See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/283506567 Modelos Mixtos en Infostat. Manual de Usuario Book · June 2011 CITATIONS READS 0 1,009 3 authors: Julio Alejandro Di Rienzo Raul Macchiavelli National University of Cordoba, Argentina University of Puerto Rico at Mayagüez 211 PUBLICATIONS 2,447 CITATIONS 111 PUBLICATIONS 900 CITATIONS SEE PROFILE Fernando Casanoves CATIE - Centro Agronómico Tropical de Investigación y Enseñanza 329 PUBLICATIONS 5,903 CITATIONS SEE PROFILE Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Statistical consulting View project Resistance induction in mango View project All content following this page was uploaded by Fernando Casanoves on 11 December 2015. The user has requested enhancement of the downloaded file. SEE PROFILE Modelos Lineales Mixtos Aplicaciones en InfoStat Julio A. Di Rienzo Raúl Macchiavelli Fernando Casanoves Actualizado en febrero de 2012 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Julio A. Di Rienzo es Profesor Asociado de Estadística y Biometría de la Facultad de Ciencias Agropecuarias de la Universidad Nacional de Córdoba, Argentina. Director del grupo de desarrollo de InfoStat y responsable de la implementación de la interfase con R que se presenta en esta obra ([email protected]). Raúl E. Macchiavelli es Catedrático de Biometría en el Facultad de Ciencias Agrícolas, Universidad de Puerto Rico - Mayagüez ([email protected]) Fernando Casanoves es el Jefe de la Unidad de Bioestadística del Centro Agronómico Tropical de Investigación y Enseñanza (CATIE). Anteriormente trabajó en la Facultad de Ciencias Agropecuarias de la Universidad Nacional de Córdoba, Argentina, donde participó del desarrollo de InfoStat ([email protected]). Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Di Rienzo, Julio Alejandro Modelos lineales mixtos : aplicaciones en InfoStat / Julio Alejandro Di Rienzo Raúl Edgardo Macchiavelli.; Fernando Casanoves - 1a. ed. - Córdoba : Grupo Infostat, 2011. 193 p. : il. ; 23x15 cm. ISBN 978-987-27045-0-6 1. Estadísticas. 2. Aplicaciones Informaticas. I. Casanoves, Fernando II. Macchiavelli, Raúl Edgardo. III. Título. CDD 310.4 Fecha de catalogación: 27/06/2011 AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen a las Estadísticas Yuri Marcela García Saavedra y Jhenny Liliana Salgado Vásquez, de la Universidad del Tolima, Colombia, por la lectura crítica del manuscrito, la reproducción de la ejemplificación de este manual y los aportes sobre algunos detalles de la interfaz. Modelos Lineales Mixtos en InfoStat INDICE DE CONTENIDOS Introducción ................................................................................................................................ 1 Requerimientos ........................................................................................................................... 1 Invocación del procedimiento de modelos lineales generales y mixtos .................................. 1 Especificación de los efectos fijos............................................................................................... 2 Especificación de los efectos aleatorios ..................................................................................... 4 Comparación de medias de tratamientos.................................................................................. 8 Especificación de la estructura de correlación y de varianza de los errores ....................... 13 Especificación de la estructura de correlación........................................................................ 13 Especificación de la parte fija .......................................................................................................... 15 Especificación de la parte aleatoria ................................................................................................. 16 Especificación de la correlación de los errores ............................................................................... 17 Especificación de la estructura de varianzas de los errores .................................................... 25 Análisis de un modelo ajustado .............................................................................................. 28 Ejemplos de Aplicación de Modelos Lineales Generales y Mixtos ....................................... 33 Estimación de componentes de varianza ................................................................................ 34 Efectos aleatorios cruzados con interacción ........................................................................... 56 Aplicación de modelos mixtos para datos estratificados ........................................................ 60 Parcelas divididas ............................................................................................................................ 60 Parcelas divididas en un arreglo en bloques.................................................................................... 61 Parcelas divididas en un arreglo en diseño completamente aleatorizado........................................ 71 Parcelas subdivididas (split-split plot) ............................................................................................. 79 Aplicación de modelos mixtos para mediciones repetidas en el tiempo ................................ 88 Datos longitudinales ......................................................................................................................... 88 Análisis de un ensayo de establecimiento de forrajeras ................................................................... 89 Análisis de un ensayo de drogas para asma ................................................................................... 108 Análisis de ensayo de descomposición ........................................................................................... 124 Uso de modelos mixtos para el control de la variabilidad espacial en ensayos agrícolas .... 138 Correlación espacial ...................................................................................................................... 138 Análisis de un ensayo comparativo de rendimientos en maní ........................................................ 139 Aplicaciones de modelos mixtos en otros diseños experimentales ...................................... 161 Diseño en franjas (strip-plot) ......................................................................................................... 161 Diseño experimental con dos factores y dependencia espacial ...................................................... 169 Diseños de testigos apareados........................................................................................................ 182 Aplicaciones en regresión lineal ........................................................................................... 194 Regresión con coeficientes aleatorios ............................................................................................ 194 Regresion heteroscedástica ............................................................................................................ 198 Bloques incompletos y diseños relacionados ....................................................................... 212 ii Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Diseños Alfa látices ........................................................................................................................ 212 Diseño fila-columna latinizado ....................................................................................................... 220 Diseño en látice cuadrado equilibrado .......................................................................................... 227 Referencias............................................................................................................................... 237 Índice de cuadros .................................................................................................................... 240 Índice de figuras ...................................................................................................................... 240 iii Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Introducción InfoStat implementa una interfase amigable de la plataforma R para la estimación de modelos lineales generales y mixtos a través de los procedimientos gls y lme de la librería nlme. La bibliografía de referencia de esta implementación, así como alguno de los ejemplos utilizados, corresponde a Pinheiro y Bates (2004). La interfaz con R fue escrita en Delphi® y depende de R-DCOM, un servidor de R que permite correr R en background. R-DCOM es debido a Thomas Baier y Erich Neuwirth. El R-DCOM es accedido desde Delphi gracias a las rutinas desarrolladas por Dieter Menne. Requerimientos Para que InfoStat pueda tener acceso a R, debe estar instalado en su sistema el componente DCOM y R. Para ello consulte la ayuda en línea (aquí) o utilice el enlace que se encuenta en el menú. Aplicaciones de InfoStat. Invocación del procedimiento de modelos lineales generales y mixtos En el menú Estadísticas seleccionar el submenú Modelos lineales generales y mixtos, allí encontrará dos opciones. La primera, con el rótulo Estimación, invoca la ventana de diálogo que permite especificar la estructura del modelo. La segunda, rotulada Análisis –exploración de modelos estimados, se activa cuando algún modelo ha sido estimado previamente y contiene un conjunto de herramientas para el análisis diagnóstico. 1 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Especificación de los efectos fijos Comenzaremos indicando cómo ajustar un modelo de efectos fijos, utilizando el archivo Atriplex.IDB2 del conjunto de datos de prueba de InfoStat. Una vez abierto este archivo activar el menú Estadísticas, submenú Modelos lineales mixtos, opción Estimación. En la ventana de selección de variables, los factores de clasificación, covariables y variables dependientes pueden ser especificados como en un análisis de la varianza para efectos fijos. Para los datos en el archivo Atriplex.IDB2 especificar PG como variable respuesta y como criterios de clasificación a Tamaño y Episperma. Una vez que se acepta la selección realizada se mostrará la ventana principal de la interfase para modelos mixtos. Esta ventana contiene cinco solapas (Figura 1). Figura 1: Solapas con las opciones para especificación de un modelo lineal general y mixto. La primera permite especificar los efectos fijos del modelo y seleccionar opciones para la presentación de resultados y la generación de predicciones, obtener residuos del modelo y especificar el método de estimación. Por defecto el método de estimación es máxima verosimilitud restringida (REML). A la derecha de la ventana aparecerá una lista conteniendo las variables de clasificación y las covariables declaradas en la ventana de selección de variables. Para incluir un factor (variable de clasificación) o una covariable a la parte fija del modelo, basta hacer doble clic sobre el nombre del factor o covariable que se quiere incluir. Esta acción agregará una línea en la lista de efectos fijos. Doble clics adicionales sobre un factor o una covariable agregarán términos en líneas sucesivas, implícitamente separados por un signo “+” (modelo aditivo). Seleccionando con el ratón los factores principales y accionando el botón “*” se introduce un término que especifica la interacción entre los factores. Para el conjunto de datos en el archivo Atriplex.IDB2, incluir en el modelo de efectos fijos los factores Tamaño, Episperma y su interacción (Figura 2). Algunos de los textos en estas ventanas han sido aumentados de tamaño para mejorar su visualización (esto se logra moviendo el roller del ratón mientras la tecla Ctrl del teclado esta apretada). 2 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Si aceptamos esta especificación, en la ventana de resultados de InfoStat se obtendrá la salida que se muestra a continuación de la Figura 2. La salida que se obtiene es la más sencilla ya que no se han especificado características adicionales del modelo u otras opciones de análisis. La primera parte contiene la especificación de la forma en que se invocó la estimación del modelo en la sintaxis de R, e indica el nombre del objeto R que contiene al modelo y su estimación. En este caso modelo001_PG_REML. Esta especificación es sólo de interés para aquellos que están acostumbrados a ver las sentencias en R. La segunda parte muestra medidas de ajuste que son útiles para comparar distintos modelos ajustados a un conjunto de datos. AIC hace referencia al criterio de Akaike, BIC al Criterio Bayesiano de Información, logLik al logaritmo de la verosimilitud y Sigma a la desviación estándar residual. La tercera parte de esta salida presenta una tabla de análisis de la varianza mostrando las pruebas de hipótesis de tipo secuencial. Figura 2: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Atriplex.IDB2. 3 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo001_PG_REML<-gls(PG~1+Tamano+Episperma+Tamano:Episperma ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data01) Resultados para el modelo: modelo001_PG_REML Variable dependiente:PG Medidas de ajuste del modelo N 27 AIC 160.36 BIC 169.26 logLik -70.18 Sigma R2_0 9.07 0.92 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Tamano Episperma Tamano:Episperma numDF F-value 1 1409.95 2 10.49 2 90.53 4 2.29 p-value <0.0001 0.0010 <0.0001 0.0994 Especificación de los efectos aleatorios Los efectos aleatorios están asociados a grupos de observaciones. Ejemplos típicos son las medidas repetidas sobre un mismo individuo o las respuestas observadas en grupos de unidades experimentales homogéneas (bloques) o en los individuos de un mismo grupo familiar, etc. Estos efectos aleatorios son “agregados” a los efectos fijos de manera selectiva. Por lo tanto, en la especificación de los efectos aleatorios es necesario tener uno o más criterios de agrupamiento o estratificación, y elegir sobre qué efectos fijos se agregan los efectos aleatorios asociados. En el procedimiento lme de R, sobre el que se basa esta implementación, cuando hay más de un criterio de agrupamiento admisible, el criterio por omisión es que estos son anidados o encajados. Sin embargo existe la posibilidad de declarar términos aleatorios cruzados. En el módulo de Modelos lineales generales y mixtos de InfoStat, solapa Efectos aleatorios, se usa el símbolo > para declarar un factor anidado (A>B indica que B esta anidados en A); el símbolo + se usa para declarar factores cruzados (A+B indica que A y B son factores cruzados); el símbolo * se usa para declarar interacciones (A*B explicita la interacción entre A y B). Estos símbolos pueden directamente escribirse en la ventana, o bien, pulsando el botón 4 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat derecho del ratón sobre dos o más factores, previamente seleccionados, aparece una ventana con estas opciones. En la segunda solapa del diálogo de especificación del modelo podemos elegir los criterios de estratificación o agrupamiento y la forma en que éstos incorporan efectos aleatorios a los componentes fijos. Para ejemplificar la especificación de los efectos aleatorios consideremos el archivo de prueba Bloque.IDB2. Este archivo contiene tres columnas: Bloque, Tratamiento y Rendimiento. En este ejemplo indicaremos que los bloques fueron seleccionados en forma aleatoria o producen un efecto aleatorio (por ejemplo, si los bloques son conjuntos de parcelas, el efecto de estos puede ser considerado aleatorio ya que su respuesta dependerá entre otras cosas de condiciones ambientales que no son predecibles), mientras que los tratamientos agregan efectos fijos. Para especificar este modelo, las dos primeras columnas del archivo de pruebas Bloque.IDB2 (Bloque y Tratamiento) se ingresarán como criterios de clasificación y la última (Rendimiento) como variable dependiente. El factor Tratamiento se incluirá en la solapa Efectos fijos como el único componente de esa parte del modelo. Para agregar el efecto aleatorio de los bloques, seleccionaremos la solapa Efectos aleatorios. Cuando se selecciona ésta solapa la lista Criterios de estratificación está vacía. Haciendo doble clic sobre Bloque en la lista de variables, se agrega este factor de clasificación, como criterio de agrupamiento. La inclusión de un criterio de estratificación activa, en el panel inferior, un dispositivo que permite detallar la forma en que el efecto aleatorio entra en el modelo. En éste dispositivo hay una lista de componentes de la parte fija de modelo. El primer componente hace referencia a la Constante y el resto a los otros términos, en este caso Tratamiento (Figura 3). 5 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 3: Ventana desplegada con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Bloque.IDB2. Dentro de la lista de términos fijos aparecen los criterios de estratificación previamente especificados. La combinación de ambas listas define los efectos aleatorios. Para ello, cada criterio de estratificación, dentro de cada efecto fijo, tiene asociado un check box. Cuando éste está tildado indica que hay un conjunto de efectos aleatorios asociados al efecto fijo correspondiente. El número de efectos aleatorios es igual al número de niveles que tiene el término fijo del modelo o a 1 en el caso de la constante o de las covariables. En el ejemplo que se ilustra se está incluyendo un efecto aleatorio inducido por los bloques sobre la constante. Esta especificación representa al siguiente modelo: yij = µ + τ i + b j + ε ij ; i = 1,.., T ; j = 1,..., B (1) donde yij es la respuesta al i-ésimo tratamiento en el j-ésimo bloque, µ la media general de rendimientos, τ i los efectos fijos de los tratamientos, b j el cambio del nivel medio de yij asociado al j-ésimo bloque y ε ij el término de error asociado a la 6 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat observación yij . T y B son el número de niveles del factor de clasificación correspondiente al efecto fijo Tratamiento y al número de bloques respectivamente. Los b j se consideran, a diferencia de un efecto fijo, como variables aleatorias idénticamente ( distribuidas N 0, σ b2 ) y cuyas realizaciones se interpretan como los efectos de los distintos grupos o estratos (bloques, en este ejemplo). Luego, en estos modelos, los b j no se estiman, lo que se estima es el parámetro σ b2 que caracteriza a su distribución. Los ε ij también se interpretan como variables aleatorias idénticamente distribuidas N ( 0, σ ε2 ) y describen a los errores aleatorios asociados a cada observación. Se supone, además, que las variables aleatorias b j y ε ij son independientes. La salida del ejemplo se muestra a continuación. La parte nueva de esta salida, respecto del ejemplo con el modelo lineal de efectos fijos, es que tiene una sección de parámetros para los efectos aleatorios. Especificación del modelo en R modelo002_Rendimiento_REML<-lme(Rendimiento~1+Tratamiento ,random=list(Bloque=pdIdent(~1)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data03 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo003_Rendimiento_REML Variable dependiente:Rendimiento Medidas de ajuste del modelo N 20 AIC 218.77 BIC 223.73 logLik -102.39 Sigma 160.65 R2_0 0.89 R2_1 0.93 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Tratamiento numDF denDF F-value 1 12 2240.00 4 12 41.57 p-value <0.0001 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (const) (const) 0.57 7 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat En este caso se presenta la estimación de σ b (la desviación estándar de los b j relativa al residual) como 0.57. Al comienzo de la salida puede observarse la estimación de σ ε , la desviación estándar de los ε ij , como 160.65. Así, la varianza de los bloques puede calcularse como: σ b2 = (0.57 ×160.65) 2 = 8385.15 Comparación de medias de tratamientos Siguiendo en la solapa Comparaciones (Figura 4), si en el panel que lista los términos fijos del modelo se tilda alguno de ellos, se obtiene una tabla de medias y errores estándares y una comparación múltiple entre medias del tipo LSD de Fisher (esta prueba está basada en una prueba de Wald) o la prueba de formación de grupos excluyentes DGC (Di Rienzo et ál. 2002). También se presentan varias opciones de corrección por comparaciones múltiples. Figura 4: Ventana desplegada con la solapa Comparaciones para los datos del archivo Bloque.IDB2. 8 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat La salida correspondiente a la comparación de las medias de tratamientos se presenta a continuación. Medias ajustadas y errores estándares para Tratamiento LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Tratamiento 300 225 150 75 0 Medias 3237.75 3093.50 2973.00 2498.50 1972.75 E.E. 92.47 A 92.47 A 92.47 92.47 92.47 B B C D Medias con una letra común no son significativamente diferentes(p<= 0.05) La comparación de medias de tratamientos se muestra de la forma clásica como una lista ordenada en forma decreciente. Si el usuario desea controlar el error tipo I para la familia de todas las comparaciones de a pares, puede optar por alguno de los cuatro criterios implementados: Bonferroni (Hsu 1996), Sidak (Hsu 1996), Benjamini-Hochberg (Benjamini y Hochberg 1995) o Benjamini-Yekutieli (Benjamini y Yekutieli 2001). Si para este mismo conjunto de datos se selecciona la opción Bonferroni, se obtiene el siguiente resultado: Medias ajustadas y errores estándares para Tratamiento LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: Bonferroni Tratamiento 300 225 150 75 0 Medias 3237.75 3093.50 2973.00 2498.50 1972.75 E.E. 92.47 A 92.47 A 92.47 A 92.47 92.47 B B B B Medias con una letra común no son significativamente diferentes(p<= 0.05) En el caso de que haya más de un efecto aleatorio, InfoStat permite especificar estructuras complejas de anidamiento (jerarquización) y/o cruzamiento (con o sin interacción). Supongamos que hay un factor fijo (A) y tres factores aleatorios (B, C, y D). Para especificar los términos de efectos aleatorios anidados (la opción por defecto), simplemente se listan los factores en orden jerárquico en la solapa de Efectos aleatorios (Figura 5) 9 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 5: Ventana desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso B, C y D se incluyen como efectos aleatorios anidados. Esta formulación es equivalente a escribir la siguiente sentencia (Figura 6). Figura 6: Ventana desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso B, C y D se incluyen como efectos aleatorios anidados (forma explícita). La incorporación de efectos cruzados sin interacción se realiza seleccionando todos los factores a cruzar en la ventana de variables, y oprimiendo el ratón derecho para colocar los efectos cruzados en la ventana de Criterios de estratificación (Figura 7) 10 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 7: desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso D y C se incluyen como efectos aleatorios cruzados. La incorporación de efectos cruzados con interacción se realiza agregando a la especificación anterior el(los) efecto(s) de interacción deseados (Figura 8) Figura 8: desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso D y C se incluyen como efectos aleatorios cruzados con interacción. Para combinar efectos aleatorios anidados y cruzados se pueden usar diferentes líneas en la ventana Criterios de estratificación. Por ejemplo, para especificar un modelo con C y D cruzados con interacción y el efecto B anidado en el efecto principal de C especificamos como en la Figura 9. 11 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 9: Ventana desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso D y C se incluyen como efectos aleatorios cruzados con interacción y B esta anidado en C. Para especificar los efectos de B y C ambos anidados dentro de A (recordemos que A es fijo), escribimos en la ventana de Criterios de estratificación como en la Figura 10. Figura 10: Ventana desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso B y C se incluyen como efectos aleatorios cruzados, ambos anidados dentro del factor fijo A. Para especificar el efecto de B y los efectos de D y C (todos aleatorios) ambos anidados dentro de B (cruzados entre sí), escribimos en la ventana de Criterios de estratificación como en la Figura 11. Figura 11: desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso C y D se incluyen como efectos aleatorios cruzados, ambos anidados en el efecto aleatorio B. 12 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat En todos los casos en que se usan arreglos no anidados de efectos aleatorios, la única estructura de la matriz de covarianza de estos efectos aleatorios disponible es la estructura de independencia entre efectos aleatorios y varianzas iguales para realizaciones distintas de un mismo efecto. Se pueden también especificar modelos de regresión con coeficientes aleatorios, pero la sintaxis es diferente (ver ejemplo de Aplicaciones en regresión lineal). Especificación de la estructura de correlación y de varianza de los errores Las estructuras de varianzas y de covarianzas pueden modelarse separadamente. Para ello, InfoStat presenta dos solapas: en la solapa Correlación se encuentran las opciones para especificar la estructura de correlación de los errores y la solapa Heteroscedasticidad permite seleccionar distintos modelos para la función de varianza. A continuación se describen los contenidos de estas solapas. Especificación de la estructura de correlación Para ejemplificar la utilización de esta herramienta recurriremos a un ejemplo citado en Pinheiro y Bates (2004). Corresponde al archivo “Ovary” que contiene los datos de un estudio de Pierson y Ginther (1987) sobre el número de folículos mayores de 10 mm en ovarios de yeguas (mare). Estos números se registraron a los largo del tiempo desde 3 días antes de la ovulación y hasta 3 días después de la siguiente ovulación. Los datos pueden cargarse desde la librería nlme utilizando el ítem de menú Aplicaciones>>Data set de R. Cuando se activa esta opción aparece la siguiente ventana de diálogo, que puede diferir en el número de librerías que estén instaladas en su configuración local de R (Figura 12). 13 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 12: Ventana de diálogo para importar datos desde las librerías de R. En ella se muestra tildada la librería nlme y a la derecha la lista de archivos de datos en esa librería. Haciendo doble clic sobre “Ovary, nlme” se abrirá una tabla de datos de InfoStat conteniendo los datos correspondientes. El encabezamiento de la tabla abierta se muestra a continuación (Figura 13). Figura 13: Encabezamiento de la tabla de datos del archivo Ovary. 14 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Una gráfica de la relación entre número de folículos y el tiempo se muestra a continuación (Figura 14). 25 Follicles 20 15 10 5 0 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 Time Figura 14: Relación entre el número de folículos (follicles) y el tiempo (Time). Pinheiro y Bates (2004) proponen ajustar un modelo donde el número de folículos depende linealmente del seno(2*pi*Time) y el coseno(2*pi*Time). Este modelo trata de reflejar las variaciones cíclicas del número de folículos mediante la inclusión de funciones trigonométricas. Además proponen la inclusión de un efecto aleatorio de yegua (Mare) sobre la constante del modelo y una auto-correlación de orden 1 de los errores dentro de cada hembra. El efecto aleatorio se incluyó para romper con la falta de independencia debida a efectos sujeto-dependientes que se expresan como perfiles paralelos del número de folículos a través del tiempo. El modelo propuesto tendría la siguiente forma general: yit = β 0 + β1sin ( 2* pi * Time ) + β 2 cos ( 2* pi * Time ) + b0i + ε it ( ) ( (2) ) donde los componentes aleatorios son b0i ~ N 0, σ bo2 y ε it ~ N 0, σ 2 . Por otra parte, la inclusión de una auto-correlación de orden 1 AR1 dentro de cada yegua tiene como propósito modelar una eventual correlación serial. Para especificar este modelo en InfoStat, indicaremos que follicles es la variable dependiente, que Mare es un criterio de clasificación y que Time es una covariable. Especificación de la parte fija La parte fija del modelo quedará indicada como se muestra en la Figura 15. InfoStat verifica que los elementos en esta ventana se corresponden con los factores y covariables listados en la parte derecha de la ventana. 15 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 15: Ventana desplegada con la solapa Efectos fijos para los datos del archivo Ovary. Si no es así, porque no se han respetado minúsculas y mayúsculas (R es sensible a la tipografía), entonces InfoStat substituye eso términos por los apropiados. Pero si aún así, hay palabras que InfoStat no puede interpretar (como en este caso sin, cos y pi), entonces la línea queda marcada en rojo. Esto no quiere decir que esté incorrecta sino que puede estarlo y advierte al usuario para que la verifique. Especificación de la parte aleatoria La parte aleatoria se indica agregando a la lista de criterios de estratificación el factor Mare y especificando que el efecto yegua (Mare) es sobre la constante. Esto se indica tildando Mare dentro de Constante como se muestra en la Figura 16 (este tildado se agrega por defecto). Los términos sin(2*pi*Time) y cos(2*pi*Time) no presentan, en este caso, efectos aleatorios asociados. 16 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 16: Ventana desplegada con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Ovary. Especificación de la correlación de los errores La especificación de la correlación autorregresiva de orden 1 para los errores dentro de cada hembra, se indica en la solapa Correlación 1 como se ilustra en la Figura 17. En R hay dos grupos de modelos de correlación. El primero corresponde a modelos de correlación serial, donde se supone que los datos están ordenados en una secuencia, y el segundo grupo modela correlaciones espaciales. En el primer grupo encontramos los modelos de simetría compuesta, sin estructura, autorregresivo de orden 1, autorregresivo continuo de orden 1 y el modelo ARMA(p,q), donde p indica el número de términos autorregresivos y q el número de términos de medias móviles (moving average). Todos estos modelos suponen que los datos están ordenados en una 1 Si los errores se suponen independientes (no correlacionados), entonces debe seleccionarse la primera opción de la lista de estructura de correlación (seleccionada por defecto). 17 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat secuencia. Por defecto, InfoStat asume la secuencia en la que los datos están dispuestos en el archivo, pero si existe una variable que los ordena de manera diferente, ésta debe indicarse en el casillero Variable que indica el orden de las observaciones (para que este casillero se active hay que seleccionar alguna de las estructuras de correlación). Esta variable debe ser entera para la opción autorregresiva. Por este motivo, InfoStat agrega en la sentencia traducida al lenguaje R, una indicación para que la variable sea interpretada como entera. En el ejemplo que estamos ilustrando, la variable Time es un número real que codifica el tiempo relativo a un punto de referencia y está en una escala inapropiada para usarla como criterio de ordenamiento. Sin embargo, como los datos están ordenados por tiempo dentro de cada yegua (Mare), esta especificación puede omitirse (Figura 17). Figura 17: Ventana desplegada con la solapa Correlación para los datos del archivo Ovary. Si los datos no estuvieran ordenados en forma ascendente dentro del criterio de agrupamiento (Mare), habría que agregar una variable que identifique el orden. Para 18 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat agregar una variable de ordenamiento su nombre puede escribirse o arrastrarse con el ratón desde la lista de variables al casillero correspondiente. Es usual que la estructura de correlación esté asociada a un criterio de agrupamiento, en este caso Mare. Esto se indica en el panel rotulado Criterios de agrupamiento (para que este casillero se active hay que seleccionar alguna de las estructuras de correlación). Si se incluye más de un criterio, InfoStat construye tantos grupos como combinación de niveles en los factores de clasificación que se especifiquen. En la parte inferior de la ventana, rotulada Expresión resultante, se muestra la expresión R que se está especificando para la componente “corr=” de gls o lme. Esta expresión es sólo informativa y no puede editarse. A continuación se presenta la salida completa del modelo ajustado conteniendo la tabla de análisis de la varianza de los efectos fijos, que en este caso son pruebas secuenciales sobre las pendientes asociadas a las covariables sin(2*pi*Time) y cos(2*pi*Time). Se observa que la desviación estándar del componente aleatorio de la ordenada al origen es 0.77 veces la desviación estándar residual y que el parámetro phi del modelo autorregresivo es 0.61. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R Modelo000_follicles_REML<lme(follicles~1+sin(2*pi*Time)+cos(2*pi*Time) ,random=list(Mare= pdIdent(~1)) ,correlation=corAR1(form=~1|Mare) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data2 ,keep.data=FALSE) Variable dependiente:follicles Medidas de ajuste del modelo N 308 AIC 1562.45 BIC 1584.77 logLik -775.22 Sigma R2_0 3.67 0.21 R2_1 0.56 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) sin(2 * pi * Time) cos(2 * pi * Time) numDF denDF F-value 1 295 163,29 1 295 34,39 1 295 2,94 p-value <0,0001 <0,0001 0,0877 Parámetros de los efectos aleatorios 19 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Mare Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (Const) (Const) 0.77 Estructura de correlación Modelo de correlación: AR(1) Formula: ~ 1 | Mare Parámetros del modelo Phi Estimación 0.61 Los valores predichos por el modelo ajustado anteriormente versus el tiempo se presentan en la Figura 18. La línea de trazo negro representa la estimación del promedio poblacional y corresponde a las estimaciones de la parte fija del modelo. Para obtener las estimaciones para obtener la curva, el usuario debe solicitar en la solapa de efectos fijos los predichos. Por defecto el nivel de los valores predichos es cero (indicado en el campo de edición: Niveles) lo que indica que las predicciones están basadas solamente en la parte fija del modelo. Las curvas punteadas, paralelas a la curva promedio, son las predicciones para el perfil de cada yegua derivadas de la inclusión de un efecto aleatorio (sujeto específico) sobre la constante. Para obtener las predicciones para obtener estas curvas el usuario debe solicitar también, en la solapa de efectos fijos, los valores predichos del nivel 1. Para obtener ambas predicciones el usuario deber escribir en el campo de edición de Niveles la expresión: 0;1. Para probar la adecuación del modelo identificamos los puntos correspondientes a cada yegua y dibujamos una curva suavizada para cada una ellas como se muestra en la Figura 19. Comparando la Figura 18 y la Figura 19 se observa que cada yegua tiene un perfil diferente que esta sobresimplificado por el modelo representado en la Figura 18. ¿Cómo incluiríamos en el modelo la variabilidad sujeto específica observada en la Figura 19? La forma más simple de incluir este comportamiento sujeto-específico es agregar más efectos aleatorios al modelo de la ecuación (2). Como resultado tenemos el siguiente modelo: 20 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat yit = β 0 + β1 sin ( 2* pi * Time ) + β 2 cos ( 2* pi * Time ) (3) + b0i + b1i sin ( 2* pi * Time ) + b2i cos ( 2* pi * Time ) + ε it ( ( ) ) ( donde los components aleatorios son b0i ~ N 0, σ bo2 , b1i ~ N 0, σ b21 , b2i ~ N 0, σ b22 ( and ε it ~ N 0, σ 2 ) ) y, como una primera aproximación los supondremos mutuamente independientes. Para ajustar el modelo (3) debemos hacer algunos cambios en el conjunto de datos debido a algunas restricciones en el uso de formula en la solapa de los efectos aleatorios. Por lo tanto calculamos sin T = sin ( 2* pi * Time ) y cos T = β 2 cos ( 2* pi * Time ) como nuevas variable en el conjunto de datos. En la parte fija del modelo en vez de especificar una lista de variable especificaremos en una línea única 1 + sin T + cos T como se muestra en la Figura 20. Esta manera de especificar la parte fija no afecta las estimaciones de los efectos fijos pero nos permite introducir fácilmente los efectos aleatorios b0i , b1i y b2i . Luego, en la solapa de efectos aleatorios especificamos los efectos aleatorios como se muestra en la Figura 21. Notar que la estructura de covariación supuesta para los efectos aleatorios ha sido especificada como pdDiag, lo que indica que las varianzas de cada componente aleatorios son diferentes y que estas componentes no están correlados. Los resultados del ajuste de este modelo se muestran en la Figura 22. En esta figura se puede observar que el efecto de ajustar curvas sujeto-específicas para cada yegua, lo que permite una representación más realista de los ciclos individuales. A pesar de esto, desde un punto de vista estadístico no es apropiado suponer independencia entre efectos aleatorios de los parámetros de un modelo de regresión. Para especificar correlación entre efectos aleatorios indicamos la estructura de covarianza como pdSymm. Esto se muestra en la Figura 23 y el resultado del ajuste se muestra en la Figura 24. 21 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 22 Poblacional Mare 03 Mare 06 Mare 09 Mare 01 Mare 04 Mare 07 Mare 10 Mare 02 Mare 05 Mare 08 Mare 11 follicles 17 12 7 2 -0,30 0,10 0,50 0,90 1,30 Time Figura 18: Funciones ajustadas para el número poblacional de folículos (línea sólida negra) y para cada yegua originada por el efecto aleatorio sobre la constante (archivo Ovary). 25 Follicles 20 15 10 5 0 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 Time Figura 19: Valores suavizados (polinómico de tercer grado) para el número de folículos (lineas sólidas) para cada yegua (Archivo Ovary). 22 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 20: Especificación de la parte fija del modelo (3) Figura 21: Especificación de la parte aleatoria del modelo (3). 23 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 22 18 follicles 14 10 6 2 -0,30 0,10 0,50 0,90 1,30 Time Figura 22: Valores predichos para el número de folículos para cada yegua generados por la incluisión de efectos aleatorios sobre los parámetros del modelo de regresión. Matriz de covarianzas de los efectos aleatorios: pdSymm. Figura 23: Especificación de la parte aleatoria del modelo (3) pero permitiendo que éstos varien en varianza y estén correlacionados. 24 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 22 20 PRED_1_follicles 18 16 14 12 10 8 6 4 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 Time Mare 1 Mare 7 Mare 2 Mare 8 Mare 3 Mare 9 Mare 4 Mare 10 Mare 5 Mare 11 Mare 6 Figura 24: Valores predichos para el número de folículos para cada yegua generados por la incluisión de efectos aleatorios sobre los parámetros del modelo de regresión. Matriz de covarianzas de los efectos aleatorios: pdSymm. Especificación de la estructura de varianzas de los errores Este módulo permite contemplar modelos heteroscedásticos. La heteroscedasticidad sin embargo no tiene un origen único y así como se modela la correlación entre los errores, la heteroscedasticidad también puede modelarse. El modelo para las varianzas de los errores se puede especificar de la siguiente manera: var(ε i ) = σ 2 g 2 ( µi , zδi , ) donde g (.) se conoce como función de varianza. Esta función puede depender de la esperanza ( µi ) de Yi (la variable de respuesta), de un conjunto de covariables ( z i ) y de un vector de parámetros ( δ ) . InfoStat, a través de R, estima los parámetros ( δ ) de acuerdo a la función de varianza seleccionada. La solapa Heteroscedasticidad se muestra en la Figura 25. Las funciones de varianza admitidas pueden ser identidad (varIdent), exponencial (varExp), potencia (varPower), potencia corrida por una constante (varConstPower), o fija (varFixed). R admite que varios modelos de varianza puedan superponerse, es decir, que para ciertos grupos de datos la varianza puede estar asociada con alguna covariable y para otros con otra. La especificación simultánea de varios modelos para la función de varianza se obtiene, simplemente, marcando y especificando cada uno de los componentes y agregándolos a la listas de funciones de varianza. InfoStat arma la sentencia apropiada para R. 25 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat En la solapa Heteroscedasticidad para el ejemplo de los folículos, hemos indicado que la varianza de los errores es distinta para cada yegua, seleccionando varIdent como modelo de la función de varianza y escribiendo Mare en Criterios de agrupamiento. Figura 25: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Ovary. A continuación se presenta la salida del ajuste incluyendo estimaciones de la desviación estándar del error para cada yegua. También aquí las desviaciones estándar están expresadas en términos relativos a la desviación estándar residual. Además, el primer nivel del criterio de agrupamiento especificado para calcular estas desviaciones estándar diferenciales, es siempre inicializado en 1 porque de otra forma el modelo no es identificable. En la salida se observa que la hembra 5 tiene una variabilidad en el número de folículos comparativamente mayor que las otras hembras. El modelo considerado en la Ecuación (4) con varianzas residuales para estos datos heterogéneas es: 26 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat yit = β 0 + β1sin ( 2* pi * Time ) + β 2 cos ( 2* pi * Time ) + b0i + ε it ( ) ( (5) ) donde los componentes aleatorios son b0i ~ N 0, σ bo2 y ε it ~ N 0, σ i2 . Obsérvese que la varianza residual está sub-indicada con el índice que identifica a las yeguas. Como es usual, los componentes aleatorios del modelo se suponen independientes. Luego si tomamos una yegua al azar la varianza de la respuesta sería la suma de las varianzas de la parte aleatoria, es decir var( y= σ b20 + σ i2 , o sea (3.57*0.8)2 + it ) (3.57*gi)2, donde gi es la función de varianza para una yegua elegida aleatoriamente. Ahora bien, cuando se condiciona a una yegua dada (por ejemplo la 5), el efecto individuo ( b0i ) está fijado, así que la varianza de la yegua 5 solo está asociada a la parte residual y además la función de varianza queda especificada, (es decir, hay que usar g5) y la varianza sería (3.57*1.34)2. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R Modelo001_follicles_REML<lme(follicles~1+sin(2*pi*Time)+cos(2*pi*Time) ,random=list(Mare= pdIdent(~1)) ,weight=varComb(varIdent(form=~1|Mare)) ,correlation=corAR1(form=~1|Mare) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data5 ,keep.data=FALSE) Variable dependiente:follicles Medidas de ajuste del modelo N 308 AIC 1569.02 BIC 1628.55 logLik -768.51 Sigma R2_0 3.57 0.21 R2_1 0.56 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) sin(2 * pi * Time) cos(2 * pi * Time) numDF denDF F-value 1 295 156.36 1 295 34.22 1 295 3.18 p-value <0.0001 <0.0001 0.0756 27 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Mare Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (Const) (Const) 0.80 Estructura de correlación Modelo de correlacion: AR(1) Formula: ~ 1 | Mare Parámetros del modelo Phi Estimación 0.61 Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varIdent Formula: ~ 1 | Mare Parámetros del modelo Parámetro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Estim 1.00 1.01 1.20 0.82 1.34 1.05 0.92 1.06 0.93 0.99 0.77 Análisis de un modelo ajustado Cuando InfoStat ajusta un modelo lineal general o mixto con el menú Estimación, se activa el menú Análisis-exploración de modelos estimados. En este diálogo aparecen varias solapas como se muestra en la Figura 26. 28 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 26: Ventana comparación de modelos generales y mixtos con la solapa Diagnóstico desplegada (archivo Atriplex.IDB2). El ejemplo usado en este caso es el del archivo Atriplex.IDB2, sobre el que se estimaron 2 modelos de efectos fijos, el modelo000_PG_REML que contiene los efectos Tamaño, Episperma y su interacción, y el modelo001_PG_REML que solo contiene los efectos principales de Tamaño y Episperma. La solapa Modelos sólo aparece en el caso que haya más de un modelo estimado y presenta una lista de los modelos evaluados en un “check-list”. Los modelos tildados, aparecen en una lista con sus estadísticos resumen y una prueba de hipótesis de igualdad de modelo cuya aplicabilidad debe tomarse con cautela ya que no todos los modelos son estrictamente comparables. De todas formas los criterios AIC y BIC son buenos indicadores para seleccionar el modelo más parsimonioso. La solapa Combinaciones lineales tiene como propósito probar hipótesis sobre combinaciones lineales. La hipótesis que se prueba es que la esperanza de la combinación lineal es cero. En esta ventana de diálogo aparecen listados los parámetros fijos del modelo que se haya seleccionado de la lista que aparece en la parte derecha de 29 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat la pantalla (Importante: por defecto siempre está seleccionado el último de la lista). En la parte inferior de la pantalla hay un campo de edición donde pueden especificarse las constantes de la combinación lineal. A medida que los coeficientes se van agregando, los parámetros correspondientes se van coloreando para facilitar la especificación de las constantes, como se ilustra en la Figura 27. Figura 27: Ventana comparación de modelos generales y mixtos con la solapa Combinaciones lineales desplegada (archivo Atriplex.IDB2). Finalmente la solapa Diagnóstico tiene 3 subsolapas (Figura 26). La primera, identificada como “Residuos vs…” tiene dispositivos que sirven para generar de manera sencilla gráficos del tipo boxplot para los residuos estandarizados vs. cada uno de los factores fijos del modelo o diagramas de dispersión entre los residuos estandarizados y las covariables del modelo o los valores predichos. Asimismo, es posible obtener el gráfico Q-Q plot normal. La segunda solapa, identificada como “ACF-SV”, permite generar un gráfico de la función de auto-correlación (útil para el diagnóstico de correlaciones seriales) y la tercera, identificada como LevelPlot, permite generar gráficos de residuos vs. coordenadas espaciales para generar un mapa del sentido e 30 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat intensidad de los residuos. Esta herramienta es útil en el diagnóstico de estructuras de correlación espacial. Para ejemplificar el uso de la solapa ACF-FV consideremos el ejemplo de los folículos (archivo Ovary). En este ejemplo se argumentó que la inclusión del término autorregresivo de orden 1 tenía por objeto corregir una falta de independencia generada por las discrepancias entre los ciclos individuales de cada yegua respecto de los ciclos individuales que solo diferían del ciclo promedio poblacional por una constante (Figura 18). El gráfico de la autocorrelación serial de los residuos correspondiente a un modelo sin la inclusión de la autocorrelación de orden 1 muestra un claro patrón autorregresivo (Figura 28). Por otra parte, el gráfico de la autocorrelación de los residuos para el modelo que contempla la autocorrelación mediante un término autorregresivo de orden 1, corrige la falta de independencia (Figura 29). Figura 28: Función de autocorrelación de los residuos del modelo presentado en la Ecuación (2) excluyendo la modelación de la autocorrelación serial. 31 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 29: Función de autocorrelación de los residuos del modelo presentado en la Ecuación (2) incluyendo la modelación de la autocorrelación serial. Las facilidades de la solapa Diagnóstico tienen por propósito permitir al investigador un rápido diagnóstico de los eventuales problemas de adecuación tanto de la parte fija como aleatoria del modelo ajustado. En la presentación de ejemplos se ilustrará más extensamente el uso de estas herramientas. 32 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Ejemplos de Aplicación de Modelos Lineales Generales y Mixtos Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Estimación de componentes de varianza En áreas como el mejoramiento genético animal o vegetal es de particular interés el cálculo de componentes de varianza. Estos son usados para obtener heredabilidades, respuesta a la selección, coeficientes de variabilidad genética aditiva, coeficientes de diferenciación genética, etc. Los modelos lineales mixtos pueden usarse para estimar los componentes de varianza, por medio del estimador de máxima verosimilitud restringida (REML). En muchos estudios de genética de poblaciones se trabaja con varias poblaciones que a su vez están representadas por uno o más individuos de distintas familias. En este caso se cuenta con dos factores en el modelo, las poblaciones y las familias dentro de cada población. Para ejemplificar el uso de componentes de varianza se usan los datos que se presentan en el archivo Compvar.IDB2 (Navarro et ál. 2005). Estos datos provienen de un ensayo de siete poblaciones de cedro (Cedrela odorata L.) con un total de 115 familias. Para algunas familias se cuenta con repeticiones y para otras no. Además, el número de familias dentro de cada población no es el mismo. Las variables registradas son el largo promedio de las semillas (largo), el diámetro, el largo del tallo y número de hojas de plantines de cedro. Además de estimar los componentes de varianza, los investigadores están también interesados en comparar las medias de las poblaciones. Podemos considerar varios espacios de inferencia, de acuerdo al diseño y a los intereses de los investigadores. Si las poblaciones son una muestra aleatoria de un conjunto grande de poblaciones, entonces la inferencia estará orientada a este conjunto grande de poblaciones. El efecto de las poblaciones estudiadas es aleatorio, y el interés será la estimación de los componentes de varianza debida a poblaciones y a familias dentro de poblaciones. Otro aspecto de interés serán los predictores BLUP de los efectos aleatorios (en especial los de poblaciones). Si la inferencia se orienta solamente a las poblaciones estudiadas, el efecto de población es fijo, y el interés principal es estimar y comparar las medias de poblaciones. Si la media de una población se interpreta como un promedio a través de todas las posibles familias de dicha población (no solamente las estudiadas), entonces el efecto de familia Modelos Lineales Mixtos en InfoStat es aleatorio. En este caso interesará estimar el componente de varianza debido a familia dentro de poblaciones, y predecir los efectos de las familias estudiadas (BLUP). Un tercer espacio de inferencia es cuando el interés reside solamente en las poblaciones y las familias estudiadas. En este caso ambos efectos son fijos. Este tipo de modelo presenta severas limitaciones, tanto en su interpretación como en su implementación. Debido a esto, este modelo no se considerará en este tutorial. Para el análisis de los datos del archivo Compvar.IDB2 se ajustarán los dos primeros casos discutidos: Modelo 1: Poblaciones aleatorias y familias aleatorias Modelo 2: Poblaciones fijas y familias aleatorias Primero se selecciona el menú Estadísticas, submenú Modelos lineales generales y mixtos y escogemos Estimación. Al realizar esta selección aparecerá la ventana de selección de variables, donde especificamos como variables dependientes a Largo, Diametro, Largodetallo y Numerodehojas y como criterios de clasificación a Población y Familia (Figura 30). Figura 30: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Compvar.IDB2. 35 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo 1: Para el cálculo de los componentes de varianza se deben especificar las variables como en la Figura 30. Posteriormente, en la solapa Efectos aleatorios se debe declarar primero a Población y luego a Familia, ya que R asume que las distintas componentes aleatorias que se van agregando secuencialmente están anidadas en los factores declarados con anterioridad. En la subventana Mostrar se tildaron las opciones que se muestran en la Figura 31, y se sacó el tilde que tiene por defecto para presentar los Desvíos estándares relativos al desvío estándar residual. Figura 31: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación del Modelo 1. En la solapa Efectos fijos no debe aparecer ningún efecto, y el método de estimación debe ser el de máxima verosimilitud restringida (REML), que es la opción por defecto. Observar que se desactivó la opción por defecto Desvíos estándares relativos al desvío estándar residual, por lo que las estimaciones que aparecen serán directamente los desvíos estándares absolutos. A continuación se presenta la salida obtenida con estas especificaciones solo para la variable Largo. 36 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Especificación del modelo en R modelo000_Largo_REML<-lme(Largo~1 ,random=list(Poblacion=pdIdent(~1) ,Familia=pdIdent(~1)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo000_Largo_REML Variable dependiente:Largo Medidas de ajuste del modelo N 214 AIC 2016.47 BIC 2029.91 logLik -1004.23 Sigma R2_0 21.53 R2_1 0.51 R2_2 0.76 AIC y BIC menores implica mejor Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Poblacion Desvíos estándares y correlaciones (const) (const) 27.16 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Familia dentro de Poblacion Desvíos estándares y correlaciones (const) (const) 14.80 Intervalos de confianza (95%) para los parámetros de los efectos aleatorios Formula: ~1|Poblacion sd(const) LI(95%) 15.09 Est. LS(95%) 27.16 48.89 Formula: ~1|Familia dentro de Poblacion sd(const) LI(95%) 10.72 Est. LS(95%) 14.80 20.43 Intervalo de confianza (95%) para sigma lower est. upper sigma 18.77 21.53 24.70 37 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat A partir de las estimaciones de desvíos e intervalos de confianza para los desvíos, se obtienen las componentes de varianza y sus intervalos de confianza (Cuadro 1). Cuadro 1. Componentes de varianza estimados para los datos del archivo Compvar.IDB2 Componente Población Varianza estimada 2 2 = σ pob 27.16 = 737.66 2 Familia dentro de σ 2fam = 14.80 = 219.04 ( pob ) población Residual 2 2 = σ res 21.53 = 463.54 IC para la varianza Variabilidad relativa al total (%) (15.092 , 48.882 ) 52.0 (10.722 , 20.432 ) 15.4 (18.77 2 , 24.702 ) 32.6 De acuerdo a los resultados presentados en la tabla anterior, es interesante resaltar que la variabilidad de la familias dentro de poblaciones es menor que la variabilidad residual con lo cual no hay una diferenciación de familias dentro de poblaciones. La mayor variación, en tanto, es atribuible a diferencias entre poblaciones. Ahora veremos cómo es el diagnóstico para el Modelo 1, es decir, tanto los efectos de familia como los de población aleatorios. Para esto vamos al submenú Análisisexploración de modelos estimados y se solicitan los gráficos de diagnóstico (Figura 32). El análisis diagnóstico de este modelo permite determinar una fuerte falta de homogeneidad de varianzas residual (Figura 33). 38 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 2 -1 -2 -2 -1 0 1 Cuantiles muestrales 1 0 Res.cond.estand.Pearson 2 Figura 32: Ventana Análisis-exploración de modelos estimados con la solapa Diagnóstico desplegada para el Modelo 1 con los datos del archivo Compvar.IDB2. 20 40 60 Valores ajustados 80 -3 -2 -1 0 1 2 3 Cuantiles teóricos Figura 33: Gráficos de diagnóstico obtenidos para la variable largo y el modelo 1 para los datos del archivo Compvar.IDB2. 39 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat En la Figura 33 los residuos estandarizados de Pearsons son aproximaciones de errores y por lo tanto la heteroscedasticidad observada debe modelarse a este nivel. Para corregir la falta de homogeneidad a este nivel se considera el Modelo 1 (Población y Familia como factores aleatorios) con varianzas residuales heterogéneas. Para incorporar las varianzas residuales eventualmente distintas para cada nivel de Población, en la solapa heterogeneidad se debe especificar el factor población como se muestra en la Figura 34. Figura 34: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación de varianzas heterogéneas para poblaciones. A continuación se presenta la salida para el Modelo 1 con varianzas residuales heterogéneas por Población y tildando en la solapa de Efectos aleatorios la opción Matriz de efectos aleatorios para obtener los estimadores BLUP. 40 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo004_Largo_REML<-lme(Largo~1 ,random=list(Poblacion=pdIdent(~1) ,Familia=pdIdent(~1)) ,weight=varComb(varIdent(form=~1|Poblacion)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo002_Largo_REML Variable dependiente:Largo Medidas de ajuste del modelo N 214 AIC 1872.14 BIC 1905.75 logLik -926.07 Sigma R2_0 2.32 R2_1 0.51 R2_2 0.51 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) numDF denDF F-value 1 108 21.59 p-value <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Poblacion Desvíos estándares y correlaciones (const) (const) 27.72 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Familia dentro de Poblacion Desvíos estándares y correlaciones (const) (const) 1.56 Intervalos de confianza (95%) para los parámetros de los efectos aleatorios Formula: ~1|Poblacion sd(const) LI(95%) 15.61 Est. LS(95%) 27.72 49.24 Formula: ~1|Familia dentro de Poblacion sd(const) LI(95%) 0.47 Est. 1.56 LS(95%) 5.14 41 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varIdent Formula: ~ 1 | Poblacion Parámetros de la función de varianza Parámetro Charagre Escarcega Esclavos La Paz Pacífico Sur Xpujil Yucatán Estim 1.00 13.09 11.64 15.94 2.81 13.38 12.54 Coeficientes (BLUP) de los efectos aleatorios (~1|Poblacion) Charagre Escarcega Esclavos La Paz Pacífico Sur Xpujil Yucatán const -41.20 15.42 16.12 19.80 -36.51 23.29 3.08 Coeficientes (BLUP) de los efectos aleatorios (~1|Familia in Poblacion) Charagre/Ch_71 Charagre/Ch_710 Charagre/Ch_711 Charagre/Ch_712 Charagre/Ch_713 Charagre/Ch_714 Charagre/Ch_715 Charagre/Ch_72 Charagre/Ch_73 Charagre/Ch_74 Charagre/Ch_75 Charagre/Ch_76 Charagre/Ch_77 Charagre/Ch_78 Charagre/Ch_79 Escarcega/Es_1126 Escarcega/Es_1127 Escarcega/Es_1128 Escarcega/Es_1129 Escarcega/Es_1130 Escarcega/Es_1131 Escarcega/Es_1132 Escarcega/Es_1133 Escarcega/Es_1134 Escarcega/Es_1135 Escarcega/Es_1136 Escarcega/Es_1137 const -1.07 0.59 1.31 1.42 -0.95 -1.07 -0.70 0.70 -0.83 -0.35 -0.59 -0.08 -0.47 0.48 1.48 7.2E-04 0.18 0.14 0.07 3.6E-04 -0.06 0.21 0.01 -0.11 -0.09 -0.08 -0.17 42 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Escarcega/Es_1138 Escarcega/Es_1139 Escarcega/Es_1142 Escarcega/Es_1148 Esclavos/Ec_31 Esclavos/Ec_310 Esclavos/Ec_311 Esclavos/Ec_312 Esclavos/Ec_313 Esclavos/Ec_314 Esclavos/Ec_315 Esclavos/Ec_316 Esclavos/Ec_317 Esclavos/Ec_318 Esclavos/Ec_319 Esclavos/Ec_32 Esclavos/Ec_320 Esclavos/Ec_33 Esclavos/Ec_34 Esclavos/Ec_35 Esclavos/Ec_36 Esclavos/Ec_37 Esclavos/Ec_38 Esclavos/Ec_39 La Paz/LP_41 La Paz/LP_410 La Paz/LP_411 La Paz/LP_412 La Paz/LP_413 La Paz/LP_414 La Paz/LP_415 La Paz/LP_42 La Paz/LP_43 La Paz/LP_44 La Paz/LP_45 La Paz/LP_46 La Paz/LP_48 La Paz/LP_49 Pacífico Sur/PS_6204 Pacífico Sur/PS_6206 Pacífico Sur/PS_6207 Pacífico Sur/PS_6208 Pacífico Sur/PS_6209 Pacífico Sur/PS_6210 Pacífico Sur/PS_6211 Pacífico Sur/PS_6212 Pacífico Sur/PS_6213 Pacífico Sur/PS_6214 Pacífico Sur/PS_6215 Pacífico Sur/PS_6216 Pacífico Sur/PS_6217 Pacífico Sur/PS_6218 Pacífico Sur/PS_6219 Pacífico Sur/PS_6220 Pacífico Sur/PS_6221 Pacífico Sur/PS_6222 Pacífico Sur/PS_660 Xpujil/Xp_11 Xpujil/Xp_110 Xpujil/Xp_112 Xpujil/Xp_113 0.16 -0.08 0.08 -0.20 -0.08 0.08 -0.07 -0.03 -0.22 0.28 -0.34 0.15 0.04 -0.08 0.04 -0.07 0.18 -3.7E-03 -0.11 0.15 -0.17 0.18 0.08 0.05 -0.13 0.14 0.11 0.16 -0.08 -0.01 -0.13 0.01 -0.01 -0.01 0.02 -0.07 -0.01 0.07 -0.46 -0.58 0.52 -0.33 -0.15 0.31 -0.22 -0.43 0.03 -0.56 -0.07 1.80 -0.12 0.88 -0.35 -0.51 -0.12 -0.48 0.72 -0.12 0.02 3.8E-03 -0.07 43 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Xpujil/Xp_114 Xpujil/Xp_115 Xpujil/Xp_116 Xpujil/Xp_117 Xpujil/Xp_118 Xpujil/Xp_119 Xpujil/Xp_12 Xpujil/Xp_120 Xpujil/Xp_122 Xpujil/Xp_123 Xpujil/Xp_15 Xpujil/Xp_16 Xpujil/Xp_17 Xpujil/Xp_18 Xpujil/Xp_19 Yucatán/Yu_1111 Yucatán/Yu_1114 Yucatán/Yu_1115 Yucatán/Yu_1116 Yucatán/Yu_1117 Yucatán/Yu_1118 Yucatán/Yu_1119 Yucatán/Yu_1121 Yucatán/Yu_1122 Yucatán/Yu_1123 Yucatán/Yu_1124 Yucatán/Yu_1125 0.02 -0.12 0.17 0.11 0.08 0.18 -0.01 0.19 -0.21 -0.27 0.02 0.03 0.03 -0.05 0.07 -0.17 -0.19 -0.04 0.02 0.05 0.03 0.10 -0.06 0.20 -0.09 -0.05 0.20 Intervalo de confianza (95%) para sigma sigma lower est. 1.59 2.32 upper 3.38 Este modelo presenta valores más bajos de AIC y BIC que el modelo sin varianzas heterogéneas para Población y Familia dentro de Población. Observamos que las varianzas de las poblaciones son bien diferentes: La población La Paz tiene la mayor varianza estimada en (15.94*2.32)2 = 1367.57 mientras que la de menor varianza es (1*2.32)2 = 5.38. Al comparar los modelos con varianzas heterogéneas y homogéneas mediante una prueba de cociente de verosimilitud se corrobora que el modelo con varianzas heterogéneas es el mejor (p<0.0001) como se muestra en la siguiente salida. Comparación de modelos Call Model df AIC BIC Modelo000_Largo_REML 1 1 4 2016.47 2029.91 Modelo001_Largo_REML 2 2 10 1872.14 1905.75 logLik Test L.Ratio -1004.23 -926.07 1 vs 2 156.33 p-value <0.0001 44 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Los residuos obtenidos para el Modelo 1 con varianzas distintas en cada población no muestran problemas de heteroscedasticidad y presentan una mejora en los supuestos 3 2 -2 -1 0 1 Cuantiles muestrales 2 1 -2 -1 0 Res.cond.estand.Pearson 3 distribucionales respecto al Modelo 1 con varianzas homogéneas (Figura 35). 10 20 30 40 50 60 70 -3 Valores ajustados -2 -1 0 1 2 3 Cuantiles teóricos Figura 35: Gráficos de diagnóstico obtenidos para la variable largo y el modelo 1 con varianzas residuales heterogéneas para poblaciones y los datos del archivo Compvar.IDB2. Modelo 2: Para este modelo se debe declarar Población en la solapa de Efectos fijos. Observar que en esta solapa se ha seleccionado además Coeficientes de los efectos fijos (Figura 36). En la solapa de Efectos aleatorios se ha declarado familias como aleatorio, se ha deseleccionado la opción por defecto de familia como efecto sobre la Constante (intercepto), y se ha seleccionado familia como afectando los parámetros del efecto población. La matriz de covarianzas de los efectos aleatorios asignados a poblaciones se suponen independientes (pdIdent). Se han seleccionado además las opciones Matriz de efectos aleatorios, Intervalo de confianza para los parámetros de la parte aleatoria e Intervalo de confianza para sigma (Figura 37). En la solapa Comparaciones se seleccionó la opción DGC para Población (Figura 38). 45 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 36: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación del Modelo 2. Figura 37: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación del Modelo 2. 46 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 38: Ventana con la solapa Comparaciones desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación del Modelo 2. A continuación se presenta la salida correspondiente a estas especificaciones: Especificación del modelo en R modelo001_Largo_REML<-lme(Largo~1+Poblacion ,random=list(Familia=pdIdent(~Poblacion-1)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo001_Largo_REML Variable dependiente:Largo Medidas de ajuste del modelo N 214 AIC 1967.65 BIC 1997.64 logLik -974.82 Sigma R2_0 21.54 0.51 R2_1 0.75 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Poblacion numDF denDF F-value 1 108 601.79 6 108 27.23 p-value <0.0001 <0.0001 47 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Efectos fijos (Intercept) PoblacionEscarcega PoblacionEsclavos PoblacionLa Paz PoblacionPacífico Sur PoblacionXpujil PoblacionYucatán Value Std.Error 8.23 5.75 56.89 8.03 57.72 7.46 62.24 8.13 4.65 7.53 65.45 7.72 44.44 8.40 DF 108 108 108 108 108 108 108 t-value 1.43 7.08 7.74 7.66 0.62 8.48 5.29 p-value 0.1551 <0.0001 <0.0001 <0.0001 0.5382 <0.0001 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~Poblacion - 1|Familia Desvíos estándares y correlaciones Charagre Charagre 14.79 Escarcega 0.00 Esclavos 0.00 La Paz 0.00 Pacífico Sur 0.00 Xpujil 0.00 Yucatán 0.00 Escarcega 0.00 14.79 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Esclavos 0.00 0.00 14.79 0.00 0.00 0.00 0.00 La Paz Pacífico Sur 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.79 0.00 0.00 14.79 0.00 0.00 0.00 0.00 XpujilYucatán 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.79 0.00 0.00 14.79 Intervalos de confianza (95%) para los parámetros de los efectos aleatorios Formula: ~Poblacion - 1|Familia sd( - 1) LI(95%) 10.71 est. 14.79 LS(95%) 20.42 Coeficientes (BLUP) de los efectos aleatorios (~Poblacion - 1|Familia) Ch_71 Ch_710 Ch_711 Ch_712 Ch_713 Ch_714 Ch_715 Ch_72 Ch_73 Ch_74 Ch_75 Ch_76 Ch_77 Ch_78 Ch_79 Ec_31 Ec_310 Ec_311 Ec_312 Ec_313 Ec_314 Ec_315 Ec_316 Ec_317 Ec_318 Ec_319 Ec_32 Ec_320 Ec_33 Charagre -1.08 0.62 1.34 1.47 -0.96 -1.08 -0.71 0.73 -0.84 -0.35 -0.60 -0.07 -0.48 0.50 1.53 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Escarcega 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Esclavos 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -6.04 5.36 -5.56 -2.65 -16.00 20.66 -25.46 10.95 2.69 -5.80 2.94 -5.56 12.89 -0.46 La Paz Pacífico Sur 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Xpujil Yucatán 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 48 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Ec_34 Ec_35 Ec_36 Ec_37 Ec_38 Ec_39 Es_1126 Es_1127 Es_1128 Es_1129 Es_1130 Es_1131 Es_1132 Es_1133 Es_1134 Es_1135 Es_1136 Es_1137 Es_1138 Es_1139 Es_1142 Es_1148 LP_41 LP_410 LP_411 LP_412 LP_413 LP_414 LP_415 LP_42 LP_43 LP_44 LP_45 LP_46 LP_48 LP_49 PS_6204 PS_6206 PS_6207 PS_6208 PS_6209 PS_6210 PS_6211 PS_6212 PS_6213 PS_6214 PS_6215 PS_6216 PS_6217 PS_6218 PS_6219 PS_6220 PS_6221 PS_6222 PS_660 Xp_11 Xp_110 Xp_112 Xp_113 Xp_114 Xp_115 Xp_116 Xp_117 Xp_118 Xp_119 Xp_12 Xp_120 Xp_122 Xp_123 Xp_15 Xp_16 Xp_17 Xp_18 Xp_19 Yu_1111 Yu_1114 Yu_1115 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.06 16.20 16.63 6.49 -0.04 -7.09 19.12 1.15 -10.25 -10.94 -7.58 -16.32 14.26 -10.30 7.71 -18.99 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -7.99 10.95 -12.84 12.89 5.36 3.67 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -18.43 18.95 14.82 20.89 -12.12 -2.41 -18.67 1.23 -1.93 -1.68 1.96 -9.69 -2.39 9.48 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -2.13 -2.73 2.48 -1.52 -0.67 1.51 -1.03 -2.01 0.18 -2.61 -0.31 8.55 -0.55 4.18 -1.64 -2.37 -0.55 -2.25 3.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -14.96 2.35 -0.09 -7.12 1.61 -12.46 15.93 10.11 6.95 16.91 -2.14 18.36 -20.72 -27.03 1.86 2.99 3.95 -4.94 8.44 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -14.89 -16.59 -3.24 49 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Yu_1116 Yu_1117 Yu_1118 Yu_1119 Yu_1121 Yu_1122 Yu_1123 Yu_1124 Yu_1125 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.86 4.53 2.83 8.66 -5.18 17.15 -7.85 -4.45 17.15 Intervalo de confianza (95%) para sigma sigma lower 18.77 est. 21.54 upper 24.71 Medias ajustadas y errores estándares para Poblacion DGC (alfa=0.05) Poblacion Xpujil La Paz Esclavos Escarcega Yucatán Pacífico Sur Charagre Medias 73.68 70.47 65.95 65.12 52.67 12.88 8.23 E.E. 5.16 5.74 4.75 5.61 6.13 4.87 5.75 A A A A A B B Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) A continuación se muestra como ejemplo el cálculo de los BLUP para algunas familias de la población Charagre: Yˆcha ,71 = µˆ + αˆ cha + βˆ71( cha ) = 8.2296 + 0 + (−1.0823) = 7.1473 Yˆcha ,72 = µˆ + αˆ cha + βˆ72( cha ) = 8.2296 + 0 + 0.7277 = 8.9573 Yˆcha ,73 = µˆ + αˆ cha + βˆ73( cha ) = 8.2296 + 0 + (−0.8396) = 7.3900 Yˆcha ,74 = µˆ + αˆ cha + βˆ74( cha ) = 8.2296 + 0 + (−0.3542) = 7.8754 El BLUP de la familia 42 de la población La Paz se calcula como: Yˆlpaz ,42 =+ µˆ αˆlpaz + βˆ42(lpaz ) = 8.2296 + 62.2374 + 1.2297 = 71.6967 Ahora realizaremos el análisis del ajuste del Modelo 2. En el submenú Análisisexploración de modelos estimados se pidieron los gráficos de diagnóstico (Figura 39). 50 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 39: Ventana Análisis-exploración de modelos estimados con la solapa Diagnóstico desplegada para el Modelo 2 con los datos del archivo Compvar.IDB2. El gráfico de residuos condicionales estandarizados de Pearson vs. Valores ajustados (Figura 40) muestra varianzas residual heterogéneas para la variable Largo. 51 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 40: Gráficos de diagnóstico obtenidos para la variable largo y el Modelo 2 para los datos del archivo Compvar.IDB2 Respecto a los supuestos distribucionales, es importante destacar que, existiendo heteroscedasticidad, el Q-Q plot no debe ser interpretado hasta tanto no se corrija este problema. Para incorporar las varianzas heterogéneas del efecto Población, en la solapa heterogeneidad se debe especificar el factor Población como se mostró en la Figura 34. Este modelo presenta valores más bajos de AIC y BIC que el modelo sin varianzas heterogéneas para Población. Observamos que las varianzas de las poblaciones son bien diferentes: La población La Paz tiene la mayor varianza estimada en (15.94*2.32)2 = 1367.57, mientras que la de menor varianza es Charagre con (1*2.32)2 = 5.38. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R 52 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat modelo002_Largo_REML<-lme(Largo~1+Poblacion ,random=list(Familia=pdIdent(~Poblacion-1)) ,weight=varComb(varIdent(form=~1|Poblacion)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data01 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo002_Largo_REML Variable dependiente:Largo Medidas de ajuste del modelo N 214 AIC 1823.20 BIC 1873.20 logLik -896.60 Sigma R2_0 2.32 0.51 R2_1 0.51 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Poblacion numDF denDF F-value 1 108 509.60 6 108 86.55 p-value <0.0001 <0.0001 Efectos fijos (Intercept) PoblacionEscarcega PoblacionEsclavos PoblacionLa Paz PoblacionPacífico Sur PoblacionXpujil PoblacionYucatán Value Std.Error 8.23 0.61 57.32 5.90 57.72 4.33 62.33 7.16 4.65 1.28 65.43 5.54 44.44 6.00 DF 108 108 108 108 108 108 108 t-value 13.42 9.72 13.33 8.70 3.65 11.81 7.41 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 0.0004 <0.0001 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~Poblacion - 1|Familia Desvíos estándares y correlaciones Charagre Escarcega Esclavos La Paz Pacífico Sur Xpujil Yucatán Charagre Escarcega 1.56 0.00 0.00 1.56 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Esclavos La Paz 0.00 0.00 0.00 0.00 1.56 0.00 0.00 1.56 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Pacífico Sur 0.00 0.00 0.00 0.00 1.56 0.00 0.00 Xpujil 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.56 0.00 Yucatán 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.56 Intervalos de confianza (95%) para los parámetros de los efectos aleatorios Formula: ~Poblacion - 1|Familia sd( - 1) LI(95%) 0.45 Est. 1.56 LS(95%) 5.38 Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varIdent 53 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Formula: ~ 1 | Poblacion Parámetros de la función de varianza Parámetro Charagre Esclavos Escarcega La Paz Pacífico Sur Xpujil Yucatán Estim 1.00 11.64 13.09 15.94 2.81 13.38 12.55 Para probar que este modelo menos parsimonioso es el de mejor ajuste se realizó una prueba del cociente de verosimilitud cuya salida se presenta a continuación. Comparación de modelos Model 001 df 9 AIC 1967.65 BIC 1997.64 logLik -974.82 Test L.Ratio p-value 002 15 1823.20 1873.20 -896.60 1 vs 2 156.44 <0.0001 El modelo con varianzas heterogéneas para las distintas poblaciones es mejor que el de varianzas homogéneas (p<0.0001). Podemos observar que con la inclusión de varianzas heterogéneas para las distintas poblaciones el ajuste ha mejorado respecto a los ajustes anteriores (Figura 41). Tanto en los box-plot de los residuos condicionales estudentizados de Pearson como en el diagrama de dispersión de residuos condicionales estudentizados de Pearson versus predichos, ya no se evidencian problemas graves de falta de homogeneidad de varianzas. En el gráfico Q-Q plot se observa una mejora en el supuesto distribucional. 54 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 41: Gráficos de diagnóstico obtenidos para la variable largo y el modelo 2 para los datos del archivo Compvar.IDB2 una vez declaradas las varianzas residuales diferentes para cada población. 55 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Efectos aleatorios cruzados con interacción Existen muchas situaciones en las que resulta de interés estimar componentes de varianza asociados con dos factores cruzados y su interacción. Milliken y Johnson (1992, p. 265) presentan un ejemplo donde se analizan datos de eficiencia de producción para tres líneas de producción aleatoriamente escogidas en una fábrica. Se escogieron aleatoriamente cuatro operarios, y estos operarios trabajaron en cada una de las líneas de producción. Originalmente cada operario iba a trabajar en cada línea de producción cinco veces, pero por diversas razones hay combinaciones que se repitieron menos veces (hay entre uno y cinco datos en cada combinación de operario y línea de producción). Como tanto el efecto de la línea de producción como el del operario son aleatorios, y además interesa la variabilidad adicional generada por la combinación específica operario × línea, vamos a usar un modelo con dos efectos aleatorios y su interacción: Yijk = µ + ai + b j + abij + eijk ai ~ N ( 0, σ a2 ) , b j ~ N ( 0, σ b2 ) (6) 2 abij ~ N ( 0, σ ab ) , eijk ~ N ( 0,σ e2 ) donde todos los efectos aleatorios son mutuamente independientes. Para ajustar este modelo usaremos el conjunto de datos Produccion.IDB2 (Milliken y Johnson, 1992). Eficiencia se declara en la ventana Variables, Línea y Operario se declaran en la ventana Criterios de clasificación. Como no hay ningún efecto fijo (excepto la media general), no se pone nada en la solapa Efectos fijos. En la solapa Efectos aleatorios se selecciona Línea y Operario, y al oprimir el botón derecho del ratón con ambas variables seleccionadas aparecerá la opción Factores aleatorios cruzados más interacciones. Para simplificar la lectura de la salida (recordemos que el objetivo principal de este tipo de modelos es la estimación de las componentes de varianza), hemos desactivado la opción Desvíos estándares relativos al desvío estándar residual. 56 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 42: Ventana Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Producciones.IDB2 con los efectos aleatorios Linea y Operario cruzados y su interacción. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo.001_eficiencia_REML<-lme(eficiencia~1 ,random=list(.U.=pdBlocked(list(pdIdent(~linea-1) ,pdIdent(~operario-1) ,pdIdent(~linea:operario-1)))) ,method="REML" ,control=lmeControl(msMaxIter=200) ,na.action=na.omit ,data=R.data01 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo.001_eficiencia_REML Variable dependiente: eficiencia 57 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas de ajuste del modelo N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 47 249.6353 258.7785 -119.8176 1.9947 0.9497 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) numDF denDF F-value p-value 1 46 478.2937 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdBlocked Formula: ~linea + operario + linea:operario - 1 Desvíos estándares y correlaciones linea1 linea2 linea3 operario1 operario2 operario3 operario4 linea1:operario1 linea2:operario1 linea3:operario1 linea1:operario2 linea2:operario2 linea3:operario2 linea1:operario3 linea2:operario3 linea3:operario3 linea1:operario4 linea2:operario4 linea3:operario4 D.S. 5.6672 5.6672 5.6672 1.7353 1.7353 1.7353 1.7353 5.9618 5.9618 5.9618 5.9618 5.9618 5.9618 5.9618 5.9618 5.9618 5.9618 5.9618 5.9618 A partir de esta salida podemos observar los estimadores de las desviaciones estándares de cada efecto aleatorio: = σˆ a 5.6672, = σˆ b 1.7353, = σˆ ab 5.9618, = σˆ e 1.9947 Esta información puede usarse, por ejemplo, para estimar distintos tipos de correlaciones Intra-clase. Por ejemplo, la correlación entre dos observaciones de la misma línea de producción y del mismo operario es: 58 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat (Y , Y ) cov σˆ a2 + σˆ b2 + σˆ ab2 ijk ijk ' corr = (Yijk , Yijk ' ) = (Y ) σˆ a2 + σˆ b2 + σˆ ab2 + σˆ e2 var ijk = 5.66722 + 1.73532 + 5.96182 0.9467 = 5.66722 + 1.73532 + 5.96182 + 1.9947 2 Por otro lado, la correlación entre dos observaciones del mismo operario pero en líneas de producción diferentes es mucho menor: (Y , Y ) cov ijk i ' jk ' corr (Yijk , Yi ' jk ' ) = (Y ) var ijk = σˆ b2 1.73532 = = 0.0403. σˆ a2 + σˆ b2 + σˆ ab2 + σˆ e2 5.66722 + 1.73532 + 5.96182 + 1.9947 2 59 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Aplicación de modelos mixtos para datos estratificados Parcelas divididas Supongamos un experimento bifactorial en el que no es posible asignar al azar las combinaciones de ambos factores a las parcelas experimentales (PE). En algunos casos, grupos de PE reciben aleatoriamente los distintos niveles de uno de los factores de clasificación y dentro de estos grupos de parcelas, los niveles del segundo factor son asignados al azar. El experimento descripto anteriormente difiere de un experimento bifactorial convencional en que, si bien los niveles de los factores son asignados aleatoriamente a las PE, no son los tratamientos (i.e. las combinaciones de los niveles de los factores) los que están siendo asignados de esta forma. Esta manera particular de asignar los distintos niveles de los factores a las parcelas representa una restricción a la aleatorización, e induce estructuras de correlación que deben ser tenidas en cuenta en el momento del análisis. Este diseño se conoce como parcela dividida. El nombre surge de la idea de que PARCELAS principales reciben los niveles de un factor (también llamado a veces factor principal) y que estas parcelas son DIVIDIDAS en SUBPARCELAS que reciben los niveles del segundo factor de clasificación. Aunque en las parcelas divididas los niveles de un factor son asignados dentro de los niveles de otro factor, este NO ES un diseño anidado. Se trata de un experimento típicamente factorial donde los factores están cruzados. Es sólo la aleatorización la que se ha realizado en forma secuencial. De acuerdo a la forma en que están arregladas las parcelas principales, el diseño puede ser de: • Parcelas divididas en un arreglo en bloques • Parcelas divididas en un arreglo completamente aleatorizado • Parcelas divididas en otros diseños 60 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Parcelas divididas en un arreglo en bloques El análisis clásico de un diseño en parcelas divididas con parcelas principales distribuidas en bloques completos incluye los siguientes términos en el modelo: Factor asociado a la parcela principal (FPP) Bloque Bloque*FPP (error de la parcela principal) Factor asociado a la subparcela (FSP) FPP*FSP Error (error para la subparcela) El punto clave para completar el análisis de este modelo es comprender que el error experimental para el FPP es diferente que para los términos del modelo que incluyen al FSP. El error experimental de las parcelas principales es mayor que el de las subparcelas. La varianza del error experimental de las parcelas principales en un diseño de parcelas divididas con parcelas principales repetidas en bloque completamente aleatorizados, se estima como el cuadrado medio (CM) de la interacción Bloque*FPP (se asume que no hay interacción Bloque*FPP y en consecuencia este CM estima el error entre parcelas principales tratadas de la misma forma). El CM de esta “interacción” es el que se usa como referencia para calcular el estadístico F de la prueba de hipótesis para el factor principal. El resto de las pruebas el CM residual es el apropiado para construir el estadístico F. El análisis de este diseño mediante un modelo lineal mixto se basa en la identificación de dos niveles de agrupamiento de las observaciones. El primer nivel está dado por los bloques y el segundo nivel por las parcelas principales dentro de los bloques. Cada uno de estos niveles de agrupamiento genera una correlación, conocida como correlación intraclase, entre las observaciones que contiene. El modelo lineal mixto para este diseño es el siguiente: yijk = µ + τ i + γ j + δ ij + bk + pik + ε ijk ; i = 1,.., T ; j = 1,..., G; k = 1,..., B (7) 61 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat donde yijk representa la respuesta observada en el k-ésimo bloque, i-ésimo nivel del factor principal y j-ésimo nivel de factor asociado a las subparcelas, µ representa la media general de la respuesta, τ i representa el efecto del i-ésimo nivel del factor asociado a las parcelas principales, γ j representa el efecto del j-ésimo nivel del factor asociado a las subparcelas y δ ij representa el efecto de la interacción del ij-ésimo tratamiento. Por otra parte bk , pik y ε ijk corresponden a efectos aleatorios de los bloques, de las parcelas dentro de los bloques y de los errores experimentales. Las suposiciones sobre estos componentes aleatorios es que bk ~ N ( 0, σ b2 ) , pik ~ N ( 0, σ p2 ) , ε ijk ~ N ( 0, σ ε2 ) y que estos tres componentes aleatorios son independientes. A continuación ejemplificaremos el análisis de un diseño en parcelas divididas en bloques mediante la aplicación de un modelo lineal mixto. En este ejemplo (Di Rienzo 2007) se evalúan 4 variedades de trigo: BUCK-Charrua (BC), Las Rosas-INTA (LI), Pigué (Pe) y Pro-INTA Puntal (PP) bajo riego y secano con el diseño a campo presentado en la Figura 43. Bloque 1 BC Pe PP LI LI BC Pe PP Bloque 2 PP BC Pe LI PP Pe LI BC Bloque 3 Pe LI BC PP BC PP Pe LI Figura 43: Esquema del diseño en parcelas divididas para el ejemplo de los datos en el archivo Trigo.IDB2 (gris oscuro=parcelas bajo riego, gris claro=parcelas en secano) 62 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Los datos de este ejemplo se encuentran en el archivo Trigo.IDB2. El encabezamiento de la tabla de datos es la siguiente (Figura 44). Figura 44: Encabezamiento de la tabla de datos del archivo Trigo.IDB2. El factor en la parcela principal es Agua, el factor asociado a las subparcelas es Variedad y la variable de respuesta es el Rendimiento. Los bloques están claramente identificados, pero las parcelas principales no aparecen explícitamente. Esto es así porque en un diseño en parcelas divididas, las parcelas principales dentro de un bloque están confundidas con el factor principal. De esta forma las observaciones bajo “Riego” en el bloque 1, representan las observaciones de una de las parcelas principales de ese bloque. Para analizar este ejemplo invocaremos la estimación de un modelo lineal mixto. Esta invocación nos presentará, como es usual, la ventana de selección de variables. Su imagen, con la selección apropiada de variables de respuesta y factores se muestra en la Figura 45. Figura 45: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Trigo.IDB2. 63 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Aceptando esta especificación, se mostrará el diálogo que permite especificar el modelo. La solapa de la parte fija, ya especificada, se muestra en la Figura 46. En ella aparecen los efectos principales Agua, Variedad y la interacción Agua*Variedad. Figura 46: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2. Para la especificación de la parte aleatoria, en la solapa Efectos aleatorios se debe incorporar primero al factor Bloque y después al factor Agua. Esta es la forma de indicar que Agua está dentro de Bloque. La especificación de la parte aleatoria queda como se muestra en la Figura 47. 64 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 47: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2 con bloque y agua como criterios de estratificación. La salida correspondiente a esta estimación es la siguiente: Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo000_Rendimiento_REML<lme(Rendimiento~1+Agua+Variedad+Agua:Variedad ,random=list(Bloque=pdIdent(~1) ,Agua=pdIdent(~1)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo000_Rendimiento_REML Variable dependiente:Rendimiento Medidas de ajuste del modelo N 24 AIC 206.59 BIC 215.09 logLik -92.30 Sigma R2_0 51.65 0.84 R2_1 0.89 R2_2 0.91 AIC y BIC menores implica mejor 65 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Agua Variedad Agua:Variedad numDF denDF F-value 1 12 363.93 1 2 55.24 3 12 6.38 3 12 2.36 p-value <0.0001 0.0176 0.0078 0.1223 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (const) (const) 0.55 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Agua dentro de Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (const) (const) 0.47 Las pruebas de hipótesis secuenciales dan los mismos resultados que las marginales en este caso porque los datos son balanceados. Antes de continuar con nuestro análisis, haremos algunas validaciones simples de las suposiciones de estos modelos, revisando residuales estandarizados vs. predichos y otros criterios de clasificación, así como el Q-Q plot normal de residuos estandarizados. Estos residuos son condicionales a los efectos aleatorios (es decir, aproximan los errores). Para ello invocaremos el submenú Análisis-exploración de modelos estimados. En el diálogo, seleccionaremos la solapa Diagnóstico y dentro de ella la subsolapa Residuos vs. (Figura 48). 66 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 48: Ventana Comparación de modelos generales y mixtos con la solapa Diagnóstico desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2. Si se seleccionan los ítems dentro de la lista disponible, como se muestra en la Figura 48, se obtendrá el gráfico siguiente (Figura 49). Este aparece en una nueva ventana que genera R y su contenido puede copiarse oprimiendo el botón derecho del ratón, sobre la imagen. En el menú que se despliega se podrá optar por “Copy as metafile” o “Copy as bitmap”. 67 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 49: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Trigo.IDB2. Un examen rápido de la figura sugiere una posible heterogeneidad de varianzas entre variedades. Para poder probar si es necesario incluir la estimación de varianzas residuales diferentes para cada variedad hay que ajustar un modelo heteroscedástico y compararlo con el homoscedástico, utilizando algún criterio como el AIC o BIC (o una prueba del cociente de verosimilitud, ya que el modelo homoscedástico es un caso particular del heteroscedástico). Para ajustar el modelo heteroscedástico invocamos nuevamente al módulo de estimación de los modelos mixtos y en la solapa Heteroscedasticidad seleccionamos el modelo varIdent y una vez seleccionado hacemos doble clic sobre Variedad (en la lista a la derecha de la ventana) para especificar a esta variable como criterio de agrupamiento (Figura 50). Luego accionamos el botón Agregar para hacer efectiva la 68 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat incorporación de esta especificación del modelo. Si por algún motivo la especificación ingresada no es deseada, haciendo doble clic sobre la misma, ésta se borra. Figura 50: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2 con selección de función varIdent con variedad como criterio de agrupamiento. Las medidas de ajuste del modelo especificado son las siguientes: Medidas de ajuste del modelo N 24 AIC 209.47 BIC 220.28 logLik -90.73 Sigma R2_0 24.49 0.84 R2_1 0.89 R2_2 0.90 AIC y BIC menores implica mejor Comparadas con las del modelo homoscedástico, no se observa una mejoría, por lo contrario tanto AIC como BIC aumentaron. Por este motivo se descarta el modelo heteroscedástico. 69 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Luego volviendo al modelo homoscedástico, realizaremos comparaciones múltiples del tipo LSD de Fisher para evaluar diferencias entre variedades. Para ello en la solapa Comparaciones subsolapa Medias, tildaremos la opción Variedad como se muestra la Figura 51. Figura 51: Ventana con la solapa Comparaciones desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2 y selección de la subsolapa Medias. Al final de la salida del programa se encontrará la comparación de medias. Se observa que solo BUCK-Charrua tuvo los rendimientos más bajos y esto ocurrió independientemente de si tenía riego o no. En tanto las otras variedades tuvieron rendimientos estadísticamente indistinguibles. Medias ajustadas y errores estándares para Variedad LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Variedad Pro-INTA Puntal Pigue LasRosas-INTA BUCK-Charrua Medias 469.50 430.98 423.98 342.73 E.E. 28.48 A 28.48 A 28.48 A 28.48 B Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) 70 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Parcelas divididas en un arreglo en diseño completamente aleatorizado A continuación ejemplificamos mediante un experimento cuyo objetivo fue evaluar el efecto de un coadyuvante sobre la cobertura de gotas y uniformidad de aplicación en distintas ubicaciones de las hojas dentro del canopeo de un cultivo de soja (Di Rienzo 2007). Para ello se seleccionaron 16 sitios en cada uno de los cuales se dispusieron 4 tarjetas hidro-sensibles, ubicadas a dos alturas del canopeo (inferior, superior) y apuntando, sus caras sensibles, en dos direcciones: hacia arriba y hacia abajo. Las tarjetas hidrosensibles muestran una mancha en el lugar donde cae una gota de agua. La superficie manchada en estas tarjetas es una medida de cuanto penetra y se dispersa el agua en una zona dada del canopeo. En 8 de los 16 sitios se agregó al agua de pulverización un coadyuvante (para disminuir la tensión superficial del agua y mejorar la dispersión de las gotas) y en los 8 restantes no. Por lo tanto en cada sitio de pulverización se obtienen 4 lecturas correspondientes a las combinaciones de las alturas (inferior y superior) y la ubicación de la cara sensible de la tarjeta (abajo y arriba). Luego en cada sitio hay una repetición completa de un experimento con 4 tratamientos SuAr, SuAb, InAr y InAb, y que se combinan con la utilización o no del coadyuvante en la solución de rociado. El experimento resultante es un trifactorial, con un factor principal (coadyuvante) asociado a parcelas principales (sitios donde se realiza el rociado) y dos factores (altura y ubicación de cara sensible de la tarjeta) asociados a las subparcelas (tarjetas dentro de sitio). El archivo conteniendo los datos se llama Cobertura de gotas.IDB2 y el encabezamiento de la tabla de datos se presenta en la Figura 52. 71 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 52: Encabezamiento de la tabla de datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2. En la tabla de datos hay una columna que identifica a la parcela y va numerada de 1 a 16. Este va a ser el único efecto aleatorio de nuestro modelo. El modelo lineal para las observaciones de este experimento es el siguiente: yijkl = µ + τ i + γ j + ηk + δ ij + ϕik + λ jk + θijk + bl + ε ijkl ; (8) =i 1,.., = = = 2; j 1,..., 2; k 1,..., 2; l 1,...,16 donde yijkl representa la respuesta observada en i-ésimo nivel del factor coadyuvante y j-ésimo nivel de factor altura, k-ésimo nivel del factor cara en la l-ésima parcela, µ representa la media general de la respuesta, τ i representa el efecto del i-ésimo nivel del factor asociado a las parcelas principales (coadyuvante), γ j representa el efecto del j-ésimo nivel del factor altura, η k el k-ésimo nivel del factor cara, ambos asociados a las subparcelas y δ ij , ϕik , λ jk y θijk las interacciones de segundo y tercer orden correspondientes de los factores coadyuvante, altura y cara. Por otra parte pl y ε ijkl representan los efectos aleatorios de las parcelas y de los errores experimentales respectivamente. Las suposiciones sobre estos componentes aleatorios son que pl ~ N ( 0, σ p2 ) , que ε ijkl ~ N ( 0, σ ε2 ) , y que estas dos componentes aleatorias son independientes. A continuación presentamos la forma en que se especifica el modelo anterior en InfoStat, su salida, interpretación y algunas acciones complementarias de validación del modelo. Para ello invocaremos el Menú: Modelos lineales generales y mixtos>>Estimación. El diálogo de selección de variables para este caso se presenta en la Figura 53. 72 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 53: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2. La especificación de la parte fija del modelo para este ejemplo contiene los tres factores y sus interacciones dobles y triples (Figura 54). Figura 54: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2. El efecto aleatorio que consideramos en este ejemplo es el de Parcela (Figura 55). 73 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 55: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2 con Parcela como criterio de estratificación. Luego de aceptar las especificaciones anteriores obtendremos la siguiente salida: Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo000_Cobertura_REML<lme(Cobertura~1+Coad+Altura+Cara+Coad:Altura+Coad:Cara+Altura:Cara+Coa d:Altura:Cara ,random=list(Parcela=pdIdent(~1)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo000_Cobertura_REML Variable dependiente:Cobertura Medidas de ajuste del modelo N 64 AIC 670.38 BIC 690.63 logLik -325.19 Sigma R2_0 65.17 0.76 R2_1 0.82 AIC y BIC menores implica mejor 74 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Pruebas de hipótesis secuenciales numDF denDF F-value (Intercept) 1 42 233.37 Coad 1 14 1.89 Altura 1 42 72.86 Cara 1 42 95.32 Coad:Altura 1 42 1.58 Coad:Cara 1 42 0.01 Altura:Cara 1 42 34.77 Coad:Altura:Cara 1 42 0.21 p-value <0.0001 0.1909 <0.0001 <0.0001 0.2152 0.9271 <0.0001 0.6476 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Parcela Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (Intercept) (Intercept) 0.40 Una revisión de los residuos estandarizados de este modelo mediante las herramientas de diagnóstico en el Menú: Modelos lineales generales y mixtos>>Análisis-exploración de modelos estimados muestra una posible heterogeneidad de varianzas cuando se comparan las observaciones obtenidas cuando la cara sensible de la tarjeta hidrosensible se presenta hacia arriba o hacia abajo (Figura 56). Figura 56: Diagrama de cajas para los residuos estandarizados de Pearson para los niveles del factor Cara. Archivo Cobertura de gotas.IDB2. 75 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Para tener en cuenta la posible falta de homogeneidad de varianzas entre posiciones de la cara sensible, invocaremos nuevamente el menú de estimación del modelo. Todas las especificaciones anteriores se han preservado por lo que sólo tenemos que concentrarnos en la especificación de la función varianza. Para ello utilizaremos la solapa heteroscedasticidad como se muestra en la Figura 57. Figura 57: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2 con Cara como criterio de agrupamiento. La salida resultante es la siguiente: Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo001_Cobertura_REML<lme(Cobertura~1+Coad+Altura+Cara+Coad:Altura+Coad:Cara+Altura:Cara+Coa d:Altura:Cara ,random=list(Parcela=pdIdent(~1)) ,weight=varComb(varIdent(form=~1|Cara)) ,method="REML" ,na.action=na.omit 76 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo001_Cobertura_REML Variable dependiente:Cobertura Medidas de ajuste del modelo N 64 AIC 636.54 BIC 658.82 logLik -307.27 Sigma R2_0 21.26 0.76 R2_1 0.81 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Coad Altura Cara Coad:Altura Coad:Cara Altura:Cara Coad:Altura:Cara numDF denDF F-value 1 42 176.66 1 14 4.19 1 42 53.72 1 42 98.43 1 42 13.83 1 42 0.01 1 42 35.90 1 42 0.22 p-value <0.0001 0.0599 <0.0001 <0.0001 0.0006 0.9259 <0.0001 0.6423 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Parcela Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones DS(Const) DS(Const) 1.06 Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varIdent Formula: ~ 1 | Cara Parámetros del modelo Parámetro Ab Ar Estim 1.00 4.15 El modelo para estos datos sería yijkl = µi jk + pl + ε ijkl , donde µi jk representa el efecto fijo de i-ésimo tratamiento en la j-ésima cara (cara puede ser Ab o Ar), bl es el efecto ( ) ( ) aleatorio de la k-esima parcela experimental que se supone N 0, σ p2 y ε ijkl ~ N 0, σ k2 . Luego la varianza de una observación tomada en una parcela seleccionada aleatoriamente va a depender si se hace en la cara de abajo o arriba de la tarjeta. Así si 77 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat tomamos una observación de la cara de abajo la varianza va a ser (21.26*1.06)2 + (21.26*1)2 y si la tomamos en la cara de arriba: (21.26*1.06)2 + (21.26*4.15)2. A continuación se presentan las medidas resumen del modelo homoscedástico y del heteroscedástico. Medidas de ajuste del modelo homoscedástico N 64 AIC 670.38 BIC 690.63 logLik -325.19 Sigma R2_0 65.17 0.76 R2_1 0.82 AIC y BIC menores implica mejor Medidas de ajuste del modelo heteroscedástico N AIC BIC logLik 64 636.54 658.82 -307.27 AIC y BIC menores implica mejor Sigma R2_0 21.26 0.76 R2_1 0.81 Si comparamos los AIC y BIC veremos que el último modelo ajustado es mejor y por lo tanto la interpretación de la pruebas de hipótesis debe basarse en este último. Obsérvese que en la estructura de varianzas, la desviación estándar residual de las observaciones en las tarjetas que apuntan hacia arriba es 4.15 veces mayor que la desviación estándar residual de las observaciones en las tarjetas que apuntan hacia abajo. Por otra parte, observando los resultados de las pruebas de hipótesis resulta que la interacción Coad:Altura:Cara no resultó significativa, por lo que se pueden observar las interacciones dobles (Figura 58). Entre estas, Coad:Altura y Altura:Cara son significativas. Estas interacciones se analizan utilizando la solapa Comparaciones de la ventana Modelos lineales generales y mixtos y tildando las correspondientes interacciones en la lista de términos del modelo que se presenta en esa ventana. Este procedimiento creará una tabla con las medias de todas las combinaciones resultantes de los niveles de los factores que intervienen en la interacción. El resultado, al final de la salida, presenta las siguientes tablas. Medidas ajustadas y errores estándares para Coad*Altura LSD Fisher (alfa=0,05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Coad Si No Si No Altura Su Su In In Medias 253.94 204.69 94.38 86.13 E.E. 17.89 A 17.89 A 17.89 17.89 B B Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) 78 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas ajustadas y errores estándares para Altura*Cara LSD Fisher (alfa=0,05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Altura Su In Su In Cara Ar Ar Ab Ab Medias 356.88 121.75 101.75 58.75 E.E. 22.74 A 22.74 7.73 7.73 B B C Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) a) b) 400 300 250 300 Cobertura Cobertura 200 150 200 100 100 50 0 0 Superior Inferior Superior Sin coadyuvante Inferior Altura Altura Con coadyuvante Cara abajo Cara arriba Figura 58: Diagramas de puntos para estudiar la interacción entre Coad y Altura (a) y entre Cara y Altura (b). Parcelas subdivididas (split-split plot) Este diseño utiliza el mismo principio que las parcelas divididas, excepto que lo extiende un paso más. El principio puede extenderse arbitrariamente a niveles más profundos de división. El modelo lineal para este diseño, suponiendo las parcelas principales agrupadas en bloques completos aleatorizados, es el siguiente: yijkl = µ + α i + β j + χ k + δ ij + φik + γ jk + ηijk + bl + pil + sp jil + ε ijkl (9) En la expresión anterior µ representa la media general, α i el i-ésimo nivel del factor asociado a las parcelas principales, β j el j-ésimo nivel del factor asociado a las subparcelas dentro de las parcelas principales, χ k el k-ésimo nivel del factor asociado a las sub-subparcelas (dentro de las subparcelas) y δ ij , φik , γ jk y ηijk las correspondientes 79 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat interacciones. Los términos aleatorios de este modelo corresponden a los efectos de ( ) bloques, bl ~ N 0, σ b2 , los efectos de parcelas, ( subparcelas, sp jil ~ N 0, σ sp2 ) pil ~ N ( 0, σ p2 ) , los efectos de ( ) y el error experimental, ε ijkl ~ N 0, σ ε2 . Todos ellos, como siempre, se suponen independientes. Consideremos ahora un ejemplo. Los datos están en el archivo Calidad del almidón.IDB2 (Di Rienzo 2007). En este experimento se evalúa el índice de absorción de agua (IAA) del almidón cocido y crudo obtenido de dos genotipos de Quínoa cultivada bajo 4 niveles de fertilización nitrogenada. Las variedades son Faro y UDEC10. Éstas se asignaron a grandes parcelas dispuestas en 3 bloques. Las parcelas en las que fueron sembradas las variedades fueron divididas en 4 subparcelas a las que se les asignaron 4 dosis de fertilización: 0, 75, 150 y 225 kg/ha. Las subparcelas fueron nuevamente divididas en 2 para asignar el tratamiento de cocción o sin cocción (crudo). El esquema para este diseño de experimento se presenta en la Figura 59. Sub-Parcela Parcela principal Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Sub-sub Parcela Figura 59: Esquema del diseño en parcelas subdivididas para el ejemplo de los datos en el archivo Calidad del almidón.IDB2. Para el análisis de este diseño mediante un modelo mixto, además de la especificación de la parte fija, como en un clásico experimento tri-factorial, sólo debemos especificar la parte aleatoria para incluir el efecto aleatorio de los Bloques, de las Parcelas 80 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Principales dentro de Bloques y de las Subparcela dentro de Parcelas. El encabezamiento del archivo Calidad del Almidón.IDB2 se presenta en la Figura 60. Figura 60: Encabezamiento de la tabla de datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2. La ventana de selección de variables para este ejemplo tendrá que contener la información que se presenta en la Figura 61. Figura 61: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2. La especificación de la parte fija deberá contener los factores e interacciones presentados en la Figura 62. 81 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 62: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2. La parte aleatoria deberá tener declarados a los bloques (Bloque), a las parcelas principales dentro de Bloques (Genotipo) y a las subparcelas dentro de parcelas principales (Nitrógeno) (Figura 63). 82 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 63: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2. La salida correspondiente es la siguiente: Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo000_IAA_REML<lme(IAA~1+Genotipo+Nitrogeno+Coccion+Genotipo:Nitrogeno+Genotipo:Cocci on+Nitrogeno:Coccion+Genotipo:Nitrogeno:Coccion ,random=list(Bloque=pdIdent(~1) ,Genotipo=pdIdent(~1) ,Nitrogeno=pdIdent(~1)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo000_IAA_REML Variable dependiente:IAA 83 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas de ajuste del modelo N 48 AIC 116.45 BIC 145.76 logLik -38.22 Sigma R2_0 0.61 0.75 R2_1 0.75 R2_2 0.75 R2_3 0.75 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Genotipo Nitrogeno Coccion Genotipo:Nitrogeno Genotipo:Coccion Nitrogeno:Coccion Genotipo:Nitrogeno:Coccion.. numDF denDF F-value 1 16 1389.20 1 2 14.49 3 12 0.78 1 16 32.90 3 12 0.88 1 16 37.67 3 16 1.74 3 16 0.46 p-value <0.0001 0.0626 0.5287 <0.0001 0.4769 <0.0001 0.1998 0.7108 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (Const) (Const) 1.3E-05 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Genotipo dentro de Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (Const) (Const) 5.0E-06 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Nitrogeno dentro de Genotipo dentro de Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (Const) (Const) 1.8E-05 Podríamos seguir realizando pruebas de diagnóstico pero asumiremos que el modelo es correcto. La interpretación de las pruebas de hipótesis indica que sólo la interacción Genotipo:Cocción es significativa. Las comparaciones múltiples para las medias de tratamientos correspondientes a esta interacción se presentan a continuación. En estas pruebas se observa que sólo el almidón cocido del genotipo UDEC10 presenta un IAA significativamente mayor que el resto de combinaciones de Genotipo y Cocción. 84 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas ajustadas y errores estándares para Genotipo*Coccion LSD Fisher (alfa=0,05) Genotipo UDEC10 Faro Faro UDEC10 Coccion Cocido Crudo Cocido Crudo Medias 4.64 2.97 2.90 2.56 E.E. 0.18 0.18 0.18 0.18 A B B B Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) Una manera alternativa de formular el modelo anterior consiste en dejar los efectos fijos como en la Figura 62 y especificar los efectos aleatorios como se muestra en la Figura 64. Los resultados son exactamente los mismos que antes, excepto por el cálculo de los grados de libertad del denominador y por ende los valores de probabilidad. Esta es una aproximación también válida aunque la versión anterior es acorde con el análisis tradicional basado en efectos fijos. Además, las estimaciones de varianza están presentadas en forma diferente. Figura 64: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2 que contempla otra forma de especificar la parte aleatoria. 85 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo001_IAA_REML<lme(IAA~1+Genotipo+Nitrogeno+Coccion+Genotipo:Nitrogeno+Genotipo:Cocci on+Nitrogeno:Coccion+Genotipo:Nitrogeno:Coccion ,random=list(Bloque=pdIdent(~1) ,Bloque=pdIdent(~Genotipo-1) ,Bloque=pdIdent(~Genotipo:Nitrogeno-1)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo001_IAA_REML Variable dependiente:IAA Medidas de ajuste del modelo N 48 AIC 116.45 BIC 145.76 logLik -38.22 Sigma R2_0 0.61 0.75 R2_1 0.75 R2_2 0.75 R2_3 0.75 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Genotipo Nitrogeno Coccion Genotipo:Nitrogeno Genotipo:Coccion Nitrogeno:Coccion Genotipo:Nitrogeno:Coccion.. numDF denDF F-value 1 30 1389.20 1 30 14.49 3 30 0.78 1 30 32.90 3 30 0.88 1 30 37.67 3 30 1.74 3 30 0.46 p-value <0.0001 0.0006 0.5157 <0.0001 0.4605 <0.0001 0.1807 0.7089 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (Const) (Const) 1.3E-05 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~Genotipo - 1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones Faro UDEC10 Faro 5.0E-06 0.00 UDEC10 0.00 5.0E-06 86 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~Genotipo:Nitrogeno - 1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones Faro:0 Faro:0 1.8E-05 UDEC10:0 0 Faro:75 0 UDEC10:75 0 Faro:150 0 UDEC10:150 0 Faro:225 0 UDEC10:225 0 UDEC10:0 0 1.8E-05 0 0 0 0 0 0 Faro:75 UDEC10:75 0 0 0 0 1.8E-05 0 0 1.8E-05 0 0 0 0 0 0 0 0 Faro:150 0 0 0 0 1.8E-05 0 0 0 UDEC10:150 0 0 0 0 0 1.8E-05 0 0 Faro:225 UDEC10:225 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.8E-05 0 0 1.8E-05 87 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Aplicación de modelos mixtos para mediciones repetidas en el tiempo Datos longitudinales Para la modelación de datos longitudinales el aspecto más importante a considerar es la estructura de la matriz de covarianza residual, que es posible modelar especificando la matriz de correlación. En algunos casos también las varianzas pueden ser distintas para algún criterio de agrupamiento y se debe modelar la heteroscedasticidad. Recordemos que existe correlación residual entre observaciones que comparten el mismo valor del criterio de estratificación, conocido también como sujeto, (por ejemplo, tomadas sobre la misma persona, la misma parcela, el mismo animal, el mismo árbol, etc.). Así, la matriz de covarianza residual para todas las observaciones será una matriz diagonal por bloques, y en cada bloque se reflejará la estructura deseada, i.e. simetría compuesta, autorregresiva de orden 1, etc. Para especificar esto, InfoStat presenta dos solapas. En la solapa Correlación se encuentran las opciones que permiten especificar la estructura de correlación de los errores y en la solapa Heteroscedasticidad se pueden seleccionar distintos modelos de varianza. Así, las distintas estructuras de la matriz de covarianza residual que se pueden ajustar resultan de combinar las distintas estructuras de correlación con la posible heteroscedasticidad en el tiempo. Si adicionalmente se desea especificar un efecto aleatorio también es posible hacerlo usando la solapa correspondiente. En este caso se debe tener mucha precaución de no combinar efectos aleatorios, estructuras de correlación y de heteroscedasticidad tales que el modelo final no sea identificable. Esto sucede cuando existe un conjunto infinito de valores de los parámetros para los cuales el modelo es indistinguible, y por lo tanto las soluciones a las ecuaciones de verosimilitud no son únicas. Ejemplos de estas situaciones ocurren cuando se especifica una estructura de correlación de simetría compuesta con un criterio de estratificación (por ejemplo, la parcela) y un efecto aleatorio de ese mismo criterio de estratificación sobre la constante. En este caso la estructura de covarianza de las observaciones será una matriz diagonal por bloques, y cada bloque tendrá una estructura de simetría compuesta. Por lo tanto, esta estructura tiene intrínsecamente dos parámetros. Pero de la manera que la hemos especificado aparecen tres parámetros (varianza del efecto aleatorio, correlación 88 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat intraclase de la estructura de correlación residual y varianza residual). Esta sobreparametrización hace que existan infinitas soluciones, y por lo tanto los estimadores no se pueden interpretar (y en muchos casos el algoritmo numérico no converge). Otra situación común es la de una correlación sin estructura (corSymm) con un criterio de estratificación dado (por ejemplo la parcela) y un efecto aleatorio de ese mismo criterio de estratificación sobre la constante (intercept). Análisis de un ensayo de establecimiento de forrajeras A continuación se presenta un ejemplo de modelación de observaciones repetidas en el tiempo. Los datos provienen de un ensayo de establecimiento de forrajeras para comparar cinco métodos de labranza (T1 = labranza mínima, T2 = labranza mínima con herbicida, T3 = labranza mínima con herbicida y arado de disco a los 45 días, T4 = labranza cero, y T5 = labranza convencional) en la región central húmeda de Puerto Rico. La especie usada fue Brachiaria decumbens cv. Basilik. El experimento estaba diseñado en tres bloques completos aleatorizados, y se analizan aquí las medidas de cobertura (porcentaje de cobertura estimado en cada parcela). Hay 5 medidas repetidas, tomadas con intervalos de un mes entre agosto y diciembre de 2001 (Moser y Macchiavelli 2002). Los datos se encuentran en Cobertura forrajes.IDB2 en la carpeta de datos de prueba de InfoStat. Los perfiles promedio de cobertura observados en los cinco tiempos para cada uno de los tratamientos se presentan en la Figura 65. 50 Cobertura (%) 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 Tiempo T1 T2 T3 T4 T5 Figura 65: Relación entre cobertura y tiempo para cinco tratamientos del archivo Cobertura forrajes.IDB2. 89 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Como estrategia general para analizar estos datos primero se ajustarán modelos con distintas estructuras de covarianza, combinando apropiadamente estructuras de correlación residual, heteroscedasticidad residual y efectos aleatorios. Mediante criterios de verosimilitud penalizada (AIC y BIC) se elegirá el modelo que mejor describa los datos, y usando este modelo se realizarán inferencias acerca de las medias (comparar tratamientos, estudiar el efecto del tiempo, analizar si los perfiles promedio varían en el tiempo, si son paralelos, etc.). Para elegir el mejor modelo comenzaremos proponiendo un modelo sencillo con pocos parámetros a estimar (i.e. parsimonioso), e iremos adicionando parámetros hasta llegar al modelo sin estructura, que es el menos parsimonioso. Se usarán las siguientes estructuras de covarianza para los datos (covarianza marginal): 1. Efecto aleatorio de bloque y errores independientes y homoscedásticos. 2. Efectos aleatorios de bloque y parcela dentro de cada bloque, errores independientes y homoscedásticos. 3. Efecto aleatorio de bloque y errores independientes y heteroscedásticos. 4. Efectos aleatorios de bloque y parcela dentro de cada bloque, errores independientes y heteroscedásticos. 5. Efectos aleatorios de bloque, correlación constante entre errores de la misma parcela y varianza residual constante en el tiempo (equivalente al modelo 2). 6. Efectos aleatorios de bloque, correlación constante entre errores de la misma parcela y varianza residual diferente en los distintos tiempos. 7. Efectos aleatorios de bloque, estructura autorregresiva de orden 1 entre los errores de la misma parcela y varianza residual constante en el tiempo. 8. Efectos aleatorios de bloque y parcela dentro de cada bloque, estructura autorregresiva de orden 1 entre los errores de la misma parcela y varianza residual constante en el tiempo. 9. Efectos aleatorios de bloque, estructura autorregresiva de orden 1 entre los errores de la misma parcela y varianza residual diferente en los distintos tiempos. 10. Efectos aleatorios de bloque y parcela dentro de cada bloque, estructura autorregresiva de orden 1 entre los errores de la misma parcela y varianza residual diferente en los distintos tiempos 11. Efectos aleatorios de bloque, sin estructura para las correlaciones entre errores provenientes de la misma parcela y varianzas residuales diferentes en el tiempo. Para ajustar estos modelos en primer lugar se deben declarar las variables como se indica en la Figura 66. 90 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 66: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del ejemplo Cobertura forrajes.IDB2. En todos los casos se usó el mismo modelo de medias, ya que la parte fija del modelo referido no cambió (imprescindible si se desea comparar estructuras de covarianza usando REML, y por ende los criterios de AIC y BIC) (Figura 67). A continuación se detallará la forma de declarar cada uno de los modelos a evaluar seguido por una salida de InfoStat con las medidas de ajuste correspondientes. 91 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 67: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2. Modelo 1: Efecto aleatorio de bloque, errores independientes y homoscedásticos. En la solapa Efectos Aleatorios se debe seleccionar Bloque (Figura 68), y en la solapa Correlación se debe declarar Errores independientes (Figura 69), que es la opción por defecto, y en la solapa Heteroscedasticidad no se declara nada. 92 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 68: Ventana con la solapa Efectos Aleatorios desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de efectos aleatorios de Bloque. 93 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 69: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de Errores independientes (Modelo 1). Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 476.39 BIC 528.01 logLik -211.19 Sigma R2_0 12.19 0.56 R2_1 0.63 AIC y BIC menores implica mejor Modelo 2: Efectos aleatorios de bloque y parcela dentro de bloque, errores independientes y homoscedásticos. En la solapa Efectos Aleatorios se debe seleccionar Bloque y Parcela (que queda por defecto anidada dentro de bloque) (Figura 70), y en la solapa Correlación se debe declarar Errores independientes, que es la opción por defecto, y en la solapa Heteroscedasticidad no se declara nada (como en el modelo 1). 94 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 70: Ventana con la solapa Efectos Aleatorios desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de efectos aleatorios de Bloque y Parcela dentro de bloques. Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 470.00 BIC 523.54 logLik -207.00 Sigma R2_0 9.95 0.56 R2_1 0.61 R2_2 0.78 AIC y BIC menores implica mejor Modelo 3: Efecto aleatorio de bloque, errores independientes y heteroscedásticos. Las solapas Efectos aleatorios y Correlación se declaran como en el modelo 1 (Figura 68 y Figura 69), y en la solapa Heteroscedasticidad se declara varIdent y en criterio de agrupamiento se declara Tiempo (Figura 71). 95 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 71: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 con selección de función varIdent con tiempo como criterio de agrupamiento. Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 475.13 BIC 534.40 logLik -206.57 Sigma R2_0 6.50 0.56 R2_1 0.59 AIC y BIC menores implica mejor Modelo 4: Efectos aleatorios de bloque y parcela dentro de cada bloque, errores independientes y heteroscedásticos. Las solapas Efectos aleatorios y Correlación se declaran como en el modelo 2 (Figura 70 y Figura 69 respectivamente), y la solapa Heteroscedasticidad se declara como en el modelo 3 (Figura 71). Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 470.54 BIC 531.73 logLik -203.27 Sigma R2_0 4.20 0.56 R2_1 0.56 R2_2 0.70 AIC y BIC menores implica mejor 96 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo 5: Efecto aleatorio de bloque, correlación constante entre datos de la misma parcela y varianza constante en el tiempo. En la solapa Correlación se eligió la opción Simetría Compuesta. Se debe declarar también el Criterio de agrupamiento, en este caso Parcela y Bloque para indicar que se está modelando la correlación de datos provenientes de una misma parcela en un bloque dado (Figura 72). En la solapa Heteroscedasticidad se dejó la opción por defecto, es decir no se eligió ningún criterio (para esto ir a la solapa Heteroscedasticidad y borrar la selección anterior desactivando todas las opciones y oprimiento Borrar en la última caja). Figura 72: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de Simetría compuesta para datos agrupados por parcela. 97 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 470,00 BIC 523,54 logLik -207,00 Sigma R2_0 12,59 0,56 R2_1 0,61 AIC y BIC menores implica mejor Se debe observar que este modelo obtiene los mismos valores de ajuste (AIC, BIC, y log verosimilitud) que el modelo 2, ya que ambos son esencialmente el mismo modelo (excepto en el caso que la correlación constante dentro de una parcela sea negativa). Observar que el modelo 2 incorpora la correlación entre datos de la misma parcela a través del efecto aleatorio de parcela, mientras que el modelo 5 lo hace a través de la estructura de correlación de simetría compuesta. Debido a esto, no es posible intentar ajustar un modelo que incluya efecto aleatorio de parcela dentro de bloques y simetría compuesta en el mismo nivel de agrupamiento: este modelo no sería identificable, y sus estimadores no serían válidos (aunque a veces el programa puede mostrar una salida, ésta no sería válida). Modelo 6: Efecto aleatorio de bloque, correlación constante entre datos de la misma parcela y varianza diferente en los distintos tiempos. En la solapa Correlación se eligió la opción Simetría compuesta (Figura 72) y en la solapa Heteroscedasticidad eligió la opción varIdent y en Criterios de agrupamiento se declara Tiempo (Figura 71). Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 466.67 BIC 527.85 logLik -201.33 Sigma R2_0 6.77 0.56 R2_1 0.56 AIC y BIC menores implica mejor Modelo 7: Efecto aleatorio de bloque, estructura autorregresiva de orden 1 entre los errores de la misma parcela y varianza residual constante en el tiempo. En la solapa Efectos aleatorios se declaro a Bloque (como en Figura 68) y en la solapa Correlación se eligió la opción Autorregresivo de orden 1 (Figura 74). Debido a que este modelo tiene en cuenta el orden en que fueron tomadas las observaciones, la variable que indica esto se debe declarar en la ventana correspondiente (en este caso la variable Tiempo). Para incorporar esta variable, arrastrar Tiempo desde la ventana de la derecha. Si los tiempos no fuesen equidistantes, la estructura corAR1 no es aplicable, y se debe usar su análoga continua (corCAR1). Para este ejemplo ambas estructuras son equivalentes debido a que los tiempos son equidistantes. 98 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat En la solapa Heteroscedasticidad se dejó la opción por defecto, es decir no se eligió ningún criterio (para esto ir a la solapa Heteroscedasticidad y borrar la selección anterior desactivando todas las opciones y oprimiendo Borrar). Figura 73: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de modelo Autorregresivo de orden 1 para datos agrupados por Bloque y Parcela y orden de las observaciones indicado por la variable Tiempo. Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 460.93 BIC 514.47 logLik -202.47 Sigma R2_0 12.36 0.56 R2_1 0.62 AIC y BIC menores implica mejor 99 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo 8: Efectos aleatorios de bloque y parcela dentro de cada bloque, estructura autorregresiva de orden 1 entre los errores de la misma parcela y varianza residual constante en el tiempo. Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 462.93 BIC 518.38 logLik -202.47 Sigma R2_0 12.36 0.56 R2_1 0.62 R2_2 0.62 AIC y BIC menores implica mejor Este modelo tiene un ajuste muy parecido al modelo anterior (modelo 7) ya que su verosimilitud es similar. Sin embargo, si se aumenta el número de decimales se verá que son un poco distintos. Lo mismo ocruirirá cuando se comparen los modelos 9 y 10. Modelo 9: Efectos aleatorios de bloque, estructura autorregresiva de orden 1 entre los errores de la misma parcela y varianza residual diferente en los distintos tiempos. En la solapa Correlación se eligió la opción Autorregresivo de orden 1. En la solapa Heteroscedasticidad se eligió la opción varIdent y se especificó el criterio de agrupamiento que en este caso es la variable tiempo. Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 462.70 BIC 523.89 logLik -199.35 Sigma R2_0 7.49 0.56 R2_1 0.58 AIC y BIC menores implica mejor Modelo 10: Efectos aleatorios de bloque y parcela dentro de cada bloque, estructura autorregresiva de orden 1 entre los errores de la misma parcela y varianza residual diferente en los distintos tiempos. Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 464.70 BIC 527.80 logLik -199.35 Sigma R2_0 7.49 0.56 R2_1 0.58 R2_2 0.58 AIC y BIC menores implica mejor Modelo 11: Efectos aleatorios de bloque, sin estructura para las correlaciones entre errores provenientes de la misma parcela y varianzas residuales diferentes en el tiempo. En la solapa Correlación se eligió la opción Sin estructura (Figura 74) y en la solapa Heteroscedasticidad se dejó tildada la opción varIdent. 100 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Recordemos que mo es posible ajustar un modelo que incluya efecto aleatorio de parcela y sin estructura en el mismo nivel de agrupamientos. El modelo en este caso seria no identificable y su estimadores no son valiodos aunque el programa muester una salida (lo mismo que ocurría con el modelo de simetría compuesta). Figura 74: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de modelo Sin estructura para datos agrupados por parcela y orden de las observaciones indicado por la variable Tiempo (Modelo 11). Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 434.74 BIC 513.14 logLik -176.37 Sigma R2_0 6.48 0.56 R2_1 0.59 AIC y BIC menores implica mejor 101 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Selección de la estructura de covarianza Si comparamos los valores de AIC (o los de BIC) para las estructuras que hemos ajustado, se puede observar que el menor valor se obtiene con el Modelo 11 (AIC = 434.74, BIC = 513.14), por lo tanto elegimos la covarianza sin estructura. Observemos los parámetros estimados bajo este modelo: Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 434.7426 BIC 513.1355 logLik -176.3713 Sigma 6.4813 R2_0 0.5611 R2_1 0.5854 AIC y BIC menores implica mejor Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (const) (const) 0.3942 Estructura de correlación Modelo de correlación: General correlation Formula: ~ (as.integer(Tiempo)) | Bloque/Parcela 0 1.0000 0.2937 0.7012 0.1182 0.0953 1 0.2937 1.0000 0.2476 0.1535 0.1766 2 0.7012 0.2476 1.0000 0.4755 0.4718 3 0.1182 0.1535 0.4755 1.0000 0.9953 4 0.0953 0.1766 0.4718 0.9953 1.0000 Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varIdent Formula: ~ 1 | Tiempo Parámetros de la función de varianza Parámetro Estim 1 1.0000 2 1.2400 3 2.0278 4 2.5759 5 2.4614 Las varianzas residuales estimadas para cada uno de los 5 tiempos se calculan de la siguiente manera: 102 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 2 σˆ12 6.4813 = = 42.0072 σˆ 22 =(1.2400 × 6.4813) =64.5903 2 σˆ 32 =( 2.0278 × 6.4813) =172.7327 2 σˆ 42 =( 2.5759 × 6.4813) =278.7291 2 σˆ 52 =( 2.4614 × 6.4813) =254.5005 2 Las 10 correlaciones residuales estimadas aparecen directamente como una matriz en Estructura de Correlación. Para obtener una estimación de la varianza marginal (es decir la varianza de una observación en un tiempo específico), se debe sumar a cada varianza residual la varianza de bloque y de parcela dentro de bloque: 2 =( 0.3942 × 6.4813) =6.5277 σˆ bloque 2 Inferencia sobre las medias Una vez elegida la estructura de covarianza de los datos (en este caso el modelo sin estructura) podemos proceder a realizar inferencias acerca de las medias. Los perfiles promedios observados para cada tratamiento se presentaron en la Figura 65. En un experimento factorial como este, donde se tiene el factor tratamiento y el factor tiempo, lo primero que se debe indagar es si existe interacción entre los tratamientos y el tiempo. Para ello podemos realizar una prueba de Wald, que aparece directamente en InfoStat como Trat:Tiempo en las pruebas marginales o secuenciales (recordemos que la interacción es el último término que colocamos en el modelo, por lo que ambas pruebas en este caso son equivalentes). Otra opción es realizar una prueba del cociente de verosimilitudes (LRT por sus siglas en inglés). Para esta última no podemos usar REML debido a que estamos probando modelos con efectos fijos diferentes, y por lo tanto los estimadores REML no son comparables. En su lugar se usa el estimador máximo verosímil (ML). Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo III) (Intercept) Tratam Tiempo Tratam:Tiempo numDF denDF F-value 1 48 82.60 4 48 4.05 4 48 16.77 16 48 1.49 p-value <0.0001 0.0065 <0.0001 0.1417 103 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Para realizar una prueba de cociente de verosimilitudes podemos ajustar (con ML) dos modelos con la misma estructura de covarianza (en este ejemplo el modelo sin estructura) pero que difieren en su parte fija: uno contiene la interacción (modelo completo) y el otro no la contiene (modelo reducido): Modelo completo: Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 539.51 BIC 634.52 logLik -228.75 Sigma R2_0 5.29 0.56 R2_1 0.59 logLik -240.59 Sigma R2_0 5.52 0.33 R2_1 0.35 AIC y BIC menores implica mejor Modelo reducido: Medidas de ajuste del modelo N 75 AIC 531.19 BIC 589.12 AIC y BIC menores implica mejor Si bien la prueba LRT se puede obtener directamente desde el menú Análisisexploración de modelos estimados, solapa Modelos, a continuación se muestra otra forma de calcularla. En primer lugar se obtiene el estadístico de la prueba LRT, G = 2 log lik completo − 2 log lik reducido = 2(−228.75) − 2(−240.59) = 23.68 . Este tiene 42- 26=16 grados de libertad, y arroja un valor p=0.0967, por lo que podemos decir que no existe interacción con un nivel de significancia del 5%. Este valor de probabilidad se obtiene a partir de una distribución chi-cuadrado con 16 grados de libertad, y puede ser calculado con la herramienta Calculador de probabilidades y cuantiles del menú Estadísticas de InfoStat (Figura 75). 104 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 75: Ventana del Calculador de probabilidades y cuantiles de InfoStat. Ambas pruebas (Wald y LRT) indican una interacción no significativa (aunque los p-valores no son demasiado altos, p=0.1417 y p=0.0967 respectivamente), por lo que podemos (con precaución) realizar pruebas de efectos de tratamiento y tiempo por separado. Contrastando tiempos sucesivos Para comparar los tiempos sucesivos, es decir el tiempo 1 con el tiempo 2, el tiempo 2 con el tiempo 3 y así sucesivamente, se debe activar la solapa Comparaciones y dentro de esta la subsolapa Contrastes y seleccionar el efecto Tiempo (Figura 76). El resto de las ventanas debe quedar como en el Modelo 11, que fue elegido como el de mejor estructura de correlación para explicar el comportamiento de estos datos en el tiempo. 105 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 76: Ventana con la solapa Comparaciones desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de la subsolapa Contrastes. Pruebas de hipótesis para contrastes Tiempo Ct.1 Ct.2 Ct.3 Ct.4 Total Contraste -9.80 -5.77 1.76 0.26 E.E. 2.25 3.51 4.02 0.45 F gl(num) 18.94 1 2.70 1 0.19 1 0.34 1 16.77 4 gl(den) 48 48 48 48 48 p-valor 0.0001 0.1070 0.6640 0.5645 <0.0001 Las salidas presentadas aquí corresponden a las estimaciones REML. Está claro a partir de estos resultados que, en promedio para los cuatro tratamientos, se ve un cambio significativo entre los tiempos 1 y 2, pero en tiempos posteriores la cobertura promedio no cambia significativamente. Las mismas conclusiones se obtienen realizando una comparación de medias de cada tiempo (LSD): 106 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medias ajustadas y errores estándares para Tiempo LSD Fisher (Alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Tiempo 3 4 5 2 1 Medias 30.29 28.53 28.27 24.53 14.73 E.E. 3.70 4.56 4.38 2.55 2.23 A A A A B Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) Comparación de tratamientos Medias ajustadas y errores estándares para Tratam LSD Fisher (Alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Tratam 5 1 4 3 2 Medias 39.60 31.27 24.96 17.33 13.19 E.E. 5.47 5.47 5.47 5.47 5.47 A A A B B B C C C Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) A partir de esta comparación de medias ajustadas se puede concluir que los tratamientos 5, 1 y 4 son los que proveen mayor cobertura y no se diferencian significativamente entre sí. 107 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Análisis de un ensayo de drogas para asma Una compañía farmacéutica ha examinado los efectos de dos drogas (A y B) sobre la capacidad respiratoria de pacientes de asma (Littell et ál. 2002, 2006). Las dos drogas y un placebo (P) fueron administradas a un grupo de pacientes en forma aleatoria. Se contó con 24 pacientes por cada uno de los tres tratamientos. A cada paciente se le midió la capacidad respiratoria basal (Cap_Rep_Bas) inmediatamente antes de aplicarle el tratamiento y la capacidad respiratoria cada hora durante las 8 horas siguientes (Cap_Respirat). Los datos están en el archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. Usando nuevamente la estrategia definida en los ejemplos anteriores, primero se ajustarán modelos con distintas estructuras de covarianza, combinando apropiadamente estructuras de correlación residual, heteroscedasticidad residual y efectos aleatorios. Mediante criterios de verosimilitud penalizada (AIC y BIC) y pruebas de cociente de verosimilitud se elegirá el modelo que mejor describa los datos. Una vez seleccionado el modelo de estructura de covarianza adecuado se realizarán inferencias acerca de las medias (comparar medias de drogas, estudiar el efecto del tiempo, analizar si los perfiles promedio varían en el tiempo, si son paralelos, etc.). Es importante destacar que toda la inferencia sobre las medias estará basada en el modelo de estructura de covarianza seleccionado. Debido a que la variable que identifica al paciente (Paciente) en la base de datos toma valores iguales dentro de cada droga, para identificar a los 72 pacientes de este estudio se ha debido crear una nueva variable (paciente_droga) que identifica completamente al paciente. Para hacer esto se ha usado el menú Datos, submenú Cruzar categorías para formar una nueva variable (seleccionado Paciente y Droga en la ventana del selector de variables). Este es un experimento bifactorial y se usa un modelo que contempla los factores Droga, Hora y su interacción y la covariable Cap_Rep_Bas (todos de efectos fijos). Para realizar el análisis de este modelo, se deben declarar las variables de la siguiente forma (Figura 77). 108 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 77: Ventana de selector de variables con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. En primer lugar se evaluará un conjunto de modelos para determinar cuál es el que mejor ajusta. Los modelos evaluados son: 1. Errores independientes y varianzas residuales homoscedásticas. 2. Simetría compuesta y varianzas residuales homoscedásticas. 3. Auto regresivo de orden 1 y varianzas residuales homoscedásticas. 4. Auto regresivo de orden 1 y varianzas residuales heteroscedásticas. 5. Auto regresivo de orden 1 y varianzas residuales homoscedásticas y efecto aleatorio de paciente. 6. Auto regresivo de orden 1 y varianzas residuales heteroscedásticas y efecto aleatorio de paciente. 7. Matriz de varianzas y covarianzas sin estructura y varianzas residuales heteroscedásticas. La especificación de la parte fija del modelo es la misma para los 7 modelos evaluados (Figura 78). Para obtener el ajuste del Modelo 1 solo se debe activar el botón Aceptar con el modelo de efectos fijos presentado a continuación: 109 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 78: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. Para ajustar el Modelo 2, se deben especificar las ventanas como en la Figura 78 y la Figura 79. El Modelo 3 se especifica como en la Figura 78 y la Figura 80. El Modelo 4 se especifica como el anterior más el agregado de varianzas residuales heterogéneas como en la Figura 81. El Modelo 5 se especifica con las ventanas presentadas en la Figura 78, la Figura 80 y la Figura 82. El Modelo 6 es como el Modelo 5 más la especificacion de varianzas residuales heterogéneas (Figura 81). El modelo 7 se especifica como se muestra en la Figura 78, Figura 81 y Figura 83). 110 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 79: Ventana con la solapa Correlación desplegada, opción Simetría compuesta, con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. 111 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 80: Ventana con la solapa Correlación desplegada, opción Autorregresivo de orden 1, con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. 112 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 81: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. 113 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 82: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. 114 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 83: Ventana con la solapa Correlación desplegada, opción Sin estructura, con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. Luego de ajustar todos los modelos estos son los resultados: Cuadro 2. Características y medidas de ajuste de los modelos evaluados para los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. Modelo Efecto aleatorio paciente Correlación residual Varianzas residuales heterogéneas en el tiempo AIC BIC log lik 1 NO NO NO 968.94 1081.04 -458.47 2 NO Simetría Compuesta NO 401.29 517.71 -173.65 3 NO AR1 NO 329.04 445.45 -137.52 4 NO AR1 SÍ 324.57 471.17 -128.28 5 SÍ AR1 NO 303.03 423.76 -123.52 6 SÍ AR1 SÍ 287.80 438.71 -108.90 7 NO Sin estructura SÍ 270.27 533.29 -74.14 115 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat A partir del Cuadro 2 podemos observar que los modelos 6 y 7 presentan los valores más bajos de AIC mientras que los modelos 5 y 6 presentan los valores más bajos para BIC. Una prueba formal de cociente de verosimilitud para comparar los modelos 5 y 6 puede obtenerse mediante: X 2 = −2(log lik modelo reducido - log lik modelo completo) =−2(−123.52 + 108.90) =29.24 Como ambos modelos difieren en 7 parámetros (el Modelo 5 tiene una única varianza residual y el Modelo 6 tiene 8 varianzas residuales), el estadístico de verosimilitud se compara con un valor crítico de una distribución chi-cuadrado con 7 grados de libertad. Al hacer esto con el calculador de probabilidades y cuantiles de InfoStat obtenemos un p-valor de 0.0001, lo que nos lleva a escoger el modelo completo (Modelo 6). La misma prueba se puede realizar con el menú Estadísticas>>Modelos lineales generales y mixtos>> Análisis-exploración de modelos estimados. Para comparar ambos modelos seleccionamos la solapa Modelos y obtenemos los siguientes resultados: Comparación de modelos Model 5 6 df 28 35 AIC 303.03 287.80 BIC 423.76 438.71 logLik -123.52 -108.90 Test 1 vs 2 L.Ratio p-value 29.23 0.0001 Los resultados de la prueba del cociente de verosimilitud indican que entre estos dos modelos el mejor es el Modelo 6. Luego, resta solo comparar el Modelo 6 con el 7. En este caso el modelo reducido es el 6 y el completo es el 7. Los resultados para esta comparación son: Comparación de modelos Model 7 6 df 61 35 AIC 270.27 287.80 BIC 533.29 438.71 logLik -74.14 -108.90 Test 1 vs 2 L.Ratio p-value 69.53 <0.0001 Los resultados indican que el Modelo 7 es el mejor. Por lo tanto el modelo seleccionado tiene una estructura de correlación residual sin estructura y varianzas residuales heterogéneas en el tiempo. La salida completa para este modelo se presenta a continuación: 116 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo007_Cap_Respirat_REML<gls(Cap_Respirat~1+Droga+Hora+Droga:Hora+Cap_Resp_base ,weight=varComb(varIdent(form=~1|Hora)) ,correlation=corSymm(form=~as.integer(as.character(Hora))|Paciente_Dro ga) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data09) Resultados para el modelo: modelo007_Cap_Respirat_REML Variable dependiente:Cap_Respirat Medidas de ajuste del modelo N 576 AIC 270.27 BIC 533.29 logLik -74.14 Sigma R2_0 0.48 0.55 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis marginales(SC tipo III) (Intercept) Droga Hora Cap_Resp_base Droga:Hora numDF F-value 1 6.49 2 7.25 7 13.72 1 92.57 14 4.06 p-value 0.0111 0.0008 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Droga Hora Cap_Resp_base Droga:Hora numDF F-value 1 3936.01 2 13.87 7 13.72 1 92.57 14 4.06 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Estructura de correlación Modelo de correlación: General correlation Formula: ~ as.integer(as.character(Hora)) | Paciente_Droga Matriz de correlación común 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1.00 0.89 0.88 0.78 0.69 0.67 0.52 0.65 2 0.89 1.00 0.91 0.87 0.81 0.70 0.59 0.70 3 0.88 0.91 1.00 0.91 0.81 0.75 0.64 0.74 4 0.78 0.87 0.91 1.00 0.82 0.73 0.67 0.75 5 0.69 0.81 0.81 0.82 1.00 0.85 0.73 0.84 6 0.67 0.70 0.75 0.73 0.85 1.00 0.81 0.88 7 0.52 0.59 0.64 0.67 0.73 0.81 1.00 0.82 8 0.65 0.70 0.74 0.75 0.84 0.88 0.82 1.00 117 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varIdent Formula: ~ 1 | Hora Parámetros de la función de varianza Parámetro 1 2 3 4 5 6 7 8 Estim 1.00 1.07 1.06 1.15 1.12 1.07 1.09 1.15 Medias ajustadas y errores estándares para Droga LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Droga Medias B 3.33 A 3.11 P 2.82 E.E. 0.09 0.09 0.09 A A B Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) Medias ajustadas y errores estándares para Hora LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Hora 1 2 3 4 5 6 7 8 Medias 3.33 3.30 3.22 3.12 3.02 2.96 2.88 2.87 E.E. 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 A A B C D D E E Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) Medias ajustadas y errores estándares para Droga*Hora LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Droga B B B A B A B A B A Hora 1 2 3 1 4 2 5 3 6 5 Medias 3.69 3.63 3.58 3.47 3.44 3.39 3.25 3.18 3.08 3.05 E.E. 0.10 0.10 0.10 0.10 0.11 0.10 0.11 0.10 0.10 0.11 A A A A B B B B B C C C C D D D D E E E E F F F G G H 118 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat A B A B P P P A A P P P P P 4 8 6 7 3 2 4 7 8 1 6 7 5 8 3.04 3.01 2.98 2.98 2.90 2.89 2.87 2.87 2.86 2.83 2.82 2.79 2.77 2.73 0.11 0.11 0.10 0.11 0.10 0.10 0.11 0.11 0.11 0.10 0.10 0.11 0.11 0.11 E E E F F F F F G G G G G G G G G G G H H H H H H H H H H H H H I I I I I I I I I I I I I Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) Podemos ver que hay interacción significativa entre la droga y el tiempo (p<0.0001), por lo que procederemos a realizar un Gráfico de interacción. Para realizar este gráfico en primer lugar se copiaron las Medias ajustadas y errores estándares para Droga*Hora y se pegaron en una nueva tabla de InfoStat. Esta tabla fue guardada como MedCapRes.IDB2. Luego en el menú Gráficos>>Gráficos de puntos se declararon las variables como se muestra a continuación (Figura 84 y Figura 85): Figura 84: Ventana de selector de variables para los datos del archivo MedCapRes.IDB2. 119 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 85: Ventana de selector de variables con solapa Particiones activada para los datos del archivo MedCapRes.IDB2. Es importante recalcar que debido a que los errores estándar de cada una de las combinaciones de tratamientos y horas son diferentes éstos deben ser tenidos en cuenta al momento de solicitar el gráfico. Esto se logra declarando la medida de error en la subventana Error. Con estas especificaciones se obtiene el gráfico para estudiar la interacción (Figura 86). 120 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 3.80 3.70 3.60 Droga A Droga B Placebo Capacidad respiratoria media 3.50 3.40 3.30 3.20 3.10 3.00 2.90 2.80 2.70 2.60 1 2 3 4 5 6 7 8 Hora Figura 86: Gráfico de puntos para estudiar la interacción entre tratamientos y hora con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. Podemos observar que mientras el placebo tiene una respuesta prácticamente constante, las drogas A y B aumentan la capacidad respiratoria después de su aplicación. Esta capacidad va disminuyendo con el tiempo, y siempre es superior el valor medio de la droga B respecto a la droga A. Para encontrar diferencias significativas entre los tratamientos en cada una de las horas se pueden realizar contrastes. En este caso, dentro de cada hora se pueden probar hipótesis sobre igualdad de medias entre drogas y placebo, y entre las dos drogas. Para la obtención de los contrastes (en este caso ortogonales) se deben declara en la solapa Comparaciones, subsolapa Contrastes como en la Figura 87. 121 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 87: Ventana con la solapa Comparaciones, subsolapa Contrastes con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. A continuación se presentan lo valores de probabilidad para los contrastes solicitados: Pruebas de hipótesis para contrastes Droga*Hora Ct.1 Ct.2 Ct.3 Ct.4 Ct.5 Ct.6 Ct.7 Ct.8 Ct.9 Ct.10 Ct.11 Ct.12 Ct.13 Ct.14 Ct.15 Ct.16 Total F gl(num) 40.08 1 2.54 1 23.46 1 2.46 1 14.55 1 7.36 1 7.39 1 6.37 1 8.11 1 1.63 1 2.86 1 0.53 1 1.09 1 0.53 1 2.13 1 0.94 1 5.19 16 gl(den) 551 551 551 551 551 551 551 551 551 551 551 551 551 551 551 551 551 p-valor <0.0001 0.1119 <0.0001 0.1170 0.0002 0.0069 0.0068 0.0119 0.0046 0.2022 0.0914 0.4651 0.2965 0.4656 0.1446 0.3319 <0.0001 122 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Los Contrastes 1, 3, 5, 7 y 9 comparan el placebo con el promedio de las drogas para las horas 1, 2, 3 ,4 y 5 respectivamente. Debido a que todos estos son significativos (p<0.05) podemos decir que recién a la hora 6 de aplicadas las drogas estas pierden su efecto, ya que los contrastes 11, 13 y 15 no son significativos. Respecto a la comparación de las drogas entres sí, la superioridad de la B sobre la A se manifiesta (p<0.05) solo en las horas 3 y 4 (contrastes 6 y 8 respectivamente). 123 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Análisis de ensayo de descomposición En los ensayos de descomposición de hojarasca la materia seca remanente en cada tiempo es analizada, generalmente, mediante ANCOVA, usando el tiempo como covariable y transformación logarítmica de la respuesta, o ANOVA para un diseño en parcelas divididas, cuando los periodos de evaluación son equi-distantes. Las unidades de observación consisten en bolsas conteniendo el material vegetal. Usualmente estas bolsas son agrupadas para conformar una repetición y permitir su evaluación a lo largo del tiempo, evaluando el contenido de una bolsa en cada instancia de valoración. Aunque en cada tiempo las bolsas evaluadas son distintas, en muchas ocasiones la estructura de correlación que supone independencia o simetría compuesta (inducida por la agrupación de bolsas que representan una repetición) no es suficiente para explicar las correlaciones observadas. Las observaciones cercanas en el tiempo suelen estar más correlacionadas que las lejanas, o las correlaciones entre observaciones en los primeros tiempos son diferentes a las de los últimos. El uso de modelos mixtos permite no sólo manejar estructuras de correlación más complejas sino también la posibilidad de modelar varianzas heterogéneas. En estos modelos los tratamientos pueden ser incluidos como factores de clasificación y el tiempo puede modelarse tanto como una covariable o como un factor. Este último caso produce modelos menos parsimoniosos pero más flexibles para modelar diferentes tendencias en el tiempo. Por otra parte, la introducción de efectos aleatorios sobre los parámetros que involucran al tiempo puede ser usada para corregir falta de ajuste. En el ejemplo, que se presenta a continuación, se analizan un conjunto de datos proveniente de un ensayo de descomposición realizado en ambiente acuático tropical (Martinez 2006). Los tratamientos comparados consisten en: dos especies (Guadua sp. y Ficus sp.) de las cuales se obtiene el material vegetal y dos tamaño de la trama de la bolsa donde se coloca el material (tramado fino y grueso). Los cuatro tratamientos contaron con 5 repeticiones (conteniendo 7 bolsas cada una) y fueron evaluados en 7 tiempos. El propósito de este ensayo fue establecer el efecto de los factores y el tiempo sobre la tasa de descomposición. Los datos se encuentran en el archivo Descomposicion.IDB2. Los datos originales (materia seca remanente) fueron transformados a logaritmos. El gráfico del logaritmo de la materia seca remanente (en adelante la respuesta) en función del tiempo y para cada tratamiento (Figura 88) muestra un decaimiento del peso seco 124 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat remanente en función del tiempo. Se insinúa también una posible falta de homoscedasticidad en función del tiempo y dependiente de la especie y el tramado de la tela de la bolsa. Una primera aproximación a la modelación de estos datos podría ser el ajuste de un modelo de regresión con ordenadas al origen y pendientes diferentes. Para realizar este ajuste se invocó al módulo de modelos mixtos indicando como variable dependiente al LnPesoSeco, como factores de clasificación a Especie y Bolsa y como covariable al Tiempo. Luego en la solapa de la parte fija del modelo se indicaron los términos que se presentan en la Figura 89. El gráfico del modelo ajustado se presenta en la Figura 90. 1.5 1.0 0.5 0.0 LnPesoSeco -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0 -3.5 -4.0 0 10 20 30 50 40 60 70 90 80 Tiempo Ficus:Fino Ficus:Grueso Guadua:Fino Guadua:Grueso Figura 88: Gráfico de puntos para el logaritmo del peso seco remanente en función del tiempo, para los cuatro tratamientos (Especie-Bolsa). Archivo Descomposición.IDB2. 125 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 89: Especificación del modelo de regresión lineal con ordenadas al origen y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. 126 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 1.5 1.0 0.5 0.0 LnPesoSeco -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0 -3.5 -4.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tiempo Ficus:Fino Ficus:Grueso Guadua:Fino Guadua:Grueso Figura 90: Gráfico de puntos para el logaritmo del peso seco remanente en función del tiempo, para los cuatro tratamientos (Especie-Bolsa). Archivo Descomposición.IDB2. La Figura 90 muestra que el ajuste de rectas específicas por tratamiento, es una aproximación que, aunque plausible, no da cuenta de algunas particularidades de la pérdida de peso seco. Esto se refleja en la presencia de curvatura en los residuos (Figura 91). Una forma de resolver el problema de la presencia de curvatura es la imposición de un modelo que incluya términos cuadráticos para el tiempo. Para ello tendremos que extender el modelo propuesto en Figura 89, incluyendo todos los términos correspondientes al tiempo al cuadrado. Para simplificar la notación hemos creado tres variables T1 y T2 que representan el tiempo y el tiempo al cuadrado y Especie_Bolsa que identifica los cuatro tratamientos. T1 es el tiempo centrado respecto del valor 30 (días) y T2 el cuadrado de T1. La razón para centrar las covariables es romper la colinealidad que resulta de utilizar una regresora y su cuadrado y mejorar la condición de la matriz X’X. Las variables T1 y T2 así como Especie_Bolsa se incluyen en el archivo Descomposición.IDB2. En la invocación del módulo de modelos mixtos debería incluirse Especie_Bolsa como factor de clasificación y T1 y T2 como covariables. Luego en la solapa de los efectos fijos del modelo debería verse como se muestra en la Figura 92. 127 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 91: Gráfico de residuos estudentizados (Pearson) vs. Tiempo, para un modelo de regresión de la materia seca residual en función del tiempo para cuatro tratamientos (Especia-Bolsa) con diferentes ordenadas y pendientes. Archivo Descomposición.IDB2. Figura 92: Especificación del modelo de regresión lineal con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. 128 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 1.50 1.00 0.50 0.00 LnPesoSeco -0.50 -1.00 -1.50 -2.00 -2.50 -3.00 -3.50 -4.00 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tiempo Ficus:Fino Ficus:Grueso Guadua:Fino Guadua:Grueso Figura 93: Ajustes del modelo de regresión polinómica de orden 2 con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. Los residuos del modelo ajustado según Figura 92, muestran dos problemas: heteroscedasticidad (que depende del tiempo y los tratamientos) y falta de ajuste, ya que para algunos tratamientos y tiempos, los residuos de Pearson aparecen por encima o por debajo de la línea del cero (Figura 94). En este punto optaremos por modelar primeramente, el problema de heteroscedasticidad utilizando varianzas diferentes para cada combinación Especie-Bolsa. Para ello, en la ventana de especificación del modelo dejaremos la parte fija tal cual se indicó en la Figura 92, pero en la solapa Heteroscedasticidad indicaremos que la varianza debe ser estimada de manera diferente para la combinación de tiempo y tratamiento según se muestra en la Figura 95. Los residuos estudentizados vs. tiempo para este modelo se presentan en la (Figura 96). Aún cuando se pudo subsanar, en gran medida, el problema de la heteroscedasticidad, persisten problemas de falta de ajuste que se visualizan en conjuntos de residuos de un único tratamiento en un tiempo dado que quedan ya sean todos positivos o negativos. 129 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 4.00 Residuos LnPesoSeco (Pearson) 3.00 2.00 1.00 0.00 -1.00 -2.00 -3.00 -4.00 -5.00 -6.00 -7.00 0 23 45 68 90 Tiempo Ficus:Fino Ficus:Grueso Guadua:Fino Guadua:Grueso Figura 94: Residuos estudentizados (Pearson) vs. Tiempo para el modelo de regresión polinómica de orden 2 con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. Figura 95: Especificación de la parte heteroscedástica del modelo de regresión polinómica de orden 2 con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. 130 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Una forma de resolver esta falta de ajuste, es agregar efectos aleatorios sobre el nivel medio para las combinaciones de tiempo y tratamientos. Si en la solapa Efectos aleatorios agregamos Tiempo_Especie_Bolsa y dejamos tildado el casillero correspondiente a la Constante estamos indicando que se trata de un corrimiento aleatorio respecto al valor esperado para cada tratamiento y tiempo bajo el modelo de regresión utilizado (Figura 97). Finalmente, el gráfico de residuos estudentizados de este modelo muestra una imagen donde no hay evidencia de falta de ajuste o presencia de heteroscedasticidad (Figura 98). Residuos LnPesoSeco (Pearson) 2.50 1.25 0.00 -1.25 -2.50 68 45 23 0 90 Tiempo Ficus:Fino Ficus:Grueso Guadua:Fino Guadua:Grueso Figura 96: Residuos estudentizados (Pearson) vs Tiempo para el modelo heteroscedástico de regresión con ordenadas y pendientes diferentes por tratamiento para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. 131 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 97: Especificación de la parte aleatoria del modelo heteroscedástico de regresión polinómica de orden 2 con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. Residuos LnPesoSeco (Pearson) 2.50 1.25 0.00 -1.25 -2.50 0 10 20 30 50 40 60 70 80 90 Tiempo Ficus:Fino Ficus:Grueso Guadua:Fino Guadua:Grueso Figura 98: Residuos estudentizados (Pearson) vs Tiempo para el modelo heteroscedástico de regresión con ordenadas y pendientes diferentes por tratamiento y el agregado de un efecto aleatorio sobre la constante que es particular para cada combinación de tiempo y tratamiento, para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. 132 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Finalmente, como el propósito de este ensayo fue calcular las tasas de descomposición y lo que hemos ajustado es un modelo lineal para el logaritmo del peso de materia seca remanente, podemos estimar la tasa de descomposición como la derivada de -exp(modelo ajustado). Utilizaremos la interfase con R para obtener estas derivadas. Apretando la tecla F9 se invoca la ventana del intérprete de R (Figura 99). A la derecha de la ventana aparecerán una lista de los objetos R que se hayan creado durante la sesión de trabajo. En esta lista debe aparecer el modelo ajustado utilizando el modulo de modelos mixtos, el nombre de estos objetos es “modelo”+ número correlativo_nombre de la variable dependiente_método de estimación. En nuestro ejemplo debería aparecer modelo#_LnPesoSeco_REML (en la posición # debe haber un número que depende del número de veces que se ajusto un modelo para la misma variable dependiente). En el ejemplo figura el modelo modeloOO1_LnPesoSeco_REML. Figura 99: Intérprete de R. Tiene 4 paneles. Script: contiene el o los programas R que se quieren ejecutar. Output: la salida de la ejecución de un script o de la visualización de un objeto, Objetos: la lista de los objetos residente en la memoria de R. Finalmente un panel inferior muestra los mensajes y reporte de errores que envía R a la consola. Para calcular las tasas de descomposición tenemos que comprender qué es lo que hemos ajustado con el modelo lineal estimado. La parte fija de modelo propuesto fue: 133 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Especie_Bolsa T1 T2 Especie_Bolsa*T1 Especie_Bolsa*T2 Este modelo es equivalente a: Especie_Bolsa-1 Especie_Bolsa*T1 Especie_Bolsa*T2 La ventaja de esta forma resumida de especificarlo es que los coeficientes de la parte fija aparecen directamente como en la equación (10). Este modelo especifica una regresión polinómica de segundo grado en el tiempo (centrado alrededor de 30 días) para cada una de las combinaciones de Especie y tramado de Bolsa. Así, lo que estimamos es una función de la forma: ln PesoSeco = βi 0 + βi1 (T − 30 ) + βi 2 (T − 30 ) 2 (10) Donde el índice i indica el tratamiento (en este caso i identifica a las cuatro combinaciones de Especie y tramado de Bolsa). Es decir que vamos a tener una ecuación como (10) específica para cada condición. Los coeficientes estimados de la parte fija pueden obtenerse durante la estimación del modelo tildando, en la solapa Efectos fijos, la opción Mostrar coeficientes de la parte fija. Como vamos a utilizar R para calcular las derivadas de (10), revisaremos estos coeficientes desde R. Si en la ventana Script escribimos: Modelo004_LnPesoSeco_REML$coefficients$fixed y apretamos al final de la línea Shift Enter aparecerá en el output la siguiente salida: Especies_BolsaFicus_Fino -0.7738921650 Especies_BolsaGuadua_Fino 0.8162357629 Especies_BolsaFicus_Fino:T1 Especies_BolsaFicus_Grueso -1.3680878569 Especies_BolsaGuadua_Grueso 0.7630705376 Especies_BolsaFicus_Grueso:T1 134 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat -0.0326126598 -0.0508364778 Especies_BolsaGuadua_Fino:T1 Especies_BolsaGuadua_Grueso:T1 -0.0086055613 -0.0192635993 Especies_BolsaFicus_Fino:T2 Especies_BolsaFicus_Grueso:T2 0.0002938702 0.0004422140 Especies_BolsaGuadua_Fino:T2 Especies_BolsaGuadua_Grueso:T2 0.0000571603 -0.0002451274 Los primeros 4 coeficientes (leyendo de izquierda a derecha), corresponden a las ordenadas al origen ( βi 0 ) de: Ficus_Fino, Ficus_Grueso, Guadua_Fino y Guadua_Grueso. Los segundos 4 coeficientes (-0.0326126598,…,,-0.0192635993) son los coeficientes ( βi1 ) del término lineal de (10) y los últimos 4 (0.0002938702,…, -0.0002451274) son los coeficientes ( βi 2 ) del término cuadrático en (10). Por ejemplo, el peso seco remanente para la Especie Ficus con Bolsa de tramado Fino la ecuación será: ln PesoSeco = −0.7738921651 − 0.0326126598 (T − 30) + 0.0002938702(T − 30) 2 Como la función (10) representa el peso seco remanente, el peso descompuesto debería calcularse como: ( ) (11) + 2 βi 2 (T − 30 ) ) (12) PesoSecoConsumido = PesoInicial − exp βi 0 + βi1 (T − 30 ) + βi 2 (T − 30 ) 2 En tanto la tasa de descomposición, sería la derivada de esta función, es decir: ( TasaDescomp = − exp βi 0 + βi1 (T − 30 ) + βi 2 (T − 30 ) 2 )(β i1 El siguiente script genera una tabla cuya primera columna es el tiempo y las restantes las tasas de descomposición para cada uno de los tratamientos. Tener en cuenta que se debe especificar el modelo que mejor ajustó (en nuestro caso modelo004): a=modelo004_LnPesoSeco_REML$coefficients$fixed T=seq(0,90,1) dFF = -exp(a[1]+(T-30)*a[5]+(T-30)*(T-30)*a[9]) *(a[5]+2*(a[9] *(T-30))) dFG = -exp(a[2]+(T-30)*a[6]+(T-30)*(T-30)*a[10])*(a[6]+2*(a[10]*(T-30))) dGF = -exp(a[3]+(T-30)*a[7]+(T-30)*(T-30)*a[11])*(a[7]+2*(a[11]*(T-30))) dGG = -exp(a[4]+(T-30)*a[8]+(T-30)*(T-30)*a[12])*(a[8]+2*(a[12]*(T-30))) Tasas=as.data.frame=cbind(T,dFF,dFG,dGF,dGG) 135 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat En la lista de objetos aparecerán los objetos a, T, dFF, dFG, dGF, dGG y Tasas. Haciendo clic sobre Tasas, con el botón derecho del ratón aparecerá un menú de acciones entre las que se encuentra Convertir matriz, data frame o vector a tabla InfoStat. Seleccionando esta opción obtendremos una nueva tabla InfoStat como la que se muestra a la derecha de este párrafo. Utilizando el submenú Diagrama de dispersión en el menú Gráficos podemos obtener una representación de las tasas de descomposición. Para ello se asignaron las variables dFF, dFG, dGF y dGG al Eje Y y la variable T al Eje X, en la ventana de diálogo emergente del submenú Diagrama de dispersión (Figura 100). 136 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 0.15 Tasa de descomposición 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 10 20 30 50 40 60 70 80 90 Tiempo Ficus Fino Ficus Grueso Guadua Fino Guadua Grueso Figura 100: Curvas de tasas de descomposición según especie y tramado de la bolsa de almacenamiento. 137 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Uso de modelos mixtos para el control de la variabilidad espacial en ensayos agrícolas Correlación espacial La estratificación o bloqueo de parcelas es una técnica usada para controlar los efectos de variación entre las unidades experimentales. Los bloques son grupos de unidades experimentales formados de manera tal que las parcelas dentro de los bloques sean lo más homogéneas posible. Los diseños con estratificación de parcelas tales como el diseño en bloques completos aleatorizados (DBCA), los diseños en bloques incompletos y los látices son más eficientes que el diseño completamente aleatorizado cuando las diferencias entre unidades experimentales que conforman un mismo estrato (bloque) son mínimas y las diferencias entre los estratos son máximas. Cuando esta condición no se cumple puede ocurrir una sobrestimación de la varianza del error y, si los datos son desbalanceados, también puede presentarse un sesgo en las estimaciones de los efectos de tratamientos. Cuando se evalúan muchos tratamientos en parcelas a campo, el tamaño de los bloques necesarios para lograr una repetición del ensayo es grande y por tanto resulta difícil asegurar la homogeneidad de las parcelas que conforman el bloque; las parcelas más próximas pueden ser más similares que las más distantes, generando variabilidad espacial (Casanoves et ál. 2005). La variabilidad espacial se refiere a la variación entre observaciones realizadas sobre parcelas con arreglos espaciales sobre el terreno. Debido a la existencia de variabilidad espacial dentro de bloques, el análisis de varianza estándar para los diseños que involucran el bloqueo de unidades experimentales no siempre elimina los sesgos en las comparaciones de efectos de tratamientos. La variación de parcela a parcela dentro de un mismo bloque puede deberse a competencia, heterogeneidad en la fertilidad del suelo, dispersión de insectos, malezas, enfermedades del cultivo o labores culturales, entre otros. Por este motivo se han propuesto procedimientos estadísticos que contemplan la variación espacial entre parcelas y que van desde el ajuste de medias de tratamientos en función de lo observado en las parcelas vecinas más cercanas (Papadakis 1937), hasta el uso de modelos que contemplan las correlaciones espaciales en términos del error y que también producen ajustes de medias de tratamientos (Mead 1971, Besag 1974, 1977, Ripley 1981). Gilmour et ál. (1997) particionan la variabilidad espacial entre parcelas de un ensayo en variabilidad espacial local y global. La variabilidad espacial local hace referencia a las 138 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat diferencias entre parcelas a pequeña escala, donde se contemplan las variaciones intrabloque. La tendencia espacial local y la heterogeneidad residual se modelan mediante la matriz de varianza y covarianza residual. A través de un sistema de coordenadas bidimensionales es posible definir la ubicación de las parcelas en el campo. La modelación de la estructura espacial de parcelas a partir de funciones de distancia puede realizarse en el contexto de los modelos lineales mixtos (Zimmerman y Harville 1991, Gilmour et ál. 1997, Cullis et ál. 1998), donde además de contemplar la estructura de correlación entre observaciones provenientes de distintas parcelas es posible modelar heterogeneidad de varianza residual. Esto es muy útil en los ensayos comparativos de rendimiento ya que estos se llevan a cabo en distintos ambientes. Si la correlación solo depende de la distancia (magnitud y/o dirección de las distancias), los modelos que estiman las covarianzas entre observaciones se denominan estacionarios. Las funciones de correlación para modelos estacionarios pueden ser isotrópicas o anisotrópicas. Las primeras son idénticas en cualquier dirección (sólo dependen de la magnitud de las distancias) mientras que las segundas permiten diferentes valores de sus parámetros en diferentes direcciones (i.e. dependen también de la dirección sobre la cual se calculan las distancias). Análisis de un ensayo comparativo de rendimientos en maní Para ejemplificar las alternativas de análisis usaremos los datos que se encuentran en el archivo ECRmaní.IDB2 y provienen de un año agrícola de un ensayo comparativo de rendimientos (ECR) de líneas experimentales (genotipos) de maní (Arachis hypogaea L.) del Programa de Mejoramiento de Maní de la EEA-Manfredi, INTA, Argentina. En cada campaña los ECR se realizaron en tres localidades del área de cultivo en la provincia de Córdoba: Manfredi, General Cabrera y Río Tercero. El conjunto de líneas evaluadas fue el mismo para cada localidad. En cada una de las tres localidades los ensayos fueron conducidos según un DBCA con cuatro repeticiones, registrándose los valores de rendimiento en grano (kg/parcela). Los datos de rendimiento fueron analizados usando distintas modificaciones del siguiente modelo: yijk = µ + τ i + γ j + ηk + δ jk + ϕik + ε ijk ; i = 1,..,16; j = 1,..., 4; k = 1,...,3 (13) 139 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat donde yijk representa la respuesta observada en i-ésimo nivel del factor genotipo, j-ésimo nivel de factor bloque, y k-ésimo nivel del factor localidad, µ representa la media general de la respuesta, τ i representa el efecto del i-ésimo nivel del factor genotipo, γ j representa el efecto del j-ésimo nivel del factor bloque, η k el k-ésimo nivel del factor localidad y ϕik la interacción entre los factores genotipo y localidad, δ ik el efecto de bloque dentro de localidad, y ε ijkl representa el error experimental. La ( ) suposición usual es que ε ijkl ~ N 0, σ ε2 . Excepto por εijk y los efectos de bloque (cuando son considerados aleatorios) en la mayoría de los casos, todos los factores del modelo serán considerados como de efectos fijos. Esto tiene la finalidad de restringir la comparación de los modelos a su estructura de parcelas. Las distintas estructuras de parcela inducen una estructura de correlación entre las observaciones que puede ser contemplada en el marco de los modelos mixtos, incluyendo técnicas de análisis para el control de la variabilidad espacial. Se usarán las siguientes estructuras de covarianza para los datos (covarianza marginal): 1. Modelo BF: Efecto de Bloques fijos, errores independientes y varianza entre localidades constante. 2. Modelo BA: Efecto de Bloques aleatorios, errores independientes y varianza entre localidades constante. 3. Modelo BFH: Efecto de Bloques fijos, errores independientes y varianzas diferentes entre localidades. 4. Modelo BAH: Efecto de Bloques aleatorios, errores independientes y varianzas diferentes entre localidades. 5. Modelo Exp: Correlación espacial exponencial sin efecto de bloques y varianza entre localidades constante. 6. Modelo BFExp: Correlación espacial exponencial, efecto de bloques fijos, y varianza entre localidades constante. 7. Modelo ExpH: Correlación espacial exponencial sin efecto de bloques y varianzas diferentes entre localidades. 8. Modelo Gau: Correlación espacial Gaussiana sin efecto de bloques y varianza entre localidades constante. 9. Modelo Esf: Correlación espacial esférico sin efecto de bloques y varianza entre localidades constante. En los dos primeros modelos los εijk se asumirán como independientes con varianza constante σ2, i.e. se supone que no existe variación espacial local (intrabloque) y además existe homogeneidad de varianzas residuales entre localidades. Los efectos de 140 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat bloque serán considerados fijos y aleatorios, denotando los procedimientos como Modelo BF y Modelo BA respectivamente. Los procedimientos denotados como Modelo BFH y Modelo BAH se basarán también en un modelo para un DBCA pero contemplando la posibilidad de varianzas residuales heterogéneas según los distintos niveles del factor localidad. El quinto procedimiento consistirá en ajustar para cada localidad un modelo de correlación espacial isotrópico con función de correlación potencia (Modelo Exp) sin declarar el efecto de bloques. Este modelo supone que la función exponencial no solo contemplará la variación intrabloque sino también la variación entre bloques. El sexto procedimiento fue igual al anterior pero agregando un efecto fijo de bloque (Modelo BFExp). El séptimo modelo consistió en un modelo como el Exp pero permitiendo la posibilidad de varianzas (y correlaciones) diferentes para cada localidad. Los dos últimos procedimiento consistirán en ajustar para cada localidad un modelo de correlación espacial isotrópico con función de correlación Gaussiana (Modelo Gau) y con función de correlación Esférica, sin declarar el efecto de bloques. En todos los casos se utilizó estimación REML. En el selector de variables se indica al rendimiento (Rendim) como dependiente y bloque, local y geno como clasificatorias. Para ajustar el Modelo BF, en la solapa de efectos fijos se deben declarar los efectos como se muestra en la Figura 101. No se declara nada en el resto de las solapas. Para ajustar el Modelo BA, en la solapa efectos fijos y efectos aleatorios debe declararse los factores como se presenta en la Figura 102 y Figura 103 respectivamente. No se declara nada en el resto de las solapas. 141 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 101: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y el Modelo BF. Figura 102: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y el Modelo BA. 142 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 103: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y el Modelo BA. Los modelos BFH y BAH contemplan errores independientes y varianzas entre localidades diferentes. Para especificar estos modelos, se procede igual que en los dos casos anteriores (i.e. BF y BA) pero agregando una función varIdent en la solapa Heteroscedasticidad, indicando como criterio de agrupamiento a la localidad (local). Una vez declarada la función y el criterio de agrupamiento hacer clic en Agregar (Figura 104). 143 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 104: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad usando local como criterio de agrupamiento para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y los Modelos BFH y BAH. El quinto modelo no incluye el efecto de bloque y modela la variabilidad entre bloques e intra-bloque por medio de una función exponencial isotrópica (modelo Exp) con varianzas constantes entre localidades. Par usar la función exponencial deberemos agregar al modelo las variables que denotan las coordenadas espaciales. Para esto en el selector de variables debemos colocar las variables la y lon en Covariables. En la solapa Efectos fijos dejamos geno, local y geno*local y en la solapa Efectos aleatorios no se declara ningún factor. En la solapa Heteroscedasticidad no debe quedar ninguna función declarada. Para declarar la correlación espacial tipo exponencial, en la solapa Correlación se debe seleccionar la función correspondiente y declarar las coordenadas en X y en Y, y el criterio de agrupamiento, en este caso local, ya que hay un sistema de coordenadas dentro de cada localidad (Figura 105). 144 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 105: Ventana con la solapa Correlación usando las variables la y lon como coordenadas en X e Y respectivamente y local como criterio de agrupamiento para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y los Modelos Exp y BFExp. El sexto modelo, Modelo BFExp, es igual que el anterior pero declarando los efectos de bloque dentro de localidad como fijos (como en la Figura 101). La inclusión de los bloques fijos restringe la modelación de la variación espacial únicamente a la variación dentro de bloque. La variación entre bloques está siendo contemplada, en un sentido clásico, por la inclusión de los bloques en la parte fija. Así, declarar como coordenadas del modelo de correlación espacial a la y lon, parece redundante ya que bastaría con declarar sólo lon (coordenada que varia dentro de bloque). Sin embargo para omitir la coordenada la sería necesario declara un nuevo criterio de estratificación consistente en la combinación de los niveles de local y bloque. Esta forma alternativa produce idénticos resultados a los mostrados en el modelo BFExp. El séptimo modelo, modelo ExpH, es como el modelo Exp pero permitiendo varianzas heterogéneas entre las localidades (como en la Figura 104). Los modelos Gau y Esf se ajustan al igual que el Exp sin el efecto de bloque, y como se muestra en la Figura 105, 145 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat pero eligiendo la función de correlación espacial Gaussiana y esférica respectivamente. En la solapa Heteroscedasticidad no debe quedar nada declarado. A continuación se presentan las salidas con las medidas de ajuste de los diferentes modelos. Modelo BF Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo000_rendim_REML<-gls(rendim~1+local+geno+local:geno+local/bloque ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00) Resultados para el modelo: modelo000_rendim_REML Variable dependiente:rendim Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 299.71 BIC 468.22 logLik -91.86 Sigma R2_0 0.35 0.86 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) local geno local:geno local:bloque numDF F-value 1 8372.75 2 280.56 15 6.02 30 4.32 9 4.77 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Modelo BA Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo001_rendim_REML<-lme(rendim~1+local+geno+local:geno ,random=list(bloque_local=pdIdent(~1)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo001_rendim_REML Variable dependiente:rendim 146 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 283.41 BIC 431.90 logLik -91.71 Sigma R2_0 0.35 0.81 R2_1 0.86 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) local geno local:geno numDF denDF F-value 1 135 1754.21 2 9 58.78 15 135 6.02 30 135 4.32 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|bloque_local Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (const) (const) 0.49 Modelo BFH Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo002_rendim_REML<-gls(rendim~1+local+geno+local:geno+local/bloque ,weight=varComb(varIdent(form=~1|local)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00) Resultados para el modelo: modelo002_rendim_REML Variable dependiente:rendim Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 303.44 BIC 477.75 logLik -91.72 Sigma R2_0 0.36 0.86 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales numDF F-value (Intercept) 1 8547.37 local 2 292.67 geno 15 6.02 local:geno 30 4.36 local:bloque 9 4.76 Estructura de varianzas p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 147 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo de varianzas: varIdent Formula: ~ 1 | local Parámetros de la función de varianza Parámetro gralcabr manf rio3 Estim 1.00 0.92 0.96 Modelo BAH Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo003_rendim_REML<-lme(rendim~1+local+geno+local:geno ,random=list(bloque_local=pdIdent(~1)) ,weight=varComb(varIdent(form=~1|local)) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo003_rendim_REML Variable dependiente:rendim Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 287.12 BIC 441.55 logLik -91.56 Sigma R2_0 0.36 0.81 R2_1 0.86 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) local geno local:geno numDF denDF F-value 1 135 1765.74 2 9 59.53 15 135 6.01 30 135 4.36 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|bloque_local Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (const) (const) 0.46 Estructura de varianzas 148 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo de varianzas: varIdent Formula: ~ 1 | local Parámetros de la función de varianza Parámetro gralcabr manf rio3 Estim 1.00 0.92 0.95 Modelo Exp Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo004_rendim_REML<-gls(rendim~1+geno+local+local:geno ,correlation=corExp(form=~as.numeric(as.character(la))+as.numeric(as.c haracter(lon))|local ,metric="euclidean" ,nugget=FALSE) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data05) Resultados para el modelo: modelo004_rendim_REML Variable dependiente:rendim Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 273.43 BIC 421.92 logLik -86.72 Sigma R2_0 0.39 0.81 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) geno local geno:local numDF F-value 1 1687.54 15 7.27 2 56.18 30 5.33 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Estructura de correlación Modelo de correlación: Exponential spatial correlation Formula: ~ as.numeric(as.character(la)) + as.numeric(as.character(lon)) | local Metrica: euclidean Parámetros del modelo Parámetro range Estim 0.96 149 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo BFExp Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo005_rendim_REML<-gls(rendim~1+geno+local+local:geno+local/bloque ,correlation=corExp(form=~as.numeric(as.character(la))+as.numeric(as.c haracter(lon))|local ,metric="euclidean" ,nugget=FALSE) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data05) Resultados para el modelo: modelo005_rendim_REML Variable dependiente:rendim Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 284.85 BIC 456.26 logLik -83.42 Sigma R2_0 0.35 0.86 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) geno local geno:local local:bloque numDF F-value 1 2785.57 15 7.86 2 92.79 30 5.74 9 3.46 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 0.0007 Estructura de correlación Modelo de correlación: Exponential spatial correlation Formula: ~ as.numeric(as.character(la)) + as.numeric(as.character(lon)) | local Metrica: euclidean Parámetros del modelo Parámetro range Estim 0.78 150 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo ExpH Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo006_rendim_REML<-gls(rendim~1+geno+local+local:geno ,weight=varComb(varIdent(form=~1|local)) ,correlation=corExp(form=~as.numeric(as.character(la))+as.numeric(as.c haracter(lon))|local ,metric="euclidean" ,nugget=FALSE) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data05) Resultados para el modelo: modelo006_rendim_REML Variable dependiente:rendim Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 275.01 BIC 429.44 logLik -85.50 Sigma R2_0 0.43 0.81 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) geno local geno:local numDF F-value 1 1633.46 15 7.15 2 61.51 30 5.53 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Estructura de correlación Modelo de correlación: Exponential spatial correlation Formula: ~ as.numeric(as.character(la)) + as.numeric(as.character(lon)) | local Metrica: euclidean Parámetros del modelo Parámetro range Estim 0.99 Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varIdent Formula: ~ 1 | local Parámetros de la función de varianza Parámetro gralcabr manf rio3 Estim 1.00 0.85 0.81 151 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo Gau Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo007_rendim_REML<-gls(rendim~1+geno+local+local:geno ,correlation=corGaus(form=~as.numeric(as.character(la))+as.numeric(as. character(lon))|local ,metric="euclidean" ,nugget=FALSE) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data05) Resultados para el modelo: modelo007_rendim_REML Variable dependiente:rendim Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 277.81 BIC 426.30 logLik -88.90 Sigma R2_0 0.37 0.81 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) geno local geno:local numDF F-value 1 3399.06 15 7.36 2 113.57 30 4.97 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Estructura de correlación Modelo de correlación: Gaussian spatial correlation Formula: ~ as.numeric(as.character(la)) + as.numeric(as.character(lon)) | local Metrica: euclidean Parámetros del modelo Parámetro range Estim 0.87 152 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo Esf Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo008_rendim_REML<-gls(rendim~1+geno+local+local:geno ,correlation=corSpher(form=~as.numeric(as.character(la))+as.numeric(as .character(lon))|local ,metric="euclidean" ,nugget=FALSE) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data05) Resultados para el modelo: modelo008_rendim_REML Variable dependiente:rendim Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 277.72 BIC 426.21 logLik -88.86 Sigma R2_0 0.38 0.81 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) geno local geno:local numDF F-value 1 3170.04 15 7.61 2 105.96 30 5.15 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Estructura de correlación Modelo de correlación: Spherical spatial correlation Formula: ~ as.numeric(as.character(la)) + as.numeric(as.character(lon)) | local Metrica: euclidean Parámetros del modelo Parámetro range Estim 1.91 Comparación de los modelos ajustados Debido a que los modelos ajustados tienen distintas componentes en su parte fija, se compararán por medio de los criterios AIC y BIC aquellos que comparten los mismos efectos fijos. En primer lugar se comparan entonces el BF, BFH y BFExp (Cuadro 3). 153 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Cuadro 3. Criterios de bondad de ajuste para los modelos ajustados con efectos de bloque fijo en los datos del archivo ECRmani.IDB2 Modelo AIC BIC BF 299.72 468.22 BFH 303.44 477.75 BFExp 284.85 456.26 Para este grupo de modelos que contemplan efecto de bloques fijos se puede ver que el modelo con bloques fijos más una función de correlación exponencial provee el mejor ajuste. Esto implica la existencia de una correlación intra-bloque que es removida por la función de correlación exponencial. También se puede observar que no hay una mejora en estos modelos al permitir varianzas heterogéneas entre localidades (BF respecto a BFH). Si se calculan las varianzas a partir de los coeficientes para las distintas localidades se puede ver que estas son realmente similares: Varianza de gralcabr = (1*0.36)2 = 0.129 Varianza de manf = (0.92*0.36)2 = 0.109 Varianza de rio3 = (0.96*0.36)2 = 0.119 Los restantes 6 modelos se pueden comparar entre sí ya que todos comparten los mismos efectos fijos, i.e. geno, local y geno*local (Cuadro 4). Cuadro 4. Criterios de bondad de ajuste para los modelos ajustados sin efectos de bloque fijo en los datos del archivo ECRmani.IDB2 Modelo AIC BIC BA 283.41 431.90 BAH 287.12 441.55 Exp 273.43 421.92 ExpH 275.01 429.44 Gau 277.81 426.30 Esf 277.72 426.21 154 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Dentro de los modelos que contemplan efectos de bloque aleatorio se puede ver nuevamente que al permitir varianzas heterogéneas entre localidades el modelo no mejora, ya que AIC y BIC son más pequeños en BA comparados con BAH. Lo mismo ocurre cuando sólo se modela la variabilidad espacial por medio de una función de correlación exponencial, ya que al permitir varianzas heterogéneas (ExpH) no se logra una mejoría respecto a Exp. Comparando distintos modelos de correlación espacial, no se encontraron diferencias importantes para AIC y BIC entre los modelos Gau y Esf, pero estos criterios tuvieron valores inferiores para la función de correlación espacial exponencial. Este último modelo fue el de mejor ajuste dentro de los modelos sin efecto de bloque fijo. Si bien el primer grupo de modelos (BF, BFH y BFExp) no son comparables por medio de AIC y BIC con este último grupo, el investigador deberá poder discernir si sus bloques deben ser considerados fijos o aleatorios. La elección de uno u otro grupo de modelos tendrá efecto sobre las inferencias que se realicen. Esto se visualiza fácilmente al ver que los errores estándar usados para las comparaciones de medias cambian entre los modelos. Una discusión más detallada sobre la elección de bloques fijos o aleatorios puede encontrarse en Casanoves et ál. (2007). En este ejemplo los mejores modelos dentro de cada grupo (i.e. BFExp y Exp para el primero y segundo grupo de modelos respectivamente) tienen la misma estructura de covarianza pero difieren en su parte fija: unos contienen el efecto de bloque y otros no. Para decidir cuál de los dos modelos es el que conviene, podemos realizar una prueba de cociente de verosimilitudes, usando las estimaciones por ML para los modelos con y sin efectos de bloque (recordemos que para comparar modelos con distintos efectos fijos se debe usar ML): Modelo con bloque (completo BFExp): Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 163.82 BIC 356.01 logLik -22.91 Sigma R2_0 0.29 0.86 logLik -41.43 Sigma R2_0 0.34 0.81 AIC y BIC menores implica mejor Modelo sin bloque (reducido Exp): Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 182.85 BIC 345.73 AIC y BIC menores implica mejor 155 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Así, el estadístico G = 2 log lik completo − 2 log lik reducido =− 2 ( 22.91 + 41.43) = 37.04 con 9 grados de libertad, y un valor p<0.0001, por lo que podemos decir, con una significancia del 5%, que conviene dejar el efecto de bloques fijos y la función de correlación exponencial. La comparación se puede hacer manualmente, o utilizando el módulo Análisis exploratorio de un modelo estimado. Seleccionando la solapa, Modelos y tildando los modelos estimados correspondientes a BFExp y ExP, se obtienen la salida mostrada a continuación. Comparación de modelos modelo009_rendim_ML modelo010_rendim_ML Model 1 2 df 59 50 logLik -22.91 -41.43 Test 1 vs 2 L.Ratio p-value 37.04 <0.0001 A continuación se presenta la salida completa correspondiente al modelo BFExp. Las pruebas de hipótesis para la interacción entre genotipo y localidad son significativas (p<0.0001) por lo que la recomendación de un genotipo puede cambiar dependiendo de la localidad. Puede observarse que debido al ajuste de la función de correlación espacial los EE de los genotipos no son únicos. Las comparaciones múltiples presentadas se realizaron mediante la aplicación del procedimiento DGC (Di Rienzo et ál. 2002). Esta procedimiento fue adaptado para contemplar las particularidades de la estructura de correlación entre estimaciones emergente de los modelos mixtos. La aplicación de este procedimiento es recomendada por el gran número de medias a comparar, ya que asegura una interpretación más sencilla que la que puede obtenerse de la aplicación de un test tipo LSD de Fisher. Para hacer recomendaciones se pueden usar las comparaciones de medias de las combinaciones de localidades y genotipos como así también el grafico de interacción (Figura 106). Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo010_rendim_REML<-gls(rendim~1+local+geno+local:geno+local/bloque ,correlation=corExp(form=~as.numeric(as.character(la))+as.numeric(as.c haracter(lon))|local ,metric="euclidean" ,nugget=FALSE) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data03) 156 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Resultados para el modelo: modelo010_rendim_REML Variable dependiente:rendim Medidas de ajuste del modelo N 192 AIC 284.85 BIC 456.26 logLik -83.42 Sigma R2_0 0.35 0.86 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) local geno local:geno local:bloque numDF F-value 1 2785.57 2 92.79 15 7.86 30 5.74 9 3.46 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 0.0007 Estructura de correlación Modelo de correlación: Exponential spatial correlation Formula: ~ as.numeric(as.character(la)) + as.numeric(as.character(lon)) | local Metrica: euclidean Parámetros del modelo Parámetro range Estim 0.78 Medias ajustadas y errores estándares para local DGC (alfa=0.05) local manf gralcabr rio3 Medias 3.00 2.27 1.56 E.E. 0.08 0.08 0.08 A B C Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) Medias ajustadas y errores estándares para geno DGC (alfa=0.05) geno mf435 mf407 mf429 mf415 mf420 mf421 mf431 mf405 manf68 mf408 manf393 colirrad mf404 mf433 mf432 mf410 Medias 2.73 2.59 2.51 2.49 2.38 2.36 2.34 2.31 2.24 2.22 2.22 2.21 2.14 1.96 1.96 1.78 E.E. 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 A A A A B B B B B B B B B C C C Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) 157 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medias ajustadas y errores estándares para local*geno DGC (alfa=0.05) local manf manf manf manf manf manf manf manf manf manf gralcabr manf manf gralcabr gralcabr manf gralcabr manf gralcabr manf gralcabr gralcabr gralcabr gralcabr gralcabr gralcabr gralcabr rio3 rio3 manf rio3 gralcabr rio3 rio3 gralcabr gralcabr rio3 rio3 rio3 gralcabr rio3 rio3 rio3 rio3 rio3 rio3 rio3 rio3 geno mf407 mf421 mf405 mf431 mf435 manf68 mf420 mf429 colirrad manf393 mf435 mf408 mf415 mf420 mf404 mf433 mf415 mf410 mf429 mf432 mf421 mf408 manf393 mf407 mf405 mf431 manf68 mf435 mf415 mf404 mf429 colirrad mf432 mf407 mf410 mf433 mf404 mf431 colirrad mf432 mf433 manf68 mf408 manf393 mf405 mf420 mf421 mf410 Medias 3.67 3.54 3.38 3.28 3.24 3.23 3.17 3.08 3.05 3.02 2.96 2.90 2.90 2.82 2.71 2.64 2.61 2.53 2.52 2.48 2.42 2.32 2.30 2.30 2.25 2.05 2.04 1.99 1.98 1.97 1.93 1.92 1.89 1.81 1.79 1.77 1.74 1.70 1.64 1.50 1.47 1.45 1.44 1.33 1.32 1.16 1.14 1.02 E.E. 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 A A B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D D D E E E E E E E E E Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) 158 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Rendimiento (kg/parcela) 4 3 2 1 mf407 mf421 mf405 mf435 manf68 mf431 mf420 colirrad mf429 mf408 manf393 mf415 mf433 mf410 mf432 mf404 0 Genotipo Manfredi General Cabrera Río Tercero Figura 106: Diagrama de puntos para estudiar la interacción entre localidades y genotipos para la variable Rendimiento. 159 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Aplicaciones de modelos mixtos en otros diseños experimentales Diseño en franjas (strip-plot) El diseño strip-plot es un resultado de las restricciones a la aleatorización. Al igual que en el diseño en parcelas divididas, el strip-plot es un resultado de cómo fue llevado a cabo un experimento que involucra dos o más factores. Estos factores (o sus combinaciones) se aplican en diferentes etapas, generalmente 2, y las restricciones a la aleatorización producen las unidades experimentales de diferentes tamaños y por ende diferentes términos de error para cada una de los factores o sus combinaciones (Milliken y Johnson 1992). Consideremos un ejemplo donde se desean evaluar tres niveles de fertilización con N (0, 50 y 100 kg/ha de N) y dos niveles de riego (bajo y alto) sobre los rendimientos de maíz. El ensayo se condujo bajo un diseño en bloques completos al azar con cuatro bloques (datos: StripPlot.IDB2). Debido a restricciones de la aplicación de los tratamientos, en una primera etapa, en cada uno de los bloques, se aleatorizan los tres niveles de nitrógeno y en la segunda etapa, en cada bloque y en sentido trasversal al sentido de aplicación de los niveles de nitrógeno, se aleatorizan los niveles del factor riego. Si bien en el siguiente esquema (Figura 107) se presenta la aleatorización dentro de un bloque en particular, el experimento ha sido repetido en bloques, esquema necesario para poder obtener los distintos términos de error y que el modelo resultante tenga sentido. Si en alguna etapa del diseño hubiera más de un factor, por ejemplo en las filas se combianan dos fertilizantes con sus niveles y estos no interactuaran entre sí, se podrían usar las interacciones de más alto orden como términos de error y así poder obtener las pruebas F sin necesidad de repeticiones. Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Etapa 1 100 kg N/ha 0 kg N/ha 50 kg N/ha Etapa 2 Riego alto Riego bajo Figura 107: Esquema de un experimento conducido bajo un diseño strip-plot repetido en bloques completos al azar, con la aleatorización para un bloque particular de los factores cantidad de nitrógeno y cantidad de riego. Datos del archivo StripPlot.IDB2. Los datos de rendimiento se analizaron usando el siguiente modelo: yijk = µ + τ i + γ j + λij + bk + f ki + ckj + ekij ; i = 1,..,3; j = 1, 2; k = 1,..., 4 (14) donde yijk representa la respuesta observada en el i-ésimo nivel del factor nitrógeno, j-ésimo nivel de factor riego y k-ésimo nivel del factor bloque (efecto aleatorio) µ representa la media general de la respuesta, τ i representa el efecto del i-ésimo nivel del factor nitrógeno, γ j representa el efecto del j-ésimo nivel del factor riego, λij la interacción entre los factores nitrógeno y riego, bk el k-ésimo nivel del factor bloque, 162 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat f ki el efecto del bloque k en el nivel i de nitrógeno (efecto aleatorio), ckj el efecto del bloque k en el nivel j de riego (efecto aleatorio), y ekij representa el error residual. La suposición usual es que bk ~ N ( 0, σ b2 ) , f ki ~ N ( 0, σ 2f ) , ckj ~ N ( 0, σ c2 ) y ekij ~ N ( 0, σ e2 ) , siendo todos mutuamente independientes. Para explorar las medias observadas en cada combinación de nitrógeno y riego se construyó un gráfico de puntos (Figura 108). 80 Rendimiento 75 70 Riego Alto Riego Bajo 65 60 55 0 50 100 Nitrogeno Figura 108: Diagramas de puntos de las medias de rendimiento para cada combinación de Riego y Nitrógeno. Datos archivo StripPlot.IDB2. Este modelo puede ajustarse en InfoStat en el menú Modelos lineales generales y mixtos, declarando a Rendimiento como variable dependiente y a Riego, Nitrógeno y Bloque como variables clasificatorias. Luego, en la solapa Efectos fijos se declaran los siguientes términos (Figura 109). 163 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 109: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para evaluar un modelo mixto con los datos del archivo StripPlot.IDB2. En la solapa Efectos aleatorios se debe declarar el efecto de Bloque tanto en la constante ( bk ) como en los factores fijos Nitrógeno y Riego ( f ki y ckj respectivamente) (Figura 110). 164 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 110: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para evaluar un modelo mixto con los datos del archivo StripPlot.IDB2. Medidas de ajuste del modelo N 24 AIC 106.09 BIC 115.00 logLik -43.05 Sigma R2_0 1.20 0.85 R2_1 0.94 R2_2 0.95 R2_3 0.99 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo numDF denDF F-value (Intercept) 1 15 3061.88 Nitrogeno 2 15 60.13 Riego 1 15 52.18 Nitrogeno:Riego 2 15 33.12 III) p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (const) (const) 1.83 165 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~Nitrogeno - 1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones 0 100 50 0 0.70 0.00 0.00 100 0.00 0.70 0.00 50 0.00 0.00 0.70 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~Riego - 1|Bloque Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones Alto Bajo Alto 1.49 0.00 Bajo 0.00 1.49 Una formulación alternativa de este modelo (con efectos aleatorios cruzados) se puede obtener si se seleccionan Nitrogeno y Riego, y con el ratón derecho se selecciona Efectos aleatorios cruzados, según lo indicado en la Figura 111. Las componentes de varianza aparecen en otro orden, pero son los mismos que bajo la otra formulación. Figura 111: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para evaluar un modelo mixto con los factores Nitrógeno y Riego cruzados para los datos del archivo StripPlot.IDB2. 166 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas de ajuste del modelo N 24 AIC 106.09 BIC 115.00 logLik -43.05 Sigma R2_0 1.20 0.85 R2_1 0.99 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo III) (Intercept) Nitrogeno Riego Nitrogeno:Riego numDF denDF F-value 1 15 3061.88 2 15 60.13 1 15 52.18 2 15 33.12 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdBlocked Formula: ~Nitrogeno + Riego|Bloque Desvíos estándares relativos (const) 0 (const) 1.83 0.00 0 0.00 0.70 100 0.00 0.00 50 0.00 0.00 Alto 0.00 0.00 Bajo 0.00 0.00 al residual 100 50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.70 0.00 0.00 0.70 0.00 0.00 0.00 0.00 y correlaciones Alto Bajo 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.49 0.00 0.00 1.49 Las comparaciones de medias, según los resultados de las pruebas marginales, deben hacerse a partir de las medias de las combinaciones de niveles de factores que interactúan significativamente (medias de la interacción). Medias ajustadas y errores estándares para Nitrogeno LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Nitrogeno 100 50 0 Medias 77.38 71.75 68.25 E.E. 1.40 1.40 1.40 A B C Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) Medias ajustadas y errores estándares para Riego LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Riego Medias Alto 77.33 Bajo 67.58 E.E. 1.47 1.47 A B Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) 167 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medias ajustadas y errores estándares para Nitrogeno*Riego LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Nitrogeno 100 50 100 0 50 0 Riego Medias Alto 79.50 Alto 77.50 Bajo 75.25 Alto 75.00 Bajo 66.00 Bajo 61.50 E.E. 1.59 1.59 1.59 1.59 1.59 1.59 A A B B C C D E Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p<= 0.05) Podemos observar que los mejores rendimientos se obtienen con niveles de riego alto y nitrógeno 50 o 100, confirmando lo observado en la gráfica de medias (Figura 108). 168 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Diseño experimental con dos factores y dependencia espacial En muchas situaciones se presentan niveles de un factor de interés que, por su naturaleza, no se pueden asignar en forma aleatoria. Este es el caso de las tomas de muestras de agua a lo largo de un río, cuando se evalúan efectos a distintas distancias en un bosque o cuando se toman muestras de suelo a distintas profundidades. El hecho de que no se puedan aleatorizar los niveles de un factor genera una dependencia espacial que debe ser contemplada. Aquí presentamos un ejemplo (datos Lombrices.IDB2) en donde se evalúan cuatro tipo de sombra en cultivos de café: testigo con sol (sol), leguminosa1 (SombraL1), leguminosa2 (SombraL2) y no leguminosa (SombraNL) en tres profundidades (1=0-10 cm, 2=10-20 cm y 3=20-30 cm). En cada una de las unidades experimentales (combinación de tratamientos y repeticiones) se tomaron muestras de 30×30 cm con 10 cm de profundidad en cada una de las tres profundidades. En cada muestra se recolectaron las lombrices y se obtuvo su peso vivo (biomasa). Las unidades experimentales estaban arregladas en un diseño completamente aleatorizado con tres repeticiones. La variable tratam_rep identifica a las unidades experimentales sobre las que se miden las distintas profundidades y fue generada desde el menú Datos, sub menú Cruzar categorias para formar una nueva variable (en la ventana de selección de variables se declaró a tratam y rep como variables). Para realizar el análisis de los datos del archivo Lombrices.IDB2, se deben declarar las variables como se muestra a continuación (Figura 112). 169 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 112: Ventana se selector de variable para Modelos lineales generales y mixtos los datos del archivo Lombrices.IDB2. Luego, en la solapa Efectos fijos se deben declarar las variables como se muestra en la siguiente figura (Figura 113). 170 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 113: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para evaluar un modelo mixto con los datos del archivo Lombrices.IDB2. Por último, se declara en la solapa Correlación el modelo de Correlación espacial exponencial, identificando a profund como coordenada X y a tratam_rep como criterio de agrupamiento (Figura 114). 171 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 114: Ventana con la solapa Correlación desplegada para evaluar un modelo mixto con correlación espacial exponencial en los datos del archivo Lombrices.IDB2. La salida correspondiente se presenta a continuación. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo000_Biomasa_REML<-gls(Biomasa~1+Tratam+Profund+Tratam:Profund ,correlation=corExp(form=~as.numeric(as.character(Profund))|Tratam_Rep ,metric="euclidean" ,nugget=FALSE) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00) Resultados para el modelo: modelo000_Biomasa_REML Variable dependiente:Biomasa 172 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas de ajuste del modelo N 36 AIC 161.03 BIC 177.52 logLik -66.52 Sigma R2_0 3.46 0.97 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Tratam Profund Tratam:Profund numDF F-value 1 3725.04 3 66.75 2 303.14 6 4.86 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 0.0022 Estructura de correlación Modelo de correlación: Exponential spatial correlation Formula: ~ as.numeric(as.character(Profund)) | Tratam_Rep Metrica: euclidean Parámetros del modelo Parámetro range Estim 2.12 Todos los factores resultaron significativos, presentándose interacción entre tratamientos y profundidad (p=0.0022). El parámetro range tiene un valor estimado de 2.12. Este parámetro debe interpretarse con cuidado, dependiendo del modelo de correlación espacial usado. En la bibliografía geoestadística, el range se define, para procesos espaciales estacionales de segundo orden, como la distancia a partir de la cual las observaciones pueden considerarse independientes. El parámetro range que se muestra en la salida está relacionado a esta definición, pero no es la distancia a partir de la cual no hay más correlación (excepto en los modelos esférico y lineal). En los modelos de correlación espacial, en los que la covarianza alcanza cero solo asintóticamente (todos excepto el esférico y el lineal), no existe una distancia a la cual la correlación espacial se haga 0, por lo que se usa el concepto de practical range (distancia a partir de la cual la covarianza espacial se reduce al 5%, o equivalentemente, la distancia a la cual el semivariograma alcanza el 95% de su máximo). Esta distancia depende del modelo usado: para correlación espacial exponencial es 3 veces el range estimado, mientras que para correlación espacial Gaussiana√3esveces el range estimado (Littel et ál. 2006). Para la correlación racional cuadrática este factor es aproximadamente 4.36. 173 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat En este ejemplo se usó un modelo de correlación espacial exponencial. La profundidad 1 era entre 0 y 10 cm, la 2 entre 10 y 20 cm y la 3 entre 20 y 30 cm, es decir, la diferencia entre la profundidad 1 y 2 de la forma en que fueron declaradas, es de 1, sin embargo en la escala original esta diferencia es de 10. Por lo tanto, el practical range en la escala original es de 3×21.2 cm=63.6 cm. Esto implica que, para las profundidades estudiadas (0 a 30 cm), las observaciones de biomasa de lombrices nunca serán independientes (para que pudieran considerarse prácticamente independientes las observaciones deberían estar a más de 63.6 cm, lo que es imposible con estos datos). El modelo de correlación espacial exponencial isotrópico presentado aquí es equivalente a un modelo autorregresivo de orden 1 (Casanoves et ál. 2005). Si con este mismo conjunto de datos usamos ahora un modelo Autorregresivo de orden 1 (Figura 115) se obtiene la siguiente salida. Figura 115: Ventana con la solapa Correlación desplegada para evaluar un modelo mixto con correlación autorregresiva de orden 1 en los datos del archivo Lombrices.IDB2. 174 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo001_Biomasa_REML<-gls(Biomasa~1+Tratam+Profund+Tratam:Profund ,correlation=corAR1(form=~as.integer(as.character(Profund))|Tratam_Rep ) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00) Resultados para el modelo: modelo001_Biomasa_REML Variable dependiente:Biomasa Medidas de ajuste del modelo N 36 AIC 161.03 BIC 177.52 logLik -66.52 Sigma R2_0 3.46 0.97 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Tratam Profund Tratam:Profund numDF F-value 1 3725.05 3 66.75 2 303.14 6 4.86 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 0.0022 Estructura de correlación Modelo de correlación: AR(1) Formula: ~ as.integer(as.character(Profund)) | Tratam_Rep Parámetros del modelo Parámetro Phi Estim 0.62 La única diferencia entre esta salida y la anterior es que en ésta se muestra el parámetro Phi de correlación (0.62) en vez del parámetro range. A continuación estudiaremos la validez de los supuestos de este modelo. Para esto, en el submenú Análisis-exploración de los modelos estimados se solicitaron los gráficos de diagnóstico que se presentan a continuación (Figura 116). 175 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 116: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Lombrices.IDB2. Como se puede observar la variabilidad de los residuos bajo los distintos tratamientos parece diferente. Para evaluar un modelo heteroscedástico por tratamientos, en la solapa Heteroscedasticidad se declararon las variables como en la (Figura 117) y se obtuvo la siguiente salida. 176 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 117: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para evaluar un modelo mixto con en los datos del archivo Lombrices.IDB2. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo002_Biomasa_REML<-gls(Biomasa~1+Tratam+Profund+Tratam:Profund ,weight=varComb(varIdent(form=~1|Tratam)) ,correlation=corAR1(form=~as.integer(as.character(Profund))|Tratam_Rep ) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data00) Resultados para el modelo: modelo002_Biomasa_REML Variable dependiente:Biomasa 177 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas de ajuste del modelo N 36 AIC 164.03 BIC 184.06 logLik -65.02 Sigma R2_0 4.20 0.97 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Tratam Profund Tratam:Profund numDF F-value 1 4300.37 3 54.19 2 511.72 6 6.32 p-value <0.0001 <0.0001 <0.0001 0.0004 Estructura de correlación Modelo de correlación: AR(1) Formula: ~ as.integer(as.character(Profund)) | Tratam_Rep Parámetros del modelo Parámetro Phi Estim 0.73 Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varIdent Formula: ~ 1 | Tratam Parámetros de la función de varianza Parámetro sol sombraL1 sombraL2 sombraNL Estim 1.00 0.65 0.66 1.22 Los criterios AIC y BIC son mayores en el modelo heteroscedástico que en el homoscedástico, indicando que este último es el mejor. Similar conclusión se obtiene a partir de la prueba del cociente de verosimilitud (p=0.3916) al pedir la comparación de los modelos como se mostró en la sección Análisis de un modelo ajustado. Comparación de modelos df 14 AIC 161.03 BIC 177.52 logLik -66.52 Test modelo001_Biomasa_REML modelo002_Biomasa_REML 17 164.03 184.06 -65.02 1 vs 2 L.Ratio p-value 3.00 0.3916 Por este motivo, nos quedamos con el modelo homoscedástico y, debido a la presencia de interacción entre los dos factores, se realiza un diagrama de puntos para visualizar el comportamiento de las medias de biomasa de lombrices (Figura 118). 178 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 90 80 Biomasa 70 60 50 40 30 20 1 2 3 Profundidad Sol SombraL1 SombraL2 SombraNL Figura 118: Diagramas de puntos para estudiar la interacción entre tratamientos y profundidad y su efecto sobre la biomasa. Datos archivo Lombrices.IDB2. Como se puede observar, este gráfico sugiere la presencia de un comportamiento lineal para sol y uno cuadrático para los otros tratamientos. Para probar estas hipótesis se realizan contrastes ortogonales polinómicos a partir de la solapa Comparaciones, subsolapa Contrastes (Figura 119). 179 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 119: Ventana con la solapa Comparaciones y la subsolapa Contrastes desplegada para evaluar un modelo mixto con los datos del archivo Lombrices.IDB2. A continuación se muestran los resultados de los contrastes. Se puede ver que el único tratamiento que presenta solo tendencia lineal y no cuadrática es el de sol (p<0.0001 y p=0.8147 respectivamente). El resto de los tratamientos, además de la tendencia lineal, presentan una tendencia cuadrática. Pruebas de hipótesis para contrastes Tratam*Profund Cont.1 Cont.2 Cont.3 Cont.4 Cont.5 Cont.6 Cont.7 Cont.8 Total F 111.81 0.06 222.11 26.66 164.40 10.52 92.62 7.26 79.43 gl(num) 1 1 1 1 1 1 1 1 8 gl(den) 24 24 24 24 24 24 24 24 24 p-valor <0.0001 0.8147 <0.0001 <0.0001 <0.0001 0.0035 <0.0001 0.0127 <0.0001 180 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Coeficientes de los contrastes Tratam sol sol sol sombraL1 sombraL1 sombraL1 sombraL2 sombraL2 sombraL2 sombraNL sombraNL sombraNL Profund 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Cont.1 Cont.2 Cont.3 Cont.4 Cont.5 Cont.6 Cont.7 Cont.8 -1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 181 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Diseños de testigos apareados Este tipo de arreglo de tratamientos es común en la evaluación de nuevos cultivares (variedades, híbridos, etc.) en mejoramiento genético vegetal. Básicamente consisten en ubicar en forma aleatoria el conjunto de cultivares a evaluar intercalando siempre entre ellos un testigo común. La presencia de este testigo es la que permite de alguna forma modelar los efectos sistemáticos de la calidad del terreno donde se ubican las parcelas experimentales. Para ejemplificar su análisis se presenta un ejemplo con 16 híbridos (H1,…, H16) y un testigo, y así se tiene un total de 32 unidades experimentales. Los datos se encuentran en el archivo Testigos apareados.IDB2. Una alternativa básica y muy poco eficiente para analizar estos datos es realizar un ANOVA a una vía de clasificación, y comparar los tratamientos usando una estimación del término de error a partir de la varianza entre los testigos (únicos niveles del factor tratamiento que están repetidos). Este modelo es incapaz de contemplar los sesgos producidos por las diferencias sistemáticas entre unidades experimentales. Para obtener este modelo, se declara en el selector de variables a Rendimiento como variable dependiente y a Hibrido como variable de clasificación. En la solapa de Efectos fijos se declara al Hibrido como en la Figura 120. Luego, en la solapa Comparaciones se solicitó la prueba LSD de Fisher para Hibrido. 182 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 120: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2. La salida correspondiente se presenta a continuación. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo000_Rendimiento_REML<-gls(Rendimiento~1+Hibrido ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data21) Resultados para el modelo: modelo000_Rendimiento_REML Variable dependiente:Rendimiento Medidas de ajuste del modelo N 32 AIC 219.90 BIC 232.64 logLik -91.95 Sigma 101.35 R2_0 0.69 AIC y BIC menores implica mejor 183 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Hibrido numDF F-value 1 3580.56 16 2.12 p-value <0.0001 0.0763 Medias ajustadas y errores estándares para Hibrido LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Hibrido H4 H3 H14 H10 H11 Testigo H5 H9 H2 H12 H8 H7 H16 H6 H1 H13 H15 Medias 1230.00 1222.00 1193.00 1168.00 1116.00 1115.81 1099.00 1063.00 1037.00 1033.00 975.00 966.00 928.00 907.00 886.00 876.00 756.00 E.E. 101.35 101.35 101.35 101.35 101.35 25.34 101.35 101.35 101.35 101.35 101.35 101.35 101.35 101.35 101.35 101.35 101.35 A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D Letras distintas indican diferencias significativas(p<= 0.05) La prueba F para Hibrido no resultó significativa (p = 0.0763) por lo cual no deben interpretarse las diferencias de medias presentadas en la prueba LSD de Fisher. La alternativa a este modelo es el uso de correlaciones espaciales para corregir las medias de cada híbrido por el “efecto del sitio” en donde fueron ubicadas por azar. Para esto, se procede a colocar la Posicion de la parcela como una covariable. En la solapa Efectos fijos se deja igual que en la Figura 120. En la solapa Correlación se especifican los diferentes modelos: Modelo 1: Correlación espacial exponencial ( Figura 121). Modelo 2: Correlación espacial Gaussiana (Figura 122). Modelo 3: Correlación espacial lineal (Figura 123). Modelo 4: Correlación espacial “rational quadratic” (Figura 124). Modelo 5: Correlación espacial esférica (Figura 125). 184 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat A continuación se muestran las ventanas de selección de correlación espacial y las medidas de ajuste de cada uno de los modelos estimados. Figura 121: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial exponencial. Medidas de ajuste del modelo N 32 AIC 218.62 BIC 232.08 logLik -90.31 Sigma 112.79 R2_0 0.58 AIC y BIC menores implica mejor 185 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 122: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial Gaussiana. Medidas de ajuste del modelo N 32 AIC 219.17 BIC 232.62 logLik -90.58 Sigma 106.78 R2_0 0.58 AIC y BIC menores implica mejor 186 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 123: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial lineal. Medidas de ajuste del modelo N 32 AIC 219.13 BIC 232.58 logLik -90.56 Sigma 107.52 R2_0 0.56 AIC y BIC menores implica mejor 187 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 124: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial “rational quadratic”. Medidas de ajuste del modelo N 32 AIC 218.81 BIC 232.26 logLik -90.40 Sigma 106.92 R2_0 0.59 AIC y BIC menores implica mejor 188 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 125: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial esférica. Medidas de ajuste del modelo N 32 AIC 219.21 BIC 232.66 logLik -90.60 Sigma 137.39 R2_0 0.56 AIC y BIC menores implica mejor Todos los modelos ajustan bien, ya que sus valores de AIC y BIC son muy parecidos. El modelo con menores valores es el de Correlación espacial exponencial (AIC=218.62, BIC=232.08). La salida correspondiente a este modelo se presenta a continuación. 189 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo028_Rendimiento_REML<-gls(Rendimiento~1+Hibrido ,correlation=corExp(form=~as.numeric(as.character(Posicion)) ,metric="euclidean" ,nugget=FALSE) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data28) Resultados para el modelo: modelo028_Rendimiento_REML Variable dependiente:Rendimiento Medidas de ajuste del modelo N 32 AIC 218.62 BIC 232.08 logLik -90.31 Sigma 112.79 R2_0 0.58 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Hibrido numDF F-value 1 582.79 16 5.27 p-value <0.0001 0.0012 Estructura de correlación Modelo de correlación: Exponential spatial correlation Formula: ~ as.numeric(as.character(Posicion)) Metrica: euclidean Parámetros del modelo Parámetro range Estim 2.74 Medias ajustadas y errores estándares para Hibrido LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Hibrido H3 H4 H10 H5 Testigo H2 H11 H9 H14 H1 H12 H6 Medias 1248.31 1244.19 1145.64 1128.65 1096.98 1091.07 1078.43 1078.28 1070.07 1005.46 979.80 966.31 E.E. 85.33 85.33 85.33 85.33 45.09 85.33 85.33 85.33 85.33 85.33 85.33 85.33 A A A A A A A A A B B B B B B B B B B C C C C C C C C C 190 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat H7 H8 H16 H13 H15 936.21 933.40 902.87 727.55 653.36 85.33 85.33 85.33 85.33 85.33 B B C C C D D D D E E Letras distintas indican diferencias significativas(p<= 0.05) Se encontraron diferencias entre híbridos (p = 0.0012). Mediante la prueba LSD de Fisher de comparación de medias se pudo determinar que los híbridos de mayor rendimiento fueron los H2, H3, H4, H5, H9, H10, H11, H14, y que éstos a su vez no difieren del testigo. Otra alternativa es pensar el problema como en los orígenes de la modelación espacial (Papadakis 1937), y utilizar un análisis de covarianza para ajustar las medias de los híbridos en las distintas posiciones. Para realizar una aproximación a este tipo de análisis se construyó una nueva variable llamada Tes, la cual contiene los rendimientos correspondientes a los testigos, luego se adicionó una nueva columna (Hib) en la que se copiaron los valores del rendimiento del hibrido más cercano a cada testigo. Se calculó luego la diferencia del rendimiento del testigo frente al hibrido (Dif). A continuación se realizó un análisis de regresión lineal considerando a Dif como variable dependiente y a Posicion como variable regresora. Se guardaron los predichos de este modelo con el fin de utilizarlos como una covariable en el análisis de las medias de híbridos. Luego, en la ventana del selector de variables de Modelos lineales generalizados y mixtos se declaran las variables como se muestra en la Figura 126. 191 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 126: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Testigos_apareados.IDB2. En la ventana de Efectos fijos se declara a Hibrido y a PRED_Dif. En la solapa Comparaciones se solicitó la prueba LSD de Fisher. La salida correspondiente se presenta a continuación. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo029_Rendimiento_REML<-gls(Rendimiento~1+Hibrido+PRED_Dif ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data29) Resultados para el modelo: modelo029_Rendimiento_REML Variable dependiente:Rendimiento Medidas de ajuste del modelo N 32 AIC 215.09 BIC 227.23 logLik -88.54 Sigma R2_0 79.89 0.82 AIC y BIC menores implica mejor 192 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Hibrido PRED_Dif numDF F-value 1 5763.58 16 3.42 1 10.15 p-value <0.0001 0.0129 0.0066 Medias ajustadas y errores estándares para Hibrido LSD Fisher (alfa=0.05) Procedimiento de correccion de p-valores: No Hibrido H4 H3 H10 H5 H2 H14 Testigo H11 H9 H12 H1 H8 H7 H6 H16 H13 H15 Medias 1295.07 1293.92 1150.88 1143.52 1129.47 1121.08 1115.81 1078.33 1052.73 988.48 985.32 985.27 983.12 944.67 828.68 810.93 663.53 E.E. 82.46 83.02 80.07 81.10 85.00 83.02 19.97 80.76 79.95 81.10 85.76 79.95 80.07 80.76 85.76 82.46 85.00 A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C D D D Letras distintas indican diferencias significativas(p<= 0.05) Si bien se llega a la misma conclusión con respecto a los cultivares que en el análisis usando correlación espacial exponencial, podemos observar que las medias ajustadas y los errores estándares son diferentes. También difiere el orden o ranking presente entre los híbridos que presentan los mayores rendimientos. Por último, el contemplar la correlación espacial es una alternativa mucho más sencilla para realizar este tipo de análisis. 193 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Aplicaciones en regresión lineal Regresión con coeficientes aleatorios En este ejemplo se está evaluando el aprendizaje de estudiantes de matemáticas en sexto grado. Ocho maestros se seleccionaron aleatoriamente para participar del estudio. Al comenzar el año académico, los estudiantes de los maestros participantes tomaron una prueba diagnóstica (pre-prueba) con contenidos matemáticos de sexto grado. Al finalizar el año los mismos estudiantes tomaron una prueba (post-prueba) evaluando los mismos contenidos (Cáceres et ál., 2011). Cada maestro tenía entre 10 y 30 estudiantes, y algunos estudiantes completaron la preprueba pero no la post-prueba. Se desea estudiar si hay relación entre la ganancia de aprendizaje (diferencia entre la calificación de la post-prueba y la calificación de la preprueba) y la calificación de la pre-prueba. Si graficamos esta relación usando los datos del archivo Ganancia en Aprendizaje.IDB2, se puede observar una relación negativa entre ganancia y resultado de la pre-prueba. Además, agregando una línea suavizada para los datos de cada maestro se puede apreciar que las tendencias son aproximadamente lineales, y que los parámetros de estas líneas varían de maestro a maestro (Figura 127): 75 60 Ganancia 45 30 15 0 -15 -30 -45 0 15 30 45 60 75 Calificacion Pre Figura 127: Relación entre la Ganancia en aprendizaje y la Calificacion previa al entrenamiento suavizada para cada uno de los maestros. Archivo Ganancia en aprendizaje.IDB2. 194 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Para ajustar un modelo en InfoStat que describa estos datos se debe recordar que los maestros han sido escogidos aleatoriamente, por lo que la variabilidad entre las líneas es aleatoria. Un modelo apropiado para estos datos es el de una regresión lineal simple con efectos aleatorios para el intercepto y la pendiente. Estos efectos aleatorios claramente deben estar correlacionados (en términos generales, si la pendiente aumenta el intercepto debería disminuir para que los datos se mantengan en la nube de datos observada). Por lo tanto el modelo se debe especificar en InfoStat de manera tal que sea posible incorporar efectos aleatorios de intercepto y pendiente que puedan estar correlacionados. Para ello, en la ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos se declara a Ganancia como variable, a Maestro como criterio de clasificación y a Calificacion.Pre como covariable en la primera ventana). Luego, en la solapa Efectos fijos se declara Calificacion.Pre y además se agrega la definición explícita del intercepto (para poder luego declarar ambos como efectos aleatorios). El intercepto se declara agregando un 1 en la solapa de Efectos fijos (Figura 128). También se debe marcar la opción de Coeficientes de los efectos fijos para obtener la ecuación de la línea recta promedio. 195 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 128: Ventana de selección Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos fijos para los datos del archivo Ganancia en aprendizaje.IDB2. La especificación de los efectos aleatorios se realiza agregando Maestro como criterio de estratificación, e indicando que este efecto es sobre 1+Calificacion.Pre (es decir, hay efecto aleatorio de maestro sobre el intercepto y sobre la pendiente) (Figura 129). Además, al indicar pdSymm se están especificando varianzas diferentes para el efecto del intercepto y de la pendiente (obvio dada la naturaleza diferente de ambos parámetros) y correlación entre ambos efectos aleatorios. 196 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 129: Ventana de selección Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Ganancia en aprendizaje.IDB2. La salida correspondiente a este modelo presenta, además de las partes usuales en modelos mixtos, los coeficientes de la recta promedio, = Yˆ 30.13 − 0.81x . Como se esperaba, a medida que la calificación en la pre-prueba es mayor, la ganancia disminuye. Se puede observar además la alta correlación entre los efectos de maestros sobre intercepto y pendiente (-0.876), que confirma la necesidad de incorporar este parámetro al modelo. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo.002_Ganancia_REML<-lme(Ganancia~1+Calificacion.Pre random=list(Maestro=pdSymm(~1+Calificacion.Pre)) method="REML" 197 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat control=lmeControl(msMaxIter=200) na.action=na.omit data=R.data02 keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo.002_Ganancia_REML Variable dependiente: Ganancia Medidas de ajuste del modelo N 184 AIC 1485.954 BIC 1505.178 logLik -736.977 Sigma 13.1736 R2_0 0.339 R2_1_ 0.366 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis secuenciales numDF denDF F-value (Intercept) 1 175 29.007004 Calificacion.Pre 1 175 78.129020 p-value <0.0001 <0.0001 Efectos fijos (Intercept) Calificacion.Pre Value 30.132848 -0.810821 Std.Error 2.943507 0.091732 DF 175 175 t-value 10.237058 -8.839062 p-value <0.0001 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdSymm Formula: ~1 + Calificacion.Pre|Maestro Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (const) Calificacion.Pre (const) 0.200769 -0.875547 Calificacion.Pre -0.875547 0.008462 Regresion heteroscedástica En un trabajo para evaluar la productividad primaria en pasturas y su relación con la precipitación, se evaluaron nueve potreros, cinco con pastura semi-natural y cuatro con pasturas sembradas. La productividad primaria en periodos de 22 días de crecimiento se midió varias veces a lo largo del año en cada potrero (la mayoría de los potreros 12 veces). Paralelamente, se registraban los milímetros de lluvia caídos en el periodo de crecimiento de 22 días (Ospina 2011, Ospina et ál. 2012). Los datos se encuentran en el archivo Productividad primaria.IDB2. Para realizar un análisis de regresión con tipo de pastura como variable clasificatoria, en la ventana de selección de variables del módulo Modelos lineales generales y mixtos, declaramos las variables como en la Figura 130. 198 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 130: Ventana de selección de variables del módulo Modelos lineales generales para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2. En la solapa Efectos fijos declaramos las variables como en la Figura 131 y en la de efectos aleatorios declaramos a Potrero (Figura 132). Con estas especificaciones del modelo de regresión ajustamos un modelo de regresión con dos interceptos (ordenadas al origen) y un efecto aleatorio de potrero. Los residuos obtenidos luego de ajustar este modelo se usan para diagnosticar posibles problemas en el ajuste y los supuestos. Como se puede observar en el resumen de gráficos de diagnostico que se presentan en la Figura 133 se puede ver que el Q-Q-plot muestra que la distribución de los residuos es aproximadamente normal, pero los diagramas de dispersión de Residuos condicionales de Pearson versus PPacum muestran una racha de valores residuos negativos después del los 300 mm. Esta misma racha se observa en el diagrama de dispersión de Residuos condicionales de Pearson versus los Valores ajustados, en este caso por encima de los 110 g/m2 de productividad primaria. 199 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 131: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2. Figura 132: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2. 200 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 133: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 con la variable PPacum como regresora y pastura como factor fijo. Esto sugiere la necesidad de incluir un término cuadrático para la variable regresora PPacum. Para esto, en el menú Datos, sub-menú Transformaciones se eligió a PPacum como variable, y luego de aceptar se pidió una transformación de potencia (en este caso de orden 2) y esto generó una nueva variable en la base de datos llamada POT_PPacum. Se agrego esta variable como covariable en el selector de variables de Modelos lineales generales y mixtos y posteriormente, se la declaró en la solapa Efectos fijos del modelo junto a las otras variables que ya estaban ingresadas como se indicó en la Figura 142. La solapa de Efectos aleatorios, se la deja como en la Figura 132. Al aceptar y solicitar nuevamente el diagnóstico de los residuos, obtendremos los gráficos que se presentan en la Figura 134. 201 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 134: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 con la variable PPacum y POT_PPacum como regresoras y pastura como factor fijo. Analizando el diagrama de dispersión de residuos condicionales de Pearson versus los Valores ajustados, se observa una clara tendencia de los residuos a aumentar su varianza a medida que aumenta el valor medio. Esto sugiere la necesidad de modelar esta falta de homogeneidad de varianza con una función que relaciones las varianzas de los residuos con la media. Para declarar esta función, realizamos nuevamente el análisis (recordemos que Ctrl + r repite el último comando) y en la solapa Heteroscedasticidad declaramos VarPower como se muestra en la Figura 135. 202 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 135: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 y la selección de la función VarPower. Luego se repitió este análisis para otras dos funciones de varianzas, VarExp y VarConstPower. A continuación se presentan los resultados de los estadísticos de ajuste para estos tres modelos: VarExp Medidas de ajuste del modelo N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 104 1002.64 1020.87 -494.32 9.89 0.52 0.52 AIC y BIC menores implica mejor VarPower Medidas de ajuste del modelo N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 104 1001.07 1019.31 -493.54 2.16 0.53 0.53 AIC y BIC menores implica mejor 203 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat VarConstPower Medidas de ajuste del modelo N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 104 1001.85 1022.69 -492.92 0.62 0.52 0.52 AIC y BIC menores implica mejor No podemos comparar estos modelos usando un cociente de verosimilitud (LRT) ya que no forman un conjunto anidado de hipótesis (excepto VarPower y VarConstPower). En estos casos sólo los criterios AIC y BIC son útiles. El modelo VarPower resulta ser el mejor para declarar las varianzas heterogéneas. Luego de ajustar este modelo, los residuos no presentan ninguna tendencia (Figura 136). Figura 136: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 con la variable PPacum y POT_PPacum como regresoras, pastura como factor fijo y una función VarPower para las varianzas heterogéneas. Para probar las hipótesis de igualdad de tendencias lineales y cuadráticas se incluyeron en el modelo las interacciones entre tipo de pastura y las dos variables regresoras 204 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat (Figura 137). El efecto aleatorio de potrero fue declarado en la solapa Efectos aleatorios (Figura 138) y la heteroscedasticidad fue especificada como en la Figura 135. Figura 137: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 y la especificación del modelo con interacción. 205 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 138: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 y la selección del efecto de potrero como aleatorio. Con estas especificaciones se logró la siguiente salida. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo.002_Productividad.primaria_REML<lme(Productividad.primaria~1+Pastura+PPacum+POT_PPacum+Pastura:PPacum+ Pastura:POT_PPacum ,random=list(Potreros=pdIdent(~1)) ,weights=varComb(varPower(form=~fitted(.))) ,method="REML" ,control=lmeControl(msMaxIter=200) ,na.action=na.omit ,data=R.data02 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo.002_Productividad.primaria_REML Variable dependiente: Productividad.primaria Medidas de ajuste del modelo 206 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 104 1004.89 1028.15 -493.45 2.46 0.65 0.65 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo III) (Intercept) Pastura PPacum POT_PPacum Pastura:PPacum Pastura:POT_PPacum numDF denDF F-value p-value 1 91 0.32 0.5703 1 7 12.62 0.0093 1 91 167.15 <0.0001 1 91 55.66 <0.0001 1 91 4.19 0.0435 1 91 0.01 0.9179 Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Pastura PPacum POT_PPacum Pastura:PPacum Pastura:POT_PPacum numDF denDF F-value p-value 1 91 152.56 <0.0001 1 7 34.31 0.0006 1 91 184.34 <0.0001 1 91 62.10 <0.0001 1 91 21.04 <0.0001 1 91 0.01 0.9179 Efectos fijos Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) -9.44 2.74 91 -3.45 0.0009 PasturaSemi-naturales 16.27 4.58 7 3.55 0.0093 PPacum 0.82 0.08 91 9.90 <0.0001 POT_PPacum -1.1E-03 2.2E-04 91 -4.93 <0.0001 PasturaSemi-naturales:PPac.. -0.23 0.11 91 -2.05 0.0435 PasturaSemi-naturales:POT_.. 2.9E-05 2.8E-04 91 0.10 0.9179 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Potreros Desvíos estándares y correlaciones (const) (const) 1.3E-03 Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varPower Formula: ~ fitted(.) Parámetros de la función de varianza Parámetro Estim power 0.60 207 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Como se puede observar en la salida anterior, existe interacción pastura con PPacum, lo que indica que el comportamiento lineal es diferente entre las pasturas. Por otra parte, no existe un comportamiento diferente entre las pasturas para la componente cuadrática de la regresión, por lo ésta es similar en las dos pasturas. Por este motivo se corrió nuevamente el modelo eliminando de la parte fija el efecto de la interacción Pastura*POT_PPacum, y la salida resultante se presenta a continuación. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo.003_Productividad.primaria_REML<lme(Productividad.primaria~1+Pastura+PPacum+POT_PPacum+Pastura:PPacum ,random=list(Potreros=pdIdent(~1)) ,weights=varComb(varPower(form=~fitted(.))) ,method="REML" ,control=lmeControl(msMaxIter=200) ,na.action=na.omit ,data=R.data03 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo.003_Productividad.primaria_REML Variable dependiente: Productividad.primaria Medidas de ajuste del modelo N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 104 988.37 1009.14 -486.19 2.46 0.65 0.65 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo III) (Intercept) Pastura PPacum POT_PPacum Pastura:PPacum numDF denDF F-value p-value 1 92 0.35 0.5579 1 7 17.01 0.0044 1 92 171.84 <0.0001 1 92 57.67 <0.0001 1 92 21.17 <0.0001 Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Pastura PPacum POT_PPacum Pastura:PPacum numDF denDF F-value p-value 1 92 154.21 <0.0001 1 7 33.77 0.0007 1 92 186.37 <0.0001 1 92 63.32 <0.0001 1 92 21.17 <0.0001 208 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Efectos fijos Value (Intercept) -9.34 PasturaSemi-naturales 16.00 PPacum 0.82 POT_PPacum -1.0E-03 PasturaSemi-naturales:PPac.. -0.21 Std.Error DF t-value p-value 2.47 92 -3.78 0.0003 3.88 7 4.12 0.0044 0.06 92 13.60 <0.0001 1.4E-04 92 -7.59 <0.0001 0.05 92 -4.60 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Potreros Desvíos estándares y correlaciones (const) (const) 2.2E-03 Estructura de varianzas Modelo de varianzas: varPower Formula: ~ fitted(.) Parámetros de la función de varianza Parámetro Estim power 0.60 Medias ajustadas y errores estándares para Pastura LSD Fisher (Alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Pastura Medias E.E. Sembradas 70.01 4.58 A Semi-naturales 56.17 3.52 B Medias con una letra común no son significativamente diferentes(p<= 0.05) Debido a la presencia de la regresión polinomica, es más adecuado reportar las sumas de cuadrado secuenciales (tipo I). Podemos decir que existe un efecto de pastura (p=0.0007) siendo las pasturas sembradas las que más productividad primaria promedio presentan (70 contra 56.17). La productividad primaria responden a la precipitación acumulada, PPacum (p<0.0001) con una tendencia cuadrática, POT_PPacum (p<0.0001). La tendencia lineal es diferente entre las pasturas ya que la interacción Pastura*PPacum fue significativa (p<0.0001). El diagrama de dispersíon entre Productividad primaria y Precipitaciones acumuladas con un suvizado polinomico de orden 2 muestra estas tendencias (Figura 139). 209 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 200 Sembradas 180 Semi-naturales 160 Productividad primaria 140 120 100 80 60 40 20 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 Precipitaciones acumuladas Figura 139: Diagrama de dispersión mostrando la relación entre productividad primaria y precipitación acumulada para cada una de las pasturas. Archivo productividad primaria.IDB2. Debido a la interacción existente, no es posible interpretar las medias ajustadas. Para comparar ambas pasturas en distintos niveles de precipitación se puede usar el menú de Exploración de Modelo, solapa de Combinaciones Lineales. Para determinar los coeficientes, consideremos el siguiente ejemplo. Para probar si hay diferencias entre pasturas con precipitación acumulada de 100 mm la hipótesis nula puede escribirse como: H 0 : β 0 + 100 β1 + 10000 β 2 = β 0 + α + 100β1 + 10000β 2 + 100αβ1 Esta hipótesis es equivalente a H 0 : α + 100αβ1 = 0 , que es una combinación lineal de los parámetros del modelo. Los coeficientes para valores de precipitación de 100 mm, 300 mm y 500 mm se muestran en la ventana correspondiente en la Figura 140. 210 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 140: Ventana Exploración de modelos estimados con la solapa Combinaciones lineales desplegada. Archivo productividad primaria.IDB2. Pruebas de hipótesis para combinaciones lineales Comb. lineal Estimación E.E. gl F p-valor Comb.1 -5.48 4.25 1 1.66 0.2008 Comb.2 -48.44 12.45 1 15.14 0.0002 Comb.3 -91.40 21.59 1 17.92 0.0001 Total sd sd Los resultados indican que no hay diferencias significativas entre pasturas cuando la precipitación es de 100 mm (p=0.2008), mientras que cuando la precipitación es de 300 mm o de 500 mm la pastura sembrada tiene mayor productividad primaria (p=0.0002 y p=0.0001 respectivamente). 211 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Bloques incompletos y diseños relacionados Diseños Alfa látices Los datos de este ejemplo provienen de un ensayo de 18 variedades de cebada realizado en Escocia (Patterson et ál., 1989). Debido a la cantidad de tratamientos fue imposible reunir bloques con 18 unidades experimentales homogéneas, por los que estos eran incompletos. Una repetición completa de este experimento consiste de tres bloques incompletos con cuatro unidades experimentales cada y dos bloques incompletos con tres unidades experimentales cada uno, y se contó con un total de cuatro repeticiones (Figura 141). 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 11 3 8 10 13 17 16 5 14 18 4 6 1 7 12 9 2 15 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 15 4 11 17 5 12 10 9 1 13 2 14 7 8 16 6 3 18 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 12 15 3 4 16 7 8 4 12 13 18 8 5 9 10 17 14 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 10 2 16 9 17 7 3 8 4 12 13 15 6 5 14 11 1 18 I II III IV Figura 141: Diagrama del diseño de experimento para el ensayo de 18 variedades de cebada conducido como un alfa látice. Los número romanos a la derecha indican las repeticiones, los número arabicos en la parte superior de la celda indican los bloques incompletos (de tamaños 4 y 3) y en la parte inferior las variedades. Comenzaremos analizando este experimento considerando solamente las repeticiones como un gran bloque (completo). Ya que hay cuatro repeticiones se puede estimar un término de error para realizar las comparaciones de variedades. Los datos se encuntran en el archivo Alfa látice.IDB2. En la ventana de selección de variables de Modelos generales y mixtos declaramos Rendimiento como variable, Variedad, Bloque incompleto y Repeticion como criterios de clasificación. Luego de aceptar, en la solapa de Efectos fijos se declara Variedad (Figura 142), y en la solapa Efectos aleatorios se declara Repeticion (Figura 143). 212 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Como todas las variedades están en cada repetición, esta forma de declarar el modelo corrige los sesgos por repeticiones, aunque ignora el efecto (y por ende los sesgos) debidos a los bloques incompletos. Figura 142: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos fijos identificando a las variedades para los datos del archivo Alfa látice.IDB2. 213 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 143: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios identificando a las repeticiones para los datos del archivo Alfa látice.IDB2. La siguiente salida presenta los resultados para este modelo. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo.017_Rendimiento_REML<-lme(Rendimiento~1+Variedad ,random=list(Repeticion=pdIdent(~1)) ,method="REML" ,control=lmeControl(msMaxIter=200) ,na.action=na.omit ,data=R.data17 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo.017_Rendimiento_REML Variable dependiente: Rendimiento Medidas de ajuste del modelo N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 72 65.2834 105.0631 -12.6417 0.2237 0.3714 0.7015 AIC y BIC menores implica mejor 214 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo III) (Intercept) Variedad numDF denDF F-value p-value 1 51 1977.3627 <0.0001 17 51 3.7389 0.0001 Efectos fijos Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) 5.3250 0.1579 51 33.7330 <0.0001 Variedad10 -0.6750 0.1582 51 -4.2673 0.0001 Variedad11 -0.2000 0.1582 51 -1.2644 0.2118 Variedad12 -0.4750 0.1582 51 -3.0029 0.0041 Variedad13 -0.3250 0.1582 51 -2.0546 0.0451 Variedad14 0.0000 0.1582 51 0.0000 >0.9999 Variedad15 -0.0500 0.1582 51 -0.3161 0.7532 Variedad16 -0.2250 0.1582 51 -1.4224 0.1610 Variedad17 0.1750 0.1582 51 1.1063 0.2738 Variedad18 -0.4750 0.1582 51 -3.0029 0.0041 Variedad2 -0.4250 0.1582 51 -2.6868 0.0097 Variedad3 -0.0750 0.1582 51 -0.4741 0.6374 Variedad4 -0.0500 0.1582 51 -0.3161 0.7532 Variedad5 -0.3750 0.1582 51 -2.3707 0.0216 Variedad6 -0.3250 0.1582 51 -2.0546 0.0451 Variedad7 -0.2000 0.1582 51 -1.2644 0.2118 Variedad8 -0.4000 0.1582 51 -2.5288 0.0146 Variedad9 -0.1250 0.1582 51 -0.7902 0.4330 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Repeticion Desvíos estándares y correlaciones (const) 0.2228 (const) Medias ajustadas y errores estándares para Variedad LSD Fisher (Alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Variedad 17 14 1 15 4 3 9 11 7 16 6 13 5 8 2 18 12 10 Medias 5.5000 5.3250 5.3250 5.2750 5.2750 5.2500 5.2000 5.1250 5.1250 5.1000 5.0000 5.0000 4.9500 4.9250 4.9000 4.8500 4.8500 4.6500 E.E. 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 0.1579 A A A A A A A B B B B B B B B B C C C C C C C C C D D D D D D D D E E E E E E E E E F F F F F F F F F F G G G G G G Medias con una letra común no son significativamente diferentes(p<= 0.05) Como se puede observar la comparación de medias se realiza usando un único error estándar (el error estándar de los efectos estimados de tratamiento, 0.1582, representa el 215 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat error estándar entre cada tratamiento y el tratamiento de referencia). Ahora realizaremos un nuevo análisis incorporando el efecto de los Bloques incompletos. Para esto dejamos la solapa de Efectos fijos como en la Figura 142 (solo Variedad) y en la solapa Efectos aleatorios declaramos a Repeticion y Bloque incompleto como se muestra en la Figura 144. Figura 144: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios identificando los efectos de repetición y bloque incompleto dentro de repetición para los datos del archivo Alfa látice.IDB2. A continuación se presenta la salida correspondiente a este modelo. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo.018_Rendimiento_REML<-lme(Rendimiento~1+Variedad ,random=list(Repeticion=pdIdent(~1) ,Bloque.incompleto=pdIdent(~1)) ,method="REML" ,control=lmeControl(msMaxIter=200) ,na.action=na.omit 216 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat ,data=R.data18 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo.018_Rendimiento_REML Variable dependiente: Rendimiento Medidas de ajuste del modelo N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 R2_2 72 52.3497 94.1184 -5.1749 0.1532 0.3431 0.6595 0.8961 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo III) (Intercept) Variedad numDF denDF F-value p-value 1 35 2154.5072 <0.0001 17 35 6.5359 <0.0001 Efectos fijos Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) 5.3617 0.1381 35 38.8237 <0.0001 Variedad10 -0.7408 0.1217 35 -6.0875 <0.0001 Variedad11 -0.1617 0.1196 35 -1.3518 0.1851 Variedad12 -0.4320 0.1217 35 -3.5499 0.0011 Variedad13 -0.3867 0.1196 35 -3.2327 0.0027 Variedad14 -0.1252 0.1209 35 -1.0362 0.3072 Variedad15 -0.0681 0.1254 35 -0.5434 0.5903 Variedad16 -0.2194 0.1254 35 -1.7500 0.0889 Variedad17 0.1129 0.1201 35 0.9399 0.3537 Variedad18 -0.5234 0.1203 35 -4.3502 0.0001 Variedad2 -0.4471 0.1251 35 -3.5731 0.0011 Variedad3 -0.0913 0.1244 35 -0.7338 0.4680 Variedad4 -0.1055 0.1251 35 -0.8439 0.4045 Variedad5 -0.4646 0.1243 35 -3.7381 0.0007 Variedad6 -0.3397 0.1201 35 -2.8289 0.0077 Variedad7 -0.1896 0.1210 35 -1.5668 0.1261 Variedad8 -0.5895 0.1238 35 -4.7632 <0.0001 Variedad9 -0.2701 0.1204 35 -2.2438 0.0313 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Repeticion Desvíos estándares y correlaciones (const) (const) 0.2011 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Bloque.incompleto Dentro Repeticion Desvíos estándares y correlaciones (const) (const) 0.1757 217 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medias ajustadas y errores estándares para Variedad LSD Fisher (Alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Variedad 17 1 15 3 4 14 11 7 16 9 6 13 12 2 5 18 8 10 Medias 5.4746 5.3617 5.2936 5.2704 5.2562 5.2365 5.2000 5.1722 5.1423 5.0916 5.0220 4.9750 4.9297 4.9146 4.8971 4.8383 4.7722 4.6210 E.E. 0.1372 0.1381 0.1381 0.1377 0.1381 0.1377 0.1377 0.1377 0.1381 0.1381 0.1372 0.1377 0.1381 0.1381 0.1377 0.1381 0.1372 0.1381 A A A A A A B B B B B B B B C C C C C C C C D D D D D D D E E E E E E F F F F F F G G G G G G G H H H H H H I I I I I I J J J Medias con una letra común no son significativamente diferentes(p<= 0.05) En la salida anterior se puede apreciar que los errores estándar de las diferencias (igual al error estándar de los efectos de variedad) siguen siendo similares para cada variedad aunque no iguales, ya que a pesar de que todas las variedades tienen el mismo número de repeticiones, n=4, los bloques incompletos son de distinto tamaño (tres o cuatro unidades experimentales). Sin embargo, estos errores estándar son más pequeños que en el modelo anterior, debido a que ahora se ha descontado la varianza de los bloques dentro de cada repetición. A su vez, las medias de este último análisis están corregidas por el efecto de bloque (medias ajustadas) por lo que este análisis es mejor ya que las medias estimadas son insesgadas (condicionalmente a los bloques observados). Se puede notar que el ranking de medias ha cambiado, en el análisis con solo efectos de repeticiones (como si fuera un DBCA) las tres medias ordenadas en forma decreciente fueron las de variedad 17, 14 y 1, mientras que en el análisis considerando también bloques incompletos (DBI) fueron la 17, 1 y 15. El error estándar de la diferencia de dos medias en el primer análisis fue de 0.158 y el del segundo fue de 0.122 en promedio (para calcular el promedio de los errores estándar de las diferencias, el procedimiento usual es elevar al cuadrado cada error estándar, promediar estos valores y luego tomar la raíz cuadrada de este promedio). La eficiencia de este modelo con respecto al anterior se puede calcular como: 218 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 2 2 σ DifDBCA 0.158 = = Eficiencia = 1.68 2 σ DifDBI 0.122 Es decir, el modelo que considera los bloques incompletos dentro de las repeticiones es un 68% más eficiente que el modelo que considera solo las repeticiones como en un DBCA. A continuación se presenta la síntesis de las medidas de ajuste de los dos modelos, donde los criterios AIC y BIC sugieren que el BIC es el mejor modelo. Modelo incluyendo bloques incompletos N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 R2_2 72 52.3497 94.1184 -5.1749 0.1532 0.3431 0.6595 0.8961 AIC y BIC menores implica mejor Modelo sin incluir bloques incompletos N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 72 65.2834 105.0631 -12.6417 0.2237 0.3714 0.7015 AIC y BIC menores implica mejor 219 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Diseño fila-columna latinizado Los datos de este ejemplo provienen de un ensayo para evaluar 30 variedades de algodón. Cada una de las variedades se repitió 5 veces (William 1986). En la Figura 145 se presenta el esquema del diseño. Como puede observarse, cada una de las variedades esta solo una vez en cada columna (columnas latinizadas). A su vez, se han formado grupos de seis filas cada uno, y cada uno de estos grupos contiene las 30 variedades (representan una repetición completa). Estas son las dos restricciones a la aleatorización que se deben considerar en este diseño. A su vez, las filas dentro de cada una de las repeticiones representan bloques incompletos. Los datos se encuentran en el archivo Latice fila columna.IBB2. Para realizar el análisis, en la ventana de selección de variables de Modelos lineales generales y mixtos seleccionamos Rendimiento como variable, Variedad, Repeticion, Fila y Columna como criterios de clasificación. Luego, en la solapa Efectos fijos sólo declaramos Variedad (Figura 146) y en la solapa Efectos aleatorios declaramos el resto de los efectos como en la Figura 147 . 220 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Repetición Fila Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4 Columna 5 I II III IV V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21 10 11 16 30 4 2 27 6 13 8 28 9 18 7 26 12 19 1 15 29 23 20 22 5 24 25 17 14 3 20 3 24 7 2 8 17 18 21 9 19 1 29 14 27 25 30 4 26 16 12 5 10 13 6 23 15 11 28 22 25 29 26 22 27 18 14 24 10 20 3 11 15 5 23 17 16 13 2 21 19 28 30 6 4 1 7 9 8 12 14 28 5 19 9 23 15 29 12 26 30 4 1 22 20 6 24 21 7 3 11 25 17 8 16 10 13 18 27 2 1 13 15 17 6 12 23 25 7 16 5 22 8 10 11 3 28 2 18 27 14 9 4 24 29 19 30 21 26 20 Figura 145: Diagrama del diseño de experimento para el ensayo de 30 variedades de algodón conducidos como un diseño fila columna latinizado con cinco repeticiones. Todas las variedades están una vez en cada columna y cada repetición, y las filas representan bloques incompletos. 221 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 146: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos fijos para los datos del archivo Látice fila columna.IDB2. 222 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 147: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Látice fila columna.IDB2. A continuación se presenta la salida correspondiente a estas especificaciones. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo.006_Rendimiento_REML<-lme(Rendimiento~1+Variedad ,random=list(.U.=pdBlocked(list(pdIdent(~Repeticion-1) ,pdIdent(~Columna-1))) ,Repeticion=pdIdent(~Fila-1)) ,method="REML" ,control=lmeControl(msMaxIter=200) ,na.action=na.omit ,data=R.data06 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo.006_Rendimiento_REML 223 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Variable dependiente: Rendimiento Medidas de ajuste del modelo N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 R2_2 150 1673.82 1768.59 -802.91 140.59 0.32 0.63 0.70 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo III) (Intercept) Variedad numDF denDF F-value p-value 1 116 1285.12 <0.0001 29 116 3.25 <0.0001 Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Variedad numDF denDF F-value p-value 1 116 1285.12 <0.0001 29 116 3.25 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdBlocked Formula: ~Repeticion + Columna - 1 Desvíos estándares y correlaciones Repeticion1 Repeticion2 Repeticion3 Repeticion4 Repeticion5 Columna1 Columna2 Columna3 Columna4 Columna5 D.S. 58.01 58.01 58.01 58.01 58.01 111.22 111.22 111.22 111.22 111.22 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~Fila - 1|Repeticion Desvíos estándares y correlaciones 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D.S. 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 224 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat 2 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 30 4 5 6 7 8 9 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 50.57 Medias ajustadas y errores estándares para Variedad LSD Fisher (Alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Variedad 27 13 15 6 25 8 10 28 26 29 30 20 5 18 19 7 23 9 22 11 14 24 4 2 3 16 17 1 12 21 Medias 2276.39 2268.83 2224.86 2219.33 2217.33 2210.25 2200.76 2163.75 2161.84 2161.63 2125.28 2114.41 2103.10 2094.48 2090.57 2079.11 2071.82 2044.57 2042.96 2029.67 2026.78 1993.92 1992.30 1977.78 1947.92 1944.82 1944.00 1929.15 1916.32 1802.28 E.E. 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 86.43 A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D D D D E E E E E E E E E E E E E E E F F F F F F F F F F F F F F F F G G G G G G G G G G G G G G G G G H H H H H H H H H H H H H H H H I I I I I I I I I I I I I I I I J J J J J J J Medias con una letra común no son significativamente diferentes(p<= 0.05) 225 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Un análisis de los residuos de este modelo muestra que no hay evidencias que sugieran violaciones a los supuestos de homoscedasticidad ni de distribución normal (Figura 148), por lo que podemos recomendar variedades en función de su rendimiento de acuerdo a la prueba LSD de Fisher calculada en el análisis. Las variedades 27, 15, 13, 6, 25, 8, 10, 28, 26, 29, 30, 20, 5 y 18 son las de mayor rendimiento que no difieren estadísticamente entre sí. Figura 148: Grafico de dispersión de residuos estandarizados versus predichos y gráfico Q-Q-plot con los residuos del modelo estimado para los datos del archivo Látice fila columna.IDB2. 226 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Diseño en látice cuadrado equilibrado En el ensayo de este ejemplo se probaron 25 variedades de trigo con seis repeticiones. Dentro de cada cuadrado (repetición) se desea controlar los efectos de fila y de columna (bloques incompletos en ambos casos). Fue realizado en la Slate Hall Farm, Cambridgeshire, UK, en 1976 (Gleason, 1997). El esquema del experimento se presenta a continuación (Figura 149). Los datos se encuentran en el archivo Látice cuadrado.IDB2. Para analizar estos datos, en el selector de variables de Modelos lineales generales y mixtos ingresamos Rendimiento con variable, Repeticion, Fila, Columna y Variedad en criterios de clasificación (Figura 150). Luego de aceptar, en la solapa Efectos fijos seleccionamos Variedad (Figura 151) y en la solapa de Efectos aleatorios debemos incluir a la Repetición y luego indicar en el modelo que dentro de cada repetición tenemos un efecto de filas y de columnas (Figura 152). 1 6 21 11 16 3 1 5 2 4 2 7 22 12 17 18 16 20 17 19 4 9 24 14 19 8 6 10 7 9 3 8 23 13 18 13 11 15 12 14 5 10 25 15 9 23 21 25 22 24 19 8 11 22 5 16 12 4 25 8 23 12 20 1 9 24 20 7 2 11 2 16 24 10 13 10 1 18 14 22 6 25 3 14 17 13 9 21 17 5 15 4 7 18 21 2 23 15 6 19 18 5 6 24 12 10 12 19 21 3 25 7 13 1 19 4 6 13 20 22 9 16 22 15 3 17 24 1 8 15 11 23 4 17 10 11 18 25 2 9 2 14 20 8 21 23 5 7 14 16 Figura 149: Diagrama del diseño de experimento para el ensayo de 25 variedades de trigo conducido como un látice cuadrado equilibrado. Los cuadros en negrilla representan cada una de las seis repeticiones dentro de las cuales se desea controlar los efectos de fila y de columna. 227 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 150: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2. 228 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 151: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos fijos para los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2. 229 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 152: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo.000_Rendimiento_REML<-lme(Rendimiento~1+Variedad ,random=list(Repeticion=pdIdent(~1) ,Repeticion=pdIdent(~Fila-1) ,Repeticion=pdIdent(~Columna-1)) ,method="REML" ,control=lmeControl(msMaxIter=200) ,na.action=na.omit ,data=R.data00 ,keep.data=FALSE) Resultados para el modelo: modelo.000_Rendimiento_REML Variable dependiente: Rendimiento Medidas de ajuste del modelo 230 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat N AIC BIC logLik Sigma R2_0 R2_1 R2_2 R2_3 150 1703.31 1785.33 -822.65 89.79 0.27 0.38 0.67 0.92 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo III) (Intercept) Variedad numDF denDF F-value p-value 1 120 1216.28 <0.0001 24 120 8.84 <0.0001 Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Variedad numDF denDF F-value p-value 1 120 1216.28 <0.0001 24 120 8.84 <0.0001 Parámetros de los efectos aleatorios Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~1|Repeticion Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones (const) (const) 0.73 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~Fila - 1|Repeticion Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones 1 2 3 4 5 D.S. 1.39 1.39 1.39 1.39 1.39 Modelo de covarianzas de los efectos aleatorios: pdIdent Formula: ~Columna - 1|Repeticion Desvíos estándares relativos al residual y correlaciones 1 2 3 4 5 D.S. 1.36 1.36 1.36 1.36 1.36 Medias ajustadas y errores estándares para Variedad LSD Fisher (Alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: No 231 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Variedad Var19 Var22 Var20 Var25 Var13 Var18 Var02 Var24 Var05 Var06 Var17 Var15 Var21 Var12 Var08 Var04 Var03 Var07 Var16 Var23 Var11 Var14 Var09 Var01 Var10 Medias 1669.55 1644.38 1639.95 1630.63 1619.04 1592.18 1549.01 1546.47 1533.27 1527.41 1498.17 1498.01 1493.44 1483.79 1457.37 1451.86 1420.93 1400.73 1346.15 1329.11 1327.25 1326.65 1298.86 1283.59 1193.22 E.E. 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 60.20 A A A A A A A B B B B B B B B B C C C C C C C C D D D D D D D D D E E E E E E E E E E F F F F F F F F F G G G G G G G G H H H H H I I I I I J J J J J J J K K K K K K K L L L Medias con una letra común no son significativamente diferentes(p<= 0.05) Como se vio en el ejemplo de Correlación Espacial (pág. 138) una forma alternativa de modelar este tipo de ensayos es usar la posición en el espacio de las parcelas (de igual tamaño y en arreglos rectangulares como hemos visto en todo estos diseños en látices) como covariables para ajustar una función de correlación espacial. El archivo de datos Látice cuadrado.IDB2 contiene dos variables, Latitud y Longitud, que pueden ser usadas con este fin. Para evaluara este modelo alternativo, se declaran las variables como en la Figura 153. Luego, en la solapa Efectos aleatorios no se declara nada, y en la solapa Correlaciones se ingresan las variables como en la Figura 154. 232 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 153: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con la inclusión de covariables de posición Latitud y Longitud para los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2. 233 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Figura 154: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Correlación desplegada con la inclusión de covariables de posición Latitud y Longitud para los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2. Modelos lineales generales y mixtos Especificación del modelo en R modelo.002_Rendimiento_REML<-gls(Rendimiento~1+Variedad ,correlation=corExp(form=~as.numeric(as.character(Longitud))+as.numeri c(as.character(Latitud)) ,metric="euclidean" ,nugget=FALSE) ,method="REML" ,na.action=na.omit ,data=R.data02) Resultados para el modelo: modelo.002_Rendimiento_REML Variable dependiente: Rendimiento 234 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Medidas de ajuste del modelo N AIC BIC logLik Sigma R2_0 150 1692.55 1768.92 -819.28 212.96 0.27 AIC y BIC menores implica mejor Pruebas de hipótesis marginales (SC tipo III) (Intercept) Variedad numDF F-value p-value 1 399.80 <0.0001 24 7.70 <0.0001 Pruebas de hipótesis secuenciales (Intercept) Variedad numDF F-value p-value 1 393.70 <0.0001 24 7.70 <0.0001 Estructura de correlación Modelo de correlación: Exponential spatial correlation Formula: ~ as.numeric(as.character(Longitud)) + as.numeric(as.character(Latitud)) Metrica: euclidean Parámetros del modelo Parámetro Estim range 2.45 Medias ajustadas y errores estándares para Variedad LSD Fisher (Alfa=0.05) Procedimiento de corrección de p-valores: No Variedad Var19 Var20 Var13 Var22 Var06 Var24 Var25 Var18 Var17 Var02 Var21 Var05 Var08 Var12 Var15 Var03 Var04 Var07 Var16 Var14 Medias 1664.57 1659.01 1626.37 1589.59 1552.97 1550.00 1544.63 1537.52 1535.60 1531.18 1510.73 1477.87 1473.21 1456.69 1422.74 1407.62 1399.11 1389.06 1332.43 1327.22 E.E. 86.82 87.25 87.32 87.21 86.99 87.19 87.50 87.20 87.60 86.48 87.08 86.64 87.17 87.40 87.02 86.78 86.90 87.46 86.72 87.19 A A A A A A A A A A B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D E E E E E E E E E E F F F F F F F F G G G G G G G H H H H H H I I 235 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Var11 Var23 Var09 Var01 Var10 1326.39 1306.36 1289.71 1231.80 1201.09 87.04 87.02 86.66 86.54 87.28 G H H H I I I I I Medias con una letra común no son significativamente diferentes(p<= 0.05) Para comparar esto modelos podemos usar los criterios AIC y BIC (debido a que en este caso un modelo no es un caso particular del otro no podemos usar el cociente de verosimilitud). DBI Correlación Espacial AIC 1703.31 1692.55 BIC 1785.33 1768.92 A partir de estos resultados podemos inferir que el modelo de correlación espacial ajusta mejor. Sin embargo, si calculamos el promedio de los errores estándar para las diferencias de medias de ambos modelos podemos ver que el modelo de correlación espacial da un valor de 69.118 mientras que el modelo que considera la estructura de diseño da un valor de 62.019. Así, si el objetivo es comparar medias de variedades, considerar la estructura de diseño es más adecuado. 236 Modelos Lineales Mixtos en InfoStat Referencias Benjamini Y., Hochberg Y.1995. Controlling the false discovery rate: a practical and powerful approach to multiple testing. J. R. Stat. Soc. Ser. B, 57:289-300. Benjamini Y., Yekutieli, D. 2001. The control of the false discovery rate in multiple hypothesis testing under dependency. The Annals of Statistics, 29(4):11651188. Besag J.E. 1974. Spatial interaction and the statistical analysis of lattice systems. 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Características y medidas de ajuste de los modelos evaluados para los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. ..................................................................................................................................... 115 Cuadro 3. Criterios de bondad de ajuste para los modelos ajustados con efectos de bloque fijo en los datos del archivo ECRmani.IDB2 .......................................................................................................................................................... 154 Cuadro 4. Criterios de bondad de ajuste para los modelos ajustados sin efectos de bloque fijo en los datos del archivo ECRmani.IDB2 .......................................................................................................................................................... 154 Índice de figuras Figura 1: Solapas con las opciones para especificación de un modelo lineal general y mixto. .......................................2 Figura 2: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Atriplex.IDB2. ............................3 Figura 3: Ventana desplegada con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Bloque.IDB2.......................6 Figura 4: Ventana desplegada con la solapa Comparaciones para los datos del archivo Bloque.IDB2. .........................8 Figura 5: Ventana desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso B, C y D se incluyen como efectos aleatorios anidados. ...................................................................................................................................................... 10 Figura 6: Ventana desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso B, C y D se incluyen como efectos aleatorios anidados (forma explícita). ........................................................................................................................... 10 Figura 7: desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso D y C se incluyen como efectos aleatorios cruzados. ....................................................................................................................................................................... 11 Figura 8: desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso D y C se incluyen como efectos aleatorios cruzados con interacción............................................................................................................................................... 11 Figura 9: Ventana desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso D y C se incluyen como efectos aleatorios cruzados con interacción y B esta anidado en C. .......................................................................................... 12 Figura 10: Ventana desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso B y C se incluyen como efectos aleatorios cruzados, ambos anidados dentro del factor fijo A. ...................................................................................... 12 Figura 11: desplegada con la solapa efectos aleatorios para un ejemplo hipotético en el que hay cuatro factores de clasificación: A, B, C, y D (A fijo; B, C y D aleatorios). En este caso C y D se incluyen como efectos aleatorios cruzados, ambos anidados en el efecto aleatorio B. ...................................................................................................... 12 240 Modelos Mixtos en InfoStat Figura 12: Ventana de diálogo para importar datos desde las librerías de R. ............................................................... 14 Figura 13: Encabezamiento de la tabla de datos del archivo Ovary. ............................................................................. 14 Figura 14: Relación entre el número de folículos (follicles) y el tiempo (Time). ......................................................... 15 Figura 15: Ventana desplegada con la solapa Efectos fijos para los datos del archivo Ovary. .....................................16 Figura 16: Ventana desplegada con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Ovary. .............................17 Figura 17: Ventana desplegada con la solapa Correlación para los datos del archivo Ovary. ......................................18 Figura 18: Funciones ajustadas para el número poblacional de folículos (línea sólida negra) y para cada yegua originada por el efecto aleatorio sobre la constante (archivo Ovary). ........................................................................... 22 Figura 19: Valores suavizados (polinómico de tercer grado) para el número de folículos (lineas sólidas) para cada yegua (Archivo Ovary). ................................................................................................................................................ 22 Figura 20: Especificación de la parte fija del modelo (3) ............................................................................................. 23 Figura 21: Especificación de la parte aleatoria del modelo (3). .................................................................................... 23 Figura 22: Valores predichos para el número de folículos para cada yegua generados por la incluisión de efectos aleatorios sobre los parámetros del modelo de regresión. Matriz de covarianzas de los efectos aleatorios: pdSymm. .24 Figura 23: Especificación de la parte aleatoria del modelo (3) pero permitiendo que éstos varien en varianza y estén correlacionados. ............................................................................................................................................................ 24 Figura 24: Valores predichos para el número de folículos para cada yegua generados por la incluisión de efectos aleatorios sobre los parámetros del modelo de regresión. Matriz de covarianzas de los efectos aleatorios: pdSymm. .25 Figura 25: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Ovary. .........................26 Figura 26: Ventana comparación de modelos generales y mixtos con la solapa Diagnóstico desplegada (archivo Atriplex.IDB2).............................................................................................................................................................. 29 Figura 27: Ventana comparación de modelos generales y mixtos con la solapa Combinaciones lineales desplegada (archivo Atriplex.IDB2). .............................................................................................................................................. 30 Figura 28: Función de autocorrelación de los residuos del modelo presentado en la Ecuación (2) excluyendo la modelación de la autocorrelación serial. ....................................................................................................................... 31 Figura 29: Función de autocorrelación de los residuos del modelo presentado en la Ecuación (2) incluyendo la modelación de la autocorrelación serial. ....................................................................................................................... 32 Figura 30: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Compvar.IDB2. ............................................................................................................................................................ 35 Figura 31: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación del Modelo 1. ........................................................................................................................................ 36 Figura 32: Ventana Análisis-exploración de modelos estimados con la solapa Diagnóstico desplegada para el Modelo 1 con los datos del archivo Compvar.IDB2. ................................................................................................................. 39 Figura 33: Gráficos de diagnóstico obtenidos para la variable largo y el modelo 1 para los datos del archivo Compvar.IDB2. ............................................................................................................................................................ 39 241 Modelos Mixtos en InfoStat Figura 34: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación de varianzas heterogéneas para poblaciones. ........................................................................................ 40 Figura 35: Gráficos de diagnóstico obtenidos para la variable largo y el modelo 1 con varianzas residuales heterogéneas para poblaciones y los datos del archivo Compvar.IDB2........................................................................ 45 Figura 36: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación del Modelo 2. ........................................................................................................................................ 46 Figura 37: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación del Modelo 2. ........................................................................................................................................ 46 Figura 38: Ventana con la solapa Comparaciones desplegada para los datos del archivo Compvar.IDB2 para la especificación del Modelo 2. ........................................................................................................................................ 47 Figura 39: Ventana Análisis-exploración de modelos estimados con la solapa Diagnóstico desplegada para el Modelo 2 con los datos del archivo Compvar.IDB2. ................................................................................................................. 51 Figura 40: Gráficos de diagnóstico obtenidos para la variable largo y el Modelo 2 para los datos del archivo Compvar.IDB2 ............................................................................................................................................................. 52 Figura 41: Gráficos de diagnóstico obtenidos para la variable largo y el modelo 2 para los datos del archivo Compvar.IDB2 una vez declaradas las varianzas residuales diferentes para cada población. ......................................55 Figura 42: Ventana Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Producciones.IDB2 con los efectos aleatorios Linea y Operario cruzados y su interacción. .....................57 Figura 43: Esquema del diseño en parcelas divididas para el ejemplo de los datos en el archivo Trigo.IDB2 (gris oscuro=parcelas bajo riego, gris claro=parcelas en secano).......................................................................................... 62 Figura 44: Encabezamiento de la tabla de datos del archivo Trigo.IDB2. .................................................................... 63 Figura 45: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Trigo.IDB2. .................................................................................................................................................................. 63 Figura 46: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2..............................64 Figura 47: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2 con bloque y agua como criterios de estratificación........................................................................................................................... 65 Figura 48: Ventana Comparación de modelos generales y mixtos con la solapa Diagnóstico desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2................................................................................................................................................. 67 Figura 49: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Trigo.IDB2. .........................68 Figura 50: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2 con selección de función varIdent con variedad como criterio de agrupamiento. ............................................................... 69 Figura 51: Ventana con la solapa Comparaciones desplegada para los datos del archivo Trigo.IDB2 y selección de la subsolapa Medias.......................................................................................................................................................... 70 Figura 52: Encabezamiento de la tabla de datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2. ............................................... 72 Figura 53: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2. ............................................................................................................................................. 73 Figura 54: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2.........73 242 Modelos Mixtos en InfoStat Figura 55: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2 con Parcela como criterio de estratificación. ................................................................................................................ 74 Figura 56: Diagrama de cajas para los residuos estandarizados de Pearson para los niveles del factor Cara. Archivo Cobertura de gotas.IDB2. ............................................................................................................................................. 75 Figura 57: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Cobertura de gotas.IDB2 con Cara como criterio de agrupamiento. ..................................................................................................................... 76 Figura 58: Diagramas de puntos para estudiar la interacción entre Coad y Altura (a) y entre Cara y Altura (b). .........79 Figura 59: Esquema del diseño en parcelas subdivididas para el ejemplo de los datos en el archivo Calidad del almidón.IDB2. .............................................................................................................................................................. 80 Figura 60: Encabezamiento de la tabla de datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2. ............................................ 81 Figura 61: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2. ....................................................................................................................................................... 81 Figura 62: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2. ....82 Figura 63: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2. ...................................................................................................................................................................................... 83 Figura 64: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Calidad del Almidón.IDB2 que contempla otra forma de especificar la parte aleatoria. .......................................................................................... 85 Figura 65: Relación entre cobertura y tiempo para cinco tratamientos del archivo Cobertura forrajes.IDB2. .............89 Figura 66: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del ejemplo Cobertura forrajes.IDB2. .............................................................................................................................................. 91 Figura 67: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2. ........92 Figura 68: Ventana con la solapa Efectos Aleatorios desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de efectos aleatorios de Bloque. .................................................................................................................... 93 Figura 69: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de Errores independientes (Modelo 1). ......................................................................................................... 94 Figura 70: Ventana con la solapa Efectos Aleatorios desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de efectos aleatorios de Bloque y Parcela dentro de bloques. ....................................................................... 95 Figura 71: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 con selección de función varIdent con tiempo como criterio de agrupamiento. ........................................................... 96 Figura 72: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de Simetría compuesta para datos agrupados por parcela. ........................................................................... 97 Figura 73: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de modelo Autorregresivo de orden 1 para datos agrupados por Bloque y Parcela y orden de las observaciones indicado por la variable Tiempo. ........................................................................................................... 99 Figura 74: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de modelo Sin estructura para datos agrupados por parcela y orden de las observaciones indicado por la variable Tiempo (Modelo 11). .................................................................................................................................... 101 243 Modelos Mixtos en InfoStat Figura 75: Ventana del Calculador de probabilidades y cuantiles de InfoStat. ........................................................... 105 Figura 76: Ventana con la solapa Comparaciones desplegada para los datos del archivo Cobertura forrajes.IDB2 y selección de la subsolapa Contrastes. ......................................................................................................................... 106 Figura 77: Ventana de selector de variables con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. .......................109 Figura 78: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. 110 Figura 79: Ventana con la solapa Correlación desplegada, opción Simetría compuesta, con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. ..................................................................................................................................... 111 Figura 80: Ventana con la solapa Correlación desplegada, opción Autorregresivo de orden 1, con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. ........................................................................................................................ 112 Figura 81: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. ..................................................................................................................................... 113 Figura 82: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. ..................................................................................................................................... 114 Figura 83: Ventana con la solapa Correlación desplegada, opción Sin estructura, con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. ..................................................................................................................................... 115 Figura 84: Ventana de selector de variables para los datos del archivo MedCapRes.IDB2. .......................................119 Figura 85: Ventana de selector de variables con solapa Particiones activada para los datos del archivo MedCapRes.IDB2....................................................................................................................................................... 120 Figura 86: Gráfico de puntos para estudiar la interacción entre tratamientos y hora con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. ..................................................................................................................................... 121 Figura 87: Ventana con la solapa Comparaciones, subsolapa Contrastes con los datos del archivo CapacidadRespiratoria.IDB2. ..................................................................................................................................... 122 Figura 88: Gráfico de puntos para el logaritmo del peso seco remanente en función del tiempo, para los cuatro tratamientos (Especie-Bolsa). Archivo Descomposición.IDB2. ................................................................................. 125 Figura 89: Especificación del modelo de regresión lineal con ordenadas al origen y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. ..............................126 Figura 90: Gráfico de puntos para el logaritmo del peso seco remanente en función del tiempo, para los cuatro tratamientos (Especie-Bolsa). Archivo Descomposición.IDB2. ................................................................................. 127 Figura 91: Gráfico de residuos estudentizados (Pearson) vs. Tiempo, para un modelo de regresión de la materia seca residual en función del tiempo para cuatro tratamientos (Especia-Bolsa) con diferentes ordenadas y pendientes. Archivo Descomposición.IDB2. ................................................................................................................................. 128 Figura 92: Especificación del modelo de regresión lineal con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. .................................................. 128 Figura 93: Ajustes del modelo de regresión polinómica de orden 2 con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos 244 Modelos Mixtos en InfoStat dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. ............................................................................................................................................... 129 Figura 94: Residuos estudentizados (Pearson) vs. Tiempo para el modelo de regresión polinómica de orden 2 con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. ............................................................................................................ 130 Figura 95: Especificación de la parte heteroscedástica del modelo de regresión polinómica de orden 2 con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. ............................................................................................................ 130 Figura 96: Residuos estudentizados (Pearson) vs Tiempo para el modelo heteroscedástico de regresión con ordenadas y pendientes diferentes por tratamiento para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. ............................................................................................ 131 Figura 97: Especificación de la parte aleatoria del modelo heteroscedástico de regresión polinómica de orden 2 con ordenadas y pendientes diferentes para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. ............................................................................................................ 132 Figura 98: Residuos estudentizados (Pearson) vs Tiempo para el modelo heteroscedástico de regresión con ordenadas y pendientes diferentes por tratamiento y el agregado de un efecto aleatorio sobre la constante que es particular para cada combinación de tiempo y tratamiento, para el logaritmo de la materia seca remanente en función del tiempo y el tiempo^2 (centrados) para cuatro tratamientos dados por la especie de origen del material vegetal y el tramado de la bolsa que lo almacena. Archivo Descomposición.IDB2. ............................................................................................ 132 Figura 99: Intérprete de R. Tiene 4 paneles. Script: contiene el o los programas R que se quieren ejecutar. Output: la salida de la ejecución de un script o de la visualización de un objeto, Objetos: la lista de los objetos residente en la memoria de R. Finalmente un panel inferior muestra los mensajes y reporte de errores que envía R a la consola.....133 Figura 100: Curvas de tasas de descomposición según especie y tramado de la bolsa de almacenamiento................137 Figura 101: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y el Modelo BF. .............................................................................................................................................................................. 142 Figura 102: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y el Modelo BA. ............................................................................................................................................................................. 142 Figura 103: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y el Modelo BA. ................................................................................................................................................................ 143 Figura 104: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad usando local como criterio de agrupamiento para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y los Modelos BFH y BAH. ................................................................................................ 144 Figura 105: Ventana con la solapa Correlación usando las variables la y lon como coordenadas en X e Y respectivamente y local como criterio de agrupamiento para los datos del archivo ECRmaní.IDB2 y los Modelos Exp y BFExp. ..................................................................................................................................................................... 145 Figura 106: Diagrama de puntos para estudiar la interacción entre localidades y genotipos para la variable Rendimiento. .............................................................................................................................................................. 159 245 Modelos Mixtos en InfoStat Figura 107: Esquema de un experimento conducido bajo un diseño strip-plot repetido en bloques completos al azar, con la aleatorización para un bloque particular de los factores cantidad de nitrógeno y cantidad de riego. Datos del archivo StripPlot.IDB2. .............................................................................................................................................. 162 Figura 108: Diagramas de puntos de las medias de rendimiento para cada combinación de Riego y Nitrógeno. Datos archivo StripPlot.IDB2. .............................................................................................................................................. 163 Figura 109: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para evaluar un modelo mixto con los datos del archivo StripPlot.IDB2. ........................................................................................................................................................... 164 Figura 110: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para evaluar un modelo mixto con los datos del archivo StripPlot.IDB2. .............................................................................................................................................. 165 Figura 111: Ventana con la solapa Efectos aleatorios desplegada para evaluar un modelo mixto con los factores Nitrógeno y Riego cruzados para los datos del archivo StripPlot.IDB2. .................................................................... 166 Figura 112: Ventana se selector de variable para Modelos lineales generales y mixtos los datos del archivo Lombrices.IDB2. ........................................................................................................................................................ 170 Figura 113: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para evaluar un modelo mixto con los datos del archivo Lombrices.IDB2. ........................................................................................................................................................ 171 Figura 114: Ventana con la solapa Correlación desplegada para evaluar un modelo mixto con correlación espacial exponencial en los datos del archivo Lombrices.IDB2. .............................................................................................. 172 Figura 115: Ventana con la solapa Correlación desplegada para evaluar un modelo mixto con correlación autorregresiva de orden 1 en los datos del archivo Lombrices.IDB2. ......................................................................... 174 Figura 116: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Lombrices.IDB2. .............176 Figura 117: Ventana con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para evaluar un modelo mixto con en los datos del archivo Lombrices.IDB2. ........................................................................................................................................... 177 Figura 118: Diagramas de puntos para estudiar la interacción entre tratamientos y profundidad y su efecto sobre la biomasa. Datos archivo Lombrices.IDB2. .................................................................................................................. 179 Figura 119: Ventana con la solapa Comparaciones y la subsolapa Contrastes desplegada para evaluar un modelo mixto con los datos del archivo Lombrices.IDB2. ...................................................................................................... 180 Figura 120: Ventana con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2. ..183 Figura 121: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial exponencial. .......................................................................................................... 185 Figura 122: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial Gaussiana. ............................................................................................................. 186 Figura 123: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial lineal. .................................................................................................................... 187 Figura 124: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial “rational quadratic”. .............................................................................................. 188 Figura 125: Ventana con la solapa Correlación desplegada para los datos del archivo Testigos_apareados.IDB2 y selección de Correlación espacial esférica. ................................................................................................................. 189 246 Modelos Mixtos en InfoStat Figura 126: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con datos del archivo Testigos_apareados.IDB2. .......................................................................................................................................... 192 Figura 127: Relación entre la Ganancia en aprendizaje y la Calificacion previa al entrenamiento suavizada para cada uno de los maestros. Archivo Ganancia en aprendizaje.IDB2. ................................................................................... 194 Figura 128: Ventana de selección Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos fijos para los datos del archivo Ganancia en aprendizaje.IDB2. ..................................................................................................................... 196 Figura 129: Ventana de selección Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Ganancia en aprendizaje.IDB2................................................................................................................. 197 Figura 130: Ventana de selección de variables del módulo Modelos lineales generales para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2...................................................................................................................................... 199 Figura 131: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2. ........................................................................................................................ 200 Figura 132: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2.......................................................................................................... 200 Figura 133: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 con la variable PPacum como regresora y pastura como factor fijo. .......................................................................... 201 Figura 134: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 con la variable PPacum y POT_PPacum como regresoras y pastura como factor fijo................................................ 202 Figura 135: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Heteroscedasticidad desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 y la selección de la función VarPower............................................. 203 Figura 136: Herramientas gráficas para diagnóstico obtenidas para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 con la variable PPacum y POT_PPacum como regresoras, pastura como factor fijo y una función VarPower para las varianzas heterogéneas. .............................................................................................................................................. 204 Figura 137: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Efectos fijos desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 y la especificación del modelo con interacción............................................... 205 Figura 138: Ventana del módulo Modelos lineales generales con la solapa Efectos aleatorios desplegada para los datos del archivo Productividad primaria.IDB2 y la selección del efecto de potrero como aleatorio. ........................206 Figura 139: Diagrama de dispersión mostrando la relación entre productividad primaria y precipitación acumulada para cada una de las pasturas. Archivo productividad primaria.IDB2. ....................................................................... 210 Figura 140: Ventana Exploración de modelos estimados con la solapa Combinaciones lineales desplegada. Archivo productividad primaria.IDB2. ..................................................................................................................................... 211 Figura 141: Diagrama del diseño de experimento para el ensayo de 18 variedades de cebada conducido como un alfa látice. Los número romanos a la derecha indican las repeticiones, los número arabicos en la parte superior de la celda indican los bloques incompletos (de tamaños 4 y 3) y en la parte inferior las variedades. ......................................... 212 Figura 142: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos fijos identificando a las variedades para los datos del archivo Alfa látice.IDB2. ............................................................................................................... 213 Figura 143: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios identificando a las repeticiones para los datos del archivo Alfa látice.IDB2. ........................................................................................... 214 247 Modelos Mixtos en InfoStat Figura 144: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios identificando los efectos de repetición y bloque incompleto dentro de repetición para los datos del archivo Alfa látice.IDB2. ........................216 Figura 145: Diagrama del diseño de experimento para el ensayo de 30 variedades de algodón conducidos como un diseño fila columna latinizado con cinco repeticiones. Todas las variedades están una vez en cada columna y cada repetición, y las filas representan bloques incompletos. ............................................................................................. 221 Figura 146: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos fijos para los datos del archivo Látice fila columna.IDB2. .......................................................................................................................................... 222 Figura 147: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Látice fila columna.IDB2............................................................................................................................... 223 Figura 148: Grafico de dispersión de residuos estandarizados versus predichos y gráfico Q-Q-plot con los residuos del modelo estimado para los datos del archivo Látice fila columna.IDB2. ............................................................... 226 Figura 149: Diagrama del diseño de experimento para el ensayo de 25 variedades de trigo conducido como un látice cuadrado equilibrado. Los cuadros en negrilla representan cada una de las seis repeticiones dentro de las cuales se desea controlar los efectos de fila y de columna. ........................................................................................................ 227 Figura 150: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2. ................................................................................................................................................ 228 Figura 151: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos fijos para los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2. ................................................................................................................................................ 229 Figura 152: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Efectos aleatorios para los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2. ................................................................................................................................... 230 Figura 153: Ventana de selección de variables para Modelos lineales generales y mixtos con la inclusión de covariables de posición Latitud y Longitud para los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2...................................233 Figura 154: Ventana de Modelos lineales generales y mixtos con la solapa Correlación desplegada con la inclusión de covariables de posición Latitud y Longitud para los datos del archivo Látice cuadrado.IDB2...................................234 248 View publication stats
