100 Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES Tema 5.6 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas (Estudiar la Sección 15.8 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 23) Ejemplo 1 en Coordenadas Cilíndricas: ∫∫∫ Evalúe la integral triple: x 2 + y 2 dV , en donde E es el volumen dentro del E 2 2 cilindro x + y = 1 , debajo del plano z = 4 , y arriba del paraboloide z = 1− x2 − y2 ∫∫∫ x 2 + y 2 dV = 2π 1 ∫ ∫∫ 0 0 1− r E 2π = 1 ∫ ∫ [r z ] 2 0 = ∫ 4 1− r 2 2π 4 2π dr dθ = 0 r dz r dr dθ = 2 ∫ ∫ 0 ∫ ∫ −2 + 4− x 2 − 4− x 2 ∫ 2 2 x +y 2 (x 2 1− r )] ∫ r 2 dz dr dθ = 2 2π 1 ∫ ∫ (3r 0 2π dθ = 0 ) + y 2 dz dy dx 2 ) + r 4 dr dθ = 0 6 12π ⋅ 2π = 5 5 Ejemplo 2 en Coordenadas Cilíndricas: +2 4 r 2 4 − 1 − r 2 dr dθ = 1 0 [ ( 0 0 3 r5 1 r + dθ = 1 + 50 5 2π ∫ ∫∫ 0 1 1 Evalúe la integral cambiando a coordenadas cilíndricas, Solución: La curva de intersección del cono z = x 2 + y 2 , y el plano z = 2 , es el círculo de x 2 + y 2 = 4 , que limita la región de integración: 2π 2 ∫ ∫∫ 0 0 2π = ∫ ∫ 0 2 r 2 dz r dr dθ = 2 ∫ ∫∫ 0 r 2 2π (2r 3 0 8 16π = ⋅ 2π = 5 5 −r 4 0 )dr dθ = ∫ 2π 0 2 r 3 dz dr dθ = r 2π ∫ ∫ [r z ] 2 r 4 r5 − dθ = 2 50 2 ∫ 3 2 r dr dθ = 0 0 2π 32 8 − dθ = 5 0 101 Ejemplo 3 en coordenadas esféricas: Evalúe la integral { ∫∫∫ e (x 2 + y2 + z2 )3 2 dV , en E } donde E = ( x, y, z ) x + y + z = 1 2 2 2 Solución: ∫∫∫ e (x 2 3 ) 2 dV = + y2 + z2 π 2π ∫ ∫ ∫ 0 0 1 3 e ρ ρ 2 senϕ dρ dθ dϕ = 0 1 3 π 2π ∫ ∫ [e ] 0 ρ3 1 0 senϕ dθ dϕ 0 E 1 = 3 = π ∫ ∫ 0 2π (e − 1) senϕ dθ dϕ = e − 1 3 0 2(e − 1) 3 ∫ 2π dθ = 0 π ∫ ∫ 0 2π 0 e −1 senϕ dθ dϕ = 3 2π ∫ [− cos ϕ ] 0 π dθ 0 2(e − 1) 4π (e − 1) ⋅ 2π = 3 3 Ejemplo 4 en coordenadas esféricas: Encuentre el volumen del sólido sobre el cono z = x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = z Solución: 2 2 1 1 Completando el cuadrado la ecuación de la esfera es: x + y + z − = y en 2 2 2 coordenadas esféricas es: ρ = ρ cos ϕ , o simplificada: ρ = cos ϕ . Entonces: 2 π 2π ∫∫∫dV = ∫∫∫ ρ senϕ dρ dθ dφ = ∫ ∫ ∫ 2 V= 4 0 π = ∫ ∫ 4 0 1 = 3 2π 0 ∫ 2π 0 cos ϕ ρ3 3 0 senϕ dθ dφ = π 1 3 π 0 ∫ ∫ 0 4 2π ρ 2 senϕ dρ dθ dφ 0 cos 3 ϕ senϕ dθ dφ 0 − cos 4 φ 4 −1 cos 4 (π 4 ) − cos 0 dθ = 12 4 0 [ cos ϕ 2 −1 1 π ]∫ dθ = 12 − 12π = 4 8 2π 0 102 Diferencial de volumen en coordenadas esféricas: dρ ρ senϕ dθ ρ dϕ dV = (dρ )( ρdϕ )( ρsenϕdθ ) dV = ρ 2 senϕ dρ dθ dϕ Para la próxima clase estudiar las secciones 15.8 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas 16.1 Campos Vectoriales Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 23 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas 103 Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA Tarea No 23 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas (Sección 15.8 del Stewart 5ª Edición) En los problemas 1 y 2 evalúe la integral triple en coordenadas cilíndricas: ∫∫∫ y dV en donde E es el sólido que está entre los P1: Evalúe R1 : 0 E 2 2 2 cilindros x + y = 1 , 2 x + y = 4 , arriba del plano xy, y abajo del plano z = x + 2 ∫∫∫ P2: Evalúe x 2 dV en donde E es el sólido que está dentro del E 2 2 cilindro x + y = 1 , arriba del plano z = 0 , y abajo del cono R2 : 2π 5 z 2 = 4x 2 + 4 y 2 En los problemas 3 y 4 evalúe la integral triple en coordenadas esféricas: P3: Evalúe ∫∫∫ z dV , donde E está entre las esferas R3 : E x2 + y2 + z2 = 1 , x 2 + y 2 + z 2 = 4 en el primer octante. P4: Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono debajo de la esfera ρ = 4 cosφ φ =π 3 y R 4 : 10π P5: Transforme a coordenadas cilíndricas y evalúe la integral: 1− x 2 1 ∫∫ −1 − 1− x 2 ∫ 2− x 2 − y 2 x2 + y 2 (x 2 +y ) 2 32 dz dy dx R5 : 8π 35 R6 : 243π 5 P6: Transforme a coordenadas esféricas y evalúe la integral: 3 ∫∫ −3 9− x 2 − 9− x 2 ∫ 0 9− x 2 − y 2 2 2 2 z x + y + z dz dy dx 15π 16