0.1 Números reales

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_1.html
0.1 Números reales
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal,
incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los
números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las
fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales
nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son
√ 2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045
...
Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado
aquí.
Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto
corresponde a b está a la derecha del punto que corresponde a a.
Intervalos
Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados intervalos, se encuentra
frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta para representarlos.
Notación de intervalo
La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos.
Cerrado
Abierto
Semiabierto
Intervalo
Descripción
[a, b]
Conjunto de números x tales
que
a≤x≤b
(a, b)
Conjunto de números x tales
que
a<x<b
Dibujo
Ejemplo
[0, 10]
(incluye puntos
extremos)
(-1, 5)
(excluye puntos
extremos)
(a, b]
Conjunto de números x tales
que
a<x≤b
(-3, 1]
[a, b)
Conjunto de números x tales
que
a≤x<b
[-4, -1)
Infinito [a, +∞) Conjunto de números x tales
que
a≤x
[0, +∞)
(a, +∞) Conjunto de números x tales
que
a<x
(-3, +∞)
(-∞, b] Conjunto de números x tales
que
x≤b
(-∞, 0]
(-∞, b) Conjunto de números x tales
que
x<b
(-∞, 8)
(-∞, +∞) Conjunto de todos números
reales
(-∞,
+∞)
Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos. Intervalos
abiertos no tienen pntos extremos, y cada intervalo semiabierto tiene un solo punto
extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo.
CONCU
RSO
P1
2
es
un elemento de (-5, 2)
AYUDA
un elemento de [-5, 2)
AYUDA
el número más grande en (-5, 2)
AYUDA
no es
P2
-5
es
no es
P3
1
es
no es
P4 [0, +∞)
es
el conjunto de todos los números positivos AYUDA
no es
P5 (-∞, 0)
es
el conjunto de todos los números negativos AYUDA
no es
P5 0 y 2
son
no son
Operaciones
los puntos extremos de [0, 2)
AYUDA
Las cinco operaciones más común del conjunto de números reales son:

adició
n

subtractio
n

multiplicaci
ón

divisio
n

exponenciaci
ón
"Exponenciación" quiere decir elevar un número a un potencia; por ejemplo, 23 = 2.2.2 = 8.
Cuando escribimos una expresión conteniendo dos o más que dos de las expresiones, por
ejemplo
2 . 32 - 5
2(3 - 5) + 4 . 5, o
,
4 - (-1)
Estamos de acuerdo en usar las siguientes reglas para decidir el orden en que hacemos las
operaciones:
El orden estándar de operaciones
1. Paréntesis y rayas de quebrado
Se calcula primero los valores de todas las expresiones entre paréntesis o corchetes
(usando el orden estándar de operaciones) avancando de los paréntesis interiores hacía
los exteriores, antes de usarlos en otras operaciones. En una fracción se calcula por
separado el numerador y el denominador antes de hacer la división.
2. Exponentes
A continuación, se eleva todos los números a las potencias indicadas.
3. Multiplicación y división
Después, se hace todas las multiplicaciones y divisiones, avancando de izquierda a
derecha.
4. Suma y resta
Por último, se hace las sumas y restas de izquierda a derecha.
Notas sobre tecnología


La mayoría de las calculadores y hojas de cálcula usan un asterisco * para
multiplicación y un virgula ^ para exponenciación. Por ejemplo se ingresa, 3×5
como 3*5, 3x como 3*x, y 32 se ingresa como 3^2.
Se usa siempre paréntesis ( ) y nunca paréntesis cuadrados [ ], ni corchetes { } para
expresiones algebraicas, pues tienen otros significados los últimos. Por ejemplo, se
ingresaría 2[(4 + 3)/2] como 2*((4+3)/2)
CONCU
RSO
P1 Una válido primer paso en la calculación de (23 - 4) .5 es
A (6 - 4) .5
B
C 23 - 20
(8 - 4) .5
AYUDA
P2 Por tanto, la calculación completo es (23 - 4) .5 =
A 20
B -12
C 36
D
2
es
P3 La cantidad 2/32-5
AYUDA
igual a
3 -5
2
no es
es
P4 La cantidad 3*2/3+1
AYUDA
42
igual a (3*(2/3))+1 . AYUDA
no es
4(1 - 4)2
P5 La cantidad
is igual a
-9(5 - 3)
2
3
P6 La cantidad
2
2
is igual a
4-5
P7 Si x = 2, entonces 2*(1+0.1)^2*x is igual a
P8 Si x = 2, entonces (2-6/4-2)^x
is igual a
Captura de Formulas
Toda buena calculadora o hoja de cálculo respeta el orden estándar de las operaciones. Sin
embargo debemos tener cuidado con división y multiplicación y tenemos frecuentemente
que usar paréntesis. La siguiente tabla muestra algunos ejemplos de expresiones
matemáticas sencillas y sus formas equivalentes en el formato que se usa en el mayor parte
de calculadoras gráficadoras, lenguajes de computadora, y hojas de cálcula. Incluya
también algunas que tienen que hacer usted.
Expresión
matemática
Formula para
tecnología
Comentarios
2/(3-5)
Nótese el uso de paréntesis en lugar de la
raya de quebrado. Si lo omitimos,
obtenemos la expresión siguiente.
2
3-5
2
- 5
3
2-x
3+x
2
×5
(2/3)*5
Metiendo primero la fracción entre
paréntesis se segura que está calculada
primero.
2^(3*x) - 2
La virgula "^" se seule usar para indicar
exponenciación. El par de paréntesis es
necesario para contar a la computadora
donde empieza y termina el exponente.
3
2
3x - 5
2x + y
1 + xy
2
x
3
y
23x - 2
23-2 5
2-7
3
23x-4
8
e2x - 1
2+e2x-1
Nótese otra vez el uso de paréntesis para
2^(3-2)*5/(2-7)
mantener unido el denominador.
or
Podríamos encerrar el numerador en
(2^(3-2)*5)/(2-7)
paréntesis, pero es opcional (¿por qué?).