EXAMEN TIPO SEGUNDO PARCIAL
MATEMÁTICAS
SEMESTRE 2012-1
Instrucciones del Evaluador: El examen parcial considera esta guía, que se
basa en preguntas propuestas por los profesores y el evaluador. Los temas que
se evaluarán son: ecuaciones diferenciales, ecuaciones en diferencias y sistemas
de ecuaciones en diferencias y la introducción al estudio de la optimización no
lineal. En la evaluación se considera el procedimiento y el resultado, pero los
resultados sin procedimientos no se contabilizan. El examen parcial consistirá en
5 preguntas con todos sus incisos, se permitirá utilizar solamente calculadora
sencilla, no apuntes ni aparatos electrónicos (teléfonos, computadora, IPad, etc.) y
la duración será de 3 horas.
Temas y preguntas tipo
Ecuaciones diferenciales
1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a. y’’+4y’ = cos x
b. y’’-5y’+6y = 2ex; y=1, y’=0 cuando x=0
c. x’= 2x+3y
y’= 2x+y
2. Dada la siguiente ecuación diferencial
y´´-1.3y´-0.14y = 2.8
Resolverla de manera directa
Transformarla en un sistema de ecuaciones diferenciales
simultáneas y obtener la solución.
3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
y’=2x(y-1)/(x2+3)
y’=y/(xlnx)
y’+(2x/(1-x2))y=4/(1+x2)2
y’’-y’-2y=40sen2x
y’’+y’-6y=0 m y(0)=3, y’(0)=1
4. Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales y aplique las condiciones iniciales que se indican, para
establecer una trayectoria definida.
a)
dy
1 0y 1 y(0) 2
dx
d)
dy
0.3y 1 y(0) 7
dx
b)
dy
4y 0
dx
e)
dy
8y 9
dx
y(0) 2
c)
dy 1
y 1
dx 3
f)
dy
1
6y
dx
4
y(0)
y(0) 3
y(0) 5
1
7
Ecuaciones en diferencias y sistemas de ecuaciones en diferencias
5. Dada la siguiente ecuación en diferencias:
Yt+2 +Yt+1-2Yt=12
Obtener la solución general
Dado que Y0=2, Y1= 4, obtener la solución definida.
Analizar la estabilidad dinámica de la solución obtenida en el inciso 2) a
través de gráfica.
6. Resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias
yt+1-2yt=5
yt+1-4yt=3(2t)
yt+1-3yt=et con y1=2
yt+2-7yt+1+10yt=0
7. Resuelva las siguientes ecuaciones individuales en diferencias:
xt+3-5xt+2+3xt+1+9xt = 0
xt+3-2xt+2+xt+1-2xt = 0
xt=2+0.5xt-1
8. Dada las siguientes funciones de Demanda y de Oferta (sistema de
ecuaciones)
Qdt 1 pt 2 yt
Qs t pt*
(Dema n d a
)
(Oferta)
pt* pt*1 ( pt 1 pt*1 ), 0 1
Donde Q es la cantidad, pt el precio observado, p* el precio esperado e y
el ingreso del consumidor.
a) Obtener el modelo de telaraña para el precio.
b) Resolver la ecuación y determinar la condición de equilibrio
c) Cuando η=1, el modelo anterior es un caso particular, ya que
desaparece el término del precio esperado; en este caso obtener la
condición de estabilidad dinámica del modelo.
d) Comparar las condiciones de estabilidad dinámica e interpretar las
conclusiones.
Introducción al estudio de la optimización no lineal
9. Resolver los siguientes problemas de optimización verificando que se
cumplan las condiciones de Kuhn Tucker
Max xy
o s.a.: 2x+3y<=90
o x,y>=0
Max ln(x+1)+y
o s.a. 2x+y<=3
o x,y>=0
Min x2
o s.a. y2-x<=0
o x<=3
10. Dado el siguiente programa matemático y el punto.
Maximizar : ( x1 1) 2 ( x 2 2) 2
s.a.
2 x1 0
1 x2 0
x1 o,
x2 0
Demostrar que la función objetivo es cóncava.
Compruebe que se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker en el punto
x(1,0)
11. Encuentre las soluciones a los siguientes problemas:
o Min x2-y2
s.a: x2-y 1
o Max xy
s.a: 2x+3y 1
x, y 0
0