Ingenieria Economica - Unidad 1 Sesión 4

INGENIERIA ECONOMICA
Unidad 1 – SESIÓN 4
Tasas de interés nominales y efectivas
Docente: Ing. Juan Carlos García
Sesión 4
Introducción
Hasta ahora las tasas de interés ha sido un valor constante anual. En un alto
porcentaje de los proyectos evaluados por profesionales es, la tasa de interés
compuesto se calcula con mayor frecuencia para periodos diferentes a un año;
periodos: semestrales, trimestrales y mensuales y con frecuencia cálculos de interés
compuesto semanal y diario.
Que son usadas en nuestras vidas personales, como: movimientos financieros
(préstamos), de todo tipo (hipotecas para vivienda, tarjetas de crédito, automóviles,
muebles), cuentas de cheques y de ahorro, inversiones, planes de acciones, etc, que
poseen tasas de interés compuesto para periodos menores de un año.
Este hecho requiere la introducción de dos términos nuevos: tasas de interés
nominales y efectivas.
Docente: Ing. Juan Carlos García Corzo
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Sesión 4
UNIDAD I: 4. Tasas de interés nominales y efectivas
Sesión N.° 3 Tasas de interés nominales y efectivas
4.1 Fórmulas para las tasas de interés nominal y efectiva
4.2 Tasas de interés efectivas anuales
4.3 Tasas de interés efectivas para cualquier periodo
4.4 Relaciones de equivalencia: comparación entre la duración del
periodo de pago y del periodo de capitalización (PP versus PC)
4.5 Relaciones de equivalencia: pagos únicos con PP ≥ PC
4.6 Relaciones de equivalencia: series con PP ≥ PC
4.7 Relaciones de equivalencia: pagos únicos y series con PP < PC
4.8 Tasa de interés efectiva para capitalización continua
4.9 Tasas de interés que varían con el tiempo
Docente: Ing. Juan Carlos García
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.1 FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE
INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
En la sesion1 aprendimos que la diferencia fundamental entre el interés simple y el
interés compuesto consiste en que el interés compuesto incluye el interés sobre el
interés ganado en el periodo anterior, mientras que el interés simple no lo incluye.
Aquí analizaremos las tasas de interés nominal y efectiva, que implican la misma
relación básica.
Docente: Ing. Juan Carlos García
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UNIDAD I: 4.1 FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE
INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
La tasa de interés nominal, r, es una tasa de interés que no considera la capitalización de
intereses. Por definición,
Sesión 4
r = tasa de interés por periodo × número de periodos
[4.1]
Por ejemplo, la tasa nominal de r = 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes
tasas:
r = 1.5% mensual × 24 meses
= 36% por un periodo de 2 años (> que 1 mes)
r= 1.5% mensual × 3 meses
= 4.5% trimestral (> que 1 mes)
r = 1.5% mensual × 12 meses
= 18% anual (> que 1 mes)
r= 1.5% mensual × 0.231 mes
= 0.346% semanal (< que 1 mes)
r= 1.5% mensual × 6 meses
= 9% por medio año (> que 1 mes)
Docente: Ing. Juan Carlos García
Observe que ninguna de estas tasas nominales
menciona la frecuencia de la composición. Todas
ellas tienen la forma: “r% por periodo de tiempo t”.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.1 FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE
INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
Observe que estas tasas hacen mención de la frecuencia de capitalización. Todas tienen
la forma: “r% por periodo de tiempo t, compuesto m-mente”. La m corresponde a un
mes, trimestre, semana, o alguna otra unidad de tiempo. La fórmula para calcular el
valor de la tasa de interés efectiva para cualquier enunciado de tasa nominal o efectiva,
se estudia en la siguiente sección.
Para tomar en cuenta debidamente el valor del dinero en el tiempo, todas las
fórmulas de interés, factores, valores tabulados y relaciones de hoja de cálculo
deben incluir la tasa de interés efectiva.
Por lo tanto, es primordial determinar la tasa de interés efectiva antes de realizar los
cálculos del valor del dinero en el tiempo para un estudio de ingeniería económica.
Esto es especialmente cierto cuando se presentan flujos de efectivo en intervalos de
tiempo distintos de un año.
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UNIDAD I: 4.1 FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE
INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
Sobre la base de estas descripciones, siempre hay dos unidades de tiempo asociadas
Sesión 4
con un enunciado relativo a una tasa de interés.
Periodo de tiempo, es el periodo en el que se expresa el interés. Ésta es la t del enunciado de r%
por periodo de tiempo t; por ejemplo, 1% mensual. La unidad de tiempo de un año es por mucho
la más común, de ahí que se suponga así cuando no se especifica otra unidad.
Periodo de capitalización o composición (PC), es la unidad de tiempo más corta durante la que
se paga o gana interés, el cual se identifica por el término capitalización (o composición*) en el
enunciado de la tasa, por ejemplo 8% anual compuesto mensualmente. Si no se especifica,
entonces se supone que es de 1 año.
Frecuencia de composición, es el número de veces que la capitalización m ocurre dentro del
periodo de tiempo t. Si los periodos de capitalización PC y de tiempo t son los mismos, la
frecuencia de capitalización es 1, por ejemplo 1% mensual compuesto mensualmente..
Sesión 4
UNIDAD I: 4.1 FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE
INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
Considere la tasa de 8% anual, capitalizable mensualmente. Tiene un periodo de tiempo t de 1
año, un periodo de capitalización PC de 1 mes, y una frecuencia de m de 12 veces por año. Una
tasa de 6% por año, capitalizable en forma semanal, tiene t = 1 año, PC = 1 semana, y m = 52, con
base en el estándar de 52 semanas por año. En capítulos anteriores, todas las tasas de interés
tenían valores de t y m de un año. Esto significa que las tasas eran tasas efectivas y nominales, en
virtud de que se utilizaba la misma unidad de un año. Se acostumbra expresar la tasa efectiva
sobre la misma base de tiempo que el periodo de composición. La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la fórmula
r% por periodo de tiempo t
r
Tasa efectiva por PC = ––––––––––––––––––––––––––– = ––– = [4.2]
m periodos de composición por t m
Como ejemplo, suponga que r = 9% anual, compuesto mensualmente; así, m = 12.
La ecuación [4.2] se aplica para obtener la tasa efectiva de 9%/12 = 0.75% mensual, con un
periodo de composición mensual. Es importante observar que el cambio del periodo
fundamental t no altera el periodo de composición, que en este caso es un mes.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.1 FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE
INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
A continuación se listan las diferentes tasas de préstamo bancario para tres proyectos
distintos de equipo de generación de electricidad. Determine en cada inciso la tasa efectiva
considerando el periodo de composición.
a) 9% anual, compuesto trimestralmente.
b) 9% anual, compuesto mensualmente.
c) 4.5% por 6 meses, compuesto semanalmente.
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UNIDAD I: 4.1 FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE
INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
Solución
Sesión 4
Aplique la ecuación [4.2] para calcular la tasa efectiva por PC para diferentes frecuencias de
composición. La gráfica adjunta indica la distribución de la tasa de interés en el tiempo.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.1 FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE
INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
En esta sección sólo se estudiarán las tasas de interés efectivas anuales. Por lo
tanto, el periodo fundamental t será de un año, y el periodo de composición puede
ser cualquier periodo menor a un año. Por ejemplo, una tasa nominal de 6% anual
compuesta trimestralmente equivale a una tasa efectiva de 6.136% anual. Hasta
ahora éstas son las tasas más empleadas en la industria y los negocios. Las literales
utilizadas para representar las tasas de interés nominal y efectiva son las siguientes:
r = tasa de interés nominal anual
m = número de periodos de capitalización o composición por año
i = tasa de interés efectiva por periodo de composición (PC) = r/m
ia = tasa de interés efectiva anual
ia = (1 + i)m – 1
[4.5]
r% anual = (i% por PC)(núm. de PCs por año) = (i)(m)
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[4.7]
UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
Sesión 4
Ejemplo 4.2
Jacki obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco nacional (MBNA), con una
tasa establecida de 18% anual y un periodo de composición mensual. Para un
saldo de $1 000 al principio del año, calcule la tasa anual efectiva y el adeudo total
al banco MBNA después de un año, tomando en cuenta el hecho de que no se
efectúa ningún pago durante el año.
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UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
Sesión 4
Ejemplo 4.2
Solución
Hay 12 periodos de composición por año. Por lo tanto, m = 12 e i = 18%/12 = 1.5%
mensual. Si el saldo de $1 000 no se reduce durante el año, se aplica la ecuación
[4.5] y enseguida la ecuación [4.3] para obtener la información necesaria para
Jacki.
ia = (1 + 0.015)12 – 1 = 1.19562 – 1 = 0.19562
F = $1 000(1.19562) = $1 195.62
Jacki pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del saldo, por la utilización del
dinero del banco durante el año.
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UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
Sesión 4
Ejemplo 4.3
Joshua trabaja para Watson Bio, una compañía de ingeniería genética de I&D. Él
acaba de recibir un bono de $10,000 y desea invertir el dinero para los cinco años
siguientes.
Joshua vio un Ad en el sitio web de MBNA America Bank sobre las tasas de
interés de los certificados de depósito (véase figura 4-2). Él piensa invertir los
$10,000 en un CD a 5 años para la preservación de su capital. En forma
alternativa, considera invertir todo en acciones para los dos años siguientes, en
los que estima ganar una tasa efectiva anual de 10%. Una vez que haya obtenido
este rendimiento mayor por adelantado, entonces se volvería más conservador y
colocaría la cantidad total en un CD para los tres años finales. Se pide que el
lector ayude a Joshua con lo siguiente:
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UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
Ejemplo 4.3
Sesión 4
a) Determine el periodo
de capitalización para los
CD a 3 y 5 años, ya que
esta información no se
incluye en el sitio web.
Obténgalo tan exacto
como sea posible al
PARA redondeado a dos
decimales.
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UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
Sesión 4
Ejemplo 4.3
b) Determine la cantidad
total que tendrá después
de cinco años para las dos
opciones que analiza.
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UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
Sesión 4
Ejemplo 4.3
Solución
a) Se menciona la tasa de interés anual pero no el periodo de capitalización o la
frecuencia. Sustituya diferentes valores de m en la ecuación [4-5] para obtener
el valor ia correspondiente (use la ecuación [4-12] para capitalización continua),
compárela con la tasa PRA que se menciona en el sitio web (véase figura 4-2).
De los resultados que se aprecian más abajo y con un redondeo a dos decimales
para las tasas PRA estimadas, al parecer el banco aplica una capitalización
mensual a sus tasas de interés actualmente establecidas.
Ad en Internet que muestra las tasas de interés de certificados de depósito. El
Ad que se ilustra es una muestra similar a otro que apareció el 11 de junio de
2004 en el sitio web de MBNA America Bank en la dirección www.mbna.com.
Las tasas que aparecen no son las actuales.)
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UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
Sesión 4
Ejemplo 4.3
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
Fig. 4.2
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UNIDAD I: 4.2 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS
ANUALES
Sesión 4
Ejemplo 4.3
b) Opción 1: CD a 5 años. Use la tasa PRA de 4.45% (véase figura 4-2) en el factor
F/P o en la función FV de Excel.
F = $10 000(F/P,4.45%,5) = 10 000(1.2432) = $12 432
Opción 2: 2 años en acciones y después 3 años en un CD. Ésta es una opción de
mayor riesgo, ya que el rendimiento sobre las acciones es incierto. Use 10% anual
para las acciones, que es la tasa efectiva anual estimada, seguida por 3 años con la
tasa anual efectiva del CD a 36 meses de 3.45% (es improbable que la tasa del CD
permanezca en este nivel por más de dos años, pero ésta es la mejor estimación
disponible ahora).
F = $10 000(F/P,10%,2)(F/P,3.45%,3)
= 10 000(1.21)(1.1071) = $13 396
Se estima que la segunda opción gane $964 más durante los cinco años.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.3 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA
CUALQUIER PERIODO
Ahora, además del periodo de composición (PC), es necesario considerar la
frecuencia de los pagos o ingresos; es decir, el periodo de transacción de flujo de
efectivo. Por sencillez, éste recibe el nombre de periodo de pago (PP). Es
importante distinguir entre el periodo de composición y el periodo de pago, ya que
muchas veces no coinciden. Por ejemplo, si una compañía deposita dinero cada
mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de interés nominal de 14%
anual, con un periodo de composición semestral, el periodo de pago es de un mes,
mientras que el periodo de composición es de 6 meses
m
i efectivo = ( 1 + r ) – 1
m
[4.8]
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donde,
r = tasa de interés nominal por periodo de pago (PP)
m = número de periodos de composición por
periodo de pago (PC por PP)
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UNIDAD I: 4.3 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA
CUALQUIER PERIODO
Visteon, una compañía que salió de la Ford Motor Company, abastece de partes
importantes de automóvil a los fabricantes de automóviles alrededor del mundo, y
constituye el abastecedor más importante de la Ford. Un ingeniero pertenece al
comité de Visteon que evalúa propuestas para incorporar maquinaria de medición
de coordenadas, de la nueva generación, a la fabricación automática de partes de
alta precisión. Tres propuestas de venta incluyen las tasas de interés que aparecen
a continuación. Visteon hará pagos semestrales exclusivamente. El ingeniero se
encuentra confundido respecto de las tasas de interés efectivas (su valor anual y
durante el periodo de pago de 6 meses).
Propuesta núm. 1: 9% anual, compuesto trimestralmente
Propuesta núm. 2: 3% trimestral, compuesto trimestralmente
Propuesta núm. 3: 8.8% anual, compuesto mensualmente
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.3 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA
CUALQUIER PERIODO
a) Determine la tasa efectiva de cada propuesta si se harán pagos semestrales, y
construya diagramas de flujo de efectivo semejantes a los de la figura 4.3 para las
tasas de las diferentes propuestas.
b) ¿Cuáles son las tasas anuales efectivas? Éstas formarán parte de la elección de la
propuesta final.
c) ¿Qué propuesta incluye la tasa anual efectiva más baja?
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.3 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA
CUALQUIER PERIODO
Solución
a) Fije el periodo de pago (PP) a 6 meses, convierta la tasa nominal r% a una tasa semestral y,
luego, determine m. Por último, aplique la ecuación [4.8] para calcular la tasa de interés
semestral efectiva i. Para la propuesta 1, los cálculos correctos son los siguientes:
PP = 6 meses
r = 9% anual = 4.5% durante 6 meses
m = 2 trimestres durante 6 meses
2
i% efectiva durante 6 meses = 1+ 0.045 - 1 = 1.0455 - 1 = 4.55%
2
La tabla 4.4 (sección de la izquierda) resume las tasas semestrales efectivas de las tres
propuestas. La figura 4.4a representa el diagrama de flujo de efectivo de las propuestas 1 y 2,
los pagos semestrales (PP = 6 meses) y el periodo de composición trimestral (PC = 1 trimestre).
La figura 4.4b es la misma para el periodo de composición mensual (propuesta 3).
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UNIDAD I: 4.3 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA
CUALQUIER PERIODO
Sesión 4
Solución
b) Para la tasa anual efectiva, el periodo básico en la ecuación [4.8] es de un año. Éste
es igual a PP = 1 año. Para la propuesta 1,
r = 9% anual m = 4 trimestres por año
4
i% efectiva anual = 1+ 0.09 - 1 = 1.0931 - 1 = 9.31%
4
La sección de la derecha de la tabla 4.4 presenta un resumen de las tasas anuales efectivas.
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UNIDAD I: 4.3 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA
CUALQUIER PERIODO
Sesión 4
Figura 4.4
c) La propuesta 3 incluye la tasa anual efectiva menor de 9.16%, que equivale a una tasa semestral
efectiva de 4.48%.
Comentario
Las tasas efectivas de la propuesta 2 sólo se pueden encontrar directamente en la tabla 4.3. Para determinar la
tasa semestral efectiva, localice la línea de la tasa nominal de 6% bajo m = 2, que representa el número de
trimestres durante 6 meses. La tasa semestral efectiva es 6.09%. Asimismo, en el caso de la tasa nominal de 12%,
hay m = 4 trimestres por año; por lo que la tasa anual efectiva i = 12.551%. Aunque la tabla 4.3 se diseñó
originalmente para tasas anuales nominales, es adecuada para otros periodos de tasa nominal, siempre y cuando
se incluya el valor apropiado de m en los encabezados de columna.
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UNIDAD I: 4.3 TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA
CUALQUIER PERIODO
Figura 4.5
Sesión 4
Una compañía punto-com planea invertir dinero en un nuevo fondo de capital riesgoso, que
actualmente reembolsa 18% anual con un periodo de composición diario. ¿Cuál es el valor de la
tasa de interés efectiva a) anual y b) semestral?
Solución
a) Aplique la ecuación [4.8], con r = 0.18 y m = 365.
365
i% efectiva anual= 1+ 0.180 - 1 = 19.716%
365
a)
En este caso, r = 0.09 cada 6 meses y m = 182 días.
182
i% efectiva cada 6 meses = 1+ 0.090
182
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- 1 = 9.415%
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.4 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: COMPARACIÓN ENTRE LA DURACIÓN DEL
PERIODO DE PAGO Y DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN (PP VERSUS PC)
En las cálculos de equivalencia con porcentajes altos, la frecuencia de los flujos de efectivo no
es igual a la frecuencia de la capitalización de los intereses. Por ejemplo, los flujos de efectivo
pueden ser mensuales, mientras que la capitalización puede ser anual, trimestral o más
frecuente. Considere los depósitos realizados en una cuenta de ahorros cada mes, cuyos
rendimientos tienen un periodo de capitalización trimestral. La duración del PC es de un
trimestre, mientras que la duración del PP es de un mes. Para llevar a cabo correctamente los
cálculos de equivalencia, resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de
capitalización y el periodo de pago, y que en consecuencia la tasa de interés se ajuste.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago único, hay dos formas
igualmente correctas de determinar i y n para los factores P/F y F/P. El método 1 es más fácil
de aplicar, porque las tablas de interés que aparecen en la parte posterior del libro por lo
común ofrecen el valor del factor. El método 2 quizá requiera cálculos mediante la fórmula
para el factor, ya que la tasa de interés efectiva que resulta no constituye un entero. En el caso
de las hojas de cálculo, cualquier método es aceptable; sin embargo, por lo general el método
1 es más fácil.
Método 1: Se determina la tasa de interés efectiva durante el periodo de composición PC, y se iguala n al
número de periodos de composición entre P y F. Las relaciones para calcular P y F son:
P = F(P/F, i% efectiva por PC, número total de periodos n) [4.9]
F = P(F/P, i% efectiva por PC, número total de periodos n) [4.10]
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
Por ejemplo, suponga que la tasa establecida de la tarjeta de crédito es una tasa efectiva de
15% anual, compuesto mensualmente. En este caso, PC es igual a un mes. Para calcular P o F
a lo largo de un periodo de dos años, se calcula la tasa mensual efectiva de 15%/12 = 1.25% y
el total de meses de 2(12) = 24. Así, los valores 1.25% y 24 se utilizan para el cálculo de los
factores P/F y F/P.
Se puede utilizar cualquier periodo para determinar la tasa de interés efectiva; sin embargo,
el PC constituye el mejor fundamento. El valor del PC es mejor porque sólo a lo largo del PC
una tasa de interés efectiva tiene el mismo valor numérico que la tasa nominal durante el
mismo periodo del PC, lo cual se estudió en la sección 4.1 y en la tabla 4.1. Esto significa que
la tasa de interés efectiva durante el PC por lo general es un número entero. Entonces, es
posible utilizar las tablas de los factores que aparecen en la parte posterior de este libro..
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
Método 2: Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo t de la tasa
nominal, y sea n igual al número total de periodos utilizando el mismo periodo. Las
fórmulas de P y F son las mismas que las de las ecuaciones [4.9] y [4.10], salvo que
el término i% efectiva por t se sustituye por la tasa de interés.
En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual compuesto mensualmente,
el periodo t es 1 año. La tasa de interés efectiva durante un año y los valores n son:
12
i% efectiva anual= 1 + 0.15 - 1 = 16.076%
12
El factor P/F es el mismo por ambos métodos: (P/F,1.25%,24) = 0.7422, utilizando
la tabla 5; y (P/F,16.076%,2) = 0.7422 aplicando la fórmula del factor P/F.
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UNIDAD I: 4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.6
Un ingeniero que trabaja como consultor privado realizó depósitos en una cuenta
especial, para cubrir gastos de viaje no reembolsados. La figura 4.5 muestra el
diagrama de flujo de efectivo. Calcule cuánto hay en la cuenta después de 10 años a
una tasa de interés de 12% anual, compuesto semestralmente.
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UNIDAD I: 4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.6
Solución
Sólo interesan los valores de P y F. Ambos métodos se ejemplifican para calcular F
en el año 10. Método 1: Utilice el PC semestral para expresar la tasa efectiva
semestral de 6% por cada periodo de 6 meses. Hay n = (2)(número de años)
periodos semestrales por cada flujo de efectivo. Utilizando los valores de los
factores de la tabla 11, se observa que el valor futuro, por medio de la ecuación
[4.10], es
F = 1 000(F/P,6%,20) + 3 000(F/P,6%,12) + 1 500(F/P,6%,8)
= 1 000(3.2071) + 3 000(2.0122) + 1 500(1.5938)
= $11 634
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UNIDAD I: 4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
EJEMPLO 4.6
Método 2: Exprese la tasa efectiva anual con base en un periodo de composición
semestral.
Sesión 4
2
i% efectiva anual= 1 + 0.12 - 1 = 12.36%
12
El valor de n es el número real de años. Utilice la fórmula del factor (F/P,i,n) =
(1.1236) n y la ecuación [4.10] para obtener la misma respuesta que con el método 1.
F = 1 000(F/P,12.36%,10) + 3 000(F/P,12.36%,6) + 1 500(F/P,12.36%,4)
= 1 000(3.2071) + 3 000(2.0122) + 1 500(1.5938)
= $11 634
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UNIDAD I: 4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.6
Figura 4.5 Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 4.6).
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP ≥ PC
EJEMPLO 4.6
Comentario
Para flujos de efectivo de pago único, cualquier combinación de i y n deducida de
la tasa nominal establecida se utiliza en los factores, siempre y cuando tenga como
base el mismo periodo. Si se emplea 12% anual, con periodo de capitalización
mensual, la tabla 4.6 presenta varias combinaciones aceptables de i y n. Existen
otras combinaciones correctas, tales como la tasa efectiva semanal para i con
semanas para n.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Cuando se incluyen series gradiente o uniformes en la sucesión de flujo de efectivo,
el procedimiento es esencialmente el mismo que el del método 2 antes expuesto,
salvo que ahora PP queda definido por la frecuencia de los flujos de efectivo. Esto
también establece la unidad de tiempo de la tasa de interés efectiva. Por ejemplo, si
los flujos de efectivo son trimestrales, el PP es de un trimestre y, por consiguiente, se
necesita una tasa de interés efectiva trimestral. El valor n es el número total de
trimestres. Si PP es igual a un trimestre, 5 años se traducen en un valor de n de 20
trimestres. Esto constituye una aplicación directa de la siguiente directriz general:
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo, A, G, g) y el
periodo de pago es igual o mayor que el periodo de capitalización,
• Se calcula la tasa de interés efectiva i por periodo de pago.
• Se determina n como el número total de periodos de pago.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Docente: Ing. Juan Carlos García
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UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.7
Un ingeniero de control de calidad pagó $500 semestrales en los pasados 7 años por
el contrato de mantenimiento del software de una LAN. ¿Cuál es la cantidad
equivalente después del último pago, si estos fondos se obtienen de un consorcio que
ha estado reembolsando 20% de intereses anuales con composición trimestral?
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UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.7
Solución
La figura 4.6 muestra el diagrama de flujo de efectivo. El periodo de pago (6 meses)
es más largo que el periodo de capitalización (trimestre); es decir, PP > PC. Si
aplicamos la directriz, es necesario determinar una tasa de interés efectiva
semestral. Aplique la ecuación [4.8] con r = 0.10 por cada periodo de 6 meses y m =
2 trimestres por cada periodo semestral.
2
i% efectiva por 6 meses = 1 + 0.10 - 1 = 10.25%
10
La tasa de interés efectiva semestral también se obtiene de la tabla 4.3 utilizando un
valor r de 10% y m = 2 para llegar a i = 10.25%.
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UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.8
El valor i = 10.25% parece razonable, ya que esperamos que la tasa de interés
efectiva sea ligeramente superior a la tasa de interés nominal de 10%, por cada
periodo de 6 meses. El número total de periodos de pagos semestrales es n = 2(7) =
14. La relación para F es:
F = A(F/A,10.25%,14)
= 500(28.4891)
= $14 244.50
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UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.8
Suponga que usted planea adquirir un automóvil y obtiene un préstamo de $12 500
al 9% anual, compuesto mensualmente. Los pagos deben efectuarse mensualmente
durante 4 años. Determine el pago mensual. Compare las soluciones manual y por
computadora.
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UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.9
Solución
La figura 4.8 muestra el diagrama de flujo de efectivo. Durante los 20 periodos
semestrales, los costos anuales se presentan cada dos periodos (un periodo sí y otro no);
se busca la serie de recuperación de capital para cada periodo de 6 meses. Este esquema
vuelve algo engorrosa la solución a mano si se utiliza el factor P/F, en lugar del factor
P/A, para determinar P en el caso de los 10 costos anuales de $200 000. Se recomienda
la solución por computadora en tales casos.
Solución a mano (tasa 1): A continuación se resumen los pasos para calcular el valor
semestral A:
PP = PC a 6 meses; se calcula la tasa de interés efectiva por cada periodo semestral
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UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.9
Tasa de interés efectiva semestral i = 8%/2 = 4% por 6 meses, con un periodo de
composición semestral.
Número de periodos semestrales n = 2(10) = 20.
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UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
EJEMPLO 4.9
Sesión 4
Se calcula P, utilizando el factor P/F para n = 2, 4,..., 20 periodos ya que los costos son
anuales, no semestrales. Después se utiliza el factor A/P a lo largo de los 20 periodos para
determinar el valor semestral de A.
20
P = 3’000,000 + 200,000
Σ (P/F,4%,k)
K=2,4
= 3 000 000 + 200 000(6.6620) = $4 332 400
A = $4 332 400(A/P,4%,20) = $318 778
Conclusión: se requiere un ingreso de $318 778 cada 6 meses para cubrir los costos y un
interés de 8% anual, con periodo de composición semestral.
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UNIDAD I: 4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.9
Solución a mano (tasa 2): El PP es semestral; en cambio, el PC ahora es mensual; por lo tanto,
PP > PC. Para calcular la tasa semestral efectiva, la tasa de interés efectiva, ecuación [4.8], se
aplica con r = 4% y m = 6 meses por cada periodo semestral.
6
i% efectiva semestral = 1 + 0.04 - 1 = 4.067%
6
20
P = 3’000,000 + 200,000
Σ (P/F,4.067%,k)
K=2,4
= 3 000 000 + 200 000(6.6204) = $4,324.080
A = $4 324 080(A/P,4.067%,20) = $320,064
Ahora se requieren $320 064, es decir, $1 286 más cada 6 meses para cubrir la capitalización más frecuente de 8% de interés
anual. Observe que todos los factores P/F y A/P deben calcularse con las fórmulas de los factores al 4.067%. Este método,
por lo general, implica más cálculos y es más susceptible al error que la solución en hoja de cálculo.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.7 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS Y SERIES CON PP < PC
Si una persona deposita dinero cada mes en una cuenta de ahorros con un interés compuesto
trimestral, ¿ganan intereses todos los depósitos mensualmente antes del siguiente periodo
de composición trimestral? Si un banco le cobra a una persona intereses el día 15 del mes en
sus pagos de la tarjeta de crédito, y si la persona hace el pago completo el día primero,
¿reduce la institución financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado? La
respuesta común es no. Sin embargo, si una empresa grande hiciera pagos mensuales para
cubrir un préstamo bancario de $10 millones, con un interés compuesto trimestral, el
ejecutivo de finanzas de la empresa probablemente insistiría en que el banco redujera la
cantidad de intereses, basándose en el pago anticipado. Éstos constituyen ejemplos de PP <
PC. El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de efectivo entre puntos de
capitalización implica la pregunta de cómo manejar la capitalización interperiódica.
Fundamentalmente existen dos políticas: los flujos de efectivo entre periodos no ganan
intereses o ganan un interés compuesto.
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UNIDAD I: 4.7 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS Y SERIES CON PP < PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.10
Rob es el ingeniero de coordinación de obra en Alcoa Aluminum, donde se encuentra una
mina en renovación, en la cual un contratista local ha instalado un nuevo equipo de
refinamiento de materiales. Rob desarrolló el diagrama de flujo de efectivo de la figura 4.10a
en unidades de $1 000 desde la perspectiva del proyecto. El diagrama incluye los pagos al
contratista que Rob autorizó para el año en curso y los anticipos aprobados por las oficinas
centrales de Alcoa. Rob sabe que la tasa de interés sobre proyectos de campo de equipo
como éstos es de 12% anual, compuesto trimestralmente, y que Alcoa no va a insistir en la
capitalización interperiódica de los intereses. ¿Se encontrarán o no las finanzas del proyecto
de Rob en números “rojos” al final del año? ¿Por cuánto?
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UNIDAD I: 4.7 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS Y SERIES CON PP < PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.10
Figura 4.10
Flujos de efectivo a) actuales y b)
trasladados (en $1 000) para los
periodos de capitalización
trimestral sin interés entre
periodos (ejemplo 4.10).
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UNIDAD I: 4.7 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS Y SERIES CON PP < PC
Sesión 4
EJEMPLO 4.10
Solución
Sin considerar algún interés entre periodos, la figura 4.10b refleja el traslado de los flujos de
efectivo. El valor futuro después de 4 trimestres requiere F a una tasa de interés efectiva
trimestral de 12%/4 = 3%. La figura 4.10b muestra todos los flujos de efectivo negativos (pagos
al contratista) trasladados al final del trimestre respectivo, y todos los flujos de efectivo
positivos (ingresos de las oficinas centrales) trasladados al principio del trimestre respectivo.
Calcule el valor de F al 3%.
F = 1 000[–150(F/P,3%,4) – 200(F/P,3%,3) + (–175 + 90)(F/P,3%,2) + 165(F/P,3%,1) – 50]
= $–357 592
Rob puede concluir que las finanzas del proyecto en la obra se encontrarán en números rojos
por alrededor de $357 600 al final del año.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.7 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS Y SERIES CON PP < PC
Si PP < PC y se obtienen intereses por composición entre periodos, los flujos de efectivo no se
trasladan; así, los valores equivalentes P, F o A se determinan utilizando la tasa de interés
efectiva por periodo de pago. Las relaciones de la ingeniería económica se determinan de la
misma forma que en las acciones anteriores para PP ≥ PC. La fórmula de la tasa de interés
efectiva tendrá un valor m menor que 1, ya que tan sólo hay una parte fraccionaria del PC en
un PP. Por ejemplo, los flujos de efectivo semanales y la composición trimestral requieren que
m = 1/13 de un trimestre. Cuando la tasa de interés nominal es de 12% anual, con periodo de
composición trimestral (el mismo que 3% cada trimestre, con composición trimestral), la tasa
de interés efectiva por cada PP es:
1/13
i% efectiva semanal = (1.03) – 1 = 0.228% semanal
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.8 TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Si dejamos que la capitalización se presente con más frecuencia cada vez, los periodos de
capitalización se van acortando. Entonces, el valor de m, es decir, el número de periodos de
composición por periodo de pago, aumenta. Esta situación ocurre en los negocios con una gran
cantidad de flujos de efectivo diarios; así, es adecuado considerar intereses con periodos de
capitalización continua. Conforme m se aproxima al infinito, la tasa de interés efectiva,
ecuación [4.8], debe expresarse de otra forma. Primero recordemos la definición de la base del
logaritmo natural.
La ecuación [4.12] se aplica para calcular la tasa de interés efectiva continua, cuando los
periodos para i y r son los mismos. Como ejemplo, si la tasa anual nominal r = 15% anual, la
tasa de interés efectiva continua anual es: i% = e –r 1
r
0.15
i% = e – 1 = e – 1 = 16.183%
Docente: Ing. Juan Carlos García
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.8 TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN CONTINUA
EJEMPLO 4.11
a) Calcule las tasas de interés anual y efectiva mensual, para una tasa de interés del 18% anual
con composición continua.
b) Un inversionista necesita un rendimiento efectivo de, por lo menos, el 15%. ¿Cuál es la tasa
nominal anual mínima aceptable para la composición continua?
Solución
a) La tasa mensual nominal es r = 18%/12 = 1.5%; es decir, 0.015 mensual. De acuerdo con la
ecuación [4.12], la tasa mensual efectiva es:
i% mensual = er – 1 = e0.015
– 1 = 1.511%
Asimismo, la tasa anual efectiva, utilizando r = 0.18 anual, es
0.018
i% anual = re – 1 = e – 1 = 19.72%
b) Resuelva la ecuación [4.12] para r considerando el logaritmo natural.
e r – 1 = 0.15 / e r= 1.15
/ log er = log 1.15
r% = 13.976%
Por lo tanto, una tasa de 13.976% anual, con periodo de composición continua, generará
15% efectivo de rendimiento anual.
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UNIDAD I: 4.8 TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Sesión 4
EJEMPLO 4.12
Las ingenieras Marci y Suzanne invierten $5 000 durante 10 años al 10% anual. Calcule el valor
futuro para ambas, si Marci recibe intereses anuales compuestos, y Suzanne, intereses
continuos.
Solución
Marci: El valor futuro para un periodo de composición anual es
F = P(F/P,10%,10) = 5 000(2.5937) = $12 969
Suzanne: Utilizando la ecuación [4.12], primero se encuentra la tasa efectiva i anual, para
usarla en el factor F/P.
0.10
i% efectiva = e – 1 = 10.517%
F = P(F/P,10.517%,10) = 5 000(2.7183) = $13 591
La composición continua genera $622 de incremento en ganancias. Por comparación, la
composición diaria genera una tasa efectiva de 10.516% (F = $13 590), apenas un poco menor
que el 10.517% de la composición continua.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.8 TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN CONTINUA
En algunas actividades de negocios, los flujos de efectivo se presentan durante el día. Ejemplos
de costos son los costos de energía y agua, costos de inventario y costos de mano de obra. Un
modelo realista para estas actividades consiste en incrementar la frecuencia de los flujos de
efectivo para que se tornen continuos. En tales casos, el análisis económico puede llevarse a
cabo para un flujo de efectivo continuo (también denominado flujo continuo de fondos) y para
la composición continua de intereses antes estudiada. Entonces, es necesario derivar
expresiones diversas para los factores. De hecho, las diferencias económicas para los flujos de
efectivo continuos, relativos al flujo de efectivo discreto y a los supuestos de composición
discreta, normalmente no son muy grandes. En consecuencia, muchos estudios de ingeniería
económica no exigen al analista que utilice estas formas matemáticas para llevar a cabo la
evaluación apropiada de un proyecto y tomar una decisión.
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Sesión 4
UNIDAD I: 4.9 TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Las tasas de interés reales para una corporación varían año con año, dependiendo del estado
financiero de la empresa, de su sector en el mercado, de las economías nacional e
internacional, de las fuerzas de inflación y de muchos otros factores. Las tasas de préstamo
pueden incrementarse de un año a otro. Las hipotecas de bienes inmuebles financiadas
mediante un interés de tipo HTA (hipoteca de tasa ajustable) constituyen un buen ejemplo. La
tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada año para que refleje la antigüedad del préstamo,
el costo actual del dinero de la hipoteca, etcétera. Un ejemplo de tasas de interés que se
incrementan con el tiempo son los bonos protegidos contra la inflación, emitidos por el
gobierno de Estados Unidos y otras agencias. La tasa de dividendos que paga el bono
permanece constante a lo largo de su periodo de vida; sin embargo, a la cantidad global que se
debe al propietario del bono cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste ascendente, de
acuerdo con el índice de inflación del índice de precios al consumidor (IPC). Esto significa que la
tasa anual de rendimiento se incrementará cada año de acuerdo con la inflación observada.
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UNIDAD I: 4.9 TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Sesión 4
Cuando sólo están involucradas cantidades únicas, es decir, una P y una F en el año final n, el
último término de la ecuación [4.13] es la expresión del valor presente del flujo de efectivo
futuro.
P = Fn(P/F,i1,1)(P/F,i2,1) · · · (P/F,in,1) [4.14]
Si se requiere la serie uniforme equivalente A durante todos los n años, primero se calcula P
con cualquiera de las dos últimas ecuaciones; enseguida se sustituye el símbolo A por cada
símbolo Ft. Ya que el valor equivalente P se determinó numéricamente utilizando las tasas
variables, esta nueva ecuación sólo tendrá una incógnita, A. El siguiente ejemplo ilustra tal
procedimiento.
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UNIDAD I: 4.9 TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Sesión 4
EJEMPLO 4.13
CE, Inc. arrienda equipo pesado para perforación de túneles. Las utilidades netas del equipo
para cada uno de los últimos 4 años han ido disminuyendo, como lo indica la siguiente tabla.
Ésta, además, incluye las tasas de rendimiento anuales sobre el capital invertido. La tasa de
rendimiento se ha ido incrementando. Determine el valor presente P y la serie uniforme
equivalente A de la serie de utilidades netas. Tome en cuenta la variación anual de las tasas
de rendimiento.
Año
1
2
3
4
Utilidad
$70 000
$70 000
$35 000
$25 000
Tasa anual
7%
7%
9%
10%
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UNIDAD I: 4.9 TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Sesión 4
EJEMPLO 4.13
Solución
La figura 4.11 muestra los flujos de efectivo, las tasas de cada año y los valores equivalentes de
P y A. La ecuación [4.13] se utiliza para calcular P. Ya que para los años 1 y 2 el rendimiento
neto es $70 000 y la tasa anual es 7%, el factor P/A se aplica exclusivamente
para estos dos años.
Figura 4.11 Valores equivalentes de P y A para tasas de interés variables (ejemplo 4.13).
P = [70(P/A,7%,2) + 35(P/F,7%,2)(P/F,9%,1)
+ 25(P/F,7%,2)(P/F,9%,1)(P/F, 10%,1)](1 000)
= [70(1.8080) + 35(0.8013) + 25(0.7284)](1 000)
= $172,816
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UNIDAD I: 4.9 TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Sesión 4
EJEMPLO 4.13
Para determinar una serie anual equivalente, se sustituye el símbolo A por los valores de
utilidad neta en la parte derecha de la ecuación [4.15], que se iguala a P = $172 816 y se
despeja A. Esta ecuación toma en cuenta los valores variables i de cada año. La figura 4.11
muestra la transformación del diagrama de flujo de efectivo.
$172 816 = A[(1.8080) + (0.8013) + (0.7284)] = A[3.3377]
A = $51 777 anuales
Comentario
Si se utiliza el promedio de las cuatro tasas anuales, es decir, 8.25%, el resultado es A = $52
467. Esto representa $690 de presupuesto sobreestimado anual sobre la cantidad equivalente
requerida.
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UNIDAD I: SESION 4 TASAS DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS
Sesión 4
EJERCICIOS
4.2 Identifique el periodo de capitalización para
los intereses que siguen:
a) 7% nominal anual, compuesto trimestralmente;
b) 6.8% efectivo anual, compuesto mensualmente.
c) 3.4% efectivo trimestral, compuesto semanalmente.
4.8 Identifique las tasas de interés establecidas como nominales o efectivas:
a) 1.3% mensual;
b) 1% semanal, compuesto semanalmente;
c) 15% nominal anual, compuesto
mensualmente; d) 1.5% efectivo por mes, compuesto diariamente, y e) 15% anual,
compuesto semestralmente.
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UNIDAD I: SESION 4 TASAS DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS
EJERCICIOS
Sesión 4
Tasas nominal y efectiva
4.2 Identifique el periodo de capitalización para
los intereses que siguen:
a) 7% nominal anual, compuesto trimestralmente;
b) 6.8% efectivo anual, compuesto mensualmente.
c) 3.4% efectivo trimestral, compuesto semanalmente.
4.8 Identifique las tasas de interés establecidas como nominales o efectivas:
a) 1.3% mensual;
b) 1% semanal, compuesto semanalmente;
c) 15% nominal anual, compuesto
mensualmente; d) 1.5% efectivo por mes, compuesto diariamente, y e) 15% anual,
compuesto semestralmente.
Docente: Ing. Juan Carlos García
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UNIDAD I: SESION 4 TASAS DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS
Sesión 4
EJERCICIOS
Periodos de pago y de composición o capitalización
4.17 Se realizan depósitos de $100 por semana en una cuenta de ahorros que paga
un interés de 6% anual, compuesto trimestralmente. Identifique los periodos de
pago y capitalización.
4.24 En un esfuerzo por garantizar la seguridad de los usuarios de teléfonos
celulares, la Comisión Federal de Comunicaciones de los Estados Unidos (FCC) exige
que los aparatos tengan un número de radiación específica absorbida (REA) de 1.6
watts por kilogramo (W/kg) de tejido, o menos. Una compañía nueva de teléfonos
celulares considera que si hace publicidad a su cantidad favorable de 1.2 REA,
incrementará sus ventas en $1.2 millones dentro de tres meses, cuando salgan a la
venta sus equipos. Con una tasa de interés de 20% anual, compuesto
trimestralmente, ¿cuál es la cantidad máxima que ahora debe gastar la compañía
en publicidad, con el fin de mantenerse en equilibrio?
Docente: Ing. Juan Carlos García
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UNIDAD I: SESION 4 TASAS DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS
EJERCICIOS
Sesión 4
Equivalencia cuando PP < PC
4.40 Un ingeniero deposita $300 por mes en una cuenta de ahorros con una tasa
de interés de 6% anual, compuesto semestralmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta al
final de 15 años? Suponga que no hay ningún periodo intermedio de capitalización.
4.41 En el tiempo t = 0, un ingeniero depositó $10 000 en una cuenta que paga un
interés del 8% anual compuesto semianualmente. Si retiras $1 000 en los meses 2,
11 y 23 ¿cuál es el valor total de la cuenta al final de 3 años? Considere que no hay
composición alguna entre los periodos.
Docente: Ing. Juan Carlos García
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UNIDAD I: SESION 4 TASAS DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS
Sesión 4
EJERCICIOS
Composición continua
4.44 ¿Qué tasa efectiva de interés anual, con capitalización continua, equivale a una tasa
nominal de 13% por año?
4.45 ¿Cuál es la tasa efectiva de interés por 6 meses que es igual a otra nominal de 2%
mensual, compuesto continuamente?
4.46 ¿Qué tasa nominal trimestral equivale a una tasa efectiva de 12.7% anual, compuesto
de manera continua?
4.47 Problemas de corrosión y defectos de manufactura hicieron que fallara un ducto de
gasolina con soldaduras longitudinales ubicado entre El Paso y Phoenix. Por ello, se redujo la
presión a un 80% del valor considerado por el diseño. Si la presión reducida originó que se
distribuyera $100 000 menos de producto al mes, ¿cuál será el valor del ingreso perdido
después de un periodo de 2 años, con una tasa de interés de 15% anual, compuesto
continuamente?
Docente: Ing. Juan Carlos García
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UNIDAD I: SESION 4 TASAS DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS
EJERCICIOS
Sesión 4
Tasas de interés variables
4.53 ¿Cuánto dinero podría desembolsar hoy un fabricante de abrasivos de estrato fluido,
en vez de gastar $150 000 en el quinto año, si la tasa de interés es de 10% en los años 1 a 3,
y 12% en los años 4 y 5?
4.54 ¿Cuál es el valor futuro en el año 8 de una suma presente de $50 000, si la tasa de
interés es 10% anual en los años 1 a 4, y 1% en los años 5 a 8?
Docente: Ing. Juan Carlos García
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¡Gracias por su atención!
Docente: Ing. Juan Carlos García
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