Universidad de Antofagasta
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento de Matemáticas
Guía para trabajo autónomo
Introducción al Álgebra INMT 12
Segundo semestre de 2019
RA 2: Resuelve ejercicios y problemas trigonométricos relacionados a ingeniería.
Sistemas de medición angular
1. ¿Qué sistemas de medición usted conoce? ¿Qué significa el modo en su calculadora DEG, GRAD,
RAD? ¿Cómo se denotan? Buscar 2 ángulos y expresarlo en los tres sistemas de conversión.
2. Determinar en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de los siguientes ángulos,
ubicarlos sobre una circunferencia unitaria. Convertirlo en radianes o a grados según
corresponda:
a)
b)
g)
h)
[
[
]
c)
[
d)
]
e)
f)
[
]
]
Signos de las funciones trigonométricas
3. Determinar el signo de las funciones siguientes:
a)
b)
(
d)
)
c)
e)
Funciones trigonométrica en el triángulo rectángulo
4. Lo siguiente es usado para transformar un número complejo a su forma trigonométrica, polar y
exponencial: Determinar las funciones trigonométrica seno, coseno y tangente para el ángulo
asociado a los siguientes puntos en el plano:
( √
a)
) b)
(
√
√ ) c)
d)
(√
√ )
5. Si usar calculadora, obtener lo que se indica:
a) Si
y
b) Si
c) Si
d) Si
. Calcular las restantes funciones trigonométricas.
y
. Obtener el valor de
= ;
cuadrante. Hallar:
con
,
y
en el primer cuadrante.
Obtener el valor de:
Las siguientes expresiones se usan para obtener integrales mediante método de sustitución
trigonométrica en las asignaturas de Cálculos:
e) Si
f) Si
, obtener el valor de
, obtener el valor de
1
g) Si
|
obtener el valor de
√
h) Si √
, obtener el valor de
|
|
|
Funciones trigonométrica para ángulos notables
6. Deducir los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantales y notables.
7. Calcular los valores de las expresiones siguientes, sin usar calculadora
a)
c)
b)
(
)
(
)
(
d)
)
Fórmula de reducción
a) Sin usar calculadora reducir a su mínima expresión:
b) Si
es un ángulo agudo y
c) Si
es un ángulo agudo simplificar
d) Si
(
)
(
)
(
)
, obtener
Obtener el valor de x, si
Ejercicios de Aplicación, usando triángulo rectángulo.
8. Desde la cima de un faro, se observa un bote con un ángulo de depresión de
una altura de 60m. , calcular la distancia entre el bote y la base del faro.
. Si el faro tiene
9. Calcular el radio de la circunferencia que se obtiene al utilizar un compás cuyos brazos miden
10cm si éstos forman un ángulo de
Respuesta:
10. El ángulo de elevación de un cometa cuando se han soltado 50m. de hilo es 300.¿Cuàl es la altura
del cometa?
11. Un observador mide, desde un punto fijo P, los ángulos de elevación a las partes más altas de 2
torres que están al este, obteniendo para la más cercana un ángulo de
y para la que está más
lejos un ángulo de
. Si la distancia entre el observador y la torre más cercana es de 100
metros y ésta tiene una altura
m mayor que la otra,
a) ¿Cuál es la altura de la torre más alejada?
b) ¿Qué distancia separa a las torres?
2
Respuesta: a) La altura de la torre más alejada es
torres es
metros.
metros, b) La distancia entre las dos
12. Mariana observa un castillo desde su casa bajo un ángulo de
. Luego de unos minutos sale a
dar un paseo y estando a
metros de su casa, observa el mismo castillo bajo un ángulo de
¿A qué distancia de ella y de su casa, se encuentra dicho castillo?
13. Desde una determinada distancia, una bandera situada en la parte superior de un torreón se
observa con un ángulo de 47º. Si nos acercamos 17,8 metros al torreón, la bandera se observa
con un ángulo de 75º. Respuesta: La bandera se encuentra a unos 26,78 metros de altura.
Identidades Trigonométricas
14. Verificar las siguientes identidades:
a)
–
b)
c)
d)
e)
f)
(
)
Ecuaciones trigonométricas
15. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas para
a)
b)
c)
d)
e)
Sol: {
}
3
f)
g)
Sol: {
}
√
Sol: {
}
Identidades y Ecuaciones con ángulos dobles
16. Demostrar las siguientes identidades:
a)
b)
17. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) Sen(2x) = tan(x)
b)
sec(θ)
Problemas de aplicación usando usando Teoremas del Seno o Coseno.
18. En los siguientes triángulos, obtener la medida de los lados y de los ángulos restantes.
19. Se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo ángulo α mide
47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo. Respuesta: El lado a mide aproximadamente 48.27
cm.
20. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Boris hay 25 metros, y entre Boris y
Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20 °. Calcular la distancia
entre Alberto y Camilo. Respuesta: La distancia es 35.94 m
4
21. Carlos y Felipe deciden competir en carreras alrededor de un parque. El parque tiene forma de
triángulo con vértices A, B y C, ángulos α = 57° y γ = 76º y lados AC = 52 m y AB = 45 m. Carlos
parte del vértice A y Felipe parte del vértice B. La meta para ambos es el vértice C, pero cada uno
debe pasar por el vértice del cual partió el otro antes de dirigirse hacia C. Si los dos corren a la
misma velocidad y salen al mismo tiempo, el ganador es quien recorra menos distancia ¿cuál de
los dos amigos ganará la competición?
Respuesta: Carlos recorre una distancia de 84,21 m y Felipe una distancia de 97 m. Po lo tanto
Carlos es el ganador
22. El trayecto de un cuadriatlón (competición deportiva de cuatro disciplinas) está trazado entre
cinco puntos (o vértices): A, B, C, D y E.
Kayak
El tramo AB son 9 km de ciclismo, el tramo BC son 3 km de natación, el tramo CD son 5km de
atletismo y el tramo BD son 5km de Kayak.
En el vértice E hay una parada para tomar agua, la distancia entre los vértices C y E es de 0.95 km y
los ángulos α y β miden 72.58° y 54° respectivamente.
Calcular:
a. Distancias a (tramo EB) y b (tramo DE).
b. Distancia del inicio a la parada a tomar agua (tramo AE).
c. Ángulo γ.
5
Respuesta: a) Las distancias
parada es ̅̅̅̅
, c)
y
b) la distancia del inicio a la
23. Un camino recto hace un ángulo de
con respecto a la horizontal. Desde el punto A sobre el
camino, el ángulo de elevación a un avión es de
. En el mismo instante, desde otro punto B
situado a
.
Encuentre
a) La distancia del punto A hasta el avión y
b) La altura a la que vuela el avión con respecto a la horizontal.
Respuesta: a) La distancia desde el punto A hasta el avión es de 1022,88 metros b) La altura a la
que vuela el avión con respecto a la horizontal es de 1012, 92 metros.
Variación de las gráficas de las funciones seno y coseno.
24. A partir de las gráficas de las funciones seno y coseno, graficar las siguientes funciones, indicando
variación o reducción vertical/horizontal, desplazamiento y período.
a)
c)
( )
b)
d)
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