Gestión de Investigación de Operaciones

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS
Gestión de Investigación de Operaciones
TERCER CERTAMEN
Primer Semestre 2002
Prof. Vı́ctor M. Albornoz S.
1. La función de costo total de un monopolista que produce dos bienes es C(q1 , q2 ) =
(1/6)q12 − 10q2 + 90, donde q1 y q2 representan las cantidades producidas de dichos bienes. Suponga que las funciones de demanda a las que se enfrenta la
empresa son las siguientes:
q1 = 680 − 5p1 − 3p2
q2 = 430 − 3p1 − 2p2
donde p1 y p2 son los precios de cada uno de los bienes.
i) (10 puntos) Formule un modelo de optimización que provea los niveles de
producción de cada bien, maximizando el beneficio del monopolista.
ii) (10 puntos) Resolver el modelo propuesto por usted en i) usando las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker.
iii) (10 puntos) Usando lo obtenido en ii), aplique una iteración del Método
del Descenso más Pronunciado a un problema no-restringido equivalente
al propuesto por usted, partiendo del origen.
2. (15 puntos) Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles
son falsas. Justifique adecuadamente su respuesta.
i) Todo mı́nimo local es solución óptima.
ii) Si un problema tiene soluciones factibles tiene solución óptima.
iii) Todo problema convexo es lineal.
iv) Puede existir problemas de minimización convexa con exactamente dos
soluciones óptimas.
v) La hipotenusa mı́nima
√ h de un triángulo rectángulo de área 5 se obtiene
resolviendo M in { x2 + y 2 / xy = 5}.
vi) Sea f : R2 → R es una función dos
à veces!continuamente diferenciable tal
2 c
que f (x∗ ) = (0, a)T y D2 f (x∗ ) =
. Si 2d − c2 > 0 entonces x∗ es
c d
un mı́nimo local.
3. Considere el siguiente problema:
P ) Min
s.a.
f (x1 , x2 )
x 1 + x2 = a
x21 + x22 <= 16
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
i) (5 puntos) ¿Para qué valores de a el problema tiene un dominio de puntos
factibles no–vacı́o?
ii) (5 puntos) Si f es una función lineal y a = 4, hallar la solución óptima de
manera gráfica.
ii) (10 puntos) Usando las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker,
hallar la solución óptima del problema con f (x1 , x2 ) = (x1 − 2)2 + (x2 − 1)2
y a = 4.
iii) (5 puntos) Formule un modelo equivalente a P) que contenga sólo restricciones lineales, con a = 4.
iv) (15 puntos) Usando iii), aplicar una iteración del Método de de Frank –
Wolfe con f (x1 , x2 ) = (x1 −2)2 +(x2 −1)2 , a = 4 y un punto inicial provisto
por usted.
4. (15 puntos) Clasifique los estados de la Cadena de Markov descritos por la
siguiente matriz de transición:




P =
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0





¿Qué ocurre si usted trata de hallar las probabilidades estacionaria a partir de
las ecuaciones vistas en clase para este propósito?