Sistema de numeración

Sistema de numeración
Ha lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes maneras
de representar cantidades. Si nos remontamos hacia más de dos mil años, los pueblos de
aquella época no utilizaban números para contar objetos, sino que hacían uso de cualquier
elemento que pudiera servirles para contar, ya sea utilizando sus propios dedos, dibujando
símbolos, marcando bastones (ramas) o haciendo nudos en una cuerda, entre otros.
Ahora bien, el primer uso que se le dio a los números, se relaciona con la necesidad de
ordenar elementos, no con la de contar o medir objetos.
A continuación veremos los 5 sistemas de numeración más característicos de la historia,
reconociendo sus elementos principales y los símbolos que ellos utilizaron para
representar las cantidades indicadas.
Sistema de numeración Egipcio (3000 a.C.)
Si hay algo que hasta el día de hoy sigue vigente es la cultura egipcia. Esto no se debe
meramente al azar, sino que responde al gran legado cultural que nos dejaron, ya sea por
sus monumentales construcciones como por sus conocimientos y descubrimientos en
agricultura, arte y matemáticas.
En relación con éste último, podemos ver que se los egipcios se vieron enfrentados a la
necesidad de realizar cálculos y considerar dimensiones para, por ejemplo, llevar a cabo
sus construcciones, situación que los desafió a encontrar algún modo de representar las
cantidades utilizadas. Además, vemos que representaron las cifras utilizadas en papiros,
dándoles a éstas un uso práctico, relacionados principalmente con la geometría y la
aritmética.
Los egipcios tenían un sistema de numeración decimal (contaban de 10 en 10, lo cual se
asocia con que tengamos 10 dedos), no utilizaban símbolos para representar el cero y
realizaban jeroglíficos que les permitían identificar el orden en que se agrupaban las
unidades en las cuales estaban trabajando.
Por otro lado, ellos utilizaban un procedimiento aditivo para representar los números, en
donde acumulaban todos los signos pertenecientes al número que querían representar y
formaban con ello el número.
Es importante mencionar que el orden en que se escribían los símbolos utilizados les era
indiferente, debido a que cada figura representaba exclusivamente un único valor. De esta
manera, independiente del orden en que éstos se presentaban, el valor no cambiaba. Es
decir, su representación podía realizarse de izquierda a derecha, de abajo hacia arriba y
viceversa, sin alterar el valor de la cifra mencionada.
Sistema de numeración Griego (600 a.C.)
Utilizaron letras del alfabeto griego para representar las cantidades.
El sistema de numeración griego más antiguo fue el ático o acrofónico, que era derivado
del sistema de numeración romano, cuyos símbolos eran:
? = 1, ? = 5, ? = 10, ? = 100, ? = 1000 y ? = 10000
Vale mencionar que los números 50, 500 y 5.000, se obtenían agregando el signo de 10,
100 ó 1.000 al de 5.
Así por ejemplo, para obtener el número 50 el símbolo utilizado era el del 5 y el de 10,
dando como resultado el símbolo que representaba 50, y que puedes apreciar en la figura
anterior.
Considerando el caso descrito, podemos ver que junto con un principio aditivo, en el
sistema de numeración griego se combina el principio multiplicativo.
Sin embargo, a partir del siglo IV a.C. este sistema fue sustituido por el jónico, el cual
utilizaba las 24 letras del alfabeto griego, junto con algunos otros símbolos, tal como
muestra la siguiente figura.
En este sistema a cada cifra de la unidad se le asignaba una letra, a cada decena otra
letra y a cada centena otra. Es decir, se basó en un principio de adición, en donde los
valores numéricos que adoptaban las letras se sumaban para formar el total. Por ejemplo
el 242 se representaba como ??b (200 + 40 + 2).
Con esto, los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y éstas a su
vez, tienen un valor numérico.
Sistema de numeración Romano
Si existe un sistema de numeración que ha perdurado en el tiempo, ese es el romano.
Actualmente lo utilizamos para numerar capítulos o escenas de una obra de teatro, para
designar el nombre de algunas autoridades (como emperadores, reyes y papas), para
ordenar los contenidos de un índice y los tomos de una enciclopedia, entre otros.
En relación con los símbolos que los romanos utilizaron para representar cantidades,
fueron letras mayúsculas, que en nuestro sistema de numeración equivalen a un número
específico. Así tenemos,
Ahora bien, para representar cantidades con números romanos, es importante que tener
en consideración ciertas reglas guían su escritura.
Sistema de numeración Chino (1500 a.C.)
La cultura china es indudablemente una de las más completas y antiguas de la humanidad.
Su legado perdura hasta la actualidad, ya que han sido gestores de grandes
descubrimientos, realizando aportes importantes para la humanidad.
En relación con el sistema de numeración que ellos utilizaron, éste era decimal, en donde
utilizaron las unidades y las distintas potencias de 10 para representar cantidades. Tenían
9 símbolos distintos para los primeros 9 números pero ningún símbolo para representar el
cero.
Los símbolos eran:
Su representación de los números se basó en un principio multiplicativo y era de carácter
posicional, por lo que dependiendo de la posición que tenía el símbolo (cifra) en el número,
el valor que éste iba a tener.
Como podemos ver, el sistema de numeración chino tiene semejanzas con el que
utilizamos nosotros actualmente, sin embargo, tanto los símbolos con que representan
cantidades, como la orientación que los números pueden adquirir en una cifra, es distinta.
Además, vemos que su disposición es híbrida, es decir, a la hora de componer los
números emplean tanto la multiplicación como la adición, por lo que cada cifra es
acompañada por otra que la multiplica, y en donde la suma total de dichas multiplicaciones
da la cifra total.
Veamos en un ejemplo:
El número 4.361 se representa así:
Actualmente, utilizan el mismo sistema de numeración, cuyos símbolos son los que vimos
anteriormente, y donde prima el carácter multiplicativo y posicional de los símbolos que se
disponen.
Sistema de numeración Maya
Uno de los aspectos que más destacan en el sistema de numeración Maya es que ellos
simbolizaron el cero. Vemos también que éste era de carácter posicional y en base 20,
utilizando principalmente rayas y puntos para simbolizar los números. En donde el caracol
representaba al cero, los puntos al 1 y la raya al 5.
En cuanto a la disposición de las cifras, vemos que éstas se escriben verticalmente y con
las unidades en la parte inferior. Además agruparon símbolos hasta el 19, asignando a los
números mayores un valor según la posición en que se encuentran. Los símbolos con que
representaron los números hasta el 19 son:
Analizando los símbolos que se presentan, podemos ver que el número 14 está formado
por 2 rayas y 4 puntos. Como las rayas representan al 5 y los puntos al 1, multiplicaremos
2×5 y 4×1, obteniendo un total de 10 + 4, es decir, 14.
Ahora bien, para escribir números iguales o superiores al 20, las cifras adquirían un valor
que dependía de la posición en donde se encontraban, disponiéndose en columnas y
asignándose un valor de abajo hacia arriba, en el que hay que multiplicar el valor de cada
cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20… según el lugar que ocupe. Por ejemplo:
Sistema de numeración Inca
Poseían un sistema de numeración decimal y de carácter posicional. Como no hicieron uso
de la escritura no dejaron un registro gráfico de símbolos que permitan interpretar
cantidades, sin embargo, los Incas se vieron en la necesidad de registrar los cálculos que
iban realizando, por lo que utilizaron el quipu.
El quipu era un instrumento que poseía cuerdas y que, mediante la realización de nudos
de variados colores y tamaños, les permitió registrar la información numérica que iban
obteniendo
Sistema Numérico Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se
representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una
raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9.
Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro
rayas.
Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada
uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el
que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20 … según el lugar
que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posiciónal que se escribe a arriba
abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo
para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace
imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto
de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de
otro número.
Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación
astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas
unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer
lugar desde abajo se multiplicaba por 20×18=360 para completar una cifra muy próxima a
la duración de un año.
El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían
algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las
unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron
otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los
conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una
matemática más allá del calendario.
Sistema de Numeración Mapuche
Antes de la llegada de los españoles, en la zona central y sur de nuestro país, habitaba el
pueblo mapuche, que en realidad era un conglomerado de comunidades y etnias que
compartían un tipo de creencias, cultura y religión.
Actualmente este pueblo aun trata de mantener viva sus tradiciones, enseñándoles a sus
hijos y nietos su idioma.
A continuación le presento algunos de sus números:
1 = kiñe
11=mari kiñe
2 = epu
12=mari epu
3 = küla
13=mari küla
4 = meli
14= mari meli
5 = kechu
15= mari kechu
6 = kayu
20= epu mari
7 = regle
30= küla mari
8 = pura
40= meli mari
9 = aylla
50= kechu mari
10 = mari
100= kiñe pataka
Este es un claro ejemplo de sistema no posiciónal ya que si lo fuera los números se
escribirían en columnas rectas y se escriben como frases.
En este sistema los numeros se van repitiendo según la cantidad que se desea cuantificar.
Sistema de Numeración Binario
Sistema de numeración en el que todas las cantidades se representan utilizando como
base el número dos, con lo que disponemos de las cifras: cero y uno (0 y 1).
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema
de numeración natural es el sistema binario (encendido, apagado) Además este es un
sistema no posicional.
Operaciones con binarios
Binarios a decimales
Dado un numero N, binario, para expresarlo en decimal, se debe escribir cada numero
que lo compone, multiplicado por la base del sistema (base = 2), elevado a la posición que
ocupa.
Ejemplo:
10012 = 910
1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 11 + 1 × 20
Suma de números binarios
Recordamos las siguientes sumas básicas:
1. 0+0=0
2. 0+1=1
3. 1+1=10
Así, si queremos sumar 100110101 más 11010101, tenemos:
100110101
11010101
———–
1000001010
Operamos como en decimal: comenzamos a sumar desde la izquierda, en nuestro
ejemplo, 1+1=10, entonces escribimos 0 y “llevamos” 1. Se suma este 1 a la siguiente
columna: 1+0+0=1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en
decimal).
Conclusiones
Podemos concluir que:











” Los números mapuches no son posicionales.
” Los números binarios no son posicionales.
” Los números mayas si son posicionales.
” Los números binarios los ocupan los computadores.
” Los números mapuches, hasta la fecha se utilizan.
” Los números mayas, no se utilizan a la fecha.
” Los números binarios se utilizan hasta la fecha.
” Los números mapuches no se pueden sumar ni restar.
” Los números mayas se pueden sumar pero no restar.
” Los números binarios se pueden sumar y restar.
El sistema de numeración decimal incorpora una serie de reglas que permiten
representar una serie infinita de números.
Sus principales características son:

Sistema en base 10

Esto quiere decir que el principio de agrupamiento de este sistema es diez, en
donde cada 10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la
izquierda de la primera de las unidades. Esto es ilustrado en el ábaco, en donde

cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos en una de la
varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con lo cual obtenemos que
10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas equivalen a 1 centena y así
sucesivamente.

Posee 10 dígitos

Éstos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y su combinación puede formar infinitos
números.

Valor posicional y relativo de cada dígito



Esto quiere decir que dependiendo de la posición en donde se ubique cada dígito
el valor que éste tendrá.
Así por ejemplo, vemos que el valor del número 2 en 3.245 no es el mismo que en
el 332, esto debido a que los dígitos actúan como multiplicadores de las potencias
de la base.
Así tenemos que en el número 3.245 el 2 se ubica en las centenas, por lo que su
valor posicional será de 2*100, es decir 200. Sin embargo, en el número 332 su
valor equivaldrá a la multiplicación de 2*1, es decir 2, ya que el 2 se encuentra en
la posición de las unidades. Por otro lado, si recordamos cuál es el valor de cada
base tendremos:
Unidades
Decenas
Centenas
Unidades de Mil
Decenas de Mil
Centenas de Mil

1
10
100
1.000
10.000
100.000
El siguiente cuadro muestra la posición de los números 321 y 921.004:
CM
DM
UM
9
2
1

C
3
0
D
2
0
U
1
4
Si analizamos los números que se encuentran en la tabla, vemos que en el número
321, el 3 se encuentra ubicado en las centenas, el 2 en las decenas y el 1 en las
unidades, por lo que el valor relativo de éstos será 300, 20 y 1, ya que el 3 se
encuentra ubicado en las centenas (su valor relativo es 3*100), el 2 se encuentra
en las decenas (su valor relativo es 2*10) y el 1 en las unidades (su valor relativo
es 1*1).

Al igual que con el número anterior, podemos analizar el número 921.004, donde el
9 se encuentra ubicado en la posición de las centenas de mil y su valor relativo es
900.000 (9*100.000), el 2 se encuentra en la posición de las decenas de mil y su
valor relativo es 20.000 (2*10.000), el 1 en la posición de las unidades de mil y su
valor relativo es 1.000 (1*1.000) y el 4 se encuentra en la posición de las unidades,
por lo que su valor relativo será 4 (4*1).
Como podemos ver, el valor de un número es la suma de los productos de las
cifras por el valor de posición que tiene, tal como lo hicimos con los números
anteriores


El ejercicio que realizamos anteriormente, junto con lo que indica el cuadro de
texto, nos sirve para componer y descomponer números. Veamos:
Para componer un número, se nos deben dar los dígitos que lo forman y el valor
posicional de éstos. Así por ejemplo, si alguien nos pide construir un número en
donde el 9 se encuentre ubicado en las decenas de mil, lo ubicaremos en la
posición de las centenas de mil, tal como indica el cuadro de texto, y su valor
relativo será de 9*10.000, es decir, 90.000.
CM
DM
9

UM
C
D
U
Ahora bien, si se nos pide descomponer un número, por ejemplo, el que se
muestra a continuación:
CM
1
DM
5
UM
9
C
9
D
9
U
0

Lo que nosotros debemos hacer es multiplicar cada dígito por su valor posicional,
obteniendo con ello su valor relativo.

Así tenemos que el valor relativo de 1 será la multiplicación de éste por su valor
posicional 1*100.000 = 100.000, del 5 será 5*10.000 = 50.000, de 9 que se
encuentra ubicado en las Unidades de Mil será 9*1.000 = 9.000, del 9 ubicado en
las Centenas, será 9*100 = 900, del 9 ubicado en las Decenas será 9*10 = 90 y del
0 ubicado en las Unidades será 0*1 = 0.
CM
1
DM
0
5
UM
0
0
9
C
0
0
0
9
D
0
0
0
0
9
1
5
9
9
9
U
0
0
0
0
0
0
0
Los números romanos se expresan con letras del alfabeto y, existen ciertos
principios básicos para leerlos y escribirlos.
V=5
X=10
L=50
C=100
D=500
M=1000


la letra I sólo debe anteponerse a la letra X y V.
las letras V, L y D no se ponen antes que otra de mayor valor.

la letra X sólo va antes de las letras L y C.

si una letra va seguida por otra que posee un valor igual o menor, debes sumar sus
valores.
Ejemplo:

o



XX = 10 + 10 = 20
VI = 5 + 1 = 6
Si una letra va antecedida por otra que tiene un valor menor, se resta ese valor.
Ejemplo:

o





IX = 10 – 1 = 9
IV = 5 – 1 = 4
XC = 100 – 10 = 90
CM = 1000 – 100 = 900
puedes poner las letras V, L, D a la derecha de otra (siempre que sea menor a la
de su izquierda) para sumar su valor, pero sólo una vez. Estas letras no se pueden
repetir.
Ejemplo:

o




XV = 10 + 5 = 15
CV = 100 + 5 = 105
MD = 1000 + 500 = 1500
Puedes repetir y poner hasta tres veces seguidas las letras I, X, C, M
Ejemplo:

o





XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13
XXII = 10 + 10 + 1 + 1 = 22
MCC = 1000 + 100 + 100 = 1200
CCCLIII = 353
Si una letra está puesta después de una de mayor valor y, antes de otra también
de mayor valor que ella, se le resta a esta última.
Ejemplo:

o


CXC = 100 + (100 – 10) = 190
Sólo puedes restar un número a otro
Ejemplo:

o



para formar 12, no puedes escribir IIIXV (15 – 1 – 1 – 1)
si tienes que escribir XII = 10 + 1 + 1
sólo puedes usar para restar, las letras I, X, o C, pero nunca V o LEjemplo:
o


para escribir 95 no puedes escribirlo como VC (100 – 5)
tienes que escribir XCV = XC + V = 90 + 5

No puedes usar para restar, un número que sea más de 10 veces mayor que él.
Ejemplo:

o


puedes restar 1 a 10, pero no 1 a 20 (no existe este número: IXX).
En el caso que quieras escribir 19, debes hacerlo así: XIX
puedes restar 10 a 100, pero no 10 a 200 (no existe el número:
XCC). En el caso que quisieras escribir 190, debería ser CXC
Ejemplo de Números Romanos
Uno
Dos
Tres
Cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve
Diez
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
Treinta
Cuarenta
Cincuenta
Sesenta
Setenta
Ochenta
Noventa
Cien
Quinientos
Mil
XXX
XL
L
LX
LXX
LXXX
XC
C
D
M
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Cuando los números son grandes hay reglas que permiten reconocer directamente que un
número es divisible por otro; se llaman criterios de divisibilidad. Veremos algunos de estos
criterios:
DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par.
DIVISIBILIDAD POR 3: Un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras absolutas
es múltiplo de tres.
DIVISIBILIDAD POR 4: fijate en las dos últimas cifras. Tienen que ser dos ceros o un
número múltiplo de 4.
DIVISIBILIDAD POR 5: Un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en
cinco.
DIVISIBILIDAD POR 6: tiene que ser divisible por 2 y por 3.
DIVISIBILIDAD POR 9: Un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es
múltiplo de nueve.
DIVISIBILIDAD POR 10: tiene que terminar en cero. De manera similar, si termina en 00
es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000.
DIVISIBILIDAD POR 11: Un número es divisible por once cuando la diferencia entre la
suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la posición
impar son múltiplo de once.