sobre
X. Es fácil ver que µ es finita si y solo si X es finito, y que µ es σ-finita si
y solo si X es numerable.
Nota 6.2.4. Hemos visto que el valor de la medida de un conjunto puede
ser +∞. Esto implica que se han de realizar operaciones algebraicas que
involucran números no finitos. Por ello es conveniente considerar la recta real
ampliada, R := R ∪ {+∞, −∞} = [−∞, +∞]. A R se le dota de un orden
estricto [<] que extiende el orden de R, de modo que −∞ < x < +∞ para
todo x ∈ R. Las operaciones de suma y producto se extienden parcialmente:
(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, a + (+∞) = +∞ = (+∞) + a,
a + (−∞) = −∞ = (−∞) + a [para todo a ∈ R], a · (±∞) = ±∞ = (±∞) · a
(resp.) para todo a > 0, y análogamente con el correspondiente cambio de
signo para los números a < 0. Además a/ ± ∞ = 0 [para todo a ∈ R] y
| ± ∞| = +∞. Pero la operación +∞ − (+∞) no está definida. También
es conveniente, por motivos que se verán claros en el Capı́tulo 7, detallar la
topologı́a que vamos a considerar en R. A saber, una base de entornos de
cada punto a ∈ R es {(a − ε, a + ε) : ε > 0}. Una base de entornos de +∞ es
{(c, +∞] : c ∈ R}, y una base de entornos de −∞ es {[−∞, c) : c ∈ R}. Por
MEDIDA DE LEBESGUE
75
tanto, los abiertos de R son también abiertos de R. Esto no es válido para
los cerrados, ya que por ejemplo R es un cerrado en R pero no lo es en R.
Observemos que los abiertos de R son los abiertos de R, los intervalos del tipo
[−∞, c) y (c, +∞], y las uniones posibles de estos tres tipos de conjuntos.
En la siguiente proposición se reúnen algunas propiedades operacionales
básicas de las medidas. Una sucesión de conjuntos (An ) se dice que es creciente [decreciente] cuando An ⊂ An+1 [An ⊃ An+1 , resp.] para todo n ∈ N.
Proposición 6.2.5. Sea (X, M, µ) un espacio de medida. Se verifica:
(a) µ es finitamente aditiva, es decir, si A1 , . . . , AN ∈ M son dos a dos
N
N
P
S
disjuntos, entonces µ
An =
µ(An ).
n=1
n=1
(b) µ es monótona, es decir, si A, B ∈ M y A ⊂ B entonces
µ(A) ≤ µ(B).
(c) Si A, B ∈ M con A ⊂ B y µ(A) < +∞ entonces
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
(d) Si {An }∞
n=1 ⊂ M, entonces µ
∞
S
∞
P
An ≤
µ(An ).
n=1
n=1
(e) Si {An }∞
n=1 ⊂ M es creciente entonces lı́m µ(An ) = µ
n→∞
∞
S
An .
n=1
(f) Si {An }∞
n=1 ⊂ M es decreciente y µ(A1 ) < +∞ entonces
∞
T
An .
lı́m µ(An ) = µ
n→∞
n=1
Demostración. Es fácil, por lo que solo daremos algunas indicaciones. Para
(a), definir An := ∅ si n > N y aplicar la aditividad numerable de µ. Para
(b) y (c), descomponer B = A ∪ (B \ A) y aplicar (a). En cuanto a (d),
considerar la sucesión (Bn ) dada por B1 := A1 , B2 := A2 \ A1 , . . . , Bn :=
An \ (A1 ∪ · · · ∪ An−1 ), . . . , formada por conjuntos medibles disjuntos cuya
∞
S
unión es
An ; aplı́quense entonces (b) y la aditividad numerable de µ.
n=1
76
Luis Bernal González
Para probar (e), definir A0 := ∅ y considerar la misma sucesión disjunta
(Bn ) anterior. Como (An ) es creciente, se tiene Bn = An \ An−1 . Resulta que
∞
∞
S
S
P
P
µ
An = µ
Bn = lı́m nk=1 µ(Bk ) = lı́m nk=1 [µ(Ak )−µ(Ak−1 )] =
n=1
n=1
n→∞
n→∞
lı́m µ(An ). Se ha supuesto que cada µ(An ) < +∞, pues (e) serı́a trivial si
n→∞
algún µ(An ) = +∞. Por último, (f) se deduce aplicando (e) a la sucesión
{A1 \ An }n≥1 .
El ejemplo X = N, M = P(N), µ = medida cardinal sobre N, An =
{n, n + 1, n + 2, . . . } (n = 1, 2, ...) muestra que (f) es falso en general si se
prescinde de la hipótesis µ(A1 ) < +∞.
A veces es conveniente disponer de una aplicación con propiedades más
débiles que una medida, pero definida para cualquier subconjunto del conjunto soporte X. Damos el correspondiente concepto, que cierra esta sección.
Definición 6.2.6. Se llama medida exterior sobre un conjunto X a una
aplicación µ∗ : P(X) → [0, +∞] nula sobre el conjunto vacı́o, monótona y
numerablemente subaditiva, es decir:
(a) µ∗ (∅) = 0.
(b) Si A ⊂ B entonces µ∗ (A) ≤ µ∗ (B).
∞
∞
P
S
∗
(c) Si {An }∞
⊂
P(X)
entonces
µ
A
≤
µ∗ (An ).
n
n=1
n=1
6.3.
n=1
Construcción de la medida de Lebesgue
en R
Vamos pues a definir la medida m en la recta real de modo que permita
medir una clase más amplia de conjuntos que los intervalos. Vamos a hacerlo
por etapas, empezando precisamente por los intervalos.
Dado un intervalo acotado I = (a, b), I = [a, b], I = (a, b] o I = [a, b),
con a < b, su longitud o amplitud es por definición long (I) := b − a. Si
MEDIDA DE LEBESGUE
77
I es un intervalo no acotado, definimos long (I) := +∞. Queremos que, si
I es un intervalo, su medida coincida con su longitud. Por otra parte, si
A ⊂ R y A está contenido en una unión numerable de intervalos, digamos
∞
S
A ⊂
Ik , debe ocurrir que la medida de A no sea mayor que la suma
k=1
de las longitudes de los intervalos In . De esta forma se define la aplicación
m∗ : P(R) → [0, +∞] dada por
m∗ (A) = ı́nf
∞
X
long (Ik ) : A ⊂
k=1
∞
[
Ik , Ik intervalos ⊂ R .
k=1
Teorema 6.3.1. La aplicación m∗ definida anteriormente verifica las siguientes propiedades:
(a) m∗ es una medida exterior.
(b) m∗ es invariante por traslaciones, es decir, m∗ (a + A) = m∗ (A) para
todo a ∈ R y todo A ⊂ R. Aquı́ a + A := {a + x : x ∈ A}.
(c) m∗ es homotética, es decir, m∗ (λA) = |λ|m∗ (A) para todo λ ∈ R y
todo A ⊂ R. Aquı́ λA := {λx : x ∈ A}.
(d) Si E ⊂ R es numerable, m∗ (E) = 0.
(e) Si I es un intervalo, m∗ (I) es igual a su longitud.
Demostración. La monotonı́a de m∗ es evidente, porque si una familia de
intervalos cubre un conjunto B, también cubre un subconjunto A ⊂ B,
y el ı́nfimo decrece a medida que el conjunto crece. Si ahora fijamos un
punto x ∈ R y un ε > 0, entonces la familia de intervalos (Ik ), donde
Ik := [x − ε2−k−1 , x + ε2−k−1 ], cubre el conjunto {x}. Como la suma de sus
longitudes es ε, se tiene m∗ ({x}) ≤ ε para todo ε > 0, ası́ que m∗ ({x}) = 0.
Por monotonı́a m∗ (∅) = 0. Sea (An ) ⊂ P(R). Si algún m∗ (An ) = +∞, por
S
monotonı́a se tiene m∗ ( n An ) = +∞, luego trivialmente se da la subaditividad numerable. Si m∗ (An ) < +∞ para todo n, fijemos ε > 0. Por la
78
Luis Bernal González
propiedad fundamental del ı́nfimo, para cada n existe una sucesión {In,k }k≥1
P
ε
∗
de intervalos con
k long (In,k ) < m (An ) + 2n . Entonces {In,k }n,k≥1 es un
S
cubrimiento numerable de n An por intervalos cuya suma de longitudes es
P
S
P
menor o igual que n m∗ (An )+ε. Por tanto m∗ ( n An ) ≤ n m∗ (An )+ε. Ya
S
P
que esto es cierto para todo ε > 0, se deduce que m∗ ( n An ) ≤ n m∗ (An ),
lo cual es la subaditividad numerable. Ası́ que m∗ es una medida exterior y
(a) está probado.
Los apartados (b) y (c) se deducen con facilidad de la definición de medida
exterior y del hecho de que la invariancia por traslaciones y la propiedad de
homotecia se verifican para todo intervalo. El apartado (d) resulta de la
subaditividad numerable y de que m∗ ({x}) = 0 para cada x ∈ R, como se
probó en el primer párrafo.
En cuanto a (e), si I es un intervalo, consideramos la familia numerable {I} ∪ {Ik }k≥1 , donde (Ik ) es la familia de intervalos del principio
del primer párrafo (con x cualquiera). Como la suma de sus longitudes es
long (I) + ε, se tiene que m∗ (I) ≤ long (I) + ε para todo ε > 0, ası́ que
m∗ (I) ≤ long (I). Para la desigualdad contraria, sea (Ik ) una familia de intervalos que cubren I. Por definición de medida exterior, basta probar que
P
k long (Ik ) ≥ long (I). Podemos suponer que Ik ⊂ I sustituyendo Ik por el
S
intervalo I ∩Ik , de modo que I = k Ik . Haciendo J1 := I1 , J2 := I2 \I1 , J3 :=
S k
I3 \ (I1 ∪ I2 ), . . . , cada Jk es un unión finita disjunta nj=1
Jk,j de intervalos
Pnk
S S k
Jk,j , y long (Ik ) ≥ j=1 long (Jk,j ) para cada k. Entonces I = k nj=1
Jk,j ,
P
unión numerable disjunta de intervalos. En consecuencia,
k long (Ik ) ≥
P Pnk
k
j=1 long (Jk,j ) = long (I).
La aplicación m∗ definida anteriormente se denomina medida exterior
de Lebesgue. Aunque en un principio parece que m∗ pudiera ser un buen
candidato para representar la medida de los conjuntos de R, recordemos que
el problema de la medida expuesto a principios del tema no tiene solución
MEDIDA DE LEBESGUE
79
en P(R). Obsérvese que m∗ cumple todas las condiciones de medida salvo
la aditividad numerable [ni siquiera es finitamente aditiva, es decir, no se
cumple que m∗ (A ∪ B) = m∗ (A) + m∗ (B) para todo par A, B ⊂ R con
A ∩ B = ∅]. El problema no radica en la definición de m∗ , sino en que existen
conjuntos que no se pueden medir.
Restringiendo convenientemente la familia de subconjuntos de R, podemos obtener una medida. Lo vamos a hacer mediante el procedimiento de
Carathéodory, que admite bastante generalidad.
Teorema 6.3.2. [Teorema de Carathéodory] Sea µ∗ una medida exterior
sobre un conjunto X. Consideremos la familia
M = {M ⊂ X : µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ M ) + µ∗ (A ∩ M c ) ∀A ⊂ X}.
Se verifica:
(a) M es una σ-álgebra sobre X.
(b) La aplicación µ := µ∗ |M es una medida sobre M.
(c) La medida µ es completa. Además, si µ∗ (M ) = 0, entonces M ∈ M.
La familia M definida anteriormente se denomina la σ-álgebra de los
conjuntos medibles-Carathéodory relativos a la medida exterior µ∗ .
Demostración del Teorema 6.3.2. Ya que µ∗ (∅) = 0, se tiene que ∅ ∈ M. Ya
que la definición de M es simétrica para M y M c resulta que M c ∈ M si
M ∈ M. En particular, X ∈ M.
Sean ahora M, N ∈ M, y sea A ⊂ X. Tenemos:
µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ M ) + µ∗ (A ∩ M c )
= µ∗ (A ∩ M ∩ N ) + µ∗ (A ∩ M ∩ N c ) + µ∗ (A ∩ M c ∩ N ) + µ∗ (A ∩ M c ∩ N c ).
80
Luis Bernal González
Como M, N ∈ M, resulta que
µ∗ (A ∩ (M ∩ N )c ) = µ∗ (A ∩ (M ∩ N )c ∩ N ) + µ∗ (A ∩ (M ∩ N )c ∩ N c )
= µ∗ (A ∩ M c ∩ N ) + µ∗ (A ∩ N c )
= µ∗ (A ∩ M c ∩ N ) + µ∗ (A ∩ M ∩ N c ) + µ∗ (A ∩ M c ∩ N c ),
de donde obtenemos que
µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ (M ∩ N )) + µ∗ (A ∩ (M ∩ N )c ),
luego M ∩N ∈ M. Por tanto, M ∪N = (M c ∩N c )c ∈ M y M \N = M ∩N c ∈
M. Resulta también, por inducción, que M1 ∪ . . . ∪ Mp y M1 ∩ . . . ∩ Mp están
en M si M1 , . . . , Mp ∈ M.
Asimismo, se prueba fácilmente por inducción que
∗
µ (A) =
p
X
∗
∗
µ (A ∩ Mj ) + µ A ∩
j=1
p
[
Mj
c [1]
j=1
para todo A ⊂ X y todo sistema de elementos M1 , . . . , Mp de M dos a dos
disjuntos.
Sean ahora Mn ∈ M con n ∈ N. Para probar que
∞
S
Mn ∈ M, pode-
n=1
mos suponer que los Mn son dos a dos disjuntos (basta sustituir la sucesión
M1 , M2 , M3 , . . . por la sucesión M1 , M2 \ M1 , M3 \ (M1 ∪ M2 ), . . . , cuya unión
∞
S
es también
Mn ). Por [1], si A ⊂ X, resulta que, para todo n ∈ N,
n=1
∗
µ (A) =
n
X
∗
∗
µ (A ∩ Mj ) + µ A ∩
j=1
≥
n
X
n
[
Mj
c j=1
∗
∗
µ (A ∩ Mj ) + µ A ∩
j=1
∞
[
Mj
c ,
j=1
lo que implica que
∗
µ (A) ≥
∞
X
j=1
∗
∗
µ (A ∩ Mj ) + µ A ∩
∞
[
j=1
Mj
c MEDIDA DE LEBESGUE
81
∞
[
∗
≥µ A∩
Mj
∗
+µ A∩
j=1
∞
[
Mj
c ≥ µ∗ (A),
j=1
donde hemos usado dos veces la subaditividad. Por tanto,
∗
∞
[
∗
µ (A) = µ A ∩
Mj
∗
+µ A∩
j=1
de donde deducimos que
∞
[
Mj
c para todo A ⊂ X,
j=1
∞
S
Mn ∈ M. Hemos probado que M es una σ-
n=1
álgebra, lo cual es (a).
Para (b), denotemos µ := µ∗ |M . Entonces µ(∅) = µ∗ (∅) = 0. En cuanto a
la aditividad numerable de µ, tomemos Mn ∈ M (n ∈ N) dos a dos disjuntos.
∞
S
Haciendo A =
Mn en el razonamiento anterior, obtenemos –todas las
n=1
desigualdades deben ser igualdades– que
µ
∞
[
n=1
Mn =
∞
X
n=1
µ(Mn ) + µ(∅) =
∞
X
µ(Mn ).
n=1
Probemos (c). Si M ⊂ X y µ∗ (M ) = 0, entonces M ∈ M. En efecto,
si A ⊂ X, entonces A ∩ M ⊂ M , luego µ∗ (A ∩ M ) = 0, ası́ que µ∗ (A) ≤
µ∗ (A \ M ) + 0 por subaditividad, mientras que µ∗ (A) ≥ µ∗ (A \ M ) por
monotonı́a. Resta probar que µ es completa, pero esto resulta de la propiedad
que se acaba de demostrar y de la monotonı́a de µ∗ .
2
Definición 6.3.3. Un conjunto E ⊂ R se dice medible Lebesgue si es medibleCarathéodory respecto de la medida exterior de Lebesgue m∗ , es decir, si
verifica m∗ (A) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ) para todo A ⊂ R.
Denotaremos por L la σ-álgebra de los subconjuntos medibles Lebesgue
de R. Se denomina medida de Lebesgue a la aplicación m : L → [0, +∞] dada
por m := m∗ |L .
Hemos resuelto pues el problema de la medida en R planteado al principio. En efecto, por el teorema de Carathéodory, m es una medida sobre
82
Luis Bernal González
L. Además, ya que m proviene de m∗ , se tiene la propiedad de invariancia por traslaciones y la propiedad de homotecia: m(λ + A) = m(A) y
m(λA) = |λ|m(A) para todo A ∈ L y todo λ ∈ A. Se deja como ejercicio probar que los conjuntos λ + A y λA son medibles Lebesgue siempre
que A lo sea. De paso, obtenemos que m es una medida completa y que cada
conjunto E ⊂ R numerable es medible Lebesgue con m(E) = 0. También,
A ∈ L si m∗ (A) = 0.
6.4.
Conjuntos medibles Lebesgue
En la sección anterior hemos resuelto el problema de la medida, al
restringir la familia de conjuntos que se pueden medir. En este punto, serı́a
muy interesante probar que existen muchos conjuntos medibles Lebesgue. En
particular, vamos a ver que la mayorı́a de los conjuntos usuales son medibles
Lebesgue. Recordemos que un subconjunto de un espacio topológico se dice
que es cerrado cuando su complementario es abierto, que es un Fσ si es
unión numerable de cerrados, y que es un Gδ si es intersección numerable
de abiertos.
Teorema 6.4.1. Todo abierto, todo cerrado, todo subconjunto Fσ , todo subconjunto Gδ , todo intervalo y todo subconjunto compacto de R es medible
Lebesgue. La medida de Lebesgue de un intervalo coincide con su longitud
y la medida de un compacto es finita. Además, la medida de Lebesgue es
completa y σ-finita.
Demostración. Supongamos probado que cada intervalo abierto y acotado
I = (a, b), con −∞ < a < b < +∞, es medible. Como cada abierto de
R es unión numerable de intervalos del tipo anterior y L es una σ-álgebra,
tendrı́amos que todo abierto es medible. Usando de nuevo que L es una σálgebra obtenemos que cada conjunto de los dados en el enunciado es medible
MEDIDA DE LEBESGUE
83
(recordar que cada compacto es cerrado). Ya sabemos que la medida exterior
de un intervalo coincide con su longitud. Al ser cada intervalo un conjunto
medible, también es igual a su medida. Como cada compacto está acotado,
está contenido en un intervalo acotado, y por monotonı́a se concluye que su
medida es finita. Ya se vio antes que m es completa. Que m es σ-finita se
S
deduce de que podemos expresar R como la unión numerable R = n [−n, n],
de modo que m([−n, n]) = long ([−n, n]) = 2n < +∞ para cada n.
Nuestra tarea se reduce, por tanto, a demostrar que cada intervalo abierto
y acotado I está en L. Para ello, fijemos A ⊂ R. Por subaditividad es cierto
que m∗ (A) ≤ m∗ (A ∩ I) + m∗ (A ∩ I c ), y la desigualdad inversa es trivial si
m∗ (A) = +∞. Ası́ pues, suponemos m∗ (A) < +∞ y se ha de probar que
m∗ (A ∩ I) + m∗ (A ∩ I c ) ≤ m∗ (A).
Con tal fin, fijemos ε > 0. Por definición de m∗ existen intervalos In (n =
1, 2, ...), que se pueden suponer abiertos estirándolos levemente, tales que
P
S
∗
n long (In ) < m (A) + ε y A ⊂
n In . Necesariamente los In son intervalos
abiertos acotados, y podemos suponer que In ∩ I 6= ∅ para todo n, luego
cada uno de estos conjuntos es un intervalo abierto acotado. Cada In se
descompone en la unión disjunta de I ∩ In con I c ∩ In , y este último conjunto
es ∅ o se descompone en la unión de, a lo más, dos componentes conexas,
digamos Jn y Kn , que son intervalos acotados [los casos I c ∩ In = ∅ o de una
sola componente conexa son más fáciles de manejar y no se considerarán;
simplemente hacer 0 el sumando correspondiente a la medida exterior o a la
longitud]. Es evidente que {Jn }n≥1 ∪{Kn }n≥1 es un cubrimiento por intervalos
P
de I c ∩ A. En consecuencia, m∗ (A ∩ I) + m∗ (A ∩ I c ) ≤ n long (In ∩ I) +
P
P
P
∗
n long (Jn ) +
n long (Kn ) =
n long (In ) < m (A) + ε. Como esto es
cierto para cada ε > 0, obtenemos la desigualdad deseada.
Ahora podemos establecer el siguiente teorema de caracterización de con-
84
Luis Bernal González
juntos medibles Lebesgue.
Teorema 6.4.2. Sea A ⊂ R. Son equivalentes:
(a) A ∈ L.
(b) Para cada ε > 0 existe un subconjunto abierto G ⊂ R tal que A ⊂ G
y m∗ (G \ A) < ε.
(c) A = H \ B, donde H es un Gδ y m∗ (B) = 0.
(d) Para cada ε > 0 existe un subconjunto cerrado F ⊂ R tal que F ⊂ A
y m∗ (A \ F ) < ε.
(e) A = K ∪ C, donde K es un Fσ y m∗ (C) = 0.
Demostración. (a) ⇒ (b): Partimos de que A ∈ L. Supongamos que m(A) <
+∞. Por la definición de m∗ , existe una sucesión de intervalos {In }∞
n=1 tal que
∞
∞
P
S
long (In ). Estirando levemente cada intervalo
A⊂
In y m(A) + 2ε >
n=1
n=1
In , podemos obtener una sucesión de intervalos abiertos Jn (n ∈ N) tales que
∞
S
ε
. Llamemos G :=
Jn . Entonces G es
Jn ⊃ In y m∗ (Jn ) < long (In ) + 2n+1
n=1
abierto [luego G ∈ L y G \ A ∈ L], A ⊂ G y, como m(A) < +∞, se tiene que
∞
∞
P
P
m∗ (G \ A) = m(G \ A) = m(G) − m(A) ≤
m∗ (Jn ) −
long (In ) + 2ε <
n=1
n=1
P∞
ε
ε
+
=
ε.
n+1
n=1 2
2
Si fuese m(A) = +∞, existirı́a una sucesión {Aj }∞
j=1 ⊂ L tal que m(Aj ) <
∞
S
+∞ para todo j y A =
Aj . Fijado ε > 0, existe para cada j ∈ N un
j=1
abierto Gj tal que Aj ⊂ Gj y m(Gj \ Aj ) < 2εj . Sea ahora, por definición,
∞
∞
S
S
G :=
Gj . Entonces G es abierto, A ⊂ G y G \ A ⊂
(Gj \ Aj ), luego
j=1
m∗ (G \ A) = m(G \ A) ≤
j=1
∞
P
m(Gj \ Aj ) <
j=1
∞
P
j=1
ε
2j
= ε.
(b) ⇒ (c): Para ε = 1j , elegimos un abierto Gj con A ⊂ Gj tal que m∗ (Gj \
∞
T
A) < 1/j. Llamemos H :=
Gj . Entonces H es un Gδ , H ⊃ A y m∗ (H \
j=1
MEDIDA DE LEBESGUE
85
A) ≤ m∗ (Gj \ A) < 1/j para todo j ∈ N. Por tanto, si llamamos B := H \ A,
resulta que m∗ (B) = 0 y A = H \ B.
(a) ⇒ (d): Como R \ A ∈ L y ya se tenı́a [(a) ⇒ (b)], conseguimos que dado
ε > 0 podemos encontrar un abierto G tal que R\A ⊂ G y m(G\(R\A)) < ε.
En consecuencia, si definimos F := R \ G, resulta que F es cerrado, F ⊂ A
y m∗ (A \ F ) = m(A \ F ) = m(G \ (R \ A)) < ε.
(c) ⇒ (a): Tenemos por hipótesis que A = H \B, con H un Gδ [luego H ∈ L]
y m∗ (B) = 0 [luego B ∈ L], ası́ que A ∈ L.
(e) ⇒ (a): Similar a la implicación anterior.
(d) ⇒ (e): Similar a la implicación [(b) ⇒ (c)].
El resultado anterior nos viene a decir que un subconjunto de R es medible
Lebesgue si está arbitrariamente próximo, en términos de medida exterior, a
un abierto o a un cerrado. De hecho, se tiene lo siguiente.
Corolario 6.4.3. La medida de Lebesgue m verifica las siguientes propiedades, para todo A ∈ L:
(a) m es exteriormente regular, es decir,
m(A) = ı́nf{m(G) : G es abierto y G ⊃ A}.
(b) m es interiormente regular, es decir,
m(A) = sup{m(K) : K es compacto y K ⊂ A}.
Demostración. La propiedad (a) es trivial si m(A) = +∞, y si m(A) < +∞
resulta de la igualdad m(G \ A) = m(G) − m(A) y de la equivalencia “(a) ⇔
(b)” del teorema anterior. De manera análoga [usando la equivalencia “(a)
⇔ (d)” del teorema anterior] se obtendrı́a que m(A) = sup{m(F ) : F es
cerrado y F ⊂ A}. Ahora bien, cada cerrado F se puede expresar como
S
unión creciente de compactos, F = ∞
n=1 Kn , tomando por ejemplo Kn =
86
Luis Bernal González
F ∩ [−n, n]. Utilizar ahora la Proposición 6.2.5(e). Los detalles se dejan como
ejercicio.
Notas 6.4.4. 1. Si X es un conjunto no vacı́o, es fácil probar que la intersección de una familia de σ-álgebras es también una σ-álgebra. Si A ⊂ P(X), se
llama σ-álgebra generada por A a la intersección de todas las σ-álgebras que
contienen a A. Es claro que es la menor σ-álgebra que contiene a A. Si ahora
X es un espacio topológico y A es la familia de los abiertos, la σ-álgebra
B que genera se conoce como σ-álgebra de Borel de X, y sus conjuntos se
denominan borelianos o conjuntos de Borel. En el caso X = R, se tiene que
cada boreliano es medible Lebesgue, pues L es una σ-álgebra que contiene a
los abiertos. Puede probarse que la contención es estricta, es decir, existen
conjuntos medibles Lebesgue que no son borelianos.
2. Hemos construido la familia de conjuntos medibles Lebesgue y la medida de Lebesgue en R. De manera análoga, con algo más de complicación de
notación, se construye la medida de Lebesgue en cualquier espacio RN , partiendo de los productos I = I1 × · · · × IN de intervalos reales y sustituyendo
Q
la longitud por el volumen vol (I) := N
k=1 long (Ik ).
6.5.
El conjunto de Cantor
Acabamos el capı́tulo presentando un conjunto especial. Sabemos que
todo conjunto numerable tiene medida de Lebesgue nula. Vamos a ver que
la numerabilidad no es una condición necesaria para ello.
Consideremos el intervalo F0 = [0, 1] y eliminemos de él el tercio central
abierto (1/3, 2/3). Resulta el conjunto F1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1] ⊂ F0 . Ahora
eliminamos de este los dos tercios centrales abiertos de los intervalos que lo
componen, resultando ası́ el conjunto F2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪
[8/9, 1] ⊂ F1 . Continuemos inductivamente este proceso. Supongamos cons-
MEDIDA DE LEBESGUE
87
truido el conjunto Fn y consideremos el subconjunto Fn+1 ⊂ Fn obtenido
eliminando de Fn el tercio central abierto de cada uno de los subintervalos
T
que lo componen. Denotemos C := ∞
n=0 Fn . A C se le denomina conjunto
de Cantor.
Teorema 6.5.1. El conjunto de Cantor C definido anteriormente es compacto, tiene medida de Lebesgue nula y es no numerable.
Demostración. Ya que C es intersección de conjuntos cerrados, es cerrado.
Como C ⊂ [0, 1], resulta que C es acotado, luego es compacto por el teorema de Heine–Borel. En particular, es medible Lebesgue. Por construcción,
cada Fn es unión disjunta de 2n intervalos cerrados de amplitud 1/3n , luego
m(Fn ) = (2/3)n . Por monotonı́a y por el hecho de que C ⊂ Fn para todo n,
se deduce que 0 ≤ m(C) ≤ (2/3)n para todo n. Haciendo n → ∞, resulta
m(C) = 0. En cuanto a la no-numerabilidad, supóngase, por reducción al
absurdo, que C es numerable. Entonces podemos escribir C = {xn }n≥1 . Como los dos intervalos que componen F1 son disjuntos, al menos uno de ellos,
llamémosle I1 , no contiene a x1 . Dos de los intervalos que forman F2 están
contenidos en I1 . Al menos uno de esos dos intervalos, al ser disjuntos, no
contiene a x2 . Sea I2 ⊂ I1 dicho intervalo. De ese modo se va construyendo
una sucesión de intervalos cerrados acotados encajados, que tienen que tener
T
intersección A 6= ∅. Notemos que A ⊂ n Fn = C. Elijamos x0 ∈ A, ası́ que
x0 ∈ C. Pero x0 no es ninguno de los elementos xn [y esto es contradicción]
ya que, por construcción, xn ∈
/ In pero x0 ∈ In para todo n.
Ejercicios
1.-
(a) Hallar la medida de Lebesgue del conjunto Q de los números racionales.
(b) Hallar la medida de Lebesgue del conjunto de los números irracionales
del intervalo [0, 1].
88
Luis Bernal González
(c) Hallar la medida de Lebesgue del conjunto de los números reales algebraicos, es decir, aquellos números reales que son solución de una
ecuación polinómica con coeficientes enteros.
2.- Sea (X, M, µ) un espacio de medida y {An }n≥1 una sucesión de conjuntos
medibles de X, es decir, {An }n≥1 ⊂ M.
(a) Probar que el conjunto A de los elementos de X que pertenecen a
infinitos conjuntos An es medible.
(b) Probar que el conjunto B de los elementos de X que pertenecen a
todos los An salvo a un número finito de ellos es medible.
(c) Demostrar que µ(B) ≤ lı́m inf n→∞ µ(An ).
(d) Demostrar que si µ(∪An ) < ∞ entonces µ(A) ≥ lı́m supn→∞ µ(An ).
(e) Demostrar el lema de Borel–Cantelli : si
P
µ(An ) < ∞ entonces
µ(A) = 0.
3.- Sea A ⊂ R un conjunto medible Lebesgue de medida positiva. Denotemos
por m la medida de Lebesgue sobre R.
(a) Demostrar la continuidad de la función f : x ∈ [0, +∞) 7→ m(A ∩
[−x, x]).
(b) Probar que para todo α ∈ (0, m(A)) existe B medible con B ⊂ A tal
que m(B) = α.
4.- Sea f : R → R una función arbitraria. Llamemos A(f ) al conjunto de puntos
en que f es continua. Para cada n ∈ N, denotemos por An la unión de todos
los intervalos abiertos I de extremos racionales tales que supx,y∈I |f (x) −
∞
\
f (y)| ≤ 1/n. Demostrar que A(f ) =
An y concluir que A(f ) es un
n=1
conjunto de Borel.
5.- Este ejercicio describe la construcción del conjunto de Vitali.
MEDIDA DE LEBESGUE
89
(a) Consideremos la relación binaria en [0, 1] dada por x ∼ y si y solo si
x − y ∈ Q. Demostrar que es una relación de equivalencia.
(b) Sea V ⊂ [0, 1] un subconjunto que se forma escogiendo exactamente un
representante en cada una de las clases de equivalencia generadas por la
relación anterior. Sea {r1 , r2 , ..., rn , ...} una enumeración del conjunto
numerable [−1, 1] ∩ Q, de modo que ri 6= rj si i 6= j. Probar que si
i 6= j entonces (ri + V ) ∩ (rj + V ) = ∅.
(c) Se define M =
∞
[
(rn + V ). Demostrar que [0, 1] ⊂ M ⊂ [−1, 2].
n=1
(d) Concluir, por vulneración de la aditividad numerable, que V no es
medible Lebesgue.
6.- Sea (X, M, µ) un espacio de medida σ-finito. Demuéstrese que, para cada
A ∈ M, se tiene µ(A) = sup{µ(B) : B ∈ M, B ⊂ A, µ(B) < +∞}.
7.-
(a) Dar un ejemplo de un subconjunto no-medible A ⊂ R tal que m∗ (A) =
+∞.
(b) Dar un ejemplo de un par de subconjuntos A y B de R que cumplan
simultáneamente las siguientes condiciones: A y B son no-medibles
Lebesgue, A ∪ B y A ∩ B son medibles Lebesgue, y A ∩ B 6= ∅.
8.- Sea f : R → R una función lipchiciana, es decir, ∃α ∈ (0, +∞) tal que
|f (x) − f (y)| ≤ α · |x − y| ∀x, y ∈ R. Demostrar que si A ⊂ R tiene medida de Lebesgue nula, entonces f (A) también tiene medida de Lebesgue
nula. Indicación: verificar primero que f es continua, y usar el hecho de que
toda función continua transforma intervalos en intervalos; si ahora I es un
intervalo, estimar la longitud de f (I) en función de la longitud de I.
9.- Demostrar que, si (X, d) es un espacio métrico y x0 ∈ X es un punto fijo,
la expresión α(A) := sup{d(x, x0 ) : x ∈ A} (A ⊂ X) define una medida
exterior sobre X.
90
Luis Bernal González
10.- Sea (X, M, µ) un espacio de medida finita, con la propiedad de que µ(A) > 0
si A 6= ∅. Demostrar que la expresión d(A, B) = µ((A \ B) ∪ (B \ A))
(A, B ∈ M) define una métrica sobre M.
11.- Sea A ⊂ [0, 1] el conjunto de números reales x para cuya expresión decimal
x = 0, a1 a2 a3 a4 . . . se verifica que {a2 , a4 , a6 , . . . } ⊂ {1, 2}. Demostrar que
A es medible-Lebesgue y calcular m(A).
Capı́tulo 7
Integral de Lebesgue
Una vez definida la medida de Lebesgue en R, el objetivo del capı́tulo
será definir la integral de una función de R a R. Lo haremos por etapas, igual
que en el capı́tulo anterior, empezando por las funciones simples y extendiendo la definición por aproximaciones de éstas. Como en la construcción de la
medida vista en el tema anterior, no se podrá definir la integral de cualquier
función imaginable, sino que será necesario definir una clase de funciones
a las que se les pueda asignar una integral. Será la clase de las funciones
medibles. Podemos realizar este proceso de modo más general, considerando
funciones X → R, donde X es el conjunto soporte de un espacio de medida
(X, M, µ) completo. Recordemos que la medida m de Lebesgue es completa. En la mayorı́a de las aplicaciones prácticas, se considerará un conjunto
medible Lebesgue M ⊂ R y el espacio de medida inducido (M, LM , µ|LM ).
7.1.
Funciones simples
Dado un conjunto no vacı́o X y un subconjunto A ⊂ X, la función
caracterı́stica de A se define como la función χA : X → R que vale 1 en A y
0 en X \ A. Propiedades elementales son: χ∅ ≡ 0, χX ≡ 1, χA · χB = χA∩B ,
91
92
Luis Bernal González
χX\A = 1 − χA , {χA = 1} = A y {χA = 0} = X \ A si A, B ⊂ X.
Hemos usado y usaremos notaciones conjuntistas como {f ≤ α}, {f ≥
α}, {f = α}, {f = g}, {α ≤ f ≤ β} y ası́ sucesivamente, donde f, g :
X → R y α, β ∈ R. Su significado respectivo es {x ∈ X : f (x) ≤ α},
{x ∈ X : f (x) ≥ α}, {x ∈ X : f (x) = α}, {x ∈ X : f (x) = g(x)} y
{x ∈ X : α ≤ f (x) ≤ β}.
La idea es definir la integral de la función caracterı́stica de un conjunR
to medible A como X χA dµ = m(A) y extenderla, primero por linealidad
y después por aproximación de combinaciones lineales de funciones caracterı́sticas. Esto lleva al concepto de función simple.
Definición 7.1.1. Sea (X, M) un espacio medible y ϕ : X → R. Se dice que
ϕ es una función simple si toma un número finito de valores. Diremos que
ϕ es una función simple medible si además los toma en conjuntos medibles,
es decir, ϕ es simple medible si ϕ(X) es finito y {ϕ = α} ∈ M para cada
α ∈ ϕ(X).
De la definición se deduce que ϕ es simple (simple medible, resp.) si y
solo si existen a1 , ..., am ∈ R y A1 , ..., Am ⊂ X (A1 , ..., Am ∈ M, resp.) dos
a dos disjuntos tales que
ϕ=
m
X
ai χAi .
i=1
Puede suponerse además que
Sm
Ai = X, ya que puede añadirse un suman
Sm
do más tomando a0 = 0 y A0 = X \
i=1 Ai .
i=1
Una propiedad elemental es que si A ⊂ X y ϕ es simple, con ϕ =
Pm
Pm
a
χ
,
entonces
ϕχ
=
i
A
A
i
i=1
i=1 ai χAi ∩A . Si A es medible y ϕ es medible,
entonces ϕ χA es medible, en cuyo caso ϕ χA es simple medible. También es
fácil ver que las funciones simples, ası́ como las simples medibles, constituyen
P
Pn
un espacio vectorial. En efecto, si ϕ = m
i=1 ai χAi y ψ =
j=1 bj χBj son
INTEGRAL DE LEBESGUE
simples con
Sm
i=1
αϕ =
Ai = X =
m
X
93
Sn
αai χAi
j=1
Bj , y α ∈ R, entonces
y ϕ+ψ =
i=1
7.2.
m X
n
X
(ai + bj )χAi ∩Bj .
i=1 j=1
Funciones medibles
Para definir la integral de una función f , la idea es aproximarla por
Pm
funciones simples medibles del tipo
i=1 ai χ{ai −ε≤f ≤ai +ε} . Por tanto, es necesario que los conjuntos {ai −ε ≤ f ≤ ai +ε} sean medibles. Esto nos lleva al
concepto de función medible. Conviene recordar cuáles son los subconjuntos
abiertos de R, ver Nota 6.2.4.
Definición 7.2.1. Sea (X, M) un espacio medible y f : X → R. Decimos
que f es una función medible cuando f −1 (G) ∈ M para todo subconjunto
abierto G de R. En el caso en que (X, M) = (M, LM ), donde M ∈ L,
diremos que f es una función medible Lebesgue.
Comentamos aquı́ que, en el lenguaje propio de la Teorı́a de la Probabilidad, las funciones medibles se suelen llamar también variables aleatorias.
Proposición 7.2.2. Sea (X, M) un espacio medible y f : X → R. Las
siguientes propiedades son equivalentes:
(a) La función f es medible.
(b) Para todo a ∈ R, {f < a} ∈ M.
(c) Para todo a ∈ R, {f ≤ a} ∈ M.
(d) Para todo a ∈ R, {f > a} ∈ M.
(e) Para todo a ∈ R, {f ≥ a} ∈ M.
Demostración. Como M es una σ-álgebra, un subconjunto A de X está en
M si y solo si lo está Ac . Se deduce que (b) y (e) son equivalentes y que (c)
y (d) son equivalentes. Fijemos a ∈ R. Si elegimos una sucesión (an ) ⊂ R
94
Luis Bernal González
estrictamente decreciente con an → a, se tiene que {f ≤ a} =
T
n {f
< an }.
Si (b) es cierto, de ser M una σ-álgebra se deduce que {f ≤ a} ∈ M,
ası́ que (b) implica (c). Que (d) implica (e) es análogo: basta elegir cualquier
sucesión (bn ) ⊂ R estrictamente creciente con bn → a y tener en cuenta que
T
{f ≥ a} = n {f > bn }. Por tanto las 4 propiedades (b)–(e) son equivalentes.
Supongamos ahora que (a) se cumple. Entonces cada conjunto G = [−∞, a)
es abierto en R, luego {f < a} = f −1 (G) ∈ M. Ası́ que (a) implica (b).
Finalmente, teniendo en cuenta la estructura de los abiertos de R junto con
el hecho de que cada abierto G de R es unión numerable de intervalos abiertos
(an , bn ), de ser M una σ-álgebra se deduce que (b) conjuntamente con (d)
implica (a) [notar que (b) y (d) pueden usarse conjuntamente, ya que son
equivalentes; se deduce en particular que f −1 ((an , bn )) = {f > an } ∩ {f <
bn } ∈ M]. Se ha usado también que la operación de tomar preimágenes
respeta las operaciones de unión e intersección de conjuntos.
Demos algunos ejemplos. La función caracterı́stica χA es medible si y solo
si A ∈ M. Si ϕ es simple, es fácil ver que es medible en el sentido de la definición anterior si y solo si lo es en el sentido de la Definición 7.1.1. Si A1 , ..., Am
P
son medibles y a1 , ..., am ∈ R entonces la función simple m
i=1 ai χAi es medible. Toda función continua f : R → R es medible Lebesgue. De la proposición
anterior también se deduce que si f : X → R es medible y a ∈ R entonces
el conjunto {f = a} es medible. En el siguiente teorema agrupamos ejemplos más generales, que incluyen propiedades operacionales de las funciones
medibles.
Teorema 7.2.3. Supongamos que (X, M) es un espacio medible.
(a) Si f, g : X → R son medibles y α ∈ R, entonces las funciones αf ,
f · g, f + g y f /g son medibles. Para el cociente se supone que f y g
no son simultáneamente nulas en ningún punto.
INTEGRAL DE LEBESGUE
95
(b) Si f : X → R es medible y g : R → R es continua, entonces g ◦ f es
medible.
(c) Si f, g, fn : X → R (n ≥ 1) son medibles, entonces las funciones
máx{f, g}, mı́n{f, g}, f + , f − , |f |, supn fn , ı́nf n fn , lı́m supn fn y
lı́m inf n fn son medibles.
(d) Si f : X → R es medible, A ∈ M y sobre A se considera el espacio
medible inducido (A, MA ), la restricción f |A : A → R es medible.
(e) Si fn : X → R (n ≥ 1) son medibles, el conjunto L := {x ∈ X :
∃ lı́mn fn (x) ∈ R} es medible. Además, si sobre L se considera el espacio medible inducido, la función f : L → R dada por f (x) = lı́mn fn (x)
es medible.
Demostración. (a) Partimos de que f y g son medibles. Sea α ∈ R. Que αf
es medible se prueba fácilmente usando la Proposición 7.2.2 y distinguiendo
los casos α = 0, α > 0, α < 0. Fijado α ∈ R, se tiene que α + f es medible
si lo es f . En efecto, usando de nuevo la Proposición 7.2.2 y fijando a ∈ R,
resulta que {α + f < a} = {f < a − α} ∈ M, y se obtiene lo deseado.
Por otra parte, se tiene que −g = (−1)g es medible y, por lo anterior, α − g
también es medible. Si ahora fijamos a ∈ R, obtenemos que {f + g < a} =
S
{f < a−g} = ∞
n=1 ({f < qn }∩{qn < a−g}), donde (qn ) es una enumeración
de los elementos de Q [se ha usado que Q es denso en R]. La última unión es
medible porque M es una σ-álgebra, de donde f + g es medible. Probemos
ahora que f 2 es medible. Si a ≤ 0 entonces {f 2 < a} = ∅ ∈ M. Si a > 0,
resulta que {f 2 < a} = {f < a1/2 } ∩ {f > −a1/2 } ∈ M. Ası́ que f 2 es
medible. Observemos ahora que f · g = (1/2)((f + g)2 − f 2 − g 2 ). Uniendo
los resultados anteriores, f · g es medible. En cuanto al cociente, si a ≥ 0,
tenemos que {1/f > a} = {f > 0} ∩ {f < 1/a} ∈ M, mientras que si a < 0
96
Luis Bernal González
resulta que {1/f > a} = {f > 0} ∪ {f < 1/a} ∈ M. Por la Proposición
7.2.2, 1/f es medible. Luego f /g = (1/g) · f es medible.
(b) Sea G un abierto de R. Como g es continua, g −1 (G) es abierto en R y,
ya que f es medible, f −1 (g −1 (G)) ∈ M. Pero f −1 (g −1 (G)) = (g ◦ f )−1 (G).
Ası́ que g ◦ f es medible.
(c) Llamemos F := supn fn y G := ı́nf n fn . Si a ∈ R, tenemos que {F ≤
T
a} = n {fn ≤ a} ∈ M porque cada fn es medible y M es una σ-álgebra.
T
Ası́ que F es medible. De la igualdad {G ≥ a} = n {fn ≥ a} se deduce
análogamente que G es medible. Haciendo f1 = f , f2 = g, f3 = f , f4 = g, . . .
resulta como caso particular que máx{f, g} y mı́n{f, g} son medibles. Ya
que −f es medible y se tiene |f | = máx{f, −f }, f + = máx{f, 0} y f − =
máx{−f, 0}, inferimos la medibilidad de estas tres funciones. Recordando
que lı́m supn fn = ı́nf n supk≥n fk y lı́m inf n fn = supn ı́nf k≥n fn , concluimos
que lı́m supn fn y lı́m inf n fn son asimismo medibles.
(d) Si G es un abierto de R entonces (f |A )−1 (G) = A ∩ f −1 (G), que es un
conjunto medible porque A y f −1 (G) lo son.
(e) Bajo las hipótesis del enunciado, si llamamos ϕ = lı́m supn fn y ψ =
lı́m inf n fn , se tiene que L = [ϕ−1 (R) ∩ ψ −1 (R) ∩ {ϕ − ψ = 0}] ∪ [{ϕ =
+∞} ∩ {ψ = +∞}] ∪ [{ϕ = −∞} ∩ {ψ = −∞}]. Este es un conjunto medible
porque ϕ y ψ son medibles y M es una σ-álgebra. Por último, f = ϕ|L . Se
deduce de (d) que f es medible.
El último resultado de esta sección muestra que las funciones medibles
son aquellas que pueden ser aproximadas por funciones simples medibles.
Teorema 7.2.4. [Teorema de aproximación por funciones simples]
(a) Sea (X, M) un espacio medible y f : X → [0, +∞] medible. Entonces
existe una sucesión (ϕn ) de funciones simples medibles tales que 0 ≤
INTEGRAL DE LEBESGUE
97
ϕn (x) ≤ ϕn+1 (x) ≤ f (x) para todo x ∈ X y todo n ∈ N, de modo que
lı́m ϕn (x) = f (x) para todo x ∈ X.
n→∞
(b) Sea (X, M) un espacio medible y f : X → R medible. Entonces existe
una sucesión (ϕn ) de funciones simples medibles tales que |ϕn (x)| ≤
|f (x)| para todo x ∈ X y todo n ∈ N, de modo que lı́m ϕn (x) = f (x)
n→∞
para todo x ∈ X. Si f es acotada, la convergencia puede conseguirse
uniforme.
Demostración. Supuesto probado (a), la parte (b) es inmediata. En efecto:
f = f + − f − con f + , f − : X → [0, +∞] medibles. Entonces existen ϕn , ψn
(n ∈ N) simples y medibles de X en [0, +∞] tales que ϕn (x) ↑ f + (x) y
ψn (x) ↑ f − (x) para todo x ∈ X. Luego {ϕn − ψn }∞
n=1 es una sucesión de
funciones simples y medibles tales que ϕn (x) − ψn (x) → f (x) (n → ∞) para
todo x ∈ X. La desigualdad |ϕn (x)| ≤ |f (x)| y la parte de la convergencia
uniforme se deduce de la prueba de (a), donde se verá esta propiedad de
convergencia uniforme en el caso de f ≥ 0 con f acotada. Basta observar que
si f : X → R es acotada, entonces f = f + − f − con f + y f − acotadas.
Probemos (a). Sea f ≥ 0 y medible. Entonces los conjuntos En,i :=
, i )) (1 ≤ i ≤ n2n , n ∈ N) y Fn := f −1 ([n, +∞]) (n ∈ N) son
f −1 ([ i−1
2n 2n
medibles, al serlo f . Se deduce que, para cada n ∈ N, la función
n
ϕn :=
n2
X
i−1
i=1
2n
χEn,i + nχFn
es no negativa, simple y medible.
Fijemos ahora n ∈ N, y x ∈ X. Tenemos:
Si f (x) ≥ n, entonces ϕn (x) = n ≤ f (x).
Si f (x) < n, entonces existe i ∈ {1, 2, . . . , n2n } tal que
luego ϕn (x) =
i−1
2n
≤ f (x).
i−1
2n
≤ f (x) <
i
,
2n
98
Luis Bernal González
En ambos casos obtenemos que ϕn (x) ≤ f (x). Probemos ahora que
{ϕn (x)}n≥1 es creciente para cada x ∈ X.
Si f (x) ≥ n + 1 entonces ϕn (x) = n ≤ n + 1 = ϕn+1 (x).
Si n ≤ f (x) < n + 1 entonces ϕn (x) = n y ϕn+1 (x) =
i ∈ {1, . . . , (n + 1)2n+1 } es tal que
n <
i
,
2n+1
i−1
2n+1
≤ f (x) <
i−1
,
2n+1
i
.
2n+1
donde
Por tanto
luego n2n+1 < i. Se deduce que n2n+1 ≤ i − 1, ası́ que
ϕn (x) = n ≤
i−1
2n+1
= ϕn+1 (x).
Si f (x) < n, se tiene que f (x) < n + 1, luego existe i ∈ {1, . . . , n2n }
y existe j ∈ {1, . . . , (n + 1)2n+1 } tales que
f (x) <
j
,
2n+1
i−1
2n
≤ f (x) <
i
2n
y
j−1
2n+1
≤
i−1
y ϕn+1 (x) = 2j−1
n+1 . Pero de las
2n
j
obtenemos que i−1
< 2n+1
, luego 2(i − 1) < j,
2n
y por tanto ϕn (x) = i−1
≤ 2j−1
n+1 = ϕn+1 (x).
2n
de donde resulta ϕn (x) =
desigualdades anteriores
ası́ que 2(i − 1) ≤ j − 1,
En todos los casos obtenemos que ϕn (x) ≤ ϕn+1 (x).
Por último, probemos que lı́m ϕn (x) = f (x) para todo x ∈ X.
n→∞
Si f (x) = +∞, entonces ϕn (x) = n para todo n ∈ N, de donde
lı́m ϕn (x) = f (x).
n→∞
Si f (x) < +∞, existe n0 ∈ N tal que f (x) < n0 , luego, para todo n ≥
n0 , se tiene que ϕn (x) =
in −1
2n
≤ f (x) <
in
2n
con in ∈ {1, . . . , n2n }. Esto
implica que |ϕn (x) − f (x)| = f (x) − ϕn (x) <
1
2n
→ 0. En consecuencia,
ϕn (x) → f (x) (n → ∞).
Notemos finalmente que, si f es acotada, el n0 obtenido anteriormente no
depende de x, con lo que tendrı́amos que, para todo n ≥ n0 , sup |ϕn (x) −
x∈X
f (x)| ≤
1
2n
→ 0, de donde obtenemos la convergencia uniforme.
INTEGRAL DE LEBESGUE
7.3.
99
Integral de Lebesgue de funciones no negativas
Nuestro objetivo es definir la integral de Lebesgue de una función medible. De aquı́ en adelante, e incluyendo el Capı́tulo 8, vamos a considerar
un espacio de medida completo (X, M, µ).
Comenzaremos por las funciones medibles y no negativas, y dentro de
estas por las funciones simples. Si A es un conjunto medible, es natural
R
definir A χA dµ = µ(A). Extendemos la definición por linealidad.
Definición 7.3.1. Dada una función simple medible no negativa ϕ : X →
P
[0, +∞), de modo que ϕ = m
i=1 ai χAi , con ai ∈ [0, +∞) y Ai conjuntos
medibles dos a dos disjuntos, se define la integral de Lebesgue de ϕ sobre
X respecto de µ como
Z
ϕ dµ =
X
m
X
ai µ(Ai ).
i=1
Nótese que la integral de ϕ es un número de [0, +∞]. Si para algún i es
R
ai > 0 y µ(Ai ) = +∞, entonces X ϕ dµ = +∞. Se toma la convención de
que 0 · (+∞) = 0, de modo que si para algún i es ai = 0 y µ(Ai ) = +∞,
se entiende que el sumando correspondiente es ai · µ(Ai ) = 0.
La definición dada no depende de la representación usada de ϕ como combinación lineal de funciones caracterı́sticas de conjuntos dos a dos disjuntos,
ver Ejercicio 14. Definimos ahora la integral sobre un conjunto medible.
Definición 7.3.2. Si ϕ es una función simple medible no negativa como en
la definición anterior y A ∈ M, se define la integral de Lebesgue de ϕ sobre
A como
Z
Z
ϕ · χA dµ =
ϕ dµ =
A
X
m
X
i=1
ai µ(Ai ∩ A).
100
Luis Bernal González
Reunimos algunas propiedades en la siguiente proposición. Su prueba es
sencilla a partir de la definición, por lo que se deja como ejercicio. Baste decir
que para demostrar la segunda parte de (a) puede usarse la representación
de ϕ + ψ dada al final de la sección 7.1.
Proposición 7.3.3. Sean α ≥ 0 y ϕ, ψ funciones simples medibles no negativas. Se tiene:
R
R
R
R
R
(a) X (α ϕ) dµ = α X ϕ dµ y X (ϕ + ψ) dµ = X ϕ dµ + X ψ dµ.
R
R
(b) Si ϕ ≤ ψ entonces X ϕ dµ ≤ X ψ dµ.
R
(c) Si A ∈ M con µ(A) = 0 entonces A ϕ dµ = 0.
R
(d) La aplicación νϕ : E ∈ M 7→ E ϕ dµ ∈ [0, +∞] es una medida positiva,
R
P R
es decir, S En ϕ dµ =
n En ϕ dµ para toda sucesión (En ) de
n
conjuntos medibles y disjuntos dos a dos.
Inspirados en el teorema de aproximación de funciones medibles, parece
natural dar la siguiente definición para funciones no negativas.
Definición 7.3.4. Supongamos que (X, M, µ) es un espacio de medida y
que f : X → [0, +∞] es una función medible. Se define la integral de f sobre
X respecto de µ como
Z
Z
ϕ dµ : ϕ simple y medible con 0 ≤ ϕ ≤ f
f dµ = sup
X
.
X
Si A ∈ M, la integral de f sobre A se define como
R
f dµ =
A
R
X
f · χA dµ.
El supremo de la definición anterior se entiende perteneciente a [0, +∞],
de modo que siempre existe: es un número real ≥ 0 si el conjunto está acotado
superiormente, y +∞ si no lo está. Observemos también que la definición de
integral es consistente con la dada en el caso en que f sea simple y medible.
INTEGRAL DE LEBESGUE
7.4.
101
Propiedades de la integral de funciones
no negativas
Reunimos las principales propiedades en la siguiente proposición.
Proposición 7.4.1. Sean f, g : X → [0, +∞] medibles, A, B ∈ M y α ≥ 0.
Se verifican las siguientes propiedades:
R
R
(a) Si f ≤ g en X, entonces X f dµ ≤ X g dµ.
R
R
(b) Si A ⊂ B entonces A f dµ ≤ B f dµ.
R
R
(c) X αf dµ = α X f dµ.
R
R
R
(d) X (f + g) dµ = X f dµ + X g dµ.
(e) Si o bien f ≡ 0 en A o bien µ(A) = 0, entonces
R
R
(f) Si µ(A) = 0 entonces X f dµ = X\A f dµ.
R
A
f dµ = 0.
Demostración. El apartado (a) es evidente a partir de la definición, porque
si ϕ es simple y medible y 0 ≤ ϕ ≤ f entonces 0 ≤ ϕ ≤ g.
El apartado (b) resulta de (a) y del hecho de que f χA ≤ f χB si A ⊂ B.
Si α = 0, la propiedad dada en (c) se cumple trivialmente. Si α > 0, el
R
R
resultado sale de la definición de integral, de que X αϕ dµ = α X ϕ dµ si
ϕ es simple, medible y ≥ 0, y del hecho de que, si C ⊂ [0, +∞], entonces
sup (αC) = α sup C.
Probemos (d). Existen dos sucesiones crecientes (fn ) y (gn ) de funciones
simples, medibles y no negativas tales que fn → f y gn → g puntualmente.
Ası́ que fn + gn → f + g puntualmente. Por el teorema de la convergencia
monótona para funciones medibles no negativas [Teorema 8.1.1(a), que se
demostrará independientemente] y por la aditividad de la integral de este
R
R
tipo de funciones, resulta que X (f + g) dµ = lı́mn→∞ X (fn + gn ) dµ =
R
R
R
R
lı́mn→∞ X fn dµ + lı́mn→∞ X gn dµ = X f dµ + X g dµ, como se requerı́a.
R
R
R
En cuanto a (e), si f = 0 en A entonces A f dµ = X f χA dµ = X 0 dµ =
0, mientras que la segunda parte de (e) se deduce de la definición de integral
102
Luis Bernal González
y de la Proposición 7.3.3 (c). Finalmente, para probar (f), descomponer f =
f χA + f χX\A y usar (d).
7.5.
Conjuntos de medida nula
Las propiedades (e) y (f) de la proposición anterior nos vienen a decir
que los conjuntos de medida nula son “despreciables” para la integración.
Observando esta propiedad, tenemos que si Z ∈ M, con µ(Z) = 0, y f :
X \ Z → [0, +∞] es medible (considerando en X \ Z el espacio de medida
R
R
inducido), podrı́amos definir X f dµ := X F dµ, donde F : X → [0, +∞]
es la función dada por F (x) := f (x) si x ∈ X \ Z y F (x) := 0 si x ∈ Z.
Esto sugiere que es importante estudiar más detenidamente los conjuntos de
medida nula en relación con la integración.
Definición 7.5.1. Sea (X, M, µ) un espacio de medida completo y P (·) una
propiedad definida sobre los elementos de X. Si A ∈ M, se dice que P se
verifica en casi todo A (e.c.t. A, o bien e.c.t. x ∈ A) cuando el conjunto
N := {x ∈ A : P (x) no se verifica} ∈ M y µ(N ) = 0.
Por ejemplo, la expresión f = g en casi todo X significa que el conjunto
{x ∈ X : f (x) 6= g(x)} es medible y que su medida es nula. En tal caso
también se dice que f y g son µ-equivalentes. El siguiente resultado muestra que la medibilidad de una función se mantiene por equivalencia y por
convergencia puntual e.c.t. Además la integral no varı́a por µ-equivalencias.
Proposición 7.5.2.
(a) Si f, g : X → R son tales que f es medible y
f = g e.c.t., entonces g es también medible.
(b) Si fn , f : X → R (n = 1, 2, ...) son tales que cada fn es medible y
lı́m fn (x) = f (x) e.c.t. X, entonces f es medible.
n→∞
INTEGRAL DE LEBESGUE
(c) Si f, g : X → [0, +∞] son medibles e iguales e.c.t. X, entonces
R
g dµ.
X
103
R
X
f dµ =
(d) Si f : R → R es una función continua salvo en los puntos de un
conjunto de medida de Lebesgue nula, entonces f es medible Lebesgue.
Demostración. (a) Llamemos N := {x ∈ X : f (x) 6= g(x)}. Hemos de
probar que, dado a ∈ R, el conjunto A := {x ∈ X : g(x) < a} ∈ M.
Tenemos A = (A ∩ N ) ∪ (A ∩ N c ) ∈ M, ya que A ∩ N ∈ M porque µ es
completa, y como N c ∈ M y A ∩ N c = {x ∈ X : f (x) < a} ∩ N c , se tiene
también que A ∩ N c es medible.
(b) Llamemos N = {x ∈ X : fn (x) 9 f (x)}. Entonces N ∈ M y µ(N ) = 0.
Denotemos g(x) := lı́m supn→∞ fn (x). Sabemos que g es medible. Por otra
parte, el conjunto {x ∈ X : g(x) 6= f (x)} está contenido en N y µ(N ) = 0.
Como µ es completa, el conjunto {g 6= f } es medible de medida nula, y por
tanto g = f e.c.t. De (a) se deduce que f es medible.
(c) Descomponer f = f χN + f χN c , donde N = {x ∈ X : f (x) 6= g(x)}.
(d) Existe N ∈ L con m(N ) = 0 tal que f es continua en cada punto de
N c = R \ N . Entonces g := f |N c : N c → R es continua. Llamemos h :=
f |N : N → R. Fijemos a ∈ R. Como (a, +∞) es un abierto de R, el conjunto
g −1 ((a, +∞)) es un abierto en la topologı́a usual de R restringida a N c . Por
tanto, existe U abierto de R [luego U ∈ L] tal que g −1 ((a, +∞)) = U ∩ N c .
Entonces f −1 ((a, +∞)) = (U ∩ N c ) ∪ h−1 ((a, +∞)). Ya que la medida de
Lebesgue es completa y h−1 ((a, +∞)) ⊂ N , se tiene que h−1 ((a, +∞)) ∈ L.
Puesto que L es una σ-álgebra, f −1 ((a, +∞)) ∈ L, y esto prueba que f es
medible.
Cuando se defina la integral para toda función medible, se verá que el
apartado (c) es también válido. El siguiente resultado auxiliar es interesante
por sı́ mismo y tendrá importantes consecuencias.
104
Luis Bernal González
Lema 7.5.3. [Desigualdad de Chebyshev] Si Za ∈ (0, +∞) y f : X →
1
[0, +∞] es medible, entonces µ({f ≥ a}) ≤
f dµ.
a X
Demostración. Pruébese que a · χ{f ≥a} ≤ f e intégrese.
Corolario 7.5.4. Sean f : X → [0, +∞] una función medible y A ∈ M.
(a) Si
R
(b) Si
R
A
f dµ = 0, entonces f (x) = 0 e.c.t. x ∈ A.
A
f dµ < +∞ entonces f (x) < +∞ e.c.t. x ∈ A.
Demostración. (a) El conjunto N := {x ∈ A : f (x) 6= 0} es medible. Hemos
∞
S
de probar que µ(N ) = 0. Notemos que N = {x ∈ A : f (x) > 0} =
{x ∈
n=1
A : f (x) ≥ n1 }. Por reducción al absurdo, si fuese µ(N ) > 0, existirá algún
m ∈ N tal que µ({x ∈ A : f (x) ≥ m1 }) > 0. Por la desigualdad de Chebyshev,
R
R
se tiene 0 < m · A f dµ. Por tanto A f dµ > 0, lo cual es una contradicción.
(b) Hemos de probar esta vez que el conjunto medible N := {x ∈ A :
∞
T
f (x) = +∞} cumple µ(N ) = 0. Ahora bien, N =
{x ∈ A : f (x) ≥ n}.
n=1
R
Por la desigualdad de Chebyshev, µ({x ∈ A : f (x) ≥ n}) ≤ n1 A f dµ → 0
(n → ∞). Entonces, ya que cada conjunto {x ∈ A : f (x) ≥ n} tiene medida
finita y la intersección anterior es decreciente, se obtiene de la Proposición
6.2.5 (f) que µ(N ) = lı́m µ({x ∈ A : f (x) ≥ n}) = 0.
n→∞
7.6.
Integral de Lebesgue de funciones medibles
Consideramos ahora el caso de una función medible general. Para ello,
consideraremos sus partes positiva y negativa. Recordemos que estamos suponiendo que las funciones están definidas en un espacio de medida completo
(X, M, µ).
INTEGRAL DE LEBESGUE
105
Definición 7.6.1. Sea f : X → R medible. Se dice que f es integrable
R
R
Lebesgue sobre X cuando ambas integrales X f + dµ e X f − dµ son finitas.
En tal caso, se define la integral de f en X como el número real
Z
Z
Z
f dµ −
f dµ :=
X
+
X
f − dµ.
X
Si A ∈ M, se dice que f es integrable Lebesgue sobre A cuando f · χA
es integrable sobre X, en cuyo caso la integral de f en A es por definición
R
R
f
dµ
:=
f · χA dµ.
A
X
Nótese que, ya que f + = f y f − = 0 si f ≥ 0, la definición de integral es consistente con la dada para funciones no negativas. Se denotará por
L1 (µ, X), o bien por L1 (X) si no hay confusión en la medida, el conjunto de
las funciones integrables sobre X respecto de µ. Si A ∈ M, por L1 (A) o
L1 (µ, A) denotaremos el conjunto de las funciones integrables sobre A. En el
R
R
caso de una de las dos integrales X f + dµ o X f − dµ sea finita y la otra no,
se puede definir la integral como −∞ o +∞; en ese caso, f no es integrable,
aunque existe la integral.
Reunimos en la proposición que viene a continuación las propiedades operacionales básicas de la integral de Lebesgue.
Proposición 7.6.2.
(a) Si f integrable en X y A ∈ M entonces f es
integrable en A.
(b) Si f ∈ L1 (X), entonces f es finita e.c.t. X.
(c) Si f es medible con f = 0 e.c.t. A o si µ(A) = 0, entonces f es inteR
grable en A y A f dµ = 0. En consecuencia, si f y g son funciones
medibles µ-equivalentes, entonces si una de ellas es integrable en X, la
R
R
otra lo es y X f dµ = X g dµ.
106
Luis Bernal González
(d) L1 (X) es un espacio vectorial. Especı́ficamente, si f, g ∈ L1 (X) y
α, β ∈ R, entonces αf + βg ∈ L1 (X) y además
R
R
R
(αf
+
βg)
dµ
=
α
f
dµ
+
β
g dµ.
X
X
X
(e) Si A y B son medibles y disjuntos y f : X → R es integrable en A y
R
R
R
en B, entonces f ∈ L1 (A ∪ B) y A∪B f dµ = A f dµ + B dµ.
(f) Si f y g son integrables en X y f ≤ g e.c.t. X, entonces
R
R
f
dµ
≤
g dµ.
X
X
(g) Si f, g ∈ L1 (X) entonces máx{f, g}, mı́n{f, g} ∈ L1 (X).
(h) Si f ∈ L1 (X) y
R
A
f dµ = 0 para todo A ∈ M, entonces f = 0
e.c.t. X.
Demostración. Las propiedades (a), (b) y (c) son ciertas para funciones medibles no negativas. Considerando que f = f + −f − , (a), (b) y (c) se demuestran
sin dificultad para cualquier función medible f .
En (d), observar que αf + βg esta definida e.c.t. X, y por (c) se puede
definir como 0 –por ejemplo– en el conjunto de medida nula donde no está definida. Que f + g y αf son integrables si f y g lo son y α ≥ 0, ası́ como las
correspondientes igualdades integrales, son válidas para f + y f − . Si α <
0, es inmediato ver que αϕ es integrable para toda ϕ ≥ 0 integrable, y
R
R
que X αϕ dµ = α X ϕ dµ. Aplicándolo a ϕ = f + , f − y combinando estos
resultados, se obtiene (d).
El apartado (e) resulta de aplicar (d) a la descomposición f · χA∪B =
f · χA + f · χB .
En cuanto a (f), se tiene por (a) que g − f es real y ≥ 0 e.c.t. X, y de
nuevo por (c) podemos suponer que g − f ≥ 0 en todo X. Ası́ que g − f
R
es una función integrable [por (d)] y no negativa, luego X (g − f ) dµ ≥ 0.
Aplicando (d) [con α = −1 y β = 1], se deduce la desigualdad deseada.
INTEGRAL DE LEBESGUE
107
Para (g), partimos de que f, g ∈ L1 (X). Entonces F := máx{f, g} y
G := mı́n{f, g} son medibles y sus partes positivas y negativas cumplen
F + , F − , G+ , G− ≤ f + + f − + g + + g − . Pero la integral de cada una de las
funciones f + , f − , g + , g − es finita, luego la integral de su suma también lo es.
Por tanto, la integral de cada una de las funciones F + , F − , G+ , G− es finita.
Esto prueba la integrabilidad de F y G.
Finalmente, (h) se deduce del Corolario 7.5.4(a) aplicado a los pares
(f + , A = {f (x) ≥ 0}), (f − , A = {f (x) ≤ 0}).
El siguiente resultado es muy útil en la teorı́a y en la práctica, ya que
reduce la integrabilidad de una función medible al hallazgo de una mayorante positiva integrable. La afirmación es falsa para integrales impropias. Por
ejemplo, la función
pero
sen x
x
sen x
x
es integrable Riemann impropiamente en (0, +∞),
no lo es.
Teorema 7.6.3. Sea f : X → R. Son equivalentes:
(a) f ∈ L1 (X).
(b) f es medible y |f | ∈ L1 (X).
(c) f es medible y existe g ∈ L1 (X) con g(x) ≥ 0 y |f (x)| ≤ g(x)
e.c.t. x ∈ X.
Si se da cualquiera de las propiedades anteriores, se verifica
Z
Z
Z
Z
+
f dµ ≤
|f | dµ =
f dµ +
f − dµ.
X
X
X
X
En particular, cada función medible y acotada f : X → R es integrable en
cada conjunto medible A de medida finita, de modo que
Z
f dµ ≤ µ(A) · sup |f |,
A
A
y las funciones continuas R → R son integrables respecto de la medida de
Lebesgue m en cada subconjunto compacto de R.
108
Luis Bernal González
Demostración. La igualdad y las desigualdades finales resultan de las definiciones, de la proposición anterior, de que |f |χA ≤ supA |f |χA y de los hechos
de que toda función continua R → R es medible Lebesgue, es acotada en
cada compacto, y cada compacto de R tiene medida m finita.
Probemos ahora que (a), (b) y (c) son equivalentes. Si partimos de (a),
tenemos que f es medible y f + y f − son integrables. Como |f | = f + + f − , de
la proposición anterior se deduce que |f | es integrable, y esto nos da (b). Que
(b) implica (c) es trivial sin más que tomar g = |f |. Por último, si partimos
de (c), tenemos por hipótesis que f es medible. Ası́ que f + y f − son medibles
y positivas. Además f + , f − ≤ ge en X, donde ge es la función definida como
ge = g en X \ Z y ge = |f | en Z, siendo Z el conjunto –de medida nula– donde
R
R
g(x) < |f (x)|. Entonces ge es medible, no negativa, y X ge dµ = X g dµ [pues
R
R
ge = g e.c.t.]. Se deduce que X f + dµ y X f − dµ son también finitas, y ya
tenemos (a).
Por razones que aparecerán claras en el próximo capı́tulo, se conservará la
R
notación A f (x) dx para la integral de Lebesgue de una función medible f
Rb
en un conjunto medible A, y a f (x) dx para la integral de Lebesgue de f
en un intervalo de extremos a y b.
Ejercicios
1.- Probar con detalle la Proposición 7.3.3.
2.- Demostrar que si f : R → R es continua y transforma conjuntos de medida
nula en conjuntos de medida nula, entonces f transforma conjuntos medibles
en conjuntos medibles. Indicación: usar el Teorema 6.4.2 [(a) ⇔ (e)].
3.- Sea f : R → R definida por f (x) = 0 si x ∈ Qc y f (x) = 1/q si x = p/q,
donde q > 0 y la fracción p/q es irreducible. Probar que f es medible y hallar
una sucesión de funciones simples que tienda puntualmente a f .
INTEGRAL DE LEBESGUE
109
4.- Pruébese que cada función f : R → R monótona es medible.
5.- Sea (X, M) un espacio medible. Pruébese que una función f : X → R
es medible si y solo si se verifica cualquiera de las propiedades (b)–(e) de
la Proposición 7.2.2 en las que se sustituye “para todo a ∈ R” por “para
todo a ∈ Q”. Indicación: para cada a ∈ R existen sucesiones (bn ) y (cn ) de
números racionales con bn < a < cn para todo n y bn → a ← cn .
6.- Decidir razonadamente si las funciones siguientes son integrables-Lebesgue
o no, en los conjuntos que se indican:
(a)
1−cos x
x(1+x2 )
(b)
x·arctan x
1+x2
en [1, +∞).
(c)
log(1+x2 )
√
x 1−x2
en (0, 1).
en (0, +∞).
2
(d) e−x log x en (0, +∞).
(e)
sen x
x
en (0, +∞).
7.- Sea (An ) una sucesión de subconjuntos de R. Definimos f :=
∞
X
χA
n=1
n
10n
. Pro-
bar que f es medible si y solo si los conjuntos An son medibles.
8.- Sea f : R → R una función medible. El soporte de f se define como {x ∈
R : f (x) 6= 0}.
(a) Probar que f es integrable-Lebesgue si y solo si
∞
X
2n · m({x ∈ R : 2n < |f (x)| ≤ 2n+1 }) < ∞.
n=−∞
(b) Probar que si el soporte de f tiene medida finita, entonces f es inte∞
X
grable Lebesgue si y solo si
2n · m({x ∈ R : |f (x)| > 2n }) < ∞.
n=1
Indicación: Usar el Corolario 8.1.2(a) del Capı́tulo 8. Para (a), considerar
P
P
n
n+1 · χ , donde A = {2n < |f | ≤
las funciones
n
An
n∈Z 2 · χAn y
n∈Z 2
P∞ n+1
n+1
2
}. Para (b), utilizar la función 2 · χ{0<|f |≤2} + n=1 2
· χAn y la
S
descomposición {|f | > 2n } = ∞
k=n Ak .
110
Luis Bernal González
9.- Sea f una función integrable-Lebesgue en R y no negativa. Si A ⊂ R es un
R
conjunto medible-Lebesgue, definimos µf (A) := A f (x) dx.
(a) Demostrar que µf es una medida sobre los conjuntos medibles-Lebesgue
de R.
(b) Si f (x) =
1
y A = {x ∈ R : x3 + 3x ≥ 3x2 + 1}, calcular µf (A).
1 + x2
Indicación: Para el apartado (b), úsese el hecho de que si una función ≥ 0 es
integrable Riemann impropiamente en un intervalo I entonces es integrable
Lebesgue respecto de m y ambas integrales coinciden (ver Capı́tulo 8).
10.- Sea ϕ : [0, +∞) → [0, +∞] con ϕ(0) = 0. Se define la función
ψ : y ∈ [0, +∞) 7→ sup{xy − ϕ(x) : x ≥ 0}.
(a) Probar que ψ es medible viendo que cada conjunto ψ −1 ((a, +∞)) es
abierto.
(b) Probar que se cumple xy ≤ ϕ(x) + ψ(y) para todo x, y ∈ [0, +∞).
(c) Hallar ψ para ϕ(x) = xp /p, con 1 < p < +∞.
11.- Sea f : R → R una función medible y acotada, y llamemos g(x) := sup{f (t) :
t > x} para cada x ∈ R.
(a) Probar que g es medible.
(b) Demostrar que el conjunto A := {x ∈ R : ∃t > x con f (t) > f (x)} es
medible.
12.- Sean (X, M, µ) un espacio de medida completo y f, g : X → (0, +∞)
R
dos funciones medibles. Demuéstrese que
Z
√
4x2
pruébese que
dx
≥
2(
3 − 1).
4
R x +3
X f /g dµ
µ({f ≥g})
≥ 1. Como aplicación,
13.- Supongamos que f : [a, b] → R es una función acotada. Para cada δ > 0,
se consideran las funciones f ∗ , f∗ : [a, b] → R, llamadas función superior y
INTEGRAL DE LEBESGUE
111
función inferior de f , dadas respectivamente por
f ∗ (x) := lı́m sup{f (y) : y ∈ [a, b] ∩ [x − δ, x + δ]} y
δ→0+
f∗ (x) := lı́m ı́nf{f (y) : y ∈ [a, b] ∩ [x − δ, x + δ]}.
δ→0+
(a) Probar que f ∗ y f∗ están bien definidas y que, de hecho, se puede
sustituir “lı́mδ→0+ ” en su definición por “ı́nf δ>0 ” y “supδ>0 ”, respectivamente.
(b) Demostrar que f∗ (x) ≤ f (x) ≤ f ∗ (x) para todo x ∈ [a, b].
(c) Fijados α ∈ R y x0 ∈ {f ∗ < α}, demostrar que existe β > 0 tal que
[a, b] ∩ (x0 − β, x0 + β) ⊂ {f ∗ < α}.
(d) Deducir de (c) que f ∗ es medible Lebesgue.
(e) De manera análoga, considerando conjuntos de la forma {f∗ > α},
demostrar que f∗ es medible.
(f) Fijado x0 ∈ [a, b], probar que f es continua en x0 si y solo si f ∗ (x0 ) =
f∗ (x0 ), en cuyo caso f ∗ (x0 ) = f (x0 ) = f∗ (x0 ).
(g) El conjunto C(f ) de puntos de [a, b] donde f es continua, ası́ como el
conjunto D(f ) de [a, b] donde f es discontinua, son medibles Lebesgue.
(h) Si {Ik,n : k = 1, ..., n} es una partición de [a, b] en n intervalos cerrados
P
y denotamos ϕn (x) := nk=1 sup{f (y) : y ∈ Ik,n } ·
de longitud b−a
n
P
χIk,n (x) y ψn (x) := nk=1 ı́nf{f (y) : y ∈ Ik,n } · χIk,n (x), demostrar
que ϕn (x) → f ∗ (x) y ψn (x) → f∗ (x) e.c.t. x ∈ [a, b]. Indicación: la
unión en n ∈ N de los conjuntos de puntos extremos de los intervalos
Ik,n (k = 1, ..., n) es numerable, y por tanto su medida de Lebesgue es
nula.
14.- Sea (X, M, µ) un espacio de medida. Demostrar que la definición de integral
de una función medible no negativa no depende de su representación como
combinación lineal de funciones caracterı́sticas de conjuntos medibles dos
P
Pn
a dos disjuntos, es decir, si ϕ = m
i=1 ai χAi y también ϕ =
j=1 bj χBj ,
112
Luis Bernal González
donde a1 , ..., am , b1 , ..., bn ∈ R, A1 , ..., Am , B1 , ..., Bn ∈ M, de modo que
los Ai son dos a dos disjuntos y los Bj son dos a dos disjuntos, entonces
Pm
Pn
i=1 ai µ(Ai ) =
j=1 bj µ(Bj ).
Indicación: Adjuntar un término nulo a cada una de las expresiones de ϕ
haciendo a0 := 0, b0 := 0, A0 := X \(A1 ∪· · ·∪Am ), B0 := X \(B1 ∪· · ·∪Bn ).
S
Entonces, para cada i, Ai = m
j=0 (Ai ∩ Bj ), donde la unión es disjunta, y
se tiene una expresión análoga para cada Bj . Tener en cuenta ahora que
ai = bj si Ai ∩ Bj 6= ∅.
15.-
(a) Supongamos que (X, M, µ) es un espacio de medida completo, y que
f, g : X → R son dos funciones medibles, de modo que f 2 y g 2 son
integrables. Probar que f · g es integrable.
Indicación: (a − b)2 ≥ 0 para todo a, b ∈ R.
(b) Como aplicación, demostrar que la función h(x) = (x − x2 )−1/4 es
integrable Lebesgue en (0, 1).
16.- Dar un ejemplo de una función no-medible f : R → R tal que |f | sea
medible.
17.- Sean (X, M, µ) un espacio de medida completo, f : X → [0, +∞) una
función medible, y p, q, r números reales positivos con p < r < q. Demostrar
que, si f p y f q son integrables, entonces f r es también integrable.
Indicación: descomponer X en A := {f ≤ 1} y Ac , y demostrar que f r es
integrable sobre cada uno de estos subconjuntos.
18.-
(a) Sean f : R → R una función medible Lebesgue y a ∈ R. Demostrar
que la función g(x) := f (x + a) es medible Lebesgue.
(b) Si f : R → R es una función derivable, demostrar que la función f 0 es
medible Lebesgue.
Capı́tulo 8
Teoremas de convergencia
En este tema veremos los resultados clásicos sobre convergencia de la
integral de Lebesgue. En ellos se muestra cómo puede deducirse la integrabilidad de una función lı́mite, y cómo puede calcularse su integral intercambiándola con el lı́mite. Estos resultados servirán para comparar la integral
de Lebesgue con la de Riemann, y para ver algunas propiedades del espacio
de funciones integrables, entre ellas, la densidad de ciertos subconjuntos de
funciones.
8.1.
Teoremas de convergencia
Recordemos que en todo el capı́tulo las funciones están definidas sobre
un espacio de medida completo (X, M, µ), salvo que especı́ficamente se diga
lo contrario. Comencemos con el teorema de la convergencia monótona de
Beppo Levi. Lo dividiremos en dos apartados, el primero de los cuales fue ya
usado en el tema anterior para probar la aditividad de integrales de funciones
medibles no negativas.
Teorema 8.1.1. [Teorema de la convergencia monótona]
Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesión de funciones medibles tales que
113
114
Luis Bernal González
fn (x) ≤ fn+1 (x) e.c.t. x ∈ X para cada n ∈ N. Llamemos f := lı́m fn =
n→∞
sup fn , definida e.c.t. X. Se tiene:
n∈N
(a) Si fn ≥ 0 para todo n ∈ N, entonces lı́m
R
n→∞ X
fn dµ =
R
X
f dµ.
(b) Supongamos que fn ∈ L1 (X) para todo n ∈ N. Entonces f ∈ L1 (X)
R
si y solo si sup X fn dµ < +∞, y en ese caso se tiene
n≥1
Z
fn dµ =
lı́m
n→∞
Z
X
f dµ.
X
Demostración. Para cada n ∈ N, llamemos Ln := {x ∈ X : fn (x) >
S
fn+1 (x)}. Entonces Ln ∈ M y µ(Ln ) = 0. Por tanto L := ∞
n=1 Ln ∈ M y
µ(L) = 0. Ahora bien, si x ∈ X \ L, la sucesión (fn (x)) es creciente, luego
existe su lı́mite f (x) = supn fn (x) ∈ [−∞, +∞]. Puesto que la medibilidad,
la integrabilidad y, en su caso, el valor de la integral, no quedan afectados si
se cambia el valor de una función en un conjunto de medida nula, podemos
suponer que fn ≤ fn+1 en todo X para cada n, y por tanto f está definida
en todo X. Notemos que f es medible.
Si (a) se supone demostrado, aplicándolo a fn − f1 y cambiando f por
f −f1 obtendrı́amos la parte “si” de (b) y la validez del intercambio del lı́mite
R
con la integral. Si fuese f ∈ L1 (X) se tendrı́a X f dµ < +∞. Como fn ≤ f
R
R
para todo n, se deduce que supn X fn dµ ≤ X f dµ < +∞, lo cual completa
la prueba de (b).
Probemos (a). Como fn ≤ f y fn ≤ fn+1 para todo n, se tiene que
R
R
f
dµ
≤
f
y
la
sucesión
{
f dµ}n≥1 es creciente, y por tanto exisn
X
X
X n
R
te su lı́mite (en R) y coincide con su supremo. Por tanto lı́mn X fn dµ ≤
R
f dµ.
X
R
Queda probar la desigualdad “≥”. Fijado n ∈ N, existe una sucesión
{ϕn,m }∞
m=1 de funciones simples y medibles tales que 0 ≤ ϕn,m ↑ fn (x) para
todo x ∈ X y todo n ∈ N. Entonces es fácil ver que ψn := máx{ϕ1,n , . . . , ϕn,n }
TEOREMAS DE CONVERGENCIA
115
es una sucesión de funciones simples medibles no negativas tales que ψn (x) ↑
f (x) y ψn (x) ≤ fn (x) para todo x ∈ X y todo n ∈ N.
R
R
Por tanto, X ψn (x) dµ ≤ X fn dµ para todo n ∈ N, luego es suficiente
R
R
demostrar que X f dµ ≤ lı́m X ψn dµ, para lo cual, a su vez, basta fijar una
n→∞
función simple medible ϕ con 0 ≤ ϕ ≤ f y probar que
Z
Z
ϕ dµ ≤ lı́m
ψn dµ.
n→∞
X
[1]
X
Probemos primero la desigualdad [1] en el caso en que ϕ ≡ c = constante
∈ [0, +∞). Si c = 0, es trivial. Si c > 0, fijemos a ∈ (0, c). Ya que ϕ ≤ f =
sup ψn , resulta que para cada x ∈ X, existe n0 ∈ N tal que ψn (x) > a para
n∈N
todo n ≥ n0 . Sea An := {ψn > a}. Entonces la sucesión {An }∞
n=1 es creciente
∞
S
y X =
An . Por tanto µ(An ) ↑ µ(X). Por otra parte, a · χAn ≤ ψn ,
n=1
R
R
luego a · µ(An ) ≤ X ψn dµ, de donde deducimos que aµ(X) ≤ lı́m X ψn dµ,
n→∞
R
R
ası́ que X ϕ dµ = cµ(X) ≤ lı́m X ψn dµ, que es la desigualdad [1] en este
n→∞
caso.
En el caso general, se tiene que ϕ =
dos a dos disjuntos con X =
función ci · χEi y obtenemos:
ϕ dµ =
X
≤
p
X
i=1
p
S
Ei . Aplicamos entonces el resultado a cada
i=1
i=1
ci · χEi dµ =
X
Z
lı́m
n→∞
ψn dµ = lı́m
n→∞
Ei
ci · χEi con ci ∈ [0, +∞) y Ei ∈ M
i=1
p Z
X
Z
p
P
p Z
X
i=1
p Z
X
i=1
Ei
ϕ dµ
Ei
Z
ψn dµ = lı́m
n→∞
ψn dµ,
X
como querı́amos demostrar.
Corolario 8.1.2. Sean f, fn : X → [0, +∞] (n ∈ N) funciones medibles
definidas en un espacio de medida completo (X, M, µ). Se verifica:
(a)
∞
R P
X
n=1
fn dµ =
∞ R
P
n=1
X
fn dµ.
116
Luis Bernal González
(b) Si
∞ R
P
n=1
f dµ < +∞, la función
X n
la serie
∞
P
∞
P
fn es integrable y, en particular,
n=1
fn (x) converge e.c.t. x ∈ X.
n=1
(c) La aplicación ν : E ∈ M 7→ ν(E) =
R
E
f dµ ∈ [0, +∞] es una medida
positiva.
Demostración. El apartado (a) se deduce de aplicar el teorema de la conn
P
vergencia monótona a la sucesión {gn }∞
dada
por
g
:=
fi (n ∈ N). El
n
n=1
i=1
apartado (b) es consecuencia directa de (a) y de la Proposición 7.6.2(b). Para
probar (c), aplı́quese (a) a las funciones fn := f · χAn (n ∈ N), donde los An
son conjuntos medibles disjuntos.
La parte (c) del corolario anterior nos da una manera de generar medidas
a partir de una función medible y de otra medida. Además, ν(E) = 0 si
µ(E) = 0.
El siguiente resultado ni siquiera exige convergencia, y nos da una condición sobre la integrabilidad de los lı́mites de oscilación.
Teorema 8.1.3. [Lema de Fatou] Sea fn : X → [0, +∞] (n ∈ N) una
sucesión de funciones medibles. Entonces
Z
Z
lı́m inf fn dµ ≤ lı́m inf
fn dµ.
X
n→∞
n→∞
X
Demostración. Definimos gk := ı́nf{fk , fk+1 , . . .} para cada k ∈ N. Entonces
cada gk es medible y no negativa, la sucesión {gk }k≥1 es creciente, lı́m gk =
k→∞
lı́m inf fn y gk ≤ fk para todo k ∈ N. Del teorema de la convergencia
n→∞
R
R
R
monótona se deduce que lı́m X gk dµ = X lı́m gk dµ = X lı́m inf fn dµ. Por
n→∞
k→∞
k→∞
R
R
R
otra parte, lı́m X gn dµ = lı́m inf X gn dµ ≤ lı́m inf X fn dµ, pues gn ≤ fn .
n→∞
n→∞
De aquı́ deducimos el resultado.
n→∞
A continuación, establecemos el que quizás sea el resultado más importante de intercambio de las operaciones de lı́mite e integración. Se deduce
TEOREMAS DE CONVERGENCIA
117
del Lema de Fatou, en el que la hipótesis de monotonı́a se sustituye por la
de acotación.
Teorema 8.1.4. [Teorema de Lebesgue de la convergencia dominada]
Supongamos que f, fn : X → R (n = 1, 2, ...) y g : X → [0, +∞] son
funciones tales que cada fn es medible, |fn | ≤ g e.c.t. X para cada n ∈ N, g
es integrable y f (x) = lı́m fn (x) e.c.t. x ∈ X. Entonces f es integrable y
n→∞
Z
Z
f dµ = lı́m
n→∞
X
fn dµ.
X
∞
S
Demostración. Ya que el conjunto Z := {x ∈ X : fn (x) 9 f (x)}∪
{|fn | >
n=1
g} es medible y µ(Z) = 0, podemos suponer una vez más que todos los lı́mites
y desigualdades de las hipótesis son “en todo x ∈ X”.
Tenemos pues que f es medible y |f | ≤ g ∈ L1 (X), ası́ que
R
X
R
X
|f | dµ ≤
g dµ < +∞, de donde inferimos que f ∈ L1 (X). Probemos ahora que
Z
|fn − f | dµ = 0.
lı́m
n→∞
[2]
X
R
R
R
R
De aquı́ se deduce que X f dµ = lı́m X fn dµ pues X fn dµ − X f dµ| =
n→∞
R
R
| X (fn − f ) dµ ≤ X |fn − f | dµ. Esto concluirı́a la demostración.
Luego basta probar [2]. Para ello, notemos en primer lugar que |fn − f | ≤
|fn | + |f | ≤ 2g, luego 2g − |fn − f | ≥ 0. Por el Lema de Fatou,
Z
Z
lı́m (2g − |fn − f |) dµ ≤ lı́m inf (2g − |fn − f |) dµ.
X n→∞
n→∞
X
Si usamos ahora la linealidad de la integral y el hecho de que lı́m inf (−αn ) =
n→∞
− lı́m sup(αn ) (válido para cualquier sucesión {αn }n≥1 de números reales),
n→∞
R
R
resulta que lı́m sup X |fn − f | dµ ≤ 0. Pero lı́m inf X |fn − f | dµ ≥ 0, porque
n→∞
n→∞
R
|fn − f | ≥ 0 para todo n ∈ N, luego X |fn − f | dµ ≥ 0 para todo n ∈ N. De
las dos últimas desigualdades sobre lı́m sup, lı́m inf se deduce [2].
n→∞
n→∞
118
Luis Bernal González
Como consecuencia, obtenemos el siguiente resultado de intercambio de
series con integrales, ası́ como la aditividad respecto al dominio de integración
en su versión más general.
Teorema 8.1.5.
(a) Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesión de funciones
medibles tales que
∞ Z
X
n=1
Entonces
∞
P
|fn | dµ < +∞.
X
fn (x) converge absolutamente en casi todo x ∈ X, la
n=1
función suma es integrable y
Z X
∞ Z
∞
X
fn dµ.
fn dµ =
X n=1
n=1
X
(b) Sean f ∈ L1 (X) y (An ) una sucesión de conjuntos medibles dos a dos
S
disjuntos tales que X = ∞
n=1 An . Entonces
Z
∞ Z
X
f dµ.
f dµ =
X
n=1
An
Demostración. (a) Nótese que de la hipótesis se deduce que cada función |fn |
es integrable, luego cada fn también lo es. Aplicar el Corolario 8.1.2(b) a las
P
funciones |fn |. Se deduce que g := n |fn | es integrable, luego también lo es
P
n fn , ya que es medible y está mayorada por la anterior. Por último, aplicar
el teorema de la convergencia dominada a la sucesión de sumas parciales de
la sucesión {fn }n≥1 .
(b) Usar el apartado (a) con fn := f · χAn (n = 1, 2, ...).
8.2.
Relación entre las integrales de Riemann
y de Lebesgue
Trataremos en esta sección de la importante conexión entre estos dos
tipos de integrales, plasmada en el siguiente criterio de Lebesgue de integrabi-
TEOREMAS DE CONVERGENCIA
119
lidad Riemann. La prueba se basa en el teorema de la convergencia dominada
de Lebesgue. Por supuesto, estamos aquı́ en el caso de la medida de Lebesgue
Rb
m sobre R. El criterio justifica que la notación a f (x) dx también se utilice
para integrales de Lebesgue respecto de la medida m.
Teorema 8.2.1. Sea f : [a, b] → R, y denotemos D(f ) := {x ∈ [a, b] : f es
discontinua en x}. Entonces f ∈ R[a, b] ⇐⇒ f es acotada y m(D(f )) = 0.
En tal caso, f ∈ L1 (m, [a, b]) y
Z b
Z
f (x) dx =
a
f dm.
[a,b]
Demostración. Recordemos que f es acotada en ambas hipótesis de la doble
implicación. Consideremos las funciones superior e inferior f ∗ , f∗ : [a, b] → R
y las funciones simples medibles ϕn , ψn (n ≥ 1) descritas en el Ejercicio 13
del Capı́tulo 7. Ası́ que f ∗ y f∗ son medibles, f∗ ≤ f ≤ f ∗ , y f es continua
en un punto x0 si y solo si f ∗ (x0 ) = f∗ (x0 ). Para las notaciones L(f, P ),
Rb
Rb
U (f, P ), a f y a f que vienen a continuación, remitimos al Capı́tulo 1.
Sea P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} una partición de [a, b]. Denotemos
Ik := [tk−1 , tk ], Jk := Ik0 = (tk−1 , tk ) y Mk := sup{f (y) : y ∈ Ik } (k =
P
1, ..., n). Recordemos que U (f, P ) = nk=1 Mk (tk − tk−1 ). Fijado k, es claro
que f ∗ (x) ≤ Mk para todo x ∈ Jk . Como el conjunto {t0 , t1 , ..., tn } tiene
R
P R
P
medida de Lebesgue nula, se tiene [a,b] f ∗ dm = nk=1 Jk f ∗ dm ≤ nk=1 Mk ·
P
m(Jk ) = nk=1 Mk (tk − tk−1 ) = U (f, P ). Tomando ı́nfimos en P , resulta que
R
Rb
R
Rb
f ∗ dm ≤ a f . Análogamente, [a,b] f∗ ≥ a f .
[a,b]
Recordemos que ϕn → f ∗ y ψn → f∗ en casi todo [a, b]. En el apartado
(h) del Ejercicio 13 del Capı́tulo 7, estas funciones se generaban a partir de f
y de ciertos intervalos Jk,n . Como |ϕn |, |ψn | ≤ M := sup[a,b] |f |, del teorema
de la convergencia dominada se deduce que
Z
Z
n
X
∗
f dm = lı́m
ϕn dm = lı́m
sup f · long (Jk,n ).
[a,b]
n→∞
[a,b]
n→∞
k=1
Jk,n
120
Luis Bernal González
Fijado ε > 0, existe n ∈ N tal que
R
[a,b]
f ∗ dm−
Pn
k=1
supJk,n f ·long (Jk,n ) <
ε. Si tomamos como P la partición correspondiente a {J1,n , ..., Jn,n }, se tiene
R
P
que U (f, P ) = nk=1 supJk,n f · long (Jk,n ), luego [a,b] f ∗ dm + ε > U (f, P ).
De la propiedad fundamental del ı́nfimo y de la definición de integral supeRb
R
rior de Darboux, se deduce que [a,b] f ∗ dm = a f . Análogamente, usando las
ψn junto con la propiedad fundamental del supremo y la definición de inteR
Rb
gral inferior de Darboux, se infiere que [a,b] f∗ dm = a f . En consecuencia,
tenemos
Z
Z
∗
(f − f∗ ) dm =
[a,b]
b
b
Z
f−
a
f.
a
Supongamos que f ∈ R[a, b]. Recordemos que x ∈ D(f ) si y solo si
R
f ∗ (x) − f∗ (x) > 0. Si fuese m(D(f )) > 0, se tendrı́a que 0 < D(f ) (f ∗ −
Rb
Rb
R
f∗ ) dm ≤ [a,b] (f ∗ − f∗ ) dm = a f − a f = 0, lo que es absurdo, ası́ que
m(D(f )) = 0.
Recı́procamente, supongamos que m(D(f )) = 0. Como en los puntos de
R
continuidad se tiene que f ∗ (x) − f∗ (x) = 0, resulta que [a,b] (f ∗ − f∗ ) dm = 0.
Rb
Rb
Rb
Rb
Entonces a f − a f = 0, ası́ que a f = a f , es decir, f es integrable
Riemann.
Finalmente, probemos que las integrales de Lebesgue y de Riemann coinciden. En las condiciones anteriores, f es medible [por ser continua e.c.t.] y
es acotada en un intervalo compacto, luego es integrable Lebesgue. Como
f ∗ = f e.c.t., resulta que
Z
Z
f dm =
[a,b]
[a,b]
∗
Z
f dm =
b
Z
f (x) dx =
a
b
f (x) dx.
a
Notas 8.2.2. 1. El recı́proco de la segunda parte del teorema anterior es
falso. Sirva como ejemplo la función f := χQ , que está en L1 (m, [0, 1]) pero
no en R[0, 1].
R
2. Por otra parte, si f es integrable Lebesgue en R, entonces R f dm =
R
lı́m [−n,n] f dm. En efecto, basta aplicar a {fn := f χ[−n,n] }∞
n=1 el teorema
n→∞
TEOREMAS DE CONVERGENCIA
121
de la convergencia dominada. Si además f ∈ R[a, b] para cada intervalo
R
Rn
[a, b] ⊂ R, se tendrá que R f dm = lı́m −n f (x) dx. Por tanto, en muchos
n→∞
casos, las integrales de Lebesgue se pueden calcular usando primitivas.
3. Supongamos que I ⊂ R es un intervalo y que f : I → R es una función
tal que f ∈ R[a, b] en cada intervalo compacto [a, b] ⊂ I. Se tiene que:
[*] La integral impropia de Riemann de f es absolutamente convergente si y
solo si f es integrable Lebesgue en I, en cuyo caso las integrales de Lebesgue
e impropia de Riemann coinciden.
Ya sabemos que esto es falso si la integral impropia de Riemann en I es
condicionalmente convergente: considerar I = (0, +∞), f (x) =
sen x
.
x
Probemos la afirmación [*]: Si la integral impropia de |f | converge, aplicar a
gn := |f | · χJn (n = 1, 2, ...) el teorema de la convergencia monótona, donde
S
(Jn ) es una sucesión creciente de intervalos compactos tales que ∞
1 Jn = I.
Se deduce que |f | ∈ L1 (m, I). Como f es medible, tenemos f ∈ L1 (m, I).
Si se supone ahora que f ∈ L1 (m, I) y queremos probar la convergencia
de la integral impropia de |f | en I, por el Teorema Fundamental de Lı́mite
basta verificar que, para cada sucesión de intervalos {Jn = [an , bn ]}n≥1 como
Rb
la anterior, la sucesión { ann |f (x)| dx}n≥1 converge; para ello, aplı́quese el
teorema de la convergencia dominada a la sucesión (gn ) anterior. La igualdad
de las integrales impropia y de Lebesgue se deduce aplicando el teorema de
la convergencia dominada a fn := f · χJn , n = 1, 2, ..., y usando el criterio de
Lebesgue (Teorema 8.2.1) en cada [an , bn ].
8.3.
El espacio L1(X)
En esta sección vamos a indagar un poco en las estructuras lineal y
topológica del conjunto L1 (X) de las funciones integrables. Sabemos que es
un espacio vectorial sobre R. Demos antes la siguiente definición general.
122
Luis Bernal González
Definición 8.3.1. Supongamos que E
es un espacio vectorial sobre R.
Una aplicación k · k : x ∈ E 7→ kxk ∈ [0, +∞) se dice que es una seminorma
sobre E cuando es homogénea y subaditiva, es decir, kλxk = |λ|kxk y
kx + yk ≤ kx| + kyk para todo λ ∈ R y todo par x, y ∈ E. Si además se
cumple que kxk = 0 implica x = 0, entonces se dice que k · k es una norma
sobre E. En tal caso, se llama espacio normado al par (E, k · k).
Es fácil ver que todo espacio normado (E, k · k) es también un espacio
métrico, sin más que considerar la aplicación d : (x, y) ∈ X × X 7→ d(x, y) =
kx − yk ∈ [0, +∞). En efecto, tal d es una distancia sobre E, pues cumple la
propiedad de simetrı́a, la propiedad triangular y además d(x, y) = 0 sólo en
el caso en que x = y. Como ejemplo trivial, el espacio E = R es un espacio
normado, donde la norma es el valor absoluto, kxk = |x|. Esta genera la
distancia euclı́dea d(x, y) = |x − y| sobre la recta real.
R
Si ahora consideramos el espacio E = L1 (X), se tiene que X λf dµ =
R
R
R
R
λ X f dµ e X (f + g) dµ = X f dµ + X g dµ para todo λ ∈ R y todo
par f, g ∈ L1 (X). De la desigualdad triangular |f + g| ≤ |f | + |g| y de la
monotonı́a de la integral se deduce que la aplicación
Z
kf k1 :=
|f | dµ
X
es una seminorma sobre L1 (X). Pero no es una norma, porque si
R
X
|f | dµ =
0 entonces f (x) = 0 e.c.t. x ∈ X, pero no necesariamente f ≡ 0. La solución
a este inconveniente es la siguiente. Se denotará por L1 (X) la familia de las
funciones f : X → R integrables en X, donde se identifican dos funciones f, g
cuando son µ-equivalentes; ası́ que, estrictamente hablando, L1 (X) consta
de clases de equivalencia [es fácil probar que la relación “f = g e.c.t. X”
es de equivalencia en L1 (X)]. Por otra parte, λf , f + g tienen sentido para
f, g ∈ L1 (X) y λ ∈ R, pues f y g son finitas e.c.t. X. Como dos funciones
iguales e.c.t. tienen la misma integral, podemos elegir cualquier elemento de
TEOREMAS DE CONVERGENCIA
123
cada clase de equivalencia para definir sin ambigüedad la integral de una
R
clase. Por tanto la aplicación f ∈ L1 (X) 7→ kf k1 = X f dµ ∈ [0, +∞)
está bien definida y es una norma sobre L1 (X) [nótese que ahora kf k1 = 0
implica que f es equivalente a la función 0, luego f = 0 como clase de
equivalencia]. Esta norma se denomina norma-1.
La norma-1 genera en L1 (X) la distancia d(f, g) :=
R
X
|f −g| dµ, convir-
tiendo ası́ L1 (X) en un espacio métrico. Puede probarse que dicho espacio
métrico es completo, es decir, toda sucesión de Cauchy para la distancia d
es convergente. Se dice en tal caso que el espacio normado que genera esa
distancia es un espacio de Banach.
8.4.
Subespacios densos de L1(R)
A veces conviene disponer, en un espacio de funciones, de subconjuntos
densos, es decir, de subconjuntos de funciones con propiedades más ricas que
aproximen bien cualquier función del espacio original. La noción abstracta
de subconjunto denso en un espacio métrico es la siguiente.
Definición 8.4.1. Sea (X, d) un espacio métrico, y A ⊂ X un subconjunto.
Se dice que A es denso en X si, dados x ∈ X y ε > 0, existe a ∈ A tal que
d(x, a) < ε.
Una función escalonada es una función simple ϕ : R → R de la forma
P
ϕ= m
k=1 ak χIk , donde los Ik son intervalos acotados. El conjunto S de las
funciones escalonadas es un espacio vectorial con S(R) ⊂ L1 (R). También
es un subespacio vectorial de L1 (R) el conjunto de las funciones continuas
f : R → R de soporte compacto, es decir, que se anulan fuera de un compacto
K = Kf . Su conjunto se denota por Cc (R). Aquı́ estamos considerando la
medida m de Lebesgue en R.
Teorema 8.4.2. S(R) y Cc (R) son densos en L1 (R).
124
Luis Bernal González
Demostración. Fijemos una función f ∈ L1 (R) y un ε > 0. Aplicando el
teorema de la convergencia dominada a la sucesión (|f | · χ[−n,n] ), podemos
R
encontrar un m ∈ N tal que R\[−m,m] |f | dm < ε/3. Por el teorema de
aproximación por funciones simples, existe una sucesión (ϕk ) de funciones
simples medibles tales que ϕk (x) → g(x) para todo x ∈ R y |ϕk (x)| ≤ |g(x)|
para todo x ∈ R y todo k ∈ N, donde g := f · χ[−m,m] . Notemos que
también ϕk · χ[−m,m] → g(x) para todo x ∈ R cuando k → ∞, ası́ que
Pp
podemos suponer que cada ϕk tiene la forma
i=1 ai χAi , donde Ai ∈ L y
Ai ⊂ [−m, m] (i = 1, ..., p). Además, |g − ϕk | ≤ 2|g| para todo k. Como
|g − ϕk | → 0 puntualmente en todo R, del teorema de la convergencia
R
dominada se deduce que R |g − ϕk | dm → 0 (k → ∞), luego existe J ∈ N
R
tal que R |g − ϕJ | dm < ε/3. Por la desigualdad triangular,
Z
Z
Z
|f − g| dm + |g − ϕJ | dm < 2ε/3,
|f − ϕJ | dm ≤
R
R
R
ya que el primer sumando de la suma anterior es
R
R\[−m,m]
|f | dm. Ahora hay
que aproximar ϕJ en norma-1 por una función de S(R), lo cual se hace
usando el teorema de estructura de los medibles Lebesgue [notar que, fijados
α > 0 y Ai ∈ L, existe un abierto G ⊂ R tal que m(G \ Ai ) < α]. Podemos
obtener ϕ ∈ S(R) con kϕ − ϕJ k1 < ε/3, y por la desigualdad triangular
obtendrı́amos kf − ϕk1 < ε, lo que darı́a la densidad de S(R).
Habida cuenta de lo anterior, para probar la densidad de Cc (R) es suP
ficiente fijar un ε > 0 y una función ϕ = m
k=1 ak χIk ∈ S(R), donde los
Ik son intervalos acotados, y encontrar una función ψ ∈ Cc (R) tal que
R
|ϕ − ψ| dµ < ε. Para ello, se aproxima cada χIk en norma-1 por una
R
función continua adecuada de soporte compacto, y como ψ se elige la combinación lineal correspondiente.
De forma análoga, se tiene que C([a, b]) es denso en L1 ([a, b]).
TEOREMAS DE CONVERGENCIA
125
Ejercicios
1.- Calcular, razonadamente, los siguientes lı́mites de integrales, entendidas estas como respecto de la medida de Lebesgue en los intervalos indicados:
(a) lı́m
R +∞
n→∞ 0
log(1+x) n
dx.
x
0
n→∞
R +∞
2
lı́m 0 e−x +nx dx.
n→∞
(b) lı́m
(c)
R +∞
R +∞
log(x+n) −x
e cos x dx.
n
n→∞ 0
R1
lı́m 0 arctan( nx log x) dx.
n→∞
(f) lı́m
(g)
R +∞
2
e−nx +x dx.
n→∞ −∞
R +∞
x
dx.
lı́m 0
(1+x3n )1/n
n→∞
(d) lı́m
(e)
dx
1+x+xn .
(h) lı́m
R +∞
(i) lı́m
R∞
n→∞ 0
n→∞ 1
arctan(x/n)
√
x x
dx.
x2
e− n dx.
n
1+nx2
√
(j)
n log(1+
lı́m
x
n→∞ 0
R1
(k) lı́m
Re
n→∞ 1
dx.
[1−(log x)n ]x
√
x2 −1
dx.
(sen x)n+1
0
x(x+1) dx.
n→∞
R +∞ 1
x2 +2n
lı́m 0
dx.
2 log
2 +n
1+x
x
n→∞
(l) lı́m
(m)
x
)
n
(n) lı́m
R +∞
R +∞
n→∞ 0
nx
n+x2
e−nx dx.
2.- Probar las siguientes igualdades:
(a)
R1
(b)
R1
0
xα · log2 x dx =
log2 x
0 1+x2
dx =
2
si α > −1.
(α + 1)3
∞
X
2(−1)n
.
(2n + 1)3
n=0
2
e−1/x
3.- Sea f (x) =
x2
y definamos fn (x) = f (xn ) si n ∈ N.
(a) Probar que la serie
P
fn (x) es convergente para x > 1.
126
Luis Bernal González
P
(b) Probar que S := fn es integrable en [a, +∞) para todo a > 1.
R∞
R∞
1/n
(c) Demostrar que 1 fn (x) dx = 1 f (x)x
dx.
nx
R∞
(d) Deducir que lı́mn→∞ n 1 fn (x) dx = e−1
2e .
PR∞
(e) ¿Es convergente la serie
1 fn ? ¿Es integrable la función S en
(1, +∞)?
−1 n
.
1 + x2
∞ Z ∞
X
(a) Dado α ≥ 0, probar que
|fn (x)| dx < +∞ si y solo si α > 0.
4.- Para cada n ∈ N, sea fn (x) =
n=1 α
(b) Probar que para todo α > 0 se tiene que
∞ Z
X
∞
Z
∞
fn (x) dx = −
n=1 α
α
dx
.
2 + x2
(c) ¿Qué ocurre en el caso α = 0?
5.-
(a) Sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado de R y A ⊂ [a, b]. Sea x0 ∈
[a, b]. Demostrar que χA es continua en x0 si y solo si x0 ∈
/ ∂A.
(b) Si C es el conjunto de Cantor, demostrar que χC ∈ R[0, 1].
6.-
(a) Sea m la medida de Lebesgue sobre X = [0, +∞) y sea, para cada
n ∈ N,

 2x/n2 si x ≤ n
fn (x) :=
 0
si x > n.
R
R
¿Es lı́m X fn dm = X lı́m fn dm?
n→∞
n→∞
(b) Idem con X = [0, 1] y

 2n
fn (x) :=
 0
si x ≤ 2−n
si x > 2−n .
7.- Consideremos las tres sucesiones de funciones definidas para x ∈ (0, +∞) y
n+x n
n ∈ N como: fn (x) = n+2x
, gn (x) = fn (x)e−x/2 y hn (x) = fn (x)ex/2 .
(a) Calcular las funciones lı́mite puntual de las sucesiones (gn ) y (hn ).
TEOREMAS DE CONVERGENCIA
Z
127
+∞
(b) Calcular el lı́m
n→∞ 0
gn (x) dx.
(c) Justificar si es cierta la igualdad
Z +∞
Z
lı́m
hn (x) dx =
n→∞ 0
0
+∞
lı́m hn (x) dx.
n→∞
8.- Se considera el conjunto N de los números naturales y la medida cardinal
µ(A) = card (A), A ⊂ N. Se pide:
(a) Determinar qué funciones f : N → R son integrables.

 1 si 1 ≤ x ≤ k
k
(b) Probar que la sucesión fk (x) :=
converge unifor 0 si x > k
memente, pero no converge en L1 (µ, N).

 1 si 1 ≤ x ≤ k
x
(c) Probar que la sucesión fk (x) :=
converge unifor 0 si x > k
memente a una función no integrable.
9.- Sea (X, M, µ) un espacio de medida completo y (ϕn ) ⊂ L1 (X). Sea ϕ ∈
L1 (X) tal que ϕn (x) → ϕ(x) e.c.t. x ∈ X y kϕn k1 → kϕk1 (n → ∞).
Demostrar que kϕn − ϕk1 → 0. Indicación: aplicar el Lema de Fatou a la
sucesión {|ϕn | + |ϕ| − |ϕn − ϕ|}n≥1 .
√
10.- Sea f la función definida como f (x) = 1/ x si x ∈ (0, 1) y f (x) = 0 en el
resto de los puntos de R. Sea (qn ) una enumeración de los números racio∞
X
1
nales. Definimos g(x) :=
f (x − qn ). Demostrar que g es integrable2n
n=1
Lebesgue en R y, por tanto, g(x) es finito para casi todo x ∈ R.
−x2 n
.
1 + x2
P∞
(a) Probar que la serie
n=1 fn (x) es convergente para todo x ∈ R.
P∞ R a
(b) Si a ∈ (0, +∞), probar que
n=1 0 |fn (x)| dx < +∞.
11.- Se define fn (x) =
(c) Si llamamos S(x) a la función suma de la serie de (a), deducir que S
es integrable en [0, a] y demostrar que
∞ Z a
X
√
1
−a
+ √ arctan( 2 a).
fn (x) dx =
2
2 2
0
n=1
128
Luis Bernal González
(d) Estudiar la existencia de cada una de las siguientes expresiones y, en
su caso, su posible igualdad:
Z
0
∞
+∞ X
fn (x) dx
∞ Z
X
y
+∞
fn (x) dx.
n=1 0
n=1
12.- Sean (X, M, µ) un espacio de medida completo y f ∈ L1 (X). Demostrar:
(a) Para cada α > 0, el conjunto {|f | > α} tiene medida finita.
Indicación: utilizar la desigualdad de Chebyshev.
(b) El conjunto {f 6= 0} es σ-finito.
(c) Para cada ε > 0 existe A ∈ M tal que µ(A) < +∞ y
Z
Z
f dµ −
f dµ < ε.
X
A
Indicación: usar el Teorema 8.1.5(b).
13.- Completar los detalles de la prueba del Teorema 8.4.2.
14.- Este ejercicio pretende generalizar, para el caso de la integral de Lebesgue,
algunos resultados bien conocidos en el caso de la integral de Riemann. Los
resultados serán usados de forma más o menos explı́cita en el Capı́tulo 10.
Se supone que a y T son números reales positivos.
(a) Sea f : [−a, a] → R una función integrable Lebesgue en [−a, a]. Probar que, si f es par [es decir, f (x) = f (−x) para todo x] entonces
Ra
R0
Ra
Ra
f
dm
=
f
dm,
y
por
tanto
f
dm
=
2
0
−a
−a
0 f dm. Análogamente, probar que, si f es impar [es decir, f (−x) = −f (x) para todo x]
Ra
R0
Ra
entonces 0 f dm = − −a f dm, y por tanto −a f dm = 0.
(b) Si f : R → R es periódica de perı́odo T [es decir, f (x + T ) = f (x)
R
RT
para todo x ∈ R] y es integrable en [0, T ], entonces I f dm = 0 f dm
para cualquier intervalo I de amplitud T .
Capı́tulo 9
Integrales paramétricas
En este tema vamos a definir funciones a través de integrales que dependen de un parámetro. La integral de Lebesgue y los teoremas de convergencia
expuestos en los temas anteriores nos permitirán estudiar la continuidad y
derivabilidad de estas funciones, ası́ como calcular la expresión de su derivada. En la práctica –consultar la sección de Ejercicios – veremos cómo aplicar
estos resultados para calcular, a través de sus derivadas, funciones definidas
por integrales.
9.1.
Introducción
Sean A ⊂ R un subconjunto medible Lebesgue y B ⊂ R un intervalo.
Supongamos que tenemos una función de dos variables
f : (x, t) ∈ A × B 7→ f (x, t) ∈ R.
Siempre que tenga sentido, podemos definir la siguiente función, que es una
integral paramétrica o integral que depende de un parámetro:
Z
F : t ∈ B 7→
f (x, t) dx ∈ R.
A
129
130
Luis Bernal González
El objetivo fundamental de este tema será estudiar condiciones sobre
la función f (x, t) que determinen si la función F (t) está bien definida, es
continua y, en este caso, estudiar su derivabilidad.
El tema está dividido en dos secciones, donde estudiaremos respectivamente condiciones suficientes para la continuidad y derivabilidad de F . De
hecho, obtendremos criterios para poder intercambiar las operaciones de lı́mite e integración, y las de derivación e integración. Enunciaremos los resultados
suponiendo que las hipótesis se cumplen en todo punto del dominio. Sin embargo, teniendo en cuenta que las integrales de dos funciones que coinciden
en casi todo son iguales, los resultados son también válidos si las hipótesis
referentes al espacio de medida A se cumplen en casi todo.
9.2.
Continuidad de integrales paramétricas
En esta sección estudiaremos la continuidad de la función F , definida
anteriormente a través de una integral paramétrica.
Teorema 9.2.1. [Teorema de continuidad de integrales paramétricas]
Supongamos que se cumple lo siguiente:
(a) Para cada x ∈ A, la función t ∈ B 7→ f (x, t) ∈ R es continua.
(b) Para cada t ∈ B, la función x ∈ A 7→ f (x, t) ∈ R es medible Lebesgue.
(c) Existe una función g : A → [0, +∞) integrable Lebesgue tal que
|f (x, t)| ≤ g(x)
para todo x ∈ A y todo t ∈ B.
Entonces la función F : t ∈ B 7→
continua en B.
R
A
f (x, t) dx ∈ R está bien definida y es
INTEGRALES PARAMÉTRICAS
131
Demostración. Fijemos t0 ∈ B. Según (b) y (c), la función x ∈ A 7→
f (x, t0 ) ∈ R es medible y está mayorada por una función integrable, luego
la primera función es también integrable. Esto prueba que F está bien definida. En cuanto a la continuidad, se ha de probar que lı́mt→t0 F (t) = F (t0 ).
Por el teorema fundamental del lı́mite, basta fijar una sucesión (tn ) ⊂ B
con tn → t0 y probar que F (tn ) → F (t0 ). Sea pues (tn ) una tal sucesión, y
denotemos fn (x) := f (x, tn ) y ϕ(x) := f (x, t0 ). Entonces (fn ) es una sucesión de funciones integrables Lebesgue en A tales que |fn (x)| ≤ g(x) para
todo (x, n) ∈ A × N [por (c)] y fn (x) −→ ϕ(x) para todo x ∈ A [por (a)].
n→∞
R
Por el teorema de la convergencia dominada, existe lı́mn→∞ A fn (x) dx =
R
ϕ(x) dx. Pero esto es lo mismo que F (tn ) → F (t0 ), como se requerı́a. A
9.3.
Derivabilidad de integrales paramétricas
En esta sección estudiaremos cuándo la función F es derivable y calcularemos el valor de su derivada.
Teorema 9.3.1. [Teorema de derivabilidad de integrales paramétricas]
Supongamos que se cumple lo siguiente:
(a) Para cada x ∈ A, la función t ∈ B 7→ f (x, t) ∈ R es derivable, es
decir, existe
∂f
(x, t)
∂t
∈ R para todo (x, t) ∈ A × B.
(b) Para cada t ∈ B, la función x ∈ A 7→ f (x, t) ∈ R es medible Lebesgue.
(c) Para algún t0 ∈ B, la función x ∈ A 7→ f (x, t0 ) es integrable Lebesgue.
(d) Existe una función g : A → [0, +∞) integrable Lebesgue tal que
∂f
(x, t) ≤ g(x) para todo x ∈ A y todo t ∈ B.
∂t
132
Luis Bernal González
Entonces la función F : t ∈ B 7→
R
A
f (x, t) dx ∈ R está definida y es
derivable en B. Además
0
Z
F (t) =
A
∂f
(x, t) dx
∂t
para todo t ∈ B.
Demostración. Veamos primero que F está bien definida. Fijemos t1 ∈ B.
Por (b), la función x ∈ A 7→ f (x, t1 ) ∈ R es medible. Por (a) y el teorema
del valor medio, para cada x ∈ A existe un punto t2 = t2 (x) en el intervalo
que une t0 con t1 tal que f (x, t1 ) − f (x, t0 ) =
∂f
(x, t2 )(t1
∂t
− t0 ). Gracias a (d)
y a la desigualdad triangular, obtenemos
|f (x, t1 )| ≤ |t1 − t0 |g(x) + |f (x, t0 )| para todo x ∈ A.
Por (c) y ya que g es integrable, resulta que x 7→ f (x, t1 ) es integrable
Lebesgue en A, luego F está bien definida.
Por otra parte, si elegimos cualquier sucesión (un ) ⊂ B \{t1 } con un → t1 ,
se tiene que
∂f
(x, t1 )
∂t
= lı́mn→∞
f (x,un )−f (x,t1 )
,
un −t1
que es el lı́mite puntual de una
sucesión de funciones medibles, luego la función x 7→
∂f
(x, t)
∂t
es medible para
cada t ∈ B. Al estar mayorada por una función integrable [por (d)] resulta
R
que cada integral A ∂f
(x, t) dx existe y es finita.
∂t
Queda probar que F 0 (t1 ) existe y que su valor coincide con la integral
anterior en t = t1 . Usamos de nuevo el teorema fundamental del lı́mite y
fijamos una sucesión (un ) como la del párrafo anterior. Basta demostrar que
R
(t1 )
Jn := F (uunn)−F
− A ∂f
(x, t1 ) dx −→ 0. Para cada n ∈ N, se tiene que
−t1
∂t
n→∞
R
f (x,un )−f (x,t1 )
Jn = A ϕn (x) dx, donde ϕn (x) :=
− ∂f
(x, t1 ). Observemos que,
un −t1
∂t
por definición de derivada, ϕn (x) → 0 cuando n → ∞ para cada x ∈ A.
Además, usando como antes el teorema del valor medio junto con la hipótesis
(d), resulta que |ϕn (x)| ≤ 2g(x) para todo n ∈ N y todo x ∈ A. Una vez más,
R
del teorema de la convergencia dominada se infiere que Jn → A 0 dx = 0,
como se deseaba.
INTEGRALES PARAMÉTRICAS
133
Nota 9.3.2. En orden práctico, lo más difı́cil en la aplicación de los teoremas
de este capı́tulo suele ser hallar la función integrable g que mayora a una
familia de funciones parametrizada en t. A veces no se puede encontrar una
g válida simultáneamente para todos los t. Pero, habida cuenta de que la
continuidad y la derivabilidad son propiedades locales, es suficiente fijar un
t0 y encontrar un entorno U ⊂ B de t0 tal que alguna función g valga para
todos los puntos de U .
Concluimos el capı́tulo comentando que los dos teoremas anteriores se
extienden sin apenas dificultad cuando A se sustituye por un espacio de
medida que no es necesariamente la de Lebesgue. Asimismo, en el teorema
de continuidad, el intervalo paramétrico B se puede sustituir por un espacio
métrico más general; y en el teorema de derivabilidad, B puede reemplazarse
por un abierto de RN y la derivada por alguna derivada parcial.
Ejercicios
Z
∞
log(e + tx)
dx.
t→0+ 0
1 + (1 + t)(x2 + tx5 )
Z ∞
sen (x + y 2 )
√
2.- Probar que la función F (x) =
dy está bien defi(x + y 2 )(1 + x + y)
0
nida y es continua en [0, +∞).
1.- Hallar el lı́m
3.-
(a) Estudiar para qué valores deZt ∈ R está bien definida, es continua y es
∞ t
x log x
derivable la función F (t) =
dx.
x2 − 1
0
Z ∞
dx
(b) Lo mismo para la función G(t) =
.
(1 + x + x2 )t
0
¿Es G acotada en su dominio de definición?
4.- Definamos f (x) =
Rx
0
2
R1
2
e−t dt y g(x) = 0
2
2
e−x (t +1)
t2 +1
dt.
(a) Verificar que f y g están bien definidas y son derivables en R.
(b) Demostrar que g 0 (x) + f 0 (x) = 0 para todo x ∈ R.
134
Luis Bernal González
(c) Deducir que g(x) + f (x) = π/4 para todo x ∈ R.
R∞
√
2
(d) Utilizar (c) para probar que 0 e−t dt = π/2.
5.-
2
(a) Demostrar que, para cada t ∈ R, la función x 7→ e−x cos(2xt) es
integrable-Lebesgue en R.
R∞
2
(b) Definimos F (t) = 0 e−x cos(2xt) dx para todo t ∈ R. Demostrar
que F satisface la ecuación diferencial F 0 (t) + 2tF (t) = 0 en R.
√
2
(c) Deducir que F (t) = (1/2) πe−t . Indicación: usar el apartado (d) del
ejercicio anterior.
6.- Sea la función F : (0, +∞) → R definida por
Z +∞
arctan(tx) − arctan x
F (t) =
dx
x
0
(a) Probar que F está bien definida.
(b) Probar que F cumple las hipótesis del Teorema de derivación paramétrica en (t0 , +∞) para todo t0 > 0.
(c) Deducir que F es derivable en (0, +∞) y calcular su derivada.
(d) Deducir que F (t) =
π
log t para todo t ∈ (0, +∞).
2
7.- Supongamos que ϕ : [0, 1] → R es una función derivable tal que ϕ0 ∈ R[0, 1].
R1
Demostrar que la función F : t ∈ [0, 1] 7→ 0 ϕ(tx) dx ∈ R está bien definida,
es derivable en [0, 1] y satisface tF 0 (t) + F (t) = ϕ(t) para todo t ∈ [0, 1].
8.- Demostrar que la función gamma de Euler–Gauss, definida como Γ(t) :=
R +∞ t−1 −x
x e dx (t ∈ (0, +∞)) [ver Ejercicio 8 del Capı́tulo 2] es derivable
0
en (0, +∞).
Capı́tulo 10
Series de Fourier
En este capı́tulo veremos otro caso particular de series funcionales, a
saber, las series de Fourier, cuyos términos son funciones trigonométricas.
El estudio de diversos problemas fı́sicos –como por ejemplo la descripción
del movimiento de una cuerda fijada por sus extremos o la transmisión del
calor– llevó a importantes matemáticos (entre los que se encontraban Daniel
Bernoulli y Joseph Fourier) a plantearse la posibilidad de representar “toda
función periódica” f (x) como una serie de senos y cosenos de la forma
∞
a0 X
f (x) =
[an cos(nx) + bn sen(nx)].
+
2
n=1
[1]
El esfuerzo para establecer la extensión y el sentido preciso de la igualdad
anterior ocupó gran parte de las matemáticas del siglo XIX, continuando en
el siglo XX y todavı́a en la actualidad.
10.1.
Serie de Fourier y coeficientes de Fourier
Comenzamos el tema motivando la definición de los coeficientes de
Fourier. Sea f : R → R una función real. Se dice que f es periódica de perı́odo
135
136
Luis Bernal González
T > 0, o que es T -periódica, cuando f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ R.
Estas funciones quedan perfectamente definidas en cualquier intervalo [a, b] de
amplitud b − a = T . Es claro que coinciden los valores extremos: f (a) = f (b).
De este modo, también podemos partir de cualquier función f : [a, b] → R
con f (a) = f (b) y extenderla de modo periódico a todo R. Si consideramos el
b−a
(x
2π
+ π) + a ∈ [a, b] y componemos
f con esta aplicación, obtenemos la función g(x) = f b−a
(x + π) + a , que
2π
cambio afı́n de variable x ∈ [−π, π] 7→
es periódica de perı́odo 2π. Ası́ que podemos suponer que todas las funciones
consideradas tienen perı́odo 2π. Después, la función original se recupera con
2π
el cambio inverso, es decir, f (x) = g b−a
(x − a) + π .
Ası́ pues, partimos de una función f : [−π, π] → R con f (−π) = f (π). Si
queremos que exista un desarrollo como el de [1], hallemos formalmente cuáles
deben ser los coeficientes an y bn . Suponiendo que f es integrable Lebesgue,
Rπ
R π P∞
se tiene que −π f (x) dx = a0 π + −π
n=1 (an cos(nx) + bn sen (nx)) dx. Si
se dieran las condiciones para intercambiar las operaciones de suma e integración, tendrı́amos que la integral de la suma serı́a igual a
Rπ
Rπ
P∞
P∞
n=1 0 = 0, luego a0 =
n=1 [an −π cos(nx) dx + bn −π sen (nx) dx] =
R
1 π
f (x) dx. Para el cálculo de los restantes coeficientes, vamos a emplear
π −π
las conocidas fórmulas
sen α cos β = (1/2)[sen(α + β) + sen(α − β)],
cos α cos β = (1/2)[cos(α + β) + cos(α − β)],
sen α sen β = (1/2)[cos(α − β) − cos(α + β)].
Fijados m, n ∈ N, se deduce que

 0 si m 6= n
cos(mx) cos(nx) dx =
sen(mx) sen(nx) dx =
 π si m = n
−π
−π
Z
e
π
Rπ
−π
Z
π
sen(mx) cos(nx) dx = 0 para todo par m, n ∈ N. Ahora multiplicamos
[1] sucesivamente por cos(mx), sin(mx) e integramos en cada caso, supo-
SERIES DE FOURIER
137
Rπ P
P Rπ
=
niendo asimismo la validez del intercambio
n . Obtenemos
n −π
−π
R
R
π
π
am = π1 −π f (x) cos(mx) dx y bm = π1 −π f (x) sen(mx) dx. Estos cálculos
conducen a la siguiente definición. Nótese que para darla no es necesario en
principio que f (π) = f (−π), ya que en los cálculos han intervenido integrales
y la integral de una función en un intervalo no varı́a si se modifica su valor
en los extremos.
Definición 10.1.1. Sea f : [−π, π] → R integrable. Se define la serie trigonométrica de Fourier asociada a f como la serie de funciones
∞
a0 X
+
[an cos(nx) + bn sen (nx)],
2
n=1
donde
Z
1 π
f (x) dx, an =
f (x) cos(nx) dx
π −π
−π
Z
1 π
f (x) sen(nx) dx (n ∈ N).
y bn =
π −π
1
a0 =
π
Z
π
A los coeficientes an (n = 0, 1, ...) y bn (n = 1, 2, ...) se les llama los coeficientes de Fourier de la función f .
Notas 10.1.2. (a) Obsérvese que los coeficientes a0 , an y bn (n ≥ 1) están
bien definidos ya que las funciones que intervienen son integrables en [−π, π].
Por otra parte, en caso de que la función f sea par (es decir, f (x) = f (−x)
para todo x ∈ [−π, π]), es fácil comprobar que bn = 0 para todo n, mientras
que si f es impar (es decir, f (x) = −f (−x)) para todo x ∈ [−π, π]) entonces
a0 = 0 = an para todo n ∈ N. Obtenemos pues una serie de cosenos
P
a0
+ ∞
n=1 an cos(nx) en el caso de una función par, y una serie de senos
2
P∞
n=1 bn sen(nx) en el caso de una función impar.
(b) Volviendo al caso general de una función integrable f : [a, b] → R, con el
cambio de variable mencionado al principio resultarı́a que la serie de Fourier
138
Luis Bernal González
asociada a f es
∞
2πn
2πn
a0 X +
an cos
(x − a) + bn sen
(x − a) ,
2
b−a
b−a
n=1
Z
Z
2πn
1 b
1 b
donde a0 =
(x − a) dx y
f (x) dx, an =
f (x) cos
π a
b−a
Z b π a
1
2πn
bn =
(x − a) dx.
f (x) sen
π a
b−a
(c) Notemos que si [a, b] = [0, 2π] entonces la serie de Fourier es la misma
que la que se obtendrı́a si la función estuviese definida en [−π, π], excepto
R 2π
que las integrales que aparecen serı́an 0 . De todas formas, si la función en
R 2π
[0, 2π] se prolongase a R de manera periódica, los valores 0 coincidirı́an
Rπ
con los correspondientes valores −π .
10.2.
Desigualdades e igualdades con coeficientes de Fourier
Comenzaremos con un sencillo resultado que afirma que los coeficientes de Fourier de una función integrable Lebesgue están controlados por su
norma-1. En efecto, si f : [−π, π] → R es integrable Lebesgue, del hecho
de que cos(nx) y sen(nx) están acotadas por 1 en valor absoluto y de que
R
R
Rπ
| ϕ| ≤ |ϕ|, se deduce que |a0 |, |an |, |bn | ≤ π1 −π |f (x)| dx para todo n ∈ N.
De hecho, se tiene no solo que (an ) y (bn ) están acotadas, sino que tienden
a cero. Para verlo, incluimos un resultado técnico que también usaremos en
la sección siguiente.
Teorema 10.2.1.
(a) [Lema de Riemann–Lebesgue] Sea I ⊂ R un inter-
valo y supongamos que ϕ ∈ L1 (I). Entonces, para todo β ∈ R,
Z
lı́m
ϕ(t) sen(αt + β) dt = 0.
α→+∞
I
SERIES DE FOURIER
139
(b) Los coeficientes de Fourier an y bn de una función f : [−π, π] → R
integrable Lebesgue cumplen an → 0 y bn → 0.
Demostración. El apartado (b) se deduce de (a) haciendo I = [−π, π], ϕ =
f, α = n y tomando sucesivamente β = 0, β = π/2.
Para probar (a), fijemos ε > 0. Por el Teorema 8.4.2 existe una función
R
P
escalonada ψ = pj=1 aj χIj con R |F (t) − ψ(t)| dt < ε/2, donde los aj ∈ R,
los Ij son intervalos acotados y F es la función R → R definida como ϕ en I y
0 fuera de I. Nótese que F es integrable en R. Ahora bien, F (t) sen(αt+β) =
(F (t) − ψ(t)) sen(αt + β) + ψ(t) sen(αt + β). Integrando en I y teniendo en
R
R
cuenta que | sen u| ≤ 1 y la desigualdad | h| ≤ |h|, resulta que
Z
Z
ϕ(t) sen(αt + β) dt ≤
I
|F (t) − ψ(t)| dt +
R
p
X
Z
|aj |
j=1
sen(αt + β) dt .
Ij ∩I
R
Si J es un intervalo acotado de extremos c y d, se tiene que J sen(αt+β) dt =
Pp
1
[cos(αc + β) − cos(αd + β)] −→ 0. Luego
j=1 → 0 cuando α → +∞ y,
α
α→+∞
Pp
en consecuencia, podemos encontrar un α0 tal que
j=1 < ε/2 para todo
R
α > α0 . Por tanto | I ϕ(t) sen(αt + β) dt| < ε para los mismos valores de α,
y la demostración ha terminado.
Denotaremos por (Sn f ) la sucesión de sumas parciales de la serie de FouP
rier de f , es decir, Sn f (x) = a20 + nk=1 [ak cos(kx) + bk sen(kx)] para cada
n ∈ N. Vamos a ver que, si suponemos algo más sobre la función f , sus
coeficientes de Fourier van a tender rápidamente a 0.
Teorema 10.2.2. Sea f : [−π, π] → R integrable Lebesgue. Se verifica:
Z
∞
a20 X 2
1 π
2
(a) [Desigualdad de Bessel]
+
(an + bn ) ≤
f (x)2 dx.
2
π
n=1
P∞ 2
P∞ −π2
(b) Si f 2 es integrable, las series
a
y
n=1 n
n=1 bn son convergentes.
Demostración. El apartado (b) es consecuencia trivial de (a). En cuanto a
este, recordemos que el sistema trigonométrico {1, sen(nx), cos(nx) : n ≥ 1}
140
Luis Bernal González
es ortogonal, es decir, la integral en [−π, π] del producto de cada par de
funciones distintas en él es 0. Ahora calculamos (f (x) − Sn f (x))2 = f (x)2 −
2f (x)Sn f (x) + (Sn f (x))2 , sustituimos Sn f (x) por la expresión que la define,
e integramos teniendo en cuenta la definición de los coeficientes de Fourier.
Se obtiene [los detalles se dejan como ejercicio] que
Z π
Z π
n
a20 X
2
2
+
f (x) dx −
(a2k + b2k ) .
(f (x) − Sn f (x)) dx =
2
−π
−π
k=1
Como el primer miembro es ≥ 0, se deduce que
R
1 π
f (x)2 dx. Basta hacer ahora n → ∞.
π −π
a20
2
+
Pn
2
k=1 (ak
[2]
+ b2k ) ≤
Teorema 10.2.3. Sea f : [−π, π] → R integrable Lebesgue. Entonces tiene
Z
∞
1 π
a20 X 2
2
(an + bn ) =
lugar la “identidad de Parseval”
+
f (x)2 dx
2
π
−π
n=1
si y solo si (Sn f ) tiende cuadráticamente a f , es decir, si y solo si
Rπ
lı́mn→∞ −π (f (x) − Sn f (x))2 dx = 0. En particular, se da la identidad de
Parseval si (Sn f ) converge uniformemente a f en [−π, π].
Demostración. El resultado se deduce de [2]. Para el caso particular, aplicar,
por ejemplo, el teorema de la convergencia dominada.
10.3.
Convergencia puntual de la serie de Fourier
En esta sección nos planteamos qué relación tiene la serie de Fourier obtenida con la función f de partida. Asimismo, vamos a estudiar las siguientes
cuestiones:
1. La serie de Fourier asociada a una función f , ¿converge puntualmente
para algún valor de x en el dominio de la función?
2. Si la serie de Fourier converge para algún valor de x, ¿lo hace a f (x)?
SERIES DE FOURIER
141
3. ¿Hay convergencia uniforme?
Nótese que la serie trigonométrica de Fourier de una función f en [−π, π] es
una función periódica de periodo 2π. De esta forma, vamos a suponer que
f : [−π, π] → R es una función integrable y extendemos f a todo R de
forma 2π-periódica con periodo 2π.
Nuestro objetivo en esta sección es hallar respuestas a las dos primeras
cuestiones, es decir, estudiar si existe lı́mn→∞ Sn f (x) y hallar su valor. Necesitamos la siguiente función auxiliar. Si n ∈N, se llama núcleo de Dirichlet
t
sen 2n+1
2
. Es evidente que cada Dn es
de orden n a la función Dn (t) :=
t
2 sen 2
par y 2π-periódica.
El teorema de representación integral de las sumas parciales de una serie
de Fourier que se presenta a continuación será de suma importancia para
encontrar condiciones de regularidad en la función f que garanticen la convergencia puntual de la serie de Fourier.
Teorema 10.3.1. Para las sumas parciales Sn f de la serie de Fourier de
una función f : [−π, π] → R integrable Lebesgue, se verifica
1
Sn f (x) =
π
Z
π
1
f (x + t)Dn (t) dt =
π
−π
Z
π
(f (x + t) + f (x − t))Dn (t) dt.
0
Demostración. Si tenemos en cuenta las fórmulas para productos de senos
y cosenos de la primera sección, resulta que para cualquier u ∈ R se tiene
sen u = 21 ·2 sen u2 , sen 3u
−sen u2 = cos u·2 sen u2 ,..., sen( 2n+1
u)−sen( 2n−1
u) =
2
2
2
cos(nu) · 2 sen u2 . Sumando miembro a miembro estas igualdades obtenemos
sen 2n+1
u
1
2
+ cos u + · · · + cos(nu) =
= Dn (u).
2
2 sen u2
142
Luis Bernal González
Sea x ∈ [−π, π]. Entonces
Sn f (x) =
=
=
=
n
a0 X
+
[ak cos(kx) + bk sen(kx)]
2
k=1
Z
n
1 X
1 π
f (u) +
(cos(kx) cos(ku) + sen(kx) sen(ku)) du
π −π
2 k=1
Z π
n
1 X
1
f (u) +
cos(k(u − x)) du
π −π
2 k=1
Z π
Z
1 π
1
f (u)Dn (u − x) du =
f (x + t)Dn (t) dt.
π −π
π −π
En el último paso se ha efectuado el cambio de variable t = u − x y se
ha tenido en cuenta que la integral de una función T -periódica es la misma
en intervalos que tengan longitud T . Esto prueba la primera igualdad del
enunciado. La segunda resulta de descomponer la última integral en suma
de dos integrales, una en [0, π] y otra en [−π, 0]. En la integral sobre este
intervalo, practicar el cambio de variable t 7→ −t y tener en cuenta que Dn
es una función par.
Notemos que, como consecuencia, obtenemos que
1
π
Rπ
−π
Dn (t) dt = 1 para
todo n ∈ N. También se obtiene el siguiente corolario, conocido como teorema
de localización de Riemann.
Corolario 10.3.2. Sea f : [−π, π] → R integrable Lebesgue y x0 ∈ [−π, π].
Si f es nula en un entorno de x0 entonces lı́mn→∞ Sn f (x0 ) = 0.
Demostración. Por hipótesis, existe δ ∈ (0, π) tal que f (x0 +t) = 0 para todo
t ∈ (−δ, δ). Entonces |2 sen(t/2)| ≥ γ := 2 sen(δ/2) > 0 para todo t ∈ A :=
[−π, −δ] ∪ [δ, π]. De la primera igualdad del Teorema 10.3.1 deducimos que
Z
Z
1 π
1
2n + 1 Sn f (x0 ) =
f (x0 + t)Dn (t) dt =
ϕ(t) sen
t dt,
π −π
π A
2
donde ϕ(t) :=
f (x0 +t)
,
2 sen(t/2)
la cual es integrable en A por ser medible y estar
mayorada en A por la función (1/γ)f (x0 + t). Por el Lema de Riemann–
SERIES DE FOURIER
Lebesgue,
R
A
143
ϕ(t) sen((2n+1)t/2) dt → 0 cuando n → ∞. De aquı́ deducimos
lo que queremos.
Por tanto, si dos funciones f y g coinciden en un entorno de x0 y la serie
de Fourier de una de ellas converge en x0 , entonces la serie de Fourier de la
otra converge a la misma suma: aplicar a f − g el corolario anterior. Este
comportamiento contrasta con el de las series de Taylor, donde el comportamiento de una serie en un entorno de un punto determina su valor en todo
su intervalo de convergencia.
A continuación, enunciamos por fin un criterio suficiente de convergencia
de la serie de Fourier, es decir, de existencia y finitud del lı́mite lı́mn→∞ Sn f (x).
−
Recordemos que f (x+
0 ) y f (x0 ) denotan, respectivamente, el lı́mite lateral
a la derecha de f en x0 , lı́mx→x+0 f (x), y el lı́mite lateral a la izquierda de f
en x0 , lı́mx→x−0 f (x), si existen. Asimismo, f+0 (x0 ) y f−0 (x0 ) denotan, respectivamente, la derivada lateral a la derecha de f en x0 , lı́mx→x+0
f (x)−f (x+
0 )
,
x−x0
la derivada lateral a la izquierda de f en x0 , lı́mx→x−0
si existen.
f (x)−f (x−
0 )
,
x−x0
y
Teorema 10.3.3. [Condición de Jordan–Dini] Sea f : [−π, π] → R integrable
Lebesgue con f (π) = f (−π), y supongamos que f está extendida periódicamente a todo R con perı́odo 2π. Sea x0 ∈ R. Se verifica:
−
0
0
(a) Si los lı́mites y derivadas laterales f (x+
0 ), f (x0 ), f+ (x0 ), f− (x0 ) existen
y son finitos, entonces
lı́m Sn f (x0 ) =
n→∞
−
f (x+
0 ) + f (x0 )
.
2
Si además f es continua en x0 , se tiene lı́mn→∞ Sn f (x0 ) = f (x0 ).
(b) Si f es derivable en x0 entonces lı́mn→∞ Sn f (x0 ) = f (x0 ).
Demostración. Es evidente que (b) es un caso particular de (a). Ya en las
−
hipótesis de (a), si f es continua en x0 entonces f (x+
0 ) = f (x0 ) = f (x0 ), luego
144
Luis Bernal González
basta probar el primer lı́mite del enunciado. Para ello, usamos la segunda
Rπ
igualdad integral del Teorema 10.3.1 y el hecho de que π1 0 Dn (t) dt = 1/2
Rπ
[porque π1 −π Dn (t) dt = 1 y Dn es par]. Tenemos ası́ que
−
f (x+
1
0 ) + f (x0 )
Sn f (x0 ) −
=
2
π
Z
π
(f (x0 + t) − f (x+
0 ))Dn (t) dt
0
Z
1 π
+
(f (x0 − t) − f (x−
0 ))Dn (t) dt.
π 0
2 sen(t/2)
=
t
f (x0 −t)−f (x−
0 )
,
2 sen(t/2)
Como las derivadas laterales de f existen y son finitas y lı́mt→0
1, resulta que la funciones ϕ1 (t) :=
f (x0 +t)−f (x+
0 )
2 sen(t/2)
y ϕ2 (t) :=
que son medibles, están mayoradas por alguna función positiva integrable en
[−π, π] (para comprobarlo, dividir el intervalo anterior en (−δ, δ) y [−π, π] \
(−δ, δ), con un δ > 0 adecuado que viene de que el lı́mite proporcionado por
las derivadas laterales existe y es finito: se dejan los detalles como ejercicio).
La primera integral en la expresión anterior es
Z π
Z π
2n + 1
+
(f (x0 + t) − f (x0 ))Dn (t) dt =
ϕ1 (t) sen
t dt,
2
0
0
la cual → 0 cuando n → ∞ gracias al Lema de Riemann–Lebesgue. Análogamente, utilizando ϕ2 , la segunda integral que interviene en la expresión de
Sn f (x0 )−
−
f (x+
0 )+f (x0 )
2
también tiende a 0, ası́ que Sn f (x0 ) →
−
f (x+
0 )+f (x0 )
.
2
En realidad, son conocidas una condición debida a Jordan y otra a Dini,
cada una de las cuales implica el teorema anterior. No obstante, dicho teorema
es suficiente para nuestros objetivos.
10.4.
Convergencia uniforme de la serie de
Fourier
Existen varios resultados que aseguran la convergencia uniforme de la
serie de Fourier. Presentamos ahora uno que puede aplicarse en muchos casos.
SERIES DE FOURIER
145
Nótese que la convergencia uniforme obliga a que la función f sea continua,
ya que cada suma parcial de Fourier SN f es una función continua.
Teorema 10.4.1. Sea f : [−π, π] → R una función continua con f (−π) =
f (π), extendida a R periódicamente con periodo 2π. Supongamos que existe
un conjunto finito F ⊂ [−π, π] tal que f es derivable, y con derivada continua
y acotada, en [−π, π] \ F . Entonces lı́mN →∞ SN f = f uniformemente en R.
Demostración. Por el Teorema 10.3.3, lı́mn→∞ Sn f (x) = f (x) para todo x ∈
[−π, π] \ F . Si lográsemos probar la convergencia uniforme de (Sn f ) a alguna
función g, esta debe ser continua, pues cada término de (Sn f ) es continuo. Ya
que convergencia uniforme implica convergencia puntual, y el lı́mite puntual
es único si existe, tendrı́amos que g(x) = f (x) para todo x ∈ [−π, π]\F . Este
es un subconjunto denso de [−π, π], luego f = g en [−π, π] por continuidad.
Ası́ que lı́mN →∞ SN f = f uniformemente en [−π, π], y por tanto en R
debido a la periodicidad. En consecuencia, resta ver la convergencia uniforme
de la serie de Fourier en [−π, π], sin necesidad de comprobar cuál es la función
suma.
Para demostrar esto, obsérvese en primer lugar que tanto f como f 0
son integrables Riemann, si extendemos arbitrariamente f 0 al conjunto finito F . Llamemos An (n ≥ 0) y Bn (n ≥ 1) a los coeficientes de Fourier de f 0 , que están definidos por ser f 0 integrable Lebesgue. Ası́ que
Rπ
Rπ
An = π1 −π f 0 (x) cos(nx) dx y Bn = π1 −π f 0 (x) sen(nx) dx. Usando la fórmula de integración por partes [en rigor, si F ∩ (−π, π) = {a1 < a2 < · · · < aN },
la fórmula se aplicarı́a a cada subintervalo [ai , ai+1 ] (i = 0, ..., N ), donde
a0 = −π y aN +1 = π, y después se sumarı́an las igualdades desde i = 0
hasta i = N ; a su vez, para obtener la fórmula en cada [ai , ai+1 ], se aplicarı́a
primero la misma en cada intervalo [ai + (1/n), ai+1 − (1/n)], con n suficientemente grande, y después se harı́a tender n → ∞ usando el teorema de la
146
Luis Bernal González
convergencia dominada de Lebesgue] es fácil ver que
an = −Bn /n y bn = An /n.
Utilizando que 0 ≤ (|t| − |u|)2 = t2 + u2 − 2|t||u| para todo par t, u ∈ R,
resulta que, para todo x ∈ [−π, π],
|an cos(nx) + bn sen(nx)| ≤ |an | + |bn | =
|An | |Bn |
+
n
n
1 1
1
1
1
1 2
An + 2 + Bn2 + 2 = 2 + (A2n + Bn2 ).
2
n
2
n
n
2
El último miembro es el término general de una serie numérica convergente
P
de términos positivos, ya que n 1/n2 converge [pues el exponente 2 es > 1]
P
2
2
y también lo hace
n (An + Bn ) [por la desigualdad de Bessel aplicada a
≤
f 0 : nótese que (f 0 )2 ∈ L1 ([−π, π])]. Finalmente, el criterio M de Weierstrass
(Teorema 4.3.3) garantiza la convergencia uniforme de la serie de Fourier. En términos de los coeficientes de Fourier, puede asegurarse la convergencia uniforme cuando sea aplicable el criterio M de Weierstrass, como se ha
hecho en la parte final de la prueba del teorema anterior.
Teorema 10.4.2. Sea f : [−π, π] → R una función continua con f (−π) =
f (π), extendida a R periódicamente con periodo 2π. Si su serie de Fourier
converge puntualmente a f en R y las series de los coeficientes de Fourier
∞
∞
X
X
an y
bn son absolutamente convergentes, entonces lı́mN →∞ SN f = f
n=1
n=1
uniformemente en R.
Demostración. La hipótesis de convergencia puntual implica, de manera parecida al principio de la prueba del teorema anterior, que si la serie de Fourier
converge uniformemente a alguna función, esta debe ser f . En consecuencia,
basta mostrar la convergencia uniforme. Pero esto se desprende del criterio
M de Weierstrass, ya que |an cos(nx) + bn sen(nx)| ≤ |an | + |bn | para todo
x ∈ R y todo n ∈ N.
SERIES DE FOURIER
147
Por tanto, aplicando el Teorema 10.2.3, se tiene que bajo cualquiera de
las hipótesis de los Teoremas 10.4.1 o 10.4.2, se verifica la igualdad de ParseZ
∞
1 π
a20 X 2
2
+
(an + bn ) =
f (x)2 dx. Puede probarse que esta igualdad
val:
2
π −π
n=1
es válida con la sola condición de que f sea continua y periódica, e incluso
es suficiente que f sea medible con f 2 integrable en [−π, π].
Dos fuertes resultados, cuya prueba no incluimos aquı́ pero que tienen
importantes consecuencias, son los siguientes.
El teorema de Féjer asegura que si f : R → R es continua y 2πperiódica, entonces la sucesión de medias aritméticas (σn f ) de sus sumas
parciales de Fourier convergen uniformemente a f en R. Aquı́ σn f :=
1
(S0 f
n+1
+ S1 f + · · · + Sn f ) [con S0 f := a0 /2]. La demostración se basa
en expresar σn f como una integral de núcleo adecuado. De este teorema
se deduce que, si una función f : R → R continua y 2π-periódica tiene
una serie de Fourier convergente uniformemente en R, entonces la suma de
la serie es precisamente f . Por tanto, en el Teorema 10.4.2 la hipótesis de
convergencia puntual a f es superflua. También se puede deducir el teorema
de aproximación de Weierstrass: para cada función continua f : [a, b] → R
existe una sucesión polinomios (Pn ) tal que Pn → f uniformemente en [a, b].
El teorema de Carleson nos dice que, para cualquier función medible f
con f 2 ∈ L1 ([−π, π]), la sucesión de sumas parciales (Sn f (x)) converge a
f (x) e.c.t. x ∈ [−π, π]. Esto se aplica, en particular, a cualquier función
continua en [−π, π].
Ejercicios
1.-
(a) Probar que las series de Fourier de las funciones siguientes definidas en
[0, 2π) son las que se indican:
148
Luis Bernal González
∞
1 X 1
+
sen t
2
πn
n=1
∞
−π 2 X cos (nt)
2
f2 (t) = t − 2πt; S(f2 ) =
+
6
n2
n=1
∞
−4 X sen(2n − 1)t
.
f3 (t) = χ[π,2π) − χ[0,π] ; S(f3 ) =
π
2n − 1
f1 (t) = t;
S(f1 ) =
n=1
(b) Estudiar la coincidencia entre las funciones y sus series de Fourier.
∞
∞
X
X
(−1)n
1
y
.
(c) Deducir la suma de las siguientes series numéricas:
n2
n2
n=1
n=1
2.- Determinar la serie de Fourier de la función t ∈ [0, 2π] 7→ t sen t ∈ R y
estudiar su coincidencia con la función.
3.-
(a) Hallar la serie trigonométrica de Fourier de cada una de las funciones
f (x) = x y g(x) = |x| en el intervalo [−π, π].
(b) Deducir que para todo x ∈ (0, π) se da la igualdad
∞
∞
n=1
n=1
X (−1)n+1
π X 2
n
−
(1
−
(−1)
)
cos(nx)
=
2
sen (nx).
2
πn2
n
4.- Sea f (x) = máx{sen x, 0}. Obtener la serie de Fourier asociada a f , estudiar
∞
X
(−1)n
su convergencia y calcular
.
4n2 − 1
n=1
5.- Dada una función f ∈ L1 ([0, π]), se llama serie de senos [serie de cosenos,
resp.] de f a la serie de Fourier de la extensión impar [de la extensión par,
resp.] de f a [−π, π]. Desarrolla en serie de senos y de cosenos las siguientes
funciones definidas en el intervalo [0, π]:
(a) f (x) = ex .
(b) f (x) = x2 + x.
6.- Consideremos la función f (x) = x − [x] − 1/2.
(a) Pruébese que esta función admite un desarrollo de Fourier en todo R.
(b) Obtener su desarrollo de Fourier y estudiar su convergencia.
SERIES DE FOURIER
149
(c) Deducir la suma de la serie
∞
X
(−1)n
.
2n + 1
n=1
7.- Justifica que, para todo x ∈ [−π, π], se verifica
∞
X (−1)n n sen (nx)
1
x cos x = − sen x + 2
.
2
n2 − 1
n=2
8.- Para cada una de las siguientes funciones definidas en [−π, π], determina si
la serie de Fourier converge puntualmente y cuál es su lı́mite puntual si es
que éste existe:
(a) f (x) = xn , donde n ∈ N.
(b) f (x) = 0 si x < 0, f (x) = kx si x ≥ 0.
(c) f (x) = tan x.
2
(f) f (x) = e−x .
9.- Consideremos el sistema trigonométrico {sen(nt), cos(mt) : n, m ≥ 1} y
el sistema exponencial {eint : n ∈ Z}. Un sistema A de funciones definidas sobre un mismo intervalo I ⊂ R se dice que es ortogonal cuando
R
I f (x)g(x) dx = 0 para todo par f, g ∈ A con f 6= g. Recordemos que z
denota el conjugado x − iy del número complejo z = x + iy, de modo que
z = z si y solo si z ∈ R. Denotemos por a0 , an , bn (n ≥ 1) los coeficientes de
Fourier de f respecto del sistema trigonométrico.
(a) Probar que cada uno de los sistemas trigonométrico y exponencial es
ortogonal en [0, 2π].
(b) Sea f : [0, 2π] → C una función integrable Lebesgue, lo cual significa
que Re f e Im f son integrables Lebesgue. Consideremos los coeficientes
de Fourier de f respecto del sistema exponencial, es decir, el sistema
de números complejos fb(n) (n ∈ Z) definidos como
1
fb(n) =
2π
Z
0
2π
f (t)e−int dt.
150
Luis Bernal González
Demostrar las relaciones:
a0 = 2fb(0), an = fb(n) + fb(−n), bn = i(fb(n) + fb(−n)),
an − ibn b
an + ibn
fb(n) =
, f (−n) =
para todo n ≥ 1.
2
2
10.- Hallar la función continua en [0, 2π] de la que proviene la serie de Fourier
∞
∞
X
X
sen (nt)
1
. Aplicar el resultado a calcular
.
3
n
n4
n=1
n=1
11.-
1 − a cos t + ia sen t
∀a ∈ (−1, 1).
1 − 2a cos t + a2
a sen t
(b) Hallar la serie de Fourier en [−π, π] de f (t) =
.
1 − 2a cos t + a2
(a) Probar que
P∞
n=0 a
n eint
=
(c) Probar que el desarrollo de Fourier del apartado anterior converge uniformemente en R.
(d) Hallar la serie de Fourier en [−π, π] de h(t) = log(1 − 2a cos t + a2 ).
Rπ
(e) Calcular −π log(1 − 2a cos t + a2 ) dt.
Bibliografı́a
Existe una abundante bibliografı́a sobre series e integración. Los libros que a
continuación se enumeran constituyen solo una pequeña parte. Cada uno de ellos
ha podido ser usado en la elaboración de alguna o algunas secciones de estas notas,
pero hay que tener en cuenta que el enfoque de los temas a tratar puede variar
de libro a libro. Por supuesto, todos contienen mucho más material adicional, que
puede ayudar al lector interesado tanto a profundizar en la teorı́a dada aquı́ como a
introducirse en temas nuevos. Además, la mayorı́a de los textos sugeridos contienen
listados de ejercicios y problemas sobre las materias tratadas, y en algunos casos
se dan sugerencias para resolverlos. Debe observarse que algunos de los libros que
se citan abajo están completamente dedicados a resolver o proponer ejercicios.
• T.M. Apostol, Análisis Matemático, 2a ed., Reverté, Barcelona, 1991.
• T.M. Apostol, Calculus, 2a ed., Reverté, Barcelona, 1998.
• S.K. Berberian, Introducción al espacio de Hilbert, Teide, Barcelona, 1977.
• H.S. Bear, A Primer of Lebesgue Integration, 2nd ed., Academic Press, New
York, 2002.
• J. Casasayas y M.C. Cascante, Problemas de análisis matemático, Edunsa,
Barcelona, 1990.
• G. Chilov, Analyse Mathématique, Mir, Moscou, 1975.
• D.L. Cohn, Measure Theory, Birkäuser, Boston, 1997.
151
152
Luis Bernal González
• B.P. Demidovich, 5000 problemas de análisis matemático, 3a ed., Paraninfo,
Madrid, 1985.
• M. Guzmán y B. Rubio, Problemas, conceptos y métodos del análisis matemático, Pirámide, Madrid, 1993.
• M. Guzmán y B. Rubio, Integración: Teorı́a y Técnicas, Alhambra, Madrid,
1979.
• T. Hawkins, Lebesgue theory of integration: its origins and development,
Chelsea, USA, 1975.
• F. Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett, Sudbury MA, 2001.
• A.N.K. Kolmogorov y S.V. Fomin, Elementos de la teorı́a de funciones y del
análisis funcional, Mir, Moscú, 1975.
• H.L. Royden, Real analysis, 3a ed., MacMillan, New York, 1988.
• B. Rubio, Funciones de variable real, B. Rubio, Madrid, 2006.
• W. Rudin, Análisis real y complejo, Alhambra, Madrid, 1987.
• W. Rudin, Principios de análisis matemático, 3a ed., MacGraw-Hill, Madrid,
1980.
• M. Spivak, Calculus, 2a ed., Reverté, Barcelona, 1996.
• A.J. White, Introducción al análisis real, Promoción cultural, Barcelona,
1973.
• H.J. Wilcox and D.L. Myers, An Introduction to Lebesgue Integration and
Fourier Series, Dover Publication Inc., New York, 1994.
Lista de sı́mbolos y
abreviaturas
STP = serie de términos positivos
SP = serie de potencias
VPC = valor principal de Cauchy
A := B ≡ el objeto A se define como el objeto ya conocido B
P∞
n=1 an ≡ serie numérica de término general an
P∞
n=1 fn (x) ≡ serie de funciones de término general fn
U (f, P ) = suma superior de Riemann de f respecto de la partición P
L(f, P ) = suma inferior de Riemann de f respecto de la partición P
[x] = parte entera del número real x.
d(x, y) = distancia entre x e y en un espacio métrico
k · k = norma en un espacio vectorial
k · k1 = norma en el espacio L1 (X)
N = conjunto de los números naturales
N0 = N ∪ {0}
Z = conjunto de los números enteros
Q = conjunto de los números racionales
R = conjunto de los números reales
C = conjunto de los números complejos
Re z = parte real del número complejo z
153
154
Luis Bernal González
Im z = parte imaginaria del número complejo z
A0 = interior del conjunto A
A = clausura, cierre o adherencia del conjunto A
∂A = frontera del conjunto A
m = medida de Lebesgue
L = σ-álgebra de los subconjuntos medibles Lebesgue de R
P (X) = conjunto de los subconjuntos del conjunto X
x + A = {x + u : u ∈ A}
λA = {λx : x ∈ A}
C(S) = espacio de las funciones continuas S → R
C N (I) = espacio de las funciones diferenciables con continuidad
hasta orden N en el intervalo I
C ∞ (I) = espacio de las funciones infinitamente diferenciables en
el intervalo I
ω
C (x0 ) = espacio de las funciones analı́ticas en el punto x0
C ω (I) = espacio de las funciones analı́ticas en el intervalo I
Cc (R) = espacio de las funciones continuas en R de soporte compacto
L1 (X) o L1 (µ, X) = espacio de las funciones integrables en X
respecto de la medida µ
L1 (X) = espacio de las clases de equivalencia de funciones
integrables en X
R[a, b] = espacio de las funciones integrables Riemann en [a, b]
RS g [a, b] = espacio de las funciones Riemann–Stieltjes en [a, b]
respecto de g
S(R) = espacio de las funciones escalonadas
Índice alfabético
Fσ -conjunto, 82
Convergencia
Gδ -conjunto, 82
puntual o simple, 38
σ-álgebra, 73
uniforme, 38
de Borel, 86
Coseno hiperbólico, 70
generada por una familia de subconjuntos, 86
Criterio
de convergencia de Dirichlet, 14
Antiderivación, 17
de Abel de convergencia uniforme de series, 56
Asociatividad de una serie, 10
de Cauchy de convergencia de series, 11
de comparación, 13
campo o dominio de convergencia de una sucesión
de comparación para integrales impropias, 32
funcional, 38
de comparación por paso al lı́mite, 13
Coeficientes
de comparación por paso al lı́mite para inte-
de Fourier, 137
grales impropias, 32
de MacLaurin, 66
de condensación de Cauchy, 13
de Taylor, 66
de convergencia de Abel, 14
Coeficientes de la SP, 58
de convergencia de la raı́z o de Cauchy, 13
Complementario de un conjunto, 73
de convergencia de Leibniz, 14
Condición
de convergencia de Pringsheim, 21
de Cauchy de convergencia de integrales im-
de convergencia de Raabe–Duhamel, 13
propias, 30
de Dirichlet de convergencia uniforme de se-
de Cauchy de convergencia uniforme de series
ries, 55
de funciones, 51
de Lebesgue de integrabilidad Riemann, 119
de Cauchy de convergencia uniforme de suce-
del cociente o de D’Alembert, 13
siones de funciones, 39
integral de convergencia de series, 33
de Jordan–Dini, 143
logarı́tmico, 21
necesaria de convergencia de series, 11
M de Weierstrass, 52
necesaria de convergencia uniforme de series,
mayorante de Weierstrass para la convergencia
52
uniforme, 52
Conjunto
mayorante para integrales impropias, 32
boreliano o de Borel, 86
de Cantor, 87
Criterios de convergencia de STPs, 13
de Vitali, 72, 88
medible, 72, 73
Desigualdad de Chebyshev, 104
medible Carathéodory, 79
Diferencia entre dos conjuntos, 73
medible Lebesgue, 81
Distancia, 122
155
156
Luis Bernal González
impropia absolutamente convergente, 31
Espacio
de Banach, 123
impropia de primera especie, 26
de medida, 73
impropia de Riemann–Stieltjes, 36
inducido, 74
impropia de segunda especie, 28
de sucesos, 73
indefinida, 18
métrico, 122
inferior de Darboux, 15
medible, 73
mixta, 29
normado, 121
paramétrica, 129
superior de Darboux, 15
Fórmula
Intervalo de convergencia, 58
de Cauchy–Hadamard, 58
de integración por partes, 19
de Lagrange del resto, 67
de sumación de Abel, 56, 64
del cambio de variables, 19
Función
Lı́mite
puntual o simple, 38
uniforme, 38
Lema
de Borel–Cantelli, 88
analı́tica, 65
beta, 36
caracterı́stica de un subconjunto, 91
de Fatou, 116
de Riemann–Lebesgue, 138
Linealidad para series, 10
continua de soporte compacto, 123
de variación acotada, 19
Método de los coeficientes indeterminados, 68
entera, 68
Medida, 72, 73
escalonada, 123
σ-finita, 74
gamma de Euler–Gauss, 36
cardinal, 74
impar, 128, 137
completa, 74
integrable Lebesgue, 105
de Lebesgue, 81
integrable Riemann, 15
de probabilidad, 73
medible, 93
exterior, 76
medible Lebesgue, 93
exterior de Lebesgue, 78
par, 128, 137
exteriormente regular, 85
periódica, 128, 135
finita, 73
Riemann-Stieltjes integrable, 20
interiormente regular, 85
simple, 92
positiva, 73
simple medible, 92
superior de una función, 110, 111
Núcleo de Dirichlet, 141
zeta de Riemann, 55
Número combinatorio generalizado, 67
Norma, 121
Identidad de Parseval, 140
Norma-1, 123
Integral
de Lebesgue de una función medible, 105
Partes positiva y negativa de una función, 17
de Lebesgue de una función simple no negati-
Partición de un intervalo, 15
va, 99
Perı́odo de una función, 135
de Riemann, 15
Permutación de N, 12
de Riemann-Stieltjes, 20
Poligonal, 48
Índice alfabético
Primer teorema fundamental del Cálculo, 18
157
Suma
Primitiva de un función, 17
de una serie, 10
Problema de la medida, 72
inferior de Riemann, 15
Procedimiento de Carathéodory, 79
superior de Riemann, 15
Propiedad
conmutativa de las STPs, 12
Teorema
distributiva para series, 10
de Abel, 64
reproductiva de la función gamma, 36
de aproximación de Weierstrass, 147
de aproximación por funciones simples, 96
Radio de convergencia, 58
de B. Levi de la convergencia monótona, 113
Recta real ampliada, 74
de caracterización de conjuntos medibles Le-
Regla de Barrow, 18
besgue, 84
de Carathéodory, 79
Segundo teorema fundamental del Cálculo, 18
de Carleson, 147
Seminorma, 121
de continuidad de integrales paramétricas, 130
Seno hiperbólico, 70
de convergencia uniforme de Dini, 48
Serie, 9
de derivabilidad de integrales paramétricas, 131
absolutamente convergente, 11
de Féjer, 147
alternada, 14
de Lebesgue de la convergencia dominada, 117
anarmónica, 14
de localización de Riemann, 142
condicionalmente convergente, 12
de Pringsheim, 66
convergente, 10
de representación integral de las sumas parcia-
de cosenos, 148
les de una serie de Fourier, 141
de Dirichlet, 55
de Riemann–Dirichlet, 13
de funciones, 49
del valor medio integral, 17
de MacLaurin, 66
generalizado del valor medio integral, 23
de potencias, 58
de senos, 148
Valor medio integral, 17
de términos positivos, 11
Valor principal de Cauchy, 27
de Taylor, 66
Variable aleatoria, 93
divergente, 10
incondicionalmente convergente, 12
numérica, 9
oscilante, 10
reordenada, 12
trigonométrica de Fourier, 137
Sistema
exponencial, 149
ortogonal, 140, 149
trigonométrico, 149
Soporte de una función, 109
Subconjunto denso en un espacio métrico, 123
Sucesión de funciones, 37
Suceso, 73