UNIDAD1 Circuitos 2 Enero 2019

Notas para la clase de Circuitos Eléctricos 2 del Ing. José Luis de la Orta Barradas ITVeracruz Página 1/44
ANÁLISIS Y CONCEPTOS BÁSICOS DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA.
Propiedades de las funciones sinusoidales.- Cuando una espira gira a velocidad
constante en un campo magnético uniforme se engendra una
alternativa (Fig. 1).
Los valores sucesivos de la
pueden representarse por medio de una curva
continua llamada sinusoide, porque los valores de la
son proporcionales al seno del
ángulo x que el plano de la espira forma con otro que, pasando por el eje de la espira, sea
perpendicular a la dirección del campo magnético. El valor de
inducida está dado por la
siguiente expresión:
en donde
(densidad de flujo magnético),
de ser perpendiculares entre sí.
(longitud del conductor) y
(velocidad) deben
No estando
perpendicular a la dirección del flujo se descompone en
última no es causa de generación de
puesto que es paralela al flujo.
; ésta
por lo tanto :
y de esta manera, la
onda senoidal.
inducida en dicho conductor puede quedar representada por una
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Figura 3. Sinusoide de la fem inducida
La teoría y el análisis de la corriente alterna se fundan en el empleo de las sinusoides
de la tensión, la corriente y la potencia, debido a que son sencillas y fáciles de expresar
matemáticamente.
Cuando el conductor de la espira haya realizado una revolución completa, habrá
descrito un arco de 360° o de
radianes y la curva de la
habrá variado igualmente. Si
es la velocidad en revoluciones por segundo
, entonces la frecuencia de la oscilación
de la fem en períodos por segundo
es igual a , ya que para cada revolución, la fem
inducida en el conductor sigue un período completo de valores positivos y negativos. Si el
conductor girara durante
segundos a partir de la posición 1 habrá ejecutado
revoluciones o
ciclos, por lo tanto:
ésto es, a velocidad constante o a frecuencia constante,
ó
son constantes y las
curvas de corriente alterna pueden trazarse con el tiempo como abscisa, del mismo modo que
lo hacía en radianes o grados.
Si la velocidad angular es ω (en radianes/segundo), se deduce que:
Si en la ecuación
se remplaza a
por
(valor máximo de la
) y a
por su valor
y si
se reemplaza por ω, se obtiene la ecuación de la fuerza
electromotriz inducida alterna sinusoidal.
Esta sinusoide se puede trazar proyectando el extremo de las distintas posiciones de
un segmento rectilíneo giratorio, sobre las correspondientes ordenadas igualmente
espaciadas. El valor de la tensión o de la corriente se puede obtener en cada instante
proyectando el radio sobre una vertical.
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Figura 4. Onda senoidal en fase con el origen.
Figura 5. Onda senoidal adelantada respecto al origen.
Figura 6. Senoide adelantada 90 respecto al origen o cosenoide en fase con el origen.
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Figura 7. Senoide atrasada respecto al origen.
La intensidad y tensión en las corrientes alternas ordinarias tienen la misma frecuencia
fundamental cuando se trabaja en condiciones normales. La siguiente figura representa dos
corrientes sinusoidales; ambas corrientes van del valor positivo al negativo y viceversa en el
mismo instante y por ello se decide que están en fase.
Figura 8. Ondas senoidales en fase.
La siguiente figura representa dos corrientes sinusoidales que no se hacen cero
simultáneamente.
Figura 9. Ondas senoidales con
diferencia de fase.
Esta diferencia de fase puede existir entre intensidades y tensiones, entre varias
tensiones o entre varias intensidades de corriente.
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En ocasiones es necesario sumar algunas sinusoides por lo que a continuación se
detalla esta operación con un ejemplo de aplicación:
Sean
Determinar:
Así:
Como:
pero,
[
( )]
De donde :
[
]
[
]
----------------------------Sean
Determinar:
Así:
Como:
De donde:
Uno de los efectos más importantes en los que intervienen las sinusoides es el que
respecta a la potencia disipada por un voltaje sinusoidal o una corriente cuando están
asociados a un elemento resistivo de dos terminales. Para ser más específicos, se va a hacer
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una comparación entre la potencia disipada en una resistencia en dos situaciones distintas. La
primera de éstas será cuando una corriente sinusoidal i pase por la resistencia y la segunda
cuando una corriente constante I pase por la misma resistencia.
Para el caso sinusoidal
tendrá la forma:
La potencia está dada por la expresión:
Igualmente, en el caso de la corriente constante, la potencia está dada por la
expresión:
Las expresiones dadas en
y
no se pueden comparar directamente, dado que la
primera fluctúa sinusoidalmente entre los límites de
y
con una frecuencia de
, en tanto que la segunda es constante, por lo tanto, para permitir una
comparación entre ambas, se calculará el valor medio de la potencia sobre algún intervalo.
Pero el caso sinusoidal, si se calcula la potencia media sobre un período, será lo mismo que
para cualquier número entero de periodos. El período ésta dado por
.
Así :
∫
∫
[( )
(
)
(
) ]
La potencia media para el caso de la corriente constante es obviamente igual a la
potencia instantánea (
). Si los valores de las potencias son iguales, entonces:
y por lo tanto,
*
+
√
Se concluye entonces que una onda sinusoidal de corriente con una magnitud pico de
disipará la misma potencia media en un resistor que una corriente constante con un valor
de
√ .
Se puede hacer un desarrollo similar para demostrar que una onda sinusoidal de
voltaje con una magnitud de pico
aplicado a un resistor producirá la misma potencia
media de disipación en un resistor que un potencial constante de valor
√ .
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Tanto a como a se les denomina como valores medios cuadráticos (
eficaces de la corriente o del voltaje.
√
) o valores
√
Los valores eficaces de voltaje y de corriente son los que miden los instrumentos
electrodinamométricos y éstos son los que se utilizan normalmente. También, como un
ejemplo del uso de los valores
o eficaces, se debe notar que la distribución residencial
de energía eléctrica se hace utilizando variables sinusoidales y el valor del voltaje se
especifica en términos de unidades rms o eficaces.
Si a un elemento general de circuito como el de la Figura 10 se le aplica como
excitación un voltaje sinusoidal, habrá como respuesta una corriente sinusoidal circulando a
través del elemento.
Figura 10
Sean
Así:
[
]
La potencia media será el área dividida por el tiempo
∫
[
[
]
, o sea:
]
√ √
De esta expresión se ve que la potencia media es siempre menor o igual al producto de
los valores eficaces del voltaje y la corriente. Para indicar el porcentaje de energía que se
aprovecha (en Watts), se define al factor de potencia
como:
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En donde
es el ángulo de desfasamiento que hay entre el voltaje y la corriente y
está definido siempre por el elemento del circuito, esto es, la carga.
La función de excitación compleja
Según Steinmetz, una función de excitación real
por una función de excitación compleja que no tiene existencia física:
puede ser cambiada
de acuerdo con la identidad de Euler
Así
La repuesta a la excitación compleja será también una función compleja
que de acuerdo con Euler
Entonces, según Steinmetz, la parte real de la función de excitación compleja producirá la
parte real de la respuesta
El Fasor
La representación compleja ya sea de un voltaje o una corriente en forma polar se denomina
fasor. Así, un voltaje en el dominio del tiempo de la forma
Se representa en forma compleja como
Y en forma exponencial como
La representación compleja de cualquier voltaje o corriente del mismo circuito contendrá el
mismo factor
. El factor en realidad es superfluo; como es el mismo para todas las
cantidades, no contiene información útil, resulta más sencillo anotar el valor de la frecuencia ω
cerca del circuito y evitar estar acarreando información durante el proceso de solución.
Será más fácil escribir la expresión anterior como
ecuación ya no es función del tiempo.
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para una ω dada. Nótese que la
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La ecuación anterior puede escribirse ahora en forma polar como
dada.
para una
Esta última expresión es llamada fasor, los fasores son cantidades complejas por lo que se
representan con “negritas”. Se usan mayúsculas para la representación fasorial de una
cantidad eléctrica.
El fasor no es una función instantánea del tiempo, sólo contiene información de amplitud y
fase. Esta diferencia se establece al referirse a
como la representación en el dominio del
tiempo y llamando al fasor
la representación en el dominio de la frecuencia.
Así, la tensión en el dominio del tiempo
frecuencia será
.
, en el dominio de la
Se ha normalizado en eléctrica representar senoides y sus fasores sobre la base de funciones
coseno. Por tanto, una función senoidal debe ser pasada primero a cosenoidal para poder
convertirla a fasor.
Así la corriente en el dominio del tiempo
Es primero convertida a cosenoidal
Y finalmente a polar
Será necesario aprender la transformación inversa.
Dado el fasor en el dominio de la frecuencia
su valor en el dominio del tiempo será:
CIRCUITO RESISTIVO.
La siguiente figura representa un circuito de corriente alterna con resistencia solamente
y en el cual
y en donde
es el voltaje aplicado por una fuente sinusoidal,
indicándose además para el instante del análisis el punto de mayor potencial con la punta de
la flecha. Siendo el resistor un elemento pasivo, la corriente circulará a través de él, de su
punto de mayor potencial a su punto de menor potencial.
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Figura 11
Aplicando la ley de Ohm, se nota que
de
e
están en fase.
;
En la fig. 12 se representan
e como ondas sinusoidales en fase y los valores de
e
que generan a estas ondas, representándolas como vectores giratorios o fasores.
Figura 12.
CIRCUITO CON AUTOINDUCCION.
Como es sabido (Circuitos Eléctricos I), la autoinducción se opone siempre a toda
variación de la corriente, siendo además, un circuito corto después del transitorio al
aplicársele corriente continua constante.
Figura 13.
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En el caso de circuitos con autoinducción
recorridos por una corriente alterna, al
momento de empezar a circular ésta, aparece en sus terminales una fem de autoinducción
que se opone a la variación de la corriente (Ley de Lenz), por lo tanto, antes de que pueda
circular corriente por un circuito que solo contiene autoinducción, debe aplicársele una tensión
igual y opuesta a la
de autoinducción.
Sea
.
La
de autoinducción será:
que es una sinusoide con retraso de fase de 90° con relación a
representada por
en la fig. 14.
La tensión aplicada que contrarresta esta fem
es:
que es una sinusoide en avance de 90° con relación a
fig. 14.
Figura 14.
y que está
y que está representada por
Figura 15 (a)
en la
Figura 15 (b)
La fig. 15, representa, por medio de un diagrama vectorial, a la corriente y a la tensión
aplicada al circuito inductivo y en donde se debe notar que la corriente se atrasa 90° respecto
del voltaje o el voltaje se adelanta 90° a la corriente.
Ya se vio que
, lo que implica que
y por lo
tanto,
esto es, en un circuito en el que solo hay autoinducción, la intensidad es inversamente
proporcional a la frecuencia y al coeficiente de autoinducción.
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depende de la frecuencia y es el efecto de oposición al paso de la corriente, producido por
la autoinducción y se le denomina reactancia inductiva del circuito y se expresa en Ohms (Ω).
Nota: La potencia media en un circuito capacitivo puro es nula.
CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO.
Cuando se aplica una fuente de tensión continua entre las placas de un condensador
empieza a circular una corriente que lo carga a la tensión aplicada, quedando después de
esto, como un circuito abierto. Si se cortocircuitan las placas del condensador, se reduce a
cero la diferencia de potencial, saliendo una corriente de la placa positiva.
Figura 16. Circuito capacitivo, en donde
es una fuente de tensión sinusoidal.
La fig. 17 representa una
sinusoidal aplicada a las placas del condensador C.
Cuando la tensión parte de su valor cero y empieza a aumentar, la corriente fluye al
condensador por el conductor positivo. Esta corriente, por lo tanto, es positiva.
Cuando la tensión alcanza su valor máximo positivo, la
deja de aumentar y la
intensidad decrece hasta anularse. El siguiente cuarto de ciclo la
decrece hasta llegar a
cero y la corriente sale del condensador y pasa al conductor positivo; y como el sentido de
circulación de la corriente se ha invertido, su signo será ahora negativo. Después de que la
curva ha pasado por su valor cero, la
es negativa y la carga del condensador se invierte,
de manera que la corriente se mantiene negativa, prosiguiendo así hasta que la
alcanza
su valor máximo negativo. En ese instante la corriente, invirtiendo el sentido de la circulación,
se vuelve de nuevo positiva. Un examen de la figura 17, prueba que cuando se aplica una
alterna a las terminales de un condensador, la corriente que va hacia él está en avance
de 90° con relación a la
aplicada. En la fig. 18, se establece la relación vectorial.
Figura 18
Figura 17
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La relación entre la intensidad y la tensión en un circuito con capacidad se puede
demostrar también de la siguiente manera:
Sean:
De lo anterior:
A
se le llama reactancia capacitiva del circuito y su valor depende de la frecuencia.
ésto es, en un circuito en el que solo hay capacitancia, la corriente es proporcional a la
frecuencia.
Nota: La potencia media en un circuito capacitivo puro es nula.
RESISTENCIA,
AUTOINDUCCION
Y CAPACIDAD
EN
SERIE.
Figura 19
Como se trata de un circuito serie, la corriente es la misma a todo lo largo de él.
Sea
.
Por la ley de voltajes de Kirchhoff
De donde:
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, pero :
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Las tensiones en la autoinducción y la capacidad están en posición, figura 20, de
manera que su resultante es su diferencia geométrica.
Figura 20
Para el caso de que
sea mayor que
[
]
(Figura 21) :
[
]
siendo
[
]
Se denomina a
(la carga) como la resistencia aparente o impedancia del circuito y es la
que define el desfasamiento entre la tensión aplicada y la corriente. El desfasamiento es
y
para este caso es:
De las ecuaciones anteriores es notorio que:
Y por lo tanto,
√ √
Figura 22.
Triángulo de
impedancias para
.
[
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]
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Factor de potencia en atraso.
.
Figura 21. Comportamiento del circuito en
forma inductiva.
Para el caso de que
sea mayor que
.
(Figura 23 ).
Figura 24. Circuito que
se comporta en forma
capacitiva.
[
Figura 23. Circuito que se comporta
en forma capacitiva
]
Figura 24. Factor de potencia en adelanto.
.
Resonancia en el circuito serie.
Se dice que un circuito serie
está en resonancia cuando
, estando entonces la corriente en fase con la tensión de la línea.
, de modo que
En estas condiciones,
y por lo tanto,
En estas condiciones a esta frecuencia se le llama frecuencia de resonancia (
lo que:
√
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Por
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También
Con lo que se determina que
Como la tensión entre terminales de la autoinductancia es igual a la que existe entre las
terminales de la capacitancia cuando el circuito está en resonancia y las dos tensiones están
en oposición, ambas pueden alcanzar valores altos, aun cuando la tensión en la línea sea
reducida. Debe notarse también que la corriente es máxima cuando el circuito serie está en
resonancia (impedancia mínima).
CIRCUITO RLC
EN PARALELO.
La solución de los problemas en circuitos con dos o más ramas en paralelo requiere de
la determinación de las intensidades de las corrientes en cada rama del circuito para
combinarlas luego y hallar la corriente resultante.
Figura 25
La tensión
es la misma en cada uno de los elementos. Sea
Lo que implica que las corrientes de cada elemento son:
∫
Figura 26.
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.
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Las corrientes en la autoinducción y la capacitancia están en oposición (Figura 26) de
manera que la resultante es su diferencia geométrica.
Así, se ve que si
es menor que
circuito se comporta en forma inductiva.
implica que
es mayor que
, ésto es, el
.
Figura 27.
Si
es menor que
comporta capacitivamente.
implica que
es mayor que
.
, por lo que el circuito se
Figura 28.
Tabla 1
Elemento
Tensión
Tensión si
∫
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Tensión si
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Tabla 2
Elemento
Corriente
Corriente si
Corriente si
∫
Tabla 3
Reactancia Inductiva
Reactancia Capacitiva
Tabla 4
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La corriente atrasada respecto a
la tensión con un ángulo
La corriente adelantada respecto
a la tensión con un ángulo
La corriente atrasada respecto a
la tensión con un ángulo
La corriente adelantada respecto
a la tensión con un ángulo
Tabla 5
Triángulo de Impedancias
Determinación de
y
Factor de potencia unitario
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√
√
IMPEDANCIA COMPLEJA.
Sea
Aplicando KVL
La solución particular de esta ecuación diferencial es de la forma
Substituyendo la solución propuesta en la ecuación:
De donde
Lo que implica que
Sea
Aplicando KVL
∫
La solución particular de esta ecuación diferencial es de la forma
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Substituyendo la solución propuesta en la ecuación:
De donde
Lo que implica que
Resumiendo:
El signo
se asocia a la reactancia inductiva. El signo – corresponde a la reactancia capacitiva
Sea:
y
siendo
la fase inicial de la tensión aplicada.
Esto es:
Esta ecuación pertenece al dominio del tiempo. Multiplicando ambos lados por
√
√
√
Por lo tanto:
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√
√
Con lo que
Estas ecuaciones están ahora en el dominio de la frecuencia y ya no aparece el tiempo. Son
los equivalentes fasoriales de la ley de Ohm.
Dominio del tiempo
Dominio de
la frecuencia
Todas las técnicas vistas y aplicadas a circuitos resistivos se podrán aplicar de igual
manera en el dominio de la frecuencia.
Sea
El inverso de la impedancia es la Admitancia
IMPEDANCIAS EN SERIE.
IMPEDANCIAS EN PARALELO.
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ADMITANCIAS EN SERIE.
ADMITANCIAS EN PARALELO.
La transformación de delta a estrella y viceversa, es enteramente igual que con las
resistencias.
DIVISORES DE TENSIÓN.
DIVISORES DE CORRIENTE
FUENTE IDEAL DE TENSIÓN
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FUENTE IDEAL DE CORRIENTE
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TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
Todas las técnicas se aplican igual, salvo, en el cálculo de la máxima transferencia de
potencia, ya que la carga puede no ser resistiva pura.
Para contrastar la solución en el dominio del tiempo contra la solución en el dominio de la
frecuencia, se resolverá un problema con las dos técnicas. Pelando chícharos con guantes de
box contra el método “papita”.
Sea
Se desea determinar la diferencia de
potencial entre a y b
Solución:
Rama 1.
√
Triángulo de impedancias 1
Así:
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Rama 2
√
Triángulo de impedancias 2
Así:
De modo que:
Así:
(Se omitió el proceso de sumar dos ondas coseno, el cual es complicado también).
Ahora, el mismo problema pero en el dominio de la frecuencia.
Por divisores de tensión:
Mismo resultado y menos trabajo.
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SIMULACIÓN.
En el simulador AC Loop and Mesh Analysis Program que forma parte de la suite Math for
Technology
junto
a
otros
programas
y
que
puede
obtenerse
desde
http://mathonweb.com/technology_suite.htm se dibuja el circuito y en el lugar donde se desea
obtener la tensión, se pone una resistencia de valor muy alto para simular el circuito abierto.
El simulador, determina las ecuaciones
de malla y en forma inmediata da la
solución.
The system of loop equations:
The unknowns in this system are the loop
currents i1, i2, etc.
(3-5j) i1 + (3-5j) i2 5j i3 = +10
(3-5j) i1 +
5 i2 +
(2-5j) i3 = +0
5j i1 + (2-5j) i2 + (1.00E+7-5j) i3 = +0
The solutions:
The loop currents i1, i2, etc. are expressed as phasors.
i1= 1.59 -9.16°
i2=
1.86 112°
i3= 6.05E-7 171°
En la barra de tareas, en view, se puede escoger ver en el circuito, los valores de los
elementos, las corrientes, tensiones o potencia disipada o entregada por cada uno de los
elementos.
The currents:
The number beside each generator, resistor, inductor and
capacitor gives the current flowing through that
generator, resistor, inductor or capacitor (in amperes)
expressed as a phasor. The arrow gives the direction in
which the current is measured.
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The voltages:
The number beside each generator, resistor,
inductor and capacitor gives the voltage
difference between the ends of that generator,
resistor, inductor and capacitor expressed as
a phasor (in volts). The arrow gives the
direction in which the voltage is measured.
SOLUCIÓN.
Justamente, en el resistor al que se le asignó un valor muy alto de resistencia, nos indica
el resultado, que es un valor muy cercano al valor calculado.
Calculado
Problema.
Determinar
De la simulación
y
aplicando análisis nodal.
Circuito equivalente (por transformación de
fuentes)
La matriz a obtener para un par de nodos con análisis nodal es:
[
][
]
[ ]
Específicamente para el circuito y por inspección, se determina el sistema de ecuaciones:
[
[
]
[
]
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][
]
[
]
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Trabajando el sistema, se determinaron los resultados:
SIMULACIÓN en el simulador AC Loop and Mesh Analysis Program.
The circuit:
The number beside each resistor, inductor or capacitor is its complex impedance. For a resistor this is its
resistance, for an inductor this is w*L where w is the angular velocity of the generators in the circuit and L is the
inductance of the inductor, and for a capacitor this is 1/(w*C) where w again is the angular velocity of the
generators in the circuit and C is the capacitance of the capacitor. The number beside the generator is its
voltage expressed as a phasor.
Posteriormente, podremos ver
el resultado de las tensiones
de la bobina y el capacitor que
corresponden a
y
.
The system of loop equations:
The unknowns in this system are the
loop currents i1, i2, etc.
-
(5+2j) i1 - 2j i2 +
0 i3 = +50
2j i1 + 4 i2 +
2j i3 =
+0
0 i1 + 2j i2 + (2-2j) i3 = -50j
The solutions:
The loop currents i1, i2, etc. are expressed as phasors.
i1= 9.71 -29.1°
i2= 3.43 -164°
i3= 15.4 -47.5°
The voltages:
The number beside each generator,
resistor, inductor and capacitor gives
the voltage difference between the
ends of that generator, resistor,
inductor and capacitor expressed as
a phasor (in volts). The arrow gives
the direction in which the voltage is
measured.
RESULTADOS
CALCULADOS
SIMULACIÓN
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Problema:
Determinar la potencia absorbida por la resistencia de
mallas. Comprobar por lazos y hacer la simulación.
aplicando la técnica de
Siendo tres las mallas y no habiendo
supermallas, el sistema de ecuaciones
genera tres ecuaciones, dado que hay tres
incógnitas. Fácilmente y por inspección, se
obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:
[
][ ]
[
]
La solución de este sistema, aplicando la App CalcEn, es:
Así:
Aplicando lazos y escogiendo el árbol adecuado para que por la
resistencia de
pase solamente una corriente, se obtiene el
siguiente sistema de ecuaciones, también por inspección:
[
][ ]
[
]=[
]
Resolviendo:
y por lo tanto:
SIMULACIÓN en el simulador AC Loop and Mesh Analysis Program.
The circuit:
El simulador da la solución por el método de
mallas que da como resultado las ecuaciones de
malla y de ahí la solución (corrientes de malla).
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The system of loop equations:
The unknowns in this system are the loop currents i1, i2, etc.
(7+3j) i1 5j i2 5 i3 =
+10
5j i1 + (12+3j) i2 - (2-2j) i3 = -(4.33+2.5j)
5 i1 - (2-2j) i2 + (17-2j) i3 =
-10j
The solutions:
The loop currents i1, i2, etc. are expressed as phasors.
Valores similares a los calculados.
Las corrientes en cada uno de los elementos.
The currents:
The number beside each generator, resistor, inductor and capacitor gives the current flowing through that
generator, resistor, inductor or capacitor (in amperes) expressed as a phasor. The arrow gives the direction in
which the current is measured.
Corriente en la resistencia de 5Ω.
CALCULADA
–
SIMULACIÓN
The powers:
The number beside each generator gives the time-averaged power delivered to the circuit by that generator (in
watts). The number beside each resistor gives the time-averaged power dissipated by that resistor (again in
watts). Inductors and capacitors dissipate no time-averaged power.
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Potencia disipada en la resistencia de 5Ω.
CALCULADA
SIMULACIÓN
Problema:
Aplicar el principio de superposición para determinar
Primer experimento: solo la fuente de
.
para determinar
.
Por divisor de tensión:
Así:
Otra manera e determinar a
: por mallas.
Por inspección:
[
][
]
[
]
Resolviendo el sistema, se determina que:
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Y otra manera, por nodos, tomando como referencia o tierra el nodo inferior
Nodo 1:
Nodo 2:
(
Substituyendo a
)
y despejando a
Por lo tanto:
Y una manera más: transformar la fuente de tensión a fuente de corriente y aplicar
divisor de corriente:
Por divisor de corriente:
Todos los resultados coinciden, así que cada quien pela chícharos como guste, normal o con
guantes de box.
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Segundo experimento: solo la fuente de corriente para determinar
.
Por mallas:
Malla 1.
Malla 2.
Malla 3.
Substituyendo a
y expresando el
sistema en forma matricial:
[
][ ]
[
]
Al resolver el sistema, se tiene que:
Por supuesto, no es la única manera de determinar a
, pero ya es suficiente.
Finalmente:
Para comprobar el resultado, se hará la simulación. El programa AC Loop and Mesh Analysis
no soporta Fuentes de corriente por lo que se cambiará el circuito original para poder hacer la
simulación.
Paso 1. En los nodos 1 y 2 entra o sale la misma corriente. En el nodo 3, la misma
corriente que entra, sale, por lo que no se altera la corriente en los nodos.
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Paso 2. Se hace la doble transformación de fuentes y queda preparado para la
simulación.
SIMULACIÓN.
Loop Analysis
The circuit:
The number beside each resistor, inductor or capacitor is its complex impedance. For a resistor this is its
resistance, for an inductor this is w*L where w is the angular velocity of the generators in the circuit and L is the
inductance of the inductor, and for a capacitor this is 1/(w*C) where w again is the angular velocity of the
generators in the circuit and C is the capacitance of the capacitor. The number beside the generator is its
voltage expressed as a phasor.
The currents:
The number beside each generator, resistor, inductor and capacitor gives the current flowing through that
generator, resistor, inductor or capacitor (in amperes) expressed as a phasor. The arrow gives the direction in
which the current is measured.
CALCULADO
SIMULACIÓN
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TEOREMA DE LA TRANSFERENCIA MÁXIMA DE POTENCIA.
El siguiente teorema de transferencia de la potencia determinará el valor de las impedancias
de carga que dan lugar a la transferencia de un máximo de potencia entre las terminales de
un circuito activo.
Se considera una combinación en serie de una fuente y una impedancia compleja fija
suministrando potencia a una carga formada por una resistencia variable o por una
impedancia compleja, también variable.
Caso 1.- Carga: resistencia variable
La corriente en el circuito es:
| |
√
La potencia suministrada a
es, entonces
√
Para determinar el valor de
para que la potencia transferida a la carga sea máxima, se
hace la primera derivada
igual a cero.
*
+
(
[
]
[
]
)
o bien
de donde
√
|
|
En el caso de una resistencia pura y variable, se trasmite la potencia máxima entre las
terminales de un circuito activo cuando la resistencia de carga es igual al valor
absoluto de la impedancia del circuito.
Si la componente reactiva de la impedancia en serie con la fuente es cero, o sea,
, se
transfiere la potencia máxima cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia de la
fuente, esto es,
..
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Caso 2.- Carga: Impedancia con resistencia y reactancia variables.
La corriente en el circuito es:
| |
√
La potencia suministrada por la fuente es
En esta ecuación, si
se mantiene constante, el valor de
, con lo que la ecuación anterior se convierte en
Considerando ahora que
a la carga cuando
es máximo cuando
es variable, como en el caso 1, se suministra la potencia máxima
y
.
Caso 3.- Carga: Impedancia
con resistencia variable y reactancia fija (Figura 3).
Con la condición
constante, se obtienen las mismas
ecuaciones para la corriente y para la potencia
que en
caso 2. Igualando a cero la primera derivada de
respecto
, se deduce que
|
Como
y
el
de
|
son magnitudes fijas, se pueden combinar en una única impedancia.
Entonces, con
variable, el caso 3 se reduce al caso 1 y la potencia máxima se obtiene
cuando
es igual al valor absoluto de la impedancia del circuito.
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Problema.
Determinar la potencia máxima que el circuito puede entregar a la carga conectada entre las
terminales a y b, cuando la carga sea:
i.
Una resistencia variable.
ii.
Una impedancia variable.
Determinación de la tensión de circuito abierto.(
).
Por mallas e inspección:
[
][ ]
[
]
Que da como resultado:
Por lo tanto:
Determinación de la impedancia de entrada. (
De las simulaciones, que se anexan, se determinó que la corriente de corto circuito es:
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Así:
Con lo que queda comprobado el resultado.
Equivalente de Thevenin:
Determinación de
para el caso i.
Caso 1. Para que la potencia entregada
por el circuito sea máxima:
|
|
Por lo tanto:
Y así:
Determinación de
para el caso ii.
Caso 2. Para que la potencia entregada
por el circuito sea máxima:
Con esto, el circuito se hace resonante y así:
Y así:
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SIMULACIÓN.
Cálculo de la tensión de circuito abierto.
Para simular el circuito, se dibujan las mallas y se asignan valores a los elementos. Se anexa
una resistencia de valor muy grande en donde se va a presentar el circuito abierto y se verá el
voltaje de esa resistencia.
Cálculo de la corriente de corto circuito.
Ahora, se cambia la resistencia muy grande por una resistencia de valor cero, para representar
el corto circuito y se verá la corriente de esa resistencia.
Con la tensión de circuito abierto y la corriente de corto circuito, se puede determinar la impedancia
de entrada o impedancia de Thevenin.
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Potencia máxima disipada en el primer caso:
Potencia máxima disipada en el segundo caso:
Los resultados concuerdan con los calculados.
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P1. Calcular
P3. Si
determinar
si
. P2. Calcular
y
y
,
P4. Si
y
, calcular
.
.
P6. Sean:
de R y C.
P5. Si
si
, calcular
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,
e
. Calcular los valores
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P7. Datos: Lectura del Ampérmetro=12 A. Lectura del
Vóltmetro=127 V.
Determinar
P8. Sea
Calcular el valor de
P9. Aplicar análisis nodal para determinar
calcular la potencia disipada en cada elemento.
P10. Aplicar análisis por mallas o lazos y
comprobar que la suma algebraica de las
potencias es cero.
y
.
P11. Aplicar análisis nodal para calcular
P12. Hacer transformación de fuentes aplicado a la
fuente de corriente y obtener
por corriente de
malla.
P13. Obtener las ecuaciones de lazo del circuito (solo
debe pasar una corriente por la resistencia) y calcular
la potencia en la resistencia de 8Ω.
P14. Tomar como referencia el nodo de la derecha
del circuito y calcular la potencia de la resistencia
de 8Ω, utilizando análisis nodal.
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P15. Calcular la potencia absorbida por la resistencia
de 4Ω.
P17. Determinar
y
P16. Calcular
.
P18. Si
P19. Calcular
.
P21. Calcular
aplicando superposición y
comprobar lo obtenido resolviendo con todas las
fuentes al mismo tiempo.
y
, calcular
P20. Calcular
aplicando superposición y
comprobar el resultado utilizando todas las fuentes
al mismo tiempo.
P22. Calcular
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.
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P23. Si
, calcular la
potencia máxima que puede entregarle el circuito
activo a la carga
conectada entre las terminales a
y b.
P25. Determinar el equivalente de Thevenin o el
equivalente de Norton y calcular la potencia máxima
que el circuito puede entregar a la carga entre las
terminales a y b.
P24. Determinar el equivalente de Thevenin o el
equivalente de Norton y calcular la potencia
máxima que el circuito puede entregar a la carga
entre las terminales a y b.
P26. Determinar el equivalente de Thevenin o el
equivalente de Norton y calcular la potencia
máxima que el circuito puede entregar a la carga
entre las terminales a y b.
P27. Determinar la potencia máxima que el circuito
puede entregar a la carga
, si:
i.
=
ii.
=
iii.
=
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