TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA GEOMÉTRICA. 1 TEMA 1 1.1. CONCEPTO DE GEODESIA. 1.2. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LA GEODESIA. 1.3. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL APLICADA AL ELIPSOIDE. - Teoría general de Curvas. - Teoría general de superficies. Aplicación al Elipsoide de Revolución. - Radios de curvatura en el elipsoide de revolución. - Curvas sobre el elipsoide de revolución. Sección normal y línea geodésica. 2 1 1.1. CONCEPTO DE GEODESIA 3 ¿QUÉ ES LA GEODESIA? Helmert (1880): “Geodesia es la ciencia de medir y representar la superficie de la Tierra”. Draheim y Fisher (1971): “Geodesia es la ciencia que trata de la determinación de la figura y el campo gravitatorio terrestre y de otros cuerpos celestes como función del tiempo, así como la determinación del elipsoide terrestre medio mediante parámetros observados en el exterior y sobre la superficie terrestre”. Internacional Association of Geodesy (1975): “Geodesia es la ciencia de medir y representar la figura y el campo de gravedad terrestre y de otros cuerpos celestes, así como sus variaciones en el tiempo”. 4 2 GEODESIA ¿Qué es la Geodesia? ¿Cuál es la forma real de la Tierra? 5 CONCEPTO DE GEODESIA “Ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra (figura de la Tierra) y su campo gravitatorio” CONCEPTO FÍSICO CONCEPTO GEOMÉTRICO (campo de la gravedad) (figura de la Tierra) “FIGURA DE LA TIERRA”: superficie física y matemática de la Tierra SUPERFICIE FÍSICA SUPERFICIE MATEMÁTICA GEOIDE ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN DE DOS EJES SUPERFICIE DE REFERENCIA ALTIMÉTRICA GEODESIA FÍSICA SUPERFICIE DE REFERENCIA PLANIMÉTRICA GEODESIA GEOMÉTRICA 6 3 CONCEPTO DE GEODESIA SUPERFICIE FÍSICA Î GEOIDE GEODESIA FÍSICA: determinación del potencial de la fuerza de la gravedad terrestre. GEOIDE, figura que más se aproxima a la forma real de la Tierra. Límite entre la corteza terrestre y la atmósfera o entre masas de líquidos y atmósfera. Superficie equipotencial que coincide con el nivel medio del mar y que se prolonga por debajo de los continentes, con la condición de ser siempre normal a la fuerza de la gravedad. No sirve para resolver los dos problemas geodésicos fundamentales: Superficies equipotenciales El geoide es una superficie equipotencial al nivel medio del mar 1º: cálculo de las coordenadas de un punto a partir de las de otro, su distancia y acimut. 2º: cálculo de la distancia AB y acimut AB a partir de las coordenadas de dos puntos A y B. SUPERFICIE ALTIMÉTRICA. DE REFERENCIA 7 CONCEPTO DE GEODESIA SUPERFICIE MATEMÁTICA Î ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN GEODESIA GEOMÉTRICA: determinación de coordenadas de puntos de la superficie terrestre bajo un sistema de referencia único y valido para toda la Tierra. ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN DE DOS EJES, figura que más se aproxima al GEOIDE. Ondulación del Geoide y desviación relativa de la vertical Æ mínimas. Elipsoides locales y globales. Curvatura y métrica definidas. SUPERFICIE DE REFERENCIA PLANIMÉTRICA. Sirve para resolver los problemas fundamentales de la Geodesia. 8 4 FIGURAS QUE REPRESENTAN LA TIERRA GEOIDE (Figura real de la Tierra) Î GEODESIA FÍSICA ELIPSOIDE (Aproximación del Geoide) Î GEODESIA GEOMÉTRICA ESFERA (Aproximación del Elipsoide) Î ASTRONOMÍA GEODÉSICA PLANO (Aproximación del Elipsoide y Esfera) Î TOPOGRAFÍA 15 Km 9 RAMAS DE LA GEODESIA GEODESIA GEOMÉTRICA Î estudia la figura de la Tierra mediante la determinación de coordenadas de puntos situados sobre la superficie terrestre bajo un sistema de referencia fijo y válido para toda la Tierra. Desarrolla el aspecto geométrico de la Geodesia. Medición de ángulos y distancias sobre la superficie terrestre. Toma como superficie de referencia el elipsoide de revolución. Determinación de los parámetros del elipsoide de revolución (superficie de referencia planimétrica). GEODESIA FÍSICA Î estudio del campo gravitatorio terrestre por hipótesis de modelos de distribución de masas dentro de la Tierra o midiendo la gravedad en su superficie. Desarrolla el aspecto físico del estudio de la figura de la Tierra. Determina el potencial de la fuerza de la gravedad bajo el mismo sistema de referencia que emplea la Geodesia Geométrica. Toma como superficie de referencia el Geoide (superficie de referencia Altimétrica). 10 5 RAMAS DE LA GEODESIA ASTRONOMÍA GEODÉSICA Î determinación de coordenadas geográficas de puntos y acimutes de ciertas direcciones por métodos astronómicos (independencia de toda hipótesis de la forma de la Tierra). GEODESIA ESPACIAL Î obtención de coordenadas de puntos a partir de observaciones a objetos que no estén físicamente ligados a la Tierra (satélites, cuásares, etc.) Determinación simultánea y con la misma precisión de la posición tridimensional del punto (X, Y, Z). Desaparece la necesidad de utilizar Geoide o Elipsoide. GEODESIA TRIDIMENSIONAL (X, Y, Z). GEODINÁMICA Î determinación de las variaciones en las posiciones de las coordenadas de puntos, producidas de una forma temporal, secular, periódica o de naturaleza brusca, que pueden ocurrir globalmente, localmente o regionalmente. GEODESIA TETRADIMENSIONAL (X, Y, Z, t). 11 RAMAS DE LA GEODESIA GEODESIA GEOMÉTRICA GEODESIA FÍSICA GEODESIA INTEGRAL GEODESIA ESPACIAL GEODINÁMICA “Estudio de la forma de la Tierra, el campo gravitatorio terrestre y las variaciones de ambos en el tiempo” 12 6 DIVISIÓN DE LA GEODESIA DESDE UN PUNTO DE VISTA OPERATIVO, LA GEODESIA SE DIVIDE: GEODESIA GLOBAL Î Responde a la definición de Helmert, siendo necesario para su desarrollo la cooperación Internacional. GEODESIA REGIONAL Î Es practicada por cada país para resolver numerosos problemas que plantea la cartografía, geografía, etc. TOPOGRAFÍA Î Trata de precisar detalles de una cierta superficie de pequeñas dimensiones considerándola como una superficie plana. 13 OBJETIVOS PRINCIPALES DE LA GEODESIA 1. Establecer y mantener las REDES de Control Geodésico Tridimensionales nacionales y globales en Tierra, tomando en cuenta la naturaleza cambiante de estas redes debido al movimiento de las placas tectónicas. 2. Medición y representación de fenómenos geofísicos (movimiento de los polos, mareas terrestres y movimiento de la corteza). 3. Determinación del campo gravitacional de la Tierra, incluyendo las variaciones temporales. 14 7 HERRAMIENTAS DE LA GEODESIA CIENCIAS MATEMÁTICAS Î planteamiento de modelos, solución de problemas prácticos de la Geodesia. Teoría del campo gravitatorio. Geometría diferencial. Análisis numérico. Estadística. TECNOLÓGIAS DE LA INFORMACIÓN (INFORMÁTICA) Î permite abordar problemas de la Geodesia hasta hace 30 años impensables. Resolución de grandes sistemas de ecuaciones. ÓPTICA Î construcción de instrumentos de medición cada vez más sofisticados y precisos. ELECTRÓNICA (teoría de campos electromagnéticos) Î ha permitido la medida directa de distancias, observación a satélites artificiales, automatización de procesos de observación, etc. 15 ORGANIZACIÓN DE LA GEODESIA ACTUAL INSTITUCIONES NACIONALES: Instituciones geodésicas nacionales con competencias por ley o reglamento nacional Î INSTITUTO GEOGRÁFICO NACIONAL (IGN) Centros de investigación gubernamentales o académicos Î INSTITUTO DE ASTRONOMÍA Y GEODESIA, de la UCM. Necesidad de una COLABORACIÓN INTERNACIONAL ⇒ ASOCIACIÓN INTERNACIONAL DE GEODESIA (IAG) (1886) Î Unificación de criterios y lograr una mayor colaboración en los trabajos entre los diferentes organismos nacionales geodésicos. En 1919 se funda la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) englobando a la IAG con otras seis asociaciones geofísicas internacionales. ORGANIZACIÓN DE LA IAG, 5 Secciones: POSICIONAMIENTO TECNOLOGÍA AVANZADA ESPACIAL DETERMINACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO TEORÍA GENERAL Y METODOLOGÍA GEODINÁMICA A su vez las secciones se subdividen en COMISIONES y SUBCOMISIONES específicas y GRUPOS DE TRABAJO. 16 8 ORGANIZACIÓN DE LA GEODESIA ACTUAL La IAG colabora con otras organizaciones científicas, organiza y mantiene instituciones permanentes que dan servicio, con sus datos y/o observaciones al resto de la comunidad científica o gubernamental: International Earth Rotation Service (IERS) (BIH +IPMS), París. Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), Sevres. Bureau Gravimétrique International (BGI), Toulouse. International Center of Recent Crustal Movements, Praga. International Center of Earth Tides, Bruselas. Permanent Service for Mean Sea Level (PSMSL), Bidston (Gran Bretaña). International GPS Service (IGS), USA. International Laser Ranging Service (ILRS), USA. International VLBI Service (IVS), USA. International Doris Service (IDS), Toulouse. International Geoid Service (IGeS), Italia. Etc. 17 APLICACIONES DE LA GEODESIA ACTUAL CARTOGRAFÍA Î Apoyo a la realización de cartografía mediante las redes geodésicas. GESTIÓN DE INFRAESTRUCTURAS URBANAS Î Localización de infraestructuras de tipo eléctrico, gas, comunicaciones, etc. PROYECTOS DE INGENIERÍA Î Realización de Cartografía fiable para el proyecto. Conocimiento de las superficies equipotenciales (canales, obras de riego, etc.). DERMARCACIÓN DE LÍMITES ADMINISTRATIVOS Î Apoyo de la geodesia para la determinación de límites nacionales, internacionales, etc. ECOLOGÍA Î Desarrollo industrial, detección y control de movimientos de desechos, etc. GESTIÓN TERRITORIAL Î Utilización de Sistemas de Información Geográficos, necesidad de trabajar con Sistemas de Referencia. GEOGRAFÍA Î Referenciación de las entidades geográficas NAVEGACIÓN Î Capacidad de navegar por toda la Tierra a partir de los Sistemas de referencia 18 globales, necesidad de la Geodesia. 9 1.2. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LA GEODESIA 19 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LA GEODESIA MODELO DE TIERRA PLANA (hasta el 600 a.C.) MODELO DE TIERRA ESFÉRICA (600 a.C. al 1600 d.C.) MODELO DE TIERRA ELIPSOIDAL (desde el 1600 d.C) EL GEOIDE COMO FIGURA DE LA TIERRA GEODESIA ACTUAL (Geodesia Tridimensional y Tetradimensional) 20 10 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LA GEODESIA LAS FORMAS DE LA TIERRA AÑO Forma de la Tierra Descubridor Método >1000 A.C. Plana Babilonios Observación diaria 900 A.C. Disco Convexo Babilonios mirando barcos en el mar 580-500 A.C. Esfera Pitágoras observación diaria 300 A.C. Esfera Eratóstenes Geometría 1687 Elipsoide de revolución Newton Calculo equipotencial 1958 Pera Ann Balie Orbitas de satélites 1960 Geoide: forma de Tierra Desmond King-Hele Orbitas de satélites 21 1.3. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL APLICADA AL ELIPSOIDE 22 11 INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL 1.3. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL. - TEORÍA GENERAL DE CURVAS. 1. Definición de curva en el espacio. 2. Longitud de un arco de curva. 3. Vector tangente a una curva en el Espacio. 4. Vector derivada del vector tangente a una curva en el Espacio. 5. Vector binormal de una curva en el Espacio. - TEORÍA GENERAL DE SUPERFICIES. Aplicación al Elipsoide de Revolución. Definición de Superficie en el Espacio. Parametrización. Geometría del Elipsoide de Revolución. Definición del Elipsoide de Revolución. Parametrización del Elipsoide de Revolución. - Radios de curvatura en el elipsoide de revolución. Determinación de las Ecuaciones Paramétricas del Elipsoide de Revolución. Medida de distancias. Primera Forma Fundamental. Medida de ángulos sobre una superficie. Medida de áreas sobre una superficie. - Curvas sobre el elipsoide de revolución. Sección normal y línea geodésica. Curvaturas (normal, principales, de Gauss total, media y geodésica). 23 TRIEDRO DE FRENET 24 12 DEFINICIÓN DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN Se denomina ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN DE DOS EJES o parámetros, porque si hacemos girar la elipse que pasa por los puntos PP’EE’ de semiejes a y b, respecto de su eje menor b, obtenemos un elipsoide. 25 DEFINICIÓN DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN 26 13 PARAMETRIZACIÓN DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN 27 RADIOS DE CURVATURA PRINCIPALES DEL ELISPOIDE DE REVOLUCIÓN 28 14 NORMAL PRINCIPAL O RADIO DE CURVATURA DEL PRIMER VERTICAL N= (1 − e a 2 ) 1 ⋅ sen 2ϕ 2 29 RADIO DE CURVATURA DEL MERIDIANO O ELIPSE MERIDIANA ρ= ( a ⋅ 1 − e2 (1 − e 2 ) ⋅ sen ϕ 2 ) 3 2 30 15 RADIO DE CURVATURA DE UNA SECCIÓN NORMAL DE ACIMUT CUALQUIERA FÓRMULAS DE EULER Rα = N⋅ρ N ⋅ cos α + ρ ⋅ sen 2α 2 1 cos 2 α sen 2α = + Rα N ρ 31 ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN ESFERA ELIPSOIDE X 2 + Y 2 + Z 2 = R2 X 2 +Y 2 Z2 + 2 =1 a2 b X = R ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ Y = R ⋅ cos ϕ ⋅ senλ Z = R ⋅ senϕ X = N ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ Y = N ⋅ cos ϕ ⋅ senλ Z = N ⋅ (1 − e 2 )⋅ senϕ 32 16 MEDIDA DE DISTANCIAS SOBRE EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN PRIMERA FORMA CUADRÁTICA FUNDAMENTAL I ( du, dv ) = ds 2 = E ⋅ du 2 + 2 F ⋅ du ⋅ dv + G ⋅ dv 2 ESFERA E = R2 F =0 I (dϕ , dλ ) = ds = R ⋅ dϕ + R ⋅ cos ϕ ⋅ dλ 2 2 2 2 2 2 G = R 2 ⋅ cos2 ϕ dsλ = R ⋅ cos ϕ ⋅ dλ dsϕ = R ⋅ dϕ ELIPSOIDE I (dϕ , dλ ) = ds = ρ ⋅ dϕ + N ⋅ cos ϕ ⋅ dλ 2 2 2 2 2 2 E = ρ2 F =0 G = N 2 ⋅ cos2 ϕ dsλ = N ⋅ cosϕ ⋅ dλ dsϕ = ρ ⋅ dϕ 33 LONGITUD DE UN ARCO DE MERIDIANO a ϕ2 ⇒ sϕ = ∫ ρ ⋅ dϕ = 2 2 dϕ ϕ2 (1 − e ) ⋅ ∫ (1 − e DESARROLLO EN SERIE DE POTENCIAS EN (e ⋅ sen ϕ ) ϕ1 ϕ1 2 ⋅ sen 2ϕ ) 3/ 2 2 DETERMINACIÓN DE UN ARCO DE MERIDIANO ENTRE EL ECUADOR Y UN PUNTO DE LATITUD ϕ. HOOIJBERG l .a.m.ϕ = c ⋅ (1 + e′2 ⋅ cos 2 ϕ ) −3 / 2 ⋅ dϕ l .a.m.ϕ = Gm = c ⋅ [Eo ⋅ ϕ + E2 ⋅ sen (2ϕ ) + E4 ⋅ sen (4ϕ ) + E6 ⋅ sen(6ϕ ) + E8 ⋅ sen (8ϕ )] 34 17 LONGITUD DE UN ARCO DE MERIDIANO PROBLEMA DIRECTO l .a.m.ϕ = Gm = c ⋅ [Eo ⋅ ϕ + E2 ⋅ sen (2ϕ ) + E4 ⋅ sen (4ϕ ) + E6 ⋅ sen(6ϕ ) + E8 ⋅ sen (8ϕ )] Siendo: c= a (1 − e ) 2 1/ 2 = a → Radio de curvatura polar (1 − f ) 3 45 175 6 11025 8 43659 10 Eo = 1 − ⋅ e′2 + ⋅ e′4 − ⋅ e′ + ⋅ e′ − ⋅ e′ 4 64 256 16384 65536 3 15 525 6 2205 8 72765 10 E2 = − ⋅ e′2 + ⋅ e′4 − ⋅ e′ + ⋅ e′ − ⋅ e′ 4 16 512 2048 65536 15 105 6 2205 8 10395 10 E4 = + ⋅ e′4 − ⋅ e′ + ⋅ e′ − ⋅ e′ 64 256 4096 16384 35 6 315 8 31185 10 E6 = − ⋅ e′ + ⋅ e′ − ⋅ e′ 512 2048 131072 315 3465 10 E6 = + ⋅ e′8 − ⋅ e′ 16384 65536 35 LONGITUD DE UN ARCO DE MERIDIANO PROBLEMA INVERSO Æ Proceso iterativo de aproximaciones sucesivas Determinación de latitud ϕ de un punto, conociendo la longitud de arco de meridiano entre el punto y el Ecuador. l .a.m.ϕ = Gm = c ⋅ [Eo ⋅ ϕ + E2 ⋅ sen (2ϕ ) + E4 ⋅ sen (4ϕ ) + E6 ⋅ sen(6ϕ ) + E8 ⋅ sen (8ϕ )] 1. Tomamos como valor 0 los términos E2, E4, E6, E8. ⇒ Gm = c ⋅ Eo ⋅ ϕ 2. ⇒ ϕ1 = Gm c ⋅ Eo Con el valor de ϕ1, calculamos los valores de E2, E4, E6, E8 y obtengo un nuevo valor de ϕ. Gm = c ⋅ [Eo ⋅ ϕ 2 + E2 ⋅ sen (2ϕ1 ) + E4 ⋅ sen (4ϕ1 ) + E6 ⋅ sen (6ϕ1 ) + E8 ⋅ sen (8ϕ1 )] ϕ2 = 3. Gm E E E E − 2 ⋅ sen (2ϕ1 ) − 4 ⋅ sen (4ϕ1 ) − 6 ⋅ sen (6ϕ1 ) − 8 ⋅ sen (8ϕ1 ) c ⋅ Eo Eo Eo Eo Eo Repito el paso 2 hasta que entre dos valores consecutivos de ϕ cumpla el criterio de convergencia. ϕn = Gm E E E E − 2 ⋅ sen (2ϕ n −1 ) − 4 ⋅ sen (4ϕ n −1 ) − 6 ⋅ sen (6ϕ n −1 ) − 8 ⋅ sen (8ϕ n −1 ) c ⋅ Eo Eo Eo Eo Eo ϕ − ϕ n −1 ≤ 0′′,00001 36 18 CURVATURA NORMAL Y CURVATURA GEODÉSICA 37 SECCIONES NORMALES MUTUAS 38 19 TRIANGULO GEODÉSICO CON SECCIONES NORMALES MUTUAS 1 ∆′′ = ρ ′′ ⋅ ⋅ e 2 ⋅ σ 2 ⋅ cos 2 ϕ m ⋅ sen2α12 4 39 LÍNEA GEODÉSICA 40 20 PASO DE LA SECCIÓN NOMAL A LA LÍNEA GEODÉSICA 1 1 δ ′′ = ⋅ ρ ′′ ⋅ ⋅ e 2 ⋅ σ 2 ⋅ cos 2 ϕ m ⋅ sen2α12 3 4 41 21