Subido por Christian David Virguez Castaneda

Taller 1 Fundamentos de oscilaciones ondas y ptica

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Taller 1. Fundamentos de oscilaciones, ondas y
óptica
Pareja Romero Heber ([email protected])
Ramos Infante Sara ([email protected])
Virgüez Castañeda Christian ([email protected])
Sucerquia Ospina Manuela ([email protected])
Abril 2019
Ejercicio 1. Muestre que la ecuación
m
d2 x
= −kx
dt2
(1)
es satisfecha por las funciones:
a)
x(t) = A cos (ωt + φ)
(2)
Calculamos la primera y segunda derivada de la función x(t):
Reemplazamos a
d2 x
dt2
ẋ(t) = −ωA sin (ωt + φ)
(3)
ẍ(t) = −ω 2 A cos (ωt + φ)
(4)
y a x en la ecuación:
−mAω 2 cos(ωt + φ) = −kx(t)
(5)
mAω 2 cos(ωt + φ) + kA cos(ωt + φ) = 0
(6)
A cos(ωt + φ)[
k
− ω2 ] = 0
m
(7)
Entonces la ecuación se satisface cuando:
k
= ω2
m
1
(8)
b)
x(t) = B sin(ωt) + C cos(ωt)
(9)
Reemplazando en la ecuación:
−m[Bω 2 sin(ωt) + Cω 2 cos(ωt)] = −kx
(10)
−m[Bω 2 sin(ωt) + Cω 2 cos(ωt)] + k[B sin(ωt) + C cos(ωt)] = 0
(11)
−mω 2 [B sin(ωt) + C cos(ωt)] + k[B sin(ωt) + C cos(ωt)] = 0
(12)
B sin(ωt) + C cos(ωt)][
La ecuación se satisface para:
k
m
k
− ω2 ] = 0
m
(13)
= ω2
Ejercicio 2. En la ecuación anterior ¿cuál es la relación entre A, φ, B y C?.
Teniendo x(t) = A cos(ωt+φ) y aplicando identidades trigonometricas obtenemos:
x(t) = A[cos(ωt) cos(0) − sin(ωt) sin(φ)]
(14)
Igualando coeficientes con x(t) = B sin(ωt) + C cos(ωt) obtenemos:
C = A cos(φ)
(15)
B = −A sin(φ)
(16)
B
= − tan(φ)
C
(17)
A2 = B 2 + C 2
(18)
Ejercicio 3. Muestre los valores de las constantes A, B, C, ω y φ que
2
aparecen en las soluciones para la ecuación m ddt2x = −kx del punto 1. Suponga
condiciones iniciales de x(0) = x0 y v(0) = v0
Tenemos las siguientes condiciones iniciales:
x(0) = x0 = A cos(φ)
2
(19)
v(0) = v0 = −Aω sin(φ)
(20)
v0
Aω sin(φ)
=−
= −ω tan(φ)
x0
A cos(φ)
(21)
Dividiendo x0 entre v0
tan(φ) = −
Sumando x0 y
v0
x0 ω
(22)
v0
ω
x0 +
v0
= −A sin(φ) + A cos(φ)
ω
(23)
x20 +
v02
= A2 [sin(φ)2 + cos(φ)2 ]
ω2
(24)
v02
= A2
ω2
(25)
x20 +
r
A=±
x0 +
v02
ω2
(26)
Tomando la otra solución:
x0 = B sin(0) + C cos(0)
(27)
v0 = Bω cos(0) − C sin(0)
(28)
x0 = C
(29)
v0
=B
ω
(30)
Ejercicio 4. Muestre que para una masa atada a un resorte la ecuación
de movimiento cuando el sistema es puesto horizontalmente, es equivalente a
cuando el resorte se pone verticalmente y la masa se encuentra expuesta a una
fuerza gravitacional de la forma F = mg.
Ecuación sistema horizontal :
d2 x
+ ω2 x = 0
dt2
3
(31)
Planteando la sumatoria de fuerzas en el eje y para un sistema vertical obtenemos lo siguiente:
X
Fy = ky − mg = m
d2 y
dt2
(32)
d2 y
+ ky − mg = 0
dt2
(33)
k
d2 y
+ y−g =0
dt2
m
(34)
d2 y
m
k
+ (y − g) = 0
2
dt
m
k
(35)
m
Podemos hacer un cambio de variables, si en el sistema vertical tomamos como
referencia la posición en el punto de equilibrio, y por lo tanto el movimiento
en y es la elongación del resorte, ası́ podemos plantear la siguiente ecuación:
mg
0
k∆y = mg por lo tanto ∆y = mg
k además reemplazamos a y − k = y
d2 y 0
k
+ y0 = 0
dt2
m
(36)
d2 y 0
+ ω2 y0 = 0
dt2
(37)
Y ası́ llegamos a una ecuación equivalente al sistema horizontal.
Ejercicio 5. Calcule la energı́a potencial y la cinética para un péndulo de
masa m que tiene una cuerda de longitud l.
Energı́a Cinetica: K = 21 mv 2 puesto que es un movimiento en 2 dimensiones
podemos plantear la velocidad como v 2 = vx2 + vy2 entonces la energı́a cinetica
serı́a:
K=
1
dy dx
m(
+
)
2
dt
dt
(38)
Energı́a Potencial:
U = mgh = mgy
(39)
De acuerdo a la figura 1 podemos establecer las siguientes ecuaciones:
x = l sin(β)
4
(40)
Figure 1: Figura 1. Sistema de un péndulo simple
dx
= l cos(β)β̇
dt
(41)
l − y = l cos(β)
(42)
y = −l cos(β) + l = l(1 − cos(β))
(43)
dy
= l sin(β)β̇
dt
(44)
Reemplazamos esto en las ecuaciones de energı́a cinética y energı́a potencial.
K=
1
m(l2 cos2 (β)β̇ 2 + l2 sin2 (β)β̇ 2
2
(45)
1 2 2
ml β̇
2
(46)
K=
U = mgl(1 − cos(β))
(47)
Ejercicio 6. Un resorte está en un laboratorio, cuando se le cuelga una masa
de 100 gramos al final del resorte este se alarga 10 cm. Después se coloca la
masa de 100 gramos a una distancia de 6 cm del equilibrio y se deja libre en un
tiempo t = 0.
a) Encuentre una ecuación diferencial que describa el desplazamiento de la
masa en función del tiempo.
5
Se sabe que para un resorte la condición de equilibrio debe cumplir lo siguiente:
k · 4l = m · g
(48)
Siendo 4l la distancia de elongación del resorte para llegar al equilibrio.
Del enunciado del ejercicio se sabe que:
K=
(0.1)[Kg] · (9.8)[ sm2 ]
N
= 9.8[ ]
0.1[m]
m
(49)
N
9.8[ m
]
= 98[Hz 2 ]
0.1[kg]
(50)
Se tiene entonces que:
ω2 =
La ecuación diferencias planteada para el punto de equilibrio es:
d2 x
= −ω 2 · x
d(t)2
(51)
d2 x
= −98[Hz 2 ] · x
d(t)2
(52)
Por lo tanto:
b) Encuentre la solución a la anterior ecuación diferencial, escriba explı́citamente
los valores de las constantes que aparecen en la solución.
Se tiene que la solución para la ecuación diferencial debe ser de la forma:
x(t) = A · cos(ω · t + φ)
(53)
Se sabe que:
φ = tan−1 (
−v0
)
ω · x0
(54)
Pero se tiene que la velocidad inicial es cero, V0 = 0, es decir que el objeto parte
desde el reposo; por lo tanto :φ = 0.
Por otro lado se sabe:
r
v02
A=
+ x20
(55)
ω2
Sabiendo esto se tiene entonces que la solución para la ecuación diferencial es:
√
x(t) = 6 · 10−2 · cos( 98t)mts
(56)
Ejercicio 7. Se tienen dos péndulos, uno de ellos de una longitud de un metro,
el otro tiene una longitud desconocida. Se dejan los dos oscilar libremente,
6
soltándolos al mismo tiempo, cuando el péndulo de un metro completa 12 oscilaciones el otro péndulo completa 11 oscilaciones. ¿Cuál es la longitud del
péndulo desconocido?.
Se sabe que:
1
·ω
2 · πr
g
Y que ω es : ω =
l
f=
Siendo g el valor de la gravedad y l la longitud.
Sabemos que para la frecuencia 1 se cumple que:
r
12
1
g
122 · 4 · π 2
f1 =
=
·
⇒ t2 =
t
2·π
l
g
Y que para la frecuencia 2 se cumple que:
r
1
t2 · g
11
g
=
·
⇒l= 2
f2 =
t
2·π
l
11 · 4 · π 2
(57)
(58)
(59)
(60)
Con esto se tiene entonces que:
l=
122 · 4 · π 2
g
122
· 2
= 2 = 1.19m
2
g
11 · 4 · π
11
(61)
Ejercicio 8. Un resorte se encuentra pegado al techo, se le ata una masa al
final del resorte y se deja caer el objeto. El objeto cae 49 cm y se devuelve a
donde inicialmente se encontraba. La masa continua en movimiento armónico
simple con una oscilación total de 49 cm de su punto de altura máxima al de la
mı́nima, ¿Cuál es la frecuencia y el periodo de sistema?.
Para el ejercicio, se asumirá que el resorte se encuentra en reposo en el momento
Figure 2: Sistema masa-resorte del punto 8.
de dejar caer la masa, y el punto más bajo de movimiento, el punto donde
7
la energı́a potencial gravitacional será 0 y la potencial elástica, la máxima.
Se asume también que es un sistema conservativo (sin fricción ni pérdida de
energı́a). Ası́:
∆E = 0
(62)
Ei = Ef
(63)
mg∆(x) =
1
k(∆x2 )
2
(64)
Podremos jugar algebráicamente con la ecuación para llegar a la siguiente expresión:
k
2g
=
∆x
m
(65)
Sabemos que:
k
m
Entonces se podrá deducir el valor de ω como:
r
r
2 ∗ 9.81 sm2
2g
ω=
=
= 6.327Hz
x
0.49m
ω2 =
(66)
(67)
Podremos ası́, encontrar el periodo de movimiento a través de la ecuación:
T =
2π
2π
=
= 0.993s
ω
6.327Hz
(68)
Y la frecuecia, a través de su relación con el periodo:
f=
1
1
=
= 1.007Hz
T
0.993s
(69)
Ejercicio 9. Un resorte se encuentra en posición vertical y se coloca una masa
de 100 gramos en el resorte y este se alarga una distancia de 9.8 cm
a) Si se coloca una masa adicional de 200 gramos, adicional a la de 100
gramos inicial. ¿Cuánto se estira el resorte?
Cuando la masa esta en reposo, hay un equilibrio y la suma de las fuerzas
verticales es cero, es decir:
X
Fy = 0
(70)
Entonces,
8
X
Fy = k∆y − mg = 0
k∆y = mg
k=
mg
∆y
(71)
(72)
(73)
Reemplazamos las condiciones iniciales y calculamos el valor de k
k=
(0, 1kg)(9, 8m/s2 )
0, 098m
k = 10N/m
(74)
(75)
Ahora despejamos a ∆y
∆y =
mg
k
(76)
Reemplazamos m = 300gr producto de la suma de las dos masas y calculamos cuanto se estira el resorte, es decir, ∆y
(0, 3kg)(9, 8m/s2 )
10N/m
(77)
∆y = 0, 294m = 29, 4cm
(78)
∆y =
Siendo
b) ¿Cuál es la constante del resorte?
Como se calculó en el ı́tem anterior:
k = 10N/m
(79)
Ejercicio 10. Un resorte de masa despreciable se encuentra puesto en
posición horizontal y de equilibrio, atado a una masa de 2 kg sobre una mesa
libre de fricción. Otra masa de 2 kg se acerca a una velocidad de 8 m/s y golpea
a la masa atada al resorte quedandose pegada a la masa. Si la constante del
resorte es de 16 N/m, encuentre la expresión x(t) que describe la posición como
función del tiempo.
9
Tenemos que:
k = 16N/m
(80)
m1 = m2 = 2kg
(81)
Calculamos el momento inicial de ambas masas
|ρ1 | = m1 |v1 | = (2kg)(0) = 0
(82)
|ρ2 | = m2 |v2 | = (2kg)(8m/s) = 16kg · m/s
(83)
En un choque perfectamente inelástico el momento se conserva, entonces
|ρf | = 16kg · m/s
(84)
Ahora calculamos la velocidad final del conjunto despues del choque, es decir,
|vf |
|ρf |
m1 + m2
(85)
16kg · m/s
= 4m/s
2kg + 2kg
(86)
|vf | =
|vf | =
En este punto tenemos un sistema masa-resorte con unas condiciones iniciales
dadas
x(0) = 0
(87)
v(0) = −4m/s
(88)
m = 4kg
(89)
Donde la ecuación que describe la posición esta dada por
x(t) = A cos (ωt + φ)
(90)
Calculamos ω:
r
ω=
10
k
m
(91)
s
ω=
(16N/m)
= 2rad/s
4kg
(92)
Al evaluar x en t=0 obtenemos el valor de φ
x(0) = A cos φ = 0
(93)
cos φ = 0
(94)
Como A es diferente de cero:
φ=
π
2
(95)
Al evaluar v en t=0 obtenemos el valor de A
v(0) = −Aω sin φ = −4m/s
A=
4m/s
ω sin φ
(96)
(97)
Reemplazando φ y ω
A=
4m/s
(2rad/s) sin
π
2
= 2m
(98)
Ası́, la ecuación que describe este movimiento es:
π
x(t) = 2 cos 2t +
2
11
(99)
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