Ejercicios de variables aleatorias continuas II

Ejercicios/ejemplos de Distribuciones Continuas (II)
1. El plomo, como muchos otros elementos, está presente en el medio natural. La
revolución industrial y la llegada del automóvil han incrementado la cantidad de plomo
en el medio hasta el punto de que, en algunos individuos, la concentración de plomo
puede alcanzar niveles peligrosos. Un estudio de campo sugiere que la concentración X
de plomo en partes por millón en la corriente sanguínea de un individuo es una variable
normal con media 0’25 y desviación típica 0’11. Una concentración superior o igual a
0’6 partes por millón se considera extremadamente alta.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente posea
una concentración de plomo de esta categoría?
b) En una población de 7 millones de habitantes, ¿aproximadamente cuántos
pueden pertenecer a esa categoría de riesgo?
c) ¿Qué porcentaje aproximado de individuos tienen concentraciones de plomo
inferiores a 0’45? ¿Qué porcentaje posee una concentración superior a 0’15?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo, tomado al azar, tenga una
concentración de plomo entre 0’30 y 0’50?
e) En una población de 7 millones de habitantes, ¿aproximadamente cuántos
tendrán una concentración de plomo entre 0’10 y 0’45?
f) ¿Qué porcentaje de la población tiene una concentración de plomo que se
diferencie de la media en menos de 0’1 partes por millón?
g) ¿Cuál es la concentración de plomo por encima de la cuál está únicamente el
10% de la población?
h) ¿Cuál es la concentración de plomo por debajo de la cuál está únicamente el 5%
de la población?
2. Se tratan 120 ejemplares de una especie vegetal, todos bajo la acción destructora de
un mismo microorganismo, con un compuesto para eliminar dicho microorganismo. Se
observa que, en general, 4 de cada 10 mueren antes de que el compuesto haya surtido
efecto. Calcula la probabilidad de que:
a) Mueran entre 60 y 90 ejemplares.
b) Mueran menos de la mitad.
c) Mueran más de 30 ejemplares.
3. La media de accidentes con un cierto impacto medioambiental que se produce en un
cierto país a lo largo de un año es de 25. Suponiendo que el número de accidentes es
una variable de Poisson, se pide:
a) Probabilidad de que un año haya exactamente 30 accidentes.
b) Porcentaje de años en los que se esperan menos de 30 accidentes.
c) Probabilidad de que un año haya entre 20 y 40 accidentes.
2. Se tratan 120 ejemplares de una especie vegetal, todos bajo la acción destructora
de un mismo microorganismo, con un compuesto para eliminar dicho
microorganismo. Se observa que, en general, 4 de cada 10 mueren antes de que el
compuesto haya surtido efecto. Calcula la probabilidad de que:
a) Mueran entre 60 y 90 ejemplares.
X=B(120, 0’4). Tendríamos que calcular
P(60  X  90)  P( X  60)      P( X  90)
Lo más práctico, entonces, es aproximar por una normal. Concretamente,
  np  48 ,   npq  120  0'4  0'6  5'37 . Es decir, aproximamos
X  N (48,5'37)
Con la corrección por continuidad,
90'5  48 
 59'5  48
P60  0,5  X  90  0,5  P
z
  P2'14  z  7,91 
5'37 
 5'37
 P( z  7'91)  P( z  2'14)  1  0'9838  0,0162
b) Mueran menos de la mitad.
Querríamos calcular P( X  60) . Aproximando por la normal, y con la corrección
por continuidad, se tiene
60  0,5  48 

P( X  60  0,5)  P z 
  Pz  2'33  0,9901
5'37


c) Mueran más de 30 ejemplares.
Querríamos calcular P( X  30) . Aproximando por la normal, y con la corrección
por continuidad, se tiene
30  0,5  48 

P( X  30)  P z 
  P( z  3,4)  P( z  3,4)  0,9997
5'37


3. La media de accidentes con un cierto impacto medioambiental que se produce
en un cierto país a lo largo de un año es de 25. Suponiendo el número de accidentes
es una variable de Poisson, se pide:
a) Probabilidad de que un año haya exactamente 30 accidentes.
Vamos a resolver el ejercicio aproximando por una normal. En este caso,
    25 ,     5 . Por lo tanto,
X  N (25,5)
En consecuencia, con la corrección por continuidad
30'5  25 
 29'5  25
P( X  30)  P(30  0,5  X  30  0,5)  P
z

5
5


 P(0'9  z  1,1)  P( z  1,1)  P( z  0,9)  0,8643  0,8159  0,0484
b) Porcentaje de años en los que se esperan menos de 30 accidentes.
Con la corrección por continuidad,
29'5  25 

P X  30  0'5  P z 
  P( z  0,9)  0,8159
5


Por lo tanto, 81’59%
c) Probabilidad de que un año haya entre 20 y 40 accidentes.
Con la corrección por continuidad,
P20  0,5  X  40  0,5  P 1,1  z  3,1      0,8633