UNASAM - FIC
LÍNEA DE INFLUENCIA PARA UN PUENTE DE 3 TRAMOS
Datos del problema:
l1 ≔ 15 m
l2 ≔ 20 m
l3 ≔ 20 m
1. Determinamos el grado de indeterminación estática (G.I.E):
R ≔ 4 (número de reacciones verticales y momentos)
G ≔ 0 (número de articulaciones en la viga)
G.I.E ≔ R - 2 - G = 2
2. Elegimos las Redundantes :
3. Usaremos el Método de Flexibilidad :
{Di}={Doi}+[F]*{xi}
{xi}=[F]^-1*{-Doi}
4. Determinamos la Matriz de Flexiblilidad:
l1 ⋅ ((-1)) ⎛ -2 ⎞ l2 ⋅ ((-1)) ⎛ -2 ⎞
f11 ≔ ―――⋅ ⎜――
⎟ + ―――⋅ ⎜――
⎟ = 11.667
2
2
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
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(1/EI)
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l2 ⋅ ((-1)) ⎛ -1 ⎞
f12 ≔ 0 + ―――⋅ ⎜――
⎟ + 0 = 3.333 (1/EI)
2
⎝ 3 ⎠
(1/EI)
f21 ≔ f12 = 3.333
l2 ⋅ ((-1)) ⎛ -2 ⎞ l3 ⋅ ((-1)) ⎛ -2 ⎞
f22 ≔ ―――⋅ ⎜――
⎟ + ―――⋅ ⎜――
⎟ = 13.333 (1/EI)
2
2
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎡ f11 f12 ⎤ ⎡ 11.667 3.333 ⎤ 1
=
F≔⎢
――
⎣ f21 f22 ⎥⎦ ⎢⎣ 3.333 13.333 ⎥⎦ EI
5. Solución del problema primario:
Tramo AB (0<x<l1)
x ⋅ ((l1 - x)) ⋅ ((2 ⋅ l1 - x))
α ((x)) ≔ ――――――― (1/EI)
6 ⋅ l1
donde
Do1 ((x)) ≔ β ((x))
x ⋅ ⎛⎝l1 2 - x 2 ⎞⎠
β ((x)) ≔ ――――
6 ⋅ l1
(1/EI)
Do2 ((x)) ≔ 0
⎡ -Do1 ((x)) ⎤ collect ⎡ 0.0010256410256410256963 ⋅ x 3 - 0.23076923076923078166 ⋅ x ⎤
f1 ((x)) ≔ F -1 ⋅ ⎢
――→ ⎢
3 ⎥
⎣ -Do2 ((x)) ⎥⎦
⎣ 0.057692307692307695414 ⋅ x - 0.00025641025641025642406 ⋅ x ⎦
X11 ((x1)) ≔ f1 ((x1))
→ -0.23076923076923078166 ⋅ x1 + 0.0010256410256410256963 ⋅ x1 3
X21 ((x1)) ≔ f1 ((x1))
→ 0.057692307692307695414 ⋅ x1 - 0.00025641025641025642406 ⋅ x1 3
0,0
1,0
Tramo BC (0<x<l2)
x ⋅ ((l2 - x)) ⋅ ((2 ⋅ l2 - x))
α ((x)) ≔ ――――――― (1/EI)
6 ⋅ l2
donde
x ⋅ ⎛⎝l2 2 - x 2 ⎞⎠
β ((x)) ≔ ――――
6 ⋅ l2
(1/EI)
Do1 ((x)) ≔ α ((x)) Do2 ((x)) ≔ β ((x))
⎡ -Do1 ((x)) ⎤ collect ⎡ 0.046153846153846156331 ⋅ x 2 - 0.00096153846153846159024 ⋅ x 3 - 0.53846153846153849053 ⋅ x ⎤
f2 ((x)) ≔ F -1 ⋅ ⎢
――→ ⎢
⎥
3
2
⎣ -Do2 ((x)) ⎥⎦
⎣ 0.00086538461538461546006 ⋅ x - 0.011538461538461539083 ⋅ x - 0.11538461538461540237 ⋅ x ⎦
X12 ((x2)) ≔ f2 ((x2))
0,0
...
―
→ 0.046153846153846156331 ⋅ x2 2 - 0.00096153846153846159024 ⋅ x2 3 - 0.53846153846153849053 ⋅ x2
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⎡ -Do1 ((x)) ⎤ collect ⎡ 0.046153846153846156331 ⋅ x 2 - 0.00096153846153846159024 ⋅ x 3 - 0.53846153846153849053 ⋅ x ⎤
f2 ((x)) ≔ F -1 ⋅ ⎢
――→ ⎢
⎥
3
2
⎣ -Do2 ((x)) ⎥⎦
⎣ 0.00086538461538461546006 ⋅ x - 0.011538461538461539083 ⋅ x - 0.11538461538461540237 ⋅ x ⎦
X12 ((x2)) ≔ f2 ((x2))
...
―
→ 0.046153846153846156331 ⋅ x2 2 - 0.00096153846153846159024 ⋅ x2 3 - 0.53846153846153849053 ⋅ x2
X22 ((x2)) ≔ f2 ((x2))
―
→ -0.11538461538461540237 ⋅ x2 - 0.011538461538461539083 ⋅ x2 2 + 0.00086538461538461546006 ⋅ x2 3
0,0
1,0
Tramo CD (0<x<l3)
x ⋅ ⎛⎝l3 2 - x 2 ⎞⎠
β ((x)) ≔ ――――
6 ⋅ l3
x ⋅ ((l3 - x)) ⋅ ((2 ⋅ l3 - x))
α ((x)) ≔ ――――――― (1/EI)
6 ⋅ l3
Do1 ((x)) ≔ 0
donde
(1/EI)
Do2 ((x)) ≔ α ((x))
⎡ -Do1 ((x)) ⎤ collect ⎡ 0.00019230769230769231805 ⋅ x 3 - 0.011538461538461539083 ⋅ x 2 + 0.15384615384615385444 ⋅ x ⎤
f3 ((x)) ≔ F -1 ⋅ ⎢
――→ ⎢
⎥
2
3
⎣ -Do2 ((x)) ⎥⎦
⎣ 0.040384615384615388521 ⋅ x - 0.00067307692307692314201 ⋅ x - 0.53846153846153851361 ⋅ x ⎦
X13 ((x3)) ≔ f3 ((x3))
0,0
X23 ((x3)) ≔ f3 ((x3))
1,0
―
→ -0.011538461538461539083 ⋅ x3 2 + 0.00019230769230769231805 ⋅ x3 3 + 0.15384615384615385444 ⋅ x3
―
→ 0.040384615384615388521 ⋅ x3 2 - 0.00067307692307692314201 ⋅ x3 3 - 0.53846153846153851361 ⋅ x3
6. GRAFICAS DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA PARA MOMENTO MAXIMO POSITIVO (M+)
6.1. M200 (MB)
La línea de influencia para el M200 se dara en el apoyo B por lo tanto seran las ecuaciones
de la redundante x1
Tramo AB (0<x<l1)
Tramo AB (l1<x<l1+l2)
Tramo AB (l1+l2<x<l1+l2+l3)
x1 ≔ 0 , 1 ‥ l1
x2 ≔ l1 , l1 + 1. ‥ l1 + l2
x3 ≔ l1 + l2 , l1 + l2 + 1. ‥ l1 + l2 + l3
X11G ((x1)) ≔ f1 ((x1))
X12G ((x2)) ≔ f2 ((x2 - l1))
0,0
0,0
X13G ((x3)) ≔ f3 ((x3 - l1 - l2))
0,0
0.6
0.3
0
-0.3
0
5.5
11
16.5
22
27.5
33
38.5
44
49.5
55
-0.6
-0.9
X11G ((x1))
-1.2
-1.5
X12G ((x2))
-1.8
-2.1
X13G ((x3))
x1
x2
x3
6.1. M300 (MC)
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x1
x2
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x3
6.1. M300 (MC)
La línea de influencia para el M300 se dara en el apoyo C por lo tanto seran las ecuaciones
de la redundante x2
Tramo AB (0<x<l1)
Tramo AB (l1<x<l1+l2)
Tramo AB (l1+l2<x<l1+l2+l3)
x1 ≔ 0 , 1 ‥ l1
x2 ≔ l1 , l1 + 1. ‥ l1 + l2
x3 ≔ l1 + l2 , l1 + l2 + 1. ‥ l1 + l2 + l3
X21G ((x1)) ≔ f1 ((x1))
X22G ((x2)) ≔ f2 ((x2 - l1))
1,0
1,0
X23G ((x3)) ≔ f3 ((x3 - l1 - l2))
1,0
0.35
0
0
5.5
11
16.5
22
27.5
33
38.5
44
49.5
55
-0.35
-0.7
X21G ((x1))
-1.05
-1.4
X22G ((x2))
-1.75
-2.1
X23G ((x3))
x1
x2
x3
6. GRAFICAS DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA PARA MOMENTO MAXIMO NEGATIVO (M-)
6.1. M104 (Me)
La línea de influencia para el M104 se dara a 40 % de la longitud l1medido del apoyo A
le ≔ 40% ⋅ l1 = 6
Tramo AB (0<x<l1)
Calculamos la reaccion RA para el tramo AB
Para lo cual aplicamos
sumatoria de momentos
en B a la izquierda. Ya
que X1 es conocido
Σ MB(Izq.)=0
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Σ MB(Izq.)=0
((1)) ⋅ ((l1 - x)) + X11 ((x)) collect
RA ((x)) ≔ ――――――― ――→ 0.000068376068376068379753 ⋅ x 3 - 0.082051282051282052111 ⋅ x + 1
l1
Tramo Ae (0<x<le)
Σ Me(Izq.)=0
collect
Me ((x)) ≔ RA ((x)) ⋅ le - ((1)) ⋅ ((le - x)) ――→ 0.00041025641025641027852 ⋅ x 3 + 0.50769230769230768733 ⋅ x
Tramo eB (le<x<l1)
Σ Me(Izq.)=0
collect
Me ((x)) ≔ RA ((x)) ⋅ le ――→ 0.00041025641025641027852 ⋅ x 3 - 0.49230769230769231267 ⋅ x + 6
Tramo BC (0<x<l2)
Calculamos la reaccion RA para el tramo BC
Para lo cual aplicamos
sumatoria de momentos
en B a la izquierda. Ya
que X1 es conocido
para el tramo BC
Σ MB(Izq.)=0
X12 ((x)) collect
RA ((x)) ≔ ―――――→ 0.0030769230769230770887 ⋅ x 2 - 0.000064102564102564106016 ⋅ x 3 - 0.035897435897435899369 ⋅ x
l1
Determinamos Me para el tramo BC
Σ Me(Izq.)=0
collect
Me ((x)) ≔ RA ((x)) ⋅ le ――→ 0.018461538461538462532 ⋅ x 2 - 0.0003846153846153846361 ⋅ x 3 - 0.21538461538461539621 ⋅ x
Tramo CD (0<x<l3)
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Tramo CD (0<x<l3)
Calculamos la reaccion RA para el tramo CD. Para lo cual aplicamos sumatoria de momentos
en B a la izquierda. Ya que X1 es conocido para el tramo CD
Σ MB(Izq.)=0
X13 ((x)) collect
RA ((x)) ≔ ―――――→ 0.000012820512820512821203 ⋅ x 3 - 0.0007692307692307692722 ⋅ x 2 + 0.010256410256410256963 ⋅ x
l1
Determinamos Me para el tramo CD
Σ Me(Izq.)=0
collect
Me ((x)) ≔ RA ((x)) ⋅ le ――→ 0.000076923076923076927218 ⋅ x 3 - 0.0046153846153846156332 ⋅ x 2 + 0.061538461538461541778 ⋅ x
Para la Grafica de la línea de influencia M104 constara de 4 tramos como se muestra
acontinuacion:
Tramo Ae (0<x<le)
Tramo eB (le<x<l1)
x1 ≔ 0 , 1 ‥ le
x2 ≔ le , le + 1 ‥ l1
((1)) ⋅ ((l1 - x1)) + X11G ((x1))
RA1 ((x1)) ≔ ―――――――――
l1
((1)) ⋅ ((l1 - x2)) + X11G ((x2))
RA2 ((x2)) ≔ ―――――――――
l1
Me1 ((x1)) ≔ ((RA1 ((x1)))) ⋅ le - 1 ⋅ ((le - x1))
Me2 ((x2)) ≔ RA2 ((x2)) ⋅ le
Tramo BC (l1<x<l1+l2)
x3 ≔ l1 , l1 + 1 ‥ l1 + l2
Tramo BC (l1+l2<x<l1+l2+l3)
x4 ≔ l1 + l2 , l1 + l2 + 1 ‥ l1 + l2 + l3
X12G ((x3))
RA3 ((x3)) ≔ ――――
l1
X13G ((x4))
RA4 ((x4)) ≔ ――――
l1
Me3 ((x3)) ≔ RA3 ((x3)) ⋅ le
Me4 ((x4)) ≔ RA4 ((x4)) ⋅ le
3.2
2.8
Montenegro
Torres Carlos S.
2.4
Página 6
2
1.6
1.2
0.8
Me1 ((x1))
UNASAM - FIC
3.2
2.8
2.4
2
1.6
1.2
Me1 ((x1))
0.8
0.4
0
-0.4
0
5.5
11
16.5
22
27.5
33
38.5
44
49.5
55
Me2 ((x2))
Me3 ((x3))
-0.8
x1
Me4 ((x4))
x2
x3
x4
Montenegro Torres Carlos S.
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