Estadística I 1. Definición 5.1. Frecuencia Absoluta Simple (f1) Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, lo cual sirve para sacar conclusiones que permitan tomar decisiones y aplicar los correctivos en caso fuera necesario. 2. Población Es un conjunto de elementos con una característica común. Por ejemplo: Todos los alumnos matriculados en el Colegio. 3. Muestra Es una parte o subconjunto de la población. Generalmente se elige en forma aleatoria (al azar). Por ejemplo: una muestra de 40 alumnos del Colegio TRILCE elegidos al azar. También llamado simplemente frecuencia, es el número de veces que aparece repetido el valor: "xi". Se cumple: f1 + f2 + f3 + ....... + fk = n k fi n en notación sigma: i1 5.2. Frecuencia Acumulada (Fi) Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias absolutas simples. Así tenemos: 4. Variable estadística Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en: A. Cualitativa: Son variables cuyos valores son cualidades que representa la población. Por ejemplo: la v ar ia bl e "p ro fe si ón " pu ed e ad op ta r la s modalidades: Ingeniero, Médico, Profesor, etc. B. Cuantitativa: Son variables que pueden ser expresadas mediante números. Por ejemplo: número de alumnos matriculados, estatura, peso, edad, etc. Las variables cuantitativas pueden ser a su vez: B.1. B.2. Discretas Cuando toma valores enteros. Por ejemplo: número de alumnos, número de colegios en el distrito de Miraflores, etc. Continuas Cuando puede tomar cualquier valor numérico, enteros o decimales. Por ejemplo: el peso, la talla, el tiempo, etc. 5.3. Frecuencia Relativa Simple (hi) Es el cociente de la frecuencia absoluta simple y el número total de datos. Sus valores son números reales que oscilan entre 0 y 1. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1. f h i i n 0 hi 1 5.4. Frecuencia Relativa Acumulada (Hi) Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias relativas simples. Así tenemos: 5. Distribución de frecuencias Consideramos una muestra de tamaño "n" (número de elementos de la muestra) y la variable estadística "x" que puede tomar "k" valores diferentes: x1, x2, x3, ......., xk. Nota: Las frecuencias relativas también se pueden expresar en forma porcentual. 6. Representación de datos Nivel I Los datos pueden ser representados por: 6.1. Tablas estadísticas I. Completa la siguiente tabla y responde las preguntas: xi fi Fi Es un arreglo de filas y columnas en los cuales se encuentran distribuidos los datos. 2002 160 2003 360 Ejemplo 1: 2004 500 De un grupo de 200 alumnos se obtuvo la siguiente información, respecto a sus edades. 2005 hi Hi hi % Hi % 300 n= 100 % Los datos anteriores se tomaron de un consultorio médico. = Variable estadística. = Frecuencia absoluta simple. 1. ¿Cuántas personas se atendieron en los años 1995; 2003 y 2004? Rpta.: 6.2. Gráficos estadísticos 2. ¿Qué año se atendió a más pacientes? Puede representarse mediante barras o sectores circulares. Rpta.: 3. ¿Qué porcentaje representan los que se atendieron en 2005? Ejemplo 2: Con los datos del ejemplo 1, construimos los siguientes diagramas. Rpta.: II. A un seminario empresarial asistieron 80 personas y se registró las edades de los participantes en los siguientes intervalos: fi 60 50 40 30 20 10 Intervalos 14 15 16 17 18 xi Diagrama de Barras Conteo [20;25> IIII III [25;30> IIII IIII [30;35> IIII IIII IIII IIII [35;40> IIII IIII IIII IIII IIII [40;45> IIII IIII II [45;50] IIII I fi Fi hi Hi n= Completa la tabla y responde: 17 años 16 años 4. ¿Cuántas personas cuyas edades varían entre 30 y 34 años inclusive, asistieron? Rpta.: 18 años 15 años 14 años Sector Circular 5. ¿Cuántas personas menores de 40 años asistieron? Rpta.: 6. ¿Qué porcentaje de los asistentes son menores de 30 años? Rpta.: 7. ¿Qué porcentaje de los asistentes tienen entre 30 y 44 años, inclusive? Rpta.: III. A continuación se muestra las notas obtenidas por 40 alumnos de un aula en el último examen bimestral de Aritmética. 10 15 11 08 12 10 13 10 12 10 12 17 10 12 11 14 15 20 10 12 10 20 14 13 06 16 06 06 14 18 07 05 12 11 02 04 14 18 16 17 Realice el conteo y complete el cuadro: xi fi ocupa ión c 1º 180 2º 100 3º 140 4º 200 5º 180 Conteo fi Fi hi Hi [02;05> [05;08> 12.¿Cuál es la frecuencia relativa de los alumnos de segundo de secundaria? a) 0,55 d) 0,75 b) 0,125 e) 0,1 c) 0,5 13.¿Qué porcentaje representan los alumnos de cuarto de secundaria del total? b) 30 % e) 80 % c) 25 % b) 360 e) 280 c) 420 14.Hallar "F3" a) 180 d) 600 [08;11> hi Completar la tabla y responda las siguientes preguntas: a) 40 % d) 60 % Intervalos Fi número de lumnos a [11;14> 15.Hallar el porcentaje de alumnos que no son de segundo ni de cuarto de secundaria. [14;17> [17;20] n = 40 a) 50 % d) 42,5 % Responde: b) 62,5 % e) 25 % c) 70,5 % Nivel II 8. ¿Cuántos alumnos aprobaron el curso? Rpta.: 9. ¿Qué porcentaje desaprobó el curso? Rpta.: 10. ¿Qué porcentaje del aula obtuvo 14 ó más en el examen? Rpta.: 11. ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 08 en el examen? ¿Qué porcentaje del total representan? Rpta.: IV. Se muestra la siguiente tabla de distribución del número de alumnos de un colegio, según el grado de educación secundaria. I. En una encuesta a 20 alumnos se obtuvo los siguientes datos, respecto a sus pesos: 46 42 50 46 40 46 51 43 47 44 40 44 51 47 47 50 48 49 48 52 Completa la tabla y responde las preguntas: Intervalos 40 ; 43 43 ; 46 46 ; 49 49; 52 conteo fi Fi hi Hi 1. ¿Cuáles son los límites del intervalo de mayor frecuencia? b) 40 ; 46 d) 49 ; 52 a) 40 ; 43 a) 30 % d) 50 % 2. Calcular "f1 + f4" b) 7 e) 14 c) 9 a) 200 d) 400 b) 9 e) 12 c) 10 b) 7 e) 9 a) 62,5 % d) 72,5 % c) 8 b) 4 e) 14 c) 6 b) 48 e) 42 Edades hi b) 98 e) 72 c) 90 b) 30 % e) 20 % c) 18 % II. Enunciado Se muestra la siguiente tabla de distribución del número de trabajadores de un Ministerio, de acuerdo a su ocupación. xi ocupación fi # de personas Administradores 120 Ingenieros 50 Abogados 80 Obreros 90 Secretarias 60 n = 400 Fi a) 240 d) 180 b) 75 % e) 90 % c) 87,5 % 19 - 21 22 - 24 25 - 27 28 - 30 31 - 33 0,05 0,25 4k 2k k hi Hi b) 300 e) 280 c) 340 14.¿Qué porcentaje de empleados tiene a lo más 27 años? a) 70 % d) 40 % 8. ¿Qué porcentaje de alumnos pesan menos de 43 kg? a) 24 % d) 15 % c) 250 13.¿Cuántos empleados tienen entre 22 y 30 años? c) 46 7. Calcular la suma del límite inferior de la cuarta clase con el límite superior de la segunda clase. a) 95 d) 45 b) 220 e) 180 Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de 400 empleados según su edad: 6. Calcular el límite inferior de la tercera clase. a) 45 d) 43 c) 25 % III. Enunciado 5. ¿Cuántos alumnos pesan más de 48 kg? a) 9 d) 12 b) 40 % e) 20 % 12.Hallar el porcentaje de los que no son Ingenieros. 4. ¿Cuántos alumnos pesan menos de 46 kg? a) 6 d) 5 c) 0,40 11.Hallar "F3" 3. Calcular "F2 + f2" a) 8 d) 11 b) 0,20 e) 0,80 10.Hallar el porcentaje de Administradores. e) 40 ; 5 2 a) 8 d) 12 9. ¿Cuál es la frecuencia relativa de Abogados? a) 0,25 d) 0,70 c) 46 ; 49 Completar la tabla y responda las siguientes preguntas: b) 60 % e) 55 % c) 50 % 15.¿Qué porcentaje de empleados tiene por lo menos 25 años? a) 40 % d) 70 % b) 30 % e) 80 % c) 35 % IV. Dada la siguiente distribución de frecuencias, respecto a las edades de empleados de una compañía. Edades hi [19 - 21] [22 - 24] [25 - 27] [28 - 30] [31-33] 0,15 Además: F5 = 300 0,25 0,40 0,10 0,10 16.¿Cuántos empleados tienen edades entre 22 y 30 años, inclusive? a) 175 d) 360 b) 225 e) 250 c) 450 17. ¿Cuántos empleados tienen por lo menos 28 años? a) 40 d) 80 b) 50 e) 90 c) 60 18.¿Qué porcentaje de los empleados tienen a lo más 24 años? a) 30 % d) 40 % b) 35 % e) 50 % c) 20 % b) 160 e) 155 c) 165 19.Hallar "f1 + f3" a) 150 d) 170 20.¿Cuántos empleados tienen más de 30 años? a) 100 d) 50 b) 20 e) 30 c) 40 Estadística II (Gráficos) I. Gráfico de barras 1. ¿Cuál fue la población en 2002? Ejemplo A continuación se muestra el sueldo proyectado de una persona durante el año 2005. Sueldo (cientos de soles) 3. ¿En cuánto aumenta la población de hombres del año 2003 al año 2005? 20 15 16 13 11 10 2. ¿Cuál era la población en 2004? 4. Del año 2002 al año 2005 la población de mujeres ¿aumentó o disminuyó? ¿en cuánto? 8 Mes E F M A M J J A S O N D III. Gráfico lineal Ejemplo: 1. ¿En qué mes ganó menos? Rendimiento de la cosecha "x", a diferentes temperaturas e intensidades luminosas. 2. ¿En qué mes ganó más? Rendimiento (%) 3. ¿Cuál fue su sueldo promedio durante el año 2005? 60 50 4. ¿En cuántos meses ganó más del sueldo promedio? 40 30 II.Gráfico de barras adecuadas Ejemplo: A continuación se muestran la población de hombres y mujeres de cierta localidad, durante el período 20022005. # población (miles) hombres 25 mujeres 20 15 A 20 B 10 C 10 20 30 40 50 Temperatura (°C) I. Intensidad luminosa A II. Intensidad luminosa B III. Intensidad luminosa C 1. El máximo rendimiento, con intensidad luminosa A, se alcanza aproximadamente con una temperatura de: 15 10 10 5 2002 2. ¿Qué rendimiento se alcanza, aproximadamente con una temperatura de 30 °C e intensidad luminosa C? 8 2003 2004 2005 3. Para una mejor cosecha, ¿qué intensidad luminosa conviene y a qué temperatura? 1. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefiere más el producto "A" que el producto "C"? IV. Sector circular 2. ¿Cuántos de los encuestados prefieren el producto "B"? Ejemplo: En una encuesta se obtuvo la siguiente información, acerca del consumo de los productos "A", "B", "C", "D" y "E"; de un total de 200 personas encuestadas. C 4. ¿Cuántos de los encuestados prefieren los productos "D" y "E"? 15 % B 3. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefieren más el producto "C" que el producto "E"? D 30 % 10 % 5% E 40 % A Problemas para la clase Enunciado 1 La siguiente gráfica muestra el volumen de venta obtenido durante los seis primeros meses del año, de un equipo de vendedores. Cantidad de artículos a) 160 000 c) 200 000 e) 242 000 b) 220 000 d) 190 000 2. Indicar el promedio (aprox.) de venta mensual durante esta campaña. 45 000 a) 28 828 c) 33 333 e) 30 000 40 000 35 000 30 000 b) 33 300 d) 30 300 3. ¿Durante cuántos meses el volumen de venta estuvo sobre el promedio mensual? 25 000 20 000 a) 2 d) 5 junio mayo abril marzo febrero 15 000 enero • 1. ¿Cuál es el volumen total de venta, durante esta "Campaña de Medio Año"? Mes b) 3 e) 1 c) 4 4. ¿Cuál es el máximo volumen de venta logrado a lo largo de toda la campaña, durante un mes? a) 35 000 d) 50 000 b) 40 000 e) 60 000 c) 45 000 5. ¿Entre qué meses el volumen de venta tuvo la caída más apreciable? a) mayo y junio c) marzo y abril e) mayo y enero 8. ¿En qué porcentaje desciende la producción de camote entre febrero y marzo? b) enero y febrero d) abril y mayo a) 40 % d) 45 % b) 25 % e) 20 % c) 33 % 9. ¿Cuál fue la producción total de papa (en toneladas) en los tres meses? Enunciado 2 • La inflación en un país mostró la siguiente evolución entre febrero y junio: Tasa de inflación (%) a) 60 d) 70 b) 50 e) 45 c) 80 10.¿Qué porcentaje más de camote, con respecto a la papa, se produce en enero? a) 40 % d) 30 % 90 70 b) 50 % e) 10 % c) 45 % Enunciado 4 50 • El gráfico muestra la producción (en toneladas) de arroz y cebada, en tres meses del año: 30 Producción (toneladas) 10 A M J 30 Mes 6. Halla la inflación promedio durante el periodo febrerojunio. (aprox.) a) 30 % d) 66,5 % b) 40 % e) 36 % 25 c) 45,5 % arroz 5 Enero b) 120 % e) 180 % cebada 15 10 7. ¿Cuál será la inflación de julio según la tendencia mostrada? a) 100 % d) 150 % 20 c) 130 % Marzo M Febrero F Mes 11.¿En qué porcentaje desciende la producción de arroz entre febrero y marzo? Enunciado 3 • El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos tubérculos, en tres meses del año. Producción (toneladas) a) 40 % d) 45 % b) 25 % e) 20 % c) 33,3 % 12.¿Cuál fue la producción total de cebada (en toneladas) en los tres meses? 35 a) 60 d) 70 30 25 20 b) 50 e) 45 c) 80 Enunciado 5 15 papa 10 camote Marzo Febrero Enero 5 Mes • Sony analiza las ventas de TV de 43" en Lima Metropolitana, en las últimas ocho semanas. La información se muestra a continuación: a) 1 p.m. d) 4 # de TV vendidos b) 2 e) 5 c) 3 18.¿Durante qué período tuvo el paciente más de 37° de temperatura? 35 30 a) De 10 a.m. a 6 p.m. c) De 2 p.m. a 6 p.m. e) De 8 a.m. a 4 p.m. 25 20 15 19.¿Cuál fue aproximadamente la temperatura del paciente a las 11 a.m.? 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 Semana 13.¿Cuántos TV se vendieron en las tres primeras semanas? a) 55 d) 70 b) 60 e) 75 c) 65 14.¿En qué semana se vendió un mayor número de televisores? a) segunda d) quinta b) tercera e) sexta c) cuarta 15.¿En qué semana hubo una mayor variación en las ventas? a) 3ra y 4ta d) 6ta y 7ma b) 5ta y 6ta e) 2da y 3ra c) 1ra y 2da a) 19,75 d) 18,75 b) 19,25 e) 19,5 a) 37° d) 36° b) 38,5° e) 38° c) 37,5° 20.¿Cuál fue la temperatura que más veces se presentó en el paciente? a) 36° d) 39° b) 37° e) 40° c) 38° 21.¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura mínima observada? a) 6 a.m. d) 2 p.m. b) 8 a.m. e) 10 a.m. c) 12m. Enunciado 7 • 16.¿Cuál es el promedio de TV que se vende por semana? En el siguiente gráfico circular se muestra los resultados de una encuesta acerca de las preferencias de ciertos géneros musicales, sobre un total de 800 encuestados. c) 18,25 Balada 20 % Enunciado 6 • b) De 8 a.m. a 6 p.m. d) De 11 a.m. a 5 p.m. Criollo 10 % Rock 30 % La siguiente gráfica muestra la temperatura de un paciente en el Hospital del Niño, durante el transcurso de 12 horas: Salsa 35 % 40° 39° 22.¿Cuántos más prefieren salsa que rock? 38° 37° a) 280 d) 80 36° 35° 34° 6 a.m. 8 10 12:00 m. 2 4 b) 240 e) 40 c) 256 23.¿Cuántos de los encuestados prefieren más salsa y rock, que los demás géneros musicales? 6 p.m. 17. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura máxima observada? a) 280 d) 360 b) 520 e) 240 c) 480 24.¿Qué parte de los que no prefieren balada, representan los que sí la prefieren? a) 1 1 b) 5 1 d) 2 e) 1 c) 4 3 a) 70 % d) 75 % 1 8 25.¿Cuál es el ángulo central que tiene la porción de baladas? a) 36° d) 20° b) 72° e) 40° c) 49° • El siguiente gráfico nos muestra la distribución de componentes en el cuerpo humano. a) 2,1 d) 2,35 b) 2,2 e) 2,4 15 % Otros materiales secos a) $ 1 100 c) 1 150 e) 1 250 d) b) 5 3 e) 20 17 20 c) 1 20 Día Temperatura (°C) Lunes 25° Martes 28° Miércoles 30° Jueves 26° Viernes 24° Sábado 15° Domingo 20° 31.El mayor y menor dato registrado corresponden a los días: 1 2 b) 40 e) 68 c) 24 Enunciado 9 • b) 1 000 d) 1 200 • La t ab la m ue st ra l as t em pe ra tu ra s má xi ma s registradas durante una semana del mes de abril. 27. De acuerdo a este gráfico, una persona de 80 kg de peso, ¿de qué peso de agua estaría compuesta? a) 48 kg d) 56 c) 2,3 Enunciado 10 26.¿Qué fracción representan las proteínas y el agua? a) c) 65 % 29.¿Cuál es el número promedio de TV conectados? 70 % Agua 1 b) 60 % e) 80 % 30.Si la instalación del primer TV es gratis y por cada TV adicional se cobra $ 10, ¿cuál ha sido el ingreso por instalación en los 100 hogares analizados? Enunciado 8 15 % Proteínas 28.¿Qué porcentaje de los hogares tienen más de un TV conectado al servicio? La empresa "Super Cable" realiza un estudio para conocer cuántos de los televisores de una casa utilizan su servicio, para ello visita a 100 clientes y obtuvo los siguientes resultados: Número de TV conectados Cantidad de hogares 1 30 2 35 3 20 4 15 a) lunes y miércoles c) martes y sábado e) miércoles y sábado b) jueves y sábado d) martes y domingo 32.La temperatura promedio (media aritmética) en dicha semana fue: a) 25° d) 23,2° b) 24° e) 25,6° c) 22,5° 33.Si un día se considera frío cuando la temperatura máxima registrada es menor que el valor promedio, ¿cuántos de estos días fueron fríos? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 34.La temperatura máxima observada diariamente fue decreciente: a) a partir del miércoles b) de martes a jueves 39.¿Cuántos millones de km2 le falta a la superficie de Oceanía, para igualar a la superficie de Sudamérica? c) de viernes a domingo d) de miércoles a sábado e) de jueves a viernes 35.La temperatura "mediana", es decir la que ocupa el centro cuando todas se ordenan de menor a mayor, corresponde al: a) lunes d) jueves b) martes e) viernes c) miércoles a) 8 d) 12 b) 10 e) 5 c) 6 Enunciado 12 • En el país se ha extraído, durante ocho años, las siguientes cantidades anuales de cobre: Enunciado 11 Año toneladas 35 1998 40 30 1999 70 25 2000 100 20 2001 130 15 2002 160 10 2003 190 2004 220 2005 250 A B C D E F • El diagrama anterior muestra la superficie de algunas zonas geográficas en millones de km2. Donde: A = África C = Europa E = Oceanía Cobre (toneladas) B = Asia D = EE.UU. F = Sudamérica 350 300 250 36.Entre Europa y Estados Unidos tienen aproximadamente (en millones de km2): a) 35 d) 32 b) 25 e) 40 200 150 c) 20 100 50 37. ¿Por cuántos millones de km2 excede la superficie de Asia a Oceanía? a) 10 d) 8 b) 18 e) 12 c) 15 38.África contiene, en proporción, a la superficie de Oceanía: a) igual b) el doble c) el triple d) 1 21 veces 98 99 00 01 02 03 04 05 06 Año 40.Se puede asegurar que la producción en el año 2006: a) b) c) d) e) Disminuirá. Será igual que el año anterior. Será de 280 toneladas. No se puede asegurar cuál será la producción. Ninguna de las anteriores.
