1. ABRIL – ARITMÉTICA - 1er Año

Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
CONJUNTOS
REPRESENTACIÓN
DE CONJUNTO
REPRESENTACIÓN
PERTENENCIA
EXTENSIÓN
INCLUSIÓN
COMPRENSIÓN
DIAGRAMA DE VENN
EULER
DIAGRAMA DE CARROL
CONJUNTOS
ESPECIALES
OPERACIONES CON
CONJUNTOS
UNIÓN
C: VACÍO
INTERSECCIÓN
C: UNITARIO
DIFERENCIA
C: UNIVERSAL
CONCEPTOS PREVIOS
1. IDEA DE CONJUNTO
Se entiende como una colección de objetos bien definidos,
llamados elementos y pueden ser concretas o abstractas. Los
conjunto se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, .... etc.
Sus elementos separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; ) o
bien indicando una propiedad común de ellos.
Sub – Área: Aritmética
1
1º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
Mes: Abril
Ejemplos:
 Si llamamos “B” al conjunto de vocales, entonces:
B = {a, e, i, o, u}
 Si llamamos Z+ al conjunto de los enteros positivos,
entonces:
Z+ = {1; 2; 3; 4; .....}
 Si llamamos “M” al conjunto de los números naturales pares
menores que 12 y mayores que cero.
M = {2; 4; 6; 8; 10}
2. CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito.
Ejemplos:
 Sea: A = {a; e; i; o; u}
Entonces n(A) = 5
Que se lee:
El cardinal de “A” es 5.
 Sea: C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Entonces n(C) = 7
Que se lee:
El cardinal de “C” es 7.
 Sea: w = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13}
Entonces n(w) = 7
Que se lee:
El cardinal de “w” es 7.
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS
3.1.
Diagrama de Venn Euler
Este diagrama es una forma ilustrativa y muy práctica
intuitivamente las relaciones entre conjuntos:
Ejemplos:
A = {2; 3; 4; 6}
B = {1; 3; 5; 6; 7}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Sub – Área: Aritmética
2
1º Secunda ria
Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
A
B
2
5
6
4
"La educación es la
preparación a la
vida completa."
1
3
7
U
La interpretación sería:
2 y 4 pertenecen a “A”.
3 y 6 pertenecen a “A” y “B”.
1; 5 y 7 sólo pertenecen a “B”.
8 y 9 no pertenecen a los conjuntos ni a A ni a B.




3.2.
Diagrama de Carroll
Se usa generalmente para
disjuntos.
representar
conjuntos
Ejemplos:
 Se ha encuestado a 40 personas sobre el uso de
radio, 10 mujeres no tienen radio, 10 mujeres tienen
radio y 5 hombres no tienen radio. ¿cuántos hombres
tienen radio?
Total : 40
R = Radio
H
M
x
10
R
5
10
NR
x + 10 + 10 + 5 = 40
x = 40 = 25
x = 15
4. RELACIÓN DE PERTENENCIA
Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos
que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el
símbolo “”.
a)
A
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {2; 4; 6; 8}
B
1
2
a)
6
3
4
5
8
Sub – Área: Aritmética




2
1
4
6
3
B
A
A
A
8
3
2
3




A
B
A
A
1º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
Mes: Abril
Mira que fácil
esta este tema
b)
R
R = {a; b; c; d; e; f}
S = {b; d; g; h; i}
S
a
g
b
c
h
e
d
i
f




a
h
d
i
R
R
S
R
G
I
F
C




R
S
S
S
5. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
5.1.
Por Extensión
Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en
forma completa los elementos del conjunto.
Ejemplo:
A = {7; 8; 9; 10; 11}
 Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10 y 11.
5.2.
Por Comprensión:
Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos de dicho
conjunto.
Así por ejemplo; del ejercicio anterior.
A = {x/x  N; 6 < x < 12}
 Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos “x” tal que “x” es un número natural
además es mayor que 6 pero menor que 12.
6. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
6.1.
Inclusión de Conjuntos
ABxAxB
 Se lee:
“A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, este
también pertenece a “B”.
Sub – Área: Aritmética
4
1º Secunda ria
Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
 Además:
“A  B”
“A” está incluido en “B”
“A” está contenido en “B”
“A” es subconjunto de “B”.
 “B  A”
“B” incluye a “A”
“B” contiene a “A”
“B” es superconjunto de “A”
6.2.
Igualdad de Conjuntos
Si todos los elementos del conjunto “A” pertenecen al
conjunto “B” y todos los elementos del conjunto “B”
pertenecen al conjunto “A”, entonces se dice que estos 2
conjuntos son iguales.
El número puede
decirse que
gobierna al
mundo de la
cantidad, y las
cuatro reglas de
la aritmética
puede ser
considerada
como equipo
completo del
matemático.
Se denota : A = B
Ejemplo:
A = {x/x es una letra de la palabra aroma}
B = {x/x es una letra de la palabra maroma}
Entonces:
A = {A; R; O; M}
B = {M; A; R; O}
Luego: A = B
6.3.
Conjunto Potencia de A
Es el conjunto cuyos elementos
subconjuntos del conjunto A.
son
todos
los
Ejemplo:
A = {a; b}
P(A) = {{a}; {b}; {a; b}; }
n[P(A)] = 2n(A)
Donde:
n (A) = cardinal de A
n[P(A)] = 22 = 4
Sub – Área: Aritmética
5
1º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
Mes: Abril
ACTIVIDAD EN AULA
1. Dado el conjunto:
A = {7; 8; 10; 15}
4. Dado:
A ={5; {7}; 9; {12}}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
i) 7 A
(
)
ii) {10}  A
(
)
iii) 9  A
(
)
iv) {15}  A
(
)
Indicar verdadero (V) o falso (F); según
corresponda:
i) {5}  A
(
ii) {7}  A
(
iii) 9  A
(
iv) {5; {2}}  A (
)
)
)
)
5. Dado el conjunto:
M = {a; {b}; {m}, p}
¿Cuántas proposiciones son falsas?
2. Dado el conjunto:
A = {5 {7}; 9; 12}
i) {b}  M
ii) b  M
iii) {{m}}  M
iv) {{b}; {m}}  M
Indicar verdadero (V) o falso (F); según
corresponda:
i) 7  A
ii) {9}  A
iii) 5  A
iv) 12  A
(
(
(
(
)
)
)
)
3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que
posee 5 elementos?
(
(
(
(
)
)
)
)
6. Hallar la suma de los elementos de cada
conjunto:
A = {x/x  N; 6 < x < 12}
B = {x2 + 1/ x  Z; 3 < x < }
7. Si un conjunto tiene 15 subconjuntos
propios. ¿Cuántos elementos tiene el
conjunto?
8. Si:
A = {x + 1/ x  Z; 4 < x < 12}
B = {x + 2/ x  Z; 2 < x < 6}
¿Cuántos elementos tienen los 2 conjuntos
sin repetir sus elementos?
Sub – Área: Aritmética
6
1º Secunda ria
Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Dado el conjunto:
B = {1; 3; 5; 7}
5. Dado: Z = {4; 6; {8}; {10}}
Indicar verdadero (V)
corresponda:
Indicar verdadero (V) o falso (F), según
corresponda:
i) 3  B
ii) 7  B
iii) 6  B
iv) 2  B
(
(
(
(
i) 4  Z
ii) {8}  Z
iii) {{10}}  Z
iv) {4; {8}}  Z
)
)
)
)
(
(
(
(
falso (F); según
)
)
)
)
Rpta. ………………………….
Rpta. ………………………….
6. Dado el conjunto:
N = {1; {3}; {5}; 7}
2. Dado el conjunto:
¿Cuántas proposiciones son falsas?
B = {3; {6}; 9; 15}
i) {3}  N
ii) 3  N
iii) {{3}}  N
iv) {{5}; {7}  N
v) 3  N
Indicar verdadero (V) o falso (F); según
corresponda:
i) {3}  B
ii) {6}  B
iii) {15}  B
iv) 9  B
(
(
(
(
)
)
)
)
Rpta. ………………………….
)
)
)
)
)
Rpta. ………………………….
7. Hallar la suma de los elementos de cada
conjunto:
F = {x/x  N; 7 < x < 13}
G = {x2 + 1 / x  Z; 4 < x 19}
3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que
posee 6 elementos?
Rpta. ………………………….
Rpta. ………………………….
4. Si un conjunto tiene 4 elementos. ¿Cuántos
subconjuntos tiene?
(
(
(
(
(
8. Si un conjunto tiene 31 subconjuntos propios.
¿cuántos elementos tiene el conjunto?
a) 3
d) 15
Rpta. ………………………….
b) 4
e) 31
c) 6
Rpta. ………………………….
Sub – Área: Aritmética
7
1º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
Mes: Abril
1. CONJUNTO ESPECIALES
1.1.
Conjunto Vacío o Nulo
Es aquel conjunto que no posee elemento. Se le
representa por: { } y se denota por el símbolo:
; es decir: {x/x  x} = { } = 
Ejemplos:
 {x/x  N; 6 < x < 7} = { }
No existe un “x  N” que sea mayor que 6 y menor
que 7 a la vez.
 El conjunto de todos los hombres inmortales.
P={
} =o P=
1.2.
Conjunto Unitario
Es aquel que está constituido por un solo elemento. Se
le llama también “singular.
 {x/x  N; 6 < x < 8} = {7}
Puesto que “6  N” es el único comprendido entre 6 y
8.
 El conjunto de satélite que posee la tierra. {Luna}
Ejemplos:
 Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”.
A = { 7 – a; b + 4; 5}
 7- a=57–5=a
2=a
John Venn
Euler
Fue un matemático
británico que se hizo
famoso
por
sus
diagramas lógicos. Los
diagramas de Venn se
emplean a menudo
para
enseñar
matemáticas
elementales.
b+4 =5b=5–4
b=1
a+b=2+1=3
Sub – Área: Aritmética
8
1º Secunda ria
Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
1.3.
Conjunto Universal
Es un conjunto referencial que incluye a todos los
conjuntos considerados y se le denota generalmente por
“U” o bien. E.
A = {2; 4; 6; 8}
B = {1; 2; 3; 6; 9; 11; 13}
 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8: 9; 10; 11}
A
B
1
9
6
4
2
11
13
8
3
10
7
5

Nota:
U También puede expresarse
 = {x/x  n; 1 < x < 11} ó
 = {x/x  Z+ ; x < 12}
René Descartes
 Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2+b2”
Nació de una familia francesa
noble en la Turena – Francia.
Los aportes que realizó a la
matemática fueron en el área
de
estadística
y
probabilidades.
(1596-1650)
A = {a + b; 12}
B = {4; a –b}
a + b = 12
a– b =4
2a = 16
Se recuerda sobre todo a este
francés extraordinario por su
invención de la Matemática.
Pero su logro más notable fue
la reducción de la Naturaleza
a leyes matemáticas.
a=8
a + b = 12  a + 8 = 12
b=4

a2
+
b2
=
82
+
42
“Considerada que no sé
nada de Física si tan sólo
fuese capaz de expresar
cómo deben ser las cosas,
pero
fuese
incapaz
de
demostrar que no pueden ser
de otra manera.
= 80
2. OPERACIONES CON CONJUNTOS
2.1.
Reunión de Conjuntos
Se llama reunión de “A” con “B” al conjunto de todos los
elementos de A, de B o de ambos.
 Se simboliza por A  B.
2.2.
Intersección de Conjuntos
Se denomina intersección de “A” con “B” al conjunto de
todos los elementos comunes a “A” y a “B”.
No
obstante,
habiendo
logrado reducir la Física a las
Matemáticas,
la
demostración es entonces
posible, y pienso que puedo
realizarla con el reducido
alcance
de
mi
conocimiento”.
 Se denota por A  B
Sub – Área: Aritmética
9
1º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
Mes: Abril
Observación:
Si A  B = , se dice que “A” y “B”
son disjuntos.
2.3.
Diferencia
Se conoce como diferencia de “A” y “B” al conjunto de
todos los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”.
 Se denota por A – B
Sub – Área: Aritmética
10
1º Secunda ria
Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
Ejemplos:
 Si:
A = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8}
B = {1; 3; 4; 5; 7; 9}
"Educar no es
dar carrera
para vivir, sino
templar
el alma para
las dificultades
de la vida."
Entonces:
A  B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
A  B = {1; 3; 4}
A – B = {0; 2; 6; 8}
B – A = {5; 7; 9}
 Si:
T = {m; v; t; p}
P = {m; v; t; s; u; p}
Entonces:
T  P = {m; v; t; p; s; u}
T  P = {m; v; t; p}
T–P={ }=
P – T = {s; u}
ACTIVIDAD EN AULA
1. Si los conjuntos “M” y “N” son unitarios, hallar
p2 + q2
M = {p + q; 12}
N = {4; p – q}
5. Si “Z” es un conjunto unitario, hallar a + b
Z = {22 – a; b + 8 ; 18}
2. Si el conjunto “Z” es unitario. Hallar “m + n”
Z = { 7 – m; n + 4; 5}
6. De una encuesta realizada a 120 alumnos de
una universidad se sabe que; 75 estudian, 35
trabajan y 20 estudian y trabajan. ¿Cuántos
sólo estudian?
3. Si los conjuntos:
P = {p; a; l; o; m; a}
Q = {l; o; m; a; s}
entonces hallar “P  Q”
4. De 50 alumnos de un aula poseen libros de
matemática o lenguaje; 40 tienen libro de
Matemática y 15, de Matemática y Lenguaje.
¿Cuántos tienen sólo el libro de Lenguaje?
7. En una fiesta donde asistieron 70 personas
se sabe que 36 gustan bailar salsa; 42 gustan
de bailar rock, ¿Cuántas personas no gustan
de bailar?, si se sabe que 25 personas gustan
de ambas músicas.
8. Si los conjuntos A y B son unitarios, calcular a
+b+c
A = {3a + 5; 17; 4b – 3}
B = {4a – b; c}
Sub – Área: Aritmética
11
1º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
Mes: Abril
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Si “R” y “S” son conjuntos unitarios, hallar a2–
b2.
5. Si los conjuntos P y Q son unitarios,
hallar r+ s
R = {a + b; 16}
S = {8; a – b}
2. Si se sabe que el conjunto “x” es unitario,
hallar “m – p”
x = {9 – m; n + 4; 5}
3. Si los conjuntos:
M = {m; a; n; u; e; l}
N = {s; a; m; u; e; l}
P = {r + s; 18}
Q = {6; r – s}
6. Se realiza una encuesta a 140 estudiantes de
1ro. de secundaria del colegio “Trilce” y se
sabe que: 81 estudian, 32 ven televisión y 18
estudian y ven televisión. ¿Cuántos sólo ven
televisión’
7. De 85 personas 35 gustan de natación y 25
gustan de atletismo, ¿cuántas personas sólo
gustan de natación si se sabe que 10
personas gustan de ambos deportes?
hallar “M  N”.
4. De 60 alumnos del colegio “Leonardo de
Vinci” poseen computadora o celular; 32 tiene
computadora y 12 computadora y celular.
¿Cuántos tienen sólo celular?
Sub – Área: Aritmética
1. ¿Cuántos sub conjuntos tiene N?
N = {1; {2; 2}}
12
1º Secunda ria
Mes: Abril
I.E.P. “Leonardo de Vinci”
Sub – Área: Aritmética
13
1º Secundaria