Problemas resueltos de geometría analítica 1.

Problemas resueltos de geometría analítica
1.
1. Hallar los ángulos interiores de un triángulo cuyos vértices son los puntos
B (-2, 1), A (3, 4) y C (5,-2).
Para resolver este problema primero graficaremos el triángulo, para ello usaremos el
programa Geogebra.
β
α
γ
Este programa ya nos da los ángulos, de esta manera tendremos una guía, para saber a qué
debemos llegar.
Para resolver este problema usaremos las siguientes formulas:
, pendiente
, ángulo entre dos rectas
Aplicando las formulas, nos dará lo siguiente: obtenemos la primer pendiente entre la recta
A y B=m , B y C=m , B y A=m₃.
,
,
Ahora usaremos la segunda fórmula para obtener el primer ángulo CAB al que llamaremos
β, y después obtendremos el angulo ACB al que llamaremos γ.
,
=> tg β =
.
,
=> tg γ =
.
Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, por lo tanto
obtendremos el tercer ángulo en función da la suma de estos dos la cual será restada de
180° y obtendremos el ángulo ABC al que llamaremos α.
β + γ = 77.47° + 48.7° = 125.84°.
α = 180° - 125.84° = 54.16°.
Los ángulos buscados son: α = 54.16°, β = 77.47°, γ = 48.37°.
2. Demostrar que los puntos A(1, 1), B(5, 3), C(8, 0) y D(4,-2) son vértices de
un paralelogramo y hallar su ángulo obtuso.
β
α
θ
γ
Esta grafica fue hecha con el programa geogebra y los ángulos nos los da en forma
automática, des esta manera sabremos a que llegar.
Para comenzar las fórmulas que usaremos serán las siguientes:
,
,
√
, distancia entre dos puntos.
Primero sacaremos la magnitud de cada lado.
‖
‖
‖= √
‖= √
= √ ,
= √ ,
‖
‖
‖= √
‖= √
=
√
= √
Como las magnitudes de los lados paralelos AB, CD, son iguales y los lados AD, BC, son
iguales es un paralelogramo.
Para poder determinar el ángulo obtuso al que llamaremos β primero debemos determinar
las pendientes de las rectas formadas por los puntos CB y AB,.
La pendiente de CB =
=-1,
la pendiente AB=
Ahora sacaremos el ángulo pedido
pero como sabemos que el ángulo buscado es obtuso
=> β = 180° - 71.56° = 108.44°
3. Hallar el área del triángulo A(1,-3), B(3, 3) y C(6,-1) empleando el seno del ángulo
BAC.
b
a
c
β
Las fórmulas que usaremos serán:
√
para la distancia,
√
.
para obtener el área del triángulo.
√
√
Primero calcularemos la distancia | |
luego calcularemos la distancia | |
luego calcularemos la distancia | |
√
los números directores son:
B - A = [3-1, 3-(-3)] = [2, 6]
Si aplicamos la fórmula:
√
√
=
√
√
√
√
=√
=√
=√
=√
=
C - A = [6-1, -1-(-3)] = [5, 2]
entonces tenemos que:
√
√
√
=
√
√
√
=
√
√
=
√
=
√
√
Con el valor obtenido resolvemos
√
=√
= 0.7633
Ya con esta información aplicamos la fórmula del área en función del seno
S= √
√ (0.7633) =
El área buscada es 13.
√
= 13
4. Demostrar que los puntos A(2, 2), B(5, 6), C(9, 9) y D(6, 5) son vértices de un rombo y
que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
c
d
a
b
La grafica está hecha con el programa geogebra, y nos da en forma automática la magnitud
de cada lado de esta forma podemos saber que es un rombo.
Para resolver este problema usaremos las siguientes formulas: √
Tenemos entonces que el tamaño de:
‖
‖=√
,
‖
‖=√
‖ ‖=√
, ‖ ‖=√
=> Es un rombo ya que sus lados son iguales.
Ahora demostraremos que sus diagonales son perpendiculares.
Sea el vector a+b el resultante y la resta a-b, entonces.
El vector a + b = ̅̅̅̅ = (9,9) + (2,2) = (7,7)
El vector a - b = ̅̅̅̅ = (6,5) - (5,6) = (1,-1)
=> ̅̅̅̅ * ̅̅̅̅ => (7,7) * (1,-1) = 7 + (-7) = 0 por lo tanto las diagonales son
perpendiculares.
Solo falta demostrar que se intersectan en su punto medio.
Sabemos que las ecuaciones paramétricas de una recta son:
}, L = {
}
L ={
}, L = {
}, = >las ecuaciones del puno medio son:
L ={
L =,
-, L = ,
-, igualando las ecuaciones nos
queda:
(2,2) + t(9,9) = (5,6) + s(6,5)
t(9,9) - s(6,5)= - (2,2) + (5,6) = (3, 4)
t(9,9) - s(6,5)= (3, 4), de aquí e deprenden las siguientes ecuaciones:
9t – 6s = 3
9t – 5s = 4,
t=
que es un sistema de ecuaciones y resolviéndolo nos queda:
Despejando t de la primer ec. Tenemos:
sustituyendo t en la segunda ec. Tenemos:
9(
) – 5s = 4 = > 9(
) – 5s = 4 = > 3 + 6s - 5s = 4 = > 3 + s = 4
s = 4 – 3 = > s = 1.
t=
=
= = 1.
Ahora sustituyendo los valores de t y s obtenidos en las ec. Paramétricas:
L =,
-, L = ,
-,
L =,
-,
L =,
-,
L =,
-,
L =,
-,
(2,2) + (9,9) = (1,1) + ( , ) = (
)
=(
)+(
)=(
)
= > las restas se intersectan en su puno medio
5. Encuentra el baricentro del triángulo a = (2, 4), b = (-1, 2) y c = (-1,-1). Elabora un
dibujo.
La mediana por a es el segmento:
,
|
-
a + ( b + c) = a + b + c
= > a + b + c = a + ( b + c) = b + ( c + a) = c + ( a + b)
= > el baricentro es:
(a + b +c) = > se sustituyen los valores de a, b, c, que son los vértices, se distribuye el
y se suman las “x” y también las “y” de esta forma se obtienen las coordenadas del
baricentro.
[
] = *( ) (
) (
)+ =
*(
) (
) + = (0, ) que son las coordenadas del baricentro.
Esto quiere decir que las coordenadas del baricentro son:
₃
₃
,
=>
,
6. Demuestra que dos vectores son ┴ < = > |
|
| |
| | .
Si hacemos
|
| =
=>
| | <=>
= | |
=
7. Demuestra que dos vectores u y v son ┴ < = > |
a┴b<=>|
|
|
<=>
=
|
|
|.
| = a = (a , a ), b = (b , b ) < = >
=
< = > 4 (a b + a b ) = 0 < = > a b + a b
8. Demuestra que los vectores
y
n ┴.
‖ ‖
‖ ‖<=>
Primero demostramos que son perpendiculares.
tienen magnitudes iguales y
= (a, b) * (-b, a) = -ab + ab = 0.
Ahora sacamos las magnitudes para ver si son iguales.
‖ ‖
‖
‖ ‖
‖
=>‖ ‖
‖
‖
‖ ‖.
√
.
√
=√
.
Cónicas
1. Encuentra los puntos de tangencia al círculo x² - 2x + y² - 4y = -3 desde el punto C(-1,2).
Para resolverlo usaremos las siguientes formulas:
(a – p)*x = (a – p)*a ec. Normal de la tangente a una circunferencia que pasa por a
(x-c)*(a-c) = r² es la ec. Polar de la circunferencia.
(x-p)*(c-p) = r²
x² - 2x + y² - 4y + 3 = 0.
Si completamos cuadrados:
x² - 2x + 1+ y² - 4y + 4 + 3 = 0. Luego factorizamos:
(x-1)² + (y - 2)² = -3 +1 +4
(x-1)² + (y - 2)² = 2 esta es la ec. Polar de la circunferencia, de aquí nos sirve el centro p y
su radio r.
p(1,2), r=2
Sustituimos los valores de c, p, y r en la ec. (x-p)*(c-p) = r²
(x – (1,2))*((-1,2) – (1,2)) = 2 realizando la resta (x – (1,2))*((-2,0)) = 2
(x-1, y-2)*(-2,0) = 2 si distribuimos
(x-1)*(-2),(y-2)*(0) = 2
-2x + 2 + 0 = 2
De aquí despejamos la x
-2x + 2 + 0 = 2 dividimos entre -2
x -1 = -1
x = -1 +1
x=0
sustituyendo el valor de x en la ec. De la circunferencia tenemos que:
(0)² - 2(0) + y² - 4y = -3
Como podemos ver es una ec. De segundo grado sus raíces son los puntos de tangencia
y² - 4y +3 = 0
Resolviendo por formula general
y = 3,
y =1
los puntos de tangencia son:
(0,1), (0,3)
2. Encuentra los puntos de tangencia al círculo x²+y²= 1 desde el punto B(2,2).
(x + 0)² + (y + 0)² = 1 esta es la ec. Polar de la circunferencia, de aquí nos sirve el centro p
y su radio r.
p(0,0), r=1
Sustituimos los valores de c, p, y r en la ec. (x-p)*(c-p) = r²
L(2,2) : (x + (0,0)*(2,2) – (0,0) = 1
(x, y)*(2,2) = 1 si distribuimos
2x + 2y =1
Dividimos entre 2
x + y = luego despejamos la x
x = – y que es la ec. Polar de la recta
ahora sustituimos la x obtenida en la ec. Original de la circunferencia.
( - y)² + y² = 1
Resolviendo el binomio
)²– 2 y + y² +y² = 1 = >
– y + y² +y² = 1 simplificamos = > 2y² - y - = 0 ahora ya tenemos la ec. De
segundo grado buscada, sabemos que sus raíces son los puntos de tangencia.
2y² - y - = 0 resolviendo por formula general
y =
, y =
ahora sustituimos en la ec. Polar x = – y
x= –
x= –
=
=
los puntos de tangencia son:
(
) (
)
3. Encuentra los puntos de tangencia al círculo x² + y²- 6x + 2y = -6 desde el punto c(1,3).
x² + y²- 6x + 2y = -6
x² - 6x + y² + 2y = -6 completando cuadrados
x² - 6x + 9 + y² + 2y + 1= - 6 + 9 + 1
(x - 3)² + (y - 1)² = 4
p(3, -1) r=2
ya teniendo c, p r los sustituimos en la ec. . (x-p)*(c-p) = r²
(x - (3, -1)*((1, 3) - (3, -1) = 4
(x – 3, y + 1)*(-2, 4) = 4
(x-3)*-2, (y+1)*4 =4
-2x + 6 + 4y + 4 = 4 = > -2x + 4y +10 = 4 dividiendo entre -2
x - 2y - 5 = -2 = > x -2y = 3 = > x = 3 + 2y ec. Polar
Sustituimos el valor de x obtenido en la ec. De la circunferencia
(3 + 2y)² +y² -6(3 + 2y) + 2y = -6 = >
9 + 12y + 4y² + y² - 18 -12y +2y = -6 = > 9 + 12y + 4y² + y² - 18 -12y +2y = -6 = >
5y² + 2y -3 = 0
ahora ya tenemos la ec. De segundo grado buscada, sabemos que sus raíces son los puntos
de tangencia.
5y² + 2y -3 = 0 resolviendo por formula general
y = -1, y =
ahora sustituimos en la ec. Polar x = 3 + 2y
x = 3 + 2(-1) = 3 – 2 = 1
el primer punto de tangencia es el valor obtenido de x y de “y”
(1,-1)
x = 3 + 2( ) = 3 + =
el segundo punto de tangencia es el valor obtenido de x y de “y”
(
)
4. Encuentra la ecuación de la siguiente elipse y muestra el centro, los focos, los vértices y
los extremos del eje menor en una gráfica: tiene centro en (1,-4), vértice en (1, 1) pasando
por (2,-1).
como esta es la ec. De la elipse con centro en h,k,
La ec. Es:
= 1 y como el punto (2,-1) está en la elipse
=1 =>
|
|=√
=>
=>
= 1 pero la distancia del centro al vértice es:
=√
=1 =>
=
=>
=√
=5=a
= 1 de aquí despejamos b = >
= (
Por lo tanto ya tenemos b
La ec. Buscada es:
=1 =>
( )
)b² = >
√
=b=>
= = 1.25
=1
Como la excentricidad es e = =
√
= b² = >
=1-
√
√
√
( )
=
Como c = √
=
= 4.74
Como los focos son: (h, k - c), (h, - k - c)
Entonces los focos son:
(1, 4 - 4.74), (1, -4 – 4.74) = (1, 0.74), (1, -8.74)
Los vértice son: (h, k + a), (h, - k – a)
(1, 5- 4), (1, -5 – 4) = (1, 1), (1, -9)
=
=
√
= 0.94
=>
5. Encuentra la ecuación del siguiente conjunto y dibújala: todos los puntos P = (x; y) tales
que la suma de las distancias a los puntos (-3, 2) y (-3, 6) es 6.
El primer método pero el más largo.
FP + F'P = 6 = >
+√
= 6 reordenando = >
√
=6-√
ahora elevaremos al cuadrado = >
√
) =(6-√
)²
√
= 36 -12√
+
= 36 -12√
+
eliminamos
= 36 -12√
desarrollamos
y² - 4y + 4 – y² + 12y – 36 = 36 -12√
eliminamos
y² - 4y + 4 – y² + 12y – 36 = 36 -12√
8y – 32 = 36 – 12√
8y – 68 = - 12√
=>
Ahora elevamos de nuevo al cuadrado
(8y – 68)² = (- 12√
)²
64y² – 1088y + 4624 = 144[
]
64y² –1088y+4624 =144
=144(x²+6x+9)+144(y²-12y+36)
64y² – 1088y + 4624 = 144x² + 864x + 1296 + 144y² - 1728y + 5184
Pasamos todo al lado izquierdo
64y² – 144y² - 1088y + 1728y - 144x² - 864x + 4624 - 1296 - 5184 = 0
-144x² – 80y² – 864x + 640y – 1856 = 0
144x² + 80y² + 864x - 640y + 1856 = 0
La ecuación de la elipse buscada es:
144x² + 80y² + 864x - 640y = - 1856 si dividimos esta ecuación entre 16 = >
9x² + 5y² + 54x - 40y = - 116
Ahora pasaremos esta ec. A la forma canónica
7. dada la ec. De la elipse 9x² + 5y² + 54x - 40y = - 116 hallar su centro, semiejes. vértices
y focos, pasarla a la forma canónica.
Esta ecuación se puede poner en la forma:
Primero ordenamos términos
9x² + 54x + 5y² - 40y = - 116 = > luego factorizamos
9(x² + 6x) + 5( y² - 8y) = -116 completamos cuadrados
9(x² + 6x + 9) + 5( y² - 8y + 16) = -116
9(x + 3)² + 5(y – 4)² = - 116
=1
Centro (-3, 4)
a=√ , b=3
c=√ √
=√
=√
como los vértice son: (h, k + a), (h, k – a) = >
los vértices son: (-3, 4+ 3), (-3. 4- 3) = (-3, 7), (-3, 1)
Otro método es el siguiente
Como la distancia entre los focos es 2c
= √ = 4 = 2c = > c = = 2
√
Como la distancia de los focos a un punto cualquiera de la elipse es 6 = > 2a = 6
=> a = = 3
Si
=> b=√
=√
=√
=√
El centro es el siguiente: el punto medio de la suma de los focos:
(-3,2) + (-3, 6) = (
)+(
) = (-3, 4) = > el centro es (3, -4)
La ec. Buscada es:
(√ )
=1
= >
=1
6. Sea c > 0. f(x) = |
sólo si | | = a.
f(x) = |
f(x) = |
|+|
|+|
|+|
|Concluye que si a > c entonces f(x) = 2a si y
|<=>| |=a
| = 2a
|
|+|
| = 2a < = > | | = a
|
|+|
| = 2a < = > -a = x = a
| | = 2a
-2a = 2x = 2a
a=x= a
-a = x = a < = > | | = a
7. Determina si el vector v es combinación lineal de los vectores restantes: (a) v = (1, 2),
u = (1,-1), u = (2,-1), (b) v = (1, 2, 3), u = (1, 1, 0), u = (0, 1, 1).
a) v = (1, 2) = x(1,-1) + y(2,-1)
{
De la ec. 1) despejamos x = >
x = 1 -2y luego sustituimos esta x en 2)
-(1 -2y) –y = 2 = > -1 +2y –y = 2 = > y = 3 con esta y la sustituimos en 1)
x + 2(3) = 1 = > x + 6 = 1 = > x = -5
si es combinación lineal
b) v = (1, 2, 3) = x(1,1,0) +y(0,1,1)
{
{
R3 + R1 sumamos el renglón R3 al renglón R1
este es el nuevo sistema, para resolverlo aplicamos el método de
sustitución
Despejando x de la ec. R1
x = 4 –y y sustituyendo la x obtenida en la ec R2.
4–y+y=2 => 4–y+y=2
4 = 2 ! esto es una contradicción
= > No es combinación lineal.
8. Muestra que el conjunto de vectores [(1, 2, 3), (-1,-1, 0), (2, 1,-1)] es un conjunto
generador de R³.
[ ]+y[
]+z[
]
=> {
lo pasamos a un sistema de ec.
En esta ocasión para resolverlo emplearemos el método de regla de cramer.
+
+
[
]
]
{
=> |
|= [
det = 1 – 5 + 6 = 2
[
]
= > det = 2
+
- +
[
]
[
]
|
|=
= > det = -c-b+2c+a = -b+c+a
[
]
= > det = -b+c+a
+
- +
[
]
]
|
|= [
= > det = -c+2c-3b+3a = c-3b+3a
[
]
= > det = c-3b+3b
|
[
[
|=
]
]
]
[
= > det₃ = c+b-4c+6b-2a-3a =
= > det₃ = -3c+7b-5a
=
=
= > por lo tanto genera a R³.
₃
=
9. Describe el conjunto de todas las combinaciones lineales (geométrica y algebraicamente)
del siguiente conjunto de vectores: (a) [(2,-4), (-1, 2)]
x*
+ + y*
+=* +
=> {
este es el sistema de ecuaciones
los resolveremos por el método de cramer
*|
| +=|
| = [(2)(2) – (-4)(-1)] = 4 – 4 = 0 det = 0
Como el determinante es cero no podemos aplicar la regla de cramer
*|
| +
las
combinaciones
linaeles son
todas las que
están sobre este
segmento de
recta.
R1/2[|
| ] 2R1 + R2
[|
⁄
|
⁄
]
11. Las puntos (1, 0, 3) y (-1, 1,-3) satisfacen la ecuación general de un plano ax + by + cz
= 0, encuentra los valores de a, b y c.
a(1) + b(0) + c(3) = 0
a(-1) + b(1) + c(-3) = 0
1) a + 3c = 0
2) -a +b -3c = 0
sistema de ecuaciones para determinar a, b, c.
Despeamos c de la ec. 1)
c=a = -3c
Sustituimos c en la ec. 2)
-a + b -3( ) = 0
-a + b + a = 0
b=0
los valores son:
a = -3c
b=0
c=12. Demuestra que los vectores
son l.d. < = > al menos uno puede ser
expresado como combinación lineal de los otros.
con c1,c2,ck
=
<=
=
ci = 1 = > no son l.i.
= > son l.d.
=0
R,
ci
0