Geometría analítica en el espacio

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
PRODUCTO ESCALAR
a  b = a  b  cosx
a  b = a1  b1  a 2  b2  a 3  b3
(Cuando sepamos el ángulo que forman a y b).
( Cuando sepamos las coordenadas de a y b ).
Cuando los vectores son perpendiculares su producto escalar sera 0.
PRODUCTO VECTORIAL


Dados lo vectores u  (x, y, z) y v = (x', y', z' )
 
uxv 
i
j
k
x
y z
x ' y' z'


(El vector que resulta de este determinante es perpendicular a u y v , y su módulo
coincide con el ÁREA DEL PARALELOGRAMO que forman u y v ).
COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE
Dados los puntos A(a,b,c ) y B (d,e,f ) el vector con origen en A y extremo en B se calcula
restando B - A AB  B - A
ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO .Para hallar la ecuación de una recta
es necesario conocer UN PUNTO Y EL VECTOR DIRECTOR de la misma.
Una recta, (obtenida a partir de un PUNTO (x0 , y0,, z0) y un VECTOR (v1 , v2 , v3) ),se
puede expresar de las siguientes formas:
1.- ECUACIÓN VECTORIAL:
( x,y,z) = (x0 , y0,, z0) + t (v1 , v2 , v3)
x = x0 + t v1
2.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS :
y = y0 + t v2
z = z0 + t v3
3.- ECUACIÓN CONTINUA:
x  x0
v1
4.- INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS:
(EC.GENERAL DE LA RECTA)

y  y0
v2

z  z0
v3
Ax+By+Cz+D=0
A’x + B’y + C’z + D = 0
NOTA: Para hallar el vector de una recta expresada como intersección de dos planos
basta con hacer el producto vectorial (i, j, k) axb. siendo a=(A,B,C) y b=(A’,B’,C’).
Para hallar un punto sólo hay que darle a la x o a la y o a la z un valor arbitrario,
sustituirlo en el sistema y despejar las otras dos incógnitas.
1
ECUACIONES DEL PLANO Para hallar la ecuación de un plano es necesario conocer
UN PUNTO Y DOS VECTORES DIRECTORES del mismo.

Un plano ,(Obtenido a partir de un PUNTO (x0 , y0,, z0) y DOS VECTORES V (v1 , v2 , v3)
y W (w1, w2, w3) ), se puede expresar de las siguientes formas:
1.- ECUACIÓN VECTORIAL:
( x,y,z) = (x0 , y0,, z0) + t (v1 , v2 , v3) + s(w1,w2,w3)
2.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS
x = x0 + t v1 + sw1
y = y0 + t v2 + sw2
z = z0 + t v3 + sw3
3.- ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA:
x - x 0 y - y0 z - z0
Ax + By + Cz + D = 0
v1
v2
v3
w1
w2
w3
 0
NOTA: Para hallarla sólo hay que
realizar este determinante e igualarlo a 0.
4.- ECUACIÓN SEGMENTARIA:


x
a

y
b

z
c
 1

Los valores a , b y c se denominan, respectivamente, abscisa, ordenada, y cota en el
origen.
5.- OTRA FORMA DE HALLAR LA ECUACIÓN DE UN PLANO:
Un plano también se puede hallar sabiendo UN PUNTO Y SÓLO UN VECTOR, siempre y
cuando ese vector sea perpendicular al plano( llamado vector normal), las coordenadas
de ese vector coinciden con los coeficientes ( A,B,C ) del plano; para hallar el término
independiente ( D ) del plano, sólo hay que sustituir las coordenadas del punto que nos
den y despejar D.
Ej/.
: Ax + By + Cz + D = O
Vector normal ( 3, 4, 5)
2
POSICIONES RELATIVAS.
Posición relativa
DE DOS PLANOS.
: A x + B y + C z + D = 0
‘: A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Rango de M
2
1
1
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Rango de M*
2
2
1
A'

B
B'

C
C'

D
A
D'
A'

B

B'
C
Rango de M
Rango de M*
3
3
2
3
2
2
Caso 3
Caso 4
1
2
1
1

C'
 A ' ' B ' ' C ' '
Caso 5
coincidentes
paralelos
Posición relativa
A B C 
DE TRES PLANOS M   A ' B ' C ' 




Caso 1
Caso 2
A B C D 
M*  

 A ' B ' C ' D '
Posición de DOS PLANOS
Planos secantes
Planos paralelos y distintos
Planos coincidentes
secantes
A
A B C 
M 

 A ' B ' C '
D
A
D'
A'

B
B'

C
C'

D
D'
A B C D   : A x + B y + C z + D = 0

 ‘: A’ x + B’y + C’z + D’ = 0
M*  A ' B ' C ' D '

 ‘’: A’’x + B’’y + C’’z + D’’ = 0


 A ' ' B ' ' C ' ' D ' '
Posición de TRES PLANOS
Planos secantes en un punto.
a) Planos secantes dos a dos forman una
superficie prismática.
(3 SEC)
b) Dos planos paralelos cortados por el otro.
(2 PARAL. y 1 SEC)
a) Plano distintos y se cortan en una recta.
(3 SEC.)
b) Dos coincidentes y el otro los corta.
(2 COINC. y 1 SEC.)
a) Planos paralelos y distintos dos a dos.
(3 PARAL.)
b) Dos son coincidentes y el otro paralelo
a ellos y distinto.
( 2 COINC. y 1PARAL.)
Planos coincidentes.
3
Caso 1:
Caso 2:
a)
Caso 3:
a)
b)
b)
Caso 4: a)
b)
Caso 5:
Posición relativa DE PLANO Y RECTA.
 Ax  By  Cz  D  0
Si la recta nos la dan de la forma general: r : 
 A' x  B ' y  C ' z  D '  0
Y el plano de la siguiente forma   A " x  B " y  C " z  D "  0
4
A B C


M   A' B' C' 
 A" B" C" 


A B C D 


M *   A' B' C' D'  Entonces se estudian los rangos de M y M':
 A" B" C" D" 


Rango de M Rango de M*
Posición de recta y plano
Caso 1
3
3
Recta y plano secantes
Caso 2
2
3
Recta y plan paralelos
Caso 3
2
2
Recta contenida en el plano
Graficamente
Posición relativa DE DOS RECTAS.
Dadas dos rectas r y s por sus ecuaciones generales:
 A" x  B" y  C" z  D"  0
 Ax  By  Cz  D  0
s:
r :
 A' " x  B' " y  C' " z  D' "  0
 A' x  B ' y  C ' z  D '  0
A

 A'
M  
A"


 A' "
C 

B' C' 
B" C" 


B' " C' " 
B
A

 A'
M  
A"


 A' "
D 

B' C'
D' 
B" C" D" 


B' " C' " D' " 
B
C
Entonces se estudian los rangos de M y M':
Caso
Caso
Caso
Caso
Rango de M
3
3
2
2
1
2
3
4
Rango de M*
4
3
3
2
Posición de DOS RECTAS
rectas cruzadas
rectas secantes
rectas paralelas
rectas coincidentes
Dadas dos rectas
r y s, de las que conocemos el vector director y un punto de cada una:

VECTORES V (v1 , v2 , v3), W (w1, w2, w3) y PUNTOS (x0 , y0,, z0), (x1 , y1,, z1)
 V1
M  
 w1
V2
w
2
Rango de M Rango de M*
Caso 1
Caso 2
Caso 3
2
2
1
3
2
2
Posición de DOS
RECTAS
rectas cruzadas
rectas secantes
rectas paralelas
Caso 4
1
1
rectas coincidentes
V3 

w 3 
V2
V3 
 V1


M  w1
w2
w 3 
X  X Y Y Z  Z 
0
1
0
1
0 
 1
5
Ángulo de DOS RECTAS:
Sean u y v los vectores de dos rectas r y s.
Cos x 
x
 
uv


u  v
Ángulo entre DOS PLANOS:
Sean u y v los vectores normales de dos planos 
Cos x 
‘
 
uv
x


u  v
Ángulo entre PLANO Y RECTA.

N

Sea N el vector normal del plano
v el vector director de la recta.
v

 
Nv
Cos   

N  v
El ángulo que hay que hallar NO
es  sino  que se calcula:
= 90º - 
Distancia ENTRE DOS PUNTOS
A( a1 , a2 , a3)
B( b1 , b2 ,b3)
d  A ,B  
(b 1  a 1 )  (b 2  a 2 )  (b 3  a 3 )
2
2
Distancia DE UN PUNTO A UNA RECTA


A r P X Vr
d(P, r) 

vr
P( a1 , a2 , a3)
r
Ar
Q
vR
6
2
Distancia DE UN PUNTO A UN PLANO
P( x0 , y0 , z0)
d P ,   
Ax 0  B y 0  C z 0  D
A B C
2
2
2
: Ax + By + Cz + D =0
Distancia entre DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.
 
det( Pr P s , u r , u s )
d(r, s) 
 
ur xu s
PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS CRUZADAS
Se llama perpendicular común de dos rectas cruzadas a la recta que corta
ortogonalmente a cada una de ellas.


p


  
 det A X , u , u X u  0
r
r
r
s
p:
  
 det A s X , u s , u r X u s  0
VOLUMENES Y ÁREAS
C
ÁREA DEL
PARALELOGRAMO: S  ABC

AB X AC
A
ÁREA DEL TRIANGULO: S  ABC  
1
B
AB X AC
C
2
A
B
7
VOLUMEN DEL
V  det
PARALELEPÍPEDO:
AB , AC , AD 
C
D
A
VOLUMEN DEL TETRAEDRO: V 
1

det AB , AC , AD
6
B

C
D
A
B
2
2
SUPERFICIE ESFÉRICA:  x  a    y  b    z  c   r 2
2
CÁLCULO DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN.
Llamamos bisectriz, b, del ángulo que forman las rectas r yr' a la recta que divide a dicho
ángulo en dos partes iguales.
Hay que observar que son dos las bisectrices que podemos trazar, para hallarlas
utilizaremos los vectores directores de las rectas r yr'.


Sean r yr' dos rectas secantes en un punto P, con vectores directores u y v , es decir:



r : X  P  λ u
-
-
y



r' : X  P  μ  v
Si los vectores directores de las rectas tuviesen el mismo módulo, al sumarlos
formaríamos un rombo, en el cual el vector suma y el vector diferencia serían las
diagonales mayor y menor, respectivamente. En este caso, las diagonales del rombo
son las bisectrices de los ángulos interiores, por tener los cuatro lados iguales y sus
ángulos iguales dos a dos.
Si los vectores no tienen el mismo módulo, normalizándolos obtenemos vectores
directores de las rectas de módulo uno, y los vectores directores de las bisectrices
serían el vector suma y el vector diferencia de los normalizados. Por tanto, las
ecuaciones de sus bisectrices serán:
8


 
b 1 : X  P  λ  u '  v ' 

y


 
b 2 : X  P  μ  u '  v ' 



siendo u ' y v ' los vectores unitarios de u y v .
Ejemplo
Vamos a hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas
r :
x
1

y 2
2

z3
2
y s :  x , y , z   1,2, 1    1,0,0  . Con   R
Si hallamos la posición relativa de las rectas, obtenemos que se cortan en el punto



P(2,2,-1). Sea u = (1, 2, -2) el vector director de r de módulo u  3 y v  1,0,0  el vector

director de s, de módulo v  1 .



1 2
2
3 3
3

Normalizando u y v , obtenemos u '   , ,  y v '  1,0,0  : luego las ecuaciones de
las bisectrices son:
2
4 2
b 1 :  x, y, z   2,2,  1  λ  , ,  
3
3 3
2
 2 2
b 2 : x, y, z   2,2,  1  μ   , ,  
3
 3 3
9