1. (Jose - Juan Vergara). surgimiento de los primeros conceptos y metodos matematicos

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE LOS SANTOS
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y TECNOLOGÍA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
LICENCIATURA EN MATEMÁTICA
GÉNESIS Y EVOLUCIÓN DE LA MATEMÁTICA
Surgimiento de los primeros conceptos y métodos matemáticos
Profesora:
Vienbenida Igualada
Presentado por:
Montenegro, José L.
Vergara, Juan M.
30 de abril de 2019
Modulo N° 1. Proceso de formación de las representaciones Matemáticas
94%
Trabajo escrito contempla:
55pts.
Puntualidad 2 pts.
Hoja de presentación
(2 pts)
Introducción (3 pts)
Citas en el contenido a
desarrollar (10 pts)
Contenido (35 pts)
(material bien
redactado, organizado,
bien estructurado y con
creatividad-cada
apartado debe tener
todas asignaciones del
primer módulo.
Conclusión (2pts)
Bibliografía (1)
Instrumento para evaluar el trabajo escrito.
Excelente
Bueno
Por mejorar
Puntaje
Entrega a la
fecha asignada
(2pts)
Hoja de
presentación sin
errores (2 pts)
Originalidad en
la introducción y
su redacción
coherente, clara
y sin errores (3
pts)
Tiene mas de 6
citas
bibliográficas
(10 pts)
los temas
desarrollados
contempla los
pasos indicados
y bien redactado
con detalles a
nivel profundo
(35 pts)
Entrega dos o 4 días
después. (1 pts)
No entrega (0 pts)
2
Por lo menos tiene
dos errores (1.5 pts)
Tiene 3 0 más
errores (0, 5 pts)
1.5
Un 90% a 81% tiene
Originalidad y su
redacción en su
mayoría es
coherente y clara (2,
5 pts)
Tiene por lo menos
4 citas
bibliográficas. (6
pts)
los temas
desarrollados
contempla la
mayoría de los
pasos indicados con
la mayor parte de
detalles, pero a nivel
básico (28 pts)
Un 80% o menos
81% es
Originalidad y su
redacción es poca
coherente, y clara
(1, 5 pts)
Tiene por lo
menos 2 citas
bibliográficas (3
pts)
los temas
desarrollados
contempla algunos
de los pasos
indicados pocos
detalles a nivel
superficial (15 pts)
2
Originalidad en
la conclusión y
su redacción
coherente, clara
y sin errores (2
pts)
Presenta la
bibliografía
utilizando
correctamente
las normas apa
(2 pts)
Un 90% a 81% tiene
Originalidad y su
redacción en su
mayoría es
coherente y clara (1,
5 pts)
Presenta la
bibliografía
utilizando en su
mayoría las normas
apa ( 1 pts)
Un 80% o menos
81% es
Originalidad y su
redacción es poca
coherente, y clara
(0, 5 pts)
No presenta la
bibliografía
2
8
35
1
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………….. III
1. EL ORIGEN DE LA MATEMÁTICA……………………………..………………………. 4
1.1. Pueblos Antiguos………………………………………………………………….. 4
1.1.1. Primeros Pobladores………………………………………………………….. 4
1.1.2. Sumerios……………………………………………………………………….. 5
1.1.3. Mesopotamia (10 000 a.C.)………………………….……………..…………5
1.1.4. Babilonia (3 500 a.C.)…………………………………………………………..6
1.1.4.1. Geometria Babilonica…………………………………………………..8
1.1.5. Antiguo Egipto…………………………………………………………………..9
1.1.5.1. Geometria del Antiguo Egipto…………………………………………10
- El numero “pi” en las Piramides
1.1.6. Fenicia…………………………………………………………………………..11
1.1.7. Civilizacion Maya……………………………………………………………….12
1.1.8. Antigua Grecia………………………………………………………………….12
1.1.8.1. Geometria de la Antigua Grecia………………………………………14
- Tales de Mileto
- Pitagoras
- Los Sofistas
- Platon
- Aristoteles
- Euclides
- Arquimedes
1.1.9. Antigua Roma………………………………………………………………….21
1.1.10. Persia……………………………………………………………………….21
1.1.11. Hebrea………………………………………………………………………22
1.1.12. Antigua Arabia……………………………………………………………..22
1.1.13. Civilizacion Azteca…………………………………………………………23
2. EL CONCEPTO DE NÚMERO…………………………………………………………..24
3. GEOMETRÍA SUBCONSCIENTE……………………………………………………….25
- Primer nivel subconsciente
- Segundo nivel subconsciente
- Tercer nivel consciente
CONCLUSION
BIBLIOGRAFIA
II
INTRODUCCIÓN
Las Matemáticas, son un área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los
descubrimientos. Constituyen una materia básica en una educación sólida, no sólo por los
conocimientos y técnicas que aportan, sino porque desarrollan cualidades esenciales en el estudio,
como el rigor, las capacidades de abstracción y de resolución de problemas.
El origen de las matemáticas data desde miles de años ante de Cristo. Antes de su descubrimiento,
los grupos de personas de ese entonces observaban y relacionaban desde conjuntos de un solo
individuo o objeto hasta abarcar muchos de ellos, pero al abarcar tantos individuos se les hacia tan
difícil manipularlo mentalmente de modo que relacionaban unos con piedras, otros con muescas en
huesos etc. En estos tiempos aun no se conocía de manera abstracta un sistema de numeración.
Es así que el concepto de número empieza a surgir en los años de 10 000 a.C. donde los aborígenes
solo manipulan la unidad, el par y muchos lo cual se llega a un sistema de numeración distinto en cada
cultura de diferentes poblados del mundo antiguo de ese entonces.
Los griegos se conocen por sus aportes significativos a la geometría. Incluso otros pueblos como la
India, China y Mesopotamia conocían gran parte de los sistemas geométricos a los que los griegos
habían trabajado, pero éste último fue que dio las demostraciones de las mismas. De manera siguiente
nace el concepto de numero al cual relacionan con el entorno y finalmente se lleva acabo la geometria
de un nivel subconsciente al principio de su aparicion o descubrimiento, y luego a un final consciente
donde todo lo que tenga que ver con geometria es demostrado.
III
PROCESO DE FORMACIÓN DE LAS REPRESENTACIONES MATEMÁTICAS
Surgimiento de los primeros conceptos y métodos matemáticos
1. EL ORIGEN DE LAS MATEMÁTICAS
Las matemáticas son una de las ciencias mas antiguas, y más útiles. El concepto de matemática,
se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó
a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos
tanto de las manos como de los pies, piedras o hueso.
El origen de las matemáticas se remonta a los primeros pobladores del mundo. He aquí los pueblos
más antiguos de la humanidad:
1.1. PUEBLOS ANTIGUOS
1.1.1. Primeros Pobladores
ORIGEN
37 000
a.C.
30 000
a.C.
(Europa
Antigua)
REPRESENTACIÓN EN SÍMBOLOS U OBJETOS
Hueso de Lebombo: El hueso se encontró en una
cueva en las montañas Lebombo, en la frontera entre
Swazilandia y Sudáfrica. Las marcas más viejas
conocidas de este tipo, 29 muescas grabadas en un
hueso de pata de babuino. Es posible que las Sanchez, D. (2014). Hueso de
muescas estén relacionadas con las fases de la Luna Lebombo.[Figura 1]. Recuperado de
https://prehistorialdia.blogspot.com/2014/02/l
o el periodo de menstruación de las mujeres as-matematicas-en-la-prehistoria-5.html
(Stewart, 2008).
Hueso de lobo: Encontrado en la antigua
Checoslovaquia tiene 57 marcas dispuestas en
once grupos de cinco con dos sueltas. Dos veces 28
es 56, de modo que esto podria
́ ser un registro lunar
[Figura
2].
Recuperado
de
de dos meses (Stewart, 2008).
https://app.emaze.com/@AOFTLQFRZ#15
25 000
a.C.
10 000
a.C.
Hueso de Ishango: Una fila contiene los números
primos entre 10 y 20, a saber, 11, 13, 17 y 19, cuya
suma es 60. Otra hilera contiene 9, 11, 19 y 21, que
también suman 60. Las marcas de cuenta tienen la
ventaja de que pueden irse añadiendo de una en
una, durante largos periodos, sin alterar o borrar
marcas anteriores. Se siguen utilizando hoy, a
menudo en grupos de cinco con el quinto trazo
cruzando diagonalmente los cuatro anteriores
(Stewart, 2008).
Utilizaban pequeñas fichas de arcilla: conos, otras
eran esferas y otras tenia
́ n forma de huevos. Las
fichas se utilizaban para llevar registros, quizá con
fines impositivos o financieros, o como prueba legal
de propiedad.
4
Steward, I. (2008). El hueso de Ishango,
con las pautas de marcas y los números
que pueden representar [Figura 3]
Bola de arcilla y sus cálculos [Figura 4].
Recuperado de http://flita2.rssing.com/chan1493072/all_p3.html
Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en
Babilonia y Egipto. Los pobladores de estas civilizaciones sentían la necesidad de “controlar” el
pronóstico del tiempo, tal vez por experiencia, pues cada desastre que asolaba sus tierras los dejaba
con más de un problema. Entonces se puede hablar de los calendarios como solución.
Para construir un calendario se necesitan:




Conocimientos matemáticos.
Que surjan los investigadores.
Que intenten solucionar el problema de la agricultura.
Que generen operaciones aritméticas.
Estas matemáticas estaban dominadas por:

La aritmética (estudio de los números y sus operaciones), con cierto interés en medidas.

Cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas (una verdad
tan evidente que no requiere demostración) o las demostraciones.
No se sabe muy bien cuál es el inicio del número. Los datos históricos empiezan en Egipto y
Babilonia unos 4000 a.C. (Lopez, 2015).
1.1.2. Sumerios
Desarrollaron una elaborada forma de escritura, llamada cuneiforme: «en forma de cuña». (Stewart,
2008)
1.1.3. Mesopotamia (10 000 a.C.)
Inscribieron símbolos en recipientes que hacia
́ n una lista de las fichas que contenia
́ un recipiente.
Si habia
́ dentro siete esferas, los contables dibujaban siete esferas en la arcilla húmeda de la vasija.
En algún momento ya no necesitaban los contenidos, y ya no tenia
́ n que romper el recipiente para ver
qué fichas habia
́ dentro. De hecho, es posible que la sustitución de fichas por símbolos haya
constituido también el nacimiento de la propia escritura.
El camino histórico desde las fichas de los contables a los numerales modernos es largo e indirecto.
Los primitivos sim
́ bolos inscritos en tablillas de arcilla húmeda se transformaron en pictogramas —
sim
bolos
que
representan
palabras mediante imágenes simplificadas de lo que las palabras significan
́
(Stewart, 2008).
En Mesopotamia habían desarrollado una escritura a través de unas tablillas que plasmaban con
cuñas, además crearon el sistema de numeración posicional con base en 60. Y se caracteriza por
utilizar la "geometría" como solución a los problemas sociales de agrimensura.
A partir de esta zona surgieron varias ciudades estado (entre ellas Babilonia) en la que hubo un
desarrollo mayor de la cultura, entre lo que se encuentra la geometría.
5
1.1.4. Babilonia (3 500 a.C.)
Su civilización tiene la misma antigüedad que la de Egipto y unos conocimientos similares.
Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en
Babilonia y Egipto. Los pobladores de estas civilizaciones tenían la necesidad de predecir el tiempo,
porque cada vendaval que asolaba sus tierras los dejaba con más de un problema (Lopez, 2015).
ORIGEN
REPRESENTACIÓN EN SÍMBOLOS U OBJETOS
Según (Stewart, 2008 – pag.11-12) tenia
́ n un
amplio conocimiento en matemática y
astronomía. Eran astrónomos expertos y
desarrollaron un simbolismo sistemático y
sofisticado para los números con el que podia
́ n
representar datos astronómicos con alta
precisión.
Se utilizan dos tipos diferentes de cuña: una
cuña delgada y vertical para representar el
numero 1, y una cuña gruesa horizontal para
el número 10.
3 500 a.C.
Estas cuñas se disponia
́ n en grupos para indicar
los números 2-9 y 20-50. Sin embargo, esta
pauta se detiene en 59, y la cuña delgada toma
entonces un segundo significado, el número 60.
Se dice por ello que el sistema de numeración
babilónico es de «base 60», o sexagesimal.
Aún pueden encontrarse hoy reliquias de los
números babilonios de base 60. Los 60
segundos en un minuto, 60 minutos en una hora
y 360 grados en un ciŕ culo completo se remontan
a la antigua Babilonia. Tambien utilizaban el
punto y coma para separar la parte entera de
la parte sexagesimal. Hoy en dia se usa la coma
decimal.
Stewart, I. (2008). Símbolos
babilónicos para los números
1-59. [Figura 5]
6
ORIGEN
2 500 a.C. –
1 000 a.C.
REPRESENTACIÓN EN SÍMBOLOS U OBJETOS
De los escritos de (Ruiz, 2003 – pag. 23) hay
alrededor de 500 000 tablillas de arcilla que
constituyen las fuentes principales de la cultura
babilónica, y entre ellas unas 500 son de interés
para las matemáticas. La aritmética más
desarrollada en la civilización Mesopotámica fue la
Acadiana.
Sumar y restar era un proceso de poner o quitar
sim
́ bolos. La multiplicación se hacía más o menos
como se hace hoy; de hecho, dividir era
multiplicar por el inverso. Usaban tablas para
obtener los inversos. En algunos problemas
concretos aparecen las progresiones aritmética y
geométrica.
Ruiz, 2003. Fracciones
cuneiformes. [Figura 6].
pág. 24
Se sabe también que los babilonios podia
́ n expresar
cuadrados, cubos, raic
es
cuadradas,
cúbicas;
́
eso si:́ a través de tablas. En efecto, por medio de las
tablas podia
́ n resolver ecuaciones de grado tres.
De manera de resumen en acuerdo con (Lopez, 2015) los babilonios desarrollaron unas matemáticas
más sofisticadas que les permitieron:











Encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo
grado
Encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado.
Resolvieron problemas utilizando el teorema de Pitágoras.
Recopilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de
multiplicar y de dividir.
Tablas de interés compuesto.
Calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de
algunas geométricas, sino también de sucesiones de
cuadrados.
Expresaron números con letras intuyendo la necesidad de
globalizarlos.
Tomaron el valor de 𝜋 = 3.
Nos dejaron el horóscopo zodiacal de 360 partes.
Heredamos la división del tiempo en 60 minutos, 60 segundos.
La medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
7
Lopez, F. Torre de Babel. [Figura 7].
1.1.4.1. Geometria Babilónica
A según (Stewart, 2008 – pag. 22, 23) la tablilla de arcilla babilónica muestra un cuadrado y dos
diagonales. Los lados del cuadrado están marcados con numerales cuneiformes para 30. Sobre una
diagonal está marcado 1;24,51,10 y debajo de ella 42, 25, 35, que es su producto por 30 y, por lo tanto,
la longitud de dicha diagonal. De modo que 1, 24, 51,10 es la longitud de la diagonal de un cuadrado
más pequeño, con lados unidad.
El teorema de Pitágoras nos dice que esta
diagonal es la raiź cuadrada de 2, que
escribimos √2. La aproximación 1, 24, 51, 10
para √2 es muy buena, es decir:
1+
24
51
10
+
+
= 1,414212963 …
60 3600 216000
Steward, I. (2008). Tablilla YBC 7269 y sus numerales
cuneiformes. [Figura 8]. pág. 23
Para los babilonios ésta no se estudiaba por sí misma, no
se consideraba tampoco una disciplina separada, y siempre
en relación directa con problemas concretos surgidos del
entorno. Sin embargo, conocia
́ n las áreas de rectángulos, de
triángulos rectángulos, isósceles, trapecios.
(Trapezoide Babilónico)
Se puede decir que conocia
́ n y usaban el teorema de Pitágoras.Tenia
́ n conocimiento de algunas
propiedades de los triángulos semejantes.
Se dice que conocia
́ n el siguiente teorema: "En un triángulo rectángulo, al trazar una perpendicular
desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, los triángulos que se forman a cada lado de esta
perpendicular son semejantes entre sí y al triángulo entero''. Ese teorema lo consigna Euclides.
Algunos autores opinan que sobre esto Euclides tuvo que haber tomado fuentes babilónicas.
8
1.1.5. Antiguo Egipto
ORIGEN
3 150 a.C.
REPRESENTACIÓN EN SÍMBOLOS U OBJETOS
El antiguo sistema egipcio para escribir números
naturales es muy simple y directo. Hay símbolos
para los números 1, 10, 100, 1 000, y así
sucesivamente. Repitiendo estos sim
́ bolos hasta
nueve veces, y combinando luego los resultados,
se puede representar cualquier número natural.
Las fracciones provocaban graves dolores de
cabeza a los egipcios. En diversos perio
́ dos
utilizaron varias notaciones diferentes para
fracciones (Stewart, 2008 – pag. 16).
Stewart, I. (2008). Símbolos numerales
egipcios.[Figura 10]. . pág 16
El sistema de numeración egipcio es tan antiguo
como la propia escritura jeroglífica egipcia; con
dicho sistema podían representar cantidades
millonarias; su base era decimal.
3 000 a.C.
Los números en la cultura egipcia, se podían
escribir de dos maneras, utilizando la escritura
jeroglífica o bien la escritura hierática (la cual
permitía a los escribas escribir de forma
rápida).
(Anonimo, 2015). Escritura Hieratica.
[Figura 11]
Una notación especial para nuestras fracciones
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 y 1/64 se obtenia
́ por
división por dos repetida.
2 700 a.C. –
2 200 a.C.
Estos sim
́ bolos utilizaban partes del
jeroglífico «ojo de Horus» u «ojo de la
cobra»(Stewart, 2008 – pag. 16).
Stewart, I. (2008). Fracciones especiales
formadas con partes del ojo de la
cobra.[Figura 12]. pág.18
El sistema egipcio más conocido para las
fracciones fue ideado durante el Reino Medio.
Empieza con una notación para cualquier
2 200 a.C. – fracción de la forma 1/n, donde n es un entero
1 700 a.C
positivo. Es interesante que los egipcios no
escribia
́ n 2/5 como 1/5 + 1/5. Parece que su
regla era: utilizar fracciones unidad distintos
(Stewart, 2008 – pag. 17).
9
Stewart, I.(2008). Símbolo para
representar las fracciones 1/n.
[Figura13]. pág. 17
1.1.5.1. Geometria del Antiguo Egipto
Según (WordPress, 2015) la palabra Geometría en Egipto alude a “medir la tierra”.
La geometría egipcia junto a la babilónica fue la precursora de la potente geometría griega.
Los egipcios dominaban:






Los triángulos, medidos con nudos equidistantes.
Consiguieron un ángulo recto y por tanto triángulos rectángulos
Diferenciaban hipotenusa de catetos.
Hallaban áreas de cuadrados, rectángulos, rombos y trapecio.
Daban al área del círculo un valor aproximado, porque para 𝛑 suponían 3,16.
Conocían el cilindro, el tronco de cono, el tronco de pirámide y las pirámides.
WordPress (2015). (Papiro de Ahmes
o Papiro de Rhind).[Figura 14].
Este papiro comienza con la frase: “cálculo exacto para
entrar en el conocimiento de todas las cosas existentes y
de todos los oscuros secretos y misterios”.
Este papiro nos da información sobre cuestiones












Aritméticas básicas.
Fracciones.
Progresiones.
Repartos proporcionales.
Reglas de tres.
Ecuaciones lineales.
Trigonometría básica.
Problemas de repartos.
WordPress (2015). Triangulo que cumple
Problemas con el área de un triángulo isósceles.
el teorema de Pitagoras. [Figura 15]
Área de un trapecio isósceles.
Área de una circunferencia, con una forma similar a la actual, pero con π = 3 + 1⁄6.
El volumen de una pirámide de base cuadrada.
En otros papiros se encuentra:

El volumen de un tronco de cono.

Una buena aproximación del volumen de una esfera.
10
EL NÚMERO “Pi” EN LAS PIRÁMIDES
𝜋 es el valor que se obtiene al dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro. Los
egipcios ya lo habían descubierto, pero solo lo aproximaban como 𝜋 = 3,16. Cogemos por ejemplo
una rueda de un metro de diámetro, la hacemos girar hasta que toda su superficie haya tocado el
suelo, y no es ningún secreto que el recorrido que habrá hecho la rueda estará alrededor de los 3,14
metros.
La Gran Pirámide de Keops tiene una base de 230,38m de longitud y una altura de 146,6m. Si
tomamos dos veces la longitud de la base y la dividimos por su altura, obtenemos el valor de
“3.14297…”
Los conocimientos matemáticos de los egipcios son la base de la época Greco-Romana
(WordPress, 2015).
1.1.6. Fenicia
ORIGEN
REPRESENTACIÓN EN SÍMBOLOS U OBJETOS
La cultura fenicia floreció en las áreas
costeras de Israel, Siria y Líbano
(región conocida antiguamente como
Canaán).
1 200 – 539 a.C.
La
numeración
fenicia
la
constituían 6 símbolos (o glifos)
básicos que, combinándose entre
ellos, podían representar cualquier
otra cantidad (Anónimo, 2015).
Anónimo, 2015.Escritura numerica
Fenicia. [Figura 16]
La base principal de los números fenicios, son los ángulos y las rayas ya que estos son la base que
utilizaron para crear los distintos números. Dependiendo de como se disponía cada ángulo se
representaba cada número.


Cabe añadir que cada número contaba con un número de ángulos que era el mismo
del número que representaban o de hecho, tenían un número de rayas para
representar cada número (por ej. el 3 se escribía con tres palos) La base principal de los
números fenicios, son los ángulos y las rayas ya que estos son la base que utilizaron para crear
los distintos números. Dependiendo de como se disponía cada ángulo se representaba cada
número.
Por otro lado, cabe añadir que el sistema numérico fenicio contaba con símbolos
diferenciados para los valores de 1, 5, 10, 20 y 100 (Espada, B. 2015).
11
1.1.7. Civilización Maya
ORIGEN
REPRESENTACIÓN EN SÍMBOLOS U OBJETOS
La civilización maya habitó en los territorios
de Honduras, El Salvador, Belice,
Guatemala y el sur de Méjico.
La numeración utilizada por los antiguos
mayas, era de base vigesimal, es decir, las
cantidades se agrupaban en veintenas (de
20 en 20).
2000 a.C. -546
d.C.
Los mayas disponían de tres maneras de
representar los números:
 Mediante puntos y rayas
 Con glifos antropomorfos (cuerpo
completo).
Los mayas utilizaban los números para
medir el tiempo, no realizaban con ellos
operaciones matemáticas. Conocían y
utilizaban el número cero (0), el cual era
tratado como un número más (Anónimo,
2015).
Anónimo, 2015. Escritura
numerica de la civilizacion Maya.
[Figura 17]
1.1.8. Antigua Grecia
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios.



Realizaron sus cálculos valiéndose de los dedos o con la ayuda de guijarros.
A medida que se fueron complicando los cálculos, los guijarros se dispusieron en columnas,
diferenciándose así las unidades pertenecientes a los distintos órdenes.
Con el paso del tiempo, las columnas fueron reemplazadas por hilos o varillas de alambre
(fijadas en un bastidor) y los guijarros por cuentas ensartadas en los alambres. De este modo
pudo surgir el ábaco.
La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas:

Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir
demostración previa.

La lógica es una teoría de argumentación y dentro de las matemáticas hoy se aplica a
las ciencias de la computación que son aquellas que abarcan las bases teóricas de la
INFORMÁTICA y la COMPUTACIÓN, así como su aplicación en SISTEMAS
COMPUTACIONALES (Anónimo, 2015).
12
REPRESENTACIÓN EN SÍMBOLOS U OBJETOS
ORIGEN
El sistema de numeración en la antigua Grecia utilizaba las letras del alfabeto
griego. Se pueden distinguir dos sistemas diferentes, el ático y el jónico
(posterior).
SISTEMA ÁTICO O ACROFÓNICO:
El sistema de numeración más antiguo fue el ático (o
acrofónico) cuyo funcionamiento era similar al
sistema de numeración romano. Se basaba de
acuerdo con la siguiente simbología:
1 200 – 146 a.C.
Este sistema se denomina “acrofónico” porque
(exceptuando el símbolo para el “1”, un único trazo
vertical) los símbolos (o glifos) procedían de la
primera letra de cada número en escritura arcaica:





πεντε (pénte, “cinco”)
δεκα (déka, “diez”)
ηεκατον (hekatón, “cien”)
χιλιοι (chílioi, “mil”)
μυριας (myrías “diez mil”)
El símbolo o dígito Π (πεντε, pénte, 5) se podía
combinar para formar los números 50, 500, 5000 y
50 000, añadiendo, a dicho dígito, versiones
diminutas de los símbolos para obtener
multiplicaciones de diez en diez (Anónimo, 2015).
13
(Anónimo, 2015).
Escritura numerica en
sistema actico.
[Figura 18]
REPRESENTACIÓN EN SÍMBOLOS U OBJETOS
ORIGEN
SISTEMA JÓNICO:
A partir del siglo IV a.C., el sistema
acrofónico se fue sustituyendo por un
sistema alfabético decimal, llamado
jónico. A cada cifra de unidad (1 - 9) se
le asignó una letra, a cada decena (10 90) otra letra y a cada centena (100 900) otra letra. Este sistema requería 27
letras, por lo que se añadieron otras tres
antiguas letras:
Siglo VII - IV a.C.
Para poder distinguir los números de
las letras, se colocaba un acento al
final del grupo numérico; este sistema
se basaba en el principio de la suma,
así, los valores numéricos de las letras
se sumaban para formar el total. Por
ejemplo, el 352 se representaba como
τνβ´ (300 + 50 + 2).
Para representar números del 1 000 al
999 999 se vuelven a usar las mismas
letras de las unidades, decenas y
centenas, añadiendo un acento agudo
invertido
o
una
coma
para
distinguirlos. A modo de ejemplo, el
5007 se representaba
como ͵εζ´ (5000 + 7).
Los antiguos griegos no utilizaban
ningún símbolo para representar el cero
(Anónimo, 2015).
(Anónimo, 2015). Escritura numerica en
sistema jonico. [Figura 19]
1.1.8.1. Geometria de la Antigua Grecia
De acuerdo con (WordPress, 2015) el paso de la edad de bronce a la edad del hierro, en el año 900
a.C. provoca la caída de las antiguas civilizaciones y da paso a la Griega.Dura hasta la muerte de
Alejandro Magno y Aristóteles.
Las matemáticas están unidas a la filosofía y se desarrollan en la Escuela Jónica con:

Thales de Mileto.
14


Escuela Pitagórica.
Los Sofistas o los Eleatas.
THALES DE MILETO
Nació y murió en Mileto. Se le consideraba uno de los Siete Sabios
de Grecia. No se conserva ningún fragmento suyo y es probable que
no dejara ningún escrito a su muerte.
(WordPress, 2015). Angulo recto
opuesto al diametro, incrito en un
semicirculo. [Figura 20]
Se atribuyen a Thales varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides.

Semicírculo que ilustra un teorema de Thales.



Todo triángulo rectángulo inscrito en un semicírculo, tiene el ángulo opuesto de 90 grados.
Un triángulo isósceles tiene todos los ángulos iguales.
La rectas paralelas cortadas por otra tienen ángulos internos iguales.


EL círculo la única figura plana que tiene un nombre par la parte interior y otra para la exterior.
El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
El círculo considerada la figura perfecta, de tal manera que una elipse no se conocía como tal, se
consideraba una circunferencia deformada.
Thales era comerciante, así tuvo conocimiento de las culturas egipcia y mesopotámica.
Forma de medir una altura:
“El proceso consistía en levantar un bastón en el
extremo de la sombra proyectada por la pirámide y
habiendo formado – de este modo – dos triángulos con
los rayos del sol, mostrase que la pirámide está con el
bastón en la misma razón que la sombra de la pirámide
está con la sombra del bastón”.
(WordPress, 2015). Medida de una
altura. [Figura 21]
En la actualidad es imprescindible el estudio de teorema para:



Aplicaciones al dibujo lineal.
Estudio de la trigonometría.
Geometría plana y del espacio.
Teorema de Thales:


Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos determinados en una
secante son proporcionales a los determinados en la otra secante.
Los ángulos internos son iguales.
15
PITÁGORAS
Vivió unos 50 años después de Thales, fundó la escuela pitagórica dedicada al estudio de la filosofía,
la medicina y las matemáticas.







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
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



Enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.
Dividieron los números naturales en pares e impares (femenino y masculino, respectivamente).
Dividen la Aritmética como ciencia.
Inventan la denominación de números amigos y números perfectos.
Conocían las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas, así como las medias
aritméticas, geométricas y armónicas.
Relacionan la música con la matemática.
Matematizan fenómenos naturales.
Fundan las matemáticas como sistema deductivo.
Los pitagóricos hacen de la matemática una ciencia por excelencia y hacen la primera división.
El volumen de una pirámide.
El área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares que son
iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso
problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado).
La trisección de un ángulo.
La duplicación del cubo (construir un cubo cuyo
volumen es dos veces el de un cubo dado).
Suma de los ángulos de un triángulo 180º.
Conocían las proporciones aritméticas, geométricas y
armónicas, así como las medias aritméticas,
geométricas y armónicas.
Incluso su famoso teorema “la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo
es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más
complicados que la regla y el compás.
Pitágoras descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los
números.
16
A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz
de medir la diagonal de un cuadrado, RESULTABA UN NÚMERO CON INFINITAS CIFRAS
DECIMALES
Supongamos un cuadrado de lado un metro. La diagonal mide la raíz cuadrada de 2 y el resultado es:
Y su resultado no tiene final, tenemos un número irracional que no podían comprender en aquella
época y que ya predijo Pitágoras.
Además el hecho de comentar su descubrimiento podía tener malas consecuencias, porque todo lo
que no se podía comprender se podía tomar como una herejía y llevar consigo pena de muerte.
LOS SOFISTAS
En el siglo V a.C., Parménides fundó una escuela de filosofía en Elea, colonia griega en la península
Itálica (Magna Grecia).
Parménides adoptó una actitud opuesta a la de Heráclito en la relación entre estabilidad y cambio y
mantuvo que el universo se puede describir como una esfera indivisible e inmutable y que toda
referencia o cambio es por sí misma contradictoria.
Zenón de Elea, discípulo de Parménides, intentó probar la unidad del ser afirmando que la creencia
en la realidad de cambio, la diversidad y el movimiento lleva a paradojas lógicas.
Las paradojas de Zenón llegaron a ser enigmas intelectuales que filósofos y lógicos de todas las
épocas posteriores han intentado resolver. El interés de los eleáticos por el problema de la consistencia
racional propició el desarrollo de la ciencia de la lógica.
Los sofistas nos aportaron:






Suma de puntos.
El tiempo como suma de instantes.
Movimiento como suma de pasajes de un lugar a otro.
Aportó a la matemática recursos de orden lógico, metodológico y hasta técnico.
Su proceso dicotómico se usa como recurso de demostración y el método de reducción al
absurdo, es una consecuencia del principio de contradicción eje de sus raciocinios.
Desecha la concepción monádica de los pitagóricos.
PLATÓN
Filósofo griego, alumno de Sócrates y maestro de Aristóteles, de familia nobilísima y de la más alta
aristocracia.
Durante su juventud luchó como soldado en las guerras del Peloponeso de las cuales Atenas salió
derrotada, y el poder y la economía que ostentaba sobre el mundo griego cayó en las manos de
Esparta.
17
Euclides asigna a Platón las siguientes contribuciones:




El método analítico (método de demostración).
Una solución de la ecuación pitagórica.
El problema de la duplicación del cubo (dudosa).
Clasificación de los poliedros (sólidos platónicos).
Fue fundador de la Academia de Atenas, donde estudió Aristóteles. Participó extensivamente en la
enseñanza en la Academia y escribió sobre muy diversos temas filosóficos, especialmente los que
trataban de la política, ética, metafísica y epistemología.
ARISTÓTELES
Nació en Estagirael año 384 a. C. Fue instruido por Platón y creó el Liceo. Murió a los 72 años en el
año 322 a. C.
No fue matemático profesional, pero dio un empuje importante en el campo de la lógica, que ayudo a
fundamentar el sistema de la matemática.
Sus aportes en el campo de la lógica viene influenciado por los pitagóricos, en lo que respecta a la
matemática. cómo alumno y discípulo de Platón, desarrolla su pensamiento, pero también lo critíca.
Sus trabajos lógicos se encierran en la gran obra Organon.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Teoría de Proporcionalidad
El método de exhaución (equivalente al cálculo integral).
Categorías.
Hermeneia.
Analíticos Primeros (dos libros).
Analíticos Segundos (dos libros).
(Ciencia Matemática).
Tópicos (ocho libros).
Euclides (330 a.C. - 275
Elencos sofísticos.
EUCLIDES
a.C.). El mas grande
Matemático de la era
antigua [Figura 23]
Matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría,
también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece
libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del
conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan
diversas como:





La geometría de polígonos y del círculo
La teoría de números
La teoría de los inconmensurables
La geometría del espacio
La teoría elemental de áreas y volúmenes.
Los postulados de Euclides:
1. Por cualquier punto se puede trazar una recta que pasa por otro punto cualquiera.
2. Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.
18
3. Con un centro dado y un radio dado se puede trazar un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores
que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado con que
están los ángulos menores que dos rectos.
Los dos primeros postulados establecen la existencia de la recta determinada por dos puntos.
El tercer postulado establece la existencia y la unicidad de una circunferencia dado su centro y su
radio.
Los primeros cuatro postulados admiten la existencia de rectas y circunferencias.
El quinto postulado fija las condiciones para que dos rectas determinen un punto, cuya unicidad se
complementa con una noción común
ARQUÍMEDES
Nació alrededor del año 289 a.C. en Siracusa (la parte sur de Sicilia), hijo del astrónomo y matemático
Fidias. De su padre aprendió cuestiones de ciencia, más adelante trabajando en Alejandría obtiene
perfeccionamiento en sus conocimientos en colaboración con otros grandes matemáticos.
En la última etapa de su vida participó en al defensa de sus ciudad natal de los invasores romanos,
confeccionando máquinas para la defensa e inventando armas.
Durante el ataque y toma de Siracusa en 212 a.C.,
Arquímedes fue asesinado y su biblioteca e
instrumentos saqueados. A raíz de ese hecho se
cuenta la historia acerca de su asesinato: “…un
grupo de soldados romanos irrumpió en la casa
de Arquímedes al que encontraron concentrado e
inmutable trazando en la arena complicadas
figuras geométricas ‘no toques mis círculos’
exclamo Arquímedes cuando uno de los soldados
pisó sobre sus figuras. En respuesta, el soldado
traspasó con su espada el cuerpo del anciano
Arquímedes”.
(WordPress, 2015). Asesinato de Arquimedes. [Figura 24]
Las obras de Arquímedes fueron escritos fundamentalmente en cartas. Hasta nosotros han
llegado diez obras grandes y algunas más pequeñas de carácter matemático. La característica
fundamental de sus obras matemáticas son aplicaciones de métodos matemáticos rigurosos
en al mecánica y la física.
Numerosos inventos y descubrimientos mecánicos de Arquímedes son ampliamente conocidos
como:
19
(WordPress, 2015). El tornillo sin fin [Figura 25]
(WordPress, 2015). Los Sitemas
de Palancas. [Figura 26]
Su contemporáneo, Apolonio, escribió


Un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció
sus nombres, elipse, hipérbola y parábola.
Calculó sus ejes, diámetro, asíntotas, vértices y polos
Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas
curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René
Descartes en el siglo XVII. Desde Apolonio hasta Descartes no
hubo ningún avance.
(WordPress, 2015). Las Conicas.
[Figura 27]
Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio “Escuela de Alejandría”, Grecia no tuvo ningún geómetra
de la misma talla.
Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición
aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los
grandes geómetras.
Hoy tenemos en los libros de bachillerato su fórmula para calcular el área de un triángulo cualquiera
en función de los lados.
𝑨 = √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄)
siendo p el perimetro y a, b, c son los lados.
20
1.1.9. Antigua Roma
REPRESENTACIÓN EN SÍMBOLOS U OBJETOS
ORIGEN
1 200 – 146 a.C
Es un sistema de numeración ordinal, no
posicional y emplea letras mayúsculas como
símbolos para representar los números; de esta
manera, los números se escriben como
combinaciones de letras.
Los romanos desconocían el cero, número
que fue introducido con posterioridad por los
árabes, por lo que no existe ningún símbolo
en el sistema de numeración romano que
represente el valor cero.
Según algunos, la V representaba una mano y
la X se formaba colocando una V del derecho
encima de otra V invertida.
De esta manera, el numeral 'I' no provendría de
la letra 'I' sino de una muesca tallada en un palo
o vara (Anónimo, 2015).
1.1.10.
(WordPress, 2015). Los
numeros Romanos. [Figura 28]
Persia (550 - 330 a.C.)
Los números árabes orientales se utilizan junto con el alfabeto árabe en la escritura perso-árabe. Las formas de
los dígitos persas cuatro (۴), cinco (۵) y seis (۶) son diferentes de las formas utilizadas en árabe.
(Espada, B.). Los Numeros Persas. [Figura 29]
21
1.1.11.
Hebrea (250 – 200 a.C.)
En el sistema de numeración hebreo se utilizan las letras de su
propio alfabeto; en este sistema de numeración, los valores
numéricos de cada letra individual se suman de manera conjunta;
de esta manera, a cada unidad (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) se le asigna
una letra separada, y lo mismo ocurre con las decenas (10, 20, 30,
40, 50, 60, 70, 80, 90) y las centenas (100, 200, 300, 400, 500, 600,
700, 800, 900).
En la práctica, la numerología hebraica (conocida como gematría)
utiliza esta sistemática para el estudio de los textos sagrados
judaicos, como son la Torá y el Talmud (Anonimo, 2015).
(Anonimo, 2015). Numerologia
Hebreica [Figura 30]
1.1.12.
Antigua Arabia (Siglo IX d.C.)
Se trata de un sistema de tipo decimal cuyas cifras ocupan un lugar con un determinado valor, siendo
el del símbolo cero el lugar destinado al vacío.
Todos conocemos la gran simplicidad que los números arábigos han traído al cálculo aritmético. Frente
a cualquier otro sistema de numeración inventado por el hombre, permiten una mayor facilidad
de manejo debido a la presencia del cero.
Pero le llevó al hombre cerca de cinco mil años, a partir del comienzo de los símbolos numéricos,
para concebir un símbolo que representase la nada. No se conoce quién fue su inventor, sin
duda uno de los pensadores más creativos y originales de la historia.
22
Sólo sabemos que fue un hindú que vivió antes del siglo IX d.C. Los hindúes denominaron a este
símbolo “sunya”, que quiere decir nada o vacío y que fue adoptado por los árabes bajo la
denominación de “sifr”, que en su idioma significaba lo mismo. Con el tiempo esta palabra se
convertiría en “cefer”, más fácil de pronunciar. Finalmente dio origen en inglés a "cipher" y "zero"
(esta última por intermedio de zefirum), así como a los vocablos castellanos cero y cifra (Anonimo,
2015).
(Anonimo, 2015). Comparacion de los numeros Hindi con los actuales. [Figura 31]
Los números “arábigos”: Su verdadera procedencia es hindú.
1.1.13.
Civilización Azteca (1 325 d.C. – 1 521 d.C.)
Desarrollaron un sistema de numeración propio y su base era vigesimal, por lo que las
cantidades se agrupaban en veintenas (de 20 en 20); era un sistema muy intuitivo y para conformar
las cantidades, se servían de puntos, rayas y dibujos.
De esta manera, por ejemplo, el número uno (1) podía representarse con un punto o un dedo, el
número cinco (5) con una mano, el número veinte (20) con una bandera, el número
cuatrocientos (400) se representaba con una pluma y el número 8000 con una bolsa o costal.
Conocían y utilizaban el número cero (0) (Anonimo, 2015).
(Anonimo, 2015).[Figura 32]. (Izquierda) Numeros utilizados por los Aztecas. (Derecha)
Simbolos utilizados por los Aztecas para representar los numeros.
23
4. EL CONCEPTO DE NÚMERO
El concepto de “número” se desarrolló muy lentamente, a lo largo de la evolución de la mente humana,
tras un proceso de abstracción natural, que estaba in
́ timamente ligado a la vida diaria en todos sus
aspectos.
Antiguamente, se definia
́ la matemática como la ciencia del número, la magnitud y la forma. Estos
conceptos comenzaron a desarrollarse primero a partir de diferencias y contrastes entre elementos del
entorno del hombre primitivo, y luego a partir de semejanzas.
El primer procedimiento aritmético de la historia comenzó con el artificio que llamamos
correspondencia biunívoca miembro a miembro. Este procedimiento permitia
́ a cualquier persona la
posibilidad de comparar dos conjuntos, aunque no tuviesen la misma naturaleza. Se evitaba así contar
de forma abstracta, ya que no se sabia
́ .
Más tarde, el proceso dialéctico ascendente de pensamiento constató que entre conjuntos con el
mismo número de elementos hay ciertas igualdades y semejanzas. Por ejemplo, el hombre diferenció
entre un “lobo” y “muchos lobos”, para más adelante establecer relaciones o equivalencias entre “un
lobo”, “un arco”, “un guerrero”, etc. Momento en el cual tiene su génesis el concepto de “unidad”.
De la misma forma se percataron de la relación existente entre pares de objetos relacionados: las
manos y los pies, el hombre y la mujer, el dia
́ y la noche, la vida y la muerte..., proceso que culminó
con el concepto de “par” y “dos”. Parece ser que durante milenios los únicos números concebidos por
la mente humana eran el “uno”, el “dos”, hablando a continuación de “multitud”, según indican
numerosos estudios antropológicos del lenguaje de algunas tribus primitivas.
La escritura numérica apareció incluso antes que la escritura normal, y antes que el lenguaje hablado
para cada número. Sobre el 40 000 a.C. se produjo el nacimiento de la cultura de los números, es
decir, la mente humana llegó a ese punto en que abstrajo la idea numérica.
En un principio, el hombre utilizó para “contar” objetos de la propia naturaleza, mediante reiteración.
Los montones eran grupos de cinco o diez piedras, lo cual significaba que empezaban a utilizar, sin
saberlo, un sistema quinario o decimal, como consecuencia de contar con una o dos manos. Pero
estos montones eran un método efim
́ ero de conservar información. Así que comenzaron a realizar
muescas en huesos. Está comprobado que el hueso o pedazo de madera tallado, es el método más
utilizado en la historia de la contabilidad. Los restos más antiguos datan del 35.000 - 20.000 a.C.
En una tribu primitiva, para “contar” el rebano
̃ de ovejas se procedia
́ asi:́ por cada oveja que salia
́ de
la cueva ponia
́ n una piedra en un montón; para comprobar que a la vuelta estaban todas, iban quitando
una piedra por cada oveja que entraba. Si al final no quedaba piedra alguna, estaban todas. En otro
caso, sabia
́ n las unidades por separado de ovejas que faltaban, aunque todavia
́ no sabia
́ n expresar
el número de ovejas ni cuántas faltaban. Tuvo que ser asi,́ comparando cantidades, como el hombre
comenzó a construir el concepto de número
Más adelante, el hombre aprendió a contar de dos en dos, de tres en tres, etc., utilizando piedras en
otros montones, que simbolizaban unidades de orden superior (2, 3, etc.). Era la primera semilla de
los “sistemas de numeración”.
24
La representación simbólica de los números naturales, se presupone que surgió antes del nacimiento
de las palabras para “representarlos”, seguramente porque es más fácil contar muescas en un palo
que establecer una frase para identificar un número concreto.
La invención de la escritura numérica, que ayudó al hombre a sustituir y perpetuar el concepto
abstracto de número por signos convencionales fue diferente en cada cultura.
Otros estudios indican igualmente que el concepto de número “ordinal” precedió al de “cardinal”: el
arte de contar pudo aparecer también en conexión con rituales religiosos primitivos, donde el Dios era
el Ser Supremo, ocupando el primer lugar en el Universo.
Un paréntesis: ¿Qué es calcular?
Habia
́ mos dicho que para saber si seguia
́ teniendo la misma cantidad de cabras, iba comparándolas
con piedrecillas.
Este mismo sistema, lo vinieron usando los pastores romanos de los primeros tiempos. Como todos
sabemos, los romanos hablaban en latin
́ y, en ese idioma, piedra se dice calculus, de donde viene la
palabra cálculo.
Por eso, calcular significa contar con piedras. Hoy en dia
́ ya no se calcula con piedras, sino con
números. (Macías, M. - pág. 29,30).
5. GEOMETRÍA SUBCONSCIENTE
Existen antecedentes conformados por evidencias
físicas que revelan un conocimiento matemático de
muchos siglos atrás, como son: las tablillas de arcilla
de Mesopotamia, de alrededor del año
3 000 a.C., que contienen tablas de multiplicar y una
diversidad de problemas; las Pirámides de Egipto del
2900 a.C. (Lopez, 2011).
López, A. (2011). [Figura 33]
25
Además, los papiros de Moscú (1859 a.C.) y de Rhind o de Ahmes (1650 a.C.) contienen la mayor
fuente de registros escritos de la matemática egipcia y babilónica, los cuales indican que el mayor
apogeo de la cultura desarrollada en Babilonia se dio en el periodo del año 2 000 a 1 600 a.C. En el
museo de Berlín se pueden encontrar instrumentos topográficos que datan de 1 950 a.C. y un reloj
egipcio de 1 500 a.C.
No se sabe cuando ni como pero el conocimiento de la matemática evolucionó de un primer nivel de
conocimiento de las cosas a uno subconsciente y, finalmente, a un nivel consciente.
El primer nivel corresponde a una interpretación inicial de las cuestiones más básicas de la
naturaleza, donde las cuestiones primordiales están relacionadas con la sobrevivencia.
El segundo nivel se refiere a un estado de manejo de la geometría subconsciente, donde lo
importante era la aplicación de conocimientos para resolver problemas prácticos para la vida.
Esto permitió acumular gran cantidad de conocimientos, algunos de ellos parcialmente correctos y
otros que han prevalecido utilidad a lo largo de varios siglos; tal es el caso de las relaciones entre los
lados de un triangulo rectángulo que ya eran conocidas por la cultura Hindú antes del año 1650
a.C. y que, posteriormente, se reconoce con el nombre de Teorema de Pitágoras.
Finalmente, el tercero de los niveles corresponde al nivel consciente, aparece la sistematización del
conocimiento geométrico y aritmético a través del método axiomático, en el que se recurre a la
lógica como argumento que regula los razonamientos permisibles. Generalmente se acepta que es
aquí donde aparece la mayor contribución de los griegos al desarrollo general del conocimiento de la
humanidad.
Se reconoce a Tales de Mileto (uno de los siete sabios de Grecia), de alrededor del año 600 a.C.,
como el primero en plantear proposiciones cuya veracidad pudiera comprobarse a partir de un
método que permita organizar el discurso matemático y sistematizar el conocimiento geométrico; obra
que concluyó Euclides, alrededor del año 300 a.C., estableciendo el método axiomático para hacer
deducciones y organizar el discurso.
Con dicho método, se trataba de partir del menor número de premisas: conceptos indefinidos (hoy
se acepta que podrían ser punto, recta y plano); axiomas o postulados (proposiciones verdaderas
que por su evidencia aceptamos sin demostración) y reglas que permitan operar, relacionar y
argumentar. Con estas premisas se definen los elementos geométricos, necesarios para armar el
discurso, y se plantean proposiciones verdaderas que pueden demostrarse con base en el
eslabonamiento de argumentos simples o de otros argumentos cuya veracidad puede ser o fue
previamente establecida. Estas proposiciones se llaman Teoremas, y constituyen la base
fundamental del desarrollo del conocimiento matemático (Lopez, 2011).
26
CONCLUSIÓN
Los números se denotan por sim
́ bolos, pero no son sim
́ bolos: diferentes culturas utilizan diferentes
sim
́ bolos para el mismo número. Los números son abstractos, y sin embargo nuestra sociedad se
basa en ellos y no funcionaria
́ sin ellos. Los números son una construcción mental, y sin embargo
tenemos la sensación de que seguiria
́ n teniendo significado.
Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica,
donde se refinaron los métodos y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.
Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior
desarrollo de las matemáticas en la Edad Media. Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, las
ráfagas de creatividad matemática fueron seguidas, con frecuencia, por siglos de estancamiento.
La historia de las matemáticas empieza con la invención de sim
́ bolos escritos para denotar números.
Nuestro familiar sistema de «dig
́ itos» 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para representar todos los números
imaginables, por grandes que sean, es una invención relativamente reciente; nació hace unos 1 500
años, y su extensión a los «decimales», que nos permite representar números con alta precisión, no
tiene más de 450 años.
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