El objetivo básico de la aplicación de la estadística en Hidrología es el análisis de la información hidrológica en forma de muestras, a fin de inferir las características con que debe ser esperado en el futuro el fenómeno que se estudia. El avance en el campo de las computadoras y el desarrollo creciente de métodos numéricos han dado una importancia particular al uso de la estadística en todas las ciencias naturales, especialmente en Hidrología. En forma general, la mayoría de los problemas hidrológicos se pueden agrupar en tres categorías principales de acuerdo al objetivo pal del proyecto: a. Diseño de estructuras hidráulicas, siendo necesaria la evaluación y cuantificación de los valores extremos (máximos y mínimos) del escurrimiento superficial. b. Satisfacción de demandas, siendo necesario evaluar y cuantificar las descargas disponibles en el punto de interés. c. Diseño y operación de embalses, siendo necesario evaluar y cuantificar la variación del escurrimiento superficial en todas sus características estadísticas, como valores medios, máximos y mínimos. la gran mayoría de los procesos que interesan al ingeniero, en especial en el campo de la Hidrología, pertenecen a la categoría de fenómenos probabilísticos. Dada pues una variable aleatoria, interesará describir la probabilidad de ocurrencia de los distintos estados. Esto se consigue gracias a un modelo matemático de su comportamiento o modelo probabilístico. Esta distribución probabilística permite calcular: 1. Las probabilidades de los distintos estados o valores que puede tomar la variable aleatoria. 2. La probabilidad de tener valores mayores o menores que un determinado límite. 3. Los valores de probabilidad de ocurrencia asociados a cada valor de la variable aleatoria. Según se trate de variables discretas o continuas, se usarán modelos de distribución probabilísticos discretos o continuos. Serán modelos discretos aquéllos cuya función densidad de probabilidad y función de probabilidad acumulada se encuentran definidas para determinados' valores que puede tomar la variable. Análisis de Frecuencia de Valores Extremos En este apartado se describe el análisis de frecuencia de valores extremos referido a caudales, es decir el análisis a que son sometidos los caudales máximos anuales. El objeto es calcular el caudal de diseño de estructuras como los aliviaderos de las presas de embalse. Ley de Gumbel De las varias distribuciones de valores extremos hay dos que tienen mayor aceptación, al haber demostrado que se ajustan bien al fenómeno de las crecidas de los ríos: la distribución de valores extremos tipo 1 o ley de Gumbel y la distribución log-Pearson tipo III. Vente Chow ha encontrado que estas distribuciones pueden expresarse en la forma: La Ley de Gumbel esta dada por la expresión: P: Probabilidad de que un valor x sea igualado o excedido. y: Variable reducida dada por la siguiente expresión u: Moda para la distribución. a: Parámetro de dispersión Para una muestra de tamaño finito, Gumbel encontró que: Con la ecuación 10.3 es posible hallar los caudales con largos períodos de recurrencia (avenida centenaria, avenida milenaria, avenida diez milenaria). Esta ecuación es la ecuación de una línea recta en papel probabilístico de Gumbel. Ejemplo: Se tiene el siguiente registro de caudales, encontrar las crecidas de los 10, 100 y 1000 años, utilizando la distribución de Gumbel. Año 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 Q max 36600 69900 99000 76200 62600 44200 49200 53100 58800 64100 77800 71200 59600 55100 49600 58600 39700 38200 103000 47900 Seguido a esto se debe organizar la muestra, de mayor a menor: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Año 1987 1971 1979 1972 1980 1970 1978 1973 1981 1977 1984 1982 1976 1983 1975 1988 1974 1985 1986 1969 Q max 103,00 99,00 77,80 76,20 71,20 69,90 64,10 62,60 59,60 58,80 58,60 55,10 53,10 49,60 49,20 47,90 44,20 39,70 38,20 36,60 T 21,00 10,50 7,00 5,00 4,20 3,50 3,00 2,63 2,33 2,10 1,91 1,95 1,62 1,50 1,40 1,31 1,24 1,17 1,11 1,00 Ýn: Valor medio esperado de la variable reducida ᶛn: Desviación estándar de la variable reducida Se tiene una muestra con 20 valores, n=20. Para esta muestra el valor medio esperado de la variable reducida es igual 0.52 y la desviación estándar de la variable reducida es 1.06 Ýn=0.52 ᶛn=1.06 Paso1. Se calcula la desviación estándar: ᶛx=18,2336473 También se calcula la media ꭕ: 60,720 Paso 2. Se debe calcular y=variable reducida, se puede realizar mediante la fórmula: y=a(x-u) Donde u=moda y se puede hallar así:𝑢 = ꭕ − 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛∗𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 Y a=Parámetro de dispersión 𝑎 = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 ᶛn = ᶛx ᶛxn∗Ýn ᶛn = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 − Obteniendo los valores a y u se procede a calcular y (Variable reducida) para cada periodo, o caudal con una probabilidad dada, obteniendo los siguientes valores: Para 10 años T=10 P=0.1 y=2.25 Para 100 años T=100 P=0.01 Y=4.60 Para 1000 años T=1000 P=0.001 y=6.91 Teniendo los valores de la variable reducida, es posible determinar el factor de frecuencias para esta distribución, de la siguiente forma: 𝑘= 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑦 − Ýn = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 ᶛn Reemplazando los valores necesarios, se determina k para cada intervalo de tiempo K10= 1.63 K100=3.85 K1000=6.03 Finalmente, con estos valores obtenidos, se determina el caudal Q 𝑄 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙𝑒𝑠 + 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∗ 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑄 =ꭕ+Kᶛx Para T=10 Q10=60,720+(1.63)*(18,233)=90,441pies3/s Para T=100 Q100= 60720+(3.85)*(18,233)= 130,920 pies3/s Para T=1000 Q1000= 60,720+(6.91)*(18.233)= 170.669 pies3/s
