Ejercicios de conjuntos

EJERCICIOS CON CONJUNTOS
1. Sean U = {a, b, c, d, e},
Hallar:
(a) A  B
(b) B  A
(f) A  B'
(g) A'  B'
A = {a, b, d} y B = {b, d, e}.
(c) B'
(h) B' - A'
(d) B – A,
(i) (A  B')
(e) A'  B
(j) (A  B').
Solución:
(a) La unión de A y B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir, A 
B = {a, b, d, e}.
(b)
(c)
La intersección de A y B consta de los elementos que son comunes a A y B, es
decir, A  B = {b, d}.
El complemento de B consta de las letras que están en U pero no en B; así que B'
= {a, c}.
(d) El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, esto es, B
- A = {e}.
(e) A' = {c, e} y B= {b, d, e}; así que A'  B = {e}
(f) A = {a, b, d} y B' = {a, c}; así que A  B' = {a, b, c, d}.
(g) A' = {c, e} y B' = {a, c}; entonces A'  B' = {c}.
(h) B' - A' = {a}.
(i) Según (b), A  B = (b, d}; luego (A  B)' = {a,c,e}.
(j) Según (a), A  B = {a, b, d, e}; luego (A  B) ‘ = {c}.
2. En el diagrama de Venn que sigue, rayar (1) A  (B  C), (2) (A  B)  (A  C),
(3) A  (B  C), (4) (A  B)  (A  C).
A
B
C
Solución:
(1) Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha y rayar B  C con trazos
inclinados a la izquierda; entonces A  (B  C) es el área con doble rayado.
A y B  C aparecen rayados
A  (B  C) lo rayado
(2) Primero rayar A  B con trazos inclinados a la derecha y A  C con trazos inclinados
a la izquierda; entonces (A  B)  (A  C) resulta ser el área total rayada como se
muestra enseguida.
A  B y A  C lo rayado
(A  B)  (A  B) lo rayado
Nótese que A  (B  C) = (A  B)  (A  C).
(3) Primero se raya, A con trazos inclinados a la derecha y se raya B  C con trazos
inclinados a la izquierda: así resulta ser A  (B  C) el área total rayada.
A y B  C lo rayado
(1)
A  (B  C) lo rayado
Primero se raya A  B con trazos inclinados a la derecha y se raya A  C con
trazos inclinados a la izquierda; (A  B)  (A  C) es el área con doble rayado.
A  B y A  C lo rayado
(A  B)  (A  C) lo rayado.
Nótese que A  (B  C) = (A  B)  (A  C).
3. Demostrar:
B- A es un subconjunto de A’.
Solución:
Sea x perteneciente a B- A. Entonces x  B y x  A: por tanto, x es elemento de A’.
Como x  B - A implica x  A’. B - A es subconjunto de A’.
4. Demostrar:
B - A’ = B  A.
Solución:
B - A’ = {x | x  B, x  A’} = { x|x  B, x  A} =
B  A.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g}
Y sean A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}.
Hallar:
(1) A  C
(2) B  A
(3) C – B
(4) B'
(5) A' – B
(6) B'  C
(7) (A – C)'
(8) C'  A
(9) (A - B')'
(10) (A  A')'
2. En los diagramas de Venn que siguen, rayar:
(1) V  W,
(2) W',
(3) W - V
(4) V'  W,
(5) V  W’,
(6) V’ - W’.
V
W
V
(a)
W
(b)
3. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo que A, B y C
tengan las siguientes características:
(1) A  B, C  B, A  C = 
(3) A  C, A  C, B  C = 
(2) A  B, C  B, A  C  
(4) A  (B  C), B  C, C  B, A  C
4. Determinar:
(1) U  A
(3) '
(2) A  A
(4)   A
(5) A'  A
(6) U’
(7) U  A
(8) A'  A
(9) A  A
(10)   A.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
1. (1) U
(2){a, c, e}
(3) {b, f}
(5) {f}
(7) C = {b, e, f, g}
(4) {b, d, f} (6) {b, d, f, e, g} (8) {a, c, d}
(9) {b, d, f, g}
(10) U
2. (a)
(1)
(3)
V  W lo rayado
W – V lo rayado
(2)
W
V
W' lo rayado
(6)
W
V'  W lo rayado
(1)
V
W
V  W lo rayado
(2)
V
(5)
V
V
V'  W lo rayado
C
A
B
C
(2)
(4)
A
B
C
B
W
V' - W' lo rayado
(3)
B
W
V  W' lo rayado
(6)
W
(1)
A
V
W
W - V lo rayado
(4)
W
W' lo rayado
A
V' - W' lo rayado
(3)
V
3.
V  W’ lo rayado
(4)
V
(b)
(5)
A
4. (1) A
(2) A
(3) U
(4) A
(5) 
(6) 
(7) U
(8) U
(9) A
(10) 
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por alguna radio F.M. de la
región, señaló que:
277 preferían Carolina
233 preferían Manquehue
405 preferían Tiempo
165 preferían Manquehue y Tiempo
120 preferían Manquehue y Carolina
190 preferían Carolina y Tiempo
105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas
Determine:
¿Cuántos jóvenes fueron encuestados?
¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina?
¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo?
Solución:
Solo C= 277-120+105-190+105-105
Solo M= 233-120+105-105-165+105
Solo C= 72 jóvenes
Solo M= 53 jóvenes
Solo C y M= 120-105= 15 Jóvenes
Solo C y T= 190-105= 85 jóvenes
Solo M y T= 165-105= 60 jóvenes
Sólo T= 405-190+105-165+105-105= 545 jóvenes
Total jóvenes encuestados= 72+53+15+85+60+155+105= 545 jóveses
Fueron encuestados 545 jóvenes
Sólo Carolina prefieren 72 jóvenes
Solo Carolina y Tiempo prefieren 85 jóvenes
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Una encuesta realizada a 2000 hombres reveló lo siguiente respecto a sus gustos por distintos
tipos de mujeres:
800 preferían las rubias;
950 preferían las morenas;
750 preferían las colorinas;
150 preferían las rubias y morenas;
300 preferían las morenas y colorinas
250 preferían las rubias y colorinas
200 Sólo morenas y colorinas
Determine el número de hombres que:
a. Preferían los tres tipos de mujeres encuestados.
b. No preferían estos tipos de mujeres.
2. En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y
48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9
personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego
solamente y por último nueve a las fiestas y el vino.
Determinar:
a) El número de personas que es aficionada al vino solamente.
b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente
3. En una encuesta realizada a 320 alumnos de Ingeniería Comercial de la Universidad de Valparaíso,
se descubrió que estos prefieren tres lugares para sus “carretes” de fin de semana:
95 prefieren ir al “Kamikaze”;
90 prefieren ir al “Playa”;
120 prefieren ir al “Bar de los Cuatro Vientos”;
30 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Playa”
10 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Bar de los Cuatro Vientos”
40 prefieren ir al “Playa” solamente
60 prefieren ir al “Kamikaze” solamente
Determine el número de estudiantes que prefieren:
a) Sólo ir al “Bar de los Cuatro Vientos”
b) Ir a los tres lugares
c) No salir y quedarse estudiando el fin de semana
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Sean A, B, C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de Venn.
La región sombreada corresponde a:
a) (A ∩ B) - C
d) (A - B) ∩ C
b) (A ∩ B) - A
e) (B - A) ∪ C
c) (A ∪ B) – C
Re y los conjuntos no vacíos A, B y C definidos así:
Re = {*, !, #, $, %, &, ?}
A = {*, !, #, $}
B = {!, %, &, ?}
C = {%, &, ?}
Entonces el conjunto [(A - B) C ∪ C] C es:
a) Re
b) ∅
c) {%, &, ?}
d) {!}
e) A - B
2.- Sea el conjunto referencial
3.- Sean A,
B y C tres conjuntos no vacíos de un referencial Re. Represente en un diagrama de Venn
las siguientes operaciones:
a) A ∪ B ∪ CC
b) B - (A∪C)
c) (A ∩ B) C ∩ C
4.- Sean A, B, C subconjuntos del referencial Re, tales que:
Re = {a, Δ, ?, f, δ, +, �, e, θ, α, *};
A ∩ B ={a, δ, f };
A - B ={θ, �, e};
A ∩ C = C ∩ B ={ f };
C - (A ∩ B ∩ C) = {+};
B - (A ∪ C) = {*, ?, Δ};
(A ∪ B ∪ C)C = {α};
Halle los elementos de A, B y C.
Re = {i, Δ, a, □, ∅, o, *, ∇},
A y B son conjuntos no vacíos, tales que:
A ∪ B = {i, Δ, a, □, ∅},
A ∩ B = {a}
B - A = {□, ∅}
4. Si
Entonces es verdad que:
a) A - B = {o, *, ∇}
B = {*, ∇, □, ∅}
c) (A - B) ∩ (A ∪ B) = {i, Δ}
b)
A = {i, Δ, ∇, o}
e) A ∩ (A - B) = {o, i, Δ}
d)
5. En un concurso de cocineros en el que se preparan tres comidas criollas: guatita, seco de chivo y
chugchucaras, se obtuvieron los siguientes resultados:
* 2% de cocineros fracasó en las tres comidas.
* 6% de cocineros fracasó en guatita y seco de chivo.
* 5% de cocineros fracasó en seco de chivo y chugchucaras.
* 8% de cocineros fracasó en guatita y chugchucaras.
* 29% de cocineros fracasó en guatita.
* 32% de cocineros fracasó en seco de chivo.
* 36% de cocineros fracasó en chugchucaras
Desarrolle lo siguiente:
a. Construya un diagrama de Venn con los datos.
b. Proporcione una expresión con operaciones de conjuntos para indicar el porcentaje de
cocineros que tuvo éxito.
c. ¿Qué porcentaje de los cocineros no tuvo éxito en las tres comidas?
d. ¿Cuántos cocineros tuvieron éxito en las tres comidas si concursaron 200 personas?
6. En una encuesta a 40 estudiantes del nivel cero, 27 son hombres y 20 son bachilleres técnicos; de
estos últimos 8 son bachilleres (técnicos) en comercio, 6 de las mujeres no son bachilleres técnicos y
22 de los hombres no son bachilleres en comercio.
a. Determine cuántas mujeres son bachilleres técnicos pero no en comercio.
b. Halle además cuántos hombres no son bachilleres técnicos.
7. En cierta comunidad, 70% de las personas fuman, 40% tienen cáncer pulmonar, y 25% fuma y tiene
cáncer pulmonar. Si F y C denotan los conjuntos de fumar y tener cáncer pulmonar, determine la
cantidad de personas que:
a. No fume y no tenga cáncer pulmonar.
b. Fume pero no tenga cáncer pulmonar.
c. No fume ni tenga cáncer pulmonar.
d. Fume o no tenga cáncer pulmonar.
e. No fume o no tenga cáncer pulmonar.
f. No fume o tenga cáncer pulmonar.
8. De 335 maestros de una institución educativa se tienen los siguientes datos: 215 son de tiempo
completo, 190 hablan inglés, 225 tienen por lo menos maestría, 70 son de tiempo completo y hablan
inglés, 110 hablan el inglés y tienen por lo menos una maestría, 145 son de tiempo completo y tienen
por lo menos maestría; y todos tienen al menos una de las características.
Halle el número de maestros que tengan las tres características anteriores.
9. En una encuesta aplicada a 100 estudiantes se determinó que 50 practican básquet, 40 practican
fútbol, 45 practican atletismo, 20 practican básquet y fútbol, 20 básquet y atletismo, 15 fútbol y
atletismo, y 5 practican los tres deportes. Entonces es falso que:
a. 15 no practican estos tres deportes.
b. 15 sólo practican básquet.
c. 75 practican básquet o atletismo.
d. 35 practican fútbol o atletismo pero no básquet.
e. 10 practican básquet y fútbol pero no atletismo.
10. En una encuesta a 100 inversionistas, se observa lo siguiente:
 5 sólo poseen acciones.
 15 poseen solamente valores.
 70 son propietarios de bonos.
 13 poseen acciones y valores.
 23 tienen valores y bonos.
 10 son propietarios sólo de acciones y bonos.
Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo. Halle el número de inversionistas que:
a. Tienen valores, bonos y acciones.
b. Tienen sólo una de ellas.
c. Tienen al menos una.
d. Tienen, cuanto mucho, dos de ellas.
11. Para los votantes de una cierta comunidad de 300 personas, se tiene que:
 110 son mayores de 20 años.
 120 son mujeres y 50 mujeres son mayores de 20 años.
Determine el número de votantes que:
a. Son hombres.
b. Son hombres mayores de 20 años.
c. Son mujeres con 20 o menos años.
d. Son hombres con 20 o menos años.
e. Tienen 20 o menos años.
12. En una encuesta realizada por Pacifictel a un grupo de 26 abonados que han realizado al menos una
llamada, sea ésta local, nacional o internacional, se obtuvo la siguiente información:
 23 abonados han realizado llamadas nacionales o internacionales.
 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales.
 12 abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales.
 El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual al doble de personas
que han hecho sólo llamadas internacionales y locales pero no nacionales.
Entonces, el número de abonados que han hecho llamadas locales es:
a) 10
b) 4
c) 6
d) 2
e) 14