http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_1.html 0.1 Números reales Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son √ 2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045 ... Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí. Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b está a la derecha del punto que corresponde a a. Intervalos Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados intervalos, se encuentra frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta para representarlos. Notación de intervalo La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos. Cerrado Abierto Semiabierto Intervalo Descripción [a, b] Conjunto de números x tales que a≤x≤b (a, b) Conjunto de números x tales que a<x<b Dibujo Ejemplo [0, 10] (incluye puntos extremos) (-1, 5) (excluye puntos extremos) (a, b] Conjunto de números x tales que a<x≤b (-3, 1] [a, b) Conjunto de números x tales que a≤x<b [-4, -1) Infinito [a, +∞) Conjunto de números x tales que a≤x [0, +∞) (a, +∞) Conjunto de números x tales que a<x (-3, +∞) (-∞, b] Conjunto de números x tales que x≤b (-∞, 0] (-∞, b) Conjunto de números x tales que x<b (-∞, 8) (-∞, +∞) Conjunto de todos números reales (-∞, +∞) Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos. Intervalos abiertos no tienen pntos extremos, y cada intervalo semiabierto tiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo. CONCU RSO P1 2 es un elemento de (-5, 2) AYUDA un elemento de [-5, 2) AYUDA el número más grande en (-5, 2) AYUDA no es P2 -5 es no es P3 1 es no es P4 [0, +∞) es el conjunto de todos los números positivos AYUDA no es P5 (-∞, 0) es el conjunto de todos los números negativos AYUDA no es P5 0 y 2 son no son Operaciones los puntos extremos de [0, 2) AYUDA Las cinco operaciones más común del conjunto de números reales son: adició n subtractio n multiplicaci ón divisio n exponenciaci ón "Exponenciación" quiere decir elevar un número a un potencia; por ejemplo, 23 = 2.2.2 = 8. Cuando escribimos una expresión conteniendo dos o más que dos de las expresiones, por ejemplo 2 . 32 - 5 2(3 - 5) + 4 . 5, o , 4 - (-1) Estamos de acuerdo en usar las siguientes reglas para decidir el orden en que hacemos las operaciones: El orden estándar de operaciones 1. Paréntesis y rayas de quebrado Se calcula primero los valores de todas las expresiones entre paréntesis o corchetes (usando el orden estándar de operaciones) avancando de los paréntesis interiores hacía los exteriores, antes de usarlos en otras operaciones. En una fracción se calcula por separado el numerador y el denominador antes de hacer la división. 2. Exponentes A continuación, se eleva todos los números a las potencias indicadas. 3. Multiplicación y división Después, se hace todas las multiplicaciones y divisiones, avancando de izquierda a derecha. 4. Suma y resta Por último, se hace las sumas y restas de izquierda a derecha. Notas sobre tecnología La mayoría de las calculadores y hojas de cálcula usan un asterisco * para multiplicación y un virgula ^ para exponenciación. Por ejemplo se ingresa, 3×5 como 3*5, 3x como 3*x, y 32 se ingresa como 3^2. Se usa siempre paréntesis ( ) y nunca paréntesis cuadrados [ ], ni corchetes { } para expresiones algebraicas, pues tienen otros significados los últimos. Por ejemplo, se ingresaría 2[(4 + 3)/2] como 2*((4+3)/2) CONCU RSO P1 Una válido primer paso en la calculación de (23 - 4) .5 es A (6 - 4) .5 B C 23 - 20 (8 - 4) .5 AYUDA P2 Por tanto, la calculación completo es (23 - 4) .5 = A 20 B -12 C 36 D 2 es P3 La cantidad 2/32-5 AYUDA igual a 3 -5 2 no es es P4 La cantidad 3*2/3+1 AYUDA 42 igual a (3*(2/3))+1 . AYUDA no es 4(1 - 4)2 P5 La cantidad is igual a -9(5 - 3) 2 3 P6 La cantidad 2 2 is igual a 4-5 P7 Si x = 2, entonces 2*(1+0.1)^2*x is igual a P8 Si x = 2, entonces (2-6/4-2)^x is igual a Captura de Formulas Toda buena calculadora o hoja de cálculo respeta el orden estándar de las operaciones. Sin embargo debemos tener cuidado con división y multiplicación y tenemos frecuentemente que usar paréntesis. La siguiente tabla muestra algunos ejemplos de expresiones matemáticas sencillas y sus formas equivalentes en el formato que se usa en el mayor parte de calculadoras gráficadoras, lenguajes de computadora, y hojas de cálcula. Incluya también algunas que tienen que hacer usted. Expresión matemática Formula para tecnología Comentarios 2/(3-5) Nótese el uso de paréntesis en lugar de la raya de quebrado. Si lo omitimos, obtenemos la expresión siguiente. 2 3-5 2 - 5 3 2-x 3+x 2 ×5 (2/3)*5 Metiendo primero la fracción entre paréntesis se segura que está calculada primero. 2^(3*x) - 2 La virgula "^" se seule usar para indicar exponenciación. El par de paréntesis es necesario para contar a la computadora donde empieza y termina el exponente. 3 2 3x - 5 2x + y 1 + xy 2 x 3 y 23x - 2 23-2 5 2-7 3 23x-4 8 e2x - 1 2+e2x-1 Nótese otra vez el uso de paréntesis para 2^(3-2)*5/(2-7) mantener unido el denominador. or Podríamos encerrar el numerador en (2^(3-2)*5)/(2-7) paréntesis, pero es opcional (¿por qué?).