GEOMETRÍA

GEOMETRÍA
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Plano Conjunto de infinitos puntos, no tiene grosor y es infinitamente
grande. Se nombra con el alfabeto griego.
Recta Subconjunto de infinitos puntos del plano en la misma dirección. Se
nombra con r, s, t… es una intersección de dos planos.
Punto Intersección de dos rectas. Para nombrarlo utilizamos letras
mayúsculas.
Semirrecta Cada una de las partes que un punto divide una recta.
Semiplano Cada una de las partes en las que la recta divide un plano.
Axiomas: cosas verdaderas que no tienen explicación.
1. Reconocemos la existencia de distintos entes, llamados puntos, cuyo
conjunto llamaremos espacio.
2. Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos
parciales, de infinitos puntos llamados plano. Y los de cada plano en
otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados rectas.
3. Por dos puntos distintos pasa una sola recta.
4. Por tres puntos no alineados pasa un solo plano.
5. Si dos puntos de una recta están en un plano, todos los demás puntos
de la recta también están.
Segmentos
Siendo A y B los extremos del
segmento.
A
B
Dos o más segmentos diremos que están concatenados si cada extremo tiene
un punto común con el que sigue.
Mediatriz del segmento: recta que pasa en medio de cada segmento.
Movimientos en un plano
Simetría axial: dos figuras son simétricas cuando al doblar por su eje de
simetría coinciden todos los puntos.
* El eje de simetría de un cuadrado son 4:
Traslación: Para trasladar hay que hacer dos simetrías axiales:
Giros: dos simetrías axiales no paralelas.
Ángulos: conjunto de puntos del plano comprendido entre dos semirrectas de
origen común.
A
AOB
O
B
Para compara dos ángulos nos fijaremos en la apertura.
CLASIFICACIÓN
Consecutivos: lado común, mismo vértice
C
B
O
A
Adyacentes: consecutivos y lado no común
sobre la misma recta.
B
O
A
C
A
Opuestos por el vértice
R
O
B
S
Según la abertura (ángulo)
Ángulo llano  = 180º
Ángulo recto
Ángulo agudo

A
B
A
 = 90º

B
  90º
A

B
Ángulo obtuso
  90º

A
B
AGUDO  RECTO  OBTUSO  LLANO
Según la apertura
Ángulo convexo:  menos abierto que llano
R

S
Ángulo cóncavo:  más abierto que el llano

X
Z

Ángulo nulo
M
Ángulo total o completo

M
NULO  CONVEXO  CÓNCAVO  COMPLETO
Medida de los ángulos
- Grado sexagesimal: medida de un ángulo que resulta de dividir el
ángulo recto en 90 partes iguales.
- Minuto sexagesimal: si un grado lo dividimos en 60 partes iguales.
- Segundo sexagesimal: si un minuto lo dividimos en 60 partes iguales.
1º = 60’
1’ = 60’’
Bisectriz: es la semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales.
Para encontrarla se utiliza el compás:
Pero también se puede hacer dividiendo los grados,
minutos y segundos entre dos. Por ejemplo:
125º 36’ / 2
01º = 60’ 62º 48’
----96’
La bisectriz también es un eje de simetría ya que si se dobla todos los puntos
coinciden.
*Dos ángulos son complementarios cuando su suma es un recto ( = 90º)
Se suman los grados, minutos y segundos si es = a 90º serán complementarios.
*El complemento de un ángulo es lo que le falta para llegar a un recto.
A lo que de la suma se le resta 90º y lo que de es el complemento.
*El ángulo suplementario es cuando la suma es mayor a 180º.
Paralelismos
-
Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común
( // ).
Dos rectas son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos
iguales (  ).
Línea poligonal
Estará formada por segmentos concatenados los cuales forman una esquina.
Las líneas poligonales son abiertas o cerradas según tengan los extremos
libres o no.
Cerradas
Abiertas
La medida de una línea poligonal es el perímetro.
Puede ser cóncava: si una
recta la puede cortar por más
de dos puntos.
Puede ser convexa: si la corta
por dos puntos.
Polígono
Porción del plano comprendida dentro de una línea poligonal cerrada.
La medida de un polígono es el área.
Los polígonos que tienen todos los lados y ángulos iguales son regulares.
Es convexo si su contorno es una línea poligonal convexa. Del mismo modo es
cóncavo cuando su línea poligonal es cóncava.
Diagonal
Semirrecta que une dos vértices no consecutivos.
n (n – 3)
D=
n = nº de lados
2
Circunferencia
Línea curva cerrada en la que todos los puntos están a la misma distancia del
centro.
Círculo: tiene área, superficie.
Circunferencia: borde del círculo.
C
B
E
O
A
G
Cuerda: segmento que une dos puntos de la
circunferencia sin pasar por el centro (AB).
Diámetro: segmento que une dos puntos,
pasando por el centro (CD).
Arco: parte que une dos puntos de la
circunferencia (EF).
Radio: segmento que une el centro con
cualquier punto de la circunferencia (OG).
D
F
La suma de lo ángulos de un polígono es igual a 180 por el nº de lados menos
dos.
S = 180 ( n – 2)
Un ángulo:

A=
180 (n-2)
n
Ángulo: es la parte del plano comprendida entre dos lados que se alargan.
Perímetro: es la suma de los lados del polígono.
TRIANGULOS
Propiedad triangular
1. En todo triángulo un lado siempre es menor que la suma de los otros
dos.
ab+c
ba+c ca+b
2. En todo triangulo FALTA LA SEGUNDA PROPIEDAD!!!!
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIANGULOS
Según sus lados
Triángulo equilátero: 3 lados iguales
Triángulo isósceles: 2 lados iguales
Triángulo escaleno: lado diferentes
Según sus ángulos
Triángulo rectángulo: un ángulo recto
Triángulo acutángulo: ángulo agudos
Triángulo
obtuso
obtusángulo:
un
ángulo
* Todo triángulo tiene tres bases, tres lados y tres alturas.

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

Las tres alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.
Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro.
Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro.
Las tres bisectrices se cortan en un punto llama incentro.
Resumiendo…
-
En los triángulos equiláteros los cuatro puntos coinciden en un
mismo punto que es interior al triángulo.
En los triángulos isósceles los cuatro puntos son interiores pero no
coinciden.
En los triángulos escalenos el baricentro y el incentro son puntos
interiores. El ortocentro y el circuncentro pueden ser interiores,
exteriores o estar a un lado.
CUADRILÁTEROS
Son polígonos de cuatro ángulos, cuatro vértices y cuatro lados. La suma de
sus ángulos es de 360º
CLASIFICACIÓN
Pares de lados paralelos. Cuadriláteros paralelogramos.
Cuadrado: 4 lados, 4 ángulos iguales
y 2 diagonales.
Rectángulo
Rombo
Romboide:
lados
y
ángulos
desiguales. Diagonales: ni iguales, ni
perpendiculares.
Un par de lados paralelos. Cuadriláteros trapecios.
Trapecio rectangular
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
MEDIDAS DE SUPERFÍCIES
Medir = comparar
Para medir una superficie elegimos una “medida” y miramos las veces que nos
cabe.
Para medir se hace en unidades2.
Dos superficies son equivalentes cuando miden lo mismo aunque tenga distinta
forma.
=
Equivalentes: ocupan la
misma superficie
* Para sumar superficies es esencial que tengan las mismas medidas.
LONGITUDES
Km
Hm
Dam
m
dm
cm
mm
SUPERFICIES
Km2
Hm2
Dam2
m2
dm2
cm2
mm2
VOLÚMENES
Km3
Hm3
Dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Área de las figuras planas
Área rectángulo
a
Área cuadrado
A = L2
L
A= a·b
b
Área rombo
Área romboide
d
D·d
D
A=
a
2
A = a·b
b
Área triángulo
Área trapecio
b
a·b
A=
a
a
2
b
B
(b+B)
Área REGULAR
A=
= Perímetro
L
a
L·a
6·L·a
P·a
A = 6 --------- = -------- = ------2
2
2
·a
2
A
3
C
2
1
B
D 1’5
3
12
E
G
6
F
AA = 5·4/2 = 10 u2
AB = 12·3/2 = 18 u2
AC = 2·12 = 24 u2
AD = 1’5·2/2= 1’5 u2
AE = 6·1’5/2= 4’5 u2
AF = 15·6 = 90 u2
AG = 6·1/2 = 3 u2
153 u2
CIRCUNFERENCIA
 Posiciones relativas rectas vs. circunferencia
Tangente: corta por un punto
a)
b)
Secante: corta por dos
puntos
c)
Exterior: no tienen ningún
punto en común
 Posiciones relativas circunferencia vs. circunferencia.
Circunferencia grande y radio (r) y circunferencia pequeña y radio (r’)
a) Circunferencias exteriores
d  r + r’
Distancia mayor que
sus radios
d
b) Circunferencias interiores
d  r + r’
Distancia menor que la suma de
sus radios
d
c) Circunferencias tangentes exteriores
d = r + r’
Distancia igual a la suma
de sus radios
d
d) Circunferencias tangentes interiores
d = r - r’
Distancia igual a la resta
de sus radios
d
e) Circunferencias secantes
r – r’  d  r + r’
La distancia es menos a la suma de sus
radios y mayor a la resta de sus radios.
C. octogonales: circunferencias secantes
cuando se cortan de tal manera que las
tangentes en cada uno de los puntos
comunes son perpendiculares entres si
(ángulo de 90º)
f) circunferencias concéntricas
Tienen el mismo centro
 Ángulo en una circunferencia
Ángulo central: el vértice del ángulo
coincide con el centro de la circunferencia.
A
A
B
B
Ángulo inscrito: ángulo convexo, el vértice
está en la circunferencia.
Todo ángulo inscrito a una circunferencia
mide la mitad del aro comprendido entre
sus lados.
Ángulo semiescrito: ángulo convexo que
tiene su vértice sobre la circunferencia
Ángulo interior a la circunferencia: ángulo
convexo cuyo vértice es un punto interior a
la circunferencia.
Ángulo exterior a la circunferencia: ángulo
convexo cuyo vértice es un punto exterior
a la circunferencia y sus lados tienen
algún punto en común con ella.
 Longitud de la circunferencia
No es r2 ya que es
una longitud, no
un área.
Ángulo
L = 2r
360º
L = r
180º
r
L = ----90º
2
2r
L = ----1º
360
2r
L = ------ · n nº
360
Radial: Arco que mide lo mismo que el radio. En una circunferencia hay 2
radiales.
L
---- = 2
r
Área de circunferencias
A = r2
Sector circular (sc): porción comprendida
entre un arco y dos radios que pasan por
sus extremos.
Segmento circular: partes del circulo
limitados por una cuerda y uno de los
arcos comprendidos entre sus extremos.
r2
A = ------ · n
360
n
b
o
A = A sc – A aob
a
A = R2 - r2 =
=  (R2 – r2)
Corona circular: porción del
plano comprendidas entre dos
circunferencias concéntricas.
 (R2 – r2)
A = --------------- · n
360
Trapecio circular
Teorema de Pitágoras
Se da con un ángulo de 90º.
d2 = C12 + C22
d = hipotenusa
C2
C1
Cartetos
A
B
A2 = X2 + h2
B2 = h2 + (c-x)2
h
X
C
C-X
b·a
c·h
A = ------- = --------2
2
Se aplica el teorema de
Pitágoras.
X=
h=
 Volúmenes de las circunferencias
Poliedro: cuerpo geométrico delimitado por las caras que serán polígonos que
separan el espacio interior del exterior.
Aristas: intersección de las caras consecutivas. Cada arista es común a dos
caras.
El vértice de un poliedro es igual al vértice del polígono que los limitan.
Ángulo diedro: es el formado por cada dos caras consecutivas.
Ángulo triedro: es el formado por tres o más caras de un vértice común.
La diagonal es todo segmento que une dos vértices no situados en la misma
cara.
Un poliedro regular es un cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos
regulares iguales y cuyos ángulos diedros y triedros son iguales. Solo hay
cinco: tetraedro, icosaedro, cubo (exaedro), octaedro y dodecaedro.
En todos los polígonos regulares se cumple la ley de ENLER: C + V = A + 2
(caras + vértice = aristas + 2).
Por ejemplo, el cubo (exaedro):
6 + 8 = 12 + 2
Una cara de la
pirámide
Área:
a
a
h
a/2
a a/2
Los prismas….
Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las básicas.
En los prismas rectos las caras laterales suelen ser rectángulos.
Arista básica
Arista lateral
Área lateral = 4 · a · b
Atotal = Al + Ab
Área base = 2a2
Una superficie cilíndrica es la engendrada por una recta deslizada bordeando
una circunferencia manteniéndose paralela a si misma. La recta toma el
nombre de generatriz.
Región cilíndrica: conjunto de rectas paralela a la generatriz e interiores a la
superficie cilíndrica.
r
h
L
h
r
L = 2r
AL = h · L = 2rh
AB = 2r2
Área total
Una superficie cónica es la engendrada por una semirrecta llamada generatriz
que se mueve alrededor de una circunferencia.
El punto de origen de la semirrecta está fuera del plano que contiene a la
circunferencia llamado vértice.
AL = Asector = rg
AT = r2 + rg = r (r+g)
g
r
Esfera
S = 4 r2
Volúmenes
Vcilíndrico = r2h
Vcubo = a3
Voctoebro = a · b · c
B·h
Vpiramide =
------3
2
· R ·h
Vcono = -------------3