Geometria de Tercero de ESO (Educación Secundaria Obligatoria)

A) GEOMETRÍA DEL PLANO
1.- Ángulos de un polígono.
Los ángulos son el espacio que hay entre dos semirrectas que parten desde un mismo
punto. Según la abertura de estos ángulos, se pueden clasificar en:
-Agudos: si su medida está comprendida entre 0º y 90º.
<90º
-Rectos: si su medida es de 90º.
90º
-Obtusos: si su medida está comprendida entre 90º y 180º.
>90º
-Llanos: si su medida es de 180º.
180º
*El transportador es el instrumento para medir ángulos.
2.- Triángulos: rectas y puntos notables.
Los triángulos se pueden clasificar en dos grupos: según sus lados y según sus ángulos.
-Clasificación según sus lados:
-Triángulo escaleno: no tiene ningún lado igual.
-Triángulo isósceles: son los que tienen dos lados iguales.
A
C
B
-Triángulo equilátero: son los que tienen los tres lados iguales.
A
C
B
-Clasificación según sus ángulos:
-Acutángulos: son los triángulos con todos sus ángulos menores de 90º.
-Rectángulos: cuando uno de sus lados es de 90º. *
-Obtusángulos: cuando uno de sus ángulos de mayor de 90º.
* Teorema de Pitágoras: En los triángulos rectángulos, el cuadrado de la hipotenusa es
la suma de los cuadrados de los catetos.
H2 = a2 + c2
-Rectas y puntos notables:
Las mediatrices de un triángulo son rectas perpendiculares de
un segmento que pasan por su punto medio.
Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro,
que está situado a igual distancia de los tres vértices y es el
centro de la circunferencia circunscrita.
Las bisectrices de un triángulo son rectas que pasan por los
vértices y dividen cada uno en dos ángulos iguales.
Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro, que
está situado a igual distancia de los tres lados y es el centro
de la circunferencia inscrita.
Las medianas de un triángulo son rectas que pasan por
cada vértice y por el punto medio del lado opuesto.
Las medianas se cortan en un punto llamado baricentro,
cuya distancia al vértice es el doble que su distancia al
punto medio del lado opuesto.
Las alturas de un triángulo son rectas perpendiculares
trazadas desde cada vértice al lado opuesto o a su
prolongación.
Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.
3.- Longitudes y áreas de figuras poligonales.
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de los lados.
El área de un polígono es la medida de su superficie.
Rectángulo
a
A=a·b
Rombo
A=D·d
2
Trapecio
B
A = (B+b) · h
2
Romboide
b
A=b·h
Triángulo
b
A=b·h
2
Polígono regular
A=p·a
2
4.- Longitudes y áreas de figuras circulares.
La longitud de la circunferencia es 2 r.
El área del círculo es
r.
Longitud
Área
Arco de
Circunferencia
Sector circular
L=2
A=
· nº
360º
2
· nº
360º
Corona circular
A=
(R2 - r )
Trapecio circular
A=
nº(R2 – r2)
360º
B) FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS
1.- Prismas y pirámides.
Tanto los prismas como las pirámides pueden ser oblicuos:
→ Prisma oblicuo
Alguna de las caras laterales no es un rectángulo.
→ Pirámide oblicua
Alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles.
PRISMA
Altura
Bases: dos polígonos iguales y paralelos
Caras laterales: paralelogramos.
Apotema de la base
PIRÁMIDE
Apotema de la pirámide
Altura
Bases: un polígono.
Caras laterales: triángulos.
Apotema de la base
En algunos prismas, cualquier cara puede ser su base por ser todas las caras
paralelogramos. Estos prismas se llaman paralelepípedos:
ORTOEDRO
Todas sus caras
son rectángulos.
CUBO
Todas sus caras
son cuadrados.
ROMBOEDRO
ROMBOIDERO
Todas sus caras
son rombos.
Todas sus caras
son romboides.
-TRONCO DE PIRÁMIDE
Pirámide deficiente
Tronco de pirámide
Se obtienen dos cuerpos geométricos que se llaman tronco de pirámide y pirámide
deficiente.
*En un ortoedro, el cuadrado de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de
los valores de sus tres dimensiones.
En un ortoedro:
z
D = √ x2 + y2 + z2
y
x
Este resultado se conoce como teorema de Pitágoras en el espacio.
2.- Cuerpos redondos.
Un cuerpo redondo se obtiene al girar una superficie plana alrededor de un eje, situado
en el mismo plano, de modo que cada punto de esta superficie describe una
circunferencia al dar una vuelta completa:
*El eje de simetría de un cuerpo es una recta tal que, si giramos el cuerpo alrededor de
ella con un determinado ángulo, se superpone consigo mismo.
*El plano de simetría de un cuerpo es un plano que contiene al eje de simetría y divide
el cuerpo en dos mitades que son imagen especular la una de la otra.
3.- Volúmenes de poliedros, cilindros y conos.
El volumen del prisma o cilindro es igual al área de la base por la altura.
V = Abase · h
El volumen de la pirámide o cono es igual a la tercera parte del área de la base por la
altura.
V = 1 Abase · h
3
4.- La esfera: elementos, área y volumen.
Al girar un semicírculo alrededor de su diámetro,
se genera en el espacio un cuerpo que se llama
esfera.
Si solo giramos alrededor de su diámetro la
semicircunferencia correspondiente a este
semicírculo, se genera una superficie curva
llamada superficie esférica, que está formada por
todos los puntos que se encuentran a igual distancia
del centro de la esfera.
Al cortar con planos una esfera se obtienen cuatro figuras geométricas:
SEMIESFERA
Un plano que pasa
por el centro.
CASQUETE ESFÉRICO
Un plano secante
a la esfera.
ZONA ESFÉRICA HUSO ESFÉRICO
Dos planos paralelos
Secantes a la esfera.
Dos planos que
tienen un diámetro
en común.
-VOLUMEN DE LA ESFERA
Vesfera = 2 · Vsemiesfera = 2 (1) Vcilindro = 2 · 2
3
3
· r3 = 4
3
· r3
-ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA
La superficie del poliedro está formada por decenas de
triángulos, que dan la sensación de una esfera casi perfecta. Si
unimos cada vértice de estos triángulos con el centro de la
esfera, se forman pirámides triangulares sumando casi el
volumen del cuerpo.
-El área de la superficie esférica es: A = 4
-El volumen de la esfera es: V = 4 · r3
3
· r2