4. ecuaciones concepto y resolucion

Matemática Secundario
Nivel 2
Módulo 2
Parte 2: Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolución.
Aplicación.
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple
solamente para algunos valores de las letras, cada expresión algebraica al lado
del signo = se denomina miembro de la ecuación, la letra es la incógnita.
4x – 6 = 3 x + 12
1er miembro
2do miembro
Resolver una ecuación es encontrar qué valor o valores hacen verdadera la
igualdad presentada.
En la ecuación 4x – 6 = 3 x + 12 si la x toma el valor 18, entonces la
igualdad es verdadera:
4. 18 – 6 = 3 . 18 + 12
72 – 6 = 54 + 12
66 = 66
Luisa resolvió la ecuación 2x + 4 = 3 – 7x y dice que x = 8
Hay que probar si se comprueba la igualdad, entonces es cierto, si no, 8 no es
la solución:
2. 8 + 4 = 3 – 7 . 8
16 + 4 = 3 – 56
20
= - 53
Es falso, por lo tanto 8 no es la solución.
Ejercicio 1:
Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
a)
b)
c)
d)
e)
La solución de x + 7 = x – 2 es x = 4
3 es la solución de la ecuación 4x + 1 = 4x – 1
La solución de 5x – 6 = 20 + 2x es 8.
La solución de 15 – 4x = x + 6 es x = -3.
-5 es la solución de x = 10 - x.
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Antes de seguir, recordemos algunas propiedades presentan las distintas
operaciones:
Propiedad uniforme
Si sumamos o restamos un mismo número o expresión algebraica a los
dos miembros de una igualdad, obtenemos otra igualdad, por ejemplo:
3+6=9
Luego
3 + 6 + 14 = 9 + 14
Si multiplicamos o dividimos por un mismo número o expresión algebraica
(distinta de cero) a los dos miembros de una igualdad obtenemos otra
igualdad, por ejemplo:
12 = (15 – 3)
Si divido por 2
12 : 2 = (15 – 3) :2
Otros ejemplos:
2–5 =-3
2 – 5 + 4x = - 3 + 4x
�
Propiedad cancelativa
En una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos
miembros y la igualdad no se altera:
(2 . 12) – 8 = 3 + 21 – 8
Suprimiendo
2 . 12 = 3 + 21
En una ecuación ya que la incógnita se presenta afectada por sumas, restas,
potencias, etc., entonces podemos aplicar las propiedades, recordando que:
Si sumamos y restamos un mismo número o expresión algebraica a un
miembro de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente a la dada.
3x + 6 = 2x – 7
3x + 6 – 4 = 2x – 7 – 4
Si multiplicamos y dividimos un término de una ecuación por un número
distinto de cero obtenemos una ecuación equivalente a la dada.
4x + 1 = 2x + 6
(4x + 1) . 5 = (2x + 6) . 5
Esto nos permite ir transformando la ecuación en otras equivalentes:
100 = 4x + 22
100 – 22 = 4x + 22 – 22
se aplica propiedad uniforme
78 = 4x
se resuelven operaciones
78 : 4 = 4 x : 4
19,5 = x
se aplica propiedad uniforme
no importa de qué lado del = queda la incógnita
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Ayuda memoria:
En muchos casos se recuerda con más facilidad si decimos:
“Lo que está sumando pasa restando, lo que está restando pasa
sumando, lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que está
dividiendo pasa multiplicando (ojo que cuando paso multiplicando o
dividiendo el signo del número no se cambia)”
Recordar!!!
El número 1 no se escribe delante de la incógnita, por ejemplo si digo 1x o
simplemente x es lo mismo.
Otra ecuación:
J + 7 + J + 4 = 40
Resolución
(J = 1J)
2J + 11 = 40
2J+ 11 - 11 = 40 – 11
estos pasos sirven para “despejar”
2J = 29
2J: 2= 29: 2
J = 14,5
Otro ejemplo:
1/2 x + 5 – 4 x = - 9 + 2/3 x + 1/3
separo y agrupo términos con incógnita, recordando las prop.
1/2 x – 4 x - 2/3 x = - 9 + 1/3 – 5
- 13/6 x = - 31/3
resuelvo + y -
x = (- 31/3) : (- 13/6 )
x =
62/13
aplico propiedad uniforme.
resuelvo división (no olvidar la regla de los signos)
Ejercicio 2
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3x + 16 = 1/3
7 – x = - 34
1/3x + x = 16
x - 1/3 x = 16
16 + x =1/3 x
2x – 23 = 15 – 7 + 8x
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Otras veces se pueden presentar ecuaciones donde se debe aplicar la
propiedad distributiva de la multiplicación y/o división a uno o ambos miembros
de la ecuación, veamos dos ejemplos:
1) 3x – 7 = (4x + 2) . 8
3x – 7 = 4x.8 + 2. 8
3x – 7 = 32 x + 16
3x – 32x = 16 + 7
-29x = 23
23
x =- 29
2𝑥+4
2)
=
5
2
𝑥+5
4
1
6
–5
5
x+ 5 =6x+6–5
5
2
5
1
5
x-6x=
13
30
6
x=x=x=-
4
–5 -5
149
30
149
30
149
13
: 30
13
Caso especial del ejemplo 2
4𝑥−4
7
=
3𝑥+1
6
se observa que no hay números “sueltos” que no estén afectados por la división
Aquí se puede recurrir a la propiedad de las proporciones (medio por medio es
igual a extremo por extremo)
Entonces queda: (4x – 4) . 6 = (3x + 1) . 7 luego se procede igual al ejemplo 1
24x – 24
= 21x + 7
24x – 21x = 7 + 24
3x = 31
x =
31
3
Ejercicio 3
a)
b)
−6𝑥+4
5
𝑥+2
9
=
3
12𝑥+5
+4 =
4
−3𝑥+3
6
c) (2x – 4). (-12) = 22 – 2x
d) (3x + 1) . 4 = (3x + 1) . 3
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Si en la ecuación, además de las cuatro operaciones fundamentales aparecen
potencias y raíces, tener en cuenta además de la separación en términos,
observar bien qué números o incógnitas están afectados por radicación o
potenciación, siempre se “despeja” lo más “alejado” de la incógnita primero.
3
Veamos: √𝑥 + 8 = 7
no es lo mismo que
3
√𝑥 + 8 = 7 , a continuación sus resoluciones:
la raíz afecta sólo a la incógnita
la raíz afecta al 1er miembro de la ecuación
3
3
√𝑥 + 8 = 7
3
𝑥
+
8−8=7−8
√
√𝑥 + 8 = 7
3
( √𝑥 + 8)3 = 73
𝑥 + 8 = 343
𝑥 + 8 − 8 = 343 – 8
𝑥 = 335
3
( √𝑥 )3 = (-1)3
𝑥
= -1
Ejercicio 4
a) 3√( 4𝑥 + 12) ∶ 2/3 = -2
b)
4 3
√𝑥
5
+ ½ = -1
3
c)
√3𝑥−1
−1
=3
d) (x + 3)2 = 25
e) (x3 - 1) : 2 = - 14
f)
g)
3 4
x
5
- 1 = -5
5
√2𝑥
3
+4 =-
6
5
5