Subido por Francisco Briceno

Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales
ecuación diferencial es aquella ecuación que
contiene las derivadas o diferenciales de una o más
variables dependientes con respecto a una o más
variables independientes.
 La
El orden: Ecuación Diferencial
orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en
derivadas parciales) es la derivada más alta
contenida en ella.
 El
Ejemplo:
El grado: Ecuación Diferencial
grado de una ecuación diferencial es la potencia
a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y
cuando una ecuación diferencial esté dada forma
polinomial.
 El
Clasificación: Ecuaciones Diferenciales
La ecuación diferencial contiene derivadas
Ordinarias
de una o más variables dependientes con
respecto a una sola variable independiente.
Tipo
Parciales
Orden
La ecuación diferencial contiene derivadas
parciales de una o más variables dependientes.
Primer orden
Segundo orden
Tercer orden
…
Orden n
F( x, y, y´)= 0
F ( x, y , y´, y´´)=0
F( x, y, y´, y´´, y´´´)=0
…
F(x, y´, y´´,…, y(n))=0
a) La variable dependiente y todas
sus derivadas son de 1er. grado.
Lineales
b) Cada coeficiente de y y sus derivadas
depende de solamente de la variable
independiente x (puede ser constante).
Grado
No lineales
Las que no cumplen las propiedades
anteriores.
La solución: Ecuación Diferencial
solución en una ecuación diferencial es una
función que no tiene derivadas y que satisface a
dicha función, esto quiere decir que al sustituir las
funciones y sus derivadas en la ecuación diferencial
resulta un identidad.
 La
La solución: Ecuación Diferencial
Otra manera de comprender sobre ¿ qué es la solución
en una ecuación diferencial ? es la siguiente:
una función , definida en algún intervalo
I, se sustituye en una ecuación diferencial y
transforma esa ecuación en una identidad, se dice
que es una solución en el intervalo.
 Cuando
Solución General: Ecuación Diferencial
solución general en una ecuación diferencial es
la función que contiene una o más constantes
arbitrarias
(obtenidas
de
las
sucesivas
integraciones).
 La
Ejemplo: solución general
La función x + y2 = c es la solución de la ecuación
diferencial:
Por que derivándola implícitamente tenemos:
1 + 2y
,o expresado en otra forma: 2yy´= -1
Sustituyendo (y) y (y´) obtenemos una identidad
2
donde
Solución Particular: Ecuación Diferencial
solución particular de una ecuación diferencial
es la función cuyas constantes arbitrarias toman un
valor específico.
 La
Ejemplo: solución parcial
La función
es la solución particular de la
ecuación diferencial
, por que derivando
la solución y sustituyéndola en la ecuación dada,
obtenemos:
Por lo tanto 0=0
Interpretación Geométrica
La interpretación de una ecuación diferencial es la descripción
matemática de la misma para ello se mostrara según su orden,
tipo y grado:
Tipo
Orden
Grado
Lineal
Ordinaria
1
1
sí
Parcial
1
1
sí
X2y´´+xy´+y = 0
Ordinaria
2
1
sí
yy´´+x3y = x
Ordinaria
2
1
No
(Porque el coeficiente
de y´´ no depende de
x exclusivamente).
y´+ y = x/y
Ordinaria
1
1
No
sen y´+ y=0
Ordinaria
1
?
No
Trayectorias Ortogonales
 Las
trayectorias ortogonales son las curvas que se
intersectan formando un ángulo recto.
Para obtener las trayectorias ortogonales de una
ecuación diferencial, se toma: m1=
, como
m2= m2=
primera ecuación.
de la trayectoria ortogonal a la
Existencia e unicidad
Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos
fundamentales:
¿Existe una solución al problema ?, si la hay ¿es única?
Para un problema de valor inicial , en una ecuación, se pregunta lo
siguiente:
¿La ecuación diferencial
Existencia
tiene
soluciones ?
¿Alguna curvas solución pasa por el punto (x0, y0 )?
¿Cuándo podemos estar seguros que hay
Unicidad
precisamente una curva solución que pasa por el
punto (x0, y0 )?
Ejemplo: Problema de valor inicial con varias
soluciones
Ambas funciones y = 0 y y = x4/16 satisfacen la ecuación
diferencial dx/dy = xy3/2, y la condición inicial y = 0, de
modo que el problema del valor inicial
dx/dy = xy1/2 ,
y(0)= 0
tiene dos soluciones cuando menos. Como vemos en la
figura, la graficas ambas funciones pasan por el mismo
punto, (0, 0)
Campo direccional
terna (x, y, y´) determina la dirección de una
recta que pasa por el punto (x, y). El conjunto de los
segmentos de estas rectas es la representación
geométrica del campo direccional.
 La
Se puede resolver una ecuación diferencial trazando el
campo direccional, en donde, para cada curva de la
familia de solución, la tangente en cada uno de sus
puntos tiene la misma dirección que el campo en ese
punto.
Referencias
•
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm#VA
RIABLES DEPENDIENTES.
Bibliografías
Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones al modelado
Dennis G. Zill
6ª edición;1997
Ed. Thomson

Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones
Dennis G. Zill
3ª edición; 1986
Ed. Grupo Editorial Iberoamérica

Ecuaciones Diferenciales
Isabel Carmona Jover
4ª edición; 1992
Ed. PEARSON , Addison Wesley Logman
URL:

http://books.google.com.mx/books?id=fKAZmeIP0bAC&pg=PA23
&dq=Que+es+el+grado+en+una+ecuacion+diferenciales&c
Glosario

Variables dependientes.- Son aquellas variables
que como su nombre lo indica, dependen del valor
que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y
o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a
los valores que se le subministre a x.

Variable Independiente.- Es aquella variable que
no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo
anterior la x es la variable independiente ya que la y
es la que depende de los valores de x.
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