391628145-Algebra-Para-Ingeniaria

Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 1.2 Operaciones con números
complejos en la forma polar.

Transformar a la forma polar los números complejos dados.
3) −𝟒 + 𝟒𝒊
𝑟 = √(−4)2 + (4)2 = 4√2
4
tan 𝜃 = −4 = −1
𝜃 = 135°
𝑟(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃)
= 4√2(cos 215° + 𝑖 sin 215°)

Transformar los números complejos siguientes a forma rectangular.
9) 𝟒(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟏𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟏𝟎°)
1
1
= 4 (− √2) + 4(− 𝒊)
2
2
= −2√3 − 2𝑖

Efectuar las operaciones indicadas, expresando los resultados en
forma rectangular.
13) 𝟒(𝒄𝒐𝒔 𝟖𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝟎°) ∙ 𝟓(𝒄𝒐𝒔 𝟕𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟕𝟎°)
= (4)(5)(𝑐𝑜𝑠(80° + 70°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(80° + 70°))
= 30(𝑐𝑜𝑠 150° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 150°)
1
1
= 30(− √3) + 30(− 𝑖)
2
2
= −15√3 + 15𝑖
17) [𝟓(𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟓°)]𝟐
=𝑟 𝑛 [cos(𝑛 𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑛 𝜃)]
=52 [cos(2 ∗ 45°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 45)]
= 25(𝑐𝑜𝑠 90° + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 90°)
= 25(𝑐𝑜𝑠 90°) + 25(𝑖 𝑠𝑖𝑛 90°)
= (0) + (25𝑖)
= 25𝑖

Hallar todas las raíces indicadas
21)
𝟑
√𝟐𝟕(𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟐𝟎 ° + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟐𝟎°)
𝜃+𝑘∗360
𝜃+𝑘∗360
𝑛
𝑛
= 𝑟 1/𝑛 [𝐶𝑜𝑠 (
) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 (
1
3
(𝑘 = 0) = 27 [cos
1
3
(𝑘 = 1) = 27 [cos
1
3
(𝑘 = 2) = 27 [cos
120°
3
480°
3
840°
3
+ 𝑖 sin
+ 𝑖 sin
+ 𝑖 sin
120°
3
480°
3
840°
3
)]
]
]
]
(𝑘 = 0) = 3(cos 40 ° + 𝑖 sin 40°)
(𝑘 = 1) = 3(cos 160 ° + 𝑖 sin 160°)
(𝑘 = 2) = 3(cos 280 ° + 𝑖 sin 280°)
24)
𝒙𝟑 + 𝟖
𝑟=8
𝜃 = 0°
𝜃+𝑘∗360
𝜃+𝑘∗360
𝑛
𝑛
𝑟 1/𝑛 [𝐶𝑜𝑠 (
) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 (
0°
)]
0°
(𝑘 = 0) = 81/3 [𝐶𝑜𝑠 ( 3 ) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 ( 3 )]
(𝑘 = 1) = 81/3 [𝐶𝑜𝑠 (
(𝑘 = 2) = 81/3 [𝐶𝑜𝑠 (
360°
3
720°
3
360°
) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 (
) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 (
3
720°
3
)]
)]
(𝑘 = 0) = 2[𝐶𝑜𝑠0 + 𝑖𝑆𝑒𝑛0] = 2[1 + 0𝑖] = 2
1
1
(𝑘 = 1) = 2[𝐶𝑜𝑠120 + 𝑖𝑆𝑒𝑛120] = 2 [− + √3𝑖] = −1 + √3𝑖
2
2
1 1
(𝑘 = 2) = 2[𝐶𝑜𝑠240 + 𝑖𝑆𝑒𝑛240] = 2 [− − √3𝑖] = −1 − √3𝑖
2 2
Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 1.1 Operaciones con números
complejos en la forma rectangular.

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar.
𝟑√𝟐+𝟐√𝟑𝒊
16)
𝟑√𝟐−𝟐√𝟑𝒊
3√2+2√3𝑖
3√2−2√3𝑖
=
∙
3√2+2√3𝑖
3√2+2√3𝑖
2
2
=
=
=
=
(3√2) +(2√3𝑖) +2(3√2)(2√3𝑖)
2
18+12𝑖 2 +12√6𝑖
18−12𝑖 2
18−12+12√6𝑖
30
6+12√6𝑖
30
2
1
= + √6𝑖
5
5
𝒊+𝒊𝟐 +𝒊𝟑 +𝒊𝟒
17)
=
=
2
(3√2) −(2√3𝑖 )
𝟏+𝒊
𝑖−1−𝑖+1
1+𝑖
0
1+𝑖
=0
Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 2.2

En la función polinomial dada, determine el grado, los ceros y la
multiplicidad.
2) 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟏𝟓)𝟑 (𝟒𝒙 + 𝟏𝟑)𝟒
Ceros
(4𝑥 + 13) = 0
4𝑥 = −13
3𝑥 − 15 = 0
3𝑥 = 15
𝑥=
15
𝑥=−
3
13
4
𝑥=5
Multiplicidad
3

4
Dados algunos ceros de las función polinomial, calcule los ceros
restantes.
3) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖; 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝟏 𝒚 𝟐.
División sintética:
1 − 2 + 4 − 8 ∟𝟐
2+0+8
1+0+4+𝟎
𝒙𝟐 + 𝟒
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−0 ± √02 − 4(1)(4)
𝑥=
2(1)
𝑥 = ±2𝑖
Solución:
1,2, + − 2𝑖

Determine una ecuación polinomial del menor grado posible con
coeficientes racionales que tengan las raíces indicadas.
7)
𝟐, 𝟑 − √𝟐
𝑥=2
𝑥2 = 3 − √2
(𝑥 − 2) (𝑥 − 3 + √2) (𝑥 − 3 − √2) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 6𝑥 + 7) = 0
𝑥 3 − 8𝑥 2 + 19𝑥 − 14 = 0
9) 𝟐, −𝟑 , ±√𝟐. 𝐘 𝐜𝐨𝐧 𝒇(𝟏) = 𝟏𝟐
[(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)][(𝑥 − √2)(x + √2)]
= [(𝑥 2 + 𝑥 − 6)(𝑥 2 − 2)]
= 𝑥 4 + 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 2𝑥 + 12
𝑓(1) = 𝑚𝑐𝑚[1 + 1 − 8 − 2 + 12]
12
𝑚𝑐𝑚 =
=3
4
3(𝑥 4 + 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 2𝑥 + 12)
= 3𝑥 4 + 3𝑥 3 − 24𝑥 2 − 6𝑥 + 36
Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 2.1
10)𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟓; 𝒇(𝟏), 𝒇(−𝟐)
𝑓(1) = 3(1)4 − 2(1)3 + 3(1) − 5
𝑓(1) = 3 − 2 + 3 − 5
𝑓(1) = −1
𝑓(−2) = 3(−2)4 − 2(−2)3 + 3(−2) − 5
𝑓(−2) = 3(16) − 2(−8) + 3(−2) − 5
𝑓 (−2) = 48 + 16 − 11
𝑓(−2) = 53
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑; 𝒙 +
4)
2 -7 5
3 ∟−
1
2
9
-1 4 − 2
2 -8 9
= 2𝑥 2 − 8𝑥 + 9 ,
−
𝟑
𝟐
−
3
2
𝟏
𝟐
𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟏𝟖; 𝒙 + 𝟐
5)
𝑥 4 − 4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 24𝑥 − 39
𝑥 + 2 𝑥 5 − 2𝑥 4 − 10𝑥 3 + 20𝑥 2 + 9𝑥 − 18
−𝑥 5 − 2𝑥 4
−4𝑥 4 − 10𝑥 3
4𝑥 4 + 8𝑥 3
−2𝑥 3 + 20𝑥 2
2𝑥 3 + 4𝑥 2
24𝑥 2 + 9𝑥
−24𝑥 2 − 48𝑥
−39𝑥 − 18
39𝑥 + 78
60
Solución:
7)
𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
𝒄 = 𝟑; (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎
𝑐=3
(3 − 3)(3 + 5)(3 − 1) = 0
=0
Solución:
𝑆í 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 2.3
1) 𝟑𝒙𝟑 – 𝟐𝟎𝐱 𝟐 + 𝟐𝟗𝐱 + 𝟏𝟐 = 𝟎.
+
2
0
1
1
i
0
2
𝑝 ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
1
2
4
=
= ±1, ± , ±2, ± , ±3, ±4, ± , ±6, ±12
𝑞
±1, ±3
3
3
3
3 − 20 + 29 + 12 ∟ −
𝟏
𝟑
−1 + 7 + 12
3 − 21 + 36 + 𝟎
3𝑥 2 − 21𝑥 + 36
21 ± √(−21)2 − 4(3)(36)
2(3)
21 ± 3
𝑥=
6
21 + 3 24
𝑥1 =
=
=𝟒
6
6
21 − 3 18
𝑥2 =
=
=𝟑
6
6
Raíces: − 1/3, 4, 3
8) 𝒙𝟓 + 𝟖𝒙𝟒 + 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎
+
1
1
1
4
2
0
i
0
2
2
𝑝
= ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24
𝑞
1 + 8 + 21 + 14 − 20 − 24 ∟𝟏
+1 + 9 + 30 + 44 + 24
1 + 9 + 30 + 44 + 24 + 𝟎
1 + 9 + 30 + 44 + 24 ∟ − 𝟐
−2 − 14 − 32 − 24
1 + 7 + 16 + 12 + 𝟎
1 + 7 + 16 + 12 ∟ − 𝟐
−2 − 10 − 12
1+5+6+𝟎
1+5+6∟−𝟐
−2 − 6
1+3+0
𝑥+3=3
𝑥 = −𝟑
Raíces: 1, −2, −2, −2, −3
10)𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 − 𝟑𝟐 = 𝟎
+
5
3
1
0
0
0
i
0
2
4
𝑝
= ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32
𝑞
1 − 2 + 8 − 16 + 16 − 32 ∟𝟐
+2 + 0 + 16 + 0 + 32
1 + 0 + 8 + 0 + 16 + 𝟎
Raíces: 2
13) Un campo magnético está delimitado por una región en forma de una caja rectangular
con dimensiones de 3, 5 y 7 m respectivamente. Si cada una de estas dimensiones se
aumenta en la misma cantidad, el volumen de la región que delimita el campo
magnético se triplica, calcular esta cantidad.
= (3 + 𝑥)(5 + 𝑥)(7 + 𝑥) = 315
= 𝑥 3 + 15𝑥 2 + 71𝑥 + 105 = 315
= 𝑥 3 + 15𝑥 2 + 71𝑥 − 210 = 0
𝑝 210
=
= ±2, ± 3, ±5, ±6, ±7, ±10, ±14, ±15, ± 21, ± 30, ±35, ±42, ± 70, ±105, ± 210
𝑞
1
Solución:
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑥 = 2
Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 3.1

Determine la matriz indicada utilizando las siguientes matrices para
efectuar su cálculo y si esta matriz no está definida indíquelo.
1 3
𝐷=[
]
0 5 2×2
2
𝐸 = [0
3
−1
−4]
4 3×2
3 4 6
𝐹=[
]
5 −2 3 2×3
4) −𝟐𝑬
−4 2
=[ 0
8]
−6 −8 3×2
7) 𝟑𝑬 − 𝑭𝑻
6 −3
3
−8
3 5
= [0 −12]
− [4 −2]
= [−4 −10]
9 12 3×2
3
9 3×2
6 3 3×2
11)[8
2
[
3
−1 1 −2
×[
]
]
−4 2×2
6 4 7 2×3
(−8 + 18) (8 + 12) (16 + 21)
]
(−2 − 24) (2 − 16) (−4 − 28)
10
20
5
=[
]
−26 −14 −32 2×3
13) Un fabricante de MP3 tiene 2 plantas de ensamble en los cuales se producen MP3
de 2 Gbit, 4 Gbit y 8 Gbit de USB o adaptador. La producción anual en la primera planta,
con indicación de los Gbit-tipo (USB o adaptador), es la siguiente: 2-200,150; 4-350,280;
8-400,300. En la segunda planta, la producción es: 2-230,180; 4-380,310; 8-450,350.
Construir matrices adecuadas para esta información, y por suma de matrices hallar la matriz
para la producción total por Gbit y tipo.
2 230 180
4 430 330
2 200 150
[4 350 280] + [4 380 310] = [ 8 730 590]
8 450 350
16 850 650 3×3
8 400 300
Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 3.2
3 1
21)|6 2
2 3
= +3 |
4
−3|
2
2 −3
1 4
1 4
|− 6|
| +2|
|
3 2
3 2
2 −3
= 39 + 60 − 22 = 𝟕𝟕
2 −1 1 −1
24)[ 0 2 −1 2 ]
1 1
0 −3
0 3
2 −2
2 −1
0
[4
−5 4
−4 5
4 0
[−5 4
−4 5
4[
1 −1
1
0]
−3 0
0 0
1
−3]
0
4 −3
0 1
0 1
] − (−5) [
] + (−4) [
]
5 0
5 0
4 −3
= 4[0 − (−15)] + 5[0 − (−5)] − 4[0 − 4]
= 4[15] + 5[−5] − 4[−4]
= 60 + (−25) + 16
= 51