UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL LABORATORIO DE FÍSICA II MARTES: 12:00 PM – 2:00 PM FECHA DE REALIZACIÓN: 16/04/2019 FECHA DE ENTREGA: 23/04/2019 DOCENTE: INTEGRANTES Machado Saldarriaga, Jorge Prado León César Augusto Ramirez Del Águila, Josué Simón Martinez, Estrella Violeta Suolaga Flores, Luis Pablo CONSTANTES ELÁSTICAS OBJETIVOS - Observar las características y cndiciones de un resorte en espiral. - Determinar la constante elástica del resorte en espiral. - Experimentar y entender la Ley de Hooke a través de las experiencias empíricas. - Analizar el comportamiento de los cuerpos elásticos frente a pequeñas deformaciones. LABORATORIO – FÍSICA II CONSTANTES ELÁSTICAS MATERIALES SOPORTE UNIVERSAL REGLA GRADUADA DE 1m DE LONGITUD REGLA METÁLICA DE 60cm DE LONGITUD BALANZA DE PRECISIÓN PINZA RESORTE DE ESPIRAL DE ACERO JUEGO DE PESAS CON PORTAPESAS LABORATORIO – FÍSICA II SUJETADORES (NUEZ O CLAMP) CONSTANTES ELÁSTICAS MARCO TEÓRICO Los sólidos cristalinos, en general, tienen una característica fundamental denominada “Coeficiente elástico”, que aparece como consecuencia de la aplicación de fuerzas externas de tensión o compresión, que permiten al cuerpo de sección transversal uniforme, estirarse o comprimirse. Se dice que un cuerpo experimenta una deformación elástica, cuando recupera su forma inicial al cesar la fuerza que la produjo. Para poder comprobar este hecho notable, usaremos un resorte en espiral, al cual aplicaremos masas sucesivas y de acuerdo a la Ley de Hooke. Ley de Hooke En el siglo XVII, al estudiar los resortes y la elasticidad, el físico Robert Hooke observó que para muchos materiales la curva de esfuerzo vs. deformación tiene una región lineal. Dentro de ciertos límites, la fuerza requerida para estirar un objeto elástico, como un resorte de metal, es directamente proporcional a la extensión del resorte. A esto se le conoce como la ley de Hooke, y comúnmente la escribimos así: F=−kx Donde F es la fuerza, x la longitud de la extensión o compresión, según el caso, y k es una constante de proporcionalidad conocida como constante de resorte, que generalmente está en N/m. Aunque aquí no hemos establecido explícitamente la dirección de la fuerza, habitualmente se le pone un signo negativo. Esto es para indicar que la fuerza de restauración debida al resorte está en dirección opuesta a la fuerza que causó el desplazamiento. Jalar un resorte hacia abajo hará que se estire hacia abajo, lo que a su vez resultará en una fuerza hacia arriba debida al resorte. Al abordar problemas de mecánica que implican elasticidad, siempre es importante asegurarnos de que la dirección de la fuerza de restauración sea consistente. En problemas simples a menudo podemos interpretar la extensión xxx como un vector unidimensional. En este caso, la fuerza resultante también será un vector de una dimensión, y el signo negativo en la ley de Hooke le dará la dirección correcta. Las características elásticas de un material homogéneo e isotrópico quedan completamente definidas si se conocen las constantes elásticas: Módulo de LABORATORIO – FÍSICA II CONSTANTES ELÁSTICAS Módulo de Young El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés del siglo XIX Thomas Young, aunque el concepto fue desarrollado en 1727 por Leonhard Euler, y los primeros experimentos que utilizaron el concepto de módulo de Young en su forma actual fueron hechos por el científico italiano Giordano Riccati en 1782, 25 años antes del trabajo de Young.1 El término módulo es el diminutivo del término latino modusque significa “medida". Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud. Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material. Además de este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el módulo de elasticidad transversal de un material. Coeficiente de Poisson El coeficiente de Poisson (n) es un parámetro característico de cada material que indica la relación entre las deformaciones longitudinales que sufre el material en sentido perpendicular a la fuerza aplicada y las deformaciones longitudinales en dirección de la fuerza aplicada sobre el mismo. Así, si sobre el cuerpo de la figura se aplica una fuerza de tracción en dirección x se produce un alargamiento relativo εx en esa dirección y un acortamiento relativo εy y εz en las dos direcciones transversales, definiéndose el coeficiente de Poisson como: LABORATORIO – FÍSICA II CONSTANTES ELÁSTICAS PROCESOS Montaje 1: En el proceso experimental, buscamos encontrar dos valores para la deformación del resorte (“x”), de modo que, en base a esos valores, se puede hallar un valor de la deformación promedio mucho más preciso, que nos facilita los cálculos para hallar la constante de equilibrio. Ahora bien, para hallar el valor de las fuerzas, multiplicamos el valor de las masas utilizadas con la aceleración de la gravedad que lo asumimos como 9.81 m/s2. Finalmente, para hallar el valor de nuestras constantes de equilibrio “K” experimentales, aplicaremos la Ley de Hooke, la cual está dada por: 𝐹 = −𝐾𝑥 Todos estos valores fueron hallados experimentalmente y dichos valores serán presentados en una tabla en el análisis del montaje. Continuando con el procedimiento experimental, debemos hallar un K definido, para esto se procede a dar uso al método de mínimos cuadrados. Así podremos precisar nuestra constante elástica. LABORATORIO – FÍSICA II CONSTANTES ELÁSTICAS Montaje 2 Para este experimento utilizaremos la regla metálica colocándola entre extremos de los soportes con ayuda de los sujetadores. 1. Las dimensiones geométricas que obtuvimos al medir la regla metálicas son: Longitud (L): 104 cm Ancho (a): 2.93 cm Espesor (b): 0.16 cm 2. Determinamos la posición inicial del centro de la varilla con respecto a la escala vertical graduada es 85.7 3. Cargamos gradualmente la varilla, por su centro, y midiendo las flexiones correspondientes (s’). 4. Con los resultados obtenidos, calculamos el valor promedio de los pares de s’ y s’’ para cada carga y lo anotamos en la tabla 2. Tabla 2. CARGA s’ s’’ S m(kg) (mm) (mm) (mm) 1 0.05 15 15 15 2 0.10 30 31 30.5 3 0.15 47 48 47.5 4 0.20 62 66 64 5 0.25 80 84 82 6 0.3 102 103 102.5 N° LABORATORIO – FÍSICA II CONSTANTES ELÁSTICAS ANÁLISIS Y GRÁFICOS MONTAJE 1 A partir del primer montaje de la práctica obtuvimos la siguiente tabla de valores: TABLA 1 N° m(kg) x1(m) x2(m) ẋ(m) F(N) K(N/m) 1 0,15 0.006 0.007 0.0065 1.47 226.15 2 0,20 0.017 0.021 0.019 1.96 103.16 3 0,25 0.027 0.031 0.029 2.45 84.48 4 0,30 0.039 0.041 0.040 2.94 73.5 5 0,35 0.053 0.053 0.053 3.43 64.72 6 0,40 0.063 0.066 0.0645 3.92 60.78 Que nos servirá para obtener el resultado de la constante elástica del sistema (K), para esto analizaremos los valores independientes de K hallados y así obtener uno general, también hallaremos la constante por el método de mínimos cuadrados y finalmente, mostraremos el gráfica F(fuerza) vs x(deformación). Una primera forma de hallar un K general con los valores hallados, sería sacando un promedio de los valores obtenidos. Entonces: Ḵ= 226.15+103.16+84.48+73.5+64.72+60.78 6 = 102.13(N/m) Por otro lado, con los datos obtenidos en la tabla podemos hallar la constante elástica por el método de mínimos cuadrados. De la relación: F = Kx y = mx + b LABORATORIO – FÍSICA II CONSTANTES ELÁSTICAS Entonces para hallar la pendiente, hacemos el siguiente cálculo: ∑g Xi 0.0065 0.019 0.029 0.040 0.053 0.0645 0.212 𝒎= 𝒎= Yi 1.47 1.96 2.45 2.94 3.43 3.92 16.17 XiYi Xi2 0.009555 0.00004225 0.03724 0.000361 0.07105 0.000841 0.1176 0.0016 0.18179 0.002809 0.25284 0.00416025 0.670075 0.0098135 (𝒏 ∑ 𝒙i𝒚i) − (∑ 𝒙i ∑ 𝒚i) (𝒏 ∑ 𝒙i𝟐 ) − (∑ 𝒙i)𝟐 (6 ∗ 0.670075) − (0.212 ∗ 16.17) = 𝟒𝟐. 𝟓𝟏 (6 ∗ 0.0098135) − (0.212)2 El valor de m vendría a ser la constante de elasticidad (N/m) MONTAJE 2 A partir del segundo montaje de la práctica obtuvimos la siguiente tabla de valores: TABLA 2 N° CARGA m(kg) s’ (mm) s’’ (mm) S (mm) 1 0.05 15 15 15 2 0.10 30 31 30.5 3 0.15 47 48 47.5 4 0.20 62 66 64 5 0.25 80 84 82 6 0.3 102 103 102.5 LABORATORIO – FÍSICA II CONSTANTES ELÁSTICAS Que nos servirá tanto para hallar el valor de la constante elástica (K) así como del módulo del Young. Tomamos medidas de la regla que nos ayudó a hacer las pruebas y con las que hallaremos el módulo de Young. REGLA METÁLICA Longitud (L): 1040 mm Ancho (a): 29.3 mm Espesor (b): 1.6 mm Tenemos dos fórmulas a utilizar: S= s = kF L3 *F 4*E*a*b 3 s = Deformación elástica Donde: E = Módulo de Young F = Fuerza aplicada Con los datos de la tabla 1 hallaremos la constante elástica por el método de mínimos cuadrados, de tal manera que obtendremos resultados más exactos. De la relación: s = kF y = mx + b Obtendremos la siguiente tabla para hallar la pendiente (contante K): ∑g Xi(m*g) 0.49 0.98 1.47 1.96 2.45 2.94 10.29 LABORATORIO – FÍSICA II Yi 15 30.5 47.5 64 82 102.5 341.5 XiYi 7.35 29.89 69.825 125.44 200.9 301.35 734.755 Xi2 0.2401 0.9604 2.1609 3.8416 6.0025 8.6436 21.8491 CONSTANTES ELÁSTICAS 𝒎= 𝒎= (𝒏 ∑ 𝒙i𝒚i) − (∑ 𝒙i ∑ 𝒚i) (𝒏 ∑ 𝒙i𝟐 ) − (∑ 𝒙i)𝟐 (6∗734.755)−(10.29∗341.5) (6∗21.8491)−(10.29)2 = 𝟑𝟓. 𝟒𝟖 Concluyendo que la constante del sistema sería 35.48 N/mm. Al hacer comparaciones entre las dos fórmulas mostradas anteriormente, podemos llegar a la siguiente: E= L3 4*k*a*b 3 Entonces, reemplazando valores: E= 10403 4*35.48*29.9*1.63 = 66043.30 N/mm2 Haciendo un redondeo, decimos que el valor del módulo de Young es 7*104 N/mm2 y si hacemos una conversión obtenemos 7*1010 N/m2 que concuerda con el módulo de Young del aluminio. LABORATORIO – FÍSICA II
