ANALISIS DIMENSIONAL

ANALISIS DIMENSIONAL
CIENCIA TECNOLOGIA Y AMBIENTE
PROFESOR: JAIME H. QUISPE CASAS
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Es parte de la física, es una ciencia auxiliar de la física que se utiliza para relacionar las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas.
M A G N IT U D E S FÍSI C A S
CONCEPTO: Una magnitud física es una característica medible de un fenómeno físico o de un objeto, por ejem-
plo tenemos la longitud, la masa, la temperatura, la velocidad, etc. mientras que otras propiedades como el
color, el sabor, la bondad, la belleza nos son magnitudes físicas.
Es todo aquello que puede ser medido y expresar cuantitativamente. Ejemplo
 La longitud de una pizarra
La masa de una persona
 La temperatura del agua
La velocidad de un helicóptero,etc
 La aceleración de un cohete
CANTIDAD.- Es la medida de una magnitud ejm.
PIZARRA
3m
25 kg
15 km / h
25kg
5km / h
NOCIONES DE MEDICION Y MEDIDA
MEDICION.- Es el procedimiento que se emplea para conocer el valor de una cantidad sea indirectamente o
directamente
MEDIDA.- Es la cantidad que nos indica el resultado de una medición.
MEDIR .- Es comparar una cantidad de dicha magnitud con otra de la misma especie a la cual se le denomina
unidad de medida. ( Patrón) Ejm Para medir la temperatura de una sustancia la comparamos con el grado Celsius registrados en el termómetro.
UNIDAD.- Es la unidad tomada como base. Ejm. Metro , segundo , etc.
.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES
I. Según su origen
A1 Magnitudes Fundamentales:
Son aquellas que elegidas convencionalmente son utilizadas como base para establecer un sistema
de unidades. Según el sistema internacional (S.I.) se tienen 7 magnitudes base y dos magnitudes
suplementarias.
ESTRUCTURA DEL SISTEMA INTERNACIONAL
MAGNITUDES FUNDAMENTALES
UNIDAD BASICA
NOMBRE
1.- LONGITUD
2.- MASA
3.-TIEMPO
4.-TEMPERATURA TERMODINÁMICA
5.-INTENSIDAD CORRIENTE ELECTRICA
6.- INTENSIDAD LUMINOSA
7.-CANTIDAD DE SUSTANCIA
ECUACIÓN DIMENSIONAL
NOMBRE
L
M
T

I
J
N
Metro
Kilogramo
Segundo
Kelvin
Ampere
Candela
mol
SIMBOLO
M
Kg
S
K
A
Cd
mol
Observación: La unidades del S:I fueron establecidas en el año de 1954, en la X conferencia de pesas y medidas;
en el año 1971 en la XIV conferencia se consideró que 7 son las unidades fundamentales 2 las derivadas. En
Nuestro país adopta el S.I. mediante ley N° 23560 el 31 de Diciembre de 1982.
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A2) Magnitudes Auxiliares.- Son aquellas que no se pueden comparar con ninguna de las magnitudes fundamentales. Estas son : el ángulo plano, el ángulo radian.
MAGNITUDES AUXILIARES
UNIDAD BASICA
NOMBRE
SIMBOLO
NOMBRE
1.- Angulo Plano
2.- Ángulo Sólido
Radián
Estereoradián
Rad
sr
A3) Magnitudes Derivadas: Son aquellas magnitudes cuya definición se da en términos de las magnitudes asumidas como fundamentales. Son ilimitadas
Ejemplo :
La velocidad, la aceleración, trabajo, potencia, fuerza, peso, área, volumen, densidad, caudal, cantidad de movimiento. etc
II. Según su naturaleza
B1) Magnitudes Escalares:
Son aquellas que se expresan a través de dos elementos: - Valor Numérico y Unidad de medida
50
Kg
Valor numérico
Unidad de medida
B2) Magnitudes Vectoriales :
Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesita conocer la
dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada.
Las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante un elemento matemático llamado vector.
Magnitud: 80 m/s
Dirección: Horizontal
Sentido: Derecha
Toda unidad física, está asociada con una dimensión física. Así el metro es una medida de la dimensión “LONGITUD” ( L ) ; El kilogramo lo es de “MASA” ( M) ; el segundo pertenece a la dimensión del “TIEMPO” ( T ).
Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es la unidad de la velocidad que se puede expresar como la
combinación de las antes mencionadas.
Dimensión de la velocidad =
Dimensión de la longitud
dim ensión del tiempo
así también, la aceleración, la fuerza, potencia, etc pue-
den expresarse en términos de las dimensiones ( L ) , ( M ) , ( T )
FINES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL
1. El análisis Dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de
las fundament a-
les.
2. Sirven para comprobar la veracidad de las formula físicas haciendo uso del principio de homogeneidad
dimensional.
3. Sirven para deducir las formulas a partir de datos experimentales.
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ECUACIONES DIMENSIONALES
Son aquellas expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las magnitudes
fundamentales, utilizando para ellas las reglas básicas del algebra
La ecuación dimensional de una magnitud fundamental es la misma magnitud fundamental.
Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque solo operan las magnitudes.
NOTACIÓN: [A] Se lee: Ecuación Dimensional de A
PROPIEDADES.
1.- Toda ecuación Dimensional se escribe en forma de monomio entero; si es fraccionario se hace entero con
expresiones negativas
LT
= L.T.M-1
M
L
T2
= L.T-2
2.- La adición o sustracción no se aplican en las ecuaciones dimensionales, sino que sumando o restando magnitudes de la misma naturaleza obtendremos otra de la misma naturaleza. ejemplo
* L-3 M - L-3 M = L-3 M
*L+L+L=L
* L.T-2 – LT-2 = LT-2
*M+M–M–M=M
3.- Las leyes de la multiplicación y la división son aplicables en las ecuaciones dimensionales. Ejemplo
2
* L x LT = L T
*
M 4T 2
MT 1
 M 3T 3
*
LM
 LMT 1
T
4.- A los números, funciones trigonométricas, ángulos, y logaritmos se les considera que tienen por ecuación
dimensional a la unidad. A esas cantidades se les llama Magnitudes adimensionales. Ejemplo.
* [sen 30 ] = 1 * [ 2 ] = 1
0
* [ ] = 1
* [ log 9 ] = 1
5.- El exponente de una magnitud física es siempre una cantidad adimensional. (esto no significa que una
magnitud física no puede aparecer en el exponente)
V = a.tx donde V = velocidad; a = aceleración; t = tiempo
hallar x
Solución :
[v] = [ atx ] LT-1 = LT-2 T x  LT-1 = LT-2 + x  -1 = -2 + x  x = 1
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
Mediante este principio se verifica lo siguiente`` Si una expresión es correcta en una formula se debe cumplir
que todos los términos deben ser iguales en magnitud o dimensión”
Es decir En una ecuación homogénea de adición o sustracción todos los términos tienen la misma ecuación dimensional. Sea la ecuación dimensional:
S = A + B + C tendremos que [ S ] = [ A ] = [ B ] = [ C ]
e = v.t +
1 2
at
2
L = L.T –1 .T + 1 LT-2 . T 2
L = L + L
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L = L
JAVIER= SIEMPRE
ES
+ EL + MAS + GRANDE, es dimensionalmente homogénea; siendo

A
M = masa; L Longitud; E = (metro)2 Hallar.  
 S 

7
-1
Rta: L M
ECUACIONES DIMENSIONALES DE ALGUNAS MAGNITUDES
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
FORMULA
FORMULA DIMEN-
FÍSICA
SIONAL
ÁREA
Lado x Lado
[A] = L2
VOLUMEN
Área x altura
[V] = L3
DENSIDAD
Masa / volumen
[D] = ML-3
VELOCIDAD
Distancia / tiempo
[v] = LT-1
ACELERACIÓN
Velocidad / tiempo
[a] = LT-2
FUERZA, PESO, TENSION
Masa x aceleración
[A] = MLT-2
TRABAJO
Fuerza x distancia
[w] = L2MT-2
POTENCIA
Trabajo / tiempo
[P] = L2MT-3
ENERGÍA
Masa x (veloc de la luz)2
[w] = L2 MT-2
PRESIÓN
Fuerza / área
[p] = L-1 MT-2
VELOCIDAD ANGULAR
Angulo / tiempo
[] = T-1
PERIODO
T
[T] = T
FRECUENCIA
1/ tiempo
[A] = T-1
PESO ESPECIFICO
Peso / volumen
[] = L-2MT-2
CAUDAL
Volumen / tiempo
[Q] = L3 T-1
IMPULSO
Fuerza x tiempo
[J] = LMT-1
MOMENTO O TORQUE
Fuerza x distancia
[M] = ML2T-2
ENERGÍA POTENCIAL
Peso x altura
Ep= L2 MT -2
ILUMINACIÓN
Intensidad luminosa / dist
[ ] = JL-2
MAGNITUD DERIVADA
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20
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
1.- En el Sistema Internacional de medidas existen…
magnitudes fundamentales
[ø] = LMT-1
Masa x velocidad
c) kilogramo, segundo, metro
d) metro, kilogramo, mol, fuerza
e) ampere, kelvin, candela
a) 5
b) 5
c) 8
d) 7
e) 9
8.- Cuantas proposiciones están erradas respecto al
símbolo
2.- Inicialmente las tres magnitudes básicas eran:
Kilogramo
kg
a) masa, temperatura, tiempo
Kelvin
K
b) metro temperatura, intensidad de corriente
Metro
M
c) masa, longitud, temperatura
Segundo
s
d) masa, longitud, tiempo
Ampere
A
e) longitud, temperatura, cantidad de sustancia.
9.- indique una unidad que no corresponde a las magni3.- Indicar cual no es una magnitud fundamental en el
tudes fundamentales del Sistema Internacional:
Sistema Internacional
a) Masa
b) longitud
d) velocidad
e) temperatura
c) tiempo
4.- cual es la unidad patrón de la masa
a) metro,
b) Gramo
d) kilometro
e) Kelvin
a) Kilogramo
b) ampere
d) wata
e) metro
c) segundo
10.- Indicar cuantas magnitudes no son magnitudes
c) kilogramo
fundamentales en el sistema internacional:
*Temperatura
*tiempo
*masa
*trabajo
*aceleración
* cantidad de movimiento
5.- Indicar la relación correcta:
Masa
metro
Longitud
kelvin
Temperatura
kilogramo
Tiempo
ampere
magnitudes fundamentales del Sistema Internacio-
Intensidad de corriente
segundo
nal.
6.- Indicar la relación correcta:
Tiempo
I
Intensidad de corriente
m
Masa
kg
Longitud
s
Temperatura termodinámica
k
7.- Indique que unidades no corresponden al Sistema
Internacional de Unidades
a) metro, segundo, kelvin
b) candela, mol, ampere
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
11.- Indique cuantas unidades no corresponde a las
* kilogramo
* ampere
* joule
* coulomb
segundo
* watts
a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
e) 5
12.- cuantas proposiciones tan correctas respecto a su
símbolo:
Masa
m
Temperatura

Longitud
L
Tiempo
t
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Intensidad de corriente eléctrica
I
* L + T = LT
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
*
L3
 L2
L
a) Solo 2 son verdaderas
b) todas son falsas
c) Hay 1 verdaderos
d) todos son verda-
13.- Indique cual no es una magnitud fundamental en el
deras
e) Hay 1 falso
S.I.
a) tiempo
c) área
b) periodo
d) masa
e) altura
17.- Indicar si la ecuación física es homogénea:
1 2
at  P ; donde: d = densidad; vo= veloci2
d  v ot 
dad a = aceleración; t = tiempo
14.- Marcar la alternativa incorrecta:
Es homogéneo
b) falta conocer “p”
cuantificado. Ejem: la ,masa, el tiempo, la fuerza,
No es homogénea
d) Falta conocer las unidades
volumen ,etc.
de “p”
a) Magnitud física.- es todo lo que se puede medir y ser
a)
c)
e) Hay dos repuestas.
b) Cantidad física: es porción de una magnitud física.
Ejemplo: 25 kg; 2 horas, 20 newton, 5 litros.
c) Una cantidad física = un numero con unidad física.
d) 30º,

6
, log 9, también son cantidades físicas
18.- En una ecuación dimensional se expresa una cantidad física en función de las cantidades……..
a) Escalares
b) auxiliares
c) vectoriales
e) 20 soles; 15 dólares; no son cantidades físicas
d) fundamentales
15.- Dadas las proposiciones:
19.- la aceleración y la velocidad tienen ecuaciones dimensio-
e) derivadas
nales…….
A.- Las magnitudes físicas según su origen puede ser:
fundamentales y derivadas
a) Iguales
b) diferentes
c) iguales a 1
d) desconocidas e) N.A
B.- Las magnitudes físicas según su naturaleza pueden
ser: escalares y vectoriales
20.- según el análisis dimensional Que expresiones serian co-
C.- Siete son las magnitudes fundamentales
D.- Las magnitudes escalares tienen modulo, dirección
sentido y punto de aplicación
c) Hay 2 falsas
b) todas son falsas
16.- Marcar verdadero (V) o falso (F) respecto a las
magnitudes L = longitud; T = tiempo
* L + L2 = L3
M
II. [sen 30º] = [tan 45º]
 M
M
a) I y II
b) II y III
d) solo II
e) solo III
c) I y III
d) solo 2 son verdaderas
e) Hay 3 falsos
* L + L = 2L
I. 4L – 6L = -2L
III.
E.- Las magnitudes vectoriales solo tienen modulo
a) Todas son verdaderas
rrectas:
1.- En el sistema internacional existen …las magnitudes fundamentales son
y las
magnitudes auxiliares son
_.
2.- Indicar cual no es magnitud fundamental en el S.I.
*L–L=L
a) masa
d) volumen
b) tiempo
c) longitud
e) cantidad de sustancia
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3.- ¿Cuál es la unidad patrón de la temperatura?
a) kilogramo
d) newton
b) kelvin
e) pascal
c) candela
tancia?
a) mol
b) metro
d) ampere
e) candela
5.- Indicar la relación correcta:
a)
b)
c)
d)
e)
tiempo
volumen
masa
área
temperatura
c) kilogramo
-
segundo
kelvin
metro cúbico
kilogramo
metro cuadrado
6.- Indique que unidades no corresponden al sistema
internacional de unidades.
a)
b)
c)
d)
e)
kilogramo - segundo - candela
ampere - kilogramo - mol
metro - kilogramo - newton
mol - kilogramo - ampere
ampere - candela - mol
7.- Indicar cuántas magnitudes no son magnitudes fundamentales en el sistema internacional.
* Masa
* Velocidad
* Intensidad luminosa
* Aceleración
* Cantidad de sustancia
* Temperatura termodinámica
Rpta:
8.- ¿Cuántas proposiciones están correctas respecto a su
símbolo de unidad?
* Longitud
......................
10.- Indicar cuántas de las unidades son derivadas en el
S.I.
* segundo
* m2
* m3
* m/s
* kelvin
* watts
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
11. Indicar cuántas unidades están escritas de modo
incorrecto.
metro
..............
mt
Kilogramo
..............
Kgr
litro
Kelvin
gramo
..............
..............
..............
l
ºK
gr
Rpta:
12. Indicar cuantos
correctamente.
metro
Kilogramo
litro
Kelvin
gramo
símbolos están siendo utilizadas
...............
m
...............
Kgr
...............
l
...............
K
...............
g
Rpta:
13. La superficie es una magnitud fundamental.
a) Verdadero
14. La unidad de
cional es el segundo.
b) Falso
en el Sistema Interna-
15. Señala cuál de estas es la unidad del Sistema Internacional.
a) Grado Celsius
b) mol
c) hora
d) año - luz
16.- Si medimos la altura de una persona, la magnitud
que estamos midiendo se llama longitud.
l
* Temperatura
......................
* cantidad de sustancia ..............
k
m
* Intensidad luminosa................
* Masa
..........................
cd
kg
a) Verdadero
b) Falso
17- Magnitud es todo lo que se puede medir:
a) Verdadero
b) Falso
18.- Selecciona la magnitud derivada:
Rpta:
a) Volumen
b) tiempo
9.- Indicar la relación correcta:
4kg
velocidad
144 km/h
temperatura
120N
9,8m/s2
20 watts
masa
fuerza
potencia
c) masa
d) longitud
Rpta:
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1
2
1.- Hallar x + y , siendo E  m x v y ; Donde: E = energía de
11.- La siguiente ecuación sirve para calcular la velocidad
de una onda sobre una cuerda tensa. Determinar la unidad
una partícula; m = masa; v = velocidad
T
; donde ;V=
u
2.- Hallar la dimensión de “a” en la siguiente ecuaciones: R =
de “u” en el Sistema Internacional: V 
radio ; b = base; h = altura; d = diagonal menor y D = diagonal
velocidad de la onda; T = tensión de la cuerda estirada.
mayor
A) a = R2
B) a 
bh
2
C) a 
Dd
2
3.- Determinar las dimensiones de “V” en las siguientes
ecuaciones donde: R = radio; b = base; h = altura; B= base
12.- Dada la formula P = k.w2.tg; donde P = potencia;
W = velocidad angular; determinar las unidades de K en el
Sistema Internacional
mayor
13.- En la siguiente formula física S = D .g.h; Donde D=
A) V = R2.h
4
3
C) V  R 3
B) V= B.b.h
4.- Determinar las dimensiones de “x” en la siguiente ecuación
densidad; g = aceleración; h = altura; Hallar la magnitud de
“S”
física: x = v.t ; siendo v = velocidad; t = tiempo
5.- Determinar las dimensiones de E
si la siguiente formula
14.- Hallar la magnitud de E; Si E = D.g.V ; Siendo D=
física está en función de la densidad( d) ; aceleración de la
densidad; g = aceleración; V = volumen.
gravedad (g) y el volumen del cuerpo sumergido: E = d.g.V
15.- En la siguiente formula física, que magnitud representa
E? E = PV + nRT; Donde: P = presión; T = temperatura; n
6.- Determinar las dimensiones de “a” siendo la siguiente
formula física: x 
aT2
siendo; x = espacio recorrido;
2
= cantidad de sustancia; V = volumen.
3
2
16.- Obtener las unidades de R; si U  nR  T Donde : U =
energía cinética; n = cantidad de sustancia (mol); T =
T = tiempo
temperatura
7.- La energía interna U de un gas ideal se obtiene mediante la
relación: U  i  K  T ; donde i = número; T = temperatura
2
Hallar K
17.- En la ecuación : x + Ay = V es homogénea, determinar
la dimensión de x e y, Si A = área; V = volumen
18.- Determine las dimensiones de b y c para que la
ecuación sea homogénea: e = A.b + 3a.c; donde :
8.- Dada la formula F = mw2R donde: w = velocidad angular;
e = espacio; A = área; a = aceleración
R = radio y m = masa: determinar las unidades de F en el
19.- La siguiente ecuación F 
Sistema Internacional.
Ea  A
es dimensionalmente
b
homogénea determinar [ a ].[ b ] ; sabiendo que: F = fuerza;
9.- Determinar las unidades de h en el Sistema Internacional:
E = energía; A = área.
1
;
C  sen30º
hf  mc 2 Donde : m = masa; f = frecuencia;
20.-Si la ecuación homogénea: A  Bcos30º
c = velocidad de la luz
Calcular [ B ] . [ C ] ; siendo ; A = área.
10.- Determinar las unidades de w en el Sistema Internacional,
sabiendo que: sen  Q  W  R  T donde Q = Potencia; =
ángulo de 30º; R= radio de la circunferencia;
T= tensión de la cuerda
21.- Si la siguiente expresión sen 
sionalmente
homogénea.
P Rx  QBZ
es dimenm
Determinar
las
ecuaciones
dimensionales de P y Q en ; Siendo : m = masa; R = radio ;
x = tiempo; B = fuerza; Z = velocidad.
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22.- Hallar la dimensiones de x en : x = h F . sen ( F . V ) ;
Donde :V = velocidad; h = longitud
23.- Hallar los valores de de x.y en la ecuación física:

3
 y 
Ex  A.sen  ; Donde A = aceleración; E = energía.
4
 A 
24.- Calcular [ x ] . [ y ] si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea: P Vx  log  W  sen
2  P
; siendo:
Vy
P = potencia; V = velocidad; W = Trabajo
25.- Hallar las dimensiones de “y” en la siguiente expresión: y  X  P  e3xm t ; siendo P = potencia;
e = espacio; m = masa; T = tiempo
26.- En la siguiente formula física, indicar las dimensiones
de “a . b” ; siendo a  A  ebw  Sen(wT) Donde A = longitud;
T = tiempo; E = constante numérico
27.- Hallar k; en F 
kq1q 2
d2
; si ( q1 y q2 ) son cargas
eléctricas; F = fuerza; d = distancia.
28.- En la siguiente formula física, indique las dimensiones
de  en   WB.Cos(Wt) ; donde: B = longitud; t = tiempo
29.- En la siguiente expresión, dimensionalmente homogénea;
F
a2
 kAx B y ; hallar: x + y; siendo F = fuerza; k =
numero; B = frecuencia; a = área; A = densidad
30.- Determine las dimensiones que debe tener Q para que
la expresión propuesta sea dimensionalmente correcta.
W  2,5mv   AgH BP .
; Q  A

B
donde W =
trabajo; m = masa; g = aceleración de la gravedad; v =
velocidad;
H = altura; P = potencia;  =exponente
desconocido; A y B son dimensionalmente desconocidos.
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