24tepVueloAxial alum

Velocidades y fuerzas en un elemento de pala
T
­
2. Vuelo Axial
r
2.4 Teoría del elemento de pala. Vuelo axial.
R
UT
UP
dL
Á
dR
dFb
®
µ
U
dFa
Á
37
Nota:
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
1 / 23
Introducción I
UP
dD
se desprecia UR de acuerdo al principio de independencia.
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
3 / 23
Deniciones I
La TEP asume que cada sección de la pala se comporta como un
perl bidimensional, sin inuencia de las secciones adyacentes.
Requiere de un modelo de velocidad inducida obtenido, por ejemplo,
mediante TCM, teoría de vórtices, experimentos, etc... Algunos efectos
tridimensionales pueden ser incluidos a través de estos modelos.
Las actuaciones del rotor se pueden obtener integrando las fuerzas
aerodinámicas a lo largo de la pala y promediando el resultado en una
revolución.
Se trata de una formulación local. Se necesita una descripción más
detallada de la conguración del rotor:
torsión geométrica de la pala,
cuerdas de las secciones aerodinámicas,
características aerodinámicas bidimensionales de las secciones de la
pala,
distribución local de velocidad inducida en el plano del rotor.
AAD (HE)
Á
UT
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
√
Velocidad resultante U = UP2 + UT2 , donde velocidad normal al rotor
UP = Vc + vi , velocidad tangencial al rotor UT = Ωr .
Ángulo de entrada de corriente φ = arctan (UP /UT ).
Ángulo de paso geométrico θ .
Ángulo de ataque α, cumpliéndose θ − φ = α .
Fuerzas aerodinámicas por unidad de longitud:
1 2
ρ U cdr Cl ,
2
1
dD = ρ U 2 cdr Cd ,
2
dL =
donde c es la cuerda, Cl el coeciente de sustentación, y Cd el
coeciente de resistencia.
2 / 23
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
4 / 23
Deniciones II
Linealización ecuaciones
Las fuerzas elementales de batimiento
dFb y arrastre dFa serán
Ecuaciones
dFb = dL cos φ − dD sin φ ,
dFa = dL sin φ + dD cos φ .
Se puede estar interesado más en conocer las acciones en direcciones
más útiles para estimar las cargas y los pares. Se denen
b es el número de palas del rotor.
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
√
U ≈ UT
φ ≈ UP /UT
U = UP2 + UT2
φ = arctan (UP /UT )
α = θ −φ
α = θ −φ
1 2
ρ U cdr Cl
2 T
1
dD ≈ ρ UT2 cdr Cd
2
1 2
ρ U cdr Cl
2
1
dD = ρ U 2 cdr Cd
2
dT = b (dL cos φ − dD sin φ )
dQ = b (dL sin φ + dD cos φ ) r
dP = b (dL sin φ + dD cos φ ) Ωr
dL ≈
dL =
dT = bdFb = b (dL cos φ − dD sin φ ) ,
dQ = bdFa r = b (dL sin φ + dD cos φ ) r ,
dP = bdFa Ωr = b (dL sin φ + dD cos φ ) Ωr ,
donde
Linealización
5 / 23
38
Hipótesis
AAD (HE)
dT ≈ bdL
dQ ≈ b (dLφ + dD ) r
dP ≈ b (dLφ + dD ) Ωr
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
7 / 23
Adimensionalización. Deniciones.
Velocidades en la dirección de batimiento mucho menores que las
velocidades en la dirección de arrastre (velocidad de rotación),
Up ≪ UT . Por tanto, ángulos de entrada de corriente pequeños φ ≪ 1.
Cerca de la raíz de la pala esta hipótesis puede ser incorrecta.
Resistencia aerodinámica un orden de magnitud menor que la
sustentación, Cl ≫ Cd .
Este conjunto de hipótesis matemáticamente linealiza el problema.
Deniciones:
x posición adimensional sobre la pala: x = r /R .
λ relación de entrada de corriente
λ=
σ solidez:
Vc + vi
ΩR
σ (x ) =
= λc + λi .
bc (x )
πR
donde c es el valor de la cuerda de la sección de la pala.
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
6 / 23
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
8 / 23
Adimensionalización. Resultados.
Hipótesis
Empleando estas deniciones, las anteriores expresiones se pueden
escribir como:
UP
φ=
UT
Vc + vi
=
Ωr
=
α = θ −φ,
λ
x
Aerodinámica estacionaria lineal:
Cl (α) = Clα (α − α0 )
,
Clα = Ĉlα (Re (x ), M (x )) promedio Clα = C̄lα ,
perles simétricos: α0 = 0,
Cd = δ0 + δ1 α + δ2 α 2 .
1
dT
2
dCT =
2 = 2 σ Cl x dx ,
ρ A (ΩR )
b (dLφ + dD ) Ωr 1
dCP =
= σ (φ Cl + Cd ) x 3 dx ,
2
ρ A (ΩR )3
b (dLφ + dD ) r
dCQ =
= dCP .
ρ A (ΩR )2 R
39
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
Pala rectangular: c (x ) = c0 luego σ (x ) = σ0 .
Torsión:
constante: θ (x ) = θ0 ,
lineal: θ (x ) = θ0 + θx x .
Corriente de entrada: velocidad inducida uniforme λ = cte.
9 / 23
AAD (HE)
Vuelo Axial
Coeciente de tracción
∫
1 1
σ (x )Cl (x ) x 2 dx ,
2 0
∫
1 1
CQ = CP =
σ (x ) (φ (x )Cl (x ) + Cd (x )) x 3 dx .
2 0
Para vuelo a punto jo: λi 0 =
Geometría σ (x ) y θ (x ).
Aerodinámica:
√
TEP. Vuelo axial
10 / 23
AAD (HE)
)
x 2 dx
CT /2 por tanto:
1
CT = σ0 Clα
2
Teoría 2D perles: Cl (α, Re , M ) y Cd (α, Re , M ).
Estado local: α(x ) = α̂(Vc , vi , θ ) y vi (x ).
Vuelo Axial
(
∫
1 1
λ
CT =
σ0 Clα θ0 −
2 0
x
(
)
1
θ0 λ
= σ0 Clα
−
.
2
3 2
Denición de coecientes globales
AAD (HE)
11 / 23
Pala rectangular de torsión constante y λ = cte I
Coecientes globales
CT =
TEP. Vuelo axial
(
θ0
1
−
3 2
Vuelo Axial
√
CT
2
)
(1)
TEP. Vuelo axial
12 / 23
Pala rectangular de torsión constante y λ = cte II
Pala rectangular de torsión constante y λ = cte IV
En el caso del vuelo a punto jo, λi 0 =
Comentarios:
Ecuación (1) representa f (CT , θ0 ) = 0
CT
θ0
y = CT .
2
Coeciente de potencia parásita.
es explícita
θ0 =
CT
σ0 Clα
6
+
3
2
√
CT
CP
2
0
donde:
√
3/2
CT /2 torsión adicional para compensar la corriente de entrada
CT /(σ0 Clα ) torsión necesaria para producir la tracción necesaria
(ángulo de ataque medio de las secciones de la pala).
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
=
13 / 23
∫ 1
0
0
σ0 δ0
8
x
(
x
(
)
(
))
δ1
4
δ2
8
2
2
1+
θ0 − λ +
θ0 − λ θ0 + 2λ
δ0
3
δ0
3
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
15 / 23
Distribuciones sobre la pala de parámetros I
Coeciente de potencia
=
σ0
2
σ0
|2
(
λ
)
Cl + Cd x 3 dx
x
σ0
λ x 2 Cl dx + Cd x 3 dx .
} |2 {z
dCP0
{z
dCPi
CPi =
0
50
0.035
40
0.03
30
0.025
}
20
0.02
Coeciente de potencia inducida. Teniendo en cuenta que
dCT = 12 σ0 Cl x 2 dx entonces
∫ 1
σ =0.042, θ0 =20.1738, CT =0.01
σ =0.042, θ0 =20.1738, CT =0.01
λ dCT
Angulo
dCP =
dCT/dx
40
Pala rectangular de torsión constante y λ = cte III
1
2
σ0 Cd x 3 dx
(
(
)
(
) )
∫
σ0 1
λ
λ 2 3
=
δ0 + δ1 θ0 −
+ δ2 θ0 −
x dx
=
2
debida a la tracción creada (ángulo de entrada de corriente),
6
√ .
se puede calcular mediante un polinomio de segundo grado
haciendo
CT /2
CT3/2
CPi =
√
√
0.015
10
0.01
0
0.005
−10
0
−20
−0.005
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−30
0.1
α
φ
θ
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
x
= λ CT .
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
14 / 23
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
16 / 23
Distribuciones sobre la pala de parámetros II
2
−3
dC /dx
1.5
p
3
dCpi/dx
1
0.018
0.5
0.016
0
0.014
−0.5
0.012
dC /dx
2.5
0.02
p0
Cl
dCp/dx
2
1.5
CT
1
−1
0.01
1.5
NACA TN−626 σ=0.0424
NACA TN−626 σ=0.0636
NACA TN−626 σ=0.0849
NACA TN−626 σ=0.1061
TEP σ=0.0424
TEP σ=0.0636
TEP σ=0.0849
TEP σ=0.1061
x 10
1
CP
3.5
Experimentos clásicos de rotores a escala de 2,3,4,5 palas.
σ =0.042, θ0 =20.1738, CT =0.01
σ =0.042, θ0 =20.1738, CT =0.01
−3
x 10
Comparación con experimentos (NACA-TN-626)
NACA TN−626 σ=0.0424
NACA TN−626 σ=0.0636
NACA TN−626 σ=0.0849
NACA TN−626 σ=0.1061
TEP σ=0.0424
TEP σ=0.0636
TEP σ=0.0849
TEP σ=0.1061
0.008
0.5
−1.5
0.5
0.006
0
−2
0.004
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
−2.5
0.1
1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.002
x
0
0
41
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
17 / 23
Distribuciones sobre la pala de parámetros III
T
0.045
0.04
AAD (HE)
0
0
15
5
Vuelo Axial
10
θ0
15
TEP. Vuelo axial
19 / 23
Figura de mérito. Efecto de la solidez
0.9
50
0.8
40
0.7
30
0.6
20
d
0
C /C
10
l
0.035
Cd
10
60
0.05
0.03
0.025
σ ↓−→ FM ↑(menor resistencia)
Calculado
Optimo
σ ↓−→ Cl ↑ para mantener CT
σmin entrada en pérdida
−10
−20
0.02
−30
0.015
0.01
0.1
θ0
σ =0.042, θ0 =20.1738, CT =0.01
σ =0.042, θ =20.1738, C =0.01
0
5
−40
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−50
0
AAD (HE)
Vuelo Axial
0.5
0.4
0.3
TEP σ=0.0424
TEP σ=0.0636
TEP σ=0.0849
TEP σ=0.1061
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
x
x
FM
−0.5
0.1
TEP. Vuelo axial
18 / 23
AAD (HE)
Vuelo Axial
0.002
0.004
CT
0.006
0.008
TEP. Vuelo axial
0.01
20 / 23
Figura de mérito. Coeciente de carga de pala
Resumen
Se ha desarrollado la TEP como formulación local para la resolución
de la determinación de fuerzas en el rotor.
Conocidas las distribuciones de cuerda, paso geométrico, perles
aerodinámicos, velocidad inducida en el plano del rotor se pueden
determinar las fuerzas, pares y potencias necesarias.
Se linealizan las ecuaciones para simplicar el problema:
0.9
0.8
0.7
0.6
FM
coeciente de carga: CT /σ
FMmax limitado por (CT /σ )stall
(CT /σ )stall ≈ 0,12
TEP σ=0.0424
TEP σ=0.0636
TEP σ=0.0849
TEP σ=0.1061
0.5
0.4
ángulos pequeños,
perles aerodinámicos: sustentación mucho mayor que la resistencia.
0.3
0.2
0.1
0
0
0.05
0.1
CT / σ
0.15
0.2
0.25
Se ha resuelto el problema suponiendo distribuciones uniformes de
velocidad inducida, lo cual es una fuente de error importante. Pero,
¾cómo determinar la distribución de velocidad inducida no uniforme?
La nueva información que proporciona esta teoría es:
determinación del paso colectivo para conseguir mantener el peso de
una determinada aeronave,
primera estimación razonable de la potencia parásita del rotor.
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
21 / 23
0.2
0.18
Ideal C /C
p
0.16
T
TEP σ=0.0424
TEP σ=0.0636
TEP σ=0.0849
TEP σ=0.1061
0.14
0.12
Cp / CT
42
Factor de carga de potencia
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
AAD (HE)
0.002
0.004
CT
Vuelo Axial
0.006
0.008
0.01
TEP. Vuelo axial
22 / 23
AAD (HE)
Vuelo Axial
TEP. Vuelo axial
23 / 23